apostila matematica financeira

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  • CURSO DE MATEMTICA

    FINANCEIRA

    Fabio Sidney Vasconcelos Silva

  • Apresentao da disciplina:

    Nesta disciplina, iniciaremos nossos estudos apresentando as calculadoras HP 12C e a cientfica, explicando suas principais funes para a Matemtica Financeira, para as operaes matemticas como clculos de descontos e acrscimos, operaes de lucro ou prejuzo e operaes entre datas. Exploraremos os conceitos de juros exatos e juros comerciais, taxa unitria e taxas percentuais, taxas proporcionais, equivalentes, nominais e efetivas que so fundamentais para a compreenso das situaes propostas. Ao abordar os conceitos e definies, apresentamos em seguida o regime de capitalizao simples, calculando os juros e montante simples e os descontos neste regime.

    As maiores aplicaes da Matemtica Financeira so baseadas no regime de capitalizao composta, com os clculos de juros e montante composto e as operaes de descontos, as anuidades quando postecipadas, antecipadas e diferidas e suas classificaes, bem como os Sistemas de Amortizao SAC e PRICE contextualizando em diversas situaes e explorando a funo de amortizao da calculadora HP 12C.

    Objetivos:

    Compreender a evoluo do dinheiro no tempo, suas aplicaes nos diferentes regimes de capitalizao: simples e composto. Abordaremos os conceitos e definies da Matemtica Financeira, as principais caractersticas com a utilizao da calculadora HP 12C, bem como exemplos contextualizados e a apresentao de tabelas do Sistema de Amortizao Constante e a Tabela Price.

    Contedo Programtico:

    Web Aula 1 Conceitos de juros simples e compostos, Taxas equivalentes, efetivas e nominais, Equivalncia de capitais, Prtica de utilizao da calculadora HP12C.

    Web Aula 2 Srie de pagamentos e desembolsos, Classificao de anuidades, Modalidades de amortizao: SAC e PRICE, Prtica de utilizao da calculadora HP12C.

    Metodologia:

    Na unidade, utilizaremos todos os recursos necessrios e disponveis para o desenvolvimento da discusso do contedo, sendo assim, faremos uso de:

    Textos da prpria web aula e de outros sites que possam contribuir para a discusso; Vdeos que podem esclarecer ou aprofundar determinados contedos; Fruns para discusso de tpicos onde seja possvel a troca de ideias e contedos entre os discentes

    e docente;

    Avaliaes virtuais onde ser realizada a verificao do aprendizado; Entre outros recursos que podero ser utilizados visando maior entendimento da matria.

    Avaliao Prevista:

    Cada web-aula conter uma avaliao virtual composta de cinco questes (sendo assim, temos duas web-aulas com cinco questes cada).

  • WEB AULA 1

    Unidade 1 Apresentao da Matemtica Financeira

    O objetivo desta unidade compreender a evoluo do dinheiro no tempo, suas aplicaes nos diferentes regimes de capitalizao: simples e composto.

    A Matemtica apresenta invenes to sutis que podero servir no s para satisfazer os curiosos como, tambm para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens (DESCARTES).

    Seja bem-vindo disciplina de Matemtica Financeira, sou a professora Helenara Regina Sampaio Figueiredo, tenho Licenciatura em Matemtica, Especializao em Educao Matemtica, Mestrado em Ensino de Cincias e Educao Matemtica. Atualmente estou cursando o Doutorado em Educao para a Cincia e a Matemtica. Sou docente de Matemtica da Rede Estadual de Ensino de Londrina e da Universidade Norte do Paran (UNOPAR). Na UNOPAR ministro disciplinas de contedos matemticos, mas a disciplina que tenho afinidade a Matemtica Financeira.

    A Matemtica Financeira o contedo que mais gosto de trabalhar, o motivo que ele est inserido no nosso cotidiano, digo no nosso mesmo! Ouvimos que temos que pagar JUROS nos financiamentos habitacionais, de veculos automotores e que, de tudo que consumimos so cobrados tributos representados em taxas percentuais geralmente. Quando queremos guardar dinheiro, sabemos que no vale a pena guardar em casa debaixo do colcho, ao contrrio, devemos fazer com que o nosso dinheiro valorize no tempo. Para isto, recorremos s aplicaes bancrias, que so diversas, a mais usada pelos brasileiros a caderneta de poupana.

    Quando fazemos uma aplicao, o valor do dinheiro que temos no momento chamado de VALOR PRESENTE, j o valor que resgatamos ao final de um perodo (que pode ser dirio, mensal, anual etc.), denominamos de VALOR FUTURO. Este VALOR PRESENTE s altera aps certo perodo (PRAZO), porque tem uma TAXA de juros influenciando. Mas as TAXAS podem ser calculadas diariamente, mensalmente, anualmente etc e para isso usamos clculos de TAXAS EQUIVALENTES, precisamos entender tambm o que uma TAXA EFETIVA e uma TAXA NOMINAL.

    Compreendemos diante de vrias definies, que a Matemtica Financeira a cincia que estuda o dinheiro no tempo e que aprender Matemtica Financeira no s contribui para a formao profissional de administradores, contadores, economistas, dentre outros profissionais, mas envolve todos os setores. Este conhecimento essencial para entender e operar nos mercados financeiros e de capitais, e atuar em gesto financeira com maior rapidez contribuindo para a tomada de deciso, sem contar que uma ferramenta muito til na anlise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo.

    Quando vamos s compras podemos comprar vista ou parcelar o valor do bem em vrias prestaes (parcelas). Podemos dar uma entrada no ato da compra ou pagar um ms aps a compra e tambm podemos ter um prazo de carncia, isto significa que podemos comear a pagar aps certo tempo. Voc j ouviu falar, compre agora (agosto) e pague a primeira parcela s no Natal! Ento nesta disciplina, voc estudar as SRIES DE PAGAMENTOS E DESEMBOLSOS.

    E quem no quer um lugarzinho pra chamar de seu? Ter sua casa prpria, pintar as paredes da cor que quiser, fazer texturas, grafiatos, colocar o piso do banheiro numa combinao com a pia, uma churrasqueira, bem... mas para isto precisamos de capital, dinheiro, Money, cash, Dindin e demais sinnimos que conhecemos.

    Algumas pessoas guardam parte do seu salrio por certo perodo para comprar sua casa prpria. Outros fazem um financiamento imobilirio para pagar em prestaes que podem ter prazos curtos e at mais longos. Atualmente, o financiamento para a casa prpria tem prazo de at 35 anos. O clculo do valor da prestao realizado por meio do SISTEMA DE AMORTIZAO, que voc estudar alguns deles nesta disciplina, so os SISTEMA DE AMORTIZAO CONSTANTE, conhecido como SAC e o SISTEMA PRICE.

    E os clculos, nesta disciplina, como sero realizados? Sero muito complexos? Longos? Para anim-lo tenho uma boa notcia: voc poder usar uma calculadora, seja ela uma calculadora cientfica ou uma calculadora HP 12C. Cada aluno deve desenvolver seu jeito prprio de estudar, mas essencial o estudo, a reflexo e principalmente a resoluo dos exerccios propostos.

    Nesta web, voc dever ter sempre um lpis, papel, calculadora para facilitar os clculos, ter mais rapidez. Para o estudo de matemtica necessrio praticar, portanto, importante que voc entre nos links sugeridos para ajudar na compreenso dos conceitos e para aprofundar-se na Matemtica Financeira.

  • Voc aprender conceitos e definies e principalmente conhecer as frmulas e como resolver os vrios contedos abordados nesta disciplina. Vou explicar vrios exerccios usando a HP 12C dos seguintes contedos:

    Voc pode fazer os clculos em sites que disponibilizam as calculadoras virtualmente como, por exemplo: www.epx.com.br e tambm o manual da HP 12C, basta entrar em um site de busca que encontrar vrias opes. Um dos links que abre uma manual http://i.s8.com.br/images/manuais/manual_169244.pdf.

    Veja agora a primeira teleaula sobre o uso das calculadoras cientficas e HP 12C, com as orientaes de como utiliz-las na resoluo de exerccios.

    Fonte: (WEB..., 2012)

    Vdeo 1 - Conhecendo HP 12C e a calculadora cientfica

    Voc viu neste vdeo como fazer os clculos usando a tecla ENTER e tambm as funes mais importantes para a Matemtica Financeira. Quer saber outros detalhes?

    Aprendendo a usar a HP 12C

    Na calculadora as teclas principais, so aquelas cujos smbolos esto nos corpos das teclas ou flags, em branco:

    ON Liga/desliga e sai do programa, mas mantm a memria permanente.

    f Pressione essa tecla quando necessitar:

    Quando quiser ativar as funes da calculadora escritas em dourado.

    Quando quiser especificar o nmero de casas decimais a trabalhar. Por exemplo, se voc deseja utilizar clculos com 6 casas decimais. Pressione a tecla f e em seguida 6 e todos os nmeros aparecero no formato XX,000000.

  • Ex: Digite f0, f1, f2, f3 at f9

    - Quando quiser mudar para ponto ou vrgula faa seguinte procedimento:

    o Com a calculadora desligada, segure a tecla ponto e ligue a mquina ON e solte o ponto simultaneamente. Assim, voc muda para ponto ou vrgula.

    TECLAS CLEAR

    CLx e Clear x - Tem a funo de limpar o visor

    f CLEAR FIN - Esta sequencia apaga os registradores financeiros, a saber: N, i, PV, PMT, FV

    f CLEAR REG Est sequncia apaga todos os registros.

    Nmeros Negativos

    Digite um nmero qualquer e tecle CHS, observe que aparece o sinal negativo. Vou dar um exemplo:

    2 enter 4 CHS yx , no visor aparece 0,0625

    3 enter 5 CHS yx, no visor aparece 0,004115226

    Para limpar o visor:

    A tecla CLX (clear X) limpa o visor, sem alterar o resto da pilha.

    Para introduzir um nmero na memria:

    Para introduzir um nmero na memria, digite o nmero STO de 0 a 9 e para recuperar o mesmo nmero digite, RCL e o nmero do registro que armazenou de 0 a 9. Ex. 15,34 STO 1, CLX, RCL 1.

    Algumas teclas financeiras:

    FV Armazena ou calcula o valor futuro (montante) de uma aplicao ou pagamento.

    PV Armazena ou calcula o valor presente (valor atual).

  • n Armazena ou calcula a quantidade de perodos (prazo).

    n Armazena ou calcula a quantidade de perodos (prazo).

    PMT Armazena ou calcula pagamentos.

    Temos outros exemplos de clculos como o de Exponenciais e logaritmos. Veja agora o uso da calculadora cientfica e HP 12C para efetuar clculos de exponenciais e logaritmos. Quando voc for calcular o perodo na frmula do montante composto preciso calcular o logaritmo e em diversas frmulas necessrio usar expoentes. Voc pode usar a calculadora de seu sistema operacional (Windows, Linux)

    Localize em sua calculadora a tecla que eleva nmeros a qualquer expoente, normalmente essa tecla:

    Fonte: Calculadora do Windows

    Ento agora realize estes clculos e confira com o resultado que estou disponibilizando:

    1) Calcule os expoentes:

    Exemplo: 24 = 16

    Na HP 12C preciso fazer 2 enter 4 xy

    a) 1,82= 3,24

    b) 1,258 =5,960464478

    2) Calcule os logaritmos:

    Na cientfica:

    a) Log 3= 0,477121255

    b) Log 1,2= 0,079181246

    Na HP 12 C

  • Digite 3 enter

    Digite g LN

    Digite enter

    Digite 10

    Digite g LN

    Aperte a tecla da tecla da diviso

    Na calculadora HP-12C, temos tambm uma tecla especfica para porcentagem. Veja os exemplos abaixo:

    Calcular 20% de 80,00

    Basta digitar 80,00 enter 20%

    Aparece no visor 16,00

    - Se quiser calcular 20% de acrscimo de 80,00:

    Basta digitar 80,00 enter 20% +

    Aparece no visor 96,00.

