apostila fenomenos iii - puc

Fenmenos de Transporte III

Apostila

Autor: Samuel Marczewski Gonalves

E-mail: [email protected]

Prof: Dr. Rubem Mrio Figueir Vargas

Porto Alegre

2009

Contedo

1. Conceitos Fundamentais ........................................................................................................................ 1

2. Velocidade ............................................................................................................................................. 3

2.1. Velocidade de Difuso ................................................................................................................. 3

3. Fluxo Mssico ........................................................................................................................................ 4

4. Coeficiente de Difuso (DAB) ................................................................................................................ 6

4.1. DAB para Gases ............................................................................................................................. 6

4.2. DAB para Lquidos ........................................................................................................................ 7

4.1. DAB para Slidos .......................................................................................................................... 8

5. Equao Diferencial da Transferncia de Massa ................................................................................... 9

6. Difuso em Estado Estacionrio .......................................................................................................... 12

6.1. Difuso Atravs de um Gs Estagnado ...................................................................................... 12

6.2. Contradifuso Equimolar ........................................................................................................... 16

7. Modelos Pseudo-Estacionrios ............................................................................................................ 18

8. Difuso com Reao Qumica em Estado Estacionrio ....................................................................... 19

9. Difuso com Reao Qumica.............................................................................................................. 21

10. Difuso em Estado No-estacionrio .............................................................................................. 23

11. Difuso em Meio Semi-Infinito ...................................................................................................... 24

12. Transferncia de Massa por Conveco .......................................................................................... 27

12.1. Parmetros Adimensionais para a Conveco ............................................................................ 28

12.2. Anlise Dimensional .................................................................................................................. 29

12.3. Correlaes Para a Transferncia de Massa ............................................................................... 31

12.3.1. Conveco Forada ......................................................................................................... 31

12.3.2. Conveco Natural ......................................................................................................... 33

13. Transferncia de Massa Entre Fases ............................................................................................... 35

13.1. Equilbrio ................................................................................................................................... 35

13.2. Teoria das Duas Resistncias ..................................................................................................... 37

1. APNDICE A ........................................................................................................................................ 1

1.1. Coeficientes de Difuso Para Transferncia de Massa em Sistemas Binrios .............................. 1 1.1.1. Em Gases ............................................................................................................................. 1 1.1.2. Em Lquidos ........................................................................................................................ 3 1.1.3. Em Slidos .......................................................................................................................... 3

1.2. Parmetros de Lenard-Jones ......................................................................................................... 4 1.2.1. Integrais de Coliso (D) .................................................................................................... 4 1.2.2. Potenciais de Lennard-Jones ............................................................................................... 5

1.3. Tabela dos Volumes Molares ....................................................................................................... 6 1.3.1. Para Alguns Compostos Comumente Encontrados ............................................................. 6 1.3.2. Volume Atmico Para Volumes Moleculares Complexos .................................................. 6 1.3.3. Correo Para Configuraes Especficas de Ciclos ........................................................... 6 1.3.4. Parmetro de Associao Para o Solvente B (B) ............................................................... 6

1.4. Operadores Matemticos .............................................................................................................. 7 1.4.1. Coordenadas Cartesianas ..................................................................................................... 7 1.4.2. Coordenadas Cilndricas ...................................................................................................... 7 1.4.3. Coordenadas Esfricas ........................................................................................................ 7

1.5. Funo Erro .................................................................................................................................. 8

1.6. Densidade e viscosidade da gua sob condies normais de presso. .......................................... 9

1.7. Tabela de Converso de Unidades ............................................................................................. 10

1

1. Conceitos Fundamentais

A transferncia de massa um fenmeno de transporte que ocorre em sistemas onde no se verifica o chamado equilbrio qumico.

O equilbrio qumico se refere igualdade de potencial qumico das diferentes espcies qumicas que constituem os sistemas.

Este potencial qumico se traduz em termos da quantidade chamada concentrao, sendo assim a transferncia de massa s ir ocorrer mediante a existncia de diferena de concentrao no interior de um sistema.

A transferncia de massa caracterizada por um fluxo de matria e este fluxo pode ser expresso em termos de quantidades molares ou mssicas.

Existem dois mecanismos para descrever a transferncia de massa:

1 Difuso molecular.

2 Conveco mssica.

A difuso molecular a transporte de matria que ocorre na presena de um gradiente de concentrao sem a contribuio do meio que est em movimento e transporta matria.

Sendo assim, a difuso molecular um fenmeno que ocorre em nvel microscpico e est associado ao movimento aleatrio das partculas.

O outro mecanismo, chamamos conveco e tem associado a ele a necessidade do meio onde a matria esta sendo transportada de estar em movimento.

Gradiente de concentrao (!C) " Gera uma variao de concentrao por difuso molecular ou conveco.

Concentrao molar: a relao entre a quantidade de mols de uma espcie qumica A e o volume total.

#$ =%&

'*+,

Concentrao molar total de uma mistura:

#$ =%*+,

'*+,

Para um gs ideal:

- . = / 0 1 #$ =%&

'=

2&

3 4

# =%5

'*+, 6478 = 9 #::

Concentrao mssica a razo entre a massa (m) o volume (V) de uma mistura.

Para um componente particular dessa mistura sua concentrao expressa em termos da massa deste componente divida pelo volume total da mistura.

;: =$ =%&

%*+,=

?&

@*+,

Para um sistema gasoso:

>$ =2&

2*+, 9 >:: = A

2

Frao mssica de A: a razo entre a massa de A presente numa mistura e a massa total desta mesma mistura.

! ="#

"$%&=

'#

'$%&( ) ** = 1

Correspondncia entre as bases:

+! ="#

,# -! =

'#

,#

Logo, para um sistema genrico, pode-se estabelecer as relaes entre as bases molar e mssica ou vice-versa.

.! =

/#0#

)/2022

= !"#"$ !%#%% &

Exerccio1:

A composio do ar freqentemente dada em termos dos seus dois componentes principais na mistura gasosa. (21% de mols de O2 e 79% de mols de N2)

Determine a frao mssica de O2 e do N2 assim como a massa molar mdia do ar sabendo que o peso molar do O2 32g/mol e do N2 28g/mol.

Exerccio2:

Na manufatura de equipamentos de microeletrnica, um filme fino slido de silcio cresce uniformemente sobre a superfcie de uma placa devido a decomposio qumica do silano (SiH4) gasoso em presena de hidrognio (H2), tambm gasoso.

Assuma que a composio do gs mantida em 50% em mols de silano e 50% de hidrognio.

a) Qual a composio em base mssica para esta mistura gasosa?

b) Qual a massa molar da mistura gasosa?

c) O sistema isotrmico e isobrico a 900 K e 60 torr. Determine nesta condio a concentrao molar do silano no gs que alimenta o processo.

3

2. Velocidade

Numa mistura onde existem vrios componentes, cada componente possui uma velocidade com relao a um determinado referencial. No entanto, a mistura como um todo apresenta uma velocidade mdia que leva em conta a contribuio de cada constituinte.

Podemos definir velocidade com relao a unidades molares ou mssicas, enquanto partculas em observao.

Dessa maneira podemos escrever a velocidade molar mdia de uma mistura como;

!"# =$ %&''()!!!"&

$ '%&&=

$ %&''()!!!"&

*+,-

Onde:

ci a concentrao molar do componente i.

./!!!"' a velocidade da espcie qumica i medida com relao ao referencial fixo.

De maneira semelhante podemos definir uma velocidade mssica mdia da mistura como sendo:

."0 =$ 1&''()!!!"&

$ '1&&=

$ 1&''()!!!"&

1+,-

2.1. Velocidade de Difuso

!"###$ % $'( ) Em base molar

*!"###$ % !$+, ) Em base mssica Sendo a velocidade de difuso do componente i, em observao, a diferena entre a velocidade

do componente i e a velocidade mdia da mistura, tal velocidade ser diferente de zero na presena de gradientes de concentrao.

a partir do conceito de velocidade e concentrao que se estabelece o entendimento do fluxo mssico ou molar.

4

3. Fluxo Mssico

A primeira definio de fluxo foi elaborada por Parrot e foi escrita da seguinte forma:

!"""# = $%&!' . (C! (1) A definio anterior representa o fluxo molar ( !"""#) da espcie qumica A medida com relao a

um referencial mvel que se desloca com uma velocidade molar mdia da mistura ()"#*). Nesta definio o fluxo diretamente proporcional ao gradiente de concentrao ((C!) e tambm

a uma constante de proporcionalidade denominada de difusividade molecular (DAB). Esta lei apoiada em estudos realizados por Fick carregando, portanto, a denominao de 1 lei de Fick.

importante lembrar que o fluxo molar representa a quantidade de mols por unidade de tempo que atravessa perpendicularmente uma rea especificada. Sua dimenso expressa como !" (#$ %&)' . Sendo assim, expresso em unidades como:

* !"+ $%, ; %

"- !".&$%/ ; %

0* !" $%,

A equao (1) representa o fluxo molar em condies isotrmica e isobrica. Uma representao mais genrica, onde tais condies no se verifiquem, pode ser expressa como:

123334 = 5+678%92: %2(?233334 5 @34A) (3) 123334 = >2%?233334 5 >2 %B CD%EF3334DGHIJ % >K %?L3334 = %ML3334 =Fluxo molar de i medido em relao a um referencial fixo. Como (1) = (3)

M233334 = 592: %2%?233334

123334 = %5+%92: %

5

Exerccio1:

Para uma mistura de composio molar de 5% CO, 20% H2O, 4% O2, e 71% N2; sabe-se que as velocidades absolutas das espcies qumicas so: !"######$ = 10

%&

', ()"#########$ = 13

%&

', *)######$ = 19

%&

'+-+ .)######$ =

11+%&

'. Determine:

a) A velocidade molar mdia da mistura. b) A velocidade mssica mdia da mistura. c) A velocidade de difuso de H2O na mistura, tem como referncia a velocidade mssica

molar mdia? d) O fluxo molar e molar para a gua tanto no referencial mvel como no referencial fixo. e) O fluxo molar e mssico para a gua tanto no referencial mvel como no referencial fixo.

