ROFESSOR: CLAUDIO CAMPOS

Apostila de

Matemtica Financeira - I2012Apostila preparada para as Turmas de 2 e 3 Semestres do Curso: Superior de Tecnologia.

Objetivo: Fornecer subsdios para a formao acadmica do discente na rea financeira e, tambm, contribuir para o desenvolvimento da capacidade de raciocnio lgico e reflexivo. Este um fator essencial na tomada de deciso, atividade tpica da funo de administrador ou gestor.[Professor: Claudio Campos]

[Apostila de Matemtica Financeira para os Cursos de Superior em Tecnologia: -Confeccionada para uso em sala de aula e Com trechos de textos extrados dos livros: Matemtica Financeira de Hazzan, S. e Pompeo, JN. Editoria Saraiva 6 Edio. 2010 So Paulo e Matemtica Financeira Objetiva e Aplicada. Edio Compacta Editora Saraiva, 2006 So Paulo S). dentre outros: vide bibliografia].

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SumrioCAPITULO 01 CONCEITOS FUNDAMENTAIS: JUROS SIMPLES E COMPOSTOS .............. 04 1.1 Capital e juros ....................................................................................................................... 04 1.2 Porcentagem (rpida reviso)............................................................................................... 05 1.3 Relaes bsicas ( Juros, taxas e montante) ....................................................................... 06 1.4 Regimes de capitalizao: (Simples e Composta)................................................................ 09 1.5 Fluxos de caixa de uma operao ........................................................................................ 10 CAPITULO 02 JUROS SIMPLES ............................................................................................... 13 2.1 Formulas de Juros simples e do Montante ........................................................................... 13 2.2 Taxas equivalentes ............................................................................................................... 15 2.3 Juros exatos e juros comerciais............................................................................................ 16 CAPTULO 03 DESCONTO SIMPLES ....................................................................................... 20 3.1 Introduo e conceitos .......................................................................................................... 20 3.2 Descontos comerciais ou bancrio ....................................................................................... 20 3.3 Relaes entre taxa de desconto e taxa de juros simples ................................................... 22 3.4 Operaes (de descontos) com um conjunto de ttulos ........................................................ 26 CAPITULO 04 JUROS COMPOSTOS ...................................................................................... 30 4.1 Frmula do montante ............................................................................................................ 30 4.2 Perodos no Inteiros ........................................................................................................... 35 4.3 Taxas equivalentes .............................................................................................................. 39 CAPITULO 05 TAXA REAL DE JUROS ( INFLAO E CORREO MONETRIA) ............. 44 5.1 Introduo e conceitos .......................................................................................................... 44 5.2 ndice de preos ................................................................................................................... 44 5.3 Taxa acumulada ................................................................................................................... 45 5.4 Principais ndices de preos: Medidas de inflao ............................................................... 46 5.5 Taxa real de juros ................................................................................................................. 49 5.6 Atualizao monetria .......................................................................................................... 50 APENDICE REVISAO DE MATEMTICA (FUNDAMENTAL)................................................... 53 I Reviso de Porcentagem....................................................................................................... 54 II Reviso de Fraes .............................................................................................................. 59 III Reviso de Potncias .......................................................................................................... 65 ATIVIDADES COMPLEMENTARES ............................................................................................. 72

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INTRUDUO

Com uma carga semanal de 1 hora e 30 minutos, perfazendo uma carga horria semestral de 30 horas, esse curso de Matemtica Financeira tem os seguintes pontos a serem abordados:

1 Capitalizaes Simples e compostas; 2 Descontos Simples e compostos; 3 Rendas Certas e Rendas Variveis; 4 Equivalncia de fluxos de caixa; 5 Amortizao de Emprstimos; 6 - Noes de anlise de investimentos e 7 - Correo monetria.

O pressuposto que o aluno venha com conhecimentos mnimos de matemtica; ou seja; que j conhea ou tenha oportunidade de rever as regras bsicas que foram ensinadas no ensino fundamental de matemtica. Em outras palavras, caso a aluno no tenha aprendido ou no lembre, importante o seu desempenho pessoal nesses estudos para que possa estar no mesmo nvel dos demais alunos.

Com o objetivo de deixar todos os alunos no mesmo nvel de conhecimento para o incio do programa de matemtica financeira, no final desta apostila h uma reviso dos principais fundamentos que o aluno deve revisar ou relembrar para ter uma maior familiaridade com esta apostila. Os temas so: I) Porcentagem; II) Fraes e III) Potencias.

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1 Conceitos Fundamentais: Juros Simples e Juros CompostosA Matemtica Financeira visa a estudar o valor do dinheiro no tempo, nas aplicaes de dinheiro e nos pagamentos de emprstimos. Tal definio bem geral; o aluno ter oportunidade de verificar, ao longo do curso, que a Matemtica Financeira fornece instrumentos para o estudo e a avaliao das formas de aplicao de dinheiro, bem como de pagamento de emprstimos. 1.1 O CAPITAL E O JURO Chamamos de Capital qualquer valor monetrio que uma pessoa (fsica ou jurdica) empresta para outra durante certo tempo. Tendo em vista que o emprestador abstm-se de usar o valor emprestado, e ainda, em funo da perda de poder aquisitivo do dinheiro pela inflao e do risco de no-pagamento, surge o conceito de juro, que pode ser definido como o custo do emprstimo (para o tomador) ou a remunerao pelo uso do capital (para o emprestador). Denominamos taxa de juros o valor do juro em uma certa unidade de tempo, expresso como uma porcentagem do capital. Assim, por exemplo: NOTA: No item 1.2 adiante h um pequeno resumo para revisar conceitos de porcentagem.

Se um Capital de $ 5.000,00 for emprestado por um ms taxa de 2% a.m. (2% ao ms), o juro ser iguala 2% de $ 5.000, que $100,00. Lembre-se de que, para achar 2% de 5.000, basta multiplicar 5.000 por 0,02, que a forma decimal de 2% (2% = 2/100 = 0,02). Se o emprstimo for devolvido em um nico pagamento, o tomador pagamento, o tomador pagar, ao final do prazo combinado, a soma do capital com o juro, que denominada de Montante. Assim, para um emprstimo de $ 5.000,00 por um ms com juro de $100,00, o montante ser igual a $ 5.100,00.

Juros = R$ 100,00 0 Taxa de juros = i = 2% ao ms. 1

Montante = M M = R$ 5.100,00

Prazo = n = 1 ms Capital = C = R$ 5.000,00

As operaes de aplicao e emprstimos so geralmente realizadas por meio da intermediao de uma instituio financeira, que capta recursos de um lado e os empresta de outro. A captao feita a uma taxa menor que a de emprstimo, e a diferena a remunerao da instituio. So vrias as opes de aplicao (tambm chamadas de instrumentos) que um investidor tem sua disposio: por exemplo: a Caderneta de Poupana, o Certificado de Depsito Bancrio (CDB) etc. Cada opo tem sua taxa, em funo do prazo da aplicao e dos riscos envolvidos. Analogamente, os tomadores de emprstimos tm vrias opes de financiamento (instrumentos), cujas taxas variam em funo dos prazos de pagamento e das garantias oferecidas.

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De um modo geral, quando as taxas sobem, os aplicadores tendem a aumentar a oferta de capitais, mas os tomadores tendem a diminuir a demanda por crdito. Na determinao das taxas de juros, o Governo tem uma grande influncia, seja regulamentando o funcionamento das instituies financeiras, seja comprando ou vendendo ttulos pblicos, cobrando impostos etc. Os fundos de investimentos e os fundos de penso e previdncia tambm tm um importante papel na intermediao financeira. O dinheiro dos investidores captado pelos fundos de investimentos utilizado para a compra de ttulos pblicos e privados ou aes. Por meio dos ganhos oferecidos por estes papis, o investidor recebe remunerao (quando um investidor aplica em um fundo de investimentos, ele adquire um certo nmero de cotas deste fundo, e a valorizao da cota decorrente da rentabilidade de seus papis). Comportamento anlogo ocorre com os fundos de previdncia e penso, em que o aplicador visa ao recebimento de uma renda por ocasio de sua aposentadoria. 1.2 - PORCENTAGEM (Reviso rpida) Breve resumo para recordar. No final da apostila h uma reviso mais completa e exerccios preparados para reviso mais profunda: necessria para a continuao do assunto. frequente o uso de expresses que refletem acrscimos ou redues em preos, nmeros ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: A gasolina teve um aumento de 15% Significa que em cada R$100 houve um acrscimo de R$15,00 O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 Dos jogadores que jogam no Timo, 90% so craques. Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Timo, 90 so craques. Razo centesimal : Toda a razo que tem para consequente o nmero 100 denomina-se razo centesimal. Alguns exemplos:

Podemos representar uma razo centesimal de outras formas:

As expresses 7%, 16% e 125% so chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. Considere o seguinte problema: Joo vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?

Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

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Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definio:

Porcentagem o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor: exemplos:

Calcular 10% de 300.

Calcular 25% de 200kg respondente porcentagem procurada(25% de 200Kg).

Logo, 50kg o valor cor

1.3 RELAES BSICAS Chamando de C o capital, M o montante, J o juro e i a taxa (do ingls, interest, que significa juro), temos as seguintes relaes, de acordo com o que definimos:

J = C. i i= M C -1

Em que J o juro no perodo da taxa.

M=C+J

Em que i a taxa no perodo do emprstimo A relao de J=C.i justifica-se at pela prpria definio de porcentagem. A relao de M = C+1 a prpria definio do Montante e a terceira i= (M/C) -1 justifica-se da seguinte forma:

i=

J C

= M-C = C

M - C = C C

M -1 C

Exemplo 1 Um capital de $ 8.000 aplicado durante um ano taxa de 22%a.a. (22% ao ano). Responda: (a) Qual o juro? b) Qual o montante?

J=C.iM=C+J

J = 8.000 (0,22) = M=

Exemplo 2 Um capital de $12.000,00 foi aplicado durante trs meses, gerando um montante de $12.540,00. Qual a taxa de juros do perodo?

i=

M -1 C

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Exerccios de Fixao:

Os alunos devero fazer esses exerccios fora da sala de aula. Sozinho ou de preferncia em grupos para fixar esses conceitos. Todos os exerccios (nmeros 01 a 09) tm prazo n=1 ( ou seja, s um perodo) 1) Um capital de $ 2.000,00 aplicado em cada uma das condies indicadas a seguir. Obtenha o juro e o montante em cada caso.

Item Taxaa) b) c) d) e) f) 50% a.a. 30% a.s. 12% a.t. 5% a.b 1,7% .a.m. 0,03% a.d

Prazo1 ano 1 semestre 1 trimestre 1bimestre 1 ms 1 dia

J= C x i

Juros = $

M=C+J2.000 +1.000

M= $3.000

2,000 x 0,50 1.000

2) Calcule a taxa de Juros auferida (no perodo) por um investidor em cada uma das situaes seguintes:

Montante ($) Capital ($) Prazo a) 10.000,00 b) 15.000,00 c) 7.200,00 d) 3.300,00, e) 2.420,00 f) 4.002,00 8.000,00 13.500,00 6.800,00 3.200,00 2.400,00 4.000,00 1 ano 1 semestre 1 trimestre 1 bimestre 1 ms 1 dia

I = (M/C)-1 I= (10.000/8.000) - 1

I = (%) 25% a.a.

