apostila matemática cálculo cefet capítulo 11 gabarito respostas

12
Capítulo 11 RESPOSTAS 11.1 Capítulo 1 [1] [2] [3] Falso e Falso . [4] , [8] Os pontos situados sobre a reta , por exemplo , , etc. [10] As retas são paralelas, . [11] . [12] , [13] , [15] parábola, hipérbole, círculo, elipse, um ponto. [17] , [18] , [19] [24] [25] [26] a) b) [27] a) e b) e c) e d) [28] [29] [30] milhas 11.2 Capítulo 2 [1] [2] , [3] , e . [4] , [5] [6] [7] -1 -0.5 0.5 1 0.5 1 1.5 2 0.5 1 1.5 2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 -2 -1.5 -1 -0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 -1 -0.5 0.5 1 381

Upload: fonseca-dos-santos

Post on 07-Mar-2016

216 views

Category:

Documents


1 download

DESCRIPTION

 

TRANSCRIPT

Page 1: Apostila Matemática Cálculo CEFET Capítulo 11 Gabarito Respostas

Capítulo 11

RESPOSTAS

11.1 Capítulo 1

[1] ����������� ��������������������������������� ������ �"!��������#$�%�������� ���� ��&'�(����������$�)���+*-,�.0/-�(���21�$�����43����5������ �6������21�'78 ��9:���5���;<�:=�����������%� ���>��?����� �A@<�������#$�����-�B�������-�-�B��� ���� �DC����E�%������)F5�����G7H �7I �:JK��� 8�LM ���� �N0��� 7�O(P 7 I8 7�QRP 7 I8 �RS)������ LM �(�T� M8 ���� ��UD��VXW)����� 7Y 78 �0Z)�����%��[� � [2] ����� ��\���]�R�����E����� �(!$������������&<��V^/-��_a`b�G3��<_c`d�fehg ��i�_j`d�k6��<_l`m�on8 94�<_l`b��i�_j`p; [3] ��� Falso _j`pq#`m� e r `s���>���Falso _T`h���qt`u� . [4] ����� g ;��0����1 g �-vw!���1 g ,x&'� g ?'vw/y� g �T3�� g ��z%�]�){ 8 6�� g 1 1'v|9:� g �)} ,w=��<; , @<��1>� g 1[8] Os pontos situados sobre a reta _~� q�`j; , por exemplo ��1�$��� , �5��[;'� , etc. [10] As retas são paralelas,&�`���� . [11] �����)qt�#_K���X`��G���<qt���y_��h��`��G!���,)q��#_����)�#`���&<�<_��jq�`���/y�<qt�c�)_t�a��`��3��<qG��_c`p� . [12] 1q^�j�y_���;]`p� , [13] �yqG��,y_��c1X`p� , [15] �<���&<� parábola, ����43��\@<� hipérbole,!���494��4C����Jt���N0� círculo, /y���=��\�6�� elipse, F�� um ponto. [17] �<�k��1�g �~��C���1<g �<4����Co`le|1<g � , [18] Co`e IH , [19] ����!�S)� ��� �����k����/�N���� ��!$����/�!��� ��&<����/�N���� ��/-��!�S)�'��� ��3��k����/�N���� ��!�S)� ���D� [24] ��� 7 M8 g ����� MH g ��!�� MH &'�D���[25] ���<qA�f_��^1>`#�����<qx�o_��~v�`���!��<_��k_4�|`#��&<�<qA�fq)��`���/y��1)qk` g 1���_������03��<qk`�_A�K�x6��<q�� g 1y_�`��9:�<qt`�� [26] a) � YX�c��� M �Y b)

8 �Iu�l��� M �Y [27] a) � H ��� C<{ � _+n �7 8 ��� C<{ e8�I �7 8 �#�C�{ � _A� �H ���C�{ b)

� I ��C<{ � _ � 8 ��C<{ e � 8 ��C<{ � _ 8 �I ��C<{ c) � Y ���C<{ � _ M �Y ���C<{ e n �Y ���C<{ � _�7[7 �Y ��� C<{ d) � H � _ � I �H[28] � H [29] 7H [30] 1 g � milhas

11.2 Capítulo 2

[1] ���<_ 8 ��� H��$� �I !��<_ I {�&<� 7� ��� �I [2] ����V+A� ������ �0����/y�\)UD��V+0VX!���V � *$;�.'�V]� *���.A&<��� ������ �\0�5��$���/y��V+A�E���$���<3��(� �������(� ������6�������������'��� 1����� �\(� ��\���]�R94���E�\���]� , � ������ �=�����������%� ����� 1�\���]���� ������ ��@<��V+A� ������ F5��Vo�T* 8 I .'�Vo�T*$;�.�C��������#$�%����G���\���]�������\���]��Jt������,����5,����� �\�V�N0�(���%��[� ���T������y���V

S)�������#[;'���t�5?�\���]��(� ��������K��� ���� �<U:��V+0V [3] V , 3x������`���� e 3x��� 8I ��`c� . [4] V���*'� n8 . , 7�O �8 Q(n � 8 Q0n �� O�7 [5]

���<_+� �����<_ 8 �o�y_"�o;�!���_B&'�"��7� /y����3��+� � Q 8H���¡ 6���_ 8 ���)_+��,+9:�+� � ¡ Q I � Q(�8 n � � =�� �P � QR7�O �P 8� O(7 @<�"�]¢ � Q H�£ ¢ � ¡ Qw7 Y £8[M�Y ��¤ [6]���<_�� �|����_ 8 �t�'_���� 8 !���_����"����&<���m7¥ � /-���23����

� Q ¥¥ ¡��$¡ 6��<_ 8 ���'_�� � 8 ����9:���� ¡ Q ¥ � Q ¥ ¡¥ � � � =�� �P ¥ QR7�O �P 7�Q �¥ O �

@<�k�¦¢ � Q ¥ £ ¢ � ¡ Q ¥ ¡ £¥ ¤ � ¤ [7]

���-1 -0.5 0.5 1

0.5

1

1.5

2

���0.5 1 1.5 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

!$�-2 -1.5 -1 -0.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

&'�-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-1

-0.5

0.5

1

381

Page 2: Apostila Matemática Cálculo CEFET Capítulo 11 Gabarito Respostas

382 CAPÍTULO 11. RESPOSTAS

/y�-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

3��-1 1 2 3

-2

-1

1

2

6��-2 -1 1 2

0.5

1

1.5

2

94�0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

=��0.5 1 1.5 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

@<�-2 -1 1 2 3

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

C��-1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

F��-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

1.5

Jt�-2 -1 1 2 3 4

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

N0�-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5

1

[8] Não, � S-J���3���`�V � *���. [9]

���-2 -1 1 2

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

���-2 -1 1 2

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

!��1 2 3 4 5 6

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

&'�1 2 3 4 5 6

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

[10] ��� �����)_^� _ 8 :�y_���_ 8 �]����y_w�5��� _ 8 �� 8 �� ¡ Q 8 ��� 1)_G�]����� _~����� �1_��]����� _o������0��1_��]���� _o����� I � O 8� � Q 8 � se _�`��%��/y� 7�Q ����¤ O(7�Q ����¤ 0��_ L 3�� 7�Q �$�� 7\O ���� �_R 7� � se _��`��26�� 7� ��_ 8 �X_ I 0� 7� �X_ 8 �_ I � QR7�� �_ 7 � ��_��l�-� se _��` �^94� 7�Q � ¤� A7�O � ¤� (� 7�$¤ se _��` � [11] ��� _ 8 ��� ��_ !�� e¦��_ 8 � 1_G��, �&<� �� ��/�N���_D� [12] �k`�1����`h� IH �^`l�21���"` I8

