apostila matematica financeira

Matemática Financeira

PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES


O que é melhor juros simples ou juros compostos?

Pagar a vista ou comprar a prazo?

Receber hoje R$ 1,00 é melhor que receber o mesmo valor daqui a um ano?

Podemos ver que, durante o prazo da operação, o valor do dinheiro envolvido

numa transação financeira varia com o tempo. Em geral, todo empreendimento

envolvendo dinheiro necessita de avaliações periódicas, antes de ser aceito e no

decorrer do prazo até a data final do empreendimento. Portanto, necessitamos de

procedimentos de avaliação do resultado de uma operação em qualquer data. A

Matemática Comercial e Financeira é a disciplina dedicada ao estudo do

comportamento do dinheiro em função do tempo.

O livro Matemática Financeira para Cursos de Graduação, tem como objetivo

capacitar e atender as necessidades de conhecimentos e atualizações dos

profissionais e de graduando de todas as áreas do conhecimento, proporcionando

maior agilidade na tomada de decisão. Além de permitir ao profissional maior

capacitação para o competitivo mercado de trabalho.

Uma advertência deve ser feita àqueles que pretendem estudar Matemática

Financeira ou se dedicar a algum trabalho nessa área. São exigidos desses estudantes

e profissionais análise atenta dos problemas que querem resolver, compreensão clara

das operações financeiras ali envolvidas e familiaridade não só com a linguagem dos

negócios, como também com fórmulas e calculadoras que utilizará. E tudo isso só se

consegue com muito exercício, principalmente para aqueles que se lançam na área

pela primeira vez.

Neste livro, antes do estudo dos tópicos da Matemática Financeira, serão

relembradas algumas operações básicas da Matemática que facilitarão o uso das

ferramentas em Operações Elementares da Matemática. Em seguida, abordaremos as

Regras de Sociedade e Regra de Três Simples e Compostas. No terceiro tópico serão

tratados os tópicos da Matemática Comercial. O tópico seguinte apresenta o conceito


Matemática Financeirade porcentagem, dos juros simples e descontos simples. Logo após, são tratados os

juros compostos e descontos compostos. No sexto tópico, será apresentado o valor do

dinheiro no tempo, através das anuidades e suas diversas classificações. Por fim,

serão apresentadas as diversas modalidades de sistemas de amortização e Análise de

Investimentos.

Os exemplos estão de forma de facilitar a compreensão dos conceitos e dos

exercícios propostos, para que o estudante possa fixar e aplicar, os conceitos

apresentados em novas situações.

A matemática financeira por muitas vezes é considerada matéria difícil porque

as pessoas tentam usá-la sem método. Antes de se lançar de cabeça na resolução dos

problemas lembre-se que existem passos a serem seguidos. Primeiro é necessária

uma correta interpretação dos problemas, ver realmente o que ele quer que seja

calculado; segundo organize os dados do problema, veja o que se tem e o que se quer

calcular e quais são as ferramentas (fórmulas) que se tem disponível e, por fim, faça o

desenvolvimento do raciocínio aplicando o método correto, sempre testando para ver

se o resultado encontrado e condizente com os dados do problema.

Neste trabalho quase todos os exercícios estão resolvidos apenas com a

utilização das fórmulas, somente os de Analise de Investimentos no calculo da Taxa

Interna de Retorno é que serão resolvidos pela calculadora HP 12 C e pela planilha do

Excel devido a sua complexidade na resolução pelas fórmulas.

Recomendamos o livro Matemática Financeira com a calculadora HP 12 C para

que você possa ir se identificando com a utilização dessa calculadora que é uma das

ferramentas de gestão financeira, moderna, eficiente e com condições de resolver a

maioria dos problemas gerados no dia a dia do gestor de negócios financeiros.

Portanto prepare-se, já estamos no século XXI, e o mundo não acabou, pelo

contrário, estamos mais vivos do que nunca. Entramos na era do “saber” fazer a

diferença, aprender a fazer coisas novas, desaprender as velhas e reaprender

novamente.


Matemática FinanceiraÍNDICE

INTRODUÇÃO.........................................................................................................06

OPERAÇÕES ELEMENTARES DA MATEMÁTICA FINANCEIRA............................08

RAZÃO........................................................................................................................ 09

PROPORÇÃO.................................................................................................................10

DIVISÃO PROPORCIONAL.................................................................................................11

DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAL.............................................................13

DIVISÃO INVERSAMENTE PROPORCIONAL............................................................................15

DIVISÃO PROPORCIONAL COMPOSTA..................................................................................17

REGRAS DE SOCIEDADE........................................................................................20

REGRAS DE SOCIEDADE SIMPLES......................................................................................21

REGRAS DE SOCIEDADE COMPOSTA..................................................................................22

REGRA DE TRÊS SIMPLES................................................................................................23

REGRA DE TRÊS COMPOSTA............................................................................................26

OPERAÇÕES COMERCIAIS.....................................................................................32

PORCENTAGEM.............................................................................................................33

ACRÉSCIMOS SIMPLES....................................................................................................35

ACRÉSCIMOS SIMULTÂNEOS.............................................................................................35

ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS...............................................................................................36

DESCONTOS SIMPLES.....................................................................................................37

DESCONTOS SIMULTÂNEOS.............................................................................................37

DESCONTOS SUCESSIVOS...............................................................................................38

LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO...................................................................................39

LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA...................................................................................40

PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE CUSTO................................................................................41

PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE VENDA...............................................................................41

CAPITALIZAÇÃO FINANCEIRA SIMPLES..............................................................45

NOMENCLATURA...........................................................................................................46

TAXA NOMINAL.............................................................................................................47

TAXAS PROPORCIONAIS..................................................................................................47

OUTROS TIPOS DE TAXAS...............................................................................................48

JUROS......................................................................................................................... 49

JUROS SIMPLES.............................................................................................................51

MONTANTE SIMPLES......................................................................................................52

TAXA EFETIVA SIMPLES..................................................................................................56

DESCONTO SIMPLES......................................................................................................59

DESCONTO RACIONAL OU DESCONTO POR DENTRO.............................................................60


Matemática FinanceiraDESCONTO COMERCIAL OU DESCONTO POR FORA...............................................................61

DESCONTO BANCÁRIO....................................................................................................62

CAPITALIZAÇÃO FINANCEIRA COMPOSTA.........................................................65

JUROS COMPOSTOS.......................................................................................................66

MONTANTE COMPOSTO..................................................................................................66

TAXAS EQUIVALENTES....................................................................................................72

TAXA EFETIVA COMPOSTA...............................................................................................74

DESCONTO COMPOSTO..................................................................................................75

DESCONTO RACIONAL COMPOSTO....................................................................................75

DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO..................................................................................76

SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTO......................................................................80

ANUIDADES OU RENDAS CERTAS......................................................................................81

VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA.............................................................83

VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE ANTECIPADA..............................................................87

ANUIDADES DIFERIDAS OU COM CARÊNCIA.........................................................................90

VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA...............................................................92

VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE ANTECIPADA.................................................................95

COEFICIENTE DE FINANCIAMENTO.....................................................................................97

ANUIDADES PERPÉTUAS..................................................................................................99

VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE VARIÁVEL..................................................................100

VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE VARIÁVEL.....................................................................101

ANUIDADE EM QUE O PERÍODO DE TEMPO NÃO COINCIDE COM AQUELE QUE SE REFERE À TAXA....103

SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO..............................................................................105

SISTEMA DO MONTANTE.................................................................................................107

SISTEMA DE JUROS ANTECIPADOS.....................................................................................108

SISTEMA AMERICANO.....................................................................................................111

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS OU PRICE – SPC..........................................................112

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC...................................................................113

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO – SAM..........................................................................115

SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES VARIÁVEIS.............................................................................116

ANÁLISE DE INVESTIMENTOS..............................................................................120

VALOR PRESENTE LIQUIDO – NPV.....................................................................................121

TAXA INTERNA DE RETORNO – TIR....................................................................................125

QUESTÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA CONCURSOS PÚBLICOS....................................131

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..........................................................................158



Matemática Financeira: Dentre várias definições, “é a ciência que estuda o

dinheiro no tempo” (Lawrence Jeffrey Gitman). O conhecimento de matemática

financeira é indispensável para compreender e operar nos mercados financeiro e de

capitais, e atuar em administração financeira com baixo tempo e custo de decisão.

Ao longo da história, o homem notou uma possível relação entre o tempo e o

dinheiro, ele percebeu que o dinheiro perdia valor de acordo com o tempo, dessa

forma, a correção monetária deveria ser feita, aumentando o poder de compra do

capital. A ideia de juros pode ser atribuída aos primeiros indícios de civilizações

existentes, fatos históricos relatam que, na Babilônia, comerciantes emprestavam

sementes aos agricultores que, ao colherem a plantação, pagavam as sementes

emprestadas mais uma determinada parte da colheita.

As práticas financeiras eram utilizadas no intuito da acumulação de capital, as

formas econômicas de movimentação dos capitais foram adaptadas de acordo com a

evolução das sociedades. O escambo era utilizado porque não existia uma moeda de

troca, o surgimento do dinheiro originou a criação de mecanismos controlados

inicialmente por pessoas denominadas cambistas. Eles exerciam a profissão que hoje

é atribuída aos banqueiros, sentados num banco, nos mercados, eles realizavam

operações de empréstimo, que eram quitados acrescidos os juros e na organização de

ordens de pagamentos para particulares. Dessa forma, os cambistas tinham seus

lucros e comissões pelos serviços prestados.

A necessidade de organização desse tipo de comércio fez surgir os bancos, que

dinamizaram a economia, eles tiveram papel importante nas negociações entre os

povos que realizavam operações comerciais no Mar Mediterrâneo. Fenícios, Gregos,

Egípcios e Romanos possuíam importante participação nos métodos bancários.

Foram os bancos que contribuíram para o aprimoramento das técnicas

financeiras e surgimento dos juros compostos. Atualmente, a Matemática Financeira

possui inúmeras aplicabilidades no cotidiano, englobando situações relacionadas ao

ganho de capital, pagamentos antecipados e postecipados, porcentagem,

financiamentos, descontos comerciais entre outros produtos do meio financeiro.

Qual o objetivo principal da matemática financeira?

A matemática financeira busca, essencialmente, analisar a evolução do dinheiro

ao longo do tempo, determinando o valor das remunerações relativas ao seu tempo.


Matemática FinanceiraA Matemática Financeira é a parte da Matemática que tem por objetivo resolver

problemas relacionados às Finanças. Possui técnicas e fórmulas próprias que

permitem estudar o comportamento do dinheiro em função do tempo, considerando

algumas das características do mercado.

O conhecimento da Matemática Financeira permite o melhor uso dos conceitos

da Administração Financeira, pois, através de suas técnicas, o indivíduo é capaz de

tomar decisões mais seguras em relação aos investimentos. Não deve ser usada

somente pelos chamados ‘financistas’ nas questões organizacionais, mas sim por

todos os indivíduos em quaisquer situações em que uma decisão financeira deva ser

tomada.



Para uma melhor compreensão e uso das ferramentas da Matemática

Financeira, faz-se necessário uma breve apresentação de algumas operações

elementares da Matemática.

Estas operações são:

> RAZÃO

> PROPORÇÃO

> DIVISÃO PROPORCIONAL

> REGRA DE SOCIEDADE


Matemática Financeira RAZÃO

Você já deve ter ouvido expressões como: “de cada 20 habitantes, 5 são

analfabetos”, “de cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática”, “um dia de sol, para

cada dois de chuva”.

Em cada uma dessas frases há sempre clara uma comparação entre dois

números. Assim, no primeiro caso, destacamos 5 entre 20; no segundo, 2 entre 10, e

no terceiro, 1 para cada 2.