3) Calcule a taxa de juros (no perodo) paga por um tomador de emprstimos em cada uma das seguintes situaes:

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Capital

Juro

Prazo 1 ano

i =J/C I = (400/3.500)

i = % ao ....... 11,42 % a.a.

a) 3.500,00 400,00

b) 8.000,00 1.200,00 1 semestre c) 4.300,00 210,00 d) 5.400,00 220,00 e) 9.000,00 150,00 f) 6.700,00 2,50 1 trimestre 1 bimestre 1 ms 1 dia

4) Calcule o capital recebido por um tomador de emprstimos em cada uma das situaes seguintes: Taxa a) 28%a.a. b) 12%a.s. c) 3,8% a.t d) 4% a.b e) 1,8%a.m. f) Prazo 1 ano Juro 14.000,00 Se J=C.i ento C=J/i C= 14.000 / 0,28 J=$ 50.000,00

1 semestre 24.000,00 1 trimestre 1 bimestre 1 ms 7.600,00 10.800,00 3.600,00 6.000,00

0,06% a.d. 1 dia

(5) Um banco anuncia o seguinte: aplique hoje $ 666,67 e receba $1.000,00 daqui a um ano. Qual a taxa anual de juros paga pelo banco? (6)Um banco anuncia o seguinte: "aplique hoje $ 10.000,00 e receba daqui a trs anos $ 20.000,00". Qual a taxa paga pelo banco no trinio? (7)Um ttulo, cujo valor de resgate daqui a seis meses de $ 10.000,00, foi adquirido hoje por um fundo por $ 9.600,00. Qual a taxa de rendimento do papel no perodo? (8) Um ttulo governamental, cujo valor de resgate daqui a 42 dias de $ 50.000,00, foi adquirido hoje por um fundo por $ 48.850,00. Qual a taxa de rendimento do papel no perodo? (9) Hoje o valor da cota de um fundo de investimentos de 17,24 e, h 65 dias, foi de 16,74. Qual a taxa de rendimento do fundo no perodo considerado?

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1.4 REGIMES DE CAPITALIZAO

Quando um capital aplicado por vrios perodos, a uma certa taxa por perodo, o montante poder aumentar de acordo com duas convenes, denominadas regimes de capitalizao. H o

regime de capitalizao simples (ou juros simples) e o regime de capitalizao composta (ou juros compostos).1.4.1 Regime de capitalizao simples: Neste regime, o juro gerado em cada perodo constante e igual ao produto do capital pela taxa. Alm disso, os juros so pagos somente no final da operao. Exemplo Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado durante trs anos taxa de 10% a.a., em regime de juros simples. Resoluo Durante o 1 ano, o juro gerado foi de 1.000(0,10) = 100 Durante o 2 ano, o juro gerado foi de 1.000(0,10) = 100 Durante o 3 ano, o juro gerado foi de 1.000(0,10) = 100 Portanto, somente o capital aplicado que rende juros. O montante, aps trs anos, foi de $ 1.300,00. Esquematicamente, temos a figura 1.1 a seguir:

1.4.2 Regime de capitalizao composta: Neste caso, o juro do 1 perodo (capital vezes a taxa) agrega-se ao capital, resultando no montante M1. O juro do 2 perodo, que igual ao produto de MI pela taxa, agrega-se a M1, resultando no montante M2. O juro do 3 perodo, que igual ao produto de M2 pela taxa, agrega-se a M2, resultando em um montante M3, e assim por diante. Portanto, o juro que gerado em cada perodo (montante do incio do perodo vezes a taxa) agrega-se ao montante do incio do perodo e esta soma passa a render juro no perodo seguinte. Exemplo Um capital de $1.000,00 foi aplicado durante trs anos taxa de 10% a.a., em regime de juros compostos.

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Resoluo:Durante o 1 ano, o juro gerado foi de 1.000(0,10) = 100, e o montante aps um ano foi de $ 1.100,00. Durante o 2 ano, o juro gerado foi de 1.100(0,10) = 110, e o montante aps dois anos foi de $ 1.210,00. Durante o 3 ano, o juro gerado foi de 1.210(0,10) = 121, e o montante aps trs anos foi de $ 1.331,00. Esquematicamente, temos a figura 1.2:

A Figura 1.3 ilustra o montante a juros simples e compostos para efeito de comparao, utilizando um capital de $ 1.000,00, taxa de 10% a.a. e prazos variando de 1 a 12 anos.

1.5 FLUXO DE CAIXA DE UMA OPERAO O fluxo de caixa de uma operao uma representao esquemtica muito til na resoluo de problemas. Basicamente, consta de um eixo horizontal em que marcado o tempo, a partir de um instante inicial (origem); a unidade de tempo pode ser qualquer (ano, ms, dia etc.). As entradas de dinheiro em um determinado instante so indicadas por setas perpendiculares ao eixo horizontal, no instante considerado, e orientadas para cima; as sadas de dinheiro so indicadas da mesma forma, s que a orientao das setas para baixo. Exemplo: Uma pessoa aplicou $ 50.000,00 em um banco e recebeu $ 6.500,00 de juros aps 12 meses. O fluxo de caixa, do ponto de vista do aplicador, foi (Figura 1.4):

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Ateno: O fluxo de caixa, do ponto de vista do banco ficou exatamente na posio inversa: iniciando com uma entrada de caixa de $ 50.000,00 e recebendo um montante no final de $56.500,00 Observaes: importante: 1) Estamos usando o conceito de fluxo de caixa para aplicaes e em prstimos; contudo, a mesma idia utilizada por empresas para representar entradas e sadas de dinheiro do caixa. 2) As setas do fluxo de caixa no so necessariamente proporcionais aos valores monetrios envolvidos. 3) Algumas vezes usaremos a notao esquemtica de um conjunto de capitais, com setas em geral para cima, a fim de tornar claras certas idias, sem que a representao indique um fluxo de caixa.

Exerccios de Fixao:

10) Um capital de $ 10.000,00 aplicado a juros simples, taxa de 1,5% a.m. Obtenha o montante para os seguintes prazos: a) Dois meses. b) Trs meses c) Cinco meses. d) Dez meses 11) Um capital de $ 700,00 aplicado a juros simples, taxa de 20% a.a. Calcule o montante para os seguintes prazos: a) Um ano. b) Dois anos. c) Cinco anos. d) Dez anos 12) Um capital de $ 10.000,00 aplicado a juros compostos, taxa de 10% a.a. Calcule o montante para os seguintes prazos: a)Um ano; b) Dois anos; c) trs anos; d) Quatro anos; e) Cinco Anos

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13) Um capital de $ 20.000,00 aplicado a juros compostos, taxa de 20% a.a. Obtenha o montante para os seguintes prazos: a) Um ano. b) Dois anos. c) Trs anos. d) Quatro anos. e) Cinco anos.

14) Um capital A de $1.000,00 aplicado a juros simples, taxa de 10% a.a. Um outro capital B de $ 900,00 aplicado a juros compostos, taxa de 12% a.a. A partir de quantos anos de aplicao o montante produzido por B ser superior ao produzido por A? 15) Um capital A de $ 1.000,00 aplicado a juros simples, taxa de 12% a.a., ao passo que um outro capital B, tambm de $ 1.000,00, aplicado a juros compostos, taxa de 10% a.a. A partir de quantos anos de aplicao o montante produzido por B ser superior ao produzido por A? 16) Um investidor aplicou um capital e recebeu, um ano depois, um montante em cada uma das situaes a seguir. Calcule a taxa de juros em cada caso:

Final do captulo 1

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2 Juros Simples2.1 Frmula dos Juros Simples e do Montante No captulo anterior, vimos que, na capitalizao simples, os juros eram iguais em todos os perodos, valendo o produto do capital pela taxa naquele perodo. Consideremos um capital c, aplicado a juros simples, taxa i por perodo, durante n perodos de tempo. Vamos deduzir a frmula dos juros aps os n perodos: Juros aps 1 perodo: Juros aps 2 perodos: Juros aps 3 perodos: J1 = Ci J2 = Ci+ Ci = (Ci)2 J3 = Ci+ Ci+ Ci = (Ci)3

Juros aps n perodos: Jn = Ci+ Ci+ Ci + ... Ci = (Ci)n Portanto, eliminando o ndice n quando no houver possibilidade de confuso, teremos a frmula dos juros simples:

J = C. i . nM=C+J M = C + C.i.nObservaes:

e assim a frmula do montante :

M = C (1 + i . n)

1) Na frmula dos juros e do montante, necessrio que i e n sejam expressos na mesma unidade (por exemplo, se i for taxa mensal, n dever ser expresso em meses); 2) Embora a frmula tenha sido deduzida por n inteiro, ela estendida para n fracionrio. Exemplos para fazer junto com o professor: (Construa os respectivos Fluxos de Caixa): 1) Um capital de $ 5.000,00 foi aplicado a juros simples, durante trs anos, taxa de 12% a.a. Obtenha: a) Os Juros e b) O Montante. 2) Um capital de $ 7.000,00 aplicado a juros simples, durante um ano e meio, taxa de 8% a.s. (ao semestre). Obtenha: a) Os juros e b) o Montante. 3) Que capital rende juros simples de $3.000,00 no prazo de cinco meses, se a taxa for de 2% a.m. 4) Uma televiso vendida vista por $ 1.500,00, ou ento, a prazo com $ 300,00 de entrada mais uma parcela de $ 1.308,00 aps trs meses. Qual a taxa de juros simples do financiamento?

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5) Uma aplicao financeira tem prazo de cinco meses, rende juros simples taxa de 22%a.a. e incide imposto de renda igual a 20% do juro; O imposto pago no resgate. Qual o montante lquido de uma aplicao de $ 8.000,00? (O montante lquido igual ao montante bruto menos o valor do imposto de renda pago).

Exerccios de fixao: (juros simples) 1) Determine os juros simples obtidos nas seguintes condies: Capital $ a) 2.000,00 b) 3.000,00 c) 2.000,00 d) 6.000,00 Taxa 1,2% a.m. 21% a.a. Prazo 5meses 2 anos J=C.i.n J=$

1,3% a.m. 3 anos 15% a.t 2 anos e meio

2) Qual o montante de uma aplicao de $ 16.000,00 a juros simples, durante cinco meses, taxa de 80% a.a.? 3) Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado, por dois meses, a juros simples taxa de 42% a.a. Qual o montante? 4) Bruno aplicou $ 30.000,00 a juros simples, pelo prazo de seis meses, e recebeu $ 9.000,00 de juros. Qual a taxa mensal da aplicao? 5) Em uma aplicao de $ 3.000,00 a juros simples e taxa de 10% a.a., o montante recebido foi de $ 4.800,00. Determine o prazo da aplicao. 6) Paula aplicou uma certa quantia a juros simples taxa de 1,8% a.m., pelo prazo de quatro meses. Obtenha o juro auferido nesta aplicao, sabendo-se que o montante recebido foi de $ 5.360,00. 7) Mara aplicou $ 800,00 a juros simples taxa de 12% a.a. Se ela recebeu $ 384,00 de juros, obtenha o prazo da aplicao. 8) Uma geladeira vendida vista por $ 1.500,00 ou, ento, a prazo com $ 450,00 de entrada mais uma parcela de $ 1.200,00 aps quatro meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? 9) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros simples e taxa de 8% a.a. para que duplique? 10) Dois capitais, o primeiro igual a $ 1.100,00 e o segundo igual a $ 500,00, estiveram aplicados a juros simples durante trs meses. A que taxa foi aplicada o primeiro se o segundo, aplicado taxa de 10% a.m., rendeu $ 246,00 menos que o primeiro? 11) (concurso para Controlador de Arrecadao Federal) Um fazendeiro possui um estoque de 1.000 sacas de caf e, na expectativa de alta de preo do produto, recusa a oferta de compra desse estoque razo de $ 3.000,00 por saca. Trs meses mais tarde, forado pelas circunstn-

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cias, vende o estoque por $ 2.400,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros de mercado de 5% a.m., calcule o prejuzo real do fazendeiro na data de venda da mercadoria, utilizando o regime de capitalizao simples. 12) Um produtor de milho, possuidor de um estoque de 30.000 sacas, na expectativa de alta do preo do produto, recusa a oferta de compra desse estoque razo de $ 5,00 por saca. Seis meses mais tarde, vende o estoque por $ 12,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros simples de mercado de 12% a.m., calcule o lucro (ou prejuzo) real do produtor, utilizando o regime de juros simples. 13) Um capital ficou depositado durante 10 meses taxa de 8% a.m. no regime de juros simples. Findo este prazo, o montante auferido foi aplicado durante 15 meses a juros simples taxa de 10% a.m. Calcule o valor do capital inicial aplicado, sabendo-se que o montante final recebido foi de $ 1.125.000,00 14) Uma aplicao financeira tem prazo de trs meses, rende juros simples taxa de 1,8% a.m., mas o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido. Qual o montante lquido (montante aps o pagamento do imposto de renda) de uma aplicao de $ 4.000,00? 15) ma aplicao financeira tem prazo de quatro meses, rende juros simples taxa de 22% a.a., mas o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido. a) Qual o montante lquido (montante aps o pagamento do imposto de renda) de uma aplicao de $ 12.000,00? b) Qual capital deve ser aplicado para resultar em um montante lquido de $ 11.500,00?