[13] 78 P � O H i0��;4���� � 2 4 6 8

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

[14] ��� 1_K�lvo��� g _ 8 � �~!�� � ¡ Q H� ¡ Qw7 &<� �h�-vB����z)_T� ; _ 8 /y� 8� O�7 se _��` �f3�� �h�>���)_ [15]��� 3x��_D�"`l_ 8 ��� �6D��_:�"`j_ H ��� 3x��_:��`j_ 8 ��?��6D��_:�"`j_ O 8 !�� 3x��_D�"`h1)_k��,�<6D��_:��` ¤g _o&'� 3x��_:��`F�N���_:���6D��_:��`���6D��_:�w/y� 3x��_D��` 7� �6D��_:��`�/ � 3�� 3x��_:��` 7�$¡ �6D��_:��`�F�N���_:� [16] _k�]1)No�]1 [17]

���

-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5

1

���-3 -2 -1 1 2 3

-4

-2

2

4

!��-6 -4 -2 2

-4

-2

2

4

6

&'�1 2 3 4 5 6

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

/y�-6 -4 -2 2 4 6

-4

-2

2

4

3��-2 -1 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Page 3: Apostila Matemática Cálculo CEFET Capítulo 11 Gabarito Respostas

11.2. CAPÍTULO 2 383

[18] ���:*�_��jV��y_ �` � 8 ��N|{�[N����A.G���(��� ���� �A!$�\�&<��Vj�j*���.�/y�:*$_��cV��x7� �` � 8 �#N�{��N����+i�_ �` ��.3����E���$���)6����E�G7H <78 �<9:��V�=��)@<���E������� C���V~� *���.|C�������g 1����g �)�<�o�5���g ��'����g 1����� � [19] ���"7� ��� � O 87�O � !��

¤g _&<�D�+� g _^�#�+/-�f� �A� I� O 8 , 3����2� g �A��_f6��

�P 7�O � ¡ 94�

� Q 88 � O�7 =�� �7\O � @<�

H�� O MI � Q I , C����� O(7 F5� ¥ ¡�� QR7¥ ¡�� O�7 [23]

���-1 -0.5 0.5 1

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

���-1 -0.5 0.5 1

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

!$�-1 -0.5 0.5 1

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

&'�-1 -0.5 0.5 1

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

[25]

���-2 -1.5 -1 -0.5

-1

-0.5

0.5

1

���-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5

1

!$�0.5 1 1.5 2

-1

-0.5

0.5

1

&'�0.5 1 1.5 2

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

/y�0.5 1 1.5 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

3��-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5

1

[27] ��� ����� � 8 � I �� [29] a) �'Z�6���/�N09R��_:� é a função inversa da função ��/�N090��_:� ; q#`b�'Z�6���/�N09R��_:� se esomente se _�`c�$/�N09R��q�� ; então: _�`� ��-O� ����8 , que é equivalente a: / 8�� ���)/ � _o� ��`�� equação quadráticaem / � , cujas soluções são: / � `�_fe g _ 8 ��� . Mas / ��� � ; então / � `�_f� g _ 8 ��� e qk`�F�N���_>�]g _ 8 ����� ;analogamente obtem-se as outras funções hiperbólicas inversas. Os respectivos gráficos são:

���-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

���1 2 3 4

0.5

1

1.5

2

!��-1 -0.5 0.5 1

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

&<�-4 -2 2 4

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

/y�0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3��-1 -0.5 0.5 1

-3

-2

-1

1

2

3

[30] 3��:3 é a identidade [31] 3x��_:��`���_Ri �<�������[!�� não. [32] 3 O�7 ��_:�A`���O�� �� � O ¥ [34] � S-J���3���`�V+ �J��53���`"!

-1-2-3 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

[35]

�<�-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

3

��� !��

Page 4: Apostila Matemática Cálculo CEFET Capítulo 11 Gabarito Respostas

384 CAPÍTULO 11. RESPOSTAS

[36] ��� � 8 � 78 � ��� 8������ ¢ �$£7�Q ����� ¡ ¢ ��£ !�� /�

[37] ��� �5����-� ��� ��;4���;'�|!�� �-7H ��o�L � [38] 3x��_:��` �2}_���z e6���_:��`h�)_ 8 �]v-_^�]; [41] �E� 8I ��y� [42] �5��[?)��i 3x�5? �"`l� [43] !�` I7�7 [46] Sim, periódica de periódo � ��� ,� �`b� . [52] �-�)��JG6 [53] Aprox. �$1;���� anos. [54] � ���G`s���� / O �� � H � � , vy� � }x6 [55] �1 � 1 dias [66] �$?�� � 1 ,anos [57] �-,)1z',�� �)1 , ��,, �)?�� } ? e ��,} ,)}�� z�� [58] a) vy1 ? � ,� doentes, 1 z);;�v�� ,y; doentes, b) ���� �1 dias. [60] z � �, ,��-�� � ���$z����$� 7 8��

11.3 Capítulo 3

[1] ���>��,2�����A!����%&'���2/y��g �%3���;�6��B� 77 �[��� 9:�<;2=���?+@<�D�+C����%F5��� [2] ����C~` M7 � Y ����Ck`c���1�!$��C~`�vy��&'��C^`��

[3] ��� Não, os domínios são diferentes. ��� Sim. [4] ���<;%��� 7 M7[7 !�����&<�D��/y���T��3���� �f6�����9:��� �:= ���(@<�"�G}�C��D�F5� MY JK��7H N0���s7M�Y S)���yJ U:��12W)����Z)��g ���#�"����� ���d7P 8 ¥�� ��7��� ��� [5] ����eXg ����� não existe !����X� �� [6] a) não

existe b) existe � c) existe ����&'� 8 7M /y�+� M7 I 3��D�-�w6��D�R9:���t�(=��� � �¥ @<��� [7] ����������1A!$�A7I &<����/y��7I 3��+�X7I 6�����94���=����"@'����C�����F5����Jt���+N0����S)���(U:����W)����Z)�D�%�-��� ����1 � ��� � ���������x_:��� [8] ���\4�����!���43��\49:�R=��\4C����F5��)U:���Z)�>��u&<�\4/-���6��\@<�\DJK�\�N0���S)�\�W)�R�B� �-�R�B� ���R�B� � ��� � ���B� [9] ���R� 7 IY ��� 7[7Y !$� 7I &<�D����/-� 77 8 3��<;A6��0�|;A94�0�7Y =��G� L[MH @<����C��D��F5����JK����N0��� [10] ����1�������!�� IH &<����/y�G�j��3�����6�����94��/ 8 =�� g /4@<��/ 8 C�����F5����JK��F�N��5,��N0�f��uS)���(U:����W)�D��Z)��/ O H ����/ O(7 [11] Ambos os limites são iguais: ���\4�����&'��;�!��\:3��|���^6�����/-�A78 9:�|�K;�=��D�4@<���

[15] a) 1 }); ;�� �y; e ; ���-v���� � b) ; ?1���� ?); [16] a) ���� ��� [17]

���-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

���-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

!��-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

&'�-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

/-�-4 -2 2 4

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

3��-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

[18] ���t�l�>��� IP M !���/w&'�H�/-���$/�N����$/�N���������3������<¢ 8 £8 [19] ���\������!���&<�\:94� contínuas /y�\�3����6�� descontínuas.

