apostila matematica financeira

Matemática

Financeira e

Comercial

Carlos Eduardo Epprecht; Roberto

Minello

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Título: Matemática Financeira e Comercial

Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

Editora: CopyMarket.com, 2000

Matemática Financeira e Comercial Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

Conteúdo Programático

Capítulo 1 - Razão 1 - Introdução 2 - Razão

2.1 - Razões inversas.

Exercícios de fixação

Exercícios propostos.

Capítulo 2 - Proporção 1 - Introdução 2 - Proporção

2.1 - Definição 2.2 - Propriedade fundamental das proporções 2.3 - Outras propriedades das proporções 2.4 - Quarta proporcional. 2.5 - Proporção contínua 2.6 - Terceira Proporcional.



Capítulo 3 - Grandezas proporcionais e Divisão proporcional. 1 - Introdução2 - Grandezas diretamente proporcionais.3 - Grandezas inversamente proporcionais.



Capítulo 4 - Regra de Sociedade 1 - Introdução 2 - Casos de Regra de Sociedade.



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Capítulo 5 - Regra de três simples 1 - Introdução 2 - Tipos de grandezas

2.1 - Grandezas diretamente proporcionais 2.2 - Grandezas inversamente proporcionais.



Capítulo 6 - Regra de três composta 1 - Introdução



Capítulo 7 - Médias 1 - Introdução 2 - Tipos de Médias.

2.1 - Média Aritmética 2.2 - Média Geométrica 2.3 - Média ponderada 2.4 - Média harmônica



Capítulo 8 - Porcentagem. 1 - Introdução 2 - Elementos de cálculo percentual.



Capítulo 9 - Operações sobre mercadorias 1 - Introdução 2 - Vendas com lucro

2.1 - Sobre o preço de custo 2.2 - Sobre o preço de venda

3 - Vendas com prejuízo3.1 - Sobre o preço de custo 3.2 - Sobre o preço de venda.



Capítulo 10 - Juros Simples. 1 - Introdução 2 - Regime de capitalização

2.1 - Regime de capitalização simples. 3 - Cálculo de juros simples e montante. 4 - Taxas proporcionais

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5 - Taxas equivalentes 6 - Prazo médio. 7 -Taxa Média



Capítulo 11 - Descontos Simples 1 - Introdução 2 - Tipos de descontos

2.1 - Descontos comercial, bancário ou por fora 2.2 - Valor atual comercial 2.3 - Desconto racional ou desconto por dentro 2.4 - Valor atual racional 2.5 - Relação entre desconto comercial e o desconto racional.

3 - Taxa de juros simples e taxa de descontos simples. 3.1 - Taxa de juro simples 3.2 - Taxa de desconto simples

4 - Fluxo de caixa e Equivalência de capitais. 4.1 - Fluxo de caixa. 4.2 - Equivalência de capitais.



Capítulo 12 - Logaritmos. 1 - Introdução 2 - Definição 3 - Propriedades dos logaritmos 4 - Mudança de base 5 - Função logarítmica 6 - Logaritmos decimais

6.1 - Característica 6.2 - Mantissa



Capítulo 13 - Juros compostos. 1 - Introdução2 - Taxas equivalentes 3 - taxa efetiva e nominal

3.1 - Taxa nominal 3.2 - Cálculo de taxa efetiva

Exercício de fixação

Exercício propostos.

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Capítulo 14 - Desconto Composto 1 - Introdução 2 - Desconto racional composto



Capítulo 15 - Capitalização e Amortização 1 - Introdução 2 - Capitalização Composta

2.1 - Rendas imediatas 2.1.1 - Fórmula do montante de uma renda imediata

2.2 - Rendas antecipadas 2.2.1 - Fórmula de um montante de uma renda antecipada.

3 - Amortização Composta 3.1 - Renda imediata

3.1.1 - Fórmula do valor atual de uma renda imediata 3.2 - Renda Antecipada

3.2.1 - Fórmula do valor atual de uma renda antecipada 3.3 - Rendas diferidas



Capítulo 16 - Empréstimos. 1 - Introdução 2 - Sistema Francês

2.1 - Montagem de uma planilha de amortização 2.1.1 - Tabela Price

2.2 - Sistema de amortização constante 2.2.1- Cálculo do saldo devedor

2.3 - Sistema de amortização misto



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Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

1. Razão Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução

Uma escola tem 600 alunos, e realizou uma pesquisa mostrando o esporte preferido pelos alunos.

Esporte No de alunos Judô 50 Futebol 150 Natação 200 Handebol 50 Basquete 60 Nenhum esporte 90

Vamos analisar os dados da tabela acima através de alguns quocientes:

a) número de alunos que praticam natação número de alunos da escolaSignificado: em cada 3 alunos da escola, apenas 1 pratica natação.

b) número de alunos que praticam judônúmero de alunos que jogam futebol Significado: O número de alunos que jogam futebol é triplo do número de alunos que praticam judô.

c) número de alunos que praticam esporte número de alunos da escolaSignificado: em cada 20 alunos da escola, 17 praticam esportes.

2. Razão

Dados dois números racionais a e b, com b 0, chamamos de razão ao quociente de a para b.

Indicamos razão por b

a ou a : b, onde a é o antecedente e b é o conseqüente.

2.1. Razões inversas

Duas razões são denominadas de inversas, quando o produto entre elas é igual a um.

3

1

600

200

3

1

150

50

20

17

600

510


Exemplo: 12

1

1

2

2

1e

1

2

Exercícios resolvidos

1) Estabeleça as razões entre os números abaixo:

2 e 10; 0,1 e 0,01; 4

3e

2

1

Solução:

A razão entre 2 e 10 é 5

1

10

2

A razão entre 0,1 e 0,01 é 1001,0

1,0

A razão entre3

2

6

4

3

4

2

1

4

32

1

é4

3e

2

1

2) Calcule a velocidade média de um trem que percorre 120km em 3h.

Solução:

Chamamos de velocidade média ao quociente entre a variação de espaço e a variação de tempo.

hKmVmt

Sm /40

3

120V

Significado: em cada 1 hora o trem percorre 40Km.

4) (L.A.O.-SP) Analise a tabela abaixo sobre algumas escalas.

Escala Medida do desenho Medida real 1:250 10cm 25m 1:400 25cm x 1:600 y 75m

As medidas x e y são respectivamente:

Solução:

Escala = comprimento no desenho


comprimento real

x

25

400

1

x = 25 400 x = 10.000cm ou x = 100m

75600

1 y

600y = 75

ou125,0600

75myy

cmy 5,12

5) O estado de Goiás tem uma área aproximada de 341.289km2. De acordo com o censo de 1991 esse estado tinha uma população, aproximada, de 4.012.562 habitantes. Qual é a densidade demográfica desse estado?

Solução:

densidade demográfica = número de habitantes área

densidade demográfica 2

76,11289.341

562.012.4

km

hab


1) Calcule a razão entre os números:

a) 3 e 21 b) 0,333 ... e 2,1 c) 3

1e

2

1

2) Determine a razão entre a terça parte de 0,12 e o dobro de 0,1.

3) Determinar a razão entre 4cm2 e 2dm2.

4) (Unifor-CE) Se a razão entre dois números é 5

3 , a razão entre o quíntuplo do primeiro e a terça

parte do segundo é igual a:

a)9

1 b)

3

1 c) 1 d) 9 e) n.r.a.

5) Calcule a razão entre os volumes de dois cubos de aresta de medida 1cm e 2cm, respectivamente.


6) (UDF) Um estado brasileiro tem a população de 10 milhões de habitantes e uma média de 40 hab/km2. Qual é a sua superfície? a) 100.000km2 b) 250.000km2 c) 500.000km2 d) 1.000.000km2 e) n.r.a.

7) (TRF) Uma estrada está representada por 15 cm num mapa de escala 000.20

1 . O comprimento real

dessa estrada é: a) 3km b) 30km c) 300m d) 3.000cm e) 30.000dam

8) (ESPCEX) Um trem com a velocidade de 45 km/h, percorre certa distância em 3,5h. Nas mesmas condições com a velocidade de 60km/h, quanto gastará para percorrer a mesma distância?

9) (Fatec-96) Um terreno retangular tem 170m de perímetro. Se a razão entre as medidas é 0,7, então a área desse terreno, em metros quadrados, é igual a:

10) (IBGE) Observe o mapa de um sítio na escala 1:10.000

O proprietário do sítio pretende cercá-lo com três voltas de arame. A quantidade de arame que ele vai gastar é igual a:

a) 1.800m b) 2.000m c) 3.600m d) 4.200m e) 5.400m

Exercícios propostos

1) Determine a razão entre os números.

a) 2 e 6 b) 1,2 e 0,02 c) 0,333 ... e 0,666 ... d) 3

5e

3

1

2) (E.E.Aer) O produto de duas razões inversas é igual a:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) n.r.a.


3) Num concurso público, havia 6.000 candidatos. Tendo sido aprovados 1.200, a razão entre o número de reprovados e o número de candidatos é de:

4) Multipliquei o antecedente de uma razão por 5 e dividi seu conseqüente por 2. A razão ficou:

a) dividida por 2 d) multiplicada por 10 b) multiplicada por 5 e) n.r.a. c) dividida por 10

5) (EPCAR) Chama-se densidade demográfica a razão entre o número de habitantes de uma região e a área da mesma. Assim sendo, se a área do Distrito Federal for de 5.800km2 aproximadamente e sua densidade demográfica for de 203 hab/km2, então o número de habitantes deverá ser:

a) superior a 1,5 106 d) exatamente a 1,3 106

b) inferior a 1,1 106 e) aproximadamente 1,2 106

c) superior a 1,3 106

6) (TTN) Num mapa, cuja escala é 000.000.3

1 , a estrada Belém-Brasília tem 67cm. Calcular, em km, a

distância real.

7) (TTN) Um automóvel percorre a distância de Brasília a Belo Horizonte, de 729km, em 7h e 30min. Qual a sua velocidade média?

8) (UFMG) Dois caminhões-tanque carregam o mesmo volume de misturas de álcool e gasolina. A mistura de um contém 3% de álcool, e a do outro, 5% de álcool. Os dois caminhões descarregam suas cargas em um reservatório que estava vazio. A razão do volume de álcool para o de gasolina na mistura formada no reservatório, após os caminhões terem descarregado:

a)25

1 b)

24

1 c)

16

1 d)

12

1 e) n.r.a.

9) O proprietário de um terreno de 1.000m2 deseja construir uma horta com 4 canteiros de 50dm2 cada qual. A que fração do terreno corresponde a área total ocupada pela horta?

a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) n.r.a.

400 500 50 40

10) Dois números inteiros são tais que um deles é igual à quarta parte do outro. A razão entre o menor desses números e a soma dos dois números pode ser expressa pela fração:

a)5

1 b)

3

1 c)

4

3 d)

3

2 e) n.r.a.


RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) a) 3

1

6

2

b) 602

10100

.10

612

100

210

12

0,02

1,2

c)2

1

2

3

3

1

3

23

1

9

69

3

0,666...

0,333...

d)5

1

5

3

3

1

3

53

1

2) b

3) Como no concurso haviam 6000 candidatos, sendo 1200 aprovados. O número de reprovados será:

6000 – 1200 = 4800, logo a razão será:

5

4k

6000

4800k

4) 1025

2

5.

b

ak

b

ak

b

ak

b

ak a alternativa correta é a d

5)

eaécorretaaalternativa

1.177.400habitantesde2035800habitantesde

5800

habitantesdenúmero203

área

habitantesdenúmeroademográficdensidade

oo nn


6)

km010.2xou

cm000.000.201x

000.000.367xx

67

000.000.3

1

realocompriment

desenhonoocomprimentescala

7)h

km20,97mV

15

2729mV

2

15

729mV

t

smV

8) caminhão A: 3% de álcool e 97% de gasolina

caminhão B: 5% de álcool e 95% de gasolina

8% de álcool e 192% de gasolina

24

1k

%192

%8k

b

ak

a alternativa correta é a b

9) 1000 m2 = 100.000 dm2

500

1k

000.100

200k

000.100

504k


10)

aaécorretaaalternativ

5

1

5

1

4

44

1

a

ka

ak

aa

ak

ba

ak

abba






2. Proporção Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução

A proporção é assunto de muita importância na matemática, como também, na vida.

Todo o estudo de aritmética que fazemos tem por base a razão e a proporção, mostrando ao aluno suas aplicações práticas.

2. Proporção

2.1. Definição

Chama-se de proporção a toda sentença que indica uma igualdade entre duas razões.

Podemos representar as proporções das seguintes maneiras:

com (a, b, c, d racionais, não nulos).

Lê-se: “a está para b assim como c está para d ”

2.2. Propriedade fundamental das proporções

Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos e vice-versa.

d

c

b

a)0;;;( dcbadacb

Numa proporção os termos são a, b, c, d e de acordo com essa propriedade b e c são os meios e a e dsão os extremos.

Exemplo:6

4

3

2 3 4 = 2 6

produto produto dos meios dos extremos

ou a : b = c : d ou a : b :: c : dd

c

b

a



1) Calcular o valor de x na proporção:10

12

5

x

Solução: 610

6012510 xxx

Resposta: 6x

2) Determinar o valor de y na igualdade: 6

5

2

3 y

Solução 142

28y822y10182y1810-2y635)-2(y: y

Resposta: 14y

3) Obter o valor de x na proporção:x

2

3

1

2

1

3

Solução:

9

5

18

10

3

1

6

10

1

36

10

6

103

6

523

2

6

5

32

6

23

3xxxxxx

xx


1) (ETAM-81) A proporção d

c

b

a pode também ser escrita:

a)d

b

c

a b)

c

d

b

a c)

d

c

a

b d)

b

a

c

d e) n.r.a.

2) Calcule o valor de x na proporção:

a)3

1

2

x b)

x

1

2

5,0 c)

x

4

3

12

1

d)

4

12

3

1

2

1

x

3) O valor de x na proporção

2

54

13

3

12

x é ?



1) (PUC) Qual das seguintes equivalências é verdadeira:

a)c

dc

a

ba

d

c

b

a

b) bdacd

c

b

a

c) dbcad

c

b

a

d)cd

dc

db

ca

d

c

b

a

2) Calcule o termo desconhecido nas proporções abaixo:

a)25,25

1 x

b)x

4

2

1

2

11

c)

3

12

3

2

12

x

3) Determinar valor de M na proporção:

12 (0,25)1/2

M 0,666...

=


2.3. Outras propriedades das proporções:

P1 - Em toda proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a diferença dos conseqüentes, assim como um antecedente qualquer está para o respectivo conseqüente.

d

c

db

ca

b

a

db

ca

d

c

b

aou 0;;; dcba

d

c

db

ca

b

a

db

ca

d

c

b

aou 0;;; dcba

P2 - Em toda proporção, a soma ou diferença dos dois primeiros termos está para o 1o ou para o 2o, assim como a soma dos dois últimos termos está para o 3o ou 4o termo.

0;;;ou dcba

d

dc

b

ba

c

dc

a

ba

d

c

b

a

0;;;ou dcba

d

dc

b

ba

c

dc

a

ba

d

c

b

a

P3 - Em toda proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos conseqüentes, assim como o quadrado de um antecedente qualquer está para o quadrado do respectivo conseqüente.

0;;;ou

2

2

2

2

dcba

d

c

bd

ac

b

a

bd

ac

d

c

b

a


Proporções múltiplas:

Quando temos uma igualdade de três ou mais razões, dizemos que se trata de uma proporção múltipla. Consideremos a série de razões iguais:

,h

g

f

e

d

c

b

aentão temos que:

hfdb

geca

h

g

f

e

d

c

b

a

Exemplo:

9

6

6

4

3

2 é uma proporção múltipla pois:

9

6

6

4

3

2

963

642

ou

ou

De fato

9

6

18

12

6

4

18

12

3

2

18

12

e18

12

963

642

ou

ou

Generalizando, dada a série de razões iguais:

f

e

d

c

b

a e observando as propriedades P1 e P2, podemos escrever:

1)f

e

d

c

b

a

fdb

eca

2)f

e

d

c

b

a

fdb

eca

3)f

e

d

c

b

a

fdb

eca

4)f

e

d

c

b

a

fdb

eca



1) Calcule x e y na proporção 32

yx , sabendo que x + y = 15.

Solução:

Aplicando a propriedade P1, temos:

945535

15

332

630525

15

232

32yy

yyyx

xxxxyx

yx

Resposta: x = 6 e y = 9

2) Calcule o valor de x e de y na proporção 27

yx , onde x - y = 40.

Solução:Pela propriedade P1, temos que:

1680525

40

227

56280575

40

727

27yy

yyyx

xxxxyx

yx

Resposta: x = 56 e y = 16.

3) Determine os valores de p e q na proporção 3

8

q

p , onde p + q = 132.

Solução:Observe que as incógnitas agora são antecedente e conseqüente (e não antecedentes, como nos exercícios anteriores), por isso, aplicaremos a propriedade P2.

36396113

11132

3

38

961056118

11132

8

38

3

8

qqqq

qp

pppp

qp

q

p

Resposta: p = 96 e q = 36.

4) Obter os valores de a e b na proporção 4

5

b

a , sabendo que a - b = 12.


Solução:

Aplicando a propriedade P2, temos:

484

112

4

45

605

112

5

45

4

5

bbb

ba

aaa

ba

b

a

Resposta: a = 60 e b = 48.

5) Uma substância química é composta de ouro e ferro na proporção 2 partes de ouro para cada 3 de ferro.Para fabricar 30g dessa substância, quantos gramas de ouro e de ferro serão necessários?

Solução:Aplicando a propriedade P1, temos:

30

32

yx

e

yx

1890535

30

332

1260525

30

232

yyyyyx

xxxxyx

Resposta: A substância química é formada por 12g de ouro e 18g de ferro.

6) Calcule os valores desconhecidos.

8

125

cba

cba

Solução:Aplicando a propriedade das proporções múltiplas, teremos:


8

125

cba

e

cba

28414

8

1125

416424

8

2125

1040454

8

5125

cccccba

bbbbcba

aaaacba

Resposta: a = 10, b = 4 e c = 2.

7) Calcule os valores de x e y na proporção abaixo:

42

yx e xy = 96

Solução:Aplicando a propriedade P3, teremos:

96

42

xy

e

yx

381612

16128

169616968

168

96

442

34

48488

9649648

48

96

242

2222

2

2

2222

2

2

yy

yyyyyyx

x

xxxxxxyx

Resposta: 3834 yx e


4) Encontre o valor de a e b, onde 2e26

baba

5) Calcular x e y na proporção 23

yx , sabendo-se que x + y = 30.

6) Calcule o valor de x e y na proporção 3

2

y

x, sabendo-se que x + y = 15.

7) Calcule dois números positivos cujo produto é 24 e a razão entre eles é 2 : 3.

8) A razão entre a idade do filho e a do pai é de 1 : 3. Sabendo-se que a soma das idades é 72 anos, calcule a idade do filho.

9) Uma gravura de forma retangular, medindo 20cm de largura por 35cm de comprimento, deve ser ampliada para 1,2m de largura. O comprimento correspondente será:


10) Sabendo-se que x + y + z = 18 e que 432

zyx , o valor de x é:

11) Calcule o valor de x, y e z onde: 125

zyx e x - y - z = 6.

12) (E.E.Aer) O denominador de uma fração supera de 3 unidades o numerador; aumentando-se os

termos da fração de 1, a fração obtida resulta igual a 3

2 . Calcule o numerador da fração.

13) As dimensões de um terreno retangular estão na razão 8

5. Se a área do terreno é de 1000m2, então

sua maior dimensão, em metros, mede:

14) (L.A.O. - SP) Misturando suco concentrado e água na proporção de uma parte de suco para três de água, fizemos 24 litros de refresco. Se tivéssemos misturado a mesma quantidade de suco concentrado na proporção de 2 partes de suco para 5 de água, quantos litros de refresco teríamos conseguido?


4) (TCF) Sendo 52

ba , então :

a)72

baa b)

25

bab c)

52

baa d)

105

bab e)

n.r.a


yx , sabendo que x - y = 5.


2

y

x , sabendo que x + y = 10.

7) Se 189e37

xyyx

, então x - y vale:

8) Qual a fração equivalente a 2

3 cuja diferença entre seus termos é 10?

9) (ETF-SP) Se 760 litros de uma mistura contém álcool e água na razão 14 : 5, então o número de litros de álcool na mistura é:

10) O número que diminuído de 3 unidades está para o seu consecutivo assim como 5 está para 6 é:


11) O complemento de um ângulo está para o seu suplemento assim como 1 : 3. Calcular a medida do ângulo.

12) A razão entre os dois números é 3 : 8. Se a soma do maior com o dobro do menor é 42, o maior deles é:

13) Determinar os valores de a, b e c, onde 257

cbae a + b - c = 60.

14) (Banco do Brasil) Uma herança de R$ 101.500,00 deve ser dividida entre três pessoas, de modo que

a parte da primeira corresponda aos 5

2 da parte da segunda e aos

4

3 da parte da terceira. Quanto

tocará a cada uma das três pessoas?

2.4. Quarta proporcional

Sendo a, b e c três números racionais diferentes de zero, denomina-se de quarta proporcional desses

números um número x, tal que: x

c

b

a

Exemplo:Calcular a quarta proporcional dos números 2; 5 e 8.

Solução:

Temos: 204028

5

2xx

x

2.5. Proporção contínua

É toda proporção cujos meios são iguais.

Exemplo:9

3

3

1

2.6. Terceira proporcional

É uma proporção contínua.

Sendo a e b dois números racionais, não nulos, denomina-se de terceira proporcional desses números um número x tal que:


Exemplo:x

b

b

a

Obter a terceira proporcional dos números 2 e 4.

Solução:

82

16162

4

4

2xxx

x


1) Calcular a quarta proporcional dos números 6; 5 e 9.

Resolução:

x

9

5

6 6x = 5 9 6x = 45 x = 7,5

2) Determinar a terceira proporcional dos números 2 e 12:

Solução:

x

12

12

2 2x = 12 12 2x = 144 x = 72


15) (EPCAR) A quarta proporcional entre 75e8;12

a) 20 b)2

5 c)

2

35 d) 320 e) 340

16) A terceira proporcional entre 2 e 7 é:

a)3

49 b)

2

49 c) 25,5 d) 26 e) n.r.a.

17) (E.E.Aer) A terceira proporcional entre os números 5 e 6 é:

a) 0,5 b) 1,6 c) 5,0 d) 7,2 e) n.r.a.



15) Calcule a quarta proporcional entre os números:

a) 1; 2 e 5 b) 4

1e

3

1;

2

1 c)

2

1e2;1,0

16) Calcule a terceira proporcional entre os números:

a) 2 e 3 b) 2

1e2 c)

5

1e

2

1


CAPÍTULO 2 – Proporções

1) a

2) a) 45,0x5

25,2x25,2x5

25,2

x

5

1

b)3

4x

3

22x

2

3

2x2x

2

3

2

14x

2

3

x

4

2

12

3

x

4

2

1:

2

11

c)

7,2x10

27x

5

3

2

9x

3

52

9

x2

9x

3

5

2

33x

3

5

3

5

3

2

3

x

3

12

3

2

12

x

3)

16M28M

2

1

8M8M

2

1

9

7225,0M

9

61225,0M

9

6

25,0

M

12

666,0

2/125,0

M

12

4) a


5)

10y2

y

1

5

2

y

23

yx

15x3

x

1

5

3

x

23

yx

6)

6y5

30y30y5310y5

3

5

y

10

3

32

y

yx

4x5

20x20x5210x5

2

5

x

10

2

32

x

yx

7)

129-21y- xde valor O

9y812y812y

21

18992y18992y219

2y

21

189

23

2y

37

yx

21x4412x4412x

21

189492x189492x2149

2x

21

189

27

2x

37

yx

189y xe3

y

7

x

8)

20

30éeequivalentfraçãoA:R

02b2

1

b

10

2

23

b

ba

30a3

1

a

10

3

23

a

ba

10b-ae2

3

b

a

9)

litros.560deéálcooldelitrosdenúmeroO:R

20019

800.3800.319576019

5

19

y

760

5

514

y

yx

56019

640.10640.10191476019

14

19

x

760

14

514

x

yx

5

14

y

x760y xyáguaxálcool

yyyy

xxxx

10) 23x185x5x65x518x61x53x66

5

1x

3x


11)

452

909021802703

327018090318013

1

180

90

180lementosup

90ocomplement

ânguloum

12)

24énúmeromaiorO:R

98

7224

8

3

8

3

247

1681687

4

168

4

34

1

42

4

3

1

428

64242

8

32422

8

3

8

3

aaaba

bbbbb

bb

bbbbbab

bab

a

13)

1210

1201201026010

210

60

2257

3010

3003001056010

510

60

5257

4210

4204201076010

710

60

7257

cccccccba

bbbbbbcba

aaaaaacba

14)

000.28000.213

4

3

4

500.52000.212

5

2

5

000.2129

000.609000.60929

6

500.1016

6

8156500.101

3

4

2

5

3

4

4

3

2

5

5

2

500.101

zzxz

yyxy

xxx

xxxxxx

xzzx

xyyx

zyx


15) a) 10xx

5

2

1

b)6

1x

1

2

12

1x

2

112

1

x12

1x

2

1

4

1

3

1x

2

1

x

4

1

3

12

1

c) 10

10

1

11

10

1

2

12102

1

2

10xxxx,

x

,

16) a) 2

9x9x2

x

3

3

2

b)8

1x

2

1

4

1x

2

4

1

x4

1x2

2

1

2

1x2

x

2

1

2

1

2

c)25

2x

1

2

25

1x

2

125

1

x25

1x

2

1

5

1

5

1x

2

1

x

5

1

5

12

1






3. Grandezas Proporcionais e Divisão Proporcional Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução

Ocorrem no dia-a-dia situações que envolvem números tais como: tempo; espaço; velocidade; pressão; massa; volume; salário; horas de trabalho; número de empregados etc. A cada uma dessas situações mencionadas acima chamamos de grandeza.

Assim, o número de horas de viagem realizado por um automóvel depende da sua velocidade e do espaço a ser percorrido.

As grandezas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.

2. Grandezas diretamente proporcionais

2.1. Definição

Uma grandeza A é proporcional a uma grandeza B, quando as razões entre os elementos de A e os seus correspondentes valores em B for uma constante, isto é, sendo A = (a1; a2; a3;...; an) e B = (b1; b2;b3;...; bn), então:

n

n

3

3

2

2

1

1

b

a....

b

a

b

a

b

aK

K é denominado de fator de proporcionalidade ou coeficiente de proporcionalidade;

Exemplo:

Sejam as sucessões de números (3; 4; 5; 6) e (6; 8; 10; 12)

2

1

6

3K

2

1

8

4K

2

1

10

5K

2

1

12

6K

Resposta: O coeficiente de proporcionalidade é 2

1.


3. Grandezas inversamente proporcionais

3.1. Definição

Uma grandeza A é inversamente proporcional a uma grandeza B, quando o produto de todos os elementos de A com os seus correspondentes em B for uma constante, isto é, se A = (a1; a2; a3;...; an) e B = (b1; b2; b3;...; bn), então:

K = a1 b1 = a2 b2 = ... = an bn

Exemplo:

1) Sejam as sucessões de números (1; 2; 4; 5) e (20; 10; 5; 4):

K = 1 20 = 20

K = 2 10 = 20

K = 4 5 = 20

K = 5 4 = 20

Resposta: O coeficiente de proporcionalidade é 20.


1) Verifique se as seqüências de números abaixo são diretamente ou inversamente proporcionais.

a) (2; 4; 5) e (6; 12; 15)

Solução:Sendo K o fator de proporcionalidade mostraremos que a razão é uma constante.

3

1

15

5

12

4

6

2K

Logo, são diretamente proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade é 3

1.

b) (1; 4; 10) e (20; 5; 2)

Solução:

K = 1 20 = 4 5 = 10 2 = 20

Logo, são inversamente proporcionais e o fator de proporcionalidade é 20.


2) Divida o número 60 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3.

Solução:

32

60

yx

yx

36180535

60

332

24120525

60

232

yyyyyx

xxxxyx

3) Divida o número 20 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3.

Solução:

3

1

2

1

20

yx

yx

83

243243

5

620

3

1

6

23

20

3

1

3

1

2

1

1222425

620

2

1

6

5

20

2

1

6

23

20

2

1

3

1

2

1

yyyyyyyx

xxxxxxyx

4) Divida o número 56 em partes proporcionais a 2 e 3 e ao mesmo tempo proporcional a 1 e 4.

Solução:

4814

1256125614

1214

56

12122

814

11225614

214

56

2122

56

122

1243

212

yyyy

yyx

xxxx

xyx

yx

yx

x

x

5) Divida o número 60 em partes diretamente proporcionais a 1 e 2 e inversamente proporcionais a 3 e 4.

Solução :


2

1

4

12

3

1

3

11

y

x

2

1

3

1

60

yx

yx


1) A tabela abaixo relaciona o valor de uma máquina em dólares com o tempo decorrido, em anos, após sua fabricação:

Tempo após a fabricação (anos)

0 1 2 3 4

Valor (US$) 18.500 18.000 17.500 17.000 16.500

De acordo com a tabela, é verdade que: a) O tempo decorrido de fabricação é diretamente proporcional ao valor; b) O valor é inversamente proporcional ao tempo decorrido após a sua fabricação. c) O tempo de fabricação e o valor são duas grandezas diretamente proporcionais; d) O decréscimo anual do valor da máquina é inversamente proporcional ao tempo decorrido após a

sua fabricação. e) n.r.a.;

2) (PUC) Se (2; 3; x) e (8; y; 4) são duas sucessões de números diretamente proporcionais, então: a) x = 1 e y = 6 c) x = 1 e y = 12 e) n.r.a. b) x = 2 e y = 12 d) x = 4 e y = 2

3) Duas grandezas, velocidade e tempo, estão relacionadas conforme a tabela:

Vm (m/s) 10 20 25 40

t (s) 20 10 8 5

a) Essas grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais? b) Qual é a constante de proporcionalidade? c) Construir o gráfico da velocidade em função do tempo.

362

722722

5

3602

5

660

2

1

6

32

60

2

1

2

1

3

1

243

723723

5

660

3

1

6

5

60

3

1

2

1

3

1

yyyyyyyyx

xxxxxxyx


4) (E.E.Aer) Dividir 150m de seda em duas porções proporcionais aos números 2 e 3: a) 40m e 110m c) 50m e 100m e) n.r.a. b) 45m e 105m d) 60m e 90m

5) (CPFO) Dividindo-se 306 em partes diretamente proporcionais a 2; 5 e 11 resulta, respectivamente: a) 34; 119; 153 c) 153; 61,2; 27,8 e) n.r.a. b) 34; 85; 187 d) 80; 100; 126

6) Dividir o número 60 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3.