2.2 Taxas Equivalentes Na frmula dos juros simples, sabemos que o prazo deve ser expresso na mesma unidade da taxa. O procedimento inverso tambm pode ser adotado, ou seja, podemos expressar a taxa na mesma unidade do prazo; para isto, devemos saber converter taxas de um perodo para outro. Dizemos que duas taxas so equivalentes a juros simples quando, aplicadas em um mesmo capital e durante um mesmo prazo, derem juros iguais. Embora este prazo referido possa ser qualquer um, habitualmente utilizado o prazo de um ano. Exemplo 1: Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 1 % a.m.? i = (0,01) . 12 = 0,12 ou 12% a.a. Exemplo 2: Em juros simples, qual a taxa mensal equivalente a 9% a.t.? i = (0,09) /3 = 0,03 = 3% am. Assim; por exemplo: (faa a conta para praticar) 4% a.b. (ao bimestre) equivalente a 2% a.m. 6% a.t. (ao trimestre) equivalente a 2% a.m. 12% a.s. (ao semestre) equivalente a 2% a.m. 24% a.a. (ao ano) equivalente a 2% a.m.

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Exemplo 3 : Qual a taxa anual de juros simples que um fundo de investimento rendeu, sabendo-se que o capital aplicado foi de $ 5.000,00 e que o valor de resgate foi de $ 5.525,00 aps sete meses? Resoluo: (faa o fluxo de caixa) Os juros simples da aplicao foram de $ 525,00 (diferena entre o valor de resgate e o capital aplicado). Chamando de i a taxa mensal de juros, teremos: J = C.i.n 525 = 5.000 i (7) 35.000 i = 525 I = 525/35.000 = 0,015 = 1,5% .a.m.

Conseqentemente, a taxa anual foi de 12 x (1,5%) = 18% a.a.

2.3 JURO EXATO E JURO COMERCIAL muito comum certas operaes ocorrerem por um ou alguns dias apenas. Nesses casos, conveniente utilizarmos a taxa diria equivalente. O clculo pode ser feito segundo duas convenes: 1) Considerando o ano civil, que tem 365 (ou 366) dias, e cada ms com seu nmero real de dias.2) Considerando o ano comercial, com 360 dias, e o ms comercial com 30 dias.

Os juros obtidos segundo a primeira conveno (ano de 365 dias) so chamados de juros exatos, e aqueles obtidos pela segunda conveno, (ano de 360 dias, ou seja, 12 meses de 30 dias cada) de juros comerciais. Em geral, a conveno adotada a de juros comerciais, ou seja, ano de 360 dias).

Exemplo 1) Um capital de $ 5.000,00 foi aplicado por 42 dias taxa de 30% a.a. no regime de juros simples: a) Obtenha os juros exatos. b) Obtenha os juros comerciais.a) Juros Exatos: J = 5.000 0,30 365 0,30 360 42 =

b)

Juros Comerciais:

J= 5.000

42 =

2) Um capital de $ 4.000,00 foi aplicado a juros simples por 72 dias; um outro capital de $ 5.000,00 foi tambm aplicado a juros simples, mesma taxa, durante 45 dias. Determine a taxa anual (conveno de juros comerciais), sabendo-se que a diferena entre os juros da 1 aplicao e da 2 so iguais a $ 31,50.

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Resoluo:Seja i a taxa diria da aplicao. Teremos: . Juros da 1 aplicao: 4.000 i (72) = 288.000i . Juros da 2 aplicao: 5.000 i (45) = 225.000i Portanto:

288.000i - 225.000i = 31,50 63.000i=31,50 I = 31,50 = 0,0005 = 0,05% a.d. 63.000Conseqentemente, a taxa anual vale 360 (0,05%) = 18% a.a (juros comerciais)

Exerccios para Fixao:

16) Em juros simples, determine a taxa anual equivalente s seguintes taxas: a) 1,5% a.m. d) 4,5% a.q. b) 2,5% a.b. e) 6,5% a.s. c) 3,5% a.t. 17) Em juros simples, qual a taxa trimestral equivalente a 4,4% a.b.? 18) Calcule os juros simples auferidos em uma aplicao de $ 4.000,00 taxa de 35% a.a. pelo prazo de sete meses. 19) Calcule o montante de uma aplicao de $ 5.000,00 a juros simples taxa de 48% a.a. pelo prazo de cinco meses. 20) Um capital de $ 25.000,00 foi aplicado a juros simples taxa de 30% a.a. pelo prazo de 67 dias. Obtenha os juros exatos e comerciais para esta aplicao. 21) Um determinado capital aplicado a juros simples exatos, e a uma certa taxa anual, rendeu $240,00. Determine os juros auferidos nessa aplicao se fossem comerciais. 22) Uma aplicao de $ 800,00 a juros simples comerciais teve um resgate de $ 908,00 aps 135 dias. Determine a taxa mensal desta aplicao. 23) Um capital de $ 5.000,00 foi aplicado a juros simples taxa de 24% a.a. a) Qual o montante aps seis meses? b) Aps quanto tempo de aplicao os juros auferidos formaro uma quantia igual ao capital inicialmente empregado? 24) Calcule a taxa anual de juros simples que rendeu um fundo de investimento, sabendo-se que o capital aplicado foi de $ 4.000,00 e que o valor de resgate foi de $ 5.200,00 aps seis meses. 25) Um capital de $ 3.000,00 foi aplicado em 23 de maro de 1999 a juros simples e taxa de 96% a.a. O resgate foi feito em 17 de setembro de 2000. Determine os juros exatos e comerciais desta aplicao (o nmero de dias decorridos foi de 544).

26) (Concurso para Controlador de Arrecadao Federal) Um capital de $ 2.000.000,00 aplicado por quatro meses, correspondendo a um resgate final de $ 2.600.000,00. Calcule a taxa de juros simples anual desta operao.

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Matemtica Financeira Exerccios: Srie Especial para a NP1. Juros com capitalizao Simples ALUNO:_____________________________________ RA:________________ TURMA_________Demonstre como chegou aos resultados dos exerccios: Voc dever primeiro, aps a rigorosa leitura, confeccionar o Fluxo de Caixa com os dados do problema e em seguida informar a frmula que utilizar para resolver o problema. Faa lpis e depois transporte o resultado para o gabarito no final deste trabalho.

1) Determinar quanto render um capital de R$ 60.000,00 aplicado taxa de 22% ao ano, durante 7 meses. 2) Um capital de R$ 150.000,00 aplicado durante 14 meses, rendeu juros de R$ 7.752,50 Determinar a taxa anual. 3) Durante 855 dias certo capital gerou um montante de R$ 64.200,00. Sabendo-se que a taxa de juros de 1,5% ao ms, determinar o valor do capital aplicado. 4) Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ 100.000,00 resultante da aplicao de certo capital a taxa de 42% ao ano, durante 13 meses. 5) Qual o valor a ser pago, no final de 5 meses e 18 dias, correspondente a um emprstimo de R$ 125.000,00 sabendo-se que a taxa de juros de 27% ao semestre. 6) Em quanto tempo um capital de R$ 900.000,00 aplicado a taxa de 0,03% ao dia, gera um montante de R$ 994.500,00. 7) Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicado no dia 19/06/1997 e resgatado em 20/01/1998. Sabendo-se que a taxa de juros da aplicao foi de 56% ao ano, calcular o valor dos juros, considerando-se o nmero de dias efetivo entre as duas datas. 8) Uma empresa aplicou R$ 2.000.000,00 no Open Market no dia 15/07/1997 e resgatou essa aplicao no dia 21/07/1997 por R$ 2.018.000,00. Qual foi a taxa mensal de rendimento proporcionada por essa operao. (%ao ms) 9) Calcular o valor do capital que aplicado a taxa de 50,4% ao ano, durante 2 anos e 3 meses, produz um montante de R$ 600.000,00. 10) Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 40.000,00 aplicado a taxa de 3% ao ms, produz R$ 18.600,00 de juros. 11) Obteve-se um emprstimo de R$ 100.000,00 para ser liquidado por R$ 186.625,00 no final de 26 meses e meio. Qual a taxa de juros anual cobrada nessa operao. 12) Em quanto tempo um capital aplicado a 48% ao ano dobra o seu valor. 13) Um capital emprestado gerou R$ 96.720,00 de juros. Sabendo-se que o prazo de aplicao foi de 13 meses e a taxa de juros de 2% ao ms, calcular o valor do montante. 14) Em quantos dias um capital de R$ 270.420,00 produzir juros de R$ 62.196,60 a uma taxa de 3% ao ms. 15) A aplicao de R$ 356.000,00 gerou um montante de R$ 661.270,00 no final de 20 meses. Calcular a taxa anual. 16) Certo capital aplicado gerou um montante de R$ 1.000.000,00 sabendo-se que a taxa de juros de 5% ao ms e o prazo de 9 meses, calcular o valor dos juros. 17) Determinar o montante correspondente a uma aplicao de R$ 450.000,00 por 225 dias, taxa de 2,6% ao ms. 18) Calcular o valor do capital, que aplicado a uma taxa de 1,2% ao ms, por 174 dias, produziu um montante de R$ 543.840,00. 19) Um ttulo de renda prefixada foi adquirido por R$ 980.000,00 e resgatado por R$ 1.147.776,00 no final de 8 meses. Calcular a taxa mensal de juros. 20) Em que prazo uma aplicao de R$ 500.000,00 possibilita o resgate de R$ 610.000,00 a taxa de 2,2% ao ms.

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As questes a seguir so para o clculo de Taxas Equivalentes: Utilize apenas 02 (duas) casas depois da vrgula e sempre arredondando a ltima conforme regra convencional.Exerccios de Juros Comerciais Calcular as seguintes Taxas Equivalentes: Taxa 21 0,089 % a.d. 22 12% a.m 23 1,20 %a.b. 24 0,9% a.t. 25 128% a.s 26 357 % a.a. %a.a. %a.m. %a.d %a.t. %a.b.

27 66 % a.a. equivale a

% para 75 dias a juros exatos

28 120% a.a. equivale a

% para 75 dias a juros comerciais

29 200 % a taxa para 42 dias, portanto: 30 200 % a taxa para 75 dias, portanto:

% o equivalente ao ano para juros exatos % o equivalente ao ano para juros comerciais

Gabarito:

1 R$. 5 R$. 9 R$. 13 R$. 17 R$.

2 6 10 14 18 R$.

%a.a. 3 R$. dias 7 R$. dias 11 dias 15 19

4 R$. 8 %a.a. 12 %a.a. 16 R$. %a.m. 20 meses %a.m. meses

Professor Cludio Campos Matemtica financeira Gesto UNIP-

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3 DESCONTO SIMPLES

3,1 INTRODUOA idia de desconto est associada com o abatimento dado a um valor monetrio em determinadas condies. Assim, por exemplo, quando uma compra feita em grande quantidade, comum o vendedor conceder algum desconto no preo por unidade. No comrcio, tambm bastante comum o vendedor conceder um prazo para o pagamento; caso o comprador queira pagar vista, geralmente proporcionado um desconto sobre o preo oferecido. Nestas situaes, o desconto costuma ser expresso por um porcentual aplicado sobre o preo. No primeiro exemplo, consideremos que o preo cobrado por unidade seja $ 20,00, e que, caso o comprador compre mais de 100 unidades, haja um desconto de 5%. Nestas condies, o desconto igual a $ 1,00 (5% de $ 20,00), e o novo preo passa a ser $ 19,00. No segundo exemplo, consideremos que o preo de um produto seja $ 500,00 para pagamento dentro de 40 dias; caso o vendedor conceda um desconto de 3% para pagamento vista, o valor do desconto ser de $ 15,00 (3% de $ 500,00), e o preo vista ser $ 485,00. Uma outra situao envolvendo o conceito de desconto ocorre quando uma empresa vende um produto a prazo; nesse caso, o vendedor emite uma duplicata que lhe dar o direito de receber do comprador o valor combinado na data futura. Caso o vendedor precise de dinheiro, ele poder ir a um banco e efetuar um desconto da duplicata. Resumidamente, ocorre o seguinte: a empresa cede ao banco o direito do recebimento da duplicata em troca de dinheiro recebido antecipadamente.