Desenhos correspondentes:

���-4 -2 2 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

���-6 -4 -2 2 4 6

-1

-0.5

0.5

1

!��-2 -1 1 2

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

&'�-6 -4 -2 2 4 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1

/-�0.5 1 1.5 2 2.5 3

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

3��-3 -2 -1 1 2 3

-20

-10

10

20

6��-1 1 2 3

-2

-1

1

2

[21] �<�k� �R����}2!��\4/-���0&'���%3���, . [22] ���\4���\�!����/y�\43�� , g) não d) sim [23] ���\�!����/y��V^��� , &'��V � *���.3��������#�� ��� �E����� � [24] ���\:����!����/y��3�� sim. [25] 3x�5� �o`m� . [26] 3x�5� �~` � 8 [27] ����3x�5� �o` 78 ����3x�5� �~`��!���3x��� �|` � [28] 6 é contínua pois 6���_D��` � _ � [29] Por exemplo: 7� e

� ¡ O(7� [31] Sim, considere a função6���_:�A`�3x��_D�x� nI [33]

Page 5: Apostila Matemática Cálculo CEFET Capítulo 11 Gabarito Respostas

11.4. CAPÍTULO 4 385

��� 3�`�3x� ���-4 -2 2 4

0.5

1

1.5

2

6k`#6�� ���-4 -2 2 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

���-4 -2 2 4

2

4

6

8

10

12

14

[35] Tome 6���_:��`c3x��_D�x��_ e aplique o TVI a 6 . [36] Tome 9R��_D��`c3x��_:��� 6���_D� e aplique o TVI a 9 .

11.4 Capítulo 4

[1] ���<qf��}_G���$�G`a�>�����y_o� qf�j�k`a��!��<q~� ,)_~� ;t`a�B&'���y_t�Xq~�]}G`a�>/-��qf� _�`���3���q~��;_X`¦�6��<;q���_ �#1]` �o94���)q~��_T�#,X` �^=���g 1)q����y_T�j�T`d�>@<�<qo�¦�T`b��C��<qG���)_��j�X` �~F5�<q���_ ���`m�~Jt��qo�l{�_h`���N0��1)q��#_T��1�`��oS)�<; q��c_T��1�`��BU:��� g �-q��c_T��1�`��oW)���)qt�#_K����`��Z)���yqo��;_��#,�` � [2] ��`be|} . [3] qG��}_���?�`p���qo��}_��c?�` � . [4] _c`���;4�q���; z_K�l���)z�` �[5] ���<q^�c�y_��#��` ����yqG� _t���K` ������<q���/�_����/�` ���/�q^��_���/ 8 ���K` ���!��<qG�c��` ���_�` ��&<�<qA�K�y_|� � 8 `�����yq"�o_|�o{t`���/y���)qA�o_|���%`����qA�K�)_���1�`��23��<q���{�_���{(F�N���{0��`����{�q���_��tF�N���{0��`�x6��<qt��_����f��F�N��5��t`m���qG�c_T�¦�>��F�N��5��t`��t94��q��cz)_��jz�`s���z)q��j_��h�]`�� [6] Uma retapassando pela origem é da forma q�` C+_ ; use o fato que _4q���� q�` � . ����� ��$}'�\�� 8I <7 M H� ��0���%��[1);<� . [7]q+�k; _+� �%`����qA�^;_"�o;>`�� . [8] 6��5�5� ��`�; . [9] 6��5��_:��`�3x��_ 8 ����)_ 8 3�����_ 8 � . [10] �<�<6��5�5� ��`��������������1'��`��z .[11] ��� � � � ��� � � � � � � � ������ 7� ¡ � � � � ��� � � � � � � � ��� � c) O�� � � Q � ¢ � � O�� �

£� ¡ ¡ [12] �<�(���'�>_:�����'�k,)_w���$�)_ 8 �

��; _ I �c��$_ H ��v-_ M ������1)_ 8 �5,)_ 8 ��1 ����_ M � _ I �c�-� 8 !$� Y ��� Q0� � ¡ Q H�� O�7 �¢ I � QR7 £ ¡ &<� M �� O L ��� O 8 7 � Q I�L ��� O � ¤ O�7 8 �$� Q(� � ¡ O 8 �¢ � ¡ O I £ ¡[13] ���D��,���51)_���, � H � ����v������)_ 8 ��1 ����;_ I �#1_K�c�-� Y !��G�#�y;:��}k� 1_:� n &'��1 �)_w��1)_ 8 �#;<� H /y� Y O Y � O I � ¡¢ H O Y � Q I � ¡ Q � � £ ¡3�����_ 8 � �-����_ I �j�)_:���5����_ 8 � �����51)_ 8 �j����h;_R��_ I �l�y_:�[��6����$z)_ 8 ��_ I �c}'� 8 �$/-! 8 ����_ I �c}'� I � ��6�����_ I �c}'� I �9:��� � Q II � O Y ���

� O:n� O 8 �R= �M�Y ¢ I � O 8 £��¢ 8 � QR7 £�� @<�>� 7�Q 8 �� ¡ ¢ � QR7 £ ¡ C��

� ¡ � ¢ � Qw7 £ ¡ ¢ � ¤ QR7 £��¢ � � Q I � Q(n £�� ���$z'�"� �,'v-_f�]}1_ 8 � �y_ I � �??_ H �];��-vy_ M ��� ��_ Y ���$z)_ n �X���$_ L � [14] �<��, � O�7 F�N��5, �0����� 7�O 8 � , O 8 � F�N����$�'�����$� � �]�-������� � ���-������� 8 � �����R!�� 8� � �<¢ M £ &'� 7�Q ���<¢

� ¤ £� ��¢ H�£/y� 7� Q � ¡ 3�� ��6�90��_:�'6���F�N����$�'�09:� 7� ���<¢ ��£ =���/� !�S)�'��/ � �:@<� 7� ��/ � !�S)�'��F�N���_D���R�X_:��/�N���F�N���_D�����

[15] ��� I � ¡8 P � � Q 8 ���D�$z�¢� Q H�£��¢ � Q(n £ � !���_

� O 8 ��_4F�N���_:�'�G_%�K�-�D&'�"7� 1 ���<¢ ��£ F�N���1'�D/-� � � ¢ � Q 8 £ ¢ 8 � ¡ Q 8 � O�7 £¢ 8 � QR7 £ �¡3�����_ 8 � � �5�w��F�N���_ 8 ���

6��<_ � ¡ Qw7 ���A�]F�N���_ 8 ���x94��_��� O 8 ������F�N���_D���0= ���$/�N � O�7 ��_:����_4!�S)� ��_:���]F�N��5��/�N���_D���[�$/�N���_:���@<�<_ � O(7 / � ���:��_4F�N���_:�[��C���!�S)��� ��¢ �$£ O�7 ��_:����!�S)� 8 ��_D��F�N���!�S)�'��_D���<�o��/�N 8 ��_:�[��F5�+¢�� �<¢ ��£�£�� ��� ���� ���:�GF�N���F�N���_:�[��� [16] ���+�� � ¡ ¢ ��£ ��� ¢ ��£g 7�O ��� ¡ ¢ ��£ ���

�! � ¢ ��£ � ��¢ �$£g 8 O �! � ¡ ¢ ��£ !���� �$/-!)���y_D� ��6��5�y_D�(&<��! � ¢ � � £I

/y��!�S ��6��5�)_:�x���y_%!�S)�$/-! 8 �5�)_:�w3�� 7 �I !�S)� H � � I �[��/$N�� � I ����!�S)� M � � I �x� �-��6��D�-�y_���/-! I �5�)_ 8 � ��6��5�)_ 8 �9:�%� � � � ¡ ¢ P 7�O � ¡ £P 7\O � ¡ =������5!�S ��6D��_:�:�t!�S)��/-!)�5�)_:�����5�!�S ��6D���y_D��!�S)��/-!)�5�)_:�:�t!�S)��/-! 8 ��_:���:@<��� 78 P � ��/�N��5� g _��(C�����/-!

