apostila log comp uergs

Universidade Estadual do Rio Grande do Sul - UERGS Unidade de Guaba Curso de Engenharia em Sistemas Digitais

Apostila da Disciplina de

Lgica para Computao

Prof. Joo Carlos Gluz Guaba, 2003

UERGS

Lgica para Computao

Apostila 1

SumrioCAPTULO 1 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. LGICA PROPOSICIONAL.................................................................................1 PROPOSIES E OPERADORES LGICOS .....................................................................................1 IMPLICAO MATERIAL E EQUIVALNCIA LGICA ....................................................................2 FRMULAS E PRECEDNCIA .......................................................................................................3 CONSTRUO DE TABELAS-VERDADE PARA FRMULAS ...........................................................3 TAUTOLOGIAS ............................................................................................................................5 EQUIVALNCIAS TAUTOLGICAS E LEIS DE DEMORGAN ...........................................................5 EXERCCIOS SOBRE PROPOSIES, FRMULAS E TAUTOLOGIAS ................................................6 DEDUO NA LGICA PROPOSICIONAL .....................................................8

CAPTULO 2 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.

ARGUMENTOS VLIDOS .............................................................................................................8 DEMONSTRAES ......................................................................................................................9 REGRAS DE EQUIVALNCIA E DEDUO ..................................................................................10 REGRA DO MTODO DEDUTIVO ...............................................................................................12 ARGUMENTOS VERBAIS ...........................................................................................................13 EXERCCIOS DE DEDUO E DEMONSTRAO .........................................................................14 A LGICA DAS SENTENAS ABERTAS ........................................................16

CAPTULO 3

3.1. SENTENAS ABERTAS COM UMA VARIVEL ............................................................................16 3.2. CONJUNTO-VERDADE DE UMA SENTENA ABERTA .................................................................18 3.3. SENTENAS COM N VARIVEIS E SEU CONJUNTO-VERDADE ....................................................19 3.4. CONJUNO SOBRE SENTENAS ABERTAS ().........................................................................20 3.5. DISJUNO SOBRE SENTENAS ABERTAS () ..........................................................................22 3.6. NEGAO DE UMA SENTENA ABERTA (~) ..............................................................................24 3.7. DEMAIS OPERADORES ..............................................................................................................26 3.7.1. O Operador Condicional () ............................................................................................27 3.7.2. O Operador Bicondicional () .........................................................................................27 3.8. EQUIVALNCIAS TAUTOLGICAS .............................................................................................28 3.9. EXERCCIOS SOBRE SENTENAS ABERTAS ...............................................................................28 CAPTULO 4 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. QUANTIFICADORES ..........................................................................................30

QUANTIFICADOR UNIVERSAL ...................................................................................................30 QUANTIFICADOR EXISTENCIAL ................................................................................................32 VARIVEIS QUANTIFICADAS (APARENTES) E VARIVEIS LIVRES ............................................34 QUANTIFICADOR EXISTENCIAL DE UNICIDADE ........................................................................35 NEGAO DE FRMULAS COM QUANTIFICADORES ..................................................................35 PROVA POR CONTRA-EXEMPLO ...............................................................................................36 QUANTIFICAO MLTIPLA E PARCIAL ...................................................................................37 COMUTATIVIDADE DE QUANTIFICADORES ...............................................................................37 EXERCCIOS SOBRE QUANTIFICADORES ...................................................................................38 A LGICA DE PREDICADOS............................................................................40

CAPTULO 5 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8. 5.9.

ESTRUTURAS, INTERPRETAO E SIGNIFICADO DAS FRMULAS..............................................40 VALIDADE DE UMA FRMULA ..................................................................................................42 REGRAS DE DEDUO PARA A LGICA DE PREDICADOS ..........................................................44 PARTICULARIZAO UNIVERSAL .............................................................................................46 PARTICULARIZAO EXISTENCIAL ..........................................................................................47 GENERALIZAO UNIVERSAL ..................................................................................................47 GENERALIZAO EXISTENCIAL ...............................................................................................48 REGRA DA HIPTESE TEMPORRIA (HTEMP)............................................................................49 EXERCCIOS DE LGICA DE PREDICADOS .................................................................................49

APNDICES.............................................................................................................................................51 APNDICE A - TABELAS VERDADE DOS OPERADORES LGICOS ............................................................51 APNDICE B - PROPRIEDADES DAS OPERAES .....................................................................................51 APNDICE C - REGRAS DE DEDUO DE EQUIVALNCIA E INFERNCIA ................................................52

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Copyright 2002,03 Joo Carlos Gluz

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Lgica para Computao

Apostila 1

APNDICE E - REGRAS DE INFERNCIA DA LGICA DE PREDICADOS .....................................................53 BIBLIOGRAFIA ......................................................................................................................................54

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Lgica para Computao

Apostila 1

Lista de FigurasFigura 1 - Interseco de Conjuntos como Conjuno Lgica....................................... 21 Figura 2 - Um Exemplo de Interseco como Conjuno.............................................. 22 Figura 3 - Unio de Conjuntos como Disjuno Lgica ................................................ 23 Figura 4 - Um Exemplo de Unio como Disjuno ....................................................... 23 Figura 5 - Complementao de Conjuntos e Negao Lgica ....................................... 25 Figura 6 - Um Exemplo de Negao como Complementao ....................................... 25 Figura 7 - Quantificao Universal, Domnio e Conjunto Verdade ............................... 31 Figura 8 - Quantificao Existencial, Domnio e Conjunto Vazio................................. 33

Lista de TabelasTabela 1 - Equivalncias da Disjuno () e da Conjuno ()....................................... 5 Tabela 2 - Equivalncias dos Demais Operadores ........................................................... 6 Tabela 3 - Regras de Equivalncia ................................................................................. 10 Tabela 4 - Regras de Inferncia...................................................................................... 10 Tabela 5 - Regras de Inferncia da Lgica de Predicados.............................................. 45 Tabela 6 - Tabelas-verdade das operaes lgicas binrias ........................................... 51 Tabela 7 - Tabela-verdade da operao lgica unria de negao: ................................ 51 Tabela 8 - Equivalncias da Disjuno () e da Conjuno ()..................................... 51 Tabela 9 - Equivalncias dos Demais Operadores ......................................................... 51 Tabela 10 - Regras de Equivalncia ............................................................................... 52 Tabela 11 - Regras de Inferncia.................................................................................... 52 Tabela 12 - Regras de Inferncia da Lgica de Predicados............................................ 53

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UERGS - Lgica para Computao

Captulo 1- Lgica Proposicional

Captulo 1 Lgica Proposicional

Neste captulo sero apresentadas definies precisas sobre o que so proposies, frmulas e tautologias que nos permitiro definir uma linguagem formal para a lgica das proposies, ou seja, nos permitiro criar uma Lgica Proposicional.

1.1. Proposies e Operadores LgicosProposio Lgica Considere que A, B, C, ... sejam smbolos usados para representar (denotar) qualquer frase ou sentena que pode assumir apenas um de dois valores verdade: ou a frase verdadeira (ela diz uma verdade) ou ela falsa (diz uma falsidade). Diz-se tambm que os smbolos A,B, C, ... denotaro proposies lgicas. Conjuno de Proposies Considere que o smbolo ser usado para representar o conetivo e, em sentenas como gatos so mamferos e canrios so aves, 3 < 5 e 2+3=5, etc. (tambm pode representar preposies como mas, tambm e similares). Diz-se que o smbolo representa a conjuno lgica das proposies A e B. Exerccio: (1.1) Agora responda as seguintes questes: (a) Se A verdadeira e B verdadeira, que valor voc atribuiria a A B? (b) Se A verdadeira e B falsa, que valor voc atribuiria a A B? (c) Se A falsa e B verdadeira, que valor voc atribuiria a A B? (d) Se ambas A e B so falsas, que valor voc atribuiria a A B? (e) Construa uma tabela resumindo o resultado das questes (a) at (d). Use V para verdadeiro e F para falso. Mostre em cada linha da tabela a combinao de valores de A, B e de A B. A tabela construda no exerccio (1.1.e) chamada de tabela-verdade do conetivo (ou operador) lgico . Disjuno de Proposies O smbolo ser empregado para representar um dos significados usuais do conetivo ou em frases da linguagem natural. O significado assumido por este smbolo o do ou inclusivo que somente ser falso se ambas as sentenas sendo conectadas por ele forem falsas, isto , A B ser falso somente se ambos A e B forem falsos. Diz-se que o smbolo representa a disjuno lgica das proposies A e B. 1Copyright 2002,03 Joo Carlos Gluz



