apostila matematica financeira

maTemáTica financeira

com HP-12c

AdministrAção regionAl do senAc no estAdo de são PAulo

Gerência de Desenvolvimento Sidney Zaganin Latorre

Coordenação TécnicaAndrea Cury Borges de Gouvea Tonanni

Apoio TécnicoPatrícia Vivaldo dos Santos

© Senac-SP 2006

Elaboração

Anísio Costa Castelo Branco

Atualização

Alexandre Francisco Zanata

Arnaldo Célio Freire Silva

Revisão GramaticalEdições Jogo de Amarelinha

Edição e ProduçãoEdições Jogo de Amarelinha

maTemáTica financeira com HP-12c

2006

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Matemática Financeira com HP-12C

Senac São Paulo

Sumário

1. OPeraçõeS matemáticaS báSicaS / 6Potência

RegRa de tRês

PoRcentagem

2. FunçõeS báSicaS da HP-12c / 9tecla [on]tecla [ . ]testes de funcionamento

teste nº 1 (usando as tecla [On] e [X]) teste nº 2 (usando as tecla [On] e [+]) teste nº 3 (usando as teclas [On] e [:])

teclado

a tecla [f] tecla [g] teclado branco

limPeza de RegistRo

Limpeza total (usando as teclas [On] e [-]) Limpeza do visor Limpeza dos registros estatísticos (“0” a “6”) Limpeza de programa Limpeza dos registros financeiros Limpeza de todos os registros

tecla [cHs] ou cHange signaltecla [sto] ou (stoRe)tecla [Rcl] ou (Recoll)tecla [Yx] Potenciação

Radiciação

tecla [1/x]tecla [%t] e [x><Y]tecla [%]tecla [%]cálculo em cadeia

3. FundamentOS da matemática Financeira / 19conceitos básicos

definições e teRminologias básicas

diagRama de fluxo de caixa

aPResentação das taxas

Regimes de caPitalização

4. JurOS SimPLeS / 23oPeRações de juRos simPles

juRos exato e juRo comeRcial

exeRcícios sobRe juRos simPles

exeRcícios de RefoRço

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5. JurOS cOmPOStOS /34conceitos de juRos comPostos

ValoR futuRo (fV) ou montante (m)difeRença entRe os juRos simPles e juRos comPostos

função “c” na HP 12c, teclas [sto] e [eex]ValoR PResente (PV) ou caPital (c)PRazo (n)função [fRac] e [intg]taxas equiValentes a juRos comPostos

exeRcícios sobRe juRos comPostos

exeRcícios de RefoRços

6.OPeraçõeS cOm taXaS de JurOS / 43taxas equiValentes

Programa para taxa equivalente com HP 12ctaxa oVeR equiValente

taxa acumulada de juRos (com taxas VaRiáVeis)taxa média de juRos

taxa Real de juRos

exeRcícios sobRe taxas juRos

7. deScOntOS / 51desconto Racional simPles ou “PoR dentRo”desconto bancáRio, ou comeRcial ou “PoR foRa”oPeRações com um conjunto de títulos

Prazo médio de um conjunto de títulosdesconto comPosto

relação em taxas de desconto simples e compostoexeRcícios sobRe desconto

8. SérieS uniFOrmeS de PagamentOS / 57ValoR PResente de uma séRie de Pagamento “PosteciPada”ValoR de PRestação de uma séRie “PosteciPada”númeRo de PRestações de uma séRie unifoRme de Pagamento “PosteciPada”cálculo da taxa de uma séRie de Pagamento unifoRme “PosteciPada”séRie unifoRme de Pagamentos “anteciPados”

Fórmulas para série de pagamentos antecipados Fórmula do valor presente Fórmula da prestação

ValoR futuRo de uma séRie unifoRme

exeRcício sobRe séRies unifoRmes de Pagamentos

9. SiStemaS de amOrtizaçãO de emPréStimOS e FinanciamentOS / 63sistema de amoRtização constante (sac)sistema PRice (ou fRancês) de amoRtização

10. aPLicabiLidade da matemática Financeira / 65ceRtificado de dePósito bancáRio (cdb) Recibo de dePósito bancáRio (Rdb)taxa inteRna de RetoRno (iRR) e ValoR PResente líquido (nPV)ValoR da PRestação de leasing

foRmação do PReço de Venda Pelo conceito do ValoR atual

reFerênciaS bibLiOgráFicaS / 72

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Potência

a)(-12)2=144

b)(2)5=32

c)(-2)4=16

d)(+5)+(-4)5–(-100-35)=-884

e)(150)/(-2)+[2*(40-20)2]=725

Regra de três

Regradetrêséaoperaçãoquenospermite,dadasduasgrandezas,diretaouinversamenteproporcionaisevariando-seovalordelas,determinaravariaçãodaoutragrandeza.Podesersimplesoucomposta.

CAPÍTULO 1OPERAÇÕES MATEMÁTICAS BÁSICAS

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1) Com100kgdetrigopode-sefazer85kgdefarinha.Quequantidadedefarinhapode-

seobtercom480kgdetrigo?

R.:408kg

2) Oitoeletricistaspodemfazerainstalaçãodeumacasaemtrêsdias.Dequantosdias

seiseletricistasprecisamparafazeromesmoserviço?

R.:Quatrodias

3) Se15mdecertotecidocustamR$90,00quantocustarão32mdessetecido?

R.:R$192,00

4) Naextremidadedeumamolaécolocadoumcorpodemassade10kgeverifica-se

queocomprimentodamolaéde42cm.Secolocarmosumpesode15kgnaextremi-

dadedessamola,qualseráseucomprimento?

R.:63cm

5) AoparticipardeumtreinodeFórmula1paradisputadapole position,umcompetidor,

imprimindovelocidadede200km/hfazopercursoem18segundos.Sesuavelocidade

fossede240km/h,quetempoeleteriagastadonopercurso?

R.:15segundos

Porcentagem

1) UmamultadeR$800,00sobreumvalordeR$8.000,00correspondeaquantos%

sobreovalor?

R.:10%

2) Osr.ManoeltemaplicadonapoupançaR$4.500.00,enomêsdejaneirovaiterum

rendimentode1,2%.Qualseráonovosaldodapoupançadosr.Manoel?

R.:R$4.554,00

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3) Dos350candidatosqueprestaramumconcurso,28 foramaprovados.Quala taxa

percentualdeaprovados?

R.:8%

4) Umapesquisafoirealizadaparaverificaraaudiênciadetelevisãodohorárionobre(20às

22h).Foramentrevistadas1.640residênciaseverificou-seque45%tinhamatelevisão

ligadanocanalA.Quantasresidênciasestavamcomatelevisãoligadanessecanal?

R.:738

5) Umprejuízode40milreaissobre200milreaisrepresentaque%deprejuízo?

R.:20%

6) OpreçodeumaparelhodesoméR$150,00.Parapagamentosàvistaédadoumdes-

contode30%.Nessascondições:

a) Qualaquantiaquecorrespondeaodesconto?

R.:R$45,00

b) Qualopreçoàvistadesseaparelhodesom?

R.:R$105,00

7) Transformeestasporcentagensemdecimais:

a)25,2% b)100,25% c)101,26% d)85,25% e)75,29% f)555,33%

8) Transformeosnúmerosdecimaisemporcentagem:

a)0,01 b)0,055 c)0,065 d)0,125 e)0,1565 f)0,1765

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NestecapítuloserãoabordadasasprincipaisfunçõesdacalculadoraHP-12C,ouseja,osconceitosbásicosrelevantesaodesenvolvimentodamatemáticafinanceiracomautilizaçãodesseequipamento.

Tecla [ON]Temafunçãodeligaredesligaracalculadora;porém,seacalculadorapermanecerligadasemuso,serádesligadaautomaticamenteentreseteeoitominutosaproximadamente.

Tecla [ . ]Permite que a calculadora opere em dois padrões de moeda, o brasileiro e o dólar.Vamosconsideraroseguinteexemplo:

R$ 1.425,56(padrãobrasileiro)

US$ 1,425,56(padrãodólar)

Estaconversãopodeserefetuadadaseguinteforma:

• Mantenhaacalculadoradesligada;

• Pressioneatecla[.]esegure;

• Pressioneatecla[ON]esolte.

Seacalculadoraestivernopadrãobrasileiro,passaráparaopadrãododólarevice-versa.

CAPÍTULO 2FUNÇÕES BÁSICAS DA HP-12C

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Testes de funcionamentoAcalculadoraHP-12Cpossuitrêstestesdeverificaçãoquantoaoseufuncionamento,umaespéciedecontroledequalidade,quepermite aousuárioumamaior confiabilidadedoproduto.

Teste nº 1 (usando as tecla [ON] e [x])

Procedimentos:

• Mantenhacalculadoradesligada;

• Pressioneatecla[ON]esegure;

• Pressioneatecla[x]esegure;

• Solteatecla[ON];

• Solteatecla[x].

Aofinaldoprocedimento,apareceránovisorapalavrarunningpiscando;issosignificaqueacalculadoraestáexecutandooTESTENº1.Emalgunssegundosapareceránovisoroseguinte:

Seapareceramensagem“ERRO9”,acalculadoraprecisadereparos,masseoresultadoforexatamenteaqueleobtidonoTESTENº1,acalculadoraestaráprontaparaouso.

Teste nº 2 (usando as tecla [ON] e [+])

Procedimento:



• Pressioneatecla[+]esegure;


• Solteatecla[+];

• Pressioneesoltequalquertecla,excetoatecla[ON].

- 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, USER f g BEGIN GRAND D.MY C PRGM

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Naverdade,oTESTENº2émuitosemelhanteaoTESTENº1,divergindoapenasnadu-raçãodeexecução,queéindeterminada;portanto,paracompletaroteste,énecessáriocumpriroprocedimentonº6.Emseguidaapareceráoseguinte:

Sevocêpressionaratecla[ON]otesteseráinterrompido.