8 ��_:�F5� 8 � �! � ¢ � ¡ £I � � ¡ � ¢ � ¡[£ JK�k�

8� � !�S)�'�A7� ¡ �0N0���y_���/-!)��_ 8 �[��/�! 8 �5��/-!)��_ 8 ��� ��6���_ 8 �S)�k� H� � �$/-! 8 � 7��¡ � ��6�� 7��¡ ��U:�k���y_�!�S)��/�! 8 �5��/-!)��_ 8 �[����/-!)��_ 8 � ��6D��_ 8 �0W)� 7� � ��¢ ¥ £ � ��¢ �$£ Z)� 7� ���<¢ ��£ [18] �<�f� 7��¡ QR7����� ¥ "�� � �<¢ ��£P 7�O � ¡ !��

8 �� ¤ QR7 &'�k� 7� ¡ QR7/y� 7� ¡ QR7 3��~�M� ¡ !�S)�-90� M� �R6���}��5!�S)�-90�51)_D����/�N090�51)_:����!�S)�'��1)_D����/�N���1_:����94�D��})_w��;_ 8 �X1'����/-!�9 8 ����; _ 8 �X1 � 8 �w=��^�8 ¢ � ¡ O�7 £¢ ��¡ Qw7 £�¡ @<���'Z�6<!�S)��9R��_D�xC��

H��H O �$¤ F5�8 �7\O �$¤ JK�

8 � ¥ " � �! � � ¢ � ¡ £P �$¤ O(7N0� �¢ 7�Q � ¡ £ �¡

!�S)��/-!�9R� 7P 7�Q �$¡ ��!�S ��6�90� 7P 7�Q �$¡ � [19] ���|�t_ 8 q O 8 4���|�I � ¡ Q 8 � �� ¡ Q 8�� $!$��� � �� &<� 8��8 � Q I � ¡ ��¡ Q Y � � � Q I��\¤ /y�|�

�R3��|� �� O � � ¡ ¢ � £ 6�� 7 � O(7 9:� 7�Q 8 �¡ Q 8 � � ¡� ¢ I�� � Q I � � O 8 £ =��|� �� @<� � ¢ 8 �

¡ O 8 � ¡ O�7 £� Q 8 ��¡ � O 8 � � C�� �! � ¢ � £ O � �! � ¢ � � £� ¢ �! � ¢ � � £ Q � �<¢ � £�£ F5� �� JK�����+� ¡ �$# �� N0�|��� S)� �� UD�k� 8��� W)� � O � ¡8 � � Q I � � ¡ ¢ � £ O � Z)�k� 7�Q �¡

7�Q ��¡ �� Q ¢ 7�Q � ¡ £ ¥%"�� ��� ¢ � £� Q ¢ 7�Q � ¡�£ ¥ "�� ��� ¢ ��£ � [20] ���%����-�\��5���������(���������� e ��������

[21] ��7L ��l77 Y � . [22] �k`�� ou �^`�1 [23] q<_4�+�X_�q)��`c�)� . [24] q �g _��+�X_ �g q��` �g _���q)� &4��&B$'k��`l�[26] ��� � M

I�Y � �(� ���I �� � !$�����5!�S)�'��_ 8 ���c�y_ 8 ��/�N���_ 8 �[��&<��� �$/-! 8 ��_D���5��/-! 8 ��_D�2�h� ��6 8 ��_D����/y����!�S)� ���y_D�%�c!�S)�'��_:�

Page 6: Apostila Matemática Cálculo CEFET Capítulo 11 Gabarito Respostas

386 CAPÍTULO 11. RESPOSTAS

3��f� 7¢ � QR7 £ � 6��Y Q H���$¤ 94� I �

¢ � ¡ O�7 £ �¡=��� �� � �5�����)_f��_ 8 �

@<�k��!�S)� 8 ��_D��!�S)�'�5��/�N���_D���w�]��/�N���_D����/�N��5��/�N���_:�[�xC��f� ��� �<¢ �$£ Qw7�$¡ � � ¡ ¢ �$£ �>F5�f� � � �<¢ �$£ ¢ 7�Q 8 �! �¡ ¢ ��£ Q � � ¡ ¢ ��£�£¢ 7�Q � � ¡ ¢ �$£�£�¡ �

JK� � � ¢ P ��£H�� �¡ � g _D��/�!8 � g _D�x� ��6D� g _D�0� g _ ��6 8 � g _:�[��N0� 8 ¢ 7\O I � ¤ £� ¡ ¢ � ¤ O�7 £ �¡

S)� Y ¢ 8 ��� Qw7 £� ¡ ¢ 8 Q � � £ ¡ [27] �����o����v��!��G� � �¢ I O � ¡ £ �¡

&<� 8 H¢ � O�7 £ � /y��z /

8 � QR7 3���� Y� ¤ 6�� 77 Y ��/�N��� 8 ��94���#� n !�S)� �5�'_:�<=��t� 8� �

@<����_^� v��/ � C�� Antes de derivar simplique a expressão.H L ¢ M � ¤ QR7 � � ¡ QR7 £¢ � ¡ O(7 £ � F��f� � 8 H�� ¢ � ¤ Q 8 � � ¡ QR7�7 £¢ � ¡ O�7 £ � �

JK��!�S)�-9 Y ��_D����/�N090��_:������ ,)!�S)�-9 8 ��_D�R� ,)�;'��/�N09 8 ��_:���RN0� � ¢ 7\O�7 � ¡�� Q H ¤ � £¢ ¡ � Qw7 £ �¡S)�k��z ��/-!�9 8 ��_:� ��6�9R��_D�������/-!�9 8 ��_D�x� ��6�9 8 ��_:���

U:���$/�N09R��_D��!�S)�-90��_:����!�S)�-9R��_:��!�S)�-90�5!�S)�-90��_:�����]1 ��/�N090�5!�S)�-90��_:�[���W)�k� 8� ¡ �5��/�N���F�N���_:�[�0�X!�S)� �5F�N���_:���[�<Z)� 8 ¢ 8 O �! � ¡ ¢ �$£�! � � ¢ ��£ [28] ; / 8 � ��3��5�5/ 8 � �R�X/ 8 � 3�� �5�5/ 8 � �[� . [32] � `ce��

[34] �<�k� I� � ��_ 8 ��q 8 q � 8 �w���f� 7�Q Y�� � Q � � ¡I � Q � !��k� 8 ¢ � ¡ O�7 £ � � ¡ Q � � � ¢ H�� Q I � � £ Q � ¡ ¢ 7�Q Y � � ¡ £H � � Q I � ¡ Q 8 ¢ � ¡ O�7 £ � O(7 &<� Y � ¢ 7\O ��£ O � � ¡�/y�G� ¢ O � ��¢ �$£ Q 8 �! � ¢ � � £ � � O � �<¢ � £ � � ¡ O � ��¢ � � £ ¢ � Q � � � £ ¡ £�! � ¢ � £ Q � �! � ¢ � � £ 3���!�S)��/-!)��q����5��/�N���_D�"� !�S)� ��q�� q�� 8 � [35]

M H � I8[M�Y [36] � H �I�8 [37]���<_0)�����-!��<_0)&<��g 1%� P IY _ , /y�D�"���)_03�� � I � � �6��<_Ry9:��F�N��5,����_0�= ������_^� � [38] �<��� � ,)����1������� � � 1��!������ z<v-;��&'����� ��'v v)��'/y�D�-,�� ,�)} ?�<3��<;�� ��',, [40]�$� 1��!�J I [41] i) �2z � O I ��� ��y; � O H =�=�� �A`l� [42] Aprox. }�

� �)9 [43] z� ���F �-J [44] 6 �\�6 [45] �)?�� ;�J ��$/$6 [46]�"C^P I8 !\J 8 �)9 [47] � g �x!\J �)��/$6 . [48] Aprox. ��} � v),�!�J ��$/$6 . [49] �5�,�{0� O�7 !�J ��$/$6 [51] ����� v<� , ,�� ,)} , � �E�-� e� � �$} [52] ��� � J �9

11.5 Capítulo 5

[1] ��� n8 ��� � !�� M��08 P 7��I &<� � H[2] ��� H QRP n YY ��� � !�� n8 &<� � H I �H[3] a) Não existe, b)

I8 , c) � , d) ��� , e) � , f) Não existe, g) ����21 , h) � 8 ��C<{ , i) C<{ , j)I �H ��C�{ , k) � , l) � , m)