Por exemplo, consideremos que, em uma certa venda, uma empresa emitiu uma duplicata de $ 5.000,00 para vencimento dentro de dois meses. Precisando de dinheiro, a empresa levou a duplicata a um banco, que lhe props adiantar $ 4.800,00 em troca da duplicata. Dizemos, neste caso, que o banco props um desconto de $ 200,00 ($ 5.000,00 menos $ 4.800,00).De modo anlogo ao desconto de duplicatas, uma empresa pode descontar notas promissrias em um banco. As notas promissrias surgem quando, por alguma razo, um devedor assume uma dvida perante um credor; a nota promissria um papel que representa uma promessa de pagamento ao credor, a qual feita pelo devedor. As operaes de desconto de duplicatas e promissrias, sendo bastante comuns no sistema financeiro, possuem uma sistemtica de clculo bem caracterizada, chamada de desconto comercial ou bancrio, a qual passaremos a estudar.

3.2 - DESCONTO COMERCIAL OU BANCRIOChamamos de valor nominal (ou valor de face) e indicamos por N o valor do ttulo a ser descontado. Seja n o prazo de vencimento do ttulo e d a taxa de desconto utilizada na operao (em porcentagem por perodo). O desconto comercial ou bancrio (D) dado por:

D = Ndn

N = Valor do ttulo n = Prazo de vencimento do ttulo d = taxa de desconto.

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A diferena N - D chamada de valor descontado ou valor atual comercial ou, ainda, valor lquido do ttulo; vamos indicar esta diferena por Vd, isto :

Vd =N-D

Valor descontado o valor do ttulo (-) o desconto

Exemplos: Acompanhe a resoluo junto com o professor:1) Uma duplicata de $ 18.000,00 foi descontada em um banco dois meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2,5% a.m. a) Obtenha o desconto. b) Obtenha o valor lquido recebido pela empresa. c) Obtenha o fluxo de caixa da operao do ponto de vista do banco. Calcule tambm a taxa efetiva de juros da operao.

Resoluo:a) D= 18.000(0,025)2 = 900 b) Vd = 18.000 - 900 = 17.100 c) O fluxo de caixa do banco : e a taxa efetiva : ( ACOMPANHAR COM PROF.)

No regime de e Juros Simples, tal taxa e equivalente a 5,26% / 2 = 2,63% a.m. importante notar que a taxa de juros simples mensal diferente da taxa mensal de desconto. Isto porque a taxa de juros incide no valor inicial ($ 17.100) para dar $ 900,00, ao passo que a taxa de desconto incide no valor final ($ 18.000) para dar o resultado $ 900,00 (as pequenas diferenas observadas decorrem do arredondamento feito). 2)-Uma nota promissria de $12.000,00 foi descontada em um banco 42 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2% a.m. a) Qual o desconto? b) Qual o valor lquido recebido pela empresa, sabendo-se que o banco cobrou uma taxa de servio de O,5% do valor da promissria, pago no dia em que a empresa a descontou? c) Qual a taxa efetiva de juros da operao no perodo?

Resoluo a) D=12.000(0,02/30) 42 = 336 b) Taxa de servio: 0 005(12.000) = 60 Valor recebido pela empresa: 12.000 - 336 - 60 = 11.604 c) Taxa efetiva de juros: i = 12.000 -1 = 3,41% a.p. (ao perodo) 11.604

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3) Um banco cobra, em suas operaes de desconto de duplicatas, uma taxa de desconto comercial de 3% a.m. Qual a taxa efetiva de juros simples se os prazos de vencimento forem: a) Um ms. b) Dois meses.

Resoluo: a) Como o valor da duplicata no fornecido, vamos considerar um valor arbitrrio, digamos $ 100,00. Assim: D = 100(0,03)1 = 3 Vd = 97Portanto, o fluxo de caixa da operao, do ponto de vista do banco, 100

97 Logo: i= 100 97 -1 = 3,09% am.

Importante: Observe que para qualquer valor atribudo duplicata a resposta ser sempre a mesma.Evidentemente a resoluo poderia literalmente ser feita da seguinte forma: - Valor da Duplicata : N -Desconto : D = N(0,03)1 = 0,03N -Valor Lquido : N 0,03N = 0,97N 3,09%a.m. -Taxa efetiva de Juros: i = (N/0,97N) 1 = 0,0309 (b) Analogamente ao item anterior, se considerarmos uma duplicata de valor $100,00, teremos: D = 100(0,03)2 = 6 Vd = 94 i= (100/94) 1 = 6,38% a.b

Isso equivale a 3,19% a.m conforme item (a).

4) Ao descontar uma duplicata com prazo de 72 dias at o vencimento, um banco pretende ganhar um taxa de juros de 6% no perodo. Qual taxa de desconto mensal dever cobrar? Resoluo: Admitamos uma duplicata de valor igual a $ 100,00, por exemplo. Assim, sendo Vd o valor descontado, teremos:

5) Ao descontar uma duplicata com prazo de 42 dias at o vencimento, um banco pretende ganhar uma taxa de juros de 3% a.m. Qual taxa de desconto mensal dever cobrar? Resoluo: Admitamos uma duplicata de valor igual a $ 100,00, por exemplo. Primeiro, vamos obter a taxa de juros no perodo da operao. Assim:

3.3 Relao Entre Taxa de Desconto e Taxa de Juros Simples:

Vimos, nos exemplos anteriores, como calcular a taxa de juros dada taxa de desconto e viceversa, usando o fluxo de caixa da operao. Vejamos, a seguir, como estabelecer uma relao entre ambas. Consideremos que a taxa de desconto d e a taxa de juros simples i estejam na mesma unidade de tempo e seja n o prazo de vencimento do ttulo (expresso na mesma unidade

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de tempo de d e i). Sendo N o valor nominal do ttulo e D o desconto, o fluxo de caixa da operao de desconto, do ponto de vista do banco, dado pela Figura abaixo: Fluxo de Caixa de uma operao de desconto do ponto de vista do banco N n N-D

Portanto:

Por meio desta ltima relao, podemos achar o valor de i dado o valor de d e vice-versa. Exemplos: (1) Se a taxa de desconto comercial for de 4% a.m., e o prazo de vencimento de uma duplicata for de trs meses, qual a taxa mensal de juros simples da operao? Resoluo: Temos: d=4% e n=3 Portanto: i= = 0,0455 = 4,55% 0,04 1-(0,04)3

Assim, a taxa de juros simples da operao vale 4,55% a.m. 2) Uma duplicata com prazo de vencimento de dois meses foi descontada em um banco, proporcionando-lhe uma taxa efetiva de juros simples igual a 3% a.m. Qual a taxa de desconto utilizada? Resoluo: Temos: = 3% e n = 2. Portanto, usando a mesma relao do exemplo anterior: d 003= 1-d2 0,03 (1-2d)= d 0,03 - 0,06d = d -1,06d = - 0,03

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d= 0,03 = 0,0283 = 2,83% a.m 1,06 Assim, a taxa de desconto procurada vale 2,83% a.m.

Exerccios para fixao:1) Uma duplicata de valor nominal igual a $ 9.000,00 foi descontada em um banco dois meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2% a.m. Obtenha: a) O desconto comercial. b) O valor descontado (ou valor atual comercial) do ttulo. c) A taxa efetiva de juros no perodo. d) A taxa efetiva de juros simples mensal da operao. 2) Uma promissria de $ 20.000,00 foi descontada em um banco trs meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 1,8% a.m. Pergunta-se: a) Qual o desconto comercial? b) Qual o valor atual comercial do ttulo? c) Qual a taxa efetiva de juros no perodo? d) Qual a taxa efetiva de juros simples mensal da operao? 3) Uma duplicata de $ 12.000,00 foi descontada em um banco 48 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 2,1 % a.m. Obtenha: a) O desconto. b) O valor lquido recebido pela empresa. c) A taxa efetiva de juros no perodo. d) A taxa efetiva de juros simples mensal da operao. 4) Uma empresa descontou em um banco um ttulo de valor nominal igual a $ 90.000,00 40 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto bancrio de 30% a.a. a) Qual o desconto bancrio? b) Qual o valor lquido recebido pela empresa, sabendo-se que o banco cobrou uma taxa de servio igual a 1 % do valor nominal do ttulo? 5) Um ttulo governamental com valor de face de $ 100.000,00 foi adquirido 70 dias antes do vencimento, com desconto comercial simples, sendo a taxa igual a 25% AA. a) Qual o preo de aquisio? b) Qual a taxa efetiva de juros no perodo proporcionada pela aplicao? 6) Um fundo de investimento adquiriu por $ 48.800,00 um ttulo governamental com valor de resgate de $ 50.000,00. Sabendo-se que o prazo de vencimento do ttulo era de 49 dias, calcule: a) A taxa efetiva de juros no perodo. b) A taxa efetiva de juros simples mensal da operao. 7) Com relao ao exerccio anterior, calcule a taxa mensal de desconto comercial utilizada. 8) Uma empresa descontou uma duplicata de $ 12.000,00 45 dias antes do vencimento. Sabendo-se que ela recebeu um valor lquido de $ 11.720,00, calcule a taxa de desconto comercial mensal da operao.

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9) Uma duplicata de $ 8.000,00 foi descontada em um banco, proporcionando um valor descontado (valor lquido) de $ 7.500,00. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial utilizada foi de 2,2% a.m., obtenha o prazo de vencimento deste ttulo. 10) Uma duplicata, cujo prazo at o vencimento era de 90 dias, foi descontada em um banco taxa de desconto comercial de 1,8% a.m. Calcule o valor de face do ttulo, sabendo-se que a empresa recebeu um valor lquido de $ 3.500,00 e que o banco cobrou uma taxa de servio igual a 1 % do valor nominal (valor de face) do ttulo. 11) Uma empresa descontou em um banco uma duplicata de $ 15.000,00, 67 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 3,5% a.m. Obtenha o valor lquido recebido pela empresa, considerando que esta pagou, na data da operao, um imposto (imposto sobre operaes financeiras) igual a 0,0041 % ao dia, aplicado sobre o valor nominal do ttulo. 12) Para pagar uma dvida de $ 1.055.500,00, uma empresa juntou um cheque de $ 266.500,00 importncia lquida proveniente do desconto comercial de uma duplicata de $ 980.000,00, trs meses antes do vencimento. Determine a taxa mensal de desconto comercial utilizada. 13) Um banco oferece emprstimos pessoais mediante o preenchimento de uma promissria pelo cliente com prazo de vencimento igual ao prazo pedido para pagamento. Em seguida, o banco desconta a promissria a uma taxa de desconto comercial de 4% a.m. e entrega ao cliente o valor lquido. Se uma pessoa precisar hoje de $ 7.000,00, para pagamento daqui a trs meses, que valor da promissria dever assinar? 14) Resolva o exerccio anterior, considerando uma taxa de desconto comercial de 3% a.m., prazo de pagamento de 47 dias e valor que o cliente precisa hoje igual a $ 12.600,00. 15) Um banco realiza operaes de desconto de duplicatas utilizando uma taxa de desconto comercial de 3% a.m. Qual a taxa efetiva de juros simples mensal se os prazos de vencimento forem: a) Um ms. b) Dois meses. c) Cinco meses. 16) Um banco realiza operaes de desconto de duplicatas utilizando uma taxa de desconto comercial de 2% a.m. e cobrando uma taxa de despesas administrativas igual a 1 % do valor da duplicata. Qual a taxa efetiva de juros simples mensal se os prazos forem: a) Um ms. b) Trs meses. 17) Uma empresa, precisando de capital de giro, decide descontar uma duplicata de dois meses at o vencimento. Tal operao pode ser feita em um banco A ou em um banco B. O banco A utiliza uma taxa de desconto comercial de 2,5% a.m. mais uma taxa de servio igual a 0,8% do valor do ttulo; o banco B utiliza uma taxa de desconto comercial de 3,1 % a.m. sem taxa de servio. Qual banco a empresa dever escolher? 18) Se um determinado banco cobra 1 % como taxa de servio e 36% a.a. como taxa de desconto comercial em desconto de duplicatas, que taxa efetiva de juros simples mensal estar ganhando se os prazos de vencimento forem: a) Dois meses. b) Quatro meses. 19) Se um banco deseja ganhar a taxa efetiva de juros simples mensal de 3% a.m. em operaes de desconto de duplicatas, que taxa mensal de desconto comercial dever cobrar se os prazos de vencimento forem: a) Um ms. b) Trs meses. .20) Para promissrias com prazos de vencimento de dois meses, que taxa mensal de desconto comercial proporciona uma taxa efetiva de juros de 6% no perodo?

