apostila matematica

Índice.

Equação do 1º grau....................35 PORCENTAGEM......................33 Função Quadrática....................37 Progressão aritmética................39 Grandeza.....................................25 PROGRESSÕES Números inteiros..........................3 GEOMÉTRICAS....................41 Números irracionais...................13 RAZÃO E PROPORÇÃO.........26 Números naturais.........................2 Regra de três...............................29 Números racionais.......................8 Regra de três composta.............31 Números reais.............................15 Sitema de medidas......................23

Números naturais

O conjunto dos números naturais são N = {0,1,2,3,4,5,.......} Estes são os números naturais, nesta ordem. Cada um dos naturais tem um único sucessor, obtido quando a ele somamos o 1. Os naturais podem ser pensados como símbolos que representam certas quantidades. Foram e serão sempre necessários para se contar objetos. Contar um conjunto de objetos é associar a cada um deles um número natural, começando do 1 e indo na seqüência crescente. Isso significa que estamos pondo em cada objeto uma etiqueta identificadora. Ou então podemos pensar que estamos vestindo os objetos com camisetas numeradas, uma para cada objeto diferente. Quando acabamos de fazer isso, ou seja, quando acabamos de contar, o número na camiseta do último objeto é a quantidade de elementos -- ou de objetos -- do conjunto. O maior de todos os números, para uma criança, pode ser 100, 1000 ou 10.000.000.000.000. Mas, se nos perguntarmos seriamente sobre o maior número natural, não será difícil perceber que ele não existe. Imaginemos que de fato ele exista e que tenha um nome. Vamos chamá-lo de "longínquo". Ora, se cada número é sempre seguido por um sucessor, depois do "longínquo" virá "longínquo" + 1, que irá roubar de "longínquo" a qualidade de último e maior de todos os números. Assim, os números naturais são um exemplo de um conjunto infinito, ou seja, que não tem fim, não acaba nunca. O símbolo do infinito (um "oito deitado") representa esta idéia de algo a que nunca se chega. Experimente perguntar a seus amigos o que é infinito e peça exemplos de conjuntos infinitos. Você vai ouvir que são infinitos os grãos de areia na praia, ou o número de gotas no oceano, ou de estrelas no céu. Analisando esses exemplos, podemos entender melhor o que é infinito. Serão infinitos os grãos de areia da praia de Copacabana? Não sei. Vamos contar. Para isso, temos que ir à praia munidos de uma caixinha de fósforos vazia. Depois, temos que olhar bem a paisagem, calculando aproximadamente as muitas medidas do lugar. O comprimento da orla é de cerca de 5 quilômetros e a extensão da faixa de areia é de mais ou menos 50 metros. Vamos dizer também que a profundidade da camada de areia seja de 100 metros. Acabado o passeio, voltamos para casa, sem esquecer de encher a caixa de fósforos com areia da praia. Mas faça isso sem apertar os grãos. Limpamos uma mesa bem grande e jogamos sobre ela o conteúdo da caixa de fósforos, espalhando o melhor possível os grãos. A idéia é a de que, sobre a mesa, fique uma camada de areia com uma área calculável e a espessura de apenas um grão. Depois de estimar a área da camada espalhada, separamos um quadrado de 1 centímetro de lado e contamos, nele, todos os grãos de areia, com a ajuda de uma lupa e um estilete. Isso vai dar um trabalhão, mas depois fica mais fácil. Basta multiplicar a quantidade de areia contada pela área da camada de areia e, depois, pelo volume estimado da praia de Copacabana, mantendo a coerência entre as unidades métricas. Se contarmos 10 milhões de grãos na caixa de fósforos, que deve ter um volume de 10 cm3, obteremos um total de. Ou seja, chegamos à ordem de grandeza de 1020 grãos de areia. Pronto. Este é um número finito, que pode até ser escrito num pequeno pedaço de papel. Operações com números naturais:

3+4=7 12840+10000 = 22840 10 – 2 = 8 15 – 16 = não existe em números naturais o resultado seria -1 que pertence aos números inteiros. 450x15 = 6750 5714 x 415 = 2371310 8640 / 235 = 36 Reconhecendo os elementos da divisão: Representamos a divisão assim: O número a chama-se dividendo, b é o divisor, q é o quociente e r é o resto Números inteiros

Introdução aos números inteiros

Na época do Renascimento, os matemáticos sentiram cada vez mais a necessidade de um novo tipo de número, que pudesse ser a solução de equações tão simples como:

x + 2 = 0, 2x + 10 = 0, 4y + 4 = 0

As Ciências precisavam de símbolos para representar temperaturas acima e abaixo de 0º C, por exemplo. Astrônomos e físicos procuravam uma linguagem matemática para expressar a atração entre dois corpos. Quando um corpo age com uma força sobre outro corpo, este reage com uma força de mesma intensidade e sentido contrário. Mas a tarefa não ficava somente em criar um novo número, era preciso encontrar um símbolo que permitisse operar com esse número criado, de modo prático e eficiente. Sobre a origem dos sinais A idéia sobre os sinais vem dos comerciantes da época. Os matemáticos encontraram a melhor notação para expressar esse novo tipo de número. Veja como faziam tais comerciantes: Suponha que um deles tivesse em seu armazém duas sacas de feijão com 10 kg cada. Se esse comerciante vendesse num dia 8 Kg de feijão, ele escrevia o número 8 com um traço (semelhante ao atual sinal de menos)na frente para não se esquecer de que no saco faltavam 8 Kg de feijão. Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 2 Kg que restaram, escrevia o número 2 com dois traços cruzados (semelhante ao atual sinal de mais) na frente, para se lembrar de que no saco havia 2 Kg de feijão a mais que a quantidade inicial. Com essa nova notação,os matemáticos poderiam, não somente indicar as quantidades, mas também representar o ganho ou a perda dessas quantidades, através de números, com sinal positivo ou negativo. O conjunto Z dos Números Inteiros Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por:

Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}

Exemplos de subconjuntos do conjunto Z (a) Conjunto dos números inteiros excluído o número zero: Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...} (b) Conjunto dos números inteiros não negativos: Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...} (c) Conjunto dos números inteiros não positivos: Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0} Observação: Não existe padronização para estas notações.

Reta Numerada Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar que se fosse adotada outra forma, não haveria qualquer problema. Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros possuem um e somente um antecessor e também um e somente um sucessor. Ordem e simetria no conjunto Z O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta (em Z).

Exemplos: (a) 3 é sucessor de 2 (b) 2 é antecessor de 3 Todo número inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -z e ele são caracterizados pelo fato geométrico que tanto z como -z estão à mesma distância da origem do conjunto Z que é 0.

Exemplos: (a) O oposto de ganhar é perder, logo o oposto de +3 é -3. (b) O oposto de perder é ganhar, logo o oposto de -5 é +5. Soma (adição) de números inteiros Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder. Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.

Exemplos: (a) -3 + 3 = 0 (b) +6 + 3 = 9 (c) +5 - 1 = 4 Multiplicação (produto) de números inteiros A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (-2) + (-2) + ... + (-2) = 30 x (-2) = -60 Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos. Na multiplicação o produto dos números a e b, podem ser indicados por axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras. Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais: (+1) × (+1) = (+1) (+1) × (-1) = (-1) (-1) × (+1) = (-1) (-1) × (-1) = (+1)

Com o uso das regras acima, podemos concluir que: Sinais dos números Resultado do produto Iguais Positivo Diferentes Negativo

Números Primos Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo. Exemplos: 1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo. 2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo. 3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.Observações:=> 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo. => 2 é o único número primo que é par.

Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos. Exemplo: 15 têm mais de dois divisores => 15 é um número composto. Reconhecimento de um número primo Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos: => ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo, => ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.

Exemplos: 1) O número 161: · Não é par, portanto não é divisível por 2; · 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3; · Não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; · Por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 são divisíveis por 7, e portanto não é um número primo.

