apostila inequacao segundo grau

5/10/2018 Apostila Inequacao Segundo Grau - slidepdf.com

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Texto Complementar

Veremos neste texto:

Inequação do 2º Grau¡

Sistema de inequações do 2º Grau

1 Introdução

Como já vimos no Texto Complementar sobre as Inequações do 1o Grau, asinequações representam uma desigualdade matemática e se diferenciam a partir domodelo matemático da mesma. Assim, uma inequação é a representação de umpensamento matemático e é identificada pelos seguintes sinais: > (maior) ou < (menor)ou≤ (menor ou igual) ou ≥ (maior ou igual).

2 Conceituando a inequação do 2ºgrau

São inequações do 2º grau ou quadrática, as inequações constituídas por uma leimatemática com a forma de ax2 + bx + c , onde a, b e c são números reais e a 0,acompanhada do sinal de desigualdade. Assim, é uma inequação do 2o grau, porexemplo, 3x2 + 2x -5 > 0 onde a = 3, b = 2 e c = -5.

3 Encontrando a solução de inequações do 2º Grau

Para encontrar o conjunto solução de uma inequação do 2º grau, aplicamos aspropriedades especificas das desigualdades ou trabalhamos na análise da representaçãográfica de uma função quadrática. Como proceder!

Vamos mostrar os procedimentos aplicando num exemplo:

Exemplo 1: Considere a inequação do 2o grau x2-3x+2>0. Encontre o conjunto solução.



Inequações do 2o Grau 2

Resolvendo: Observe que, neste exemplo, devemos encontrar os valores reaispara x, que tornam os valores de y positivos da função quadrática, (maior que zero). Paraisso, devemos:

• Determinar as raízes das funções;

• Representar graficamente a função a partir dos pontos determinados como cálculo das raízes e com a análise do coeficiente angular a.

• Aplicar os conceitos de estudo do sinal trabalhado nas funções

quadráticas.• Analisar os resultados e obter a resposta da inequação.

Mostrando em etapas:

Etapa 1: Encontrar as raízes da função. As raízes da função são os valores reaisde x que tornam y igual a zero. Fazemos isso, aplicando a Fórmula de Bhaskara,

coma

b x

.2

∆±= sendo ∆ = b2-4.a .c

Assim, para x2-3x+2>0, fazemos x2-3x+2=0 com a=1 b=-3 e c=2 ∆ = b2-4.a .c∆ =(-3)2-4.1.2

∆ =9-8∆ =1

Se ∆=1, então x =2

13

1.2

13 ±=→

± x . Resolvendo as operações matemáticas,

obtemos duas raízes 22

4

2

13' ==

+= x e 1

2

2

2

13" ==

−= x . Portanto, as raízes

encontradas são: x’=2 e x”=1. Representam os pares ordenados (2,0) e (1,0).

Etapa 2: Representar graficamente a função a partir dos pontos determinadoscom o cálculo das raízes ou seja, os pontos (2,0) e (1,0). Esses pontosdeterminam onde a parábola corta o eixo x. Para o esboço do gráfico da mesma

necessitamos de mais uma informação – a parábola tem a concavidade voltadapara cima ou para baixo? Obtemos a resposta, observando o sinal do coeficienteangular a:

• Se o valor de a é um número positivo, a parábola tem a concavidade voltadapara cima.

• Se o valor de a é um número negativo, a parábola tem a concavidadevoltada para baixo.

Note que, no nosso exemplo, o valor do coeficiente angular a é positivo, pois a =1, portanto a parábola deve ser construída com a concavidade voltada para cima.Veja a representação da função, no gráfico abaixo:




A solução da inequação do 2º é obtida a partir da analise da parábola.

Como devemos ter f(x) >0, ou seja,estamos buscando os valores de modo que f(x)=y sejapositivo, na parábola, os valores são x<1 e x>2.

Assim a solução da inequação do 2º x2-2x+3>0 é }2 1 / { ><∈= xou x IR xS

Exemplo 2:Resolver a inequação –x2+1≤0.Resolução:

Observe que, neste exemplo, devemos encontrar os valores reais para x, quetornam os valores de y negativos da função quadrática, (menor que zero). Para isso,devemos:



• Aplicar os conceitos de estudo do sinal trabalhado nas funçõesquadráticas.

• Analisar os resultados e obter a resposta da inequação.Mostrando em etapas:

Etapa 1: Encontrar as raízes da função. As raízes da função são os valores reais de xque tornam y igual a zero. Nesta equação podemos achar os valores, isolando o x.-x2+1=0 (vamos multiplicar por –1)x2-1=0 (vamos isolar o x )x2=1 (vamos passar a potência em forma de raiz)

1 2




-1 1

x = 1± x = ± 1, portanto as raízes são ' x =+1 e 1" −= x , e representam os pares ordenados(+1,0) e (-1,0).