Exerccio: (1.2) Construa a tabela-verdade do operador . Negao de uma Proposio O smbolo ~ ou (apstrofo) ser usado para representar a negao, isto , se A verdadeiro ento ~A ou A falso e vice-versa. Ou seja ~A a negao lgica de A. Exerccio: (1.3) Construa a tabela da negao lgica

1.2. Implicao Material e Equivalncia LgicaImplicao O smbolo ser usado para representar sentenas como se chover, ento a rua ficar molhada, ou ento no estudar implica em tirar notas baixas ou tambm no fui ao cinema porque o carro estragou e sentenas similares. Geralmente estas sentenas podem ser reescritas no formato Se sentena A, ento sentena B que simbolicamente fica apenas: A B. A noo que este operador lgico pretende capturar a de existncia de implicao ou de consequncia entre as sentenas. Dessa forma a sentena B no poderia ser falsa se a sentena A fosse verdadeira, isto , voltando aos exemplos no faria sentido afirmar se chover, ento a rua ficar molhada se (A) realmente choveu e (B) a rua no ficou molhada (!?). Isto significa que considera-se que a sentena simbolizada por AB seria falsa somente no caso em que A verdadeiro e B falso. Nos outros casos a expresso AB seria verdadeira. Um comentrio, entretanto, deve ser feito sobre a definio deste operador: quando a sentena A em AB falsa o resultado de AB verdadeiro independente de B. Isto apesar de nem sempre parece muito natural, tambm pode ser aceitvel se assumirmos o princpio de que partindo de uma falsidade pode-se at mesmo alcanar alguma verdade. Entretanto, para se evitar conflitos com a relao de implicao lgica este conectivo denominado de implicao material. Exerccio: (1.4) Com base na discusso acima construa a tabela-verdade de AB. Bi-implicao ou Equivalncia Lgica O ltimo conectivo lgico apresentado acima, o conectivo de bi-implicao ou de equivalncia lgica , na verdade, uma abreviao da seguinte frmula: (AB) (BA) ou seja: (AB) = (AB) (BA) Exerccio:Copyright 2002,03 Joo Carlos Gluz

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(1.5) Construa a tabela-verdade de (AB) (BA) (e por conseguinte tambm de (AB)).

1.3. Frmulas e PrecednciaUma frmula construda pela composio de smbolos de sentenas simples (A, B, ...) e de conetivos lgicos binrios (,, e ) e unrios (~,). Tambm podem ser usados parnteses. A precedncia usual : 1. Frmulas dentro de parnteses (os mais internos primeiro) 2. ~, (a negao) 3. (conjuno) 4. (disjuno) 5. (implicao material) 6. (bi-implicao ou equivalncia lgica) Uma frmula que no tenha nenhum erro de sintaxe em sua escrita (por exemplo no tenha excesso nem falta de parnteses, conectivos ou smbolos estranhos, etc.) chamada de frmula bem-formada (wff em ingls). Aqui no texto, entretanto, quando nos referirmos a uma frmula estaremos assumindo que ela bem-formada. Exemplos: Supondo que A, B e C so proposies lgicas ento as seguintes expresses so frmulas bem-formadas (ou apenas frmulas) (AB) (BA) (A ~A) (B ~B) ~((A ~B) ~C) (AB) (~B ~A) ((A B C) ~(~B A) (A ~C)) (C ~A)

1.4. Construo de Tabelas-Verdade para FrmulasUma tabela-verdade mostra, em suas colunas mais a esquerda, todas as combinaes de valores lgicos que as proposies de uma dada frmula podem assumir. A partir destes valores de entrada pode-se calcular os valores que esta frmula ir ter para cada uma destas combinaes de valores. Este clculo feito passo a passo criando-se colunas intermedirias que ficam posicionadas direita das colunas de entrada e que contm os valores das subfrmulas que compem a frmula principal. Na ltima coluna mais a direita se coloca a coluna que contm os valores finais desta frmula. Resumindo, para se construir a tabela-verdade de uma frmula lgica pode-se seguir os seguintes passos: (i) nas colunas esquerda coloque os smbolos sentenciais simples (A, B, ...), depois (ii) se houverem sentenas simples negadas (~A, ~B, ...) coloque-as nas prximas colunas e por fim (iii) seguindo a precedncia crie uma coluna para cada frmula composta (no necessrio repetir as sentenas simples negadas). A ltima coluna a direita deve ser a expresso ou frmula final. 3Copyright 2002,03 Joo Carlos Gluz



A sentenas ou smbolos proposicionais simples pertencentes a uma frmula definem o nmero de linhas da tabela-verdade para esta frmula atravs de uma regra simples: 1 smbolo: A 2 smbolos: A e B 3 smbolos: A, B e C 4 smbolos: A, B, C e D n smbolos: A, B, ... 2 linhas (21 combinaes: V e F) 4 linhas (22 combinaes: VV, VF, FV, FF) 8 linhas (23 combinaes: VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF) 16 linhas (24 combinaes) 2n linhas (2n combinaes)

A ltima linha da tabela acima define a regra: para n smbolos proposicionais simples devem existir 2n linhas na tabela para representar as 2n combinaes de valores verdade possveis. Exemplo: O operador de disjuno aplicado sobre duas proposies A B. A tabela-verdade deste operador, usando V para indicar verdadeiro e F para indicar falso (que deveria ter sido construda no exerccio 1.1.), igual a: A V V F F B V F V F AB V V V F

Uma outra frmula de representar verdadeiro / falso atravs de valores numricos, 0 significa falso e 1 significa verdadeiro (esta a forma mais comum usada em lgebra booleana e em circuitos lgicos). Usando esta notao a tabela acima ficaria: A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 AB 0 1 1 1

Note que quando se usa 0 e 1 a disposio dos valores verdadeiros e falsos muda. No caso de se usar V e F geralmente se comea com a linha superior toda em V e as demais linhas vo aos poucos sendo preenchidas com F at que na linha inferior todos os valores so F. No caso de se usar 0 e 1 a disposio exatamente contrria. O reflexo destas diferentes disposies aparece claramente na ltima coluna. Exerccio: (1.6) Agora construa tabelas-verdade para as seguintes frmulas: (a) (AB) (BA) (b) (A ~A) (B ~B) 4Copyright 2002,03 Joo Carlos Gluz



(c) ~((A ~B) ~C) (d) (AB) (~B ~A) (e) ((A B C) ~(~B A) (A ~C)) (C ~A)

1.5. TautologiasUma tautologia uma frmula que assume apenas o valor V, ou seja, que sempre verdadeira. Uma tautologia intrinsecamente verdadeira pela sua prpria estrutura; ela verdadeira independente de qualquer valor lgico atribudo as suas letras de proposio. Uma contradio o oposto de uma tautologia, ou seja, uma frmula que assume apenas o valor F independente de qualquer combinao de valores verdade atribuda s proposies lgicas simples que entram em sua composio. No caso da lgica proposicional para demonstrar que uma frmula uma tautologia ou uma contradio basta construir sua tabela-verdade. O exerccio (1.6.d) (AB) (~B ~A) apresentado acimada um exemplo de tautologia (basta conferir sua tabela-verdade). (1.7) Descobrir quais das seguintes frmulas so tautologias, contradies ou frmulas contingentes (frmulas simples que no so tautologias ou contradies). (a) A B B A (b) (A B) C A (B C) (c) ~(A B) ~A ~B (d) (A B) B ~((B A) A)

1.6. Equivalncias Tautolgicas e Leis de DeMorganEquivalncias Tautolgicas Considere que P e Q sejam duas frmulas lgicas quaisquer e que PQ seja uma tautologia, ento pela prpria definio do conetivo , sempre que P for V numa dada linha da tabela-verdade de PQ, a frmula Q tambm dever ser V nesta linha. O mesmo acontece para quando P tem valor F. Neste caso se diz que P e Q so frmulas equivalentes. Esta propriedade denotada pelo operador de equivalncia tautolgica entre as frmulas P e Q, simbolicamente fica PQ. Na tabela a seguir so apresentadas algumas equivalncias tautolgicas que definem propriedades importantes da disjuno e conjuno: Tabela 1 - Equivalncias da Disjuno () e da Conjuno () Propriedade Comutativa Disjuno () ABBA 5 Conjuno () ABBACopyright 2002,03 Joo Carlos Gluz



