apostila estatistica

APOSTILA DE CURSO DE ESTATSTICA BSICA

Apostila de Estatstica Bsica

ESTATSTICA BSICA1.1. INTRODUO

A Estatstica pode ser encarada como uma cincia ou como um mtodo de estudo.

Duas concepo para a palavra ESTATSTICA:

a) no plural (estatstica), indica qualquer coleo consistente de dados numricos, reunidos com a finalidade de fornecer informaes acerca de uma atividade qualquer. Pr exemplo, as estatstica demogrficas referem-se as dados numricos sobre nascimentos, falecimentos, matrimnios, desquites, etc.

b) no singular, indica um corpo de tcnicas, ou ainda uma metodologia tcnica desenvolvida para a coleta, a classificao, a apresentao, a anlise e a interpretao de dados quantitativos e a utilizao desses dados para a tomada de decises.

Qualquer cincia experimental no pode prescindir das tcnicas proporcionadas pela Estatstica, como pr exemplo, a Fsica, a Biologia, a Administrao, a Economia, etc. Todos esses ramos de atividade profissional tem necessidade de um instrumental que se preocupa com o tratamento quantitativo dos fenmenos de massa ou coletivos, cuja mensurao e anlise requerem um conjunto de observaes de fenmeno ou particulares.

1.2. ESTATSTICA

CONCEITO: a cincia que se preocupa com a coleta, a organizao, descrio (apresentao), anlise e interpretao de dados experimentais e tem como objetivo fundamental o estudo de uma populao.

Este estudo pode ser feito de duas maneiras:

Investigando todos os elementos da populao ou

Por amostragem, ou seja, selecionando alguns elementos da populao

DIVISO DA ESTATSTICA

- Estatstica Descritiva: aquela que se preocupa com a coleta, organizao, classificao,apresentao, interpretao e analise de dados referentes ao fenmeno atravs de grficos e tabelas alm de calcular medidas que permita descrever o fenmeno.

- Estatstica Indutiva (Amostral ou Inferncial): a aquela que partindo de uma amostra, estabelece hipteses, tira concluses sobre a populao de origem e que formula previses fundamentando-se na teoria das probabilidades. A estatstica indutiva cuida da anlise e interpretao dos dados.

O processo de generalizao do mtodo indutivo est associado a uma margem de incerteza. Isto se deve ao fato de que a concluso que se pretende obter para o conjunto de todos os indivduos analisados quanto a determinadas caractersticas comuns baseia-se em uma parcela do total de observaes.

1.3. POPULAO

CONCEITO: o conjunto, finito ou infinito, de indivduos ou objetos que apresentam em comum determinadas caractersticas definidas, cujo comportamento interessa analisar.

A populao estudada em termos de observaes de caractersticas nos indivduos (animados ou inanimados) que sejam relevantes para o estudo, e no em termos de pessoas ou objetos em si. O objetivo tirar concluses sobre o fenmeno em estudo, a partir dos dados observados.

Como em qualquer estudo estatstico temos em mente estudar uma ou mais caractersticas dos elementos de uma populao, importante definir bem essas caractersticas de interesse para que seja delimitado os elementos que pertencem populao e quais os que no pertencem.

Exemplos:

1. Estudar os filhos tidos, tipo de moradia, condies de trabalho, tipo de sanitrio. Nmeros de quartos para dormir, estado civil, uso da terra, tempo de trabalho, local de nascimento, tipo de cultivo, etc., dos agricultores do Estado do Par.

Populao: Todos os agricultores (proprietrios de terra ou no) plantadores das culturas existentes no Estado do Par.

2. Estudar a precipitao pluviomtrica anual (em mm) na cidade de Belm.

Populao: Conjunto das informaes coletadas pela Estao Pluviomtrica, durante o ano.

4. As alturas dos cidados do Par constituem uma populao ou a populao dos pesos desses cidados.

Diviso da populao- Populao Finita: apresenta um nmero limitado de elementos. possvel enumerar todos os elementos componentes.

Exemplos:

1. Idade dos universitrios do Estado do Par.

Populao: Todos os universitrios do Estado do Par.

- Populao Infinita: apresenta um nmero ilimitado de elementos. No possvel enumerar todos os elementos componentes.

Entretanto, tal definio existe apenas no campo terico, uma vez que, na prtica, nunca encontraremos populaes com infinitos elementos, mas sim, populaes com grande nmero de componentes; e nessas circunstncias, tais populaes so tratadas como se fossem infinitas.

Exemplos:

1. Tipos de bactrias no corpo humano

Populao: Todas as bactrias existentes no corpo humano.

2. Comportamento das formigas de certa rea

Populao: Todas as formigas da rea em estudo.

1.4. AMOSTRAGEM

a coleta das informaes de parte da populao, chamada amostra (representada por pela letra n), mediante mtodos adequados de seleo destas unidades.

1.5. AMOSTRA

uma parte (um subconjunto finito) representativa de uma populao selecionada segundo mtodos adequados.

O objetivo fazer inferncias, tirar concluses sobre populaes com base nos resultados da amostra, para isso necessrio garantir que amostra seja representativa, ou seja, a amostra deve conter as mesmas caractersticas bsicas da populao, no que diz respeito ao fenmeno que desejamos pesquisar.

O termo induo um processo de raciocnio em que, partindo-se do conhecimento de uma parte, procura-se tirar concluses sobre a realidade no todo.

Ao induzir estamos sujeitos a erros. Entretanto, a Estatstica Indutiva, que obtm resultados sobre populaes a partir das amostras, diz qual a preciso dos resultados e com que probabilidade se pode confiar nas concluses obtidas.

1.6. CENSO

o exame completo de toda populao.