7) (FAAP) Dividir 64 em partes inversamente proporcionais aos números 4

5 e 4

3 .

8) (Banco do Brasil) O lucro de determinada empresa foi dividido entre seus três sócios, na proporção de 3; 5 e 9. Sabendo que o segundo sócio recebeu R$ 40.000,00 a mais do que o primeiro, pergunta-se qual foi o lucro total da empresa e quanto coube a cada um dos sócios.

9) (Banco do Brasil) A quantia de R$ 20.650,00 foi dividida entre duas pessoas, sendo que a primeira recebeu na razão direta de 8 e na razão inversa de 3 e a segunda pessoa recebeu na razão direta de 9 e na razão inversa de 4. Quanto recebeu cada pessoa?

10) (Banco do Brasil) A importância de R$ 684.000,00 foi dividida entre duas pessoas. Sabendo que a primeira recebeu na razão direta 7 e de 3 e que a segunda recebeu na razão direta de 9 e 4, calcular a parte de cada uma.

11) (TTN) Uma pessoa deseja repartir 135 balinhas para duas crianças, em partes que sejam ao mesmo

tempo diretamente proporcionais a 3

2e7

4 e inversamente a

9

4 e 21

2. Quantas balinhas cada

criança receberá?

12) Dados os gráficos cartesianos:

I) II) III)

Aqueles que indicam, respectivamente, que y é diretamente proporcional a x; que y é inversamente proporcional a x; e que só a variação de y é proporcional a variação de x são:

a) III; I; II c) I; III; II e) n.r.a. b) II; III; I d) III; II; I

y

x x

y

x

y



1) (PUC) Para que as sucessões (9; x; 5) e (y; 8; 20) sejam diretamente proporcionais, isto é, para que se

verifiquem a igualdade 20

5

8

9 x

y, os valores de x e y devem ser respectivamente:

a) 2 e 36 b) 5

1

4

1e c) 2 e 5 d) 5 e 35 e) n.r.a.

2) (F. Carlos Chagas) Se as seqüências (a; 2; 5) e (3; 6; b) são de números inversamente proporcionais e

a + m b = 10, então m é igual a: a) 0,4 b) 1,0 c) 2,0 d) 2,5 e) 5,0

3) Duas grandezas, espaço e tempo, estão relacionados conforme a tabela abaixo:

s (m) 40 60 80 100

t (s) 2 3 4 5

Responda as perguntas abaixo:

a) Essas grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais? b) Qual a constante de proporcionalidade? c) Esboçar o gráfico do espaço em função do tempo.

4) (Mack) Dividindo-se 660 em partes proporcionais aos números 6

1

3

1,2

1e , obtém-se

respectivamente:a) 130; 220; 110 c) 360; 180; 120 e) n.r.a. b) 120; 180; 360 d) 330; 220; 110

5) (Osec) A importância de R$ 780.000,00 deve ser dividida entre os três primeiros colocados de um concurso, em partes diretamente proporcionais aos pontos conseguidos por eles, que são 50; 43 e 37, respectivamente. Determinar a importância que caberá a cada um.

6) Dividir o número 40 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3.

7) (FEI) Dividir 46 em partes inversamente proporcionais a 1 e 1,3.

8) (Banco do Brasil) Distribua 192 bolas entre quatro crianças, de tal modo que a segunda receba 15 bolas a mais do que a primeira, a terceira 6 bolas a mais que a segunda, e a quarta, 11 a mais que a terceira.


9) Um prêmio de R$ 152.000,00 será distribuído aos cinco participantes de um jogo de futebol de salão, de forma inversamente proporcional às faltas cometidas por cada jogador. Quanto caberá a cada um, se as faltas foram 1; 2; 2; 3 e 5?

10) Divida o número 44 em partes diretamente proporcionais a 1 e 2 e inversamente proporcionais a 3 e 5, respectivamente.


1)

aécorretaaalternativA

2X20

40x40x2058x20

20

5

8

x

36y49y4

1

y

9

20

5

y

9

20

5

8

x

y

9

2)

daécorretaaalternativA

2

5

12

30301250122010

5

12410

5

12512

43

12123

5623

mmmmmmba

bb

aaa

ba

3) a) essas grandezas são diretamente proporcionais

b)h

km

t

smvk 20

5

100

4

80

3

60

2

40

c)

60

40

2 3

s(m)

t(s)


4)

daécorretaaalternativA

zzzzzzyx

yyyyzyx

xxxxxzyx

zyx

zyx

1106

6606

6

6660

6

1

6

123

660

6

1

6

1

3

1

2

1

2203

6603

6

6

660

3

1

6

1

3

1

2

1

3302

6602

6

66602

6

123

660

2

1

6

1

3

1

2

1

6

1

3

1

2

1

660

5)

000.222z

130

000.78037z000.78037z13037

130

000.780

37

z

374350

zyx

000.258x

130

000.78043y000.78043y130

43

y

130

000.780

43

y

374350

zyx

000.300x

130

000.78050x000.78050x130

50

x

130

000.780

50

x

374350

zyx

37

z

43

y

50

x

000.780zyx

6)

163

484833683

5

6403

6

23

40

3

1

3

1

2

1

242

484822682

5

6402

6

23

40

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1

40

yyyyyyyyx

xxxxxxxyx

yx

yx


7)

2013

102626

10

13

10

13

23

1346

10

13

13

1013

46

13

10

13

10

1

1

2623

1346

1

13

1013

46

1

13

10

1

1

13

10

1

1

31

1

1

1

46

bbbbbbba

aaaaba

ba

,

ba

ba

8)

bolas63bolas;52bolas;46bolas;31:menterespectivarecebervemcrianças As:R

ddcd

ccbc

bbab

aaa

aaaaa

adadcd

acacbc

ab

dcba

63115211

526466

46153115

314

1241244681924

192684192322115

32112111

216156

15

192

00012000605

5

1

00020000603

3

1

00030000602

2

1

00030000602

2

1

0006076

30000152

30

610151530

000152

1

1

5

1

3

1

2

1

2

1

1

1

5

1

3

1

2

1

2

1

1

1

000152

.e.eae

.d.dad

.c.cac

.b.bab

.aa.

a.aedcba

edcba

.edcba

9)


10)

245

260

2

560

2

5

11

1544

2

5

15

65

44

5

2

5

2

3

1

203

603603

11

15443

15

65

44

3

1

5

2

3

1

5

2

3

1

5

2

5

12

3

1

3

11

44

bbbbbbba

aaaaaaba

ba

b

a

ba






4. Regra da Sociedade Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução

Entendemos por regra de sociedade um grupo de pessoas que se reúnem, cada qual tendo um capital para ser aplicado por um período de tempo, numa atividade comercial podendo ocorrer lucros ou prejuízos.

Os problemas de regra de sociedade serão resolvidos através das aplicações dos casos de divisões em partes diretamente proporcionais.

2. Casos de Regra de Sociedade

1o ) Capitais iguais e tempos diferentes

Neste caso, o lucro ou prejuízo da sociedade será dividido em partes diretamente proporcionais aos tempos de permanência dos sócios.

Exemplo:

1) Três pessoas formam uma sociedade permanecendo o primeiro durante 12 meses, o segundo 8 meses e o terceiro 6 meses. Quanto ganhou cada um, se a sociedade apresentou um lucro de R$ 260.000,00?

Solução:

a + b + c = 260.000

6

c

8

b

12

a

Aplicando a propriedade das proporções teremos:

6

c

8

b

12

a

6812

cba

6

c

8

b

12

a

26

000.260

120.000a26

260.00012a260.0001226a

12

a

26

260.000

80.000b26

260.0008b260.0001226b

8

b

26

260.000


.0006c26

260.0006c260.000626c

6

c

26

260.0000

R.: O primeiro sócio recebeu R$ 120.000,00; o segundo R$ 80.000,00 e o terceiro R$ 60.000,00.

2o) Tempos iguais e capitais diferentes

O lucro ou prejuízo será dividido em partes diretamente proporcionais aos capitais dos sócios:

Exemplo:

1) Quatro pessoas formam uma sociedade de R$ 50,00; R$ 60,00; R$ 75,00 e R$ 25,00 respectivamente. No fim de certo tempo, a sociedade apresentou um lucro de R$ 840,00. Quanto coube a cada sócio?

Solução:

a + b + c + d = 840

25

d

75

c

60

b

50

a


100d210

21.000d21.000210d84025210d

25

d

210

840

300c210

63.000c84075210c

75

c

210

840

240b210

50.400b50.400210b84060210b

60

b

210

840

200a210

42.000a42.000210a84050210a

50

a

210

840

25

d

75

c

60

b

50

a

210

840

25

d

75

c

60

b

50

a

25756050

dcba

3o) Tempos diferentes e capitais diferentes

Os lucros ou prejuízos serão divididos em partes diretamente proporcionais aos produtos do tempo pelo capital respectivo de cada sócio.

Exemplo:

1) Uma empresa teve lucro de R$ 22.200,00. O primeiro sócio empregou R$ 1.200,0 durante 1 ano e 3 meses, o segundo sócio R$ 800,00 por 1 ano e meio; o terceiro sócio R$ 1.000,00 durante 1 ano. Qual foi o lucro de cada sócio?


Solução:

a + b + c = 22.200

121.000

c

18800

b

151.200

a


6.000c2

12.000c12.0002c

12.000

c

2

1

12.000

c

44.400

22.200

7.200b2

14.400b14.4002b

14.400

b

2

1

14.400

b

44.400

22.200

9.000a2

18.000a18.0002a

18.000

a

2

1

18.000

a

44.400

22.200

12.000

c

14.400

b

18.000

a

44.400

22.200

12.000

c

14.400

b

18.000

a

12.00014.40018.000

cba


1) Três pessoas desejam formar uma sociedade, entrando o primeiro com o capital de R$ 1.200,00, o segundo com R$ 800,00 e o terceiro com R$ 1.000,00. Calcule o lucro de cada sócio, sabendo que o lucro total da empresa foi de R$ 6.000,00.

2) Dois sócios ao constituírem uma sociedade entraram, respectivamente, com os capitais de R$ 4.000,00 e R$ 6.000,00. Na divisão do lucro, o segundo recebeu R$ 600,00 a mais que o primeiro. Quanto recebeu cada sócio?

3) Três pessoas formaram uma sociedade, o primeiro sócio permanece 2 meses, o segundo 3 meses, o terceiro 5 meses. Sabendo que o lucro total foi de R$ 6.000,00, calcule o lucro de cada sócio.

4) “A”, ”B” e ”C” formaram uma sociedade, o sócio “A” entrou com o capital de R$ 2.000,00, sócio “B” com R$ 1.500,00 e o sócio “C” R$ 1.200,00 e tiveram um prejuízo de R$ 12.000,00. Sabendo que “A” ficou na sociedade 4 meses, “B” 8 meses, “C” 6 meses, qual foi o prejuízo de cada um?

5) (Banco do Brasil) Na constituição de uma sociedade, o sócio A entrou com R$ 51.000,00; B com R$ 85.000,00; C com R$ 153.000,00 e o D com R$ 221.000,00. Ao ser distribuído o lucro final do exercício, proporcionalmente às cotas do capital de cada sócio, D recebeu de lucro R$ 1.200,00. Calcule o lucro total e a parcela que coube a A; B e C.


6) Três sócios A; B; C investiram R$ 9.000,00 num negócio que deu de lucro R$ 12.000,00. O sócio A

entrou2

1 do capital, B entrou com

3

1 do capital e C com o restante.

Determinar a parte do lucro que cabe ao sócio B.


1) Uma sociedade constituída por duas pessoas obteve R$ 1.800,00 de lucro total. O primeiro sócio entrou com um capital de R$ 300,00, o segundo sócio com R$ 600,00. Qual o lucro que coube a cada sócio?

2) Três pessoas formaram uma sociedade, o primeiro entrou com o capital de R$ 1.200,00, o segundo com R$ 1.500,00, o terceiro com R$ 2.000,00. Ao fim de 1 ano resolveram desfazer a sociedade, pois havia acumulado um prejuízo de R$ 6.000,00. Calcular o prejuízo de cada sócio.

3) Repartir o lucro de R$ 6000,00 entre dois sócios de uma empresa, sabendo que o primeiro aplicou R$ 1.000,00 na sociedade durante 2 meses e que o segundo aplicou R$ 1.500,00 durante 4 meses.

4) (TTN) Dois sócios lucraram com a dissolução da sociedade e devem dividir entre si o lucro de R$ 28.000,00. O sócio A empregou R$ 9.000,00 durante 1 ano e 3 meses e o sócio B empregou R$ 15.000,00 durante 1 ano. Calcule o lucro do sócio A.

5) Um prêmio de R$ 900,00 deve ser distribuído entre três pessoas de modo que a segunda receba o dobro da primeira e a terceira o triplo da segunda. Quanto a segunda recebeu?

6) (Banco do Brasil) Em uma certa sociedade, os capitais de A e B estão entre si como 3 está para 5. Sabendo-se que esses capitais estiveram aplicados durante 15 e 18 meses, respectivamente, e que a sociedade teve prejuízo de R$ 311.100,00, calcular o prejuízo de cada sócio.



1)

200.1b

900

000.080.1b000.080.1b900800.1600b900

600

b

900

800.1

600a900

000.540a000.540a900800.1300a900

300

a

900

800.1

600

b

300

a

600300

ba

600

b

300

a

800.1ba

2)

1955324700

60002000600020004700

20004700

6000

8991414700

60001500600015004700

12004700

6000

9153114700

60001200600012004700

12004700

6000

000250012001200015001200

000250012001

0006

,.accc

,.abbb

,.aaaa

.

c

.

b

.

acba

.

c

.

b

.

a

.cba

3)

50048

36000600068

60008000

6000

50018

12000200068

20008000

6000

200060002000

600020004150021000

6000

.aabb

.aaaaaba

baba

ba


4)

00016315

0001802800018028315

000180315

28

000180000315

00028

00012315

0001352800013528315

000135315

28

000135000315

00028

000135000180000135

0001800001351200015150009

00028

.a.

a.b

.

b

.

b

.

.

.a.

a.a

.

a

.

a

.

.

.

a

..

ba

.

b

.

a

.

b

.

a

.ba

5)

200,00R$recebeupessoasegunda A :R

bbab

aaaaaa

ac

ab

cba

20010022

1009

900900990062

6

2

900

6)

506621161504371941003111

10031150437194110031121

5043719428

5100311

2

2

2

25

8

100311

2

2

225

3

100311

2

2

21

21

2

2

1

1

10031121

25

3

15

2

3

1

5

3

2

1

,.p,..p

.,.p.pp

,.p.

p

c

p

c

.

c

p

cc

.

c

p

cc

pp

c

p

c

p

.pp

cccc

c

c






5. Regra de Três Simples Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução

São problemas onde relacionamos duas grandezas podendo ser diretamente ou inversamente proporcionais. Para solução dos mesmos consiste em formar com três valores conhecidos e a incógnita procurada, uma proporção e dela tiramos o valor desejado.

2. Tipos de grandezas.

2.1. Grandezas diretamente proporcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas, a outra grandeza aumenta ou diminui na mesma razão.

Exemplo:

1) Um automóvel fez 120Km com 10 litros de gasolina. Quantos litros de gasolina esse automóvel gastaria para percorrer 200Km?

Distância litros de gasolina 120 10 200 x

gasolinadelitros66,16x120

2000x2000x12010200x120

x

10

200

120

2.2. Grandezas inversamente proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando - se uma delas, a outra diminui na mesma razão que a primeira aumentou e vice-versa.

Exemplo:

1) Um ônibus com a velocidade 60Km/h percorre a distância entre duas cidades em 3h. Que tempo levará, se aumentar a velocidade média para 90Km/h?

velocidade média tempo velocidade média tempo 60 3 60 x 90 X 90 3


h2x90

180x180x90360x90

3

x

90

60


1) Se 4 operários tecem 200m de tecido por dia, quantos metros tecerão 6 operários?

Solução:Indicando por x a quantidade de metros que tecerão os 6 operários, temos a seguinte disposição prática:

no de operários metros de tecido 4 200 6 x

Se 4 operários tecem 200m, mais a operários tecerão mais metros.

Nesse exemplo as grandezas são: número de operários e metros de tecido, assinalamos essa variação na disposição prática, através de flechas do mesmo sentido. A proporção resultante será:

m300x4

1200x1200x46200x4

x

200

6

4

Resposta: 6 operários tecerão 300 metros de tecido.

2) Seis operários levam 12 dias para executar uma obra, 4 operários, em quanto tempo farão o mesmo trabalho?

no de operários dias 6 12 4 x

É óbvio que 6 operários levam 12 dias, menos operários demorarão mais dias para a execução da obra. Como o tempo necessário para realizar o trabalho é inversamente proporcional ao número de operários empregados, indicamos essa variação com flechas de sentidos opostos. Invertendo a primeira razão

6

4 , para que as flechas fiquem com o mesmo sentido, e teremos a seguinte proporção:

no de operários dias 4 12 6 x

dias18x4

72x72x4612x4

x

12

6

4

Resposta: 4 operários executaram a obra em 18 dias



1) (ETF-SP) Uma pessoa ingere em um dia 1,5 L de água. Em 15 dias, ingerirá: a) 30 L b) 22,5 L c) 20 L d) 27,5 L e) n.r.a.

2) Um operário constrói um muro em 10 dias trabalhando 8h por dia. Quanto tempo leva o mesmo operário para construir o mesmo muro trabalhando 10h por dia?

3) Duas rodas dentadas, engrenadas uma na outra, têm respectivamente 16 e 32 dentes. Quantas voltas dará a menor, enquanto a maior dá 10?

4) (ETF-SP) Para ladrilhar o piso de uma cozinha de 8,5m2 de área, foram empregadas 250 lajotas de cerâmica. O número de lajotas iguais necessário para ladrilhar uma garagem retangular com 5m de comprimento e 2,72, de largura é? a) 40 b) 340 c)390 d)400 e)460

5) (ETF-SP) Num livro de 192 páginas, há 32 linhas em cada página. Se houvesse 24 linhas por página, o número de páginas do livro seria:a) 256 b) 144 c) 320 d) 240 e) 128

6) (ETF-SP) Um piloto dá uma volta completa no circuito em 1min 35seg. Para completar 54 voltas, ele levará em média: a) 1h 25min 30seg. b) 1h 31,5min. c) 1h 31min. d) 31,5min. e) 315min.

7) (ESA) Um automóvel gasta 10 litros de combustível para percorrer 65Km. Num percurso de 910Km a quantidade consumida em litros de combustível será de: a)1,4 b) 14 c) 140 d) 240 e) 1400

8) Uma torneira jorra 1.035,5 litros de água por hora e enche certo reservatório em 12h. Determine em quanto tempo outra torneira, que jorra 20 litros por minuto, encheria o mesmo reservatório.

9) Um relógio atrasa 1min.10seg. em 10h de funcionamento. Quanto atrasará em 2 dias?

10) Uma fábrica tem y de homens para execução de um trabalho em d dias, tendo contratado mais rhomens para executar o mesmo trabalho. Em quantos dias o trabalho estará executado?

a)y

rd dias b)

ry

rd dias c)

ry

dy dias d)

yr

d dias e)

yd

dy dias.



1) Uma pessoa datilografa um trabalho, com 42 toques por minutos, em 2h. Quantos toques por minuto seriam necessários para essa pessoa realizar o mesmo trabalho em 6h?

2) Qual o tempo gasto por 2 homens para executar um trabalho que 4 homens, nas mesmas condições, executam em 10 dias?

3) Um ônibus com a velocidade de 80Km/h vai da cidade A até a cidade B em 2h. Nas mesmas condições e com a velocidade de 100Km/h, quanto tempo gastará para percorrer a mesma distância?

4) (E.E.Aer-) A roda maior de uma engrenagem tem 75cm de raio e dá 900 voltas, enquanto a roda menor dá 1500 voltas. Qual é o raio da roda menor?

5) (UDF) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100m2 em 3h de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900m2?

a) 7 h. b) 5 h. c) 9 h. d) 4 h. e) n.r.a

6) Uma turma de operários executa um trabalho, cujo coeficiente de dificuldade é 0,1, em 10 dias. Em quantos dias essa mesma turma faria um outro trabalho cujo coeficiente de dificuldades fosse 0,15?

7) (ETF-SP) A cantina da escola possuía um estoque de “hamburguer” a ser vendido a 1800 alunos durante 15 dias. Tendo havido uma greve no metrô, alguns alunos faltaram e o estoque de “hamburguer” se tornou suficiente para mais 5 dias. O número de alunos faltosos foi de: a) 1350 b) 900 c) 750 d) 450 e) 350

8) (UFB)São necessários 25 dias para que sejam asfaltados 3

2 de uma determinada estrada . Para se

asfaltarem5

3 dessa mesma estrada, são necessários:

a) 7 dias e 12 h. b) 15 dias c) 20 dias d) 22 dias e 12h. e) 45 dias

9) (CPFO-) Um motociclista fez o percurso de 40Km entre duas cidades em 35 minutos. Se sua

velocidade fosse igual a 5

2 da anterior, faria o mesmo percurso em?

10) Um acampamento com 10 soldados dispõem de víveres para 3 meses. Tendo chegado mais 20 soldados ao acampamento, por quanto tempo estará abastecido o acampamento?



1) n º de toques h

42 2

x 6

1262

25225226422

6

242xxxx

x

2) horas dias

4 10

2 x

4 x

2 10

202

40402

102

4xxx

x

3) Vm h

80 2

100 x

80 x

100 2

36minhxh,xxx

16116102100

80

4) Raio voltas

75 900

x 1500

x 900

75 1500

45xxxx

15

75975915

1500

900

75


5) área hora

5100 3

11900 x

hxxxxx.

.7

51

35735751119351

3

90011

1005

6) coeficiente dias

de dificuldade

0,1 10

0,15 x

diasx,

,x,x,

x,

,15

10

150101501010

10

150

10

7) alunos dias

1800 15

x 20

x 15

1800 20

d4501350-1800

50xxxx

1320

18001518001520

20

15

1800

8) dias asfalto

25 3

2

x 5

3

d12he22dias xoudias5,22x45x215x3

2

5

325x

3

2

5

33

2

x

25


9) h/km,VmVmVmt

sVm 5768

35

2400

60

35

40

Vm tempo

68,5712

7

27,42 x

68,57 x

27,42 12

7

36seg27minhxh,x.

.x

.x.xxx

,

,

146190432

77747

99947904327685727421212

768572742

12

74227

5768

10) n º de soldados tempo

10 3

30 x

10 x

30 3

mêsxxx

13030330

10






6. Regra de Três Composta Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução

Consideremos o problema abaixo

1) Um operário, trabalhando 2h por dia fabrica 50 objetos em 3 dias. Quantas horas deveria trabalhar para fabricar 100 objetos em 4 dias?

Solução: Temos a seguinte disposição prática

(1o Grupo) (2o Grupo) (3o Grupo) 2h 50 objetos 3 dias x 100 objetos 4 dias

Para resolvermos o problema proposto, comparamos cada grupo de valores com o grupo em que está o x (no exemplo, o 1o grupo), colocando uma flecha de formato diferente das demais para servir como termo de comparação. Nessa comparação devemos observar o grupo a ser analisado com o grupo que tem a variável x, sem a preocupação com os demais grupos.

a) Comparando o 1o grupo com o 2o grupo

Se 2h um operário faz 50 objetos x 100 objetos

Portanto, se em 2h um operário faz 50 objetos, mais objetos para fabricar serão necessários mais horas. Regra de três direta flechas com o mesmo sentido

b) Comparando o 1o grupo com o 3o grupo

Se 2h um operário faz em 3 dias x 4 dias

Ora, se em 2h um operário leva 3 dias, mais dias menos horas o operário vai precisar. Regra de três inversa flechas com sentido contrários.

Para a resolução final do problema, devemos deixar todas as grandezas com o mesmo sentido, e neste exemplo, devemos inverter o sentido da flecha do 3o grupo; antes de formar a proporção:


(1o Grupo) (2o Grupo) (3o Grupo) 2h 50 objetos 4 dias x 100 objetos 3 dias

3x2

6x6x2

32

x

2

3

24

2

1

x

2

34

100

50

x

2

2) Na perfuração de um poço de 160m de profundidade, 40 operários levaram 21 dias. Quantos dias 30 operários levariam na perfuração de 200m de um poço igual ?

metros de profundidade no de operários dias 160 40 21 200 30 x

Observando as grandezas acima (profundidade e dias necessários), então essas grandezas são diretamente proporcionais, portanto as flechas devem ter o mesmo sentido . Com relação a número de operários e dias necessários, podemos dizer que essas grandezas são inversamente proporcionais, portanto as flechas devem ter sentidos contrários.

Para resolução do problema é necessário que todas as grandezas tenham flechas com o mesmo sentido.

160 30 21

200 40 x

dias35x3

105x105x3215x3

x21

5

3

x

21

4

3

5

4

x

21

40

30

200

160


1) Com 16 máquinas de costura, aprontaram-se 80 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 240 uniformes em 24 dias?

2) Com uma bomba elétrica, eleva-se 2100 litros de água à altura de 6m em 60 min. Quanto tempo empregará essa bomba para elevar 6300 litros à altura de 4m?

3) Se 15 operários fazem uma casa em 12 dias, trabalhando 4h por dia, quantos operários serão necessários para fazer a mesma obra em 8 dias, trabalhando 5h por dia?

4) Um grupo de 10 trabalhadores pode fazer uma estrada em 96 dias, trabalhando 6h por dia. Se o mesmo grupo trabalhar 8h por dia, a estrada será concluída em?

5) Oito pedreiros levantam um muro em 10 dias, trabalhando 6h por dia. Quantas horas por dia devem trabalhar 4 pedreiros para executarem o mesmo serviço em 6 dias?


6) Os 5

2 de um trabalho foram feitos por 24 operários em 10 dias, trabalhando 7 h. por dia. Em

quantos dias poderá terminar esse trabalho, sabendo-se que foram dispensados 4 operários, e os restantes trabalham 6h por dia?

7) Seis operários, trabalhando 3h por dia, durante 2 dias, fazem 10m de muro. Quantos operários serão necessários para fazer 20m de muro, se trabalharem 2h por dia, durante 4 dias?

8) (ESPCEX) Se 12 recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8h por dia. Quantas famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4h por dia?

9) Doze máquinas, trabalhando 8h por dia, fazem 9000m de tecido, em 15 dias. Considerando quinze máquinas, quantas horas serão necessárias de trabalho por dia para se fazer 6000m de tecido em 10 dias?

10) Dez operários fazem 150m de uma construção em 18 dias de 8h de serviço. Quantos metros 20 operários farão dessa mesma obra em 15 dias, trabalhando 6h por dia?


1) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se essa equipe for aumentada para 20 homens em quantos dias conseguirá extrair 5,6 toneladas de carvão?

2) Uma equipe de 20 operários escava 640m3 de terra em 8h de trabalho. Para escavar 500m3 em 5h de trabalho, de quantos operários deverá ser acrescida a equipe?

3) Três máquinas operando 8h por dia produzem 4.800 parafusos. Quantos parafusos seriam produzidos por 7 máquinas que operassem 11h por dia?

4) (EPCAR) Certo motor consome 20 litros de óleo girando a 1500 rpm em 5h. Se esse motor funcionar a 1800 rpm durante 3h, qual será o consumo do óleo?

5) (C.N.) Vinte operários constróem um muro em 45 dias, trabalhando 6h por dia. Quantos operários serão necessários para construir a terça parte desse muro em 15 dias, trabalhando 8h por dia?

6) Um funcionário, trabalhando 8h por dia, produz 75 relatórios em 9 dias. Para que o mesmo funcionário produza 65 relatórios em 6 dias, é necessário que ele aumente o seu trabalho diário de um tempo correspondente a:

a) 3h 56min b) 3h 42min c) 3h 10min d) 2h 50min e) 2h 24min.

7) (CEF-) Numa gráfica, 8 máquinas executaram um certo serviço em 5 dias, trabalhando 5h por dia. Se somente 5 dessas máquinas trabalharem 8h por dia, executarão o mesmo serviço em?

a) 3 dias b) 4 dias c) 5 dias d) 6 dias e) 7 dias

8) (Banespa) Um carro percorre 4320km em 5 dias, rodando em média 8h/dia. Quantos dias serão necessários para percorrer 2916km, sabendo-se que a média a ser rodada é de 9h por dia?

a) 2 dias b) 3 dias c) 4 dias d) 4,5 dias e) 6 dias


9) Vinte operários, trabalhando 8h por dia, gastaram 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários trabalhando 9h por dia para construir um muro de 225m?

10) Doze pedreiros constróem 27m2 de um muro em 30 dias, de 8h Quantas horas devem trabalhar por dia 16 operários, durante 24 dias, para construírem 36m2 do mesmo muro?


1) homens dias toneladas

15 30 3,6

20 x 5,6

10 x 3,6

30 3 5,6

diasxxxx,

,

x35

72

8430843072

84

7230

65

63

15

2030

2) operários m3 hora

20 640 8

x 500 5

20 640 5

x 500 8

252003

000800008032004000203200

4000

320020

8

5

500

64020x

.

.x.xx

xx

R: A equipe deverá ser acrescida de 5 operários.

3) máquinas horas parafusos

3 8 4800

7 11 x

4001524

48007748007724

4800

77

244800

11

8

7

3.xxx

xx


4) litros de óleo rpm horas

20 1500 5

x 1800 3

litros,x.

.x.xx

xx414

5007

00010800010875005400207500

5400

750020

3

5

1800

150020

5) n º de dias hora

operários

20 45 6

x 15 8

x 45 6

20 15 8

45120

5400540012027020120

120

270

208

6

15

45

20xxxx

xx

R: Para construir a terça parte do muro serão necessários 15 operários.

6) hora relatório dias

8 75 9

x 65 6

8 75 6

x 65 9

24min10h xou

h,xx.xxxx

410450

468068044505858450

585

4508

9

6

65

758

O funcionário deverá trabalhar 2h 24min a mais por dia.

A alternativa correta é a e

7) máquina dias hora

8 5 5

5 x 8


8 x 5

5 5 8

caécorretaaalternativa5x8

5

5

8

5

x

8) distância dias horas

4320 5 8

2916 x 9

4320 5 9

2916 x 8

baécorretaaalternativa

diasx.

.x.x..x.

.

.

xx3

88038

6401166401168803832823588038

32823

880385

8

9

2916

43205

9) operários horas dias metros

20 8 18 300

16 9 x 225

16 9 18 300

20 8 x 225

diasx.

.xx.

.

.

xx15

00036

0003618360001820043

00036

2004318

225

300

8

9

20

1618

10) pedreiros m2 dias hora

12 27 30 8

16 36 24 x

16 27 24 8


12 36 30 x

hx.