    - E se for um desconto de 20% de 80,00?

    Basta digitar 80,00 enter 20% -

    Aparece no visor 64,00.

    Voc sabia que possvel tambm calcular datas com a HP 12C? Esta funo utilizada em diversas operaes financeiras. Primeiro programe ela para efetuar data dia, ms e ano para isto aperte a funo G 4. Observe que apareceu no visor d.my.

    obs: Antes limpe a mquina: f REG

    Podemos calcular a data e dia que ser diante de uma situao, ao informarmos num nmero de dias antes ou depois. Sua calculadora j est programada? Ento siga os passos:

    1. Digite a data fornecida e aperte ENTER.

    2. Digite o nmero de dias.

    3. Se a outra data estiver no passado, aperte CHS.

    4. Aperte g DATE

    Achou confuso? Ento, faa o seguinte de acordo com o enunciado:

  • Determinar a data e o dia da semana em que ocorrer o vencimento de uma duplicata emitida em 14 de agosto de 2012, com 200 dias de prazo.

    Lembre-se que aps os dgitos referentes ao dia, teclamos um ponto. preciso teclar 2 dgitos do ms (0 e 9) e os quatro do ano (2012).

    14.082012 ENTER

    200

    G DATE

    No visor vai aparecer 2.032013 6 (sbado)

    Isto significa a data e o 6 no cantinho do visor significa o dia da semana.

    Observao: O dgito que aparece na extrema direita do visor indica o dia da semana, segunda 1, tera 2, quarta 3, quinta 4, sexta 5, sbado 6 e domingo 7.

    possvel tambm calcular o nmero de dias entre datas. Temos que fazer o seguinte procedimento:

    1. Digite a data mais antiga e aperte ENTER.

    2. Digite a data mais recente e aperte g DDYS.

    3. Ao utilizar o xy, encontra-se o nmero de dias decorridos com base de ano 360 dias (comercial).

    1) Calcular o nmero de dias decorridos entre o dia 20 de julho de 1978 e 20 de julho de 2012.

    20.071978 ENTER

    20.072012 g DDYS

    No visor aparece: 12419

    Observe que se introduzirmos inicialmente a data atual e depois a passada, o nmero de dias aparecer com sinal negativo; mas se invertermos a ordem de entrada, o nmero de dias aparecer com sinal positivo.

    Vamos agora determinar uma data passada ou futura, a partir de uma data conhecida e do nmero de dias entre essas datas.

    Hoje 14.08.2012, que data e dia da semana ser daqui a 90 dias?

    1. Digite a data 14.082012

    2. Pressione a tecla ENTER

    3. Digite o nmero de dias (90)

    4. Pressione as teclas g e depois DATE

    OBS.: O nmero que aparece ao lado o dia da semana. (12.11.2012 1)

    Uma aplicao financeira por 60 dias est vencendo hoje, 14.08.2012. Qual a data em que foi efetivado

  • o negcio?

    1. Digite a data do vencimento: 14.082012

    2. Pressione ENTER

    3. Digite o nmero de dias (60) e a tecla CHS (tempo passado negativo)

    4. Pressione as teclas g e depois DATE

    Que dia da semana foi 20.07.78?

    1. Digite a data 20.071978

    2. Pressione ENTER

    3. Digite zero (quando no existir o nmero de dias)

    4. Pressione as teclas g e DATE

    Apareceu no visor o nmero 4 (que quinta-feira, mesmo o dia que minha me falou que eu nasci!)

    Quer aprender outras funes da HP 12C? Ela muito importante para resolver os clculos financeiros entre outras operaes.

    A mdia ponderada tambm pode ser calculada com a HP 12C. Veja esta aplicao:

    Uma empresa tem as seguintes duplicatas, vamos calcular o valor mdio:

    9200,00 com vencimento para 28 dias

    9600,00 com vencimento para 36 dias

    8800,00 com vencimento para 32 dias

    9200,00 [enter] 28 [+]

    9600,00 [enter] 36 [+]

    8800,00 [enter] 32 [+]

    [g] [xw]

    O valor de R$ 9216,67

    OPERAES COMERCIAIS LUCROS E PREJUZOS

    Por meio dos clculos matemticos podemos resolver vrias situaes de operaes comerciais, que envolvem lucros e prejuzos. Sabemos que quando um comerciante faz uma compra de mercadorias para o seu negcio por certo preo, este denominado de preo de custo, em seguida o comerciante efetua a revenda desta mercadoria obtendo lucro ou at mesmo prejuzo, isto depende do preo que a mercadoria foi repassada ao mercado consumidor.

  • Nas operaes que envolvem problemas relacionados com porcentagem sobre o custo do produto, temos partes essenciais na operao que so:

    Venda

    Custo

    Lucro (ou prejuzo, depende da operao)

    Vamos utilizar C = Custo; V= Venda; L= Lucro e P para prejuzo

    a) Roberta em seu trabalho vendeu um automvel pelo valor de R$ 22000,00, ganhando o valor de 20% (sobre o custo). Qual foi o lucro dela nesta operao?

    Soluo:

    C + L = V

    100% + 20% = 120%

    22000,00 - 120% (venda da operao)

    X - 20% (lucro da operao)

    X = 22000,00 x 20

    120

    X = 440000,00 / 120 = R$ 3666,67

    O lucro da operao foi de R$ 3666,67

    b) Um eletrodomstico foi vendido com um lucro final de 20%. Calcule o valor da venda, sabendo que o lucro na operao foi de R$ 200,00.

    Soluo:

    C + L = V 100% + 20% = 120%

    200,00 - 20% (lucro da operao)

    X - 120% (venda da operao)

    X = 120 . 200,00

    20

    X = 24000,00 / 20

    X= R$ 1200,00

    Vrias situaes que envolvem as porcentagens sero apresentadas exploradas como os clculos de acrscimos sucessivos, descontos e variao percentual.

    Acrscimos sucessivos

    Se a um valor p for aplicada uma taxa de acrscimo i, obteremos A.

  • Se a esse valor for aplicada uma taxa de acrscimo sucessivo.

    A= p + pi A = p (1 + i)

    A= A( 1 + i) A= p (1 + i) (1 + i) e assim por diante.

    A = p ( 1 + i) ( 1 + i)( 1 + i)( 1 + i)

    Onde:

    A = valor total

    P = principal

    i, i, i,, i= taxas de porcentagem dadas

    Exemplo:

    No ms de janeiro, Fernando recebia de salrio R$ 1200,00. Nos meses de fevereiro, maro e abril seu salrio foi aumentado em 10%, 12% e 18%, respectivamente. Qual o salrio de Fernando referente ao ms de abril?

    A = p = 1200,00

    i = 10% = 0,1 i = 12% = 0,12 i = 0,18

    A = p ( 1 + i) ( 1 + i)( 1 + i)

    A = 1200,00 (1 + 0,10 ) (1 + 0,12 ) (1 + 0,18 )

    A = 1200,00 . 1,10 . 1,12 . 1,18

    A = R$ 1744,51

    Resposta: O salrio de Fernando referente ao ms de abril de R$ 1744,51.

    Descontos sucessivos

    Se a um valor p for aplicado um desconto i, obteremos v. Se a este V for aplicada uma taxa i, obteremos V, formando assim um desconto sucessivo.

    v = p (1 - i)

    V= V(1 - i) V= p (1 - i) (1 - i) e assim por diante.

    V = p (1 - i) (1 - i) (1 - i)( 1 - i)

    Onde:

    A = valor final ou valor descontado

    p = valor inicial

    i, i, i,, i= taxa de desconto

    Exemplo:

    Uma indstria de mveis resolveu diminuir sua produo mensal, de 40000 unidades, em 6%. Como as vendas estavam fracas, um ms depois, resolve diminuir novamente sua produo em mais 8%. Calcule a produo atual dessa indstria.

  • Resoluo:

    V= ? p = 40000 i= 6% = 0,06 i= 8% = 0,08

    V= p ( 1 - i) ( 1 - i) V = 40000 ( 1 0,06 ) ( 1 0,08 )

    V = 40000 . 0,94 . 0,92

    V = 34592 unidades

    Resposta: A produo atual da indstria de 34592 unidades

    Na apresentao da disciplina, falei de juros, o que so juros? Com eles se dividem? Temos duas modalidades de clculos de juros: capitalizao simples e capitalizao composta. Para isto precisamos entender diversos conceitos, voc sabe o que significa CAPITAL? Temos algumas definies importantes.

    Capital: Do ponto de vista da matemtica financeira, capital qualquer valor expresso em moeda que uma pessoa concorda em ceder a outro, temporariamente, geralmente cobrando juros. Aquele que cede chamado de investidor e aquele que recebe chamado tomador.

    Segundo Ayres Junior (1981), quando apenas o Capital produz juros durante toda a vida da transao, o juro devido ao fim do prazo chama-se juro simples.

    Ainda de acordo com Samanez (2002), no regime de juros simples os juros de cada perodo so calculados sempre sobre o mesmo principal. No existe capitalizao de juros nesse regime, pois os juros de um determinado perodo no so incorporados ao principal para que essa soma sirva de base de clculo dos juros do perodo seguinte. Consequentemente, o capital crescer a uma taxa linear e a taxa de juros ter um comportamento linear em relao ao tempo. Nesse regime a taxa de juros pode ser convertida para outro prazo qualquer, com base em multiplicaes e divises, sem alterar o seu valor intrnseco, ou seja, mantm a proporcionalidade existente entre os valores realizveis em diferentes datas.

    Em diversas operaes financeiras, observamos que as taxas de juros so altas, isto se deve aos vrios motivos, dos quais podemos elencar:

    a pessoa (tomado) ao fazer o emprstimo nem sempre paga sua dvida e por isso h o risco de crdito, ou s vezes tambm atrasa o pagamento, h ento o risco de liquidez.

    o possuidor do capital deseja ter lucro ao realizar o emprstimo e tambm toma os cuidados em relao desvalorizao do capital durante o tempo que emprestou o dinheiro e a inflao neste perodo (risco de mercado);

    Dentre estes fatores h outros como o risco operacional e o risco pas, este ltimo um grande responsvel pelo aumento ou diminuio da taxa de juro, pois quanto maior for o risco associado a uma aplicao financeira, maior ser a taxa de juro exigida pelo investidor.

    Em diversas operaes no mercado financeiro, os juros simples e os juros compostos so utilizados. Voc j ouviu falar de Hot Money? um tipo de emprstimo dirio e renovvel, em que se aplicam clculos de juros simples, com juros comerciais, no qual so realizados descontos de duplicatas e cheques.

    Para calcularmos juros simples, os matemticos se utilizam de smbolos ou letras para compor as frmulas, estas podem ser diferentes. Por exemplo, o capital representado por C, como tambm por P que significa principal, tem o mesmo sentido que capital. Vamos utilizar PV na HP 12C e muitos autores utilizam nas frmulas, que significa Valor Presente, a sigla invertida devido ao ingls Present Value.

    Para entender os exerccios e os enunciados de Matemtica Financeira, essencial entender outros elementos que compem os clculos. Voc sabia que tem o juro exato e juro comercial?

  • Juro exato: o juro obtido tomando como base o calendrio do ano de 365 ou 366 dias como os anos bissextos. Representamos a frmula da seguinte maneira:

    J = c . i/365 . n

    J o juro

    C o capital

    i a taxa

    Juro comercial: o juro obtido tomando como base o ano de 360 dias (ano comercial) e ms de 30 dias (ms comercial). Tambm denominado juro ordinrio.

    J = c. i/ 360 . n

    Quando realizamos os clculos, observamos que o juro comercial tem resultado um pouco superior ao juro exato pelo fato se ser menor o nmero de dias usado para o intervalo de tempo. Na prtica financeira, usualmente adotado o juros simples comercial que, quando mensal, admite o ms comercial com 30 dias.

    Na HP 12C a taxa de juros simples deve ser sempre expressa em anos e o perodo em dias. Se a situao no apresentar a taxa em anos e o perodo em dias, teremos que efetuar as transformaes necessrias nos clculos.

