MatemticaFinanceira e ComercialCarlos Eduardo Epprecht; Roberto MinelloCopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht iCopyMarket.comTodos os direitos reservados.Nenhuma parte desta publicao poder serreproduzida sem a autorizao da Editora.Ttulo: Matemtica Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000Matemtica Financeira e Comercial Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Contedo ProgramticoCaptulo1 - Razo 1 - Introduo 2 - Razo 2.1 - Razes inversas. x Exerccios de fixao x Exerccios propostos. Captulo2 - Proporo 1 - Introduo 2 - Proporo 2.1 - Definio 2.2 - Propriedade fundamental das propores 2.3 - Outras propriedades das propores 2.4 - Quarta proporcional. 2.5 - Proporo contnua 2.6 - Terceira Proporcional. x Exerccios de fixao x Exerccios propostos. Captulo3 - Grandezas proporcionais e Diviso proporcional. 1 - Introduo2 - Grandezas diretamente proporcionais.3 - Grandezas inversamente proporcionais. xExerccios de fixao xExerccios propostos. Captulo4 - Regra de Sociedade 1 - Introduo 2 - Casos de Regra de Sociedade. xExerccios de fixao xExerccios propostos. CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht iiCaptulo5 - Regra de trs simples 1 - Introduo 2 - Tipos de grandezas 2.1 - Grandezas diretamente proporcionais 2.2 - Grandezas inversamente proporcionais. x Exerccios de fixao x Exerccios propostos. Captulo6 - Regra de trs composta 1 - Introduo xExerccios de fixao xExerccios propostos. Captulo7 - Mdias 1 - Introduo 2 - Tipos de Mdias. 2.1 - Mdia Aritmtica 2.2 - Mdia Geomtrica 2.3 - Mdia ponderada 2.4 - Mdia harmnica x Exerccios de fixao x Exerccios propostos. Captulo8 - Porcentagem. 1 - Introduo 2 - Elementos de clculo percentual. xExerccios de fixao xExerccios propostos. Captulo9 - Operaes sobre mercadorias 1 - Introduo 2 - Vendas com lucro 2.1 - Sobre o preo de custo 2.2 - Sobre o preo de venda 3 - Vendas com prejuzo3.1- Sobre o preo de custo 3.2- Sobre o preo de venda. x Exercciosde fixao x Exerccios propostos. Captulo10 - Juros Simples. 1 - Introduo 2 - Regime de capitalizao 2.1 - Regime de capitalizao simples. 3 - Clculo de juros simples e montante. 4 - Taxas proporcionais CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht iii5 - Taxas equivalentes 6 - Prazo mdio. 7 -Taxa Mdia xExerccios de fixaoxExerccios propostos. Captulo11 - Descontos Simples 1 - Introduo 2 - Tipos de descontos 2.1 - Descontos comercial, bancrio ou por fora 2.2 - Valor atual comercial 2.3 - Desconto racional ou desconto por dentro 2.4 - Valor atual racional 2.5 - Relao entre desconto comercial e o desconto racional. 3 - Taxa de juros simples e taxa de descontos simples. 3.1 - Taxa de juro simples 3.2 - Taxa de desconto simples 4 - Fluxo de caixa e Equivalncia de capitais. 4.1 - Fluxo de caixa. 4.2 - Equivalncia de capitais. x Exerccios de fixao x Exerccios propostos. Captulo12 - Logaritmos. 1 - Introduo 2 - Definio 3 - Propriedades dos logaritmos 4 - Mudana de base 5 - Funo logartmica 6 - Logaritmos decimais 6.1 - Caracterstica 6.2 - Mantissa x Exerccios de fixaox Exerccios propostos. Captulo13 - Juros compostos. 1 - Introduo2 - Taxas equivalentes 3 - taxa efetiva e nominal 3.1 - Taxa nominal 3.2 - Clculo de taxa efetiva x Exerccio de fixao x Exerccio propostos. CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht ivCaptulo14 - Desconto Composto 1 - Introduo 2 - Desconto racional compostox Exerccios de fixao x Exerccios propostos. Captulo15 - Capitalizao e Amortizao 1 - Introduo 2 - Capitalizao Composta 2.1 - Rendas imediatas 2.1.1 - Frmula do montante de uma renda imediata 2.2 - Rendas antecipadas 2.2.1 - Frmula de um montante de uma renda antecipada. 3 - Amortizao Composta 3.1 - Renda imediata 3.1.1 - Frmula do valor atual de uma renda imediata 3.2 - Renda Antecipada 3.2.1 - Frmula do valor atual de uma renda antecipada 3.3 - Rendas diferidas x Exerccios de fixao x Exerccios propostos. Captulo16 - Emprstimos. 1 - Introduo 2 - Sistema Francs 2.1 - Montagem de uma planilha de amortizao 2.1.1 - Tabela Price 2.2 - Sistema de amortizao constante 2.2.1- Clculo do saldo devedor 2.3 - Sistema de amortizao misto x Exerccios de fixaox Exerccios propostos. CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht1CopyMarket.comTodos os direitos reservados.Nenhuma parte desta publicao poder serreproduzida sem a autorizao da Editora.Ttulo: Matemtica Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 20001. Razo Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 1. Introduo Uma escola tem 600 alunos, e realizou uma pesquisa mostrando o esporte preferido pelos alunos. Esporte No de alunos Jud50 Futebol150 Natao200 Handebol50 Basquete60 Nenhum esporte90 Vamos analisar os dados da tabela acima atravs de alguns quocientes: a) nmero de alunos que praticam natao nmero de alunos da escolaSignificado: em cada 3 alunos da escola, apenas 1 pratica natao. b) nmero de alunos que praticam judnmero de alunos que jogam futebol Significado: O nmero de alunos que jogam futebol triplo do nmero de alunos que praticam jud. c) nmero de alunos que praticam esporte nmero de alunos da escolaSignificado: em cada 20 alunos da escola, 17 praticam esportes. 2. Razo Dados dois nmeros racionais a e b, com b 0, chamamos de razo ao quociente de a para b.Indicamos razo por ba ou a : b, onde a o antecedente e b o conseqente.2.1. Razes inversas Duas razes so denominadas de inversas, quando o produto entre elas igual a um. 31600200=3115050=2017600510=CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht2Exemplo: 1211221e12= - Exerccios resolvidos 1) Estabelea as razes entre os nmeros abaixo: 2 e 10;0,1 e 0,01; 43e21Soluo:A razo entre 2 e 10 51102=A razo entre 0,1 e 0,01 1001 , 01 , 0=A razo entre32643421432143e21= = - =2) Calcule a velocidade mdia de um trem que percorre 120km em 3h. Soluo:Chamamos de velocidade mdia ao quociente entre a variao de espao e a variao de tempo. h Km VmtSm / 403120V = = AA=Significado: em cada 1 hora o trem percorre 40Km. 4) (L.A.O.-SP) Analise a tabela abaixo sobre algumas escalas. Escala Medida do desenho Medida real 1:25010cm25m 1:40025cmx 1:600y75m As medidas x e y so respectivamente: Soluo:Escala =comprimento no desenho CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht3comprimento real x254001=x = 25-400 x = 10.000cm ou x = 100m 75 6001 y=600y = 75 ou 125 , 060075m y y = =cm y 5 , 12 =5) O estado de Gois tem uma rea aproximada de 341.289km2. De acordo com o censo de 1991 esse estado tinha uma populao, aproximada, de 4.012.562 habitantes. Qual a densidade demogrfica desse estado? Soluo:densidade demogrfica = nmero de habitantes rea densidade demogrfica 276 , 11289 . 341562 . 012 . 4kmhab= =Exerccios de fixao 1) Calcule a razo entre os nmeros: a) 3 e 21b) 0,333 ... e 2,1 c) 31e212) Determine a razo entre a tera parte de 0,12 e o dobro de 0,1. 3) Determinar a razo entre 4cm2 e 2dm2. 4)(Unifor-CE)Searazoentredoisnmeros 53,arazoentreoquntuplodoprimeiroeatera parte do segundo igual a: a)91b) 31c) 1d) 9e) n.r.a. 5) Calcule a razo entre os volumes de dois cubos de aresta de medida 1cm e 2cm, respectivamente. CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 46)(UDF)Umestadobrasileirotemapopulaode10milhesdehabitanteseumamdiade40 hab/km2. Qual a sua superfcie? a) 100.000km2 b) 250.000km2 c) 500.000km2d) 1.000.000km2 e) n.r.a. 7) (TRF) Uma estrada est representada por 15 cm num mapa de escala 000 . 201 . O comprimento real dessa estrada : a) 3km b) 30km c) 300m d) 3.000cm e) 30.000dam 8) (ESPCEX) Um trem com a velocidade de 45 km/h, percorre certa distncia em 3,5h. Nas mesmas condies com a velocidade de 60km/h, quanto gastar para percorrer a mesma distncia? 9) (Fatec-96) Um terreno retangular tem 170m de permetro. Se a razo entre as medidas 0,7, ento a rea desse terreno, em metros quadrados, igual a: 10) (IBGE) Observe o mapa de um stio na escala 1:10.000 O proprietrio do stio pretende cerc-lo com trs voltas de arame. A quantidade de arame que ele vai gastar igual a: a) 1.800m b) 2.000m c) 3.600m d) 4.200me) 5.400m Exerccios propostos 1) Determine a razo entre os nmeros. a) 2 e 6 b) 1,2 e 0,02 c) 0,333 ... e 0,666 ... d)35e31

2) (E.E.Aer) O produto de duas razes inversas igual a: a) 0b) 1c) 2d) 3e) n.r.a. CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 53) Num concurso pblico, havia 6.000 candidatos. Tendo sido aprovados 1.200, a razo entre o nmero de reprovados e o nmero de candidatos de: 4) Multipliquei o antecedente de uma razo por 5 e dividi seu conseqente por 2. A razo ficou: a) dividida por 2d) multiplicada por 10b) multiplicada por 5e) n.r.a. c) dividida por 10 5) (EPCAR) Chama-se densidade demogrfica a razo entre o nmero de habitantes de uma regio e a readamesma.Assimsendo,seareadoDistritoFederalforde5.800km2aproximadamenteesua densidade demogrfica for de 203 hab/km2, ento o nmero de habitantes dever ser: a) superior a 1,5-106 d) exatamente a 1,3-106b) inferior a 1,1-106e) aproximadamente 1,2-106c) superior a 1,3-1066) (TTN) Num mapa, cuja escala 000 . 000 . 31 , a estrada Belm-Braslia tem 67cm. Calcular, em km, a distncia real.7) (TTN) Um automvel percorre a distncia de Braslia a Belo Horizonte, de 729km, em 7h e 30min. Qual a sua velocidade mdia? 8)(UFMG)Doiscaminhes-tanquecarregamomesmovolumedemisturasdelcoolegasolina.A mistura de um contm 3% de lcool, e a do outro, 5% de lcool. Os dois caminhes descarregam suas cargas em um reservatrio que estava vazio. A razo do volume de lcool para o de gasolina na mistura formada no reservatrio, aps os caminhes terem descarregado: a)251b) 241c) 161 d) 121e) n.r.a. 9) O proprietrio de um terreno de 1.000m2 deseja construir uma horta com 4 canteiros de 50dm2 cada qual. A que frao do terreno corresponde a rea total ocupada pela horta? a) 1 b) 1c) 1d) 1e) n.r.a. 400500 50 40 10) Dois nmeros inteiros so tais que um deles igual quarta parte do outro. A razo entre o menor desses nmeros e a soma dos dois nmeros pode ser expressa pela frao: a)51b) 31c) 43d) 32e) n.r.a.CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 6RESPOSTAS DOS EXERCCIOS PROPOSTOS 1)a) 3162b) 60210100.10612100210120,021,2 c)212331323196930,666...0,333.../-/ d)5153313531 - 2)b 3)Comonoconcursohaviam6000candidatos,sendo1200aprovados.Onmerodereprovadosser: 6000 1200 = 4800, logo a razo ser: 54k60004800k = =4) 102 525.bakbakbakbak = - -= -= =a alternativa correta ad 5)= - = = =e a correta a alternativ a1.177.400 habitantes de 203 5800 habitantes de5800habitantes de nmero203reahabitantes de nmeroa demogrfic densidadeo on nCopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 76)= = - = = =km 010 . 2 xoucm 000 . 000 . 201 x000 . 000 . 3 67 xx67000 . 000 . 31real o comprimentdesenho no o comprimentescala7)hkm20 , 97mV152 729mV215729mVtsmV = -= = AA=8) caminho A: 3% de lcool e 97% de gasolina caminho B: 5% de lcool e 95% de gasolina8% de lcool e 192% de gasolina 241k% 192% 8kbak = = =a alternativa correta a b 9) 1000 m2 = 100.000 dm25001k000 . 100200k000 . 10050 4k = = -=a alternativa correta a b 10)= //= += +== =a a correta a alternativ51514441akaaka aakb aaka b b aCopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht8CopyMarket.comTodos os direitos reservados.Nenhuma parte desta publicao poder serreproduzida sem a autorizao da Editora.Ttulo: Matemtica Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 20002. Proporo Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 1. IntroduoA proporo assunto de muita importncia na matemtica, como tambm, na vida. Todooestudodearitmticaquefazemostemporbasearazoeaproporo,mostrandoao aluno suas aplicaes prticas. 2. Proporo 2.1. Definio Chama-se de proporo a toda sentena que indica uma igualdade entre duas razes.Podemos representar as propores das seguintes maneiras: com (a, b, c, d racionais, no nulos). L-se: a est para b assim como c est para d 2.2. Propriedade fundamental das propores Em toda proporo o produto dos meios igual ao produto dos extremos e vice-versa. dcba= ) 0 ; ; ; ( = - = - d c b a d a c bNuma proporo os termos so a, b, c, d e de acordo com essa propriedade b e c so os meios e a e dso os extremos. Exemplo:6432= 3-4 =2-6 produto produto dos meiosdos extremos ou a : b = c : dou a : b:: c : ddcba=CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht9Exerccios resolvidos 1) Calcular o valor de x na proporo:10125=xSoluo: 6106012 5 10 = = - = - x x xResposta: 6 = x2) Determinar o valor de y na igualdade: 6523 =ySoluo 14228y 8 2 2y 10 18 2y 18 10 - 2y 6 3 5) - 2(y : = = = + = = - = yResposta: 14 = y3) Obter o valor de x na proporo:x231213=+Soluo:95181031610136106103652 32653 262 33= = - = = = - - = - = =+x x x x x xx xExerccios de fixao 1) (ETAM-81) A proporo dcba=pode tambm ser escrita: a)dbca= b) cdba=c) dcab=d) bacd= e) n.r.a. 2) Calcule o valor de x na proporo: a)312=x b) x125 , 0=c) x43121=d) 4123121x=+3) O valor de x na proporo 25413312=+x ? CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht10Exerccios propostos 1) (PUC) Qual das seguintes equivalncias verdadeira: a)cd cab adcba +=+ =b) bd acdcba= =c) d b c adcba+ = + =d)c dd cd bc adcba=++ =2)Calcule o termo desconhecido nas propores abaixo: a)25 , 2 51 x=b)x421211 = |.|