.x.x.

.

.

xx10

36810

96012896012836810

96012

368108

30

24

36

27

12

168






7. Médias Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução

Muitas vezes os professores utilizam a média para calcular as notas bimestrais dos seus alunos. Em estatística a média é utilizada como medida de posição central destacando a média aritmética como uma das medidas de tendência central.

2. Tipos de Médias

2.1. Média Aritmética

A média aritmética de vários números é igual ao quociente da soma desses números pelo número de parcelas.

Exemplo:

Calcular a média aritmética dos números de 2; 4 e 6 é:

43

642am

2.1. Média Geométrica

A média geométrica de vários números é a raiz, de índice igual ao número de fatores, do produto desses números.

Exemplo:

Calcular a média geométrica dos números 4 e 25.

10100254gm

2.3. Média Ponderada

A média ponderada é igual ao quociente da soma dos produtos de cada número pelo respectivo peso, pela soma dos pesos.


Exemplo:

Calcule a média ponderada dos números 3; 4 e 5 cujo pesos são respectivamente 1; 2 e 2.

2,45

21

5

1083

221

x252 x 41 x 3pm

2.4. Média Harmônica

A média harmônica de vários números é igual ao inverso da média aritmética dos inversos desses números.

Exemplo:

Calcular a média harmônica dos números 2 e 4.

38

8

3

1

2

1

4

3

1

1

24

3

1

1

24

12

1

2

4

1

2

1

1hm


1) Calcular a média aritmética dos números abaixo:

a) 1; 2 e 3 b) 3

1;2

1 c) 0,1 e 2

Solução:

23

6

3

321) ama

12

5

2

1

65

1

26

5

1

26

23

2

3

1

2

1

) amb

20

21

2

1

10

21

1

210

21

1

210

21

2

1

2

10

1

2

21,0) amc

2) Calcular a média ponderada dos números abaixo:

2 e 3 cujos respectivos pesos são 1 e 2 2; 3; 4 cujos respectivos pesos são 1; 1 e 2


Solução:

a)3

8

3

62

21

2312pm

b)4

13

4

832

211

241312pm

3) Calculando a média geométrica dos números abaixo:

a) 0,01 e 4

b) 254

1e

c) 1; 2 e 4

Solução:

2,010

2

100

404,0401,0) gma

5,22

5

4

2525

4

1) gmb

228421) 3 333gmc

4) Calcular a média harmônica dos números:

a) 2 e 3

b) 4; 5 e 6

Solução:

4,25

12

12

5

1

2

1

6

5

1

1

26

5

1

1

26

23

1

2

3

1

2

1

1) hma

4,8637

180

180

37

1

3

1

60

37

1

1

360

37

1

1

360

101215

1

3

6

1

5

1

4

1

1) hmb

5) A média aritmética dos 8 números de um conjunto é 20. Se o número 4 for retirado do conjunto, qual será a nova média aritmética?


Solução


1) Calcular a média aritmética dos números:

a) 4; 6 e 8

b)

c)

2) Calcule a média ponderada dos seguintes números:

a) 7; 8; 9 cujos pesos respectivos são 1; 2 e 2.

b) 11; 8 e 3 cujos pesos respectivos são 2; 3 e 4.

c) 15; 18 e 32 cujos pesos respectivos são 2; 3 e 3

3) Calcule a média geométrica dos números:

a) 4 e 100

b) 0,45 e 0,05

c)

4) Calcular a média harmônica dos números 4 e 6.

5) (EPCAR) A média aritmética dos números que aparecem no quadro; é:

103,4 121,63 41,2 8,75 9,285

a) 54,86 b) 55,806 c)6,8 d)56,853 e) 56,853

6) Achar as médias aritméticas e ponderadas entre os números 0,63; 0,45; 0,12, sabendo-se que os respectivos pesos são 1; 2 e 7.

8

208

...21

aaa

160... 821 aaa

28,227

156

7

4160

2;1,0;2

1

9

4;5

2;8

3

28

9

7

4e


ab

b

a

2

ba

ba

ab2

7) (Banco do Brasil) A média aritmética dos 40 números de um conjunto é 70. Os números 10 e 16 são retirados desse conjunto. A média aritmética dos números restantes é?

a)73 b) 82 c) 108 d) 219 e) nra.

8) Sabe-se que a média aritmética entre 2 números a e b é igual a média geométrica, então, podemos afirmar que:

a) a e b são primos entre si.

b) os dois números a e b são iguais.

c) a e b são números compostos.

d) a e b são números diferentes.

e) n.r.a..

9) (FAAP) Numa pequena empresa, com 20 funcionários, a disposição dos salários é a seguinte:

número de empregados salário

12 R$ 600,00

5 R$ 700,00

3 R$ 1.000,00

Qual o salário médio dos empregados dessa empresa?


1) (C.N.) Associando-se os conceitos da coluna da esquerda com as fórmulas da coluna da direita, sendo a e b números inteiros positivos quaisquer, tem-se:

I - média harmônica dos números a e b; a)

II - Média ponderada dos números a e b; b)

III - Média geométrica entre os números a e b; c)

lV - O produto do mdc pelo mmc de a e b; d)

V - Média aritmética simples entre a e b; e) ba.


a) ( I; b ); ( II; c ); ( IV; e) b) ( I; d ); ( II; c ); ( V; b ) c) ( I; d ); ( III; a ); ( IV; e) d) ( II; c ); ( III; a ); ( IV; e ) e) n.r.a.

2) Sabendo-se que a média aritmética e a média harmônica entre dois números naturais valem, respectivamente 10 e pode-se dizer que a média geométrica entre esses números será igual a:

a)3,6 b) 6 c) 6,4 d) 8 e) n.r.a.

3) Colocar em ordem de grandeza crescente a média aritmética; a média geométrica e a média harmônica dos números 6 e 12.

4) A média aritmética de 11 números é 40. Se dois números, 4 e 6 forem retirados qual será a nova média?

5) Em um concurso público, três provas foram realizadas. Um candidato obteve nota 4 na primeira prova, que tinha peso 3. Obteve nota 9 na segunda, que tinha peso 2 e nota 8 na terceira prova, que tinha peso 5. Qual é a média desse candidato?

6) A média harmônica entre os números a; b e c;

7) Calcule a média aritmética;

a) 3; 4; 1; 6; 5; 6 b) 7; 8; 8; 10; 12

c) 3,2; 4; 0,75; 2,13; 4,75 d) 70; 75; 76; 80; 82; 83; 90

8) Calcule a média geométrica.

a) 8; 15; 10; 12

b) 3; 4; 5; 6; 7; 8

9) Encontre a média harmônica.

a) 5; 7; 12; 15

10) Em certo mês, um aluno obteve em português as três notas 2,4 e 6. A nota mensal desse aluno, calculada pela média ponderada, de pesos respectivamente iguais a 1, 2 e 2, excede sua nota mensal, calculada pela média aritmética simples, de um valor igual a:

ba

abca2)

ba

abcb)

c

bac2

)

abacbc

abcd

3)

arne ..)

5

32


a) 1 b) 2 c) 0,6 d) 8 e) n.r.a.


1) c

2)

864

645

32

10

5

32

20

22

20102

gm

abab

ab

ba

abhm

baba

3)

amgmhm

ba

abhm

,gm

am

818

144

18

12622

4682672126

92

126

4)

9

43010440

4401121

4011

1121

aaa

aaa

5) 0710

70

10

401812

523

582934,pm

6)

daécorretaaalternativa

abacbc

abc3

abc3

abacbc

1

1

3abc

abacbc

1

3

c

1

b

1

a

1

1hm

7) a) 1646

656143,am


b) 95

1210887am

c) 9625

754132750423,

,,,,am

d) 42797

90838280767570,am

8) a) 95,104 400.144 1210158gm

b) 3956 160206 5630126 875643 ,.gm

9) 118207

6801

6801

207

1

4

1

420

207

1

1

4

420

207

1

4

420

28356084

1

4

15

1

12

1

7

1

5

1

1,

.

.

hm

10) a alternativa correta é a e






8. Porcentagem Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução

É muito comum os veículos de comunicação apresentarem as seguintes expressões:

a cesta básica teve um reajuste de 2,1%; os rendimentos da caderneta de poupança para este mês foi de 1,21%. 10% da população brasileira são fumantes.

Todos os enunciados acima podem ser expressos através de uma razão a qual denominamos de porcentagem.

2. Elementos do cálculo percentual

Nos problemas de porcentagem, três elementos são importantes: O principal, que é o número sobre o qual se deve calcular a porcentagem; a taxa de porcentagem, que é o número de partes que devem ser tomadas em cada cem partes do principal e a porcentagem, que é total das taxas.

Exemplo:

1) Em uma sala de aula tem 35 alunos, sendo 20% de meninas. Quantas são as meninas dessa sala?

Principal (c) = 35

taxa (i) = 20%

porcentagem (P)

Exercícios resolvidos:

1) Calcular

a) 2% de 120 b) 1,5% de 150 c)3

1% de 30

7100

700

100

2035

100

P

P

icP


Solução:

a) 2 % de 120 Principal = 120 taxa = 2% Porcentagem = taxa x principal

Porcentagem = 4,2100

240120

100

2x

Resposta: 2% de 120 é 2,4.

b) 1,5 % de 150 Principal = 150 Taxa = 1,5 % Porcentagem = taxa x principal


5,1x

Resposta: 1,5% de 150 é 2,25.

c) 30%3

1de

Principal = 30

taxa3

1%

Porcentagem = taxa x principal


1030

100

31

x

Resposta:3

1 % de 30 é 0,1.

2) Num concurso público compareceram 1.500 pessoas, sendo que 20% dos inscritos faltaram. Qual o número total de candidatos inscritos?

Solução:

Consideramos x, o número de candidatos participantes do concurso e 80% é a porcentagem de comparecimento.

X 100 1.500 80

875.180

00.15000.15080

80

100

500.1xx

x

Resposta: O número de candidatos é 1.875.


3) O preço de um aparelho de som é de R$ 1.500,00. Se eu conseguir um desconto de 8%, quanto pagarei por ele?

Solução:

taxa = 100% - 8% = 92% Principal = 1.500 Porcentagem = taxa x principal

Porcentagem = 138000,500.1100

92x

Resposta: Pagarei pelo aparelho de som R$ 1.380,00.

4) Uma fatura no valor nominal de R$ 400,00, foi quitada com dois descontos sucessivos sendo um de 2% e outro de 3%. Que taxa única de desconto daria o mesmo líquido?

Solução:

No caso de abatimentos sucessivos usamos a seguinte fórmula:

i = 1 - (1 - i1) (1 - i2) (1 - i3) ... (1 - in

)

i = 1 - (1 - 0,02) (1 - 0,03) i = 1 - (0,98) (0,97) i = 1 - 0,9506 i = 0,0494 i = 4,94%

5) Uma televisão sofre dois aumentos sucessivos de 10%. Qual a porcentagem equivalente a esses dois acréscimos?

Solução:

No caso de aumentos sucessivos usamos a seguinte fórmula:

i = (1 + i1) (1 + i2) (1 + i3) ..., (1 + in

) - 1

i = (1 + 0,1) (1 + 0,1) - 1 i = (1,1) (1,1) - 1 i = 1,21 - 1 i = 0,21 i = 21%

6) A população de um município, com 60.000 habitantes cresce anualmente em 1%. Quantos habitantes terá no final de dois anos?

Solução:

1º. ano: 60.000 . .600.60600000.60600100

1hab


2º. ano: hab206.61606600.60606100

1600.60

Resp. O número de habitantes no final de dois anos é de 61.206 hab.


1) Quanto vale

a) 1% de 200 ? b) 2,3% de 25? c) 0,1% de 1,04? d) 2% de 400?

2) O número 1,35 corresponde a 15% de:

a) 6 b) 9 c) 12 d) 15 e) 18

2%)10()3

a)100% b) 20% c) 5% d) 1% e) n.r.a

4) Um trabalhador, após ter recebido um aumento de 25% no seu salário mensal, ficou recebendo a quantia de R$ 1.000,00 mensais. Podemos assim afirmar que este trabalhador teve um aumento mensal no seu salário de:

a) R$ 100,00 c) R$ 250,00 e) R$ 50,00 b) R$ 200,00 d) R$ 150,00

5) O abatimento que se faz sobre R$ 30.000,00 quando se concede um desconto de 20% e, a seguir, mais um de 5% é:

a) R$ 5.700,00 c) R$ 7.200,00 e) R$ 9.000,00 b) R$ 6.900,00 d) R$ 7.500,00

6) Certo ano, as taxas de inflação nos meses de maio, junho; e julho foram de 15%, 12% e 20%, respectivamente. No período de maio a julho desse mesmo ano, a taxa de inflação acumulada foi de, aproximadamente,

a) 15,7% c) 47% e) 54,6% b) 45,2% d) 47,8%

7) João comprou diretamente de uma fábrica um conjunto de sofás pagando R$ 322.000,00, incluindo o imposto sobre produtos industrializados (IPI). Sabendo-se que a alíquota do imposto é de 15% a.d., o valor do imposto foi de:


8) O preço de uma geladeira é de R$ 1.200,00. Como vou comprá-la a prazo, o preço sofre um acréscimo de 10% sobre o preço à vista. Dando 20% de entrada e pagando o restante em duas prestações iguais, o valor de cada prestação será de:

9) (FEI) Num lote de 1.000 peças, 65% são do tipo A e 35% são do tipo B. Sabendo-se que 8% do tipo A e 4% do tipo B são defeituosas, quantas peças devem ser rejeitadas neste lote?

10) (F. Objetivo) Aumentando-se, de 40%, os lados de um quadrado, sua área ficará aumentada de:

a) 45% c) 96% e) n.r.a. b) 20% d) 82%

11) A base de um retângulo de área A é aumentada de 20% e sua altura é diminuída de 20%. A área do novo retângulo formado é:

a) 1,04 A c) 1,02 A e) A b) 0,98 A d) 0,96 A

12) (Banespa) Um pequeno silo de milho, perde 15% da carga pela ação de roedores. Vendeu-se 1/3 da carga restante e ainda ficou com 42,5 toneladas. Portanto, a carga inicial em toneladas, antes da ação dos roedores era:

a) 61 b) 75 c) 90 d) 87,5 e) 105

13) Uma sala de aula tem 40 alunos, sendo que15% dos alunos ficaram em recuperação. Calcule o número de alunos aprovados sem recuperação.


1) O número 5,94 representa 18% de:

a) 36 b) 35 c) 34 d) 33 e) 32

2) Indique a opção que completa a igualdade (5%) 2 =

a) 25% b) 4

1% c) 10% d) 0,1% e) 0,001%

3) (Fuvest) Uma certa mercadoria, que custava R$ 12,50 teve um aumento passando a custar R$ 13,50. A majoração sobre o preço antigo é de:

a) 1% b) 10% c) 12,5% d) 8% e) n.r.a.

4) (ETF-SP) Um levantamento sócio-econômico entre os alunos da Federal, revelou que 22% das famílias têm casa própria, 30% têm automóvel e 12% têm casa própria e automóvel. O percentual dos que não têm casa própria nem automóvel é de:


a) 46% b) 54% c) 30% d) 40% e) 60%

5) A expressão (10%)2 - (5%)2 é equivalente a:

a)7,5% c) 0,75% e) nra b)15% d) 25%

6) Supondo que nos três primeiros meses do ano a inflação foi de 5%; 4%; 10% respectivamente, determinar, em porcentagens, a inflação acumulada no trimestre:

7) (UFV-MG) Numa loja, o preço de um par de sapatos era de R$ 140,00. Para iludir os consumidores, o dono aumentou o preço de todos os artigos em 50% e, em seguida, anunciou um desconto de 20%. Esse par de sapatos ficou aumentado de:

a) R$ 26,00 c) R$ 31,00 e) n.r.a. b) R$ 28,00 d) R$ 34,00

8) Certa partida de mercadorias foi vendida por R$ 21.516,30 com lucro de R$ 3.126,30 sobre o preço de custo. Calcular de quantos por cento foi esse lucro.

9) Após um aumento de 20%, um livro passa a custar R$ 180,00. O preço antes do aumento era:

a) R$ 170,00 c) R$ 160,00 e) n.r.a. b) R$ 144,00 d) R$ 150,00

10) (ETF-SP) Um plebiscito foi realizado na cidade A, para decidir sobre sua autonomia administrativa. Dos 22.500 eleitores, 10% faltaram, 15% votaram em branco ou anularam o voto e, 4.500 votaram não. Diante disso, conclui-se que votaram sim:

a) 11.250 eleitores b) 45% dos eleitores c) 51% dos eleitores d) 55% dos eleitores e) 66,6% dos eleitores

11) (Mack) Supondo que o preço K de um produto sofra 2 aumentos sucessivos de 10%, então esse preço passará a ser R$ 363,00, mas, caso ele tenha dois abatimentos sucessivos de 10%, então passará a ser M reais. Desta forma, K + M vale:



1) x 100

5,94 18

18

5945941894,5.10018

18

100

94,5xxx

x

33x

a alternativa correta é a d

2) 0025,0400

12

20

12

100

52%5


3) 12,50 100

1,00 x

%850,12

10050,12

100

00,1

50,12xxx

x


4) n (AUB) = n (A) + n (B) - n(A B)

n (AUB) = 22 + 30 - 12

n (AUB) = 40%

R.: O percentual dos que não têm casa própria e nem automóvel é de 60%.

a alternativa correta é a e

5)

a alternativa correta é a c

6) i = (1 + i1) (1 + i2) (1 + i3) - 1

i = (1 + 0,05) (1 + 0,04) (1 + 0,1) - 1

i = (1,05) (1,04) (1,1) - 1

%75,0%4

3

400

14

400

1

100

1

20

1

10

1

100

5

100

10%5%10

2222

22


i = 0,2012

i = 20,12%

7) 1,5 x 140 = 210

210 x 0,8 = 168

R.: O par de sapato teve aumento de R$ 28,00 em relação ao preço inicial.


8) V = C + L

21.516,30 = C + 3.126,30

C = 21.516,30 - 3.126,30

C = 18.390,00

%1717,0390.18

30,124.3ou

C

L

9) x 100

180 1,2

1502,1

1801802,1

2,1

1

180xx

x


10) eleitores faltosos 22.500 x 0,1 = 2.250

votos brancos ou nulos 22.500 x 0,15 = 3.375

votaram não 125.10

500.4

22.500 - 10.125 = 12.375

500.22

375.12 0,55 ou 55%


11) K (1,1) (1,1) = 363

30021,1

36336321,1 KKK

M = 300 (1 - 0,1) (1 - 0,1) M = 300 0,9 0,9 M = 243

K + M = 300 + 243 = 543






9. Operações sobre MercadoriasRoberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução

Neste capítulo apresentaremos outros problemas de porcentagens, que ocorrem na vida comercial, envolvendo as operações comerciais que podem gerar lucro ou prejuízo sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda.

2. Vendas com lucro

2.1. Sobre o preço de custo 2.2. Sobre o preço de venda

Exemplos:

1) Por quanto devo vender um aparelho de som que comprei por R$ 1.200,00 e desejo lucrar 30% sobre a compra?

Solução:V = C+L V: preço de venda V = 1200+1200 0,3 C: preço de custo V = 1200+360 L: lucro V = 1.560

R: Deverei vender o aparelho por R$ 1.560,00

2) Comprei um quadro por R$ 4.500,00 e quero obter um lucro de 10% sobre o preço de venda. Por quanto deverei vender esse quadro?

Solução:

C= R$ 4.500,00 V = C+L L= 0,1 V V = 4500+0,1V V ? 1V-0,1V= 4500 0,9V=4500

9,0

4500V

V = 5000

R: O quadro deverá ser vendido por R$ 5.000,00


3. Vendas com prejuízo

3.1. Sobre o preço de custo 3.2. Sobre o preço de venda

Exemplo:

1) Uma saca de batata foi vendida com um prejuízo de 15% sobre o preço de custo. Sabendo-se que essa saca custou R$ 200,00. Qual foi o preço de venda?

Solução:V: preço de venda V=C-P C: preço de custo V= 200-0,15 200 P: prejuízo V= 200-30 V= 170

R: Logo, a saca de batata foi vendida por R$ 170,00.

2) Um automóvel custando R$ 5.500,00 foi vendido com um prejuízo de 10% sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda.

000.5

1,1

500.5

500.51,1

500.51,01

1,0500.5

V

V

V

VV

VV

PCV

R: O preço de venda do automóvel foi de R$ 5.000,00


1) Determinar por quanto se deve vender um objeto, comprado por R$ 350,00, para se obter um lucro equivalente a 2,5% do custo.

2) Uma pessoa vendeu um carro por R$ 9.000,00 perdendo o equivalente a 10% do preço de compra . Qual foi o preço de compra?

3) Aumentar o preço de um produto em 30% e, em seguida, conceder um desconto de 20% equivale aumentar o preço original em:

4) Um comerciante comprou uma partida de 10 sacas de batatas por R$ 2.100,00. Por quanto deve vender cada saca para obter um lucro total de 15% sobre o preço de custo?

5) (Banco do Brasil) Calcule o prejuízo de certo comerciante que vendeu suas mercadorias por R$ 36.394,40, perdendo nessa transação uma quantia equivalente a 3% do preço de custo.

6) Uma televisão foi vendida por R$ 1.050,00, com um prejuízo de 6,5% do preço de custo. Por quanto deveria ser vendida, para se obter um lucro equivalente a 3% do custo?


7) (Mauá) Um produto cujo custo foi de R$ 272,00 deve ser vendido com lucro de 15% sobre o preço de venda. O preço de venda é: a) R$ 280,00 c) R$ 300,00 e) R$ 400,00 b) R$ 320,00 d) R$ 350,00

8) (EPC do Ar) Na venda de um certo objeto houve lucro de R$ 12,00 que correspondente a 16% do preço de custo. Qual o preço de custo do objeto?

9) (Banco do Brasil) Uma pessoa vendeu um objeto por R$ 14.400,00, perdendo o equivalente a 10% do preço de compra. Qual foi o preço de compra? a) R$ 14.000,00 c) R$ 16.000,00 e) n.r.a b) R$ 15.000,00 d) R$ 17.000,00

10) Um comerciante vendeu uma geladeira de R$ 1.300,00 por R$ 850,00. Calcule a porcentagem do seu prejuízo.


1) Certa mercadoria foi vendida por R$ 1.560,00, com prejuízo de 12% sobre seu preço de custo. O preço de custo dessa mercadoria é de :

2) Uma fatura no valor de R$ 800,00 sofreu abatimentos sucessivos de 5%; 6% e 10%. Calcule o valor líquido da fatura.

3) Maria vendeu um relógio por R$ 650,00 com um prejuízo de 3,5% sobre o preço de compra. Para que tivesse um lucro de 6% sobre o custo, ela deveria ter vendido por:

4) Joana vendeu um fogão com prejuízo de 6% sobre o preço de venda. Admitindo-se que ela tenha comprado o produto por R$ 650,00, o preço de venda foi de:

5) (TTN) Um terreno foi vendido por R$ 16.500,00, com lucro de 10%, em seguida, foi revendido por R$ 20.700,00. O lucro total das duas transações representa sobre o custo inicial do terreno um percentual de:

6) Um comerciante comprou várias peças de tecido por R$ 47.200,00 e uma partida de arroz por R$ 35.100,00.Vendeu o tecido com 7% de prejuízo e o arroz, com 11,5% de lucro. Ao todo, ganhou ou perdeu? Quanto?

7) Calcule o valor líquido de uma guia de recolhimento de imposto sindical, no valor de R$ 2.000,00, que sofreu a redução de 12% sobre esse valor total, e, em seguida, outro abatimento de 6% sobre o líquido da primeira redução.

8) Uma partida de arroz foi vendida por R$ 2.150,00, com um lucro de R$ 650,00 . Calcule a porcentagem desse lucro em relação ao preço de custo.

9) Uma bicicleta no valor de R$ 650,00, foi vendida por R$ 350,00. De quantos por cento foi o prejuízo?

10) João vendeu uma máquina de escrever por R$650,00 com prejuízo de 12% sobre o preço de compra. Para que tivesse um lucro de 10% sobre o preço de custo, ele deveria ter vendido por:



1)

2)

3)

4)

5)

6)

?

12,0

1560

C

CP

V

72,177288,0

1560

88,01560

12,01560

CC

C

CC

PCV

96,642

9,094,095,0800

)1,01()06,01()05,01(800

)1()1()1( 321

L

L

L

iiiPL

CP

V

%5,3

00,650

57,673965,0

00,650

965,000,650

035,000,650

CC

C

CC

PCV

98,713

41,4057,673

57,67306,057,673

V

V

V

LCV

?

00,650

06,0

V

C

VP

20,61306,1

00,650

00,65006,1

06,000,650

C

V

VV

PCV

00,500.700,850.500,650.1

00,850.500,850.1400,700.20

850.1400,650.100,500.16

00,500.161,000,500.16%50,505050,0

00,850.14

00,500.7

C

L

50,759.4$:

50,136.39115,100,100.35

00,896.4393,000,200.47

RGanhouR

Arroz

Tecido


7)

8)

9)

10)

40,654.1$94,088,000,2000

06,0112,0100,2000

RL

L

00,500.1

00,65000,150.2

00,65000,150.2

C

C

C

LCV

%3,43ou433,000,500.1

00,650

C

L

%15,46650

000.30000.30650

100

00,300

00,650

00,300

10000,650

XXX

X

X

CL

C

CP

RV

1,0

?

12,0

00,650$

50,812

64,7381,064,738

64,73888,0

00,65088,000,650

12,000,650

V

V

LCV

CCC

CC

PCV






10. Juros Simples Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução

Quando emprestamos um capital a uma pessoa (física ou jurídica), recebemos de volta a quantia emprestada mais uma quantia que denominamos de juros.

Chamamos de juros simples a remuneração de um capital (C) aplicado a uma taxa (i), por um período de tempo determinado (n).

A taxa de juro indica o valor do juro a ser pago numa unidade de tempo, e será expresso em porcentagem do capital.

Exemplos: a) A taxa de juro de 5% a.d. - significa que o valor do juro é igual 5% do capital, por dia. b) A taxa de juro de 20% a.m. - significa que o valor do juro é igual a 20% do capital, por mês.

Capital (principal ou valor presente) É a quantia aplicada ou emprestada por um período de tempo.

Prazo (ou tempo) É o período de aplicação do capital.

2. Regime de capitalização

O regime de capitalização pode ser simples ou composto.

2.1. Regime de capitalização simples

No regime de capitalização simples, a taxa de juro incide sobre o capital inicial, e no final de cada período os juros obtidos serão iguais ao produto do capital pela taxa do período.

3. Cálculo do juros simples e montante.

Seja um capital (C) aplicado a uma taxa (i) por período, durante n períodos consecutivos, sob o regime de capitalização simples.

Os juros formados no final de cada período serão iguais, e portanto teremos:


0 1 2 3 n-1 n

in CJJJJ ===== ....321

O juro total dos n períodos será:

in

iiii

n

CJ

CCCCJ

JJJJJ

=+=++=++++=

...

...3

21

Para o caso do Montante teremos:

)1( inCM

CinCM

JCM

+=+=+=

Exercícios Resolvidos

1) Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 2.000,00 colocado a taxa 1% a.m. durante 1 ano e 2 meses.

Dados: J=? J=C. i. n C=R$ 2.000,00 J=2000⋅ 0,01 ⋅ 14 i=1% a.m. J=280 n=1 ano 2 meses = 14 meses R: Os juros obtidos serão de R$ 280,00.

2) Um capital de R$4.000,00 rendeu em 1 mês a importância de R$1.000,00 de juros. Calcular a taxa.

Dados: C=R$ 4.000,00 n= 1 mês i=? J=R$1.000,00

..%2525,0000.4

000.1

4000000.1

1..4000000.1

..

maiouii

i

i

niCJ

===

==

=

3) Durante quanto tempo é necessário empregar o capital de R$ 200,00 para que renda R$ 80,00 de juros, sendo a taxa 1% a.m.?

Solução: C= R$ 200,00 J= R$ 80,00 i= 1% a.m. n=?

meseseanosoumesesnn

n

n

niCJ

43402

80

280

.01,0.20080

..

==

==

=


4) Calcular o capital que, aplicado a taxa de 1% a.m., produz em 1 ano e 1 mês, juros de R$ 650,00.

Solução: i=1% a.m. n=13 meses J= R$ 650,00

000.513,0

650

13,0.650

13.01,0.650

..

==

==

=

CC

C

C

niCJ

5) Calcular o montante de um capital de R$ 1.200,00, empregado durante 2 anos e 6 meses a taxa de 0,5% a.m..

Solução: M=? C=R$ 1.200,00 n= 2 anos e 6 meses = 30 meses i= 0,5% a.m.

M=C(1+in) M=1200(1+0,005 ⋅ 30) M=1200(1+0,15) M=1200 ⋅ 1,15 M= 1.380

4. Taxas proporcionais

Duas taxas são denominadas de proporcionais, quando seus valores formam uma proporção com os seus respectivos períodos de tempo, reduzidos numa mesma unidade.

Assim, sendo teremos:

2

2

1

1

n

i

n

i=

Exemplos:

1) Qual a taxa mensal proporcional a taxa de 24% a.a.

Solução:

..%2241212

24

111

1

2

2

1

1

maiii

n

i

n

i

===

=

2) Calcule a taxa anual proporcional a 1,5% a.m.


..%181

5,1

121

2

2

2

1

1

aaii

n

i

n

i

==

=

5. Taxas equivalentes

Duas taxas são denominadas de equivalentes, quando aplicadas a um mesmo capital, num mesmo período de tempo, produzem juros iguais.

Exemplo:

Calcular os juros produzidos pelo capital de R$ 1.000,00: a) a taxa de 2% a.m., durante 3 meses. b) a taxa de 1,5% a.a., durante 4 anos.

Solução: a) J=? C= R$ 1.000,00 i= 2% a.m n= 3 meses

J= C. i. n J= 1000 ⋅ 0,02 ⋅ 3 J= 60,00

b) J=? C=R$ 1.000,00 i=1,5% a.a. n=4 anos

J=C. i. n J=1000 ⋅ 0,15 ⋅ 4 J=60,00

Como os juros obtidos são iguais, podemos afirmar que 2% a.m. é uma taxa equivalente a 1,5% a.a.

6. Prazo médio

Para o cálculo do prazo médio, mencionaremos quatro casos a saber:

a) Capitais e taxas iguais.

Neste caso o prazo médio é calculado pela média aritmética simples dos prazos dados.

Exemplo: 1) Uma pessoa aplicou R$ 1.000,00, a taxa de 2% a.a., durante 2 meses e R$ 1.000,00, a mesma taxa,

durante 4 meses. Qual o prazo médio dessa aplicação?