Quanto maior a amostra mais precisas e confiveis devero ser as indues feitas sobre a populao. Logo, os resultados mais perfeitos so obtidos pelo Censo. Na prtica, esta concluso muitas vezes no acontece, pois, o emprego de amostras, com certo rigor tcnico, pode levar a resultados mais confiveis ou at mesmo melhores do que os que seriam obtidos atravs de um Censo.

As razes de se recorrer a amostras so: menor custo e tempo para levantar dados; melhor investigao dos elementos observados.

1.7. PARMETRO: valor (usualmente desconhecido) que caracteriza uma populao (por exemplo, a mdia populacional e o desvio-padro populacional so parmetros).

PopulaoDvidas

x x x x x x x xParmetros:AmostraQuantas unidades?

x x x x x x x xMdia aritmtica x x x x xQuais as unidades?

x x x x x x x x

x x x x x x x xMediana

Moda x x x x x

x x x x xEstimadores ou Estatsticas:

x x x x x x x xVarincia absolutaMdia aritmtica

x x x x x x x xDesvio PadroMediana

Varincia relativaModa

Coeficiente de Variao

ProporoVarincia absoluta

Desvio Padro

TotalVarincia relativa

Coeficiente de Variao

Proporo

Total

1.8. FENMENOS ESTATSTICOS

Refere-se a qualquer evento que se pretende analisar cujo estudo seja possvel de aplicao de tcnicas da estatstica.

A Estatstica dedica-se ao estudo dos fenmenos de massa, que so resultantes do concurso de um grande nmero de causas, total ou parcialmente desconhecidas.

TIPOS DE FENMENOS:

Fenmenos Coletivos ou de Massa

No podem ser definidos pr uma simples observao.

Exemplos: a natalidade, a mortalidade, a nupcialidade, a idade mdia dos agricultores do Estado do Par, o sexo dos agricultores.

Fenmenos Individuais

Compem os fenmenos coletivos.

Exemplos: cada nascimento, cada pessoa que morre, cada agricultor investigado.

1.9. CARACTERSTICAS

preciso definir qual(is) a(s) caracterstica(s) de interesse que ser(o) analisada(s).

A caracterstica de interesse pode ser de natureza qualitativa ou quantitativa.

. ATRIBUTOS: so todas as caractersticas de uma populao que no podem ser medidas.

Os indivduos ou objetos so colocados em categorias ou tipos e conta-se a freqncia com que ocorrem.

Exemplos: Sexo (masculino e feminino); estado civil (solteiro, casado, vivo, etc.); tipo de moradia (madeira, tijolo), situao do aluno (aprovado, reprovado), religio.

CLASSIFICAO DOS ATRIBUTOS

1. Dicotomia: quando a classe em que o atributo considerado admite apenas duas categorias.

Exemplos: Sexo (masc. e fem.); Existncia ou ausncia de certo produto agrcola (existncia, ausncia), resposta a uma pergunta: (concorda, no concorda), (sim, no).

2. Classificao policotmica ou policotomia: quando a classe em que o atributo considerado admite mais de duas categorias.

Exemplos: Estado civil (solteiro, casado, vivo), classe social (alta, mdia ou baixa).

. VARIVEL: o conjunto de resultados possveis de um fenmeno (ou observao, ou caracterstica).

Para os fenmenos:

- sexo - dois resultados possveis: masculino e feminino; (no pode ser medida: um atributo)

- nmero de filhos tidos de um grupo de casais - resultados possveis: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., n;

- peso de pessoas adultas - resultados possveis: 60 kg, 59,3 kg, 75,3 kg, 65,3 kg, ...; pode tomar um infinito nmero de valores num certo intervalo.

TIPOS DE VARIVEIS

1. Varivel Qualitativa: quando seus valores so expressos pr atributos ou qualidade.

Exemplos:

. Populao: Estudantes universitrios do Estado do Par.

Variveis: sexo, profisso, escolaridade, religio, meio onde vivem (rural, urbano).

. Populao: Populao dos bairros perifricos do municpio de Belm

Variveis: tipo de casa, existncia de gua encanada (sim, no), bairro de origem.

Variveis qualitativas que no so ordenveis recebem o nome de nominais.Exemplo: religio, sexo, raa, cor.

Raa do Paraense - 2001

RaaFrequncia

Branca

Negra

Parda

Outra

Total

Fonte: Fictcia

Variveis qualitativas que so ordenveis recebem o nome de ordinais.Exemplo: nvel de instruo, classe social.

Classe social do Paraense - 2001

Classe socialFrequncia

Classe A

Classe B

Classe C

Classe D

Total

Fonte: Fictcia

2. Varivel Quantitativa: quando seus valores so expressos pr nmeros. Esses nmeros podem ser obtidos pr um processo de contagem ou medio.

Exemplos:

. Populao: Todos os agricultores do Estado do Par.

Variveis: nmero de filhos tidos, extenso da rea plantada, altura, idade.

. Populao: Populao dos bairros perifricos do municpio de Belm

Variveis: nmero de quartos, rea da casa em m2, nmero de moradores da casa.

A VARIVEL QUANTITATIVA DIVIDI-SE EM:

a. Varivel Discreta: so aquelas que podem assumir apenas valores inteiros em pontos da reta real. possvel enumerar todos os possveis valores da varivel.

Exemplos:

. Populao: Universitrios do Estado do Par.

Variveis: nmero de filhos, nmero de quartos da casa, nmero de moradores, nmero de irmos.

b. Varivel Contnua: so aquelas que podem assumir qualquer valor num certo intervalo (contnuo) da reta real. No possvel enumerar todos os possveis valores. Essa variveis, geralmente, provm de medies.

. Populao: Todos os agricultores do Estado do Par.

Variveis: idade, renda familiar; extenso da rea plantada (em m2 ) , peso e altura das crianas agricultoras.