Não existe , n) Não existe. o) _G`h� �_�`�� 7H �_G` IL p) _t`#� , _t`#� e _G`�� ¥� Q �

[4] a) Cres. em ����� I8 �4���5��\���]� , decres. em ����������-���K� I8 ��� , b) Cres. em �������� 78 �K� 78 \���]� , decres.em ��� 78 78 � , c) Cres. em �5��\���]� , decres. em ������[� � , d) Cres. em �������� � , decres. em ������[�'� , e)Cres. em �B7P \���]� , decres. em �5��o7P � , f) Cres. em ������[�'� , decres. em ����\����� , g) Cres. em V , h)Decres. em V , i) Cres. em ��������� � , decres. em ����������-� , j) Cres. em ��������%��x� � 8I ���� � , decres.

em ���%�� 8I � , k) Cres. em �����#$� nI �<��� nI ���� � , decres. em ��� nI nI � , l) Cres. em ��� 8 �I 8 �I � , decres�������� 8 �I �"��� 8 �I ���� � m) Cres. em V , n) Dres. em V o) Cres. �����#$��� , decres. ���\���]� , p) Cres.������[�'�����5��\���]� decres. �5��$��������� ��� .[5] a) Mín.

In , não existe máx. b) Máx � , não existe mín. c) Mín. � . máx. ��v , d) Mín � , não existe máx. e)

Máx8� , f) Não existem, g) Mín. � I8 h) Mín. �%� , máx � , i) Não existem, j) Mín. � H M , máx. �%� , k) Mín. � ,

máxY HM , l) Mín. � . m) Mín. g �|��� , máx ��g ��� � , n) Mín. � , máx eBg � , o) Mín. � , máx ��; p) Máx � , não

existe mín. q) Mín. ��� , não existe máx. r) Mín. ef� , não existe máx.

[6] a) Inf.MI , côncava para cima em �����# MI � , côncava para baixo em � MI \���]� . b) Inf. ��7I �� , côncava

para cima em ���������7I ��0�5������ � , côncava para baixo em ����7I �� � . c) Não existem; côncava para cimaem ����;����� � , côncava para baixo em �����#$��;'� . d) Inf.

8I , côncava para cima em � 8I ���� � , côncavapara baixo em �����#$� 8I � . e) Inf. ef� , côncava para cima em ����������-�x� ���\���]� , côncava para baixoem ��������������������\���]� . f) Inf. �2} , côncava para cima em ���2}�$�21 ������1����� � , côncava para baixo em��������2}'� . g) Inf. e P 88 , concava para cima em �����#$� P 88 �$��� P 88 ���� � ;côncava para baixo em ��� P 88 P 88 �h) Inf. �2} , côncava para cima em ���2}�\���]� , côncava para baixo em ��������2} � . i) Não possui pontos de

inf. côncava para cima em ����\���]� , côncava para baixo em �����#�� � . j) Inf. � e e I8 , côncava para cima

Page 7: Apostila Matemática Cálculo CEFET Capítulo 11 Gabarito Respostas

11.5. CAPÍTULO 5 387

em ������� � , côncava para baixo em �5��$��� . k) Inf. C � ! , côncava para cima em �5� CB� ���C�� , côncava parabaixo em ���CD��Cx�t�-� . l) Inf. � e � . côncava para cima em ������� ; côncava para baixo em ������[�'�-�B�5������ � .m) Inf. C2� 78 com C � ! , côncava para cima em �5� C|� I8 �� C�� 78 � ; côncava para baixo em ���C|� M8 ��C�� I8 � .n) Não possui pontos de inf. côncava para cima em todo V .

[7]

���

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-8

-6

-4

-2

!��

-6 -4 -2 2 4 6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

&<�-10 -5 5 10

1

2

3

4

6��1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

@<�-6 -4 -2 2 4 6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

C��-1 -0.5 0.5 1

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

F��-1 -0.5 0.5 1

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

N0�-2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

U:�-2 -1 1 2 3

-4

-2

2

4

W)�-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

���-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

���0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

� �-3 -2 -1 1 2 3

-0.5

0.5

1

1.5

2

� �-4 -2 2 4

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

�|�-3 -2 -1 1 2 3

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

_:�0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

0.025

0.05

0.075

0.1

0.125

0.15

0.175

0.2

q��-1 -0.5 0.5 1

-0.2

-0.1

0.1

0.2

r � 0.5 1 1.5 2

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

[8] C~`h�21 , [9] a) _ � `�� �I ¥ .[11]

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Exercicios de Otimização

[1] 1 � � � � � , [2] Cubo de volume � �Y � , [3] ; � � � � , [5]� ` 8 � � ��\P I [6] ���[�'� , [7]

H P I� {�ZI, [8] Z>`j,xJ e 9G`j,xJ ,

[9]8I g 1 , [10] � 7H [�'� , [11] Quadrado de lados g � , [12] Comprimento de cada cateto

�P 8 , [13] 9c`bZX`

7 8� Q HJ , [14] � , [15] ��6�� � �|` P 88 , [16] Z�`�9�` � . [17]largura

8 ¥ P II , altura8 ¥ P 8P I [18] largura

HY O(P I , altura

Page 8: Apostila Matemática Cálculo CEFET Capítulo 11 Gabarito Respostas

388 CAPÍTULO 11. RESPOSTAS

Y O 8 P IY O�P I [19] �$� e ���$� , [20] n�H e v , [21]

8 ¥ ¡P ¥ ¡ Q � ¡ e

8 � ¡P ¥ ¡ Q � ¡ [22] a) Jd`���� Q � ¡ � ¡ Q Q � � � �� ¡� Q �¡¡ Q Q ��¡� b) qG`b7�� �I � . [23]

� ` ' . [24] Aprox. aos 20 anos. [25] _T` � 8 e Zo` 8 ¥� [26] a) F�N���1'���XF�N����� , b) a droga é completamenteeliminada. [27] �$z�� � �xJ[28]

L’Hôpital:

1) ��� , 2) � , 3)] � , 4) � , 5) � , 6) � , 7) ��� , 8) � , 9) � , 10) � , 11) � , 12) � , 13) / 8 , 14) � , 15) / 8 , 16) � , 17) ��� , 18)��� , 19) / 8 , 20) / O �� , 21) 78 , 22) � , 23) � , 24) �%� , 25) � 8I , 26) � , 27) � , 28) � ¡ Q �8 .

11.6 Capítulo 6

[2] a)ML ��_ 8 ���-� ¤ � ��! b)

I8 F�N���_ 8 �c���x� ! c)8I ��_o��,� �¡ � ! d) � 8¥ g �����'q>��!yi�� �`�� e) 7H �5��\q 8 �]�'q H �x��!

f)LI g _ I �Xz�� ! g) 7M O I � ¡ � ! h) � 78 ¥ ¢ ��Q ¥ � £ ¡ � !yi����`¦� i) 7Y � �5�>����_ H � � ¡ � !yi4� �`h� j) ��� ¡ ¢ ��£8 ���F�N���_D�R� ! k)

� 7Y !�S)� I �5�)_:�0� ! l) ��/-! 8 � � 8 �0�X! m)8¥� ��� ��/$N��5�'_:�0�]!yi�� �`c� n) � 7� �<¢ ��£ �]! o) 78 g �A�X_ H � ! p) 7I / ��� � ! q)

7H � Zy!���/�N 8 ��q����f! r) � 7H �'Zy! ��6���; / O � ���f! s) � 78 ¢ �! � ¢�� £ O M £ ¡ �f! t) � 78 � 7� ¡ Q Y � ���f! u) F�N���F�N���_:�[���f! v) / ¥%"�� � �<¢ ��£ �f! w)�2!�S)�'��F�N���_D����G! x) ����/�N�� g _k���$��G! y) 78 ���:��_ Y �

¡� ��! z) � �<¢ I � £� ��¢ I £ �G! [3] a) � g ���'Zy!���/-!)� �P 8 ��G! b) _2�~F�N���/ � ����)��! c)

8I g _k�����_��~��)��! d) � g ����_ 8 ��! e) �����A� g _:�'�~�)F�N�� g _+�����)��! f)8M� �A��_ �� ��zx�k;_ �� ��1)_ ¡� �)��!

