apostila estatistica v2.0

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FACULDADE DE TECNOLOGIA DE SOROCABA APOSTILA DE ESTATÍSTICA CURSO: PROCESSAMENTO DE DADOS Ao escrever esta Apostila não pretendi outra coisa, senão proporcionar aos alunos da disciplina ESTATÍSTICA, a facilidade de dispor de notas de aulas dos temas do Programa da Disciplina. O acompanhamento das aulas e a pesquisa em Bibliografia sobre o assunto, tornam-se necessárias para o adequado aproveitamento do curso. PROF. OSNI PAULA LEITE

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ESTATISTICA

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Page 1: Apostila Estatistica v2.0

FACULDADE DE TECNOLOGIA DE SOROCABA

APOSTILA DE ESTATÍSTICA CURSO: PROCESSAMENTO DE DADOS

Ao escrever esta Apostila não pretendi outra coisa, senão proporcionar aos alunos da disciplina ESTATÍSTICA, a facilidade

de dispor de notas de aulas dos temas do Programa da Disciplina.

O acompanhamento das aulas e a pesquisa em Bibliografia sobre o assunto, tornam-se necessárias para o adequado aproveitamento do curso.

PROF. OSNI PAULA LEITE

Page 2: Apostila Estatistica v2.0

ÍNDICE

1.0 DEFINIÇÕES DE ESTATÍSTICA ......................................................................... 1

1.1 POR QUE ESTUDAR ESTATÍSTICA?......................................................... 1

1.2 A NATUREZA DOS DADOS ........................................................................ 1

1.3 TIPOS DE DADOS ....................................................................................... 2

1.4 TIPOS DE LEVANTAMENTOS .................................................................... 3

1.5 PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS ..................................................... 4 EXERCÍCIOS: E-1...................................................................................................... 5

2.0 AMOSTRAGEM ................................................................................................... 6

2.1 DEFINIÇÕES................................................................................................ 6

2.2 AMOSTRAGEM ALEATÓRIA BASEADA EM NÚMEROS ALEATÓRIOS

(RANDÔMICOS) ................................................................................................ 8

2.3 OUTROS PLANOS DE AMOSTRAGEM...................................................... 9

2.4 AMOSTRAGEM POR JULGAMENTO (NÃO PROBABILÍSTICA) ................ 9

2.5 AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA ........................................................... 10

2.5.1 AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA............................................................... 10

2.5.2 AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA ......................................................... 11

2.5.3 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADO............................................. 11

RESUMO.......................................................................................................... 11

EXERCICIOS: E-2.................................................................................................... 13

3.0 ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS........................................................... 14

4.0 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA ................................................................... 15 5.0 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DAS VARIÁVEIS QUANTITATIVAS ............... 19 6.0 APRESENTAÇÃO GRÁFICA ............................................................................ 20

6.1 DIAGRAMA DE ORDENADAS................................................................... 20

6.2 DIAGRAMA DE BARRAS........................................................................... 21

6.3 DIAGRAMA DE CÍRCULOS ....................................................................... 22

6.4 DIAGRAMA DE SETORES CIRCULARES ................................................ 23

6.5 DIAGRAMA LINEAR .................................................................................. 25

Page 3: Apostila Estatistica v2.0

6.6 O PICTOGRAMA ................................................................................................ 26

7.0 MONTAGEM DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS ........................... 27

7.1 HISTOGRAMA E POLIGONO DAS FREQÜÊNCIAS................................. 31

7.2 HISTOGRAMA E POLIGONO DAS FREQÜÊNCIAS RELATIVAS ............ 32

7.3 POLIGONO DE FREQÜÊNCIA ACUMULADA OU OGIVA........................ 33

7.4 POLIGONO DA FREQÜÊNCIA ACUMULADA RELATIVA ........................ 34

8.0 TIPOS DE DISTRIBUIÇÃO ................................................................................ 35

8.1 DISTRIBUIÇÃO SIMÉTRICA OU EM FORMA DE SINO ........................... 35

8.2 DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA................................................................. 36

8.3 DISTRIBUIÇÃO MODAL, AMODAL, BIMODAL E MULTIMODAL ............. 37

8.4 APRESENTAÇÃO TIPO RAMO-E-FOLHAS .............................................. 38

9.0 MEDIDAS DE POSIÇÃO OU DE TENDÊNCIA CENTRAL ............................... 40

9.1 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES ................................................................. 40

9.2 MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA.......................................................... 41

9.3 MEDIANA (x) .............................................................................................. 41

9.4 MODA ( x ) ............................................................................................... 43

10.0 MEDIDAS DE VARIABILIDADE (DISPERSÃO).............................................. 44

10.1 AMPLITUDE TOTAL (R.T.) ...................................................................... 44

10.2 DESVIO PADRÃO.................................................................................... 45

10.2.1 DESVIO PADRÃO AMOSTRAL (S) ....................................................... 45

10.2.2 DESVIO PADRÃO DA POPULAÇÃO (σ) ............................................... 46

10.2.3 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO DESVIO PADRÃO.......................... 46

10.2.4 SISTEMATIZAÇÃO PARA O CÁLCULO................................................ 47

10.3 VARIÂNCIA .............................................................................................. 48

11.0 DISTRIBUIÇÃO NORMAL .............................................................................. 49 EXERCÍCIOS: E-3.................................................................................................... 55

12.0 PROBABILIDADE............................................................................................ 56

12.1 ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS......................................................... 57 12.2 TRÊS ORIGENS DA PROBABILIDADE................................................... 58

Page 4: Apostila Estatistica v2.0

12.3 A MATEMÁTICA DA PROBABILIDADE ................................................... 59

EXERCÍCIOS: E-4.................................................................................................... 62

13.0 TECNICAS DE CONTAGEM ........................................................................... 63

13.1 O PRINCIPIO DA MULTIPLICAÇÃO........................................................ 64 13.2 PERMUTAÇÃO, ARRANJO E COMBINAÇÃO. ....................................... 65 13.3 REGRAS DE CONTAGEM....................................................................... 68

EXERCÍCIOS: E-5.................................................................................................... 69

14.0 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES......................................................... 70

14.1 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL ...................................................................... 72

EXERCICIOS: E-6.................................................................................................... 76

14.2 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON......................................................................... 77 EXERCICIOS: E-7.................................................................................................... 79

15.0 CORRELAÇÃO................................................................................................ 80

15.1 INTRODUÇÃO ......................................................................................... 80

15.2 RELAÇÃO FUNCIONAL E RELAÇÃO ESTATÍSTICA ............................. 80 15.3 DIAGRAMA DE DISPERSÃO................................................................... 81 15.4 CORRELAÇÃO LINEAR.......................................................................... 82

15.5 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR........................................... 85

15.6 CUDADOS COM OS ERROS COM A INTERPLETAÇÃO DE CORRELAÇÃO ................................................................................................ 87

EXERCICIOS: E-8.................................................................................................... 88

16.0 REGRESSÃO LINEAR .................................................................................... 91

16.1 AJUSTAMENTO DE CURVAS ................................................................. 91

16.2 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS ................................................ 92

16.3 ANÁLISE DE REGRESSÃO..................................................................... 95

EXERCÍCIOS E-9......................................................................................................98

Page 5: Apostila Estatistica v2.0

1

ESTATÍSTICA

1.0 DEFINIÇÕES DE ESTATÍSTICA

Etimologicamente a palavra estatística vem de “status” expressão latina que

significa, ”sensu lato”, o estudo do estado. Os primeiros a empregarem esse termo

foram os Alemães seguidos pela Itália, França, Inglaterra e ainda por outros paises.

Para Levasseur a estatística é : “O estudo numérico dos fatos sociais”.

Yule define estatística como: “Dados quantitativos afetados marcadamente por uma

multiplicidade de causas”.

Uma definição mais usual nos dias de hoje seria: “Um método cientifico que permite

a análise, em bases probabilística, de dados coligados e condensados”

Ou ainda podemos dizer que é: “A coleta, o processamento, a interpretação e a

apresentação de dados numéricos que pertencem ao domínio da estatística”

1.1 POR QUE ESTUDAR ESTATÍSTICA?

Por hora podemos dizer que o raciocínio estatístico é largamente utilizado no

governo e na administração; assim, é possível que, no futuro, um empregador venha

a contratar ou promover um profissional por causa do seu conhecimento de

estatística.

1.2 A NATUREZA DOS DADOS

O dados estatísticos constituem a matéria prima das pesquisas estatísticas, eles

surgem quando se fazem mensurações ou se restringem observações.

Estatística descritiva: Trata-se da descrição e resumo dos dados.

Page 6: Apostila Estatistica v2.0

2

Probabilidade: É um estudo que envolve o acaso.

Interferência: É a analise e interpretação de dados amostrais (Amostragem).

Modelo: São versões simplificadas (Abstrações) de algum problema ou situação

real.

1.3 TIPOS DE DADOS

Quantitativos Contínuos

Discretos

Qualitativos Nominais

Por postos

As variáveis contínuas podem assumir qualquer valor num intervalo contínuo. Os

dados referentes a tais variáveis dizem-se dados contínuos. Ex. Peso, comprimento,

espessura onde usa-se a mensuração.

As variáveis discretas assumem valores inteiros de dados discretos são os

resultados da contagem de números de itens. Ex. alunos da sala de aula, número de

defeitos num carro novo, acidentes de uma fábrica.

Os dados nominais surgem quando se definem categorias e se conta o número de

observações pertencentes a cada categoria. Ex.: atuam dentro das variáveis

“Qualitativas” as quais devemos associar a valores numéricos para que possamos

processar estatisticamente. Ex.: cor dos olhos (azuis, verdes, castanhos), sexo

(masculino e feminino), desempenho (excelente, bom, sofrível, mau) etc.

Os dados por postos consistem de valores relativos atribuídos para denotar ordem:

primeiro, segundo, terceiro, quarto, etc. Ex.: concurso de beleza se classificam em

1ª,2ª,3ª colocadas.

Page 7: Apostila Estatistica v2.0

3

TABELA: 1 A mesma população pode originar diferentes tipos de dados.

TIPOS DE DADOS

POPULAÇÕES CONTÍNUOS DISCRETOS NOMINAIS POR POSTO

Alunos de administração idade/peso N. De classes Homens/Mulheres 3º grau

1.4 TIPOS DE LEVANTAMENTOS

Os levantamentos podem ser classificados em contínuos, periódicos e ocasionais:

CONTÍNUO: Quando os eventos vão sendo registrados à medida que

ocorrem.Exemplos os registros civis dos fatos vitais (nascimento, óbitos e

casamentos).

PERIÓDICOS: Acontecem ciclicamente. Exemplo é o rescenceamento, feito no

Brasil a cada dez anos.

OCASIONAIS: São aqueles realizados sem a preocupação de continuidade ou

periodicidade preestabelecidas, exemplos a maioria dos trabalhos de investigação

cientifica.

DADOS PRIMÁRIOS: Quando o investigador não encontra dados publicados

adequados ao seu estudo, parte para a realização de um inquérito, isto é, os dados

são levantados diretamente na população no momento da investigação.

DADOS SECUNDÁRIOS: Quando o investigador para verificar as sua hipóteses de

trabalho utiliza- se de dados já existentes, arquivados, registrados ou publicados.

Podem ser até mesmo dados gerados pelo Departamento de Estatísticas de

Populações da Fundação Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE).

Page 8: Apostila Estatistica v2.0

4

1.5 PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS

1. Definição do problema: Um Estudo ou Uma Análise

2. Formular plano para coleta de dados adequados

3. Coligir os dados

4. Analisar e interpretar os dados

5. Relatar as conclusões

Page 9: Apostila Estatistica v2.0

5

EXERCÍCIOS: E-1

1- Identifique os seguintes exemplos em termos de tipos de dados:

a- 17 gramas

b- 3 certos, 2 errados

c- 25 segundos

d- 25 alunos na classe

e- tamanho de camisa

f- Km/litro

g- O mais aprazível

h- O mais lento

i- 5 acidentes no mês de maio

2- Responder as perguntas:

a- Defina o termo Estatística.

b- Responder a pergunta: Por que estudar estatística?

c- Dar exemplos de como um administrador pode se beneficiar do conhecimento

de Estatística?

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6

2.0 AMOSTRAGEM

AMOSTRAGEM VERSUS SENSO: Uma amostra usualmente envolve o estudo de

uma parcela dos ítens de uma população, enquanto que o censo requer o estudo

de todos os ítens.

Restrições ao Censo:

- Custo

- Populações infinitas

- Dificuldade nos critérios (Precisão)

- Produtos de testes Destrutivos (fósforos, munições)

- Tempo despendido (atualização)

- Tipos de informações mais restritivas

Casos de excessão:

- Populações pequenas

- Amostras grandes em relação a população

- Se exige precisão completa

- Se já são disponíveis informações completas

2.1 DEFINIÇÕES

POPULAÇÃO: é o conjunto de indivíduos (ou objetos), que tem pelo menos uma

variável comum observável.

AMOSTRA: é qualquer sub-conjunto da população extraída para se realizar estudos

estatísticos

.

POPULAÇÃO

AMOSTRA

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7

A estatística indutiva é a ciência que busca tirar conclusões probabilísticas

sobre a população, com base em resultados verificados em amostras retiradas

dessa população.

Entretanto não basta que saibamos descrever convenientemente os dados da amostra para que possamos executar, com êxito, um trabalho estatístico

completo. Antes de tudo é preciso garantir que a amostra ou amostras que serão

utilizadas sejam obtidas por processos adequados.

