apostila - matematica financeira

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  • ENAP Escola Nacional de Administrao Pblica

    Diretoria de Desenvolvimento GerencialPrograma Avaliao Socioeconmica de Projetos

    Curso Conceitos Essenciais para Avaliao Socioeconmica de Projetos

    Mdulo 5Matemtica Financeira

  • 1ENAPApostila

    Mdulo 5

    Matemtica Financeira

    Braslia - 2013

  • 2ENAP Fundao Escola Nacional de Administrao Pblica

    PresidentePaulo Sergio de Carvalho

    Diretor de Desenvolvimento GerencialPaulo Marques

    Diretora de Formao ProfissionalMaria Stela Reis

    Diretor de Comunicao e PesquisaPedro Luiz Costa Cavalcante

    Diretora de Gesto InternaAla Vanessa de Oliveira Canado

    ENAP, 2013

    ENAP Escola Nacional de Administrao Pblica

    Diretoria de Comunicao e Pesquisa

    SAIS rea 2-A 70610-900 Braslia, DF

    Telefone: (61) 2020 3096 Fax: (61) 2020 3178

    Coordenadora-Geral de Educao a Distncia: Natlia Teles da Mota

    Editor: Pedro Luiz Costa Cavalcante; Coordenador-Geral de Comunicao e Editorao:Luis Fernando de Lara Resende; Reviso: Renata Fernandes Mouro, Roberto Carlos R.Arajo e Simonne Maria de Amorim Fernandes; Capa: Ana Carla Gualberto Cardoso;Editorao eletrnica: Vinicius Arago Loureiro

    Ficha catalogrfica: Equipe da Biblioteca Graciliano Ramos/ENAP

    C376m CAVALCANTI, Anapaula Regina Lobo

    Matemtica financeira / Anapaula Regina Lobo Cavalcanti. _ Braslia: ENAP

    DDG, 2013.

    35p. (Curso Conceitos Essenciais para Avaliao Socioeconmica de

    Projetos, mdulo 5)

    Programa Avaliao Socioeconmica de Projetos. Curso Conceitos

    Essenciais para Avaliao Socioeconmica de Projetos.

    1. Matemtica Financeira. 2. Juros. 3. Capitalizao. 4. Projeto. I. Ttulo.

    CDU 51.336

  • 3ENAPSumrio

    Unidade 1 Taxas de Juros

    Objetivos da unidade ....................................................................................................... 5

    1.1 Momento e Perodo ................................................................................................... 5

    1.2 Taxa de juros ............................................................................................................... 6

    1.2.1 Juros simples ........................................................................................................... 6

    1.2.2 Juros compostos ...................................................................................................... 7

    1.3 Juros simples X Juros compostos .............................................................................. 10

    1.4 Equivalncias das taxas de juros ............................................................................... 11

    1.5 Proporcionalidade dos juros ..................................................................................... 14

    1.6 Taxas nominal e efetiva ............................................................................................. 14

    Finalizando a unidade ..................................................................................................... 15

    Unidade 2 Fluxo de Caixa e Valor Presente

    Objetivos da unidade ...................................................................................................... 16

    2.1 Valor Presente e Valor Futuro ................................................................................... 16

    2.2 Diagrama de Fluxo de Caixa (DFC) ............................................................................ 17

    2.3 Relao entre valor futuro e valor presente ............................................................ 19

    2.4 Valor presente sries de pagamentos ................................................................... 21

    2.5 Valor presente - parcelas vencidas ........................................................................... 23

    2.6 Valor presente - anuidades adiantadas e diferidas .................................................. 24

    2.7 Valor presente - perpetuidades ................................................................................ 25

    Finalizando a unidade ..................................................................................................... 26

  • 4ENAP Unidade 3 - Tcnicas e Clculos para Avaliao de Investimentos e Projetos

    Objetivos da unidade ..................................................................................................... 27

    3.1 Introduo a anlise de investimento ..................................................................... 27

    3.1.1 Como estimar o fluxo de caixa? ............................................................................ 28

    3.1.2 Como estimar o custo de oportunidade? ............................................................. 28

    3.2 Valor Presente Lquido (VPL) .................................................................................... 28

    3.3 Valor Futuro Lquido (VFL) ........................................................................................ 31

    3.4 Taxa Interna de Retorno (TIR) ................................................................................... 32

    3.5 ndice de Rentabilidade (IRT) ................................................................................... 33

    3.6 Mtodo Payback (PB) ............................................................................................... 33

    Concluso ...................................................................................................................... 35

    Finalizando a Unidade e o Mdulo ................................................................................ 35

  • 5ENAPUnidade 1 - Taxas de Juros

    Aps concluir esta unidade, espera-se que voc

    seja capaz de:

    reconhecer a alterao de valor do dinheiro ao

    longo do tempo;

    distinguir juros simples de juros compostos, a

    partir da explicitao de seu regime de capitalizao;

    calcular a capitalizao de um montante, dada a

    taxa de juros;

    distinguir equivalncia e proporcionalidade de taxas de juros;

    calcular taxas de juros equivalentes; e

    distinguir taxa nominal anual (TNA) e taxa efetiva anual (TEA).

