CAPTULO

1

Introduo,1.1 1.2

11

Classificao das equaes diferenciais, Observaes histricas, 8

CAPiTULO

2

Equaes diferenciais2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12

de primeira ordem, 11

Equaes lineares, 11 Discusso adicional sobre as equaes lineares, 18 Equaes de variveis separveis, 24 Diferenas entre as equaes lineares e as no-lineares, Dinmica de populaes 29 Aplicaes das equaes lineares de primeira ordem, 33 e alguns problemas correlatos, 41 57 Alguns problemas de mecnica, 51 Equaes exatas e fatores integrantes, Equaes homogneas, 62 68 Problemas e aplicaes diversos, 66 O teorema da existncia e unicidade, Equaes de diferena de primeira ordem, 76

CAPiTULO 3

Equaes lineares de segunda ordem, 843.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 Equaes homogneas Solues fundamentais A independncia com os coeficientes constantes, das equaes homogneas 97 10 1 114 84 lineares, 90

linear e o wronskiano,

Razes complexas da equao caracterstica, Razes repetidas; reduo da ordem, 107 Equaes no-homogneas;

mtodo dos coeficientes indeterminados, 121

O mtodo da variao de parmetros, Oscilaes foradas, 135

Oscilaes mecnicas e oscilaes eltricas, 126

xvi

Sumrio

CAPiTULO

4

Equaes lineares de ordem superior, 142 4.1 4.2 4.3 4.4 Teoria geral das equaes lineares de ordem n, 142 Equaes homogneas com os coeficientes constantes, 146 O mtodo dos coeficientes indeterminados, 151 O mtodo da variao de parmetros, 155

CAPiTULO

5

Soluo em srie das equaes lineares de segunda ordem, 158 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 Reviso das sries de potncias, 158 Solues em srie nas vzinhanas de Solues em srie nas vizinhanas de Pontos singulares regulares, 176 Equaes de Euler, 180 Solues em srie nas vizinhanas de Solues em srie nas vizinhanas de A equao de Bessel, 195 um ponto ordinrio, Parte I, 163 um ponto ordinrio, Parte !l, 171

um ponto singular regular, Parte I, 185 um ponto singular regular, Parte lI, 189

CAPiTULO

6

A transformada de Laplace, 205 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 Definio da transformada de Laplace, 205 Resoluo de problemas de valor inicial, 210 Funes degrau, 218 Equaes diferenciais com funes de entrada descontnuas, 223 Funes impulso, 228 A integral convoluo, 233

CAPiTULO

7

Sistemas de equaes lineares de primeira ordem, 239 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 Introduo, 239 Reviso de matrizes, 245 Sistemas de equaes algbricas lineares; independncia linear, autovalores, autovetores, 252 Teoria bsica dos sistemas de equaes diferenciais lineares de primeira ordem, 260 Sistemas lineares homogneos com os coeficientes constantes, 264 Autovalores complexos, 272 Autovalores repetidos, 278 Matrizes fundamentais, 284 Sistemas lineares no-homogneos, 288

CAPiTULO

8

Mtodos numricos, 295 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 O mtodo de Euler, ou da tangente, 295 Erros nos procedimentos numricos, 301 Aprimoramentos do mtodo de Euler, 305 O mtodo de Runge-Kutta, 309 Mtodos de passos mltiplos, 312 Mais sobre erros; estabilidade, 316 Sistemas de equaes de primeira ordem, 322

CAPTULO

9

Equaes diferenciais no-lineares e estabilidade, 325 9.1 ';>.2 -::.: O plano de fase: sistemas lineares, 325 ""',,:nas autnomos e estabilidade, 334 ::':s::::-::-..as quase-lineares, 339

Sumrio

xvii

9.4 9.5 9.6 9.7 9.8CAPiTULO 10

Espcies em competio, 348 Equaes predador-presa, 356 Segundo mtodo de Liapunov, 362 Solues peridicas e ciclos limites, 369 Caos e atratores estranhos: as equaes de Lorenz, 376