Teste nº 3 (usando as teclas [ON] e [:])

Procedimento:



• Pressioneatecla[:]esegure;


• Solteatecla[:].

Pressionetodasasteclasdaesquerdaparaadireita,decimaparabaixo,ouseja,a1ªteclaaserpressionadaseráatecla[n]eaúltimaseráatecla[+].Lembre-se:énecessáriopres-sionartodasasteclas,inclusiveatecla[ON].Atecla[enter]serápressionadaduasvezes,tantonalinhatrêsquantonalinhaquatro.

Apósoprocedimentoconcluído, apareceránovisoronº12.Assimcomonos testesanteriores,acalculadoraestaráprontaparaouso.Masseprocedimentonãoforreali-zadocorretamente,apareceaexpressãoERRO9.Nestecaso,acalculadoranecessitadeconserto.

Teclado

OtecladodacalculadoraHP-12Cémultiuso,poisumamesmateclapodeserutilizadadetrêsmaneiras.

- 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, USER f g BEGIN GRAND D.MY C PRGM

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A tecla [f]

Atecla[f](amarelo)possuiduasfunçõesbásicas:

• 1ªfunção:pressionadoateclaouprefixo[f],poderemosacessartodasasfunções

emamarelodacalculadora;

• 2ªfunção:pressionadoateclaouprefixo[f]seguidadeumnúmero,seráapresen-

tadaaquantidadedecasasdecimaisasermostradanovisor.

Vejaoexemplo:

Digiteonúmero2,428571435esigaosprocedimentos:

Procedimento

(teclas)Visor

[f]e[9] 2,428571435

[f]e[8] 2,42857144

[f]e[7] 2,4285714

[f]e[6] 2,428571

[f]e[5] 2,42857

[f]e[4] 2,4286

[f]e[3] 2,429

[f]e[2] 2,43

[f]e[1] 2,4

[f]e[0] 2,

[f]e[9] 2,428571435

Tecla [g]

Atravésdateclaouprefixo[g],épossívelacessartodasasfunçõesemazul.

Teclado branco

Todasasteclaspossuememsuasuperfícieinformaçõesembranco,naverdadetudooqueémostradoembranconasteclasnãonecessitadefunçãoauxiliar,comovimosparafun-çõesemamareloeazul.

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Limpeza de registroApresentaremosasprincipaisformasdeexecutaralimpezadosregistrosouinformações,quesãoarmazenadasnotecladooumemóriasdacalculadora.

Limpeza total (usando as teclas [ON] e [-])

Procedimento:



• Pressioneatecla[-]esegure;


• Solteatecla[-].

Após aexecuçãodesta seqüênciadeprocedimentos,deve aparecer aexpressão “PRERROR”, indicandoque todososdados armazenadosnos registros, inclusiveospro-gramas, foram apagados. Portanto, é preciso tomar muito cuidado ao executar esteprocedimento.

Limpeza do visor

Autilizaçãodessa funçãoémuitosimples:bastapressionara tecla [CLx]eovisorserálimpo.

Limpeza dos registros estatísticos (0 a 6)

Com a seqüência de teclas [f] [ ∑ ] estaremos processando a limpeza dos registros esta-tísticos,ouseja,estaremoslimpandoosregistrosarmazenadosnasteclas[1],[2],[3],[4],[5]e[6].

Limpeza de programa

Procedimento:

• Pressionar[f][P/R]paraentrarnomododeprogramação;

• Pressionar[f][PRGM]paralimparoprograma;

• Pressionar[f][P/R]ou[ON]parasairdomododeprogramação.

Esteprocedimentosefaznecessáriodevidoàgrandedificuldadedeelaboraçãodeumpro-grama,ouseja,umprogramanãopodeserdestruídofacilmentesemamenorproteção.

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Limpeza dos registros financeiros

Registrosfinanceiros:

• [n]prazo;

• [i]taxa;

• [PV]PresentValueouValorPresente;

• [PMT]PeriodicPaymentouPrestação;

• [FV]FutureValueouValorFuturo.

Alimpezadosregistroséfeitaatravésdaseqüênciadeteclas[f][FIN].

Limpeza de todos os registros

Comaseqüênciadeteclas[f][REG],épossívelapagartodososregistros,ouseja,de0a9,de.0a.9eosregistrosfinanceiros,ficandoapenasosprogramassemseremapagados.

Tecla [CHS] ou CHANGE SIGNALEstateclaservebasicamenteparatrocarosinaldeumnúmero,ouseja,trocarosinalne-gativoparaopositivoevice-versa.

Tecla [STO] ou (STORE)Serveparaguardamosvaloresnasmemórias.AHPpossui20memóriasdiretas:de0a9ede.0a.9.

Consideremosqueonúmero145preciseserguardadonamemória,equedecidimosguar-darnamemória“5”.Comofazer?

Procedimento:

• Digiteonúmero145;

• Digite[STO];

• Digite[5].

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Tecla [RCL] ou (RECOLL)Estateclaservepararecuperarosnúmerosguardadosnasmemórias.Vamosverificarsuaaplicaçãocombasenosdadosdoitemanterior.

Procedimento:

• Digitar[RCL];

• Digitar[5].

Tecla [YX]Estateclapodeserutilizadatantopraefetuarmosoperaçõesdepotenciaçãoederadi-ciação.

Potenciação

Radiciação

Tecla [1/x]Estateclaénormalmenteutilizadaparademonstraroinversodeumnúmero.

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Tecla [%T] e [x><y]

A tecla [%T] é usada para calcular o percentual de um total, e a tecla [x><y] recupera o valor base de cálculo.

a) Uma pessoa possui os seguintes gastos mensais:

• Moradia R$450,00

• Educação R$500,00

• Combustível R$150,00

• Alimentação R$200,00

• Lazer R$250,00

Total R$ 1.550,00

Determinarquantorepresentapercentualmentecadavaloremrelaçãoaototaldosgastos.

Solução:

1.550 [ENTER]

450 [%T] 29,03%

[x><y] 500 [%T] 32,26%

[x><y] 150 [%T] 9,68%

[x><y] 200 [%T] 12,90%

[x><y] 250 [%T] 16,13%

100,00%

Tecla [∆%]

Estateclanosajudaacalcularadiferençapercentualentredoisnúmeros.

a) ConsiderequeumprodutopossuiumpreçodeR$132,75emjan/2006;emfev/2006o

preçodesseprodutopassouparaR$155,71.Qualfoiopercentualdeaumentodesse

produto?

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Dados:

Preçoemjan/2006:R$132,75

Preçoemfev/2006:R$155,71

Solução:

132,75 [ENTER]

155,71 [∆%]

17,30%

b) Nomêsdemarço/2006opreçodoprodutopassouparaR$141,00.Qualfoiopercen-

tualdedesconto?

Dados:

Preçofev/2006:R$155,71

Preçomar/2006:R$141,00

Solução

155,71 [ENTER]

141,00 [∆%]

-9,45%

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Tecla [%]Estateclaserveexclusivamenteparaocalculodepercentagem.

a) Calcular5%deR$10.450,00

Solução:

450.450 [ENTER]

5 [%]

R$ 522,50

Cálculo em cadeiaa) soma25,82+1.852,25+156,68=2.034,7525,82[ENTER]1852,25[+]156,68[+] 2.034,75 [STO] 1

b) subtração250–91,82–5,81=152,37250[ENTER]91,82[-]5,81[-] 152,37 [STO] 2

c) multiplicação21x18,41x1,0562=408,3421[ENTER]18,41[x]1,0562[x] 408,34 [STO] 3

d) divisão1.750,25:1,08=1.620,601.750,25[ENTER]1,08[:] 1.620,60 [STO] 5

e) adição,subtração,multiplicaçãoedivisão(memória1)–(memória2)x(memória3):(memória5)[RCL] 1[RCL] 2 [-][RCL] 3 [x][RCL] 5 [:]

474,30

Observação:asdemaisfunçõeseteclasdacalculadoraHP-12Cserãodemonstradascomaplicaçõespráticasdosconceitosdematemáticafinanceira.

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Conceitos básicos

Amatemáticafinanceiratemcomoobjetivobásicoestudaraevoluçãodovalordodinheironotempo(prof.CarlosShinoda).

Amatemáticafinanceiravisaestudarasformasdeevoluçãododinheirocomotemponasaplicaçõesepagamentosdeempréstimo(profs.SamuelHazzaneJoséNicolauPompeu).

Amatemáticafinanceiratemcomoobjetivoprincipalatransformaçãoemanuseiodefluxosdecaixa,comaaplicaçãodastaxasdejurosdecadaperíodo,paraselevaremcontaovalordodinheironotempo(prof.AbelardodeLimaPuccini).

Amatemáticafinanceiratemcomoobjetivoprincipalestudarovalordodinheiroemfun-çãodotempo(prof.AnísioCostaCasteloBranco).

Defi nições e terminologias básicas

Ovalorinicialdeumaoperaçãofinanceiraoucapitalinicialpodeserexpressopor:

(C )CAPITAL;

(PV )VALORPRESENTEouPRESENTVALUE;

( P )PRINCIPAL.

Define-secomovalorpresenteovolumederecursofinanceiroaplicadoouemprestadoemumadeterminadaoperação.

Algumaspalavrasouexpressõestambémpodemserassociadasaesteconjuntodedefini-çõesapresentadas,porexemplo:investimentoinicial,valoraplicadoetc.

CAPÍTULO 3FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

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JURO(J):éaremuneraçãoobtidaapartirdocapitaldeterceiros.Estaremuneraçãopodeocorrerapartirdedoispontosdevista:

• dequempaga:nessecaso,ojuropodeserchamadodedespesafinanceira,custo,

prejuízoetc.