\|+c)3123212 =x3)Determinarvalor de M na proporo: 12 (0,25)1/2M0,666...=CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht112.3. Outras propriedades das propores: P1 - Em toda proporo, a soma ou a diferena dos antecedentes est para a soma ou a diferena dos conseqentes, assim como um antecedente qualquer est para o respectivo conseqente. =++=++ =dcd bc abad bc adcbaou( ) 0 ; ; ; = d c b a== =dcd bc abad bc adcbaou( ) 0 ; ; ; = d c b aP2 - Em toda proporo, a soma ou diferena dos dois primeiros termos est para o 1o ou para o 2o, assim como a soma dos dois ltimos termos est para o 3o ou 4o termo. ( ) 0 ; ; ; ou =+=++=+ = d c b add cbb acd cab adcba( ) 0 ; ; ; ou === = d c b add cbb acd cab adcbaP3-Emtodaproporo,oprodutodosantecedentesestparaoprodutodosconseqentes,assim como o quadrado de um antecedente qualquer est para o quadrado do respectivo conseqente. ( ) 0 ; ; ; ou2222=== = d c b adcbdacbabdacdcbaCopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht12Propores mltiplas: Quando temos uma igualdade de trs ou mais razes, dizemos que se trata de uma proporo mltipla. Consideremos a srie de razes iguais: , A = = = =hgfedcbaento temos que:AAA+ + + ++ + + += = = = =h f d bg e c ahgfedcbaExemplo:966432= = uma proporo mltipla pois:=+ ++ +9664329 6 36 4 2ououDe fato====+ ++ +961812641812321812e18129 6 36 4 2ououGeneralizando, dada a srie de razes iguais: fedcba= =e observando as propriedades P1 e P2, podemos escrever: 1)fedcbaf d be c a= = =+ ++ +2)fedcbaf d be c a= = = + +3)fedcbaf d be c a= = =+ + 4)fedcbaf d be c a= = = CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht13Exerccios resolvidos 1) Calcule x e y na proporo 3 2y x=, sabendo que x + y = 15. Soluo:Aplicando a propriedade P1, temos: = = = =++= = = =++ =9 45 53 5153 3 26 30 52 5152 3 23 2y yy y y xx xx x y xy xResposta: x = 6 e y = 9 2) Calcule o valor de x e de y na proporo 2 7y x=, onde x - y = 40. Soluo:Pela propriedade P1, temos que: = = = == = = = =16 80 52 5402 2 756 280 57 5407 2 72 7y yy y y xx xx x y xy xResposta: x = 56 e y = 16. 3) Determine os valores de p e q na proporo 38=qp , onde p + q = 132. Soluo:Observequeasincgnitasagorasoantecedenteeconseqente(enoantecedentes,comonos exerccios anteriores), por isso, aplicaremos a propriedade P2.= = = +=+= = = +=+ =36 396 11311 13233 896 1056 11811 13283 838q qq qq pp pp pq pqpResposta: p = 96 e q = 36. 4) Obter os valores de a e b na proporo 45=ba , sabendo que a - b = 12. CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht14Soluo:Aplicando a propriedade P2, temos: = = == = = =4841 1244 56051 1254 545bb bb aaa ab abaResposta: a = 60 e b = 48. 5) Uma substncia qumica composta de ouro e ferro na proporo 2 partes de ouro para cada 3 de ferro.Para fabricar 30g dessa substncia, quantos gramas de ouro e de ferro sero necessrios? Soluo:Aplicando a propriedade P1, temos: 303 2= +=y xey x= = = =++= = = =++18 90 53 5303 3 212 60 52 5302 3 2y yy y y xx xx x y xResposta: A substncia qumica formada por 12g de ouro e 18g de ferro. 6) Calcule os valores desconhecidos. = + = =81 2 5c b ac b aSoluo:Aplicando a propriedade das propores mltiplas, teremos: CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht1581 2 5= + = =c b aec b a= = = =+ + = = = =+ + = = = =+ + 2 8 41 481 1 2 54 16 42 482 1 2 510 40 45 485 1 2 5c cc c c b ab bb b c b aa aa a c b aResposta: a = 10, b = 4 e c = 2. 7) Calcule os valores de x e y na proporo abaixo: 4 2y x=e xy = 96 Soluo:Aplicando a propriedade P3, teremos: 964 2==xyey x= - = - = -= - = = = =--= = = -= - = = =--3 8 16 1216 12816 9616 96 816 8964 4 23 448 48896 496 4 84 8962 4 22 2 22222 2 2222y yy y yy y y xxx x x xx x y xResposta: 3 8 3 4 = = y x eExerccios de fixao 4) Encontre o valor de a e b, onde2 e2 6= = b ab a5) Calcular x e y na proporo 2 3y x=, sabendo-se que x + y = 30. 6) Calcule o valor de x e y na proporo 32=yx, sabendo-se que x + y = 15. 7) Calcule dois nmeros positivos cujo produto 24 e a razo entre eles 2 : 3. 8)Arazoentreaidadedofilhoeadopaide1:3.Sabendo-sequeasomadasidades72anos, calcule a idade do filho. 9)Umagravuradeformaretangular,medindo20cmdelargurapor35cmdecomprimento,deveser ampliada para 1,2m de largura. O comprimento correspondente ser: CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht1610) Sabendo-se que x + y + z = 18 e que 4 3 2z y x= =, o valor de x : 11) Calcule o valor de x, y e z onde: 1 2 5z y x= =e x - y - z = 6. 12)(E.E.Aer)Odenominadordeumafraosuperade3unidadesonumerador;aumentando-seos termos da frao de 1, a frao obtida resulta igual a 32 . Calcule o numerador da frao. 13) As dimenses de um terreno retangular esto na razo 85. Se a rea do terreno de 1000m2, ento sua maior dimenso, em metros, mede: 14) (L.A.O. - SP) Misturando suco concentrado e gua na proporo de uma parte de suco para trs de gua,fizemos24litrosderefresco.Setivssemosmisturadoamesmaquantidadedesuco concentrado na proporo de 2 partes de suco para 5 de gua, quantos litros de refresco teramos conseguido?Exerccios propostos 4) (TCF) Sendo 5 2b a=, ento : a)7 2b a a += b) 2 5b a b += c) 5 2b a a +=d) 10 5b a b +=e) n.r.a5) Calcular x e y na proporo 2 3y x=, sabendo que x - y = 5. 6) Calcular x e y na proporo 32=yx , sabendo que x + y = 10. 7) Se189 e3 7= = xyy x, ento x - y vale: 8) Qual a frao equivalente a 23 cuja diferena entre seus termos 10? 9)(ETF-SP)Se760litrosdeumamisturacontmlcooleguanarazo14:5,entoonmerode litros de lcool na mistura : 10) O nmero que diminudo de 3 unidades est para o seu consecutivo assim como 5 est para 6 : CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht1711) O complemento de um ngulo est para o seu suplemento assim como 1 : 3. Calcular a medida do ngulo.12) A razo entre os dois nmeros 3 : 8. Se a soma do maior com o dobro do menor 42, o maior deles : 13) Determinar os valores de a, b e c, onde 2 5 7c b a= = e a + b - c = 60. 14) (Banco do Brasil) Uma herana de R$ 101.500,00 deve ser dividida entre trs pessoas, de modo que a parte da primeira corresponda aos 52 da parte da segunda e aos 43 da parte da terceira. Quanto tocar a cada uma das trs pessoas?2.4. Quarta proporcional Sendo a,be ctrsnmerosracionaisdiferentesdezero,denomina-sedequartaproporcionaldesses nmeros um nmero x, tal que: xcba=Exemplo:Calcular a quarta proporcional dos nmeros 2; 5 e 8. Soluo:Temos: 20 40 2852= = = x xx2.5. Proporo contnua toda proporo cujos meios so iguais. Exemplo:9331=2.6. Terceira proporcional uma proporo contnua. Sendo aebdoisnmerosracionais,nonulos,denomina-sedeterceiraproporcionaldessesnmeros um nmero x tal que: CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht18Exemplo:xbba=Obter a terceira proporcional dos nmeros 2 e 4. Soluo:821616 2442= = = = x x xxExerccios resolvidos 1) Calcular a quarta proporcional dos nmeros 6; 5 e 9. Resoluo:x956= 6x = 59 6x = 45 x = 7,52) Determinar a terceira proporcional dos nmeros 2 e 12: Soluo:x12122= 2x = 12- 12 2x = 144 x = 72Exerccios de fixao 15) (EPCAR) A quarta proporcional entre75 e 8 ; 12a) 20b)25c) 23 5d)3 20 e)3 4016) A terceira proporcional entre 2 e 7 : a)349b) 249c) 25,5d) 26e) n.r.a. 17) (E.E.Aer) A terceira proporcional entre os nmeros 5 e 6 : a) 0,5b) 1,6c) 5,0d) 7,2e) n.r.a. CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht19Exerccios propostos15) Calcule a quarta proporcional entre os nmeros: a) 1; 2 e 5b) 41e31;21c) 21e 2 ; 1 , 016) Calcule a terceira proporcional entre os nmeros: a) 2 e 3 b) 21e 2 c) 51e21RESPOSTAS DOS EXERCCIOS PROPOSTOS CAPTULO 2 Propores1)a 2)a)45 , 0 x525 , 2x 25 , 2 x 525 , 2x51= = = =b)34x322 x232x 2 x23214 x23x42123x421:211 = - = = = - - = - = = |.|

\|+c)= = - = = = - - = - = =7 , 2 x1027x5329x3529x29x35233 x3535323x3123212x3)( )= - = = = - = - - = - = =16 M 2 8 M218M 8 M2197225 , 0 M9612 25 , 0 M9625 , 0M12666 , 02 / 125 , 0M12A4)aCopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht205)= = == = =10 y2y152y2 3y x15 x3x153x2 3y x6)= = = - - = - = +=+= = = - - = - = +=+6 y530y 30 y 5 3 10 y 535y1033 2yy x4 x520x 20 x 5 2 10 x 525x1023 2xy x7)= == = = -= - = - = =--= = = -= - = - = =--= - =12 9 - 21 y - x de valorO9 y 812y 812y21189 92y 189 92y 2192y21189232y3 7y x21 x 4412x 4412x21189 492x 189 492x 21492x21189272x3 7y x189 y x e3y7x8)= = == = == =2030 e equivalent frao A : R0 2 b21b1022 3bb a30 a31a1032 3ab a10 b - a e23ba9)= = = - - = - = +=+= = = - - = - = +=+= = + litros. 560 de lcool de litros de nmero O : R20019800 . 3800 . 3 19 5 760 19519y76055 14yy x56019640 . 10640 . 10 19 14 760 191419x760145 14xy x514yx760 y x y gua x lcooly y y yx x x x10) ( ) ( ) 23 x 18 5 x 5 x 6 5 x 5 18 x 6 1 x 5 3 x 6651 x3 x= + = + = + = =+CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht2111)= o = o = o = o + o o = o |.|

