Inequao do 1o Grau

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Texto Complementar

Veremos neste texto: Inequao do 1 Grau Sistema de inequaes Inequao simultnea Inequao Produto e Inequao Quociente.

1 Introduo

Voc j deve ter ouvido, assistido ou participado de debates, seminrios ou palestras sobre as condies de vida da populao mundial. Observando essas condies percebemos as desigualdades evidentes, tanto na rea social como na rea econmica e poltica. Isto pode ser observado em situaes tais como: Escolaridade: na educao, universalizamos o ensino bsico, mas falta ainda o passo seguinte: o da qualidade 1 . Dados 2 do Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas (Inep) apontam que 52% dos alunos mal conseguem decifrar uma operao simples de somar ou subtrair. Moradia: no dia a dia, observamos pessoas vivendo nas ruas e outras em lindas casas. Podemos comprovar essa desigualdade, num passeio por alguns bairros de nossa cidade. Alimentao e salrio: enquanto uns passam fome outros vivem em fartura. Enquanto para uns o salrio baixssimo, para outros excessivamente alto.1

ABRANCHES, Srgio. O debate errado. Revista Veja, edio 1866. Editora Abril, 11 Agos 2004, p.75.

Sociedade Brasileira de Matemtica (SBM) quer reverter baixo ndice, por editor, A Tribuna de Santos/SP, 03/12/2003.

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Podemos observar tambm essas desigualdades em outras reas como sade, saneamento bsico, etc. Matematicamente, o trabalho com situaes de desequilbrio contemplado no campo das Inequaes. Mas, voc sabe o que so Inequaes? As inequaes representam uma desigualdade matemtica.

2 Inequaes: significados matemticos Diversas pesquisas comprovam que o nmero de estudantes que iniciam o Ensino Mdio maior que o nmero de estudantes que concluem o Ensino Mdio. Se representarmos por x o nmero de estudantes que iniciam o Ensino Mdio e por y o nmero de estudantes que concluem o Ensino Mdio podemos representar essa situao numa linguagem matemtica, x > y onde o smbolo > significa que o nmero de estudantes que iniciam o Ensino Mdio maior que o nmero de estudantes que concluem o Ensino Mdio. Uma inequao a representao de um pensamento matemtico identificado pelos seguintes sinais: > (maior) ou < (menor) ou (menor ou igual) ou (maior ou igual). y + 7 2 y 3 Estas so inequaes matemticas de 1o grau com uma incgnita. 5b 7 4b 2 y + 7 2x 3 Estas so inequaes matemticas de 1o grau com duas incgnitas. 5b 7 4a 2 2x y 0 2x 1 0

De forma geral, para encontrar o conjunto soluo de uma inequao do 1o Grau, aplicamos as propriedades especficas das desigualdades. Vamos rever essas propriedades! 2.1 Propriedades das desigualdades Considere os nmeros a, b, c, d IR (IR o conjunto dos reais), temos:Propriedades (i) (ii) Se a > b e b > c, ento a > c. Se a > b e c > 0, ento ac > bc.

Exemplos, com a=3, b=2, c=5 ou c=(-4) e d=13 > 2 e 2 > 1, ento 3 > 1. 3 > 2 e c = 5 > 0, ento 35 > 25 15 > 10. 3 > 2 e c=(-4)< 0, ento 3(-4)b, ento a+c>b+c para todo c real. 3 > 2 e c=(-4), ento 3+(-4)>2+(-4)(-1)>(-2).

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(v)

Se a > b e c > d, ento a+c > b+d.

3 > 2 e 5 > 1, ento 3+5 > 2+1 8 > 3. 3 > 2 > 0 e 5 > 1 > 0, ento 35 > 21 15 > 2.

(vi) Se a > b > 0 e c > d > 0, ento ac > bd.

Vamos resolver algumas inequaes!