1.10. EXPERIMENTO ALEATRIO

So aqueles que, repetidos em idnticas condies, produzem resultados diferentes. Embora no se saiba qual o resultado que ir ocorrer num experimento, em geral, consegue-se descrever o conjunto de todos os resultados possveis que podem ocorrer. As variaes de resultados, de experimento para experimento, so devidas a uma multiplicidade de causas que no podemos controlar, as quais denominamos acaso.

Exemplos de Experimentos Aleatrios

a) Lanar uma moeda e observar a face de cima.

b) Lanar um dado e observar o nmero da face de cima.

c) Lanar duas moedas e observar as seqncias de caras e coroas obtidas.

d) Lanar duas moedas e observar o nmero de caras obtidas

e) De um lote de 80 peas boas e 20 defeituosas, selecionar 10 peas e observar o nmero de peas defeituosas.

f) De um baralho de 52 cartas, selecionar uma carta, e observar seu naipe.

g) Numa cidade onde10% dos habitantes possuem determinada molstia, selecionar 20 pessoas e observar o nmero de portadores da molstia.

h) Observar o tempo que um aluno gasta para ir de nibus, de sua casa at a escola.

i) Injetar uma dose de insulina em uma pessoa e observar a qunatidade de acar que diminuiu.

j) Sujeitar uma barra metlica a trao e observar sua resistncia.

FASES DO TRABALHO ESTATSTICO ________________________________2

2.1. DEFINIO DO PROBLEMA

A primeira fase do trabalho estatstico consiste em uma definio ou formulao correta do problema a ser estudado e a seguir escolher a natureza dos dados. Alm de considerar detidamente o problema objeto de estudo o analista dever examinar outros levantamentos realizados no mesmo campo e anlogos, uma vez que parte da informao de que necessita pode, muitas vezes, ser encontrada nesses ltimos. Saber exatamente aquilo que pretende pesquisar o mesmo que definir de maneira correta o problema.

Por exemplo:

- os preos dos produtos agrculas produzidos no Estado do Par so menores do que queles originados de outros Estados?

qual a natureza e o grau de relao que existe entre a distribuio da pluviosidade e a colheita do produto x?

estudar uma populao por sexo: dividi-se os dois grupos em masculino e feminino;

estudar a idade dos universitrios, por grupos de idade: distribui-se o total de casos conhecidos pelos diversos grupos etrios pr-estabelecidos;

2.2. DEFINIO DOS OBJETIVOS (GERAL E ESPECFICO)

definir com exatido o que ser pesquisado.

recomendvel ter em vista um objetivo para o estudo, em lugar de coletar o material e defin-lo no decorrer do trabalho ou s no fim deste.

OBJETIVOS MAIS COMUNS EM UMA PESQUISA:

. Dados pessoais: grau de instruo, religio, nacionalidade, dados profissionais, familiares, econmicos, etc.

. Dados sobre comportamento: como se comportam segundo certas circunstncias. Ex: possvel remanejamento da rea habitada.

. Opinies, expectativas, nveis de informao, angstias, esperanas, aspiraes sobre certos assuntos.

. Dados sobre as condies habitacionais e de saneamento que avalie as condies em que vivem e a qualidade de vida de certo grupo.

2.3. PLANEJAMENTO

O problema est definido. Como resolv-lo? Se atravs de amostra, esta deve ser significativa para que represente a populao.

O planejamento consiste em se determinar o procedimento necessrio para resolver o problema e, em especial, como levantar informaes sobre o assunto objeto de estudo. Que dados devero ser coletados? Como se deve obt-los? preciso planejar o trabalho a ser realizado tendo em vista o objetivo que se pretende atingir.

nesta fase que ser escolhido o tipo de levantamento a ser utilizado, que podem ser:

a) levantamento censitrio, quando a contagem for completa, abrangendo todo o universo;

b) levantamento pr amostragem, quando a contagem for parcial.

Outros elementos importantes que devem ser tratados nessa fase so o cronograma das atividades, atravs do qual so fixados os prazos para as vrias fases, os custos envolvidos, o exame das informaes disponveis, o delineamento da amostra, a forma como sero coletados os dados, os setores ou reas de investigao, o grau de preciso exigido e outros.

2.4. COLETA DOS DADOS

Refere-se a obteno, reunio e registro sistemtico de dados, com o objetivo determinado.

A escolha da fonte de obteno dos dados est diretamente relacionada ao tipo do problema, objetivos do trabalho, escala de atuao e disponibilidade de tempo e recursos.

a) Fontes primrias: o levantamento direto no campo atravs de mensuraes diretas ou de entrevistas ou questionrios aplicados a sujeitos de interesse para a pesquisa.

Vantagens: grau de detalhamento com respeito ao interesse dos quesitos levantados; maior preciso das informaes obtidas.

b) Fontes secundrias: quando so publicados ou registrados pr outra organizao.

A coleta de dados secundrios se realiza atravs de documentos cartogrficos (mapas, cartas, imagens e fotografias obtidas por sesoriamento remoto ou por fotogrametria e imagens de radar). Estas fontes de informao so de extrema importncia.

Das fotografias areas em escalas reduzidas ou mais detalhadas, das imagens de radas ou satlite e de cartas obtm-se informaes quanto ao uso do solo, drenagem, estruturas virias e urbanas, povoamento rural, recursos florsticos, minerais e pedolgicos, estrutura fundiria e de servios, dados altimtricos, etc.

Vantagens: inclui um processo de reduo e agregao de informaes.

A coleta dos dados pode ser feita de forma direta ou indireta.

COLETA DIRETA

A coleta dita direta, quando so obtidos diretamente da fonte primria, como os levantamentos de campo atravs de questionrios.