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21) Para duplicatas com prazos de vencimento de trs meses, que taxa mensal de desconto comercial proporciona uma taxa efetiva de juros de 2% a.m.? 22) Uma taxa efetiva de juros de 14% em um perodo corresponde a que taxa de desconto comercial no mesmo perodo? 23) Um ttulo com vencimento em 74 dias foi descontado, sendo a taxa efetiva de juros no perodo igual a 12%. a) Qual a taxa de desconto no perodo? b) Qual a taxa mensal de desconto? 24) Se um banco deseja ganhar uma taxa efetiva de juros simples mensal de 3% a.m. em operaes de desconto de duplicatas, que taxa mensal de desconto comercial dever utilizar se os prazos de vencimento forem: a) Um ms. b) Trs meses. c) Vinte e cinco dias 25) (Concurso para Controlador de Arrecadao Federal) Uma financeira deseja obter uma taxa efetiva de 40% a.a. em uma operao de trs meses. Nestas condies, a empresa dever cobrar a taxa anual de desconto comercial simples de: a) 36,36% a.a. b) 37,05% a.a. c) 38,06% a.a. d) 38,5% a.a. 26) Uma determinada loja efetua suas vendas dando ao cliente trs meses de prazo para pagamento. Se o cliente optar pelo pagamento vista receber um desconto de 10% sobre o valor nominal da compra. Qual taxa efetiva de juros no perodo est sendo cobrada pela loja? (neste tipo de situao, isto , desconto para pagamento vista, a taxa de desconto utilizada a taxa no perodo, neste caso, trs meses). 21) Um desconto de 20% para pagar vista um produto cujo preo dado. para pagamento em quatro meses corresponde a que taxa efetiva di juros no perodo? 28) (Palestra do professor Mrio Henrique Simonsen na FGV-Rio) "Em 1964, foi oferecido a um executivo um emprstimo a uma taxa de desconto de 4,5% a.m., por seis meses, e ele no aceitou, preferindo mesma taxa por um perodo de 12 meses. Resultado: pagou uma taxa efetiva de 117,39% a.a., em vez de 87,65% a.a., e perdeu o emprego. Confirme o resultado anterior, utilizando o conceito de taxa efetiva de juros. 29) Dois ttulos, um para 50 dias e outro para 90 dias, foram descontados uma taxa de desconto comercial de 6% a.m. Sendo de $ 900.000,00 a soma de seus valores nominais e de $ 128.400,00 a soma dos descontos, determine o valor nominal de cada ttulo. 30) Dois ttulos, um de $ 376.200,00 e outro de $ 253.800,00, foram descontados a uma taxa de desconto de 6% a.m., sofrendo um desconto total de $ 71.748,00. O vencimento do primeiro ocorre 20 dias depois do vencimento do segundo. Determine os prazos de vencimento de cada ttulo.

3.4 Operaes com um conjunto de ttulos .Vimos como proceder para descontar um nico ttulo. Caso tenhamos um conjunto de ttulos (chamado border, no caso de duplicatas), o seu valor atual comercial (ou valor lquido) a soma dos valores atuais de cada ttulo.

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Exemplos:1)Uma empresa apresenta o border de duplicatas a seguir, para serem descontadas em um banco taxa de desconto comercial de 2% a.m. Qual o valor lquido recebido pela empresa?

Duplicata Valor $ Prazo at o vencimentoA B C Resoluo Duplicata A Duplicata B Duplicata C DA = 20.000(0,02)1 = 400 V liq = 19.600 V liq = 38.266,67 V liq = 75.626,67 20.000 40.000 80.000 30 dias 65 dias 82 dias

DB = 40.000 (0,02/30) 65 = 1.733,33 DC = 80.000 (0,02/30) 82 = 4.373,33

Desta forma, o valor lquido liberado pela empresa foi de: $ 133.493,34O mesmo resultado poderia ser obtido subtraindo-se do total do border ($ 140.000,00) a soma dos descontos ($ 6.506,66). O fluxo de caixa da operao, do ponto de vista do banco, :

20.000

40.000

80.000

0 133.493,34

30

65

82

dias

O Fluxo de caixa de um banco que adiantou $ 133.493,34 para receber duplicatas de : $ 20.000; $40.000 e $80.000 em diferentes datas.

efetiva de juros, o procedimento um pouco mais complexo do que com um nico ttulo. No caso de vrios ttulos, a taxa efetiva de juros a taxa interna de retomo do fluxo de caixa da operao (TIR), assunto que estudaremos mais adiante.

3.4 Prazo mdio de um conjunto de ttulos:

Chama-se de prazo mdio de um conjunto de ttulos ao prazo em que se deve descontar o valor total do conjunto, a uma certa taxa de desconto comercial, para obter o mesmo resultado que a soma dos descontos de cada ttulo, mesma taxa de desconto. Sejam: N1, N 2, N 3, ... , Np os valores dos ttulos com prazos respectivos iguais a n1, n2, n3, ... , np, e d a taxa de desconto comercial.

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Chamando de n o prazo mdio, teremos, por definio:

Isto , o prazo mdio a mdia ponderada dos prazos dos ttulos, sendo os pesos iguais aos valores de cada ttulo.

Exemplo:Qual o prazo mdio do border do exemplo da pgina anterior?

=

(20.000)30 + (40.000)65 + (80.000)82 = 69,71 dias 20.000+40.000+80.000

Portanto, se descontarmos o valor do border ($140.000,00) a uma taxa de 2% am. No prazo de 69,71 dias, obteremos:

D=NdnD = (140.000) (0,02/30) (69.71) = $ 6.506,27.

Exerccios para Fixao:31) Em cada border a seguir, suponha que as duplicatas sejam descontadas taxa de desconto de 1,8 % am. Obtenha o valor lquido de cada border em cada caso: a)

Duplicata Valor $ Prazo at o vencimentoA B 45.000 60.000 16 dias 38 dias

b)

Duplicata Valor $ Prazo at o vencimentoA B C 15.000 27.000 19.000 20 dias 32 dias 45 dias

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c) Duplicata Valor $ Prazo at o vencimentoA B C Dl 26.000 15.000 40.000 62.000 16 dias 25 dias 35 dias 40 dias

32) Com relao aos dados do exerccio anterior, calcule o prazo mdio de cada border e mostre que, descontando-se o valor total de cada um, no seu prazo mdio e taxa dada, chega-se aos mesmos valores lquidos do exerccio anterior. 33)Mostre que, se um border tem todas as duplicatas no mesmo valor, o prazo mdio igual mdia aritmtica dos prazos das duplicatas deste border. 34)No seguinte border, suponha que cada duplicata seja descontada taxa de desconto indicada. Qual seu valor lquido?

Duplicata Valor $A B C 40.000

Prazo at o Taxa de vencimento desconto20 dias 1,5% a.m. 2% a.m. 2,5% a.m.

350.000 35 dias 125.000 50 dias

35) Com relao ao exerccio anterior, com qual taxa (constante) de desconto deveramos descontar o total do border, no seu prazo mdio, para obtermos o mesmo valor lquido do exerccio anterior?

36)Duas duplicatas, uma de $25.000,00 e 18 dias at o vencimento, outra de $ 32.000,00 e 38 dias at o vencimento, foram descontadas em um banco: a primeira a uma taxa de desconto de 3% a.m. e a segunda a uma taxa de 4% a.m. a) Qual o valor lquido? b) Qual o prazo mdio do border. (c) Com qual taxa (constante) deveramos descontar o total do border, no seu prazo mdio, para obtermos o valor lquido do item a?

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4 Juros Compostos4.1 Frmula do Montante

Quando uma determinada soma de dinheiro est aplicada a juros simples, os juros so sempre calculados sempre sobre o montante inicial. Quando uma soma est aplicada a juros compostos, os juros so calculados no apenas sobre o capital inicial, mas sobre este capital acrescido dos juros j vencidos.Capitalizao composta aquela em que a taxa de juros incide sobre o principal acrescido dos juros acumulados at o perodo anterior. Neste regime de capitalizao a taxa varia exponencialmente em funo do tempo. O conceito de montante o mesmo definido para capitalizao simples, ou seja, a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicao ou da divida. A simbologia a mesma j conhecida, ou seja, M, o montante, C, o capital inicial, n, o perodo e i , a taxa. A deduo da frmula do montante para um nico pagamento pouco mais complexa que aquela j vista para a capitalizao simples e para facilitar o entendimento, vamos admitir que defrontamos com o seguinte problema: Calcular o montante de um capital de R$ 1.000,00, aplicado taxa de 4% ao ms, durante 5 meses. Dados: C = 1.000,00, o n = 5 meses, o i = 4% ao ms e calcular o M = ?

quadro a seguir permite que visualizemos claramente o clculo do montante, ms a ms. Ms (t) 1 2 3 4 5 capital inicio ms (Pt) 1.000,00 1.040,00 1.081,60 1.124,86 1.169,86 juros cor. ms (Jt) 1.000,00 x 0,04 = 40,00 1.040,00 x 0,04 = 41,60 1.081,60 x 0,04 = 43,26 1.124,86 x 0,04 = 45,00 1.169,86 x 0,04 = 46,79 montante final ms (mt) 1.040,00 1.081,60 1.124,86 1.169,86 1.216,65

O valor do montante no final do quinto ms de R$ 1.216,65. O montante final de cada ms o valor do capital inicial do ms seguinte. Entretanto, essa forma de clculo bastante trabalhosa e demorada. Vamos deduzir uma frmula que permita um clculo mais fcil e rpido, partindo do desenvolvimento anterior, sem no entanto efetuar os clculos ali demonstrados.

M0 = 1.000,00 M1 = 1.000,00 + 0,04 x 1.000,00 = 1.000,00(1 + 0,04) = 1.000,00 (1.04)1 M2 = 1.000,00(1,04) + 0,04 x 1.000,00 x (1,04) = 1.000,00 (1,04)(1+0,04) = 1.000,00(1,04)2 ..................... M5 = 1.000,00(1,04)4 + 0,04 x 1.000,00(1,04)4= 1.000,00(1,04)4(1 + 0,04) = 1.000,00 (1,04)5O valor do montante no final do quinto ms dado pela expresso: M5 = 1.000,00 (1,04)5.

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Como (1,04)5 = 1,21656 m = 1.000,00 x 1,21656 = 1.216,65, que confere com o valor determinado anteriormente. Substituindo cada n da expresso M5 = 1.000,00(1,04)5 pelo seu smbolo correspondente, temos

M = C ( 1 + i)Observaesn

n

1)O fator (1 + i) , chamado de fator de acumulao de capital para pagamento nico, pode ser calculado diretamente com uma calculadora, ou, ainda, pode ser obtido em tabelas financeiras disponveis no site do professor: 2) importante ressaltar que n deve ser expresso sempre na unidade de tempo estipulada na taxa. O procedimento de se alterar a taxa para que ela fique de acordo com a unidade de tempo de n ser visto no item seguinte. 3) As calculadoras financeiras permitem calcular diretamente qualquer valor das quatro variveis da frmula, dados os valores das outras trs. A terminologia utilizada a seguinte:

PV : FV : i n

(do ingls Present Value) representa o Capital . (do ingls Future Value) representa o Montante . (do Ingls Interest ) representa a taxa de juros representa o nmero de perodos

importante destacar que, na maioria das calculadoras, os valores de PV e FV aparecem um com sinal positivo e outro com sinal negativo. Isto porque, nas teclas financeiras, uma entrada de caixa representada por um nmero positivo, ao passo que uma sada representada por um nmero negativo. Assim, em uma operao a juros compostos com pagamento nico, para o tomador do emprstimo, PV positivo e FV negativo; para o emprestador, PV negativo e FV positivo:

PV

FV

Tomador de emprstimo FV PV

emprestador

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IMPORTANTE :

Alunos que adquirirem a calculadora financeira HP-12 recebero um treinamento especial para o entendimento do funcionamento da calculadora. Os exerccios de juros compostos necessitaro o uso pelo menos de uma calculadora que efetue clculos de potncia. Sem o que o aluno dever recorrer s tabelas de juros. Para a resoluo de todos os exerccios faremos a seguinte sequencia: Primeiro utilizaremos as frmulas aprendidas depois faremos a utilizao das teclas financeiras na HP-12C.