Todas as comparações serão matematicamente expressas por um quociente

chamado razão. Teremos, pois que:

A Razão entre dois números a e b, com b 0, é o quociente ou a : b.

Exemplos:

De cada 10 alunos, 6 gostam de matemática: Razão =

De cada 100 parafusos, 1 sai com defeito: razão =

A razão entre 2 + e 3 – : razão = → Razão = 1

Carlos acertou 15 exercícios em 30 e Mário acertou 20 em 45 exercícios. Quem

apresentou o melhor resultado? Resposta: Carlos

De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática. Razão =

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO

1. No vestibular de 2008 na Faculdade de Ciências de Wenceslau Brás concorreram,

para 50 vagas da opção Administração, 650 candidatos. Qual a relação candidato

vaga para essa opção? Resposta: 13

2. Tenho duas soluções de água e álcool. A primeira contém 279 litros de álcool e

1.116 litros de água. A segunda contém 1.155 litros de álcool e 5.775 litros de

água. Qual das duas soluções tem maior teor alcoólico? Resposta: A primeira

3. A massa de João é de 86 kg e a de Márcio é de 43.000 gramas. Qual a razão entre

as massas de João e Márcio? Resposta: 2


meios

Matemática Financeira4. Numa prova de 45 questões uma pessoa acertou 15. Calcule a razão entre o

número de acertos e o número de questões. Resposta:

5. Numa turma de alunos, a razão do número de moças para o número de rapazes é

de . Se na turma existem 14 rapazes, qual é o número de moças? Resposta: 21

6. Uma garrafa de cerveja tem capacidade para 600 ml e uma garrafa de refrigerante

tem capacidade para 300 ml. A razão entre as capacidades da garrafa maior para a

menor é: Resposta: 2

7. A altura de Beatriz é 1,50 m e a altura de Clovis é de 120 cm. A razão entre a

altura de Beatriz e a altura de Clovis é: Resposta: 1,25

8. Sabendo que a velocidade média é a razão entre o trajeto percorrido e o tempo do

percurso, calcule a velocidade média de um automóvel que percorre 100 km num

tempo de 2 horas. Resposta: 50 km/h.

9. Hamilton possui 1,80 m de altura e seu cachorro 40 cm. Qual a razão entre a altura

do cachorro e a de Hamilton? Resposta:

PROPORÇÃO

Há situações em que as grandezas que estão sendo comparadas podem ser

expressas por razões de antecedentes e conseqüentes diferentes, porém com o

mesmo quociente. Dessa maneira, quando um pesquisa escolar revelar que, de 40

alunos entrevistados, 10 gostam de matemática, poderemos supor que, se forem

entrevistados 80 alunos da mesma escola, 20 deverão gostar de Matemática. Na

verdade, estamos afirmando que 10 estão representando em 40 o mesmo que 20 em

80.

A esse tipo de igualdade entre duas razões dá-se o nome de proporção.

Dadas duas razões , com b e d 0, teremos uma proporção se

ou a : b = c : d

Propriedades:

1ª) Propriedade fundamental: O produto dos extremos é igual ao produto dos meios:

6 x 96 = 24 x 24 = 576

2ª) Em toda proporção existe uma constante ‘k’


Matemática Financeira3ª) Somando-se ou subtraindo-se os antecedentes e os conseqüentes a proporção não

se altera (desde que o denominador não seja nulo):

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO:

10.Determine o valor de x nas proporções:

a) (x=8,75) b) (x=6)

11.Calcular x e y na proporção , sendo x + y = 24 (Resposta: x=6; y=18)

12.Na série de razões , calcular x, y e z, sabendo que x + y + z = 44

(Resposta: x=10; y=20; z=14).

13.Calcular x, y e z, na série de razões , sabendo que 3x + y + 2z = 140

(Resposta: x=10; y=50; z=30).

14.A importância de $ 21,70 foi dividida entre três pessoas. Sabendo que a parte do 1º está para a parte do 2º como 7 para 9, e que a do 2º está para o 3º como 3 para 5, determine as três partes. (Resposta: 1º: R$ 4,90; 2º R$ 6,30; 3º: R$ 10,50).

15.Dois números têm por soma 30 e estão para si como 1 pra 5. Calcule esses números. Resposta: 25 e 5

16.Determine os valores desconhecidos na sentença , sabendo que x + y

+ z = 72. Resposta: x = 6; y = 32; z = 24

17.Calcule o valor de x na proporção . Resposta: 2

18.Uma secretária recebe R$ 200,00 pela construção de 16 relatórios. Se ela construiu

no fim do mês 42 relatórios, quanto recebeu? Resposta: R$ 525,00

DIVISÃO PROPORCIONAL

GRANDEZA é todo valor que ao ser relacionado a um outro certo valor de tal

forma que, quando um varia, como conseqüência direta o outro valor também varia.

Por grandezas variáveis entende-se aquelas que, uma ao sofrer um incremento,

acarretará em um mesmo incremento na segunda variável. À variação da proporção,

dá-se o nome de razão ‘r’. A relação entre as grandezas variáveis pode ser direta ou

inversamente proporcional.

Vários aspectos do dia-a-dia podem ser analisados através da proporção:

consumo de gasolina x quilometragem rodada, velocidade x tempo do percurso. Vê-se


Matemática Financeiraaqui, que uma variável depende da outra. O consumo de gasolina depende da

quilometragem rodada, e o tempo de percurso depende da velocidade. Diga se o

problema é diretamente ou inversamente proporcional

a) Número de pessoas em uma festa e a quantidade de salgados que cada um

poderá consumir.

Resposta: Esta é uma divisão inversamente proporcional, pois se aumentarmos o

número de pessoas da festa, conseqüentemente diminuirá o número de salgados para

cada um.

b) Número de erros em um questionário e a nota obtida neste.

Resposta: esta é uma divisão inversamente proporcional, pois se a pessoa erra

uma menor quantidade de questões tira uma notar maior, e se a pessoa erra uma

maior quantidade de questões, conseqüentemente ela tira uma nota menor.

c) Quantidade de alimentos que uma pessoa poderá consumir para que possa não

passar fome.

Resposta: Esta é uma divisão diretamente proporcional, pois quanto mais alimento

a pessoa tiver mais dias ela passará sem fome, e quanto menos dias a pessoa tiver

comida, mais rápido a pessoa sentirá fome.

Desta forma, podemos definir uma DIVISÃO PROPORCIONAL, como uma forma

de divisão no qual determinam-se valores que, divididos por quocientes previamente

determinados, mantêm-se uma razão que não tem variação.

A divisão proporcional pode ser: Direta, Inversa e Direta e Inversa ao mesmo tempo.

DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

O total dos números a ser dividido está para a soma dos proporcionais, assim como o

número proporcional está para a parte que a representa.

Exemplo 1: Para decompor o número 120 em duas partes a e b diretamente

proporcionais a 2 e 3, montaremos o sistema de modo que a + b = 120, cuja solução

segue de:



Exemplo 2: Dividir o número 60 em duas partes a e b diretamente proporcionais a 4 e

2. Desta forma, será montado o sistema de modo que a + b = 60, cuja solução segue

no cálculo abaixo:

Exemplo 3: Uma pessoa divide o valor de R$ 12.000,00 proporcionalmente as idades

de seus filhos: 2, 4, 6 anos. Qual o valor que cada um receberá?

Resolução:

O valor total, então, de cada filho respectivamente às idades é: R$ 2.000,00 +

R$ 4.000,00 + R$ 6.000,00 tendo o resultado geral o capital de R$ 12.000,00.

Exemplo 4: Dividir o número 2.400, em partes diretamente proporcional a 3, 5 e 4.

Resolução:




19.Dividir o número 360, em partes diretamente proporcional a 4, 5 e 6. Resposta: 96,

120, 144

20.Dividir o número 169 em partes diretamente proporcionais a . Resposta:

78, 52, 39

21.Dividir o número 210 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 6. Resposta:

100, 60 ,50

22.Dividir o número 200 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3. Resposta: 80 e

120.

23.Carlos, Daniel e João resolveram aplicar em um fundo de investimento, que exigia

um capital inicial de R$100 mil. Carlos deu R$50 mil, Daniel R$30 mil e João R$20

mil. Ao final do período de carência do plano, eles resolveram sacar o dinheiro. O

valor era R$120 mil. Quanto cada um retirou? Resposta: 60 mil, 36 mil, 24 mil.

24.Uma herança de R$ 240.000,00 deve ser dividida em partes diretamente

proporcionais as idades dos herdeiros que são 36, 40 e 44 anos. Quanto receberá

cada herdeiro? Respostas: R$ 72.000,00, R$ 80.000,00 e R$ 88.000,00

25.Em certa empresa de informática, a produção dos quatro técnicos de montagem de

microcomputadores é de 3, 5, 8 e 4 unidades semanais, respectivamente. Num

lote de 80 computadores, quanto cada técnico montará? Respostas: 12; 20; 32 e

16

26..Determinado prêmio foi dividido entre José, Pedro e Antônio, em partes

diretamente proporcionais a seus tempos de serviço: 2, 3 e 5 anos. Sabendo que a

parte de Pedro foi R$ 3.600,00, qual o valor do prêmio? Respostas: R$ 720,00; R$

1.080,00 e R$ 1.800,00

DIVISÃO INVERSAMENTE PROPORCIONAL


Matemática FinanceiraPara decompor um determinado número N em duas partes, sejam X e Y, que

sejam inversamente proporcionais a X e Y, deve-se decompor este número N em duas

partes X e Y diretamente proporcionais a , que formam, desta forma, os

números inversos.

Em princípio, a divisão proporcional inversa não existe, pois neste caso, basta

inverter os termos da razão para transformá-la em uma divisão direta. Assim, por

exemplo, para dividir em partes inversamente proporcionais a equivale a

dividir em partes diretamente proporcionais a 4 e

Exemplo 5: Dividir o número 441 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 6.

Solução:

Exemplo 6: Dividir o número 676 em partes inversamente proporcionais a 5, 0,5 e .

Solução:

Exemplo 7: Duas pessoas, A e B, trabalharam durante um mesmo período para

fabricar e vender por $ 160,00 um certo artigo. Se A chegou atrasado ao trabalho 3

dias e B, 5 dias, como efetuar com justiça a divisão?

a: parte inversamente proporcional à 3 (a) a/1/3


Matemática Financeirab: parte inversamente proporcional à 5 (b) b/1/5

a = 100

b = 60

R: (a) receberá $ 100,00 e (b), $ 60,00.


27.Dividir 1.600 em partes inversamente proporcionais a . (Resposta: 300;

800; 500)

28.Dividir o número 24 em partes inversamente proporcionais aos números 1 e 5.

Resposta: 20; 4

29.Divida o número 224 em partes inversamente proporcionais a . Respostas:

84; 140

30.Dividir o número 90 em partes inversamente proporcionais aos números 4 e 5.

Resposta: 50 e 40

31.Dividir o número 1.225 em partes inversamente proporcionais aos números 1, 2, 3,

4, 5 e 6. Resposta: 500; 225; 166,6; 125; 100; 83,4

DIVISÃO PROPORCIONAL COMPOSTA

Divisão proporcional composta ocorre quando se divide proporcionalmente a mais

de um grupo de números.

Vejamos a situação seguinte:

Exemplo 8: Uma empreiteira foi contratada para pavimentar uma rua. Ela dividiu o

trabalho em duas turmas, prometendo pagá-las proporcionalmente. A tarefa foi

realizada da seguinte maneira: na primeira turma, 10 homens trabalharam durante 5

dias; na segunda turma, 12 homens trabalharam durante 4 dias. Sabendo que a

empreiteira tinha R$ 29.400,00 disponíveis, como dividir com justiça essa quantia

entre as duas turmas de trabalho?