H trs tipos de coleta direta:

a) a coleta contnua quando os dados so obtidos ininterruptamente, automaticamente e na vigncia de um determinado perodo: um ano, por exemplo. o caso dos registros de casamentos, bitos e nascimentos, escrita comercial, as construes civis.

b) a coleta dos dados peridica quando feita em intervalos constantes de tempo, como o recenseamento demogrfico a cada dez anos e o censo industrial, anualmente.

c) a coleta dos dados ocasional quando os dados forem colhidos esporadicamente, atendendo a uma conjuntura qualquer ou a uma emergncia, como por exemplo, um surto epidmico.

COLETA INDIRETA

A coleta dita indireta quando inferida a partir dos elementos conseguidos pela coleta direta, ou atravs do conhecimento de outros fenmenos que, de algum modo, estejam relacionados com o fenmeno em questo.

Um instrumento por meio do qual se faz a coleta das unidades estatsticas o questionrio. Deve ficar bem claro no questionrio, que ele organizado de acordo com dispositivos legais, que h sanses e que o sigilo sobre as informaes individuais ser absoluto.

aconselhvel que um pequeno percentual dos exemplares do questionrio seja tirado e aplicado a uma parcela de informantes, afim de testar a aceitao do mesmo, constituindo tal iniciativa, a pesquisa piloto. A boa aceitao dos questionrios determinar a tiragem completa dos exemplares ou a sua alterao.

2.5. CRTICA DOS DADOS

A crtica dos dados deve ser feita com cuidado atravs de um trabalho de reviso e correo, ao qual chamamos de crtica (consistncia), a fim de no de incorrer em erros que possam afetar de maneira sensvel os resultados.

As perguntas dos questionrios uniformemente mal compreendidas, os enganos evidentes, tais como somas erradas, omisses, trocas de respostas e etc, so fceis de corrigir. necessrio, entretanto, que o crtico no faa a correo pr simples suposio sua, mas sim que tenha chegado a concluso absoluta do engano.

Quelet dividiu a crtica em: externa e interna.

A crtica externa refere-se as imperfeies porventura existentes na coleta dos dados, pr deficincia do observador, pr imperfeio do instrumento de trabalho, pr erro de registro nas fichas, impreciso nas respostas aos quesitos propostos e outros fatores de erro que justificam um verificao minuciosa dos dados coletados antes de iniciar a elaborao do trabalho de anlise.

A crtica interna diz respeito a verificao da exatido das informaes obtidas. mister examinar as respostas dadas, sanando imperfeies e omisses, de forma que os dados respondam com preciso aos quesitos formulados.

As informaes relativas a profisso no devem ser vagas como, pr exemplo: operrio, mas sim, oleiro, pedreiro, carpinteiro, etc., conforme o caso.

O estado civil ser declarado: solteiro, casado, vivo ou desquitado.

Em resumo, os dados devem sofrer uma crtica criteriosa com o objetivo de afastar os erros to comuns nessa natureza de trabalho. As informaes inexatas ou omissas devem ser corrigidas. Os questionrios devem voltar a fonte de origem sempre que se fizerem necessrio sua correo ou complementao.

2.6. APURAO (ARMAZENAMENTO) DOS DADOS

um processo de apurao ou sumarizap que consiste em resumir os dados atravs de sua contagem ou agrupamento. um trabalho de condensao e de tabulao dos dados, que chegam ao analista de forma desorganizada.

Atravs da apurao, tm-se a oportunidade de condensar os dados, de modo a obter um conjunto compacto de nmeros, o qual possibilita distinguir melhor o comportamento do fenmeno na sua totalidade. Os dados de fenmenos geogrficos podem ser organizados em mapas, tabelas, matrizes, disquetes ou fitas.

2.7. EXPOSIO OU APRESENTAO DOS DADOS

H duas formas de apresentao que no se excluem mutuamente:

Apresentao Tabular

uma apresentao numrica dos dados. Consiste em dispor os dados em linhas e colunas distribudos de modo ordenado, segundo algumas regras prticas adotadas pelo Conselho Nacional de Estatstica. As tabelas tm a vantagem de conseguir expor, sistematicamente em um s local, os resultados sobre determinado assunto, de modo a se obter um viso global mais rpida daquilo que se pretende analisar.

Apresentao Grfica

Constitui uma apresentao geomtrica dos dados. Permite ao analista obter uma viso to rpida, fcil e clara do fenmeno e sua variao.

2.8. ANLISE E INTERPRETAO DOS DADOS

Nessa etapa, o interesse maior consiste em tirar concluses que auxiliem o pesquisador a resolver seu problema. A anlise dos dados estatsticos est ligada essencialmente ao clculo de medidas, cuja finalidade principal descrever o fenmeno. Assim, o conjunto de dados a ser analisado pode ser expresso pr nmero-resumo, as estatsticas, que evidenciam caractersticas particulares desse conjunto.

2.9. REGRAS DE ARREDONDAMENTO

De acordo com as Normas de Apresentao Tabular - 3 edio/1993 - da Fundao IBGE, o arredondamento feito da seguinte maneira:

1. Se o nmero que vai ser arredondado for seguido de 0, 1, 2, 3 ou 4 ele deve ficar inalterado.

Nmero a arredondarArredondamento paraNmero arredondado

6,197Inteiro

12,489Inteiro

20,733Dcimos

35,992Centsimos

2. Se o nmero que vai ser arredondado for seguido de 5, 6, 7, 8 ou 9 ele deve ser acrescido de uma unidade.

Nmero a arredondarArredondamento paraNmero arredondado

15,504Inteiro

21,671Inteiro

16,571Dcimos

17,578Centsimos

215,500Inteiros

216,500inteiros

216,750dcimos

216,705centsimos

OBS: No faa arredondamento sucessivos

Ex.: 17,3452 passa a 17,3 e no para 17,35 , para 17,4. Se houver necessidade de um novo arredondamento, voltar aos dados originais.

