Função Polinomial do 1º Grau

http://www.cursinho.hpg.ig.com.br/index.html?http://www.cursinho.hpg.ig.com.br/materias/funcoes/funcao1g.html

http://www.exatas.hpg.ig.com.br/funcao1.htm

http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao1/ funcao1.php

Uma função cuja lei de formação seja dada pela sentença f(x) = c, com c sendo um

número real qualquer, é dita função constante, pois não depende de x.

Ex.: a) f(x) = 2 b) g(x) = –4 c) h(x) = 1/3 d) y=-3

O gráfico de uma função constante é sempre uma reta paralela ao eixo das abscissas

ou eixo dos "x".

Uma função real, f: IR IR, cuja lei de formação é dada pela sentença f(x) = a.x + b,

onde a é denominado de taxa de variação ou coeficiente angular e b de coeficiente linear é

dita função polinomial do 1º grau ou função afim. Quando b = 0, a função polinomial do

1º grau f(x) = a.x é denominada de função linear. A função linear cujo valor de a é 1, e daí

f(x) = x é denominada função idêntica, unidade ou identidade.

Ex.: a) f(x) = 3x + 2 b) y = –3x – 1 c) f(x) = 2/3 x d) f(x) = x

Exemplos.

a) f(x)=2x+6 a=2 b=6 b) f(x)=8x a=8 b=0 c) y= -3x+5 a=-3 b=5

d)y=-3x+2 a=-3/4 b=2/4=1/2 e) f(x) =4 a=0 b=4

4

Em todos os exemplos, x é a variável independente, e y a variável dependente

y=3 3

y

x

O gráfico de uma função polinomial do 1º grau é sempre uma reta.

se a > 0, então a função é crescente se a < 0, então a função é decrescente

Observe que a função intercepta ("corta"), o eixo dos "x" no zero da função, ou seja,

quando f(x) = 0 e intercepta o eixo dos "y" no ponto (0,b). Esse ponto é chamado de raiz da

função.

Raiz ou Zero da função do 1º Grau

Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a 0, o número real x tal

que f(x) = 0. Temos: f(x) = 0 ax + b = 0

Vejamos alguns exemplos:

1. Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:

f(x) = 0 2x - 5 = 0

2. Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:

g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2

Exemplos 1)Vamos utilizar como exemplo uma equação que muitos conhecem,

a equação do perímetro de um retângulo: Perímetro=Soma das medidas de todos

os lados

Podemos dizer que o perímetro deste retângulo vale 2.L+2.8

Visto que a medida das laterais não irá se modificar (sempre 8), o tamanho do perímetro irá depender apenas do tamanho da base (L). Então o perímetro é uma

função do Lado L. E por isso L é a variável independente, e o perímetro

dependente.

Perímetro=2.L+2.8 f(x)=2.x+16 ou y = 2.x+16

2-Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é 500 reais. Além disso, ele recebe de comissão 50 reais por produto vendido.

a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em função do número x de produto vendido.

y=salário fixo + comissão y=500 + 50x

b) Quanto ele ganhará no final do mês se vendeu 4 produtos?

y=500+50x , onde x=4 y=500+50.4 = 500+200 = 700

c) Quantos produtos ele vendeu se no final do mês recebeu 1000 reais?

y=500+50x , onde y=1000 1000=500+50x » 50x=1000-500 » 50x=500 » x=10

Gráficos da função polinomial do primeiro grau O gráfico de uma função polinomial do 1º grau é sempre uma reta.

Exemplos:

Este exemplo tem o coeficiente angular a=2, raiz –2/3 então a função é crescente.

Este exemplo tem o coeficiente angular a=-1/2, e raiz 4, então a reta é decrescente.

Este exemplo tem o coeficiente angular a=0, então a função é constante.

* Coeficiente Linear

O coeficiente linear é o número que fica no final da função, quando a função está

no formato geral (y=ax+b). E este coeficiente é muito útil quando queremos desenhar o gráfico de uma função do primeiro grau, ele nos diz nada mais nada menos do que o ponto em que a reta corta o eixo Y (eixo vertical).

Exemplos: Função do 1º grau – Aplicação prática

1) O preço a pagar por uma corrida de táxi depende da distância percorrida. A tarifa P é composta por duas partes: uma parte fixa, denominada bandeirada e uma parte variável que depende do número d de quilômetros rodados.

Suponha que a bandeirada esteja custando R$ 2,00 e o quilômetro rodado, R$ 1,50.

a) Expresse o preço P em função da distância d percorrida.

b) Quanto se pagará por uma corrida em que o táxi rodou 10 km? c) Sabendo que a corrida custou R$ 20,00, calcule a distância percorrida

pelo táxi. d) represente o gráfico da função

2) Uma piscina de 3000 litros, totalmente cheia, precisa ser esvaziada para

limpeza e para isso uma bomba que retira água à razão de 100 litros por minuto foi acionada. Baseado nessas informações, pede-se:

a) a expressão que fornece o volume (V) de água na piscina em função do tempo (t) que a bomba fica ligada.

b) a expressão que fornece o volume de água que sai da piscina (VS) em

função do tempo (t) que a bomba fica ligada. c) o tempo necessário para que a piscina seja esvaziada.

d) quanto de água ainda terá na piscina após 3 horas de funcionamento da

bomba?

e) o esboço do gráfico que representa o volume de água na piscina em função do tempo em que a bomba fica ligada.