2) O número 113: · Não é par, portanto não é divisível por 2; · 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3; · Não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; · Por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7). · Por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo. Números racionais Números racionais são aqueles que podem ser escritos em forma de fração. Frações O símbolo significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero.

Chamamos: De fração; A de numerador; b de denominador. Se a é múltiplo de b, então é um número natural. Veja um exemplo:A fração é igual a 8:2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o denominador. Efetuando a divisão de 8 por 2, obtemos o quociente 4. Assim,é um número natural e 8 é múltiplo de 2.Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de número fracionário. O significado de uma fração. Algumas vezes, é um número natural. Outras vezes, isso não acontece. Neste caso, qual é o significado de ?Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse. Exemplo: Roberval comeu de um chocolate. Isso significa que, se dividíssemos o chocolate em 4 partes iguais, Roberval teria comido 3 partes: Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Roberval, e a parte branca é a parte que sobrou do chocolate.

Como se lê uma fração As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e também quando os denominadores são 10, 100, 1000, ... Um meio Dois quintos Um terço Quatro sétimos

Classificação das frações

Fração própria: o numerador é menor que o denominador:

Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador.

Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador. Frações equivalentes Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo.Exemplo: são equivalentes

Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.

Exemplo: obter frações equivalentes à fração

. Portanto as frações são algumas das frações equivalentes a Simplificação de frações. Uma fração equivalente a , com termos menores, é

. A fração

foi obtida

dividindo-se ambos os termos da fração

pelo fator comum 3. Dizemos que a fração

é uma fração

simplificada de

.

A fração

não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível. A fração não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum

Números fracionários. Seria possível substituir a letra X por um número natural que torne a sentença abaixo verdadeira?

5 . X = 1 Substituindo X, temos: X por 0 temos: 5.0 = 0 X por 1 temos: 5.1 = 5. Portanto, substituindo X por qualquer número natural jamais encontraremos o produto 1. Para resolver esse problema temos que criar novos números. Assim, surgem os números fracionários. Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário.

Portanto, uma fração (n diferente de zero) e todas as frações equivalentes a ela representam o mesmo

número fracionário

Resolvendo agora o problema inicial, concluímos que X = , pois

.

Adição e subtração de números fracionários

Temos que analisar dois casos:

10

.

Preparatório para concursos Atual.

1º) denominadores iguais

Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador. Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador. Observe os exemplos:

2º) denominadores diferentes

Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações. Exemplo: somar as frações

. Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10.

(10:5).4 = 8

(10:2).5 = 25

Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.

Multiplicação e divisão de números fracionários Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:

Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:

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Dízimas periódicas. Há frações que não possuem representações decimal exata. Por exemplo:

Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.

Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o período dessa dízima.

As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas. Exemplos:

(período: 5)

(período: 3)

(período: 12)

São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula.

(Período: 2)

(Período: 4)

(Período: 23) Parte não periódica: 0 Período não periódica: 15 Parte não periódica: 1

São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica. Observações: Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o período. Excluímos

portanto da parte não periódica o inteiro. Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:

Geratriz de uma dízima periódica É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica.

Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima:

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Dízima simples

A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Exemplos:

Dízima Composta:

A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma

, onde

n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica.

d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.

Exemplos:

Números irracionais

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A origem histórica da necessidade de criação dos números irracionais está intimamente ligada com fatos de

natureza geométrica e de natureza aritmética. Os de natureza geométrica podem ser ilustrados com o problema da medida da diagonal do quadrado quando a comparamos com o seu lado.

Este problema geométrico arrasta outro de natureza aritmética, que consiste na impossibilidade de encontrar números conhecidos - racionais - para raízes quadradas de outros números, como por exemplo, raiz quadrada de 2. Estes problemas já eram conhecidos da Escola Pitagórica (séc. V a.c.), que considerava os irracionais heréticos. A Ciência grega consegui um aprofundamento de toda a teoria dos números racionais, por via geométrica - "Elementos de Euclides" - mas não avançou, por razões essencialmente filosóficas, no campo do conceito de número. Para os gregos, toda a figura geométrica era formada por um número finito de pontos, sendo estes concebidos como minúsculos corpúsculos - "as mónadas" - todos iguais entre si; daí resultava que, ao medir um comprimento de n mónadas com outro de m, essa medida seria sempre representada por uma razão entre dois inteiros n/m (número racional); tal comprimento incluía-se, então na categoria dos comensuráveis. Ao encontrar os irracionais, aos quais não conseguem dar forma de fração, os matemáticos gregos são levados a conceber grandezas incomensuráveis. A reta onde se marcavam todos os racionais era, para eles, perfeitamente contínua; admitir os irracionais era imaginado cheia de "buracos". É no séc. XVII, com a criação da Geometria Analítica (Fermat e Descartes), que se estabelece a simbiose do geométrico com o algébrico, favorecendo o tratamento aritmético do comensurável e do incomensurável. Newton (1642-1727) define pela primeira vez "número", tanto racional como irracional.

O IRRACIONAL ø

ø =1,6180339887... ou ø =(1 + sqr(5))/2 é considerado símbolo de harmonia. Os artistas gregos usavam-no em arquitetura; Leonardo da Vinci, nos seus trabalhos artísticos; e, no mundo moderno, o arquiteto Le Corbusier, com base nele, apresentou, em 1948, O módulo. O número de ouro descobre-se em relações métricas:

- na natureza: em animais (como na concha do Nautilus) flores, frutos, na disposição dos ramos de certas árvores; - em figuras geométricas, tais como o retângulo de ouro, hexágono e decágono regular e poliedros regulares; - em inúmeros monumentos, desde a Pirâmide de Quéops até diversas catedrais, na escultura, pintura e até na música. 14


Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escrito na forma de fração (divisão de dois inteiros). Como exemplo de números irracionais, temos a raiz quadrada de 2 e a raiz quadrada de 3:

Um número irracional bastante conhecido é o número = 3,141559535...

Números reais

O papel das frações e números Decimais

Esta página trata do estudo de frações e números decimais, bem como seus fatos históricos, propriedades, operações e aplicações. As frações decimais e números decimais possuem notória importância cotidiana. Tais conceitos são usados em muitas situações práticas, embora, muitas vezes passem despercebidas.

Indo ao supermercado comprar 1/2 Kg de café por R$ 2,80 e pagando a compra com uma nota de R$ 5,00, obtém-se R$ 2,20 de troco. Neste exemplo, podemos observar o uso de frações e números decimais. Através deste tipo de compra, usamos o conceito de fração decimal juntamente com o sistema de pesagem (1/2 Kg), números decimais juntamente com o sistema monetário. Muitas outras situações utilizam de frações e números decimais.

Observação: Para dividir um número X por outro número não nulo Y, usaremos freqüentemente a notação X/Y, por ser mais simples.

Elementos históricos sobre os números Decimais

Hoje em dia é comum o uso de frações. Houve tempo, porém que as mesmas não eram conhecidas. O homem introduziu o uso de frações quando começou a medir e representar medidas.

Os egípcios usavam apenas frações que possuíam o número 1 dividido por um número inteiro, como por exemplo: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... Tais frações eram denominadas frações egípcias e ainda hoje têm muitas aplicações práticas. Outras frações foram descobertas pelos mesmos egípcios as quais eram expressas em termos de frações egípcias, como: 5/6=1/2+1/3.

Os babilônios usavam em geral frações com denominador 60. É provável que o uso do número 60 pelos babilônios se deve ao fato que é um número menor do que 100 com maior quantidade de divisores inteiros. Os romanos, por sua vez, usavam constantemente frações com denominador 12. Provavelmente os romanos usavam o número 12 por ser um número que embora pequeno, possui um número expressivo de divisores inteiros. Com o passar dos tempos, muitas notações foram usadas para representar frações. A atual maneira de representação data do século XVI.

Os números decimais têm origem nas frações decimais. Por exemplo, a fração 1/2 equivale à fração 5/10 que equivale ao número decimal 0,5.