Equaes diferenciais parciais e sries de Fourier, 383 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 Separao de variveis; conduo do calor, 383 Sries de Fourier, 389 O teorema de Fourier, 397 Funes pares e funes mpares, 402 Soluo de outros problemas de conduo de calor, 408 A equao de onda: vibraes de uma corda elstica, 416 A equao de Laplace, 424 Apndice A. Deduo da equao de conduo do calor, 431 Apndice B. Deduo da equao de onda, 434 437

CAPiTULO

11

Problemas de valor de contorno e teoria de Sturm-Liouville, 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7

A ocorrncia de problemas de valor de contorno em dois pontos, 437 Problemas de valor de contorno homogneos e lineares: autovalores e autofunes, 440 Problemas de valor de contorno de Sturm-Liouville, 445 Problemas de valor de contorno no-homogneos, 454 Problemas de Sturm-Liouville singulares, 465 Outras observaes sobre o mtodo de separao de variveis: um desenvolvimento em srie de Bessel, 470 Sries de funes ortogonais: convergncia na mdia, 475 481

Respostas dos problemas, ndice, 528

c

A

p

T u

L

o

1

Introduo

Neste pequeno captulo tentaremos dar uma perspectiva do estudo das equaes diferenciais. Primeiro, indicaremos as diversas formas de classificar as equaes. a fim de se ter a estrutura da organizao do restante do livro. Depois. esboaremos as tendncias e os indivduos mais importantes no desenvolvimento histrico do lema. O estudo das equaes diferenciais atraiu a ateno de muitos entre os maiores matemticos nos ltimos trs sculos. No obstante, continua a ser um campo dinmico de investigao. com muitas questes interessantes ainda em aberto.

1.1

Classificao das Equaes DiferenciaisMuitos problemas importantes e significativos da engenharia, das cincias fsicas e das cincias sociais, formulados em termos matemticos, exigem a determinao de urna funo que obedece a uma equao que contm uma ou mais derivadas da funo desconhecida. Estas equaes so equaes diferenciais. Talvez o exemplo mais conhecido seja o da lei de Newton F = ma. Se 11(1) a posio no instante 1 de uma partcula de massa m submetida a uma fora F, temos d~1I m--;:;-=F dt= [ dll] dt

{,/I,-

,

(1)

onde a fora F pode ser funo ser funo de I, [{ e da velocidade du/dt. A fim de determinar O movimento da partcula sob a ao da fora F necessrio encontrar uma funo li que obedea Eq. (I). O objetivo principal deste livro o de discutir algumas propriedades das solues das equaes diferenciais e descrever alguns dos mtodos que se mostraram eficientes para encontrar as solues ou, em alguns casos, para obter formas aproximadas das solues. A fim de se ter uma estrutura para balizar a exposio, mencionaremos inicialmente diversas maneiras teis de classificar as equaes diferenciais. Equaes diferenciais ordinrias e equaes diferenciais parciais. Uma das classificaes mais evidentes se baseia em a funo desconhecida depender de uma s varivel independente ou de diversas variveis independentes. No primeiro caso, na equao diferencia] s aparecem derivadas ordinrias e a equao uma equao diferencial ordinria. No segundo caso, as derivadas so derivadas parciais, e a equao uma equao diferencial parcial. Dois exemplos de equaes diferenciais ordinrias, alm da Eq. (I), so2 L d Q(t) dl2

+

RdQ(t) dI

+~C

Q(I)

= E(t).