Essa divisão não é da mesma natureza das anteriores. Trata-se de uma divisão

composta em partes proporcionais, pois os números obtidos deverão ser proporcionais


Matemática Financeiraa dois números de homens e também a dois números de dias trabalhados. Analisando

veremos que:

- Na primeira turma: 10 homens em 5 dias produzem o mesmo que 50 homens em um

dia (10 . 5).

- Na segunda turma: 12 homens trabalhando 4 dias equivale a 48 homens num único

dia (12.4)

Neste caso, divide-se o número em partes diretamente proporcionais aos

produtos dos números da proporcionalidade.

Então, resolvendo o problema, temos:

Como x + y = 29.400 → y = 19.400 – 15.000 → y = 14.400

Assim, a primeira turma deverá receber R$ 15.000,00 da empreiteira e a

segunda R$ 14.400,00.

Outra forma de divisão proporcional composta é a divisão em partes

diretamente proporcionais a um grupo de números e inversamente a outro. Parece ser

mais complexo; no entanto, basta dividir o número em partes diretamente ao produto

de cada elemento do primeiro grupo da proporcionalidade pelo inverso de seu

correspondente no segundo grupo.

Exemplo 9: Dividir o prêmio de R$ 7.200,00 em partes diretamente proporcionais ao

tempo de serviço de João e Pedro e inversamente às suas idades, sabendo que os

tempos de serviço são, respectivamente, 5 e 9 anos e as idades, 25 e 30 anos. Basta

multiplicar o primeiro grupo (5 e 9) pelo inverso do segundo grupo (25 e 30) e após,

dividir a importância em partes diretamente proporcionais ao produto obtido.

Fazendo x+ y = 7.200,00

Como x + y = 7.200 → y = 7.200 – 2.880 → y = 4.320


Matemática FinanceiraJoão deverá receber R$ 2.800,00 e Pedro R$ 4.320,00

Exemplo 10: Uma fábrica pretende premiar três operários, de modo que o prêmio seja

DP ao número de peças perfeitas produzidas por cada um num único dia e IP a cada

peça defeituosa que cada um produziu no mesmo dia. Os operários produziram 250,

300 e 150 peças perfeitas cada um e, respectivamente 1, 3 e 3 peças defeituosas. A

quantia estipulada como prêmio foi de $ 500,00. Quanto recebeu cada operário?

A (1º op): parte DP a 250 e IP a 1 = 250 . 1 = 250

B (2º op): parte DP a 300 e IP a 3 = 300 . 1/3 = 100

C (3º op): parte DP a 150 e IP a 3 = 150 . 1/3 = 50

A = 312,50

B = 125,00

C = 62,50

R: O 1º operário receberá R$ 312,50; o 2º, R$ 125,00; e o 3º, R$ 62,50.


32.Dividir 860 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5 e inversamente

proporcionais a . Respostas: 240; 420; 200

33.A importância de R$ 43.500,00 deve ser dividida entre 3 pessoas, em partes ao

mesmo tempo diretamente proporcionais às idades e inversamente proporcionais

ao tempo de serviço na empresa. Considerando que suas idades são 35, 30 e 36

anos e que estão no trabalho, respectivamente, há 10, 6, e 6 anos, calcular quanto

receberá cada um. Respostas: R$ 10.500,00, R$ 15.000,00 e R$ 18.000,00

34.Divida o número 981 em partes diretamente proporcionais a 2, 6 e 3 e

inversamente proporcionais a 5, 9 e 4, respectivamente. Respostas: 260; 360; 405


Matemática Financeira35.Divida o número 1228 em partes diretamente proporcionais a 1, 2, 3 e 4 e

inversamente proporcionais a 5, 6, 7 e 8, respectivamente. Respostas: 168; 280;

360 e 420



São aplicações dos casos de divisão em partes proporcionais.

Sociedade: um grupo de duas ou mais pessoas que se juntam, cada uma com

um determinado capital, que deverá ser aplicado por um certo tempo numa atividade

qualquer e com o objetivo de obter lucro.

Neste tópico iremos estudar:

> REGRAS DE SOCIEDADE SIMPLES

> REGRA DE SOCIEDADE COMPOSTA

> REGRA DE TRÊS SIMPLES

> REGRA DE TRÊS COMPOSTA


Matemática Financeira REGRA DE SOCIEDADE SIMPLES

1º caso: capitais diferentes e tempos iguais.

Exemplo 11: Cris e Joana se associaram para jogar na loto. Cris deu R$ 1,80 e Joana $

1,20. Tendo acertado um terno, elas ganharam R$ 1.600,00. Quanto cada uma

receberá?

x: parte proporcional à R$ 1,80 (Cris)

y: parte proporcional à R$ 1,20 (Joana)

x = 960

y = 640

R: Cris receberá R$ 960,00 e Joana, $ 640,00.

2º caso: capitais iguais e tempos diferentes.

Exemplo 12: Três sócios formaram uma sociedade com capitais iguais. O primeiro

permaneceu durante 2 anos, o segundo, 3 anos e o terceiro durante 4 anos. A

sociedade deu o lucro de R$ 900,00, como dividir essa quantia entre os três?

x: lucro do 1º

y: lucro do 2º

z: lucro do 3º

x = 200

y = 300

z = 400


Matemática FinanceiraR: O 1º receberá $ 200,00; o 2º, $ 300,00; e o 3º, $ 400,00.

REGRA DE SOCIEDADE COMPOSTA

Tanto os capitais quanto as períodos de investimentos são diferentes para cada

sócio.

Exemplo 13: Uma loja com duas sócias lucrou $ 7.200,00. A 1ª sócia empregou R$

1.000,00 durante um ano e oito meses; a 2ª, $ 2.000,00 durante oito meses. Quanto

recebeu cada sócia?

A: lucro da 1ª 1 000 x 20m

B: lucro da 2ª 2 000 x 8m

A = 4 000

B = 3 200

R: A 1ª sócia receberá $ 4.000,00 e a 2ª, $ 3.200,00.


36.Três sócios formaram uma sociedade. O primeiro entrou com do capital, o

segundo com e o terceiro com . A sociedade deu um lucro de $ 1.440,00.

Calcular o lucro de cada um. (Resposta: $ 480,00: $ 360,00; $ 600,00)

37.Dois sócios formam uma sociedade entrando com capitais iguais. O primeiro

permaneceu durante 2 meses e o segundo, durante 8 meses. A sociedade deu $ 2

000,00 de prejuízo. Calcular o prejuízo de cada sócio. (Resposta: $ 400,00;

1.600,00).

38.Três sócios formaram uma sociedade com o capital de $ 3 000,00. Sabe-se que o

primeiro recebeu $ 150,00 de lucro; o segundo, $ 200,00; e o terceiro, $ 250,00.

Calcular o capital de cada um. (Resposta: $ 750,00: $ 1 000,00; $ 1.250,00)


Matemática Financeira39.Certa sociedade constituída por três sócios, com o capital de $ 180.000,00 obteve

em determinado período $ 25 200,00 de lucro. Sabendo que o sócio A entrou com

1/3 do capital, que o sócio B entrou com 2/5 e que o sócio C entrou com o restante,

determine o lucro de cada sócio. (Resposta: A. 8.400,00; B. 10.080,00; C.

6.720,00)

40.Ao constituírem uma sociedade, dois sócios entraram com os capitais de $ 56

500,00 e R$ 42 500,00, respectivamente. Na divisão do lucro, o primeiro recebeu $

518,00 a mais que o segundo. Quando recebeu cada sócio? (Resposta:

$ 2. 090,50; $ 1.572,50).

41.Marcos e Francisco montaram uma locadora de vídeo empregando

respectivamente capitais de R$ 50.000,00 e R$ 30.000,00. Em determinado mês, a

loja obteve um lucro de R$ 3.200,00. Quanto coube a cada um? Resposta: R$

2.000,00 e R$ 1.200,00

42.Dois sócios lucraram, em um determinado período, R$ 28.200,00. O primeiro

aplicou R$ 80.000,00 na sociedade, durante 9 meses, e o segundo R$ 20.000,00,

durante 11 meses. Qual foi o lucro de cada um? Resposta: R$ 21.600,00 e

R$ 6.600,00

43.Três amigas Alessandra, Gabriela e Juliana resolveram montar uma butique. No

final de um determinado mês, o negócio apresentou um lucro de R$ 6.300,00.

Ficou acertado que a divisão do lucro seria proporcional ao tempo que cada uma

dedicava à loja diariamente. Alessandra trabalha das 8 às 12, Gabriela trabalha das

10 às 13 e Juliana das 13 às 18 horas. Dessa forma, quanto coube a cada uma?

Resposta: A = 12.100,00; G = 1.575,00, J = 2.625,00

REGRA DE TRÊS SIMPLES

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que

envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto,

determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e

mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.


Matemática FinanceiraExemplo 14: Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com

motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia.

Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?

Solução: montando a tabela:

Área (m2) Energia (Wh)1,2 4001,5 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª

coluna).

Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.

Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que

as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra

seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo

a equação temos:

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

Exemplo 15: Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400 Km/h, faz um

determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a

velocidade utilizada fosse de 480 km/h?


Velocidade (Km/h) Tempo (h)400 3480 x

Identificação do tipo de relação:



Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª

coluna).

Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.

Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que

as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra

seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e

resolvendo a equação temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

Exemplo 16:0 Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se

comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?


Camisetas Preço (R$)3 1205 x

Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.

Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que

as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a

equação temos:

Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.


Matemática FinanceiraExemplo 17: Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou

determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5

horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?


Horas por dia Prazo para término (dias)8 205 x

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para

término aumenta.

Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que

as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo

a equação temos:

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas

grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Exemplo 18: Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas,

quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em

cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Horas Caminhões Volume8 20 1605 x 125

Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo

na coluna que contém o x (2ª coluna).


Matemática Financeira A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.

Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir

o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para

cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões.

Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna).

Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de

acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão necessários 25 caminhões.

Exemplo 19: Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias.

Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?


Homens Carrinhos Dias8 20 54 x 16

Observe que: Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos

aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a

razão).

Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a

relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).

Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.




Logo, serão montados 32 carrinhos.

Exemplo 20: Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura.

Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo

necessário para completar esse muro?

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois

colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais

com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra

a figura abaixo:


Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.

Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios:


44.Se uma vela de 36 cm de altura diminui 1,8 mm por minuto, quanto tempo levará

para se consumir? Resposta: 3 horas e 20 minutos

45.Um trem com a velocidade de 45km/h, percorre certa distância em três horas e

meia. Nas mesmas condições e com a velocidade de 60km/h, quanto tempo

gastará para percorrer a mesma distância? Resposta: 2 horas, 37 minutos e 30

segundos


Matemática Financeira46.Um relógio atrasa 1 min e 15 seg a cada hora. No final de um dia ele atrasará:

Resposta: 30 minutos

47.Paulo trabalhou 30 dias e recebeu 15 000 reais. Quantos dias terá que trabalhar

para receber 20 000 reais? Resposta: 40 dias

48.Um ciclista percorre 120 km em 2 dias, dirigindo 3 horas por dia. Em quantos dias

percorrerá 500 km, viajando 5 horas por dia? Resposta: 5 dias

49.Uma roda de automóvel dá 2750 voltas em 165 segundos. Se a velocidade

permanecer constante, quantas voltas essa roda dará em 330 segundos?

Resposta: 5.500

50.Numa fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas de

serviço diário, 240 pares de calçados. Quantos operários São necessários para

produzir 600 pares de calçados por dia, com 10 horas de trabalho diário?