    A calculadora financeira HP 12C calcula ao mesmo tempo os juros ordinrios (juros comerciais) e os juros exatos. O que aparece no visor so os juros comerciais; os juros exatos podemos saber pressionando na sequncia as teclas R e y.

    Taxa proporcional e taxa equivalente

    Em algumas operaes financeiras que nos deparamos, observamos que alguns enunciados de exerccios que pedem para calcular montante de uma taxa de juros de 24% ao ano, considerando a capitalizao mensalmente (ocorrero 12 vezes juros no perodo de um ano). O percentual de juros que incidir sobre o capital a cada ms ser calculado como o exemplo abaixo:

    Precisamos calcular a taxa proporcional:

    18% ao ano dividido pelos 12 meses, so proporcionais a 1,5% ao ms, neste caso dividimos 18 por 12.

    48% ao ano correspondem a uma taxa de 4% ao ms.

    Ao utilizarmos os conceitos de taxas proporcionais, por meio da diviso entre a taxa de juros considerada na operao e o nmero de vezes em que ocorrero os juros (nmero de perodos de capitalizao). Podemos tambm transformar o prazo da taxa para o de capitalizao, ou fazermos a operao inversa.

    O segredo para o bom uso destas frmulas lembrar sempre que a taxa de juros i e o perodo n tm de ser referidos mesma unidade de tempo.

    Assim, se num problema, a taxa de juros for i = 36% ao ano e o perodo n = 36 meses, antes de usar as frmulas devemos coloc-las na mesma unidade de tempo, ou seja:

    Para usarmos a taxa de 36% ao ano, devemos transformar o perodo de 36 meses em n perodos de anos, ou seja:

    i = 36% ao ano

    n = 36/12 = 3 anos

  • Para usarmos o perodo de 36 meses, devemos transformar a taxa anual de 36% em taxa mensal, ou seja:

    i = 36/12 = 3% ao ms

    n = 36 meses

    A determinao de valores referentes a juros ocorre por meio de um coeficiente denominado taxa de juros, que sempre relacionada com uma unidade de tempo (dia, ms, trimestre, semestre, ano etc.).

    Na aplicao das frmulas, a taxa de juros deve ser convertida para a notao decimal, para isto precisamos transformar a taxa em percentual para a taxa unitria, basta dividir por 100. Veja um exemplo: 2% = 0,02.

    Veja este exemplo: Represente as porcentagens abaixo em decimais (em taxa unitria basta dividir por 100):

    28%= 0,28

    35,2%= 0,352

    3%= 0,03

    50% = 0,50 ou 0,5

    112%= 1,12

    1% - 0,01

    0,8% - 0,008

    Taxas equivalentes

    Em relao aos juros simples, as taxas so denominadas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital e durante o mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo volume linear de juros; ou seja, o mesmo resultado.

    Podemos considerar como sinnimas no regime de juros simples, as definies de taxas proporcionais (nominais ou lineares) e taxas equivalentes dando o mesmo tratamento a elas.

    A frmula que usamos para calcular juros simples :

    J= C. i. n

    No qual

    J o juro no perodo da taxa;

    C o principal ou capital investido, Valor presente;

    i a taxa de juros do perodo; e

    n o nmero de perodos.

    Ento pegue sua calculadora e pratique os exemplos abaixo!

    Calcular os juros simples referentes ao capital de R$ 3050,00, aplicados taxa de 14% a.a pelo prazo de 3 anos.

  • J = ?

    C= 3050,00

    i = 14% a.a

    n = 3 anos

    j = cin

    j = 3050,00 . 0,14 . 3

    j = 1281,00

    Na HP 12C

    3050 CHS PV

    1080 n (o perodo tem que estar em dias)

    14i (a taxa tem que ser anual)

    F int (calcula os juros)

    Voc estudou os juros simples e o que o Montante?

    MONTANTE SIMPLES

    O capital inicial adicionado aos juros do perodo denominado MONTANTE (M). O montante tambm conhecido como Valor Futuro, valor acumulado. Em lngua inglesa, usa-se Future Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla FV.

    M = C + J, ( o montante o capital mais os juros)

    M = C + Cin (temos dois C, ento colocamos o C em evidncia)

    M = C (1 + in), esta a frmula para calcularmos o montante.

    Veja os exemplos de clculos em cada uma das incgnitas:

    Que montante receber um aplicador que tenha investido R$ 2500,00, durante 18 meses taxa simples de 1,5% a. m.?

    M= C (1 + i.n)

    M= 2500,00 (1 + 0,015 . 18)

    M= 2500,00 x 1,27

    M= 3175,00

    Na HP 12C

  • 2500 CHS PV

    540 n (perodo em dias)

    18 i (taxa ao ano)

    F int (calcula os juros)

    + (calcula o montante)

    Certo capital foi investido por Marta e aps ficar aplicado durante 12 meses a uma taxa simples de 24% a.a., produziu um montante de R$ 4340,00. O capital corresponde a:

    M= C (1 + i.n)

    4340,00 = C ( 1+ 0,02 . 12)

    4340,00 = C (1,24)

    C= 4340,00 : 1,24

    C= 3500,00

    Qual a taxa simples mensal na qual um capital de R$ 1200,00 aplicado durante trs trimestres atinge um montante de R$ 1416,00?

    M= C (1 + i.n)

    1416,00= 1200,00 ( 1 + i . 9)

    1416,00 : 1200,00= 1 + 9i

    1,18 = 1 + 9 i

    1,18 1 = 9i

    0,18 = 9i

    i= 0,18: 9

    i= 0,02 x 100 = 2% a.m

    Durante quanto tempo um capital de R$ 4200,00 precisa ser aplicado, a juros simples, taxa de 2,5% a.m. para render um montante de R$ 5040,00?

    M= C (1 + i.n)

    5040,00= 4200,00 (1 + 0,025 n)

    5040,00/ 4200,00 = 1 + 0,025 n

    1,2 = 1 + 0,025 n

    1,2 1 = 0,025n

  • 0,2 = 0,025 n

    n= 0,2 / 0,025

    n=8 meses

    Quer aprender a calcular o montante simples na HP 12C usando outro esquema? Lembre-se que a taxa deve estar sempre em ano e o perodo em dias, considerando o ms comercial (30 dias) e o ano comercial (360 dias). Veja mais alguns exemplos:

    Uma pessoa aplicou R$ 500,00 taxa de 1% a.m durante 4 meses. Quanto obteve de juros?

    HP-12C

    Teclas Visor

    f FIN f 2 (vamos fixar em 2 casas decimais)

    500 CHS PV - 500,00

    1 ENTER 12 x i 12,00

    4 ENTER 30 x n 120,00

    f INT 20,00

    Agora tente fazer o exerccio abaixo e depois assista ao vdeo com as correes na calculadora cientfica e HP 12C.

    Marcel emprestou de seu irmo R$ 5000,00 para fazer uma reforma em sua casa. Combinou o emprstimo taxa de juros simples de 12% ao ano para pagar em 12 meses. Qual o montante ao final do perodo? E quanto Marcel pagou de juros ao seu irmo?

    Vdeo 2 Juros Simples e Montante simples.

    Para calcular juros simples e montante simples voc precisa sempre estar atento aos perodos, lembre-se sempre de compatibilizar os perodos conforme expliquei. O mesmo deve acontecer nos clculos de descontos simples.

    Na biblioteca digital da Pearson tem um livro que apresenta um mtodo muito interessante para resolver problemas de matemtica financeira. Caso queira se aprofundar sobre o assunto consulte o livro de GIMENES, CRISTIANO MARCHI. MATEMTICA FINANCEIRA COM HP 12 C E EXCEL GIMENES. Pginas 29 a 30.

    Equivalncia de capitais em regime de juros simples

    O princpio de equivalncia, definido como Princpio Fundamental da Equivalncia, estabelece que dois ou mais esquemas financeiros so ditos equivalentes, a uma determinada taxa de juros, quando apresentam o mesmo valor atual ou mesmo valor de montante em qualquer data, denominada de data equivalente ou data de comparao.

    Segundo Ferreira (2008), os capitais envolvidos devero ser descontados ou acumulados conforme a data focal escolhida se encontre antes ou depois, dos mencionados capitais, considerando-os dentro do mesmo regime de capitalizao e da mesma taxa de juros.

  • LEIA A MAIS: http://matematicafinanceira.webnode.com.br/capitaliza%c3%a7%c3%a3o%20simples/equival%c3%aancia%20de%20capitais%20a%20juros%20simples-/

    Equivalncia de Capitais a Juros Simples.

    Dois (ou mais) capitais, com datas de vencimento diferentes, so ditos capitais equivalentes quando, transportados para uma mesma data, a mesma taxa, produzirem, nessa data, valores iguais.

    A data para a qual os capitais sero transportados chamada data focal. No regime de juros simples, a escolha da data focal influencia a resposta do problema. Isto significa que definida uma taxa de juro, e a forma de calculo (se racional ou comercial), dois capitais diferentes, em datas diferentes, podem ser equivalentes, se transportados para outra data, mesmo mantendo-se todas as outras condies do problema. (PARENTE, 1996).

    1.8.1 Formulas

    Para vencimentos anteriores a data focal

    Para vencimentos posteriores a data focal

    1.8.2 Exemplo

    1) Um empresrio tem os seguintes compromissos a pagar:

    R$ 3.000,00 daqui a 4 meses R$ 5.000,00 daqui a 8 meses R$ 12.000,00 daqui a 12 meses

    O empresrio prope trocar esses dbitos por dois pagamentos iguais, um para daqui a 6 meses e outro para daqui a 9 meses. Considerando a taxa de juros simples de 5% a.m. e a data focal no 270 dia, calcular o valor de cada pagamento.

    Soluo:

    Fluxo de caixa

  • Descontos simples

    Segundo Kuhner e Bauer (1996, p. 47) desconto simples o abatimento concedido sobre um ttulo de crdito em virtude de seu resgate antecipado. Representa, portanto, os juros cobrados e descontados antecipadamente pelos bancos nas operaes de desconto simples.

    Teixeira e Di Pierro Netto (1998) acrescentam que no regime de juros simples existem dois tipos de descontos: desconto comercial e desconto racional. A diferena entre eles est na base de clculo que cada um adota. Nesta unidade estudaremos o desconto comercial.

    Desconto: Valor de deduo (subtrao), aplicado sobre o valor nominal de um ttulo (Valor futuro ou valor a ser pago no vencimento) de uso corrente em operaes financeiras e comerciais. O desconto comercial uma conveno secularmente aceita e amplamente utilizada nas operaes comerciais e bancrias de curto prazo.

    No clculo de desconto, devemos conhecer os termos utilizados:

    Valor nominal (N), tambm chamado valor futuro (VF), valor de face ou valor de resgate o valor indicado no ttulo (importncia a ser paga no dia do vencimento);

    Valor atual (A), tambm chamado valor descontado o lquido pago (ou recebido) antes do vencimento;

    Perodo, tempo ou prazo (n) o nmero de dias compreendidos entre o dia em que se negocia o desconto do ttulo e o de seu vencimento, incluindo o primeiro e no o ltimo, ou, ento, incluindo o ltimo e no o primeiro;

    Taxa de desconto (i) a taxa de desconto negociada.

    Quando uma pessoa contrai uma dvida que ser paga no futuro, o devedor normalmente oferece um ttulo que comprova tal obrigao. De posse desse ttulo, o credor poder negociar o seu resgate antecipado, junto s Instituies Financeiras.

    Tipos de desconto

    Desconto Comercial (ou bancrio ou por fora) aquele cuja base de clculo o valor nominal do ttulo;

    Desconto Racional (ou por dentro) aquele cuja base de clculo o valor atual do ttulo.

  • Dos ttulos de Crdito usualmente negociados em operaes de desconto junto s Instituies Financeiras podemos citar:

    Notas Promissrias; Duplicatas; Letras de Cmbio; Cheques pr-datados.