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Stevin (engenheiro e matemático holandês), em 1585 ensinou um método para efetuar todas as operações por meio de inteiros, sem o uso de frações, no qual escrevia os números naturais ordenados em cima de cada algarismo do numerador indicando a posição ocupada pela vírgula no numeral decimal. A notação abaixo foi introduzida por Stevin e adaptada por John Napier, grande matemático escocês.

1437/1000 = 1,437

A representação dos algarismos decimais, provenientes de frações decimais, recebia um traço no numerador indicando o número de zeros existentes no denominador.

437/100 = 4,37

Este método foi aprimorado e em 1617 Napier propôs o uso de um ponto ou de uma vírgula para separar a parte inteira da parte decimal.

Por muito tempo os números decimais foram empregados apenas para cálculos astronômicos em virtude da precisão proporcionada. Os números decimais simplificaram muito os cálculos e passaram a ser usados com mais ênfase após a criação do sistema métrico decimal.

Frações e Números Decimais

Dentre todas as frações, existe um tipo especial cujo denominador é uma potência de 10. Este tipo é denominado fração decimal.

Exemplos de frações decimais, são:

1/10, 3/100, 23/100, 1/1000, 1/103

Toda fração decimal pode ser representada por um número decimal, isto é, um número que tem uma parte inteira e uma parte decimal, separados por uma vírgula.

A fração 127/100 pode ser escrita na forma mais simples, como:

127

= 1,27

100

Onde 1 representa a parte inteira e 27 representa a parte decimal. Esta notação subentende que a fração 127/100 pode ser decomposta na seguinte forma:

100/100 +27/100 = 1+0,27 = 1,27

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A fração 8/10 pode ser escrita na forma 0,8, onde 0 é a parte inteira e 8 é a parte decimal. Aqui observamos que este número decimal é menor do que 1 porque o numerador é menor do que o denominador da fração.

Leitura de números decimais

Para ler números decimais é necessário primeiramente, observar a localização da vírgula que separa a parte inteira da parte decimal.

Um número decimal pode ser colocado na forma genérica:

Centenas Dezenas Unidades , Décimos Centésimos Milésimos

Por exemplo, o número 130,824, pode ser escrito na forma:

1 Centena 3 dezenas 0 unidades , 8 décimos 2 centésimos 4 milésimos

Exemplos:

0,6 Seis décimos 0,37 Trinta e sete centésimos

Transformando frações decimais em números decimais

Podemos escrever a fração decimal 1/10 como: 0,1. Esta fração é lida "um décimo". Notamos que a vírgula separa a parte inteira da parte fracionária:

Parte inteira Parte fracionária 0 , 1

Uma outra situação nos mostra que a fração decimal 231/100 pode ser escrita como 2,31, que se lê da seguinte maneira: "dois inteiros e trinta e um centésimos". Novamente observamos que a vírgula separa a parte inteira da parte fracionária:

Parte inteira Parte fracionária 2 , 31

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Em geral, transforma-se uma fração decimal em um número decimal fazendo com que o numerador da fração tenha o mesmo número de casas decimais que o número de zeros do denominador. Na verdade, realiza-se a divisão do numerador pelo denominador. Por exemplo:

(a) 130/100 = 1,30 (b) 987/1000 = 0,987 (c) 5/1000 = 0,005 Transformando números decimais em frações decimais Também é possível transformar um número decimal em uma fração decimal. Para isto, toma-se como numerador o número decimal sem a vírgula e como denominador a unidade (1) seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado. Como exemplo, temos:

(a) 0,5 = 5/10 (b) 0,05 = 5/100 (c) 2,41 = 241/100 (d) 7,345 = 7345/1000 Propriedades dos números decimais Zeros após o último algarismo significativo: Um número decimal não se altera quando se acrescenta ou se retira um ou mais zeros à direita do último algarismo não nulo de sua parte decimal. Por exemplo:

(a) 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000 (b) 1,0002 = 1,00020 = 1,000200 (c) 3,1415926535 = 3,141592653500000000 Multiplicação por uma potência de 10: Para multiplicar um número decimal por 10, por 100, por 1000, basta

deslocar a vírgula para a direita uma, duas, ou três casas decimais. Por exemplo:

(a) 7,4 x 10 = 74 (b) 7,4 x 100 = 740 (c) 7,4 x 1000 = 7400 Divisão por uma potência de 10: Para dividir um número decimal por 10, 100, 1000, etc, basta deslocar a vírgula para a esquerda uma, duas, três, ... Casas decimais. Por exemplo:

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(a) 247,5 ÷ 10 = 24,75 (b) 247,5 ÷ 100 = 2,475 (c) 247,5 ÷ 1000 = 0,2475 Operações com números decimais Adição e Subtração: Para efetuar a adição ou a subtração de números decimais temos que seguir alguns passos:

(a) Igualar a quantidade de casas decimais dos números decimais a serem somados ou subtraídos acrescentando zeros à direita de suas partes decimais. Por exemplo: (a) 2,4 + 1,723 = 2,400 + 1,723 (b) 2,4 - 1,723 = 2,400 - 1,723 (b) Escrever os numerais observando as colunas da parte inteira (unidades, dezenas, centenas, etc.), de forma que: i. O algarismo das unidades de um número deverá estar embaixo do algarismo das unidades do outro número, ii. O algarismo das dezenas de um número deverá estar em baixo do algarismo das dezenas do outro número, iii. O algarismo das centenas deverá estar em baixo do algarismo das centenas do outro número, etc.), iv. A vírgula deverá estar debaixo da outra vírgula, e v. A parte decimal (décimos, centésimos, milésimos, etc.) de forma que décimos sob décimos, centésimos sob centésimos, milésimos sob milésimos, etc. (c) Realizar a adição ou a subtração. Multiplicação de números decimais: Podemos multiplicar dois números decimais transformando cada um dos números decimais em frações decimais e realizar a multiplicação de numerador por numerador e denominador por denominador. Por exemplo:

2,25 x 3,5 = 225/100 x 35/10 = 225 x 35 / 1000 = 7875/ 1000 = 7,875

Podemos também multiplicar os números decimais como se fossem inteiros e dar ao produto tantas casas quantas forem as casas do multiplicando somadas às do multiplicador. Por exemplo:

2,25 2 casas decimais Multiplicando x 3,5 1 casa decimal Multiplicador

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1125

+ 675 7875 7,875 3 casas decimais Produto

Divisão de números decimais: Como visto anteriormente, se multiplicarmos tanto o dividendo como o divisor de uma divisão por 10, 100 ou 1000, o quociente não se alterará. Utilizando essas informações poderemos efetuar divisões entre números decimais como se fossem divisões de números inteiros. Por exemplo: 3,6÷0,4=?

Aqui, dividendo e divisor têm apenas uma casa decimal, logo multiplicamos ambos por 10 para que o quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão números inteiros. Na prática, dizemos que "cortamos" a vírgula.

3,6/0,4 = 36 /10 x 10 /4 = 36 x 10 / 4 x 10 = 360/40 = 9

Neste caso, o dividendo tem duas casas decimais e o divisor é um inteiro, logo multiplicamos ambos por 100 para que o quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão inteiros.

Exercício: Uma pessoa de bom coração doou 35 alqueires paulistas de terra para 700 pessoas. Sabendo-se que cada alqueire paulista mede 24.200 metros quadrados, qual será a área que cada um receberá?

Divisão com o dividendo menor do que o divisor: Vamos considerar a divisão de 35 (dividendo) por 700 (divisor). Transforma-se o dividendo, multiplicando-se por 10, 100, ..., para obter 350 décimos, 3500 centésimos, ... Até que o novo dividendo fique maior do que o divisor, para que a divisão se torne possível. Neste caso, há a necessidade de multiplicar por 100.