• dequemrecebe:podemosentendercomosendorendimento,receitafinanceira,

ganhoetc.

TAXA(i ):éocoeficienteobtidodarelaçãodosjuros( J )comocapital( C ),quepodeser

representadoemformapercentualouunitária.Aterminologia“i“vemdoinglêsinterest,

quesignificajuro.

PRAZOouTEMPOouPERÍODOS( n ):éotemponecessárioqueumcertocapital( C )

aplicadoaumataxa(i)necessitaparaproduzirummontante(M).Nessecaso,operíodo

podeserinteirooufracionário.Vejamosumexemplo:

• períodointeiro:1dia;1mêscomercial(30dias),1anocomercial(360dias)etc.

• períodofracionário:3,5meses,15,8dias,5anosedoismesesetc.

Podemostambémconsiderarumperíodointeiroquandousamosaexpressãodotipo:um

períodode15dias,umperíodode30diasetc.

Ovalorfuturooumontanteserefereaovalorpresenteacrescidodovalorreferenteao

jurooriundodaoperação,epodeserexpressopor:

(M)MONTANTE(FV)VALORFUTUROouFUTUREVALUE

Diagrama de fluxo de caixa

Definimosfluxodecaixacomoamovimentaçãoderecursosmonetários(entradasesaídas

de caixa) de uma empresa ou de uma transação financeira em especial, dentro de um

períododetempo.

(+)entradas

tempo(n)

(-)saídas

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Apresentação das taxas

Astaxaspodemserapresentadasdeduasformas:aformapercentualeaformadecimalou

unitária.Vejaumexemplo.

EXEMPLONº1:Façaatransformaçãodasseguintestaxas:

Taxapercentual

TaxasdecimalouUnitária

25%

5%

1,5%

0,5%

0,025

0,02

0,0018

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Regimes de capitalização

Pode-sedefinircomoregimedecapitalizaçãooconjuntodemétodospelosquaisoscapi-taissãoremunerados.Osregimesdecapitalizaçãopodemsersimplesoucompostos,oumétodosdecapitalizaçãolineareexponencial,respectivamente.Conformeoexemplo:

EXEMPLONº2:SejaumcapitaldeR$1.000,00aplicadoaumataxade10%a.m.durantetrêsmeses.Qualovaloracumuladonofinaldecadaperíodopelosregimesdecapitalizaçãosimplesecomposto?

RegimedeCapitalizaçãoSimples

nCapital

AplicadoJuros de cada período

ValorAcumulado

1 R$ 1.000,00 R$1.000,00x10%=R$100,00 R$1.000,00+R$100,00=R$1.100,00

2 R$1.000,00 R$1.000,00x10%=R$100,00 R$1.100,00+R$100,00=R$1.200,00

3 R$1.000,00 R$1.000,00x10%=R$100,00 R$1.200,00+R$100,00=R$ 1.300,00

-Na HP-12C, poderemos usar as taxas naformapercentual.

-Nasfórmulas,somentepoderemosusarastaxasnaformadecimalouunitária.

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DIAGRAMADEFLUXODECAIXAPARAOREGIMEDECAPITALIZAÇÃOSIMPLES

M=R$1.300,00

C.i=R$100,00 C.i=R$100,00 C.i=R$100,00

C=R$1.000,00

RegimedeCapitalizaçãoComposta

nCapital

AplicadoJuros de cada período

ValorAcumulado

1 R$ 1.000,00 R$1.000,00x10%=R$100,00 R$1.000,00+R$100,00=R$1.100,00

2 R$1.100,00 R$1.100,00x10%=R$110,00 R$1.100,00+R$110,00=R$1.210,00

3 R$1.210,00 R$1.210,00x10%=R$121,00 R$1.210,00+R$121,00= R$ 1.331,00

DIAGRAMADEFLUXODECAIXAPARAOREGIMEDECAPITALIZAÇÃOCOMPOSTA

M=R$1.331,00

C.i=R$100,00 M1.i=R$110,00 M2.i=R$121,00

C=R$1.000,00

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Pode-seentendercomojurossimplesosistemadecapitalizaçãolinear,conformefoide-monstradonoitemsobreregimesdecapitalização.

NoBrasil,aaplicabilidadedossistemasdecapitalizaçãosimplesocorrebasicamentenassituaçõesemqueosperíodosnãosãointeiros.

Operações de juros simplesSerãoapresentadasváriasoperaçõesenvolvendojurossimples,ouseja,cálculodejuros,capital,taxaemontante.Paramelhorfacilitaracompreensão,asfórmulasserãodivididasemtrêsgrupos.

Nº 1º Grupo de Fórmulas Significado

1 J = FV – PV Fórmuladejuros

2 FV = PV + J Fórmuladomontanteouvalorfuturo

3 PV = FV – J Fórmuladocapitalouvalorpresente

EXEMPLONº3:QualovalordosjurosresultantedeumaoperaçãonaqualfoiinvestidoumcapitaldeR$1.250,18equegerouummontantedeR$1.380,75?

CAPÍTULO 4JUROS SIMPLES

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Senac São Paulo

Dados:

PV=R$1.250,18

FV=R$1.380,75

J=?

Solução 1:

J=1.380,75–1.250,18

J = R$ 130,57

EXEMPLONº4:UmaaplicaçãoobteveumrendimentolíquidodeR$78,25duranteumdeterminadotempo.Qualfoiovalorresgatado,sabendo-sequeaimportânciaaplicadafoideR$1.568,78?

Dados:

J=R$78,25

PV=R$1.568,78

FV=?

Solução 1:

FV=1.568,78+78,25

FV = R$ 1.647,03

EXEMPLONº5:QualovalordoinvestimentodegerouumresgatedeR$1.500,00,sa-bendo-sequeorendimentodesteinvestimentofoideR$378,25?

Dados:

FV=R$1.500,00

J=R$378,25?

PV=?

Solução 1:

PV=1.500,00–378,25

PV = R$ 1.121,75

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4 J = PV x i x n Fórmuladejurossimples

5 PV = J / i x n Fórmuladocapitalouvalorpresente

6 i = J / PV x n Fórmuladataxa

7 n = J / PV x i Fórmuladoprazo

EXEMPLONº6:DetermineojuroobtidocomumcapitaldeR$1.250,23durantecincomeses,comataxade5,5%aomês.

Dados:

PV=R$1.250,23

n=5mesesou150dias

i=5,5%a.m.

Solução1:

J=1.250,23x,055x5

J = R$ 343,81

EXEMPLONº7:QualfoiocapitalquegerourendimentosdeR$342,96durante11me-ses,aumataxade2,5%a.m.?

Dados:

PV=?

i=2,5%aomês

n=11meses

J=R$342,96

Solução 1:

PV=342,96/0,025x11

PV=342,96/0,275

PV=R$1.247,13

26


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EXEMPLONº8:PedropagouaoBancoExemploS.A.aimportânciadeR$2,14dejurosporumdiadeatrasosobreumaprestaçãodeR$537,17.Qualfoiataxamensaldejurosaplicadopelobanco?

Dados:

J=R$2,14

n=1dia

PV=R$537,17

i=?

Solução1:

i=2,14/537,17x1

i=2,14/537,17

i=0,003984x100

i=0,3984%aodia

imensal=0,3984x30

imensal = 11,95% ao mês

EXEMPLONº9:DurantequantotempofoiaplicadoumcapitaldeR$1.500,00quegerourendimentosdeR$351,00,comumataxade1,8%aomês?

Dados:

n=?

PV=R$1.500,00

i=1,8%aomês

J=R$351,00

Solução 1:

n=351/1.500x0,018

n=351/27

n=13meses


8 FV = PV (1 + i x n) Fórmuladomontanteouvalorfuturo

9 PV = FV / (1 + i x n) Fórmuladocapitalouvalorpresente

10 i(ac) = { ( FV / PV ) –1} x 100 Fórmuladataxaacumulada

2�


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EXEMPLONº10:QualovalorderesgatedeumaaplicaçãodeR$105.000,00aplicadosemumCDBde90dias,aumataxade1,92%aomês.

Dados:

FV=?

PV=R$105.000,00

i=1,92%aomês

n=90diasou(3meses)

Solução1:

FV=105.000(1+0,0192x3)

FV=105.000(1+0,0576)

FV=105.000(1,0576)

FV=R$111.048,00

EXEMPLONº11:DetermineovalordaaplicaçãoemumTítulodeRendaFixa,cujovalorderesgatebrutofoideR$84.248,00porumperíododetrêsmeses,sabendo-sequeataxadaaplicaçãofoide1,77%aomês.

Dados:

PV=?

FV=R$84.248,00

i=1,77%aomês.

n=3meses

Solução 1:

PV=84.248/(1+0,0177x3)

PV=84.248/(1+0,0531)

PV=84.248/(1,0531)

PV = R$ 80.000,00

2�


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EXEMPLONº12:JoaquimemprestouR$15,00deSalim.Apósseismeses,Salimresolveucobrarsuadívida.JoaquimefetuouumpagamentodeR$23,75aSalim.Qualfoiataxadejurosacumuladosnessaoperação?Qualfoiataxamensaldejuros?

Dados:

PV=R$15,00

FV=R$23,75

n=6meses

i(ac)=?

imensal=?

Solução 1:

i(ac)={(23,75/15)–1}x100

i(ac)={1,5833–1}x100

i(ac)=0,5833x100

i(ac) = 58,33% a.p. ou (ao semestre)

imensal=58,33:6

imensal = 9,72% a.m.

Juros exatos e juros comerciais

Quandofalamosemjurosexatos,estamosnaverdadenosreferindoaosdiasdocalendário,ouseja,devemosconsideraraquantidadedediasexistenteemcadamês:janeiro(31dias),fevereiro(28ou29dias)etc.Dessaforma,umanopodeter365ou366dias.