    Os ttulos de crditos mais conhecidos so:

    Duplicata: o Ttulo emitido por pessoa jurdica (empresa) contra seu cliente (pessoa jurdica ou pessoa fsica),

    para quem foi vendida a mercadoria ou prestado servios;

    Nota Promissria: o Compromisso de pagamento futuro entre pessoas fsicas ou entre pessoa fsica e instituio

    financeira;

    Cheque pr-datado: o Os ttulos de crdito tm vencimentos determinados na sua emisso, mas o devedor pode desejar

    resgat-los antecipadamente ou o credor pode negoci-los vista com um banco. Para esses casos calculado um abatimento que denominamos DESCONTO.

    Letra de cmbio: o um comprovante de uma aplicao de capital com vencimento predeterminado; porm, um

    ttulo ao portador, emitido exclusivamente por uma instituio financeira.

    Desconto Comercial ou Por Fora

    Este tipo de desconto tambm conhecido como Desconto Bancrio devido sua ampla utilizao nas operaes de desconto de duplicatas e outros ttulos.

    O desconto aplicado quando um emprstimo saldado antes do vencimento previsto, observando que haja est possibilidade prevista no contrato efetuado no incio das operaes financeiras. Destacamos que ao antecipar dvidas com pouco tempo de antecedncia, os descontos no sero de valor alto. Muitas vezes mais vantagem aplicar o dinheiro que voc poderia antecipar a dvida, rendendo mais juros.

    O desconto comercial calculado pelo valor nominal do ttulo, ou seja, pelo valor expresso (escrito) no documento, por meio da expresso:

  • Onde:

    dc = desconto comercial

    N = valor nominal do ttulo

    i = taxa de juros aplicada

    n = perodo

    Suponhamos um ttulo de valor nominal de R$ 2000,00 faltando 4 meses para o seu vencimento, e voc vai descont-lo junto a uma instituio financeira, a qual cobra uma taxa comercial de 1% ao ms. Utilizando a frmula acima, teremos:

    Dc= 2000,00 x 0,01 x 4

    Dc= 80,00

    Uma vez realizado o desconto comercial, constata-se o valor lquido do ttulo comercial, chamado de Vc, pela diferena entre o valor nominal (N) e o desconto (dc), conforme demonstrado abaixo:

    Considerando o mesmo anterior acima, teremos:

    Vc= 2000,00 x (1 0,01 x 4)

    Vc= 2000,00 x (1 0,04)

    Vc= 2000,00 x 0,96

    Vc= 1920,00

    O V tem o mesmo significado de valor atual.

    Assim: Desconto comercial (d), bancrio ou por fora o equivalente ao juro simples, produzido pelo valor nominal do ttulo no perodo de tempo correspondente, e taxa fixada, este incidente sempre sobre o montante ou valor futuro.

    Formulando, temos:

    Devido sua natureza comercial, as operaes de desconto so normalmente aplicadas em perodos de dias, mas a taxa de desconto (i) negociada ao ms. Assim, devemos sempre observar a necessidade de converso para o perodo. Devemos converter, tambm, a taxa para a notao decimal.

    Agora sero apresentados alguns exemplos de descontos comerciais simples:

    Uma nota promissria no valor de R$ 3300,00 em seu vencimento, descontada 3 meses antes do seu prazo de resgate. Sabendo que a taxa de desconto comercial era de 12% a.a, qual foi o desconto? Qual foi o valor atual comercial?

    Primeira observao, as taxas e o tempo devem estar expressas na mesma unidade de tempo.

    Dados:

  • N = 3300,00; i = 12% a.a ; n = 3 meses ; d= ? ; A=?

    i = 12/12 = 1% a.m

    Frmula: dc = N . i . n ou A = N( 1 in)

    dc = N . i . n

    dc = 3300,00 . 0,01 . 3

    dc = 99 reais

    A = N ( 1 in)

    A = 3300,00 (1 0,01 . 3)

    A = 3300,00 (1- 0,03)

    A = 3300,00 x 0,97

    A = 3201,00 reais

    Ou tambm podemos calcular usando a compreenso que o valor atual igual ao valor nominal do ttulo menos o valor do desconto.

    A= 3300,00 99,00

    A= 3201,00

    O Desconto Racional ou Por Dentro

    Este tipo de desconto, raramente utilizado no mercado, difere pela base de clculo, pois, nesse caso, o desconto incide sobre o valor atual do ttulo em questo (TEIXEIRA; DI PIERRO NETTO, 1998, p. 37).

    Ao possuir um ttulo de valor nominal N, faltando n perodos para o seu vencimento, que ser descontado a uma taxa i de desconto racional, com um valor atual na data de desconto representado por V0, o valor em dinheiro do desconto racional pode ser encontrado utilizando a seguinte frmula:

    No entanto, ainda no possvel calcular o desconto, pois o valor de V0 s ser conhecido aps o clculo do desconto. Assim teremos de trabalhar a frmula para conseguir calcular o valor do dR.

    Sabemos que o valor atual V0 dado pela diferena entre o valor nominal (N) e o desconto racional (dR), se substituirmos esta informao na expresso acima teremos:

  • Considerando o ttulo com valor nominal de R$ 2000,00, com trs meses para o vencimento e taxa de 1% ao ms, qual o desconto racional? Utilizando a frmula acima:

    Dr= 2000,00 x 0,01 x 3

    (1 + 0,01 x 3)

    Dr= 60,00 / 1,03

    Dr= 58,25

    Com o valor do desconto racional poderemos calcular o valor de V0 com a frmula , ou seja,

    V ou A = 2000,00 58,25

    V= 1941,75

    Aplicaes do desconto racional

    Determinar o desconto racional de um ttulo de valor nominal equivalente a R$ 2500,00, pago 5 meses antes do vencimento a 1,5% a.m.

    DR = 2500,00 x 1,5/100 x 5 / (1 + 1,5/100 x 5)

    DR = 187,50 / 1,075 DR = R$ 174,42

    Na HP 12 C:

    2500 ENTER 1,5 % 5 x STO 1

    5 ENTER 1,5 % 1 + ENTER RCL 1 x>

    Jussara foi descontar um ttulo de R$ 1800,00, 4 meses antes do vencimento taxa de 2% a.m. Demonstre de acordo com o desconto racional simples, o valor a ser descontado do ttulo.

    Dr = N i n

    (1 + in)

    Dr= 1800,00 . 0,02 . 4

    ( 1 + 0,02 . 4)

    Dr= 144

    1,08

    Dr= 133,33

    Vamos praticar os clculos de descontos simples. Resolva os exerccios abaixo e depois assista ao vdeo com as correes.

    Antnio Marcos est querendo fazer o desconto de uma duplicata no valor de R$ 800,00. Calcule o valor atual do ttulo 3 meses antes do vencimento, pelo desconto comercial e o desconto racional, considerando a taxa de 18%

  • a.a em ambas as operaes.

    Vdeo 3 - Desconto comercial e Desconto Racional simples

    At agora os clculos realizados nas aplicaes propostas foram no regime de capitalizao simples e o que so juros compostos? Voc j ouviu falar em juros sobre juros?

    JUROS COMPOSTOS

    Segundo Medri (2004, p. 34):

    No regime de juros compostos ou capitalizao composta, apenas no fim do primeiro perodo os juros so calculados sobre o capital inicialmente aplicado; nos perodos seguintes, a partir do segundo, os juros incidem sobre o montante (capital mais juro produzido) constitudo no perodo anterior.

    Supondo que o nosso capital seja de R$ 1200,00 e a taxa de 2% ao ms, no sistema de juros compostos temos,

    No 1o. ms: 2% de 1200,00 = 24,00 (juros produzidos no 1o ms)

    1200,00 + 24,00 = 1224,00 (montante no final do 1o ms)

    No 2 o. ms: 2% de 1224,00 = 24,48 (juros produzidos no 2o ms)

    1224,00 + 24,48 = 1248,48 (montante produzido no 2 ms)

    No 3 o. ms: 2% de 1248,48 = 24,97 (juros produzidos no 3o ms)

    1248,48 + 24,97 = 1273,45 (montante produzido no 3o ms)

    Assim, no final do terceiro ms o Montante de R$ 1273,45.

    Neste sistema de juros, temos o clculo dos juros sobre os juros de cada perodo.

    Vamos determinar um sistema prtico do clculo dos juros compostos:

    O problema principal consiste em calcular o montante (M), produzido por um capital (C), aplicado taxa de i ao perodo, no fim de n perodos:

    Podemos escrever que, no sistema de juros compostos, o capital C, aplicado taxa i ao perodo, produz juros j e gera um montante M ao final de n perodos.

    O problema apresentado pode ser analisado do ponto de vista matemtico, com C= 1200,00 e i= 2% e n = 3. Assim:

    M= 1200,00 (1 + 0,02)3

    M= 1200,00 (1,02)3

    M= 1200,00 x 1,061208

    M= 1273,45

  • Voc sabia que na Matemtica Financeira, uma srie de valores pode ter a sua variao seja de crescimento ou decrescimento associada a progresses aritmticas, no caso pode exemplificar com operaes de juros simples ou geomtricas representadas pelos juros compostos.

    Veja outros exemplos, calculando o montante, o capital, o prazo e a taxa no sistema de capitalizao composta com resolues com frmulas e HP 12C.

    Observe se no visor da sua calculadora est aparecendo embaixo e direita, uma letra c. Se ele no estiver aparecendo, alguns clculos de juros compostos resultaro em valores diferentes dos exemplos fornecidos nesta disciplina, pois os clculos sero realizados com base na denominada conveno linear, no qual os juros so calculados de acordo com o regime de capitalizao composta para perodos inteiros e de acordo com o regime de capitalizao simples para perodos fracionrios. Ento preciso ativar o c para fazer os clculos de juros compostos, para isto aperte o STO EEX e o mesmo para retir-lo.

    Voc pode usar uma tabela financeira no Excel para calcular os ndices. Veja no link:

    www.calculofinanceiro.com/downloads/Tabela_Financeira.xls

    Calcule o valor futuro de uma aplicao de R$ 6350,00 a ser aplicado durante 24 meses, considerando a taxa de 1,5% a.m.

    M= C (1 + i)n

    M= 6350,00 (1 + 0,015)24

    M= 6350,00 x 1,429502812

    M = 9077,34

    6350 CHS PV 24 n 1,5 i FV

    Qual o capital que, emprestado a juros compostos, produz um montante de R$ 6084,03 em 6 meses, a 0,8% ao ms?

    M= C (1 + i)n

    6084,03 = C (1,008)6

    6084,03 = C . 1,048970302

    C = 6084,03

    1,048970302

    C= 5800,00

    6084,03 FV 6n 0,8 i PV

    Um capital de R$ 2200,00 foi aplicado taxa de 2% a.m e obteve um montante de R$ 2790,13, quanto tempo esse capital ficou aplicado?

    Dados:

    M = 2790,13; c = 2200,00; i = 2% a.m ; n = ?

    Frmula: M = C (1 + i)n

  • 2790,13 = 2200,00 (1 + 0,02)n

    2790,13 / 2200,00 = (1,02)n

    (1,02)n =1,268240909 (Caso da exponencial sem soluo - usar log)

    Log (1,02)n = log 1,268240909

    n . Log 1,02 = log 1,268240909

    n . 0,008600172 = 0,103201758

    n= 0,103201758/ 0,008600172

    n= 12 meses

    Na hp 12C

    2200,00 CHS PV 2790,13 FV 2i n

    A empresa de materiais de construo fez uma aplicao de R$ 50000,00 taxa de 1% ao ms, capitalizados a juros compostos durante 2 anos. Esta empresa obteve de juros na sua aplicao o valor de:

    M= 50000,00 (1 + 0,01)24

    M= 50000,00 x 1,269734649

    M= 63486,73

    Assim 63486,73 menos o valor inicial da aplicao de 50000,00 igual a R$ 13486,73 de juros.