    1.1 Momento e Perodo

    Antes de iniciar o mdulo importante fazer a distino entre momento e perodo.

    Momento um instante no tempo.

    Perodo um intervalo de tempo decorrido

    entre dois pontos ou eventos do projeto.

    Dessa forma, embora os benefcios e os custos

    de um projeto sejam gerados ao longo de um

    perodo, eles ocorrem num determinado momento.

    Por exemplo, o salrio mensal de um trabalhador

    para o ms de janeiro gerenciado ao longo de todo

    esse ms (perodo), sendo que, normalmente, s

    pago ao final do ms (momento).

  • 6ENAP Logo, ao identificar os benefcios e custos de um projeto, deve-se determinar quando

    ocorreram. A importncia deste procedimento est no fato de que o valor que se atribui

    hoje a R$ 1,00 maior do que o valor dado ao mesmo R$ 1,00 disponvel no futuro.

    Embora existam vrias razes para que a mesma quantia de dinheiro seja avaliada de

    forma diferente em momentos distintos, o mais importante a existncia de investimentos

    alternativos para esse dinheiro. Um real recebido hoje mais valioso do que R$ 1,00 a

    receber no futuro, porque pode ser investido durante o perodo de tempo considerado.

    Para aqueles que desejam relembrar o tema sobre custos de oportunidade, sugere-se

    revisar esse contedo no curso Microeconomia Aplicada Avaliao Socioeconmica de

    Projetos.

    1.2 Taxa de Juros

    O conceito de taxas de juros considerado

    essencial para o tema da avaliao de projetos,

    pois ser atravs deste que iremos aprear o

    projeto.

    O rendimento financeiro gerado ao investidor

    por um recurso (capital) aplicado em uma opo

    de investimento, durante determinado perodo de

    tempo, chamado juros.

    A taxa de juros ( i ) proveniente da relao

    entre os juros ( j ) e o capital inicial (C). Vejamos o exemplo.

    Se o capital inicial de R$ 100,00 e os juros so de R$ 30,00, qual a taxa de juros ( i )?

    Para solucionar esse problema, utilizaremos a equao i = j/C. Ento i = 30/100 = 30% a

    taxa de juros.Mas quando se menciona uma taxa de juros, necessrio indicar o perodo a

    que ela se refere: ao dia (ad), quinzena (aq), ao ms (am), ao trimestre (at), ao semestre

    (as) ou ao ano (aa). No nosso caso, a taxa 30% aa, pois o rendimento de R$ 30,00 obtido

    aps um ano; se fosse aps um semestre ou um ms, seria ao semestre ou ao ms,

    respectivamente. Dessa forma, observa-se que a unidade da taxa de juros est intimamente

    relacionada ao perodo no qual os juros foram adquiridos.

    1.2.1 Juros Simples

    As parcelas de juros simples so sempre iguais, uma vez que, sob o regime de

    capitalizao simples, os juros para cada perodo resultam da aplicao da taxa de juros

    sobre o capital inicial, e ambas variveis no mudam com o tempo.

    Considere o exemplo: Um capital emprestado (C) de R$ 100,00 aplicado a uma taxa de

    juros de 10% aa, durante cinco anos. O resultado so cinco parcelas iguais de R$ 10,00, e um

    valor, ao final do perodo, de R$150,00, fruto do somatrio dos desembolsos ao principal.

  • 7ENAP

    Solucionando o exemplo: na capitalizao simples, os rendimentos rendem apenas sobre

    o capital inicial (C) ou principal, e i a taxa de juros cobrada em n perodos. Isto quer dizer

    que os juros so obtidos como resultado do produto entre o capital inicial, a taxa de juros e

    o perodo. Considere a frmula j = C * i. Para o primeiro perodo (n = 1), temos j = R$100,00

    * 0,1 = R$10,00; para o perodo seguinte (n=2), temos j = C * i e como o capital