Nocasodojurocomercial,devemosconsiderarsempreummêsde30diase,sendoassim,umanocomercialvaitersempre360dias.

29


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EXEMPLONº13:UmaprestaçãonovalordeR$1.500,00venceuem01/02/01,sendoquitadaem15/03/01,comataxade60%aoano.Determineosjurosexatosecomerciaispagosnestaoperação.

Dados:

PV=R$1.500,00

i=60%aoano

VencimentodaPrestação:01/02/01

DatadoPagamento:15/03/01

Solução:

[f] 6

01.022001 [ENTER]

15.032001 [g] [∆DYS]

42 dias

a) J.E.=(1.500x0,6x42)/365=R$103,56

b) J.C.=(1.500x0,6x42)/360=R$105,00

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Exercícios sobre juros simples

Consideraroanocomercial(360dias)

1) QualovalordosjuroscorrespondentesaumempréstimodeR$5.000,00,peloprazo

decincomeses,sabendo-sequeataxacobradaéde3,5%aomês?

Resposta: R$ 875,00

2) UmcapitaldeR$12.250,25,aplicadodurantenovemeses,rendejurosdeR$2.756,31.

Determineataxacorrespondente.

Resposta: 0,025 ou 2,5% ao mês

3) UmaaplicaçãodeR$13.000,00peloprazode180diasobteveumrendimentodeR$

1.147,25.Qualataxaanualcorrespondenteaessaaplicação?

Resposta: 0,049028% ao dia ou 17,65% ao ano

4) Sabendo-sequeosjurosdeR$7.800,00foramobtidoscomumaaplicaçãodeR$9.750,

àtaxade8%aotrimestre,pede-sequecalculeoprazo.

Resposta: 10 trimestres ou 2,5 anos

5) Qualocapitalque,àtaxade2,8%aomês,rendejurosdeR$950,00emumano?

Resposta: R$ 2.827,38

6) UmempréstimodeR$21.749,41éliquidadoporR$27.612,29nofinalde152dias.

Calcularataxamensaldejuros.

Resposta: 5,32% ao mês

7) CalcularovalordosjurosedomontantedeumaaplicaçãodeR$21.150,00,feitade

3,64%aomês,peloprazode72dias.

Resposta: J = R$ 1.847,66 e FV = R$ 22.997,66

8) CalcularovalorfuturodaaplicaçãodeumcapitaldeR$7.565,01,peloprazode12

meses,àtaxade2,5%aomês.


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9) DeterminarovalorpresentedeumtítulocujovalorderesgateédeR$56.737,59,

sabendo-sequeataxade jurosé2,8%aomêseque faltamtrêsmesesparaoseu

vencimento.


10)Emquantotempoumcapitalaplicadoa2,95%aomêsdobraoseuvalor?

Resposta: 33 meses e 27 dias

Exercícios de reforço

1. DeterminarquantorenderáumcapitaldeR$60.000,00aplicadoàtaxade24%aoano,

durantesetemeses.


2. UmcapitaldeR$28.000,00,aplicadoduranteoitomeses,rendeujurosdeR$11.200,00.

Determinarataxaanual.

Resposta: 60% ao ano.

3. Durante155dias,certocapitalgerouummontantedeR$64.200,00.Sabendo-seque

ataxadejuroséde4%aomês,determinarovalordocapitalaplicado.


4. QualovalordosjuroscontidosnomontantedeR$100.000,00,resultantesdaaplicação

decertocapitalàtaxade42%aoano,durante13meses?


5. Qual o valor a ser pago, no final de cinco meses e 18 dias, correspondente a um

empréstimo de R$ 125.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 27% ao

semestre?

Resposta: R$ 156.500,00

6. EmquantotempoumcapitaldeR$800,00,aplicadoàtaxade0,1%aodia,geraum

montantedeR$1.000,00?

Resposta: R$ 250 dias ou 8,333 meses

Os exercícios de reforço têm como objetivo principal complementar os exemplosapresentadosemsaladeaulaeosexercíciospraticadospelosalunos.

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7. UmcapitaldeR$50.000,00foiaplicadododia19/06/X1eresgatadoem20/01/X2.

Sabendo-sequeataxadejurosdaaplicaçãofoide56%aoano,calcularovalordos

juros,considerando-seonúmerodediasefetivosentreasduasdatas.


8. UmaempresaaplicouR$2.000,00nodia15/07/XXeresgatouessaaplicaçãonodia

21/07/XXporR$2.018,00.Qualfoiataxamensalderendimentoproporcionadapor

essaoperação?

Resposta: 4,5% ao mês.

9. Calcularovalordocapitalque,aplicadoàtaxade50,4%aoano,durantedoisanose

trêsmesesproduzummontantedeR$600.000,00.

Resposta: R$ 281.162,14

10.AofimdequantotempoocapitaldeR$40.000,00,aplicadoàtaxade5%aomês,

produzR$18.600,00dejuros?

Resposta: 9,3 meses, ou 279 dias.

11.Obteve-seumempréstimodeR$10.000,00paraserliquidadoporR$14.675,00no

finaldeoitomesesemeio.Qualataxadejurosanualcobradanessaoperação?


12.Emquantotempoumcapitalaplicadoa48%aoanodobraoseuvalor?

Resposta: 2,0833 anos ou 25 meses.

13.Aquetaxadejurosumcapitalaplicadodurantedezmesesrendejurosiguala¼doseu

valor?


14.Um capital emprestado gerou R$ 96.720,00 de juros. Sabendo-se que o prazo

da aplicação foi de 13 meses e a taxa de juros de 6% ao mês, calcular o valor do

montante.

Resposta: R$ 220.720,00

15.EmquantosdiasumcapitaldeR$270.420,00produzirájurosdeR$62.304,77auma

taxade5,4%aomês?

Resposta: 128 dias.

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16.DeterminarocapitalnecessárioparaproduzirummontantedeR$798.000,00nofinal

deumanoemeio,aplicadoaumataxade15%aotrimestre.

Resposta: R$ 420.000,00

17.AaplicaçãodeR$35.600,00gerouummontantedeR$58.028,00no finaldenove

meses.Calcularataxaanual.


18.CertocapitalaplicadogerouummontantedeR$1.000,00.Sabendo-sequeataxade

juroséde5%aomêseoprazodeoitomeses,calcularovalordosjuros.

Resposta: R$ 285,71

19.DeterminaromontantecorrespondenteaumaaplicaçãodeR$450.000,00,por225

dias,àtaxade5,6%aomês.

Resposta: R$ 639.000,00

20.Calcularovalordocapitalque,aplicadoaumataxade6,2%aomês,por174dias,

produziuummontantedeR$543.840,00.

Resposta: R$ 400.000,00

21.Um título de renda prefixada foi adquirido por R$ 80.000,00 e resgatado por R$

117.760,00nofinaldeoitomeses.Calcularataxamensaldejuros.


22.EmqueprazoumaaplicaçãodeR$500.000,00possibilitaoresgatedeR$614.000,00

àtaxade7,2%aomês?

Resposta: 3,167 meses ou 95 dias.

23.AquetaxaanualdevoaplicarumcapitaldeR$275.000,00paraobterjurosde177.320,00

nofinalde186dias?

Resposta: R$ 124,8% ao ano.

A lista de exercícios de reforço foi extraída de SOBRINHO, José Dutra Vieira, Matemática Financeira (ver referências ao final do livro).

3�


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Conceitos de juros compostos

Podemosentenderosjuroscompostoscomosendooquepopularmentechamamosdejurossobrejuros.Naverdade,osjurossãocalculadostomandocomobaseomontante,conformeodiagramadefluxodecaixaabaixo.

Observenovamenteademonstraçãodoregimedecapitalizaçãocomposta.Matematica-mente,ocálculoajuroscompostoséconhecidoporcálculoexponencialdejuros.

RegimedeCapitalizaçãoComposta

No Capital Aplicado

Juros de cada períodoValor

Acumulado ou Montante

1 R$1.000,00 R$1.000,00x10%=R$100,00 R$1.000,00+R$100,00=R$1.100,00

2 R$1.100,00 R$1.100,00x10%=R$110,00 R$1.100,00+R$110,00=R$1.210,00

3 R$1.210,00 R$1.210,00x10%=R$121,00 R$1.210,00+R$121,00=R$1.331,00

DIAGRAMADEFLUXODECAIXAPARAOREGIMEDECAPITALIZAÇÃOCOMPOSTA

M=R$1.331,00

C.i=R$100,00M1.i=R$110,00M2.i=R$121,00

C=R$1.000,00

CAPÍTULO 5JUROS COMPOSTOS

3�


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Valor futuro (FV) ou montante (M)

EXEMPLONº14:CalcularomontantedeumcapitaldeR$5.000,00aplicadoàtaxade4%aomês,durantecincomeses.

Dados:

FV=?

PV=R$5.000,00

i=4%aomês

n=5meses

Diferença entre os juros simples e juros compostos

EXEMPLONº15:CalcularomontantedeumcapitaldeR$50.000,00,aplicadoàtaxade15%aomês,para29dias,30diase31dias,pelosregimesdejurossimplesejuroscom-postos.