NORMAS PARA APRESENTAO TABULAR DOS DADOS_________3

3.1. INTRODUO

A apresentao tabular uma apresentao numrica dos dados. Consiste em dispor os dados em linhas e colunas distribudos de modo ordenado, segundo algumas regras prticas ditadas pelo Conselho /nacional de Estatstica e pelo IBGE. Tais regras acham-se publicadas e dispem sobre os elementos essenciais e complementares da tabela, a especificao dos dados e dos sinais convencionais, o procedimento correto a ser desenvolvido no preenchimento da tabela e outros dispositivos importantes.

As tabelas tem a vantagem de conseguir expor, sinteticamente e em um s local, os resultados sobre determinado assunto, de modo a se obter uma viso global mais rpida daquilo que se pretende analisar.

Reunindo, pois os valores em tabelas compactas, consegue-se apresent-los e descrever-lhes a variao mais eficientemente. Essa condensao de valores permite ainda a utilizao de representao grfica, que normalmente representa uma forma mais til elegante de apresentao da caracterstica analisada.

3.2. SRIES ESTATSTICAS

Um dos objetivos da Estatstica sintetizar os valores que uma ou mais variveis podem assumir, para que se tenha uma viso global dessa ou dessas variveis. Isto possvel apresentando esses valores em tabelas e grficos, que iro fornecer rpidas e seguras informaes a respeito das variveis em estudo, permitindo determinaes mais coerentes.

TABELA um quadro que resume um conjunto de observaes.

Como construir uma tabela que fornea informaes de forma precisa e correta:

1 passo: Comear pelo ttulo, que explica o contedo da tabela.

2 passo: Fazer o corpo da tabela, composto pelos nmeros e informaes que ela contm. formado por linhas e colunas.

Para compor o corpo da tabela, necessrio:

I) O cabealho, que indica o que a coluna contm. Deve estar entre traos horizontais, para melhor vizualizao.

II) A coluna indicadora, que diz o que a linha contm

3 passo: Escrever o total (as tabelas podem apresentar um total ou no). Aparece entre traos horizontais.

4 passo: Coloque a fonte. Deve entrar no rodap, sendo obrigatria.

Uma tabela compem-se de:

Tabela 3.1

Produo de Caf

Brasil - 1978-1983

AnosQuantidade

(1000 ton)

1978 (1)2535

19792666

19802122

19813760

19822007

19832500

Fonte: Fictcia

Nota: Produo destinada para o consumo interno.

(1) Parte exportada para a Argentina.

Rodap: fonte, chamadas e notas

Notas: usada para conceituao ou esclarecimento em geral.

Chamadas: usada para esclarecer certas mincias em relao a casas, linhas e colunas.

De acordo com a Resoluo 886 da Fundao IBGE, nas casas ou clulas, devemos colocar:

- um trao horizontal (___) quando o valor zero, no s quanto a natureza das coisas, como quanto ao resultado do inqurito;

- trs pontos (...) quando no temos os dados;

- um ponto de interrogao ( ? ) quando temos dvida quanto a exatido de determinado valor;

- zero ( 0 ) quando o valor muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada. Se os valores so expressos em numerais decimais, precisamos acrescentar a parte decimal um nmero correspondente de zeros (0,0; 0,00; 0,00; ...).

Denomina-se SRIE ESTATSTICA toda tabela que apresenta a distribuio de um conjunto de dados estatsticos em funo da POCA, do LOCAL, ou da ESPCIE (fenmeno).

Numa srie estatstica observa-se a existncia de trs elementos ou fatores: o TEMPO, o ESPAO e a ESPCIE.

Conforme varie um desses elementos, a srie estatstica classifica-se em TEMPORAL, GEOGRFICA e ESPECFICA.

3.3. SRIE TEMPORAL, HISTRICA OU CRONOLGICA

a srie cujos dados esto em correspondncia com o tempo, ou seja, variam com o tempo.

Tabela 3.2

Produo Brasileira de Trigo

1988-1993

AnosQuantidade

(1000 ton)

1988 (1)2345

19892451

19902501

19912204

19922306

19932560

Fonte: IBGE

Nota: Produo voltada para o consumo interno.

(1) Parte da produo exportada.

. Elemento varivel: tempo (fator cronolgico)

. Elemento fixo: local (fator geogrfico) e o fenmeno (espcie)

3.4. SRIE GEOGRFICA, TERRITORIAL OU DE LOCALIDADE

a srie cujos dados esto em correspondncia com a regio geogrfica, ou seja, o elemento varivel o fator geogrfico (a regio).

Tabela 3.3

Produo Brasileira de Trigo, por Unidade da Federao - 1994

Unidades da FederaoQuantidade

(1000 ton)

So Paulo670

Santa Catarina451

Paran550

Gois420

Rio de Janeiro306

Rio Grande do Sul560

Fonte: Fictcia

. Elemento varivel: localidade (fator geogrfico)

. Elemento fixo: tempo e o fenmeno

3.5. SRIE ESPECFICA OU CATEGRICA

a srie cujos dados esto em correspondncia com a espcie, ou seja, variam com o fenmeno.

Tabela 3.4

Rebanhos Brasileiros

EspcieQuantidade

(1000 cabeas)

Bovinos140 000

Sunos1 181

Bubalinos5 491

Coelhos11 200

Fonte: IBGE

. Elemento varivel: fenmeno (espcie)

. Elemento fixo: local e o tempo

3.6. SRIES MISTAS

As combinaes entre as sries anteriores constituem novas sries que so denominadas sries compostas ou mistas e so apresentadas em tabelas de dupla entrada.