6

4. Coeficiente de Difuso (DAB)

o fator de proporcionalidade da lei de Fick, tambm chamado de coeficiente de difusividade molecular. Este fator depende da natureza e das condies do sistema.

!"""# = $%&!'$(c!$[=] )*+,-.$$/0 $1 &!'[=] -./

Espera-se por sua vez que o &$!'23$45626$6275 > $&$!'23$89:;

7

4.2. DAB para Lquidos

As teorias de difuso em lquidos estabelecem que os coeficientes de difuso estejam relacionados mobilidade das molculas dos solutos em meio aos solventes.

Wilke e Chang propuseram a seguinte correlao para no eletrlitos numa soluo infinitamente diluda:

!" #$"

%=7,4.10&'()"#*"+

-/

2!3,5

Onde:

!" #[=]689

:; #$"#?@AB@?C

8

4.1. DAB para Slidos

Difuso do tipo Knudsen(poros estreitos), pode ser descrita pela teoria cintica dos gases.

!" = #$%&'

Onde:

($ a velocidade da molcula de gs e d o dimetro do poro.

Para poros circulares e retos temos:

!" = 97,0 ) *+-./1 %2

Onde:

2%%3%2453%63%8323%:;%;< %>[=]?

9

5. Equao Diferencial da Transferncia de Massa

A expresso para o princpio da conservao da massa para um sistema expresso na forma de uma equao diferencial parcial que ser apresentada a seguir.

Para tanto vamos supor um sistema infinitesimal de volume dV. Atravs dele massa do componente A flui junto a sua fronteira assim como, afim de generalidade, massa de A gerada no

interior deste volume com uma intensidade conhecida. Vamos denotar " !"#como a taxa de massa de A por unidade de volume gerada no interior do sistema.

O balano de massa em termos da espcie qumica A pode ser escrito como:

$% !& '$% !( +$% !) = *$!*, *- = dx#dy#dz

.!/ #0y#0z|/ + .!1#0x#0z|1 + .!2#0x#03|2 ' .!/#0y#0z|/456 ' .!1#0x#0z|1457 ' .!2#0x#0y|2458 + !#0x#0y#0z = 9:;9t # Para um elemento de volume V que no sofre variaes com o passar do tempo, dividindo a

equao anterior por 0x? 0y? 0z encontramos: *@!*, ' .!/|/ ' .!/|/4560A ' .!1|1 ' .!1|145703 ' .!2|2 ' .!2|24580B ' ! = C# Tomando Dlim5/EFlim51EFlim58EFG: 9@!9, + .!/9A + .!193 + .!29B ' ! = C# Ento em termos de uma notao vetorial: 9@!9, + H? .!IIIIJ ' ! = C# O 1 termo da equao anterior est associado variao de massa no interior do volume

analisado em funo do tempo.

O 2 termo executa a contabilidade da massa de A por unidade de tempo que passa atravs da

fronteira do sistema.

O 3 termo est vinculado a gerao de massa de A no interior do volume, tendo em vista efeitos de reao qumica.

Da mesma forma que para a conservao da massa de A em base mssica, segue a partir do balano em base molar de A a seguinte expresso: 9K!9, +#H? L!IIIIJ ' M! = C

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Onde: .!"####$% o divergente do fluxo molar de A e &" a taxa de mols de A por unidade de volume gerada no interior do sistema.

Ambas as equaes anteriores classificam-se como EDPs, portanto para que sua soluo seja estabelecida necessria a determinao das condies de contorno e uma condio inicial vinculadas ao sistema em anlise.

Considerando uma equao anloga para uma espcie qumica B, se o sistema em anlise for binrio teremos:

!" #

+ $. %"&&&&' ( )" + !* #

+ $. %*&&&&' ( )* = 0

,,,,,,,,,,,,,,,, -!"+!*/

#+ $. -%"&&&&' + %*&&&&'/ ( -)" + )*/ = 0,,,,,,,,,,,,,,,,,-1/

Como pela distribuio de velocidade mdia mssica:

2'3 =%"&&&&' + %*&&&&'

!4, 5 %"&&&&' + %*&&&&' = 2'3. !4,

E para preservar a lei de Lavoisier (princpio de conservao de massa):

)" + )* = 0 5 )" = ()*

Pode-se, ento, reescrever-se a equao -1/ acima, resultando:

! #

+ $. 62'3,!47 = 0

Formas especiais da equao da transferncia de massa:

Como %"&&&&' = (8"* . $!" + 2'3. !":

!" #

+ $. 9(8"* ,$. !" + 2'3,!": ( )" = 0

Se ;< e 8">? so constantes:

(8"*$@!" + 2'3. $!" + !" #

( )" = 0

Se ;< e 8">? so constantes e o sistema no possui gerao interna de massa:

(8"*$@!" + 2'3. $!" + !" #

= 0

Se ;< e 8">? so constantes, o sistema no possui gerao interna de massa e onde a transferncia de massa no sofre efeitos significativos da velocidade do sistema:

(8"*$@!" + !" #

= 0

Obtm-se a 2 lei de Fick ou lei da difuso:

$@!" =A8"*

, !" #

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Exerccio1:

Em um processo, oxignio produz a combusto do carvo. Deseja-se descrever o processo difusivo do O2 ao longo de uma camada de espessura formada em torno da partcula slida. Sabe-se que a frao molar do O2 fora da camada de gs contaminado significativamente pelos produtos da combusto 21% em mols.

Admita que a transferncia de O2 ocorra unidimensionalmente e ocorre em estado estacionrio.

Assuma que a reao qumica associada combusto ocorre instantaneamente junto a partcula de carvo.

a) Suponha que a partcula seja uma placa. b) Suponha que a partcula seja uma esfera.

Nas duas situaes descritas (a e b) a reao de combusto :

(!) + "#($) % "#($)

Obtenha a forma simplificada para a equao diferencial da transferncia de massa e para a 1 lei de Fick. Indique as condies de contorno vinculadas descrio feita acima.

Exerccio2:

Uma rea emergente da biotecnologia, chamada de engenharia de tecidos, desenvolve novos processos para o crescimento organizado de tecidos tanto de origem humana como animal. Tais processos possuem diversas aplicaes biomdicas incluindo a produo de tecido humano para transplante, tal como pele e osso, entre outros.

Tecidos vivos necessitam de oxignio para manter a vida. Transporte de oxignio para o tecido uma importante considerao do projeto.

Um dispositivo esquemtico para este processo consiste em finos tubos que servem de suporte e ao mesmo tempo suprem a demanda de O2 do tecido. O O2 puro flui atravs do interior do tubo, sendo este, permevel ao O2.

O O2 considerado o nico componente que se solubiliza no tecido, que substancialmente

gua. A concentrao de O2 desenvolvido em um raio r &! ='*

,, onde h a constante da lei de

Henry para o O2 dissolvido no tecido junto temperatura do processo e -& a presso parcial de O2 no tubo. O O2 dissolvido difunde atravs do tecido e metabolicamente consumido. O consumo metablico de O2 dissolvido descrito por uma equao para a taxa de cintica:

.& = /01*2304*

5*64*

Pode ser assumido que junto ao final do tecido o fluxo de O2 nulo.

Determine, em estado estacionrio, as formas simplificadas para a equao geral e para a lei de Fick.

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6. Difuso em Estado Estacionrio

Nesta unidade vamos abordar o estudo da transferncia de massa pelo mecanismo da difuso molecular em estado estacionrio. Inicialmente vamos abordar sistemas no reativos. Algumas situaes sero estudadas dentro desta classe de sistema.

6.1. Difuso Atravs de um Gs Estagnado

Algumas operaes unitrias da engenharia qumica so representadas fisicamente pelo que se chama de difuso atravs de um gs estagnado. Dentre estas operaes pode-se citar os processos de secagem.

Com o objetivo de definirmos um modelo vamos estudar o processo de evaporao de um lquido A voltil depositado no interior de um tubo. Acima deste lquido existe uma camada de gs B sendo este gs solvel e inerte frente ao lquido A. Junto ao topo do tubo, uma corrente com velocidade bastante baixa deste gs B circula constantemente.

conhecido na literatura este tipo de dispositivo como clula de Arnold.

Gs B

z = z2 ; yA = yA2

z = z1 ; yA = yA1

Lquido A

A clula de Arnold est posicionada num ambiente com temperatura e presso constantes. Como o gs B circula junto boca do tubo a concentrao nesta posio em termos do componente A mantida constante.

Na interface entre o lquido e o gs, como a temperatura e a presso do sistema so constantes, uma relao de equilbrio lquido-vapor descrever adequadamente a frao molar de A nesta posio, pelo lado do gs. Vamos admitir que uma alimentao conveniente mantida junto ao fundo da clula faz com que o nvel do lquido A permanea constante durante o processo de transferncia de massa. Nestas condies desejamos estabelecer o fluxo molar do componente A transferido sob condies de operao em estado estacionrio.

!"# = 0

Sendo que o gs B insolvel e inerte frente ao lquido A, ao se avaliar o valor do fluxo molar de B na interface entre o lquido e o gs, chega-se ao resultado que "$%%%%%& = 0.