Juros Simples

a. n=29dias;FV=50.000(1+0,15x29)=R$57.250,00(J.Simples>J.Compostos)

30

b. n=30dias;FV=50.000(1+0,15x30)=R$57.500,00(J.Simples=J.Compostos)

30

c. n=31dias;FV=50.000(1+0,15x31)=R$57.750,00(J.Simples<J.Compostos)

30

Juros Compostos

a) n=29dias; FV=50.000(1,15)29/30=R$57.232,75

b) n=30dias; FV=50.000(1,15)30/30=R$57.500,00

c) n=31dias; FV=50.000(1,15)31/30=R$57.768,50

FV = PV ( 1 + i ) n

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Função C na HP-12C, teclas [STO] e [EEX]Comaseqüênciadeteclas[STO][EEX],apareceránovisordacalculadoraHP-12CaletraC.SealetraCnãoestiveraparecendonovisor,aHP-12Cfazessecálculocombasenachamada“convençãolinear”,emqueosjurossãocalculadosdeacordocomoregimedecapitalizaçãocompostoparaperíodosinteirosedeacordocomoregimedecapitalizaçãosimplesparaperíodosfracionários.Vamoscomprovar:

EXEMPLONº16:CalcularovalorfuturodeumaaplicaçãodeR$1.450.300,00,àtaxade15%aoano,durante3,5anos.

Dados:

PV=R$1.450.300,00

i=15%aoano

n=3,5anos.

ObservequeexisteumadiferençadeR$5.777,83,vejamosoporquê.

1ºPASSO:determinarovalorfuturoparaoperíododetrêsanos(períodointeiro)peloregimedejuroscompostos.

FV(3anos)=1.450.300(1,15)3=R$2.205.725,01

2ºPASSO:determinarovalordosjuroscorrespondentesameioano(períodofracionário)peloregimedejurossimples.

J(meioano)=(2.205.725,01x0,15x180)/360=R$165.429,38

3ºPASSO:determinarovalorfuturototal(3,5anos)

FV(3,5anos)=R$2.205.725,01+R$165.429,38=R$2.371.154,39

3�


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Valor presente (PV) ou capital (C)

EXEMPLONº17:Nofinaldedoisanos,oSr.CarlosdeveráefetuarumpagamentodeR$2.000,00referenteaovalordeumempréstimocontratadonadatadehoje,maisosjurosdevidos,correspondentesaumataxade4%aomês.Pergunta-se:Qualovalorempres-tado?

Dados:

FV=R$2.000,00

i=4%aomês

n=24meses

PV=?

Prazo (n)

ou n =

PV = FV / ( 1 + i ) n

3�


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EXEMPLONº18:EmqueprazoumempréstimodeR$24.278,43podeserliquidadoemumúnicopagamentodeR$41.524,33,sabendo-sequeataxacontratadaéde3%aomês?

Dados:

n=?

PV=R$24.278,43

FV=R$41.524,33

i=3%aomês

Funções [FRAC] e [INTG]

Atravésdafunção[FRAC],épossíveleliminaraparteinteiradeumnúmeroemanterapartefracionária.

Atravésdafunção[INTG]épossíveleliminarapartefracionáriadeumnúmeroemanteraparteinteira.

Vamoscomprovar:

TomandocomobaseoEXEMPLONº18,temosqueoprazofoide18,156731...meses;observequeexisteumapartefracionária,quenestecasorepresentaaquantidadededias.Paracalcularmosaquantidadededias,bastamultiplicaraparte fracionáriapor30(mêscomercial).

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SoluçãoÚnica.

Estandocomonúmero18,156731...novisordacalculadoraHP-12C,observaroprocedi-mentoaseguir:

[g]FRAC30[x]

4,701928dias

nocasodedias,poderemosarredondaronúmeroparamaior,entãopoderemosdizerquearespostadoEXEMPLONº18seja:18mesese5dias.

ParaomesmoEXEMPLONº18,poderemoseliminaraparte fracionáriae ficarcomaparteinteira,fazendoaseqüênciadeteclas:[g]INTG.

Taxas equivalentes a juros compostos

EXEMPLONº19:Aloja“ArriscaTudo”financiaavendadeumamercadorianovalordeR$10.210,72,sementrada,parapagamentoemumaúnicaprestaçãodeR$14.520,68nofinalde210dias.Qualataxamensalcobradapelaloja?

Dados:

i=?

PV=R$10.210,72

FV=R$14.520,68

n=210dias

�0


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Exercícios sobre juros compostos

1. Determinaromontante,aofinaldedezmeses,resultantedaaplicaçãodeumcapitalde

R$100.000,00àtaxade3,75%aomês.

Resposta: R$ 144.504,39

2. UmapessoaemprestaR$80.000,00hojeparareceberR$507.294,46nofinaldedois

anos.Calcularastaxasmensaleanualdesseempréstimo.

Resposta: 8% ao mês, ou 151,817% ao ano.

3. Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma instituição financeira é

de12,486%,determinarqualoprazoemqueumempréstimodeR$20.000,00será

resgatadoporR$36.018,23.

Resposta: cinco trimestres (ou 15 meses).

4. Quantodevoaplicarhoje,àtaxade18,00%aoano,paraterR$1.000.000,00aofinal

de19meses?

Resposta: R$ 769.461,37

Exercícios de reforço

1. UmaempresaobtémumempréstimodeR$700.000,00queseráliquidado,deuma

sóvez,aofinaldedoisanos.Sabendo-sequeataxadejuroséde25%aosemestre,

calcularovalorpeloqualesseempréstimodeveráserquitado.

Resposta: R$ 1.708.984,38

2. Emqueprazoumaaplicaçãode374.938,00,àtaxade3,25%aomês,geraumresgate

deR$500.000,00?

Resposta: nove meses

3. UmterrenoestásendooferecidoporR$4.500,00àvistaouR$1.500,00deentradae

maisumaparceladeR$3.500,00,nofinaldeseismeses.Sabendo-sequenomercado

ataxamédiaparaaplicaçãoemtítulosderendaprefixadagiraemtornode3,5%ao

mês(taxalíquida,istoé,comoImpostodeRendajácomputado),determinaramelhor

opçãoparauminteressadoquepossuarecursosdisponíveisparacompraroterreno.

Resposta: A melhor opção é comprá-lo a prazo.

�1


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4. Aquetaxadejurosumcapitalaplicadopodeserresgatado,nofinalde17meses,pelo

dobrodoseuvalor?


5. Emquantotempoumcapitalpodeproduzirjurosiguaisa50%doseuvalor,seaplicado

a3,755%aomês.

Resposta: 11 meses.

6. Aaplicaçãodecertocapital,à taxade69,588%aoano,gerouummontantedeR$

820.000,00nofinaldeumanoetrêsmeses.Calcularovalordosjuros.

Resposta: R$ 396.288,79

7. Oqueémaisvantajoso:aplicarR$10.000,00portrêsanos,ajuroscompostosde3%ao

mês,ouaplicaressemesmovalor,pelomesmoprazo,ajurossimplesde5%aomês?

Resposta: Aplicar a juros compostos de 3% ao mês.

8. Nofimdequantotempoumcapital,aplicadoàtaxade4%aomês,quadruplicaoseu

valor…

• Noregimedecapitalizaçãocomposta?(Resposta: 35,35 meses)

• Noregimedecapitalizaçãosimples?(Resposta: 75 meses)

9. QualomontanteproduzidopelaaplicaçãodeR$580,00,àtaxade17,5%aoano,pelo

prazode213dias?

Resposta: 638,07

10.Qualovalordocapitalque,aplicadoà taxade18%aotrimestredurante181dias,

produziuummontantedeR$5.000,00?


11.AaplicaçãodeR$211.009,90proporcionouumresgatedeR$322.033,58nofinalde

seismeses.Determinarastaxasmensaleanualdessaoperação.

Resposta: 7,3% ao mês e 132,91% ao ano.

12.Certaaplicaçãorende0,225%aodia.Emqueprazouminvestidorpoderárecebero

dobrodasuaaplicação?

Resposta: 308,41 dias ou 309 dias.

�2


Senac São Paulo

13.AaplicaçãodeR$280,00proporcionouumrendimentodeR$240,00nofinalde208

dias.Determinarataxadiária,mensal,trimestraleanualdejuros.

Resposta: 0,2981% a.d; 9,3392% a.m; 30,7156% a.t. e 191,9505% a.a.

14.Em 154 dias uma aplicação rendeu 21,43%. Calcular as taxas mensal e anual

equivalentes.

Resposta: 3,85% a.m. e 57,44% a.a.

15.Umbancocobra20%a.a.dejuros(alémdacorreçãomonetária),numaoperaçãode

capitaldegiro.Quantocobraráparaumaoperaçãoem182dias?(Consideraroano

comosendo360dias.)

Resposta: 9,66% a.p.

16.Quantoumapessoaresgataránofinalde93diasseaplicarR$2.000,00àtaxade15%

aoano?Equalataxamensalequivalente?

Resposta: R$ 2.073,53 e 1,17% a.m.

17.UmcertificadodeDepósitoBancário(CDB)equivalenteaUS$500,00rendejurosde

15%aoano.Sendooseuprazode243dias,calcularovalorderesgate(emdólar),

antesdoImpostodeRenda.

Resposta: US$ 549,47

18.Qualfoiataxamensaldejurosapuradaporuminvestidor,paraumaaplicaçãodeR$

10.000,00efetuadanodia13demarçode2001,cujovalorderesgateem08dejunho

de2001foideR$10.968,42?

Resposta: 3,24% a.m.

19.QualéonúmerodediasnecessárioparaqueumaaplicaçãodeR$1.000,00produzaum

valorderesgatedeR$3.000,00,seataxadejuroscontratualforde4,8%aomês?

Resposta: 703 dias

20.Umtítuloderendafixaéemitidocomumprazodedoismesesevalorderesgatede

R$10.000,00.Determinarseuvalordeemissãoparaquesejagarantidaaoinvestidor

umarentabilidadede10%aoano,noregimedejuroscompostos.


Os exercícios dos últimos itens foram parcialmente extraídos e adaptados dos seguintes livros (ver referências ao final):SOBRINHO,José Dutra Vieira, Matemática Financeira.

HAZZAN, Samuel & POMPEU, José Nicolau, Matemática Financeira – métodos quantitativos.