Tabela 3.5

Exportao Brasileira de alguns produtos agrcolas - 1990 - 1992

ProdutoQuantidade

(1000 ton)

199019911992

Feijo560062007300

Arroz8600960010210

Soja400050006000

Fonte: Ministrio da Agricultura

Nota: Produtos mais exportados no perodo.

Este exemplo se constitui numa Srie Temporal-Especfica

. Elemento varivel: tempo e a espcie

. Elemento fixo: local

Obs: uma tabela nem sempre representa uma srie estatstica, pode ser um aglomerado de informaes teis sobre certo assunto.

Tabela 3.6

Situao dos espetculos cinematogrficos no Brasil - 1967

EspecificaoQuantidade

Nmero de cinemas2.488

Lotao dos cinemas1.722.348

Sesses pr dia3.933

Filme de longa metragem131.330.488

Meia entrada89.581.234

Fonte: Anurio Estatstico do Brasil - IBGE

OBSERVAO:

SRIE HOMGRADA

A Srie homgrada aquela em que a varivel descrita apresenta variao discreta ou descontnua. So sries homgradas a srie temporal, a geogrfica e a especfica.

SRIE HETERGRADA

A srie hetergrada aquela na qual o fenmeno ou fato apresenta gradaes ou subdivises. Embora fixo, o fenmeno varia em intensidade. A distribuio de freqncias ou seriao uma srie hetergrada.

REPRESENTAO GRFICA________________________4

1. INTRODUO

A Estatstica Descritiva pode descrever os dados atravs de grficos.

A apresentao grfica um complemento importante da apresentao tabular. A vantagem de um grfico sobre a tabela est em possibilitar uma rpida impresso visual da distribuio dos valores ou das freqncias observadas. Os grficos propiciam uma idia inicial mais satisfatria da concentrao e disperso dos valores, uma vez que atravs deles os dados estatsticos se apresentam em termos de grandezas visualmente interpretveis.

2. REQUISITOS FUNDAMENTAIS EM UM GRFICO:

a. Simplicidade: possibilitar a anlise rpida do fenmeno observado. Deve conter apenas o essencial.

b. Clareza: possibilitar a leitura e interpretaes correta dos valores do fenmeno.

c. Veracidade: deve expressar a verdade sobre o fenmeno observado.

3. TIPOS DE GRFICOS QUANTO A FORMA:

a. Diagramas: grficos geomtricos dispostos em duas dimenses. So mais usados na representao de sries estatsticas.

b. Cartogramas: a representao sobre uma carta geogrfica, sendo muito usado na Geografia, Histria e Demografia.

c. Estereogramas: representam volumes e so apresentados em trs dimenses.

d. Pictogramas: a representao grfica consta de figuras representativas do fenmeno. Desperta logo a ateno do pblico.

4. CLASSIFICAO DOS GRFICOS QUANTO AO OBJETIVO

a. Grficos de informao

O objetivo proporcionar uma visualizao rpida e clara da intensidade das categorias ou dos valores relativos ao fenmeno. So grficos tipicamente expositivos, devendo ser o mais completo possvel, dispensando comentrios explicativos.

CARACTERSTICAS:

- deve conter ttulo em letra de forma;

- as legendas podem ser omitidas, desde que as informaes presentes possibilite a interpretao do grfico.

b. Grficos de anlise

Estes grficos fornecem informaes importantes na fase de anlise dos dados, sendo tambm informativos.

Os grficos de anlise, geralmente, vm acompanhado de uma tabela e um texto onde se destaca os pontos principais revelados pelo grfico ou pela tabela.

5. PRINCIPAIS TIPOS DE GRFICOS

5.1. GRFICOS EM CURVAS OU EM LINHAS

So usados para representar sries temporais, principalmente quando a srie cobrir um grande nmero de perodos de tempo.

Considere a srie temporal:

Tabela 4.1

Produo de Arroz do Municpio X - 1984-1994

AnosQuantidade

(1000 ton)

1984816

1985904

19861.203

19871.147

19881.239

19891.565

19901.620

19911.833

19921.910

19931.890

19941.903

Fonte: Fictcia

7. GRFICOS EM COLUNAS

a representao de uma srie estatstica atravs de retngulos, dispostos em colunas (na vertical) ou em retngulos (na horizontal). Este tipo de grfico representa praticamente qualquer srie estatstica.

As regras para a construo so as mesmas do grfico em curvas.

As bases das colunas so iguais e as alturas so proporcionais aos respectivos dados.

Exemplo: Tabela 4.2

Produo de Soja do Municpio X - 1991-1995

AnosQuantidade

(ton.)

1991117.579

1992148.550

1993175.384

1994220.272

1995265.626

Fonte: Secretaria Municipal de Agricultura

Para cada ano construdo uma coluna, variando a altura (proporcional a cada quantidade). As colunas so separadas uma das outras.

Observao: O espao entre as colunas pode variar de 1/3 a 2/3 do tamanho da base da coluna.

Uso do grfico em colunas para representar outras sries estatsticas

Tabela 4.3

reas (Km2) das Regies Fisiogrficas - Brasil - 1966

Regies Fisiogrficasrea

(Km2)

Norte3.581.180

Nordeste965.652

Sudeste1.260.057

Sul825.621

Centro-oeste1.879.965

Brasil8.511.965

Fonte: IBGE.

Obs: Na tabela as regies so apresentadas em ordem geogrficas. No grfico as colunas so ordenadas pela altura, da maior para a menor, da esquerda para a direita.

8. GRFICOS EM BARRAS

As alturas dos retngulos so iguais e arbitrrias e os comprimentos so proporcionais aos respectivos dados.

As barras devem ser separadas uma das outras pelo mesmo espao de forma que as inscries identifiquem as diferentes barras. O espao entre as barras pode ser a metade () ou dois teros(2/3) de suas larguras.