Este resultado vale para qualquer posio z ao longo do caminho difusivo.

"$%%%%%& = 0 no implica o gs B permanecer esttico no interior do tubo, mas representa o fato de as quantidades molares de B em cada posio do caminho difusivo serem iguais em intensidade, mas com sentidos (ascendente e descendente) contrrios. Isto o que caracteriza a nomeao de gs estagnado.

0 0

13

Da 1 lei de Fick:

!""""# = $%&'!( &&)*! +&*! &, !""""# + ("""""#- Onde ("""""#&&o&gs&inerte&frente&&.A., ou seja, ("""""# = 0. !""""# = $%&'!( &/12/3 +&*! & !""""# &

/12/3

!""""#&,4 $ *!- = $%&'!( &/12/3 !""""# = $%& 526,7812-

/12/3

9 !""""#&:; = $9 %&'!( & /127812 !""""#9 :; = %&'!( 9$ &/127812 !""""#,;< $ ;7- = %&'!( &[ln,4 $ *!-]12>12? !""""#,;< $ ;7- = %&'!( ln @7812?7812>B Alguns livros de transferncia de massa apresentam a equao anterior expressa em termos da

chamada frao molar mdia logartmica de B denotada como:

*(CD =&*(< $ *(7EF @*(

14

! = 1"! # "$ ln %(1 # &'!)*+(1 # &'$)*,-

Ento a equao geral fica:

1 # &1 # &'$ = .

1 # &'!1 # &'$/*0*+*,0*+

Ou como &2 34&' = 1 5 &2 = 1 # &': &2&2$ = 6

&2!&7$8*0*$*,0*+

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Exemplo:

Considere que o CO2 difunde atravs de uma pelcula estagnada de ar com 1 cm de profundidade na presso de 1 atm e 25C. Esta pelcula est num capilar que contm H2SO4. O CO2 absorvido instantaneamente ao atingir o lquido. A concentrao molar de CO2 na boca do capilar expressa em termos de frao molar e vale 1% em mols. Calcule o fluxo molar de CO2 transferido atravs do capilar.

CO2

z2 = 0 cm ; yA1 = 0,01

z1 = 1 cm ; yA1 = 0

H2SO4

16

6.2. Contradifuso Equimolar

A contradifuso equimolar um fenmeno de transferncia de massa que em um sistema binrio se caracteriza pela seguinte situao:

!"######$ = %& '"#######$ A situao se verifica em processos de destilao de substncias cujos calores latentes sejam

aproximadamente iguais. Outra situao descrita pelo modelo de contradifuso equimolar est associada ao processo de transferncia de massa entre gases confinados.

Nosso objetivo ser estabelecer as equaes matemticas simplificadas e a partir delas determinar do fluxo e o perfil de concentrao para um sistema regulado pela contradifuso equimolar.

Vamos considerar o processo unidimensional, descrito por coordenadas retangulares e o sistema em condio isotrmica e isobrica. Sendo assim, em estado estacionrio a equao geral escrita como:

(() !####$ = 0

E a 1 lei de Fick:

!####$ = %*&+!' &&,! -&,!&. !####$ - '#####$/ , onde !####$ = %& '#####$ !####$ = %*&+!' &&1231" Determinao do Fluxo:

!####$ 4 () = %*&+!' 4(,!

!####$ = *&+!' &.,!5 % ,!6/

.)6 % )5/ & Perfil de concentrao:

(() 7%*&+!' &&

(,!() 8 = 0

(,!() = 95

Perfil Linear:

,! = 95) -&96 Equao da Reta:

.,!&& % ,!5/

.,!6 % ,!5/ =.)& % )5/.)6 % )5/

Valor mdio de frao molar de A ao longo do caminho difusivo:

,!::: =4 ,!.)/()";" + ? senh;< K,23 #*> $!8*9 = #$!@ cosh;< K,23 #*> " $!@ cotgh ;< K,23 #A> senh;< K,23 #*>

z = ; CA=0

z@ = 0 ; CA = CA0 G

s

Lquido A

22

Para se quantificar a quantidade molar retirada da fase gasosa e capturada pela fase lquida na operao de absoro vamos avaliar a derivada perfil de concentrao em z = 0 e substitu-la na equao para o fluxo, !.

!""""# = $%0& K'!( cotgh)& K'!( *+, Ao dividirmos o fluxo molar da espcie qumica A associado a uma operao de absoro com

reao pelo fluxo molar em um processo anlogo de absoro, mas sem reao, uma quantidade adimensional estabelecida e conhecida como Nmero de Hatta. Esta quantidade diz da influncia da reao do processo de absoro com relao sua ausncia. No caso do exemplo apresentado esta quantidade :

-! = & K'%. *+ cotgh )& K'%. *+,

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10. Difuso em Estado No-estacionrio

A transferncia de massa associada ao mecanismo da difuso em sistemas que possuam como caracterstica a variao da concentrao com o tempo e com as coordenadas espaciais so classificadas como no-estacionrias. Em um meio esttico no reativo, a equao que descreve o comportamento da concentrao conhecida como 2 lei de Fick:

!"# = 1$#% &'"#'( A equao diferencial anteriormente apresentada possui sua soluo muitas vezes expressa em

forma de diagramas denominados cartas.

Analogamente concentrao molar, a concentrao mssica em um problema sob as mesmas hipteses anteriormente apresentadas satisfaz a seguinte equao:

!)# = 1$#% &')#'(

Com o objetivo de preservar a forma da equao diferencial para a situao onde dados estejam apresentados em termos da frao mssica ou molar, orienta-se o procedimento da seguinte mudana de varivel:

*#+ = *#1 ,*# *#+&-./0&23345/&62&7/36&849.6&:6&;*#+

As cartas so uma representao do transporte unidimensional em sistemas com simetria relativa linha ou ponto central do corpo, que inicialmente se encontra em uma condio homognea em termos e concentrao e cujo contorno fica submetido condies invariantes com o tempo. As cartas que iremos utilizar esto apresentadas em funo de quatro quantidades adimensionais.

? = "#@ , "#"#@ , "#A B 0C:6& D"#@ E 50C56C(./0&C0&50C(0.C0"# E 50C56C(./0&CF2/&G0340&6&(62G0&HF/8HF6."#A E 50C56C(./0&4C454/8 I

Tempo Admensionado:

J = $#% &(>@! Posio Relativa:

C = >>@ B 0C:6 K> E G0340&26:4:/&/&G/.(4.&:/&84CL/&0F&G0C(0&56C(./8&/(&G0340&:6&4C(6.6336>@ E 502G.426C(0&5/./5(6.3(450&:/&M6026(.4/ N

Resistncia Relativa ( indicativo da razo entre a resistncia superficial e interna):

2 = $#%OP &>@ & B 0C:6&OP E 506-4546C(6&:6&(./C3-6.C54/&50C965(49/&:6&2/33/& Apesar das cartas representarem a transferncia unidimensional de massa possvel a abordagem

de problemas multidimensionais mediante manipulaes.

Alm do transporte multidimensional situao onde a transferncia de massa ocorre a partir de uma nica face de uma placa plana pode ser avaliada utilizando-se as cartas para uma placa com espessura igual ao dobro da espessura original. Esta considerao decisiva na avaliao dos fatores adimensionais. Este tipo de situao esta vinculado a, por exemplo, placas que possuam uma de suas faces isoladas.

24

11. Difuso em Meio Semi-Infinito

Um importante caso de difuso transiente de massa com soluo analtica a transferncia unidimensional em um meio semi-infinito com concentrao superficial fixa. Por exemplo, ns podemos descrever a absoro do oxignio a partir do ar para a gua de um lago ou a difuso em meio slido, num processo de tmpera do ao em um ambiente rico em carbono, todas estas situaes incluem-se no caso de meio semi-infinito.

Distribuio de concentrao numa placa semi-infinita para um tempo t.

Matematicamente o problema se coloca como:

!"#$ %! = 1' "# (

) "# = "#*$+,$( = 0"# = "#- $+,$% = 0"# = "#*$+,$% . /2 Fazendo a seguinte mudana de varivel:

34%5 (6 = "#4%5 (6 7 "#*"#8 7 "#* A equao da difuso escrita como:

!3 %! = 1' 3 (

93 = 0$+,$( = 03 = 1$+,$% = 0: Aplicando Transformada de Laplace (t passar a p) na equao da difuso (uma equao

diferencial parcial), obtemos a seguinte equao diferencial ordinria.

;!36;%! 7 >' 36 = 0 Cuja soluo escrita como:

36 = ?+@AB CDEF G H+IAB CDEF Como o problema em meio semi-infinito se projeta no domnio de 405 G/6, a soluo com a

parte da exponencial positiva tende a infinito, isto no possvel em problemas de transferncia de massa, ou seja, no existe concentrao infinita, ento para a soluo do problema fsico ficar limitada, a constante B deve ser nula. Para se determinar a constante A, utiliza-se a condio de contorno em %$ = $0 transformada:

36 = 1> $+,$% = 0

25

Ento escreve-se a soluo como:

!(", #) = 1# $%&' *+-.

Buscando-se uma tabela que fornea a volta do domnio p de Laplace para o domnio t, temos:

F(p) f(t)

1# $%/0* 1 2 erf 3

45067

Sendo a !" a funo erro de Gauss, definida como: erf(#) = 2$%& '*

+,-./

Dessa forma a soluo do problema de transferncia de massa em termos da concentrao escrita como:

0(#1 3) = 45(#1 3) 6 45/457 6 45/ = 8 6 erf 9#

2:;5

Exemplo:

Um pedao de ao, tendo uma concentrao inicial de 0,20% em massa de carbono, exposto a uma atmosfera rica em carbono por 1hora. Sob as condies do processo, uma concentrao superficial de 0,7% em massa de carbono se estabelece sobre o ao. Se a difusividade do carbono atravs do ao 8?8@'AABCDE nas condies do processo, determine a concentrao em termos de carbono a 0,01cm, 0,02 cm e 0,04 cm abaixo da superfcie.