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Nomercadofinanceiroenasoperaçõesbancáriasecomerciais,apalavrataxaéempregadadeváriasformas,ouseja,váriosconceitossãoabordadosemváriassituações.Mostrare-mosasaplicabilidadesdastaxasdejurosdopondovistadamatemáticafinanceira.

Taxas equivalentes:

Astaxassãoequivalentesse,quandoaplicadasaummesmocapital,porummesmoperío-do,geramomesmorendimento.

Onde:i(EQ)=TaxaEquivalente;ic=TaxaConhecida;QQ=QuantoeuQuero;QT=QuantoeuTenho.

EXEMPLONº20:Calcularaequivalênciaentreastaxas.

Taxa Conhecida Taxa Equivalente para:

a)79,5856%aoano 1mês

b)28,59%aotrimestre 1semestre

c)2,5%aomês 105dias

d)0,5%aodia 1ano

e)25%(anocomercial) 1anoexato(base365dias)

CAPÍTULO 6OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS

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Programa para taxa equivalente com HP-12C

[f][P/R][f][PRGM][X<>Y][:][X<>Y][1][0][0][:][1][+][x<>y][yx][1][-][1][0][0][x][f][P/R]

Solução 1:

a)i(EQ)={(1+0,7958)30/360–1}x100=5% ao mês

b)i(EQ)={(1+0,2859)180/90–1}x100=65,35% ao semestre

c)i(EQ)={(1+0,025)105/30–1}x100=9,03% ao período

d)i(EQ)={(1+0,005)360/1–1}x100=502,26% ao ano

e)i(EQ)={(1+0,25)365/360–1}x100=25,39% ao ano (exato)

Solução 2 (HP-12C)

a)1,7958[ENTER]30[ENTER]360[:][YX]1[-]100[X] 5% ao mês

b)1,2859[ENTER]180[ENTER]90[:][YX]1[-]100[X] 65,35% ao trimestre

c)1,025[ENTER]105[ENTER]30[:][YX]1[-]100[X] 9,03% ao período

d)1,005[ENTER]360[ENTER]1[:][YX]1[-]100[X] 502,26% ao ano

e)1,25[ENTER]365[ENTER]360[:][YX]1[-]100[X] 25,39% ao ano (exato)

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UTILIZANDOOPROGRAMA

27 [ENTER]

360 [ENTER]

30 [R/S]

2,01%a.m.

Taxa over equivalente: Ataxaoverequivalenteéumataxausadapelomercadofinanceiro

paradeterminararentabilidadepordiaútil.Normalmenteémultiplicadapor30(conversão

demercadofinanceiro).Nasempresasemgeral,éutilizadaparaescolheramelhortaxa

parainvestimento.

Onde:

TOE= taxaoverequivalente

ic = taxadejurosconhecida

QQ = nºdediasefetivosdaoperação

QT =nºdediasreferenteàtaxaconhecida(ic)

ndu =nºdediasúteisnoperíododaoperação.

Este programa foi extraído do livro SHINODA, Carlos, Matemática financeira para usuários do Excel (ver referências no final).

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EXEMPLONº21:Calcularataxaoverequivalenteparaumataxade80%aoano,parauma

aplicaçãode30dias,considerando19diasúteis.

Dados:

ic = 80%

QQ = 30dias

QT = 360dias

ndu = 19dias

Taxa acumulada de juros (com taxas variáveis)

A taxa acumulada de juros com taxas variáveis e normalmente utilizada em situaçõesde correções de contratos, como a atualização de aluguéis, saldo devedor da casaprópriaetc.

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EXEMPLONº22:Combasenatabelaabaixo,calcularavariaçãodoIGPM-FGVacumuladaduranteosmesesdejan/2001amaio/2001.

Últimasvariaçõesdosíndicesdeinflação:

IGPM+FGV INPC+IBGE IGPDI+FGV IPC+FIPE IPCA+IBGE

Maio/2000 - -0,05 0,67 - 0,01

Junho/2000 0,85 0,30 0,93 0,18 0,23

Julho/2000 1,57 1,39 2,26 1,40 1,61

Agosto/2000 2,39 1,21 1,82 1,55 1,31

Setembro/2000 1,16 0,43 0,69 0,27 0,23

Outubro/2000 0,38 0,16 0,37 0,01 0,14

Novembro/2000 0,29 0,29 0,39 -0,05 0,32

Dezembro/2000 0,63 0,55 0,76 0,25 0,59

Janeiro/2001 0,62 0,77 0,49 0,36 0,57

Fevereiro/2001 0,23 0,49 0,34 0,11 0,46

Março/2001 0,56 0,46 0,80 0,51 0,38

Abril/2001 1,00 0,84 1,13 0,61 0,58

Maio/2001 0,86 - - 0,17 -

Acumuladonoano 3,31 2,60 2,79 1,79 2,00

Acumulado12meses 11,04 7,07 11,16 5,52 6,61

Dados:IGMP(jan/2001)=0,62%IGMP(fev/2001)=0,23%

IGMP(mar/2001)=0,56%IGMP(abr/2001)=1,00%

IGMP(mai/2001)=0,86%

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Taxa média de juros

Ataxamédiadejurostemcomobaseteóricaoconceitoestatísticodamédiageométrica.Éusadanormalmenteparacalcularamédiadeumconjuntodetaxas.

Onde,n=númerodetaxasanalisadas.

EXEMPLO Nº 23:CombasenosdadosdoEXEMPLONº22,calcularataxamédia.

Dados:

IGMP(jan/2001)=0,62%

IGMP(fev/2001)=0,23%

IGMP(mar/2001)=0,56%

IGMP(abr/2001)=1,00%

IGMP(mai/2001)=0,86%

Taxa real de juros

Ataxarealdejurosnadamaisédoqueaapuraçãodeganhoouperdaemrelaçãoaumataxadeinflaçãoouaocustodeoportunidade.

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EXEMPLO Nº 24:Umaaplicaçãoduranteoano2000rendeu9,5%aoano,sabendo-se

queataxadeinflaçãodoperíodofoide5,8%aoano.Determineataxarealdejuro.

Dados:

ir=?

ijuros=9,5%aoano

iinflação=5,8%aoano

Exercícios sobre taxas de juros

1. Determinarataxaanualequivalentea2%aomês.

Reposta: 26,82% ao ano.

2. Determinarataxamensalequivalentea60,103%aoano.

Resposta: 4% ao mês.

3. Determinarataxaanualequivalentea0,19442%aodia.

Resposta: 101,22% ao ano.

4. Determinarataxatrimestralequivalentea47,746%emdoisanos.

Resposta: 5% ao trimestre.

5. Umadeterminadarevistadeinformaçõesfinanceirasapresentouasseguintestaxasde

CDI’s:Fev=2,11%;Mar=2,18%;Abr=1,69%;Mai=1,63%; Jun=1,60%e

Jul=1,69%paraoanode1998.Pergunta-se:

a) Qualataxamédianoperíodo?(Resposta:1,82%aomês.)

b) Qualataxaacumuladanoperíodo?(Resposta:11,41%aoperíodo.)

6. Suponhamosqueumaempresacontrateumfinanciamentodecapitaldegironovalor

deR$80.000,00por3meses,tendoquepagarnofinalR$94.340,57.Qualataxamédia

destaaplicação?


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7. OsenhorDúvida,pretendeinvestirR$6.500.000,00emumaaplicaçãonoBancodos

PalmeirensesS/A,quepaga45,5%aoanopor30diascorridosecorrespondentesa

21diasúteis.SuponhaqueoBancodosCorinthianosS/Apague45%aoanopor33

dias corridose correspondentes a22diasúteis.Você foi contratadocomogerente

financeiro(a)eencontra-seemperíododeexperiência.Nasuaopinião,qualdosdois

seriaomelhorparaoaplicador?

Resposta: a melhor taxa é a do Banco dos Corinthianos.

8. Seopreçodeumprodutoemdezembrode1998eradeR$3.000,00eemjaneirode

1999passouaserdeR$3.300,00,dequantoéoíndicedepreçocorrespondenteao

período?

Resposta: 10% ao período.

9. SuponhaquenomêsbaseopreçomédiodeumacestabásicasejadeR$50,00enos

trêsmesessubseqüentessejaR$60,00,R$75,00e88,50,respectivamente.Obtenhaa

inflaçãoacumulada.

Resposta: 77% ao período.

10.Um capital foi aplicado por um ano, à taxa de juros de 21% ao ano, e no mesmo

períodoainflaçãofoide19%aoano.Qualataxarealdejuros?

Resposta: 1,68% ao ano.

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Aoperaçãodescontopodeserdescritacomosendoocustofinanceirododinheiropagoemfunçãodaantecipaçãoderecurso.

Desconto racional simples ou “por dentro”

Onde:

DR=DescontoRacional;VN=ValorNominal;VA=ValorAtual.

EXEMPLONº25:UmtítulodevalornominalR$25.000,00édescontadodoismesesantesdoseuvencimento,àtaxadejurossimplesde2,5%aomês.Qualodescontoracional?

Dados:

VN=R$25.000,00

n=2meses

i=2,5%aomês

DR=?

CAPÍTULO 7DESCONTOS

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Desconto bancário, ou comercial ou “por fora”

Onde:

DB=DescontoBancário;VN=ValorNominal;VL=ValorLíquido.

EXEMPLONº26:UmtítulodevalornominalR$25.000,00édescontadodoismesesantesdoseuvencimento,àtaxadejurossimplesde2,5%aomês.Qualodescontobancário?

Dados:

VN=R$25.000,00

n=2meses

i=2,5%aomês

DR=?