Etapa 2: Representar graficamente a função a partir dos pontos determinados com ocálculo das raízes ou seja, os pontos (+1,0) e (-1,0). Esses pontos determinam onde aparábola corta o eixo x. Para o esboço do gráfico da mesma necessitamos de mais uma

informação – a parábola tem a concavidade voltada para cima ou para baixo? Obtemos aresposta, observando o sinal do coeficiente angular a:

• Se o valor de a é um número positivo, a parábola tem a concavidade voltadapara cima.

• Se o valor de a é um número negativo, a parábola tem a concavidadevoltada para baixo.

Note que, no nosso exemplo, o valor do coeficiente angular a negativo, pois a =- 1,portanto a parábola deve ser construída com a concavidade voltada para baixo. Veja arepresentação da função, no gráfico abaixo:

Colocando os valores no gráfico.

y



Inequações do 2o

Grau 5

2

Como f(x) 0≤ , devemos obter os valores de x de modo que f(x)=y seja positiva e nulanesse caso os valores procurados são x≤ -1 e todos os x≥1

Portanto a solução para essa inequação do 2º seria S={x∈IR/x≤ -1 ou ≥1}

Exemplo 3: Determine o conjunto solução da inequação x2-4x+4≥0.

Resolução: Observe que, neste exemplo, devemos encontrar os valores reaispara x, que tornam os valores de y positivos da função quadrática, (maior que zero). Paraisso, devemos determinar as raízes da função. Como encontraremos as raízes da

função? Aplicando a fórmula de bhaskara:a

b

.2

∆±−, portanto vamos primeiro achar o

valor de ∆ , ∆=b2-4.a.cSendo a=1 b=-4 c=4

∆=(-4)

2

-4.1.4∆ =16-16∆=0

Colocando na formula de bhaskara = 22

4

2

04

1.2

04==

±=

±,neste exemplo encontramos

uma única raiz que é x=2, que representa o par ordenado (2,0).

*Agora devemos representar graficamente a função a partir dos pontosdeterminado com o cálculo das raízes que neste caso os pontos são (2,0), e com aanálise do coeficiente angular, sendo que neste exemplo o coeficiente a=1, portandopositivo, isso quer nos dizer que a parábola terá a concavidade para cima.

*Portando agora devemos aplicar o estudo do sinal, já trabalhado em funçãoquadrática, e com isso analisar os resultados para obter a resposta da inequação. Como a



Inequações do 2o

Grau 6

nossa inequação é esta pedindo os valores maiores ou iguais a zero o conjunto soluçãoserão todos os pontos positivos,ou seja : f(x) ≥0, ∈∀ x IR.

Portanto o conjunto solução: S={x/x∈IR}

Exemplo 4: Considere a inequação do 2º grau x2-5x+8<0, vamos obter o seu conjuntosolução seguindo esses passos:



• Aplicar os conceitos de estudo do sinal trabalhado nas funçõesquadráticas. Analisar os resultados e obter a resposta da inequação

Observe que neste exemplo devemos encontrar valores reais para x de modo que tornamy negativo na função quadrática, (menor que zero). E para isso procederemos por etapas.Etapa 1: Encontrar as raízes da função. As raízes da função são os valores reais de xque tornam y igual a zero. Fazemos isso, aplicando a Fórmula de Bhaskara, com

a

b x

.2

∆±= sendo ∆ = b2-4.a .c

∆ =(-5)2-4.1.8·

∆=25-32∆=-7

Ao colocarmos na formula de bhaskara, vamos obter uma raiz quadrada negativa, logoela não vai pertencer ao conjunto dos IR.

x=1.2

75 −±.

Etapa 2: Agora devemos representar graficamente a função a partir dos dados obtidos.Como os

valores das raízes encontradas não iram pertencer ao conjunto dos reais, a parábola não ira cortar oseixos x e y. Analisando o nosso coeficiente angular a=1, portanto positivo, então a parábola terá a

concavidade voltada para cima.

Y

Como f(x)<o,devemos obter os valores de x de modo que f(x)=y seja negativa, mas nessecaso nós não encontramos valores para x, pois a parábola não corta o eixo x.

Portanto o conjunto solução dessa inequação é { }.




Eta a1

Exercícios

1) Solucione as seguintes inequações:a)x2+2x-3>0 o)(x-1)2

≥3-xb)-4x2+11x-6 0≤ p)x(x+4)>-4(x+4)c)-9x2-6x>0

d)x2

-5x<0e)x2+4x+7>0f)-x2+10x-25>0g)-x2+9x-8≥0h)x2-3<0i)-x2-x-6<0 j)2x2>3xl)1≤x2 m)x<x2 n)x2

≤2x+3Obs: Encontre o conjunto solução de cada item acima com base no desenvolvimento da

inequação 0162

≤− x .Resolução: nesta inequação devemos encontrar os valores reais para x, que tornam osvalores de y negativo da função quadrática, (menor que zero).