    Na HP 12C

    50000 chs PV

    1 i

    24 n

    FV

    RCL PV +

    Quer aprender a utilizar corretamente seu carto de crdito? Nesta reportagem h vrias dicas:

    http://mais.uol.com.br/view/1575mnadmj5c/saiba-como-negociar-uma-divida-no-cartao-de-credito-04028D1B3170D4992326?types=A

    Nesta reportagem, a discusso focou muito bem os cuidados que devemos ter para no pagar juros altos, para que nossa dvida no vire uma bola de neve.

    Observe em uma tabela o montante simples e o montante composto de uma aplicao de R$ 15000,00, taxa de 2% ao ms, durante 18 meses. O que voc consegue perceber ao longo do tempo?

  • Nesta representao grfica vemos que ao longo do tempo os juros compostos tm um crescimento mais acelerado do que os juros simples se observssemos um perodo maior; enquanto os juros simples uma reta, os juros compostos fazem uma curva, pois tem crescimento exponencial.

    Agora que voc j estudou os juros simples e os juros compostos, quando algum te perguntar em que tipo de operaes usamos juros simples e juros compostos? Voc saber explicar que a primeira funo linear, que seu grfico uma reta e que os juros compostos uma funo exponencial e pela sua frmula tem crescimento mais acelerado. Em relao s possveis aplicaes, voc responder que a maior parte das operaes envolvendo dinheiro utiliza o regime de capitalizao composta, como por exemplo, a compras de carto de crdito, emprstimos bancrios, compras em longo prazo, aplicaes em Caderneta de Poupana e fundos de renda fixa, dentre outras operaes financeiras. J os juros simples ainda utilizado para clculos de operaes em curto prazo, em desconto simples de ttulos como duplicatas e at mesmo em algumas decises judiciais.

    Voc pode ver outros exemplos inclusive com o clculo da taxa neste site:

    http://www.brasilescola.com/matematica/juros-compostos.htm

    O atual sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, pois ele oferece uma maior rentabilidade se comparado ao regime de juros simples, onde o valor dos rendimentos se torna fixo, e no caso do composto o juro incide ms a ms de acordo com o somatrio acumulativo do capital com o rendimento mensal, isto , prtica do juro sobre juro. As modalidades de investimentos e financiamentos so calculadas de acordo com esse modelo de investimento, pois ele oferece um maior rendimento, originando mais lucro. Considere que uma pessoa aplique R$ 500,00 durante 8 meses em um banco que paga 1% de juro ao ms. Qual ser o valor ao final da aplicao? A tabela demonstrar ms a ms a movimentao financeira na aplicao do regime de juros compostos.

    No final do 8 ms o montante ser de R$ 541,43. Uma expresso matemtica utilizada no clculo dos juros compostos a seguinte: M = C * (1 + i)t, onde: M: montante C: capital i: taxa de juros t: tempo de aplicao

  • Obs.: Os clculos envolvendo juros compostos exigem conhecimentos de manuseio de uma calculadora cientfica. Exemplo 2 Qual o montante produzido por um capital de R$ 7.000,00 aplicados a uma taxa de juros mensais de 1,5% durante um ano? C: R$ 7.000,00 i: 1,5% ao ms = 1,5/100 = 0,015 t: 1 ano = 12 meses M = C * (1 + i)t M = 7000 * (1 + 0,015)12 M = 7000 * (1,015)12 M = 7000 * 1,195618 M = 8369,33 O montante ser de R$ 8.369,33. Com a utilizao dessa frmula podemos tambm calcular o capital de acordo com o montante. Exemplo 3 Calcule o valor do capital que, aplicado a uma taxa de 2% ao ms, rendeu em 10 meses a quantia de R$ 15.237,43? M: R$ 15.237,43 t: 10 i: 2% a.m. = 2/100 = 0,02 M = C * (1 + i)t 15237,43 = C * (1 + 0,02)10 15237,43 = C * (1,02)10 15237,43 = C * 1,218994 C = 15237,43 / 1,218994 C = 12500,00 O capital de R$ 12.500,00. Calculando a taxa de juros da aplicao. Exemplo 4 Qual a taxa de juros empregada sobre o capital de R$ 8.000,00 durante 12 meses que gerou o montante de R$ 10.145,93? C: R$ 8.000,00 M: R$ 10.145,93 t: 12 i: ?

    A taxa de juros da aplicao foi de 2%. Calculando o tempo da aplicao. (Uso de tcnicas de logaritmo) Exemplo 5 Por quanto tempo devo aplicar um capital de R$ 800,00 a uma taxa de juros de 3% ao ms, para que produza um montante de R$ 1.444,89? C: R$ 800,00 M: R$ 1.444,89 i: 3% a.m.= 3/100 = 0,03 t: ? 1.444,89 = 800 * (1 + 0,03)t 1.444,89 = 800 * 1,03t 1.444,89/800 = 1,03t

  • 1,03t = 1,806 (aplicar propriedade dos logaritmos) log1,03t = log1,806 t * log1,03 = log1,806 t * 0,013 = 0,257 t = 0,257/0,013 t = 20 O capital dever ficar aplicado por 20 meses.

    Por Marcos No Graduado em Matemtica Equipe Brasil Escola

    Praticando:

    Um comerciante contratou um emprstimo para realizar uma reforma em seu estabelecimento comercial. Ele emprestou R$ 15000,00 taxa composta de 2,5% ao ms para ser pago durante 3 anos. Calcule o valor futuro deste emprstimo e os juros pagos.

    Vdeo 4 - Montante composto e taxa equivalente

    Voc viu? Neste vdeo que precisei transformar o perodo anual para mensal e se eu quisesse transformar a taxa mensal para anual, qual deveria ser o procedimento? Neste caso necessrio usar clculos de taxas equivalentes, vou apresent-los na prxima unidade.

    Para discutir:

    Chegamos ao fim desta primeira unidade!

    AYRES JUNIOR, Frank. Matemtica financeira. So Paulo: McGraw-Hill, 1981.

    DANIIL, Peshkov. Handing over the key from a new home. Shutterstock. Disponvel em: . Acesso em: 3 ago. 2012.

    DUAN, Yang. Lovely baby with milk. Vector. Shutterstck. Disponvel em: . Acesso em: 3 ago. 2012.

    FERREIRA, Roberto G. Matemtica financeira aplicada. 6. ed. So Paulo: Atlas, 2008.

    FET. Vector icons with a pointer lights. Shutterstock. Disponvel em: . Acesso em: 3 ago. 2012.

    GORILLA. New business perspective. Shutterstock. Disponvel em: . Acesso em: 3 ago. 2012.

    ILUSTRATION, Vestor. Blue glossy web button with arrow right sign. Rounded square shape icon with shadow and reflection on white background. This vector illustration created and saved in 8 eps. Disponvel em: . Acesso em: 3 ago. 2012.

    KUHNER, Osmar Leonardo; BAUER, Udibert Reinoldo. Matemtica aplicada e anlise de investimentos. 2. ed. So Paulo: Atlas, 1996.

    LIGHTSPRING. Setting an important date on a calendar with a red pencil marking a day of the month representing organizing time and schedule. Shutterstock. Disponvel em: . Acesso em: 3 ago. 2012.

    MAREKULIASZ. Exponencitial growtch curve. Shutterstock. Disponvel em: . Acesso em: 3 ago. 2012.

  • MAXWELL, Scott. Calculator cofusion. Shutterstock. Disponvel em: . Acesso em: 3 ago. 2012.

    MEDRI, Waldir. Matemtica comercial e financeira. Londrina: EDUEL, 2004.

    RABTSEVICH, Boris. Steel bank safe with clipping path. Shutterstock. Disponvel em: . Acesso em: 3 ago. 2012.

    SAMANEZ, Carlos P. Matemtica financeira: aplicaes anlise de investimentos. So Paulo: Prentice Hall, 2002.

    SEVCIK, Joseph. Number - golden stars. Shutterstock. Disponvel em: . Acesso em: 3 ago. 2012.

    SHUTTERSTOCK. Dollar sign vector. Disponvel em: . Acesso em: 3 ago. 2012a.

    SHUTTERSTOCK. Vector open notepad with pencil XXL icon. Disponvel em: 3 ago. 2012b.

    SHUTTERSTOCK. Woman leaning at a percent symbol one white background. Disponvel em: . Acesso em: 3 ago. 2012c.

    TASHATUVANGO. Beautiful spring percent sign. Shutterstock. Disponvel em: . Acesso em: 3 ago. 2012a.

    TASHATUVANGO. The green sign on percent. Shutterstock. Disponvel em: . Acesso em: 3 ago. 2012b.

    TEIXEIRA, James; DI PIERRO NETTO, Scipione. Matemtica financeira. So Paulo: Makron Books, 1998.

    VASYL, Yakobchuk. Symbols of percent on falling red cubes. Shutterstock. Disponvel em: . Acesso em: 3 ago. 2012.

    VIKTOR, Zadorozhnyi. Accounting. Shutterstock. Disponvel em: . Acesso em: 3 ago. 2012.

    ZENTILIA. 3d rendering of an arrow symbol in gold on a white isolated background. Shutterstock. Disponvel em: . Acesso em: 3 ago. 2012.

    SUGESTES DE LEITURA

    CRESPO, Antnio Arnot. Matemtica comercial e financeira fcil. 13. ed. So Paulo: Saraiva, 2001.

    GUERRA, Fernando. Matemtica financeira com a HP12C. 3. ed. Florianpolis: Editora da UFSC, 2006.

    HARIKI, Seiji. Matemtica aplicada: administrao, economia, contabilidade. So Paulo: Saraiva, 2005.

    HAZZAN, Samuel; POMPEO, Jos Nicolau. Matemtica financeira. 5. ed. So Paulo: Saraiva, 2005.

    PARENTE, Eduardo Afonso de Medeiros. Matemtica comercial e financeira. So Paulo: FTD, 1996.

    SILVA, Sebastio M. Matemtica para os cursos de economia, administrao, cincias contbeis. So Paulo: Atlas, 1999.

    VIEIRA SOBRINHO, Jos Dutra. Matemtica financeira. 2. ed. So Paulo: Atlas, 1992.

  • WEB AULA 1

    Unidade 2 Matemtica Financeira

    O objetivo desta unidade apresentar as formas de calcular as prestaes em cada sistema de amortizao e o valor dos juros e da amortizao contidos na prestao.

    Em juros compostos, os clculos de taxas equivalentes se diferem dos juros simples. Para transformar as taxas, por exemplo, taxa de 10% ao ano para taxa mensal preciso entender o que so taxas nominais, efetivas e equivalentes.

    Fonte: Shutterstock (2012)

    TAXA DE JUROS NOMINAL

    a taxa de juros contratada em uma operao, ou seja, o valor expresso no contrato ou ttulo, e nem sempre a taxa efetivamente cobrada. Teixeira e Di Pierro Netto (1998) acrescentam que na taxa nominal o perodo ao qual a taxa se refere no coincide com o perodo de capitalizao.

    Por exemplo, suponhamos que um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a juros compostos durante trs meses a taxa de 70% ao ano, capitalizados mensalmente. Pode-se perceber que a taxa esta expressa em termos anuais, mas, a capitalizao se d em termos mensais. Isto indica que a remunerao do capital se d em termos mensais, portanto, faz-se necessria a diferenciao entre taxa nominal e taxa efetiva.

    A taxa Nominal quando o perodo de formao e incorporao dos juros ao Capital no coincide com aquele a que a taxa est referida.

    Exemplos:

    1300% ao ano com capitalizao mensal.

    480% ao semestre com capitalizao mensal.

    320% ao ano com capitalizao trimestral.

  • TAXA DE JUROS EFETIVA

    a taxa de juros real aplicada sobre o valor do ttulo, no perodo considerado, produzindo o montante igual ao valor nominal do ttulo. A taxa efetiva representada por if. No caso do exemplo acima a taxa efetiva pode ser calculada da seguinte maneira:

    onde:

    if = taxa efetiva

    i = taxa nominal

    k = frequncia de perodos relativos capitalizao de if

    A taxa efetiva quando o perodo de formao e incorporao dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa est referida.