Exercícios de fixação:

1) Dadas as funções 2

1x)x(f e 4x2)x(g , calcule f(2) + g(-3)

2) faça os gráficos das seguintes funções , determinando sua raiz:

a) y = 2x + 3 b) 2

1x3y

c) y = –x

3) Em uma determinada loja, o salário mensal fixo de um vendedor é de R$ 240,00. Além disso, ele recebe R$ 12,00 por unidade vendida. a) Expresse o ganho mensal (S) desse vendedor em função do número (u) de

unidades vendidas.

b) Quantas unidades ele deve vender para receber um salário de R$ 700,00 ?

4) Um botijão de cozinha contém 13 kg de gás. Sabendo que em média é

consumido, por dia, 0,5 kg de gás:

a) Expresse a massa (m) de gás no botijão, em função do número (t) de dias de consumo.

b) esboce o gráfico desta função.

c) Depois de quantos dias o botijão estará vazio ?

5) A água congela a 0° C e a 32° F; ferve a 100° C e 212° F. A temperatura em graus Fahrenheit (F) varia linearmente com a temperatura em graus Celsius

(C).

a) Expresse a temperatura em F em função de C e faça o gráfico desta função.

b) A temperatura do corpo humano não febril é de 37° C. Qual é esta

temperatura em graus Fahrenheit? c) que temperatura, em graus Celsius, corresponde 20° F.

d) represente o gráfico da função

6)Um táxi cobra R$2,60 de bandeirada e mais R$0,40 por quilômetro

quadrado. Ao final de um percurso de p quilômetros, o taxímetro marca R$8,20. O valor de p é: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

7)Dois táxis têm preços dados por:

Táxi A: bandeirada a R$ 4,00, mais R$ 0,75 por quilômetro rodado;

Táxi B: bandeirada a R$ 3,00, mais R$ 0,90 por quilômetro rodado.

a) Obtenha a expressão que fornece o preço de cada táxi (PA e PB) em função da distância percorrida.

b) Para que distâncias é vantajoso tomar cada táxi ?

8)O preço de uma máquina nova é R$2.000,00. Sabendo-se que

o valor da máquina diminui com o tempo em R$ 50,00 por mês

e a relação entre o preço y e o tempo t é dada pela

equação y = at + b, e que daqui a 12 meses o preço será de

?

Gráfico da função do 1º grau:

O gráfico de uma função do 1º grau de R em R é uma reta.

Exemplo:

1) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=x+1:

Utilizando o excel , simulador do aprendebrasil e graphmatica

Atribuindo valores reais quaisquer para x, obtemos seus valores correspondentes

para y.

D(f) = {-2,-1,0,1,2}

x y=f(x)=x+1 -2 -1 -1 0(raiz) 0 1 1 2 2 3

O conjunto dos pares ordenados determinados

é f={(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)}

2) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=-x+1.

Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

x y=f(x)=-x+1 -2 3 -1 2 0 1 1 0(raiz) 2 -1

O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,3),(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)}

Gráficos y = x+1 ( a> 0 ) ; onde a = 1 é crescente e o gráfico y = -x+1 ( a<0 ); onde a=-1 é decrescente

Raiz ou zero da função do 1º grau:

Para determinarmos a raiz ou zero de uma função do 1º grau,

definida pela equação y=ax+b, como a é diferente de 0, basta

obtermos o ponto de intersecção da equação com o eixo x,

que terá como coordenada o par ordenado (x,0).

1) Considere a função dada pela equação y=x+1, determine a raiz desta função.

[Sol] Basta determinar o valor de x para termos y=0

x+1=0 » x=-1

Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função.

Note que o gráfico da função y=x+1, interceptará (cortará) o eixo x em -1, que é a raiz da função.

2) Determine a raiz da função y=-x+1 e esboce o gráfico.

Fazendo y=0, temos: 0 = -x+1 » x = 1

Gráfico:

Note que o gráfico da função y=-x+1, interceptará (cortará) o eixo x em 1, que é a

raiz da função.

Ponto de encontro ou ponto de intersecção entre funções

É o ponto onde o valor de x e y são os mesmos para as duas funções. Esse ponto é obtido quando igualamos o valor de y da função1 com o valor de y da função 2.

Observe o exemplo 1 Uma caixa com 80 litros de água, esvazia 2 litros de água por minuto, em quanto

uma outra caixa com 30 litros, enche de água a razão de 3 litros por minuto.Se as duas caixas trabalham ao mesmo tempo,após quanto tempo as caixas terão os mesmos volumes. Qual é esse volume?

Graficamente temos: utilizar suporte gráfico para visualizar o problema

tempo(mim) v1=80-2.t v2=30+3t

0 80 30

2 76 36

4 72 42

6 68 48

8 64 54

10 60 60

12 56 66

0

20

40

60

80

100

0 2 4 6 8 10 12

v1=80-2.t

v2=30+3t

Algebricamente temos v1 = v2 então: 80-2t = 30+3t => 80-30=3t+2t => 50 = 5t => t = 50/5 => t =10 mim

calculando o volume v1 = 80-2(10) => v1 = 80-20 => v1 = 60 m3