- O que é necessário garantir, em suma, é que a amostra seja “Representativa” da

população.

Dois aspectos nas amostras são fundamentais, e que dão a sua representatividade

em termos:

- Qualitativos: Amostras que representem todas as sub-populações, quando for o

caso.

- Quantitativos: Que possua quantidade de dados suficientes para representar a

População.

Na indústria onde amostras são freqüentemente retiradas para efeito de Controle da

Qualidade dos produtos e materiais, em geral os problemas de amostragem são

mais simples de resolver.

Por outro lado, em pesquisas sociais, econômicas ou de opinião, a

complexibilidade dos problemas de amostragem são normalmente bastante grandes.

- Interferência estatística envolve a formulação de certos julgamentos sobre um

todo após examinar apenas uma parte, ou a amostra, dele.

A probabilidade e a amostragem estão estreitamente correlacionadas e juntas

formam o fundamento da teoria de interferência.

- Amostragem é o ato de retirar amostra, isto é, a ação.

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8

- Amostra é a quantidade de dados especificado para representar a população.

Amostragem aleatória permite estimar o valor do erro possível, isto é, dizer “quão

próxima” está à amostra da população, em termos de representatividade.

Amostragem não aleatória não apresenta esta característica.

Há vários métodos para extrair uma amostra talvez o mais importante seja a

amostragem aleatória de modo geral, a amostragem aleatória exige que cada

elemento tenha a mesma oportunidade de ser incluído na amostra.

Nas Populações discretas uma amostra aleatória é aquela em que cada item da

população tem a mesma chance de ser incluído na amostra.

Nas Populações contínuas, uma amostra aleatória é aquela em que a

probabilidade de incluir na amostra qualquer intervalo de valores é igual à

percentagem da população que está naquele intervalo.

Populações finitas: é quando, temos constituído por números finitos, ou fixos de

elementos, medidas ou observações.

Ex.: Peso bruto de 3000 latas de tinta de um certo lote de produção.

Populações infinitas: são aquelas que contém, pelo menos hipoteticamente, um

número infinito de elementos.

Ex. Produção de carros V.W. produzidos no Brasil e a serem produzidos (universo

volkswagem), processo probabilístico.

2.2 AMOSTRAGEM ALEATÓRIA BASEADA EM NÚMEROS ALEATÓRIOS (RANDÔMICOS)

As tabelas de números aleatórios contém os dez algarismos 0,1,2,3,4,......,9. Esses

números podem ser lidos isoladamente ou em grupos; podem ser lidos em qualquer

ordem. A probabilidade de qualquer algarismo aparecer em qualquer ponto é 1/10.

Portanto todas as combinações são igualmente prováveis.

Page 13: Apostila Estatistica v2.0

9

Conceitualmente, poderíamos construir uma tabela de números aleatórios

numerando dez bolinhas com os algarismos de 0 a 9 , colocando-as numa urna,

misturando bem e extraindo uma de cada vez, com reposição, anotando os valores

obtidos.

A titulo de ilustração poderíamos querer selecionar aleatoriamente 15 clientes de

uma lista de 830 de um grande magazine, a finalidade poderia ser :

Estimar a freqüência de compras;

Determinar o valor médio de cada compra;

Registrar as queixas contra o sistema.

2.3 OUTROS PLANOS DE AMOSTRAGEM

Amostragem probabilística versus Amostragem não probabilística

Os planos de amostragem probabilística são delineados de tal modo que se

conhece a probabilidade de todas as combinações amostrais possíveis. Em razão

disso, pode-se determinar a quantidade de variável amostral numa amostra

aleatória e uma estimativa do erro amostral. A amostragem aleatória é um exemplo

da amostragem probabilística.

A amostragem não probabilística é a amostragem subjetiva, ou por julgamento,

onde a variabilidade amostral não pode ser estabelecida com precisão,

conseqüentemente, não é possível nenhuma estimativa do erro amostral.

A verdade é que, sempre que possível, deve-se usar a amostragem probabilística.

2.4 AMOSTRAGEM POR JULGAMENTO (NÃO PROBABILÍSTICA)

Se o tamanho da amostra é bem pequeno; digamos, de uns 5 itens, a amostragem

aleatória pode dar resultados totalmente não representativos, ao passo que uma

pessoa familiarizada com a população pode especificar quais os itens mais

representativos da população.

Page 14: Apostila Estatistica v2.0

10

Exemplo: Uma equipe médica deve trabalhar com pacientes que se apresentem

com voluntários para testar um novo medicamento. Nenhum desses grupos podem

ser considerados como uma amostra aleatória do público em geral, e seria

perigoso tentar tirar conclusões gerais com base em tal estudo. Todavia, os

resultados poderiam proporcionar uma base para a elaboração de um plano de

amostragem aleatório para validar os resultados básicos. Os perigos inerentes à

pesquisa médica , bem como outro tipo de pesquisa, freqüentemente obrigam a

limitar a pesquisa inicial a um pequeno grupo de voluntários.

Exemplo: A aplicação de hormônios em mulheres na menopausa, após um período

de tempo notou-se o aumento das chances de adquirirem câncer de mama, doenças

cardíacas etc.

2.5 AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA

SISTEMÁTICA

ESTRATIFICADA

CONGLOMERADO

2.5.1 AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA

É muito parecida com a amostragem aleatória simples. Podemos ter uma

amostragem realmente aleatória, escolhendo-se cada K-ésima amostra, onde K

obtem-se dividindo o tamanho da população pelo tamanho da amostra.

K= N onde: N= Tamanho da População

n n= Tamanho da Amostra

EX. N= 200 e n=10 então K=200/10 = 20

Significa que será escolhido um item a cada seqüência de 20 de uma lista. Para

iniciar pode-se usar uma tabela de números aleatórios de 0 a 9 para iniciar os

grupos. Por exemplo se der o 9, escolhemos o 9º, 29º, 39º ,49º , etc.

Page 15: Apostila Estatistica v2.0

11

2.5.2 AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA

Pressupõe a divisão da população em sub-grupos Homogêneos (Estratos),

procedendo então a amostragem de cada sub-grupo. Ex.: Para se fazer o inventário

do estoque, é comum termos 10% dos itens representarem cerca de 60% do valor

total em quanto que os 90% restantes representam só 40% do valor total (Curva

A,B,C; Pareto; regra 80/20).

2.5.3 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADO

Pressupõe a disposição dos itens de uma população em sub-grupos heterogêneos

(sub-populações) representativos da população global. Neste caso cada

conglomerado pode ser encarado como uma minipopulação.

Ex.: Estudo pré-eleitoral para medir a preferência dos eleitores. (Sub-grupos: sexo,

educação, faixa etária, poder aquisitivo, região da habitação,etc).

RESUMO

A finalidade da amostra é permitir fazer interferência sobre a população após

inspeção de apenas parte dela. Fatores com custo, ensaios destrutivos e

populações infinitas, tornam a amostragem preferível a um estudo completo

(Censo) da população.

Naturalmente espera-se que a amostra seja representativa da população da qual foi

extraída.

Potencialmente, este objetivo é atingido quando a amostragem é aleatória.

Para populações discretas o termo “Aleatório” significa que cada item da

população tem a mesma chance de participar na amostra.

No caso de populações contínuas, significa que a probabilidade de incluir qualquer

valor de um dado intervalo de valores é igual à proporção com valores naquele

intervalo.

Page 16: Apostila Estatistica v2.0

12

As amostras aleatórias podem ser obtidas:

- Através de um processo de mistura, com o embaralhamento de cartas;

- Pela utilização de um processo mecânico (Misturadores);

- Utilizando-se uma tabela de números aleatórios para proceder à seleção de uma

lista.

Em certas condições, podem ser mais eficientes variantes da amostragem aleatória

simples, tais como amostragem sistemática (periódica), estratificada (sub-grupos

Homogêneos), ou amostragem por aglomerados (sub-grupos convenientes e

heterogêneos).

A principal vantagem da amostragem aleatória é que se pode determinar o grau de

variabilidade amostral, o que é essencial na interferência estatística. À

amostragem não probabilística falta esta característica.

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13

EXERCICIOS: E-2

QUESTÕES PARA RECAPITULAÇÃO

1- Em que circunstância é a amostragem preferível a um censo completo?

2- Quando se deve preferir um censo a uma amostragem?

3- Defina “Amostra Aleatória”.

4- Descreva os vários métodos de obtenção de uma amostra aleatória. Como

escolher o método a ser usado em determinada situação?

5- Explique rapidamente as características:

a. da amostragem por conglomerado;

b. da amostragem estratificada;

c. da amostragem sistemática.

7- Que è amostragem por julgamento e em que circunstância deve ser usada?

8- Que é amostragem probabilística e quando deve ser usada?

9- Explique o significado de “Amostra Aleatória” quando a população è:

a. contínua b. Discreta

Page 18: Apostila Estatistica v2.0

14

3.0 ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS

Em alguma fase de seu trabalho, o pesquisador se vê às voltas com o problema de

analisar e entender uma massa de dados, relevantes ao seu particular objeto de

estudos.

De modo geral, podemos dizer que a essência da ciência é a observação e que seu

objetivo básico é a interferência. Esta é à parte da metodologia da ciência que tem

por objetivos a coleta, redução, análise e modelagem dos dados, a partir do que,

finalmente, faz-se a interferência para uma população, da qual os dados

(amostras) foram obtidos.

Page 19: Apostila Estatistica v2.0

15

4.0 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA

Para cada tipo de variável existem técnicas mais apropriadas para resumir as

informações. Porem podemos usar algumas técnicas empregadas num caso,

podemos adaptá-las para outros. Quando se estuda uma variável, o maior interesse do pesquisador é conhecer a

distribuição dessa variável através das possíveis realizações (valores) da mesma.

Exemplo 1: Dados relativos a uma amostra de 36 funcionários de uma população

de 2000 funcionários da empresa Milsa. Ver resultados anotados na tabela abaixo.

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16

TABELA 1

Nº ESTADO GRAU DE Nº DE SALÁRIO IDADE REGIÃO DE

CIVIL INSTRUÇÃO FILHOS (X SAL. MIN) ANOS MESES PROCEDÊNCIA

1 solteiro 1º grau --- 4 26 03 interior

2 casado 1º grau 1 4,56 32 10 capital

3 casado 1º grau 2 5,25 36 05 capital

4 solteiro 2º grau --- 5,73 20 10 outro

5 solteiro 1º grau --- 6,26 40 07 outro

6 casado 1º grau 0 6,66 28 00 interior

7 solteiro 1º grau --- 6,86 41 00 interior

8 solteiro 1º grau --- 7,39 43 04 capital

9 casado 2º grau 1 7,59 34 10 capital

10 solteiro 2º grau --- 7,44 23 06 outro

11 casado 2º grau 2 8,12 33 06 interior

12 solteiro 1º grau --- 8,46 27 11 capital

13 solteiro 2º grau --- 8,74 37 05 outro

14 casado 1º grau 3 8,95 44 02 outro

15 casado 2º grau 0 9,13 30 05 interior

16 solteiro 2º grau --- 9,35 38 08 outro

17 casado 2º grau 1 9,77 31 07 capital

18 casado 1º grau 2 9,8 39 07 outro

19 solteiro superior --- 10,53 25 08 interior

20 solteiro 2º grau --- 10,76 37 04 interior

21 casado 2º grau 1 11,06 30 09 outro

22 solteiro 2º grau --- 11,59 34 02 capital

23 solteiro 1º grau --- 12,OO 41 00 outro

24 casado superior 0 12,79 26 01 outro

25 casado 2º grau 2 13,23 32 05 interior

26 casado 2º grau 2 13,6 35 00 outro

27 solteiro 1º grau --- 13,85 46 07 outro

28 casado 2º grau 0 14,69 29 08 interior

29 casado 2º grau 5 14,71 40 06 interior

30 casado 2º grau 2 15,99 35 10 capital

31 solteiro superior --- 16,22 31 05 outro

32 casado 2º grau 1 16,61 36 04 interior

33 casado superior 3 17,26 43 07 capital

34 solteiro superior --- 18,75 33 07 capital

35 casado 2º grau 2 19,4O 48 11 capital

36 casado superior 3 23,3O 42 02 interior

Page 21: Apostila Estatistica v2.0

17

Exemplo 2: Freqüência e percentagem da amostra de 36 empregados da

empresa Milsa segundo o grau de instrução.

TABELA 2

Exemplo 3: Freqüência e percentagem dos 2000 empregados (População) da

empresa Milsa (Censo x Probabilidade)

TABELA 3

Exemplo 4: Freqüência e percentagens dos 36 empregados (Amostra) da empresa

Milsa.

GRAU DE TABULAÇÃO FRQÚÊNCIA FREQ. RELATIVA

INSTRUÇÃO F FR %

1º grau I I I I I I I I I I I I 12 33,33

2º grau I I I I I I I I I I I I I I I I I I 18 50,OO

superior I I I I I I 6 16,67

TOTAL 36 100

GRAU DE FRQÜÊNCIA FREQ. RELATIVA FREQ. RELATIVA

INSTRUÇÃO F FR % Censo FR % Provável

1º grau 650 32,50 33,33

2º grau 1020 51,00 50,OO

superior 330 15,50 16,67

TOTAL 2000 100 100

Page 22: Apostila Estatistica v2.0

18

TABELA 4

CLASSE DE SALÁRIOS FRQÜÊNCIA FREQ. RELATIVA

F FR %

4 I------- 8 10 27,78

8 I------- 12 12 33,33

12 I------- 16 8 22.22

16 I------- 20 5 13,89

20 I------- 24 1 2,78

TOTAL 36 100

Exemplo 5: Freqüências e percentagem dos empregados da empresa Milsa,

segundo Nº de filhos.