\|o - = |.|

\|o - =o o o o o 4529090 2 180 270 33 270 180 90 3 180 13118090180 lemento sup90 o complementngulo um12)= = - = - == = = =+ = - + = - + = = - - + = +- = =24 nmero maior O : R9872248383247168168 7416843 4142431428642 42832 42 28383a a a b ab b bb bbbb b b b b a bb aba13)= = = - = - = = + += = = - = - = = + += = = - = - = = + +1210120120 10 2 60 102 10602 2 5 73010300300 10 5 60 105 10605 2 5 74210420420 10 7 60 107 10607 2 5 7c c c cc c c b ab b b bb b c b aa a a aa a c b a14)= - = - == - = - == = =-=+ + = + +- = - =- = - == + +000 . 28 000 . 213434500 . 52 000 . 212525000 . 2129000 . 609000 . 609 296500 . 101 668 15 6500 . 101342534432552500 . 101z z x zy y x yx x xx x xx x xx z z xx y y xz y xCopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht2215)a)10 xx521= =b)61x12121x21121x121x214131x21x413121= - = = = - - = - =c) 1010111101212 1 02121 0= = = - - = - = x x x x ,x,16) a) 29x 9 x 2x332= = =b)81x2141x241x41x 22121x 2x21212= - = = = - = =c)252x12251x21251x251x215151x21x515121= - = = = - - = - =CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht23CopyMarket.comTodos os direitos reservados.Nenhuma parte desta publicao poder serreproduzida sem a autorizao da Editora.Ttulo: Matemtica Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 20003. Grandezas Proporcionais e Diviso Proporcional Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 1. Introduo Ocorremnodia-a-diasituaesqueenvolvemnmerostaiscomo:tempo;espao;velocidade; presso;massa;volume;salrio;horasdetrabalho;nmerodeempregadosetc.Acadaumadessas situaes mencionadas acima chamamos de grandeza. Assim, o nmero de horas de viagem realizado por um automvel depende da sua velocidade e do espao a ser percorrido. As grandezas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.2. Grandezas diretamente proporcionais 2.1. Definio Uma grandeza A proporcional a uma grandeza B, quando as razes entre os elementos de A e os seus correspondentes valores em B for uma constante, isto , sendo A = (a1; a2; a3;...; an) e B = (b1; b2;b3;...; bn), ento: nn332211ba....bababaK = = = =K denominado de fator de proporcionalidade ou coeficiente de proporcionalidade; Exemplo:Sejam as sucesses de nmeros (3; 4; 5; 6) e (6; 8; 10; 12) 2163K = =2184K = =21105K = =21126K = =Resposta: O coeficiente de proporcionalidade 21.CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht243. Grandezas inversamente proporcionais 3.1. Definio UmagrandezaAinversamenteproporcionalaumagrandezaB,quandooprodutodetodosos elementos de A com os seus correspondentes em B for uma constante, isto , se A = (a1; a2; a3;...; an) e B = (b1; b2; b3;...; bn), ento: K = a1 b1 = a2 b2 = ... = an bnExemplo:1) Sejam as sucesses de nmeros (1; 2; 4; 5) e (20; 10; 5; 4): K = 120 = 20 K = 210 = 20 K = 45 = 20 K = 54 = 20 Resposta: O coeficiente de proporcionalidade 20. Exerccios resolvidos 1) Verifique se as seqncias de nmeros abaixo so diretamente ou inversamente proporcionais. a) (2; 4; 5) e (6; 12; 15) Soluo:Sendo K o fator de proporcionalidade mostraremos que a razo uma constante. 3115512462= = = = KLogo, so diretamente proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade 31.b) (1; 4; 10) e (20; 5; 2) Soluo:K = 120 = 45 = 102 = 20 Logo, so inversamente proporcionais e o fator de proporcionalidade 20. CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht252) Divida o nmero 60 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3. Soluo:3 260y xy x== += = = =++= = = =++36 180 53 5603 3 224 120 52 5602 3 2y yy y y xx xx x y x3) Divida o nmero 20 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3. Soluo:312120y xy x== += = = =

=+ =++= = =

= =+ =++83243 24 356 203162 32031312112 2 24 256 202165202162 320213121y y y yy y y xx x xx x x y x4) Divida o nmero 56 em partes proporcionais a 2 e 3 e ao mesmo tempo proporcional a 1 e 4. Soluo:481412 5612 56 1412 145612 12 28141122 56 142 14562 12 25612 212 4 32 1 2= -= - = ==++= = - = ==++= +== - = - y y yyy y xx x xxx y xy xy xxx5)Divida o nmero 60 em partes diretamente proporcionais a 1 e 2 e inversamente proporcionais a 3 e 4.Soluo : CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht262141231311= - = - yx213160y xy x== +Exerccios de fixao 1) A tabela abaixo relaciona o valor de uma mquina em dlares com o tempo decorrido, em anos, aps sua fabricao: Tempo aps a fabricao (anos)01234 Valor (US$)18.50018.00017.50017.00016.500 De acordo com a tabela, verdade que: a)O tempo decorrido de fabricao diretamente proporcional ao valor; b)O valor inversamente proporcional ao tempo decorrido aps a sua fabricao. c)O tempo de fabricao e o valor so duas grandezas diretamente proporcionais; d)O decrscimo anual do valor da mquina inversamente proporcional ao tempo decorrido aps a sua fabricao. e)n.r.a.; 2) (PUC) Se (2; 3; x) e (8; y; 4) so duas sucesses de nmeros diretamente proporcionais, ento: a) x = 1 e y = 6c) x = 1 e y = 12 e) n.r.a. b) x = 2 e y = 12d) x = 4 e y = 2 3) Duas grandezas, velocidade e tempo, esto relacionadas conforme a tabela: Vm (m/s)10202540 t (s)201085 a) Essas grandezas so diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais? b) Qual a constante de proporcionalidade? c) Construir o grfico da velocidade em funo do tempo. = = = = =- =+ =++= = = =- = =++362722 72 25360256 602163 260212131243723 72 356 60316560312131y y y y yy y y xx x x xx x y xCopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht274) (E.E.Aer) Dividir 150m de seda em duas pores proporcionais aos nmeros 2 e 3: a) 40m e 110mc) 50m e 100m e) n.r.a. b) 45m e 105md) 60m e 90m 5) (CPFO) Dividindo-se 306 em partes diretamente proporcionais a 2; 5 e 11 resulta, respectivamente: a) 34; 119; 153c) 153; 61,2; 27,8e) n.r.a. b) 34; 85; 187d) 80; 100; 126 6) Dividir o nmero 60 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3. 7) (FAAP) Dividir 64 em partes inversamente proporcionais aos nmeros 45 e 43 . 8) (Banco do Brasil) O lucro de determinada empresa foi dividido entre seus trs scios, na proporo de 3; 5 e 9. Sabendo que o segundo scio recebeu R$ 40.000,00 a mais do que o primeiro, pergunta-se qual foi o lucro total da empresa e quanto coube a cada um dos scios. 9)(BancodoBrasil)AquantiadeR$20.650,00foidivididaentreduaspessoas,sendoqueaprimeira recebeu na razo direta de 8 e na razo inversa de 3 e a segunda pessoa recebeu na razo direta de 9 e na razo inversa de 4. Quanto recebeu cada pessoa? 10) (Banco do Brasil) A importncia de R$ 684.000,00 foi dividida entre duas pessoas. Sabendo que a primeira recebeu na razo direta 7 e de 3 e que a segunda recebeu na razo direta de 9 e 4, calcular a parte de cada uma. 11) (TTN) Uma pessoa deseja repartir 135 balinhas para duas crianas, em partes que sejam ao mesmo tempodiretamenteproporcionaisa 32e74einversamentea 94e 212.Quantasbalinhascada criana receber? 12) Dados os grficos cartesianos: I)II)III) Aquelesqueindicam,respectivamente,queydiretamenteproporcionalax;queyinversamente proporcional a x; e que s a variao de y proporcional a variao de x so: a) III; I; IIc) I; III; IIe) n.r.a. b) II; III; Id) III; II; I yxxyxyCopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht28Exerccios propostos 1)(PUC) Para que as sucesses (9; x; 5) e (y; 8; 20) sejam diretamente proporcionais, isto , para que se verifiquem a igualdade 20589= =xy, os valores de x e y devem ser respectivamente: a) 2 e 36 b) 5141ec) 2 e 5 d) 5 e 35 e) n.r.a. 2) (F. Carlos Chagas) Se as seqncias (a; 2; 5) e (3; 6; b) so de nmeros inversamente proporcionais e a + mb = 10, ento m igual a: a) 0,4 b) 1,0c) 2,0 d) 2,5 e) 5,0 3) Duas grandezas, espao e tempo, esto relacionados conforme a tabela abaixo: s (m) 406080100 t (s)2345 Responda as perguntas abaixo: a) Essas grandezas so diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais? b) Qual a constante de proporcionalidade? c) Esboar o grfico do espao em funo do tempo. 4)(Mack)Dividindo-se660empartesproporcionaisaosnmeros 6131,21e ,obtm-se respectivamente:a) 130; 220; 110c) 360; 180; 120e) n.r.a. b) 120; 180; 360d) 330; 220; 110 5)(Osec)AimportnciadeR$780.000,00deveserdivididaentreostrsprimeiroscolocadosdeum concurso,empartesdiretamenteproporcionaisaospontosconseguidosporeles,queso50;43e 37, respectivamente. Determinar a importncia que caber a cada um. 6) Dividir o nmero 40 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3. 7) (FEI) Dividir 46 em partes inversamente proporcionais a 1 e 1,3. 8)(BancodoBrasil)Distribua192bolasentrequatrocrianas,detalmodoqueasegundareceba15 bolas a mais do que a primeira, a terceira 6 bolas a mais que a segunda, e a quarta, 11 a mais que a terceira.CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht299) Um prmio de R$ 152.000,00 ser distribudo aos cinco participantes de um jogo de futebol de salo, de forma inversamente proporcional s faltas cometidas por cada jogador. Quanto caber a cada um, se as faltas foram 1; 2; 2; 3 e 5? 10)Divida o nmero 44 em partes diretamente proporcionais a 1 e 2 e inversamente proporcionais a 3 e 5, respectivamente. RESPOSTAS DOS EXERCCIOS PROPOSTOS 1)= = = - - = - == - = = == =a correta a alternativ A2 X2040x 40 x 20 5 8 x 202058x36 y 4 9 y41y9205y92058xy92)= = = = + = - + = += == = == - =d a correta a alternativ A25123030 12 50 12 20 105124 105125 12431212 35 6 2 3m m m m m mb ab ba a ab a3)a) essas grandezas so diretamente proporcionais b)hkmtsmv k 205100480360240= = = = =AA= =c)60402 3 s(m)t(s)CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht304)= = =- =+ + =+ ++ += = = =+ ++ += = =- =+ + =+ ++ += == + +d a correta a alternativ Az z zz z z y xy y yy z y xx x x xx z y xz y xz y x1106660666 6606161 2 3660616131212203660366660316131213302660266 660261 2 3660216131216131216605)= -= - = = =+ ++ += -= - = = =+ ++ += -= - = = =+ ++ += == + +000 . 222 z130000 . 780 37z 000 . 780 37 z 130 37130000 . 78037z37 43 50z y x000 . 258 x130000 . 780 43y 000 . 780 43 y 13043y130000 . 78043y37 43 50z y x000 . 300 x130000 . 780 50x 000 . 780 50 x 13050x130000 . 78050x37 43 50z y x37z43y50x000 . 780 z y x6)= = = = - =- =+ =++= = = = - =- =+ =++== +1634848 3 3 6 8 356 40362 3403131212424848 2 2 6 8 256 40262 340213121312140y y y y y yy y xx x x x x xx y xy xy xCopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht317)= -= = - =- =+ =++= =- =+ =++= == +201310 2626101310132313 4610131310 13461310131011262313 4611310 134611310111310113 111146b b bb b b b aa aa a b ab a,b ab a8)( ) ( ) ( )= + = + == + = + == + = + == = = = = + = + + + + + ++ = + + = + =+ = + + = + =+ == + + +bolas 63 bolas; 52 bolas; 46 bolas; 31 : mente respectiva receber vem crianas As : Rd d c dc c b cb b a ba a aa a a a aa d a d c da c a c b ca bd c b a63 11 52 1152 6 46 646 15 31 15314124124 4 68 192 4192 68 4 192 32 21 1532 11 21 1121 6 15 615192= = == = == = == = == =- =+ + + + =+ + + ++ + + += = = == + + + +000 12 000 60 551000 20 000 60 331000 30 000 60 221000 30 000 60 221000 607630 000 152306 10 15 15 30000 1521151312121115131212111000 152. e . e ae. d . d ad. c . c ac. b . b ab. a a.a. a e d c b ae d c b a. e d c b a9)CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht3210)= -= - = - =- - =+ =++= = = =- =+ =++=)`= - = - = +2452 602560251115 4425156 544525231203603 60 31115 443156 5443152315231525123131144b b b b bb b aa a a a aa b ab abab aCopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht33CopyMarket.comTodos os direitos reservados.Nenhuma parte desta publicao poder serreproduzida sem a autorizao da Editora.Ttulo: Matemtica Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 20004. Regra da Sociedade Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 1. Introduo Entendemos por regra de sociedade um grupo de pessoas que se renem, cada qual tendo um capital paraseraplicadoporumperododetempo,numaatividadecomercialpodendoocorrerlucrosou prejuzos.Os problemas de regra de sociedade sero resolvidos atravs das aplicaes dos casos de divises em partes diretamente proporcionais. 2. Casos de Regra de Sociedade 1o ) Capitais iguais e tempos diferentes Nestecaso,olucroouprejuzodasociedadeserdivididoempartesdiretamenteproporcionaisaos tempos de permanncia dos scios. Exemplo:1)Trspessoasformamumasociedadepermanecendooprimeirodurante12meses,osegundo8 meses e o terceiro 6 meses. Quanto ganhou cada um, se a sociedade apresentou um lucro de R$ 260.000,00? Soluo: a + b + c = 260.000 6c8b12a= =Aplicando a propriedade das propores teremos: 6c8b12a6 8 12c b a= = =+ ++ +6c8b12a= = =26000 . 260120.000 a26260.000 12a 260.000 12 26a12a26260.000=