EXEMPLOS de clculos de JUROS COMPOSTOS: Agora teremos 6 exemplos para que vocs acompanhem a resoluo junto com o professor:(1) Um capital de $6.000,00 foi aplicado a juros compostos durante trs meses taxa de 2% a.m. a) Qual o Montante? b) Qual o Total de Juros auferidos? a) Resoluo: C= 6.000 ; i= 2%.a.m e n= 3 meses

M=C(1+i)n

M= 6.000 (1+ 0,02)3 = 6.000 (1,02)3 = 6.367,25 J= M-C J= 6.367,25 6.000,00 J= 367,25

b) Resoluo : M= C+J

Agora o ex, 01 na calculadora financeira:.....(acompanhe com o professor...).

(2) Que capital aplicado a juros compostos taxa de 2,5% a.m., produz um montante de $3.500,00 aps um ano?

(3) Um capital de $ 2.500,00 foi aplicado a juros compostos durante quatro meses, produzindo um montante de $.3.500,00. Qual a taxa mensal de juros?

(4) (LOGARTIMO) Durante quanto tempo um capital de $ 1.000,00 deve ser aplicado a juros compostos taxa de 10% a.a. para resultar em um montante de $ 1.610,51?

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Exerccios de fixao: Importante: para fixao dos conceitos de juros compostos imprescindvel que os exerccios sejam resolvidos da seguinte forma: 1) Construa o fluxo de caixa. 2) identifique a frmula a ser utilizada e depois faa os clculos e no final 3) utilize as teclas financeiras da HP-12C para resoluo e conferencia do resultado.1) Qual o montante de uma aplicao de $ 50.000,00 a juros compostos pelo prazo de seis meses, taxa de 2% a.m? 2)Obtenha o montante das aplicaes a seguir, considerando o regime de juros compostos:

Capital $

Taxa

Prazo2 anos 1 ano 1 ano e meio

FV(VF) ou M=80.000 (1+0,36)2

$147.968,00

80.000,00 36% a.a. 65.000,00 35.000,00 3% a.m. 7% a.t

3)Um capital de $ 7.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante um ano e meio, taxa de 2,5% a.m. Calcule os juros auferidos no perodo. 4) Uma pessoa aplica hoje $ 4.000,00 e aplicar $ 12.000,00 daqui a trs meses em um fundo que rende juros compostos taxa de 2,6% a.m. Qual seu montante daqui a seis meses? 5) Qual o capital que, aplicado a juros compostos, durante nove anos, taxa de ,10% a.a., produz um montante de $ 175.000,00? 6) Um capital de $ 3.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante dez meses, gerando um montante de $ 3.500,00. Qual a taxa mensal? 7) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante dez meses, rendendo um juro igual ao capital aplicado. Qual a taxa mensal desta aplicao? 8) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante nove meses, rendendo um montante igual ao triplo do capital aplicado. Qual a taxa trimestral da aplicao? 9) Um fogo vendido vista por $ 600,00, ou, ento, a prazo, sendo 20% do preo vista como entrada, mais uma parcela de $ 550,00 dois meses aps a compra. Qual a taxa mensal de juros compostos do financiamento? 10) (LOG) Durante quanto tempo um capital de $ 5.000,00 deve ser aplicado a juros compostos, taxa de 1,8% a.m., para gerar um montante de $ 5.767,00? 11) (LOG) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros compostos, taxa de 2,2%, para que duplique? 12) Alberto aplicou $ 6.000,00 a juros compostos, durante um ano, taxa de 24% a.a. a) Qual o montante? b) Qual a taxa mensal de juros da aplicao? c) Qual a taxa semestral de juros da aplicao?

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13) Aplique hoje $ 55.000,00 e receba aps seis meses $ 60.000,00. Qual a taxa mensal de rendimento desta aplicao, considerando o regime de juros compostos? 14) Milena adquiriu um aparelho de som h seis meses por $ 800,00. Estando o aparelho em timo estado de conservao, e desejando vend-Io com um retorno de 2% a.m. sobre o capital aplicado na compra, calcule o preo de venda, considerando o regime de juros compostos. 15) Uma empresa vende um componente eletrnico por $ 200,00 a unidade, sendo o pagamento feito dois meses aps a compra. Para pagamento vista, o preo $ 192,00. Qual a taxa mensal de juros compostos do financiamento?

OBS: Na sequencia os exerccios envolvem a utilizao dos conceitos de DESCONTOS, cobrindo o Captulo 3: Descontos Simples.

16) A poltica de vendas de uma empresa produtora de materiais de construo conceder trs meses de prazo para pagamento; se o pagamento for feito vista, h um desconto de 6% sobre o preo para pagamento em trs meses. Qual a taxa trimestral de juros compostos do financiamento? 17)Uma empresa vende determinada matria-prima por $ 1.500,00 a tonelada, sendo o pagamento feito dois meses aps a compra. Para pagamento vista, a empresa d um desconto de 5% sobre os $1.500,00. Qual a taxa mensal de juros compostos pagos no financiamento? 18)Uma duplicada de $6.000,00 foi descontada em um banco taxa de desconto comercial de 2% a.m., quatro meses antes do vencimento. (a) Qual o valor lquido da duplicata? e b) Qual a taxa mensal de juros da operao? 19) Uma empresa descontou em um banco uma duplicata de $ 18.000,00 dois meses antes do vencimento, taxa de desconto comercial de 2,3% a.m. a) Qual o valor lquido recebido pela empresa? b) Qual a taxa mensal de juros simples da operao? c) Qual a taxa mensal de juros compostos da operao? 20) A empresa Vesvio Ltda. descontou em um banco A uma duplicata de $ 100.000,00 trs meses antes do seu vencimento. Sendo de 3,5% a.m. a taxa de desconto, pergunta-se: a) Qual o valor lquido recebido pela empresa? b) Qual a taxa mensal de juros compostos da operao? 21)Com relao ao exerccio anterior, suponha que a empresa consiga, em um outro banco B, um emprstimo igual ao valor lquido da duplicata, para ser pago no mesmo prazo (trs meses), sendo cobrados juros compostos com taxa de 3,6% a.m. Qual a melhor opo para a empresa? 22) Qual seria a resposta do exerccio anterior se o banco B cobrasse, ainda, uma taxa de servio de 1 % do valor do emprstimo, paga no instante da liberao do crdito?

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4.2 Perodos no inteiros Importante: Se o Captulo 3 no foi ensinado (foi postergado) recomendvel ir para o item 4.3 Taxas equivalentes e voltar aqui depois da concluso do Captulo 4 .Na deduo da frmula do montante, vista no item anterior, o prazo era um nmero inteiro no negativo. A frmula do montante M = C(1 + i)n geralmente estendida para valores de n positivos e no inteiros, e esta conveno conhecida como conveno exponencial. Teoricamente, h uma outra conveno, chamada linear, que consiste em calcular o montante a juros compostos durante a parte inteira do perodo e, sobre o montante assim obtido, aplicar juros simples durante a parte no inteira do perodo considerado. Esta ltima conveno raramente utilizada na prtica. - Na HP12 = Mtodo Americano: STO e EEX

Os 5 Exemplos: (Acompanhe com o professor)

Exemplo(1)Uma empresa recebeu um emprstimo para capital de giro no valor de $ 30.000,00, para pagamento em 56 dias. O banco cobrou juros compostos a uma taxa de 52% a.a. Qual o montante?Resoluo: Sendo a taxa dada ao ano, o valor de n (em anos) dado por: n= 56/360 Desta forma, teremos:

M = C(1+i)nNa HP 12 C: ...

M = 30.000 (1.52) 56/360 = 32.019,02

Exemplo(2)Um cliente recebeu um emprstimo bancrio de $ 15.000,00 e pagou aps 72 dias um montante de $ 16.102,77. Qual a taxa mensal de juros compostos do emprstimo?Resoluo: Como queremos a taxa mensal do emprstimo, devemos expressar o prazo em meses; portanto, n = 72/30, Assim:

16.102,77= 15.000(1 + i)72/30

(1 + i)72/30 = 1,0735

Elevando ambos os membros a expoente 30/72-, teremos:

((1 + i)72/30)30/72 = (1,0735)30/72 (1 + i)1 = (1.0735) 0,4167

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1 + i = 1,03 i = 0,03 = 3% a.m.A resoluo pela calculadora financeira feita da seguinte forma: acompanhe com o professor:

Exemplo(3)Em relao ao exemplo anterior, qual a nova taxa mensal se o dinheiro for liberado na conta da pessoa quatro dias aps a assinatura do contrato do emprstimo (float de quatro dias)?Resoluo Neste caso, o capital e o montante so os mesmos do exemplo anterior. Todavia, o prazo foi encurtado para 68 dias (72 - 4). Assim, a nova taxa dada por:

M = C( 1+ i ) nContinue....

16.102,77 =15.000(1 +i)68/30

A resoluo pela calculadora financeira feita da seguinte forma: . Exemplo(4)Um banco cobra, em certa linha de crdito, juros compostos taxa de 30% a.a. Se for feito um emprstimo por 75 dias a uma empresa, que taxa de abertura de crdito o banco dever cobrar para que resulte em uma taxa efetiva de juros de 35% a.a.? Resoluo Como no mencionado o valor do emprstimo solicitado, adotemos para ele o valor $ 100 (adotando qualquer outro valor obteramos a mesma resposta) . Assim, o montante aps 75 dias ser:

M = 100(1,30)75/360 = 105,62Para que a taxa efetiva resulte em 35% a.a., o banco dever efetivamente emprestar um capital C, tal que:

C(1,35)75/360 = 105,62 1,0645C =105,62 C = 99,22Assim, a taxa de abertura de crdito dever ser 100 - 99,22 = 0,78. Ou seja, para cada $ 100 de emprstimo, o banco dever cobrar $ 0,78. Portanto, a taxa de abertura de crdito dever ser de 0,78/100 = 0,78%.

Exemplo(5) Um banco pretende ganhar uma taxa efetiva de juros compostos de 36% a.a. em operaes de desconto de duplicatas com prazo de 45 dias. Que taxa mensal de desconto dever utilizar?Resoluo Adotemos para a duplicata o valor $ 100 (qualquer outro valor poder ser utilizado). O valor lquido V recebido pela empresa dever ser tal que:

V(1,36)45/360 = 100

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V(1,0392) = 100 V = 96,23Conseqentemente, o valor do desconto ser: D = 100 - 96,23 = 3,77. Lembrando que a frmula do desconto D = Ndn, e que desejamos a taxa de desconto mensal, podemos escrever: 3,77 = 100d 45 30 Portanto: d = (3,77)(30) = 0,0251 = 2,51% a.m. 4.500

Exerccios para fixao: (vide nota no incio do item 4.2)

23) Mrio fez uma aplicao de $ 12.000,00 por 18 meses taxa de 22% a.a. a) Qual o montante pela conveno exponencial? b) Qual o montante pela conveno linear? 24) Em um emprstimo a juros compostos de $ 100.000,00, a taxa foi de 2% a.m. e o prazo de 90 dias. No entanto, havia uma clusula contratual estabelecendo a conveno linear caso o pagamento fosse feito com atraso. Se o pagamento foi feito com um atraso de 17 dias, qual o valor do montante? 25) Resolva o exerccio anterior considerando a conveno exponencial. 26) Uma empresa tomou um emprstimo para capital de giro no valor de $ 10.000,00 por 30 dias, taxa de 75% a.a. Qual o montante? 27) Resolva o exerccio anterior considerando um prazo de 37 dias. 28) Uma empresa tem duas opes para levantar um emprstimo: descontar uma duplicata com prazo de vencimento de 30 dias a uma taxa de desconto de 4% a.m. ou, ento, tomar um emprstimo de capital de giro pelo mesmo prazo, com valor igual ao valor lquido da duplicata, a juros compostos com taxa de 4% a.m. Qual sua melhor opo? 29) No exerccio anterior, qual deveria ser a taxa de juros do emprstimo de capital de giro para que a empresa ficasse indiferente entre as duas opes? 30) Qual o valor aplicado em uma operao a juros compostos, com prazo de 160 dias, montante de $ 170.000,00 e taxa de 2,2% a.m.? 31) Um emprstimo de $ 8.000,00 a juros compostos deve ser pago aps 64 dias, sendo o montante igual a $ 8.500,00. Obtenha as taxas mensal e anual desta operao.