EXEMPLONº27:UmaduplicatanovalordeR$25.000,00édescontadaemumbancodoismesesantesdoseuvencimento,àtaxadedescontode2,5%aomês.Sabendo-sequeobancocobra1%atítulodedespesasadministrativasequeoIOFéde0,0041%aodiaso-breovalordotítulo,obterovalorrecebidopeloportadordotítulo.Umaoutraalternativaseriatomarumempréstimocomataxalíquidade2,8%aomês.Qualamelhoropção?

Dados:

VN=R$25.000,00

n=2meses

i=2,5%aomês

iADM=1%

(IOF)=0,0041%aodia

i=2,8%a.m(empréstimo)

VL=?

DB=?

DIOF=?

DADM=?

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SeconsiderarmosqueoPVsejaR$23.438,50eFV=R$25.000,00,entãoteremos:

i=25.000–23.438,50=1.561,50=3,12%aomês25.000x2 50.000

Ouseja,oempréstimoseriaamelhoropção.

Operações com um conjunto de títulos

EXEMPLONº28:Umaempresaapresentaoborderôdeduplicatasabaixo,paraseremdescontadasnumbancoàtaxadedescontobancáriode3%aomês.Qualovalorlíquidorecebidopelaempresa?

BorderôdeCobrança

Duplicata Valor (R$)Prazo

(vencimento)

A 2.000,00 30dias

B 4.000,00 65dias

C 8.000,00 82dias

Solução1

DPLnºA:DB=(2.000x0,03x30)/30=R$60,00

DPLnºB:DB=(4.000x0,03x65)/30=R$260,00

DPLnºC:DB=(8.000x0,03x82)/30=R$656,00

Total R$ 976,00

ValorLíquidoRecebido:R$14.000–R$976,00=R$13.024,00

Prazo médio de um conjunto de títulos

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EXEMPLONº29:CombasenosdadosdoEXEMPLONº28,eutilizando-sedoconceitodoprazomédio,acharovalorlíquido.

Solução1:

PM=(2.000x30)+(4.000x65)+(8.000x82) 2.000+4.000+8.000

PM=60.000+260.000+656.000 2000+4.000+8.000

PM=976.00014.000

PM = 69,714286 dias.

Assim,temos:

DB=(14.000x0,03x69,714286...)/30

DB = R$ 976,00

VL=14.000–976,00=R$ 13.024,00

Desconto composto

Odescontocompostoéaqueleemqueataxadedescontoincidesobreomontanteouvalorfuturo.

e

Onde:DC=descontocomposto.

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EXEMPLONº30:UmaduplicatanovalordeR$18.000,00ecom120diasparaoseuven-cimento,édescontadaaumataxade2,5%aomês,deacordocomoconceitodedescontocomposto.Calcularovalorlíquidocreditadonacontaeovalordodescontoconcedido.

Dados:

FV=R$18.000,00

n=120dias(4meses)

i=2,5%aomês

PV=?

DC=?

Relação em taxas de desconto simples e composto

EXEMPLONº31:EfetuarodescontodeumaduplicatadeR$100,00nataxadedescontofixade5%aomêsecalcularataxarealsimplesecomposta.

Prazo em dias Prazo em meses

Desconto 30 60 90 120 180 10 12 15 19 20

Desconto 5 10 15 20 30 50 60 75 95 100

Líquido 95 90 85 80 70 50 40 25 5 0

Taxa mensal simples

5,26 5,56 5,88 6,25 7,14 10,0 12,5 20,0 100,0 0

Taxa mensal composta

5,26 5,41 5,57 5,74 6,12 7,18 7,93 9,68 17,1 0

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Exercícios sobre desconto

1. Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 2.000,00, com

vencimentopara90dias,àtaxa2,5%aomês?

Resposta: R$ 150,00

2. Qualataxamensaldedescontoutilizadanumaoperaçãoa120diascujovalorderesgate

édeR$1.000,00ecujovaloratualédeR$880,00?

Resposta: 3% ao mês.

3. Calcular o valor líquido de um conjunto de duplicatas descontadas a 5% ao mês

conformeoborderôaseguir:A 5.000 15diasB 3.500 35diasC 1.500 65dias


4. UmaduplicatadeR$70.000,00, com90dias a decorrer atéo seu vencimento, foi

descontadaporumbancoàtaxade2,70%aomês.Calcularovalorlíquidoentregue

oucreditadoaocliente.


5. DeterminarquantosdiasfaltamparaovencimentodeumaduplicatanovalordeR$

9.800,00quesofreuumdescontodeR$548,50,àtaxade32%aoano.

Resposta: 63 dias.

6. Calcular o valor do desconto composto concedido num Certificado de Depósito

Bancário,devalorde resgate igual aR$200.000,00, sabendo-seque faltam90dias

paraoseuvencimentoequeataxadedescontoéde3,8%aomês.


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Atéagora,estudamossituaçõesenvolvendoapenasdoispagamentos,ouseja,valorfuturo(FV)evalorpresente(PV).Nestecapítulo,estudaremosoperaçõesenvolvendopagamen-tos periódicos. A série uniforme de pagamentos pode ser de dois tipos: postecipada eantecipada:

Valor presente de uma série de pagamento postecipada

Onde:PMT=prestaçãooupagamentos.

EXEMPLONº32:Determinaremosovalordeum financiamentoa serquitadoatravésdequatropagamentosmensaisdeR$5.000,00,vencendoaprimeiraparcelaa30diasdaliberaçãodosrecursos,sendode5,5%a.m.ataxacontratual.

CAPÍTULO 8SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS

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Dados:

PV=?

n=4meses

i=5,5%aomês

PMT=R$5.000,00

Valor de prestação de uma série postecipada

EXEMPLONº33:UmeletrodomésticoévendidoàvistaporR$1.200,00.Qualdeveserovalordaprestaçãonavendaemtrêsprestaçõesmensaisiguaisesementrada,seocustofinanceirodolojistaéde4%aomês?

Dados:

PV=R$1.200,00

i=4%aomês

n=3meses

PMT=?

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Número de prestações de uma série uniforme de paga-mento postecipada

EXEMPLO Nº 34:CombasenosdadosdoEXEMPLO32,acharoprazodaoperação.

Dados:

PV=R$17.525,75

PMT=R$5.000

i=5,5%aomês

Cálculo da taxa de uma série de pagamento uniforme postecipada

Paraocálculodataxadejuros,aconselha-seusarsomenteaHP-12C,tendoemvistaqueocálculoalgébricoémuitocomplexo.

EXEMPLONº35:CombasenosdadosdoEXEMPLONº33,acharataxadejuros.

Dados:

PV=R$1.200,00

n=3meses

PMT=R$432,42

i=?

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Série uniforme de pagamentos antecipados

Estaéumametodologiaaplicadaemsituaçõesdefinanciamentocomprestaçõesoupaga-mentosiguaisecomentrada.

Fórmulas para série de pagamentos antecipados

NaHP-12C,oprocedimentoésemelhanteaoefetuadonassériesdepagamentosposteci-pados;porém,acalculadoradeveconteraexpressãoBEGINnoseuvisor.Paratanto,bastapressionaraseqüênciadeteclas[g][BEG]

Fórmuladovalorpresente:

Fórmuladaprestação:

Valor futuro de uma série uniforme

EXEMPLONº36:Qualéomontantequeumpoupadoracumulaem12meses,seeleaplicarR$1.500,00,àtaxade4,5%aomês,nofinaldecadamês?

Dados:

PMT=R$1.500,00

i=4,5%aomês

n=12meses

FV=?

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Exercício sobre séries uniformes de pagamentos

1. DeterminarovalorfuturodeuminvestimentomensaldeR$1.000,00,durantecinco

meses,àtaxade5%aomês.(sériepostecipada)


2. Determine o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual

deR$10.000,00no finaldecadaumdospróximosoitoanos, sabendo-sequeesse

investimento é remunerado com uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros

compostos.


3. Determinarovalordasprestaçõesmensaisdeumfinanciamentorealizadocomataxa

efetivade2,5%aomês,sabendo-sequeovalorpresenteéR$1.000,00equeoprazo

édequatromeses.

Resposta: R$ 265,82

4. UmautomóvelcustaR$14.480,00àvistaepodeserfinanciadoem48parcelasmensais

eiguais,comataxade1,8%aomês.Determinarovalordasprestações.

Resposta: R$ 453,07

5. PaulodesejapresentearseufilhoMarcoscomumcarroque,hoje,custaaproxima-

damenteR$13.000,00,desdequeMarcosconsigaaprovaçãonovestibular.Sabemos

queaidadedeMarcoshojeéde12anos,esetudocorrerbemcom18anoseleestará

ingressandonafaculdade.QuantoPaulodeveráeconomizarpormês,considerando

umaprevisãodeinflaçãode7%aoano?

Resposta: R$ 220,30

6. Noexercícionº4,considereumaentradade20%eumataxade1,5%aomêspara

recalcularovalordaprestação.

Resposta: R$ 340,28

7. UmalojaAofereceumatelevisãoporR$630,00emtrêsvezesiguais(1+2)oucom

5%dedescontoparapagamentoàvista.NalojaB,considerandoomesmopreçoà

vista,amesmatelevisãoécomercializadaem24pagamentosiguaisdeR$47,69sem

entrada.DetermineataxadejurospraticadospelaslojasAeB.

Resposta: Loja A = 5,36% ao mês, Loja B = 6% ao mês.

62


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8. MarcelopagaumaprestaçãodeR$375,25pormêsporcontadofinanciamentodeseu

apartamento.Sabendo-sequeataxadofinanciamentoéde6,1678%aoanoequeo

valordoimóvelfoiestimadopeloagentefinanceiroemR$50.000,00,pergunta-se:em

quantosmesesfoifinanciadooapartamentodeMarcelo?

Resposta: 220 meses.

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Écomumverificarmos,nomercadofinanceiroenasoperaçõesbancárias,dúvidasquantoaotipodemetodologiaempregadanoprocessodeamortizaçãodosempréstimosefinan-ciamentos.Estudaremosossistemasmaisadotadospelomercado.