Associativa Distributiva Elemento Neutro Complemento Idempotncia

(A B) C A (B C) A (BC) (AB) (AC) A0A A ~A 1 AAA

(A B) C A (B C) A (BC) (AB) (AC) A1A A ~A 0 AAA

Na tabela a seguir so apresentadas equivalncias tautolgicas que permite reescrever ou redefinir os outros operadores: Tabela 2 - Equivalncias dos Demais Operadores Dupla Negao Equivalncia da Implicao Contraposio Prova Condicional Exerccio: (1.8) Demonstrar, pelo uso da tabela-verdade, as equivalncias tautolgicas acima (no precisa repetir as demonstraes para a equivalncia comutativa, associativa e contraposio). Leis de De Morgan As equivalncias vistas anteriormente permitem efetuar vrios tipos de manipulaes ou alteraes numa frmula sem que ela altere seu significado. Alm destas frmulas, entretanto, seria interessante que houvesse maneiras de se converter proposies conectadas pelo operador em proposies conectadas por . Estas equivalncias so denominadas Leis de De Morgan em homenagem ao matemtico ingls do sc. XIX Augustus De Morgan, que foi o primeiro a enunci-las. ~(~A) A (AB) ~A B (AB) (~B ~A) A(BC) (A B) C

DeMorgan:

Negao da Disjuno ~(A B) ~A ~B

Negao da Conjuno ~(A B) ~A ~B

1.7. Exerccios sobre Proposies, Frmulas e Tautologias(1.9) Levando em conta o que aprendeu sobre equivalncias e em particular sobre as Leis de De Morgan, escreva a negao das seguintes proposies compostas: (a) Se a comida boa, ento o servio excelente. (b) Ou a comida boa, ou o servio excelente. (c) Ou a comida boa e o servio excelente, ou ento est caro. (d) Nem a comida boa, nem o servio excelente. (e) Se caro, ento a comida boa e o servio excelente. (1.10) Sejam A,B e C as seguintes proposies: A Rosas so vermelhas. B Violetas so azuis.Copyright 2002,03 Joo Carlos Gluz

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C Acar doce. Escreva as proposies a seguir em notao simblica: (a) Rosas so vermelhas e violetas so azuis. (b) Rosas so vermelhas, e ou bem violetas so azuis ou bem acar doce. (c) Sempre que violetas so azuis, rosas so vermelhas e acar doce. (d) Rosas so vermelhas apenas se violetas no forem azuis e se acar for amargo. (e) Rosas so vermelhas e, se acar for amargo, ento ou violetas no so azuis ou acar doce. (1.11) Considerando A, B e C com o mesmo significado visto acima, transcreva para o portugus as seguintes frmulas: (a) B ~C (b) ~B (A C) (c) (C ~A) B (d) C (~A B) (e) ~(B ~C) A (1.12) Toda proposio composta equivalente a uma que use apenas os conetivos de conjuno e negao. Para verificar isto necessrio encontrar frmulas equivalentes a A B e A B usando apenas e ~. Estas frmulas poderiam substituir, respectivamente, qualquer ocorrncia de A B e A B sem alterar o significado da frmula original (no necessrio encontrar frmula equivalente para A B porque a bi-implicao j foi definida em termos da implicao material). Agora encontre as frmulas equivalentes a: (a) A B (b) A B (1.13) O nmero de linhas numa tabela-verdade de uma frmula depende do nmero de proposies simples (A, B, C, ...) que entram nesta frmula. Responda: (a) A tabela-verdade de uma frmula com 10 proposies simples tm quantas linhas? (b) A tabela-verdade de uma frmula com 20 proposies simples tm quantas linhas? (1.14) Voc est viajando por um pas onde todo habitante ou fala sempre a verdade ou um mentiroso que sempre mente. Voc encontra dois habitantes deste pas, Percival e Levelim. Percival lhe diz Pelo menos um de ns mentiroso. Agora responda: Percival mentiroso ou est dizendo a verdade? E Levelim? Explique sua resposta.

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Captulo 2 - Deduo na Lgica Proposicional

Captulo 2 Deduo na Lgica Proposicional

As definies vistas at agora nos permitiram criar uma linguagem formal para a Lgica Proposicional tambm nos permitiram ver como se pode descobrir o valor-verdade de expresses nestas linguagens atravs de tabelas-verdade. Porm isso no tudo que uma linguagem lgica pode nos fornecer. Ainda necessrio definir como sero feitos raciocnios ou argumentaes nesta linguagem. A lgica formal lida com um tipo particular de argumento, denominado de argumento dedutivo, que nos permite deduzir uma concluso Q, com base num conjunto de proposies P1 a Pn, onde Q e P1 a Pn representam frmulas inteiras bem-formadas da lgica proposicional (e no apenas proposies simples).

2.1. Argumentos VlidosUm argumento dedutivo pode ser representado de forma simblica da seguinte forma: P1 P2 P3 ... Pn Q As proposies P1 a Pn so denominadas de hipteses ou premissas do argumento. A proposio denominada de concluso do argumento. Em termos de lngua natural este tipo de simbolismo pode ser lido como: P1, P2, ... Pn acarretam Q ou Q decorre de P1, P2, ... Pn ou Q se deduz de P1, P2, ... Pn ou ainda Q se infere de P1, P2, ... Pn Uma interpretao informal do argumento acima poderia levar em conta que Q seria uma concluso lgica de P1, P2, ... Pn sempre que a verdade das proposies P1, P2, ... Pn implicar na verdade Q, ou seja, apenas quando o condicional: P1 P2 P3 ... Pn Q for verdadeiro. O problema que esta interpretao poderia afirmar como vlido um argumento como: ABC onde A representa um dia tem 24 horas, B representa bananas so frutas e C representa hoje depois de ontem. Embora estas trs sentenas sejam verdadeiras e portanto, neste caso, A B C seja verdadeiro, no existe nenhuma relao real entre elas e portanto no se pode dizer que um argumento na forma to genrica quanto A B C seja sempre vlido, ou seja, que seja verdadeiro independente do valor verdade das premissas ou da concluso, mas apenas em funo apenas da sua forma. Dessa forma um argumento vlido um argumento onde a frmula: P1 P2 P3 ... Pn Q uma tautologia. 8Copyright 2002,03 Joo Carlos Gluz



Num argumento vlido no interessam os valores verdade das hipteses nem da concluso, porque somente a forma do argumento capaz de garantir sua validade. Por isto ele denominado de argumento formal e esta a razo por trs do poder de deduo da lgica formal, que pode verificar a validade ou correo de um argumento sem se ater as proposies que o compem, isto , sem se importar com seu significado.

2.2. DemonstraesPara testar se P1 P2 P3 ... Pn Q uma tautologia poderamos simplesmente construir uma tabela-verdade. Porm, em vez disso, vamos usar um processo baseado na aplicao de regras de deduo (ou regras de inferncia) que modificam frmulas de modo a preservar seu valor lgico. A idia bsica comear com as premissas P1, P2, ... Pn (supostamente verdadeiras) e tentar aplicar regras de deduo at terminar com a concluso Q. Esta concluso teria que ser, ento, verdadeira uma vez que que os valores lgicos so preservados sob as regras de inferncia. A sequncia de frmulas obtidas por este processo denominada de sequncia de demonstrao ou apenas de demonstrao formal da concluso em funo de suas premissas. Dessa forma uma demonstrao formal da lgica proposicional teria a seguinte estrutura: P1 P2 ... Pn F1 F2 ... Fm Q(hiptese 1) (hiptese 2) (hiptese n) (frmula obtida aplicando-se uma regra de deduo sobre as frmulas anteriores) (frmula obtida aplicando-se uma regra de deduo sobre as frmulas anteriores) (frmula obtida aplicando-se uma regra de deduo sobre as frmulas anteriores) (frmula obtida aplicando-se uma regra de deduo sobre as frmulas anteriores)

Neste tipo de argumento a concluso Q simplesmente a ltima forma obtida atravs da aplicaes de uma regra de deduo. Nota: muito embora parea muito mais simples aplicar o mtodo de construo da tabela verdade para verificar a validade de um argumento, o mtodo da demonstrao formal se justifica por duas razes: (i) quando o nmero de proposies simples muito grande, por exemplo, com apenas 40 proposies simples seria necessria uma tabelaverdade com aproximadamente 1 TRILHO de linhas, por outro lado (ii) no caso das lgicas mais expressivas como a lgica de predicados simplesmente no possvel aplicar o mtodo da tabela-verdade, ou seja, somente nos resta aplicar o mtodo da demonstrao formal.