TABELA 5 NÚMERO DE FILHOS FREQÜÊNCIA FREQ. RELATIVA

Xi F FR %

0 4 20

1 5 25

2 7 35

3 3 15

5 1 5

TOTAL 20 100

EXERCÍCIO - Representar a distribuicao de frequencia para Idade e a Regiao de

procedencia dos funcionarios da Empresa Milsa.

Page 23: Apostila Estatistica v2.0

19

5.0 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DAS VARIÁVEIS

QUANTITATIVAS

A representação gráfica da distribuição de freqüências de uma variável tem a

vantagem de, rápida e concisamente, informar sobre a variabilidade da mesma.

Podemos optar por vários tipos de gráficos, porem qualquer que seja ele, devemos

especificar os elementos essenciais para a sua interpretação, que são:

- o título;

- o corpo;

- o cabeçario;

- as colunas indicadoras.

TÍTULO é a indicação que, precedendo a tabela, é colocado na parte superior da

mesma. Deve ser preciso, claro e conciso, indicando a natureza dos fatos estudados

(o que), e a época (quando) em que o mesmo foi observado.

CORPO da tabela é o conjunto de linhas e colunas que contem respectivamente,

as séries Horizontais e verticais de informações. Casa, cela ou célula é o

cruzamento de uma linha com uma coluna, onde se tem a freqüência com que a

categoria (ou categorias) aparecem.

CABEÇARIO é à parte da tabela em que é designada a natureza (as categorias,

as modalidades da variável) do conteúdo de cada coluna.

COLUNA INDICADORA é à parte da tabela em que é designada a natureza (as

categorias, as modalidades da variável) do conteúdo de cada linha.

Os elementos complementares de uma tabela são:

- Fontes;

- Notas.

FONTE é o indicativo, no rodapé da tabela, da entidade responsável pela sua

organização ou fornecedora dos dados primários. A razão da presença da fonte não

é somente honestidade cientifica, mas também permitir ao leitor a possibilidade de

consultar o trabalho original de onde procedem as informações.

NOTAS são colocadas no rodapé da tabela para esclarecimentos de ordem geral.

E são numeradas, podendo-se também usar símbolos gráficos, sendo comum o

asterisco.

Page 24: Apostila Estatistica v2.0

20

6.0 APRESENTAÇÃO GRÁFICA

A apresentação gráfica dos dados e respectivos resultados de sua análise pode

também ser feita sob forma de figuras, em geral gráficos ou diagramas.

Gráficos devem ser auto-explicativos e de fácil compreensão, de preferência sem

comentários inseridos.Devem ser simples, atrair a atenção do leitor e inspirar

confiança.

6.1 DIAGRAMA DE ORDENADAS Para sua construção é traçada uma reta horizontal (ou vertical) de sustentação; a

partir de pontos eqüidistantes na reta, traça-se perpendiculares cujos

comprimentos sejam proporcionais às freqüências.

freqüências

12

10

8

6

4

2

0

4 I------- 8 8 I-------12 12 I-------16 16 I-------20 20 I-------24 Salários

Page 25: Apostila Estatistica v2.0

21

6.2 DIAGRAMA DE BARRAS

A mesma distribuição acima poderia ser representada por meio de diagrama que

levasse em conta a magnitude da área da figura geométrica, já que a vista repousa melhor sobre uma superfície do que sobre uma linha.

freqüências

12

10

8

6

4

2

0

4 I-------8 8 I-------12 12 I-------16 16 I------- 20 20 I-------24

Salários

Page 26: Apostila Estatistica v2.0

22

6.3 DIAGRAMA DE CÍRCULOS

Alem do retângulo, outra figura geométrica utilizada é o círculo ou conjunto de

círculos. Lembrando que a área do círculo é o produto do número irracional π =

(3,1416) pelo quadrado do raio (r), isto é, C= π.r ² , e desde que as áreas dos

diversos círculos devem ser proporcionais às magnitudes das freqüências, isto é, C

= α. f onde α é o fator de proporcionalidade, segue-se que:

α . f = π. r ² , ou seja, r = √ α .f Se chamar √ α de α`, tem-se : π π

portanto, os raios dos círculos devem ser proporcionais a raiz quadrada das

freqüências das modalidades da variável.

Assim se quisermos representar graficamente a distribuição da tabela 1.4, os raios

do círculo deverão ser:

r1 = √ 27,78 . α`= 5,27 . α`→ 5,27. 3 = 15.8 mm

r2 = √ 33,33 . α`= 5.77 . α`→ 5,77. 3 = 17,3 mm

r3 = √ 22.22. α`= 4,71. α`→ 4,71. 3 = 14,1 mm

r4 = √13,89 . α`= 3.72. α`→ 3,72. 3 = 11,1 mm

r5 = √ 2,78 . α` = 1,66 α`→ 1,66. 3 = 5,00 mm

A figura abaixo representa esta distribuição, com um α` adotado de 3 mm.

2,7%

22,22

%

27,78

%

33,33

% 13,89

%

r = α`.√ f

Page 27: Apostila Estatistica v2.0

23

6.4 DIAGRAMA DE SETORES CIRCULARES

Outra opção seria através de setores circulares, na qual se divide a área total de um

círculo em subáreas (setores) proporcionais as freqüências.

Lembrando que o círculo compreende setores cujas áreas (S) são produto do raio (r) pelo tamanho do arco (a), isto é, S = r.a, e com S deve ser proporcional a freqüência

f, tem-se S= α.f , onde α é o fator de proporcionalidade; então:

α .f = r. a

a = α . f

r

Se chamarmos α de α`, tem-se S = α`. f , isto é, os arcos e os respectivos

r ângulos centrais de um círculo é igual a 360°, e sendo F a freqüência total, tem-se

360° = α`. F

ou seja: α`= 360° Portanto a = 360°. f

F F

Assim, a distribuição de freqüência da tabela 4 representando faixas de salários fica:

a1 = 360° x 27,78 = 100°

100

a2 = 360° x 33,33 = 120° 100

a3 = 360° x 22,22 = 80°

100

a4 = 360° x 13,89 = 50°

100

S5 = 360° x 2,78 = 10°

100

Page 28: Apostila Estatistica v2.0

24

Diagrama de Setores Circular

.

Diagrama de Setores Circular feito automaticamente pelo excel

28%

33%

22%

14%3%

120° 50° 100° 80°

10°

Page 29: Apostila Estatistica v2.0

25

6.5 DIAGRAMA LINEAR

No diagrama linear deve-se plotar os pontos nos eixos como foi feito no diagrama de

barras e em seguida unir esses pontos por semi-retas contituindo-se desta forma o

diagrama linear.

freqüências

12

x

10 x x

8

6 x

4

2 x

0

4 I-------8 8 I-------12 2 12 I-------16 16 I------- 20 20 I------- 24 salários

Page 30: Apostila Estatistica v2.0

26

6.6 O PICTOGRAMA A figura abaixo mostra um exemplo de apresentação pictográfica de dados temporais

(comumente encontrada em jornais, revistas e relatórios de vários tipos), no caso abaixo

representa a população dos Estados Unidos.

1920

1930

1940

1950

1960

1970

1980

1990

Cada símbolo = 10 milhões de pessoas Pictograma da população dos Estados Unidos

Page 31: Apostila Estatistica v2.0

27

7.0 MONTAGEM DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS

A análise estatística de dados relativos a uma amostra de uma população, requer uma

aglutinação organizada de informações, conforme regras cuja prática demonstrou serem

eficientes.

Consideremos uma relação de pesos de pacotes de manteiga, em gramas, de uma

amostra de 100 pacotes extraídos parcialmente de um processo automático de

empacotamento.

A especificação de fabricação é 215 ±15 gramas (200 a 230 gramas)

TABELA 6

AMOSTRA PESO AMOSTRA PESO AMOSTRA PESO AMOSTRA PESO AMOSTRA PESO

1 207 21 220 41 210 61 210 81 217

2 213 22 204 42 214 62 220 82 211

3 210 23 213 43 219 63 213 83 213

4 215 24 211 44 215 64 217 84 218

5 201 25 214 45 217 65 214 85 213

6 210 26 217 46 213 66 219 86 216

7 212 27 224 47 218 67 214 87 218

8 204 28 211 48 214 68 215 88 216

9 209 29 220 49 215 69 223 89 206

10 212 30 209 50 212 70 217 90 212

11 215 31 214 51 221 71 213 91 207

12 216 32 208 52 211 72 218 92 213

13 221 33 217 53 218 73 207 93 215

14 219 34 214 54 205 74 210 94 212

15 222 35 209 55 220 75 208 95 223

16 225 36 212 56 203 76 214 96 210

17 215 37 208 57 216 77 211 97 226

18 218 38 215 58 222 78 205 98 224

19 213 39 211 59 206 79 215 99 214

20 216 40 216 60 221 80 207 100 215

O agrupamento destes dados em sub-grupos é feito com base nos seguintes conceitos:

Page 32: Apostila Estatistica v2.0

28

Amplitude total (R.T.): é a diferença entre a medida máxima e a medida mínima. No

caso da amostra de pacotes de manteiga acima, temos:

R.T. = 226 – 201 = 25 gramas

Número de classes (d) : é o número de divisões que estipulamos para a Amplitude Total.

Normalmente pode-se usar d = √ n onde n= número de itens na amostra para o

exercício temos d = √ 100 → 10 classes, porem deve-se utilizar sempre que possível

número impar de classes no caso 9 classes.

Classe: é o intervalo de variação das medidas.

Amplitude do intervalo de classe (R.I.): é a diferença entre os valores máximos e

mínimos de cada classe.

Amplitude intervalo de cada classe R.I . = R.T

Número de Classes

No caso do exercício temos:

Amplitude intervalo de cada classe R.I . = 25 = 2,7 aprox. 3

7

RI adotado = 3 RT adotado = 27 diferenca 2 comeca uma antes do menor e termina

um antes do maior valor.

As classes devem ser mutuamente exclusivas, para que não haja duvida na localização

dos valores das variáveis, podemos dai utilizar as seguintes simbologias para os

intervalos:

0 ----I 10 intervalo aberto & fechado, para significar que o intervalo compreende os

valores da variável maiores do que 0 (excluído) e até 10 (inclusive);

0 I---- 10 intervalo fechado & aberto, para significar que compreende os valores da

variável a partir de 0 (inclusive) e até 10 (exclusive);

0 ----- 10 Intervalo aberto & aberto, para significar que compreende valores maiores do

que 0 e menores do que 10.

Page 33: Apostila Estatistica v2.0

29

0 I----I 10 intervalo fechado & fechado, para significar que compreende os valores da

variável a partir de 0 (inclusive) e até 10 (inclusive).

TABELA de DISTRIBUIÇÃO das FREQÜÊNCIAS Para a facilidade e metodização do processo de análise estatística, monta-se um tabela

que agrupe as informações obtidas, de forma de Tabela de Freqüências. Para os pacotes

em pauta, teremos a seguinte tabela de freqüências:

TABELA 7

VALOR COMPRIMENTO FREQ. FREQUENCIA FREQUENCIA FREQUENCIA

CLASSE CLASSE TABULAÇÃO F RELATIVA % ACUM. ACUM. REL.%

1 200 ---I 203 I I 2 2 2 2

2 203 ---I 206 I I I I I I 6 6 8 8

3 206 ---I 209 I I I I I I I I I I 10 10 18 18

4 209 ---I 212 I I I I I I I I I I I I I I I I I I 18 18 36 36

5 212 ---I 215 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 28 28 64 64

6 215 ---I 218 I I I I I I I I I I I I I I I I I I 18 18 82 82

7 218 ---I 221 I I I I I I I I I I 10 10 92 92

8 221 ---I 224 I I I I I I 6 6 98 98

9 224 ---I 227 I I 2 2 100 100

∑ 100 100%

Page 34: Apostila Estatistica v2.0

30

Onde:

Freqüência (F) = é o numero de vezes que as medidas ocorrem no intervalo de classes

Freqüência relativa (FR) = é a percentagem da freqüência de cada classe em relação ao

total de elementos.

FR = F d x 100

N

Freqüência acumulada (FA) = é a soma das freqüências até o intervalo de classe

considerado.

Ex. Fa5 = F1+ F2 + F3 + F3 + F5 → 2+ 6+ 10+ 18+ 28 = 64

Freqüência acumulada relativa (FAR) = é a soma das freqüências relativas até o

intervalo considerado

Far3 = Fr1 + Fr2 + Fr3 → 2 + 6 + 10 = 18

Page 35: Apostila Estatistica v2.0

31

7.1 HISTOGRAMA E POLIGONO DAS FREQÜÊNCIAS freqüências

28

21

14

7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 CLASSES

POLIGONO DE FREQÜÊNCIAS

Page 36: Apostila Estatistica v2.0

32

7.2 HISTOGRAMA E POLIGONO DAS FREQÜÊNCIAS RELATIVAS

%

28%

21%

14%

7%

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 CLASSES

POLIGONO DE FREQÜÊNCIA RELATIVA

Page 37: Apostila Estatistica v2.0

33

7.3 POLIGONO DE FREQÜÊNCIA ACUMULADA OU OGIVA

F.AC.