= = =80.000 b26260.000 8b 260.000 12 26b8b26260.000=

= = =CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht34.000 6 c26260.000 6c 260.000 6 26c6c26260.0000 =

= = =R.: O primeiro scio recebeu R$ 120.000,00; o segundo R$ 80.000,00 e o terceiro R$ 60.000,00. 2o) Tempos iguais e capitais diferentes O lucro ou prejuzo ser dividido em partes diretamente proporcionais aos capitais dos scios: Exemplo:1) Quatro pessoas formam uma sociedade de R$ 50,00; R$ 60,00; R$ 75,00 e R$ 25,00 respectivamente. No fim de certo tempo, a sociedade apresentou um lucro de R$ 840,00. Quanto coube a cada scio? Soluo: a + b + c + d = 840 25d75c60b50a= = =Aplicando a propriedade das propores teremos: 100 d21021.000d 21.000 210d 840 25 210d25d210840300 c21063.000c 840 75 210c75c210840240 b21050.400b 50.400 210b 840 60 210b60b210840200 a21042.000a 42.000 210a 840 50 210a50a21084025d75c60b50a21084025d75c60b50a25 75 60 50d c b a= = = - = == = - = == = = - = == = = - = == = = == = = =+ + ++ + +3o) Tempos diferentes e capitais diferentes Oslucrosouprejuzosserodivididosempartesdiretamenteproporcionaisaosprodutosdotempo pelo capital respectivo de cada scio. Exemplo:1) Uma empresa teve lucro de R$ 22.200,00. O primeiro scio empregou R$ 1.200,0 durante 1 ano e 3 meses,osegundoscioR$800,00por1anoemeio;oterceiroscioR$1.000,00durante1ano. Qual foi o lucro de cada scio? CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht35Soluo: a + b + c = 22.200 12 1.000c18 800b15 1.200a

=

=

Aplicando a propriedade das propores teremos: 6.000 c212.000c 12.000 2c12.000c2112.000c44.40022.2007.200 b214.400b 14.400 2b14.400b2114.400b44.40022.2009.000 a218.000a 18.000 2a18.000a2118.000a44.40022.20012.000c14.400b18.000a44.40022.20012.000c14.400b18.000a12.000 14.400 18.000c b a= = = = == = = = == = = = == = == = =+ ++ +Exerccios de fixao 1)Trspessoasdesejamformarumasociedade,entrandooprimeirocomocapitaldeR$1.200,00,o segundo com R$ 800,00 e o terceiro com R$ 1.000,00. Calcule o lucro de cada scio, sabendo que o lucro total da empresa foi de R$ 6.000,00. 2)Doissciosaoconstituremumasociedadeentraram,respectivamente,comoscapitaisdeR$ 4.000,00eR$6.000,00.Nadivisodolucro,osegundorecebeuR$600,00amaisqueoprimeiro. Quanto recebeu cada scio? 3) Trs pessoas formaram uma sociedade, o primeiro scio permanece 2 meses, o segundo 3 meses, o terceiro 5 meses. Sabendo que o lucro total foi de R$ 6.000,00, calcule o lucro de cada scio. 4) A, B e C formaram uma sociedade, o scio A entrou com o capital de R$ 2.000,00, scio BcomR$1.500,00eoscioCR$1.200,00etiveramumprejuzodeR$12.000,00.Sabendo que A ficou na sociedade 4 meses, B 8 meses, C 6 meses, qual foi o prejuzo de cada um? 5) (Banco do Brasil) Na constituio de uma sociedade, o scio A entrou com R$ 51.000,00; B com R$ 85.000,00;CcomR$153.000,00eoDcomR$221.000,00.Aoserdistribudoolucrofinaldo exerccio,proporcionalmentescotasdocapitaldecadascio,DrecebeudelucroR$1.200,00. Calcule o lucro total e a parcela que coube a A; B e C. CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht366) Trs scios A; B; C investiram R$ 9.000,00 num negcio que deu de lucro R$ 12.000,00. O scio A entrou21 do capital, B entrou com 31 do capital e C com o restante. Determinar a parte do lucro que cabe ao scio B. Exerccios propostos1)UmasociedadeconstitudaporduaspessoasobteveR$1.800,00delucrototal.Oprimeiroscio entroucomumcapitaldeR$300,00,osegundosciocomR$600,00.Qualolucroquecoubea cada scio? 2) Trs pessoas formaram uma sociedade, o primeiro entrou com o capital de R$ 1.200,00, o segundo com R$ 1.500,00, o terceiro com R$ 2.000,00. Ao fim de 1 ano resolveram desfazer a sociedade, pois havia acumulado um prejuzo de R$ 6.000,00. Calcular o prejuzo de cada scio. 3) Repartir o lucro de R$ 6000,00 entre dois scios de uma empresa, sabendo que o primeiro aplicou R$ 1.000,00 na sociedade durante 2 meses e que o segundo aplicou R$ 1.500,00 durante 4 meses. 4)(TTN)Doisscioslucraramcomadissoluodasociedade e devem dividir entre si o lucro de R$ 28.000,00.OscioAempregouR$9.000,00durante1anoe3meseseoscioBempregouR$ 15.000,00 durante 1 ano. Calcule o lucro do scio A.5)UmprmiodeR$900,00deveserdistribudoentretrspessoasdemodoqueasegundarecebao dobro da primeira e a terceira o triplo da segunda. Quanto a segunda recebeu? 6)(BancodoBrasil)Emumacertasociedade,oscapitais de A e B esto entre si como 3 est para 5. Sabendo-sequeessescapitaisestiveramaplicadosdurante15e18meses,respectivamente,equea sociedade teve prejuzo de R$ 311.100,00, calcular o prejuzo de cada scio. CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht37RESPOSTAS DOS EXERCCIOS PROPOSTOS 1)= = = - = == = = - = == =++== +200 . 1 b900000 . 080 . 1b 000 . 080 . 1 b 900 800 . 1 600 b 900600b900800 . 1600 a900000 . 540a 000 . 540 a 900 800 . 1 300 a 900300a900800 . 1600b300a600 300b a600b300a800 . 1 b a2)= -= - = == -= - = == -= - = == = =+ ++ += == + +19 553 247006000 20006000 2000 47002000 4700600089 914 147006000 15006000 1500 47001200 4700600091 531 147006000 12006000 1200 47001200 47006000000 2 500 1 200 1 2000 1500 1200000 2 500 1 200 1000 6, . a c cc, . a b bb, . a a aa.c.b.a c b a.c.b.a. c b a3)= = - = == = - = = =++= -=-= +500 48360006000 6 86000 80006000500 18120002000 6 82000 800060002000 6000 20006000 2000 4 1500 2 10006000. a a bb. a a aa a b ab a b ab aCopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht384)= -= - = = == -= - = = = =++= -=-= +000 16315000 180 28000 180 28 315000 180 31528000 180 000 315000 28000 12315000 135 28000 135 28 315000 135 31528000 135 000 315000 28000 135 000 180 000 135000 180 000 135 12 000 15 15 000 9000 28. a.a . b.b.b... a.a . a.a.a...a. .b a.b.a.b.a. b a5)= - = == = = = + +=== + +200,00 R$ recebeu pessoa segunda A: Rb b a ba a a a a aa ca bc b a200 100 2 21009900900 9 900 6 2629006)= = = + = += -= =- =+ - =++ == +- = = =50 662 116150 437 194 100 3111100 311 50 437 1941100 3112 150 437 194285 100 311222258100 311222 253100 311222 12 12211100 3112 1253152315321, . p , . . p. , . p . p p, . p.pcpc.cpc c.cpc cp pcpcp. p pc cc cccCopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht39CopyMarket.comTodos os direitos reservados.Nenhuma parte desta publicao poder serreproduzida sem a autorizao da Editora.Ttulo: Matemtica Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 20005. Regra de Trs Simples Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 1. Introduo Soproblemasonderelacionamosduasgrandezaspodendoserdiretamenteouinversamente proporcionais. Para soluo dos mesmos consiste em formar com trs valores conhecidos e a incgnita procurada, uma proporo e dela tiramos o valor desejado. 2. Tipos de grandezas. 2.1. Grandezas diretamente proporcionais Duas grandezassodiretamenteproporcionaisquando,aumentandooudiminuindoumadelas,a outra grandeza aumenta ou diminui na mesma razo.Exemplo:1)Umautomvelfez120Kmcom10litrosdegasolina.Quantoslitrosdegasolinaesseautomvel gastaria para percorrer 200Km? Distncialitros de gasolina 12010 200x gasolina de litros 66 , 16 x1202000x 2000 x 120 10 200 x 120x10200120= = = - = =2.2. Grandezas inversamente proporcionais Duasgrandezassoinversamenteproporcionaisquando,aumentando-seumadelas,aoutra diminui na mesma razo que a primeira aumentou e vice-versa. Exemplo: 1)Umnibuscomavelocidade60Km/hpercorreadistnciaentreduascidadesem3h.Quetempo levar, se aumentar a velocidade mdia para 90Km/h? velocidade mdiatempovelocidade mdia tempo 60360x 90X903 CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht40h 2 x90180x 180 x 90 3 60 x 903x9060= = = - = =Exerccios resolvidos 1) Se 4 operrios tecem 200m de tecido por dia, quantos metros tecero 6 operrios? Soluo:Indicando por x a quantidade de metros que tecero os 6 operrios, temos a seguinte disposio prtica: no de operriosmetros de tecido 4200 6x Se 4 operrios tecem 200m, mais a operrios tecero mais metros. Nesse exemplo as grandezas so: nmero de operrios e metros de tecido, assinalamos essa variao na disposio prtica, atravs de flechas do mesmo sentido. A proporo resultante ser: m 300 x41200x 1200 x 4 6 200 x 4x20064= = = - = =Resposta: 6 operrios tecero 300 metros de tecido. 2) Seis operrios levam 12 dias para executar uma obra, 4 operrios, em quanto tempo faro o mesmo trabalho?no de operriosdias 612 4x bvio que 6 operrios levam 12 dias, menos operrios demoraro mais dias para a execuo da obra. Como o tempo necessrio para realizar o trabalho inversamente proporcional ao nmero de operrios empregados,indicamosessavariaocomflechasdesentidosopostos.Invertendoaprimeirarazo |.|