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2.3. Regras de Equivalncia e DeduoExistem dois tipos bsicos de regras de deduo: Regras que se baseiam nas equivalncias tautolgicas vistas no captulo 1 e que permitem substituir uma frmula pela outra, j que ambas so equivalentes. Regras que se baseiam em implicaes tautolgicas, ou seja, onde regras que se baseiam nos argumentos vlidos vistos na seo 2.1. As regras baseadas em equivalncias tautolgicas sero simplesmente denominadas de Regras de Equivalncia. A seguir apresentada uma tabela contendo as principais regras de equivalncia (conferir com as equivalncias tautolgicas da seo 1.6): Tabela 3 - Regras de Equivalncia Expresso PQ PQ (P Q) R (P Q) R ~(P Q) ~(P Q) PQ P PQ P PP P (Q R) P (Q R) Equivale a QP QP P (Q R) P (Q R) ~P ~Q ~P ~Q ~P Q ~(~P) ~Q ~P PP P (P Q) (P R) (P Q) (P R) Nome (Abreviao) da Regra Comutatividade (com) Associatividade (ass) De Morgan (dmor) Condicional (cond) Dupla negao (dn) Contraposio (cont) Auto-referncia (auto) Auto-referncia (auto) Distributividade (dist) Distributividade (dist)

As regras que so baseadas em implicaes que j se tenha demonstrado (por tabelaverdade p.ex.) serem tautolgicas, sero denominadas de Regras de Inferncia. A tabela a seguir apresenta as principais regras de inferncia: Tabela 4 - Regras de Inferncia De P, P Q P Q, ~Q P, Q PQ P P Q, Q R P Q, ~P (P Q) R P, ~P Pode-se deduzir Q ~P PQ P, Q PQ PR Q P (Q R) Q Nome (Abreviao) da Regra Modus Ponens (mp) Modus Tollens (mt) Conjuno (conj) Simplificao (simp) Adio (ad) Silogismo Hipottico (sh) Silogismo Disjuntivo (sd) Exportao (exp) Inconsistncia (inc)

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Importante: Note que as regras de equivalncia so reversveis, isto , durante uma demonstrao tambm se pode passar de uma frmula no formato da segunda coluna (Equivale a) para uma frmula no formato da primeira coluna (Expresso) sem perder a validade lgica. Isto implica que uma regra de equivalncia pode ser aplicada tanto na construo de seqncia de demonstrao formal de um argumento, quanto na prpria modificao de um argumento, isto , como as frmulas de uma regra de equivalncia so intercambiveis pode-se substituir uma subfrmula de um argumento por outra equivalente sem alterar a validade lgica do mesmo. Porm as regras de inferncia no so reversveis, isto , somente pode-se passar da situao prevista na primeira coluna (De) para a(s) frmula(s) da segunda coluna (Pode-se deduzir). O oposto, pela prpria natureza da regra, no permitido. Isto implica que no se pode usar este tipo de regra para alterar o argumento original, apenas se pode utiliz-la na construo de uma sequncia de demonstrao.

Exemplos: Supondo que A (B C) e A so duas hipteses de um argumento ento a seguinte demonstrao vlida: 1. 2. 3. A (B C) A BC hip hip 1, 2, mp

As frmulas das 2 primeiras linhas so inseridas por conta das hipteses, enquanto que a frmula da linha 3 derivada das frmulas das linhas 1 e 2 pela regra modus ponens. Usando a lgica proposicional provar que o argumento: A (B C) ((A B) (D ~C)) B D Primeiro as hipteses do argumento: 1. 2. 3. 4. A BC (A B) (D ~C) B hip hip hip hip

Alguns passos bvios (que podero ser teis ou no): 5. 6. 7. C AB D ~C 2, 4, mp 1, 4, conj 3, 6, mp

Pelo menos D j aparece numa expresso um pouco menos complexa. Observe que j conseguimos isolar C, se tivessemos C D ento j poderiamos isolar D por modus 11Copyright 2002,03 Joo Carlos Gluz



ponens. Embora isto no seja possvel diretamente, ns sabemos pela regra do condicional como transformar uma disjuno numa implicao material: 8. 9. ~C D CD 7, com 8, cond

E agora, portanto: 10. D 5, 9, mp

Dicas de Deduo 1. A regra de modus ponens provavelmente a regra de inferncia mais intuitiva.Tente us-la muitas vezes. 2. Frmulas na forma ~(P Q) ou ~(P Q) dificilmente so teis numa sequncia de demonstrao. Tente usar as leis de DeMorgan para convert-las, respectivamente, em ~P ~Q ou ~P ~Q, separando os componentes individuais de cada frmula. 3. Frmulas na forma P Q dificilment so teis numa sequncia de demonstrao, j que no implicam p nem Q. Tente usar a dupla negao para converter P Q em ~(~P) Q e depoiso usar a regra do condicional para obter ~P Q.

2.4. Regra do Mtodo DedutivoSupondo um argumento na seguinte forma: P1 P2 P3 ... Pn (R S) ento pela prpria forma como o mtodo dedutivo definido, pode-se, em vez de usar P1, ..., Pn como hipteses e tentar inferir R S, pode-se adicionar R como uma hiptese adicional e depois inferir S. Em outras palavras podemos provar: P1 P2 P3 ... Pn R S Isto uma vantagem, porque nos d mais uma hiptese, isto , munio adicional para a demonstrao. Esta hiptes adicional ser identificada como hip-md na sequncia de demonstrao. Exemplos: Provar que: (A (A B)) (A B) Pela regra do mtodo dedutivo este argumento se transforma em: (A (A B)) A B Agora a demonstrao fica: 1. 2. 3. A (A B) A AB hip hip-md 1, 2, mp 12Copyright 2002,03 Joo Carlos Gluz



4.

B

2, 3, mp

Provar que: (~A B) (B C) (A C) possvel demonstrar a validade deste argumento sem usar a Regra do Silogismo Hipottico (sh), essencialmente demonstrando a prpria vlidade do silogismo hipottico como parte da demonstrao (usando, entretanto, uma pequena ajuda da regra do mtodo dedutivo): 1. 2. 3. 4. 5. 6. ~A B BC AB A B C hip hip 1, cond hip-md 3, 4, mp 2, 5, mp

A Regra do Silogismo Hipottico (sh) afirma que de P Q e de Q R, pode-se inferir P R. A demonstrao do argumento acima usando o silogismo hipottico muito simples: 1. 2. 3. 4. ~A B BC AB AC hip hip 1, cond 2, 3, sh

2.5. Argumentos VerbaisConsidere o argumento: Se as taxas de juros carem, o mercado vai melhorar. Ou os impostos federais vo cair, ou o mercado no vai melhorar. As taxas de juros vo cais, portanto os impostos vo cais. Usando os seguintes smbolos proposicionais simples: M O mercado vai melhorar J A taxa de juros vai cair I Os impostos federais vo cair Dessa forma o argumento fica: (J M) (I ~M) J I Uma demonstrao possvel da validade do argumento : 1. 2. 3. 4. JM I ~M J ~M I hip hip hip 2, com 13Copyright 2002,03 Joo Carlos Gluz



5. 6. 7.