: Encontrar as raízes da função, as raízes da função são os valores reais de xque tornam y igual a zero. Como nesse exemplo a inequação é uma inequaçãoincompleta podemos apenas isolar o x. Aplicando as propriedades de desigualdade.

0162

=− x

4

16

162

±=

=

=

x

x

x

Portanto as raízes encontradas são -4x"e4' =+= x . Representam os pares ordenados

(4,0) e (-4,0).Etapa 2 : Representar graficamente a função a partir dos pontos determinados com ocálculo das raízes, ou seja, os pontos (4,0) e (-4,0). Esses pontos determinam onde aparábola irá cortar o eixo x. Para o esboço do gráfico da mesma necessitamos de analisarse a parábola terá a concavidade voltada para baixo ou para cima, como o coeficiente

Como f(x) 0≤ ,devemos obter os valores de x de modo que f(x)=y seja negativa,portanto oconjunto solução dessa inequação é S{ -4ou x4 ≥−≤ x }.



Inequações do 2o

Grau 8

+ +

-

2) Indique os valores reais de x em cada caso:

a) 4x2+(x+2)2<1 b) 02

2

3

42

≤−

−− x x

SISTEMA DE INEQUAÇÃO DO 2ºGRAU

Os sistemas representam a integração de duas ou mais sentenças matemáticas.Para resolver um sistema de inequação procedemos da seguinte maneira:

• Resolver individualmente cada inequação do 2ºgrau através da formula debhaskara e fazer um estudo do sinal.

• Fazer a intersecção das soluções das inequações.

• O conjunto-solução do sistema é o conjunto resultado da intersecção dasinequações resolvidas individualmente.

Observe os exemplos desenvolvidos abaixo:

Exemplo 1: Resolver o sistema de inequação do 2ºgrau:

<+

−≥+

05

68222

x

x x x

Vamos enumerar as inequações: a inequação x x x

682

22

−≥+ ,será a inequação 1 e ainequação x+5<0 será a inequação numero 2Resolução da 1 : Inicialmente vamos agrupar os termos semelhantes de forma a obteruma inequação do 2ºgrau, para que possamos determinar as raízes da função, e paraisso aplicaremos a fórmula de Bhaskara.

2x2+8x x x 62 −≥

086222 ≥++− x x x

0862 ≥++ x x

Fazendo x2+6x+8=0, primeiro acharemos o ∆ .

cab ..42 −=∆

∆ =62-4.1.8∆

=36-32∆=4

Colocando na formula de Bhaskara:x=2

26

1.2

46 ±−=

±−, temos

22

4

2

26' −=

−=

+−= x e 4

2

8

1.2

26" −=

−=

−−= x , Encontramos as raízes x=-2 e x=-4, que

representam os pares ordenados (-2,0) e (–4,0). Vamos representar a função a partir doponto da função que acabamos de determinar, ou seja, os pontos (-2,0) e (-4,0). Essespontos determinam onde a parábola corta o eixo x. Para o esboço do gráfico da mesmanecessitamos de mais uma informação – a parábola tem a concavidade voltada para cimaou para baixo? Obtemos a resposta, observando o sinal do coeficiente angular a=2,portanto a concavidade da parábola será voltada para cima, pois o coeficiente a épositivo.

-2 -4

-4 -2



Inequações do 2o

Grau 9

-4 -2

-5

Inequação I

Inequação II

II I ∩

A solução da inequação é obtida através da análise da parábola. Como devemos ter f(x)0≥ , ou seja, todos os números onde a parábola está voltada para cima, que nesse caso

será: os valores de x<-4 e x>-2. Então o conjunto solução da inequação é:

: { }24 / −>−<∈ xou x IR xS

Resolução da inequação 2.Essa inequação é uma inequação do 1ºgrau, portanto para achar o valor da raiz dainequação precisamos apenas isolar o x. Ou seja, aplicamos propriedade dedesigualdadeX+5<0 vamos isolar o xX<-5Portanto o conjunto solução da inequação será }5 / { −<∈ x IR xS

O que estamos resolvendo é um sistema de inequação, portanto teremos queanalisar a intersecção dos conjuntos soluções.

Quadro geral de resolução do sistema:

Como a solução do sistema é a intersecção das retas, temos que observar os pontos que

elas se interceptam, que neste caso são os valores de x menores que –5. Então, nossasolução e´:

}5 / { −<∈= x IR xS

Exemplo 2 : Resolva a inequação x-4<x 242 +≤− x .