(2)

2

Introduo

para a carga Q(t) de um capacitor num circuito com capacitncia C, resistncia R, indutncia L e voltagem externa E(r); e a equao que governa o decaimento de uma substncia radioativa com o tempo R(t), como o do rdio, dR(I)

df

= -kR(I),

(3)

onde k uma constante conhecida. Exemplos tpicos de equaes diferenciais parciais so a equao do potencial(4)

a equao da difuso e da conduo do calor(5)

e a equao de onda(6)

Nessas equaes a e 0 so constantes determinadas. A equao do potencial, a equao da difuso e a equao de onda aparecem em muitos problemas de eletricidade e magnetismo, na elasticidade e na mecnica dos fluidos. Cada qual tpica de certos fenmenos fsicos (observe os nomes) e cada uma delas representativa de uma grande classe de equaes diferenciais parciais.2 2

Sistemas de equaes diferenciais. Outra classificao das equaes diferenciais depende do nmero de funes desconhecidas que esto envolvidas. Quando se quiser determinar apenas uma s funo, basta uma equao. Quando forem duas ou mais as funes desconhecidas, necessrio ter um sistema de equaes. Por exemplo, as equaes de LotkaVolterra, ou equaes do predador-presa, so importantes na modelagem ecolgica e tm a forma

dx f dt = ax - axy d y l dt = -cy + yxy,

(7)

onde x(t) e y(t) so as populaes da presa e do predador, respectivamente. As constantes a, a, c e y esto baseadas em observaes empricas e dependem das espcies particulares que esto sendo estudadas. Nos captulos 7 e 9 discutiremos os sistemas de equaes; as equaes de Lotka-Volterra sero examinadas, em particular, na Seo 9.5. Ordem, A ordem de uma equao diferencial a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equao. Assim, as (1) e (2) so equaes diferenciais ordinrias de segunda ordem, e a Eq. (3) uma equao diferencial ordinria de primeira ordem. As Eqs. (4), (5) e (6) so equaes diferenciais parciais de segunda ordem. De fonna mais geral, a equaoEqs,

F[I, ,,(1), U'(I),

... , ,,(n'(I)]

=O

(8)

uma equao diferencial ordinria de ordem fl. A Eq. (8) constitui uma relao entre a varivel independente t e os valores da funo u e os de suas n primeiras derivadas u', ", "" tI"l. conveniente e usual, nas equaes diferenciais, escrever y em lugar de U(I) e j ', y", ... ,y'''' em lugar de U'(I), U"(I), ... , ,,,,,, (I). Assim, a Eq, (8) se escreve como F(I, y: y', .... Por exemplo,y'nl)

= O.

(9)

v"

+ 2e' v" + yy'

= t~

(lO)

uma equao diferencial de terceira ordem em y = li (t). Ocasionalmente, outras letras sero usadas em lugar de te y; o significado correspondente estar evidente pelo contexto. Vamos admitir que sempre possvel resolver uma dada equao diferencial ordinria na derivada de ordem mais elevada e tery(n,

= 1(1, y , y', y", ... , y(n-(,).

(lI)

S estudaremos equaes com a forma (11), principalmente pata evitar a ambigidade que pode aparecer, pois uma equao da forma (9) pode corresponder a diversas equaes da forma (l l ). Por exemplo, a equao

/2 + ty'leva a duas equaes,

+4)'

=O

y'=

_,+), _16)'2

2

OU

v' =

-I-~

2

1.1

Classificao das Equaes Vifge~E!;;I-

PR

3

Soluo. Uma soluo da equao diferencial ordinria (1 J ). no intervalo a < 1 < {3. uma funo ch tal que cp'. tb", ... , (li"! existem e satisfazem a(12)

para todo 1 em a < r < f3. A menos que se faa afirmao em contrrio. vamos admitir que a funo/da f,uno real. e estaremos interessados em obter solues reais y = d> 11). E fcil verificar. por substituio direta. que a equao de primeira ordem (3) dR/cl! = -kR tem a sol uo~::)O

Eq. (11) uma

;' I) = I (

+ 2t Int = I +2t ln z, + 21 (l/I) + 2 In I = 3 + 2 In I.nr) +4(12 6

Fazendo a substituio na equao diferencial (15). obremos 1'(3

+2

ln z) - 31(t +21

ln r )I

= 31' - 31'

+ (2 -

+ 4)1'