MI JI I

4, cond 1, 5, sh 3, 6, mp

2.6. Exerccios de Deduo e Demonstrao(2.1) Justifique cada passo na seguinte demonstrao: (A (B C)) ~B ~C ~A 1. 2. 3. 4. 5. 6. A (B C) ~B ~C ~B ~C ~(B C) ~A

(2.2) Justifique cada passo na seguinte demonstrao: ~A B (B (A C)) C 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. ~A B B (A C) AC ~(~A) C ~A C C

(2.3) Demonstre a validade dos seguintes argumentos formais (prove por deduo): (a) ~A (B A) ~B (b) (A B) (A (B C)) (A C) (c) ((C D) C) ((C D) D) (d) ~A (A B) B (e) (A (B C)) (A ~D) B (D C) (f) (A B) (B (C D)) (A (B C)) (A D) (g) (A B) ~(A ~B) Use a lgica proposicional para demonstrar a validade dos seguintes argumentos verbais: (2.4) Se segurana um problema, ento o controle da informao deve ser aumentado. Se segurana no um problema, ento os negcios via Internet devem aumentar. Portanto, se o controle da informao no for aumentado, os negcios na Internet crescero. (sugesto: use S, C e N como smbolos proposicionais). (2.5) Se o programa eficiente, executa rapidamente: ou o programa eficiente ou tem algum bug. (sugesto: use E,R e B como smbolos proposicionais).

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(2.6) A colheita boa mas no h gua suficiente. Se no haver muita chuva ou se no houver muito sol, ento haver gua suficiente. Portanto a colheita boa e h muito sol. (sugesto: use C, A, V (chuva) e S como smbolos proposicionais). (2.6) A Rssia era uma potncia superior e ou a Frana no era suficientemente poderosa, ou Napoleo cometeu um erro. Napoleo no cometeu um erro, mas, se o exrcito no perdeu, ento a Frana era poderosa. Portanto, o exrcito perdeu e a Rssia era uma potncia superior. (sugesto: use R, F, N e E como smbolos proposicionais). (2.7) Se meu cliente fosse culpado, a faca estaria na gaveta. Ou a faca no estava na gaveta ou Jos da Silva viu a faca. Se a faca no estava l no dia 10 de outubro, ento Jos da Silva no viu a faca. Alm disso, se a faca estava l no dia 10 de outubro, ento a faca estava na gaveta e o martelo estava no celeiro. Mas todos sabemos que o martelo no estava no celeiro. Portanto, senhoras e senhores, meu cliente inocente.

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Captulo 3 - A Lgica das Sentenas Abertas

Captulo 3 A Lgica das Sentenas Abertas

3.1. Sentenas Abertas com uma VarivelDefinio: uma sentena aberta com uma varivel num conjunto A ou simplesmente uma sentena aberta em A, uma expresso P(x) tal que p(a) verdadeira (V) ou falsa (F) para todo elemento a pertencente ao conjunto A, ou seja, para todo aA. O conjunto A tambm chamado de domnio da varivel x. Em outras palavras uma sentena aberta em A uma frase que contm espaos em brancos (as varaveis) que devem ser preenchidos com valores retirados do conjunto A. Quando um elemento retirado deste conjunto e encaixado na sentena aberta, ento esta sentena deixa de ser aberta e passa a se comportar como uma proposio simples, tendo um valor lgico possvel: ou ela uma sentena que afirma algo verdadeiro (proposio verdadeira) ou uma sentena que afirma algo falso (uma proposio falsa). Diz-se que a sentena fechada quando isto ocorre. Construir sentenas abertas, definindo domnios apropriados para suas variveis, similar a jogar um jogo de montar frases ou versos, onde uma frase ou texto mais complexo formado a partir de trechos sugeridos pelos participantes. Assim, por exemplo, um participante, diz o incio, um segundo diz o meio e um terceiro tem que sugerir um final que seja engraado (mas que tambm seja consistente com o que j foi dito). No caso do jogo de montar sentenas abertas da lgica, necessrio escolher primeiro qual ser o domnio das variveis, ou seja, de onde sero retirados os elementos que se encaixaro na frase aberta. Isto ocorre tambm nos jogos de montar frases ou palavras, onde tipicamente recorremos as pessoas, coisas, objetos, etc. conhecidos ou onde nos obrigamos a somente usar as palavras presentes num dicionrio. No faz sentido ou, na verdade, simplesmente no engraado falarmos sobre pessoas ou coisas que no conhecemos ou entendemos. Como exemplo, vamos supor o conjunto de mveis que podem pertencer a uma sala de aula: estantes, mesas, cadeiras, quadro, computadores (e seus componentes), etc. Sabendo qual o domnio ento pode-se comear a montar as sentenas. Em princpio, quaisquer frases que qualificam ou afirmam propriedades sobre os (possveis) elementos deste domnio podem ser consideradas sentenas sobre estes elementos. No exemplo, poderimos ter frases como: (a.1) A minha mesa no est firme. (b.1) Esta a cadeira que faltava. (c.1) A cadeira que falta aqui a cadeira que est sobrando l no canto.

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Estes exemplos apresentam proposies simples, que so sentenas fechadas, sem variveis. Porm as variveis poderiam aparecer como espaos: (a.2) A minha _ _ _ _ no est firme. (b.2) Esta a _ _ _ _ que faltava. (c.2) A _ _ _ _ que falta aqui a _ _ _ _ que est sobrando l no canto. Um problema com a estrutura das frases acima que cada espao em branco um espao em branco igual aos outros. Quando existe um s espao em branco na frase, isto quando uma varivel aparece somente num lugar dentro da sentena, ento no h ambiguidade. Porm, quando ela aparece em vrios lugares necessrio indicar claramente quem quem em termos de espaos em branco. Embora isto ainda no parea necessrio porque estamos lidando apenas como uma varivel, vamos ver que o conceito de sentena aberta pode ser (e ) facilmente estendido para sentenas abertas com mltiplas variveis. A soluo dar nome aos espaos em branco, que deixam de ser espaos e passam a ser variveis: (a.3) A minha x no est firme. (b.3) Esta a x que faltava. (c.3) A x que falta aqui a x que est sobrando l no canto. Para os x pertencentes aos mveis da sala de aula. Para completar o processo de formalizao, ou seja, deixar as claro somente a forma das sentenas e no se preocupar com seu contedo (seu significado), so atribudos smbolos para as afirmaes abertas: (a.4) P(x) = A minha x no est firme. (b.4) Q(x) Esta a x que faltava. (c.4) R(x) = A x que falta aqui a x que est sobrando l no canto. Que so vlidas para o domnio A que o conjunto de mveis da sala de aula. Dessa forma as sentenas so expressas simplesmente como: P(x), Q(x) e R(x) para xA. Em termos da lngua portuguesa, uma sentena simples formada basicamente por dois elementos: o sujeito e seu predicado. As sentenas simples da lingua portuguesa servem para afirmar alguma propriedade (o predicado) sobre alguma pessoa, objeto ou coisa (o sujeito). J as sentenas abertas formais so normalmente construdas, considerando-se que o sujeito da frase substitudo por uma varivel. Tambm definido um domnio para esta varivel, dizendo quem so os objetos, pessoas, entidades, coisas, etc. que podem ser representados pela varivel. O predicado restante passa a ser ento a afirmao que est sendo feita sobre algum sujeito do domnio. Definio: sentenas abertas tambm so denominadas simplesmente de predicados. Embora, em princpio, sentenas abertas possam ser aplicadas a qualquer domnio conhecido (e as vezes at mesmo desconhecido), muito comum que estas sentenas 17Copyright 2002,03 Joo Carlos Gluz



seja exemplificadas e caracterizadas atravs de proposies matemticas, principalmente por causa da preciso e rigor que se consegue obter com os exemplos matemticos. Na verdade, a definio terica precisa sobre o significado de uma sentena aberta e sobre o significado das construes que podem ser feitas com elas ser feita atravs da Teoria Elementar dos Conjuntos (que tambm fundamenta a Matemtica). Outros exemplos: So sentenas abertas em N= {1, 2, 3, ... ,n, ...} as seguintes expresses: (d) x+1>8 (e) x primo para os xN. (e) x2 - 5x + 6 = 0 (f) x divisor de 10