\|64, para que as flechas fiquem com o mesmo sentido, e teremos a seguinte proporo: no de operriosdias 412 6x dias 18 x472x 72 x 4 6 12 x 4x1264= = = - = = Resposta: 4 operrios executaram a obra em 18 dias CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht41Exerccios de fixao1) (ETF-SP) Uma pessoa ingere em um dia 1,5 L de gua. Em 15 dias, ingerir: a) 30 L b) 22,5 Lc) 20 L d) 27,5 Le) n.r.a. 2)Umoperrioconstriummuroem10diastrabalhando8hpordia.Quantotempolevaomesmo operrio para construir o mesmo muro trabalhando 10h por dia?3) Duas rodas dentadas, engrenadas uma na outra, tm respectivamente 16 e 32 dentes. Quantas voltas dar a menor, enquanto a maior d 10? 4) (ETF-SP) Para ladrilhar o piso de uma cozinha de 8,5m2 de rea, foram empregadas 250 lajotas de cermica.Onmerodelajotasiguaisnecessrioparaladrilharumagaragemretangularcom5mde comprimento e 2,72, de largura ? a) 40 b) 340c)390 d)400 e)460 5) (ETF-SP) Num livro de 192 pginas, h 32 linhas em cada pgina. Se houvesse 24 linhas por pgina, o nmero de pginas do livro seria:a) 256 b) 144c) 320 d) 240e) 128 6) (ETF-SP) Um piloto d uma volta completa no circuito em 1min 35seg. Para completar 54 voltas, ele levar em mdia: a) 1h 25min 30seg.b) 1h 31,5min.c) 1h 31min.d) 31,5min.e) 315min. 7) (ESA) Um automvel gasta 10 litros de combustvel para percorrer 65Km. Num percurso de 910Km a quantidade consumida em litros de combustvel ser de: a)1,4 b) 14 c) 140 d) 240e) 1400 8) Uma torneira jorra 1.035,5 litros de gua por hora e enche certo reservatrio em 12h. Determine em quanto tempo outra torneira, que jorra 20 litros por minuto, encheria o mesmo reservatrio. 9) Um relgio atrasa 1min.10seg. em 10h de funcionamento. Quanto atrasar em 2 dias? 10)Umafbricatemydehomensparaexecuodeumtrabalhoemddias,tendocontratadomaisrhomens para executar o mesmo trabalho. Em quantos dias o trabalho estar executado? a)yr d + dias b) r yr d+ dias c) r yd y+ dias d) y rd+ dias e) y dd y+ dias.CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht42Exerccios propostos 1)Umapessoadatilografaumtrabalho,com42toquesporminutos,em2h.Quantostoquespor minuto seriam necessrios para essa pessoa realizar o mesmo trabalho em 6h?2) Qual o tempo gasto por 2 homens para executar um trabalho que 4 homens, nas mesmas condies, executam em 10 dias? 3)Umnibuscomavelocidadede80Km/hvaidacidadeAatacidadeBem2h.Nasmesmas condiesecomavelocidadede100Km/h,quantotempogastarparapercorreramesma distncia?4)(E.E.Aer-)Arodamaiordeumaengrenagemtem75cmderaioed900voltas,enquantoaroda menor d 1500 voltas. Qual o raio da roda menor? 5) (UDF) Uma mquina varredeira limpa uma rea de 5100m2 em 3h de trabalho. Nas mesmas condies, em quanto tempo limpar uma rea de 11.900m2? a) 7 h. b) 5 h. c) 9 h.d) 4 h.e) n.r.a 6) Uma turma de operrios executa um trabalho, cujo coeficiente de dificuldade 0,1, em 10 dias. Em quantos dias essa mesma turma faria um outro trabalho cujo coeficiente de dificuldades fosse 0,15? 7)(ETF-SP)Acantinadaescolapossuaumestoquedehamburgueraservendidoa1800alunos durante15dias.Tendohavidoumagrevenometr,algunsalunosfaltarameoestoquede hamburguer se tornou suficiente para mais 5 dias. O nmero de alunos faltosos foi de: a) 1350 b) 900 c) 750 d) 450e) 350 8)(UFB)Sonecessrios25diasparaquesejamasfaltados 32deumadeterminadaestrada.Parase asfaltarem53 dessa mesma estrada, so necessrios: a) 7 dias e 12 h. b) 15 dias c) 20 dias d) 22 dias e 12h. e) 45 dias 9)(CPFO-)Ummotociclistafezopercursode40Kmentreduascidadesem35minutos.Sesua velocidade fosse igual a 52 da anterior, faria o mesmo percurso em? 10)Umacampamentocom10soldadosdispemdevverespara3meses.Tendochegadomais20 soldados ao acampamento, por quanto tempo estar abastecido o acampamento? CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht43RESPOSTAS DOS EXERCCIOS PROPOSTOS 1) n de toquesh 422 x6 1262252252 2 6 42 262 42= = = - = = x x x xx2) horas dias 410 2x 4x 210 2024040 210 24= = = = x x xx3)Vmh 802 100x 80 x 1002 36min h x h , x xx1 6 1 16 102 10080= = = =4) Raio voltas 75900 x1500 x900 751500 45 x x xx= -= - = =1575 975 9 15150090075CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht445)reahora 5100 3 11900x h x x x xx ..751357357 51 119 3 513900 11100 5= = = - = =6)coeficientedias de dificuldade 0,1 10 0,15x dias x,,x , x ,x ,,151 015 0 1015 0 10 1 01015 01 0= -= - = =7)alunosdias 180015 x20 x15 180020 d 450 1350 - 180050 x x xx== -= - = = 13201800 151800 15 20201518008) diasasfalto 2532x 53d 12h e 22dias x ou dias 5 , 22 x 45 x 2 15 x325325 x325332x25= = = = - = =CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht459) h / km , Vm Vm VmtsVm 57 68352400603540= = = AA=Vm tempo 68,5712727,42 x 68,57 x 27,42 12736seg 27min h x h , x..x. x . x xx,,1 46 1904 32777 47999 47 904 32 7 6857 2742 121276857 2742127 42 2757 68= = = = - = - - = =10) n de soldadostempo 10 3 30x 10 x 30 3 ms x xx1 30 303 3010= = =CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht46CopyMarket.comTodos os direitos reservados.Nenhuma parte desta publicao poder serreproduzida sem a autorizao da Editora.Ttulo: Matemtica Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 20006. Regra de Trs Composta Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 1.Introduo Consideremos o problema abaixo 1) Um operrio, trabalhando 2h por dia fabrica 50 objetos em 3 dias. Quantas horas deveria trabalhar para fabricar 100 objetos em 4 dias? Soluo: Temos a seguinte disposio prtica (1o Grupo)(2o Grupo)(3o Grupo) 2h50 objetos3 dias x100 objetos4 dias Pararesolvermosoproblemaproposto,comparamoscadagrupodevalorescomogrupoem queestox(noexemplo,o1ogrupo),colocandoumaflechadeformatodiferentedasdemaispara servir como termo de comparao. Nessa comparao devemos observar o grupo a ser analisado com o grupo que tem a varivel x, sem a preocupao com os demais grupos. a) Comparando o 1o grupo com o 2o grupo Se2h um operrio faz50 objetos x100 objetos Portanto,seem2humoperriofaz50objetos,maisobjetosparafabricarseronecessrios mais horas. Regra de trs direta flechas com o mesmo sentido b) Comparando o 1o grupo com o 3o grupoSe2h um operrio faz em3 dias x4 dias Ora, se em 2h um operrio leva 3 dias, mais dias menos horas o operrio vai precisar. Regra de trs inversa flechas com sentido contrrios. Para a resoluo final do problema, devemos deixar todas as grandezas com o mesmo sentido, e neste exemplo, devemos inverter o sentido da flecha do 3o grupo; antes de formar a proporo: CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht47 (1o Grupo)(2o Grupo)(3o Grupo) 2h50 objetos4 dias x100 objetos3 dias 3 x26x 6 x 232x232421x23410050x2 x x 2) Na perfurao de um poo de 160m de profundidade, 40 operrios levaram 21 dias. Quantos dias 30 operrios levariam na perfurao de 200m de um poo igual ? metros de profundidadeno de operriosdias 1604021 20030x Observandoasgrandezasacima(profundidadeediasnecessrios),entoessasgrandezasso diretamente proporcionais, portanto as flechas devem ter o mesmo sentido . Com relao a nmero de operriosediasnecessrios,podemosdizerqueessasgrandezassoinversamenteproporcionais, portanto as flechas devem ter sentidos contrrios. Para resoluo do problema necessrio que todas as grandezas tenham flechas com o mesmo sentido.1603021 20040x dias 35 x3105x 105 x 3 21 5 x 3x2153x214354x214030200160 xx xExerccios de fixao 1)Com16mquinasdecostura,aprontaram-se80uniformesem6diasdetrabalho.Quantas mquinas sero necessrias para confeccionar 240 uniformes em 24 dias? 2)Comumabombaeltrica,eleva-se2100litrosdeguaalturade6mem60min.Quantotempo empregar essa bomba para elevar 6300 litros altura de 4m? 3)Se15operriosfazemumacasaem12dias,trabalhando4hpordia,quantosoperriossero necessrios para fazer a mesma obra em 8 dias, trabalhando 5h por dia? 4)Umgrupode10trabalhadorespodefazerumaestradaem96dias,trabalhando6hpordia.Seo mesmo grupo trabalhar 8h por dia, a estrada ser concluda em? 5)Oitopedreiroslevantamummuroem10dias,trabalhando6hpordia.Quantashoraspordia devem trabalhar 4 pedreiros para executarem o mesmo servio em 6 dias? CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht486)Os 52deumtrabalhoforamfeitospor24operriosem10dias,trabalhando7h.pordia.Em quantosdiaspoderterminaressetrabalho,sabendo-sequeforamdispensados4operrios,eos restantes trabalham 6h por dia? 7)Seisoperrios,trabalhando3hpordia,durante2dias,fazem10mdemuro.Quantosoperrios sero necessrios para fazer 20m de muro, se trabalharem 2h por dia, durante 4 dias? 8)(ESPCEX) Se 12 recenseadores visitam 1440 famlias em 5 dias de trabalho de 8h por dia. Quantas famlias sero visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4h por dia? 9)Doze mquinas, trabalhando 8h por dia, fazem 9000m de tecido, em 15 dias. Considerando quinze mquinas, quantas horas sero necessrias de trabalho por dia para se fazer 6000m de tecido em 10 dias?10) Dez operrios fazem 150m de uma construo em 18 dias de 8h de servio.Quantos metros 20 operrios faro dessa mesma obra em 15 dias, trabalhando 6h por dia? Exerccios propostos1)Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvo. Se essa equipe for aumentada para 20 homens em quantos dias conseguir extrair 5,6 toneladas de carvo? 2)Uma equipe de 20 operrios escava 640m3 de terra em 8h de trabalho. Para escavar 500m3 em 5h de trabalho, de quantos operrios dever ser acrescida a equipe? 3)Trsmquinasoperando8hpordiaproduzem4.800parafusos.Quantosparafusosseriam produzidos por 7 mquinas que operassem 11h por dia?4)(EPCAR)Certomotorconsome20litrosdeleogirandoa1500rpmem5h.Seessemotor funcionar a 1800 rpm durante 3h, qual ser o consumo do leo? 5)(C.N.) Vinte operrios constrem um muro em 45 dias, trabalhando 6h por dia. Quantos operrios sero necessrios para construir a tera parte desse muro em 15 dias, trabalhando 8h por dia? 6)Umfuncionrio,trabalhando8hpordia,produz75relatriosem9dias.Paraqueomesmo funcionrio produza 65 relatrios em 6 dias, necessrio que ele aumente o seu trabalho dirio de um tempo correspondente a: a) 3h 56minb) 3h 42minc) 3h 10mind) 2h 50mine) 2h 24min. 7)(CEF-) Numa grfica, 8 mquinas executaram um certo servio em 5 dias, trabalhando 5h por dia. Se somente 5 dessas mquinas trabalharem 8h por dia, executaro o mesmo servio em? a) 3 dias b) 4 dias c) 5 dias d) 6 dias e) 7 dias 8)(Banespa)Umcarropercorre4320kmem5dias,rodandoemmdia8h/dia.Quantosdiassero necessrios para percorrer 2916km, sabendo-se que a mdia a ser rodada de 9h por dia? a) 2 dias b) 3 dias c) 4 diasd) 4,5 dias e) 6 dias CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht499)Vinteoperrios,trabalhando8hpordia,gastaram18diasparaconstruirummurode300m. Quantotempolevarumaturmade16operriostrabalhando9hpordiaparaconstruirummuro de 225m? 10) Dozepedreirosconstrem27m2deummuroem30dias,de8hQuantashorasdevemtrabalhar por dia 16 operrios, durante 24 dias, para construrem 36m2 do mesmo muro? RESPOSTAS DOS EXERCCIOS PROPOSTOS 1)homens dias toneladas 15303,6 20x5,6 10x3,6 3035,6 dias x x xx ,,x357284 3084 30 728472 306 56 31520 30 x x x 2)operriosm3 hora 206408 x 5005 206405 x 5008 25200 3000 80000 80 3200 4000 20 320040003200 2085500640 20 x xx..x . x xx xR: A equipe dever ser acrescida de 5 operrios. 3)mquinashoras parafusos 384800 7 11 x 400 15244800 774800 77 2448007724 480011873. x x xx x x xxCopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht504)litros de leorpmhoras2015005 x 18003 litros , x..x . x xx x4 14500 7000 108000 108 7500 5400 20 750054007500 203518001500 20 x x 5)n dediashora operrios 20456 x 158 x456 20158 4512054005400 120 270 20 12012027020 86154520 x xx x x xx xR: Para construir a tera parte do muro sero necessrios 15 operrios. 6)hora relatriodias 8759 x 656 8756 x659 24min 10h x ouh , x x . x xx x