Soluo:

F5/G = @1@@2 F57G = @1@@H

FG5(#1 3) 6 FG5/FG57 6IFG5/ = 8 6 erf 9#

2I:;5 FG5(#1 3) 6 @1@@2@1@@J = 8 6 erf 9

#2I:;5

@1@@H 6 FG5(#1 3)@1@@J = erf 9#

2I:;5 @1@@H 6 FG5(#1 3)@1@@J = erf K

#2I$8@'AAILM@@IN = erf K

#L1HO?8@'PN

Com z em metros. Desta maneira tem-se que: z(cm) z(m) erf w'A WA(%)

0,01 1.10-4

erf(0,264)=0,291 0,0055 0,55

0,02 2.10-4

erf(0,528)=0,545 0,0043 0,43

0,04 4.10-4

erf(1,055)=0,866 0,0027 0,27

Na fabricao de equipamentos de microeletrnica, filmes finos de semicondutores podem ser feitos pela impregnao de fsforo ou boro para o interior de uma bolacha de silcio. Este processo chamado de dopagem. A dopagem de tomos de fsforo no silcio cristalino produz semicondutores do tipo n, enquanto que se a dopagem fosse com boro ter-se-ia semicondutor do tipo p. A formao do fino

26

filme de semicondutor controlada pela difuso molecular do tomo dopante atravs da rede cristalina do silcio.

Mtodos para liberar tomos de fsforo para a superfcie do silcio incluem a deposio qumica de vapor e a implantao inica. Em um processo tpico, oxicloreto de fsforo, POCl3, que possui ponto normal de ebulio igual a 105.3oC, vaporizado. O POCl3, em estado vapor, alimenta um reator em condies de alta temperatura e baixa presso (em torno de 0.1atm), onde decomposto sobre a superfcie do silcio de acordo com a seguinte reao:

!(") + 2#$%&'* , !%-(") + 3#&'- + 2#$(")

Uma cobertura rica em fsforo molecular formada ento sobre a superfcie do silcio. O fsforo molecular difunde ento atravs do silcio formando finos filmes de Si-P. Dessa forma, a cobertura uma fonte para transferncia de massa do fsforo, enquanto o silcio o meio para onde este difunde. Este processo pode ser bastante complexo, mas se pode considerar o caso simplificado em que uma concentrao constante de fsforo se estabelece na interface vapor-slido. Como o coeficiente de difuso dos tomos de fsforo no silcio bastante baixo, e somente um fino filme de Si-P desejado, alm dos tomos de fsforo penetrarem muito pouco o interior do silcio, pode-se admitir o silcio como um meio semi-infinito onde est se dando a difuso. desejvel, para se prever as propriedades do Si-P, conhecer- se a concentrao do dopante. O perfil dos tomos de fsforo dopados muito importante para o controle das propriedades eltricas do semicondutor.

Considere a dopagem de silcio a 1100C, note que a temperatura alta para que a difuso ocorra. A concentrao de tomos de fsforo na superfcie do silcio de 2,5x1020 tomos/cm3, que relativamente diludo, tendo em vista que o silcio slido possui 5x1022tomos/cm3. Admita que esta concentrao superficial constante e preveja a que profundidade do filme de Si-P, aps 1hora, se ter uma concentrao 1% do valor superficial (2,5x1018tomos/cm3).

Soluo:

(!, ") = #$(!, ") % #$$' % *$& = 2,5.10+- % 2,5.10/&2,5.10/& % 0 = 1 % erf 3 !246$7"8

erf 3 !246$7"989 = 0,::0 A partir de uma tabela de funo erro, temos que o argumento da funo erro para o qual ela

atinge o valor de 0,990 1,82. Ento

3 !246$7"98 = 1,;2

! = (1,;2)92946$7"9 = ?9@>,5.10A+B #C/D 9009D9 = 1,E>.10AF9#C

27

12. Transferncia de Massa por Conveco

A transferncia de massa por conveco ocorre sempre na presena de movimento de uma fase fluida, em relao a uma dada superfcie, mediante a diferena de concentrao existente em termos de um componente especfico na superfcie e no meio fluido que escoa. O fluxo molar transferido nestas condies expresso pela equao:

! = "# . $%!

Se %!& > %!'

Sendo "# o coeficiente de transferncia de massa por conveco, sua dimenso a de fluxo por concentrao, logo resultar em unidades de comprimento por tempo. %!& a concentrao molar de A junto superfcie e %!' a concentrao molar de A no fluido que escoa sobre a superfcie.

Cabe destacar que o coeficiente de transferncia de massa depende da geometria do problema, das propriedades fsicas do fluido envolvido e da dinmica do sistema.

Este coeficiente no uma propriedade fsica e, portanto no se encontra tabelado, como acontece com quantidades como condutividade trmica, viscosidade entre outras.

Cabe destacar que a conveco um fenmeno complexo que ocorre no fluido, observe que ao escoar o fluido imediatamente em contato com a superfcie apresenta velocidade nula, desta forma, uma fina camada de fluido junto superfcie ser sempre laminar independente das condies do escoamento da corrente global. Dessa forma, a transferncia de massa nesta camada envolve o transporte molecular e desempenha um papel fundamental na descrio do processo convectivo como um todo. Se o escoamento laminar, uma camada de fluido desloca-se sobre a outra, sem grandes afetaes entre elas em termos de mistura, o mecanismo molecular regula este processo de transferncia de massa convectiva. Por outro lado, se o escoamento turbulento, o contedo das camadas se mistura, e o transporte pelos vrtices e turbilhes que se formam so decisivos na descrio da transferncia de massa convectiva.

Da descrio anterior, observa-se que a definio de camada limite torna-se importante na anlise convectiva. Em termos de transferncia de massa, define-se como camada limite da transferncia de massa, a regio do fluido sobre a superfcie que sofre os efeitos desta parede, em termos de alterao dos valores de concentrao do componente que est sendo transportado. Observe que dependendo do fenmeno, nem todo o fluido sofre os efeitos de alterao de sua concentrao quando a transferncia de massa se d apenas uma regio afetado pelo processo de transferncia e fora dela o fluido continua a

escoa r a concentrao AC , sem sofrer alteraes devido transferncia de massa.

A determinao do coeficiente de transferncia de massa por conveco pode ocorrer atravs dos seguintes mtodos:

a) Anlise dimensional vinculada a experimentos;

b) Analogia entre os fenmenos de transporte;

c) Anlise exata ou aproximada da camada limite.

!

28

12.1. Parmetros Adimensionais para a Conveco

Nmero de Schmidt (Sc) relaciona os efeitos do perfil de velocidade sobre o perfil de concentrao, definido como:

! ="

#$%

Onde&" ='

() "*+!,+*-.-/&!*0/12*!.&[=]

34

5 e #$% ) -*67+*"*-.-/&1,8/!78.9[=]

34

5.

Nmero de Lewis (Le) relaciona os efeitos do perfil de temperatura sobre o perfil de concentrao, definido como.

:/ =;

#$%

Onde &; =?@) -*67+*"*-.-/&291*!.[=]

34

5.

O nmero de Prandtl (Pr) o parmetro que relaciona as espessuras relativas das camadas limite hidrodinmica e trmica

A9.0-28 ="

;

Nmero de Nusselt da transferncia de massa (NuAB) , tambm chamado de nmero de Sherwood (Sh)

B7$% = C =D? > :

#$%

Este adimensional relaciona o gradiente de concentrao junto superfcie e um gradiente total ou de referncia; conseqentemente pode-se dizer que a razo entre a resistncia ao transporte molecular e a resistncia associada ao transporte convectivo de massa.

29

12.2. Anlise Dimensional

A anlise dimensional vai lanar previses sobre os grupos adimensionais relevantes ao processo fsico estudado. Os resultados vindos a partir dela, vinculados a experimentos, produzem equaes, usualmente chamadas de correlaes, que permitiro a determinao do coeficiente de transferncia de massa convectiva.

Considere a situao em que uma corrente-vapor flui sob condio de conveco forada no interior de uma tubulao de seo circular. As variveis relevantes na descrio deste processo de transferncia de massa so:

Varivel Smbolo Dimenso

Dimetro da tubulao D L

Massa especfica do fluido r M/L3 Viscosidade dinmica do fluido m M/LT Velocidade do fluido V L/T

Difusividade molecular DAB L2/T

Coef. de T. M. por conveco kc L/T

Observe que as dimenses de cada propriedade esto escritas em termos das dimenses fundamentais: massa M, comprimento L e tempo T.