Exemplo 1: Quais os valores reais possveis para x nas desigualdades: (a) 4x 1 +2(1 3x ) 0Dica: Para encontrar a soluo da desigualdade vamos aplicar as propriedades. Observe que, para resolver uma inequao do 1o Grau, procedemos de forma semelhante resoluo de uma equao do 1o Grau. Entretanto, na inequao, diferente da resoluo de equaes, ao multiplicar a expresso por (-1) o sinal da desigualdade se altera tambm, de maior para menor ou vice-versa.

Resolvendo: 4x 1 +2(1 3x ) 0 4x 1 +2 -6x 0 -2x +1 0 -2x -1 x 1 2

multiplicamos 2 por (1 3x ) para eliminarmos os parnteses agrupamos os termos semelhantes 4x 6x = -2x adicionamos (-1) aos termos: -2x +1 -1 +1 -2x -1. Na prtica isto significa dizer que, se -2x +1 0 ento -2x -1 multiplicamos ( 1 ) aos termos: -2x (- 1 ) -1 (- 1 ) x 1 ou 2 2 2 2 multiplicamos por (-1) a sentena -2x -1 e obtemos 2x 1. Isolando a varivel x temos x 1 .

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A soluo procurada na desigualdade S = { x IR |x 1 } = [ 1 , +). 2 2

x 1 4(1 x) 2 x x + > + 4 3 2 6 Resolvendo:b)Dica: Neste exemplo os termos apresentam-se em forma de frao com denominadores diferentes. Assim, o primeiro procedimento ser transformar as fraes em fraes equivalentes reduzindo-as a um denominador igual ao menor mltiplo comum (mmc). O mmc (2,3,4,6) = 12. x 1 4(1 x) 2 x x + > + 4 3 2 6 4( x 1) 6.4(1 x) 2( 2 x ) 3x + > + 12 12 12 12

3x + 2(2 x) 4( x 1) + 24(1 x) > 12 12 4x 4 + 24 24x > 3x + 4 2x -20x x >-20 + 4 -20x > -16 16 x< 21

A soluo da desigualdade S = {x IR | x< 16 } = (-, 16 [ = (-, 16 )21 21 21

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Note que: A soluo do sistema pode ser escrita de formas diferentes: S = {x IR | x< 16 } ou S = (-, 16 [ ou S = (-, 16 ). 21 21 3 Sistema de Inequaes Os sistemas so conjuntos de inequaes cuja soluo satisfaz a todas, simultaneamente. Para resolver um sistema de inequaes procedemos da seguinte maneira: Resolvemos individualmente cada inequao; O conjunto-soluo do sistema o conjunto resultado da interseco das inequaes resolvidas individualmente. Observe os exemplos desenvolvidos abaixo: 2 x 1 5 Exemplo 1: Achar o conjunto-soluo do sistema: x 3 < 0 Resolvendo: Inequao 1 2x 1 5 2x 6, logo x 3 {x IR | x 3} Inequao 2 -x 3< 0 -x < 3, multiplicando por (-1) a expresso, temos x > -3 {x IR | x > 3}A soluo do sistema obtida fazendo a interseco () das solues individuais, ou seja das solues da Inequao 1 e 2:

1 2 = {x IR | x 3} {x IR | x > -3} = {x IR | x 3} A soluo da desigualdade S = {x IR /x 3} = [3, +)

4 Inequao Simultnea

As inequaes simultneas so sentenas matemticas que tem mais de uma desigualdade. Veja o exemplo: -3 < x < 4 Nessa inequao - chamada de simultnea os valores de x (incgnita) variam de 3 at 4. O processo de resoluo das inequaes simultneas semelhante ao do sistema de inequaes. Inicialmente, separamos a inequao em duas desigualdades. Achamos as solues individuais ou seja, de cada desigualdade. A soluo procurada determinada pela interseco das respostas individuais. O processo de interseo garante que, na soluo final, encontramos os valores de x que esto nas duas desigualdades ao mesmo tempo. Vamos verificar como isso fica nos exemplos abaixo:

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Exemplo 1: Achar o conjunto soluo da inequao simultnea -x + 3 < x+ 1 < 2x Resolvendo:

- x + 3 < x + 1 Inequao 1 -x + 3 < x+ 1 < 2x Separando as desigualdades, temos: x + 1 < 2x Inequao 2Encontrando o conjunto soluo de cada inequao, individualmente, temos: Inequao 1 Inequao 2

-x + 3 < x + 1 -2x < -2 x > 1 {x IR | x > 1} x + 1 < 2x -x < -1 x > 1 {x IR | x > 1}

A soluo do sistema obtida fazendo a interseco () das solues individuais, ou seja das solues da Inequao 1 e 2:

1 2 = {x IR | x > 1} {x IR | x > 1}= {x IR | x > 1}Observe que nesse exemplo, as desigualdades so iguais.

Assim, a soluo da desigualdade S = {x IR | x >1} = ]1, +) 5 < 3x + 2 8

Exemplo 2: Qual o intervalo real que satisfaz a desigualdade representando a soluo na forma algbrica e na forma grfica. Resolvendo:

5 < 3x + 2 Inequao 1 5 < 3x + 2 8 Separando as desigualdades, temos: 3x + 2 < 8 Inequao 2Encontrando o conjunto soluo de cada inequao, individualmente, temos: Inequao 1 5 3 x >3/3 x >1 {x IR| x>1} Inequao 2 3x + 2 8 3x 8 -2 3x 6 x 6/3 x 2 {x IR | x 2} A soluo do sistema obtida fazendo a interseco () das solues individuais, ou seja das solues da Inequao 1 e 2:

1 2 ={x IR | x > 1} {x IR | x 2} = { x IR | 1< x 2} ou ]1 , 2] Assim, a desigualdade 5 < 3x + 2 8 est definida no intervalo real { x IR | 1 < x 2} ou ]1 , 2] Podemos representar a soluo da desigualdade no intervalo real:

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Agora, tente voc: Atividade 1 Resolva as inequaes do 1 grau determinando o conjunto soluo: a) 7x 8 0 4 f) 2 < 3x + 1 < 2

x( x + 1) 2(3x 1) x(1 x) e) ( x + 1) 2 ( x 1) 2 < 8 5 x ( x + 3) 2 (2 x + 9) x 2 g)1 x + 1 2x

h)

x +1 2x 1 < 5+ x 4 2

5 Inequaes Produto ou Quociente do 1 Grau

As inequaes produto ou quociente, so as sentenas matemticas constitudas por desigualdades com produto ou quociente de funes. Essas inequaes em geral, tem sua soluo baseada no estudo da variao do sinal de uma funo do 1o grau e nas propriedades dos sinais do produto e do quociente dos nmeros reais. Vejamos como isso ocorre no exemplo abaixo: Exemplo 1: Encontre o conjunto soluo da inequao produto do 1 grau (x-4) (x+2)>0

Resolvendo:

Cada termo do produto (x-4) (x+2) representa uma funo do 1o grau. Assim, iniciamos pelo estudo dos sinais dessas funes que chamamos de f(x) e g(x), respectivamente.

Para f(x) = x-4 e g(x) = x+2 temos: (1) Se f(x) = x-4 ento sua raiz obtida fazendo x-4 = 0 x = 4. (2) Se g(x) = x+2 ento sua raiz obtida fazendo x+2 = 0 x = -2. 4

+

-2

+

A soluo da inequao produto obtida a partir da integrao das anlises das variaes de sinais das funes f e g, representadas acima. Aps, aplicamos a regra de sinais do produto dos nmeros reais e analisamos o resultado final encontrado. Observe, abaixo: -2 f(x) g(x) f(x) . g(x) + -2 + 4 4 + + +

Inequao do 1o Grau soluo procurada soluo procurada

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Assim, a inequao produto (x-4) (x+2)>0 est definida no intervalo real { x IR | x < -2 ou x > 4}

Exemplo 2: Encontre o conjunto soluo da inequao quociente do 1 grau

x 1 0 x 1 d) 0 x +1 c) (2x+1)(-x +2) 0

Atividade 3: Resolva as seguintes inequaes. a)

2x + 1 1 x2

b)

3x 1 2 x +1

c)

2x 3