38

32) Em relao ao exerccio anterior, suponha que o dinheiro tenha sido liberado na conta da empresa tomadora do emprstimo trs dias aps a assinatura do contrato do emprstimo (float de trs dias). Qual a nova taxa mensal nestas condies? 33) Se um determinado banco informa a taxa de desconto comercial de 2,8% a.m. em operaes de descontos de duplicatas com prazo de 30 dias, qual a taxa efetiva anual de juros compostos da operao? 34) Em suas operaes de emprstimo de capital de giro, um banco cobra uma taxa de juros compostos de 45% a.a. Se um cliente concordar em pagar apenas a taxa de 40% a.a., que taxa de abertura de crdito (flat) o banco dever cobrar para que a taxa efetiva anual resulte em 45% a.a.? Considere o prazo da operao igual a 63 dias. 35) Resolva o exerccio anterior considerando que o cliente concorde em pagar a taxa de 41% a.a. 36) Considere uma operao de capital de giro em que o banco deseja uma remunerao efetiva (juros compostos) taxa de 5% no prazo de 35 dias. Se o banco trabalha com uma taxa de abertura de crdito (flat) de 1 % sobre o valor do capital emprestado, que taxa de juros compostos anual (taxa contratual) dever cobrar? 37) Resolva o exerccio anterior considerando uma taxa de abertura de crdito igual a 1,5% sobre o valor do capital emprestado. 38) Um banco desconta duplicatas com prazo de 35 dias a uma taxa efetiva anual (juros compostos) de 38% a.a. Qual a taxa de desconto comercial mensal utilizada? 39) Considere uma duplicata com prazo de 32 dias e uma taxa efetiva anual (juros compostos) de 41 % a.a. Qual a taxa de desconto comercial mensal utilizada? 40) Um banco desconta uma duplicata com prazo de 42 dias utilizando uma taxa de desconto comercial de 1,9% a.m. Qual a taxa efetiva anual (juros compostos) da operao? 41) No exerccio anterior, considere que o dinheiro seja liberado na conta do cliente, quatro dias aps a negociao (portanto, o prazo do emprstimo passa a ser de 38 dias, embora o clculo tenha sido feito com base em 42 dias). Qual a taxa efetiva anual (juros compostos) da operao? 42) Um banco emprestou para uma empresa um capital de $ 500.000,00 a juros compostos por 49 dias. Sabendo-se que o montante foi de $ 530.000,00, calcule: a) A taxa efetiva mensal (juros compostos) da operao. b) A taxa efetiva mensal (juros compostos), considerando a liberao de dinheiro trs dias aps a assinatura do contrato. 43) Em relao ao exerccio anterior, suponha que o dinheiro tenha sido liberado na assinatura do contrato, mas que foi cobrada uma taxa de abertura de crdito de 1 % do capital emprestado. Qual a taxa efetiva mensal (juros compostos) da operao?

39

4.3 Taxas equivalentesn Vimos, na frmula do montante M = C(l + i) , que habitualmente expressamos o prazo n de acordo com a unidade de tempo da taxa; todavia, poderamos expressar i de acordo com a unidade usada para n . Consideremos uma outra situao na qual precisemos escolher uma entre duas taxas para aplicao: uma anual e outra mensal.

Em ambos os problemas, temos de converter uma taxa, em um perodo, em outra, em outro perodo, de modo que as duas produzam o mesmo montante. Desta idia de transformao surge o conceito de taxas equivalentes. Dizemos que duas taxas so equivalentes a juros compostos quando, aplicadas em um mesmo capital e durante um mesmo prazo, produzem montantes iguais. Assim, se i1 e i2 forem as taxas e n1 e n2 os referidos prazos expressos nas unidades das respectivas taxas, ento, deveremos ter: C(1 + i1) n1 = C(1 + i2)n2 (1 + i1)n1 = (1 + i2)n2

Exemplos: (acompanhe com o professor)Exemplo(1) Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.? Resoluo: Chamando de i1 a taxa anual procurada e i2 = 2% a.m. a taxa conhecida e, ainda, adotando um prazo padro de um ano, teremos: i1 (taxa anual) Assim: n1= 1 ---i2 = 2% a.m. n2 = 12

(1 + i1)1 = (1,02)12 i1 = (1,02)12 - 1 = 0,2682 = 26,82% a.a.Portanto, a taxa de 26,82% a.a. equivalente a 2% a.m. no regime de juros compostos. importante observarmos que se tivssemos adotado um outro prazo padro (digamos de dois anos), o resultado seria o mesmo, pois a razo entre n1 e n2 seria a mesma. Exemplo(2) Em juros compostos, qual a taxa trimestral equivalente a 15% a.a.? Resoluo : Adotando o prazo padro de um ano, teremos: i1 (taxa trimestral) i2 = 15% a.a. n1 =4 n2 = 1 Assim:

(1 + i1)4 = (1,15)1 ((1 +i1)4)1/4 = (1,15)1/4 (1 + i1)1 = (1,15)1/4

40

i1 = (1,15)1/4 -1 = 0,0356 = 3,56%a.t.Portanto, em juros compostos, a taxa de 3,56% a.t. equivale a 15% a.a.

Exemplo(3) Em juros compostos, quais as taxas: mensal e anual equivalente a 8% a. t.?

Exemplo(4) Em juros compostos, quais as taxas : anual e mensal equivalente taxa de 3% em 45 dias?

Exerccios para fixao:

44) Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente s seguintes taxas: a)1,8% a.m. b)2,5%a.b c) 4,5% a.t. d) 18%a.s. 45) Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente s seguintes taxas: a) 75% a.a. b) 50% a.s c) 21% a.t. d) 6,5% a.b. e) 0,12% a.d. 46) Os compostos, qual a taxa semestral equivalente s seguintes: a) 0,14% a.d. b) 1,6% a.m c) 2,7% a.b d) 4,1% a.t. e) 96% a.a 47) Em juros compostos, qual a taxa em 40 dias equivalente a 2,5% a.m.? 48) Em juros compostos, qual a taxa em 65 dias equivalente a 2% a.m.? 49) Em juros compostos, o que prefervel: aplicar um capital por um ano a taxa de 26% a.a. ou taxa de 2,1 % a.m.? 50) Um investidor pode aplicar seu capital por trs meses a juros compostos taxa de 33% a.a. ou taxa de 2,5% a.m. Qual a melhor alternativa? 51) O que melhor: aplicar um capital a juros compostos por seis meses taxa de 4,5% a.t. ou taxa de 6% a.q. (ao quadrimestre)?

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Matemtica FinanceiraExerccios: Srie Especial (1). Juros com capitalizao Composta ALUNO:__________________________________ RA:_______________ TURMA_________Demonstre como chegou aos resultados dos exerccios: Voc dever primeiro, aps a rigorosa leitura, confeccionar o Fluxo de Caixa com os dados do problema e em seguida informar a frmula que utilizar para resolver o problema. Faa lpis e depois transporte o resultado para o gabarito no final deste trabalho utilizando caneta azul ou preta. (1) Qual o montante de uma aplicao de R$ 15.000,00, pelo prazo de 9 meses, taxa de 2% ao ms. (2) No final de 2 anos, o Sr Procpio dever efetuar um pagamento de R$ 200.000,00 referente ao valor de um emprstimo contrado hoje, mais os juros devidos, correspondente a uma taxa de 3,5% ao ms. Qual o valor emprestado? (3) Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicao de um capital de 100.000,00 `a taxa de 3,75% ao ms? (4) Um agiota empresta 80.000,00 hoje para receber 507.294,46 no final de 2 anos. Calcular a taxa mensal e anual deste emprstimo. (5) Quanto devo aplicar hoje, taxa de 51,107% ao ano, para ter $ 1.000.000,00 no final de 19 meses? (6) Uma empresa obtm um emprstimo de 700.000,00 que ser liquidado, de uma s vez, no final de 2 anos. Sabendo-se que a taxa de juros de 25% ao semestre, calcular o valor pelo qual esse emprstimo dever ser quitado? (7) A aplicao de certo capital, taxa de 69,588% ao ano, gerou um montante de R$ 820.000,00 no final de 1 ano e 3 meses. Calcular o valor dos juros? (8) Qual mais vantajoso: aplicar R$ 10.000,00 por 3 anos, a juros compostos de 3% ao ms, ou aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 5% ao ms? (9) Fiz uma aplicao em CDB no valor de R$ 600.000,00 pelo prazo de 85 dias e estimo que a rentabilidade ser de 25% ao bimestre. Qual o montante final? (10) Foi oferecido a um aplicador um papel com rentabilidade de 750% ao ano. Qual a taxa mensal? (11) Qual o valor dos juros correspondentes a um emprstimo de R$ 2.700,00 pelo prazo de 12 meses a uma taxa de juros de 7,50% ao ms? (12) Uma loja financia um televisor de R$ 390,00 sem entrada para pagamento em uma nica prestao de R$ 700,00 no final de cinco meses. Qual a taxa mensal de juros cobrada por ela?

42

As questes a seguir so para o clculo de Taxas Equivalentes: Utilize apenas 02 (duas) casas depois da vrgula e sempre arredondando a ltima conforme regra convencional.

Para os exerccios 13 a 25 no necessrio deixar os clculos no trabalho.Considere Juros Comerciais para todos os casos Calcule as Taxas equivalentes para : Taxa dada: 13 0,13 % a.d. 14 25% a.m. 15 50% a.b. 16 33% a.t. 17 150% a.sem. 18 400% a.a. %a.a. %a.m. %a.d %a.t. %a.b.

19 66 % a.a. equivale a 20 120% a.a. equivale a 21 100 % a taxa para 42 dias, portanto: 22 200 % a taxa para 75 dias, portanto: 23 584% a.a. equivale a 24 13,68% em 15 dias equivale a 25 0,1 % ao dia equivale a

% para 75 dias % para 75 dias % o equivalente ao ano. % o equivalente ao ms % para 60 dias % ao bimestre % ao ano

Gabarito:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Professor Cludio Campos

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MATEMTICA FINANCEIRAProf. Claudio Campos

Exerccios: Srie Especial (2). Juros com capitalizao Composta

Nome____________________________________

RA __________

Sala________

1)Um capital foi aplicado a juros compostos, durante dez meses, rendendo um juro igual ao capital aplicado. Qual a taxa mensal desta aplicao?

2) Converta as taxas considerando juros compostos: Demonstre os clculos (obrigatrio) . 2.1) 10% ao.sem. equivalente a __________% ao ano

2.2)

0,003% ao dia equivalente a

__________% ao ano

2.3)

3% ao bimestre equivalente a

__________% ao trimestre

2.4)

0,5% a.m. da poupana equivale a

__________% a.a.

2.5)

250% a.a. equivale a

__________% ao bimestre

2.6)

112% ao semestre equivale a

__________% ao quadrimestre

2.7)

40% ao ms equivale a

__________% ao dia

2.8)

40% ao perodo de 40 dias equivale a ___________%ao ms.