x x4 104504680680 4 450 585 8 450585450 8966575 8O funcionrio dever trabalhar 2h 24min a mais por dia. A alternativa correta ae 7)mquina dias hora 855 5 x8 CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht51 8x5 558 c a correta a alternativ a 5 x85585x x 8)distnciadiashoras 432058 2916 x9 432059 2916x8 b a correta a alternativ adias x..x . x . . x ...x x3880 38640 116640 116 880 38 328 23 5 880 38328 23880 38 58929164320 5 x x 9)operrios horasdias metros 20818300 16 9 x225 16918300 208 x225 dias x..x x ...x x15000 36000 36 1836000 18 200 43000 36200 43 18225300892016 18 x x x x 10) pedreiros m2 dias hora1227308 16 3624x 1627248 CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht52123630x h x..x . x ...x x10368 10960 12 8960 12 8 368 10960 12368 10 8302436271216 8 x x x x CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht53CopyMarket.comTodos os direitos reservados.Nenhuma parte desta publicao poder serreproduzida sem a autorizao da Editora.Ttulo: Matemtica Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 20007. Mdias Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 1. Introduo Muitasvezesosprofessoresutilizamamdiaparacalcularasnotasbimestraisdosseusalunos. Em estatstica a mdia utilizada como medida de posio central destacando a mdia aritmtica como uma das medidas de tendncia central. 2. Tipos de Mdias 2.1. Mdia Aritmtica A mdia aritmtica de vrios nmeros igual ao quociente da soma desses nmeros pelo nmero de parcelas. Exemplo:Calcular a mdia aritmtica dos nmeros de 2; 4 e 6 : 436 4 2=+ +am2.1. Mdia Geomtrica A mdia geomtrica de vrios nmeros a raiz, de ndice igual ao nmero de fatores, do produto desses nmeros. Exemplo:Calcular a mdia geomtrica dos nmeros 4 e 25. 10 100 25 4 = = - =gm2.3. Mdia Ponderada A mdia ponderada igual ao quociente da soma dos produtos de cada nmero pelo respectivo peso, pela soma dos pesos. CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht54Exemplo:Calcule a mdia ponderada dos nmeros 3; 4 e 5 cujo pesos so respectivamente 1; 2 e 2. 2 , 4521510 8 32 2 1 x2 5 2 x4 1 x3pm = =+ +=+ ++ +=2.4. Mdia Harmnica A mdia harmnica de vrios nmeros igual ao inverso da mdia aritmtica dos inversos desses nmeros.Exemplo:Calcular a mdia harmnica dos nmeros 2 e 4. 3883121431124311241 21241211hm = =-= =+=+=Exerccios resolvidos 1) Calcular a mdia aritmtica dos nmeros abaixo: a) 1; 2 e 3 b) 31;21c) 0,1 e 2Soluo:23633 2 1) = =+ +=am a125216512651262 323121) = - = =+=+=am b202121102112102112102 121210122 1 , 0) = - = =+=+=+=am c2) Calcular a mdia ponderada dos nmeros abaixo: 2 e 3 cujos respectivos pesos so 1 e 2 2; 3; 4 cujos respectivos pesos so 1; 1 e 2 CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht55Soluo:a)3836 22 12 3 1 2=+=+- + -=pmb)41348 3 22 1 12 4 1 3 1 2=+ +=+ +- + - + -=pm3) Calculando a mdia geomtrica dos nmeros abaixo: a)0,01 e 4b) 2541ec)1; 2 e 4 Soluo:2 , 0102100404 , 0 4 01 , 0 ) = = = = - =gm a5 , 2254252541) = = = - =gm b2 2 8 4 2 1 )3 3 3 3= = = - - =gm c4) Calcular a mdia harmnica dos nmeros: a) 2 e 3 b) 4; 5 e 6 Soluo:4 , 2512125121651126511262 31231211) = = =-= =+=+=hm a4,86 = = =-= =+ +=+ +=3718018037131603711360371136010 12 15136151411)hm b5)Amdiaaritmticados8nmerosdeumconjunto20.Seonmero4forretiradodoconjunto, qual ser a nova mdia aritmtica?CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht56SoluoExerccios de fixao 1) Calcular a mdia aritmtica dos nmeros:a) 4;6 e 8b)c)2) Calcule a mdia ponderada dos seguintes nmeros: a) 7; 8; 9 cujos pesos respectivos so 1; 2 e 2. b) 11; 8 e 3 cujos pesos respectivos so 2; 3 e 4.c) 15; 18 e 32 cujos pesos respectivos so 2; 3 e 3 3) Calcule a mdia geomtrica dos nmeros:a) 4 e 100 b) 0,45 e 0,05 c)4) Calcular a mdia harmnica dos nmeros 4 e 6. 5) (EPCAR) A mdia aritmtica dos nmeros que aparecem no quadro; : 103,4121,6341,28,759,285a) 54,86b) 55,806 c)6,8d)56,853e) 56,853 6)Acharasmdiasaritmticaseponderadasentreosnmeros0,63;0,45;0,12,sabendo-sequeos respectivos pesos so 1; 2 e 7. 8208...2 1= + + + a a a160 ...8 2 1= + + + a a a28 , 22715674 160= =2 ; 1 , 0 ;2194;52;8328974eCopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht57abba2b a +b aab+27) (Banco do Brasil) A mdia aritmtica dos 40 nmeros de um conjunto 70. Os nmeros 10 e 16 so retirados desse conjunto. A mdia aritmtica dos nmeros restantes ? a)73 b) 82c) 108d) 219 e) nra. 8)Sabe-sequeamdiaaritmticaentre2nmerosaebigualamdiageomtrica,ento,podemos afirmar que: a) a e b so primos entre si. b) os dois nmeros a e b so iguais. c) a e b so nmeros compostos. d) a e b so nmeros diferentes. e) n.r.a.. 9) (FAAP) Numa pequena empresa, com 20 funcionrios, a disposio dos salrios a seguinte: nmero de empregadossalrio 12R$ 600,00 5R$ 700,00 3R$ 1.000,00 Qual o salrio mdio dos empregados dessa empresa? Exerccios propostos 1)(C.N.)Associando-seosconceitosdacolunadaesquerdacomasfrmulasdacolunadadireita, sendo a e b nmeros inteiros positivos quaisquer, tem-se: I - mdia harmnica dos nmeros a e b; a)II - Mdia ponderada dos nmeros a e b;b)III - Mdia geomtrica entre os nmeros a e b;c)lV - O produto do mdc pelo mmc de a e b;d)V - Mdia aritmtica simples entre a e b; e)b a.CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht58a)( I; b ); ( II; c ); ( IV; e) b)( I; d ); ( II; c ); ( V; b ) c)( I; d ); ( III; a ); ( IV; e) d)( II; c ); ( III; a ); ( IV; e ) e)n.r.a. 2)Sabendo-sequeamdiaaritmticaeamdiaharmnicaentredoisnmerosnaturaisvalem, respectivamente 10 epode-se dizer que a mdia geomtrica entre esses nmeros ser igual a:a)3,6 b) 6 c) 6,4 d) 8 e) n.r.a. 3)Colocaremordemdegrandezacrescenteamdiaaritmtica;amdiageomtricaeamdia harmnica dos nmeros 6 e 12. 4)Amdiaaritmticade11nmeros40.Sedoisnmeros,4e6foremretiradosqualseranova mdia?5)Emumconcursopblico,trsprovasforamrealizadas.Umcandidatoobtevenota4naprimeira prova, que tinha peso 3. Obteve nota 9 na segunda, que tinha peso 2 e nota 8 na terceira prova, que tinha peso 5. Qual a mdia desse candidato? 6) A mdia harmnica entre os nmeros a; b e c; 7) Calcule a mdia aritmtica; a) 3; 4; 1; 6; 5; 6b) 7; 8; 8; 10; 12 c) 3,2; 4; 0,75; 2,13; 4,75d) 70; 75; 76; 80; 82; 83; 90 8) Calcule a mdia geomtrica. a) 8; 15; 10; 12 b) 3; 4; 5; 6; 7; 8 9) Encontre a mdia harmnica. a) 5; 7; 12; 15 10)Emcertoms,umalunoobteveemportugusastrsnotas2,4e6.Anotamensaldessealuno, calculadapelamdiaponderada,depesosrespectivamenteiguaisa1,2e2,excedesuanotamensal, calculada pela mdia aritmtica simples, de um valor igual a: b aabca+2)b aabcb+)cb ac2)+ab ac bcabcd+ +3)a r n e . . )532CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht59a)1b) 2c) 0,6d) 8e) n.r.a. RESPOSTAS DOS EXERCCIOS PROPOSTOS 1)c 2)= == == =+== + =+8 646453210532202 220 102gmabababb aabhmb ab a3)< 0; 0 < a= 1)b - logaritmando a - base do logaritmo x - logaritmo Exerccios resolvidos 1)Calcular pela definio os logaritmos abaixo: a) log42=b) log0,1 = c) log55 / 1 = Soluo:a) log42= x2x = 4 2x = 22x = 2 CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht101b) log1 , 010 = x10x= 0,1 10x =10110x = 10-1x = -1c) log 551= x ( )51x =5 (5-1)x = 51/2 5-x = 51/2-x=21x = - 21Exerccios de fixao 1)Calcular pela definio os logaritmos abaixo: a)log12 =b) log214 =c) log55 = d) log2 , 05 =e) log216 / 1f) log100 / 110 =3. Propriedades a) Logaritmo do produto Sendo (a; b; c e R; 0 < a= 1; b > 0 e c > 0)Loga) ( c a= logba + logcab) Logaritmo do quociente Sendo (a; b; c e R; 0 < a= 1; b > 0 e c > 0) logcba = logba - logcac) Logaritmo da potnciaSendo (0 < a=1; b > 0 e o e R) log =oba=o .logbaCopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht102d) Logaritmo da raiz n - simaSendo (0 < a=1; b > 0 e n e N*) lognba = lognba/ 1= .1nlogbaExerccios resolvidos 1) Dados log2~0,3010 e log3~0,4771. Calcule: a) log6 =b) log = )23( c) log4 = d) log 2= Soluo:a) log6 = log (23) = log2 + log3 = 0,3010 + 0,4771 = 0,7781 b) log )23(= log3 - log2 = 0,4771 - 0,3010 = 0,1761 c) log4 = log22 = 2log2 = 20,3010 = 0,6020 d)log 2= log 22 / 1 =21 log2 = 0,50,3010 = 0,1505 Exerccios de fixao 2) Dados log2~0,3010; log3~0,4771 e log7~0,8451 Calcule:a) log9 =b) log5 = c) log6 = d) log12 = e) log 6 = f) log22 g) log21 = 4. Mudana de base Aspropriedadesoperatriasdoslogaritmossovlidassomenteparalogaritmosqueestona mesma base. No caso de logaritmos de bases diferentes precisamos reduzir esses logaritmos para uma mesma base. logba = acacloglogonde: b > 0;0< a = 1;0 < c = 1 CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht103Exerccios resolvidos 1) Sendo log2= 0,3010 e log3= 0,4771. Calcule o valor de log62Soluo:59 , 23010 , 04771 , 0 3010 , 02 log3 log 2 log2 log) 3 . 2 log(log62~+=+= =2) Dados log 3 = y . Calcular log303Soluo:yy 13 log10 log 3 log3 log) 10 . 3 log(3 log30 loglog303+=+= = =3)Simplificar: = ) ).(log (log2332Soluo:13 log2 log.2 log3 log=b) = ) ).(log (log5124522 log5 log 1.5 log2 log 22 log5 log . 1.5 log2 log2 log5 log.5 log4 log21 =//==Exerccios de fixao 3)Sendo log2 = m e log3 = n, calcule: a) log122 =b) log 205=c) log43 = d) log184 =e) log63 =f) log2712 =4)Simplifique as expresses: a) (log 23) (log32) = b) (log 53)(log 425)(log 92) =CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht1045. Funo logartmica Denominamos de funo logartmica a toda funo do tipo: f(x) = log xa ou y = logxa (0 < a=1 e x > 0) A funo logartmica pode ser classificada em crescente (a > 1) ou decrescente (0 < a=1). Grficosy = logx2xlogx2y41log412-221log212-11log1202log2214log422y = log x2 1xlogx2y41log412-221log212-11log1202log2214log4226. Logaritmos decimais Os sistemas de logaritmos so: a) sistema decimal aquele cuja base vale 10. Por volta de 1614, o matemtico Henry Briggs elaborou a primeira tabela de logaritmos na base 10. 21-1-22 4 121-1-2 CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht105b) sistema neperiano o sistema cuja base vale e. O nmero e irracional e vale 2,71828... Os logaritmos na base e so denominados de neperianos ou naturais. Exemplo:log7e = ln7 6.1. Caracterstica e Mantissa Caracterstica de log y 1. Caso: y> 1 Quandooyforumnmeromaiorouiguala1,acaractersticadelogyobtidapelaquantidadede algarismos que y apresenta na parte inteira e subtraindo uma unidade. Exerccios resolvidos 1)Determine a caracterstica de: a) log 300b) log12,85 Soluo:a) log 300 c = 3 - 1 = 2 log12,85 c = 2 - 1 = 1 2. Caso: 0 < y < 1 Quando y um nmero compreendido entre 0 e 1, a caracterstica de log y obtida pela quantidade de zeros que y apresenta antes do primeiro algarismo significativo. Exerccios resolvidos 1) Determine a caracterstica de: a)log 0,001b) log 0,12 Soluo:a) 0,001 tm trs zeros antes do primeiro algarismo significativo; ento a caracterstica -3; b) 0,12 tem um zero antes do primeiro algarismo significativo, ento a caracterstica -1. CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht1066.2. Mantissa A mantissa encontrada nas tbuas de logaritmos decimais. Encontramos mantissas dos logaritmos decimais dos nmeros inteiros compreendidos entre 1 e 1.000.Exerccios resolvidos 1)Obtenha a mantissa dos logaritmos abaixo: a) log 500b) log 930 Soluo:a) log500 mantissa: 0,698970 b) log930 mantissa: 0,968483 Exerccios de fixao 5) Determine a caracterstica de cada logaritmo a seguir: a) log 100c) log 231,6e) log101b) log 0,001 d) log 5f) log 32 Exerccios propostos 1) Calcular pela definio os logaritmos abaixo: a) log1 ,10o =b) log33c) log25112 , 0 = d)log82 =e) log281= 2)(Fuvest) O valor da expresso: :log ) 5 3 (27 ) 2 (4203 2 + a) 7b) 1 c) 1d)2 e) 7 CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht1073)Assinale a alternativa falsa: a) log1 = 0b) log (yx)= logx logy c) log abablog . oo=d) log (xy) = log x + log ye) n.r.a. 4) (PUC-RS) Se log2 = x e log3 = y, ento log375 : a) y + 3xc) y - x + 3e) 3 (x + y) b) y + 5xd) y - 3x + 3 5) O produto: (log29 )(log52 )(log35 ) igual a: a)0b) 1c) 10d) 30e) 216) So dados: log = a e log = b. O valor de log : a)b aa+ 1b) b ab+ 1c)b ab + 1d)b aa + 1e) ab27)Determine a caracterstica de: a) log 2,61c) log 21e) log 512b) log 0,012 d) log 20f) log 2,168 8)Obtenha a mantissa dos logaritmos abaixo, consultando a tbua de logaritmos: a) log13c) log 0,2e) log25 b) log201d) log 2,16 CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht108RESPOSTAS DOS EXERCCIOS PROPOSTOS 1)a) log= x 10x=0,1 10x110 10x=10-1 x=-1 b) log =x 3x= \ 3 3x=31/212 c) log =log=log