As barras devem ser colocadas em ordem de grandeza de forma decrescente para facilitar a comparao dos valores. A categoria outros (quando existir) so representadas na barra inferior, mesmo que o seu comprimento exceda o de alguma outra.

Outra representao grfica da Tabela 4.3:

Tabela 4.4

Matrcula efetiva no Ensino Superior, segundo os ramos de ensino -Brasil - 1995

Ramos de ensinoMatrculas

Filosofia, Cincias e Letras44.802

Direito36.363

Engenharia26.603

Administrao e Economia24.027

Medicina17.152

Odontologia6.794

Agricultura4.852

Servio Social3.121

Arquitetura e Urbanismo2.774

Farmcia2.619

Demais ramos11.002

Total180.109

Fonte: Fictcia

OBS: Quando a varivel em estudo for qualitativa e os nomes das categorias for extenso ou as sries forem geogrficas ou especficas prefervel o grfico em barras, devido a dificuldade em se escrever a legenda em baixo da coluna.

9. GRFICO EM COLUNAS MLTIPLAS (AGRUPADAS)

um tipo de grfico til para estabelecer comparaes entre as grandezas de cada categoria dos fenmenos estudados.

A modalidade de apresentao das colunas chamado de Grfico de Colunas Remontadas. Ele proporciona economia de espaos sendo mais indicado quando a srie apresenta um nmero significativo de categorias.

Exemplo: Tabela 4.5

Entrada de migrantes em trs Estados do Brasil - 1992-1994

Nmero de migrantes

AnosTotalEstados

AmapSo PauloParan

19924.5262.2911.626609

19934.6332.4561.585592

19944.4502.3531.389708

Fonte: Fictcia

10. GRFICO EM BARRAS MLTIPLAS (AGRUPADAS)

til quando a varivel for qualitativa ou os dizeres das categorias a serem escritos so extensos.

Exemplo:

Tabela 4.6

Importao Brasileira de vinho e champanhe proveniente de vrias origens - 1994

PasesImportao (1.000 dlares)

VinhoChampanhe

Portugal22015

Itlia17525

Frana23090

Argentina505

Chile7520

Espanha11016

Fonte: Fictcia

11. GRFICO EM SETORES

a representao grfica de uma srie estatstica em um crculo de raio qualquer, pr meio de setores com ngulos centrais proporcionais s ocorrncias.

utilizado quando se pretende comparar cada valor da srie com o total.

O total da srie corresponde a 360( (total de graus de um arco de circunferncia).

O grfico em setores representam valores absolutos ou porcentagens complementares.

As sries geogrficas, especficas e as categorias em nvel nominal so mais representadas em grficos de setores, desde que no apresentem muitas parcelas (no mximo sete).

Cada parcela componente do total ser expressa em graus, calculada atravs de uma regra de trs:

Total - 360(

Parte - x(

Exemplo:

Tabela 4.7

Produo Agrcola do Estado A - 1995

ProdutosQuantidade (t)

Caf400.000

Acar200.000

Milho100.000

Feijo20.000

Total720.000

Fonte: Fictcia

Outras maneiras de representar graficamente a Tabela 4.7:

DISTRIBUIO DE FREQNCIAS______________________________51. INTRODUO

As tabelas estatsticas, geralmente, condensam informaes de fenmenos que necessitam da coleta de grande quantidade de dados numricos. No caso das distribuies de freqncias que um tipo de srie estatstica, os dados referentes ao fenmeno objeto de estudo se repetem na maioria das vezes sugerindo a apresentao em tabela onde apaream valores distinto um dos outros.

2. DISTRIBUIO DE FREQNCIA PARA DADOS AGRUPADOS

a srie estatstica que condensa um conjunto de dados conforme as freqncias ou repeties de seus valores. Os dados encontram-se dispostos em classes ou categorias junto com as freqncias correspondentes. Os elementos poca, local e fenmeno so fixos. O fenmeno apresenta-se atravs de gradaes, ou seja, os dados esto agrupados de acordo com a intensidade ou variao quantitativa gradual do fenmeno.

3. REPRESENTAO DOS DADOS (AMOSTRAIS OU POPULACIONAIS)

a. Dados brutos: so aqueles que no foram numericamente organizados, ou seja, esto na forma com que foram coletados.

Tabela 5.1 - Nmero de filhos de um grupo de 50 casais

2302111325

6114015602

1413176201

3135713110

3041221232

b. Rol: a organizao dos dados brutos em ordem de grandeza crescente ou decrescente.


0000001111

1111111111

1122222222

2333333334

4455566677

c. Distribuio de freqncias: a disposio dos valores com as respectivas freqncias. O nmero de observaes ou repeties de um valor ou de uma modalidade, em um levantamento qualquer, chamado freqncia desse valor ou dessa modalidade. Uma tabela de freqncias uma tabela onde se procura fazer corresponder os valores observados da varivel em estudo e as respectivas freqncias.

c.1. Distribuio de freqncias para varivel discreta

Os dados no so agrupados em classes.


Nmero de filhos ( x i )Contagem ou tabulaoNmero de casais

( f i )

Total (()


Nmero de filhos

( x i )Numero de casais

( f i )

Total (()

Obs: 1. X: representa a varivel Nmero de filhos.

2. xi: representa os valores que a varivel assume.

3. fi: o nmero de vezes que cada valor aparece no conjunto de dados (freqncia simples absoluta).

4. ( fi = 50

5. n: tamanho da amostra (ou n de elementos observados).