    Exemplos:

    150% ao ms com capitalizao mensal.

    480% ao semestre com capitalizao semestral.

    80% ao ano com capitalizao anual.

    Veja este exemplo de clculo da taxa efetiva:

    Dada uma taxa nominal de 70% ao ano, determinar a respectiva taxa anual efetiva:

    Portanto,

    Fonte: Danilzan (2012)

    TAXA DE JUROS EQUIVALENTES

    Duas taxas so equivalentes no sistema de capitalizao composta, quando aplicadas pelo mesmo prazo, em um mesmo perodo, resultam em um mesmo montante. So calculadas pela seguinte frmula:

    Utilizando-se do mesmo exemplo anterior qual a taxa equivalente para um ano.

  • ou 79,58% ao ano

    Vamos calcular com a ajuda da HP 12C:

    Teclas Visor

    f FIN f 2 0,00

    100 CHS PV -100,00

    105 FV 105,00

    12 1/x n 0,0833

    i 79,59% a.a

    Qual a taxa anual equivalente taxa de 10% a.m.?

    Teclas Visor

    f FIN f 2 0,00

    100 CHS PV -100,00

    110 FV 110,00

    12 1/x n 0,0833

    i 213,84% a.a

    Qual a taxa mensal equivalente taxa de 140% a.a.?

    Teclas Visor

    f FIN f 2 0,00

    100 CHS PV -100,00

    240 FV 240,00

    12 n 12,00

    i 7,57% a.m.

    Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente a 20% ao ano?

    i= (1 + 0,20) 0,083333333 - 1

  • i= 1,015309470 1

    i= 0,015309470 x 100

    i= 1,53 % a.m

    HP 12C

    100 CHS PV

    120 FV

    12n

    i

    Calcular a taxa anual equivalente a 2% ao ms.

    i= (1+ 0,02)12 1

    i=1,26824180 1

    i= 0,26824180 x 100 = 26,82% a.a

    HP 12C

    100 CHS PV

    102 FV

    12 1/x n

    I

    Um fundo de renda fixa paga, atualmente, juros compostos de 30% ao ano. Calcule a taxa de juros equivalente:

    a) Mensal;

    b) Semestral;

    a) i = 30% a. a

    ie = ( 1 + i )n- 1

    ie = ( 1 + 0,30 ) - 1

    ie = ( 1,30 )0,08333 - 1

    ie = 1,022103557 1

  • ie = 0,022103557 x 100

    ie = 2,21% a . m

    NA HP 12C

    100 CHS PV

    130 FV

    12 n

    i

    b) i = 30 % a .m

    ie = ( 1 + i )n- 1

    ie = ( 1 + 0,30 ) - 1

    ie = ( 1,30 )0,5 - 1

    ie = 1,140175425 1

    ie = 0,140175425 x 100

    ie = 14% a.s

    NA HP 12C

    100 CHS PV

    130 FV

    2 n

    i

    possvel tambm programar a HP 12C para calcular diretamente as taxas equivalentes.

    Programa para converso de taxas na calculadora HP 12C.

    Saiba que o emulador da calculadora HP 12C no faz o clculo das taxas equivalentes.

  • Para iniciar este programa pressione:

    g GTO 00 Digite No visor

    f P/R 00-

    Enter 01-36

    1 02-1

    x y 03-34

    % 04-25

    + 05-40

    R/S 06-31

    1/x 07-22

    yx 08-21

    R/S 09-31

    yx 10-21

    1 11-1

    - 12-30

    1 13-1

    0 14-0

    0 15-0

    x 16-20

    g GTO 00 17-43.3300

    f P/R sai do modo programado

    Dados de entrada:

    1 taxa que tenho: R/S

    2 prazo que tenho: R/S

    3 prazo que quero: R/S

    Dados de sada:

    Taxa que quero

    Exemplo: determinar a taxa equivalente de 5% ao ms para ao ano.

  • 5 R/S

    30R/S

    360R/S resposta

    Taxa de 79,59% ao ano.

    Observao: Para HP Platinum digitar g GTO 000

    DESCONTOS COMPOSTOS

    Voc aprendeu sobre descontos simples, que existe o desconto comercial e o racional. O conceito de desconto no regime de capitalizao composta tambm o abatimento que obtemos quando saldamos uma dvida (um compromisso) antes de seu vencimento.

    Utilizamos principalmente o desconto composto para operao em longo prazo. Temos tambm dois tipos de descontos compostos: o racional e o comercial.

    Um clculo que fazemos em relao aos descontos, quando queremos saber o valor atual de um ttulo. Mas o que valor atual? Vamos conceituar:

    Valor atual, em regime de juro composto, de um capital N disponvel no fim de n perodos, taxa i relativa a esse perodo, o capital A que, colocado a juros compostos taxa i, produz no fim dos n perodos o montante N.

    Assim temos a seguinte frmula:

    A = N ( 1 + i )-n

    Tambm podemos utilizar calcular o valor atual usando outra frmula:

    N= Valor nominal

    A= Valor atual

    n= nmero de perodos antes do vencimento

    i= taxa de desconto

    D= desconto composto

    Vamos aos exemplos:

    1) Um comerciante quer liquidar, 3 meses antes do vencimento, uma dvida representada por um ttulo cujo valor nominal de R$ 120,00. Sabendo que o banco credor utiliza uma taxa de desconto composto de 3% a. m., ache o valor atual desse ttulo e o valor do desconto racional.

    Dados:

  • N= 120,00

    i = 3%

    n= 3 meses

    A= 120,00/ (1,03)3

    A= 120,00/1,092727

    A= 109,82

    D= N A

    D=120,00 109,82

    D= 10,18

    O valor do ttulo ser de R$ 109,82 e o desconto concedido ser de R$ 10,18

    Na HP 12C

    120,00 FV

    3n

    3i

    PV

    RCL FV +

    Veja este outro exerccio resolvido:

    Uma pessoa deseja descontar uma nota promissria 4 meses antes de seu vencimento. O valor nominal deste ttulo de R$ 1300,00. Sabendo que a taxa de 5% a.m taxa de desconto racional composto, calcule:

    Qual ser o valor atual cobrado?

    A= N (1 + i)-n

    A= 1300,00 (1,05)-4

    A= 1300,00 x 0,822702474

    A= 1069,51

    Na HP 12C

    1300,00 FV

  • 4n

    5i

    PV

    Se apertar o CHS tira o sinal negativo.

    Um ttulo com vencimento em 12 meses foi descontado 5 meses antes do vencimento. Sendo o valor nominal de R$ 5000,00 e a taxa de 1,5% a.m., calcular o lquido resgatado, no desconto racional composto.

    A= N (1 + i) n

    A= 5000,00 (1,015)-5

    A= 5000,00 x. 0,928260325

    A= 4641,30

    Na HP 12C

    5000,00 FV

    5 n

    1,5 i

    PV

    Vamos praticar agora um clculo de taxa equivalente e desconto racional composto:

    Calcular o valor atual de um ttulo de valor nominal igual a R$ 4000,00 descontados 3 meses antes do vencimento, taxa racional composta de 30% ao ano.

    Vdeo 5 - Desconto racional composto e taxa equivalente

    Conseguiu fazer o clculo de desconto composto? Transformou a taxa de 30% ao ano para mensal? Ainda tem mais exerccios para praticar!

    DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO

    O desconto comercial determinado aplicando-se uma taxa de desconto sobre o valor nominal (N) do ttulo de crdito.

    Usamos a frmula do valor atual do ttulo corresponde a:

    Ac= N ( 1 - i )n

    Vou apresentar um exemplo:

    Um ttulo com valor nominal de R$ 5000,00 ser descontado 5 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial composto de 1,5% ao ms, capitalizvel mensalmente.

    Ac= 5000,00 (1 0,015)5

    Ac= 5000,00 x (0,985)5

  • Ac= 5000,00 x 0,927216502

    Ac =4636,08

    Pela calculadora HP 12C:

    5000 CHS PV

    1,5 chs i

    5n

    FV

    Podemos tambm calcular o valor do desconto comercial composto:

    Dc = N [1 (1 i)n]

    Calcule o valor do desconto comercial composto de um ttulo de R$ 4000,00 descontados 3 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto de 2% a.m.

    Dc = 4000,00 [1 (1 0,02)3]

    Dc = 4000,00 [1 (0,98)3]

    Dc = 4000,00 [1 0,941192]

    Dc = 4000,00 . 0,058808

    Dc = 235,23

    Pela calculadora HP 12C:

    4000,00 CHS PV

    2 chs i

    3 n

    FV

    RCL PV

    +

    Quer fazer uma reviso dos descontos simples e compostos?

    Veja os slides neste link:

    www.bertolo.pro.br/MatFin/Slides/SlideMatFin5.pps

  • Fluxo de Caixa

    Quando voc realizar outros exemplos de exerccios de outros autores, alguns deles apresentaro um esquema de setas para representar as situaes que os enunciados dos exerccios pedem. Esta representao conhecida como Fluxo de Caixa.

    uma representao grfica que contempla informaes sobre as Entradas e Sadas de capital, realizada em certos perodos, marcada na linha de tempo com incio no instante t = 0. Este contribui para a compreenso dos estudos e os efeitos da anlise de diversas aplicaes, desde um investimento ou emprstimo, financiamento etc.

    A entrada de dinheiro para um caixa em um sistema bancrio poder ser indicada por uma seta para baixo enquanto que o indivduo que pagou a conta dever colocar uma seta para cima. A inverso das setas uma coisa comum e pode ser realizada sem problema.

    essencial que o fluxo de caixa seja utilizado para as finanas pessoais tambm, entender o que so receitas, despesas, saber gerenciar suas finanas. Neste link voc ouvir dicas sobre como gerenciar suas finanas:

    http://www.youtube.com/watch?v=NdtRV6kYisQ

    As atividades financeiras so muito antigas e at hoje se percebe a necessidade de conhecer mais sobre o assunto.

    Quer saber mais? Leia sobre alguns aspectos histricos da Matemtica Comercial e Financeira.

    De acordo com a histria da matemtica uma atividade muito antiga. Segundo os historiadores, os juros e os impostos existem desde a Babilnia no ano de 2000 a. C. Os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens. J havia emprstimo de sementes e outros produtos agrcolas. Percebe-se pelos textos histricos que as transaes comerciais estavam ligadas agricultura.

    Na Babilnia, os juros uma das prticas mais antigas da matemtica financeira. Existiam escritrios desde aproximadamente 500 a.C. Havia um sistema de trocas de mercadorias.

    Alguns autores nos relatam que no Egito, as mercadorias eram estimadas e pagas em metais como cobre, bronze, algumas vezes ouro ou prata.

    H relatos que j no sculo VII a.C., na Grcia surgiram as primeiras moedas semelhantes s atuais, com a impresso do cunho oficial.

    Os juros eram usados principalmente em relao s colheitas, por exemplo, as sementes eram emprestadas para a semeadura de certa localidade, assim o pagamento na prxima colheita era realizado nos seus prazos. Alguns textos relatam que o prazo para o pagamento era de um ano.

    Segundo os historiadores, houve uma grande expanso do comrcio, guerras para conquistar outras terras, o que motivou um desenvolvimento maior das operaes financeiras, na qual cada pas estabelecia a sua moeda.

    H um relato que os primeiros bancos para operaes financeiras foram criados pelos sacerdotes, pois a estes era confiada a custdia dos ouros, o que era um costume da poca.

    A moeda, como hoje a conhecemos, o resultado de uma longa evoluo. No incio no havia moeda. Praticava-se o escambo, simples troca de mercadoria por mercadoria, sem equivalncia de valor. Assim, quem pescasse mais peixe do que o necessrio para si e seu grupo trocava este excesso com o de outra pessoa que, por exemplo, tivesse plantado e colhido mais milho do que fosse precisar (O SURGIMENTO..., 2003).