log x 1 x 1 525 1 x1 2 5 5 x = 2 d) log=x (\2 )x=8 (21/2)x= 231x=3 2 x=6 e) log =x 1 x\ 2 8 1x21/2 232-3x = 21/2(=))((=x =( ( ) )=0,110\331/250,2 1/252/101/251/51/251/58\2\21/8)=CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht109-3x 21=61 2)-4 + 3-1 1 -2-1 a alternativa a C 3) C 4) log2=x; log3=y log375 = log (353) = log3 + log53 = log3 + 3 log5 = 10 2 log3 + 3 (1 - log2) = log3 + 3 - 3 log2 = y - 3x + 3 a alternativa correta a d 5) (log )(log )(log ) =

log2log5log3 log9log2log5 log2log5log3 log2log5log31 log32log2 log52.log3log2 log52 a alternativa correta a e 6) log= a e log = b

log loglog loglog log 2log

a alternativa correta ae x == ==( )] [= = = ===

2952351log3 + 3 = log3 + 3(log10 - log2) =315215292152153152159153215 b 2a=

CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht1107)a) log2,61 c=0 b)log0,012 c = -2 c) log0,5 c = -1 d)log20 c = 1 e) log 12 log2,4 c = 0 5 f) log2,168 c = 0 8)a) log13 mantissa: 0,1139 b) log201 mantissa: 0,3032 c)log 0,2 mantissa: 0,30103 d)log 2,16 mantissa: 0,33445 e) log25 mantissa: 0,3979 =CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht111CopyMarket.comTodos os direitos reservados.Nenhuma parte desta publicao poder serreproduzida sem a autorizao da Editora.Ttulo: Matemtica Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 200013. Juros CompostosRoberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 1. Introduo No regime de capitalizao composta os juros de cada perodo so calculados da seguinte maneira: C = M0M1 = M0 + J1M2 = M1 + J2M3 = M2 + J3 ... 123 J1 = M0.iJ2 = M1.iJ3 = M2.i...Calculando os montantes a partir da poca zero e substituindo o resultado obtido, numa poca, tem-se no montante seguinte: M0= C M1 = M0 + M0 i = M0 (1 + i) = C (1 + i) M2 = M1 + M1 i = M1 (1 + i) = C (1 + i)(1 + i) = C (1 + i)2M3 = M2 + M2 i = M2 (1 + i) = C (1 + i)2 (1 + i) = C (1 + i)3Podemos escrever para a poca n: Montante no final de n perodos:M=C (1 + i)nOs juros obtidos no final de n perodos sero dados por: J = M - C J = C (1 + i)n - C J = C [(1 + i)n - 1] Exerccios resolvidos 1)Um capital de R$ 2.000,00, foi aplicado a uma taxa de 2% a.m. durante 8 meses. Calcular o montante. 1. Processo (com o uso da tabela) C = R$ 2.000,00 i = 2% a.m. = 0,02 a.m. n = 8 meses M = C (1 + i)nM = 2.000 (1 + 0,02)8CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht112M = ?M = 2.000 (1,02)8M = 2.0001,17 M = 2.343,32 2. Processo: com uso de logaritmos. M = C (1 + i)nM = 2.000(1 + 0,02)8M = 2.000(1,02)8log M = log [2.000(1,02)8]log M = log 2.000 + log (1,02)8log M = log 2.000 + 8log 1,02 log M = 3,3010 + 80,0086 log M = 3,3010 + 0,0688log M = 3,3698M = 10 3,3698= 2.343,15 2) Durante quanto tempo se deve aplicar um capital de R$ 3.000,00 a uma taxa de 3% a.m., para produzir um montante de R$ 6.000,00. Soluo: com uso de logaritmos: n = ? C = R$ 3.000,00 i = 3% a.m. = 0,03 a.m. M = R$ 6.000,00 M = C (1 + i)n6.000 = 3.000 (1 + 0,03)nlog6= log [3(1,03)n]log6 = log3 + log (1,03)nlog6 - log3 = nlog (1,03) meses nn5 , 230128 , 047712 , 0 77815 , 003 , 1 log3 log 6 log===3) Um capital de R$ 2.000,00 aplicado a juros compostos durante 3 meses, obtendo-se o montante de R$ 4.500,00. Calcule a taxa mensal de aplicao. Soluo:C = R$ 2.000,00n = 3 meses M = R$ 4.500,00 i = ? M=C (1+ i)n4.500=2.000(1 + i)3 =(1 + i)32,25= (1 + i)33\2,25 =3\ (1+i)32,2531= 1 + i 1,31 = 1+i i = 1,31-1 i = 0,31 a. m. i = 31%a. m.45002000CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht113 2 processo : ( com o uso de logartimos) M= C.(1+i)n4500 = 2000 (1+i)3log 4500 = log [ 2000. (1+i)3]log 4500 = log 2000 + log (1+i)3log 4500 log 2000 = log (1+i)320004500log 2,25=log (1 + i)32,25=(1 + i)33\ 2,25 =3\ (1 + i)31 + i=2,25 0,333...1 + i=1,31 i=1,31 - 1 i=0,31a.m. ou i=31% a.m. 4) Calcular os juros compostos de um capital de R$6.000,00 aplicado por 5 meses, a uma taxa 6% a.a.Soluo:J = ? C = R$ 6.000,00 n = 5 meses i = 6%a.a.=. . 005 , 01206 , 0m a =J = C [(1 + i)n - 1] J = 6.000 [(1 + 0,005)5 - 1] J = 6.000 [(1,005)5 - 1] J = 6.000 [1,025 - 1] J = 6.0000,025 J = 151,50 Exerccios de fixao 1) Joo colocou R$ 10.000,00 em um banco, a juros compostos de 8% a.a., capitalizados anualmente. Ao final de 2 anos obteve juros no valor de: 2)Para um capital de R$ 200,00. Calcule o montante em cada caso: a)n = 15 meses e i = 24% a.a. b)n = 18 meses e i = 72% a.a. 3)Para um capital de R$ 1.000,00. Calcule a taxa i em cada caso: a) J = R$ 200,00 e n = 2 anos. b) J = R$ 105,00 e n = 3 meses. log= log (1+i)3CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht1144) Maria aplicou seu capital durante 3 anos, a taxa nominal de 12% a.a., no regime de juros simples. Caso houvesse aplicado a juros compostos, mesma taxa, com capitalizao semestral, teria recebido R$ 2.633,36 a mais. Quanto recebeu de juros? 5)Qual o capital que, aplicado a juros compostos durante 3 meses, com capitalizao anual, a taxa de 5% a.a. produziu um montante de R$ 322.102,00? 6)Para um capital de R$ 3.000,00. Calcule n em cada caso: a)J = R$ 918,00 e i = 8,5% a.m. b)J = R$ 1.106,60 e i = 6,8% a.m. 7) Uma geladeira custa R$ 720,00 vista e pode ser paga em duas prestaes mensais iguais, sendo paga a primeira prestao no ato da compra. Se os juros (compostos) so de 25% a.m., o valor de cada prestao de: 8) Um capital de R$ 3.000,00 esteve aplicado a taxa mensal de 2% a.m. num regime de capitalizao composta. Aps um perodo de 5 meses, os juros dessa aplicao sero de: 9) Um capital cresce sucessiva e cumulativamente durante 3 anos, na base de 10% a.a. Seu montante final : a)30% superior ao capital inicial; b)130% do valor do capital inicial; c)aproximadamente 150% do capital inicial; d)aproximadamente 133% do capital inicial. 10) Uma televiso foi adquirida atravs de um plano sem entrada em trs prestaes mensais e iguais e consecutivas de R$ 120,00 cada uma, sendo a primeira a trinta dias da data da celebrao do contrato. Admitindo-se uma taxa de 5% a.m., e capitalizao composta, o valor desse bem na data do contrato : 2. Taxas equivalentes Duas ou mais taxas de juros so equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, em um mesmo perodo de tempo, produzem montantes iguais. Exemplo Calcular o montante produzido por um capital de R$ 1.000,00 durante 1 ano, nas seguintes condies:a) 1% a.m.b) 13% a.a. a)M1 = C . (1+i)n => M1 = 1.000 (1+0,01)12 => M1 = 1.000 . (1,01)12 => M1 =1.000 . 1,13 => M1 = 1.130 b)M2 = C (1+i )n => M2 = 1.000 (1+0,13)1 => M2 = 1.000 . 1,13 => M2 = 1.130 As taxas so equivalentes pois produziram o mesmo montante ao final do perodo de aplicao. (1 + id)360 = (1 + is)2= (1 + it)4 = (1 + iM)12 = (1 + iA)1id: taxa diria de juros compostos; CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht115iM: taxa mensal de juros compostos; it: taxa trimestral de juros compostos; is: taxa semestral de juros compostos; iA: taxa anual de juros compostos. Exerccios resolvidos 1) Qual a taxa semestral equivalente a 6% a.a.?(1 + iA) = (1 + is)21 + 0,06 = (1 + is)22) 1 ( 06 , 1si + =1 + is = 1,0295 is = 1,0295 - 1 is = 0,0295 ou is = 2,95% a.s. 2)Qual a taxa anual equivalente a 4% a.m.? (1 + iA) = (1 + iM)121 + iA = (1 + 0,04)12iA = (1,04)12 - 1 iA = 1,60103-1 iA= 0,60103 ou iA = 60,10% a.a. 3. Taxa Nominal e Efetiva 3.1. Taxa Nominal a taxa em que o perodo de capitalizao diferente do perodo a que se refere a taxa. Exemplos -10% a.a. capitalizados trimestralmente;-15% a.a. capitalizados mensalmente;3.2. Clculo da taxa efetivai: taxa efetiva no perodo inteiro; sendo iK: taxa nominal correspondente a i; K: nmero de capitalizaes no perodo; kiikCopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht116Exerccios resolvidos 1)Qual a taxa efetiva relativa taxa nominal de 6% a.a. capitalizada mensalmente? 005 , 01206 , 0= = =kiiki = 0,5% a.m. 2) Qual a taxa efetiva anual, relativa taxa de 12% a.a., com capitalizao mensal? 01 , 01212 , 0= =kiiki = 1% a.m. (1 + iM)12 = (1 + iA)(1 + 0,01)12 = 1 + iAiA = (1,01)12 - 1 iA= 1,13 - 1 iA = 0,13 ou iA = 13% a.a. Exerccios de fixao 11) Se uma caderneta de poupana, em regime de capitalizao composta, apresentou um rendimento de 12% num ms e 15% no ms seguinte, o rendimento total desse bimestre foi de:12) Ache a taxa efetiva de juros anuais equivalente as seguintes taxas efetivas:a) 2% a.s. b) 3% a.m.13) Qual a taxa bimestral equivalente aos juros compostos de 10% a.a.?14) Qual a taxa anual equivalente aos juros compostos a 2% a.s.? 15) Um capital de R$ 1.000,00 vai ser aplicado a taxa de juros compostos de 2% a.t. ou 10% a.a. Qual aplicao render mais? 16) Uma instituio financeira realiza um emprstimo a um cliente, sendo a taxa de juros compostos de 12% a.a., com capitalizao mensal. Pergunta-se: a) Qual a taxa efetiva mensal a ser paga pelo cliente? b) Qual a taxa efetiva anual a ser paga pelo cliente?Exerccios propostos 1)A aplicao de R$ 5.000,00 a taxa de juros compostos de 20% a.m. ir gerar, aps 4 meses, o montante de: a) R$ 10.358,00c) R$ 10.378,00e) n.r.a. b) R$ 10.368,00d) R$ 10.388,00 2)Considerando um depsito de R$ 5.000,00 em um banco que lhe pague juros compostos de 6% a.a., calcule os juros e o montante aps decorrido o prazo de 1 ano. CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht1173) O capital de R$ 10.000,00, colocado a juros compostos, capitalizados mensalmente, durante 3 meses, elevou-se no final desse prazo para R$ 15.000,00. Calcule a respectiva taxa de juros. 