Assim a divisão de 35 por 700 será transformada numa divisão de 3500 por 700. Como acrescentamos dois zeros ao dividendo, iniciamos o quociente com dois zeros, colocando-se uma vírgula após o primeiro zero. Isto pode ser justificado pelo fato que se multiplicarmos o dividendo por 100, o quociente ficará dividido por

100. Dividendo 3500 700 Divisor Resto 0 0,05 Quociente

Realiza-se a divisão de 3500 por 700 para obter 5, concluindo que 0,35/7=35/700=0,05.

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Divisão de números naturais com quociente decimal: A divisão de 10 por 16 não fornecerá um inteiro no quociente. Como 10 < 16, o quociente da divisão não será um inteiro, assim para dividir o número 10 por 16, montamos uma tabela semelhante à divisão de dois números inteiros.

10 16 ?

(1) Multiplicando o dividendo por 10, o quociente ficará dividido por 10. Isto justifica a presença do algarismo 0 seguido de uma vírgula no quociente.

100 16 0,

(2) Realizamos a divisão de 100 por 16. O resultado será 6 e o resto será 4. 100 16 -96 0,6 4

(3) O resto 4 corresponde a 4 décimos = 40 centésimos, razão pela qual colocamos um zero (0) à direita do número 4. 100 16 -96 0,6 40

(4) Dividimos 40 por 16 para obter o quociente 2 e o novo resto será 8. 100 16 -96 0,62 40 -32

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8 (5) O resto 8 corresponde a 8 centésimos = 80 milésimos, razão pela qual inserimos um 0 à direita do número 8. Dividimos 80 por 16 para obter o quociente 5 e o resto igual a 0. 100 16 -96 0,625 40 -32 80 -80 0

A divisão 10/16 é igual a 0,625. O quociente é um número decimal exato, embora não seja um inteiro.

Comparação de números decimais

A comparação de números decimais pode ser feita analisando-se as partes inteiras e decimais desses números. Para isso, faremos uso dos sinais: > (que se lê: maior); < (que se lê: menor) ou = (que se lê: igual).

Números com partes inteiras diferentes: O maior número é aquele que tem a parte inteira maior. Por exemplo:

(a) 4,1 > 2,76, pois 4 é maior do que 2. (b) 3,7 < 5,4, pois 3 é menor do que 5. Números com partes inteiras iguais: Igualamos o número de casas decimais acrescentando zeros tantos quantos forem necessários. Após esta operação, teremos dois números com a mesma parte inteira mas com partes decimais diferentes. Basta comparar estas partes decimais para constatar qual é o maior deles. Alguns exemplos, são:

(a) 12,4 > 12,31 pois 12,4=12,40 e 40 > 31. (b) 8,032 < 8,47 pois 8,47=8,470 e 032 < 470. (c) 4,3 = 4,3 pois 4=4 e 3=3 22


Sistema de medidas

No sistema de Medidas, são consideradas também outras unidades de medidas, consideradas também fundamentais:

Múltiplos e Submúltiplos Diversos -O grama

Pertence ao gênero masculino. Tenha cuidado, por tanto, ao escrever e pronunciar essa unidade de medidas em seus múltiplos e submúltiplos, fazendo as devidas concordâncias. Ex.: Cinco quilogramas Setecentos miligramas Trezentos e vinte gramas Novecentos e dois gramas

Atente para isto: cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

10 dag = 100 hg

1 g = 10 dag

-O Litro

Pertence ao gênero masculino. É uma unidade de medida de volume que está veiculada diretamente ao

sistema métrico decimal e, por tanto, obedecendo aos seus padrões.

Cada Litro corresponde a 01 decímetro cúbico. Em referência ao litro de água (01 l), corresponde a aproximadamente 01 quilograma da substância medida. Ex.: (01 l água), um litro de água.

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(2,478 dal), dois decalitros e quatrocentos e setenta e oito centilitros (30, 252 dal), trinta decalitros e duzentos e cinqüenta e dois centilitros

Atente para isto: cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. 10 l = 100 l 1 l = 10 dal -O Prefixo Quilo É simbolizado pela letra (K), que indica que a unidade é resultado da multiplicação por mil. Este prefixo

Quilo não pode ser usado sozinho. Observe:

Errado: quilo; k Certo: quilograma, kg

Medidas Diversas -Medidas comprimento Unidade principal: METRO (m) Ex.: 01 Km = 1000 m Ex.: 100 m = 10 dam

Esta unidade possui seus múltiplos e submúltiplos nas formas abaixo:

-Medidas de área

Unidade principal: METRO QUADRADO (m²)

Ex.: 1000 m²

Ex.: 1 m²


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-Medidas de volume

Unidade principal: METRO CÚBICO (m Ex.: 1000 m Ex.: 1 m Esta unidade possui seus múltiplos e submúltiplos nas formas abaixo: -Medidas de capacidade

Unidade principal: LITRO (l)

Ex.: 1 l

Ex.: 1000 Litros


GRANDEZA

Grandeza

È todo valor que, ao ser relacionado a um outro de tal forma, quando há a variação de um, como conseqüência o outro varia também.

Em nosso dia-a-dia quase tudo se associa a duas ou mais grandezas. Por exemplo: quando falamos em: velocidade, tempo, peso, espaço, etc., estamos lidando diretamente com grandezas que estão relacionadas entre si.

Exemplo: Uma moto percorre um determinado espaço físico em um tempo maior ou menor dependendo da velocidade que ela poder chegar ou imprimir em seu percurso realizado.

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Assim também a quantidade de trabalho a ser realizado em um determinado tempo depende do número de operários empregados e trabalhando diretamente na obra a ser concluída o que se deseja concluir.

A relação de dependência entre duas grandezas, dependendo da condição apresentada, pode ser classificada como Diretamente proporcional ou Inversamente proporcional.

Grandeza Diretamente Proporcional

È definido como Grandeza Diretamente Proporcional as grandezas que são diretamente proporcionais quando a variação de uma implica na variação ou mudança da outra, na mesma proporção, mesma direção e sentido.

Exemplo: 01 Kg de carne custa “Y”, se a pessoa comprar 02 Kgs de carne então ela pagará “02 y”.

Exemplo: Se uma pessoa compra 10 borrachas ao custo de R$ 1,00, então se ela comprar 20 borrachas o custo total será de R$ 2,00, calculando o preço unitário de R$ 0,10.

Grandeza Inversamente Proporcional

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a variação de uma implica necessariamente na variação da outra, na mesma proporção, porém, em sentido e direção contrários.

Exemplo: Velocidade e tempo.

Um carro percorre a uma velocidade de 100 Km/h, o total de 10 metros em 10 segundos. Se este mesmo carro aumentar para 200 km/h gastará apenas 05 segundos para percorrer os mesmos 10 metros.

RAZÃO E PROPORÇÃO

RAZÃO -A razão entre dois números, dados uma certa ordem, sendo o segundo número sempre diferente de zero, é o quociente indicado do primeiro pelo segundo. Exemplo: a razão de 09 para 12 = 09/12 ou 09: 12 A razão de 05 para 10 = 05/10 ou 05:10

A razão de 06 para 18 = 06/18 ou 06:18 Obs. Importante.: 1) Lê-se: nove está para doze sendo que o 1 º número é antecedente e 2º número é conseqüente.

Então: cinco está para dez, sendo 05 o antecedente e 10 o conseqüente. Seis está para dezoito, sendo 06 o antecedente e 18 o conseqüente. Obs. Importante(.: 2) Quando o antecedente de uma razão for igual ao conseqüente de outra, ou vice-versa,

dizemos que formam duas razões inversas. Ex: c/d e d/c PROPORÇÃO – É a sentença matemática que exprime igualdade entre duas razões.

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Obs.:

Cada elemento de uma proporção é denominado termo da proporção sendo que os 1º e 3º termos são chamados de termos antecedentes e os 2º e 4º são chamados termos conseqüentes e que os 1º e 3º termos de uma proporção formam os meios e os 2º e 4º termos, formam os extr emos.

PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES

1 – Propriedade Fundamental Em toda proporção o produto dos meios é sempre igual ao produto dos extremos. 2/5 = 4/10 » 5 x 4 = 20 | 2 x 10 = 20

Aplicação: 7 / 8 = x / 40 onde 8 x X = produtos dos meios | 7 x 40 = produto dos extremos Temos então: 8x = 280, logo X = 280/8 = 35. 2 – Composição Em toda proporção, a soma dos primeiros termos está para o primeiro ou para o segundo, assim como a soma

dos dois últimos está para o terceiro ou para o quarto termo.

Aplicação: A soma de dois números é 80 e a razão entre o menor e o maior é 2/3. Achar o valor desses números. a = menor b = maior

Conclui-se: se o menor vale a= 32, o maior então será 80 – 32 = 48.

3 – Decomposição

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Em qualquer proporção, a diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro ou para o segundo, assim como a diferença entre os dois está para o terceiro ou para o quarto termo.

Aplicação: Determinar dois números, sabendo-se que a razão entre eles é de 7/3 e que a diferença é 48. A = maior b = menor

Portanto, A – b = 48

Se a – b = 48, então b = 84 – 48 = 36

4 – Em toda proporção a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes, assim como qualquer antecedente está para seu conseqüente.

Aplicação: Calcular “a” e “b”, sendo que a+b = 63 e a/3 = b/4

Então a soma de a+b = 63, sendo a = 27 e b=36 = 63.

5 – Em qualquer proporção, a diferença dos antecedentes esta para a diferença dos conseqüentes, assim como qualquer antecedente está para o seu conseqüente.

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6 – Em qualquer proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos conseqüentes, assim como o quadrado de um antecedente está para o quadrado de seu conseqüente.

Aplicação:

A área de um retângulo é de 150 m² e a razão da largura para o comprimento é de 2/3. Encontrar essas medidas.

a = largura b = comprimento

a² = 150 x 4 : 6 = 100, a² = 100, a = 10

a = largura = 10m, b= comprimento = 15m 7 – Em qualquer proporção, elevando-se os quatro termos ao quadrado, resulta em uma nova proporção. Aplicação: A soma do quadrado de dois números é 468 e a razão do menor para o maior é de 2/3. Determinar esses

números.

Logo, a² = 144, a = 12. Obs. O valor de “b” é calculado seguindo-se o mesmo procedimento para calcular o valor de “a”.

Regra de três

Chamamos de regra de três a um processo de resolução de problemas de quatro valores, dos quais três são

conhecidos e devemos determinar o quarto valor. A resolução desse tipo de problema é muito simples, basta montarmos uma tabela (em proporção) e resolvermos uma equação.

Sugestão: Caso tenham dúvidas na resolução de equações do 1º grau, visitem a seção presente neste site. Vamos a resolução de problemas: 1) Um atleta percorre um 20km em 2h, mantendo o mesmo ritmo, em quanto tempo ele percorrerá 30km?

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Montemos uma tabela:

Percurso (km) Tempo (h) 20 2 30 x Notem que as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, se aumentarmos o percurso, o tempo gasto pelo atleta também aumenta. Logo, devemos conservar a proporção:

Multiplicamos em cruzes: 20x = 60 x = 3 Portanto, o atleta percorrerá 30km em 3h. 2) Quatro trabalhadores constroem uma casa em 8 dias. Em quanto tempo, dois trabalhadores constroem uma

casa?

Nº de trabalhadores Tempo (dias) 4 8 2 x Notem que as grandezas são inversamente proporcionais. Se 4 trabalhadores constroem uma casa em 8 dias, 2 trabalhadores demorarão mais tempo para construir, ou seja, quanto menor o número de trabalhadores, maior será o tempo para a construção. Logo, devemos inverter a proporção.

Multiplicando em cruzes: 2x = 32 x = 16 Portanto, 2 trabalhadores construirão a casa em 16 dias.

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Como pôde ver, a resolução é bastante simples. Primeiro, observamos se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. Se a grandeza for diretamente proporcional, mantemos a proporção; se a grandeza for inversamente proporcional, invertemos a proporção. Feito isso, basta resolver a equação.

Regra de três compostas

A regra de três compostas é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão

necessários para descarregar 125m3?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Horas Caminhões Volume

8 20 160 5 x 125

Identificação dos tipos de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a

relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

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Logo, serão necessários 25 caminhões.

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? Solução: montando a tabela:

Homens Carrinhos Dias

8 205

4 x16

Observe que:

Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).

Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.


Logo, serão montados 32 carrinhos.

3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?

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Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois se colocam flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:


Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.

PORCENTAGEM

É freqüente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

· A gasolina teve um aumento de 15% Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00 · O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 · Dos jogadores que jogam no flamengo, 90% são craques. Significa que em cada 100 jogadores que jogam no flamengo, 90 são craques. Razão centesimal Toda a razão que tem para conseqüente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:

Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

33


As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. Considere o seguinte problema: João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?

Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definição:

Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Exemplos:

·

Calcular 10% de 300. · Calcular 25% de 200kg. Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.

EXERCÍCIOS:

1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

Portanto o jogador fez 6 gols de falta.

2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?

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Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.

Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.

Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:

Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação 10% 1,10 15% 1,15

Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00

No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) Veja a tabela abaixo:

Desconto Fator de Multiplicação 10% 0,90 25% 0,75

Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00

Equação do 1º grau

Equação é qualquer igualdade que só é satisfeita para alguns valores dos seus domínios. Ex: 2x – 5 = 3 » o número desconhecido x recebe o nome de incógnita

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De princípio, sem conhecer o valor da incógnita x, não podemos afirmar se essa igualdade é verdadeira ou falsa.

Porém podemos verificar facilmente que a equação acima se torna verdadeira para x = 4.

2x – 5 = 3 » 2x = 8 » x = 4

Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto solução (S) é 4.

Equação do 1º grau

Chamamos equação do 1º grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita na forma ax + b = 0 , onde a é diferente de 0.

ax + b = 0 ( a e b são números reais e a

0 ) Uma equação do 1º grau pode ser resolvida

Usando a propriedade: ax + b = 0 » ax = -b

x = -b / a

* Convém lembrar que podemos transformar uma equação em outra equação equivalente mais simples. Podemos adicionar ou subtrair um mesmo número a ambos os membros da igualdade. E multiplicar ou dividir ambos os membros de uma equação por um número diferente de zero. Ex: x – 5 = 0 » x –5 + 3 = 0 + 3 » x = 5

4x = 8 » 3.4x = 3.8 » x = 2

Resolução de equações do 1º grau:

Resolver uma equação significa encontrar valores de seus domínios que a satisfazem. Para resolver equações do 1º grau, basta colocar as incógnitas de um lado do sinal (=) e os "números" do outro. Para assimilarmos, vamos resolver alguns exemplos. Determine o valor da incógnita x: a) 2x – 8 = 10

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2x = 10 + 8 2x = 18 x = 9 » V = {9}

b) 3 – 7.(1-2x) = 5 – (x+9) 3 –7 + 14x = 5 – x – 9 14x + x = 5 – 9 – 3 + 7 15x= 0 x = 0 » V= {0}

Função Quadrática ou equação do segundo grau.

Definição

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a

0. Vejamos alguns exemplos de função quadráticas: 1. f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 2. f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 3. f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 4. f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0 5. f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0 Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a

0, é uma curva chamada parábola. Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:

Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

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x y -3 6 -2 2 -1 0 0 0 1 2 2 6

Observação: Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:

· se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; · se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo; Zero e Equação do 2º Grau

Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a

0, os números reais x tais que f(x) = 0.

Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

Temos: Observação

38


A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando , chamado discriminante, a saber: · quando

é positivo, há duas raízes reais e distintas;

· quando é zero, há só uma raiz real;

· quando é negativo, não há raiz real.

Progressão aritmética

progressão aritmética é uma seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante

. O número é chamado de razão da progressão aritmética, e vem do 'r' de resto. Alguns exemplos de progressão aritmética:

· , onde . •

, onde . · , onde . Existem três tipos de progressão aritmética: crescente ( ), constante ( ) e decrescente ( ).

Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética

A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é expressa da seguinte forma:

Explicação

· O valor de qualquer termo é igual ao anterior mais a constante 39


· O valor do segundo termo é igual ao primeiro mais a constante: · O valor do terceiro termo é igual ao segundo mais a constante: , portanto:

· O valor do quarto termo é igual ao terceiro mais a constante: , portanto:

· Como o número multiplicado pela constante é sempre a posição do termo menos 1, temos a fórmula: Soma dos termos de uma progressão aritmética

A soma de todos os termos de uma progressão aritmética., a partir do primeiro, é calculada pela seguinte fórmula:

A soma dos termos entre

e é: 40


Segundo reza a lenda, Gauss apercebeu-se desta fórmula na escola primária e utilizou-a para calcular imediatamente a soma dos números inteiros de 1 a 100, tarefa que os restantes alunos demoraram toda a aula para realizar [1].

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão.

Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), q = 2.

Cálculos do termo geral

Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, da seguinte maneira:

a1 a2 a3 ... a20 ... an ... a1 a1xq a1xq2 ... a1xq19 a1xqn-1 ...

Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, para qualquer progressão geométrica.

an = a1 x qn-1

Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então:

an = 2 x (1/2)n-1

Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula, obtemos:

a5 = 2 x (1/2)5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8

41


A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é aparentemente grande. Porém, encontramos a primeira diferença substancial no momento de sua definição. Enquanto as progressões aritméticas formam-se se somando uma mesma quantidade de forma repetida, nas progressões geométricas os termos são gerados pela multiplicação, também repetida, por um mesmo número. As diferenças não param aí.

Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r > 0, cada termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Ao contrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. Observe, também, a rapidez com que a progressão cresce ou diminui. Isto é conseqüência direta do valor absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a velocidade de crescimento e vice-versa.

Soma dos n primeiros termos de uma PG

Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos considerar o que segue: Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an

Multiplicando ambos os membros pela razão q vem: Sn.q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q

Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como: Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q

Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem: Sn . q = Sn - a1 + an . q

Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:

Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:

Exemplo:

Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...) Temos:

Observe que neste caso a1 = 1.

42


Juros simples e compostos.

Capital

O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV

nas calculadoras financeiras).

Juros

Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.

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Quando usamos juros simples e juros compostos?

A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compram com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

Taxa de juros

A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere:

8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).

10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).

Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:

0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).

0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

JUROS SIMPLES

O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é

o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos: J = P . i . n

Onde:

J = juros P = principal (capital) i = taxa de juros n = número de períodos

Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:

J = 1000 x 0.08 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.

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Montante = Principal + Juros Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )

M = P . ( 1 + ( i . n ) )

Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.

SOLUÇÃO:

M = P . ( 1 + (i.n) )

M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42

Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.

Exercícios sobre juros simples:

1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.

0.13 / 6 = 0.02167 logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195 j = 1200 x 0.195 = 234

2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.

Temos: J = P.i.n

A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.

Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:

J = 40000.0,001.125 = R$5000,00

3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?

Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)

Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,

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3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem: P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67

4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

Objetivo: M = 2.P Dados: i = 150/100 = 1,5 Fórmula: M = P (1 + i.n) Desenvolvimento:

2P = P (1 + 1,5 n)

2 = 1 + 1,5 n

n = 2/3 ano = 8 meses

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.

Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses de capitalização, temos:

1º mês: M =P.(1 + i) 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)

Simplificando, obtemos a fórmula:

M = P . (1 + i)n

Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:

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J = M - P

Exemplo:

Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês. (use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)

Resolução:

P = R$6.000,00 t = 1 ano = 12 meses i = 3,5 % a.m. = 0,035 M = ?

Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:

M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12 Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos:

log x = log 1,03512 => log x = 12 log 1,035 => log x = 0,1788 => x = 1,509

Então M = 6000.1,509 = 9054. Portanto o montante é R$9.054,00

Estatística.

Conceitos básicos.

A estatística utiliza-se das teorias probabilísticas para explicar a frequência da ocorrência de eventos, tanto em estudos observacionais quanto em experimento modelar a aleatoriedade e a incerteza de forma a estimar ou possibilitar a previsão de fenômenos futuros, conforme o caso.

Ou seja mais resumido: A estatística utiliza-se através das teorias probabilísticas para explicar a frequência de fenómenos e para possibilitar a previsão desses fenómenos no futuro.

Algumas práticas estatísticas incluem, por exemplo, o planejamento, a sumarização e a interpretação de observações. Dado que o objetivo da estatística é a produção da melhor informação possível a partir dos dados disponíveis, alguns autores sugerem que a estatística é um ramo da teoria da decisão.

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A estatística é uma ciência que se dedica à coleta, análise e interpretação de dados. Preocupa-se com os métodos de recolha, organização, resumo, apresentação e interpretação dos dados, assim como tirar conclusões sobre as características das fontes donde estes foram retirados, para melhor compreender as situações.

moda.

Em estatística descritiva, a moda é o valor que detém o maior número de observações, ou seja, o valor ou valores mais frequentes. A moda não é necessariamente única, ao contrário da média ou da mediana. É especialmente útil quando os valores ou observações não são numéricos, uma vez que a média e a mediana podem não ser bem definidas.

A moda de {maçã, banana, laranja, laranja, laranja, pêssego} é laranja.

A série {1, 3, 5, 5, 6, 6} apresenta duas modas (bimodal): 5 e 6.

A série {1, 3, 2, 5, 8, 7, 9} não apresenta moda. Bimodal: possui dois valores modais Amodal: não possui moda.

Média.

Em Estatística a média é o valor que aponta para onde mais se concentram os dados de uma distribuição. Pode ser considerada o ponto de equilíbrio das frequências, num histograma.

Média é um valor significativo de uma lista de valores. Se todos os números da lista são os mesmos, então este número será a média dos valores. Caso contrário, um modo simples de representar os números da lista é escolher de forma aleatória algum número da lista. Contudo, a palavra 'média' é usualmente reservada para métodos mais sofisticados. Em último caso, a média é calculada através da combinação de valores de um conjunto de um modo específico e gerando um valor, a média do conjunto.

Média aritmética é a forma mais simples de cacular uma média, mas existem outros métodos, como a mediana (usada quando a distribuição de valores é mal organizada, com grandes e pequenos valores, como valores de rendimento).

Média aritmética.

Dos vários tipos de médias utilizados, o mais simples e o mais comum é a média aritmética simples.

Dados os números 1200, 1400, 1000 e 1600, para apurarmos o valor médio artimético deste conjunto, simplesmente o totalizamos e dividimos o total obtido pela quantidade de valores do conjunto:

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Agora preste atenção neste conjunto de números após o colocarmos em ordem crescente: { 1000, 1200, 1400, 1600 } Observe que se fossemos inserir o valor médio de 1300 neste conjunto de números ordenados, a

sua posição seria exatamente no meio da sequência, ou seja, seria o valor médio.

Observe ainda está propriedades das médias, que se o valor médio for inserido ao conjunto de números originais, a média ainda continuará a mesma:

Digamos que em um concurso você tenha feito três provas e tenha tirado as seguintes notas: 10, 8 e 3. Qual foi a sua nota média afinal?

Vejamos:

Como a nota mínima para passar no concurso era a nota 7, você se sente feliz e aliviado por ter conseguido alcançá-la.

Média ponderada.

Mas foi aí que lhe veio a surpresa! Na última hora você soube que a nota média seria calculada atribuindo-se um peso diferente a cada prova. Você fica apreensivo. E agora?!?

Nos bastidores você soube que a primeira prova teria peso 3, a segunda peso 2 e a terceira teria peso 5. Vamos aos cálculos:

Que pena meu rapaz! Infelizmente a sua média de 6,1 não atingiu o valor mínimo de 7.