A partir do teorema pi, escolhemos trs variveis para constituir o ncleo e para cada uma restante constri-se um nmero adimensional. Escolhemos para constituir o ncleo trs variveis quaisquer apresentadas anteriormente, desde que, tenhamos com esta escolha a contemplao das trs dimenses fundamentais. Nossa escolha foi a difusividade molecular, a massa especfica e o dimetro. Dessa forma, o primeiro grupo adimensional

ccba

AB kDD rp =1 em termos de dimenses ( ) 132

1 =

= c

cba

kLL

M

T

Lp . Dessa forma o coeficiente

total de cada dimenso deve ser nulo.

para a dimenso L: 0=2a-3b+c+1 para a dimenso T: 0=-a-1 para a dimenso M: 0=b

A soluo para este sistema : a=-1; b=0 e c=1

Ento o nmero adimensional gerado

ShSherwoodD

DkkDD

AB

ccAB ====

- 1011 rp

Desta forma procederemos para obter os outros dois adimensionais restantes.

mrp cbaAB DD=2

( ) 13

2

2 =

=

LT

ML

L

M

T

L cba

p

E o sistema obtido para a determinao dos coeficientes

para a dimenso L: 0=2a-3b+c-1 para a dimenso T: 0=-a-1 para a dimenso M: 0=b+1

E a soluo para este sistema a=-1; b=-1 e c=0, sendo o grupo adimensional escrito como

ScSchmidtDD

DDABAB

AB =====-- n

rm

mrp 0112

30

Para o terceiro grupo temos o mesmo desenvolvimento para o primeiro, visto que o coeficiente de transferncia de massa convectiva e a velocidade possuem a mesma dimenso, ento:

ABAB

D

vDvDD == - 1013 rp

Veja, que se os grupos pi2 e pi3 so adimensionais, ento a razo entre eles tambm um grupo adimensional:

ynoldsDvD

D

vD AB

AB

Re2

3 ===m

rm

rpp

Dessa forma, o resultado fruto da anlise dimensional se traduz na informao de que para o problema analisado de conveco forada, o nmero de Sherwood funo dos nmeros de Reynolds e Schmidt. Cabe destacar que a funo que relaciona estes adimensionais s pode ser determinada a partir do estudo experimental, e da correlao dos dados deste experimento.

Anlise dimensional para avaliar o problema de transferncia de massa em uma fase cujo movimento devido conveco natural em uma placa.

Varivel Smbolo Dimenso Comprimento da placa L L Massa especfica do fluido r M/L3 Viscosidade dinmica do fluido m M/LT Fora de empuxo mssico por unidade volume gDrA M/L

2T2 Difusividade molecular DAB L

2/T Coef. de T. M. por conveco kc L/T

De maneira semelhantes a anterior tem-se ao utilizar-se o teorema de Buckingham

cc

ABba kDL rp =1

mrp cABba DL=2

Ac

ABba gDL rrp D=3

ShSherwoodD

LkkDL

AB

ccAB ====

-1011 rp

ScSchmidtD

DLAB

AB ====--

rm

mrp 1102

2

3213

3)( AB

AAAB

D

LggDL

r

rrrp

D=D= --

Dividindo o terceiro grupo pelo segundo grupo ao quadrado continuamos tendo um nmero adimensional

ABAAB

AB

A GrmassadeciatransferndeGrashoffgLD

D

Lg==

D=

D=

2

3

2

22

2

3

22

3

)( rnr

mr

rr

pp

Desta forma, para a conveco natural em placa, se pode dizer que o nmero de Sherwood funo dos nmeros de Schmidt e de Grashoff.

32

Escoamento ao Redor de Corpos Bojudos

Esfera nica:

!" = "2,0" + "#"$%& '( " #& )(

Sendo:

c = 0,552 para escoamento de gases em torno da esfera.

Com espectro de aplicao: 2 < Re < 12000 e 0,6 < Sc < 2,7.

c = 0,95 para escoamento de lquidos em torno da esfera.

Com espectro de aplicao: 100< Re < 700 e 1200 < Sc < 1250.

Existe tambm a correlao de Williams que pode ser utilizada para os fluidos de trabalho:

Ar: *- = ./134 5(

6=

7,8)

9:;,

9:"13? 5(

Sua validade para 200 @ "$%" @ "ABC08.

Escoando perpendicularmente ao eixo de um cilindro:

Gases (Bedingfield e Drew): *- = ./134 5(

6=

7,'D&"13;,?;E

9:;,F

Com intervalo de aplicao 400< Re < 2,5.104 e 0,6 < Sc < 2,6.

Lquidos (Linton e Sherwood): *- = ./134 5(

6=

7,'D&

9:;,<

Com intervalo de aplicao 400< Re < 2,5.104 e Sc > 3000.

Escoamento em Leito Fixo e Fluidizado

Leito fixo: Para escoamento de gases ou lquidos em leito com partculas esfricas, Ranz:

! = 2,0 + C,G"$%7,H" #& )(

Vlida para Re > 80.

Wakao e Funazkri propuseram a seguinte correlao para leito com recheio esfrico com fluido de trabalho tanto lquido como gasoso, mas com intervalo de validade maior: 3 < Re < 104.

!I = 2,0 + C,C"$%7,J" #& )(

Leito fluidizado: Correlao de Gupta e Thodos, vlida tanto para gases como lquidos.

K*- = 0,0C +0,GLM

$%7,HD N 0,AGM

Validade de aplicao: 20 < Re < 3000.

33

12.3.2. Conveco Natural

Esfera isolada: Escoamento com baixa velocidade.

Correlao de Steinberger e Treybal:

!"# $= $2,0$ + $0,569$%&'/( , para Ra < 108 Ou

!"# $= $2,0$ + $0,254$%&'/)$ *-,.(( , para Ra > 108 Sendo: %& = 1$37$8$:;$?@A e !"# =

?$BC?@A

Steinberger e Treybal propuseram uma correlao para conveco mssica mista para uma esfera nica:

! = !"# + 0,D4EF%G$ *' .H I-,J. Com intervalo de aplicao 1< Re < 3.104 e 0,6 < Sc < 3200.

Leito Fixo: Considerando efeitos de conveco natural

!"# = K$%&' (H ,para: Karabelas et all: f = 0,46; 1,24 .107< Ra < 3,23.109

Mandelbaun e Bohm: f = 0,63; 5,41.106 < Ra < 1,49.108

!"# = K.%&' (H $L MNOPQROS TH UV7

f2 = 1,153 e f3 = 0,155 para escoamento descendente do solvente.

f2 = 1,134 e f3 = 0,253 para escoamento ascendente do solvente.

Com intervalo de aplicao 0,0346< Rep < 29,7 e 5,41.106 < RaMp < 3,23.10

8 . Substituir Rep por Rep=(uidp/n) ; sendo ui=u0/e , sendo u0 velocidade superficial.

Quando se utiliza fluidos supercrticos, adotam-se os valores de Lim, Holdn e Shah

f2 = 1,692 e f3 = 0,356 para limites de validade restritos a:

2 < Rep < 70 ; 2 < Sc < 11; 78 < GrMp < 3,25.107 e 10 < P < 200atm.

Sendo Rep = Dpu0/n.

34

Problemas:

1) Remove-se o excesso de uria de uma folha de plstico depois da fabricao fazendo-se passar uma corrente de gua sobre a folha, aps esta ter sido resfriada at uma temperatura de 770F. Se a folha possui 2ft de comprimento e a gua flui sobre ela com uma velocidade de 1ft/s, estime a taxa inicial de transferncia de massa para uma concentrao de uria na superfcie da folha de 0,5lbm/ft3. DAB = 5,32x10-5ft2/h.

2) Uma corrente gasosa de ar e vapor dgua est fluindo em contracorrente a um filme de lquido numa coluna de parede molhada de 3cm de dimetro interno. O gs e o lquido se encontram a 298K e a presso 1 atm. Em um ponto da coluna, a vazo de ar 9,5x10-4m3/s e a presso parcial mdia do vapor dgua na corrente gasosa 665Pa. A viscosidade cinemtica da corrente gasosa 1,7x10-5m2/s. Determine o coeficiente de transferncia de massa KG. A presso de vapor dgua a 298K 0,3048atm.

3) Foi proposto um experimento que consiste de uma tubulao no interior da qual se faz escoar gua a 250C e 1m/s. Inseriu-se no centro da tubulao um corpo de prova feito de cido benzico durante uma hora. Sabendo-se que Sc=740 e que a solubilidade do cido benzico em gua 3x10-3g/cm3, determine o raio final do corpo de prova, assumindo-o esfrico com raio inicial 0,5cm.

4) gua flui a 700F atravs de um cano com 2in de dimetro interno com velocidade mdia de 10ft/s. Uma seo de 1ft de comprimento repassada por um tubo feito de cloreto de sdio slido. Estime o coeficiente de transferncia de massa do cloreto de sdio na gua e compare com o obtido atravs da analogia de Chilton-Colburn.

5) Procurou-se extrair leo essencial de pimenta do reino utilizando-se CO2 supercrtico como solvente. Para tanto, lanou-se mo de um extrator tipo leito fixo cuja porosidade 0,24. Sabendo-se que a partcula, considerando-a esfrica, apresenta dimetro mdio de 8x10-3cm e que o mecanismo de conveco mssica misto, calcule o coeficiente de transferncia de massa para as condies indicadas a seguir. Compare o resultado obtido com o experimental que 0,016m/s. Dados: ui=41,7x10

-3cm/s; Sc=14,74; DAB=0,73x10

-4cm2/s; Dr/r=0,0108 e g=981cm/s2.

Indica-se como sugesto os problemas 7 e 11 do Cremasco - Cap. 8 - parte de clculo; e os problemas 30.12; 30.16; 30.19 ; 30.23 e 30.25 do Welty terceira edio.

Alguns adimensionais:

!"# =$ %& '# ()*

+ ,-.

/0# =!"#

12=

$ %& 3# ()*

+4

Sendo 3# = 56

7

87

879 o coeficiente volumtrico de expanso mssica.

35

13. Transferncia de Massa Entre Fases

At o momento temos estudado a transferncia em uma nica fase, entretanto muitas das operaes unitrias de transferncia de massa envolvem duas fases, como por exemplo nos processos de absoro, onde tem-se em contato uma fase lquida e outra gasosa onde um determinado componente da fase gasosa transferido para a fase lquida. A abordagem a ser adotada neste mdulo ser de operao em estado estacionrio.