100

80

60

40

20

01 2 3 4 5 6 7 8 9 CLASSES

POLIGONO DE FREQÜÊNCIAS ACUMULADA

Page 38: Apostila Estatistica v2.0

34

7.4 POLIGONO DA FREQÜÊNCIA ACUMULADA RELATIVA

%

F.AC REL.

100 %

80 %

60 %

40 %

20 %

0 %1 2 3 4 5 6 7 8 9 CLASSES

POLIGONO DE FREQÜÊNCIAS ACUMULADA RELATIVA

Page 39: Apostila Estatistica v2.0

35

8.0 TIPOS DE DISTRIBUIÇÃO

As distribuições de freqüência podem se apresentar de diversas formas conforme as

figuras a seguir:

8.1 DISTRIBUIÇÃO SIMÉTRICA OU EM FORMA DE SINO A distribuição é simétrica quando os valores se distribuem igualmente em torno da média

(X)

A) Normal

B) Alongada

Page 40: Apostila Estatistica v2.0

36

C) Achatada

8.2 DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA

É aquela em que as freqüências dos valores medidos, se distribuem de forma desigual

em torno da média.

A) Assimétrica Positiva

Page 41: Apostila Estatistica v2.0

37

B) Assimétrica Negativa

8.3 DISTRIBUIÇÃO MODAL, AMODAL, BIMODAL E MULTIMODAL

Chamamos de moda numa distribuição, ao valor da medida ou classe que corresponde à

freqüência máxima. Sob o critério da moda as distribuições classificam-se em:

A) DISTRIBUIÇÃO MODAL – Quando a distribuição tem freqüência máxima ela è

denominada modal.

mo

B) DISTRIBUIÇÃO AMODAL – Quando a distribuição não tem moda

Page 42: Apostila Estatistica v2.0

38

C) DISTRIBUIÇÃO BIMODAL – Quando a distribuição tem duas modas.

mo mo

D) DISTRIBUIÇÃO MULTIMODAL – Quando a distribuição tem mais de duas modas

mo mo mo 8.4 APRESENTAÇÃO TIPO RAMO-E-FOLHAS

Uma alternativa para o uso da tabela de distribuição de freqüências é usar o gráfico do

tipo ramo-e-folhas.

Podermos estudar a partir de um exemplo prático:

Observamos os seguintes números de passageiros em 50 viagens de um avião que faz

ponte aérea Rio - São Paulo:

Page 43: Apostila Estatistica v2.0

39

61 52 64 84 35 57 58 95 82 64

50 53 103 40 62 77 78 66 60 41

58 92 51 64 71 75 89 37 54 67

59 79 80 73 49 71 97 62 68 53

43 80 75 70 45 91 50 64 56 86

SOLUÇÃO: F F.A.

3 5 7 2 2

4 0 1 3 5 9 5 7

5 0 0 1 2 3 3 4 6 7 8 8 9 12 19

6 0 1 2 2 4 4 4 4 6 7 8 11 30

7 0 1 1 3 5 5 7 8 9 9 39

8 0 0 2 4 6 9 6 45

9 1 2 5 7 4 49

10 3 1 50

A MEDIANA NESTE CASO SERÁ X = 64

Page 44: Apostila Estatistica v2.0

40

9.0 MEDIDAS DE POSIÇÃO OU DE TENDÊNCIA CENTRAL

Como o próprio nome indica, a medida de tendência central visa a determinar o centro da

distribuição. Esta determinação, porem, não é bem definida daí parece razoável

chamarmos de “tendência central”.

São medidas de tendência central:

MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES/PONDERADA;

MEDIANA;

MODA.

9.1 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES Dada uma distribuição de freqüências, chama-se de média aritmética desta destituição, e

representa-se por a soma de todos os valores da variável, dividida pelo número de

variáveis “n”.

= Σx n n

Sendo: Σx i= 1

Exemplo: Calcular a média aritmética simples de 8, 3, 5, 12, 10.

= 8 + 3 + 5 + 12 + 10 = 38 = 7,6

5 5

Page 45: Apostila Estatistica v2.0

41

9.2 MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA

K Σ xi .fi i= 1 = K Σx fi i= 1

onde: f = freqüência dos números x = números

Exemplo: Calcular a média ponderada dos números 5, 8, 6, 2 os quais ocorrem com as

freqüências 3, 2, 4 e 1, respectivamente

Números x = 5, 8, 6, 2

Freqüências f = 3, 4, 2, 1

= 3x5 + 4x8 + 2x6 + 1x2 = 57 = 5,7

3+4+2+1 10

9.3 MEDIANA (x)

Se ordenarmos uma seqüência de números do menor para o maior e se a quantidade

desses números for impar, então a mediana será o valor do meio, ou a média dos dois

valores do meio caso a quantidade de números seja par.

O símbolo que usamos para representar a mediana é x lê-se “x til”. No caso de calculo da mediana quando estamos trabalhando com distribuição de

freqüência determinamos o valor mais provável dessa distribuição a partir de:

x = Freqüência acumulada total = FA (para números pares)

2 2

Page 46: Apostila Estatistica v2.0

42

Ou ainda A posição DA MEDIANA é definida por { n+1 } -ésimo elemento quando ”n”

é 2

é ímpar temos um número inteiro e dá a posição da mediana;

Exemplo: Determine a posição da mediana para a) n=15 b) n=45 c)n=88

a) n+1 = 15+1 = 8, e a mediana é o valor do 8° elemento;

2 2

b) n+1 = 45+1 = 23, e a mediana é o valor do 23° elemento;

2 2

c) n = 88 = 44 e a mediana é o valor correspondente ao valor do 44°elemento.

2 2

No caso do exercício da distribuição dos 100 valores de peso de pacotes de manteiga

temos:

X = n = 100 = 50, e a mediana é o valor do 50° elemento

2 2

FA 0 2 8 18 36 64 82 92 98 100

X 200 203 206 209 212 215 218 221 224 227

50°

(64 – 36) (215 – 212)

(64 – 50) Δ

36 64

212 215

50° valor

Page 47: Apostila Estatistica v2.0

43

Δ = 14 x 3 = 1,5

28

portanto a mediana será 212 + Δ logo, X = 212 + 1,5 = 213,5

9.4 MODA ( x )

Em um conjunto de números a moda é o valor que ocorre com maior freqüência, isto é, o

valor mais comum.

Exemplos:

1) 2, 2, 3, 7, 8, 8, 8, 9, 10

moda=8

2) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

moda = Ф (não existe moda)

3) 2, 2, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 9

moda = 4 e 8

Para o exemplo do exercício das distribuições de freqüências dos pacotes de

manteiga temos que a moda é o ponto médio da classe modal, localiza-se a classe

modal como sendo a classe com maior freqüência e em seguida determina-se seu

ponto médio.

Classe modal é a 5° classe, portanto moda = 212 + 215 = 213,5

2

Page 48: Apostila Estatistica v2.0

44

10.0 MEDIDAS DE VARIABILIDADE (DISPERSÃO)

As medidas de dispersão indicam se os valores estão relativamente próximos uns

dos outros, ou separados. Podemos dizer que dispersão é o grau com o qual os

valores numéricos de uma distribuição tendem a se distanciar em torno de um valor

médio.

Em todos os casos, o valor zero indica ausência de dispersão; a dispersão aumenta

à proporção que aumenta o valor da medida (amplitude,desvio-padrao, variância).

xx x x x x xxx xxx xx x x

a) pequena dispersão

xx x x xxx x x x x x x x x xx x x xxx x x x xx x x x x xx

b) grande dispersão

10.1 AMPLITUDE TOTAL (R.T.)

É a medida mais simples de dispersão. É a diferença entre o maior e o menor valor

das observações.

R.T. = Xmax – Xmin

Embora exista simplicidade de cálculo, existem duas restrições ao seu generalizado:

1- Utiliza apenas uma parcela das informações contidas nas observações. O seu

valor não se modifica mesmo que os valores das observações variem, desde que

conservem os seus valores Máximo e mínimo.

2- Depende do número de observações na amostra. Em geral o valor da amplitude

cresce quando cresce o tamanho da amostra.

Page 49: Apostila Estatistica v2.0

45

X min.I I x max.

R.T. = pequeno

X min. I I X max.

R.T. = Grande

10.2 DESVIO PADRÃO

É à medida que determina a variação dos valores observados em torno da média da

distribuição, e representa a distância do ponto de inflexão da curva até a linha da média.

10.2.1 DESVIO PADRÃO AMOSTRAL (S)

O desvio padrão da amostra representa a dispersão da amostra e é dada pela equação:

S = (X1- )² + (X2- )² + (X3- )² + ..... +(Xn- )² n

Page 50: Apostila Estatistica v2.0

46

Onde: Xi = Medidas individuais

S = Σ ( Xi - ) ² n n = Número de elementos ou valores 10.2.2 DESVIO PADRÃO DA POPULAÇÃO (σ)

O desvio padrão da população representa a o grau de dispersão da população em torno

da média é representado por σ, também representa a distância do ponto de inflexão, e é

dado pela expressão:

σ = (X1- )² + (X2- )² + (X3- )² + ..... +(Xn- )²

n - 1

σ = Σ ( Xi - ) ² n - 1 10.2.3 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO DESVIO PADRÃO

σ

Page 51: Apostila Estatistica v2.0

47

10.2.4 SISTEMATIZAÇÃO PARA O CÁLCULO

Para sistematizar o cálculo do desvio padrão de uma amostra é utilizado o seguinte

procedimento:

1- Calcular o valor da média;

2- Montar a tabela abaixo

observações Xi

Xi -

(Xi - )² medidas

1 X1 X1 - (X1 - )² 2 X2 X2 - (X2 - )² 3 X3 X3 - (X3 - )²

. . . .

. . . .

. . . . n Xn Xn - ( Xn - )²

Σ (Xi- )²

3-Aplicam-se as fórmulas:

S = Σ ( Xi - ) ²

n

σ = Σ ( Xi - ) ² n - 1

Page 52: Apostila Estatistica v2.0

48

10.3 VARIÂNCIA

Variância da população é a soma dos quadrados dos desvios de cada observação em

relação à média de “x”, divide-se por n – 1. Indica-se a Variância da População por σ² . Podemos fazer a mesma analogia com a Variância da Amostra dada por S².

Fórmula da variância da Amostra n

Σ ( Xi - ) ² S ² = i = 1

n

Fórmula da variância da População

n

Σ ( Xi - ) ² σ ² = i = 1 onde n – 1 = número de graus de liberdade

n - 1

Como medida de dispersão, a Variância tem a desvantagem de apresentar unidade de

medida igual ao quadrado da unidade de medida dos dados. Se os dados estão em

metros, a Variância fica em metros quadrados.

O desvio padrão por sua vez, fica com valor na mesma da unidade da variável.

Page 53: Apostila Estatistica v2.0

49

11.0 DISTRIBUIÇÃO NORMAL

(ou de GAUSS, ou de LAPLACE, ou ainda, dos ERROS DAS OBSERVAÇÕES)

É uma distribuição contínua e simétrica, cujo gráfico tem a forma de um sino. A

distribuição normal é o resultado da atuação conjunta de causas aleatórias.

Parâmetros da Distribuição Normal

µ → Média da População

Determinam o formato da curva

σ → Desvio padrão da população

Equação da Função de Probabilidade – A equação da função de probabilidade é dada

pela expressão:

- ( x - µ )²

2 σ²

f(x) = 1 e

σ√ 2π

Do estudo de estatística concluímos que:

- a variável x pode assumir qualquer valor real no intervalo - ∞< x < +∞

F (x)

σ

x- 3σ

x- 2σ x- 1σ

x +1σ

x+ 2σ

x+ 3σ

Page 54: Apostila Estatistica v2.0

50

- a variável x obedecerá a uma Distribuição Normal, se a probabilidade de que um valor

x seja menor ou igual a outro xo for:

- ( x - µ )²

x0 2 σ²

P( x < x0 ) = f(x0) = 1 e dx

σ√ 2π - ∞

- a integral da expressão representa a área compreendida entre - ∞ e xo.

- ∞ + ∞

Portanto:

“ A probabilidade de ocorrência de um valor menor ou igual à área abaixo da curva, entre

os valores - ∞ e xo” .

Os valores π = 3,1416 e e ( número neperiano) = 2,718 são constantes numéricas.

CARACTERISTICAS DA CURVA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL

A curva normal obedece necessariamente às seguintes características:

a- A média µ é o valor da variável x para o qual a f(x) é máxima.

F (x)

σ

X0

Page 55: Apostila Estatistica v2.0

51

b- O desvio Padrão σ, é a distância entre a média e o ponto de inflexão da curva.

c- A área total sob a curva normal é igual a 1, pela própria equação da probabilidade.

d- Em virtude da simetria as áreas à direita e à esquerda do valor µ são iguais

DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA Se tomarmos a equação auxiliar:

Z = X - µ

σ o que significa adotar como origem dos z o ponto em que x = µ e como unidade de

escalados z e o desvio padrão σ, teremos transformado a expressão da função das

probabilidades na distribuição normal reduzida:

- z² 2

f(z)= 1 e

σ√ 2π

Considerando, a partir da equação auxiliar:

dz = 1 dx σ dx = σ. dz

Portanto a função da probabilidade, em função de Z, será dada pela expressão:

Page 56: Apostila Estatistica v2.0

52

- z²

z 2

f(z)= 1 e dz

σ√ 2π - ∞

As áreas sob a curva permanecem as mesmas, mas agora podem ser tabuladas em

função dos valores de Z (Ver figura abaixo, eixo dos Z). Basta construir a tábua das áreas

para os valores I(z), na tábua 1.