[4] a) / � ��_%�K�-� ��! b) �)_:��/�N���_D������_ 8 ��� ��!�S)�'��_D� ��! c) �7�Q � ��! d) ���� ¢ � � �<¢ � � £ O �! � ¢ � � £�£� ¡ QR7��! e) 78 _R����/$N��5F�N���_:�����

!�S)�'��F�N���_D�������#! f) � 78 g ����;_ 8 � _%�'Zy!�!�S)�'�5�)_:���#! g)I � ¢ � �<¢ ��£ Q �! � ¢ ��£ � ��¢ I £�£7�Q ¢�� �<¢ I £�£�¡ ��! h) ¢

� ¡ QR7 £ ¥ "�� ��� ¢ �$£8 � � 8 �#! i)78 �5��/-!)��_D� ��6���_:��� F�N�� � ��/-!)��_:��� ��6D��_:� � ����� ! j) ��_4/ O � � ! k) ��� ��_�������� ! l) � 7I g ����_ 8 ��_ 8 � � ����! . Sugestão:faça � `�_ 8 . m) ��_�!�S ��6D��_:����F�N�� � ��/�N���_D� � ����! n) _���/-!)��_:�0� F�N�� � ��/-!)��_D�:����6D��_:� � ����! o) !�S)�'�5,)_:��� Y �7 8[M �

���M �D���/�N��5,y_D��� I � ¡8�M � YY�8[M ��G! p) ��/�N��5�y_D��� �

¤8 � I � ¡8 � IH ��G!�S)�'���y_:����_ I � I �8 � ��! q) / � ��_ H �^;_ I � ���)_ 8 �o�);_+���y;<��G!r) �2/ O � ��_ M ��,y_ H �u��?)_ I ��, vy_ 8 �u���,)_ �u� ��,���¦! s) !�S)�-9R��_:�(��_ 8 �¦� �|�l��_���/$N09R��_D�2�h! t) 77 Y �[���f�z)_ 8 ��� Z�6���/$N09R�5�)_:�)�>�y_ g �A�X;_ 8 ���k! u) �2/ O � ��_ H �f;_ I �G�-�y_ 8 �^�y; _x�^�);'�$�k! v) _A�B�'Z-!$�$/�N���_:� g ����_ 8 �k! w)_ ��6���_D���^F�N���!�S)�'��_:���-�^! x) _>��F�N I ��_:��>1F�N 8 ��_:�-�^}F�N���_:��>}'���^! y)

8 � �¡� ��1 F�N���_:��f��-�^! z)

87 M ��_����-�

�¡ ��1_A�f� ���~![5] a) 78 ��_ g _ 8 �#�%���'Z�6���/�N09R��_:�[���#! b) 7H �5��/�N���_ H ����_ L � ������y_ H !�S)�'��_ H �[���#! . Sugestão: use ��`�_ H . c)� 8 �5!�S)�'��F�N���_:�[� �t��/�N���F�N���_:�[��� ��! d) �/ P � � g _��K�-� ��! e) ���5��/�N�� g _D��� g _4!�S)�'� g _:���'��! f) / �

¡ � � ¤8 �~_ 8 �T��� ��! .[6] a) 7I ��6 I ��_:�y�o! b) � � � ¢ �$£L H � �51 ,)!�S)� ��;_D��^�)z !�S)�'�5�y_D�y�o, v�y�~! c)

� L � � ��¢ H���£I�8 �~! d) �%�� !�S)� ��_:�$���D� 8M !�S)� 8 ��_:�y�7� !�S)�

H ��_D���R� ! e) !�S)�'��_:�R�]F�N�� � !�S)�$/-!)��_:����!�S ��6���_D� � �R� ! f) �G7Y !�S ��6 I ���y_D�0� ! g) �G7M !�S ��6 M ��_:�w�X! h) 7L ¥ �51�'_o�1!�S)� �5�'_:����/�N����'_D�+� ���/�N I �5� _D��!�S)�'�5� _D�����#!yi�� �` � i) � �! � � ¢ � £n �5��/�N 8 ��q��x� 8M ����! j)

��� � ¢ ��£M [7] a) �GP 7 Y O �$¡� ��'Zy!���/$N�� �H ���k! b) P � ¡ OD�7 L � ¡ � 7M H � Zy! ��6��

IP � ¡ OD� ���k! c) �GP M O � ¡M � �k! d) F�N�� � _x� g _ 8 �Xv � �$�k! e) 7M F�N�� � �M Q P 8[M O � ¡ � �$�k! f)

� I8 � Zy!���/�N����<��_:�$� 78 ��_(�B1 � g �)_~�T_ 8 ��! g) � ¢ 7Y O:� � ¡ £ � ¡L � � � ��! h)

� O 8H P H�� O �$¡ ��! i)� 8 g _ 8 � �<��F�N�� � _0� g _ 8 �]� � �\��! j)

P 88 � Zy! ��6�� � P 8P 7\O ��¡ �\��! k) P 8H F�N�� ��P 7�Q ��¡ Q � P 8P 7�Q � ¡ O � P 8 � �\��! l) P ��¡ O HH�� �B! m) nL 8 �¡ Q(�P H��$¡ Q(� ��! n) 78 _ g �A��_ 8 ��_ 8 ��78 �'Z-!$�$/�N���_:�\�

! o) � g / � ��� �B! p) g _ 8 � � �>F�N�� � _R� g _ 8 � � � ���B! q) �GP � ¡ Q HH�� [8] a) � �! � ¢ ��£8[M g 8[M O �! � ¡ ¢ �$£ �>! b) � � ��¢ �$£H g ¢�� �<¢ ��£�£�¡ O H �>!

c) F�N�� � � �<¢ ��£ Q g � � ¡ ¢ ��£ Q H8 � �+�c! `d�'Zy!���/�N090� � �<¢ �$£8 �+�j! [9] a) 78 �'Zy!���/�N��5�)_ ����+��! b) �G7I g 1_ 8 ��_k���|�P I7 L F�N�� � g 1)_

8 �T_k���2�#g 1y_t�aP IY � ����! c)8H � ��� n ¢

I � Q L £� ¡ Q I � Q H �]}'g vx�'Zy! ��6D�I Q 8 �P n ������! d) �'Z$6���/�N090� 8 � Q IP 7[7 ����! e)

F�N����y_R���-��� g _ 8 �T_o� �����|! f)MH g ;_ 8 �X1_k����� �7 Y �'Z�6��$=�N090�

L � Q IP n �[�|! g) �2� Zy!���/�N��5����_:� h) � g 12� �y_k�X_ 8 ��'Z�6���/�N�� � O�78 �2�l! i) g ;���1)_f�X_ 8 � I8 �'Z�6���/�N090� 8 � O IP n ���h! j) g _ 8 �]})_k�]1);����'Z�6���/�N090� � Q IM ���h! [10] a)78 H F�N�� ¢ � Q 8 £

¡� ¡ O 8 � Q H �0� P

I7 8 � Zy! ��6��

� O�7P I �0� ! b) F�N�� � � O(7� QR7 � �x���)�'Zy! ��6D��_:�0� ! c) 78 F�N���_ 8 �]� �0� 7¢ � ¡ Q 8 £ ¡ �]! d) 78 F�N���_ 8 ����A� 7�$¡ QR7 �#! e) � 7� � � Zy! ��6���_D���#! f) F�N�� g _ 8 �����A� 78 �'Zy! ��6D��_:�"� �8 ¢ �$¡ QR7 £ �#! g) F�N�� � ��� O �

¡ Q �¢ � Qw7 £�¡ � �+�I� QR7 �

Page 9: Apostila Matemática Cálculo CEFET Capítulo 11 Gabarito Respostas

11.7. CAPÍTULO 7 389

8P I � Zy! ��6��

8 � O�7P I �)�o! h) � 78 ��¡ �^F�N���_D�)� 78 F�N���_ 8 �����)��! i) � � Q I8 ¢ ��¡ Q H�� Q M £ �X78 �'Zy! ��6���_A�G��)��! j) _A�oF�N�� � �P �$¡ QR7 � �)��!k) 78 � I � O�7�nM O H�� Q ��¡ �#�-,)�'Zy! ��6D�����X_D���x��F�N���,��X;_~� _

8 �w� ! l) F�N�� � � QR7P � ¡ Q � QR7 � �w� PII �'Zy! ��6D� 8 � QR7P I �w�#! m) � 7M � � �

7I � � � 7� �j�'Zy! ��6���_D�%�h! n)I8 F�N � _ 8 ��_�� � �4� M P II �'Zy! ��6�� 8 � O(7P I �2�¦! o) F�N � � O(7� ��� 7� O�7 � 78 ¢ � O�7 £�¡ �¦! p)

7H F�N�� � � ¡ O�7� ¡ QR7 � �-�o! q) F�N � _¡� ��_ 8 �o? � ¤ �� ��� 7� � �

8�Y8 n �'Z-! ��6D�� I �y�~! r) 7L �5z)_"�

8 ¢ H Q M ��£� ¡ Q 8 �^, g �x�'Z-! ��6D��P 8 �y�~F�N��

� ¤¢ � ¡ Q 8 £ ¡ �-�o!

s) F�N � P �¢ ��¡ Q 8 � Q 8 £ �¤

�E� � Q 88 ¢ � ¡ Q 8 � Q 8 £ �>! t) 7L F�N � �¡ Q 8 � QR7� ¡ Q 8 � Q M �E�f! u)

8M F�N�� � _ � ��� 8 77 � F�N�� � _w�k,�� �-�I8 F�N�� � _x�o� � �$�>! v) F�N�� �E��_ 8 �

��� g _ 8 ��� � �$�k�'Zy! ��6���_:���k! [11] ��� �$/�N���_:���5F�N����$/�N���_:���)�~�����k! ��� M �� � ¡ ¢ M £ ��_�F�N��5, �y�~�-�$�k! !�� 7I ��!�S)�'��_ I �$�

_ I ��/�N���_ I ���B! &<� � � � ¢ ��£I �>! /-� 78 �5��/�N���_D��� � �<¢ n �$£n ���B! 3�� � 7I ¢ � ¡ Q H�£ �¡�>! 6�� �'Z�6���/�N09R� � 8 �o�����>!

9:� 78 �5/ � g ?���/ 8 � �o?��'Zy!���/�N�� �I ���)��! =�� 7I F�N���_ I �o1_ 8 �o;'�)��! @<� 78 F�N���_ 8 �G�y_A�o;'�'� H P II �'Z-! ��6D� � QR7P I �)�! C�� � ¡8 ��F�N�� � ���¡ QR7 � �<��! F�� g ,x� Zy! ��6���P MM !�S)�'��_D���4�G!�S)�'��_:���K! JK� 8� QR7 � 78 ¢ � Qw7 £�¡ ��F�N�� � _%��� � ���K!N0� 77 Y �5F�N����y_w�B�����%F�N����y_(�Bv)�[����!:S)� F�N���_D��� 78 F�N���_8 ��1 ��� 8 P II �'Z-! ��6D�-P II _:����!4U:� ��F�N���_w�B����� 78 F�N���_ 8 �k�-���

1��'Zy! ��6���_:�)��!xW)� I8 � �5�)_ 8 �^1 ����_ 8 �K�-� ¡� �o! Z)� � g _��~���'Zy! ��6�� g _:�)��! s) 77 8 P M F�N�� 7L Q0n � ¡ Q I � P M P ��¡ Q HO�7 L O:n � ¡ Q I � P M P � ¡ Q H �)��!

t) F�N���_^� �-�R��F�N��5�y_^� ���]g _ 8 �]�)_~��� �(��! u) �'Zy! ��6D� � �<¢ ��£�! � ¢ �$£ Q � �<¢ �$£ �(�X! v) F�N�� � _f�X��/�N���_:��� �R��! w) F�N�� � �����/�N��5�y_D� � ��G! x) � g �x�'Zy! ��6���P

� O�78 ��G! [12] a) �GP 88 ��F�N�� g � ��6���_����� g �(����<�~F�N���� g � ��6���_����<� g �0����[��G!c) P 88 �'Zy! ��6���P 88 ��6D��_��)� ���(�]! . [14] qk`�� �! � ¢ 8 �$£8 �]��/�N���_D�0� �y_k� MH , [15] � ¡8 ¥ � � �¥ � � � ��¢ � � � £¥ ` �0� C .

11.7 Capítulo 7

[1] Método de substituição:

a)8[YI b) 7I c) F�N��5/ � �c��� d) g �>��� e) 7H f) 78 F�N�� ¡ QR78 � g)

8 Q � �<¢ 8 £8 P 8 ��� h) �|�]/ O�7 i) �)/ 8 � �/ j) 77 � 7 k) � ��¢ I £8 l);"��� � F�N��5�� m)

H I n) !�S)�'���-�4�G!�S)�'��/y� o) � p) 7I ��/�� ��� q)IH �5, ¡� ��� ¡� � r) �

¡L s) �����x�GF�N�����[� t) ����!�S)�'�5� �4�G!�S)�'��1'���u) � ¥ �I v) F�N�� HI � w) ����!�S)�'��F�N�����[� x) 7I F�N��-7�QwP M8 �[2] Método de integração por partes:

a) ��� �/ O�7 b) 77 I �51>� �/ � � c) �2F�N���1'��� I� QR77�Q � � ¡ ¢ I £ � d) �);>�]}',)/ O�7 e) F�N����-�)z ��� I8 f) 7H ��{ � ��F�N��5� ��� g)

8I � I P ILh) 7H ��{��#F�N���;<��� i) 8 ��� j)

8 �I � F�N��-P I O(7P I Qw7 � k) ;'F�N��5� ��� I8 l) �G78 ��/ � �c��� m) ��� n) �)/ 8 o) }>� �/ p) {�� � q)7H ��{t��F�N���;<��� r) � 8 � � s) g 1���78 F�N���P I QR7P I O�7 � t) � u)

H� ������� g �2� g �yF�N��5z �[� v) �I�8 w)

8I x) � H7 M[3] a)

8 Q � �<¢ 8 £8 P 8 �h� b)M ���<¢ M £ O H��� ¡ ¢ M £ c) � 8I d) nI e) � f) 78 H � P Mn M g) � Z�6��$=�N09R�5� �"���'Z�6��$=�N090����� h) 7H ��?{���;<g �^�

�$z �'Z-!$��=�N�� 7I �[� i) F�N�� M¡�8 � j)

MH F�N�� I8 ��� ML k)I8 � �)F�N��5� �0��F�N���,� l) ��� g ,y�'Zy! ��6D� P MM � m) � ML �XF�N��5� � n) 77 Y F�N��

8 n7�7 �o) 78 F�N���1 �:�lP I� { p)

M8 F�N�����(��1�'Zy! ��6D�51 �:� 1 �'Z-! ��6D���� q)I8 � �512� �g ;'� r) ��� � 8 s)

I ���n t) � u) P 88 v)

8M � v)F�N��5, �D�?F�N��5� �w�h�$}F�N���1'� w)

¥ ¡H ��{�� �� x) �H P I ��{T� � Zy!�!�S)� ��v)�[� [4] a)�g _ 8 ��� b) _���/�N���_D� c) _%F�N���_:� d) g _ H ��� e)

/ � g �A�X/ 8 � � g ����_ 8 f) �y_|�$/�N���_ H � g) � � ��_ 8 ��1 h)I ���P 7�Q � � [5] �^`����3x��_D��`h� [6] Pontos críticos: _G`�N�{ .