3.2. Conjunto-Verdade de uma Sentena AbertaDefinio: chama-se conjunto-verdade de uma sentena aberta P(x) num domnio A. o conjunto de todos os elementos aA tais que P(a) uma proposio verdadeira. Formalmente o conjunto-verdade pode ser definido como: VP = {x | xA P(x)=V} ou, mais simplesmente como: VP = {xA | P(x)} Exemplos: (a) O conjunto-verdade de P(x) = x+1 > 8 em N={1, 2, 3, ...} (conjunto dos nmeros naturais) dado por: VP = {xN | P(x)} = {xN | x+1 > 8}= {8, 9, 10, ... } N (b) O conjunto-verdade de P(x) = x+7 < 8 em N={1, 2, 3, ...} (conjunto dos nmeros naturais) dado por: VP = {xN | x+7 < 5}= N (c) O conjunto-verdade de P(x) = x divisor de 10 em N={1, 2, 3, ...} (conjunto dos nmeros naturais) dado por: VP = {xN | x divisor de 10}= {1, 2, 4, 10} N (d) O conjunto-verdade de P(x) = x+5 > 3 em N={1, 2, 3, ...} (conjunto dos nmeros naturais) dado por: VP = {xN | x+5 > 3}= {1, 2, 3, 4, ...} = N N 18Copyright 2002,03 Joo Carlos Gluz



Dos exemplos acima pode-se tirar algumas concluses importantes: (i) O conjunto-verdade de uma sentena aberta com uma varivel sempre est contido ou (no mximo) igual ao domnio A da sentena: VP A (ii) Se P(x) uma sentena aberta em A, ento trs casos podem ocorrer: (ii.1) P(x) verdadeira para todo xA. Neste caso o conjunto-verdade de P(x) igual ao prprio domnio A. Quando isto ocorre se diz que P(x) exprime uma condio universal ou propriedade universal no conjunto A. (ii.2) P(x) verdadeira para alguns xA. Neste caso o conjunto-verdade de P(x) um subconjunto prprio do domnio A. Quando isto ocorre se diz que P(x) exprime uma condio possvel ou propriedade possvel no conjunto A. (ii.3) P(x) no verdadeira para nenhum xA. Neste caso o conjunto-verdade de P(x) vazio (VP = ). Quando isto ocorre se diz que P(x) exprime uma condio impossvel ou propriedade impossvel no conjunto A.

3.3. Sentenas com n Variveis e seu Conjunto-VerdadeSupondo n conjuntos primitivos A1, A2, ..., An que sero usados como domnios individuais de cada varivel da sentena. Pode-se considerar o domnio conjunto de todas as variveis como o conjunto resultante do produto cartesiano destes conjuntos primiticos: A1A2...An O produto cartesiano de 2 conjuntos: A1A2 o conjunto formado por todos as duplas ordenadas (a1, a2) onde a1A1 e a2A2 . Generalizando para n conjuntos A1A2...An, tem-se como produto cartesiano o conjunto das nuplas (a1, a2,..., an) onde cada aiAi para 1 i n. Definio: uma sentena aberta com n variveis num conjunto A1A2...An, ou simplesmente uma sentena aberta em A1A2...An, uma expresso P(x1, x2,..., xn) tal que p(a1, a2,..., an) verdadeira (V) ou falsa (F) para todo nupla (a1, a2,..., an) A1A2...An. O conjunto-verdade de uma sentena aberta P(x1, x2,..., xn) no domnio A1A2...An o conjunto de todas as nuplas (a1, a2,..., an) A1A2...An tais que P(a1, a2,..., an) uma proposio verdadeira. Formalmente este conjunto-verdade pode ser definido como: VP = {(x1, x2,..., xn) A1A2...An | P(x1, x2,..., xn)}

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Exerccio: (3.1) Determinar o conjunto-verdade em N (conjunto dos nmeros naturais) de cada uma das sentenas abertas a seguir: (a) 2x = 6 (c) x2 - 5x + 6 = 0 (e) x2 - 5x = 0 (b) x-1 x), para N o conjunto dos nmeros naturais (xA) (x 2x), para N o conjunto dos nmeros naturais (xA) (xN) , para A={0, 1, 2, 3, -3, 2.5, 4, 0.999, }

4.2. Quantificador ExistencialO quantificador existencial usado para representar as afirmaes existenciais, que no Portugus so expressas por oraes similares a: Tem algum que poderia ... Para algum destes ... Existe pelo menos um de ns ...

Ele deve ser aplicado sobre uma sentena aberta P(x) definida para um conjunto A. Agora vamos supor que VP seja o conjunto-verdade de P(x). Dessa forma quando VP no for igual ao conjunto vazio (isto VP) ento com certeza existe algum elemento de A que ir satisfazer P(x), ou seja, para algum elemento de A, P(x) deve ser verdadeira. Isto pode ser expresso um pouco mais formalmente como: Para algum xA, P(x) verdadeira, ou ainda Existe pelo menos um xA, no qual P(x) verdadeira Estas afirmaes semi-formais, so completamente simbolizadas por: (xA) (P(x)) que, as vezes simplificado para: (x) (P(x))

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Captulo 4 - Quantificadores

quando o domnio A est claro pelo contexto ou desnecessrio. Pela definio que demos acima para a quantificao existencial deve ter ficado claro que o significado deste operador, em termos do domnio e do conjunto-verdade de uma sentena P(x), o de afirmar que o conjunto-verdade no pode ser vazio, isto , afirmao: (xA) (P(x)) equivalente a dizer que: VP ou seja, (xA) (P(x)) VP Graficamente esta relao pode ser representada como:

A VP VP Figura 8 - Quantificao Existencial, Domnio e Conjunto Vazio Da mesma forma que no caso do quantificador universal, tambm no caso do quantificados existencial tem-se que, embora P(x) seja uma sentena aberta, a sentena quantificada (xA) (P(x)) no mais uma sentena aberta. A quantificao fecha uma sentena aberta, transformando-a numa proposio simples que pode ser verdadeira ou falsa no domnio A, dependendendo de VP ser ou no vazio. Em outras palavras, dada uma sentena aberta P(x) num domno, o operador representa uma operao lgica que tranforma a sentena aberta P(x) numa proposio que verdadeira ou no dependendo de P(x) ser ou no uma condio possvel sobre o domnio. Em particular, quando o nmero de elementos do domnio A finito, com A={a1,a2,...,an}, ento bvio que a proposio (xA) (P(x)) equivalente disjuno das n proposies P(a1), P(a2), ..., P(an): (xA) (P(x)) P(a1) P(a2) ... P(an) Exemplos: Afirmaes existenciais vlidas (verdadeiras): (xH) (x pai), para H o conjunto de seres humanos. (xN) (x+2 > 2x), para N o conjunto dos nmeros naturais 33Copyright 2002,03 Joo Carlos Gluz



(xA) ((500x + 3) A) , para A={0,1,2,3,4} Afirmaes existenciais invlidas (falsas): (xH) (x me x homem), para H o conjunto de seres humanos. (xN) (x+1 = x), para N o conjunto dos nmeros naturais Exerccio: (4.1) Sendo R o conjunto dos nmeros reais, determinar o valor lgico das seguintes expresses: (a) (xR) (|x| = x) (c) (xR) (|x| = 0) (e) (xR) (x+1 > x) (b) (xR) (x2 = x) (d) (xR) (x + 2 = x) (f) (xR) (x2 = x)

Para |x| a funo mdulo de x, que calculada como: |x| = x, se x 0 |x| = -x, se x < 0

4.3. Variveis Quantificadas (Aparentes) e Variveis LivresQuando um quantificador incide sobre uma varivel dentro de uma expresso lgica formada pela composio de sentenas abertas, ento se diz que esta varivel uma varivel quantificada ou ento uma varivel aparente. Por outro lado, se uma varivel numa dada expresso lgica no tiver nenhum quantificador previamente associada a ela, ento se diz que ela uma varivel livre. O termo varivel aparente dado as variveis quantificadas vem do fato que que uma varivel quantificada no se comportar realmente como uma varivel, ou seja, ela est comprometida pelo quantificador a uma dada associao universal ou existencial com os elementos do domnio. No se esquea que uma sentena aberta quantificada no realmente uma sentena aberta, mas uma proposio lgica fechada que pode ser apenas verdadeira ou falsa Um princpio simples que vlido para a manipulao de expresses lgicas ou frmulas compostas de sentenas quantificadas, afirma que todas as vezes que uma varivel quantificada substituda, em todos os lugares onde aparece numa expresso, por outra varivel que no apareca nesta mesma expresso, ento a expresso resultante equivalente. Este princpio garante a equivalncia das seguinte frmulas lgicas: (pessoa) (pessoa mortal) (x) (x mortal) (coisa) (coisa mortal) ... (pessoa) (pessoa foi Lua) (x) (x foi Lua) (coisa) (coisa foi Lua ) ...