13.1. Equilbrio

O mecanismo de transferncia de massa tanto de forma difusiva como convectiva relacionado a diferena de concentrao de uma dada espcie qumica em pontos diferentes de uma fase. Quando o equilbrio estabelecido ento no existe mais gradiente de concentrao nem taxa lquida de transferncia dentro de tal regio. Para que se tenha transferncia de massa entre duas fases necessrio que exista um afastamento da condio de equilbrio entre as fases.

Com fins didticos se ir considerar um sistema particular para anlise e ento se proceder a uma generalizao. Para isso, considere um sistema envolvendo duas fases em contato, uma lquida e outra gasosa. Inicialmente considere a composio do sistema incluindo amnia e ar na fase gasosa e somente gua na fase lquida. Quando se promove o contato, amnia transferida para fase lquida, pelo fato de ser solvel em gua, e gua vaporizada para a fase gasosa. Considerando-se que a mistura esteja em um tanque isotrmico e isobrico, a dinmica do equilbrio ser estabelecida entre as duas fases, mediante a troca das espcies qumicas envolvidas, at o momento em que a concentrao de amnia na fase lquida fique constante, assim como a presso parcial da amnia da fase gasosa tambm, cessando desta maneira a transferncia de amnia entre as fases. Ento para esta temperatura e presso os valores de concentrao de amnia no lquido e a sua presso parcial no gs sero valores em equilbrio. Esta condio pode ser alterada atravs da ingesto de mais amnia na fase gasosa, isto deslocar o sistema do equilbrio e transferncia de massa se reiniciar, at que dado tempo suficiente ao sistema, este estabelecer uma nova condio de equilbrio para o sistema. De maneira que se plotssemos estes dados de concentrao de amnia de uma fase em relao outra se obteria uma curva de equilbrio.

Pre

ss

o P

arc

ial

de

A n

o G

s

(PA

)

Concentrao de A no lquido (CA)

36

Existem muitos grficos dos dados de equilbrio devido s vrias maneiras de se expressar concentrao em cada fase. Existem vrios modelos para descrever o equilbrio entre fases, e este ainda um assunto de pesquisa no mundo atual. Vrios livros e peridicos de Termodinmica tratam deste assunto e no nosso objetivo aqui aprofundarmos esta discusso. Tendo em vista a complexidade de modelos mais completos para descrio do equilbrio lquido vapor, se ir aqui adotar os modelos mais simples que so aqueles que tratam o gs e a soluo idealmente. Por exemplo, o modelo Dalton-Raoult

yA P = xA PA0

Onde yA a frao molar de A na fase gasosa, P a presso total do sistema, xA a frao molar de A no lquido e PA

0 a presso de vapor de A na temperatura do sistema, lembre-se que a presso de vapor pode ser determinada para uma dada substncia a partir da equao de Antoine para a temperatura em que se encontra tal substncia, e que pela lei de Dalton a presso parcial de A na mistura gasosa o produto de sua frao molar pela presso total.

Outra relao de equilbrio, vlida para solues bastante diludas Lei de Henry, expressa por:

PA = H CA

Onde H constante de Henry para o sistema; CA a concentrao de A do equilbrio na fase lquida e PA a presso de A do equilbrio na fase gasosa.

Sintetizando:

a) Pela regra das fases de Gibbs, para um dado conjunto fixo de condies, tais como temperatura e presso, tem-se um conjunto de relaes de equilbrio que pode por sua vez ser mostrado na forma de uma curva de equilbrio.

b) Quando um sistema est em equilbrio, no existe transferncia lquida de massa entre as fases.

c) Quando um sistema no est em equilbrio, componentes ou um componente do sistema sero transportados de modo que ocasione a composio do sistema saltar em direo ao equilbrio. Isto sempre ocorrer se tempo suficiente for dado ao sistema.

Exemplo 1: A relao de equilbrio de Dalton Raoult pode ser usada para determinar as composies das fases para um sistema binrio, benzeno-tolueno, a baixas presses e temperatura. Determine a composio do vapor no equilbrio com um lquido contendo 60% em mis de benzeno a 680F.

Exemplo 2: A constante da Lei de Henry para o oxignio dissolvido em gua 4,01x104atm/frao molar a 200C. Determine a concentrao de saturao do oxignio na gua que exposta a ar seco a 1atm e 200C. A lei de Henry pode ser expressa em termos de frao molar por: PA = H xA . Considere o ar seco contendo 21% em mis de oxignio.

37

13.2. Teoria das Duas Resistncias

A transferncia de massa entre fases envolve trs passos de transferncia:

a) A transferncia de massa a partir das condies bulk de uma das fases at a superfcie de interface.

b) A transferncia atravs da interface indo para a segunda fase. c) A transferncia a partir da interface pelo lado da segunda fase at o seio da segunda

fase, ou seja, para o bulk da segunda fase.

A teoria das duas resistncias proposta por Whitman freqentemente usada para explicar o processo de transferncia de massa entre fases, suas hipteses principais so: a taxa de transferncia de massa entre as duas fases controlada pelas taxas de transferncia atravs de cada fase, ou seja de cada lado da interface; e no h resistncia oferecida transferncia dos componentes difundentes atravs da interface.

A transferncia de massa do componente A atravs da fase gasosa desde o seio da fase gasosa at a interface lquido-vapor se d devido ao gradiente de presso (PAG-PAi), sendo PAG a presso parcial de A no seio da fase gasosa, tambm chamado valor bulk de A na fase gasosa e PAi o valor da presso parcial de A na interface pelo lado gasoso. O componente A continua a ser transportado agora para o interior da fase lquida, isto ocorre devido ao gradiente de concentrao em relao ao componente A dentro desta fase, ou seja, ( CAi - CAL ), sendo CAi a concentrao de A na interface pelo lado lquido e CAL o valor de concentrao bulk de A na fase lquida. Se no existe resistncia na interface, o que estabelecido ao adotar-se o modelo das duas resistncias, PAi e CAi so concentraes em equilbrio; ou seja so os valores de concentrao que seriam obtidos se as duas fases estivessem em contato por um perodo de tempo infinito. Os valores de concentrao interfacial sero ento relacionados por uma relao termodinmica de equilbrio lquido-vapor.

38

Os Coeficientes Individuais de Transferncia de Massa

Restringindo a anlise do processo de transferncia de massa em estado estacionrio as taxas transferidas podero ser descritas pelas seguintes relaes:

NAz = kG ( PAG PAi )

E

NAz = kL ( CAi CAL )

Onde kG o coeficiente individual de transferncia de massa na fase gasosa, em mis de A/(tempo - rea interfacial variao de presso de A na fase gasosa) e kL o coeficiente individual de transferncia de massa na fase lquida, em mis de A/(tempo- rea interfacial variao de concentrao de A na fase lquida).

Sob condies estacionrias, o fluxo de massa em uma fase deve ser igual ao fluxo de massa na segunda fase, ento

NAz = kG ( PAG PAi ) = - kL ( CAL CAi )

A razo entre os dois coeficientes pode ser escrita como:

(-kL/kG)=( PAG PAi )/( CAL- CAi)

Na figura abaixo, a v-se a aplicao e interpretao da equao acima.

O ponto O representa as condies encontradas junto a um ponto dentro do trocador de massa; as condies junto a outro plano seriam diferentes.

O

Pre

ss

o P

arc

ial

de

A n

o G

s

(PA

)

Concentrao de A no lquido (CA)

PAi

PAG

CAL CAi

39

Coeficiente Global de Transferncia de Massa

Devido a dificuldade de medir-se fisicamente a presso parcial e a concentrao na interface conveniente definir-se coeficientes baseados na fora motriz global entre as duas correntes, PAG e CAL. Este coeficiente global considera tanto a resistncia da fase gasosa como a resistncia da fase lquida. Este coeficiente pode tanto ser definido em unidades de presso como em unidades de concentrao da fase lquida. Tem-se ento as seguintes definies:

NAz = KG ( PAG PA* )

E

NAz = KL ( CA* CAL )

Onde PA* a presso parcial de A em equilbrio com a composio global da fase lquida CAL.

Como a distribuio de equilbrio do soluto A entre as fases gs e lquido nica na presso e temperatura do sistema, ento PA

*, em equilbrio com CAL, uma boa medida de CAL na base de medidas presso. KG o coeficiente global de transferncia de massa que leva em conta a resistncia total transferncia em unidades de presso.

CA* a concentrao de A em equilbrio com PAG e conseqentemente, uma boa medida de PAG

em unidades de concentrao da fase lquida; KL ento o coeficiente global de transferncia de massa em unidades de medidas de concentrao da fase lquida.

A razo entre as resistncias em cada fase individual e a resistncia total pode ser determinada por:

!"#"$%'()'(*'"!(+'","' !"#"$%'($,$'- =

./012*#-3!(+'",",./012$,$'- (=

4 56789 5:7;

(( !"#"$%'()'(*'"!(-#)'

!"#"$%'($,$'- =./?12*#-3!(-#),

./?12$,$'- =9 56@;9 5:@;

A relao entre os coeficientes globais e individuais de uma fase pode ser obtida quando uma

relao de equilbrio puder ser expressa como:

PAi = m CAi

Esta condio sempre encontrada quando o sistema obedece a Lei de Henry e m repassado por H. Tendo em vista que esta equao representa a condio de equilbrio temos o seguinte:

PAG = m CA*

PA* = m CAL

PAi = m CAi

Rearranjando as equaes para o fluxo NA, obtm-se:

1/KG = ( PAG PA* )/NA = ( PAG PAi )/ NA + ( PAi PA

* )/NA

Ou em termos de m:

1/KG = ( PAG PAi )/ NA + m( CAi CAL )/NA

Ou seja;

1/KG = (1/kG ) + m/kL

De maneira anloga uma expresso similar para KL pode ser obtida:

1/KL = (1/mkG ) +1/kL

As equaes acima estabelecem a relao entre as resistncias individuais de acordo com a solubilidade do gs, de acordo com a magnitude da constante de proporcionalidade. Por exemplo, para um sistema envolvendo gs solvel na fase lquida, como amnia em gua, m muito pequeno, o que faz concluir que a fase gasosa controladora do processo. Indica-se o uso de coluna spray neste tipo de sistema.