Resposta: 32 horas

51.Um ciclista percorre 120 km em 2 dias, dirigindo 3 horas por dia. Em quantos dias

percorrerá 500 km, viajando 5 horas por dia? Resposta: 5 dias

52.Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3

clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes?

Resposta: 60 minutos

53.Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10

torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas.

54.Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão.

Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6

toneladas de carvão? Resposta: 35 dias.

55.Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um

muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9

horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias.

56.Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma

velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para

entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta:

10 horas por dia.


Matemática Financeira57.Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm

de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20

centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025

metros.

58.Um operário recebe R$ 16.800,00 por 30 dias de trabalho. Quanto receberá por 55

dias de trabalho? Resposta: R$ 30.800,00

59.De cada lote de 90 kg de café cru obtemos 78 kg de café torrado. Quantos kg de

café cru serão necessários para obtermos 624 kg de café torrado? Resposta: 720

kg

60.Numa indústria metalúrgica, a produção diária de um certo componente de motor

é de 16.000 unidades. Foram admitidos mais 100 operários e a produção diária

passou a ser de 20.000 unidades. Qual era o número de operários que trabalhavam

na produção da indústria antes dessa admissão? Resposta: 400 operários.

61.Um avião comercial, com velocidade de 400 km/h, efetua a viagem entre Salvador

e Brasília em 3 horas. Em quanto tempo um avião a jato, com velocidade de 1.200

km/h, faria essa mesma viagem? Resposta: 1 hora.

62.Uma torneira despeja 4,25 litros de água por minuto e, assim, enche uma caixa em

três horas e meia. Quanto tempo gastará uma outra torneira para encher a mesma

caixa, se ela despeja 3,5 litros de água por minuto? Resposta: 4 horas e 15

minutos.

63.Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600km. Determine o consumo

desse mesmo carro, em condições equivalentes, para que ele percorra 840km

Resposta: 70 litros.

64.O preço de um artigo varia de modo inversamente proporcional à demanda. O

artigo custa R$ 450,00 quando são fabricadas 200.000 unidades. Qual o novo

preço para a fabricação de 450.000 unidades? Resposta: R$ 200,00.

65.Uma fábrica de refrigerantes utiliza uma máquina que rotula 2.000 garrafas em 5

dias, funcionando 8 horas por dia. Em quantos dias essa mesma máquina rotulará

6.000 garrafas, funcionando 12 horas por dia? Resposta: 10 dias.

66.Se 8 homens recebem um total de R$ 11.000,00 por 5 dias de trabalho de 9 horas

diárias, quantas horas diárias deverão trabalhar 5 homens para ganhar um total de

R$ 13.750,00 em 9 dias? Resposta: 10 horas diárias.


Matemática Financeira67.Um certo serviço pode ser realizado por um grupo de 12 operários em 20 dias de

trabalho de 8 horas diárias. Se esse mesmo trabalho tivesse que ser feito em

apenas 16 dias, com 16 operários igualmente eficientes, quantas horas por dia eles

deveriam trabalhar? Resposta: 7 horas e 30 minutos por dia.

68.Um contratorpedeiro, com guarnição de 300 homens, necessita de 120.000 litros

de água para efetuar uma viagem de 20 dias. Aumentando a guarnição em 50

homens e a água em 6.000 litros, qual deverá ser a duração da viagem? Resposta:

18 dias.

69.Em um tangue há duas torneiras. A primeira enche o tangue em 4 horas e a

segunda o esvazia em 12 horas. Abrindo-se as duas torneiras ao mesmo tempo e

estando o tanque vazio, em quantas horas ficará cheio? Resposta: 6 horas



Embora esses cálculos não sejam objeto da Matemática Financeira, mas da

Matemática Comercial, alguns deles serão analisados neste capítulo a título de pré-

requisito, pois sua compreensão poderá facilitar o estudo dos cálculos necessários à

realização das operações financeiras.

> PORCENTAGEM

> ACRÉSCIMOS SIMPLES

> ACRÉSCIMOS SIMULTÂNEOS

> ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS

> DESCONTOS SIMPLES

> DESCONTOS SIMULTÂNEOS

> DESCONTOS SUCESSIVOS

> LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO

> LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA

> PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE CUSTO

> PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE VENDA


Matemática Financeira PORCENTAGEM

A expressão por cento que costuma ser usada na linguagem comum, e é indicada

pelo símbolo %, pode sempre se entendida com o mesmo significado de

centésimo. Assim, quando se diz que dos 80 milhões de habitantes adultos de um

país, 30% são analfabetos, isto significa que os analfabetos representam uma

fração igual a , em outras palavras, para cada 100 habitantes 30 são

analfabetos.

Use uma regra de três simples para calcular quantos habitantes são analfabetos

neste país.

O valor, 80 milhões, que corresponde ao total de habitantes adultos do país, sobre

o qual foram calculados os 30%, é chamado de principal. Os 24 milhões, que

correspondem aos 30% desse total, chama-se porcentagem. A fração 0,30, razão

entre a porcentagem e o principal, é chamada taxa de porcentagem ou simplesmente

taxa. Quando a taxa é escrita na forma de fração (centésimos), é chamada taxa

unitária; quando é multiplicada por 100 e seguida do símbolo %, é chamada taxa

centesimal ou taxa percentual.

A taxa unitária é mais cômoda quando se efetuarem cálculos e, por essa razão, será sempre empregada nas formulas que serão deduzidas e utilizadas.

O cálculo percentual é usado quando se quer comparar partes de dois totais

diferentes ou quando se quer estuda a variação de valor de uma grandeza, de ordem

financeira ou não.

O cálculo de porcentagem é feito de forma mais rápida e mais prática pelo método

direto. Por isso vamos procurar generalizá-lo.

P = i . p1 ► Fórmula para o cálculo da Porcentagem

onde:P = Porcentagem P1 = principal i = taxa

Embora esta fórmula seja muito eficiente o mais correto é utilizar a calculadora

e realizar a operação mais rapidamente.




70.Calcular 20% de R$ 1.700,00. Resposta: 340

71.Uma mercadoria foi comprada por R$ 50,00 e vendida por R$ 80,00. Determinar a

taxa de lucro sobre o preço de compra e a taxa de lucro sobre o preço de venda.

(Resposta: sobre o preço de compra: 60%; sobre o preço de venda: 37,5%).

72.Um funcionário recebe um salário base de R$ 850,00. Recebe também um

adicional por tempo de serviço de 5% sobre o salário base. Além disso, está

respondendo pela chefia da seção, recebendo por isso 8% sobre o salário base. O

empregador desconta 8,5% sobre seu salário total para a contribuição

previdenciária. Quanto recebe esse funcionário? (Resposta: R$ 878,86).

73.Um vendedor é contratado na condição de ganhar 4% sobre a venda de cada dia.

Quanto receberá num dia em que vendeu R$ 2.500,00? Resposta: 100,00

74.Ao pagar uma dívida no valor de R$ 3.500,00, tive que pagar R$ 700,00 de multa.

De quanto por cento foi a multa? Resposta: 20%

75.O preço de um veículo passou de R$ 13.000,00 para R$ 18.200,00. Qual foi o

percentual de aumento? Resposta: 40%

76.Uma turma de 40 alunos. Destes 60% são moças e 40% são rapazes. Em um

determinado dia, compareceram às aulas 75% das moças e 50% dos rapazes.

Quantos alunos foram às aulas nesse dia? Qual a porcentagem que compareceu às

aulas nesse dia? Resposta: 26 alunos correspondem a 65%

77.No mês de janeiro, Carlos ganhava de salário R$ 560,00. Nos mês de fevereiro,

março e abril seu salário foi aumentado em 10%, 12% e 18% respectivamente.

Qual o salário de Carlos referente ao mês de abril? Resposta: R$ 814,10

78.Determine 3,5% de 800 (Resposta: 28)

79.A média de reprovação em concursos públicos é de 82%. Quantas pessoas serão

aprovadas num concurso público com 6 500 inscritos? (Resposta: 1.170)

80.Determine 35% de 8.000 (Resposta: 2.800)

ACRÉSCIMOS SIMPLES


Matemática FinanceiraSão calculados acréscimos sempre que se quer atualizar preços de bens ou de

serviços, calcular preços de vendas a partir dos preços de custos das mercadorias de

moda a garantir ao comerciante certa taxa de lucro, enfim, numa série de ocasiões.

Chamamos de Po o preço inicial que deve ser acrescido e de i a taxa (unitária), o

acréscimo será a fração calculada sobre Po (preço inicial).

V = P + i . PC V = P (1+i) ► Fórmula para o cálculo de Acréscimo

V = Valor ou Preço final P = preço inicial ou preço de custo i = taxa (unitária)

Exemplo 21: Em julho de 2002, o salário mínimo de um empregado estava fixado em

R$ 4.904,76. Em agosto desse mesmo ano, teve um acréscimo de 6,09%. Qual foi o

acréscimo e qual o valor do novo salário desse empregado?

V = P (1 + i)

V = 4.904,76 (1 + 0,0609)

V = 4.904,76 . 1,0609

V = 5.203,45

Exemplo 22: Um comerciante vende suas mercadorias com acréscimos de 20% sobre

o preço de custo. Qual foi o preço de custo de uma mercadoria que vendeu por R$

300,00?

V = P (1 + i)

300 = P (1 + 0,2)

300 = P . 1,2

P = 250,00

ACRÉSCIMOS SIMULTÂNEOS

Às vezes ocorre que um mesmo valor P0 está sujeito a dois ou mais acréscimos,

que incidem sobre ele ao mesmo tempo, com taxas diferenciadas. Neste caso o valor

final P será calculado como:

V = P (1 + i1 + i2 + in) ► Fórmula para o cálculo de Acréscimo Simultâneos

onde:

V = Preço final P = Preço inicial i1= 1ª taxa i2 = 2ª taxa in = enésima taxa


Matemática FinanceiraExemplo 23: Um funcionário recebe um salário –base de R$ 350,00. Tem um adicional

de 20% de acréscimo para responder pela chefia da seção e outro adicional de tempo

de serviço correspondente a 5% de acréscimo, ambos calculados sobre o salário base.

Quanto recebe ao todo? Qual a taxa total de acréscimos que tem sobre o salário-base

pela incidência dos adicionais?

V = P (1 + i1 + i2)

V = 350 (1 + 0,2 + 0,05)

V = 350 ( 1 + 0,25)

V = 350 . 1,25

V = 437,50

ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS

Suponha-se, agora, um valor inicial P0 que sofreu vários acréscimos sucessivos, de

diferentes taxas, de tal modo que cada acréscimo, a partir do segundo, incide sobre o

valor já acrescido dos acréscimos anteriores. Nesse caso, tem-se, a cada acréscimo,

novos valores P, que podem ser calculados com a seguinte relação:

V = P (1 + i1) (1 + i2) (1 + i3) (1 + in) ► Fórmula para o cálculo de Acréscimos

Sucessivos

Exemplo 24: O preço de fábrica de uma mercadoria é de R$ 3.500,00, mas, ao

comprá-la na fábrica, o revendedor deve pagar ainda um imposto no valor de 10%

desse preço. Quando a mercadoria é comprada no varejo por um consumidor, seu

preço final é acrescido de 20%. Calcular seu preço no varejo e a taxa total de

acréscimo sobre o preço de fábrica.

V = P (1 + i1) (1 + i2)

V = 3.500 (1 + 0,1) (1 + 0,2)

V = 3.500 . 1,1 . 1,2

V = 4.620,00

DESCONTOS SIMPLES

As operações envolvendo descontos ou abatimentos sobre preço de

mercadorias, ou sobre quaisquer valores, são comuns em nosso dia a dia. A


Matemática Financeiraantecipação de um pagamento, muitas vezes, recebe um desconto; nas liquidações

promovidas pelo comercio, há o desconto; em nosso salário há o desconto de várias

taxas, entre elas o imposto de renda, etc.