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4.4. Quantificador Existencial de UnicidadeAssociado a uma varivel x e uma sentena P(x) sobre um domnio A, o quantificador existencial de unicidade afirma que existe um elemento aA que satisfaz P(x) e que este elemento nico, isto , somente existe um elemento de A que atende P(x). Este operador formalizado como: (!xA) (P(x)) Se houver mais de um elemento de A que satisfaz P(x) ento a expresso acima falsa. Da mesma forma se no houver nenhum elemento que satisfaa P(x) ento a expresso acima tambm ser falsa. O quantificador existencial de unicidade no precisa, entretanto, ser considerado um quantificador primitivo. Ele, na verdade, equivalente a uma expresso formada pelos outros quantificadores, desde que exista a relao de igualdade dentro do domnio A. Formalmente esta equivalncia dada por: (!xA) (P(x)) (xA) (P(x)) (xA)(yA) ((P(x) P(y)) x=y) que pode ser traduzido informalmente para: Afirmar que exista apenas um elemento que satisfaz P(x) o mesmo que afirmar que existe pelo menos um elemento de A que satisfaz a sentena aberta P e afirmar tambm que para quaisquer dois elementos de A que satisfaam P, temse que ambos elementos devem ser iguais.

4.5. Negao de Frmulas com QuantificadoresQualquer expresso ou frmula lgica quantificada tambm pode ser precedida do operador de negao (~). Por exemplo, considerando o domnio das pessoas atualmente vivas as expresses formais: (x) (x fala Ingls) ~ (x) (x fala Ingls) (x) (x foi Antrtida) ~ (x) (x foi Antrtida) poderiam ser enunciadas, respectivamente, como: Todas as pessoas falam ingls. Nem todas as pessoas falam ingls. Algem foi a Antrtida. Ningum foi a Antrtida. Analisando estas expresses deve ficar claro algumas equivalncias intuitivas. Em primeiro lugar afirmar que nem todas as pessoas falam Ingls claramente equivalente a afirmar que existe algum que no fala Ingls. Formalizando temos: ~ (x) (x fala Ingls) (x) ~ (x fala Ingls)

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E em segundo lugar afirmar que nnguem foi Antrtida obviamente equivalente a afirmar que para todas as pessoas vivas atualmente no verdade que elas tenham ido Antrtida. Formalizando este argumento temos: ~ (x) (x foi Antartida) (x) ~ (x foi Antartida) Est anlise pode ser generalizada pelas seguintes regras: (i) A negao da frmula (x)(P(x)) equivalente a afirmao de que, pelo menos para um xA, tem-se que P(x) falsa, ou ento que ~P(x) verdadeira. Portanto deve valer a seguinte equivalncia: ~ (xA) (P(x)) (xA) ~ (P(x)) (ii) Da mesma forma negar a frmula (x)(P(x)) equivale a afirmar que para todos os xA, a sentena P(x) deve ser falsa, ou ento que a sentena ~P(x) deve ser verdadeira, o que nos leva a seguinte equivalncia: ~ (xA) (P(x)) (xA) ~ (P(x))

4.6. Prova por Contra-ExemploNormalmente no fcil demonstrar a validade de uma afirmao universal, uma vez que somos obrigados a demonstrar a validade desta afirmao para todos os elementos de um domnio (possivelmente infinito). Embora existam formas de se demonstrar afirmaes universais, principalmente sobre domnios matemticos, ainda assim isto normalmente no uma tarefa muito simples. Por outro lado afirmaes existenciais pode ser demonstradas pela apresentao de (pelo menos) um elemento que satisfaa a afirmao, o que, as vezes, muito mais fcil do que tentar demonstrar uma propriedade universal dos elementos de um conjunto. Sendo assim, se houvesse uma forma de se transformar um argumento composto de sentenas com quantificadores universais em um argumento equivalente mas composto de sentenas existenciais, ento, muitas vezes, este segundo argumento teria uma demonstrao mais fcil. Na verdade existe este mtodo. Vamos ver como ele pode ser usado. Primeiro vamos partir de argumentos como afirmaes puramente universais sobre um domnio A, na forma: (xA)(P(x)) (xA)(Q(x)) Se fossemos demonstrar a veracidade deste argumento primeiro teramos que demonstrar a veracidade da afirmao universal (xA)(P(x)), o que pode ser, como comentado anteriormente, bem difcil. Porm um argumento nesta forma pode, pela regra da contraposio, ser transformado em: ~ (xA)(Q(x)) ~ (xA)(P(x))Copyright 2002,03 Joo Carlos Gluz

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Alm disso pela regra da negao dos quantificadores, o argumento acima pode ser transformado em: (xA) ~ (Q(x)) (xA)(P(x)) O que nos deixa com a necessidade de demonstrar a afirmao (xA) ~ (Q(x)) que uma afirmao existencial. Na verdade basta achar um elemento que faa Q(x) se tornar falsa, e portanto tornar ~Q(x) verdadeira, para garantir a veracidade da expresso (xA) ~ (Q(x)). Este elemento passa a ser, ento, o contra-exemplo da afirmao (xA)(Q(x)), ou seja, o exemplo contrrio que faz (xA)(Q(x)) ficar falsa e, portanto, faz ~(xA)(Q(x)) ficar verdadeira.

4.7. Quantificao Mltipla e ParcialUma frmula pode ter tantos quantificadores quanto o nmero de variveis diferentes dentro da frmula. Assim, para R o conjunto dos nmeros reais, so possveis frmulas como: (xR) (yR) (x2 + y2 + 2x + xy > 0) (xR) (yR) (zR) (x2 + y2 + z3 - yz + x = 0) que esto totalmente quantificadas, isto , que no tem nenhuma varivel sem quantificao Contudo, nem todas as variveis de uma frmula precisam estar quantificadas. Quando nem todas as variveis de uma frmula esto quantificadas se diz que est frmula est parcialmente quantificada. Por exemplo as seguintes frmulas em R o conjunto dos nmero reais: (xR) (x2 + y2 = 0) (xR) (yR) (x2 + y2 + 2z = 0) esto parcialmente quantificadas uma vez que existe pelo menos uma varivel em cada frmula que no foi previamente quantificada. Importante: uma frmula parcialmente quantificada continua sendo uma sentena aberta nas variveis que no foram quantificadas.

4.8. Comutatividade de QuantificadoresOs quantificadores de uma dada frmula somente podem ser comutados, de acordo com as seguintes regras: (i) Quantificadores de mesmo tipo podem ser comutados. Portanto a seguinte equivalncia vlida: (x) (y) (P(x,y)) (y) (x) (P(x,y)) e tambm vlida a equivalncia: (x) (y) (P(x,y)) (y) (x) (P(x,y)) e outras equivalncias similares. 37Copyright 2002,03 Joo Carlos Gluz



(ii) Quantificadores de tipos distintos no podem ser comutados.