Por exemplo, a área desde Z=0, até Z= 1,0 é I(1,0) = 0,3413 ou 34,13% da área total da

curva; conseqüentemente, dentro do intervalo ± 1 σ temos 68,26% da área total da curva.

Se procurarmos a probabilidade de encontrarmos um valor de “x” dentro do intervalo

µ ± 0,95 onde é a media, σ é o desvio padrão da população, teremos:

P(- Z0 < Z < Z0) = P (µ – 0,95 σ < Z < µ + 0,95 σ) Iz1 = 0,3289 It= 0,6578 ou 65,78%.

Apresentamos na tabela abaixo alguns dos mais importantes intervalos de distribuição

normal para aplicações em exercícios de probabilidade na curva normal. TÁBUAS DE ÁREAS DA CURVA NORMAL

A partir da equação auxiliar Z = X - µ podemos transformar valores de x em

σ

valores de z e em seguida construir uma tabela com resultados das integrais, que

corresponde à área sob a curva xo intervalo de 0 a Z0 identificada por Iz0.

Page 57: Apostila Estatistica v2.0

53

-3 -2 -1 0 1 2 3 Z

Transformação de X em Z

F (x)

σ

x- 3σ

x- 2σ x- 1σ

x +1σ

x+ 2σ

x+ 3σ

Xo Z= X - µ Zo

σ

µ µ - µ 0 σ

µ + 1σ µ + 1σ- µ 1 σ

µ + 2σ µ + 2σ- µ 2 σ

µ + 3σ µ + 3σ- µ 3 σ

µ - 1σ µ - σ - µ -1 σ

µ - 2σ µ - 2σ - µ -2 σ

µ - 3σ µ - 3σ - µ -3 σ

Page 58: Apostila Estatistica v2.0

54

I Zo

0 Zo

AREAS I ZO = P (0 ≤ z ≤ Z0) para Z0= (x - µ)/ σ

Z0 I Z0

Z0 I Z0

Z0 I Z0

Z0 I Z0

Z0 I Z0

Z0 I Z0

0,00 0,0000 0,60 0,2257 1,20 0,3849 1,80 0,4641 2,40 0,4918 3,00 0,4987

0,05 0,0199 0,65 0,2422 1,25 0,3944 1,85 0,4678 2,45 0,4929 3,05 0,4989

0,10 0,0398 0,70 0,2580 1,30 0,4032 1,90 0,4713 2,50 0,4938 3,10 0,4990

0,15 0,0596 0,75 0,2734 1,35 0,4115 1,95 0,4744 2,55 0,4946 3,15 0,4992

0,20 0,0793 0,80 0,2881 1,40 0,4192 2,00 0,4772 2,60 0,4953 3,20 0,4993

0,25 0,0987 0,85 0,3051 1,45 0,4279 2,05 0,4798 2,65 0,4960 3,25 0,4994

0,30 0,1179 0,90 0,3159 1,50 0,4332 2,10 0,4821 2,70 0,4965 3,30 0,4995

0,35 0,1369 0,95 0,3289 1,55 0,4394 2,15 0,4842 2,75 0,4970 3,35 0,4996

0,40 0,1554 1,00 0,3413 1,60 0,4452 2,20 0,4861 2,80 0,4974 3,40 0,4997

0,45 0,1736 1,05 0,3531 1,65 0,4505 2,25 0,4878 2,85 0,4978 3,50 0,4998

0,50 0,1915 1,10 0,3643 1,70 0,4554 2,30 0,4893 2,90 0,4981 3,70 0,4999

0,55 0,2088 1,15 0,3749 1,75 0,4599 2,35 0,4906 2,95 0,4984 3,90 0,5000

Page 59: Apostila Estatistica v2.0

55

EXERCÍCIOS: E-3

1- Trace uma curva normal e sombreie a área desejada a partir das informações:

a- área à direita de z=1,0

b- área da esquerda de z= 1,0

c- área entre z=0 e z=1,5

d- área entre z=0 e z= - 2,9

e- área entre z=1,0 e z= 2,0

f- área entre z= -2,0 e z= 2,0

g- área entre z= 2,5 e z=3,0

2- Ache os valores de z correspondentes as seguintes áreas:

a- área à esquerda de µ para Iz = 0,0505

b- área à esquerda de µ para Iz = 0,0228

c- área à esquerda Iz= 0,4505 e área da direita Iz = 0,4861

3- Uma distribuição normal tem media 50 e desvio padrão 5. Que percentagem da

população estaria provavelmente dentro dos intervalos:

a- P ( x ≤ 60)

b- P ( 35 ≤ x ≤ 62)

c- P ( 55 ≤ x ≤ 65)

d- P ( x > 55)

e- P ( 35 ≤ x ≤ 45)

4- Suponha uma renda média de uma grande comunidade possa ser razoavelmente

aproximada por uma distribuição normal com media anual de R$ 10.000,00 e

desvio padrão de R$ 2.000,00.

a- Que percentagem da população terá renda superior a R$ 15.000,00?

b- Numa amostra de 50 assalariados, quantos podemos esperar que tenham

menos de R$ 8.000,00 de renda?

Page 60: Apostila Estatistica v2.0

56

12.0 PROBABILIDADE

O problema fundamental da estatística consiste em lidar com o acaso e a incerteza.

Chama-se probabilidade de um acontecimento a razão entre o número de casos

favoráveis ao mesmo e o número total de acontecimentos possíveis.

Assim quando se considera uma população limitada de P indivíduos, a probabilidade de

cada um ser escolhido, ao acaso, é de 1/P.

Laplace definiu probabilidade como: “O quociente do número de casos favoráveis sobre o

número de casos igualmente possíveis”.

Por exemplo, se jogarmos uma moeda “não viciada” para o ar, de modo geral não

podemos afirmar se vai dar cara ou coroa.

Porém existem apenas dois eventos possíveis: sair “cara” ou “coroa” Nesse exemplo

existe um caso favorável a esse evento em dois casos possíveis. A P (K) = ½ ou 50%.

Considerando-se “cara” como sucesso e “coroa” como fracasso e representando-se o

acontecimento favorável como “P” e o não favorável como “Q”, temos as razões:

P= ½ e Q = ½ Sendo P+Q = 1

Então P= (1 - Q) e Q = (1 - P)

A probabilidade de um evento A, denotada por P (A), é um número de 0 a 1, que indica a

chance de ocorrência do evento A. Quanto mais próxima de 1,00 é P(A), maior é a

chance de ocorrência do evento A, e quanto mais próxima de Zero, menor é a chance de

ocorrência do evento A.

Um evento impossível atribui-se a probabilidade Zero.

Um evento certo tem probabilidade de 1.

As probabilidades podem ser expressas, inclusive por valores decimais, frações e

percentagem como: 20%; 2 em 10; 0,2; ou ainda 1/5.

Page 61: Apostila Estatistica v2.0

57

Além do uso na interpretação de jogos de azar, usa-se ainda a probabilidade mediante

determinada combinação de julgamento, experiência ou dados históricos, para predizer

Quao Provável é a ocorrência de determinado evento futuro.

Há numerosos exemplos de tais situações no campo dos Negócios e do Governo. A

previsão da aceitação de um novo produto, o cálculo dos custos de produção, a

contratação de um novo empregado, o preparo do orçamento, a avaliação do impacto de

uma redução de impostos sobre a inflação – tudo isso contém algum elemento de Acaso.

12.1 ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS

Consideremos o experimento que consiste em “extrair uma carta de um baralho de 52

cartas”. Há 52 eventos elementares no espaço amostral. Quanto aos eventos podemos

classificá-los em:

ESPAÇO AMOSTRAL

COMPLEMENTO Cartas vermelhas e cartas pretas

Não se interceptam cartas de

MUTUAMENTE EXCLUDENTE copas e cartas de paus

NAO SÃO MUTUAMENTE Cartas de copas e figuras, tem

EXCLUDENTE elementos em comum.

Cartas de paus, ouro, copas e

COLETIVAMENTE EXAUSTIVO A B C D espadas

A

A B

A B

Page 62: Apostila Estatistica v2.0

58

12.2 TRÊS ORIGENS DA PROBABILIDADE

Há três maneiras diferentes de calcular ou estimar probabilidades, O método Clássico,

quando o espaço amostral tem resultados igualmente prováveis. O método Empírico, que

se baseia na freqüência relativa de ocorrência de um evento num grande número de

provas repetidas; e o método Subjetivo, que utiliza estimativas pessoais baseadas num

certo grau de crença.

OBJETIVO SUBJETIVO

CLÁSSICO EMPÍRICO Opinião Pessoal

(resultados igualmente prováveis) (dados históricos)

O Método Clássico Os jogos de azar (lançamento de moedas, jogo de dados, extração de cartas)

usualmente apresentam resultados igualmente prováveis.

Nestes casos temos:

P(cada resultado) = 1

Número de resultados possíveis

Se cada carta de um baralho de 52 tem a mesma chance de ser escolhida, então a

probabilidade de extrair cada uma delas é de 1/52 : P (A) = 1/52 1,92%.

Da mesma forma a probabilidade de termos uma cara no lançamento de uma moeda é ½

ou 50%. O mesmo ocorre com uma coroa, ou seja ½ ou 50%.

No caso de um dado temos a probabilidade de dar qualquer número: 1,2,3,4,5,6 é de 1/6

ou de 16,66%.

De forma geral vale também a expressão:

Page 63: Apostila Estatistica v2.0

59

P(A) = Número de resultados associados ao evento A

Número total de resultados possíveis

Por exemplo, a probabilidade de extração de uma dama, de acordo com esta definição, é

P (dama) = 4 damas = 4 = 1 = 7,69% 52 cartas 52 13

Analogamente, a probabilidade de obter número ímpar no lance de um dado é

P(ímpar) = 3 faces = 3 ou 50% 6 faces possíveis 6

12.3 A MATEMÁTICA DA PROBABILIDADE Muitas aplicações de estatística exigem a determinação da probabilidade de

combinações de eventos. Há duas categorias de eventos de interesse, A e B, no espaço

amostral.

Pode ser necessário determinar P(A e B), isto é; a probabilidade de ocorrência de ambos

os eventos.

Em outras situações, podemos querer a probabilidade de ocorrência de A ou B P(A ou B).

Cálculo da Probabilidade da ocorrência de dois eventos “independentes” P(A e B)

Se dois eventos são independentes, então a probabilidade da ocorrência de ambos é

igual ao produto de suas probabilidades individuais:

P(A e B) = P(A) . P(B)

Exemplo Jogam-se duas moedas equilibradas.Qual a probabilidade da ocorrência de

ambas darem cara?

É razoável admitir que os resultados das duas moedas sejam independentes um do outro.

Além disso, para moedas equilibradas, P(cara)= ½ . Logo p(cara e cara) será:

Page 64: Apostila Estatistica v2.0

60

1° moeda 2°moeda

½ x ½ = ¼ ou 25%

Cálculo da Probabilidade da ocorrência de dois eventos “mutuamente excludente” P(A ou B ocorrerá)

Se dois eventos mutuamente excludentes, a probabilidade de ocorrência de qualquer um

deles é a soma de suas probabilidades individuais. Para dois eventos A e B temos:

P(A ou B) = P(A) + P(B)

Exemplo, qual é a probabilidade de aparecer cinco ou seis numa jogada de um dado

equilibrado?

P(cinco) ou P(seis) = P (5) + P(6) = 1 + 1 = 2 = 33,33%

6 6 6

Cálculo da Probabilidade da ocorrência de dois eventos “não mutuamente excludente” P(A ou B ou ambos ocorrerão) Suponhamos a probabilidade de extração de uma carta de paus ou um dez de um

baralho de 52 cartas . Como é possível que uma carta seja simultaneamente de “paus” e

um “dez”, os eventos não são mutuamente excludentes. Assim devemos excluir a

probabilidade de interseção. Então temos:

P(paus) = 13 , P(dez)= 4 , P( dez de paus) = 1 ,

52 52 52

P(paus ou dez,ou ambos) = P(paus) + P(dez) - P(dez de paus)

= 13 + 4 - 1 = 16

52 52 52 52

Page 65: Apostila Estatistica v2.0

61

NAIPE PAUS OUROS COPAS ESPADA PRETA VERMELHA VERMELHA PRETA

♣ K ♦ K ♥ K ♠ K

♣ Q ♦ Q ♥ Q ♠ Q

♣ J ♦ J ♥ J ♠ J

♣ 10 ♦ 10 ♥ 10 ♠ 10

♣ 9 ♦ 9 ♥ 9 ♠ 9 a carta é um dez

♣ 8 ♦ 8 ♥ 8 ♠ 8

♣ 7 ♦ 7 ♥ 7 ♠ 7

♣ 6 ♦ 6 ♥ 6 ♠ 6

♣ 5 ♦ 5 ♥ 5 ♠ 5

♣ 4 ♦ 4 ♥ 4 ♠ 4

♣ 3 ♦ 3 ♥ 3 ♠ 3

♣ 2 ♦ 2 ♥ 2 ♠ 2

♣ A ♦ A ♥ A ♠ A Carta de paus Os eventos “paus” e “dez” se interceptam.

Regra de probabilidade

P (A e B), para eventos independentes (Multiplicação) P(A) x P(B)

P (A ou B), para eventos mutuamente excludentes (Soma) P(A) + P(B)

P (A ou B ou ambos ocorrerão), para eventos não mutuamente excludentes

P(A) + P(B) - P(A intercepta B)

Page 66: Apostila Estatistica v2.0

62

EXERCÍCIOS: E-4

1- Extrai-se uma só carta de um baralho de 52. Determine a probabilidade de obter:

a- Um valete

b- Uma figura

c- Uma carta vermelha

d- Uma carta de ouros

e- Um dez de paus

f- Um nove vermelho ou um

oito preto

2- Relacione os resultados possíveis do lance de um só dado. Ache a probabilidade e

adicione-as.