In

= 0,

o que mostra ser 4>110 = I' In I uma soluo da Eq, (15). Pode-se mostrar tambm que (b,lt) = I' lima soluo da Eq. (15); a prova fica como exerccio para o leitor. Embora para as equaes (3). (14) e (15) sejamos capazes de verificar que certas funes simples so solues. em geral no dispomos prontamente de uma soluo. Assim, uma questo fundamental a seguinte: Ser que uma equao da forma (I I) sempre tem uma soluo? A resposta no. Simplesmente escrever uma equao da forma (I I) no significa que exista uma funo y = qy(t) que a satisfaa. Sendo assim. como podemos saber se uma cerra equao em particular tem soluo? Esta a questo da existncia de lima soluo. que no de interesse apenas dos matemticos, pelo menos por duas razes. Se um problema no tem soluo, melhor conhecermos este fato antes de investirmos tempo e esforo em uma tentativa intil de resolv-lo. Alm disso, se um problema real de fsica expresso matematicamente por uma equao diferencial, esta equao deve ter uma soluo; se no tiver, porque existe algo de errado na formulao do problema. Neste sentido, um engenheiro ou cientista tem meios para verificar a validade do problema matemtico. Em segundo lugar, admitindo que uma certa equao tenha uma soluo, ter esta equao outras solues? Se tiver, quais as condies adicionais que devem ser enunciadas a fim de identificar uma certa soluo particular? Esta uma questo de unicidade. Observe que h uma infinidade de solues de equao de primeira ordem (3), cada qual correspondendo a uma escolha, entre a infinidade de escolhas possveis. da constante c. na Eq. (13). Se R for especificada num certo instante I, esta condio determinar um valor de c; mesmo assim. porm, ainda no sabemos se podem existir outras solues da Eq. (3) que tambm atribuem o valor determinado a R no instante determinado t. As questes de existncia e de unicidade so questes difceis; medida que avancemos no texto. as discutiremos com outras questes que a elas se relacionam. Uma terceira indagao de carter mais prtico: dada uma equao diferencial da forma (11), como se encontra uma soluo? Observe que se encontrarmos uma soluo de uma dada equao leremos, ao mesmo tempo, respondido questo da existncia de lima soluo. Por outro lado, sem o conhecimento da teoria da existncia, poderamos estar usando um computador, por exemplo. para encontrar lima aproximao numrica de urna "soluo" inexistente. Mesmo que saibamos que uma soluo existe, pode acontecer que a soluo no possa exprimir-se em termos das funes elementares usuais - funes algbricas, trigonomtricas, exponencial, logartmica e hiperblicas. Infelizmente esta a situao para a maioria das equaes diferenciais. Assim, enquanto discutimos os mtodos elementares que podem ser usados para conseguir as solues de certos problemas relativamente simples, tambm importante considerar mtodos de natureza mais geral que possam ser aplicados a problemas mais difceis.

4

Introduo

E(IUaCSlineares e equaes no-lineares. Uma classificao importante das equaes diferenciais a que as divide em lineares e no-lineares. A equao diferencial ordinriaF(I,

y, s'. ... , /nl) = O/11).

linear se F for uma funo linear das variveis y, v. ....y Definio semelhante aplica-se s equaes diferenciais parciais. Assim, a equao diferencial ordinria linear, de ordem 11, ao(t)y(n1

+ ai (1)/ 11+ ... + a)t)y -

= g(I).

(16)

As Eqs. (2) at (6), (14) e (15) so equaes lineares. Uma equao que no tenha li forma de (16) uma equao nolinear. A Eq. (J O) uma equao no-linear em virtude do termo .vi Um problema fsico simples que leva a uma equao diferencial no-linear o do pndulo. O ngulo (3que um pndulo de comprimento L faz com a direo vertical (ver a Fig, 1.1.1) obedece equao no-linear. d2 dl2

e

+ L sen e

g

= o.