4) Certo capital foi colocado a juros compostos de 12% a.a., com capitalizao semestral, durante 2 anos. Sabendo que rendeu R$ 2.600,00 de juros, qual o montante obtido? 5) Um capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa de 8% a.a., com capitalizao trimestral, durante 1 ano e meio. Calcule os juros obtidos. 6) Um capital C foi aplicado, a juros compostos, a uma taxa i dada para um certo perodo. O montante no fim de n perodos M. O capital C pode ser determinado pela seguinte expresso: a) M(1 - i)nb) M(1 + i)nc)niM) 1 ( d) niM) 1+ e) n.r.a. 7) Uma pessoa precisa de R$ 6.000,00 por dois anos. Oferecem-lhe o dinheiro com as seguintes taxas de juros: -2% compostos trimestralmente; -2% compostos bimestralmente; -2% ao ms a juros simples. Qual a melhor opo? 8)Calcular a taxa anual de juros compostos, equivalente, a: a)10% a.s.b) 5% a.t. 9)Calcular a taxa nominal e a efetiva anual correspondentes a 1,5% a.m. RESPOSTAS DOS EXERCCIOS PROPOSTOS 1)C=R$ 5.000,00M=C (1 + i)n M=?M=5000 (1 + 0,2)4 i =20% a.m.=0,2 a.m.M=5000(1,2)4 n=4 mesesM=50002,07 M=10.368,00 a alternativa correta a b 2)C=R$ 5.000,00M=C (1 + i)n i =6% a.a.M=5000 (1 + 0,06)1J=?M=50001,06 M=?M=5300 n=1 anoJ=C[(1 + i)n - 1] J=5000 [(1 + 0,06)1 - 1] J=5000 [1,06 - 1] J=50000,06 J=300,00 3)C=R$ 10.000,00M=C (1 + i)nn=3 meses15000=10.000(1 + i)3CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht118( )33 31 5 , 1 i + = M=R$ 15.000,00log15=log [10(1 + i)3]i=?log15=log10 + log (1 + i)3log15 - log10=log (1 + i)3log15log (1 + i)3 10 log1,5=log (1 + i)31,5=(1 + i)3 1 + i=(1,5)0,333...1 + i=1,14 i=1,14 - 1 i=0,14 i=14% a.m. 4)212= i =C [(1 + i)n - 1] 26 , 02600= Cn = 4 sem.2600= C [(1 + 0,06)4 - 1]M=J + C J = R$ 2.600,002600 = C [(1,06)4 - 1] M= 2.600 + 10.000 C = ?2600 = C [1,26 - 1]M=12.600 2600 = C0,26 5)C=R$ 1.000, 00 J = C [(1 + i)n - 1] J = 1000 [(1 + 0,02)6 - 1] J = 1000 [(1,02)6 - 1] J = 1000 [1,13 - 1] J = 10000,13 J = 130 6)d 7)a)i = 2% a.t.J = C [(1 + i)n - 1] n = 8 trimestresJ = 6000 [(1 + 0,02)8 - 1] C = R$ 6.000,00J = 6000[(1,02)8 - 1] J = ?J = 6000[1,17 - 1] J = 60000,17 J = 1.020 b)i = 2% a.b.J = C[(1 + i)n - 1] n = 12 bimJ = 6000 [(1 + 0,02)12 - 1] C = R$ 6.000,00J = 6000 [1,27 - 1] J = ?J = 60000,27 J = 1.620 c)J = Cin J = 60000,0224 J = 2.880,00 == 2% a.t.= 6% a.s. C = 10.00048= itrimestre n 6318= =CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht119R.: A melhor opo 2% ao ms a juros simples. 8)a)(1 + is)2 = 1 + iA b)(1 + it)4 = 1 + iA(1 + 0,1)2 = 1 + iA(1 + 0,05)4 = 1 + iA(1,1)2 = 1 + iA(1,05)4 = 1 + iA1,21 = 1 + iA1,22 = 1 + iA1,21 - 1 = iA1,22 -1 = iAi = 0,21iA = 0,22 i = 21% a.a.iA = 22% a.a. 9)taxa nominal: 1,5 x 12 = 18% a.a. (1 + iA) = (1 + im)12(1 + iA) = (1 + 0,015)12(1 + iA) = (1,015)121 + iA = 1,20 iA = 1,20 - 1 iA = 0,20 iA = 20% a.a.CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht120CopyMarket.comTodos os direitos reservados.Nenhuma parte desta publicao poder serreproduzida sem a autorizao da Editora.Ttulo: Matemtica Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 200014. Desconto CompostoRoberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 1. Introduo Aidiadedescontoemjuroscompostosigualaoregimedejurossimples:correspondeao abatimentoqueumapessoafsicaoujurdicaganhaaoquitarumttulodecrditoantesdeseu vencimento.Desconto a diferena entre o valor nominal e o valor atual. Em desconto composto temos dois tipos: o racional e o comercial. ComoodescontocomercialcompostopoucoutilizadonosistemaFinanceiroBrasileiro,ficaremos limitados ao estudo do desconto racional composto. 2. Desconto Racional Composto o desconto obtido pela diferena entre o valor nominal e o valor atual, quando uma dvida quitada antes de seu vencimento. dr = N - A Como se trata de desconto racional, a frmula para o valor atual pode ser obtida pela relao do montante composto. M = C (1 + i)nfazendo M = N e C = A, teremos: n rniNA ou i A N) 1 () 1 (+= + =| |nn rri NiNN dA N d+ =+ = =) 1 ( 1) 1 (Simbologia utilizada em desconto composto: N: Valor nominal; Ar: Valor atual racional; i; Taxa de desconto composto. Exerccios resolvidos 1)CalculeovaloratualdeumttulodecrditodeR$1.200,00quitado2mesesantesdeseu vencimento, a taxa de desconto composto de 1,5% a.m. CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht121Soluo:m a imeses nR NA. % 5 , 1200 , 200 , 1 $?====05 , 165 . 103 , 1200 . 1) 015 , 1 (200 . 1) 015 , 0 1 (200 . 1) 1 (22= =+=+=A AAiNAn2)Determinar o desconto racional composto de um ttulo de R$ 6.000,00 vencvel em 2 anos, a taxa de 2% a.a. Soluo:. . % 2200 , 000 . 6 $a a ianos nR N===99 , 23201 , 767 . 5 000 . 60404 , 1000 . 6000 . 6) 02 , 0 1 (000 . 6000 . 6) 1 (2= = =+ =+ =rrrrn rddddiNN d3)descontoracionalcompostodeumttulodecrditonovalornominaldeR$1.200,00foideR$ 200,00.Sabendoqueataxadedescontofoide1,5%a.m.,qualfoioprazodeantecipaodo pagamento?Soluo:?. % 5 , 100 , 200 $00 , 200 . 1 $====nm a iR dR Nrmeses nniNn dnnnnnnnn r18 , 120065 , 00792 , 0015 , 1 log2 , 1 log2 , 1 log ) 015 , 1 log(2 , 1 log ) 015 , 1 log(2 , 1 ) 015 , 1 (1012) 015 , 1 (12 ) 015 , 1 .( 10) 015 , 1 (12001000) 015 , 1 (12001200 200) 015 , 0 1 (12001200 200) 1 (= = ===== = =+ =+CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht1224)Um ttulo de crdito no valor de R$ 800,00 com vencimento para 4 meses, substitudo por outro com vencimento para 2 meses. Sabendo-se que a taxa de juros de 2% a.m., qual o valor nominal do novo ttulo? Soluo:. . % 2400 , 800 $m a imeses nR N===. . % 22? 'm a imeses nN===' A A =96 , 768 '0824 , 132 , 832'800 0404 , 1 ' 0824 , 10404 , 1'0824 , 1800) 02 , 1 (') 02 , 1 (800) 02 , 0 1 (') 02 , 1 (800) 02 , 0 1 (') 02 , 0 1 (8002 42 42 4= = ===+=+=+N NNNNNNExerccios de fixao 1)Um ttulo de crdito de valor nominal igual a R$ 1.500,00 quitado 2 meses antes do vencimento, a taxa de desconto racional composto de 1% a.m. Calcule o valor atual do ttulo. 2)CalculeodescontocompostodeumttulodecrditodeR$2.000,00quefoiresgatado3meses antes de seu vencimento, a taxa de 1,5% a.m.? 3)Complete o quadro abaixo. Valor nominal(R$)Taxa(% a.m.) Perodo(meses)desconto composto (R$)500,0012 101600,00 400,00340,00 800,000,5200,00 4)Uma loja de tecidos resolve quitar um ttulo de R$ 2.000,00 com a antecipao de 2 anos. A firma credoradottulopropeumpagamentodeR$1.650,00pelamesma.Qualataxadedesconto composto?5)RecebiR$300,00dedescontocompostopelaantecipaode1ano,deumttulodecrditono valor de R$ 1.800,00. Qual foi a taxa de desconto? CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht1236)UmttulodecrditonovalordeR$1.800,00foiresgatadoantesdoseuvencimentoporR$ 1.200,00. Calcular o tempo de antecipao do resgate, sabendo-se que a taxa do desconto foi de 2% a.a., capitalizados anualmente. 7)Uma pessoa, jurdica que deve um ttulo de crdito de R$ 6.000,00 com vencimento para 2 meses, desejasubstitu-loporoutrocomvencimentopara4meses.Supondoumataxadedesconto composto de 1,5% a.m., calcule o valor nominal do novo ttulo. 8)Umalojatem2ttulosdecrditodevaloresnominaisiguaisaumdeR$1.000,00eR$1.200,00 comvencimentospara1mse2mesesrespectivamente.Sabendoqueodonodalojanopossui dinheiro,propeasubstituiodessesdoisttulosporums,dentrode3meses,eataxade desconto composto de 2% a.m.. Qual o valor nominal desse novo ttulo? Exerccios propostos 1)Desejo descontar um ttulo de crdito de R$ 2.000,00 resgatado 2 meses antes de seu vencimento. Qual o valor atual do mesmo, descontado a uma taxa de 10% a.a.? 2)Qual ser o desconto composto que um credor d pelo dbito de R$ 1.600,00 com a antecipao de 1 ano, a taxa de 1,5% a.m.? 3)valoratualdeumttulodeR$1.300,00eataxadedescontocompostode2,5%a.a.,coma antecipao de 6 meses. Qual o valor nominal do mesmo? 4)Uma loja resgata um ttulo no valor de R$ 3.000,00 pelo valor atual de R$ 2.400,00. Como o tempo de antecipao foi de 7 meses, qual a taxa de desconto? 5)Um ttulo de crdito de R$ 1.800,00 com vencimento para 1 ano ser substitudo por outro para 2 anos.Calcularovalornominaldonovottulo,empregandoataxade2%a.a.comcapitalizaes semestrais.6) Uma moto est sendo vendida com uma entrada de R$ 1.600,00 mais uma prestao de R$ 250,00 para 30 dias e outra de R$ 300,00 para 60 dias.Encontre o valor da moto, considerandoa taxa de juros de 2,5% a.m. 6)(ReceitaFederal)Umequipamentoquecusta,avistaR$1.400.000,00estsendovendidocom financiamento,nasseguintescondies:entradaiguala30%dopreoavistaeosaldoemduas parcelas iguais, a taxa de juro compostos de 7% a.m. Se a primeira parcela dever ser paga 30 dias aps o pagamento da entrada e a segunda parcela 60 dias aps a primeira, o valor de cada parcela dever ser de: CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht124RESPOSTAS DOS EXERCCIOS PROPOSTOS 1) N=R$ 2.000,00 n = 2 meses=ano A =? i=10% a.a. 2)dr= ? N =R$ 1.600,00n=1 ano = 12 meses i = 1,5% a.m. 3)A = R$ 1.300,00 i = 2,5% a.a. n = 6 meses = 0,5 ano N = ?4)N = R$ 3.000,00 A = R$ 2.400,00 n = 7 meses i = ?A =niN) 1 ( +6161) 1 , 0 1 (2000+= A( )17 ,.1 , 1200078 , 196902 , 12000= = A A67 , 26633 , 133 160020 , 1600 . 11600) 015 , 0 1 (600 . 1600 . 1) 1 (12= = =+ =+ =rrrrn rddddiNN d15 , 13161300 . 01 . 1 130001 , 11300) 025 , 1 (1300) 11300) 1 (5 , 0====+=+=NNNiNiNAnn. . % 303 , 01 03 , 103 , 1 125 , 1 125 , 1 125 , 1 ) 1 (24003000) 1 (3000 ) 1 ( 240) 1 (3000240) 1 (14 , 07 7777771m a iiiiiiiiiiiNAn== == += += += += += + ++=+=CopyMarket.comMatemtica Financeira e Comercial -