40

J em situaes onde o gs pouco solvel na fase lquida, como dixido de carbono em gua, tem-se m muito grande ento quem controla o processo fase lquida, nesta situao indica-se o uso da coluna de borbulha.

Em muitos sistemas, ambas as resistncias so importantes nenhuma significativamente maior que a outra, nesta situao indica-se o uso de colunas recheadas.

Exerccios:

Num estudo experimental de absoro da amnia por gua numa coluna de parede molhada, o valor KG foi encontrado como sendo 0,205lbmolde NH3/(h ft

2atm). Junto a um ponto da coluna, o gs contem 8% em mis de NH3 e a fase lquida tem concentrao 0,004lbmolNH3/ft

3de soluo. A temperatura era 680F e a presso total era 1 atm. 85% da resistncia total foi encontrada na fase gasosa. Se a constante de Henry a 680F 0,215atm/(lbmol/ft3), calcule os coeficientes individuais dos filmes e as composies interfaciais.

Soluto A est sendo absorvido de uma mistura A e B em uma torre de parede molhada. Em certo ponto da torre a composio da fase gasosa 38% em mis de A e a composio da fase lquida 10% em mis de A. A torre opera a 298K e ! atm e os dados de equilbrio so os seguintes:

xA 0 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 yA 0 0,022 0,052 0,087 0,131 0,187 0,265 0,385

Usando as correalaes para solues diludas em torres de parede molhada, foram obtidos as seguintes valores para os coeficientes individuais de transferncia de massa.

Ky = 1,465x10-3 Kgmol/(sm2(fr. Molar))

Kx = 1,967x10-3 Kgmol/(sm2(fr. Molar))

Calcule: as concentraes interfaciais, o fluxo de transferncia de massa, o % da resistncia global devido ao filme lquido.