(17)

A teoria matemtica e as tcnicas correspondentes para a resoluo das equaes lineares esto muito desenvolvidas. Em contraposio, para as equaes no-lineares a situao no to satisfatria. Em boa parte, faltam tcnicas gerais para a resoluo de equaes no-lineares, e a teoria associada a estas equaes tambm mais complicada do que a teoria das equaes lineares. Por isso. bom que muitos problemas importantes levem a equaes diferenciais ordinrias lineares ou, pelo menos em primeira aproximao, a equaes lineares. Por exemplo, no caso do problema do pndulo, se o ngulo (J for pequeno, ento seu f) es f) e a Eq. (J 7) pode ser substituda pela equao linear de dl22

+!eL

= O.

(18)

O processo ele aproximar uma equao no-linear por uma linear chamado de linecrizao e constitui uma forma extremamente til de lidar com equaes no-lineares. Entretanto, existem muitos fenmenos fsicos que simplesmente no podem ser representados de forma adequada por equaes lineares: para estudar esses fenmenos essenciallidar com equaes no-lineares. natural realar, num texto elementar, a discusso das equaes lineares. A maior parte deste livro, por isso, est dedicada s equaes lineares e aos vrios mtodos de as resolver. Os Captulos 8 e 9, no entanto, e tambm uma grande parte do Captulo 2, referem-se s equaes no-lineares. Ao longo do texto tentaremos mostrar por que as equaes nolineares so, em geral, mais difceis de resolver e por que muitas das tcnicas que so teis na resoluo de equaes lineares no podem ser aplicadas s equaes no-lineares. Campos de direes. A partir do prximo captulo, discutiremos em detalhes vrios mtodos de resoluo de diversas espcies de equaes diferenciais. Antes de entrar nesta discusso vale a pena. porm, comentar a interpretao geomtrica das equaes diferenciais e das respectivas solues. O pOIHO vista geomtrico especialmente til no caso de equade es de primeira ordem, isto , de equaes com a forma

dr

dy

= f(l,y).

(19)

Uma vez que a soluo da Eq. (19) LImafuno y = (/J(l), a representao geomtrica de LImasoluo o grfico de uma funo. Geometricamente, a Eq. (19) afirma que. em qualquer ponto (f, y), o coeficiente angular dy/dt da soluo neste ponto clado porI(t, y). Podemos representar graficamente esta situao traando um pequeno segmento de reta, no ponto (1, y), com o coeficiente angular ft, y). O conjunto dos segmentos de reta o campo de direes da equao diferencial (19). O campo de direes pode ser visualizado pelo desenho de pequenos segmentos de reta num conjunto representativo de pontos do plano tv. Embora este traado seja tedioso de ser feito manualmente, tarefa simples para um C0111-

16 I I I I II

L

II -1 __ I --

m

mg

Fig.1.1.1

Pndulo simples.

1,/ Classificao das Equaes Diferenciais

5

purador. pois exige somente

o clculo repetido defrl, y) para diferentes valores de I e de v. Usualmente, escolhe-se rede retangular de pontos, Com o desenho do campo de direes, pode-se perceber. muitas vezes. o comportamento litativo das solues ou, talvez. observar regies no plano que tenham interesse especial.

umaqua-

Exemplo 1

Campo de direes da equao (20)

aparece na Fig. I. L?,J\esta equao,fir,.rl depende somente de y. de modo qUe os segmentos de reta tm o mesmo coeficiente angular em todos os pomos que estejam sobre uma reta paralela ao eixo dos f, Por exemplo, sobre areia y = 2. o coeficiente angular de cada segmento 112, Qualquer soluo da Eq. (.20) tem a propriedade de, em qualquer pontO do seu grfico, ser tangente ao elemento do campo de direes neste pomo. Assim, como se pode ver na figura, o campo de direes proporciona uma informao qualitativa sobre as solues, Por exemplo. parece evidente. pela Fig. 1,1,2, que as solues so funes decrescentes quando .v >:l, que so funes crescentes quando .v