Solução:

)(32

6

2

42médioprazomeses==

+


b) Capitais diferentes e taxas iguais

Quando os capitais são diferentes e as taxas iguais, o prazo médio é calculado pela média aritmética ponderada dos prazos pelos capitais.

Exemplo: Determine o prazo médio de aplicação de dois capitais, de R$ 1.200,00, e R$ 1.800,00, aplicadas durante 1 ano e 3 anos, respectivamente, a taxa iguais?

Solução: Multiplicando os prazos pelos respectivos capitais.

600.6

400.5

000.3

800.1.3

200.1200.1.1

=

=

Dividindo a soma dos produtos pela soma dos capitais teremos:

ano2,2000.3

600.6=

R: O prazo médio é de 2,2 anos.

c) Capitais iguais e taxas diferentes.

Quando os capitais são iguais e as taxas diferentes, a solução é idêntica ao caso anterior.

d) Capitais e taxas diferentes.

Quando os capitais e as taxas são distintos, o prazo médio é calculado pela soma dos produtos dos capitais pelo tempo de aplicação e pela sua respectiva taxa dividida pela soma dos produtos do capital por essa referida taxa de aplicação.

Exemplo: Qual o prazo médio de aplicação de dois capitais: R$ 800,00 em 20 dias a 1,5% a.a., R$ 1.000,00 a 2% a.a. em 30 dias?

Tempo Capital Taxas = Valor ponderado 20 800 0,015 240 30 1.000 0,02 600 = 840

Prazo médio =taxapelacapitaisdosprodutosdosSoma

ponderadosvaloresdosSoma

Prazo Médio = dias25,2632

840

2012

840

)02,0.1000()015,0.800(

840==

+=

+


7. Taxa média

Sejam os capitais C1; C2; C3...Cn, aplicamos as taxa i1; i2; i3... respectivamente, durante o mesmo período de tempo.

A taxa média im é obtida pela soma dos capitais acima, aplicados a esta taxa e no mesmo prazo, obtendo um total de rendimentos idênticos as aplicações originais.

n

nn

mCCC

iCiCiCi

+++•+•+•

=ΛΛ

ΛΛ

21

2211

Exemplo: 1) João aplicou seu capital de R$ 7.000,00 da seguinte maneira:

R$ 1.500,00 a 2% a.m. R$ 2.000,00 a 1,5% a.m. R$ 3.500,00 a 2,5% a.m.

Qual seria a taxa única, que poderia aplicar seu capital, para se obter o mesmo rendimento?

Solução:

%1,2

0210,07000

5,87330

350020001500

025,0.3500015,0.200002,0.1500

=

=+−+

=

++++

=

i

i

i

Exercício de fixação

1) Determine os juros produzidos por um capital de R$ 10.000,00 empregado a taxa de 3% a.a. em 4 anos.

2) Um capital de R$ 5.000,00 rendeu em 5 meses a importância de R$ 1.800,00. Calcule a taxa anual.

3) Um capital de R$ 14.4000,00 aplicado a 22 % a.a. rendeu R$ 880,00 de juros. Durante quanto tempo esteve empregado?

4) Se uma pessoa aplica somente 5

2 de seu capital em letras durante 90 dias, a taxa de 2,5% a.m.(juros

simples) e recebe R$ 9.600,00 de juros. Calcule o capital de aplicação desta pessoa.

5) Carlos aplicou 4

1de seu capital a juros simples comerciais de 18% a.a., pelo prazo de 1 ano, e o

restante do dinheiro a uma taxa de 24% a.a., pelo mesmo prazo de regime de capitalização. Sabendo-se que uma das aplicações rendeu R$ 594,00 de juros, mais do que a outra, o capital inicial era de:


6) Um capital de R$ 8.000,00 foi dividido em 2 partes. A primeira parte foi investida a uma taxa de 1% a.a., durante 2 anos e rendeu os mesmos juros que a segunda parte que fora investida a taxa de 1,5% a.a. por 3 anos. Calcule o valor da parte menor.

7) A soma de um capital com os seus juros, aplicado durante 110 dias, à taxa de 7% a.a. é igual a R$ 2.553,47. Determinar o valor dos juros, considerando-se o ano com 360 dias.

8) (Receita Federal) O prazo que duplica um capital aplicado a taxa de juros simples de 4% a.m. é: a)1 ano c) 20 meses e) n.r.a. b) 15 meses d) 25 meses

9) (TTN) O capital que, investido hoje a juros simples de 12% a.a., se elevará a R$ 1.296,00 no fim de 8 meses é:

10) Se aplicarmos determinada quantia durante 8 meses, seu montante será de R$ 63.000,00. Caso a aplicação durasse 13 meses, o montante seria de R$ 74.250,00. Qual a taxa mensal empregada?

11) Calcule a taxa anual proporcional a: a) 2,5% a.m. c) 1,2% a.m. b) 3% a.t. d) 3% a.s.

12) Calcule a taxa bimestral de juros simples, equivalente a 126% a.a.

13) Qual a taxa trimestral de juros simples equivalente a 10% a.a.?

14) Aplicou-se a juros simples os capitais de R$ 1.000,00 a 2% a.m., R$ 1.500,00 a 3% a.m. e R$ 2.000,00 a 3,5% a.m. durante um mês. Qual foi a taxa média do investimento?

15) Qual o prazo médio para juros de R$ 2.000,00 em 30 dias a 1% a.d., R$ 2.500,00 a 2% a.d. em 40 dias.


1) Um capital de R$ 6.000,00 aplicando durante 2 meses, a juros simples, rende R$ 2.000,00. Determinar a taxa de juros cobrada.

2) Calcular o juro e o montante de uma aplicação de R$ 10.000,00 durante 1 ano, a taxa de juros simples de 0,5%a.m.

3) Em quanto tempo um capital colocado a 0,4% a.m., rende 5

2do seu valor?

4) (FAAP) Um investimento de R$ 24.000,00, foi aplicado parte a juros de 1,8% a.m., e parte a 3% a.m. Se os juros mensais forem de R$ 480,00, quais as partes correspondentes do investimento?

5) (Mack) A taxa de 4% ao mês (juros simples), R$ 200,00 dobrou de valor ao fim de: a) 18 meses c) 25 meses e) 50 meses b) 24 meses d) 48 meses


6) Um capital foi aplicado da seguinte maneira: seus dois terços rendendo 4%a.a e a parte restante rendendo 3% a.a. No fim de um ano, a diferença entre os juros das duas partes foi de R$ 500,00. Qual era o capital inicial?

7) (EPCAR-81) Um capital foi colocado a render juros simples a uma taxa tal que após 10 meses o capital e os juros reunidos se elevaram a R$ 13.440,00 e após 18 meses se elevaram a R$ 16.512,00. Qual é o capital?

8) (Sec. Mun.Fin-SP) Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a juros simples e, ao final de 2 bimestres, produziu o montante de R$ 16.320,00. A taxa mensal dessa aplicação foi de: a) 2,2% b) 3,6% c) 4,2% d) 4,8% e) 6,6%

9) O capital de R$ 3.000,00, aplicado à taxa anual de 1% no fim de 200 dias, produzirá o montante de:

10) Colocaram-se a mesma taxa: R$ 800,00 durante 3 meses e R$ 200,00 durante 5 meses. A diferença entre os juros é de R$ 700,00. Qual é a taxa?

11) Ache a taxa mensal proporcional a: a) 3,6% a.t. b) 12% a.s.c ) 2,4% a.d. d) 12% a.a.

12) (Receita Federal) Aplicar um capital a taxa de juros simples de 5% a.m., durante 10 meses, é equivalente a investir o mesmo capital por 15 meses a taxa de: a) 7,5% a.m. b) 3,33% a.m. c) 3% a.m. d) 12% a.a.

13) Sobre a taxa proporcional é correto afirmar: a) Sempre se refere a juros exatos. b) Normalmente refere-se a juros compostos. c) Utilizado em equivalência de capitais a juros comerciais e compostos. d) Dá nome aos contratos. e) Refere-se a juros simples.

14) (FTE-93) Um banco efetuou os seguintes empréstimos com juros simples conforme tabela abaixo. Calcule a taxa média mensal destas operações:

Principal(R$) Taxa mensal Prazo (meses) 10.000,00 20% 2 20.000,00 10% 4

a) 10% a.m. b) 11% a.m. c) 12% a.m. d) 13,33% a.m. e) 15% a.m.

15) Três capitais iguais a R$ 2.000,00 foram aplicados a mesma taxa durante 2, 3 e 4 meses respectivamente. Qual o prazo médio?



1)

2)

3)

4)

5)

?i

R$2.000,00J

me2

00,000.6$

====

n

RC

a.m.%6,16

166,06

1

000.12

000.2

000.12000.2

2000.6000.2

=

===

=••=

••=

i

iii

i

i

niCJ

..%5,0

121

00,000.10$

mai

mesesanon

RC

===

=

00,600.10

000.10600

600

005,012000.10

=+=

+==

••=••=

M

M

CJM

J

J

niCJ

CJ

mai

C

4,0

.%4,0

?

===

mesesnn

nCC

niCJ

100004,0

4,0

004,04,0

==

••=••=

( )

( )

000.4000.20000.24

000.24

000.20012,0

240

240012,0

1240012,0

72048003,0018,0

48003,0720018,0

480103,0000.241018,0

480

480

000.24000.24

22

12

11

1

1

11

11

11

2211

21

1221

=−=−=

==

=−−=−

−=−=−+

=••−+••=••+••

=+−==+

CC

CC

CC

C

C

CC

CC

CC

niCniC

JJ

CCCC

?

200

400

..%4

===

=

n

C

J

mai

mesesnn

n

niCJ

508

400

04,0200400

==

••=••=


6)

7)

3

03,0103,0

3

1

3

08,0104,0

3

2

1

..%4

3

2

2

1

1

1

CCJ

CCJ

anon

mai

CC

=••=

=••=

==

=

500

1

..%3

3

1

21

2

2

=−

==

=

JJ

anon

aai

CC

000.3005,0

1500

150005,0150003,008,05003

03,0

3

08,0

==

==−=−

CC

CCCCC

512.16

18

==M

mesesn( )

iC

iC

niCM

181

512.16

)181(512.16

1

+=

+=•+=

..%4

04,07,5

23,0

23,07,5

123,13,1218

3,1223,1181

)101(23,1)181(1

1

23,1

101

181

440.13

512.16

101

181

181

512.16

101

440.13

mai

i

i

ii

ii

ii

i

i

i

i

ii

=

==

=−=−

+=++=+

=++

=++

+=

+

00,600.94,1

440.13

4,01

440.13

04,0101

440.13

101

440.13==

+=

•+=

+= CCC

iC

440.13

10

==M

mesesn ( )

iC

iC

niCM

101

440.13

)101(440.13

1

+=

+=•+=


8)

R: A alternativa correta é a

9)

10)

11)

a)

b)

a

?

00,320.16

4

00,000.15

==

==

i

M

mesesn

C ( )( )

..%2,2022,04

088,0

41088,1

4100,000.15

00,320.16

41100,000.1500,320.16

1

maiii

i

i

niCM

===

=−

+=

•+=•+=

diasn

i

M

C

200

360

01,0

?

00,000.3

=

=

==

66,016.3

180

181000.3

180

11000.3

360

213000

200360

01,01000.3

)1(

=

=

+=

+=

•+=

•+=

M

M

M

M

M

niCM

..%505,02

1

400.1

700

700400.1

7001000-400.2

700

10005200

400.23800

21

2

1

maiiii

i

ii

JJ

iiJ

iiJ

====

==

=−=••==••=

..%2,13

6,36,33

3

6,3

1111

1

2

2

1

1

maiiii

n

i

n

i

====

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..%26

12126

6

12

1111

1

2

2

1

1

maiiii

n

i

n

i

====

=


c)

d)

12)

a alternativa correta é a

13) a alternativa correta é a e

14)


15) Prazo médio 33

432=

++= meses.

b

..%7272,030024,01

024,0

30111

1

2

2

1

1

maiiii

n

i

n

i

==•==

=

..%101,012

12,012,012

12

12,0

11111

1

2

2

1

1

maiiiii

n

i

n

i

=====

=

...%3,3ou033,015

5,0

155,0

15

5,01005,0

2

2

1

maiii

iCC

JJ

iCJ

CCJ

===

••=

=••=

=••=

...%3,13ou133,0

15

2

30

4

000.30

000.4

000.30

1,0000.202,0000.10

21

2211

maii

iiii

CC

ICiCi

mm

mmmm

m

==

===•+•

=

+•+•

=






11. Desconto Simples Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução

Na vida comercial e industrial as relações de compra e venda entre os negociantes ou negociantes e consumidores podem ser a vista ou a prazo.

Quando uma compra é feita a vista, a pessoa que adquire o bem, paga ao vendedor, em dinheiro ou cheque no ato da mesma.

No caso de uma compra a prazo, o comprador assume um compromisso em quitá-lo em uma data futura.

É normal que o credor receba um título de crédito que é o comprovante da sua dívida, caso o mesmo deseje quitar antes da data de vencimento obterá um abatimento que é denominado de desconto.

Os títulos de crédito mais conhecidos são: duplicatas; letras de câmbio; nota promissória.

Desconto (d): é o abatimento que se faz sobre um título de crédito, quando o mesmo é quitado antes do seu vencimento;

Valor Nominal (N): é o valor do título quando quitado no dia do vencimento;

Valor Atual (A): é o valor líquido recebido (ou pago) antes do vencimento.

Exemplo:

Uma pessoa portadora de um título de crédito no valor de R$ 10.000,00 deseja resgatar o mesmo antes de seu vencimento por R$ 8.000,00.

Valor nominal (N): R$ 10.000,00

Valor atual (A): R$ 8.000,00

Desconto: (d) = 10.000,00 - 8.000,00 = 2.000,00 d = R$ 2.000,00

O exemplo acima mostra as relações envolvidas em uma operação de desconto:

d = N – A ou A = N - d ou N = A + d


2. Tipos de desconto

2.1. Desconto comercial, bancário ou por fora

O desconto comercial incide sobre o valor nominal do título, e eqüivale ao juros simples onde o capital inicial corresponde ao valor nominal do título de crédito.

dc = N i n

dc: Valor do desconto comercial; N: Valor nominal do título; i: taxa de desconto; n: tempo.

2.2. Valor Atual Comercial

A = N - d A = N - N in

A = N (1- in)


1) Calcular o desconto comercial de um título de crédito no valor R$ 2.000,00 à taxa 6% a.m., sendo resgatado 2 meses e 10 dias antes do vencimento.

Solução:

dc = ? N = R$ 2.000,00

damai .002,030

06,0.06,0

n = 2 meses e 10 dias = 70 dias

dc = N in dc = 2.000 . 0,002 70 dc = 280

2) Uma duplicata de R$ 6.000,00, foi resgatada 120 dias antes do seu vencimento, sofreu R$ 300,00 de desconto por fora (comercial). Qual a taxa anual usada na operação?

N = R$ 6.000,00

n= 120 dias = 3

1ano.

dc = R$ 300,00 i = ?

dc = N i n

300 = 6000 i 3

1

300 = 2.000 i i =2000

300

i = 20

3 i = 0,15 ou i = 15% a.a.

3) Calcular o valor atual de um título de crédito no valor nominal de R$ 1.000,00 que, sofreu um desconto comercial, a uma taxa de 3% a.m., 108 dias antes do vencimento.


A = N (1 - in)

A = 1.000 (1 - 30

03,0 108)

A = 1.000 (1 - 0,108) A = 1.000 (0,892) A = 892

4) Os descontos comerciais de 2 títulos de créditos vencíveis em 90 dias, colocados a taxa de 3% a.a., somam R$ 200,00 e o desconto do primeiro excede o da segunda em R$ 50,00. Calcular os valores nominais desses títulos.

dc1 = N1 i n

dc1 = N1 0,03 dc1 = N1

dc2 = N2 i n

dc2 = N2 0,03 4

1 dc2 = N2

4

03,0

dc1 + dc2 = 200 dc1 = 200 - dc2

dc1 = dc2 + 50

200 - dc2 = dc2 + 50

200 - 50 = 2 dc2

150 = 2 dc2 dc2 = 2

150dc2 = 75

dc1 = 200 - dc2

dc1 = 200 - 75 dc1 = 125

dc1 = N14

03,0

125 = N14

03,0 4 125 = 0,03 N1 N1 =

03,0

125.4

N1 = 16.666,67

dc2 = N24

03,0

75 = N24

03,0 75 4 = N2 0,03 300 = N2 0,03 N2 =

03,0

300

N2 = 10.000,00


1) Calcule o valor nominal de certa nota promissória que, descontada 2 meses antes do vencimento, à taxa de 1,5% a.m., de desconto comercial simples, deu um valor atual de R$ 2.100,00.

2) Uma nota promissória, com o valor nominal de R$ 10.000,00, foi resgatada 2 meses e 5 dias antes de seu vencimento, utilizando a taxa de 36% a.a. Qual foi o desconto comercial?


3) (CEF) Uma nota promissória foi resgatada 5 meses antes do vencimento, sofrendo um abatimento de R$ 30.000,00. Se o desconto foi comercial simples, a taxa de 48% a.a., o valor pago foi: a)R$ 180.000,00 d) R$ 135.000,00 b)R$ 175.000,00 e) R$ 120.000,00 c)R$ 150.000,00

4) Um título de crédito de R$ 1.200,00 tem valor líquido de R$ 1.000,00 quando descontada por fora 2 meses antes de seu vencimento. Qual é a taxa de vencimento?

5) (Banco do Brasil) Uma pessoa deseja obter um empréstimo de R$ 30.000,00 no prazo de 120 dias, a 6% a.m., de desconto comercial simples. Qual o valor do título para produzir aquela importância líquida?a)R$ 39.473,68 c) R$ 35.432,20 b)R$ 38.528,12 d) R$ 34.318,20

6) (Receita Federal) O valor atual de uma duplicata é 5 vezes o valor de seu desconto comercial simples. Sabendo que a taxa de desconto adotada é de 60% a.a., o vencimento do título, expresso em dias, é: a)120 c) 130 e) 140 c)100 d) 150

2.3. Desconto Racional ou Desconto por dentro

É o desconto que incide sobre o valor atual de um título de crédito. Indicaremos desconto racional por dr.

niAd rr 1

Valor do Desconto Racional em função do Valor Nominal

Ar = N - dr 2

Substituindo 2 em 1, teremos:

dr = (N - dr) i n dr = N i n - dr i n dr + dr i n = N i n dr (1 + in) = N i n

dr = ni

niN

.1

..

2.4. Valor Atual Racional

Ar = N - dr

Ar = N ni

niN

.1

..

Ar = ni

NAr

ni

niNniN

.1.1

..).1(


2.5. Relação entre Desconto Comercial e o Desconto Racional

dc = N i n dr =ni

niN

.1

..

dr = i.n)(1ddi.n1

drc

c


1) Um título de crédito de valor nominal de R$ 1.600,00 sofre um desconto racional simples a taxa de 1,5% a.m., 75 dias antes do seu vencimento. Calcule o desconto racional e o valor atual.

Solução:N = R$ 1.600,00 i = 1,5% a.m. n = 75 dias = 2,5 meses

dr=ni

niN

.1

..

83,570375,1

60

0375,01

60

5,2.015,01

5,2.015,0.600.1

rr

r

dd

d

17,542.1rA0375,1

1600rA

5,2015,01

1600rA

5,2015,01

1600rA

ni1

NrA

2) A diferença entre os descontos comercial e racional de um título de crédito, é de R$ 60,00. O prazo é de 20 dias e a taxa de 1% a.m. Calcular o valor nominal do título.

Solução:

603

0,02N

600,01.1

N.0,01.

3

2N.0,01.

60i.n1

N.i.nN.i.n

60dd

a.m.0,01a.m.1%i

mês3

2dias20n

?N

30,0213

0,02N

32

32

rc

02,3.3

02,3.3.60

02,3.3

3.02,002,3.02,0

6002,3

02,0

3

02,0

6002,3

3.

3

02,0

3

02,0

603

02,0

603

02,0

3

02,0

3

02,0

3

02,01

3

02,0

NN

NN

NN

N

N

N

N

0,0604 N - 0,06 N = 543,60 0,0004 N = 543,60 N = N = 1.359.000,00 543,60

0,0004


3) quociente entre os descontos comercial e racional é de 1,2. Qual será a taxa de juros se o prazo de antecipação é de 4 meses.

..%55,04

2,042,0

412,1

412,1

.1

..

1..

.1

maiouiii

i

i

nid

d

niN

inniN

nid

d

r

c

NinNin

r

c

3. Taxa de juros simples e taxa de desconto simples

3.1. Taxa de juro simples (ij)

É a taxa que incide sobre o capital inicial.

3.2. Taxa de desconto simples (id)

É a taxa que incide sobre o valor nominal de um título de crédito.

A taxa de juros simples e a taxa de desconto comercial são equivalentes, quando o valor atual for igual ao capital e o montante como valor nominal.

Ou seja M = N e A = C

A = N (1 - i n) C = N (1 - id n) =N

C = 1 - 1d n 1

M = C (1 + i n) N = C (1 + ij n) C

N= 1 + ij n

niN

C

j .1

1 2

Comparando 1 e 2 teremos:

juro)de(taxandi1

diji

nji1

1ndi1

desconto)de(taxanji1

jidi

nji1

1ndi1



1) Calcule a taxa de juro simples (mensal) equivalente a uma taxa de desconto comercial simples de 1% a.d., num prazo de 2 meses?

Solução:

ij = ? id = 1% = 0,01 a.d. n = 2 meses = 60 dias

4,0

01,0

6,01

01,0

60.01,01

01,0

.1

jjj

d

dj

iii

ni

ii

ij = 0,025 ou ij = 2,5% a.d.

2) Uma instituição financeira cobra uma taxa de juros simples de 6% a.m. para empréstimo de 30 dias. Calcule a taxa de desconto comercial simples equivalente?

ij = 6% = 0,06 a.m.

n = 30 dias = 1 mês id = ?

ij = ni

i

j

j

.1

maiii ddd .%66,50566,01.06,01

06,0


7) Determine o valor atual racional e comercial de um título de R$ 6.500,00 resgatado 2 meses antes do vencimento a taxa de 2% a.m.

8) O desconto comercial aplicado a uma letra de câmbio resgatada 5 meses antes do vencimento à taxa de 1% a.m. foi de R$ 10,00. Qual será o valor do desconto se fosse racional?

9) O valor atual racional simples de um título é igual a metade do seu valor nominal. Calcular a taxa de desconto sabendo-se que o pagamento desse título foi antecipado de 2 meses.

10) Uma duplicata foi submetida a dois tipos de descontos. No primeiro caso, a juros simples, a uma taxa de 1% a.m., vencível em 90 dias com desconto comercial. No segundo caso, com desconto racional, mantendo as demais condições. Sabe-se que a soma dos descontos, por fora e por dentro, foi de R$ 450,00. O valor nominal do título era de:

11) A diferença entre o valor atual racional e o valor atual comercial de uma dívida é de R$ 120,00. O valor nominal desse título, a 1% a.m., com antecipação de 1 mês é:


12) Um título de crédito foi resgatado 60 dias antes de seu vencimento, sendo o valor nominal de R$ 1.800,00. Sabendo-se que o desconto foi de R$ 200,00, calcule a taxa de desconto e a taxa de juro efetivo.

13) Uma duplicata foi descontada 3 meses antes do seu vencimento, a taxa de desconto comercial de 6% a.a. Qual a taxa de juro efetiva anual dessa operação?

14) Complete o quadro abaixo:

Taxa de desc. Com.

Taxa de juro efetiva

Prazo

a) 3% a.m. 10 dias b) 10% a.m. 5 dias c) 2% a.d. 10% a.d.

4. Fluxo de caixa e Equivalência de capitais

4.1. Fluxo de caixa

Chamamos de fluxo de caixa a sucessão de pagamentos ou recebimentos ao longo do tempo.

Para uma melhor compreensão representaremos um diagrama de fluxo de caixa.

0 1 2 3 4 5 períodos

Por Convenção:

o eixo horizontal, orientado para a direita indica o período de tempo; as setas orientadas para cima indicam as saídas de caixa; as setas orientadas para baixo indicam as entradas de caixa;

Veja o exemplo de um diagrama de fluxo de caixa:

1) Uma pessoa fez uma aplicação de R$ 5.000,00 e recebeu R$ 6.000,00 após 5 meses.

5.000

1 2 3 4 5 meses

6.000


4.2. Equivalência de Capitais

Dois ou mais capitais com datas de vencimentos distintas, são chamados de equivalentes quando “transportados” para uma mesma data focal, a uma mesma taxa, produzem valores iguais. Exemplo

1) Verificar se os capitais R$ 384,00, com vencimento para 1 mês e R$ 600,00 com vencimento para 5 meses, são ou não equivalentes pelo critério do desconto comercial simples a 10% a.m., na data focal 3.

600

meses

0 1 2 3 4 5

data focal 384 A= N(1-in) A = 600(1-0,1.2) =480

N= 4808,0

384

2.1,01

384

1 in

A

Exercícios Resolvidos

1) Um título de crédito de valor nominal de R$ 800,00, com vencimento para 45 dias é substituído por outro para 60 dias. Calcule o valor nominal do novo título sabendo que a taxa de desconto comercial simples é de 3% a.m.

Solução:

N1 = R$ 800,00 n = 45 dias = 1,5 mês N = ? n = 60 dias = 2 meses i = 3% a.m.

A1 = A N1 (1 - i n) = N (1 - i n) 800 (1 - 0,03 1,5) = N (1 - 0,03 2) 800 (1 - 0,045) = N (1 - 0,06) 800 0,955 = N 0,94 764 = N 0,94

N=94,0

764 N = 812,77

2) Uma pessoa deve dois títulos de créditos: um no valor de R$ 1.000,00 com vencimento para 1 mês e outro de R$1.200,00 para 3 meses. Entretanto, não podendo resgatá-lo no vencimento, propõe ao credor substituí-los por um título único para 5 meses. Sabendo que a taxa de desconto comercial simples é de 6% a.m., calcule o valor nominal do título único.


N1 = R$ 1.000,00 n = 1 mês N2 = R$ 1.200,00 n = 3 meses N = ? n = 5 meses i = 6% a.m.

A1 + A2 = A N1 (1 - in) + N2 (1 - in) = N (1 - in) 1.000 (1 - 0,06 1) + 1.200 (1 - 0,06 3) = N (1 - 0,06 5) 1.000 0,94 + 1.200 0,82 = N (1 - 0,30) 940 + 984 = 0,7 N 1.924 = 0,7 N

N=7,0

924.1N = 2.748,57

3) Um comerciante possui dois títulos de créditos, sendo um no valor R$ 1.000,00 com vencimento para 40 dias e o outro no valor de R$ 1.500,00 com vencimento para 60 dias. Necessitando de dinheiro, decide descontá-las hoje, em um banco que efetua a operação a taxa de desconto comercial de 6% a.m. Qual o valor recebido pelo comerciante pelos dois títulos?

V = A1 + A2

V = 1.000 (1 - 0,06 30

40 )+ 1.500 (1 - 0,06 2)

V = 1.000 (1 - 0,08) + 1.500 (1 - 0,12)

V = 1.000 0,92 + 1.500 0,88

V = 920 + 1.320

V = 2.240

4) Uma loja vende um eletrodoméstico por R$ 800,00. A prazo, pode-se pagar a mercadoria em 2 pagamentos mensais iguais; o primeiro vence em 30 dias. De quanto será cada um desses pagamentos, se foram adotados, na operação o desconto racional a taxa de 6% a.m. e a data focal a do ato da compra?

A=A1+a2

800=12,0106,01

xx

800 = 12,106,1

xx

800.1,06.1,12 = 1,12x + 1,06x 949,76 = 2,18x

x = 18,2

76,949

x = 435,67


15) Um título de crédito no valor de R$ 800,00, com vencimento para 60 dias é substituído por outro com vencimento para 90 dias. Calcule o valor nominal do novo título sabendo que a taxa de desconto comercial simples é de 1% a.m.


16) Uma empresa vende mercadorias por R$ 5.730,00 à vista ou em dois pagamentos iguais, sendo o primeiro para 30 dias e o segundo para 60 dias. Qual o valor das parcelas que a empresa aplica, sendo a taxa de desconto comercial de 3% a.m.

17) Um lojista possui 2 duplicatas: uma de R$ 1.200,00 para 30 dias e a outra de R$ 600,00 para 60 dias. Não podendo resgatá-los no vencimento, propõe ao credor substituí-los por um único título para 5 meses. Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 1% a.m. Calcular o valor nominal do título único.

18) Uma loja vende uma bicicleta por R$ 800,00 à vista ou 10% de entrada e o restante para 30 dias. Qual será o valor desse pagamento, se a loja opera, nas vendas à prazo, com taxa racional de 0,5% a.m.

19) Uma papelaria vende R$ 350,00 em mercadorias. O pagamento pode ser a prazo em dois pagamentos mensais e iguais; o primeiro vence em 30 dias. De quanto será cada um desses pagamentos, se forem adotados, na operação, o critério de desconto racional de 0,5% a.m. e a data focal do ato da compra?


1) Uma empresa descontou três duplicatas no valor de R$ 4.000,00 cada, com vencimento para 30; 60 e 90 dias, respectivamente. Sabendo que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 4% a.m., o valor total do desconto, pelo regime de juros simples, em reais, foi de:

2) Um título de crédito no valor nominal de R$ 1.500,00, em 3 meses, tem como desconto comercial R$ 300,00. Determine a sua taxa anual.

3) Uma nota promissória foi resgatada 2 meses antes de seu vencimento sendo à taxa de 6% a.a. Sabendo-se que o valor atual comercial foi de R$ 800,00, qual seria seu valor nominal?

4) (TTN) Utilizando o desconto racional, o valor que devo pagar por um título com vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de R$ 29.500,00 e desejo ganhar 36% a.a., é de: a)R$ 24.000,00 d) R$ 18.800,00 b)R$ 25.000,00 e) R$ 24.190,00 c)R$ 27.500,00

5) quociente entre o desconto comercial e o desconto racional é de 1,2. Qual será o prazo de antecipação se a taxa de juros for de 5% a.a.?

6) A diferença entre os descontos comercial e racional de um título pagável em 120 dias, a 1% a.m. é igual à R$ 120,00. Determine o valor nominal, desconto comercial e o desconto racional.

7) Complete o quadro abaixo:

Taxa de desc. com. Taxa de juros Prazo

6% a.m. 10 dias 60% a.m. 30 dias

4% a.m. 20% a.m.