O estudo do desconto é, portanto, muito útil é será objeto de estudo durante todo o

curso.

O desconto é proporcional ao valor inicial, onde a constante de proporcionalidade é

a taxa percentual de desconto, isto é: d = i.p

O valor final, ou valor descontado, é o resultado da diferença entre o valor final e o

desconto, ou seja:

V = P (i – 1) ► Fórmula para o cálculo de Desconto

onde:

V = valor final ou descontado P = preço ou valor inicial i = taxa de desconto

Exemplo 25: Quanto de deve pagar por uma mercadoria de R$ 350,00, se houver um

desconto de 3%? Qual o valor do desconto?

V = P (i – 1)

V = 350 (1 – 0,03)

V = 350 . 0,97

V = 339,50

DESCONTOS SIMULTÂNEOS

Se o valor inicial P, sofrer vários descontos simultâneos de taxas diferentes, tem-se

vários descontos, e o valor final V será dado pela relação:

V = P (1 - i1 - i2 - i3 - in) ► Fórmula para o cálculo de Desconto Simultâneos

Exemplo 26: Um funcionário público do Estado do Paraná tem um salário-base de R$

825,00 com desconto de 6% para o ACA e 2% para o IPB, ambos calculados sobre o

salário-base. Qual o líquido a receber por esse funcionário?

V = P (1 - i1 - i2)

V = 825 (1 – 0,06 – 0,02)

V = 825 (0,94 – 0,02)

V = 825 . 0,92

V = 759,00

DESCONTOS SUCESSIVOS


Matemática FinanceiraSe um valor inicial P for aplicado um desconto i1, obteremos V1. Se a este valor

V1 for aplicada uma taxa i2, obteremos V2, formando assim um desconto sucessivo.

Calculado pela relação”.

V = P (1 - i1) (1 - i2) (1 - i3) (1 - in) ► Fórmula para o cálculo de Descontos

Sucessivos

Exemplo 27: Uma indústria resolve diminuir sua produção mensal, de 50.000

unidades, em 5%. Um mês depois, resolve diminuir novamente sua produção em mais

7%. Qual a produção atual dessa indústria?

V = P (1 - i1) (1 - i2)

V = 50.000 (1 – 0,05) (1 – 0,07)

V = 50.000 . 0,95 . 0,93

V = 44.175,00

Porcentagem sobre o preço de custo

Operações de compra, venda, permuta, etc. de mercadorias, feitas com objetivo

de obter lucro, são chamadas operações comerciais, sendo o lucro a diferença entre o

preço de venda e o preço de custo.

Convém ressaltar que o custo de uma mercadoria não se limita ao seu preço de

aquisição. No custo também entram alguns fatores como: gasto com armazenagem,

transporte, comercialização etc. O levantamento sistemático do custo de uma

mercadoria é feito, nas empresas mais estruturadas, através de uma planilha. No

entanto, é muito comum o empresário simplesmente arbitrarem uma determinada

taxa de lucro a qual imaginam cobrir suas despesas e permitir um lucro liquido

razoável.

Em diversas situações envolvendo operações comerciais, é comum ouvirmos

frases como:

“Vendi uma mercadoria com 20% de lucro”

“Vendi uma mercadoria com 32,5% de prejuízo”

Frases como essas são motivos de dúvidas e confusão: 20% de lucro sobre o

quê? Trinta e dois e meio por cento de prejuízo sobre o quê?

É claro que, na maioria das vezes, a taxa de lucro (ou prejuízo) refere-se ao

preço de compra da mercadoria, pois este é o capital empregado pelo comerciante.

No entanto algumas vezes, é mais prático trabalhar com taxas sobre o preço de

venda, pois esse, em geral, é o que está escrito nas tabelas, cartazes, etiquetas, etc.


Matemática FinanceiraQuando o cálculo de lucro ou prejuízo é calculado, em bases percentuais, em

cima do preço de custo do produto adquirido, temos o que é chamado de

porcentagem sobre o custo.

Todo comerciante compra uma certa mercadoria por um determinado preço,

que é chamado de preço de custo, e em seguida, efetua a revenda do mesmo com

lucro ou prejuízo, dependendo do preço que a mercadoria foi passada ao mercado

consumidor. Em problemas envolvendo porcentagem sobre compra e venda de

mercadorias, temos os seguintes casos distintos:

» porcentagem (%) sobre venda

» porcentagem (%) sobre custo

Este é o processo normal, e que é usado e adotado no mercado comercial.

E porque ter noção desta distinção? Ela se torna muito importante na resolução

de problemas envolvendo dinheiro.

LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO

O lucro sobre o custo é dado pela soma do preço de custo (PC) com o produto

de uma taxa percentual (i) e o preço de custo (PC). Então podemos escrever a

seguinte equação:

PV = PC (1 + i) ► Fórmula para calcular o Lucro sobre o preço de custo

Exemplo 28: Um comerciante fixou em 20% o lucro sobre o preço de aquisição de

suas mercadorias. Uma delas custou R$ 1.200,00. Por quanto deverá vendê-la?

V = P (1 + i)

V = 1.200 (1 + 0,2)

V = 1.200 . 1,2

P = 1.440,00

Exemplo 29: Um objeto que custou R$ 285,00 foi vendido por R$ 319,20. Qual foi a

taxa de lucro sobre o perco de custo?

V = P (1 + i)

319,20 = 285 (1 + i)

= 1 + i

1,12 = 1 + i

1,12 – 1 = i

i = 0,12 (x 100)

i = 12%



LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA

O lucro sobre a venda é dado pela soma do preço de custo (PC) com o produto

de uma taxa percentual (i) e o preço de venda (PV). Então podemos escrever a

seguinte equação.

► Fórmula para calcular o Lucro sobre o preço de venda

Exemplo 30: Uma mercadoria custou R$ 22,50. Pretendo vendê-la com 25% de lucro

sobre o preço de venda. A que preço devo vendê-la?

Operações com Prejuízo

O prejuízo é caracterizado por uma taxa de lucro negativa. Significa dizer que o

produto foi vendido por um preço menor que o de aquisição. Neste caso provoca

mudança nos sinais dos números que exprimem as fórmulas acima:

PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE CUSTO

PV = PC (1 - i) ► Fórmula para calcular o Prejuízo sobre o preço de custo

Exemplo 31: Comprei um aparelho de som por R$ 450,00. Precisando de dinheiro fui

obrigado a vendê-lo, com 22% de prejuízo. Qual foi o meu prejuízo? Por quanto vendi

o aparelho?

PV = PC (1 - i)

PV = 450 (1 -0,22)

PV = 450 . 0,88

PV = 396



PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE VENDA

► Fórmula para calcular o Prejuízo sobre o preço de venda

Exemplo 32: Um objeto foi vendido com um percentual de prejuízo de 30% sobre o

preço de venda. Sabendo que o preço de custo foi de R$ 2.300,00, por quanto foi

vendido este objeto? Qual foi o prejuízo?


81.Escreva as taxas centesimais correspondentes a:

a) 25%b) 5%c) 1%d) 0,5%e) 12,5%f) 100%g) 300%h) 1000%

82.No mês passado recebi R$ 2.600,00. Quanto deve receber neste mês se tive um

aumento de 7,2% no meu salário? Resposta: R$ 187,20

83.Escreva as taxas centesimais correspondentes a:

a) 0,4b) 0,8c) 0,07d) 0,67e) 1,2f) 4.7g) 0,725h) 6,8

84.Recebi R$ 2.787,20 de salário após ter tido um aumento de 7,2%. Quanto recebia

antes do aumento? Resposta: R$ 2.600,00


Matemática Financeira85.No mês passado recebi R$ 2.600,00 de salário e neste mês, após um aumento,

recebi R$ 2.782,20. Qual foi a taxa de aumento? Resposta: 7%

86.Um atacadista, quando vende no varejo, cobra 25% a mais sobre os preços

marcados em suas mercadorias:

a) Quanto cobra para vender no varejo uma mercadoria cujo preço marcado é

R$ 45,20? Resposta: R$ 56,50

b) Qual o preço marcado em uma mercadoria que é vendida no varejo por R$

18,45? Resposta: R$ 14,76

87.Um comerciante desconta 5% dos preços marcados nas suas mercadorias quando

os compradores pagam a vista:

a) Qual o preço a vista de uma mercadoria cujo preço marcado é de R$

105,00? Resposta: R$ 99,75

b) Qual o preço marcado em uma mercadoria vendida a vista por R$ 11,40?

Resposta: R$ 12,00

88.Uma loja distribuidora de certo produto oferece um desconto de 10% nos preços

das mercadorias quando as compras são feitas no atacado. Desconta ainda 5% do

preço final para pagamento a vista. Que desconto teve um revendedor que

comprou nesta loja por atacado e pagou a vista? Resposta: R$ 85,50

89.Um comprador pagou por uma mercadoria a quantia de R$ 6.720,00, resultante da

inclusão de uma taxa de imposto de 5% sobre o preço de venda, Qual o preço de

custo dessa mercadoria, para o vendedor, se seu lucro é de 25% sobre o custo?

Resposta: R$ 5.107,20

90.No mês passado, uma loja remarcou os preços de suas mercadorias com

acréscimos de 12% e neste mês acrescentou mais 15% sobre os preços

remarcados:

a) Quanto custa hoje uma mercadoria que antes dessas duas remarcações

custava R$ 2.500,00? Resposta: R$ 3.220,00

b) Uma mercadoria que hoje custa R$ 1.030,40, quanto custava antes das

remarcações? Resposta: R$ 799,50

c) Qual a taxa acumulada de aumento que sofreram os preços nestes dois

meses? Resposta: 28,88%

91.Um objeto foi comprado por R$ 2.800,00 e vendido por R$ 3.500,00.

a) Qual a taxa de lucro sobre o preço de custo? Resposta: 25%

b) Qual a taxa de lucro sobre o preço de venda? Resposta: 20%


Matemática Financeira92.O que é mais vantajoso: um lucro de 25% sobre o preço de venda ou de 30% sobre

o preço de custo? Resposta: 25% sobre o preço de venda

93.Um comerciante comprou 40kg de feijão e quer vendê-los no varejo de modo a

poder comprar, com o dinheiro da venda, 50 kg do mesmo feijão. Qual deve ser a

taxa de lucro sobre a compra? Resposta: 25%

94.Um objeto cujo preço normal é de R$ 80,00 foi vendido a R$ 50,00. Qual foi a taxa

de desconto? Resposta: 37,5%

95.Qual o percentual de prejuízo que tive sobre a venda de um objeto que custou R$

300,00 e foi vendido por R$ 1.200,00? Resposta: 300%

96.Uma loja pretende fazer uma promoção, oferecendo a seus clientes 40% de

desconto. No entanto, a fim de minimizar seus prejuízos, aumentou primeiro seus

preços. Que taxa de aumento deve aplicar a um artigo que custava R$ 100,00 de

modo que, quando anunciado com 40% de desconto, seja vendido por R$ 72,00?

Resposta: R$ 120,00 ou 20%

97.Um lote de livros foi impresso em duas tipografias, A e B. A imprimiu 70% e B

imprimiu 30% do total. Abe-se que 3% dos livros impressos em A e 2% dos livros

impressos em B são defeituosos. Qual a porcentagem dos livros defeituosos do

lote? Resposta: 2,7%

98.Um objeto foi vendido por R$ 450,00 com 30% de prejuízo sobre o preço de custo.