3- Joga-se uma vez um dado equilibrado; determine a probabilidade de obter:

a- um seis

b- cinco, seis ou sete

c- um número par

d- um número menor que quatro

4- Doze fichas são numeradas de 0 a 12 e colocadas numa urna. Escolhida uma

aleatoriamente, determine a probabilidade de sair:

a- o número 3

b- um número impar

c- um número menor que quatro

d- o número dez

5- Joga-se um par de dados equilibrados:

a- Qual a probabilidade de ambas as faces serem seis?

b- Qual a probabilidade de ambas as faces serem dois?

c- Qual a probabilidade de ambas as faces serem pares?

6- Sejam P(A) = 0,30, P(B) = 0,80 e P(A e B) = 0,15.

a- A e B são mutuamente excludentes? Explique.

b- Determine P(A ou B).

7- Sejam A e B mutuamente excludentes, P(A) = 0,31 e P(B) = 0,29.

a- A e b são coletivamente exaustivos? Explique.

b- Determine P(A ou B).

c- Determine P (A e B)

8- Joga-se uma moeda três vezes. Qual a probabilidade de aparecer coroa três

vezes? Qual a probabilidade de não aparecer coroa nas três vezes?

Page 67: Apostila Estatistica v2.0

63

13.0 TECNICAS DE CONTAGEM

Para utilizar o método clássico (A Priori) da probabilidade, é preciso conhecer o número total de resultados possíveis de um experimento.

Uma das possibilidades é o uso das árvores de decisão, mas quando o numero de

resultados é grande, essa lista se torna muito trabalhosa; é necessário então recorrer a

formulas matemáticas para determinar o numero total de resultados possíveis.

Suponhamos que um estudante esteja fazendo um teste de 20 questões do tipo

“verdadeiro-ou-falso”. Suponhamos ainda que ele, não tenha estudado nada, esteja

dando todas as respostas na base do palpite. Qual a probabilidade de ele responder

corretamente todo o teste?

A primeira coisa a fazer é determinar o numero total de resultados possíveis.

Em segundo lugar devemos explorar suas diversas versões. Imaginemos que o teste

consista de apenas:

Uma questão temos V ou F Duas questões temos VV, VF, FV, FF

Três questões temos VVV, VVF, VFF, VFV, FVF, FVV, FFV, FFF

Conclue-se:

Numero de questões : 1 2 3 4

Numero de resultados : 2 4 8 16

Nota-se que se, o numero de itens for grande, a listagem se tornara praticamente

impossível.

Em seguida podemos ver um diagrama de àrvore para determinar todos os arranjos

possíveis.

Page 68: Apostila Estatistica v2.0

64

QUESTÃO N°1 N°2 N°3 RESULTADOS

V V VVV V F VVF F V VFV

. F VFF

V V FVV F F FVF

F V FFV F FFF

Alem disso, o que realmente é necessario é determinar o numero total de resultados;

nada se tem a ganhar identificando cada resultado.

13.1 O PRINCIPIO DA MULTIPLICAÇÃO

O diagrama mostra que cada questão dobra o numero total de resultados possíveis.(com

duas alternativas V ou F) temos:

NUMERO DE QUESTOES TOTAL DE RESULTADOS 1 2=2

2 2 x 2 =4

3 2 x 2 x 2 = 8

4 2 x 2 x 2 x 2 = 16

Se fossem quatro escolha para cada questão:

NÚMERO DE QUESTÕES TOTAL DE RESULTADOS 1 4 = 4

2 4 x 4 = 16

3 4 x 4 x 4 = 64

Para solucionar o exercício do teste, teremos:

Page 69: Apostila Estatistica v2.0

65

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x . . . . . . . x 2 = 220 = 1.048.576 ou 1 .

1 2 3 4 5 . . . . . . . . . . 20 1.048.576

De um modo geral, se ha “n” decisões seqüenciais, cada uma com “m” escolhas, o

numero total de resultados é m n.

13.2 PERMUTAÇÃO, ARRANJO E COMBINAÇÃO.

Quando a ordem em que os elementos se dispõem é importante, o numero total de

resultados possíveis é conhecido como Arranjo ou Permutação. Quando a ordem não

interessa, o numero total de resultados possíveis é designado como Combinação.

Para o uso na analise combinatória usaremos o numero fatorial representado pelo

símbolo ! como por exemplo 4! le-se “Quatro Fatorial” e significa 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Outros exemplos:

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

12! = 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x ..............x 1 = 479.001.600

Os fatoriais crescem de modo extremamente rápido, à medida que aumenta o numero-

base.

Felizmente, quase nunca é necessário utilizar-se completamente os fatoriais, pois eles

aparecem em grupos, permitindo cancelamentos:

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! 1 = 1

7! 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 7 x 6 x 5! 7 x 6 42

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 4 x 3 x 2! = 4 x 3 = 12

2! 2 x 1 2!

5! = 5 x 4 x 3! = 5 x 4 = 20 = 10

2! 3! 2 x 1 x 3! 2 x 1 2

Às vezes os fatoriais podem envolver soma e subtração. Exemplos:

Page 70: Apostila Estatistica v2.0

66

( 5 - 3 )! = 2! e não ( 5! - 3! )

( 9 - 2 )! = 7!

( 3 + 1)! = 4! 8! = 8! = 8 x 7 x 6 x 5! = 8 x 7 x 6 = 56

3 ( 8 – 3 )! 3! . 5! 3 x 2 x 5! 3 x 2

O fatorial de zero é igual a um 0! = 1.

O fatorial de 1 é igual a um 1! = 1.

ARRANJOS São agrupamentos que podem variar pela ordem ou natureza dos elementos. Quando se

consideram n elementos distintos tomados x a x chamamos arranjo ou agrupamentos

“eneários” que se podem formar com esses n elementos, dispomos de todas as formas

possíveis de modo que dois arranjos quaisquer difiram ao menos pela ordem dos

elementos.

Assim, os arranjos possíveis com as letras A, B e C são A 3,2 (3 elementos dois a dois)

A 3,2 = AB; BA; AC; CA, BC; CB. E com os números: 2, 6 e 8 podem ser feitos os seguintes arranjos A 3,2

A 3,2 = 26; 28; 62; 68; 82; 86.

Outro exemplo: Se ha sete cavalos num páreo, quantos arranjos ha considerando 1°,2° e

3° lugares?

A n,x = n!

( n – x )!

Ou seja, 7 elementos tomados 3 a 3

A 7,3 = 7! = 7! 7 x 6 x 5 x 4! = 7 x 6 x 5 = 210

( 7 – 3 )! 4! 4! PERMUTAÇÃO

Page 71: Apostila Estatistica v2.0

67

Denomina-se permutação aos arranjos de objetos tomados n a n. Neste caso cada

objeto entra só uma vez em todos os grupos.

Em geral o numero de permutações distintas com n itens, dos quais n1 são

indistinguíveis de um tipo, n2 de outro tipo, etc, é:

n1, n2, ....nK

Pn = n!

(n1!) (n2!) (n3!) ......(nk!)

Exemplo: Quantas permutações distintas de 3 letras podemos formar com as letras:

R R R R U U U N 4 3 1

Solução

Ha 8 letras : 4Rs 3Us 1N dai: 4, 3, 1

P8 = 8! = 280

(4!) (3!) (1!)

COMBINAÇÃO

Chama-se combinação quando não interessa a ordem para denotar o numero de

agrupamentos distintos possíveis.

Exemplo: é a escolha de 2 tipos de vegetal de um cardápio com 5 tipos. A escolha de

batata e cenoura é a mesma que cenoura e batata.

De um modo geral, para agrupamentos de tamanho x extraídos de uma lista de n itens, o

numero de combinações possíveis é:

C n,x = n! n

x! (n - x )! x

Page 72: Apostila Estatistica v2.0

68

Quantos comitês distintos, de 3 pessoas cada um, podemos formar com um grupo de 10

pessoas?

C10,3 = 10! = 10 x 9 x 8 x 7! = 120

7! 3! 3 x 2 x 7!

De quantas maneiras podemos formar um comitê de 1 mulher e 2 homens, de um total

de 4 mulheres e 6 homens.

Mulheres Homens = 4! 6! = 4 x 15 = 60

( C 4,1 ) ( 6,2 ) 3! 1! 4! 2!

13.3 REGRAS DE CONTAGEM REGRA DA MULTIPLICAÇÃO: o produto do numero de escolhas para uma seqüência de

decisões m n onde m = numero de escolhas n = decisões seqüenciais

ARRANJOS: numero de agrupamentos em que interfere a ordem

A n,x = n!

( n – x )!

PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÕES (OU DISTINGUIVEIS): alguns itens são idênticos, e

a ordem é importante.

n1, n2, ....nK

Pn = n!

(n1!) (n2!) (n3!) ......(nk!)

COMBINAÇÕES: a ordem não importa.

C n,x = n! n

x! (n - x )! x

Page 73: Apostila Estatistica v2.0

69

EXERCÍCIOS: E-5

1- Calcule:

a- 2! b- 3! c- 10! d- 1! e- 0!

2- Calcule:

a- 3 b- 4 c- 5 d- 9

2 4 1 6

3- Determine o numero de arranjos:

a- A 3,2 b- A 4,4 c- A 5,1 d- A 9,6 e- A 1,0

4- Um vendedor de automóveis deseja impressionar os possíveis compradores com o

maior numero de combinações diferentes possíveis. Um modelo pode ser dotado

de três tipos de motor, dois tipos de transmissão, cinco cores externas e duas

internas. Quantas são a escolhas possíveis?

5- Em um determinado Estado, as placas de licença constam de três letras e quatro

algarismos. Quantas placas diferentes podemos formar admitindo-se o uso de

todas as (26 letras) e os (10 algarismos)?

6- Quantas permutações distintas podem ser feitas com as letras da palavra

BLUEBEARD ?

7- Se um torneio de basquetebol consiste de 36 times, de quantas maneiras podem

ser conquistados os três primeiros lugares?

8- De quantas maneiras diferentes podemos escolher um comitê de cinco pessoas

dentre oito?

9- A Pizzaria do Joe oferece as seguintes escolhas de pizza: presunto, cogumelos,

pimentão, enchovas e muzzarella. De quantas maneiras podemos escolher dois

tipos diferente de pizza?

Page 74: Apostila Estatistica v2.0

70

14.0 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

Introduzidas às noções fundamentais sobre a teoria das probabilidades, pode-se passar

às chamadas Distribuições de Probabilidades.

Uma distribuição de probabilidades é uma distribuição de freqüência relativa para os

resultados de um espaço amostral (isto é, para os resultados de uma variável aleatória);

que mostra a proporção das vezes em que a variável aleatória tende a assumir cada um

dos diversos valores. Consideremos a variável aleatória “Numero de caras em duas jogadas de uma moeda”

eis a lista dos pontos do espaço amostral e os valores correspondentes a v.a.:

(K = cara e C = coroa)

Resultados Valor da v.a.

CC 0

CK 1

KC 1

KK 2

Se a moeda é equilibrada, P(K) = P(C) = ½.As probabilidades dos diversos resultados

são:

RESULTADOS PROBABILIDADE DO RESULTADO NUMERO DE CARAS P(X) 1 . 1 1 CC = 0 0,25 2 2 4 1 . 1 1 CK = 1 0,25 2 2 4 0,50 1 . 1 1 KC = 1 0,25 2 2 4 1 . 1 1 KK = 2 0,25 2 2 4

Page 75: Apostila Estatistica v2.0

71

Assim, pois, a distribuição de probabilidades para o numero de caras em duas jogadas

de uma moeda são:

NUMERO DE CARAS P(X)

0 0,25

1 0,50

2 0,25

1,00

Note-se que a soma de todas as probabilidades é 1,00, como é de esperar, pois os

resultados apresentados são mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos. A

mesma distribuição pode ser apresentada em forma acumulada.

NUMERO DE CARAS P(X ou menos)

0 0,25

1 0,75

2 1,00

Page 76: Apostila Estatistica v2.0

72

Graficamente, as distribuições de probabilidade e acumulada se apresentam:

P 1,00 R 1,00 O 1,OO B A

P B R 0,75 I 0,75 O L 0,75 B I A D B A

I 0,5 D 0,5 L 0,5 E

I D A A C D 0,25 U 0,25 E 0,25 0,25 M 0,25

U L A 0 D 0 0 1 2 A 0 1 2 NUMERO DE CARAS NUMERO DE CARAS

14.1 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Suponhamos agora o experimento E4= “Lançamento de 4 moedas”. A tabela abaixo

mostra todas as possibilidades de combinações cara/coroa, os eventos que estas

combinações originam e os valores correspondentes da variável aleatória X : Numero de

vezes que sai “Cara”.

Page 77: Apostila Estatistica v2.0

73

POSSIBILIDADE MOEDA N° EVENTO VALOR DE X

N° 1, 2, 3, 4 ( N° DE VEZ QUE SAI CARA)

1 C C C C 0K e 4C 0

2a C C C K 1K e 3C 1

2b C C K C 2c C K C C 2d K C C C 3a C C K K 2K e 2C 2 3b C K K C 3c K K C C 3d C K C K 3e K C K C 3f K C C K

4a K K K C 3K e 1C 3 4b K K C K 4c K C K K 4d C K K K

5 K K K K 4K e 0C 4

Utilizando as regras do produto para eventos independentes (e) e da adição para

eventos mutuamente exclusivos (ou) é possível calcular as probabilidades associadas

aos valores de X.