    Ainda h povos com costumes primitivos que se utilizam deste sistema de trocas.

    Nestes links voc poder se aprofundar mais sobre os aspectos histricos:

    http://www.newton.freitas.nom.br/artigos.asp?cod=101

  • http://www.funcesi.br/Portals/1/Evolucao%20da%20matematica.doc

    http://portalmatematico.com/moedas/historiadinheiro.shtml

    Quer se tornar de gastador a poupador em 7 passos? Leia as orientaes neste link:

    http://educacaofinanceira.com.br/index.php/familias/conteudo/458

    H diversos livros que abordam a Histria da Matemtica e alguns tpicos de Matemtica Financeira, alguns deles so:

    IFRAH, Georges. Histria universal dos algarismos. Ed. Nova Fronteira.

    MATTOS, Antnio Carlos M. O modelo matemtico dos juros: uma abordagem sistmica. Ed. Vozes, Petrpolis.

    ROBERT, Jozsef. A origem do dinheiro. Ed. Global, 1982.

    Anuidades ou Pagamentos:

    Na introduo da unidade 1 ao apresentar a ementa, contextualizei as Sries de pagamentos. Este o nome dado as operaes financeiras que envolvem pagamento ou recebimentos parcelados e que devero ocorrer em prazos j preestabelecidos.

    Podemos classificar as sries de acordo com diversos critrios:

    Certas, aleatrias, uniformes, imediatas ou diferidas, postecipadas ou antecipadas, temporrias ou perptuas, peridicas ou aperidicas, inteiras ou fracionrias.

    Fonte: Modella (2012)

    Uma lista de quantias (chamadas usualmente de pagamentos ou termos), referidas a pocas diversas, chamada de srie ou anuidade, ou, ainda, renda certa. Se esses pagamentos forem iguais e igualmente espaados no tempo, a srie diz-se uniforme. A sucesso de pagamentos pode se destinar ao pagamento de uma dvida o que se denomina de Amortizao.

    As anuidades so classificadas segundo os prazos, valores, periodicidade e forma de pagamento.

    Em relao aos prazos estes podem ser temporrios, quando o perodo limitado, por exemplo, ao realizarmos um consrcio desde o incio sabemos qual o prazo final ou perptuo, quando o perodo infinito, por exemplo, quando se destina aposentadoria.

    Em relao aos valores: - uniformes ou constantes, pois os pagamentos so iguais. Quando os pagamentos ou recebimentos tm valores diferentes so chamados de variveis.

    Em relao ao perodo, estes podem ser peridicos, perodos iguais; ou no peridicos, perodos diferentes.

    Forma de pagamento: - antecipada, no inicio do perodo; - imediata, no fim do perodo; diferida, aps decorridos um certo perodo.

  • Os perodos e valores das anuidades so calculados por meio das frmulas do valor presente e valor futuro demonstradas posteriormente.

    Para entender melhor sobre a forma:

    a) Imediata: Quando o primeiro pagamento ou recebimento, ocorre no primeiro perodo, temos duas classificaes: postecipado e antecipado.

    Antecipadas: os pagamentos ocorrem no incio de cada perodo. Podemos citar, adiantamento do aluguel no ato da locao, compra com entrada.

    Postecipadas: os pagamentos ocorrem no fim de cada perodo, ou seja, a primeira prestao tem um prazo de carncia, por exemplo, carncia de 30 dias aps o contrato.

    b) Diferida, quando o primeiro pagamento ou recebimento no ocorre no primeiro perodo, neste caso tem um prazo de carncia que pode ser postecipado, quando o primeiro movimento ocorre um perodo aps o trmino da carncia ou diferimento ou antecipado, quando o primeiro movimento coincide com o final da carncia ou diferimento.

    Sries Uniformes Diferidas

    Srie diferida antecipada

    PMT

    Srie diferida postecipada

    Voc j fez algum emprstimo ou conhece algum que j fez? Imagino que sim, eu, por exemplo, j fiz alguns para comprar bens! importante que o administrador conhea sobre emprstimos. s vezes precisamos emprestar um dinheiro, mas pagamos com juros, claro, porm com parcelas dentro do nosso oramento.

  • EMPRSTIMOS

    Quando h um crdito direto a consumidor, este fica com um montante em dinheiro, que ser pago em prestaes. Os emprstimos podem ser realizados de curto e mdio prazo e tambm em longo prazo quando seu perodo for acima de 3 anos. Quando emprestado um dinheiro, normalmente faz-se um seguro de cubra o credor no caso de morte, inadimplncia, entre outras situaes. O valor mximo de um emprstimo oferecido de acordo com a renda do muturio. O pagamento de um emprstimo realizado em prestaes que se destina tanto amortizao da dvida como ao pagamento de juros.

    Normalmente h um perodo de carncia para o muturio.

    Nos financiamentos em longo prazo o devedor ou muturio tem tambm trs modalidades para resgatar sua dvida:

    pagando no vencimento o capital e os juros;

    pagando periodicamente os juros e no vencimento o capital;

    pagando periodicamente os juros e uma quota de amortizao do capital.

    Das trs modalidades, a mais interessante para o muturio a terceira.

    Cada uma das modalidades citadas constitui um sistema.

    Como nos emprstimos em longo prazo os juros so cobrados no regime composto, o no-pagamento de uma prestao torna maior o saldo devedor, pois juro sobre juro.

    Para calcular prestaes, valor presente, valor futuro, temos vrias frmulas, vou iniciar pelo Valor presente.

    SRIE DE PRESTAES PERIDICAS

    Entende-se como srie de prestaes peridicas o conjunto de pagamentos (ou recebimentos) de valor nominal igual, dispostos em perodos de tempo constantes, ao longo de um fluxo de caixa (TEIXEIRA; DI PIERRO NETO, 1998).

    Prestaes Postecipadas: so o tipo de srie na qual os pagamentos ocorrem no final de cada intervalo de tempo, ou seja, no existe pagamento na data zero;

    CLCULO DO VALOR DAS PRESTAES POSTECIPADAS

    CLCULO DO VALOR PRESENTE DAS PRESTAES POSTECIPADAS

    CLCULO DO VALOR FUTURO DAS PRESTAES POSTECIPADAS

  • Uma loja de eletrodomsticos est vendendo um refrigerador por R$ 1000,00 vista ou, este mesmo valor em 8 prestaes mensais iguais. Calcule o valor de cada prestao na seguinte hiptese com uma taxa de juros de 2,5% a.m:

    - 8 prestaes iguais sem entrada.

    Como sem entrada precisamos ativar a funo G END na HP 12C.

    Na HP12C

    G END

    1000,00 CHS PV

    8n

    2,5i

    PMT

    O Sra. Tereza deseja adquirir um veculo que custa vista R$ 30000,00. Para tanto, dar 30% do valor como entrada e o restante em 48 prestaes mensais iguais, sendo a primeira 30 dias aps a compra. Calcule o valor da entrada, e o valor das prestaes, sabendo que a taxa de juros cobrada pela financiadora de 2,3% ao ms.

    VALOR PRESENTE

  • Usualmente, costuma-se comparar valores de ttulos ou at mesmo de produtos vista, porm para que a comparao seja justa e igualitria os valores comparados devem ser trazidos a valor presente, ou seja, ttulos com vencimentos diferentes devem ser convertidos a valores atuais, para se comparar a melhor opo de compra ou investimento. Para isso utiliza-se a frmula que j estudamos:

    onde,

    PV = valor presente

    FV = valor futuro

    i = taxa de juros

    n = perodo

    Considerando que uma empresa possui um ttulo de R$ 8000,00 que vence em 6 meses, qual o valor atual do ttulo (PV), sabendo que a taxa de juros cobrada de 2% ao ms.

    PV = 8000,00 ( 1+ 0,02)-6

    PV= 7103,77

    Conforme vemos neste exemplo, pode-se calcular facilmente o valor atual (PV) por meio da utilizao da frmula dos juros compostos. Mas existem situaes nas quais os pagamentos so realizados em forma de prestaes (parcelas). Nestes casos, o valor atual (PV) realizado por meio do seguinte calculo:

    No qual temos:

    PV = Valor Presente (atual) i = taxa de juros do perodo PMT = Valor da Prestao n = nmero de perodos

    Por exemplo: Patrcia contraiu uma dvida para pagar em 18 prestaes mensais de R$ 280,00 taxa de juros de 2,5% ao ms. Qual o valor presente desta dvida?

    Neste caso usamos a frmula das prestaes postecipadas, no indica que tem entrada no ato da compra.

    VALOR FUTURO

    Quando se realiza investimento ou compra a prazo comum o empresrio comparar o montante pago ou investido com o valor presente, este montante calculado pela seguinte frmula:

  • onde,

    FV = valor futuro

    PMT = depsito ou prestao

    PV = valor presente

    i = taxa de juros

    n = perodo

    Um cliente pretende comprar a prazo um notebook em dez prestaes mensais de R$ 195,00, sabendo que a loja cobra 1% de juros ao ms qual o montante final (FV).

    FV= 195,00 x 0,1044622125/0,01

    FV= 195,00 x 10,4622125

    FV= 2040,13

    Na HP 12C

    195,00 PMT

    10n

    1 i

    FV

    Praticando...

    Resolva o exerccio abaixo e depois veja a resoluo no vdeo 6

    Um cliente deseja comprar um notebook e se dirigiu at uma loja que vende este produto por R$ 2500,00 vista ou em 10 prestaes sem entrada. Calcule o valor de cada prestao sabendo que a taxa de juros cobrada pela loja de 1% a.m.

    Vdeo 6 Prestao postecipada

    Em concursos geralmente no se pode fazer uso de calculadoras, ento tem mesmo que saber as frmulas. A HP 12C extremamente til nestes clculos de prestaes, como tambm para as prestaes antecipadas e diferidas.

    Prestaes Antecipadas:

    Caracterizam-se pelos pagamentos ocorrerem no incio de cada perodo, portanto o primeiro pagamento ocorre na data zero.

    Clculo do valor das Prestaes Antecipadas

  • Jaqueline recebeu pelo correio o extrato bancrio referente a uma conta de poupana em seu nome. O valor total disponvel para saque de R$ 4800,00 e o rendimento desta aplicao de 0,7% a.m. Sabendo que esta caderneta de poupana foi aberta h 36 meses, qual o valor depsito feito mensalmente por Jaqueline considerando este caso como uma srie antecipada?

    Como com entrada temos que ativar a funo G BEG na HP 12C:

    Joo Carlos est se preparando para se aposentar e resolveu investir, h algum tempo, numa aposentadoria privada. O rendimento desta aplicao de 0,8% a.m. e os depsitos mensais so no valor de R$ 320,00. Calcule o valor acumulado por Joo Carlos no final de um perodo de 15 anos, sabendo que o primeiro depsito foi feito no momento da aquisio do investimento.

    Certo equipamento eletrnico est sendo vendido em 26 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de R$ 3400,00 cada, sendo que o primeiro deve ser efetuado no ato da compra. Se a empresa vendedora cobra uma taxa de juro composto de 2 % a.m., qual o preo vista desse equipamento?

  • Praticando...

    Resolva o exerccio abaixo e depois veja a resoluo no vdeo 7

    Uma concessionria est vendendo um automvel por R$ 24000,00 vista ou em 24 prestaes, com uma taxa de juros de 2,5% a.m. Calcule o valor da prestao, sabendo que a primeira paga no ato da compra como entrada.

    Vdeo 7 - Prestao antecipada

    Para calcular prestaes antecipadas verifique sempre se a funo G BEG est ativada na sua HP 12C e agora temos um exemplo de prestaes diferidas.

    Prestaes diferidas

    Voc j viu nas mdias uma propaganda como esta?

    Tenho certeza que sim! So as prestaes com prazo de carncia. Os perodos e valores das anuidades so calculados por meio de diversas frmulas. Veja um exemplo:

    Um empresrio efetuou 6 depsitos mensais de R$ 1500,00, recebendo uma taxa de 2% a.m. de juros. Quanto ter esta pessoa 3 meses aps o ltimo depsito?