8) Um negociante tem duas dívidas a pagar, uma de R$ 3.000,00 com 45 dias de prazo e outra de R$ 8.400,00, pagável em 60 dias. O negociante quer substituir essas duas dívidas por uma única, com 30 dias de prazo. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial é de 12% a.a., o valor nominal dessa dívida será de:


9) Resgatei um título em um banco que me pagou líquido de R$ 6.200,00. O resgate deu-se a 20 dias antes do vencimento, a taxa de 3% a.m. pelo desconto racional. Qual é o valor nominal desse título?

10) Uma loja vende um guarda roupa à vista por R$ 3.000,00. A prazo, pode-se pagar em três pagamentos mensais e iguais, o primeiro vence em 30 dias. De quanto será cada um dos pagamentos, se forem adotados, na operação, o desconto racional de 8% a.m. e como data focal a do ato da compra?


1.

R.: O valor total do desconto foi de R$ 960,00

2.

3.

4.

A alternativa correta é a b

..%80

8,0375

300

375300

25,0500.1300

aai

ii

i

i

niNdc

08,80899,0

800

99,0800

01,01800

6

106,01800

1

NN

N

N

N

niNAc

000.25$500.4500.29

500.418,1

310.5

603,01

603,0500.29

1

R

ddd

ni

niNd

rrr

r

960

480304,0000.4

320204,0000.4

160104,0000.4

soma

dd

dd

dd

niNd

cc

cc

cc

c


5.

6.

7. a)

b)

anosnn

n

n

n

ni

ni

ni

niN

niN

d

d

r

c

405,0

2,0

05,02,0

05,012,1

05,012,1

12,1

1

1

00,000.780016,0

80,124

80,1240016,0

80,12404,00416,0

04,112004,004,004,1

12004,1

04,004,0

120401,01

401,0401,0

1201

120

NN

N

NN

NN

NN

NN

ni

niNniN

dd rc

..%12,6ou0612,0

98,0

06,0

02,01

06,0

3

106,01

06,0

1

maii

iii

ni

ii

jj

jjj

d

dj

..%5,37375,06,1

6,0

16,01

6,0

1

maiiii

ni

ii

dddd

j

j

d

000.304,1

120.3

401,01

401,0000.78

1

120.3401,0000.78

rrr

c

c

ddni

niNd

d

niNd


c)

8.

9.

10.

.

20008,0

16,0

16,0008,0

04,02,0008,0

2,0008,004,0

2,02,0104,0

2,01

2,004,0

1

mesesnn

n

n

n

n

n

ni

ii

j

j

d

300.11

99,0

187.11

99,0232.8955.2

99,098,0400.8985,0000.3

)01,01()02,01(400.8015,01000.3

101,01201,01400.85,101,01000.3

111 21

21

N

N

N

N

N

N

niNiNniN

AAA

n

324.6

200.602,1

02,01200.6

3

203,01

200.6

1

N

N

N

N

ni

NAr

32,156.10304,4

42,660.4

42,660.40304,4

42,660.42528,13392,14384,1

24,1)16,1(08,1

24,116,108,1000.3

24,116,108,1

16,108,124,108,124,116,1

000.324,116,108,1

000.3308,01208,01108,01

xx

x

xxx

xxx

xxx

xxx






12. LogaritmosRoberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução

Os povos antigos indicavam quantidade através de pedrinhas ou faziam marcas em madeira ou osso.

Os cálculos aritméticos nessa época eram complicados de se efetuar.

Com o desenvolvimento do comércio, das navegações e da astronomia, no fim do século XVI, foi necessário criar novos métodos que tornassem os cálculos mais simples.

Os logaritmos surgiram para facilitar os cálculos e graças aos matemáticos Henry Briggs e John Napier que elaboraram as primeiras tábuas de logaritmos.

O logaritmo é utilizado em química para verificar se uma solução é ácida, básica ou neutra e em matemática financeira para estudar juros compostos.

2. Definição

Sendo a e b números reais e positivos, com a 1, chama-se logaritmo de b na base a, o expoente que se deve dar a base a de modo que a potência obtida seja igual a b.

Log ab = x ax = b

(a; b R, b > 0; 0 < a 1)b - logaritmando a - base do logaritmo x - logaritmo


1) Calcular pela definição os logaritmos abaixo:

a) log 42 = b) log0,1 = c) log 5

5/1 =

Solução:a) log 42 = x 2x = 4

2x = 22

x = 2


b) log 1,0

10 = x 10x= 0,1

10x =10

1

10x = 10-1

x = -1

c) log 5

51 = x ( )

5

1 x = 5

(5-1)x = 51/2

5-x = 51/2

-x=2

1

x = - 2

1



a)log 12 = b) log 21

4 = c) log 55

=

d) log 2,0

5 = e) log 2

16/1 f) log 100/1

10 =

3. Propriedades

a) Logaritmo do produto

Sendo (a; b; c R; 0 < a 1; b > 0 e c > 0)

Log a)( ca = log ba + log ca

b) Logaritmo do quociente

Sendo (a; b; c R; 0 < a 1; b > 0 e c > 0)

logc

ba = log ba - log ca

c) Logaritmo da potência

Sendo (0 < a 1; b > 0 e R)

log = b

a = .log ba


d) Logaritmo da raiz n - ésima

Sendo (0 < a 1; b > 0 e n N*)

logn b

a = lognb

a

/1

= .1

nlog ba


1) Dados log2 0,3010 e log3 0,4771. Calcule:

a) log6 = b) log )2

3( c) log4 = d) log 2 =

Solução:

a) log6 = log (2 3) = log2 + log3 = 0,3010 + 0,4771 = 0,7781

b) log )2

3( = log3 - log2 = 0,4771 - 0,3010 = 0,1761

c) log4 = log22 = 2 log2 = 2 0,3010 = 0,6020

d)log 2 = log 2 2/1 =2

1 log2 = 0,5 0,3010 = 0,1505


2) Dados log2 0,3010; log3 0,4771 e log7 0,8451

Calcule:

a) log9 = b) log5 = c) log6 = d) log12 =

e) log 6 = f) log22 g) log21 =

4. Mudança de base

As propriedades operatórias dos logaritmos são válidas somente para logaritmos que estão na mesma base.

No caso de logaritmos de bases diferentes precisamos reduzir esses logaritmos para uma mesma base.

log ba = a

c

a

c

log

log onde: b > 0 ; 0< a 1 ; 0 < c 1



1) Sendo log2 0,3010 e log3 0,4771. Calcule o valor de log 62

Solução:

59,23010,0

4771,03010,0

2log

3log2log

2log

)3.2log(log62

2) Dados log 3 = y . Calcular log 303Solução:

y

y 1

3log

10log3log

3log

)10.3log(

3log

30loglog303

3) Simplificar:

)).(log(log 2

3

3

2

Solução:

13log

2log.2log

3log

b) )).(log(log 51

2

4

5

22log

5log1.

5log

2log2

2log

5log.1.

5log

2log

2log

5log.5log

4log

2

1


3) Sendo log2 = m e log3 = n, calcule:

a) log 122 = b) log 205 = c) log 43 =

d) log 184 = e) log 6

3 = f) log 2712 =

4) Simplifique as expressões:

a) (log 23 ) (log 3

2 ) = b) (log 53 ) (log 425 ) (log 92 ) =


5. Função logarítmica

Denominamos de função logarítmica a toda função do tipo: f(x) = log xa ou y = log x

a (0 < a 1 e x > 0)

A função logarítmica pode ser classificada em crescente (a > 1) ou decrescente (0 < a 1).

Gráficos

y = log x

2

x log x

2y

4

1 log 41

2-2

2

1 log 21

2-1

1 log 12 0

2 log 22 1

4 log 42 2

y = log x 21

x log x

2y

4

1 log 41

2-2

2

1 log 21

2-1

1 log 12 0

2 log 22 1

4 log 42 2

6. Logaritmos decimais

Os sistemas de logaritmos são:

a) sistema decimal

É aquele cuja base vale 10.

Por volta de 1614, o matemático Henry Briggs elaborou a primeira tabela de logaritmos na base 10.

2

1

-1

-2

2 4

¼ ½

1

2

1

-1

-2

¼ ½


b) sistema neperiano É o sistema cuja base vale e. O número e é irracional e vale 2,71828... Os logaritmos na base e são denominados de neperianos ou naturais.

Exemplo:log 7e = ln7

6.1. Característica e Mantissa

Característica de log y

1º. Caso: y 1

Quando o y for um número maior ou igual a 1, a característica de log y é obtida pela quantidade de algarismos que y apresenta na parte inteira e subtraindo uma unidade.


1) Determine a característica de:

a) log 300 b) log12,85

Solução:

a) log 300 c = 3 - 1 = 2

log12,85 c = 2 - 1 = 1

2º. Caso: 0 < y < 1

Quando y é um número compreendido entre 0 e 1, a característica de log y é obtida pela quantidade de zeros que y apresenta antes do primeiro algarismo significativo.



a)log 0,001 b) log 0,12

Solução:

a) 0,001 têm três zeros antes do primeiro algarismo significativo; então a característica é -3;

b) 0,12 tem um zero antes do primeiro algarismo significativo, então a característica é -1.


6.2. Mantissa

A mantissa é encontrada nas tábuas de logaritmos decimais.

Encontramos mantissas dos logaritmos decimais dos números inteiros compreendidos entre 1 e 1.000.


1) Obtenha a mantissa dos logaritmos abaixo:

a) log 500 b) log 930

Solução:

a) log500 mantissa: 0,698970

b) log930 mantissa: 0,968483


5) Determine a característica de cada logaritmo a seguir:

a) log 100 c) log 231,6 e) log 10

1

b) log 0,001 d) log 5 f) log 32



a) log 1,

10

o = b) log 3

3 c) log 2511

2,0 = d)log 82 = e) log 2

81 =

2) (Fuvest) O valor da expressão:

:log)53(

27)2(4

2

0

32

é a) –7 b) –1 c) 1 d)2 e) 7


3) Assinale a alternativa falsa:

a) log1 = 0 b) log (y

x)= logx – logy c) log a

b

a

blog.

d) log (x y) = log x + log y e) n.r.a.

4) (PUC-RS) Se log2 = x e log3 = y, então log375 é:

a) y + 3x c) y - x + 3 e) 3 (x + y)

b) y + 5x d) y - 3x + 3

5) O produto: (log 29 ) (log 52 ) (log 35 ) é igual a:

a)0 b) 1 c) 10 d) 30 e) 2

1

6) São dados: log = a e log = b. O valor de log é:

a)ba

a

1 b)

ba

b

1 c)

ba

b

1 d)

ba

a

1 e)

a

b

2


a) log 2,61 c) log 2

1 e) log

5

12

b) log 0,012 d) log 20 f) log 2,168

8) Obtenha a mantissa dos logaritmos abaixo, consultando a tábua de logaritmos:

a) log13 c) log 0,2 e) log25

b) log201 d) log 2,16



1)

a) log = x 10x = 0,1

10x 1

10

10x = 10-1

x = -1

b) log = x 3x = 3

3x = 31/2

1

2

c) log = log = log

log x 1 x 1

5 25

1 x 1 2

5 5

x = 2

d) log = x ( 2 )x = 8

(21/2)x = 23

1 x = 3

2

x = 6

e) log = x 1 x 2

8

1 x 21/2

2 3

2-3x = 21/2

(

=

)

)

(

(

=

x =

( () )=

0,1

10

3

3

1/25

0,2 1/25

2/10

1/25

1/5

1/25

1/5

8

2

2

1/8 ) =


-3x 2

1

6

1

2) -4 + 3 -1

1 -2 -1

a alternativa é a C

3) C

4) log2 = x; log3 = y

log375 = log (3 53) = log3 + log53 = log3 + 3 log5 =

10

2

log3 + 3 (1 - log2) = log3 + 3 - 3 log2 = y - 3x + 3


5) (log ) (log ) (log ) =

log2 log5 log3

log9 log2 log5

log2 log5 log3 log2 log5 log3 1

log32 log2 log5 2.log3 log2 log5 2


6) log = a e log = b

log log log

loglog log

2 log


x =

= ==

( )][

= = = =

=

=

2

9

5

2

3

5

1

log3 + 3 = log3 + 3 (log10 - log2) =

3

15

2

15

2

9

2

15

2

15

3

15

2

15

9

15

32

15

b

2a

=


7)

a) log2,61 c = 0

b) log0,012 c = -2

c) log0,5 c = -1

d) log20 c = 1

e) log 12 log2,4 c = 0

5

f) log2,168 c = 0

8)

a) log13

mantissa: 0,1139

b) log201

mantissa: 0,3032

c) log 0,2

mantissa: 0,30103

d) log 2,16

mantissa: 0,33445

e) log25

mantissa: 0,3979

=






13. Juros CompostosRoberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução

No regime de capitalização composta os juros de cada período são calculados da seguinte maneira:

C = M0 M1 = M0 + J1 M2 = M1 + J2 M3 = M2 + J3 ...

1 2 3 J1 = M0.i J2 = M1.i J3 = M2.i...

Calculando os montantes a partir da época zero e substituindo o resultado obtido, numa época, tem-se no montante seguinte:

M0 = C M1 = M0 + M0 i = M0 (1 + i) = C (1 + i) M2 = M1 + M1 i = M1 (1 + i) = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i)2

M3 = M2 + M2 i = M2 (1 + i) = C (1 + i)2 (1 + i) = C (1 + i)3

Podemos escrever para a época n:

Montante no final de n períodos:M = C (1 + i)n

Os juros obtidos no final de n períodos serão dados por:

J = M - C J = C (1 + i)n - C J = C [(1 + i)n - 1]


1) Um capital de R$ 2.000,00, foi aplicado a uma taxa de 2% a.m. durante 8 meses. Calcular o montante.

1º. Processo (com o uso da tabela) C = R$ 2.000,00 i = 2% a.m. = 0,02 a.m. n = 8 meses

M = C (1 + i)n

M = 2.000 (1 + 0,02)8


M = ? M = 2.000 (1,02)8

M = 2.000 1,17 M = 2.343,32

2º. Processo: com uso de logaritmos.

M = C (1 + i)n

M = 2.000 (1 + 0,02)8

M = 2.000 (1,02)8

log M = log [2.000 (1,02)8]log M = log 2.000 + log (1,02)8

log M = log 2.000 + 8 log 1,02 log M = 3,3010 + 8 0,0086 log M = 3,3010 + 0,0688log M = 3,3698 M = 10 3,3698= 2.343,15

2) Durante quanto tempo se deve aplicar um capital de R$ 3.000,00 a uma taxa de 3% a.m., para produzir um montante de R$ 6.000,00.

Solução: com uso de logaritmos: n = ? C = R$ 3.000,00 i = 3% a.m. = 0,03 a.m. M = R$ 6.000,00

M = C (1 + i)n

6.000 = 3.000 (1 + 0,03)n

log6= log [3 (1,03)n]log6 = log3 + log (1,03)n

log6 - log3 = n log (1,03)

mesesn

n

5,230128,0

47712,077815,0

03,1log

3log6log

3) Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a juros compostos durante 3 meses, obtendo-se o montante de R$ 4.500,00. Calcule a taxa mensal de aplicação.

Solução:C = R$ 2.000,00 n = 3 meses M = R$ 4.500,00 i = ?

M = C (1+ i)n

4.500 = 2.000 (1 + i)3

= (1 + i)3

2,25 = (1 + i)3

3 2,25 = 3 (1+i)3

2,25 3

1

= 1 + i

1,31 = 1+i i = 1,31-1 i = 0,31 a. m. i = 31% a. m.

45002000


2º processo : ( com o uso de logarítimos)

M= C.(1+i)n

4500 = 2000 (1+i)3

log 4500 = log [ 2000. (1+i)3]

log 4500 = log 2000 + log (1+i)3

log 4500 – log 2000 = log (1+i)3

2000

4500

log 2,25 = log (1 + i)3

2,25 = (1 + i)3

3 2,25 = 3 (1 + i)3

1 + i = 2,25 0,333...

1 + i = 1,31

i = 1,31 - 1

i = 0,31 a.m. ou

i = 31% a.m.

4) Calcular os juros compostos de um capital de R$6.000,00 aplicado por 5 meses, a uma taxa 6% a.a.

Solução:J = ? C = R$ 6.000,00 n = 5 meses

i = 6%a.a.= ..005,012

06,0ma

J = C [(1 + i)n - 1] J = 6.000 [(1 + 0,005)5 - 1] J = 6.000 [(1,005)5 - 1] J = 6.000 [1,025 - 1] J = 6.000 0,025 J = 151,50


1) João colocou R$ 10.000,00 em um banco, a juros compostos de 8% a.a., capitalizados anualmente. Ao final de 2 anos obteve juros no valor de:

2) Para um capital de R$ 200,00. Calcule o montante em cada caso: a) n = 15 meses e i = 24% a.a. b) n = 18 meses e i = 72% a.a.

3) Para um capital de R$ 1.000,00. Calcule a taxa i em cada caso: a) J = R$ 200,00 e n = 2 anos. b) J = R$ 105,00 e n = 3 meses.

log = log (1+i)3


4) Maria aplicou seu capital durante 3 anos, a taxa nominal de 12% a.a., no regime de juros simples. Caso houvesse aplicado a juros compostos, à mesma taxa, com capitalização semestral, teria recebido R$ 2.633,36 a mais. Quanto recebeu de juros?

5) Qual o capital que, aplicado a juros compostos durante 3 meses, com capitalização anual, a taxa de 5% a.a. produziu um montante de R$ 322.102,00?

6) Para um capital de R$ 3.000,00. Calcule n em cada caso: a) J = R$ 918,00 e i = 8,5% a.m. b) J = R$ 1.106,60 e i = 6,8% a.m.

7) Uma geladeira custa R$ 720,00 à vista e pode ser paga em duas prestações mensais iguais, sendo paga a primeira prestação no ato da compra. Se os juros (compostos) são de 25% a.m., o valor de cada prestação é de:

8) Um capital de R$ 3.000,00 esteve aplicado a taxa mensal de 2% a.m. num regime de capitalização composta. Após um período de 5 meses, os juros dessa aplicação serão de:

9) Um capital cresce sucessiva e cumulativamente durante 3 anos, na base de 10% a.a. Seu montante final é: a) 30% superior ao capital inicial; b) 130% do valor do capital inicial; c) aproximadamente 150% do capital inicial; d) aproximadamente 133% do capital inicial.

10) Uma televisão foi adquirida através de um plano sem entrada em três prestações mensais e iguais e consecutivas de R$ 120,00 cada uma, sendo a primeira a trinta dias da data da celebração do contrato. Admitindo-se uma taxa de 5% a.m., e capitalização composta, o valor desse bem na data do contrato é:

2. Taxas equivalentes

Duas ou mais taxas de juros são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, em um mesmo período de tempo, produzem montantes iguais.

Exemplo Calcular o montante produzido por um capital de R$ 1.000,00 durante 1 ano, nas seguintes

condições:

a) 1% a.m. b) 13% a.a.

a) M1 = C . (1+i)n => M1 = 1.000 (1+0,01)12 => M1 = 1.000 . (1,01)12 => M1 =1.000 . 1,13 => M1 = 1.130 b) M2 = C (1+i )n => M2 = 1.000 (1+0,13)1 => M2 = 1.000 . 1,13 => M2 = 1.130

As taxas são equivalentes pois produziram o mesmo montante ao final do período de aplicação.

(1 + id)360 = (1 + is)

2 = (1 + it)4 = (1 + iM)12 = (1 + iA)1

id: taxa diária de juros compostos;


iM: taxa mensal de juros compostos; it: taxa trimestral de juros compostos; is: taxa semestral de juros compostos; iA: taxa anual de juros compostos.


1) Qual a taxa semestral equivalente a 6% a.a.?

(1 + iA) = (1 + is)2

1 + 0,06 = (1 + is)2

2)1(06,1si

1 + is = 1,0295

is = 1,0295 - 1

is = 0,0295 ou

is = 2,95% a.s.

2) Qual a taxa anual equivalente a 4% a.m.?

(1 + iA) = (1 + iM)12

1 + iA = (1 + 0,04)12

iA = (1,04)12 - 1

iA = 1,60103-1

iA = 0,60103 ou

iA = 60,10% a.a.

3. Taxa Nominal e Efetiva

3.1. Taxa Nominal

É a taxa em que o período de capitalização é diferente do período a que se refere a taxa.

Exemplos 10% a.a. capitalizados trimestralmente;15% a.a. capitalizados mensalmente;

3.2. Cálculo da taxa efetiva

i: taxa efetiva no período inteiro; sendo iK: taxa nominal correspondente a i; K: número de capitalizações no período;

k

iik



1) Qual a taxa efetiva relativa à taxa nominal de 6% a.a. capitalizada mensalmente?

005,012

06,0

k

ii

k

i = 0,5% a.m.

2) Qual a taxa efetiva anual, relativa à taxa de 12% a.a., com capitalização mensal?

01,012

12,0

k

ii

k

i = 1% a.m.

(1 + iM)12 = (1 + iA)

(1 + 0,01)12 = 1 + iA

iA = (1,01)12 - 1

iA = 1,13 - 1

iA = 0,13 ou

iA = 13% a.a.


11) Se uma caderneta de poupança, em regime de capitalização composta, apresentou um rendimento de 12% num mês e 15% no mês seguinte, o rendimento total desse bimestre foi de:

12) Ache a taxa efetiva de juros anuais equivalente as seguintes taxas efetivas:a) 2% a.s. b) 3% a.m.

13) Qual a taxa bimestral equivalente aos juros compostos de 10% a.a.?

14) Qual a taxa anual equivalente aos juros compostos a 2% a.s.? 15) Um capital de R$ 1.000,00 vai ser aplicado a taxa de juros compostos de 2% a.t. ou 10% a.a.

Qual aplicação renderá mais?

16) Uma instituição financeira realiza um empréstimo a um cliente, sendo a taxa de juros compostos de 12% a.a., com capitalização mensal. Pergunta-se: a) Qual a taxa efetiva mensal a ser paga pelo cliente? b) Qual a taxa efetiva anual a ser paga pelo cliente?


1) A aplicação de R$ 5.000,00 a taxa de juros compostos de 20% a.m. irá gerar, após 4 meses, o montante de: a) R$ 10.358,00 c) R$ 10.378,00 e) n.r.a. b) R$ 10.368,00 d) R$ 10.388,00

2) Considerando um depósito de R$ 5.000,00 em um banco que lhe pague juros compostos de 6% a.a., calcule os juros e o montante após decorrido o prazo de 1 ano.


3) O capital de R$ 10.000,00, colocado a juros compostos, capitalizados mensalmente, durante 3 meses, elevou-se no final desse prazo para R$ 15.000,00. Calcule a respectiva taxa de juros.

4) Certo capital foi colocado a juros compostos de 12% a.a., com capitalização semestral, durante 2 anos. Sabendo que rendeu R$ 2.600,00 de juros, qual o montante obtido?

5) Um capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa de 8% a.a., com capitalização trimestral, durante 1 ano e meio. Calcule os juros obtidos.

6) Um capital C foi aplicado, a juros compostos, a uma taxa i dada para um certo período. O montante no fim de n períodos é M. O capital C pode ser determinado pela seguinte expressão:

a) M (1 - i)n b) M (1 + i)n c)ni

M

)1( d)

ni

M

)1 e) n.r.a.

7) Uma pessoa precisa de R$ 6.000,00 por dois anos. Oferecem-lhe o dinheiro com as seguintes taxas de juros:

2% compostos trimestralmente; 2% compostos bimestralmente; 2% ao mês a juros simples.

Qual é a melhor opção?

8) Calcular a taxa anual de juros compostos, equivalente, a:

a)10% a.s. b) 5% a.t.

9) Calcular a taxa nominal e a efetiva anual correspondentes a 1,5% a.m.


1) C = R$ 5.000,00 M = C (1 + i)n

M = ? M = 5000 (1 + 0,2)4

i = 20% a.m. = 0,2 a.m. M = 5000 (1,2)4

n = 4 meses M = 5000 2,07

M = 10.368,00


2) C = R$ 5.000,00 M = C (1 + i)n

i = 6% a.a. M = 5000 (1 + 0,06)1

J = ? M = 5000 1,06

M = ? M = 5300

n = 1 ano J = C [(1 + i)n - 1]

J = 5000 [(1 + 0,06)1 - 1]

J = 5000 [1,06 - 1]

J = 5000 0,06

J = 300,00

3) C = R$ 10.000,00 M = C (1 + i)n

n = 3 meses 15000 = 10.000 (1 + i)3


333 15,1 i

M = R$ 15.000,00 log15 = log [10 (1 + i)3]

i = ? log15 = log10 + log (1 + i)3

log15 - log10 = log (1 + i)3

log15 log (1 + i)3

10

log1,5 = log (1 + i)3

1,5 = (1 + i)3

1 + i = (1,5)0,333...

1 + i = 1,14

i = 1,14 - 1

i = 0,14

i = 14% a.m.

4)2

12i = C [(1 + i)n - 1]

26,0

2600C

n = 4 sem. 2600 = C [(1 + 0,06)4 - 1] M = J + C

J = R$ 2.600,00 2600 = C [(1,06)4 - 1] M = 2.600 + 10.000

C = ? 2600 = C [1,26 - 1] M = 12.600

2600 = C 0,26

5) C = R$ 1.000, 00 J = C [(1 + i)n - 1]

J = 1000 [(1 + 0,02)6 - 1]

J = 1000 [(1,02)6 - 1]

J = 1000 [1,13 - 1]

J = 1000 0,13

J = 130

6) d

7) a) i = 2% a.t. J = C [(1 + i)n - 1]

n = 8 trimestres J = 6000 [(1 + 0,02)8 - 1]

C = R$ 6.000,00 J = 6000 [(1,02)8 - 1]

J = ? J = 6000 [1,17 - 1]

J = 6000 0,17

J = 1.020

b) i = 2% a.b. J = C [(1 + i)n - 1]

n = 12 bim J = 6000 [(1 + 0,02)12 - 1]

C = R$ 6.000,00 J = 6000 [1,27 - 1]

J = ? J = 6000 0,27

J = 1.620

c) J = C i n

J = 6000 0,02 24

J = 2.880,00

=

= 2% a.t.

= 6% a.s.

C = 10.000

4

8i

trimestren 63

18


R.: A melhor opção é 2% ao mês a juros simples.

8) a) (1 + is)2 = 1 + iA b) (1 + it)

4 = 1 + iA (1 + 0,1)2 = 1 + iA (1 + 0,05)4 = 1 + iA (1,1)2 = 1 + iA (1,05)4 = 1 + iA 1,21 = 1 + iA 1,22 = 1 + iA 1,21 - 1 = iA 1,22 -1 = iA i = 0,21 iA = 0,22

i = 21% a.a. iA = 22% a.a.

9) taxa nominal: 1,5 x 12 = 18% a.a.

(1 + iA) = (1 + im)12

(1 + iA) = (1 + 0,015)12

(1 + iA) = (1,015)12

1 + iA = 1,20

iA = 1,20 - 1

iA = 0,20 iA = 20% a.a.






14. Desconto CompostoRoberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução

A idéia de desconto em juros compostos é igual ao regime de juros simples: corresponde ao abatimento que uma pessoa física ou jurídica ganha ao quitar um título de crédito antes de seu vencimento.

Desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual.

Em desconto composto temos dois tipos: o racional e o comercial.

Como o desconto comercial composto é pouco utilizado no sistema Financeiro Brasileiro, ficaremos limitados ao estudo do desconto racional composto.

2. Desconto Racional Composto

É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual, quando uma dívida é quitada antes de seu vencimento.

dr = N - A

Como se trata de desconto racional, a fórmula para o valor atual pode ser obtida pela relação do montante composto.

M = C (1 + i)n

fazendo M = N e C = A, teremos:

nr

n

i

NAouiAN

)1()1(

n

nr

r

iNi

NNd

ANd

)1(1)1(

Simbologia utilizada em desconto composto: N: Valor nominal; Ar: Valor atual racional; i; Taxa de desconto composto.


1) Calcule o valor atual de um título de crédito de R$ 1.200,00 quitado 2 meses antes de seu vencimento, a taxa de desconto composto de 1,5% a.m.


Solução:

mai

mesesn

RN

A

.%5,1

2

00,200,1$

?

05,165.103,1

200.1

)015,1(

200.1

)015,01(

200.1

)1(

2

2

AA

A

i

NA

n

2) Determinar o desconto racional composto de um título de R$ 6.000,00 vencível em 2 anos, a taxa de 2% a.a.

Solução:

..%2

2

00,000.6$

aai

anosn

RN

99,232

01,767.5000.6

0404,1

000.6000.6

)02,01(

000.6000.6

)1(

2

r

r

r

r

nr

d

d

d

d

i

NNd

3) desconto racional composto de um título de crédito no valor nominal de R$ 1.200,00 foi de R$ 200,00. Sabendo que a taxa de desconto foi de 1,5% a.m., qual foi o prazo de antecipação do pagamento?

Solução:

?

.%5,1

00,200$

00,200.1$

n

mai

Rd

RN

r

mesesn

n

i

Nnd

n

n

n

n

n

n

n

nr

18,120065,0

0792,0

015,1log

2,1log

2,1log)015,1log(

2,1log)015,1log(

2,1)015,1(

10

12)015,1(

12)015,1.(10

)015,1(

12001000

)015,1(

12001200200

)015,01(

12001200200

)1(


4) Um título de crédito no valor de R$ 800,00 com vencimento para 4 meses, é substituído por outro com vencimento para 2 meses. Sabendo-se que a taxa de juros é de 2% a.m., qual é o valor nominal do novo título?

Solução:

..%2

4

00,800$

mai

mesesn

RN

..%2

2

?'

mai

mesesn

N

'AA

96,768'0824,1

32,832'

8000404,1'0824,1

0404,1

'

0824,1

800

)02,1(

'

)02,1(

800

)02,01(

'

)02,1(

800

)02,01(

'

)02,01(

800

24

24

24

NN

N

N

N

N

N


1) Um título de crédito de valor nominal igual a R$ 1.500,00 é quitado 2 meses antes do vencimento, a taxa de desconto racional composto de 1% a.m. Calcule o valor atual do título.

2) Calcule o desconto composto de um título de crédito de R$ 2.000,00 que foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, a taxa de 1,5% a.m.?

3) Complete o quadro abaixo.

Valor nominal(R$)

Taxa(% a.m.)

Período(meses)

desconto composto (R$)

500,00 1 2 10 1 600,00

400,00 3 40,00 800,00 0,5 200,00

4) Uma loja de tecidos resolve quitar um título de R$ 2.000,00 com a antecipação de 2 anos. A firma credora do título propõe um pagamento de R$ 1.650,00 pela mesma. Qual a taxa de desconto composto?