A probabilidade de X=0 é obtida pelo conhecimento de termos 4 coroas, sabe-se que a

probabilidade de sair coroa é ½ , a probabilidade final será: 0,5x0,5x0,5x0,5 = 0,0625.

-63-

Para o calculo da probabilidade X=1 deve-se trabalhar com o evento “1K e 3C” como

temos as opções a,b,c,d, que são mutuamente exclusiva, a regra da soma manda

efetuar a adição 0,0625 +0,0625 +0,0625 +0,0625 ou, o que é o mesmo de se efetuar o

produto 4x 0,0625 = 0,25.

Desta forma analogamente temos:

Page 78: Apostila Estatistica v2.0

74

X EVENTO P(X = x)

0 4 0 4 0 0K e 4C O,0625 = 1 X 0,5 X 0,5 = 1 p q 1 3 1 3 1 1K e 3C O,2500 = 4 X 0,5 X 0,5 = 4 p q 2 2 2 2 2 2K e 2C O,3750 = 6 X 0,5 X 0,5 = 6 p q 3 1 3 1 3 3K e 1C O,0625 = 4 X 0,5 X 0,5 = 1 p q 4 0 4 0 4 4K e 0C O,0625 = 1 X 0,5 X 0,5 = 1 p q

n = numero de moedas

p = probabilidade de K = P(K) = 0,5

q = 1 – p = probabilidade de C = P(C) = 0,5

Podemos usar a formula:

n! = n = combinações de n individuais tomados x a x.

x! (n – x)! x

Generalizando temos; x n - x

P(x) = n! p . q

x! (n – x)!

TOTAL 1,00

Page 79: Apostila Estatistica v2.0

75

Distribuição binomial de x (numero de coroas) para n = 10

X Numero de n ! Distribuição P(X) probabilidade % de “Coroas” em 10 encontrar a jogadas x ! (n – x) ! Amostral Amostra 10 p(10) = 10! 10! (10 – 10)! 1 1/1024 = 0,000976 9 p(9) = 10! 9! (10 – 9) ! 10 1/1024 = 0,009760 8 p(8) = 10! 8! (10 – 8) ! 45 1/1024 = 0,043940 7 p(7) = 10! 7! (10 – 7) ! 120 1/1024 = 0,117180 6 p(6) = 10! 6! (10 – 6) ! 210 1/1024 = 0,205070 5 p(5) = 10! 5! (10 – 5) ! 252 1/1024 = 0,246090 4 p(4) = 10! 4! (10 – 4) ! 210 1/1024 = 0,205070 3 p(3) = 10! 3! (10 – 3) ! 120 1/1024 = 0,117180 2 p(2) = 10! 2! (10 – 2) ! 45 1/1024 = 0,043940 1 p(1) = 10! 1! (10 – 1) ! 10 1/1024 = 0,009760 0 p(0) = 10! 0! (10 – 0) ! 1 1/1024 = 0,000976 10 TOTAL = 2 = 1024

Page 80: Apostila Estatistica v2.0

76

EXERCICIOS: E-6

Use a formula binomial para responder às questões abaixo:

1- Um fabricante de mesas de bilhar suspeita que 2% de seu produto apresenta

algum defeito. Se tal suspeita é correta, determine a probabilidade de que, numa

amostra de nove mesas:

a- Haja ao menos uma defeituosa

b- Não haja nenhuma defeituosa

2- Dos estudantes de um colégio, 41% FUMAM CIGARROS. Escolhem-se seis ao

acaso para darem sua opinião sobre o fumo.

a- Determine a probabilidade de nenhuma das seis ser fumante.

b- Determine a probabilidade de todos os seis ser fumante.

c- Qual a probabilidade de ao menos a metade dos seis serem fumantes.

3- Doze por cento dos que reservam lugar num vôo sistematicamente faltam ao

embarque. O avião comporta 15 passageiros.

a- determine a probabilidade de que todos os 15 que reservaram lugar

compareçam ao embarque

b- Se houve 16 pedidos de reserva, determine a probabilidade de uma pessoa

ficar de fora.

4- Um revendedor de automóveis novos constatou que 80% dos carros vendidos são

devolvidos ao departamento mecânico para corrigir defeitos de fabricação, nos

primeiros 25 dias apos a venda. De 11 carros vendidos num período de 5 dias, qual

é a probabilidade de que:

a- Todos voltem dentro de 25 dias para reparo.

b- Só um não volte

5- Suponha que 8% dos cachorros-quentes vendidos num estádio de futebol sejam

pedidos sem mostarda. Se sete pessoas pedem cachorrão, determine a

probabilidade de que:

a- Todos queiram mostarda

b- Apenas um não a queira.

Page 81: Apostila Estatistica v2.0

77

14.2 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON

A chamada Distribuição de Poisson ou de Eventos Raros podem ser considerada um

caso limite da distribuição binomial. Quando “n” é grande e “p” é pequeno podemos usar

a aproximação de Poisson para a distribuição Binomial.

É difícil dar condições precisas para que se possa usar a aproximação de Poisson, ou

seja, o que significa quando “n” é grande e “p” pequeno. Como regra geral podemos

usar:

n > 100 e n.p < 10

n = Elementos da População

p = Probabilidade

Exemplo: n = 150 p = 0,05

Temos a distribuição de Poisson com:

n.p = 150 . (0,05) = 7,5

A formula a ser usada é:

x - n.p f (x) = (n.p) . e para x = 1, 2, 3, .......

x !

e= 2,718

Exemplo: Sabe-se que 2% dos livros encadernados em uma certa livraria apresentam

defeitos de encadernação. Utilize a aproximação de Poisson da distribuição Binomial para

achar a probabilidade de que 5 entre 400 livros encadernados nessa livraria apresentam

algum defeito de encadernação.

Temos: n = 400 p = 2% = 0,02 x = 5 n.p = 400 . 0,02 = 8

- 8

e = 0,000335

Page 82: Apostila Estatistica v2.0

78

temos então:

x - n.p 5 - 8

f (x) = (n.p) . e = 8 . e = (32768). (0,000335) = 10,977 = 0,0915

x ! 5! 120 120

-67-

Outro Exemplo: Supúnhamos que os defeitos em fios para tear possam ser aproximados

por um processo de Poisson com media de 0,2 defeitos por metro

(p = 0,2) .Inspecionando-se pedaços de fio de 6 metros de comprimento, determine a

probabilidade de menos de 2 (isto é 0 ,1) defeitos.

Temos : n = 6 p = 0,2 n . p = 6 . 0,2 = 1,2 x =1 e X = 2

0 -1,2

f(0) = 1,2 e = 1 . 0,301 = 0,301

0! 1

1 -1,2

f(1) = 1,2 e = 1,2 . 0,301 = 0,3612

1! 1

P(x< 1) = P(0) + P(1) (0,301 + 0,3612) = 0,6622

Page 83: Apostila Estatistica v2.0

79

EXERCICIOS: E-7

1- Verifique, em cada caso, se os valores de “n” e “p” satisfazem as regras empíricas

para a utilização de Poisson como aproximação da Binomial:

a- n = 500 e p = 0,001

b- n = 100 e p = 0,12

c- n = 60 e p = 0,002

2- Se 0,6% dos detonadores fornecidos a um arsenal são defeituosos, utilize a

aproximação de Poisson para a distribuição Binomial para determinar a

probabilidade de que, em uma amostra aleatória de 500 detonadores, quatro sejam

defeituosos.

3- Em uma certa cidade 3,2% dos habitantes se envolve em, ao menos, um acidente

de carro em um ano. Com o auxilio da aproximação de Poisson para a distribuição

Binomial, determine a probabilidade de que, dentre 200 motoristas escolhidos

aleatoriamente nessa cidade.

a- Exatamente seis se envolvam em ao menos um acidente em um ano;

b- No Maximo oito se envolvam em ao menos um acidente em um ano;

c- Cinco ou mais se envolvam em ao menos um acidente em um ano;

4- Suponha que, em media 2% das pessoas sejam canhotas. Encontre a

probabilidade de 3 ou mais canhotos em 100 pessoas

Page 84: Apostila Estatistica v2.0

80

15.0 CORRELAÇÃO

15.1 INTRODUÇÃO

Até agora nossa preocupação era descrever a distribuição de valores de uma única

variável. Com esse objetivo, aprendemos a calcular medidas de tendência central e

variabilidade.

Quando porem, consideramos observações de duas ou mais variáveis, surge um novo

problema: as relações que podem existir entre duas ou mais variáveis estudadas.

Assim, quando consideramos variáveis como peso e altura de um grupo de pessoas, uso

do cigarro e incidência do câncer, a potencia gasta e a temperatura da água no

chuveiro,

Procuramos verificar se existe alguma relação entre as variáveis de cada um dos pares

e qual o grau dessa relação.

Para isso, é necessário o conhecimento de novas medidas.

Sendo a relação entre as variáveis de natureza quantitativa, a correlação é o

instrumento adequado para descobrir e medir essa relação.

Uma vez caracterizada a relação, procuramos descreve-la através de uma função

matemática. A regressão é o instrumento adequado par a determinação dos parâmetros

dessa função.

15.2 RELAÇÃO FUNCIONAL E RELAÇÃO ESTATÍSTICA Como sabemos, o perímetro e o lado de um quadrado estão relacionados. A relação

que liga é perfeitamente definida e pode ser expressa por meio de uma sentença

matemática:

P = 4 L P= PERIMETRO L= LADO DO QUADRADO

Page 85: Apostila Estatistica v2.0

81

Atribuindo-se, então, um valor qualquer de L, é possível determinar exatamente o valor

do perímetro.

Considerando, agora a relação que existe entre o peso e a estatura de um grupo de

pessoas. É evidente que essa relação não é do mesmo tipo da anterior, ela é bem menos

precisa. Assim, pode acontecer que a estaturas diferentes correspondam a pesos

iguais ou que estaturas iguais correspondam a pesos diferentes.

Porem, em média, quanto maior a estatura, maior o peso.

As relações do tipo perimetro-lado são conhecidas como relações funcionais.

As relações do tipo peso-estatura, como relações estatísticas.

Quando duas variáveis estão ligadas por uma Relação Estatística, dizemos que existe

uma correlação entre elas.

15.3 DIAGRAMA DE DISPERSÃO Consideremos uma amostra aleatória, formada por 98 alunos de uma classe da Uniso e

pelas notas obtidas por eles em Matemática e Estatística:

NOTAS Nº MATEMATICA ESTATISTICA (xi) (yi) 01 5,0 6,0 08 8,0 9,0 24 7,0 8,0 38 10,0 10,0 44 6,0 5,0

58 7,0 7,0 59 9,0 8,0 72 3,0 4,0 80 8,0 6,0

92 2,0 2,0

Page 86: Apostila Estatistica v2.0

82

Representando, em um sistema de coordenadas cartesiano ortogonal, os parâmetros

(xi ; yi), obtemos uma nuvem de pontos que denominamos DIAGRAMA DE

DISPERSAO. Esse diagrama nos fornece uma idéia grosseira, porem útil, da correlação

existente:

yi 10 . o . o

8 . o o . o 6 . o o . o 4 . o .

2 . o . . . . . . . . . . . 2 4 6 8 10 xi

15.4 CORRELAÇÃO LINEAR

Os pontos obtidos, vistos em conjunto formam uma elipse em diagonal.

Podemos imaginar que, quanto mais fina for a elipse mais ela se aproximará de uma

reta.

Dizemos, então, que a correlação de forma elíptica tem como “imagem” uma reta, sendo,

por isso denominada de Correlação Linear.

Page 87: Apostila Estatistica v2.0

83

É possível verificar que cada correlação esta associada como “imagem“ uma relação

funcional. Por esse motivo, as relações funcionais são chamadas Relações Perfeitas.

yi 10 . RETA IMAGEM o . o

8 . o o . o 6 . o o . o 4 . o

. 2 . o . . . . . . . . . . . 2 4 6 8 10 xi

Como a correlação em estudo tem como “imagem” uma reta ascendente, ela é chamada

de Correlação Linear Positiva.

Assim uma correlação é:

a- Linear Positiva se os pontos do diagrama tem com “imagem” uma reta ascendente; b- Linear negativa se os pontos tem como ”imagem” uma reta descendentes;

c- Nao-linear se os pontos tem como “imagem” uma curva.

Se os pontos apresentam-se dispersos, não oferecendo uma “imagem” definida,

concluímos que não há relação alguma entre as variáveis em estudo.

Page 88: Apostila Estatistica v2.0

84

Temos: Y

o oo ooo oo ooooo correlação linear positiva ooo ooooo oo o oo X Y o oo ooo oo ooooo correlação linear negativa ooo ooooo oo o oo

Y X o o oo oo oooo ooo oo oo ooo ooooo o correlação não-linear ooo oooo ooooo ooo oo oo o oooo oo ooo Y X oo o o o o o o o oooo ooo o ooo oo ooo oooo oooo oooo o não há correlação o oo ooo ooooo o o ooo oo o ooooo X

Page 89: Apostila Estatistica v2.0

85

15.5 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR

O instrumento empregado para a medida de Correlação Linear é o Coeficiente de Correlação. Esse coeficiente deve indicar o grau de intensidade da correlação entre

duas variáveis e, ainda, o sentido dessa correlação (positivo ou negativo). Faremos uso do coeficiente de correlação de Person, que é dado por :

r = n Σ xi yi – (Σxi ) (Σyi)

√ [ n Σ x²i – (Σxi)²] [ n Σ y²i – (Σyi)²]

Onde:

n = número de observações

Os valores limites de r são -1 e +1, isto é, o valor de r pertence ao intervalo [ -1 e +1].