    PMT = R$ 1500,00

  • i = 2% a.m.

    n = 6 depsitos mensais

    k = 3 meses de carncia

    FV = ?

    FV = 1,792638854 x 5,601430890

    FV= 10041,34

    Utilizando a calculadora financeira HP 12C:

    1500,00 CHS PMT

    6 n

    2 i

    FV

    CHS PV

    CLx PMT

    3 n

    FV

    Sistemas de amortizao de emprstimos

    No sistema de amortizao usamos alguns conceitos mais comuns que so importantes para a compreenso do assunto:

    Definies Importantes:

    Amortizar: Significa devolver o capital que se tomou emprestado, pagamento do capital emprestado, realizado por meio de prestaes peridicas, mensais, bimestrais, trimestrais, semestrais etc.

    Encargos Financeiros: juros da operao que podem ser pr-fixados ou psfixados, constituindo-se custo para o devedor e retorno para o credor;

    Emprstimo: obteno de Capital para pagamento em uma ou mais prestaes, geralmente no associado compra de um bem;

    Juros: o custo do capital tomado sob o aspecto do muturio e o retorno do capital investido sob o aspecto do mutuante.

    Financiamento: Obteno de Capital para pagamento em duas ou mais prestaes, geralmente associado compra de um bem (bens de consumo durveis, veculos, imveis etc.). Quando um vendedor nos oferece um financiamento para a compra de um objeto, ele est fazendo uso de tabelas que foram produzidas por sua gerncia financeira.

    Prestao: o pagamento da amortizao mais os juros relativos ao saldo devedor imediatamente anterior ao perodo referente prestao. A taxa de juros pode ser pr ou ps-fixada, dependendo de clusula contratual. Entende-se como taxa pr-fixada aquela cuja expectativa de inflao futura j est incorporada taxa, enquanto na ps-fixada

  • existe a necessidade de apurar-se a desvalorizao ocorrida por conta da inflao, compensado-a por meio da correo monetria.

    Saldo devedor ou estado da dvida: o valor devido em certo perodo, imediatamente aps a realizao do pagamento relativo a este perodo.

    Prazo de carncia: Perodo compreendido entre a primeira liberao do emprstimo ou financiamento e o pagamento da primeira amortizao.

    Prazo total: Corresponde soma do prazo de carncia com o prazo de amortizao.

    Sistema de Amortizao Constante

    Neste sistema, a principal caracterstica que as amortizaes peridicas so todas iguais ou constantes, enquanto que no SFA as amortizaes crescem exponencialmente medida que o prazo aumenta. Teixeira e Di Pierro Netto (1998, p. 87) comentam que a prestao a ser paga ser decrescente, na medida em que os juros incidiro sobre o saldo devedor cada vez menor.

    As parcelas so calculadas por meio da diviso do valor do emprstimo pelo nmero de prestaes, ou seja, simples.

    Neste sistema, as amortizaes so peridicas, sucessivas e decrescentes em P.A. de uma dvida, na qual a prestao incorpora o principal mais encargos.

    Ex.: Sistema Financeiro de Habitao.

    Como montar uma tabela SAC? Acompanhe as explicaes: Primeiro temos que fazer o clculo da Amortizao:

    Para calcular a amortizao divide-se o capital emprestado pelo nmero de prestaes a serem pagas:

    A = C/ n

    Vamos usar algumas siglas para os clculos:

    Usaremos p para parcelas;

    Usaremos a para amortizao;

    j para juro;

    i para a taxa e

    sd para saldo devedor.

    Preparar o quadro demonstrativo para um emprstimo de R$ 24000,00 que ser pago em 6 prestaes mensais com uma taxa de 1% a.m. de juros, por meio do S.A.C.

    A= C/ n

    A= 24000,00/6

    A= 4000,00

    Agora vamos determinar os valores das parcelas, determinando o valor do juro a cada perodo.

    Primeiro perodo:

    J = 0,01 x 24000,00

    J= 240,00

  • Temos que p= a + J

    P= 4000,00 + 240,00

    P= 4240,00

    O saldo devedor corresponde a 24000,00 4000,00 =20000,00

    Considerando este saldo devedor, calcularemos a segunda parcela, fazendo o mesmo procedimento:

    J = 0,01 x 20000,00

    J= 200,00

    Temos que p= a + J

    P= 4000,00 + 200,00

    P= 4200,00

    O saldo devedor corresponde a 20000,00 4000,00 = 16000,00

    Considerando este saldo devedor, calcularemos a terceira parcela, fazendo o mesmo procedimento:

    J = 0,01 x 16000,00

    J= 160,00

    Temos que p= a + J

    P= 4000,00 + 160,00

    P= 4160,00

    O saldo devedor corresponde a 16000,00 4000,00 = 12000,00

    Considerando este saldo devedor, calcularemos a quarta parcela, fazendo o mesmo procedimento:

    J = 0,01 x 12000,00

    J= 120,00

    Temos que p=a + J

    P= 4000,00 + 120,00

    P= 4120,00

    O saldo devedor corresponde a 12000,00 4000,00 = 8000,00

    Considerando este saldo devedor, calcularemos a quinta parcela, fazendo o mesmo procedimento:

  • J = 0,01 x 8000,00

    J= 80,00

    Temos que p= a + J

    P= 4000,00 + 80,00

    P= 4080,00

    O saldo devedor corresponde a 8000,00 4000,00 = 4000,00

    Considerando este saldo devedor, calcularemos a sexta parcela, fazendo o mesmo procedimento:

    J = 0,01 x 4000,00

    J= 40,00

    Temos que p= a + J

    P= 4000,00 + 40,00

    P= 4040,00

    O saldo devedor corresponde a 4000,00 4000,00 = 0

    Representando os dados em uma tabela do Excel temos:

    Tabela 1 Tabela SAC

    Prestao Saldo Devedor Valor da Prestao Juros Amortizao

    0 R$ 24.000

    1 R$ 20.000 R$ 4.240,00 R$ 240,00 R$ 4.000,00

    2 R$ 16.000 R$ 4.200,00 R$ 200,00 R$ 4.000,00

    3 R$ 12.000 R$ 4.160,00 R$ 160,00 R$ 4.000,00

    4 R$ 8.000 R$ 4.120,00 R$ 120,00 R$ 4.000,00

    5 R$ 4.000 R$ 4.080,00 R$ 80,00 R$ 4.000,00

    6 R$ 0 R$ 4.040,00 R$ 40,00 R$ 4.000,00

    Fonte: Do autor

    Representando graficamente temos:

    Fonte: Do autor

    Agora hora de praticar e depois ver a resoluo no vdeo:

  • Preparar o quadro demonstrativo para um emprstimo de R$ 12000,00 que ser pago em 6 prestaes mensais com uma taxa de 2% a.m. de juros, por meio do S.A.C.

    Vdeo 8 - Clculo da Tabela SAC

    TABELA SAC

    Vamos construir uma tabela SAC, considerando um financiamento de R$ 20000,00, a ser pago em 18 meses, taxa de juros de 1,5% a.m.

    Tabela 2 Tabela SAC 2

    Prestao Saldo Devedor Valor da Prestao Juros Amortizao

    0 R$ 20.000

    1 R$ 18.889 R$ 1.411,11 R$ 300,00 R$ 1.111,11

    2 R$ 17.778 R$ 1.394,44 R$ 283,33 R$ 1.111,11

    3 R$ 16.667 R$ 1.377,78 R$ 266,67 R$ 1.111,11

    4 R$ 15.556 R$ 1.361,11 R$ 250,00 R$ 1.111,11

    5 R$ 14.444 R$ 1.344,44 R$ 233,33 R$ 1.111,11

    6 R$ 13.333 R$ 1.327,78 R$ 216,67 R$ 1.111,11

    7 R$ 12.222 R$ 1.311,11 R$ 200,00 R$ 1.111,11

    8 R$ 11.111 R$ 1.294,44 R$ 183,33 R$ 1.111,11

    9 R$ 10.000 R$ 1.277,78 R$ 166,67 R$ 1.111,11

    10 R$ 8.889 R$ 1.261,11 R$ 150,00 R$ 1.111,11

    11 R$ 7.778 R$ 1.244,44 R$ 133,33 R$ 1.111,11

    12 R$ 6.667 R$ 1.227,78 R$ 116,67 R$ 1.111,11

    13 R$ 5.556 R$ 1.211,11 R$ 100,00 R$ 1.111,11

    14 R$ 4.444 R$ 1.194,44 R$ 83,33 R$ 1.111,11

    15 R$ 3.333 R$ 1.177,78 R$ 66,67 R$ 1.111,11

    16 R$ 2.222 R$ 1.161,11 R$ 50,00 R$ 1.111,11

    17 R$ 1.111 R$ 1.144,44 R$ 33,33 R$ 1.111,11

    18 R$ 0 R$ 1.127,78 R$ 16,67 R$ 1.111,11

    Fonte: Do autor

    TABELA PRICE

    Segundo Samanez (2002, p. 208):

    Neste sistema, o muturio obriga-se a devolver o principal mais os juros em prestaes iguais e peridicas. mais utilizado pelas instituies financeiras e pelo comrcio em geral. Como os juros incidem sobre o saldo devedor que por sua vez decresce na medida em que as prestaes so pagas, estes so decrescentes e, conseqentemente, as amortizaes do principal so crescentes.

    A dvida quitada por meio de prestaes iguais, peridicas e sucessivas. Um exemplo utilizado no Brasil o CDC e tambm vendas a prazo divulgadas pelas grandes redes de varejo.

    O sistema francs ou sistema Price muito utilizado pelas instituies financeiras e pelo comrcio em geral. A amortizao crescente em progresso geomtrica de razo igual a (1+ i) e o juro decrescente.

    Frmulas:

  • Criado pelo matemtico ingls Richard Price, consiste na utilizao do sistema Francs, porm diferenciando-se pelo uso da taxa proporcional. No Sistema Price usa-se a taxa proporcional do regime de juros simples e NO a taxa equivalente composta.

    Exemplo:

    Um emprstimo de R$ 5000,00 a serem pagos em 5 prestaes com uma taxa de 1% ao ms. Calcule o valor das prestaes e monte a planilha utilizando o Sistema Price.

    Transformando a taxa:

    Na HP 12C

    G END

    5000,00 chs PV

    5n

    1i

    PMT

    Primeiro perodo:

    J = 0,01 x 5000,00

    J= 50,00

    Temos que p= a + J

    a= p - j

    a= 1030,20 50,00

    a= 980,20

    O saldo devedor corresponde a 5000,00 980,20 = 4019,80

  • Segundo perodo:

    J = 0,01 x 4019,80

    J= 40,20

    Temos que p=a + J

    a= p - j

    a= 1030,20 40,20

    a= 990,00

    O saldo devedor corresponde a 4019,80 990,00= 3029,80

    Terceiro Perodo

    Considerando este saldo devedor:

    J = 0,01 x 3029,80

    J= 30,30

    Temos que p=a + J

    a= p - j

    a= 1030,20 30,30

    a= 999,90

    O saldo devedor corresponde a 3029,80 999,90= 2029,90

    Quarto perodo

    Considerando este saldo devedor:

    J = 0,01 x 2029,90

    J= 20,30

    Temos que p=a + J

    a= p - j

    a= 1030,20 20,30

    a= 1009,90

    O saldo devedor corresponde a 2029,90 1009,90= 1020,00

  • Quinto perodo

    Considerando este saldo devedor:

    J = 0,01 x 1020,00

    J= 10,20

    Temos que p=a + J

    a= p - j

    a= 1030,20 10,20

    a= 1020,00

    O saldo devedor corresponde a 1020,00 1020,00= 0,00

    Preenchendo a tabela temos:

    Tabela 3 Tabela Price

    Prest. Saldo Devedor Valor da Prestao Juros Amortizao

    0 R$ 5.000,00 1 R$ 4.019,80 R$ 1.030,20 R$ 50