Qual foi o preço de custo? Resposta: 642,85

99.O preço de venda de um eletrodoméstico é de $6.500,00. o dono da loja Paga ao

vendedor uma comissão de 10% sobre o preço de venda e ainda ganha 30% sobre

o preço de custo. O preço de custo desse eletrodoméstico é: Resposta: R$

4.500,00

100. Certa mercadoria foi comprada e revendida, sucessivamente, por dois

negociantes. O primeiro teve um lucro de 10% sobre o preço de compra e o

segundo, um prejuízo de 10%. Se o último revendeu a mercadoria por $ 3.960,00,

o primeiro, ao adquiri-la, pagou: Resposta: R$ 4.000,00

101. Comprei uma casa por R$ 200 000,00. Tendo gasto 5% desse valor em impostos

e 3% de comissão para o corretor, quanto efetivamente tive que desembolsar?

Resposta: 216 000,00


Matemática Financeira102. O preço de uma mercadoria foi remarcado três vezes neste mês, passando a

custar R$ 27.716,00. Quanto custava no mês passado se a primeira remarcação

correspondeu a um acréscimo de 2,5% e as duas seguintes de 4% cada uma?

Resposta: R$ 25.082,35

103. Sobre uma compra de R$ 400,00 foi-me concedido um desconto de 12%. Como

ainda achei o preço muito alto, solicitei e consegui, sobre o novo valor, outro

desconto de 5%. Quanto paguei. Teria sido melhor conseguir 17% sobre o primeiro

valor ou não? Resposta: R$ 334,40, sim teria pago R$ 332,00

104. Um objeto custa R$ 75,00 e é vendido por R$ 100,00. Determinar:

a) a porcentagem de lucro em relação ao preço de custo; Resposta: 33,33%

b) a porcentagem de lucro em relação ao preço de venda. Resposta: 25%

105. Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos

deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém, ele prepara a tabela

de preços de venda acrescentando 80% ao preço de custo, porque sabe que o

cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto

que ele pode concede ao cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter

prejuízo? Resposta: 20% sobre o preço de venda



O estudo de matemática financeira concentra-se na análise do crescimento do

capital em função dos juros a ele acrescidos através de regimes de capitalização. Os

regimes de capitalização normalmente utilizados são simples (ou linear) e composto

(ou exponencial).

Capitalização simples é o regime segundo o qual os juros produzidos no final de

cada período têm sempre o capital inicial como base de cálculo. Sua aplicação está

mais relacionada com períodos de capitalização inferiores a um mês (taxa de juros do

cheque especial cobrada dentro de um mês) e a desconto de títulos junto a agentes

financeiros (desconto de cheques pré-datados nos bancos)

Neste tópico iremos estudar:

> TAXA NOMINAL

> TAXA PROPORCIONAL

> OUTROS TIPOS DE TAXA

> JUROS SIMPLES

> MONTANTE SIMPLES

> TAXA EFETIVA SIMPLES

> DESCONTO RACIONAL OU DESCONTO POR DENTRO

> DESCONTO COMERCIAL OU DESCONTO POR FORA

> DESCONTO BANCÁRIO


Matemática FinanceiraA Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas

alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em

empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um

Fluxo de Caixa.

Nomenclatura

Capital: O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira.

Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado.

Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras

financeiras).

Juros: Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma

atividade produtiva. O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele

existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a

pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a

quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a

emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por

esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O

tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos

definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.

Tempo: Refere-se ao período de tempo, prazo, que o dinheiro deverá ficar

emprestado. Exemplo: 5 meses, 8 anos, 58 dias, 4 bimestres, etc..

Taxa de juros: A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro

emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da

forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se

refere: 8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).

Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa

percentual dividida por 100, sem o símbolo %:

Forma de resgate ou amortização: é a forma como o capital é resgatado (pelo

aplicador) ou amortizado (pelo tomador do empréstimo). Pode ser de uma única

vez no vencimento final da operação ou em parcelas intermediárias.

Forma de pagamento de juro: determina as condições de periodicidade de

pagamento de juro.

Spread: é a taxa de determinação cobrada pelo intermediário financeiro.


Matemática Financeira O Fluxo de Caixa: é o gráfico da matemática financeira. Serve para demonstrar

graficamente as transações financeiras em um período de tempo. O tempo é

representado por uma linha horizontal dividida pelo número de períodos relevantes

para análise. As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais

apontadas para cima e as saídas ou pagamentos são representados por setas

verticais apontadas para baixo.

TAXA NOMINAL

É a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com

a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é sempre fornecida

em termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais,

mensais ou diários. São exemplos de taxas nominais:

12% ao ano, capitalizados mensalmente;

24% ao ano, capitalizados semestralmente;

10% ao ano, capitalizados trimestralmente;

18% ao ano, capitalizados diariamente.

A taxa nominal, apesar de bastante utilizada no mercado, não representa uma

taxa efetiva e, por isso, não deve ser usada nos cálculos financeiros, no regime de

juros compostos.

Toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que é a

taxa de juros a ser aplicada em cada período de capitalização. Essa taxa efetiva

implícita é sempre calculada de forma proporcional, no regime de juros simples.

TAXAS PROPORCIONAIS

São aquelas que aplicadas sobre um mesmo capital inicial, durante um mesmo

período de tempo, geram montantes iguais, embora seus períodos de incidência sejam

diferentes.

É utilizada nos contratos de crédito quando expressa a taxa nominal, porém

não possuímos nenhuma operação de crédito que seja atualizada por taxa nominal.

As taxas proporcionais incidem sempre sobre o capital inicial, pois se baseiam

em Juros Simples. São calculadas através de uma proporção (regra de três).

Exemplo 33: A taxa de 24% ao semestre é proporcional a:

12% ao trimestre, pois (24 :2) = 12

4% ao mês, pois (24 : 6) = 4

48% ao ano, pois (24 x 2) = 48



OUTROS TIPOS DE TAXAS

A Taxa Acumulada de juros com taxas variáveis é, normalmente utilizada em

situações de correções de contratos como, por exemplo, atualização de aluguéis,

saldo devedor da casa própria e contratos em geral.

A composição das taxas pode ocorrer de duas formas, com taxas positivas ou

com taxas negativas.

A Taxa real de juros nada mais é do que a apuração de ganho ou perda em

relação a uma taxa de inflação ou de um custo de oportunidade. Na verdade, significa

dizer que taxa real de juros é o verdadeiro ganho financeiro.

Se considerarmos que uma determinada aplicação financeira rendeu 10% em

um determinado período de tempo, e que no mesmo período ocorreu uma inflação de

8%, é correto afirmar que o ganho real desta aplicação não foram os 10%, tendo em

vista que o rendimento correspondente sofreu uma desvalorização de 8% no mesmo

período de tempo; desta forma temos de encontrar qual o verdadeiro ganho em

relação à inflação, ou seja, temos de encontrar a taxa real de juros.

A Taxa Aparente é a taxa que se obtém numa operação financeira sem se

considerar os efeitos da inflação.

Se a inflação for zero, a taxa aparente e a taxa real são iguais.

A Taxa Over equivalente é uma taxa usada pelo mercado financeiro para

determinar a rentabilidade por dia útil, normalmente é multiplicada por 30 (conversão

do mercado financeiro). Nas empresas, em geral, é utilizada para escolher a melhor

taxa para investimento.

Esta prática ganhou maior importância principalmente no início dos anos 90.

Várias aplicações são efetuadas tomando como base os dias úteis; entre elas temos as

operações de CDIs – Certificados de Depósitos Interbancários.

A Taxa Média de juros tem como base teórica o conceito estatístico da média

geométrica.

Do ponto de vista da matemática financeira, podemos calcular a taxa média de

um conjunto de taxas extraindo a raiz enésima, tomando-se como base o número de

termos do próprio conjunto de taxas.

A Taxa Efetiva: É a taxa de rendimento que a operação financeira proporciona

efetivamente.

A taxa efetiva pode ser utilizada no regime de juros simples e no regime de

juros composto


Matemática FinanceiraEXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO

106. Calcule a taxa proporcional nas hipóteses seguintes:

a) 96% ao ano é proporcional à taxa de................... % ao mês.

b) 4,2% ao semestre é proporcional à taxa de...........% ao ano.

c) 6% ao mês é proporcional à taxa de.....................% ao ano.

d) 0,20% ao dia é proporcional à taxa de..................% ao ano.

e) 16,3% ao bimestre é proporcional à taxa de .........% ao quadrimestre.

f) 45% ao trimestre é proporcional à taxa de............% na quinzena.

OS JUROS

O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a

maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço

por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente

para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a

alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção

do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de

dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a

remuneração, mais conhecida como taxa de juros.

Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

JUROS SIMPLES: O juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre

o capital inicial emprestado ou aplicado.

JUROS COMPOSTOS: O juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do

saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo

é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

Quando usamos juros simples e juros compostos?

A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão

incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito,

empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de

Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso

para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do

processo de desconto simples de duplicatas.


Matemática Financeira Juro Comercial e Juro Exato

Nas operações financeiras em que o prazo é contado em dias, o juro obtido recebe

uma denominação especial dependendo do tipo de prazo que se considera.

Juros Comercial: é aquele que se obtém contando-se o número de dias pelo critério

comercial, isto é, consideram-se todos os meses com 30 dias e por conseqüente o ano

com 360 dias.

Juros Exato: é aquele que se obtém contando-se o número exato de dias pelo critério

do prazo exato, isto é, considera-se os dias dos meses conforme concebidos no

calendário.

Conversão de Datas

Suponha que você faça um crediário no dia 10 e, claro, precisa calcular quantos

dias restam até o final do mês . "Ora (Pensa você) é só verificar qual dia termina o

mês (se dia 28, 30 ou 31) e subtrair a diferença. Você estará, na verdade, 50% certo.

Na verdade, existem 2 métodos para calcular um intervalo entre duas datas:

Tempo exato : é o referido acima . Você verifica em que dia, exato, termina o

prazo que você tem e calcula a diferença. Por exemplo, entre 25 de abril e 27 de

setembro você tem 155 dias.

Tempo aproximado ou comercial : é aquele no qual assumimos que cada mês

possui 30 dias. Assim, Seguindo o intervalo de datas acima temos decorridos 5

meses de 25 de abril a 25 de setembro ( ou seja 150 dias ) mais 2 dias até 27 de

setembro e temos como total 152 dias. A diferença, é claro, acaba sendo mínima

mas quando altas quantias estão envolvidas, um dia faz muita diferença.

OS JUROS SIMPLES

Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o

capital inicial, não incide, pois, sobre os juros acumulados. a taxa varia linearmente

em função do tempo.

Cálculo dos Juros


Matemática FinanceiraValor dos juros é obtido da expressão:

J = PV . i . n ► Fórmula para o cálculo dos Juros Simples

onde:

j = valor dos juros

PV = valor do capital inicial ou principal

i = taxa

n = prazo

Exemplo 34: Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$

10.000,00, pelo prazo de 15 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% a m.?

Dados: Solução:

PV = 10.000,00

n = 15 meses

i = 3% a m.

j = ?

j = PV . i . n

j = 10.000,00 x 0,03 x 15

j= 4.500,00

Exemplo 35: Um capital de R$ 25.000,00, aplicado durante 10 meses, rende juros de

R$ 5.000,00. Determinar a taxa correspondente?

Dados: Solução:

PV = 25.000,00

j = 5.000,00

n = 10 meses

i = ?

j = PV . i . n

5.000 = 25.000,0 x i x10

i = 0,02 ou 2% a. m.

Exemplo 36: Calcule o tempo que um capital de $ 2.500,00, fica aplicado a uma taxa

simples de 9% ao mês e rende de juros R$ 2.250,00.