Assim:

A- Se a correlação entre duas variáveis é perfeita e positiva, então r = +1.

B- Se a correlação é perfeita e negativa, então r = -1

C- Se não há correlação entre as variáveis ou a relação é por ventura não-linear, então r = 0.

NOTAS - Para que uma relação possa ser descrita por meio do Coeficiente de

Correlação de Person é imprescindível que ela se aproxime de uma função

Linear. Uma maneira pratica de verificarmos a linearidade da relação é a

inspeção do Diagrama de Dispersão: se a elipse apresenta saliências ou

reentrâncias muito acentuadas, provavelmente trata-se de uma relação

curvilínea.

- Para podermos tirar algumas conclusões significativas sobre o comportamento

simultâneo das variáveis analisadas, é necessário que:

0,6 ≤ | r | ≤ 1 Se 0,3 ≤ | r | < 0,6, há uma correlação relativamente fraca entre as variáveis.

Page 90: Apostila Estatistica v2.0

86

Se 0 < | r | < 0,3, a correlação é muito fraca e, praticamente, nada podemos

concluir sobre a relação entre as variáveis em estudo.

-81-

Em seguida vamos calcular o coeficiente de correlação relativos ao exercício anterior.

O modo mais pratico para obtermos r é abrir, na tabela, colunas correspondentes aos

valores de xi yi, x²i e y²i. Assim:

MATEMATICA ESTATISTICA (xi) (yi) xi yi x²i y²i

5,0 6,0 30 25 36 8,0 9,0 72 64 81

7,0 8,0 56 49 64 10,0 10,0 100 100 100 6,0 5,0 30 36 25 7,0 7,0 49 49 49 9,0 8,0 72 81 64 3,0 4,0 12 09 16 8,0 6,0 48 64 36 2,0 2,0 04 04 04

Σ=65 Σ=65 Σ=473 Σ=481 Σ=475

Logo:

r = 10 x 473 – 65 x 65 = 505 = 550 = 0,911

√ (4.810 – 4.225) (4.750 – 4.225) √ 585 x 525 4.554,18

Dai: r = 0,91 Resultado que indica uma correlação linear positiva altamente significativa

entre as duas variáveis.

Page 91: Apostila Estatistica v2.0

87

15.6 CUDADOS COM OS ERROS COM A INTERPLETAÇÃO DE CORRELAÇÃO

Identificamos a seguir três dos erros mais comuns cometidos na interpretação de

resultados que envolvem correlação.

1- Devemos evitar a conclusão de que a correlação implica em casualidade. Um

estudo mostrou uma correlação entre salários de professores de Estatística e o

consumo individual de cerveja. Porem essas duas variáveis são afetadas pelas condições

econômicas que envolvem não só o professor de Estatística, aparece neste caso uma

terceira variável oculta.

2- Surge outra fonte de erro potencial quando os dados se baseiam em taxas ou médias. Quando utilizamos taxas ou médias para os dados, suprimimos a variação entre os indivíduos ou elementos, e isto pode levar a um coeficiente de correlação

inflacionado.

3- Um terceiro erro diz respeito à propriedade de linearidade. A conclusão de que não

há correlação linear significativa não quer dizer que x e y não estejam relacionados de

alguma forma provavelmente possa haver uma correlação não linear.

Page 92: Apostila Estatistica v2.0

88

EXERCICIOS: E-8

1- Complete o esquema de cálculo do coeficiente de correlação para os valores das

variáveis xi e yi :

xi 4 6 8 10 12

yi 12 10 8 12 14

Temos:

(xi) (yi) xi yi x²i y²i 4,0 12,0 ……. ……. ……. …… ..….. ……

12,0 14,0 Σ= Σ= Σ= Σ= Σ=

Logo:

r = .... x ... – .... x ... = ......... = ........ = ........

√ (..... – .....) (..... – ......) √ ..... x ...... .........

ONDE: r =

Page 93: Apostila Estatistica v2.0

89

2- Padronize cada conjunto de escores e calcule o coeficiente de correlação.

A-

(xi) (yi) xi yi x²i y²i 34 21

30 22 40 25 34 28 39 15

35 24 42 24 45 22 43 17

Σ= Σ= Σ= Σ= Σ=

B-

(xi) (yi) xi yi x²i y²i 3,9 46

4,6 46 6,0 52 2,8 50 3,1 48

3,4 40 4,2 42 4,0 44 Σ= Σ= Σ= Σ= Σ=

Page 94: Apostila Estatistica v2.0

90

3- Determine o coeficiente de correlação para os dois conjuntos de valores abaixo:

1ª AVALIAÇÃO 2ª AVALIAÇÃO estudante (xi) (yi) xi yi x²i y²i 1 82 92 2 84 91 3 86 90

4 83 92 5 88 87 6 87 86 7 85 89

8 83 90 9 86 92 10 85 90 11 87 91

Σ= Σ= Σ= Σ= Σ=

4- Com os dados abaixo, sobre crimes violentos e a temperatura média entre 21 e 2 horas

das noites de sábado numa grande comunidade, monte o gráfico para os dados e calcule

o coeficiente de correlação.

Crimes Violentos/ 1000 residentes temperatura média (°F) 5,0 87

2,2 50 4,1 75 5,4 90 2,8 55

3,0 54 3,6 68 4,9 85 4,1 82

4,2 80 2,0 45 2,7 58 3,1 66

Page 95: Apostila Estatistica v2.0

91

16.0 REGRESSÃO LINEAR

Sempre que desejamos estudar determinada variável em função de outra fazemos

sempre uma análise de regressão.

Podemos dizer que a analise de regressão tem por objetivo descrever, através de um

modelo matemático, a relação entre duas variáveis, partindo de n observações das

mesmas.

16.1 AJUSTAMENTO DE CURVAS

A variável sobre a qual desejamos fazer uma estimativa recebe o nome de variável dependente e a outra recebe o nome de variável independente.

Assim, supondo X a variável independente e Y a dependente, vamos procurar determinar

o ajustamento de uma reta a relação entre essa variáveis, ou seja, vamos obter uma

função definida por:

Y = ax + b onde a e b são parâmetros.

Sejam duas variáveis X e Y, entre as quais exista uma correlação acentuada, embora

não perfeita, como, por exemplo, as do exercício já apresentado:

MATEMATICA ESTATISTICA

(xi) (yi)

5,0 6,0

8,0 9,0

7,0 8,0

10,0 10,0

6,0 5,0

7,0 7,0

9,0 8,0

3,0 4,0

8,0 6,0

2,0 2,0

Page 96: Apostila Estatistica v2.0

92

Cujo Diagrama de Dispersão é dado por:

yi 10 . RETA IMAGEM o . o

8 . o o . o 6 . o o . o 4 . o .

2 . o . . . . . . . . . . . 2 4 6 8 10 xi

Podemos concluir, pela forma do diagrama, que se trata de uma correlação retilínea, de

modo a permitir o ajustamento de uma reta, imagem da função definida por:

Y = ax+ b

16.2 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS Vamos então, calcular os valores dos parâmetros a e b com a ajuda das fórmulas:

a = n Σ Xi Yi - Σxi . Σyi n ΣXi² - (Σxi)²

e

b = Y - a X

Page 97: Apostila Estatistica v2.0

93

Onde : n é o número de observações

X é média dos valores de Xi (X = Σ Xi ) n

Y é média dos valores de Yi (Y = Σ Yi ) n

Nota:

Como estamos fazendo uso de uma amostra para obtermos os valores dos parâmetros, o

resultado, na realidade, é uma estimativa da verdadeira equação de regressão. Sendo

assim, escrevemos:

Y^ = a X + b Onde Y^ é o Y estimado

A tabela de valores: MATEMÁTICA ESTATÍSTICA (xi) (yi) xi yi x²i

5,0 6,0 30 25

8,0 9,0 72 64 7,0 8,0 56 49 10,0 10,0 100 100 6,0 5,0 30 36

7,0 7,0 49 49 9,0 8,0 72 81 3,0 4,0 12 09 8,0 6,0 48 64 2,0 2,0 04 04 Σ=65 Σ=65 Σ=473 Σ=481

Temos assim

a = 10 x 473 – 65 x 65 = 4730 - 4225 = 505 = 0,8632

10 x 481 – (65)² 4810 - 4225 585

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Como:

X = 65 = 6,5 e Y = 56 = 6,5

10 10

Vem:

b = 6,5 – 0,8632 x 6,5 = 6,5 - 5,6108 = 0,8892,

Donde:

a = 0,86 e b = 0,89

Logo:

Y = 0,86 X + 0,89

Para traçarmos a reta no gráfico, basta determinar dois de seus pontos:

X = 0 Y^ = 0,89

X = 5 Y^ = 0,86 x 5 + 0,89 = 5,19

Assim temos:

yi 10 . o Y^ = 0,86 X + 0,89 . o 8 . o o . o 6 . o o 5,19 . o 4 . o . 2 . o . 0,89 . . . . . . . . . . 2 4 6 8 10 xi

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16.3 ANÁLISE DE REGRESSÃO

Quando recorremos a uma reta de mínimos quadrados, precisamos saber qual é a

precisão dos valores obtidos para a e b na equação de mínimos quadrados?

Qual a precisão da estimativa Y^?

Os valores calculados são apenas estimativas baseadas em dados amostrais e, se

fundamentarmos nosso trabalho em outra amostra de mesmo tamanho n o método de

mínimo quadrado poderia gerar valores diferentes de para a e b , como também

poderia gerar valores para Y^ diferentes.

Para prever essas diferenças é possível estabelecermos um intervalo para o qual

possamos afirmar, com certo grau de confiança valores de Y^.

O cálculo desses intervalos segue os mesmos raciocínios visto anteriormente para as

médias , proporções, variâncias e desvio padrão, e analisaremos a seguir.

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EXERCICIOS: E-9

1- Após 6 horas de treinamento, um cachorro cometeu 5 erros em uma exposição

canina, outro cachorro após 12 horas cometeu 6 erros, e finalmente um outro

cachorro, apos 18 horas, cometeu apenas 1 erro. Denotando por x o número de horas

de treinamento e por y o número de erros cometidos, qual das duas retas se ajusta

melhor aos três pontos, no sentido de mínimos quadrados?

a- y = 10 - ½ x

b- y = 8 - 1/3 x

2- A tabela a seguir mostra quantas semanas seis pessoas trabalharam em um posto de

inspeção de automóveis e quantos carros foram inspecionados entre 12 e 14 horas,

em determinado dia:

Número de semanas Número de carros

Trabalhadas inspecionados

2 13

7 21

9 23

1 14

5 15

12 21

Para esses dados temos:

Σx = 36, Σx² = 304, Σy = 107, Σy² = 2001 e 3040 Σx.y =721

a- Estabeleça a equação da reta de mínimos quadrados que permite predizermos y em termos de x.

b- Com o auxilio da parte a, estime quantos carros uma pessoa que venha

trabalhando no posto de inspeção ha 8 semanas poderá inspecionar?

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3- Os dados abaixo se referem ao resíduo de cloro em uma piscina em vários

momentos, após ter sido tratada com produtos químicos:

X Y

Número de Horas Resíduo de cloro

(P.P.M.)

0 2,2

2 1,8

4 1,5

6 1,4

8 1,1

10 1,1

12 0,9

Para esses dados temos:

Σx = 42, Σx² = 364, Σy = 10, Σy² = 15,52 e Σx.y =48,6

A leitura de zero horas foi feita imediatamente após completado o tratamento químico.

a- Ajuste uma reta de mínimos quadrados que nos permita predizer o resíduo de cloro

em termos do número de horas após a piscina ter sido tratada com produtos

químicos.

b- Com a equação da reta de mínimos quadrados, estime o resíduo de cloro na

piscina 5 horas após ter sido tratada.

c- Com a equação da reta de mínimos quadrados, estime o resíduo de cloro na

piscina 8 horas após ter sido tratada. Por que razão o resultado diverge do valor

1,1 da tabela.

Page 102: Apostila Estatistica v2.0

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BIBLIOGRAFIA

BIBLIOGRAFIA BÁSICA

FREUND, John E. e SIMON, Gary A. Estatística aplicada –economia, administração e

contabilidade. Porto Alegre: Bookman, 2000.

TRIOLA, Mário F. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: LTC, 1999.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

KUME, Hitoshi, Métodos Estatísticos para a Melhoria da Qualidade. São

Paulo:Gente,1993.

RAMOS A.W., CEP para Processos Contínuos e em Bateladas. São

Paulo:E.Blucher, 2000.

BUSSAB, Wilton O e MORETTIN, Pedro A. Estatística básica. São Paulo:

Saraiva,2002.

DOWNING Douglas e CLARK Jeffrey. Estatística aplicada. São Paulo: Saraiva, 2000.

MILONE, Giuseppe e ANGELINI, Flávio. Estatística aplicada. São Paulo: Atlas, 1995.

KAZMIER, L.B. Estatística aplicada à Economia e à Administração. São Paulo:

McGraw-Hill, 1982.

SPIEGEL, Murray R. Estatística. São Paulo: Makron Books, 1993. (519.5 S734e)