5) Recebi R$ 300,00 de desconto composto pela antecipação de 1 ano, de um título de crédito no valor de R$ 1.800,00. Qual foi a taxa de desconto?


6) Um título de crédito no valor de R$ 1.800,00 foi resgatado antes do seu vencimento por R$ 1.200,00. Calcular o tempo de antecipação do resgate, sabendo-se que a taxa do desconto foi de 2% a.a., capitalizados anualmente.

7) Uma pessoa, jurídica que deve um título de crédito de R$ 6.000,00 com vencimento para 2 meses, deseja substituí-lo por outro com vencimento para 4 meses. Supondo uma taxa de desconto composto de 1,5% a.m., calcule o valor nominal do novo título.

8) Uma loja tem 2 títulos de crédito de valores nominais iguais a um de R$ 1.000,00 e R$ 1.200,00 com vencimentos para 1 mês e 2 meses respectivamente. Sabendo que o dono da loja não possui dinheiro, propõe a substituição desses dois títulos por um só, dentro de 3 meses, e a taxa de desconto composto de 2% a.m.. Qual é o valor nominal desse novo título?


1) Desejo descontar um título de crédito de R$ 2.000,00 resgatado 2 meses antes de seu vencimento. Qual o valor atual do mesmo, descontado a uma taxa de 10% a.a.?

2) Qual será o desconto composto que um credor dá pelo débito de R$ 1.600,00 com a antecipação de 1 ano, a taxa de 1,5% a.m.?

3) valor atual de um título é de R$ 1.300,00 e a taxa de desconto composto é de 2,5% a.a., com a antecipação de 6 meses. Qual é o valor nominal do mesmo?

4) Uma loja resgata um título no valor de R$ 3.000,00 pelo valor atual de R$ 2.400,00. Como o tempo de antecipação foi de 7 meses, qual é a taxa de desconto?

5) Um título de crédito de R$ 1.800,00 com vencimento para 1 ano será substituído por outro para 2 anos. Calcular o valor nominal do novo título, empregando a taxa de 2% a.a. com capitalizações semestrais.

6) Uma moto está sendo vendida com uma entrada de R$ 1.600,00 mais uma prestação de R$ 250,00 para 30 dias e outra de R$ 300,00 para 60 dias. Encontre o valor da moto, considerando a taxa de juros de 2,5% a.m.

6) (Receita Federal) Um equipamento que custa, a vista R$ 1.400.000,00 está sendo vendido com financiamento, nas seguintes condições: entrada igual a 30% do preço a vista e o saldo em duas parcelas iguais, a taxa de juro compostos de 7% a.m. Se a primeira parcela deverá ser paga 30 dias após o pagamento da entrada e a segunda parcela 60 dias após a primeira, o valor de cada parcela deverá ser de:



1) N = R$ 2.000,00

n = 2 meses = ano

A = ?

i = 10% a.a.

2) dr = ?

N = R$ 1.600,00

n = 1 ano = 12 meses

i = 1,5% a.m.

3) A = R$ 1.300,00

i = 2,5% a.a.

n = 6 meses = 0,5 ano

N = ?

4) N = R$ 3.000,00

A = R$ 2.400,00

n = 7 meses

i = ?

A =ni

N

)1(

6

1

61

)1,01(

2000A

17,.1,1

2000

78,196902,1

2000AA

67,266

33,1331600

20,1

600.11600

)015,01(

600.1600.1

)1(

12

r

r

r

r

nr

d

d

d

d

i

NNd

15,1316

1300.01.11300

01,11300

)025,1(1300

)11300

)1(

5,0

N

N

N

i

N

i

NA

n

n

..%3

03,0

103,1

03,11

25,11

25,11

25,1)1(

2400

3000)1(

3000)1(240

)1(

3000240

)1(

14,0

77 7

7

7

7

71

mai

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

NA

n


5) N = R$ 1.800,00 N’ =

n = 2 sem. n = 4 sem.

i = 1% a.s.

A = A’

6)

7)

..%12

2sai

29,835.102,1

1800.04,1'

04,1

'

02,1

1800

)01,1(

'

)1,01(

1800

)01,01()01,01(

1800

)1(

'

)1(

42

42

'

NN

N

N

i

N

i

N

nn

61,129.271,28590,2431600

05,1

30090,2431600

)025,1(

300

025,1

2501600

)025,01(

300

)025,01(

2501600

2

21

xx

x

x

x

07.2

000.200.117.1

07,2000.200.117.1

07,2000.980.14,1

07,2)07,1(.000.980

)07,1(

107,1000.980

)07,1(07,1000.420000.400.1

)07,01()07,01(000.420000.400.1

2

2

2

21

x

x

x

x

xx

xx

xx

x = 539.710,14






15. Capitalização e AmortizaçãoRoberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução

Quando queremos constituir um capital, para aquisição de um bem qualquer, devemos depositar periodicamente uma quantia fixa, em uma instituição financeira. Este exemplo é de capitalização.

Por amortização entendemos a ação de pagar uma dívida, em épocas distintas.

A sucessão de pagamentos para constituir um capital ou para amortizar uma divida é denominada de renda.

As rendas podem ser classificadas da seguinte forma:

a) quanto ao prazo:

As rendas são denominadas temporárias quando o número de termos ou parcelas é finito e perpétuas quando o número de termos é infinito.

b) quanto a periodicidade:

As rendas são denominadas periódicas quando o intervalo de tempo entre dois pagamentos consecutivos são iguais e não periódicas quando esses intervalos são diferentes.

c) quanto ao valor dos termos:

As rendas são consideradas constantes quando todos os pagamentos são iguais. Em caso contrário, ou seja, quando os pagamentos são diferentes entre si, são chamadas de rendas variáveis.

2. Capitalização composta

2.1. Rendas imediatas

As rendas imediatas estão classificadas em antecipadas e postecipadas. Uma renda é imediata postecipada quando os pagamentos ou recebimentos ocorrem no final de cada período.

Um fluxo de caixa seria:

T1 T2 T3 Tn-1 Tn


0 1 2 3.........n-1 n

Considere o problema abaixo:

Uma pessoa deposita em um banco, no fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 200,00. Determine o montante da renda, sabendo que essa instituição financeira paga juros compostos de 1% a.m. capitalizados mensalmente.

Calculando o montante teremos:

M = 200 + 200 (1 + 0,01) + 200 (1 + 0,01)2 + 200 (1 + 0,01)3 + 200 (1 + 0,01)4

M = 200 + [1 + (1 + 0,01) + (1 + 0,01)2 + (1 + 0,01)3 + (1 + 0,01)4]

A soma dos termos entre colchetes é uma PG onde: a1 = 1 q = (1 + 0,01) e an = (1 +0,01)4

Calculando a soma teremos:

501,0

05,0

01,0

105,1

01,1

1)01,1(

1)01,01(

1)01,01(.1

1

)1.(

55

1

nnnnn

n

n

SSSSS

q

qaS

Calculando o montante:

M = C Sn M = 200 5 M = 1.000

2.1.1. Fórmula do montante de uma renda imediata

O montante M de uma renda certa é a soma dos montantes compostos de diversos pagamentos.

Mn = C + C (1 + i)1 + C (1 + i)2 + ............+ C (1+ i)n

Mn = C [1 + (1+ i) 2 + (1+ i)3 + ...............+ (1 + i)n]

A soma dos termos acima formam uma PG, onde:

a1 = 1 e q = 1 + i e an = (1 + i)n

i

iS

i

iS

q

qaS

n

n

n

n

n

n

1)1(

11

1)1(.1

1

)1(1


O montante será calculado pela fórmula:

i

iCM

n 1)1(.

1

1)1( nifator de acumulação de capital de uma série de pagamentos. Indicamos i

por S n i

Portanto a fórmula do montante vai ficar:

M = C S n i


1) Uma pessoa deposita R$ 600,00 mensalmente. Sabendo-se que esse capital foi aplicado a uma taxa de 1% a.m., quanto possuirá no final de um ano e meio?

Solução:C = R$ 600,00 i = 1% a.m. = 0,01 a.m. n = 18 meses

Mn = C S n i

Mn = 600 S 18 0,01

Mn = 600 19,6147

Mn = 11.768,82

2) Qual a importância que uma pessoa deve depositar em um banco, no final de cada semestre, a taxa de 5% a.s., capitalizados semestralmente, de tal modo que ao fazer o sexto depósito forme o capital de R$ 2.000,00?

Solução:C = ? i = 5% a.s. = 0,05 a.s. Mn = R$ 2.000,00

Mn = C S n i

2000 = C S6 0,05

2.000 = C 6,80191

04,29480191,6

000.2CC


3) Calcule a taxa em que uma pessoa efetuando depósitos mensais no valor de R$ 100,00 forma o montante de R$ 530,91, ao fazer o quinto depósito.

Solução:C = R$ 100,00 Mn = R$ 530,91 n = 5 meses i = ?

Mn = C.S n i 530,91 = 100 S

5 i

S = 100

91,530

5 i

S =5,3091 5 i

Consultando a tabela financeira, para n = 5, S = 5,3091, teremos i = 3% a.m. 5 i

4) Quantas prestações mensais imediatas de R$ 150,00 devem ser colocadas a taxa de 1% a.m., a fim de se formar um montante de R$ 922,80?

Solução:C = R$ 150,00 n = ? i = 1% a.m. Mn = R$ 922,80

Mn = C S n i

922,80 = 150 S n i

S = 150

80,922

n 0,01

S = 6,1520 n 0,01

Consultando a tabela financeira para S = 6,1520 e i = 1% a.m. teremos: n i

6,1520 n = 6

Logo serão necessárias 6 prestações mensais.



1) Determinar o valor da prestação que deverá ser capitalizada mensalmente, a 3% a.m. para que se tenha, no final de 12 meses, um montante de R$ 4.000,00.

2) Qual o montante de 5 aplicações mensais de R$ 800,00 cada uma, a taxa mensal de 1,5%?

3) Quantos pagamentos de R$ 1.224,31 serão necessários, considerando uma taxa de 3% a.m. para constituir um capital de R$ 6.500,00?

4) Uma pessoa que faz uma aplicação de R$ 1.000,00 em 10 meses, gera um montante de R$ 12.578,00. Calcular a respectiva taxa mensal.

2.2. Rendas antecipadas

Denominamos de rendas antecipadas, quando os pagamentos ou recebimentos dos termos ocorrem no início de cada mês respectivo.

No caso de capitalização antecipada começa a ocorrer, a partir do contrato, como mostra o fluxo de caixa abaixo;

T1 T2 T3 T4 ................ Tn

0 1 2 3 .................. n-1 n


Uma pessoa deposita em uma caderneta de poupança R$ 200,00, no início de cada mês, durante 5 meses. Calcule o montante da renda, sabendo que essa instituição paga juros compostos de 1% a.m., capitalizados mensalmente.

Solução:

C = R$ 200,00

n = 5 meses

i = 1% a.m. = 0,01 a.m. __Mn = ? __Mn é o montante de uma renda antecipada. __Mn = 200 (1+ 0,01)+ 200 (1+ 0,01)2 +200(1+ 0,01)3+200(1+ 0,01)4+200(1+ 0,01)5

Somando 200 a ambos os membros: __Mn+200=200+200(1+0,01)+200(1+0,01)2+200(1+0,01)3+200(1+0,01)4+200(1+0,01)5

Observando o segundo membro da igualdade, teremos o montante de uma renda imediata de n + 1 termos:__


Mn + 200 = 200 S n+1 i

__Mn = 200 S - 200 5+1 i

__Mn = 200 (S - 1) 5+1 i __Mn = 200 (S - 1) 5+1 0,01 __Mn = 200 (S - 1) 6 0,01 __Mn = 200 (6,15202 - 1) __Mn = 200 5,15202 __Mn = 1.030,40

2.2.1. Fórmula de um montante de uma renda antecipada.__Mn = C (1 + i) + C (1 + i)2 + .......... + C (1 + i)n

Somando C a ambos os membros: __Mn + C = C + C (1 + i) + C (1 + i)2 + .......... C (1 + i) n

__Mn + C = C [1 + (1 + i) + (1 + i)2 + ........... + (1 + i)n]

Observando o segundo membro da igualdade temos o montante de uma renda imediata de n+1 termos.__Mn + C = C S n+1 i

Mn = C S - C n+1 i __Mn = C (S - 1) n+1 i


1) Determine o montante produzido por 8 parcelas de R$ 500,00 colocadas mensalmente a juros de 1,5% a.m. sendo a primeira parcela antecipada.


Solução:C = R$ 500,00 n = 8 i = 1,5% a.m.

__Mn = C (S - 1) __ n+1 i Mn = 500 (S - 1) 8+1 0,015

__Mn = 500 (S - 1) 9 0,015__Mn = 500 (9,5593 -1) __Mn = 500 8,5593 __ Mn = 4.279,65

2) Uma pessoa deseja fazer depósitos no início de cada bimestre, em um banco que paga 12% a.a. para constituir o montante de R$ 1.500,00 no fim de 1 ano sendo os juros capitalizados bimestralmente.

Solução:C = ?

500.1$RM n

n = 1 ano = 12 meses = 6 bim. i = 2% ao bimestre

nM = C.(S -1)

n+1 i

1.500= C.(S -1) 6+1 0,02

1.500 = C.(S -1) 7 0,02 1.500 = C.(7,43428 – 1) 1.500 = C. 6,43428

C= 13,23343428,6

500.1C

3) Uma empresa realizou 6 depósitos trimestrais antecipados de R$ 405,74 e obteve o montante de R$ 3.000,00. Qual foi a taxa de juro?

Solução:n = 6 trimestres C = R$ 405,74 Mn = R$ 3.000,00 i = ?

Mn = C (S -1) n+1 i

3.000 = 405,74 . (S - 1) 6+1 i


3.000 = 405,74 (S - 1) 7 i

74,405

3000S -1

7 i

7,39 = S - 1 7 i

7,39 + 1 = S 7 i 8,39 = S 7 i

Consultando a tabela financeira para S = 8,39 e n = 7, teremos i = 6% a.t. 7 i

4) Quantos depósitos mensais antecipados de R$ 350,00 são necessários para constituir um montante de R$ 3.802,13 a taxa de 1,5% a.m. capitalizados mensalmente?

Solução:n = ? C = R$ 350,00 Mn = R$ 3.802,13 i = 1,5% a.m. = 0,015 a.m.

__Mn = C (S - 1) n+1 i

3.802,13 = 350 (S - 1) n+1 0,015

350

13,802.3 S

n+1 0,015 -1

10,86 = S n+1 0,015

10,86 + 1 = S n+1 0,015

11,86 = S n+1 0,015

Consultando a tabela financeira para S = 11,86 e i = 1,5% a.m., teremos n = 10.

n + 1 = 11 n = 11 - 1 n = 10



5) Uma pessoa deseja capitalizar de uma forma antecipada 5 prestações mensais de R$ 250,00 a 2% a.m. Qual o montante ao final da aplicação?

6) Um montante de R$ 3.200,00 foi capitalizado em 6 parcelas mensais, a taxa de 2%a.m., sendo a primeira capitalizada antecipadamente. Calcule o valor da prestação.

7) Calcule o número de termos de uma renda anual antecipada de termo R$ 250,00, cujo montante, a taxa de 1% a.a. é de R$ 1.288,00.

3. Amortização composta

3.1. Renda imediata

Considere o problema:

Uma pessoa tem uma dívida e deseja amortizar em 4 prestações mensais de R$ 200,00, sendo 1% a.m. a taxa de juros. Qual é o valor da dívida amortizada?

Solução:

N = R$ 200,00

i = 1% a.m. = 0,01 a.m.

n = 4 meses

O problema pede para calcular o valor atual das prestações na época zero. (no ato da compra e assinatura de contrato).

ni

NA

)1(

O valor atual da primeira prestação é de:

A1= 02,19801,1

200

)01,01(

200

)1(11111AAA

I

N

A2= 08,19602,1

200

)01,1(

200

)01,01(

200

)1(2222222AAAA

I

N

A3= 17,19403.1

200

)01,1(

200

)01,01(

200

)1(3333333AAAA

I

N


A4= 31,19204,1

200

)01,1(

200

)01,01(

200

)1(4444444AAAA

I

N

O valor atual de uma renda é calculado pela soma dos valores atuais dos seus termos, assim sendo teremos;

An = A1 + A2 + A3 + A4

An = 198,02 + 196,08 + 194,17 + 192,31 An = 780,58

3.1.1. Fórmula do valor atual de uma renda imediata

Seja An o valor atual de uma renda e A1; A2 ...... An valores atuais dos seus termos. Calculando a soma teremos:

An = A1 + A2 + ........... + An

nN

nn

iiiNA

i

N

i

N

i

NA

)1(

1.....

)1(

1

)1(

1

)1(.....

)1()1(

21

21

Os termos entre os colchetes formam uma PG onde: a1 =i1

1; q =

i1

1 e an =

ni)1(

1

Calculando a soma dos termos teremos:

ni1i

1ni1nS

i

i1

ni1

ni11

i1

1nS

i1

i

ni1

ni11

i1

1

nS

i1

i11

ni1

ni11

i1

1

nS

1i1

1

1

1

ni1

1

i1

1

nS

1q

1nq1a

nS

ii

in

n

.)1(

1)1(é denominado de fator de amortização e indicamos por a

An = N a



1) Calcule o valor de uma dívida que pode ser amortizada em 6 prestações mensais de R$ 120,00 cada uma, sendo 1% a.m. a taxa de juros?

Solução:N = R$ 120,00 i = 1% a.m. = 0,01 a.m. n = 6 meses

An = N . a n i An = 120 . a 6 0,01 An = 120 5,79548

An = 695,46

2) Qual o valor da prestação mensal para amortizar, com 6 prestações, um empréstimo de R$ 3.000,00 a juros de 2% a.m.?

Solução:

An = R$ 3.000,00 N = ? i = 2% a.m. n = 6 meses a = 5,60143

An = N a n i

3.000 = N a 6 0,02

3.000 = N 5,60143

N = 58,53560143,5

000.3N

3) Uma moto custa a vista, R$ 12.000,00. Para compra a prazo, é dado o seguinte plano de pagamento: 10% de entrada e o restante em 5 prestações mensais de R$ 2.494,53. Calcule a taxa de financiamento.

Solução:An = 12.000 0,9 = 10.800 N = 2.494,53 n = 5 meses i = ?

An = N a n i10.800 = 2.494,53 a 5 i

a = 53,494.2

800.10

5 i a = 4,33 5 i

Consultando a tabela financeira para a = 4,33 e n = 5, teremos i = 5% a.m. 5 i



8) Calcule o valor atual de uma anuidade periódica de R$ 1.200,00, nos seguintes casos:

taxa de juros prazo a)2% a.m. 18 meses b) 5% a.t. 6 trimestres

9) Paguei 10 prestações de R$ 150,00 num financiamento feito a base de 1% a.m. Qual o valor da dívida amortizada?

10) Comprei uma geladeira que à vista sairia por R$ 1.200,00, pagando em 6 prestações mensais de R$ 221,52. Qual foi a taxa mensal de juros cobrada no financiamento?

11) Calcule o número de prestações mensais de R$ 245,32 pagarei uma dívida de R$ 1.500,00, se o financiamento foi feito a base de 3,5% a.m.?

12) Uma chácara é colocada a venda por R$ 80.000,00 a vista ou a prazo nas seguintes condições: 20% de entrada e o restante em 15 meses com juros de 2% a.m. Qual é o valor da prestação?

3.2. Renda Antecipada

Considere o seguinte problema:

Uma pessoa deseja amortizar uma dívida com 4 prestações mensais antecipadas de R$ 150,00, sendo 1% ao mês a taxa de juros?

Solução:

N = R$ 150,00

i = 1% a.m. = 0,01 a.m.

n = 4 meses

A primeira prestação vai ser paga no ato da compra, portanto seu valor é igual a 150.


63,14503,1

150

)01,1(

150

)01,01(

150

)1(

06,14702,1

150

)01,1(

150

)01,01(

150

)1(

51,14801,1

150

)01,01(

150

)1(

51,15001,1

150

)01,01(

150

)1(

)1(

3334

2223

112

01

1

i

NA

i

NA

i

NA

i

NA

i

NA

n

n

nA é o valor atual de uma renda antecipada assim sendo:

20,591

63,14506,14751,148150

4321

n

n

n

A

A

AAAAA

3.2.1. Fórmula do valor atual de uma renda antecipada

nni

N

i

N

i

NNA

)1(...

)1()1( 21

Subtraindo (N) a ambos os membros:

nn

nn

nn

iiiNNA

i

N

i

N

i

NNA

ii

N

i

NNNNA

)1(

1...

)1(

1

)1(

1

)1(...

)1()1(

)1(

1...

)1()1(

21

21

21

Os termos entre colchetes formam uma PG onde:

iqe

ia

ia

nn1

1

)1(

1;

)1(

111


ni1i

1ni1nS

i

i1

ni1

ni11

i1

1nS

i1

i

ni1

ni11

i1

1

nS

i1

i11

ni1

ni11

i1

1

nS

1i1

1

1

1

ni1

1

i1

1

nS

1q

1nq1a

nS

aii

in

n

.)1(

1)1(

n i

Em renda antecipada ocorre um pagamento no ato da compra e teremos n-1 prestações, a pagar: __An - N = N a n-1 i __an = N + N a n-i i

__An = N (a + 1) n-1 i


1) Determine o valor atual de uma anuidade antecipada de 8 termos mensais de R$ 150,00, sendo a taxa de 2% ao mês.

Solução:

..%2

8

00,150$

?

mai

mesesn

RN

An nA = N . (a + 1 )

n-1 i

nA = 150.(a +1)

8-1 0,02

nA = 150.(a +1)

7 0,02

nA = 150.(6,47199+1)

nA = 150.7,47199

nA = 1.120,80


2) Calcule o valor da prestação mensal antecipada para amortizar, com 5 pagamentos, realizado numa compra de R$ 600,00 sendo a taxa de juros de 1,5% a.m.

Solução

?

..%5,1

5

00,600$

N

mai

mesesn

RAn nA = N .(a +1)

n-1 i 600= N.(a +1)

5-1 0,015 600 = N. (a +1)

4 0,015 600 = N . (3,85438+1)

N = 60,123854338,4

600N

3) Quantas prestações semestrais antecipadas de R$ 120,00 serão necessárias para amortizar uma dívida no valor de R$ 857,35 com taxa de 10% ao semestre?

Solução:n = ? i = 10% ao semestreN = R$ 120,00

35,857$RAn

nA = N(a +1) n-1 i 857,35=120.(a +1) n-1 0,1

120

35,857a +1

n-1 0,1 7,14 = a +1 n-1 0,1 a = 7,14 - 1 n-1 0,1 a = 6,14n-1 0,1

Consultando a tabela financeira a = 6,14 e i = 10% teremos n-1 = 10 n-1 0,1


13) Calcule o valor atual de uma renda antecipada de 6 parcelas iguais de R$ 200,00 sendo a taxa de juro de 1% a.m.

14) Uma pessoa realizou um financiamento de R$ 6.000,00 feito em 8 parcelas mensais iguais com taxa de 2% ao mês. Calcular a parcela antecipada do financiamento.

N=11


15) Quantos pagamentos mensais antecipados de R$ 1.000,00 são necessários para se amortizar uma dívida de R$ 6.795,50 sendo a taxa de 12% ao ano, capitalizados mensalmente?

16) Uma televisão é vendida em 4 prestações mensais e iguais a R$ 300,00, sendo a primeira paga como entrada. Se a taxa de juros do financiamento é de 8% ao mês, calcule o preço a vista?

3.3. Rendas diferidas

Em rendas diferidas o primeiro pagamento ocorre após um período de carência. O número de períodos que antecede o primeiro vencimento é denominado de diferimento de renda.

Consideremos uma renda imediata de n termos e que apresenta um período de carência m, como mostra o esquema abaixo:

T1 T2 T3...............Tn

0 1 2 .............m m +1 m+2.......m+n-1 m+n

O valor atual de uma renda diferida de n termos com m períodos de carência é igual ao valor atual de uma renda de m+n termos menos o valor atual da renda de m termos.

m/An = N (a - a ) m+n i m i


1) Qual o valor de uma dívida amortizada em 4 prestações mensais de R$ 200,00, sendo a taxa de juros de 1% a.m., com uma carência de 2 meses?

Solução:

Indicamos renda diferida por m/An

Solução:N = R$ 200,00 n = 4 meses m = 2 meses i = 1% a.m. = 0,01 a.m. m/An = ?


m/An = 200 (a - a ) 4+2 0,01 2 0,01

m/An = 200 (a - a ) 4+2 0,01 2 0,01 m/An = 200 (5,79548 - 1,97040)

m/An = 200 3,82508 m/An = 765,02



1) Calcule o valor atual de uma renda de 6 termos mensais de R$ 180,00 com 2 meses de carência, sendo a taxa de juro de 2% a.m.

Solução:m/An = ? N = R$ 180,00 n = 6 meses m = 2 meses i = 2% a.m. = 0,02 a.m.


m/An = 180 (a - a ) 6+2 0,02 2 0,02

m/An = 180 (a - a ) 6+2 0,02 2 0,02

m/An = 180 (7,32548 - 1,94156)

m/An = 180 5,38 m/An = 969,10

2) Uma pessoa deseja amortizar uma dívida de R$ 3.000,00 com 5 prestações mensais. Qual o valor dessas prestações, sendo a taxa de juros igual a 1% ao mês e a carência de 2 meses?

Solução:m/An = R$ 3.000,00 N = ? i = 1% a.m. = 0,01 a.m. n = 5 meses m = 2 meses

m/An = N (a - a ) m+n i m i 3.000 = N . (a - a ) 5+2 0,01 2 0,01 3.000 = N (a - a ) 6+2 0,02 2 0,02

3.000 = N (6,72819 - 1,97040)

3.000 = N . 4,75779

75779.4

000.3N N = 630,54


17) Qual o valor de uma dívida assumida por uma empresa que pagou 8 prestações mensais de R$ 850,00, a taxa de juros de 2% ao mês, com um período de carência de 3 meses?

18) Qual o valor atual de uma dívida que deve ser amortizada em 5 prestações mensais de R$ 300,00, sendo de 3% ao mês a taxa de juros e pagando a primeira prestação 3 meses depois de realizado o empréstimo?

19) Uma loja em promoção anuncia: “compre e pague em 8 vezes. Leve hoje e só comece a pagar daqui a 2 meses”. Se a taxa de financiamento é de 1,5% ao mês, qual é o valor da prestação de uma secadora de roupa cujo preço a vista é de R$ 1.200,00?



1) Uma empresa deposita em uma caderneta de poupança R$ 50.000,00, no início de cada bimestre. Sendo a taxa de 18% a.a., capitalizada bimestralmente, calcular o montante no fim de 1 ano.

2) Uma pessoa deseja formar um fundo de provisões de forma que, depois do 8o depósito, possua o montante de R$ 1.500.000,00. Quanto deve depositar no fim de cada ano, em um banco que paga juros compostos de 9% a.a.?

3) Determine o montante de uma renda trimestral, antecipada, de R$ 120,00 a taxa de 12% ao ano, durante 2 anos?

4) Uma aplicação mensal de R$ 100,00 em 8 meses, gera um montante de R$ 958,00. Calcular a taxa mensal.

5) preço de uma moto à vista é de R$ 8.000,00. Um comprador dá 20% de entrada e o restante é financiado a uma taxa de juros de 2% ao mês em 6 meses. Calcule o valor da prestação mensal.

6) Um terreno é vendido com R$ 3.500,00 de entrada e o restante em 14 prestações mensais de R$ 300,00 cada. Calcular o valor à vista desse terreno, sendo usado a taxa de 24% ao ano, capitalizada mensalmente.

7) Calcule o valor de 6 prestações mensais na compra de um eletrodoméstico cujo preço à vista é de R$ 900,00, sabendo-se que o juro cobrado é de 1% ao mês e as prestações são antecipadas?

8) Quantos pagamentos mensais antecipados de R$ 150,00 são necessários para uma dívida de R$ 1.159,23, com taxa de juros de 12% ao ano, capitalizados mensalmente?

9) Uma televisão foi comprada com R$ 600,00 de entrada e 6 prestações mensais de R$ 100,00, diferidas de 3 meses. Sendo os juros de 2% a.m., qual o preço a vista da televisão?

10) Determinar o valor atual de uma renda mensal de 7 termos iguais a R$ 200,00 com carência de 3 meses, sendo de 3% a.m. a taxa de juros.

11) Uma agência vende um automóvel por R$ 12.000,00 e oferece dois planos de pagamentos:

Plano A: 10% de entrada e 10 prestações mensais iguais a R$ 1.140,29.

Plano B: 20% de entrada e 8 prestações mensais iguais de R$ 1.310,49.

Qual dos dois planos tem a menor taxa de juros mensais?

12) Dois automóveis iguais são vendidos por agências diferentes, de acordo com os planos abaixo:

Agência 1: R$ 5.000,00 de entrada e 20 prestações mensais de R$ 400,00;

Agência 2: R$ 3.000,00 de entrada e 30 prestações mensais de R$ 500,00;

Se a taxa de juros mensais de mercado for de 2%, qual das agências terá o menor preço à vista?



1) Mn = ? Mn = C S

C = R$ 50.000,00 Mn = 50.000 S

..%36

18bai Mn = 50.000 6,46841

n = 6 bim. Mn = 323.420,50

2) C = ? Mn = C S

M = R$ 1.500.000,00 1.500.000 = C S

n = 8 meses 1.500.000 = C 11,02847

i = 9% a.a. = 0,09 a.a. 61,011,136

02847,11

000.500.1CN

__ __

3) Mn = ? Mn = C (S - 1)

__

C = R$ 120,00 Mn = 120 (S - 1)

__

i = 4

12 = 3% a.a. Mn = 120 (10,15911 -1)

__

n = 8 trimestres Mn = 120 9,15911

__

Mn = 1.099,09

n i

6 0,03

n i

8 0,09

n+1 i

9 0,03


__

4) C = R$ 100,00 Mn = C (S - 1)

__

Mn = R$ 958,00 958 = 100 (S - 1 )

i = ? 958 = S -1

100

n = 8 meses 9,58 + 1 = S

S = 10,58

Consultando a tabela financeira p/ n = 9 e S = 10,58, teremos i = 4%.

5) Solução:

An = 8.000 0,8 = 6.400 An = N a

i = 2% a.m. = 0,02 a.m. 6.400 = N a

n = 6 meses 6.400 = N 5,60143

N = ? 60143,5

400.6

6) Solução:

entrada: R$ 3.500,00 An = N a

n = 14 An = 3.500 + 300 a

N = R$ 300,00 An = 3.500 + 300 12,10625

i = 12

24 = 2% a.m. An = 7.131,87

n i

6 0,02

n i

14 0,02

n+1 i

9 i

9 i

9 i

9 i

9 i

N = N = 1.142,56


7) Solução:

__ __

An = R$ 900,00 An = N (a +1)

N = ? 900 = N (a +1)

i = 1% a.m. 900 = N (4,85343 +1)

n = 6 85343,5

900

8) n = ?