2.9)

62% ao ano equivale a

___________% para 68 dias.

2.10) 125% ao ms equivale a

___________% para 68 dias.

UNIP

44

5- Taxa Real de Juros (Inflao e Correo Monetria)5.1 INTRODUOA inflao o fenmeno conhecido como o aumento persistente dos preos de bens e servios. A conseqncia disso que a moeda perde seu poder aquisitivo, sendo a perda tanto maior quanto maiores forem esses aumentos de preos. Por exemplo, se a taxa de inflao for de 200% em um ano, isto significa que, em mdia, os preos dos produtos triplicaram; assim, se inicialmente $ 5.000,00 compravam uma cesta de produtos, aps um ano compraro apenas um tero desta cesta. Existem inmeros fatores que afetam a inflao: escassez de produtos, dficit oramentrio do Governo com emisso descontrolada de dinheiro, desequilbrio na balana de pagamentos etc. Quando se diz que a taxa de inflao anual foi de 20%, isto no significa que todos os produtos tiveram preos que subiram 20%, mas sim que a mdia ponderada dos aumentos de preos de alguns produtos foi de 20%. Assim, alguns produtos podem ter subido 15% e outros 25%, por exemplo. Em uma poca de inflao elevada, quem consegue aplicar a taxas de juros superiores s taxas de inflao acaba se beneficiando; aqueles que aplicam seu dinheiro a taxas inferiores s taxas de inflao acabam se prejudicando. Em virtude de a alta taxa de inflao corroer rapidamente o poder aquisitivo da moeda, fundamental analisar a relao das taxas de juros com as taxas de inflao. Muitas vezes uma aplicao financeira produz resultados que so meramente ilusrios, quando o aplicador no leva em conta a inflao. Por exemplo, se algum aplicar um capital por um ano taxa de 15% a.a., e a inflao no mesmo perodo for de 20%, seu ganho nem sequer conseguir repor o poder aquisitivo do dinheiro aplicado. Entretanto, dependendo das oportunidades do investidor, possvel que seus rendimentos fiquem abaixo da taxa de inflao, mas mesmo assim melhor do que ficar com o dinheiro parado. No item seguinte, veremos como se pode medir a variao de preos de um nico produto, com o objetivo de, em seguida, generalizar a idia para um conjunto de produtos.

5.2 NDICE DE PREOSConsideremos um produto que, no instante 0 (chamado de poca base), tenha um preo Po e que, no instante t (t > O), tenha um preo Pt. Define-se o ndice de preos desse produto entre os instantes O e t (e indica-se por PO,t) ao nmero:

P o,t = Pt / PoOu seja, a variao porcentual de preos de um produto a razo entre o preo final e o inicial menos um (ou, ainda, o ndice de preos menos um). Exemplo No incio de setembro de certo ano, o preo de um produto era $ 30,00 e, no incio de outubro do mesmo ano, era $ 31,00. a) Qual o ndice de preos deste produto entre as duas datas? b) Qual a variao porcentual de preos correspondente?

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Resoluo: a) ndice de preos: 31 = 1,0333 30 b) Variao porcentual de preos: 31 - 1 = 0,0333 = 3,33% 30

5.3 TAXA ACUMULADA:Consideremos trs instantes de tempo a, b e c, tais que a < b < c. Seja j1 a variao de preos entre a e b, e j2 a variao de preos entre b e c (Figura abaixo). A taxa acumulada de variao de preos a variao porcentual de preos entre a data final c e a data inicial a, e ser indicada por J AC

J1

j2

a

b

c

Figura acima

j1 a variao porcentual de preos entre a e b, e j2, entre b e c.

valida a seguinte relao:

J AC = (1 + J1)( 1 + J2) - 1

Exemplo 1: Em dois anos sucessivos, um determinado produto aumentou 10% e 12%, respectivamente. Qual a taxa de aumento acumulada no perodo? Resoluo:10% 12%

0

1

2

Figura acima: Taxas de inflao de 10% e 12% em dois anos sucessivos.

Temos:

JAC = (1 + 0,10)(1 + 0,12) - 1 = 0,232 = 23,2% ...Assim, o aumento acumulado no perodo foi de 23,2%. A propriedade dada na relao acima pode ser generalizada. E assim ficaria:

JAC = (1 + i1) (1 + i2) (1 + i3) ........(1 + in) - 1

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Exemplo 2 Em janeiro, fevereiro, maro e abril de certo ano, o preo de um produto teve os seguintes aumentos, respectivamente: 1,2%, 1,5%,0,6% e 0,7%. Qual a taxa acumulada de aumento no quadrimestre?Resoluo:

JAC = (1.012) (1,015 )(1,006 )(1,007) - 1 = 0,0406 = 4,06%5.4 PRINCIPAIS NDICES AGREGADOS DE PREOS MEDIDAS DE INFLAOUsualmente, um ndice agregado de preos construdo baseando-se na evoluo mensal de preos de uma cesta bsica, previamente definida com base nas quantidades fsicas de seus componentes. Assim, por exemplo, uma cesta bsica hipottica poderia ser um conjunto constitudo de 1Kg de arroz e 1Kg de feijo.

claro que as medidas usuais de inflao utilizam-se de cestas bsicas com uma gama variada de produtos, de tal forma que os produtos da cesta e suas quantidades definem um determinado ndice de inflao. A taxa de inflao de um dado ms a variao porcentual do preo mdio da cesta bsica naquele ms em relao ao preo mdio da cesta bsica no ms anterior. Por razes de ordem estatstica, o ndice de inflao definido como 1 (ou 100%) no ms base; em um ms qualquer, o ndice igual ao preo mdio da cesta bsica desse ms dividido pelo preo mdio da cesta bsica do ms base. O ms base geralmente o mais antigo.

Exemplo:Consideremos que, no ms base, o preo mdio de uma cesta bsica seja $ 500,00 e, nos meses subseqentes, seja $ 510,00, $ 520,00 e $ 540,00. Obter as taxas de inflao de cada ms, em relao ao ms anterior, e os respectivos ndices.Resoluo: Chamemos o ms base de O e os demais meses de 1,2 e 3. Teremos:

MS

PREO MDIO DA CESTA BSCA

TAXA DE INFLAO

NDICE DE INFLAO

0 1 2 3

500 510 520 540

--------------------------510/500 1 = 2% 520/510 1 = 1,96% 540/520 1 = 3,85%

1 ( 100%) 510/500 = 1,02 = 102% 520/500 = 1,04 = 104% 540/500 = 1,08 = 108%

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importante notar que a variao porcentual do ndice de um ms em relao ao do ms anterior igual taxa de inflao do ms. Assim, por exemplo, a inflao do ms 3 poderia ser obtida por: J3 = 1,08 1,04 - 1 = 3,85%

A seguir, descreveremos os principais ndices de inflao utilizados no Brasil.

5.4.1 ndice de Preos por Atacado (lPA) um ndice calculado mensalmente pela Fundao Getlio Vargas (FGV), objetivando medir as variaes de preos de produtos em transaes feitas no atacado, e com dados coletados em todo o Pas. Se forem includos bens destinados exportao, o ndice chamado de IPAconceito oferta global; se no, IPA-conceito disponibilidade interna. O clculo baseado em centenas de produtos e publicado mensalmente na revista Conjuntura Econmica e nos principais veculos de comunicao especializados.

5.4.2 ndice de Preo ao Consumidor (lPC) e ndice de Custo de Vida (lCV)So ndices que objetivam medir variaes de preos de produtos de consumo de famlias com caractersticas bem definidas. Os rgos que calculam estes ndices dependem da regio do Pas. Em So Paulo, por exemplo, h o IPC da Fundao Instituto de Pesquisas Econmicas da USP (FIPE), o ICV apurado pelo Departamento Intersindical de Estatsticas e Estudos Scio-Econmicos (Dieese), o ndice de Custo de Vida da Classe Mdia (ICVM) apurado pela Ordem dos Economistas de So Paulo e o IPC da FGV.

5.4.3 ndice Nacional de Preos ao Consumidor (lNPC) um ndice calculado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatstica (IBGE), utilizando-se dados de 11 regies metropolitanas do Pas, com dados de consumo de faixas de renda de um a oito salrios mnimos. Uma variante deste ndice o IPC-AMPLO ou IPCA, que baseado em dados de consumo na faixa de 1 a 40 salrios mnimos. Em ambos os casos, os dados de preos so coletados do dia 1 ao 30 de cada ms. 5.4.4 ndice Geral de Preos (lGP) um dos mais populares ndices de inflao utilizado no Brasil. Calculado pela Fundao Getlio Vargas e publicado mensalmente na revista Conjuntura Econmica. Este ndice dado pela mdia ponderada dos seguintes ndices: . IPA com peso 0,6 (60%); . IPC do Rio de Janeiro com peso 0,3 (30%); ndice Nacional do Custo de Construo (INCC) com peso 0,1 (10%).

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Exerccios para fixao:

1) Em 1 de maro de certo ano, o preo de um produto era $ 60,00 e, em 1 de dezembro de mesmo ano, o preo era $ 70,00. Qual o aumento porcentual de preo? 2) Em 3/1/2005, o preo de uma ao era $ 3,20 e, em 1/2/2005, o preo desta ao era $ 2,90. Qual a variao porcentual no preo? 3) Em janeiro, o preo mdio de uma cesta bsica era $ 150,00 e, em fevereiro, o preo mdio era $ 153,00. Qual a taxa de inflao de fevereiro? 4) Em agosto de um certo ano, o preo de um produto aumentou 2% e, em setembro do mesmo ano, aumentou 3%. Qual a taxa de aumento acumulado no bimestre? 5) Em janeiro, fevereiro e maro de um certo ano, as taxas de inflao foram, respectivamente, 1,6%, 0,76% e 0,92%. Qual a taxa acumulada de inflao no trimestre? 6) Em quatro meses consecutivos, o preo de um produto aumentou 2%, 2,6%, 3,1 % e 1,2%. Qual a taxa de aumento acumulado no quadrimestre? 7) Em um bimestre, a taxa acumulada de inflao foi de 5%; no primeiro ms, a taxa foi de 2%. Qual a taxa de inflao no segundo ms? 8) A taxa de inflao acumulada em cinco meses foi de 8%. Qual dever ser a taxa de inflao no sexto ms para que a taxa acumulada no semestre seja 10%? 09) Se em cada um de seis meses consecutivos a taxa de inflao for de 1,7%, qual a taxa acumulada no semestre? 10) Se de janeiro a dezembro de um certo ano (Janeiro e dezembro inclusos) a taxa de inflao mensal for de 0,87%, qual a taxa de inflao acumulada no ano? 11) Suponha que, em quatro meses consecutivos, o preo de uma ao tenha cado 5% ao ms. Qual a taxa de queda acumulada no quadrimestre? 12) Se, em junho, o preo de uma ao subir 20% e, em julho do mesmo ano, cair 20%, qual ser a taxa acumulada no bimestre? 13) Que taxa mensal de inflao (taxa constante) dever vigorar em cada um dos prximos cinco meses para que a taxa acumulada no perodo seja 9%? 14) Que taxa mensal de inflao (taxa constante) dever vigorar em cada um dos prximos 12 meses para que a taxa acumulada no perodo seja 18%? 15) Em maro, abril e maio de um certo ano, uma carteira de aes desvalorizou-se 10%, 7% e 5%, respectivamente. a) Qual a taxa de desvalorizao acumulada no trimestre? b) Que taxa de valorizao dever ocorrer em junho do mesmo ano para recuperar a perda no trimestre?

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5.5 TAXA REAL DE JUROSSe um capital C aplicado durante certo perodo de tempo, taxa i por perodo, o montante resultante ser: M, = C(1 +i)n Se, no mesmo perodo, a taxa de inflao for j, o capital C corrigido monetariamente pela inflao ser:M2= C+ jC = C(1 +j)

Se M1 = M2, dizemos que a taxa de juros i apenas recomps o poder aquisitivo do capital C; se M1 > M2, dizemos que houve um ganho real em relao inflao; e se M1 < M2, dizemos que houve uma perda real em relao inflao. Chamamos de ganho real a diferena M1 - M2, que poder ser positiva, nula ou negativa (neste caso, tambm chamamos de perda real). Chamamos de taxa real de juros (e indicamos por r) o ganho real expresso como porc