Obs: Esse tipo de inequação chama-se inequação simultânea, são sentençasmatemáticas que tem mais de uma desigualdade. O processo de resolução dasinequações simultâneas é semelhante ao sistema de inequações. Inicialmente separamosa inequação em duas desigualdades. Achamos as soluções individuais ou seja, de cadadesigualdade. A solução procurada é determinada pela intersecção das respostasindividuais. O processo de intersecção garante que, na solução final, encontramos osvalores de x que estão nas duas ao mesmo tempo. Vamos verificar como isso fica no

exemplo: x-4<x 242 +≤− x .

+≤−

−<−

24

44

2

2

x x

x x

Vamos enumerar as inequações: a inequação x-4<x2-4 vai ser a inequação 1 e a

inequação 242 +≤− x x será a inequação 2



Inequações do 2o

Grau 10

(+) (+)

Resolução da 1: Inicialmente vamos agrupar os termos semelhantes para obter umainequação do 2ºgrau, assim podemos determinar os valores das raízes da função.x-4-x2+4<0→x2+x,agora podemos aplicar a fórmula de bhaskara, primeiro vamosencontrar o ∆=b2-4.a .b

∆ =(-1)2-4.1.0∆=1-0∆=1

Colocando na formula de bhaskara : x=2

11

1.2

11

.2

±=

±=

∆±−

a

b

12

2

2

11' ==

+= x e 0

2

0

2

11" ==

−= x , encontramos duas raízes que são x=1 e x=0, que

representam os pares ordenados (1,0) e (0,0).Vamos representar a função a partir do ponto da função que acabamos de determinar,

ou seja, os pontos (1,0) e (0,0). Esses pontos determinam onde a parábola corta o eixo x.Para o esboço do gráfico da mesma necessitamos de mais uma informação – a parábolatem a concavidade voltada para cima ou para baixo? Obtemos a resposta, observando o

sinal do coeficiente angular a=1, portanto a concavidade da parábola será voltada paracima, pois o coeficiente a é positivo.

0 1

conjunto solução será }10 / {1 ><∈= oux x IR xS

Resolução da inequação 2

242

+≤− x x vamos agrupar os termos semelhantesx2-4-x-2 0≤ vamos adicionar os termosx2-x-6 0≤ vamos achar as raízes da função, através da formula de bhaskaraAchar o ∆=b2-4.a .b, sendo a=1, b=-1 e c=-6

∆=(-1)2-4.1.(-6)

∆=1+24∆=25

x=a

b

.2

∆±−x =

2

51

1.2

251 ±=

±

32

6

2

51' ==

+= x e 2

2

4

2

51" −=

−=

−= x , as raízes determinadas são x=3 e x=-2, que

representam os pares ordenados (3,0) e (-2,0). Representando esses pares ordenados nográfico da função, eles iram determinar onde a parábola irá cortar o eixo x. Temos que




0

21 SS ∩

3-2

observar também através do nosso coeficiente angular, se a parábola terá a concavidadevoltada para cima ou para baixo, em nosso exemplo o valor de a= 1,que é um numeropositivo portanto em nosso gráfico a concavidade da parábola será voltada para cima.

-2 3

A solução da inequação é feita através da análise do gráfico da função, como devemosobter f(x)= 0≤ , ou seja todo os valores de x menores que zero, o conjunto solução será

}32 / {2 ≤≤−∈ x IR xS

Mas para obter a solução das inequações simultâneas temos que analisar a intersecçãoentre as duas soluções :

1S

2S

-2 0 1 3

O conjunto solução será os pontos que estão ao mesmo tempo nas duas retas do eixo x

portanto a solução:S= 02 / { <≤−∈ x IR x ou }31 ≤< x

Exercícios

1) Determine o conjunto de valores de x que satisfazem o sistema de inequações

<−

>+−

02

034

2

2

x x

x x

2)Resolva

<−

≥−

02

01

2

2

x x

x

3) Indique o conjunto solução de

>++−

≥−

032

02

2

2

x x

x x

+ - +



Inequações do 2o

Grau 12

4) Solucione o sistema de inequação

≥+

<−−

>+

01

012

02

2

2

x

x x

x x

5)Resolva as seguintes inequações:

a) x x 3452 ≤−≤

b) 2345

2

+<+≤ x x x c) 311

2 ≤−< x

¢

Observações importantes sobre o delta (discriminane).

1. Se ∆∆ > 0 (positivo) a função do segundo grau terá duas raízes reais e desiguaise seu gráfico cortará o eixo dos x nesses dois valores, costumeiramentechamados de x’ e x”.

2. Se ∆∆ = 0 a função do segundo grau terá duas raízes reais e iguais (zero realduplo) e seu gráfico cortará o eixo dos x em um único ponto que é esse valor dex., pois x’ = x”.

3. Se ∆∆ < 0 a função do segundo grau não terá raízes reais, conseqüentemente ográfico da função não tocará no eixo dos x.

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