__ __

An = R$ 1.159,23 An = N (a + 1)

N = R$ 150,00 1.159,23 = 150 (a +1)

i = 12

12 = 1% a.m.

150

23,159.1= a + 1

150

7,73 = a + 1

a = 7,73 - 1

a = 6,73

Consultando a tabela financeira a = 6,73 e i = 1%.

n - 1 = 7

n = 8

9) 600 + 100 (a - a ) =

600 + 100 (a - a ) =

600 + 100 (8,16224 - 2,8839) =

600 + 100 5,2783 =

600 + 527,83 = 1.127,83

n-1 0,01

6+3 0,02 3 0,02

9 0,02 3 0,02

n-1 i

5 0,01

n-1 i

n-1 0,01

n-1 0,01

n-1 0,01

n-1 0,01

n-1 0,01

N = N = 153,76


10) m/An = N (a - a ) =

m/An = 200 (a - a ) =

m/An = 200 (a - a ) =

m/An = 200 (8,53020 - 2,82861) =

m/An = 200 5,70159 =

m/An = 1.140,32

11) Plano A:

12.000 0,9 = 10.800

An = N a

10.800 = 1.140,29 a

a =29,140.1

800.10

a = 9,47

i = 1%

Plano B:

12.000 0,8 = 9,600

An = N a

9.600 = 1.310,49 a

a =49,310.1

600.9

a = 7,325

i = 2%

R.: O plano A tem a menor taxa.

12)

Agência 1

5.000 + 400 a =

5.000 + 400 16,351433 =

5.000 + 6.540,57 = 11.540,57

Agência 2

3.000 + 500 a =

3.000 + 500 22,396456 =

3.000 + 11.198,23 = 14.198,23

R.: Comprar o carro na agência 1 é a melhor opção.

20 0,02 30 0,02

m+n i m i

7+3 0,03 3 0,03

10 0,03 3 0,03

n i

10 i

10 i

10 i

n i

8 i

8 i

8 i






16. EmpréstimosRoberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução:

Quando uma pessoa física ou jurídica realiza um empréstimo para aquisição de um bem qualquer é esperada a devolução do capital acrescido de juros.

Neste capítulo estudaremos as maneiras mais comuns de pagamento de uma dívida. São os sistemas de amortização.

A distinção de um sistema de amortização do outro é a maneira de pagamento das prestações podendo ser constantes, variáveis ou até únicas, sendo composta de duas partes: juros e amortização.

2. Planos de amortização de empréstimos.

Quando quitamos um empréstimo, podemos abater no imposto de renda, os juros cobrados.

Denominaremos a amortização (A) e o juro (J) que estão compondo a prestação (R).

Antes de estudarmos os principais sistemas de amortização, vamos definir alguns termos importantes:

a) credor é o indivíduo que concede o empréstimo; b) devedor ou mutuário é a pessoa que recebe o empréstimo; c) IOF é o imposto sobre operações financeiras; d) Amortização (A) é o pagamento em prestações de um capital emprestado; e) Juros é a remuneração do capital; f) Prestação (R) é a composição da amortização com juros.

Os principais sistemas de amortização são: sistema francês; sistema de amortização constante; sistema de amortização misto.

2.1. Sistema Francês

No sistema francês de amortização o devedor paga, periodicamente as prestações que compreendem os juros e a amortização da dívida, de modo que efetuado o último pagamento, a dívida está quitada.

R = A + J


T T T ...... T T

0 1 2 3 ...... n-1 n

A dívida será dade pela seguinte relação;

D = R a n i onde:

D - dívida inicial

R - Prestação

a - fator de amortização n i Exemplo:

1) Uma pessoa adquire uma dívida no valor de R$ 4.000,00, que deverá ser amortizada, pelo método francês, com 5 prestações anuais, à taxa de 10% ao ano. Calcule o valor da prestação.

D = R$ 4.000,00 n = 5 i = 10% a.a.

D = R a n i

4.000 = R a 5 0,1

4.000 = R 3,79079

19,055.179079,3

000.4RR

2.1.1. Montagem de uma planilha de amortização

Período 1

O valor da primeira prestação é de R$ 1.055,19 com uma taxa de juro de 10% ao ano sobre o valor da dívida.

J1 = 10% de 4.000 J1 = 0,1 4.000 J1 = 400

A primeira amortização será calculada pela diferença entre o valor da prestação e os juros.

A1 = 1.055,19 - 400 A1 = 655,19

O saldo devedor do período 1 (D1)

D1 = 4.000 - 655,19 D1 = 3.344,81


Período 2

Após o pagamento da 1a. prestação o saldo devedor é de R$ 3.344,81. Os juros serão de:

J2 = 10% de 3.344,81 J2 = 0,1 3.344,81 J2 334,48

A segunda cota de amortização será calculada pela diferença entre a prestação e os juros do período 2.

A2 = 1.055,19 - 334,48 A2 = 720,71 D2 = 3.344,81 - 720,71 D2 = 2.624,10

Período 3

J3 = 10% de 2.624,10 J3 = 0,1 2624,10 J3 = 262,41 A3 = 1.055,19 - 262,41 A3 = 792,78 D3 = 2.624,10 - 792,78 D3 = 1.831,32

Período 4

J4 = 10% de 1.831,32 J4 = 0,1 1.831,32 J4 = 183,13 A4 = 1,055,19 - 183,13 A4 = 872,06 D4 = 1.831,32 - 872,06 D4 = 959,26

Período 5

J5 = 10% de 959,26 J5 = 0,1 959,26 J5 = 95,93 A5 = 1.055,19 - 95,93 A5 = 956,26 D5 = 959,26 - 959,26 D5 = 0

Período (n) Prestação (R) Juros (Jn) Amortização (An) Saldo devedor (Dn)

0 4.000

1 1.055,19 400 655,19 3.344,81

2 1.055,19 334,48 720,71 2.624,10

3 1.055,19 262,41 792,78 1.831,32

4 1.055,19 183,13 872,06 959,26

5 1.055,19 95,93 959,26 __

2.1.2. Tabela Price

O sistema Price de amortização é um caso particular do sistema de amortização francês e apresenta as seguintes características:

a) os pagamentos das prestações são mensais; b) a taxa de juros compostos é anual; c) no cálculo é utilizada a taxa proporcional ao período considerado.


Representação gráfica:

Prestação

Juros

1º 2º 3º 4º


1) Uma dívida de R$ 10.000,00 deve ser paga, pelo sistema francês, mediante 6 prestações, a taxa de juros de 3%. Calcular o valor da prestação.

2) Um financiamento de R$ 12.000,00 é feito à taxa de 18% ao ano (tabela Price) e a liquidação em 5 meses. Construa a planilha de amortização.


1) Uma pessoa realizou um empréstimo de R$ 4.000,00 sabendo que a taxa de juros cobrada pela instituição é de 12% ao ano e que a dívida deve ser quitada em 5 meses. Calcule o valor das prestações pelo sistema Price.

2) Um banco faz um empréstimo de R$ 6.000,00 a um cliente, com base na tabela Price e a juros de 12% ao ano, para ser devolvido em 6 meses. Construir a planilha de amortização.

2.2. Sistema de Amortização Constante (SAC)

Neste sistema, como no anterior, o devedor paga o empréstimo em prestações periódicas, englobando juros e amortização.

A diferença é que neste sistema, a amortização é constante em todos os períodos.

A amortização vai ser obtida pelo quociente do valor da dívida pelo número de períodos, em que deve ser quitado o financiamento.

Exemplo:

1) Um banco faz um empréstimo de R$ 6.000,00 para ser pago pelo SAC em 4 prestações anuais, a taxa de 3% ao ano. Construa o quadro de amortização.

Amortização

Período


Solução:D = R$ 6.000,00 n = 4 i = 3% ao ano

Calculando o valor da amortização.

4

000.6A

n

DA

Período 1

J1 = D i J1 = 6.000 0,03 J1 = 180 R1 = J1 + A R1 = 180 + 1.500 R1 = 1.680 D1 = D - A D1 = 6.000 - 1.500 D1 = 4.500

Período 2

J2 = D1 i J2 = 4.500 0,03 J2 = 135 R2 = J2 + A R2 = 135 + 1.500 R2 = 1.635 D2 = D1 - A D2 = 4.500 - 1.500 D2 = 3.000

Período 3

J3 = D2 i J3 = 3.000 0,03 J3 = 90 R3 = J3 + A R3 = 90 + 1.500 R3 = 1.590 D3 = D2 - A D3 = 3.000 - 1.500 D3 = 1.500

Período 4

J4 = D3 i J4 = 1.500 0,03 J4 = 45 R4 = J4 + A R4 = 45 + 1.500 R4 = 1.545 D4 = D3 - A D4 = 1.500 - 1.500 D4 = 0


0 6.000

1 1.680 180 1.500 4.500

2 1.635 135 1.500 3.000

3 1.590 90 1.500 1.500

4 1.545 45 1.500 ---

Baseado no exemplo acima podemos fazer a representação gráfica.

Prestação

Juro

Amortização

1º 2º 3º 4º nº

A= 1.500


Pelo gráfico observamos que a amortização é constante, que o valor das prestações são decrescente, e os juros decrescem em função do saldo devedor.

2.2.1. Cálculo do saldo devedor

O saldo devedor do período será calculado pelo saldo devedor do período anterior menos a amortização.

Dn = Dn-1 - A

Logo para: n = 1 D1 = D - A n = 2 D2 = D1 - A D2 = D - A - A D2 = D - 2An = 3 D3 = D2 - A D3 = D - 2A - A D3 = D - 2A - A D3 = D - 3A

Exemplo:

1) Uma pessoa faz um empréstimo de R$ 6.000,00 em um banco através do SAC em 10 prestações anuais, a taxa de 15% ao ano. Calcule o saldo devedor após ter sido paga a sexta prestação.

Solução:

D = R$ 6.000,00 n = 10 i = 15% ao ano i = 0,15 a.a.

60010

000.6AA

N

DA

SDk = D - K A SD6 = 6.000 - 6.600 SD6 = 6.000 - 3.600 SD6 = 2.400


3) Elabore uma planilha de pagamento, baseado no SAC, correspondente a um financiamento de R$ 10.000,00, a taxa de 1% a.m. a ser liquidado em 8 prestações mensais.

4) Um financiamento de R$ 5.000,00 é amortizado pelo sistema de amortização constante em 8 prestações mensais, a taxa de 2% a.m. Calcule: a) a cota de amortização; b) a primeira parcela de juros; c) a primeira prestação; d) saldo devedor após o pagamento da 4a prestação.

SDK = D - K A



3) Na compra de uma casa, uma pessoa faz um empréstimo de R$ 60.000,00, a financeira utiliza a taxa de juros compostos de 3% a.m. Essa importância será amortizada através do sistema de amortização constante (SAC), em 6 prestações mensais. Construa a planilha de amortização.

4) Um financiamento de R$ 4.000,00 deverá ser pago em 8 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira 30 dias após a liberação do dinheiro. Considerando que o financiamento seja feito pelo SAC a uma taxa mensal de 2% a.m. Pede-se: a) a cota de amortização; b) juro pago na primeira prestação; c) valor da primeira prestação; d) o saldo devedor após o pagamento da 6a prestação.

2.3. Sistema de Amortização Misto (SAM)

O sistema de amortização misto é um sistema moderno, pois seus cálculos são feitos pela média aritmética do sistema francês e do sistema de amortização constante.

Exemplo:

1) João fez um empréstimo de R$ 5.000,00, em um banco pelo SAM em 4 prestações anuais, a taxa de 10% ao ano. Construa a planilha para as seguintes situações: a) sistema francês; b) sistema de amortização constante; c) sistema de amortização misto.

Solução:

a) Sistema francês

as prestações são iguais e calculadas pela seguinte relação: R = a

D

n i

o juro é calculado sobre o saldo devedor anterior;

a amortização será calculada pela diferença entre o valor da prestação e os juros do período correspondente.

o saldo devedor do período é calculado pela diferença do saldo devedor do período anterior e a amortização do período.

Dados:D = R$ 5.000,00 n = 4 i = 10% ao ano = 0,1 ao ano

aR

a

DR

000.5

n i 4 0,01

35,577.116987,3

000.5RR

A = R - J


Período Prestação Juros Amortização Saldo devedor

0 5.000

1 1.577,35 500 1.077,35 3.922,65

2 1.577,35 392,27 1.185,08 2.737,57

3 1.577,35 273,76 1.303,98 1.433,98

4 1.577,38 143,40 1.433,98 ---

b) Sistema de amortização constante

neste sistema as amortizações serão calculadas pelo quociente da dívida inicial pelo número de períodos.

n

DA

os juros serão calculados sobre o saldo devedor anterior.

a prestação (R) será dada pela expressão:

o saldo devedor do período (SDn) é calculado pela diferença do saldo devedor do período anterior (SDn-1) e a amortização do período (A).

SDn = SDn-1 – A


0 5.000

1 1.750 500 1.250 3.750

2 1.650 375 1.250 2.500

3 1.500 250 1.250 1.250

4 1.350 125 1.250 ---

c) Sistema de amortização mista

as amortizações serão obtidas pela média aritmética entre as amortizações do sistema francês e as do sistema de amortização constante;

os juros serão calculados sobre o saldo devedor anterior.

a prestação (R) será dada pela expressão: R = A + J

o saldo devedor do período (SDn) é calculado pela diferença do saldo devedor do período anterior (SDn-1) e a amortização (A).

SDn = SDn-1 – A


0 5.000

1 1.663,68 500 1.163,68 3.836,32

2 1.601,17 383,63 1.217,54 2.618,78

3 1.538,68 261,87 1.276,79 1.341,99

4 1.476,19 134,20 1.341,99 ---

R = A + J



5) Um financiamento de R$ 15.000,000 deve ser pago em 4 amortizações constantes mensais sem carência. A taxa de juros é de 2% a.m. Construa a planilha de financiamento.

Exercício proposto

5) Um equipamento foi adquirido por R$ 12.000,00 e será pago em 6 prestações mensais, a taxa de 2% a.m. Construa a planilha do SAM.


1)

D = R a

4.000 = R 4,85343

85343,4

000.4

2)

D = R$ 6.000,00 D = R a

12

12 6.000 = R a

n = 6

6.000 = R 5,79548

79548.5

000.6


0 6.000

1 1.035,29 60 975,29 5.024,71

2 1.035,29 50,25 985,04 4.039,67

3 1.035,29 40,40 994,89 3.044,78

4 1.035,29 30,45 1.004,84 2.039,94

5 1.035,29 20,40 1.014,89 1.025,05

6 1.035,30 10,25 1.025,05 –

5 0,01

R = 824,16R =

n i

6 0,01= 1% a.m. i =

R = 1.035,29 R =


3) Solução

D = R$ 60.000,00

i = 3% a.m. i = 0,03 a.m. 6

000.60

n

D

n = 6


0 60.000

1 11.800 1.800 10.000 50.000

2 11.500 1.500 10.000 40.000

3 11.200 1.200 10.000 30.000

4 10.900 900 10.000 20.000

5 10.600 600 10.000 10.000

6 10.300 300 10.000 __

4) D = R$ 4.000,00

n = 8

i = 2% a.m. = 0,02 a.m.

K = 6

A = ?

a) 5008

000.4

n

DA

b) J1 = i D J1 = 0,02 4.000 J1 = 80

c) R1 = J1 + A R1 = 80 + 500 R1 = 580

d) SDK = D - K A

SD6 = 4.000 - 6. 500

SD6 = 4.000 - 3.000

SD6 = 1.000

5)


0 12.000

1 2.191,16 240 1.951,16 10.048,84

2 2.171,16 200,98 1.970,18 8.078,66

3 2.151,15 161,57 1.989,58 6.089,08

4 2.131,16 121,78 2.009,38 4.079,70

5 2.111,16 81,59 2.029,57 2.050,13

6 2.091,13 41 2.050,13 -

= 10.000 A =






Tábuas e Tabelas Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

TABELA PARA CONTAGEM DE DIAS

MesesDias Jan. Fev. Mar. Abr. Mai. Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez.

01 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335

02 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336

03 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337

04 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338

05 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339

06 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340

07 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341

08 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342

09 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343

10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344

11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345

12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346

13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347

14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348

15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349

16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350

17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351

18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352

19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353

20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354

21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355

22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356

23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357

24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358

25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359

26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360

27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361

28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362

29 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363

30 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364

31 31 90 151 212 243 304 365

NOTA:

Se o ano for bissexto aumentar uma unidade ao resultado, caso o mês de fevereiro esteja incluído na contagem.


TÁBUA DE LOGARITMOS

n log n Log n log n log n log

0 50 698970 100 000000 150 176091 200 301030

1 000000 51 707570 101 004321 151 178977 201 303196

2 301030 52 716003 102 008600 152 181844 202 305351

3 477121 53 724276 103 012837 153 184691 203 307496

4 602060 54 732394 104 017033 154 187521 204 309630

5 698970 55 740363 105 021189 155 190332 205 311754

6 778151 56 748188 106 025306 156 193125 206 313867

7 845098 57 755875 107 029384 157 195900 207 315970

8 903090 58 763428 108 033424 158 198657 208 318063 9 954243 59 770852 109 037426 159 202397 209 320146

10 000000 60 778151 110 041393 160 204120 210 322219

11 041393 61 785330 111 044323 161 206826 211 324282

12 079181 62 792392 112 049218 162 209515 212 326336

13 113943 63 799341 113 053078 163 212188 213 328380

14 146128 64 806180 114 056905 164 214844 214 330414

15 176091 65 812913 115 060698 165 217474 215 332438

16 204120 66 819544 116 064458 166 220108 216 334454

17 230449 67 826075 117 068186 167 222716 217 336460

18 255273 68 822509 118 071882 168 225309 218 338456 19 278754 69 838849 119 075547 169 227887 219 340444

20 301030 70 845098 120 079181 170 230449 220 342423

21 322219 71 851258 121 082785 171 232996 221 344392

22 342423 72 857332 122 086360 172 235528 222 346353

23 361728 73 863323 123 089905 173 238046 223 348305

24 380211 74 869232 124 093422 174 240549 224 350248

25 397940 75 875061 125 096910 175 243038 225 352183

26 414973 76 880814 126 100371 176 245513 226 354108

27 431364 77 886491 127 103804 177 247973 227 356026

28 447158 78 892095 128 107210 178 250420 228 357935 29 462398 79 897627 129 110590 179 252853 229 359835

30 477121 80 903090 130 113943 180 255273 230 361728

31 491362 81 908485 131 117271 181 257579 231 363612

32 505150 82 913814 132 120574 182 260071 232 365488

33 518514 83 919078 133 123852 183 262451 233 367356

34 531479 84 924279 134 127105 184 254818 234 369216

35 544068 85 929419 135 130334 185 267172 235 371068

36 556303 86 934498 136 133539 186 269513 236 372912

37 568202 87 939519 137 135721 187 271842 237 374748

38 579784 88 944483 138 139879 188 274158 238 376577 39 591065 89 949390 139 143015 189 276462 239 378398

40 602060 90 954243 140 146128 190 278754 240 380211

41 612784 91 959041 141 149219 191 281033 241 382017

42 623249 92 963788 142 152288 192 283301 242 383815

43 633468 93 968483 143 155336 193 285557 243 385606

44 643453 94 973128 144 158362 194 287802 244 387390

45 653213 95 977724 145 161368 195 290035 245 389166

46 662758 96 982271 146 164353 196 292256 246 390935

47 672098 97 986772 147 167317 197 294466 247 392697

48 681241 98 991226 148 170262 198 296665 248 394452 49 690196 99 995635 149 173186 199 298853 249 396199

50 698970 100 000000 150 176091 200 301030 250 397940



250 397940 300 477121 350 544068 400 602060 450 653213

251 399674 301 478566 351 545307 401 603144 451 645177

252 401401 302 480007 352 546543 402 604226 452 655138

253 403121 303 381443 353 547775 403 605305 453 656098

254 404834 304 482874 354 549003 404 606381 454 657056

255 406540 305 484300 355 550228 405 607455 455 658011

256 408240 306 485721 356 551450 406 608526 456 658965

257 409933 307 487138 357 552668 407 609594 457 659916

258 411620 308 488551 358 553883 408 610660 458 660865 259 413300 309 489958 359 555094 409 611723 459 661813

260 414973 310 491362 360 556303 410 612784 460 662758

261 416641 311 492760 361 557507 411 613842 461 663701

262 418301 312 494155 362 558709 412 614897 462 664642

263 419956 313 495544 363 559907 413 615950 463 665581

264 421604 314 496930 364 551101 414 617000 464 666518

265 423246 315 498311 365 562293 415 618048 465 667453

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Tábuas e Tabelas Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

TÁBUA FINANCEIRA

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n (1 + i)

-n a S

1 1,00500 0,99502 0,99502 1,00000 1 1,01000 0,99010 0,99010 1,00000 2 1,01002 0,99007 1,98510 2,00500 2 1,02010 0,98030 1,97040 2,01000 3 1,01508 0,98515 2,97025 3,01502 3 1,03030 0,97059 2,94099 3,03010 4 1,02015 0,98025 3,95050 4,03010 4 1,04060 0,96098 3,90197 4,06040 5 1,02525 0,97537 4,92587 5,05025 5 1,05101 0,95147 4,85343 5,10101 6 1,03038 0,97052 5,89638 6,07550 6 1,06152 0,94205 5,79548 6,15202 7 1,03553 0,96569 6,86207 7,10588 7 1,07214 0,93272 6,72819 7,21354 8 1,04071 0,96089 7,82296 8,14141 8 1,08286 0,92348 7,65168 8,28567 9 1,04591 0,95610 8,77906 9,18212 9 1,09369 0,91434 8,56602 9,36853 10 1,05114 0,95135 9,73041 10,22803 10 1,10462 0,90529 9,47130 10,46221 11 1,05640 0,94661 10,67703 11,27917 11 1,11567 0,89632 10,36763 11,56683 12 1,06168 0,94191 11,61893 12,33556 12 1,12683 0,88745 11,25508 12,68250 13 1,06699 0,93722 12,55615 13,39724 13 1,13809 0,87866 12,13374 13,80933 14 1,07232 0,93256 13,48871 14,46423 14 1,14947 0,86996 13,00370 14,94742 15 1,07768 0,92792 14,41662 15,53655 15 1,16097 0,86135 13,86505 16,09690 16 1,08307 0,92330 15,33993 16,61423 16 1,17258 0,85282 14,71787 17,25786 17 1,08849 0,91871 16,25863 17,69730 17 1,18430 0,84438 15,56225 18,43044 18 1,09393 0,91414 17,17277 18,78579 18 1,19615 0,83602 16,39827 19,61475 19 1,09940 0,90959 18,08236 19,87972 19 1,20811 0,82774 17,22601 20,81090 20 1,10490 0,90506 18,98742 20,97912 20 1,22019 0,81954 18,04555 22,01900 21 1,11042 0,90056 19,88798 22,08401 21 1,23239 0,81143 18,85698 23,23919 22 1,11597 0,89608 20,78406 23,19443 22 1,24472 0,80340 19,66038 24,47159 23 1,12155 0,89162 21,67568 24,31040 23 1,25716 0,79544 20,45582 25,71630 24 1,12716 0,88719 22,56287 25,43196 24 1,26973 0,78757 21,24339 26,97346 25 1,13280 0,88277 23,44564 26,55912 25 1,28243 0,77977 22,02316 28,24320 26 1,13846 0,87838 24,32402 27,69191 26 1,29526 0,77205 22,79520 29,52563 27 1,14415 0,87401 25,19803 28,83037 27 1,30821 0,76440 23,55961 30,82089 28 1,14987 0,86966 26,06769 29,97452 28 1,32129 0,75684 24,31644 32,12910 29 1,15562 0,86533 26,93302 31,12439 29 1,33450 0,74934 25,06579 33,45039 30 1,16140 0,86103 27,79405 32,28002 30 1,34785 0,74192 25,80771 34,78489

n i n i n in i


r = 1,5% r = 2%

n (1 + i)n (1 + i)

-n A S n (1 + i)

n (1 + i)

-n a S

1 1,01500 0,98522 0,98522 1,00000 1 1,02000 0,98039 0,98039 1,00000 2 1,03022 0,97066 1,95588 2,01500 2 1,04040 0,96117 1,94156 2,02000 3 1,04568 0,95632 2,91220 3,04522 3 1,06121 0,94232 2,88388 3,06040 4 1,06136 0,94218 3,85438 4,09090 4 1,08243 0,92385 3,80773 4,12161 5 1,07728 0,92826 4,78264 5,15227 5 1,10408 0,90573 4,71346 5,20404 6 1,09344 0,91454 5,69719 6,22955 6 1,12616 0,88797 5,60143 6,30812 7 1,10984 0,90103 6,59821 7,32299 7 1,14869 0,87056 6,47199 7,43428 8 1,12649 0,88771 7,48593 8,43284 8 1,17166 0,85349 7,32548 8,58297 9 1,14339 0,87459 8,36052 9,55933 9 1,19509 0,83676 8,16224 9,75463 10 1,16054 0,86167 9,22218 10,70272 10 1,21899 0,82035 8,98259 10,94972 11 1,17795 0,84893 10,07112 11,86326 11 1,24337 0,80426 9,78685 12,16872 12 1,19562 0,83639 10,90751 13,40121 12 1,26824 0,78849 10,57534 13,41209 13 1,21355 0,82403 11,73153 14,23683 13 1,29361 0,77303 11,34837 14,68033 14 1,23176 0,81185 12,54338 15,45038 14 1,31948 0,75788 12,10625 15,97394 15 1,25023 0,79985 13,34323 16,68214 15 1,34587 0,74301 12,84926 17,29342 16 1,26899 0,78803 14,13126 17,93237 16 1,37279 0,72845 13,57771 18,63929 17 1,28802 0,77639 14,90765 19,20136 17 1,40024 0,71416 14,29187 20,01207 18 1,30734 0,76491 15,67256 20,48938 18 1,42825 0,70016 14,99203 21,41231 19 1,32695 0,75361 16,42617 21,79672 19 1,45681 0,68643 15,67846 22,84056 20 1,34686 0,74247 17,16864 23,12367 20 1,48595 0,67297 16,35143 24,29737 21 1,36706 0,73150 17,90014 24,47052 21 1,51567 0,65978 17,01121 25,78332 22 1,38756 0,72069 18,62082 25,83758 22 1,54598 0,64684 17,65805 27,29898 23 1,40838 0,71004 19,33086 27,22514 23 1,57690 0,63416 18,29220 28,84496 24 1,42950 0,69954 20,03041 28,63352 24 1,60844 0,62172 18,91393 30,42186 25 1,45095 0,68921 20,71961 30,06302 25 1,64061 0,60953 19,52346 32,03030 26 1,47271 0,67902 21,39863 31,51397 26 1,67342 0,59758 20,12104 33,67091 27 1,49480 0,66899 22,06762 32,98668 27 1,70689 0,58586 20,70690 35,34432 28 1,51722 0,65910 22,72672 34,48148 28 1,74102 0,57437 21,28127 37,05121 29 1,53998 0,64936 23,37608 35,99870 29 1,77584 0,56311 21,84438 38,79223 30 1,56308 0,63976 24,01584 37,53868 30 1,81136 0,55207 22,39646 40,56808

n i n i n in i


r = 2,5% r = 3%

n (1 + i)n (1 + i)

-n a S n (1 + i)

n (1 + i)

-n a S

1 1,02500 0,97561 0,97561 1,00000 1 1,03000 0,97087 0,97087 1,00000 2 1,05062 0,95181 1,92742 2,02500 2 1,06090 0,94260 1,91347 2,03000 3 1,07689 0,92860 2,85602 3,07562 3 1,09273 0,91514 2,82861 3,09090 4 1,10381 0,90595 3,76197 4,15252 4 1,12551 0,88849 3,71710 4,18363 5 1,13141 0,88385 4,64583 5,25633 5 1,15927 0,86261 4,57971 5,30914 6 1,15969 0,86230 5,50813 6,38774 6 1,19405 0,83748 5,41719 6,46841 7 1,18869 0,84127 6,34939 7,54743 7 1,22987 0,81309 6,23028 7,66246 8 1,21840 0,82075 7,17014 8,73612 8 1,26677 0,78941 7,01969 8,89234 9 1,24886 0,80073 7,97087 9,95452 9 1,30477 0,76642 7,78611 10,15911 10 1,28008 0,78120 8,75206 11,20338 10 1,34392 0,74409 8,53020 11,46388 11 1,31209 0,76214 9,51421 12,48347 11 1,38423 0,72242 9,25262 12,80780 12 1,34489 0,74356 10,25776 13,79555 12 1,42576 0,70138 9,95400 14,19203 13 1,37851 0,72542 10,98318 15,14044 13 1,46853 0,68095 10,63496 15,61779 14 1,41297 0,70773 11,69091 16,51895 14 1,51259 0,66112 11,29607 17,08632 15 1,44830 0,69047 12,38138 17,93193 15 1,55797 0,64186 11,93794 18,59891 16 1,48451 0,67362 13,05500 19,38022 16 1,60471 0,62317 12,56110 20,15688 17 1,52162 0.65720 13,71220 20,86473 17 1,65285 0,60502 13,16612 21,76159 18 1,55966 0,64117 14,35336 22,38635 18 1,70243 0,58739 13,75351 23,41444 19 1,59865 0,62553 14,97889 23,94601 19 1,75351 0,57029 14,32380 25,11687 20 1,63862 0,61027 15,58916 25,54466 20 1,80611 0,55368 14,87747 26,87037 21 1,67958 0,59539 16,18455 27,18327 21 1,86029 0,53755 15,41502 28,67649 22 1,72157 0,58086 16,76541 28,86286 22 1,91610 0,52189 15,93692 30,53678 23 1,76461 0,56670 17,33211 30,58443 23 1,97359 0,50669 16,44361 32,45288 24 1,80873 0,55288 17,88499 32,34904 24 2,03279 0,49193 16,93554 34,42647 25 1,85394 0,53939 18,42438 34,15776 25 2,09378 0,47761 17,41315 36,45926 26 1,90029 0,52623 18,95061 36,01171 26 2,15659 0,46369 17,87684 38,55304 27 1,94780 0,51340 19,46401 37,91200 27 2,22129 0,45019 18,32703 40,70963 28 1,99650 0,50088 19,96489 39,85980 28 2,28793 0,43708 18,76411 42,93092 29 2,04641 0,48866 20,45355 41,85630 29 2,35657 0,42435 19,18845 45,21885 30 2,09757 0,47674 20,93029 43,90270 30 2,42726 0,41199 19,60044 47,57542

n in i n in i


r = 3,5% r = 4%

n (1 + i)n (1 + i)