Epa! Espere um pouco! Você cometeu um erro! Os pesos não estão na ordem correta! A primeira prova teria peso 3, a segunda peso 5 e a terceira teria peso 2. Vejamos se houve alguma mudança, parece-me que você ainda tem chances:

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Parabéns! Você foi aprovado, afinal de contas a sua média final até melhorou!

Como você pode perceber, a média aritmética ponderada possibilita atribuir peso ou importância diferentes a cada valor. Provavelmente por ser mais importante no processo de seleção, a segunda nota tinha um peso maior. Por isto os itens com maior peso influenciam mais na média final que os de menor peso. Veja o exemplo abaixo:

Você percebe que o primeiro valor tem peso 1, sete vezes menor que o peso do segundo valor que é igual a 7. Por isto a média final se aproximou muito mais de segundo valor (2), que do primeiro (10), embora este tenha sido cinco vezes maior que o segundo.

Resumindo, para se apurar a média aritmética ponderada, primeiramente multiplique cada valor pelo seu respectivo peso. Some todos os produtos encontrados e divida este total pela soma dos pesos.

Média gométrica.

A média geométrica de um determinado conjunto de dados é a raiz de índice n do produto desses valores elevados, cada um deles, à respectiva frequência absoluta. Representa-se habitualmente por mg. Para um determinado conjunto de valores x1, x2, ..., xn com frequências absolutas F1, F2, ..., Fn, respectivamente, temos que a sua média geométrica é dada por:

Em algumas circunstâncias não faz sentido o cálculo da média geométrica. Umas dessas situações surge quando um dos dados é zero. Nesse caso, o produto do radicando é zero e, consequentemente, mg = 0. Outro problema surge quando temos um número par de dados e o produto do radicando é um número negativo. Nesta circunstância teríamos que calcular uma raiz de índice par de um número negativo, o que é impossível no conjunto dos números reais. Por exemplo, a média geométrica do seguinte conjunto de dados: 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7 será:

3,7598009728044872436074191038564

Mediana.

Em teoria da probabilidade e em estatística, a mediana é uma medida de tendência central, um número que caracteriza as observações de uma determinada variável de tal forma que este número (a mediana) de um grupo de dados ordenados separa a metade inferior da amostra, população ou distribuição de probabilidade, da

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metade superior. Mais concretamente, 1/2 da população terá valores inferiores ou iguais à mediana e 1/2 da população terá valores superiores ou iguais à mediana.

Exemplos

Para a seguinte população:

1, 3, 5, 7, 9

A mediana é 5 (igual à média)

No entanto, para a população:

1, 2, 4, 10, 13

A mediana é 4 (enquanto a média é 6)

Para populações pares:

1, 2, 4, 7, 9,10

A mediana é (4+7)/2, que é 5.5.

Variância e Desvio padrão.

É um parâmetro muito usado em estatística que indica o grau de variação de um conjunto de elementos. Exemplificando. Se medirmos a temperatura máxima durantes três dias em uma cidade e obtivermos os seguintes valores, 28°, 29° e 30°, podemos dizer que a média desses três dias foi 29°.

Em outra cidade, as temperaturas máximas nesses mesmos dias podem ter sido 22°, 29° e 35°. No segundo caso, a média dos três dias também foi de 29°. As médias têm o mesmo valor, mas os moradores da primeira cidade viveram três dias de calor, enquanto os da segunda tiveram dois dias de calor e um de frio. Para diferenciar uma média da outra, foi criada a noção de desvio padrão, que serve para dizer o quanto os valores dos quais se extraiu a média são próximos ou distantes da própria média. No exemplo acima, o desvio padrão da segunda cidade é muito maior que o da primeira.

Uma das aplicações mais comuns do desvio padrão é para cálculo da classificação no vestibular. Se dois candidatos ao mesmo curso tiram nota 7 em provas diferentes, o peso desse resultado vai depender do desvio padrão de cada exame. Digamos que a média das notas nas duas provas tenha sido 5. aquele que obteve 7 na prova cujo desvio padrão foi menor, será mais considerado porque significa que ele conseguiu um 7 em um

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exame em que quase todo mundo ficou próximo a 5. enquanto o outro conquistou um 7 em uma prova onde muitos outros também tiraram notas altas.

Medidas de dispersão

Muitas vezes, a média não é suficiente para avaliar um conjunto de dados. Por exemplo, quando se fala em um grupo de mulheres com idade média de 18 anos. Esse dado, sozinho, não significa muito: pode ser que no grupo, muitas mulheres tenham 38 anos, e outras tantas sejam menininhas de dois!

É importante, então, conhecer outra medida, a de que diferença (dispersão) existe entre a média e os valores do conjunto.

Voltando ao exemplo das notas de João, podemos calcular o desvio, que é a diferença de cada nota em relação à média:

Notas Média Desvio 9 5,2 3,8 7 5,2 1,8 5 5,2 - 0,2 3 5,2 - 2,2

2 5,2 - 3,2

Outro dado importante em estatística é obtido pela soma dos desvios ao quadrado. Cada desvio é elevado ao quadrado e, em seguida, somados:

Valores Média Desvio Quadrado dos desvios 9 5,2 3,8 14,44 7 5,2 1,8 3,24 5 5,2 - 0,2 0,04 3 5,2 - 2,2 4,84 2 5,2 - 3,2 10,24 Soma dos quadrados dos desvios 32,8

A soma dos quadrados dos desvios dividida pelo número de ocorrências é chamada de variância. Logo:

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Outro valor que pode ser obtido a partir da média e da variância é o desvio padrão. Como os desvios foram elevados ao quadrado, deve-se tirar a raiz quadrada da variância e achar o desvio padrão:

Só para se ter uma idéia melhor do que significa o desvio padrão veja o seguinte exemplo: Notas: (9, 9, 9, 1, 1, 1) A média será:

E o desvio padrão será Dp = 4 (tente calculá-lo por conta própria).

Note que, apesar de esse aluno ter tido média 5, seu desempenho foi muito irregular (variou de 4 pontos! 5+4 =9 e 5-4 = 1), o que não é tão bom assim.

No exemplo anterior pode-se interpretar que as notas, no geral, variaram entre (5,2 + 2,56) = 7,76 e (5,2 2,56) = 2,64 , ou seja, Joãozinho teve desempenho mais regular que esse outro aluno.

Nota: As fórmulas utilizadas pressupõem os dados como população, sendo portanto: No caso de amostras, seria:

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Outro exemplo:

Calcular o desvio padrão sem usar a fórmula.

Como calcular o desvio padrão da sequancia 28, 19, 22, 21, 19.?

Olha só... Primeiramente, você faz a média desses valores, que é: (28+19+22+21+19)/5 = 21,8

Agora, você ve o módulo da diferença desse número (21,8) com os outros, e faz a média entre esses valores... Olha só: |28-21,8| = 6,2 |19-21,8| = 2,8 |22-21,8| = 0,2 |21-21,8| = 0,8 |19-21,8| = 2,8

Agora, fazendo, finalmente a média, encontra-se o desvio padrão: (6,2 + 2,8 + 0,2 + 0,8 + 2,8)/5 = 2,56

Covariancia.

É a medida capaz de mostrar como duas series se movem juntas.

Quando a covariância é positiva as series se movem juntas ou na mesma direção quando é negativa se movem de forma diferente.

Exemplo:

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A1= (10,10); A2= (8,4); A3= (4,9); A4= (0,3); l Média de X = (10+8+4+0)/4 =5,5 l Média de y = (10+4+9+3)/4 =6,5 l Covariância: [(10-5,5)x(10-6,5)+(8-5,5)x(4-6,5) + (4-5,5)x(9-6,5)+(0-5,5)x(3-6,5)]/4 = = [15,75-6,25-3,75+19,25]/4 =

Correlação linear.

Em estatística descritiva, o coeficiente de correlação de Pearson, também chamado de "coeficiente de correlação produto-momento" ou simplesmente de ". de Pearson" mede o grau da correlação (e a direcção dessa correlação - se positiva ou negativa) entre duas variáveis de escala métrica (intervalar ou de rácio/razão).