Se N par N�{ é ponto de mínimo; se N ímpar N�{ é ponto de máximo. [7] �<� 78 ����� c) �)F�N�����0�X� d) � �<¢ 8 £8 e)H� f) /A� � [8] Use ���<_ 8 �]� � _ 8 [10] a) � , b) � , pois ambos os integrandos são funções ímpares. [12] {~���[14] ���y_��j�-��� O �

¡ ¢ � Qw7 £ ¡ �X_�� O ¢ � ¡ Qw7 £ ¡ QR7 [15] 6��5��_:��` 7� �6���� 78 �|` � [16] Use o método de substituição. �[18]

-4 -2 2 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Page 10: Apostila Matemática Cálculo CEFET Capítulo 11 Gabarito Respostas

390 CAPÍTULO 11. RESPOSTAS

Áreas

�E��� ; 1 -1 -0.5 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

� �y� ��

-1 -0.5 0.5 1

-0.4

-0.2

0.2

0.4

� 1)� 1 �

0.5 1 1.5 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

� ;)� �}

-1 -0.5 0.5 1

-0.1

-0.05

0.05

0.1

� ,-� �0.5 1 1.5 2 2.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

� })�s{1 2 3 4 5 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1

� v�� 1 }2 4 6 8 10

1

2

3

4

5

6

� zy� � �$1�-� 0.2 0.4 0.6 0.8 1

2.5

5

7.5

10

12.5

15

� ?y� �$��� g v2� g �)�1 2 3 4 5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

�����y� ��-� ���yv g �-v�� ��� 0.5 1 1.5 2

2

4

6

8

�E���� ��-2 2 4 6

1

2

3

4

5

6

�E���y� �-2 -1.5 -1 -0.5 0.5

0.5

1

1.5

2

�E�$1y� ,}1 -1 1 2 3

2.5

5

7.5

10

12.5

15

�E��;� ;��,

-1 -0.5 0.5 1

-0.2

-0.1

0.1

Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas:

[1] �8 [2]I�8I [3] �8 [4] 7 H MY [5] 78 [6]

I�8I [7] 7 8�MY [8] v)� [9] � [10]H7 M [11]

Y HI [12] 7Y [13] �$z [14] 7I [15] �'g �%� � [16]� g 1>� ��� � Y [17] 7Y [18]

H��j� [19] �8 [20] 1; [21] ����/ I �]/ O I � [22] /��X/ O�7 [23] / H � , [24] 7 8[L7 M [25] � [26]78 ��/%� / O�7 �]�� [27] 7 MH [28] } [29] ? [30] � 8 �#� [31] � [32] {��]��F�N����� [33] {��]� [34] 7 YI [35] 77 M [36] � [37]

/|� I8 [38] 7I ��; g �B�], �R� / O�7 [39] � �<¢ 7� £ O�7� �<¢ 7 � £ [40] 7 H LI [41]

H I [42]8 nH [43] 7 8�L7 M [44]

LI [45] !B`a����%�X1 / O 8 [46]!2` P 88 78 ����� 7P � [47] !2`�/' 78 [48]

8 �I � P I8 [49] �-� [50] ����{G� 8I �

Volumes

[1]8�YI { [2]

8 � Y7 M { [3]

8I�M { [4] � 8 [5]M 7 8 �I [6] 7

��� [7]

M[M �Y [8]M �8�L [9] �

¡8 [10] � ¢ ¡ O�7 £H [11]I[8 �I [12] � 8 ��/ H �]/ O 8 �

[13] z){ [14] 7 M �¡8 [15]

8[M�YM { [16]I �8 [17] }); { [18] z{ [19]

Y H �7 M [20]8 P M �I [21] 7 Y P M �M [22]

8 �I [23] � Y [24] � 8 ��/ H �,)/ 8 �X; /"�]� � [25]

8[8 7 �H M [26] � Y [27]L �I [28] 7 Y7 M { [29]

Y H P 8 �7 M [30]Y H L �M

Comprimento de Arco

[1] ; g �} [2]M�IY [3]

M[IY [4] �2� 78 F�N�� I8 � [5] 7 HI [6] ��� [7]H I [8]

I[LI [9] 7 HI [10]8 P 8I ��, g ,B����� [11] 7 I P 7 I O L8 n [12]

7 I P 7 I O L8 n [13] � 8� [14]I 7Y [15] F�N���g 1'� [16] F�N��5����g 1 � [17] �L [18] F�N���g �����-� [19] g }+��g ��� F�N�� M Q 8 P YI Q 8 P 8 � [20]

F�N��5/+� g / 8 � ���

Page 11: Apostila Matemática Cálculo CEFET Capítulo 11 Gabarito Respostas

11.8. CAPÍTULO 8 391

Logarítmos

[2] Sugestão: Escreva 7-QR7 `���� � � � 8 � �

�Qw7 . [5] F�N������ ����#���E��z �} e� ��� � � � � � � �� �); . [7] _�`l� .

Trabalho

[1] ��� 7��[n7 8 ��� �y; !�� I8 � &<� I 7�7I � /y� { � � 3�� � 6�� 78 ���|�]/ O M � � � [2] ; � � [3]M �I � [4] � � [5]�, � � [6] � � [8] Da segunda lei de Coulomb 3x��_:��` � ¡�$¡ então ��� z �X��� H /�Z�6 [10] a) � 78 8M � b) � 7[77 I

H �7 I � c)���� � L � .

11.8 Capítulo 8

[1] a) � b) �7 8 c) F�N����� d) 78 e) � f) ��� , diverge. g) � , diverge. h) � 78 � �<¢ M £ i) ��� , diverge. j) ��� , diverge.

k) { l) �7�Q � ¡ m) 78 n) diverge o) � 8 p) � �<¢ 8 £8 q) 78 r) 7H s) ��� , diverge. t) 7L u) o limite não existe. v) � 8 w)��� , diverge. x) 7� ��¢ 8 £[2] a) � 8 b) �%� 78 ¡ c) �P 8 [3] a) ; b) 1 ��/�N������ c) � 8 d) �B� 8 ¡ e) nM ��F�N��5��[� � � f) diverge. g) diverge. h) { i)

MI j)P IH k) � 8 l) diverge. m) diverge. n) { o)

M 7n p) � � I q) diverge. r) �� F�N����� s) {o�X� t) diverge. u) diverge. v)

diverge.

[4] a) � � � b) Para todo � � � c) � � � d) � � � e) � � � f) � � � g) Sugestão: Faça 7\O �! � ¢ ��£��� ` 8 � � ¡ ¢ � ¡ £��¡ ��� � ¡ .Utilize limites fundamentais e o teorema de comparação de integrais imprópias. �B� 1 .h) Sugestão: Faça � �� � �¢ � �<¢ �$£�£ � ` �

� ¡� � �¢ � �<¢ ��£�£ � � � �� ¡ � �¢ � �<¢ ��£�£ � e na segunda integral faça _K`c{t��� . Utilizelimites fundamentais para aplicar o teorema de comparação de integrais imprópias. �B�c�[6] �K` 77 L [7] Utilize que a função 3x� ���%`¦/�� � � � é par. CK` �%� [9] � ��_ � ���%` � Q¥ 3x��_:��& _ , � ��_X�l���%`� ¥O� 3x��_:��& _ [10] a) }? � b) 1 ���

Page 12: Apostila Matemática Cálculo CEFET Capítulo 11 Gabarito Respostas

392 CAPÍTULO 11. RESPOSTAS