Sistema de amortização constante (SAC)

Principalcaracterística:ovalordaamortizaçãoéconstante.

EXEMPLONº37:UmprodutodepreçoigualaR$1.500,00foifinanciadoporcincome-ses,aumataxade5%aomêspelosistemaSAC.Elaboreaplanilhadefinanciamento.

no Saldo Devedor Amortização Juros Prestação

0 1.500,00 0,00 0,00 0,00

1 1.200,00 300,00 75,00 375,00

2 900,00 300,00 60,00 360,00

3 600,00 300,00 45,00 345,00

4 300,00 300,00 30,00 330,00

5 0,00 300,00 15,00 315,00

1.500,00 225,00 1.725,00

CAPÍTULO 9SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS

6�


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Sistema price (ou francês) de amortização

Principalcaracterística:prestaçãoconstante.

EXEMPLONº38:UmprodutodepreçoigualaR$1.500,00foifinanciadoporcincome-ses,aumataxade5%aomêspeloSistemaPrice.Elaboreaplanilhadefinanciamento.

no Saldo Devedor Amortização Juros Prestação

0 1.500,00 0,00 0,00 0,00

1 1.228,54 271,46 75,00 346,46

2 943,51 285,03 61,43 346,46

3 644,23 299,28 47,18 346,46

4 329,98 314,25 32,21 346,46

-0,02 329,96 16,50 346,46

1.499,98 232,32 1.732,30

SoluçãonaHP-12C:

[f]FIN

1.500[CHS][PV]5[i]5[n][PMT]=R$ 346,46

1[f]AMORT75,00[x<>y]271,46[RCL][PV]–1.228,54

1[f]AMORT61,43[x<>y]285,03[RCL][PV]- 943,51

1[f]AMORT47,18[x<>y]299,28[RCL][PV]- 644,23

1[f]AMORT32,21[x<>y]314,25[RCL][PV] - 329,98

1[f]AMORT16,50[x<>y]329,96[RCL][PV] - 0,02

6�


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Certifi cado de depósito bancário (CDB) e recibo de de-posito bancário (RDB)

OCDBeRDBsãotítulosemitidosporbancosregistradosnaCETIP(CentraldeCustó-diaedeLiquidaçãoFinanceiradeTítulos),utilizadosparacaptaçãoderecursosjuntoaosinvestidores.Taisrecursossão,posteriormente,repassadosaosclientesnasoperaçõesdefinanciamentotradicionaisdomercadodecrédito.

Pelalegislaçãoemvigor:

1–CDB/RDBpodemserpréoupós-fixados;

2–CDB/RDBpré-fixadossãoemitidoscomprazomínimode30diascorridos;ospós-fi-xadoscomprazomínimode120diascorridos;

3–OCDBétransferívelporendossonominativoeoRDBéintransferível;

4–CDB/RDBsãogravadosàalíquotade20%sobreorendimentobrutoparaefeitodeimpostoderendaretidonafonteporocasiãodoresgate.NãoincideIOFsobreosrendi-mentos.

CAPÍTULO 10APLICABILIDADE DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

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EXEMPLONº39:Sr.PedroaplicouR$25.000,00emCDBde33diascorridose22diasúteis,àtaxade27%a.a.(base360dias).AalíquotadoIRéde20%.Pergunta-se:

a)montantebruto

b)rendimentobruto

c)impostoderenda

d)montantelíquido

e)taxaefetivalíquidadoperíodo

f)ataxaoverlíquidanoperíodo

Dados:

FV=?

PV=R$25.000,00

I=27%aoano

N=33diascorridos

B)Rendimentobruto

RB=FV–PV

RB=R$25.553,79-R$25.000,00=R$553,79

C)ImpostodeRendanafonte

IR=RBxAlíquota

IR=R$553,79x20%=R$110,76

D)MontanteLíquido

FVL=FV–IR

FVL=R$25.553,79–R$110,76=R$25.443,03

E)Taxaefetivalíquidanoperíodo

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Ip=[(25.443,03/25.000,00)–1]x100

Ip=1,7721%a.p.

F)Taxaoverlíquidanoperíodo

Iover=[(1+ip)1/du-1]x3000

Iover=[1+0,017721)1/22-1]x3000

Iover=2,5105%a.m.o.

Exercícios

1. DonaJoanaaplicouR$20.000,00emumCDBde33diascorridose18diasúteis,àtaxa

de32%a.a.Nodiaseguinte,elaverificouqueataxaanualdoCDBpara30diascorridos

e19diasúteisofereciaumaremuneraçãode38,04%a.a.Muitabrava,foiaogerente

reclamarquehaviaperdido6,04pontospercentuaisdetaxaanual.Suponhamosque

vocêsejaogerentedestebanco,querespostavocêdariaàdonaJoana?

R.:Ataxaseráigualparaosdoiscasos3,39%,jádescontadooI.R.

2. DonaSebastianaaplicouR$300.000,00numRDBpós-fixado,àtaxadeTR+13,20%

a.a,paraumperíodode150dias.OIRnafonteéde20%sobreorendimentobruto.

AvariaçãodaTRéde0,60%.Calcule:

a)montantebruto=R.: R$ 317.800,99

b)rendimentobruto=R.: R$ 17.800,99

c)impostoderenda=R.: R$ 3.560,20

d)montantelíquido=R.: R$ 314.240,79

e)taxaefetivalíquidanoperíodo=R.: 4,75% a.p.

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3. UmaempresadoramometalúrgicopretendeaplicarsobradecaixadeR$5.000.000,00

emumCDBnoBancoZZZS.A.,quepaga17,5%aoano(base360dias),por30dias

corridosecorrespondentesa21diasúteis. SuponhaqueoBancoXXXS.A.pague

17%aoano(360dias),33diascorridosecorrespondentesa22diasúteis.Aalíquota

deImpostodeRendaparaosdoiscasoséde20%.

a)Calculeovalorbrutodosdoiscasos

R.: Banco ZZZ R$ 5.067.648,61

R.: Banco XXX R$ 5.072.480,37

b)CalculeoImpostodeRenda

R.: Banco ZZZ R$ 13.529,72

R.: Banco XXX R$ 14.496,07

c)Taxaefetivanoperíodo

R.: Banco ZZZ 1,0823% a.p.

R.: Banco XXX 1,1597% a.p.

d)Taxaovermensal

R.: Banco ZZZ 1,5383% a.m.o.

R.: Banco XXX 1,5727% a.m.o.

Abordaremosaseguiramatemáticafinanceiracomoferramentadeanáliseetomadade

decisão.

Taxa interna de retorno (IRR) e valor presente líquido (NPV)

EsteéumcasotípicoemqueacalculadoraHP-12Cémuitoútil,tendoemvistaqueo

cálculodataxainternaderetornoémuitocomplexo.

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EXEMPLONº40:DeterminaraIRReNPVdosseguintesfluxosdecaixa.

nº Projetonº1 Projetonº2

0 R$(50.000,00) R$(50.000,00)

1 R$5.000,00 R$14.000,00

2 R$6.000,00 R$13.000,00

3 R$7.000,00 R$12.000,00

4 R$8.000,00 R$11.000,00

5 R$9.000,00 R$10.000,00

6 R$10.000,00 R$9.000,00

7 R$11.000,00 R$8.000,00

8 R$12.000,00 R$7.000,00

9 R$13.000,00 R$6.000,00

10 R$14.000,00 R$5.000,00

TIR 11,38%a.a. 17,04a.a.

C.OP 15%a.a. 15%a.a.

VPL (7.926,68) 3.283,28

Valor da prestação de leasing

EXEMPLONº41:Umaempresacontrataumaoperaçãodeleasingde24meses,àtaxadejurosde2,5%aomês.Calculeovalordacontraprestação,sabendoqueovalordoativofixoédeR$50.000,00equeovalorresidualgarantidofinaléde1%.

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Obs.:SefinanciarmosovalordeR$276,44comamesmataxaeprazo,encontraremosovalordeR$15,46.Nessecaso,bastaadicioná-loaovalordacontraprestaçãosemvalorre-sidual(R$15,46+R$2.780,18=R$2.795,64)paraencontrarovalordacontraprestaçãocomvalorresidualincluso.

Formação do preço de venda pelo conceito do valor atual

EXEMPLONº42:Calcularopreçodevendadeumproduto,considerandoosseguintesdados:

CustoDireto R$200,00

ICMS 18%

IPI 10%

PIS 0,65%

Cofins 3%

MargemdeContribuição 40%

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Observações finais

Algunsexercíciosforamextraídosouadaptadosdasseguintesobras(verreferênciasaofinaldestelivro):

SHINODA,Carlos.Matemática Financeira para usuários do Excel.

SOBRINHO,JoséDutraVieira.Matemática Financeira.

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referênciaS bibliográficaS

aSSaF netO, alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. São Paulo:

atlas, 1992.

eWaLd, Luiz carlos. Apostila Matemática Financeira e Análise de Investimento.

rio de Janeiro: Fundação getúlio Vargas, 1999.

Hazzan, Samuel e POmPeO, José Nicolau. Matemática financeira. 4ª edição.

São Paulo: atual, 1993.

Puccini, abelardo de Lima. Matemática Financeira objetiva e aplicada. 6ª edição.

São Paulo: Saraiva, 1999.

SHinOda, carlos. Matemática Financeira para usuário do Excel. São Paulo:

atlas, 1998.

Vieira SObrinHO, José dutra. Matemática Financeira. 5ª edição. São Paulo:

atlas, 1996.

Vieira SObrinHO, José dutra. Manual de Aplicações Financeiras HP-12C.

1ª edição. São Paulo: atlas, 1985.

apostila matematica financeira

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