Este coeficiente, normalmente representado por . assume apenas valores entre -1 e 1. . = 1 Significa uma correlação perfeita positiva entre as duas variáveis. . = - 1 Significa uma correlação negativa perfeita entre as duas variáveis - Isto é, se uma aumenta, a outra

sempre diminui.

. = 0 Significa que as duas variáveis não dependem linearmente uma da outra. No entanto, pode existir uma dependência não linear. Assim, o resultado . = 0 deve ser investigado por outros meios. Cálculo O coeficiente de correlação de Pearson calcula-se segundo a seguinte fórmula:

onde e são os valores medidos de ambas as variáveis. Para além

disso

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e

são as médias aritméticas de ambas as variáveis.

A análise correlacional indica a relação entre 2 variaveis lineares e os valores sempre serão entre +1 e -1. O sinal indica a direção, se a correlação é positiva ou negativa, e o tamanho da variavel indica a força da correlação.

Interpretando .

0.70 para mais ou para menos indica uma forte correlação. 0.30 a 0.7 positivo ou negativo indica correlação moderada. 0 a 0.30 Fraca correlação.

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Conceitos básicos

A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.

Capital

O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).

Juros

Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a

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quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.

Quando usamos juros simples e juros compostos?

A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

Taxa de juros

A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere:

8 % a.a. -(a.a. significa ao ano).

10 % a.t. -(a.t. significa ao trimestre).

Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:

0,15 a.m. -(a.m. significa ao mês).

0,10 a.q. -(a.q. significa ao quadrimestre)

JUROS SIMPLES

O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:

J= P. i. n

Onde: J = juros P = principal (capital) i = taxa de juros n = número de períodos

Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:

J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. Montante = Principal + Juros Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )

M= P. (1+ (i. n))

Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.

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SOLUÇÃO:

M = P . ( 1+ (i.n) )

M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42

Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.

Exercícios sobre juros simples:

1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.

0.13 / 6 = 0.02167 logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195 j = 1200 x 0.195 = 234 2 -Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.

Temos: J = P.i.n

A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.

Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:

J = 40000.0,001.125 = R$5000,00

3 -Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?

Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)

Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,

3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:

P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67

4 -Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

Objetivo: M = 2.P

Dados: i = 150/100 = 1,5

Fórmula: M = P (1 + i.n)

Desenvolvimento:

2P = P(1 + 1,5 n)

2 = 1 + 1,5 n

n = 2/3 ano = 8 meses

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para

cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.

Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.

Após três meses de capitalização, temos:

1º mês: M =P.(1 + i)

2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = Px (1 + i) x (1 + i)

3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = Px (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)

Simplificando, obtemos a fórmula:

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M= P. (1+ i)n

Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:

J= M-P

Exemplo:

Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês. (use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788) Resolução:

P = R$6.000,00 t = 1 ano= 12 meses i = 3,5 % a.m. = 0,035 M=?

Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos: M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12 Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos: log x = log 1,03512 => log x = 12 log 1,035 => log x = 0,1788 => x = 1,509 Então M = 6000.1,509 = 9054. Portanto o montante é R$9.054,00

Relação entre juros e progressões

No regime de juros simples:

M( n ) = P + n r P

No regime de juros compostos:

M( n ) = P . ( 1 + r) n

Portanto:

• num regime de capitalização a juros simples o saldo cresce em progressão aritmética • num regime de capitalização a juros compostos o saldo cresce em progressão geométrica TAXAS EQUIVALENTES

Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes períodos de capitalização, produzem o mesmo montante final.

• Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual ia . • O montante M aofinaldoperíodode1anoseráigualaM=P(1+i a) • Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im . • O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a M’ = P(1 + im)12 . 59


Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M’. Portanto, P(1 + ia) = P(1 + im)12 Daí concluímos que 1 + ia = (1 + im)12 Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida.

Exemplos:

1 -Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre?

Em um ano temos dois semestres, então teremos: 1 + ia = (1 + is)2 1 + ia = 1,082 ia = 0,1664 = 16,64% a.a.

2 -Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês?

1 + ia = (1 + im)12 1 + ia = (1,005)12 ia = 0,0617 = 6,17% a.a.

TAXAS NOMINAIS

A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos: -340% ao semestre com capitalização mensal. -1150% ao ano com capitalização mensal. -300% ao ano com capitalização trimestral.

Exemplo:

Uma taxa de 15 % a.a., capitalização mensal, terá 16.08 % a.a. como taxa efetiva: 15/12 = 1,25 1,2512 = 1,1608

TAXAS EFETIVAS

A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos: -140% ao mês com capitalização mensal. -250% ao semestre com capitalização semestral. -1250% ao ano com capitalização anual.

Taxa Real: é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.

FLUXO DE CAIXA

O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em um período de tempo. O tempo é representado na horizontal dividido pelo número de períodos relevantes para análise. As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontadas para cima e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo. Observe

o gráfico abaixo: 60


Chamamos de VP o valor presente, que significa o valor que eu tenho na data 0; VF éo valor futuro, que será igual ao valor que terei no final do fluxo, após juros, entradas e saídas.

VALOR PRESENTE e VALOR FUTURO

Na fórmula M=P.(1 +i)n , o principal P é também conhecido como Valor Presente (PV = present value) e o montante M é também conhecido como Valor Futuro (FV = future value).

Então essa fórmula pode ser escrita como

FV=PV(1+i) n

Isolando PV na fórmula temos:

PV = FV / (1+i)n

Na HP-12C, o valor presente é representado pela tecla PV.

Com esta mesma fórmula podemos calcular o valor futuro a partir do valor presente.

Exemplo:

Quanto teremos daqui a 12 meses se aplicarmos R$1.500,00 a 2% ao mês? Solução:

FV = 1500 . (1 + 0,02)12 = R$ 1.902,36

Descontos simples são obtidos com cálculos lineares, mas os Descontos compostos são obtidos com cálculos exponenciais.

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• Desconto Simples Comercial (por fora): O cálculo deste desconto é análogo ao cálculo dos juros simples, substituindo-se o Capital P na fórmula de juros simples pelo Valor Nominal N do título. Desconto por fora Juros simples D = N i n j = P i n N = Valor Nominal P = Principal i = taxa de desconto i = taxa de juros n = no. de períodos n = no. de períodos

O valor atual no desconto por fora, é calculado por:

A = N-D = N-N.i.n = N(1-i.n)

• Desconto Simples Racional (por dentro): O cálculo deste desconto funciona análogo ao cálculo dos juros simples, substituindo-se o Capital P na fórmula de juros simples pelo Valor Atual A do título. O cálculo do desconto racional é feito sobre o Valor Atual do título.

Desconto por dentro Juros simples D = A i n j = P.i.n N = Valor Atual P = Principal i = taxa de desconto i = taxa de juros n = no. de períodos n = no. de períodos

O valor atual, no desconto por dentro, é dado por:

A = N / (1+ i n)

• Desconto Comercial composto (por fora): Este tipo de desconto não é usado no Brasil e é análogo ao cálculo dos Juros compostos, substituindo-se o Principal P pelo Valor Nominal N do título. Desconto composto por fora Juros compostos A = N(1-i)n S = P(1+i)n A = Valor Atual P = Principal

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i = taxa de desconto negativa i = taxa de juros n = no. de períodos n = no. de períodos

Por este raciocínio, temos que, para cada número natural n: An = N(1-i)n

· Desconto Racional composto (por dentro): Este tipo de desconto é muito utilizado no Brasil. Como D = N -A ecomo N = A(1 + i)n , então D = N-N(1+i)-n = N.[1-(1+i)-n] O melhor estudo que se pode fazer com o desconto racional composto é considerar o Valor Atual A

como o capital inicial de uma aplicação e o Valor Nominal N como o montante desta aplicação, levando em consideração que as taxas e os tempos funcionam de forma similar nos dois casos.

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apostila matematica

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