Dados: Solução:

PV = 2.500,00

n = ?

i = 9% a m.

j = 2.025,00

j = PV x i x n

2.025 = 2.500,00 x 0,09 x n

2.025= 225 x n

n = 9 meses


Matemática FinanceiraExemplo 37: Uma aplicação de R$ 50.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um

rendimento de R$ 8.250,00. Indaga-se: Qual a taxa diária correspondente a essa

aplicação?

Dados: Solução:

PV = 50.000,00

j = 8.250,00

n = 180 dias

i = ?

j = Pv . i . n

8.250 = 50.000,00 x i x 180

8.250 = 9.000.000 x i

i =

i = 0,00091667 (x 100).

i = 0,091667% ao dia.


Matemática FinanceiraMontante é a soma do Capital com os juros. O montante também é conhecido

como Valor Futuro. Em língua inglesa, usa-se Future Value, indicado nas calculadoras

financeiras pela tecla FV. O montante é dado pela fórmula:

FV = PV (1 + i . n) ► Fórmula para o cálculo do Montante Simples

onde:

FV = Valor Futuro ou Montante

PV = Valor Presente ou Capital

i = Taxa unitária

n = Tempo ou prazo

Exemplo 38: Calcule o montante resultante da aplicação de R$ 70.000,00 à taxa de

10,5% a.a. durante 145 dias.

SOLUÇÃO:

Exemplo 39: Seu chefe, num ato de generosidade desmedida e pressionado pelo

Sindicato, informou que, no mês que vem, dará um aumento de 3% no salário de

todos os funcionários . Supondo-se que você ganhe $ 1.100,00, para quanto vai o seu

salário?

Dados: Solução:

PV = 1.100,00

n = 1

i = 3% a m.

FV = ?

FV = PV (1 +i . n)

FV = 1.100 (1 + 0,03 x 1)

FV = 1.100 (1 + 0,03)

FV = 1.100 . 1,03

FV = 1.133,00


107. Qual o montante de uma aplicação de $16.000,00 a juros simples, durante 5

meses, à taxa de 80% a.a.? Resposta: R$ 21.333,33

108. Um capital de $1.000,00 foi aplicado por 2 meses, a juros simples e à taxa de

42% a.a.. Qual o montante? Resposta: R$ 1.070,00


Matemática Financeira109. Bruno aplicou $30.000,00 a juros simples, pelo prazo de 6 meses, e recebeu

$9.000,00 de juros. Qual a taxa mensal da aplicação? Resposta: 5% a.m.

110. Numa aplicação de $3.000,00 a juros simples e à taxa de 10% a.a., o montante

recebido foi de $4.800,00. Determine o prazo da aplicação. Resposta: 6 anos.

111. Paula aplicou uma certa quantia a juros simples à taxa de 1,8% a.m., pelo prazo

de 4 meses. Obtenha o juro auferido nessa aplicação sabendo-se que o montante

recebido foi de $5.360,00. Resposta: $360,00

112. Mara aplicou $800,00 a juros simples e à taxa de 12% a.a.. Se ela recebeu

$384,00 de juros, obtenha o prazo da aplicação. Resposta: 4 anos

113. Uma geladeira é vendida à vista por $1.500,00 ou então à prazo com $450,00

de entrada mais uma parcela de $1.200,00 após 4 meses. Qual a taxa mensal de

juros simples do financiamento? Resposta: 3,57% a.m.

114. Um vestido de noiva é vendido à vista por $2.400,00 ou então à prazo com 20%

de entrada mais uma parcela de $2.150,00 dois meses após a compra. Qual a taxa

mensal de juros simples do financiamento? Resposta: 5,99% a.m.

115. Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros simples e à taxa de

8% a.a. para que duplique? Resposta: 12,5 anos

116. Um capital aplicado à taxa de juros simples de 8% a.m. triplica em que prazo?

Resposta: 25 meses

117. Um determinado capital, aplicado a juros simples durante 16 meses, rendeu

determinado juro. Em que prazo deveríamos aplicar o quádruplo deste capital, para

dar o mesmo juro, sabendo-se que a taxa é a mesma? Resposta: 4 meses

118. Dois capitais, um de $200.000,00 e outro de $222.857,00, foram aplicados

numa mesma data, a juros simples, sendo o primeiro à taxa de 168% a.a. e o

segundo à de 120% a.a.. Qual o prazo para que os montantes se igualem?

Resposta: 4 meses

119. Dois capitais, o primeiro igual a $1.100,00 e o segundo igual a $500,00,

estiveram aplicados a juros simples durante 3 meses. Qual a taxa de aplicação do

primeiro se o segundo, aplicado à taxa de 10% a.m., rendeu $246,00 menos que o

primeiro? Resposta: 12% a.m.


Matemática Financeira120. Cleide aplicou metade de seu capital a juros simples e à taxa de 30% a.a.,

durante um ano; o restante foi dividido em duas partes iguais, aplicadas por um

ano, sendo a primeira à taxa de 28% a.a. e a segunda à 32% a.a.. Determinar a

taxa anual de juros simples a que todo o capital de Cleide deveria ser aplicado por

um ano para que o juro obtido seja igual à soma dos juros das três aplicações

mencionadas. Resposta: 30% a.a.

121. Um fazendeiro possui um estoque de 1.000 sacas de café e, na expectativa de

alta de preço do produto, recusa a oferta de compra desse estoque à razão de

$3.000,00 por saca. Três meses mais tarde, forçado pelas circunstâncias, vende o

estoque por $2.400,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de

5% a.m., calcule o prejuízo real do fazendeiro na data de venda da mercadoria,

utilizando o regime de capitalização simples. Resposta: R$ 1.050.000,00

122. Um produtor de milho, possuidor de um estoque de 30.000 sacas, na

expectativa de alta do preço do produto, recusa a oferta de compra desse estoque

à razão de $5,00 por saca. Seis meses mais tarde, vende o estoque por $12,00 a

saca. Sabendo-se que a taxa de juros simples de mercado é de 12% a.m., calcule o

lucro (ou prejuízo) real do produtor, utilizando o regime de juros simples. Resposta:

Lucro de R$ 102.000,00

123. Uma aplicação financeira de R$ 1.000,00 tem prazo de 3 meses, rende juros

simples à taxa de 1,8% a.m., porém o investidor deve pagar no ato do resgate um

imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido. Qual o valor resgatado

pelo investidor. Resposta: R$ 1.043,20

124. Uma aplicação financeira de R$ 6.500,00 tem prazo de 4 meses, rende juros

simples à taxa de 24% a.a., porém o investidor deve pagar no ato do resgate um

imposto de renda igual a 23% do valor do juro auferido. Qual o valor resgatado

pelo investidor. Resposta: R$ 6.900,40

125. Dividir $1.200,00 em duas partes, de forma que a primeira, aplicada a juros

simples à taxa 8% a.m. durante dois meses, renda o mesmo juro que a segunda,

aplicada a 10% a.m. durante 3 meses. Resposta: R$ 782,61 e $417,39

126. Bruno, dispondo de $3.000,00, resolveu aplicá-los em dois bancos. No primeiro,

aplicou uma parte a juros simples à taxa de 8% a.m. por 6 meses e, no segundo,

aplicou o restante também a juros simples por 8 meses à taxa de 10% a.m.

Determine o quanto foi aplicado em cada banco sabendo-se que o total dos juros

auferidos foi de $1.824,00. Resposta: R$ 1.800,00 e $1.200,00


Matemática Financeira127. Certo comerciante poderia ter vendido uma mercadoria, a vista, por R$ 1.000,00

e aplicado a taxa de juros simples de 3,4% ao mês no Banco Quebrado S.A. No

entanto preferiu aumentar seu preço para R$ 1.153,00 e conceder um prazo de

120 dias para seu pagamento. Ele fez um bom negócio? Justifique resolvendo o

exercício.

128. Um banco cobra uma taxa de 10% de juros simples ao mês para os excessos em

conta corrente e um cliente utilizou R$ 1.540,00 durante 15 dias. Qual deverá ser o

valor dos juros a serem pagos? Resposta: R$ 77,00

129. Uma pessoa vai fazer uma compra no valor de R$ 4.000,00, usando o que tem

depositado em uma aplicação que rende 1% de juros simples ao mês. Do ponto de

vista financeiro, qual plano é mais vantajoso: pagar à vista ou pagar em duas

prestações iguais de R$ 2.010,00 sendo uma na entrada. Resposta: melhor

comprar a vista.

TAXA EFETIVA SIMPLES

É a taxa de rendimento que a operação financeira proporciona efetivamente.

Isto acontece em razão de existirem obrigações, taxas, impostos ou comissões

que comprometem os rendimentos ou oneram os pagamentos de juros. Critérios

diferentes para o cálculo de juros também fazem a taxa nominal diferir da taxa

efetiva, como por exemplo, juros cobrados antecipadamente ou calculados sobre um

total que na realidade é pago em parcelas.

Esses e outros artifícios às vezes são utilizados conscientemente para mascarar

a taxa efetiva ou fazer os juros parecerem maiores ou menores conforme a

conveniência.

Para calcular a taxa efetiva simples usamos as fórmulas derivada do Montante

Simples.

► Fórmula para calcular a Taxa Efetiva Simples

Exemplo 40: Uma instituição financeira faz empréstimos e cobra 8% ao mês de juros

simples que devem ser pagos antecipadamente pelo tomador. Qual a taxa efetiva que

o tomador pagou por um empréstimo de R$ 50.000,00 por três meses?

* Primeiramente temos que calcular os juros pagos antecipadamente.

J = PV . i . n


Matemática FinanceiraJ = 50.000 . 0,08 . 3

J = 12.000,00

Como ele pagou R$ 12.000,00 de juros acabou levando R$ 38.000,00.

Para entendermos o que significa a taxa efetiva, devemos pensar a seguinte

situação. Imagine que o negócio que o tomador do empréstimo iria fazer não se

concretizou. Ele não pode ficar com o dinheiro parado, pois terá que devolver á

instituição financeira o valor emprestado. Então, qual a taxa que deverá ser aplicado

os R$ 38.000,00 para que no final do período o tomador do empréstimo tenha o valor

de R$ 50.000,00 para pagar a dívida?

Portanto ele terá que aplicar o dinheiro em uma instituição que remunere a uma

taxa de 10,52% ao mês. Logo a taxa efetiva corresponde a 10,52% ao mês.


130. Foi feito um empréstimo no valor de r$ 2.500,00, pagando-se no final R$

2.640,00, porém o cliente pagou no ato da operação um total de despesas de R$

31,25, determine as taxas: Resposta: Efetiva para o cliente = 6,94% Nominal

oferecida pelo banco.= 5,60%

131. Um cliente fez uma aplicação no valor de R$ 2.000,00, para resgatar bruto no

final R$ 2.055,20, porém pagou R$ 5,52% de IR no final da operação. Calcule:

a)Taxa Nominal, Resposta: Resposta: 2,76%

b)Taxa Efetiva; Resposta: Resposta: 2,48%

132. Foi feito um empréstimo no valor de R$ 3.200,00, e os juros pagos no final da

operação foram de R$ 358,40. Sabendo-se que o banco, cobrou no ato da operação

R$ 13,00 referente a despesas e mais R$ 25,00 de cadastramento, pergunta-se:

a) Qual a taxa nominal oferecida pelo banco? Resposta: 11,20%

b) Qual a taxa efetivamente paga pelo cliente? Resposta: 12,54%

133. No financiamento de R$ 15.000,00, pelo prazo de 6 meses, o cliente recebeu o

valor liquido de R$ 12.525,00. Se a taxa de juros for fixada em 27% ao ano, existirá

taxa de serviço cobrada no desconto bancário? Resposta: Sim, 3%


Matemática Financeira134. Calcular o desconto comercial de uma duplicata cujo valor nominal de R$

7.500,00, considerando-se a taxa de juros de 28,8 % ao ano e o prazo de

antecipação do resgate como sendo de 50 dias. Que taxa de juros efetiva está

sendo adotada? Resposta: Dc = R$ 300,00; Te = 0,0833% a. d. ou 30% a.a.