-n a S n (1 + i)

n (1 + i)

-n a S

1 1,03500 0,96618 0,96618 1,00000 1 1,04000 0,96154 0,96154 1,00000 2 1,07122 0,93351 1,89969 2,03500 2 1,08160 0,92456 1,88609 2,04000 3 1,10872 0,90194 2,80164 3,10622 3 1,12486 0,88900 2,77509 3,12160 4 1,14752 0,87144 3,67308 4,21494 4 1,16986 0,85480 3,62990 4,24646 5 1,18769 0,84197 4,51505 5,36247 5 1,21665 0,82193 4,45182 5,41632 6 1,22926 0,81350 5,32855 6,55015 6 1,26532 0,79031 5,24214 6,63298 7 1,27228 0,78599 6,11454 7,77941 7 1,31593 0,75992 6,00205 7,89829 8 1,31681 0,75941 6,87396 9,05169 8 1,36857 0,73069 6,73274 9,21423 9 1,36290 0,73373 7,60769 10,36850 9 1,42331 0,70259 7,43533 10,58280 10 1,41060 0,70892 8,31661 11,73139 10 1,48024 0,67556 8,11090 12,00611

11 1,45997 0,68495 9,00155 13,14199 11 1,53945 0,64958 8,76048 13,48635 12 1,51107 0,66178 9,66333 14,60196 12 1,60103 0,62460 9,38507 15,02581 13 1,56396 0,63940 10,30274 16,11303 13 1,66507 0,60057 9,98565 16,62684 14 1,61869 0,61778 10,92052 17,67699 14 1,73168 0,57748 10,56312 18,29191 15 1,67535 0,59689 11,51741 19,29568 15 1,80094 0,55526 11,11839 20,02359 16 1,73399 0,57671 12,09412 20,97103 16 1,87298 0,53391 11,65230 21,82453 17 1,79468 0,55720 12,65132 22,70502 17 1,94790 0,51337 12,16567 23,69751 18 1,85749 0,53836 13,18968 24,49969 18 2,02582 0,49363 12,65930 25,64541 19 1,92250 0,52016 13,70984 26,35718 19 2,10685 0,47464 13,13394 27,67123 20 1,98979 0,50257 14,21240 28,27968 20 2,19112 0,45639 13,59033 29,77808 21 2,05943 0,48557 14,69797 30,26947 21 2,27877 0,43883 14,02916 31,96920 22 2,13151 0,46915 15,16712 32,32890 22 2,36992 0,42196 14,45112 34,24797 23 2,20611 0,45329 15,62041 34,46041 23 2,46472 0,40573 14,85684 36,61789 24 2,28333 0,43796 16,05837 36,66653 24 2,56330 0,39012 15,24696 39,08260 25 2,36324 0,42315 16,48151 38,94986 25 2,66584 0,37512 15,62208 41,64591 26 2,44596 0,40884 16,89035 41,31310 26 2,77247 0,36069 15,98277 44,31174 27 2,53157 0,39501 17,28536 43,75906 27 2,88337 0,34682 16,32959 47,08421 28 2,62017 0,38165 17,66702 46,29063 28 2,99870 0,33348 16,66306 49,96758 29 2,71188 0,36875 18,03577 48,91080 29 3,11865 0,32065 16,98371 52,96629 30 2,80679 0,35628 18,39205 51,62268 30 3,24340 0,30832 17,29203 56,08494

n i n in i n i


r = 4,5% r = 5%

n (1 + i)n (1 + i)

-n a S n (1 + i)

n (1 + i)

-n a S

1 1,04500 0,95694 0,95694 1,00000 1 1,05000 0,95238 0,95238 1,00000 2 1,09202 0,91573 1,87267 2,04500 2 1,10250 0,90703 1,85941 2,05000 3 1,14117 0,87630 2,74896 3,13702 3 1,15762 0,86384 2,72325 3,15250 4 1,19252 0,83856 3,58753 4,27819 4 1,21551 0,82270 3,54595 4,31012 5 1,24618 0,80245 4,38998 5,47071 5 1,27628 0,78353 4,32948 5,52563 6 1,30226 0,76790 5,15787 6,71689 6 1,34010 0,74622 5,07569 6,80191 7 1,36086 0,73483 5,89270 8,01915 7 1,40710 0,71068 5,78637 8,14201 8 1,42210 0,70319 6,59589 9,38001 8 1,47746 0,67684 6,46321 9,54911 9 1,48610 0,67290 7,26879 10,80211 9 1,55133 0,64461 7,10782 11,02656 10 1,55297 0,64393 7,91272 12,28821 10 1,62889 0,61391 7,72173 12,57789 11 1,62285 0,61620 8,52892 13,84118 11 1,71034 0,58468 8,30641 14,20679 12 1,69588 0,58966 9,11858 15,46403 12 1,79586 0,55684 8,86325 15,91713 13 1,77220 0,56427 9,68285 17,15991 13 1,88565 0,53032 9,39357 17,71298 14 1,85194 0,53997 10,22283 18,93211 14 1,97993 0,50507 9,89864 19,59863 15 1,93528 0,51672 10,73955 20,78405 15 2,07893 0,48102 10,37966 21,57856 16 2,02237 0,49447 11,23402 22,71934 16 2,18287 0,45811 10,83777 23,65749 17 2,11338 0,47318 11,70719 24,74171 17 2,29202 0,43630 11,27407 25,84037 18 2,20848 0,45280 12,15999 26,85508 18 2,40662 0,41552 11,68959 28,13238 19 2,30786 0,43330 12,59329 29,06356 19 2,52695 0,39573 12,08532 30,53900 20 2,41171 0,41464 13,00794 31,37142 20 2,65330 0,37689 12,46221 33,06595 21 2,52024 0,39679 13,40472 33,78314 21 2,78596 0,35894 12,82115 35,71925 22 2,63365 0,37970 13,78442 36,30338 22 2,92526 0,34185 13,16300 38,50521 23 2,75217 0,36335 14,14777 38,93703 23 3,07152 0,32557 13,48857 41,43048 24 2,87601 0,34770 14,49548 41,68920 24 3,22510 0,31007 13,79864 44,50200 25 3,00543 0,33273 14,82821 44,56521 25 3,38635 0,29530 14,09394 47,72710 26 3,14068 0,31840 15,14661 47,57064 26 3,55567 0,28124 14,37519 51,11345 27 3,28201 0,30469 15,45130 50,71132 27 3,73346 0,26785 14,64303 54,66913 28 3,42970 0,29157 15,74287 53,99333 28 3,92013 0,25509 14,89813 58,40258 29 3,58404 0,27902 16,02189 57,42303 29 4,11614 0,24295 15,14107 62,32271 30 3,74532 0,26700 16,28889 61,00707 30 4,32194 0,23138 15,37245 66,43885

n in i n i n i


r = 5,5% r = 6%

n (1 + i)n (1 + i)

-n a S n (1 + i)

n (1 + i)

-n a S

1 1,05500 0,94787 0,94787 1,00000 1 1,06000 0,94340 0,94340 1,00000 2 1,11302 0,89845 1,84832 2,05500 2 1,12360 0,89000 1,83339 2,06000 3 1,17424 0,85161 2,69793 3,16802 3 1,19102 0,83962 2,67301 3,18360 4 1,23882 0,80722 3,50515 4,34227 4 1,26248 0,79209 3,46511 4,37462 5 1,30696 0,76513 4,27028 5,58109 5 1,33823 0,74726 4,21236 5,63709 6 1,37884 0,72525 4,99553 6,88805 6 1,41852 0,70496 4,91732 6,97532 7 1,45468 0,68744 5,68297 8,26689 7 1,50363 0,66506 5,58238 8,39384 8 1,53469 0,65160 6,33457 9,72157 8 1,59385 0,62741 6,20979 9,89747 9 1,61909 0,61763 6,95220 11,25626 9 1,68948 0,59190 6,80169 11,49132 10 1,70814 0,58543 7,53763 12,87535 10 1,79085 0,55839 7,36009 13,18079 11 1,80209 0,55491 8,09254 14,58350 11 1,89830 0,52679 7,88687 14,97164 12 1,90121 0,52598 8,61852 16,38559 12 2,01220 0,49697 8,38384 16,86994 13 2,00577 0,49856 9,11708 18,28680 13 2,13293 0,46884 8,85268 18,88214 14 2,11609 0,47257 9,58965 20,29257 14 2,26090 0,44230 9,29498 21,01507 15 2,23248 0,44793 10,03758 22,40866 15 2,39656 0,41727 9,71225 23,27597 16 2,35526 0,42458 10,46216 24,64114 16 2,54035 0,39365 10,10590 25,67253 17 2,48480 0,40245 10,86461 26,99640 17 2,69277 0,37136 10,47726 28,21288 18 2,62147 0,38147 11,24607 29,48120 18 2,85434 0,35034 10,82760 30,90565 19 2,76565 0,36158 11,60765 32,10267 19 3,02560 0,33051 11,15812 33,75999 20 2,91776 0,34273 11,95038 34,86832 20 3,20714 0,31180 11,46992 36,78559 21 3,07823 0,32486 12,27524 37,78608 21 3,39956 0,29416 11,76408 39,99273 22 3,24754 0,30793 12,58317 40,86431 22 3,60354 0,27751 12,04158 43,39229 23 3,42615 0,29187 12,87504 44,11185 23 3,81975 0,26180 12,30338 46,99583 24 3,61459 0,27666 13,15170 47,53800 24 4,04893 0,24698 12,55036 50,81558 25 3,81339 0,26223 13,41393 51,15259 25 4,29187 0,23300 12,78336 54,86451 26 4,02313 0,24856 13,66250 54,96598 26 4,54938 0,21981 13,00317 59,15638 27 4,24440 0,23560 13,89810 58,98911 27 4,82235 0,20737 13,21053 63,70577 28 4,47784 0,22332 14,12142 63,23351 28 5,11169 0,19563 13,40616 68,52811 29 4,72412 0,21168 14,33310 67,71135 29 5,41839 0,18456 13,59072 73,63980 30 4,98395 0,20064 14,53375 72,43548 30 5,74349 0,17411 13,76483 79,05819

r = 6,5% r = 7%

n (1 + i)n (1 + i)

-n a S n (1 + i)

n (1 + i)

-n a S

1 1,06500 0,93897 0,93897 1,00000 1 1,07000 0,93458 0,93458 1,00000 2 1,13422 0,88166 1,82063 2,06500 2 1,14490 0,87344 1,80802 2,07000 3 1,20795 0,82785 2,64848 3,19922 3 1,22504 0,81630 2,62432 3,21490 4 1,28647 0,77732 3,42580 4,40717 4 1,31080 0,76290 3,38721 4,43994 5 1,37009 0,72988 4,15568 5,69364 5 1,40255 0,71299 4,10020 5,75074 6 1,45914 0,68533 4,84101 7,06373 6 1,50073 0,66634 4,76654 7,15329 7 1,55399 0,64351 5,48452 8,52287 7 1,60578 0,62275 5,38929 8,65402 8 1,65500 0,60423 6,08875 10,07686 8 1,71819 0,58201 5,97130 10,25980 9 1,76257 0,56735 6,65610 11,73185 9 1,83846 0,54393 6,51523 11,97799 10 1,87714 0,53273 7,18883 13,49442 10 1,96715 0,50835 7,02358 13,81645 11 1,99915 0,50021 7,68904 15,37156 11 2,10485 0,47509 7,49867 15,78360 12 2,12910 0,46968 8,15873 17,37071 12 2,25219 0,44401 7,94269 17,88845 13 2,26749 0,44102 8,59974 19,49981 13 2,40985 0,41496 8,35765 20,14064 14 2,41487 0,41410 9,01384 21,76730 14 2,57853 0,38782 8,74547 22,55049 15 2,57184 0,38883 9,40267 24,18217 15 2,75903 0,36245 9,10791 25,12902 16 2,73901 0,36510 9,76776 26,75401 16 2,95216 0,33873 9,44665 27,88805 17 2,91705 0,34281 10,11058 29,49302 17 3,15882 0,31657 9,76322 30,84022 18 3,10665 0,32189 10,43247 32,41007 18 3,37993 0,29586 10,05909 33,99903 19 3,30859 0,30224 10,73471 35,51672 19 3,61653 0,27651 10,33560 37,37896 20 3,52365 0,28380 11,01851 38,82531 20 3,86968 0,25842 10,59401 40,99549

n in in i n i

n i n i n in i


r = 7,5% r = 8%

n (1 + i)n (1 + i)

-n a S n (1 + i)

n (1 + i)

-n a S

1 1,07500 0,93023 0,93023 1,00000 1 1,08000 0,92593 0,92593 1,00000 2 1,15562 0,86533 1,79557 2,07500 2 1,16640 0,85734 1,78326 2,08000 3 1,24230 0,80496 2,60053 3,23062 3 1,25971 0,79383 2,57710 3,24640 4 1,33547 0,74880 3,34933 4,47292 4 1,36049 0,73503 3,31213 4,50611 5 1,43563 0,69656 4,04588 5,80839 5 1,46933 0,68058 3,99271 5,86660 6 1,54330 0,64796 4,69385 7,24402 6 1,58687 0,63017 4,62288 7,33593 7 1,65905 0,60275 5,29660 8,78732 7 1,71382 0,58349 5,20637 8,92280 8 1,78348 0,56070 5,85730 10,44637 8 1,85093 0,54027 5,74664 10,63663 9 1,91724 0,52158 6,37889 12,22985 9 1,99900 0,50025 6,24689 12,48756 10 2,06103 0,48519 6,86408 14,14709 10 2,15892 0,46319 6,71008 14,48656 11 2,21561 0,45134 7,31542 16,20812 11 2,33164 0,42888 7,13896 16,64549 12 2,38178 0,41985 7,73528 18,42373 12 2,51817 0,39711 7,53608 18,97713 13 2,56041 0,39056 8,12584 20,80551 13 2,71962 0,36770 7,90378 21,49530 14 2,75244 0,36331 8,48915 23,36592 14 2,93719 0,34046 8,24424 24,21492 15 2,95888 0,33797 8,82712 26,11836 15 3,17217 0,31524 8,55948 27,15211 16 3,18079 0,31439 9,14151 29,07724 16 3,42594 0,29189 8,85137 30,32428 17 3,41935 0,29245 9,43396 32,25804 17 3,70002 0,27027 9,12164 33,75023 18 3,67580 0,27205 9,70601 35,67739 18 3,99602 0,25025 9,37189 37,45024 19 3,95149 0,25307 9,95908 39,35319 19 4,31570 0,23171 9,60360 41,44626 20 4,24785 0,23541 10,19449 43,30468 20 4,66096 0,21455 9,81815 45,76196

r = 8,5% r = 9%

n (1 + i)n (1 + i)

-n a S n (1 + i)

n (1 + i)

-n a S

1 1,08500 0,92166 0,92166 1,00000 1 1,09000 0,91743 0,91743 1,00000 2 1,17722 0,84946 1,77111 2,08500 2 1,18810 0,84168 1,75911 2,09000 3 1,27729 0,78291 2,55402 3,26222 3 1,29503 0,77218 2,53129 3,27810 4 1,38586 0,72157 3,27560 4,53951 4 1,41158 0,70843 3,23972 4,57313 5 1,50366 0,66505 3,94064 5,92537 5 1,53862 0,64993 3,88965 5,98471 6 1,63147 0,61295 4,55359 7,42903 6 1,67710 0,59627 4,48592 7,52333 7 1,77014 0,56493 5,11851 9,06050 7 1,82804 0,54703 5,03295 9,20043 8 1,92060 0,52067 5,63918 10,83064 8 1,99256 0,50187 5,53482 11,02847 9 2,08386 0,47988 6,11906 12,75124 9 2,17189 0,46043 5,99525 13,02104 10 2,26098 0,44229 6,56135 14,83510 10 2,36736 0,42241 6,41766 15,19293 11 2,45317 0,40764 6,96898 17,09608 11 2,58043 0,38753 6,80519 17,56029 12 2,66169 0,37570 7,34469 19,54925 12 2,81266 0,35553 7,16073 20,14072 13 2,88793 0,34627 7,69095 22,21094 13 3,06580 0,32618 7,48690 22,95338 14 3,13340 0,31914 8,01010 25,09887 14 3,34173 0,29925 7,78615 26,01919 15 3,39974 0,29414 8,30424 28,23227 15 3,64248 0,27454 8,06069 29,36092 16 3,68872 0,27110 8,57533 31,63201 16 3,97031 0,25187 8,31256 33,00340 17 4,00226 0,24986 8,82519 35,32073 17 4,32763 0,23107 8,54363 36,97370 18 4,34245 0,23028 9,05548 39,32300 18 4,71712 0,21199 8,75563 41,30134 19 4,71156 0,21224 9,26772 43,66545 19 5,14166 0,19449 8,95011 46,01846 20 5,11205 0,19562 9,46334 48,37701 20 5,60441 0,17843 9,12855 51,16012

n i n i n i n i

n i n i n in i


r = 10% r = 11%

n (1 + i)n (1 + i)

-n a S n (1 + i)

n (1 + i)

-n a S

1 1,10000 0,90909 0,90909 1,00000 1 1,11000 0,90090 0,90090 1,00000 2 1,21000 0,82645 1,73554 2,10000 2 1,23210 0,81162 1,71252 2,11000 3 1,33100 0,75131 2,48685 3,31000 3 1,36763 0,73119 2,44371 3,34210 4 1,46410 0,68301 3,16987 4,64100 4 1,51807 0,65873 3,10245 4,70973 5 1,61051 0,62092 3,79079 6,10510 5 1,68506 0,59345 3,69590 6,22780 6 1,77156 0,56447 4,35526 7,71561 6 1,87041 0,53464 4,23054 7,91286 7 1,94872 0,51316 4,86842 9,48717 7 2,07616 0,48166 4,71220 9,78327 8 2,14359 0,46651 5,33493 11,43589 8 2,30454 0,43393 5,14612 11,85943 9 2,35795 0,42410 5,75902 13,57948 9 2,55804 0,39092 5,53705 14,16397 10 2,59374 0,38554 6,14457 15,93742 10 2,83942 0,35218 5,88923 16,72201 11 2,85312 0,35049 6,49506 18,53117 11 3,15176 0,31728 6,20652 19,56143 12 3,13843 0,31863 6,81369 21,38428 12 3,49845 0,28584 6,49236 22,71319 13 3,45227 0,28966 7,10336 24,52271 13 3,88328 0,25751 6,74987 26,21164 14 3,79750 0,26333 7,36669 27,97498 14 4,31044 0,23199 6,98187 30,09492 15 4,17725 0,23939 7,60608 31,77248 15 4,78459 0,20900 7,19087 34,40536 16 4,59497 0,21763 7,82371 35,94973 16 5,31089 0,18829 7,37916 39,18995 17 5,05447 0,19784 8,02155 40,54470 17 5,89509 0,16963 7,54879 44,50084 18 5,55992 0,17986 8,20141 45,59917 18 6,54355 0,15282 7,70162 50,39594 19 6,11591 0,16351 8,36492 51,15909 19 7,26334 0,13768 7,83929 56,93949 20 6,72750 0,14864 8,51356 57,27500 20 8,06231 0,12403 7,96333 64,20283

r = 12% r = 15%

n (1 + i)n (1 + i)

-n a S n (1 + i)

n (1 + i)

-n a S

1 1,12000 0,89286 0,89286 1,00000 1 1,15000 0,86957 0,86957 1,00000 2 1,25440 0,79719 1,69005 2,12000 2 1,32250 0,75614 1,62571 2,15000 3 1,40493 0,71178 2,40183 3,37440 3 1,52087 0,65752 2,28323 3,47250 4 1,57352 0,63552 3,03735 4,77933 4 1,74901 0,57175 2,85498 4,99337 5 1,76234 0,56743 3,60478 6,35285 5 2,01136 0,49718 3,35216 6,74238 6 1,97382 0,50663 4,11141 8,11519 6 2,31306 0,43233 3,78448 8,75374 7 2,21068 0,45235 4,56376 10,08901 7 2,66002 0,37594 4,16042 11,06680 8 2,47596 0,40388 4,96764 12,29969 8 3,05902 0,32690 4,48732 13,72682 9 2,77308 0,36061 5,32825 14,77566 9 3,51788 0,28426 4,77158 16,78584 10 3,10585 0,32197 5,65022 17,54874 10 4,04556 0,24718 5,01877 20,30372 11 3,47855 0,28748 5,93770 20,65458 11 4,65239 0,21494 5,23371 24,34928 12 3,89598 0,25668 6,19437 24,13313 12 5,35025 0,18691 5,42062 29,00167 13 4,36349 0,22917 6,42355 28,02911 13 6,15279 0,16253 5,58315 34,35192 14 4,88711 0,20462 6,62817 32,39260 14 7,07571 0,14133 5,72448 40,50471 15 5,47357 0,18270 6,81086 37,27971 15 8,13706 0,12289 5,84737 47,58041 16 6,13039 0,16312 6,97399 42,75328 16 9,35762 0,10686 5,95423 55,71747 17 6,86604 0,14564 7,11963 48,88367 17 10,76126 0,09293 6,04716 65,07509 18 7,68997 0,13004 7,24967 55,74971 18 12,37545 0,08081 6,12797 75,83636 19 8,61276 0,11611 7,36578 63,43968 19 14,23177 0,07027 6,19823 88,21181 20 9,64629 0,10367 7,46944 72,05244 20 16,36654 0,06110 6,25933 102,44358

n i n in in i

n i n in in i


r = 18% r = 20%

n (1 + i)n (1 + i)

-n a S n (1 + i)

n (1 + i)

-n a S

1 1,18000 0,84746 0,84746 1,00000 1 1,20000 0,83333 0,83333 1,00000 2 1,39240 0,71818 1,56564 2,18000 2 1,44000 0,69444 1,52778 2,20000 3 1,64303 0,60863 2,17427 3,57240 3 1,72800 0,57870 2,10648 3,64000 4 1,93878 0,51579 2,69006 5,21543 4 2,07360 0,48225 2,58873 5,36800 5 2,28776 0,43711 3,12717 7,15421 5 2,48832 0,40188 2,99061 7,44160 6 2,69955 0,37043 3,49760 9,44197 6 2,98598 0,33490 3,32551 9,92992 7 3,18547 0,31393 3,81153 12,14152 7 3,58318 0,27908 3,60459 12,91590 8 3,75886 0,26604 4,07757 15,32700 8 4,29982 0,23257 3,83716 16,49908 9 4,43545 0,22546 4,30302 19,08585 9 5,15978 0,19381 4,03097 20,79890 10 5,23384 0,19106 4,49409 23,52131 10 6,19174 0,16151 4,19247 25,95868 11 6,17593 0,16192 4,65601 28,75514 11 7,43008 0,13459 4,32706 32,15042 12 7,28759 0,13722 4,79322 34,93107 12 8,91610 0,11216 4,43922 39,58050 13 8,59936 0,11629 4,90951 42,21866 13 10,69932 0,09346 4,53268 48,49660 14 10,14724 0,09855 5,00806 50,81802 14 12,83918 0,07789 4,61057 59,19592 15 11,97375 0,08352 5,09158 60,96527 15 15,40702 0,06491 4,67547 72,03511 16 14,12902 0,07078 5,16235 72,93901 16 18,48843 0,05409 4,72956 87,44213 17 16,67225 0,05998 5,22233 87,06804 17 22,18611 0,04507 4,77463 105,93056 18 19,67325 0,05083 5,27316 103,74028 18 26,62333 0,03756 4,81219 128,11667 19 23,21444 0,04308 5,31624 123,41353 19 31,94800 0,03130 4,84350 154,74000 20 27,39303 0,03651 5,35275 146,62797 20 38,33760 0,02608 4,86958 186,68800

r = 24% r = 25%

n (1 + i)n (1 + i)

-n a S n (1 + i)

n (1 + i)

-n a S

1 1,24000 0,80645 0,80645 1,00000 1 1,25000 0,80000 0,80000 1,00000 2 1,53760 0,65036 1,45682 2,24000 2 1,56250 0,64000 1,44000 2,25000 3 1,90662 0,52449 1,98130 3,77760 3 1,95312 0,51200 1,95200 3,81250 4 2,36421 0,42297 2,40428 5,68422 4 2,44141 0,40960 2,36160 5,76562 5 2,93116 0,34111 2,74538 8,04838 5 3,05176 0,32768 2,68928 8,20703 6 3,63522 0,27509 3,02047 10,98006 6 3,81470 0,26214 2,95142 11,25879 7 4,50767 0,22184 3,24232 14,61528 7 4,76837 0,20972 3,16114 15,07349 8 5,58951 0,17891 3,42122 19,12294 8 5,96046 0,16777 3,32891 19,84186 9 6,93099 0,14428 3,56550 24,71245 9 7,45058 0,13422 3,46313 25,80232 10 8,59443 0,11635 3,68186 31,64344 10 9,31323 0,10737 3,57050 33,25290 11 10,65709 0,09383 3,77569 40,23787 11 11,64153 0,08590 3,65640 42,56613 12 13,21479 0,07567 3,85136 50,89495 12 14,55192 0,06872 3,72512 54,20766 13 16,38634 0,06103 3,91239 64,10974 13 18,18989 0,05498 3,78010 68,75958 14 20,31906 0,04921 3,96160 80,49608 14 22,73737 0,04398 3,82408 86,94947 15 26,19563 0,03969 4,00129 100,81514 15 28,42171 0,03518 3,85926 109,68684 16 31,24259 0,03201 4,03330 126,01077 16 35,52714 0,02815 3,88741 138,10855 17 38,74081 0,02581 4,05911 157,25336 17 44,40892 0,02252 3,90993 173,63568 18 48,03860 0,02082 4,07993 195,99416 18 55,51115 0,01801 3,92794 218,04460 19 59,56786 0,01679 4,09672 244,03276 19 69,38894 0,01441 3,94235 273,55576 20 73,86415 0,01354 4,11026 303,60062 20 86,73617 0,01153 3,95388 342,94470

n i n i n in i

n i n i n i n i


r = 30% r = 35%

n (1 + i)n (1 + i)

-n a S n (1 + i)

n (1 + i)

-n a S

1 1,30000 0,76923 0,76923 1,00000 1 1,35000 0,74074 0,74074 1,00000 2 1,69000 0,59172 1,36095 2,30000 2 1,82250 0,54870 1,28944 2,35000 3 2,19700 0,45517 1,81611 3,99000 3 2,46037 0,40644 1,69588 4,17250 4 2,85610 0,35013 2,16624 6,18700 4 3,32151 0,30107 1,99695 6,63287 5 3,71293 0,26933 2,43557 9,04310 5 4,48403 0,22301 2,21996 9,95438 6 4,82681 0,20718 2,64275 12,75603 6 6,05345 0,16520 2,38516 14,43841 7 6,27485 0,15937 2,80211 17,58284 7 8,17215 0,12237 2,50752 20,49186 8 8,15731 0,12259 2,92470 23,85769 8 11,03240 0,09064 2,59817 28,66401 9 10,60450 0,09430 3,01900 32,01500 9 14,89375 0,06714 2,66531 39,6964110 13,78585 0,07254 3,09154 42,61950 10 20,10656 0,04974 2,71504 54,59016 11 17,92160 0,05580 3,14734 56,40535 11 27,14385 0,03684 2,75188 74,6967212 23,29809 0,04292 3,19026 74,32695 12 36,64420 0,02729 2,77917 101,8405713 30,28751 0,03302 3,22328 97,62504 13 49,46967 0,02021 2,79939 138,4847614 39,37376 0,02540 3,24867 127,91255 14 66,78405 0,01497 2,81436 187,9544315 51,18589 0,01954 3,26821 167,28631 15 90,15847 0,01109 2,82545 254,73848 16 66,54166 0,01503 3,28324 218,47220 16 121,71393 0,00822 2,83367 344,8969517 86,50416 0,01156 3,29480 285,01386 17 164,31381 0,00609 2,83975 466,6108818 112,45541 0,00889 3,30369 371,51802 18 221,82364 0,00451 2,84426 630,9246919 146,19203 0,00684 3,31053 483,97343 19 299,46192 0,00334 2,84760 852,7483420 190,04964 0,00526 3,31579 630,16546 20 404,27359 0,00247 2,85008 1152,21026

r = 36% r = 40%

n (1 + i)n (1 + i)

-n a S n (1 + i)

n (1 + i)

-n a S

1 1,36000 0,73529 0,73529 1,00000 1 1,40000 0,71429 0,71429 1,00000 2 1,84960 0,54066 1,27595 2,36000 2 1,96000 0,51020 1,22449 2,40000 3 2,51546 0,39754 1,67349 4,20960 3 2,74400 0,36443 1,58892 4,36000 4 3,42102 0,29231 1,96580 6,72506 4 3,84160 0,26031 1,84923 7,10400 5 4,65259 0,21493 2,18074 10,14608 5 5,37824 0,18593 2,03516 10,94560 6 6,32752 0,15804 2,33878 14,79866 6 7,52954 0,13281 2,16797 16,32384 7 8,60543 0,11621 2,45498 21,12618 7 10,54135 0,09486 2,26284 23,85338 8 11,70338 0,08545 2,54043 29,73161 8 14,75789 0,06776 2,33060 34,39473 9 15,91660 0,06283 2,60326 41,43499 9 20,66105 0,04840 2,37900 49,15262 10 21,64657 0,04620 2,64945 57,35158 10 28,92547 0,03457 2,41357 69,81366 11 29,43933 0,03397 2,68342 78,99815 11 40,49565 0,02469 2,43826 98,73913 12 40,03750 0,02498 2,70840 108,43749 12 56,69391 0,01764 2,45590 139,23478 13 54,45099 0,01837 2,72676 148,47498 13 79,37148 0,01260 2,46850 195,92869 14 74,05335 0,01350 2,74027 202,92598 14 111,12007 0,00900 2,47750 275,30017 15 100,71256 0,00993 2,75020 276,97933 15 155,56810 0,00643 2,48393 386,42024 16 136,96908 0,00730 2,75750 377,69188 16 217,79533 0,00459 2,48852 541,98833 17 186,27795 0,00537 2,76287 514,66096 17 304,91347 0,00328 2,49180 759,78367 18 253,33801 0,00395 2,76681 700,93891 18 426,87885 0,00234 2,49414 1064,69713 19 344,53969 0,00290 2,76972 954,27692 19 597,63040 0,00167 2,49582 1491,57600 20 468,57398 0,00213 2,77185 1298,81661 20 836,68255 0,00120 2,49701 2091,70638

n in i n i n i

n i n i n in i

apostila matematica financeira

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