4.9. Exerccios sobre Quantificadores(4.2) Dar a negao das seguintes proposies (as mesmas do exerccio (4.1)): (a) (xR) (|x| = x) (c) (xR) (|x| = 0) (e) (xR) (x+1 > x) (b) (xR) (x2 = x) (d) (xR) (x + 2 = x) (f) (xR) (x2 = x)

Para R o conjunto dos nmero reais e para |x| a funo mdulo de x, que calculada como: |x| = x, se x 0 |x| = -x, se x < 0 (4.2) Sendo A = {2, 3, ..., 8, 9} dar um contra-exemplo para as afirmaes: (a) (xA) (x + 5 < 12) (c) (xA) (x2 > 1) (e) (xA) (0x = 0) (b) (xA) (x primo) (d) (xA) (x par) (f) (xA) (x | 72)

(4.3) Usando os seguintes smbolos: D(x) = x um dia M = segunda-feira S(x) = x est fazendo sol T = tera-feira C(x) = x est chovendo formalize os seguintes enunciados no domnio formado pelo conjunto de todas as coisas: (a) Todos os dias est fazendo sol. (b) Alguns dias no est chovendo. (c) Todo dia que no est fazendo sol est chovendo. (d) Alguns dias est fazendo sol e chovendo. (e) Nenhum dias est fazendo sol e chovendo ao mesmo tempo. (f) Segunda-feira fez sol; portanto, vai fazer sol todos os dias. (g) Choveu na segunda e na tera-feira. (h) Se chover algum dia, ento vai fazer sol todos os dias. (4.4) Usando os seguintes smbolos: P(x) = x uma pessoa T(x) = x um perodo de tempo E(x,y) = x enganado por y formalize os seguintes enunciados, no domnio formado pelo mundo inteiro: (a) Voc pode enganar algumas pessoas durante todo o tempo. (b) Voc pode enganar todas pessoas durante algum tempo. (c) Voc no pode enganar todas as pessoas durante todo o tempo. (4.5) Supondo os seguintes smbolos: A(x,y) = x ama y j = Joo 38Copyright 2002,03 Joo Carlos Gluz



V(x) = x vistoso c = Ctia H(x) = x um homem M(x) = x uma mulher B(x) = x bonita d verses para o Portugus para as frmulas apresentadas abaixo: (a) V(j) A(c,j) (b) (x) (H(x) V(x)) (c) (x) (M(x) (y)(A(x,y) (H(y) V(y)) ) ) (d) (x) (H(x) V(x) A(x,c)) (e) (x) (M(x) B(x) (y)(A(x,y) (V(y) H(y)) ) ) (f) (x) (M(x) B(x) A(j,x) )

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Captulo 5 - A Lgica de Predicados

Captulo 5 A Lgica de Predicados

Todos os elementos que vimos at agora nos permitem construir uma nova linguagem lgica bastante distinta dquela que foi vista anteriormente, isto , bastante distinta da Lgica das Proposies ou Lgica Proposicional. O que ns vimos at agora foram os elementos que nos permitem construir uma Lgica sobre Predicados (ou uma Lgica sobre Sentenas Abertas, o que a mesma coisa, j que estas sentenas so equivalentes aos predicados). Esta Lgica de Predicados tambm denominada de Lgica de Primeira Ordem, porque permite falar sobre as propriedades dos elementos pertencentes a um determinado domnio (ou conjunto). A Lgica Proposicional seria uma lgica de ordem zero porque no permitiria falar sobre elementos ou entidades, mas somente sobre frases fechadas (as proposies) que podem ser verdadeiras ou no. Por outro lado, seriam possveis, embora no as estudaremos, lgicas de ordens mais altas, que seriam lgicas que poderiam falar sobre os domnios (os conjuntos) em si, e sobre conjuntos de conjuntos, etc.

5.1. Estruturas, Interpretao e Significado das FrmulasAt agora estamos tratando as frmulas da Lgica de Predicados como indissociavelmente ligadas aos conjuntos que lhes do significado, isto , estamos sempre apresentando para uma dada frmula qual o domnio de suas variveis e a que propriedades, neste domnio, correspondem os smbolos de predicados (sentenas abertas) da frmula. Esta abordagem denominada de abordagem semntica ou abordagem modelo-teortica, uma vez que se interessa em definir as propriedades da lgica atravs do significado que possa ser atribudo as suas construes em termos de algum modelo matemtico. Porm est no a nica abordagem possvel para se tratar da Lgica de Predicados. Na verdade de agora em diante estaremos interessados em tratar dos elementos da Lgica de Predicados de um ponto de vista puramente sinttico, isto , estaremos interessados em garantir que uma frmula possa ser considerada verdadeira (ou falsa) somente de acordo com a sua forma, com o seu formato. Embora isto possa parecer um tanto estranho e at mesmo impossvel, vamos ver que perfeitamente possvel e perfeitamente vlido. Mas para tanto necessrio, primeiro, generalizarmos um pouco a forma como estamos atribundo significados a uma dada frmula.

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Frmulas Puramente Simblicas Primeiro nessrio considerar possvel a existncia das frmulas como construes puramente simblicas sem associao com nenhum domnio ou conjunto-verdade. Isto ns temos que admitir que seria possvel ter frmulas como: (x) (P(x)) (x) (P(x) P(x)) (x) (P(x) Q(x)) (x) (P(x) Q(x) P(x)) (x) (P(x)) (x) (P(x) P(x)) (x) (y) (P(x,y)) (x) (y) (P(x) Q(y)) e infinitas outras, sem que sejam definidos quaiquer domnios para as variveis nem sejam atribudos significados para os smbolos de predicados dentro destes domnios. Estruturas Agora vamos considerar possvel a existncia, independente de qualquer frmula lgica, de estruturas formadas pela combinao de um conjunto universo ou domnio com uma srie de conjuntos-verdade, que sero subconjuntos deste domnio. A nica restrio que se faz estas estruturas que seus domnios no sejam vazios, isto , tenham pelo menos um elemento. Interpretaes Por fim, vamos definir que uma interpretao de uma frmula numa dada estrutura consiste no mapeamento de cada um dos smbolos de predicados da frmula em conjuntos-verdade do domnio. Se houverem smbolos de elementos do domnio (constantes ou funes) eles tambm devem ser mapeados em elementos apropriados do domnio constante na estrutura. Quando possumos uma frmula, uma estrutura e uma interpretao ns podemos saber o significado desta frmula (qual seu conjunto-verdade), de acordo com as regras que j vimos at agora, isto , usando as operaes elementares sobre conjuntos: interseco, unio e complementao no domnio. Juntando Frmulas, Estruturas e Interpretaes Se analisarmos um pouco mais detidamente a questo, veremos que para uma frmula qualquer seria possvel a ocorrncia de trs situaes distintas: (i) As vezes ser possvel encontrar interpretaes e estruturas que a faro verdadeira e tambm ser possvel encontrar interpretaes e estruturas que a faro falsa. (ii) Para certas frmulas, entretanto, todas as interpretaes e estruturas que encontrarmos faro a frmula verdadeira. (iii) Por fim, para outras frmulas, somente ser possvel encontrar interpretaes e estruturas que a faro falsa. A primeira afirmao bastante bvia e no requer uma explanao adicional. Porm as afirmaes (ii) e (iii) so um pouco mais difceis de engolir. Realmente, as afirmaes (ii) e (iii) parecem impossveis de ocorrer, ou seja, elas levantam a questo de como seria possvel que uma frmula fosse sempre verdadeira (ou sempre falsa) para qualquer 41Copyright 2002,03 Joo Carlos Gluz



interpretao e estrutura que se encaixasse na frmula? Que poderia ainda ser traduzida, em bom Portugus, no questionamento de como seria possvel criar uma frase que sempre fosse verdadeira, independente de quem a est proferindo ou sobre o que ela est falando ou a quem ela est se referindo? Apesar de parecer impossvel, perfeitamente possvel construir frmulas que tenham tal propriedade. Na verdade, um dos principais objetivos de estudo da Lgica de Predicados encontrar e usar estas frmulas que so sempre verdadeiras. Tais frmulas so as equivalentes, em termos da Lgica de Predicados, das tautologias da Lgica Proposicional. A afirmao (ii) apenas diz que frmulas lgicas que so sempre verdadeiras tambm so possveis na Lgica de Predicados. Da mesma forma, a afirmao (iii) diz que contradies tambm so possveis. Frmulas que so sempre verdadeiras, independente da estrutura ou interpretao que escolhamos, so denominadas de frmulas vlidas. Exemplos: Para vermos como isto possvel, vamos mostrar alguns exemplos. Primeiro vamos considerar a frmula: (x) (P(x)) E as seguintes estruturas: A estrutura ser formada pelo domnio N dos nmeros naturais e pelas propriedades x primo, x+1 > x e x < 0 aplicadas aos nmeros naturais. A estrutura ser formada pelo domnio composto de todos os mveis de nossa sala de aula na UERGS, enquanto que as propriedades consideradas sero x preto, x feito de ouro e x de propriedade da UERGS.

Agora vamos definir algumas interpretaes possveis para esta frmula, listadas na tabela abaixo: Interpretao Estrutura 1 2 3 4 5 6 P(x) (x) (P(x)) x primo F x+1 > x V x x V x

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