135. As lojas Enairam oferecem um produto pelo preço de R$ 1.800,00 a vista.

Esclarece que o comprador poderá pagar em duas vezes com um pequeno

aumento de 5% a mais sobre o preço total, isto é, poderá pagar R$ 945,00 no ato

da compra e R$ 945,00 após 30 dias. Qual a taxa efetiva que essa loja esta

cobrando? Resposta: 10,52%

136. Um capitalista depositou R$ 200.000,00 num banco, a prazo fixo por dois

meses, à taxa de 1.2% ao mês. Sabendo que sobre os juros incide uma taxa de

30% de Imposto de Renda, determine:

a) Imposto de Renda retido; Resposta: R$ 1.440,00.

b) O valor líquido de resgate; Resposta: R$ 203.360,00.

c) A taxa efetiva mensal do rendimento. Resposta: R$ 1,8%


Matemática Financeira DESCONTOS SIMPLES

Entende-se por desconto o abatimento que se faz sobre um título de crédito

quando resgatado antes da data do vencimento. Os títulos que sofrem operações de

desconto, geralmente são: nota promissória1, a duplicata2 e a letra de câmbio3. O

desconto é uma das mais comuns aplicações da regra de juro. Em ambos os casos há

um benefício, definido pela diferença entre as duas quantidades. Esse benefício,

obtido de comum acordo, recebe o nome de desconto.

Diz-se:

Dia do vencimento - é o dia fixado no título para pagamento (ou recebimento) da

aplicação;

Valor nominal - (ou valor futuro ou valor de face ou valor de resgate) é o valor

indicado no título(importância a ser paga no dia do vencimento);

Valor atual - é o líquido pago (ou recebido) antes do vencimento;

Desconto - é a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o

valor nominal e o valor atual, isto é : D = VN - VA.

Todo título tem um valor nominal (ou valor de face) que é o valor declarado no

mesmo e corresponde à data de seu vencimento. O valor pelo qual o título é

resgatado antes da data de seu vencimento é denominado de valor atual (ou valor

presente ou valor descontado ou valor líquido).

Independentemente do tipo de desconto utilizado na operação (comercial ou

racional), defini-se o valor atual (VA) como a diferença entre o valor nominal (VN) do

título e o desconto concedido (D), isto é, VA = VN - D

As operações de desconto podem ocorrer tanto no regime de capitalização

simples – Desconto Simples – quanto no regime de capitalização composta –

Desconto Composto.

Em qualquer dos regimes, existem dois tipos de descontos:

Desconto Comercial (ou bancário ou por fora) – aquele cuja base de cálculo é

o valor nominal do título;

1 A nota promissória é um comprovante da aplicação de um capital com vencimento predeterminado. É um título muito usado entre pessoas físicas ou entre pessoa física e instituição financeira.

2 A duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa física ou jurídica), para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, segundo um contrato.

3 A letra de câmbio, assim como a nota promissória, é um comprovante de uma aplicação de capital com vencimento predeterminado; porém, é um título ao portador, emitido exclusivamente por uma instituição financeira.


Matemática Financeira Desconto Racional (ou por dentro) – aquele cuja base de cálculo é o valor

atual do título.

DESCONTO RACIONAL OU DESCONTO “POR DENTRO”

É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual de um

compromisso saldado n período antes do vencimento

O Desconto Racional, possui a mesma operação que a do Juros, sendo que no

Desconto Simples, o é o produto do valor atual VA do título pela taxa de desconto i

contratada na operação e pelo prazo de antecipação n do resgate, isto é,

Dr = VA . i . n ► Fórmula para o cálculo do Desconto Racional

► Fórmula para o cálculo do Valor Atual

► Fórmula para o cálculo do Desconto Racional

Exemplo 41: Uma pessoa pretende saldar um título de $ 5.500,00, 3 meses antes de

seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40% a.a., qual o

desconto obtido e quanto vai obter ?

Exemplo 42: Um título de valor nominal R$ 600.000,00 é descontado 2 meses antes

de seu vencimento à taxa de juros simples de 2% a.m.. Qual o desconto racional

concedido?


VAVN

D

VN

VN

3 meses


DESCONTO COMERCIAL OU DESCONTO “POR FORA”

É o valor que se obtém pelo cálculo dos juros simples sobre o valor nominal do

compromisso que seja saldado n períodos antes do vencimento.

Desconto Comercial Simples é o produto do valor nominal VN do título pela taxa de desconto i contratada na operação e pelo prazo de antecipação n do resgate, isto é,

Dc = VN . i . n ► Fórmula para o cálculo do Desconto

VA = VN ( 1 – i. n) ► Fórmula para o cálculo do Valor Atual

Exemplo 43: Uma duplicata de valor nominal R$ 600.000,00, foi resgatada 2 meses

antes do vencimento através de desconto comercial à taxa de 2% a.m.. Qual o

desconto Comercial concedido e o valor atual comercial?

Exemplo 44: Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês.

Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine:

a) O valor do desconto comercial;

b) O valor atual comercial.

DESCONTO BANCÁRIO

Corresponde ao desconto comercial acrescido de uma taxa administrativa

prefixada, cobrada sobre o valor nominal.


VNVN

D

FV

2 meses

Matemática FinanceiraTaxa Administrativa: Cobrada muitas vezes pelas instituições financeiras

visando cobrir certas despesas de abertura, concessão e controle do crédito. É

calculada geralmente de uma única vez sobre o valor do título e descontada na

liberação dos recursos. Esses encargos financeiros de desconto bancário são

referenciados, para o cálculo de seus valores monetários, pelo critério de juros

simples. Evidentemente, para uma apuração rigorosa da taxa de juros efetiva destas

operações é adotado o regime composto, conforme amplamente discutido.

Para o cálculo do Desconto Bancário utilizamos a fórmula do Desconto

Comercial acrescida da taxa administrativa do banco, isto é:

Db = VN (i . n + h) ► Para calcular o Valor do Desconto Bancário

VA = VN [1 – (i . n + h)] ► Para calcular o Valor Atual Bancário

Exemplo 45: Um título de $ 5.500,00 foi descontado no Banco X, que cobra 2% como

despesa administrativa. Sabendo-se que o título foi descontado 3 meses antes de seu

vencimento e que a taxa corrente em desconto comercial é de 48% a.a., qual o

desconto bancário ? Quanto recebeu o proprietário do título?

Cálculo do Desconto Bancário Cálculo do Valor Atual

Db = VN (i . n + h)

Db = 5.500 (0,04 . 3 + 0,02)

Db = 5.500 (0,12 + 0,02)

Db = 5.500 . 0,14

Db = 770,00

VA = VN [1 – (i . n + h)]

VA = 5.500 [1 – (0,04 . 3 + 0,02)]

VA = 5.500 [1 – 0,14]

VA = 5.500 . 0,86

VA = 4.730,00

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO.

137. Determine o desconto bancário e o valor atual das hipóteses seguintes:

Valor Nominal Taxa Prazo Taxa Administrativa

A 12 500,00 37% a ano 250 dias 0,5%

B 18 000,00 35% a ano 3 meses 2,6%

C 20 000,00 28% a ano 1,5 meses 1,4%

D 26.000,00 0,2% ao dia 42 dias 0,6%


Matemática Financeira138. Determine o desconto racional e o valor atual dos seguintes títulos

Valor Nominal – em reais Taxa Prazo até o vencimento

B 7 500,00 29% a ano 150 dias

C 8 200,00 20,5% a ano 25 dias

d 3 000,00 26% a ano 9 meses e 15 dias

139. Determine o desconto comercial e o valor atual dos seguintes títulos

Valor Nominal – em reais Taxa Prazo até o vencimento

A 12 500,00 3,7% a ano 250 dias

C 20 200,00 28% a ano 8 meses

d 23 000,00 27% a ano 4 meses e 15 dias

140. Uma promissória de R$ 20.000,00 foi descontada num banco três meses antes

de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 1,8% a.m.

a) Qual o desconto comercial? Resposta: R$ 1.080,00

b) Qual o valor atual comercial do título? Resposta: R$ 18.920,00

141. Uma empresa descontou num banco um título de valor nominal igual a

$90.000,00, 40 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto bancário de

30% a.a..

a) Qual o desconto comercial? Resposta: R$ 3.000,00

b) Qual o valor líquido recebido pela empresa, sabendo-se que o banco cobrou

uma taxa de serviço igual a 1% do valor nominal do título? Resposta: R$

86.100,00

142. Um título governamental com valor de face de $100.000,00 foi adquirido 70 dias

antes do vencimento com desconto comercial simples, sendo a taxa igual a 25%

a.a.. Qual o preço da aquisição? Resposta: R$ 95.138,89

143. Calcular o desconto racional e o valor atual de um compromisso no valor

nominal de R$ 7.500,00, considerando-se a taxa de juros de 36 % ao ano e o prazo

de antecipação do resgate como sendo de 50 dias? Resposta: Dr = R$ 374,62, VA

= R$ 7.125,38

144. O valor nominal de uma promissória com vencimento em 20 de janeiro de 2010

é de R$ 27.000,00. Se o dinheiro vale 42% ao ano e a promissória foi saldada em

19 de agosto de 2009, de quanto será o desconto comercial obtido e o valor atual

da promissória. Resposta: Dc = R$ 4.851,00, VA = R$ 22.149,00


Matemática Financeira145. Se o desconto racional concedido for de R$ 57, 63, qual ser a taxa considerada,

uma vez que o valor nominal é de R$ 600,00 e o período de antecipação de 5

meses. Resposta: 2,12%

146. Um título de valor nominal de R$ 1.300,00 foi resgatado antes de seu

vencimento, sendo por isso bonificado com um desconto racional de R$ 238, 78.

Considerando a taxa de 18% ao ano, qual foi o prazo de antecedência. Resposta:

15 meses

147. Calcular o desconto bancário e o valor atual de um compromisso no valor

nominal de R$ 7.500,00, considerando-se a taxa de juros de 28,8 % ao ano, taxa

administrativa de 3% e o prazo de antecipação do resgate como sendo de 40 dias?

Resposta: Db = 465,00, VA = R$ 7.035,00

148. Um Banco cobra em seus financiamentos, a taxa administrativa de 2% e sua

taxa de juros corrente de 29% ao ano. Que financiamento por 3 meses deverá um

cliente pedir a esse banco se esta pessoa necessitar de R$ 10.000,00? Resposta:

R$ 10.229,31



REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BRUNI, Adriano Leal. Matemática Financeira: com HP 12 C e Excel. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2003.

MARQUES, Paulo. Matemática Financeira: juros composto.http://www.algosobre.com.br/matematica-financeira/juros-compostos.htm l acessado em 18/07/2009

MATHIAS, Washinton Franco. GOMES, José Maria. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 1982.

PARENTE, Eduardo Afonso de Medeiros. Matemática Comercial e Financeira. São Paulo: FTD, 1996.

SOUZA, Edison Andrade. Matemática Financeira, Capitalização Composta. http://www.algosobre.com.br/matematica-financeira/capitalizacao-composta.html. Acessado no dia 20/07/2009

TOSI, Armando José. Matemática Financeira com utilização do Excel 2000. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2002.

VERAS, Lília Ladeira. Matemática Financeira: uso de calculadora financeira. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1991.


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apostila matematica financeira

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