1

1. APNDICE A

1.1. Coeficientes de Difuso Para Transferncia de Massa em Sistemas Binrios

1.1.1. Em Gases

Ar

Sistema T (K) !"#$%&'()&* + !"#$

&'#(* +

Acetato de etil 273 0,0709 0,718

Acetato de propil 315 0,0920 0,932

gua 298 0,2600 2,634

Amnia 273 0,1980 2,006

Anilina 298 0,0726 0,735

Benzeno 298 0,0962 0,974

Bromo 293 0,0910 0,923

Cloro 273 0,1240 1,256

Difenil 491 0,1600 1,621

Dixido de carbono 273 0,1360 1,378

Dixido de enxofre 273 0,1220 1,236

Dissulfeto de carbono 273 0,0883 0,894

Etanol 298 0,1320 1,337

ter etlico 293 0,0896 0,908

Iodo 298 0,0834 0,845

Mercrio 614 0,4730 4,791

Metanol 298 0,1620 1,641

Naftaleno 298 0,0611 0,619

Nitrobenzeno 298 0,0868 0,879

Octano 298 0,0602 0,610

Oxignio 273 0,1750 1,773

Tolueno 298 0,0844 0,855

Amnia

Etileno 293 0,177 1,793

Argnio

Neon 293 0,3290 3,333

Oxignio

Amnia 293 0,2530 2,563

Benzeno 296 0,0939 0,951

Etileno 293 0,1820 1,844

2

Dixido de Carbono

Sistema T (K) !"# $%&'()&* + !"# $

&'#(* +

Benzeno 318 0,0715 0,724

Dissulfeto de carbono 318 0,0715 0,724

Acetato de etil 319 0,0666 0,675

Etanol 273 0,0693 0,702

ter etlico 273 0,0541 0,548

Hidrognio 273 0,5500 5,572

Metano 273 0,1530 1,550

Metanol 298,6 0,1050 1,064

Nitrognio 298 0,1650 1,672

xido nitroso 298 0,1170 1,182

Propano 298 0,0863 0,874

gua 298 0,1640 1,661

Monxido de Carbono

Etileno 273 0,151 1,530

Hidrognio 273 0,651 6,595

Nitrognio 288 0,192 1,945

Oxignio 273 0,182 1,874

Hlio

Argnio 273 0,641 6,493

Benzeno 298 0,384 3,890

Etanol 298 0,494 5,004

Hidrognio 293 1,640 16,613

Neon 293 1,230 12,460

gua 298 0,908 9,198

Hidrognio

Amnia 293 0,849 8,600

Argnio 293 0,770 7,800

Benzeno 273 0,317 3,211

Etano 273 0,439 4,447

Metano 273 0,625 6,331

Oxignio 273 0,697 7,061

gua 293 0,850 8,611

Nitrognio

Amnia 293 0,241 2,441

Etileno 298 0,163 1,651

Hidrognio 288 0,743 7,527

Iodo 273 0,070 0,709

Oxignio 273 0,181 1,834

3

1.1.2. Em Lquidos

Soluto A Solvente B

T (K) Concentrao de Soluto

!"#$$ #% &!"#$"' ( DAB

)*+ ,"-. /#%/)*0 "-. (

Cloro gua 289 0,12 1,26

cido clordrico gua 273 9,00 2,70





Amnia gua 278 3,50 1,24

Amnia gua 288 1,00 1,77

Dixido de carbono gua 283 0 1,46

Dixido de carbono gua 293 0 1,77

Cloreto de sdio gua 291 0,05 1,26





Metanol gua 288 0 1,28

cido actico gua 285,5 1,00 0,82

cido actico gua 285,5 0,01 0,91

cido actico gua 291 1,00 0,96

Etanol gua 283 3,75 0,50

Etanol gua 283 0,05 0,83

Etanol gua 289 2,00 0,90

Butanol gua 288 0 0,77

Dixido de carbono Etanol 290 0 3,20

Clorofrmio Etanol 293 2,00 1,25

1.1.3. Em Slidos

Soluto Slido T (K) 123 4567

8 /9:/; 123 4?@

78 >

Hlio Pirex 293 4,49.10-11 1,74.10-10

Hlio Pirex 773 2,00.10-8 7,76.10-8

Hidrognio Nquel 358 1,16.10-8 4,50.10-8

Hidrognio Nquel 438 1,05.10-7 4,07.10-7

Bismuto Chumbo 293 1,10.10-16 4,27.10-16

Mercrio Chumbo 293 2,50.10-15 9,70.10-15

Antimnio Prata 293 3,51.10-21 1,36.10-20

Alumnio Cobre 293 1,30.10-30 5,04.10-30

Cdmio Cobre 293 2,71.10-15 1,05.10-14

4

1.2. Parmetros de Lenard-Jones

1.2.1. Integrais de Coliso (D)

T*( . ! "# ) $% T*( . ! "# ) $%

0,30 2,662 2,50 0,9996

0,35 2,476 2,60 0,9878

0,40 2,318 2,70 0,9770

0,45 2,184 2,80 9,6772

0,50 2,066 2,90 0,9576

0,55 1,966 3,00 0,9490

0,60 1,877 3,10 0,9406

0,65 1,798 3,20 0,9328

0,70 1,729 3,30 0,9256

0,75 1,667 3,40 0,9186

0,80 1,612 3,50 0,9120

0,85 1,562 3,60 0,9058

0,90 1,517 3,70 0,8998

0,95 1,476 3,80 0,8942

1,00 1,439 3,90 0,8888

1,05 1,406 4,00 0,8836

1,10 1,375 4,10 0,8788

1,15 1,346 4,20 0,8740

1,20 1,320 4,30 0,8694

1,25 1,296 4,40 0,8652

1,30 1,273 4,50 0,8610

1,35 1,253 4,60 0,8568

1,40 1,233 4,70 0,8530

1,45 1,215 4,80 0,8492

1,50 1,198 4,90 0,8456

1,55 1,182 5,00 0,8422

1,60 1,167 6,00 0,8124

1,65 1,153 7,00 0,7896

1,70 1,140 8,00 0,7712

1,75 1,128 9,00 0,7556

1,80 1,116 10,00 0,7424

1,85 1,105 20,00 0,6640

1,90 1,094 30,00 0,6232

1,95 1,084 40,00 0,5960

2,00 1,075 50,00 0,5756

2,10 1,057 60,00 0,5596

2,20 1,041 70,00 0,5464

2,30 1,026 80,00 0,5352

2,40 1,012 90,00 0,5256

2,50 0,9996 100,00 0,5170

5

1.2.2. Potenciais de Lennard-Jones

Composto Frmula ! "# $(%) &$'!* + cido clordrico HCl 360 3,305

cido ioddrico HI 324 4,123

gua H2O 356 2,649

Ar 97 3,617

Argnio Ar 124 3,418

Benzeno C6H6 440 5,270

Bromo Br2 520 4,268

Butano C4H10 410 4,997

Cianognio C2N2 339 4,380

Cicloexano C6H12 324 6,093

Cloro Cl2 357 4,115

Clorofrmio CHCl3 327 5,430

Clorometano CH3Cl 855 3,375

Diclorometano CH2Cl2 406 4,759

Dixido de carbono CO2 190 3,996

Dixido de Enxofre SO2 252 4,290

Dixido nitrognio N2O 220 3,879

Dissulfeto de carbono CS2 488 4,438

Etano C2H6 230 4,418

Etanol C2H5OH 391 4,455

Etileno C2H4 205 4,232

Etino(acetileno) C2H2 185 4,221

Flor F2 112 3,653

Hlio He 10,22 2,576

Heptano C7H16 282 8,880

Hexano C6H14 413 5,909

Hidrognio H2 33,3 2,968

Iodeto de mercrio HgI2 691 5,625

Iodo I2 550 4,982

Isobutano C4H10 313 5,341

Kriptnio Kr 190 3,600

Mercrio Hg 851 2,898

Metano CH4 136,5 3,822

Metanol CH3OH 507 3,585

Monxido de carbono CO 110 3,590

Monxido nitrognio NO 119 3,470

Neon Ne 35,7 2,789

Nitrognio N2 91,5 3,681

Nonano C9H20 240 8,448

Octano C8H18 320 7,451

Oxignio O2 113 3,433

Pentano C5H12 345 5,769

Propano C3H8 254 5,061

Sulfeto de carbonila COS 335 4,130

Tetraclorometano CCl4 327 5,881

Tri-hidreto de arsnio AsH3 281 4,060

Xennio Xe 229 4,055

6

1.3. Tabela dos Volumes Molares

1.3.1. Para Alguns Compostos Comumente Encontrados

Composto Frmula Volume Molecular

!"#$"%&' Composto Frmula Volume Molecular

!"#

$"%&' Hidrognio H2 14,3 Monxido de nitrognio NO 23,6

Oxignio O2 25,6 xido nitroso N2O 36,4

Nitrognio N2 31,2 Amnia NH3 25,8

Ar - 29,9 gua H2O 18,9

Monxido de carbono CO 30,7 cido Sulfdrico H2S 32,9

Dixido de carbono CO2 34,0 Bromo Br2 53,2

Sulfeto de carbonila COS 51,5 Cloro Cl2 48,4

Dixido de enxofre SO2 44,8 Iodo I2 71,5

1.3.2. Volume Atmico Para Volumes Moleculares Complexos

Elemento Volume Atmico

!"#

$"%&' Elemento

Volume Atmico

!"#

$"%&' Hidrognio 3,7 Carbono 14,8

Cloro 21,6 Oxignio (exceto os citados abaixo) 7,4

Bromo 27,0 Oxignio (em metil steres) 9,1

Iodo 37,0 Oxignio (em metil teres) 9,9

Nitrognio (com dupla ligao) 15,6 Oxignio (em maiores teres e outros steres) 11,0

Nitrognio (em aminas primrias) 10,5 Oxignio (em cidos) 12,0

Nitrognio (em aminas secundrias) 12,0 Enxofre 25,6

1.3.3. Correo Para Configuraes Especficas de Ciclos

3 membros (Ex.: epoxietano) Subtrair 6,0

4 membros (Ex.:ciclobutano) Subtrair 8,5

5 membros (Ex.:furano) Subtrair 11,5

Piridina Subtrair 15,0

Anel Benznico Subtrair 15,0

Naftaleno Subtrair 30,0

Antraceno Subtrair 47,5

1.3.4. Parmetro de Associao Para o Solvente B (B)

Solvente () gua 2,6

Metanol 1,9

Etanol 1,5

Benzeno, ter, heptano, e outros solventes no associados

1,0

7

1.4. Operadores Matemticos

1.4.1. Coordenadas Cartesianas

1.4.2. Coordenadas Cilndricas

1.4.3. Coordenadas Esfricas

Deslocamento Infinitesimal

!" = #$ + %$&' + ($)* Volume

infinitesimal , = #$ %$ (

Gradiente -. =$ /./0 $ + /./1 &' + /./2 )* Divergncia -3 4" = $ /56/0 + /57/1 + /58/2 Rotacional - 9 4" = :/58/1 ; /57/2 < + :/56/2 ; /58/0

8

1.5. Funo Erro

!"#$% #&$'(

!"#$%) (

!"#$% #&$'(

!"#$%) (

!"#$% #&$'(

!"#$%) 0,00 0,00000 0,80 0,74210 1,60 0,97636

0,04 0,04511 0,84 0,76514 1,64 0,97869

0,08 0,09008 0,88 0,78669 1,68 0,98249

0,12 0,12479 0,92 0,80677 1,72 0,98500

0,16 0,17901 0,96 0,82542 1,76 0,98719

0,20 0,22270 1,00 0,84270 1,80 0,98909

0,24 0,26550 1,04 0,85865 1,84 0,99074

0,28 0,30788 1,08 0,87333 1,88 0,99216

0,32 0,34913 1,12 0,88079 1,92 0,99338

0,36 0,38933 1,16 0,89910 1,96 0,99443

0,40 0,42839 1,20 0,91031 2,00 0,995322

0,44 0,46622 1,24 0,92050 2,10 0,997020

0,48 0,50275 1,28 0,92973 2,20 0,998137

0,52 0,53790 1,32 0,93806 2,30 0,998857

0,56 0,57162 1,36 0,94556 2,40 0,999311

0,60 0,60386 1,40 0,95228 2,50 0,999593

0,64 0,63459 1,44 0,95830 2,60 0,999764

0,68 0,66278 1,48 0,96365 3,20 0,999994

0,72 0,69143 1,52 0,96841 3,40 0,999998

0,76 0,71754 1,56 0,97263 3,60 1,000000

9

1.6. Densidade e viscosidade da gua sob condies normais de presso.

Temperatura

(C)

Densidade

absoluta

(kg/m3)

Viscosidade

dinmica !"

(103 N.s/m

2)

Viscosidade

cinemtica #

(106m

2/s)

Densidade

relativa $

0 (gelo) 917,0 - - 0,9170

0(gua) 999,8 1,781 1,785 0,9998

4 1000,0 1,558 1,558 1,0000

5 1000,0 1,518 1,519 1,0000

10 999,7 1,307 1,308 0,9997

15 999,1 1,139 1,140 0,9991

20 998,2 1,002 1,003 0,9982

25 997,0 0,890 0,893 0,9970

30 995,7 0,798 0,801 0,9967

40 992,2 0,653 0,658 0,9922

50 988,0 0,547 0,553 0,9880

60 983,2 0,466 0,474 0,9832

70 977,8 0,404 0,413 0,9788

80 971,8 0,354 0,364 0,9728

90 965,3 0,315 0,326 0,9653

100 958,4 0,282 0,294 0,9584

10

1.7. Tabela de Converso de Unidades

SISTEMA DE UNIDADES

SISTEMA FORA MASSA ACELERAO Gc

CGS dina (dyn) grama (g) cm/s 1 g.cm/dyn.s

FPS poundal (pdl) libra (lbm) ft/s 1 lbm.ft/pdl.s

GRAV. ING. libra-fora Slug ft/s 1 slug.ft/lbf.s

SI Newton (N) Kg m/s 1 kg.m/N.s

TCN. ENG. kgf Kg 9,807 m/s 9,807kg.m/kgf.s

AES lbf Lbm 32,174 ft/s 32,174 lbm.ft/lbf.s

FATORES DE CONVERSO

MASSA PRESSO ENERGIA

1 kg = 2,2046 lbm 1 atm = 760 mm Hg 1 Btu = 251,98 cal

1 kg = 0,06852 slug 1 atm = 14,696 psi 1 Btu = 1054,8 J

1 kg = 35,27 oz 1 atm = 33,899 ft H2O 1 Btu = 0,2930 watt-hora

1 lbm = 453,59 g 1 atm = 29,921 in Hg 1 Btu = 1,34102 hp

1 lbm = 0,03108 slug 1 atm = 1,0332 kgf/cm 1 Btu = 777,97 lbf.ft

1 slug = 32,174 lbm 1 atm = 1,01325.105 Pa 1 Btu = 10,409 atm.l

MASSA ESPECFICA 1 bar = 0,9869 atm 1 kgf.m = 9,807 J

1 g/cm = 10 kg/m 1 bar = 105 Pa 1 kcal = 426,92 kgf.m

1 g/cm = 62,43 lbm/ft 1 bar = 2116,224 lbf/ft 1 atm.l = 24,23 cal

1 g/cm = 8,3454 lbm/gal 1 bar = 10196,8 kgf/cm CONSTANTE DOS GASES IDEAIS

COMPRIMENTO REA/VOLUME R = 0,082 atm.l/gmol.K

1 m = 39,37 in 1 ft = 144 in R = 10,73 psia.ft/lbmol.R

1 m = 3,281 ft 1 ft = 28,316 l R = 1,987 cal/gmol.K

1 ft = 30,48 cm 1 m = 35,315 ft R = 0,73 atm.ft/lbmol.R

1 ft = 12 in POTNCIA R = 1545 lbf.ft/lbmol.R

1 in = 2,54 cm 1 kW = 239 cal/s R = 8,314 J/gmol.K

FORA 1 kW = 56,87 Btu/min

1 N = 105 dyn 1 kW = 737,56 lbf.ft/s

1 N = 7,233 pdl TEMPERATURA

1 N = 0,2248 lbf T(K) = T(C) + 273,16

1 N = 0,102 kgf T(R) = T(F) + 459,6

1 kgf = 9,807.105 dyn T(R) = 1,8.T(K)

1 lbf = 32,174 pdl T(C) = (T(F) - 32) / 1,8

apostila fenomenos iii - puc

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