6. N: tamanho da populao (ou n de elementos observados).

c.2. Distribuio de freqncias para varivel contnua

Os dados da varivel so agrupados em classe (grupo de valores).1. Dados brutos

Tabela 5.5 - Taxas municipais de urbanizao (em percentual) no Estado de Alagoas - 1970

8244613385444201714

181530242082418910

3879156223136218822

111793523223736813

106921615233736813

441793026183743149

28414235354271505217

1972823292958777234

124025732342274415

9163130

2. Rol

Tabela 5.6 - Rol das taxas municipais de urbanizao, no Estado de Alagoas (em %) - 1970.

6677788889

9999101011121313

13131414141515151516

16171717171818181819

20202222222323232324

24242526282829293030

30313234343435353536

37373838404142424344

44444650525458626271

72777992

3. Distribuio de freqncias para dados agrupados em classes

Tabela 5.7 - Taxas municipais de urbanizao, no Estado de Alagoas (em %) - 1970.

Taxas (em %)

Nmero de

municpios( f i )

6 --- 16 29

16 --- 26 24

26 --- 36 16

36 --- 46 13

46 --- 56 4

56 --- 66 3

66 --- 76 2

76 --- 86 2

86 --- 96 1

Total (() 94

Obs: 1. ( f i : freqncia simples absoluta.

2. ( f i = n = 94.

Obs 2: quando a varivel objeto de estudo for contnua, recomenda-se agrupar os valores observados em classes. Se a varivel for discreta e o nmero de valores observados for muito grande recomenda-se agrupar os dados em classes, evitando-se, com isso, grande extenso da tabela e a no interpretao dos valores de fenmeno.

4. ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIO DE FREQNCIAa. Amplitude total (AT): a diferena entre o maior e o menor valor observado.

No exemplo, tabela 17 - AT = 92 - 6 = 86

b. Freqncia simples absoluta (fi ): o nmero de vezes que o elemento aparece na amostra, ou o nmero de elementos pertencentes a uma classe ( grupo de valores).

Ex: f 13 = 4 , f 1 classe = 29

c. Classe: cada um dos grupos de valores do conjunto de valores observados, ou seja, so os intervalos de variao da varivel.

Identifica-se uma classe plos seus extremos ou pela ordem em que se encontra na tabela.

6 --- 16 (1 classe) ; 86 --- 96 (7 classe)

DETERMINAO DO NMERO DE CLASSES (K)

importante que a distribuio conte com um nmero adequado de classes. Se o nmero de classes for excessivamente pequeno acarretar perda de detalhe e pouca informao se poder extrair da tabela. Pr outro lado, se forem utilizadas um nmero excessivo de classes, haver alguma classe com freqncia nula ou muito pequena, no atingindo o objetivo de classificao que tornar o conjunto de dados supervisionveis.

No h uma frmula exata para determinar o nmero de classes. Trs solues so apresentadas abaixo:

1. Para n ( 25 ( K = 5, 2. Para n ( 25 ( K ( ( 94

Obs: o arredondamento arbitrrio.

2. Frmula de Sturges: K ( 1 + 3,3 . log n

No Exemplo: n = 94, log 94 = 1,97313 ( K ( 1 + 3,3 . log 94 ( K ( 1 + 3,3 . 1,97313

( K ( 7,51 ( K ( 8

A frmula de Sturges revela um inconveniente: propem um nmero demasiado de classes para um nmero pequeno de observaes e relativamente poucas classes, quando o total de observaes for muito grande.

d. Intervalo de classe ou amplitude do intervalo de classe ( i ): o comprimento da classe.

i ( A T

K

Obs: convm arredondar o nmero correspondente amplitude do intervalo de classe para facilitar os clculos (arredondamento arbitrrio).

Obs 2: Intervalo de classe: i = l s - l i

e. Limites de classes (limite inferior e limite superior): so os valores extremos de cada classes.

Seja a classe 6 ( 16 - limite inferior ( l i ) = 6 e limite superior ( l s ) = 16.

Os valores 6 e 96, que representam, respectivamente, o limite inferior da 1 e o superior da ltima classe, so denominados tambm limite inferior e limite superior da distribuio de freqncia.

recomendvel que os limites de classes sejam representados pr nmeros inteiros. Deve-se ter o cuidado para evitar interpretaes ambguas.

Pr exemplo: 30 _____ 40

40 _____ 50

50 _____ 60

O correto : : 30 _____ 39

40 _____ 49

50 _____ 59

caso os valores estiveram arredondados para inteiro. Entretanto, se os valores originais estiverem com preciso at centavos:

30,00 _____ 39,99

40,00 _____ 49,99

50,00 _____ 59,99

Em virtude de ordem esttica, recomenda-se:

30 _____ 40

40 _____ 50

50 _____ 60

Limites reais

Dizemos que os limites indicados em cada linha de uma tabela de distribuio de freqncias so os limites reais quando o limite superior de cada classe coincide com o limite inferior da classe seguinte.

Veja o exemplo da Tabela 5.7, os limites so reais, cada limite superior de uma classe coincide com o limite inferior da classe seguinte.

Vale observar que o uso do smbolo ---- s possvel com os limites reais de classe.

Formas de expressar os limites das classes

1. 20 _____ 23: compreende todos os valores entre 20 e 23, inclusive os extremos.

2. 20 _____ 23: compreende todos os valores entre 20 e 23, excluindo o 23.

3. 20 _____ 23: compreende todos os valores entre 20 e 23, excluindo o 20.

4. 20 _____ 23: compreende todos os valores entre 20 e 23, excluindo os extremos.

f. Montagem da distribuio de freqncias para dados agrupados em classes


Taxas (em %)Nmero de municpios( f i )

Total (()

g. Ponto mdio das classes ( x i ): o valor representativo da classe para efeito de clculo de certas medidas. Para qualquer representao tabular, basta acrescentar ao seu limite inferior a metade da amplitude do intervalo de classe.

x i = i / 2 + l iExemplo: 6 ( 16, i = 10 ( metade de i = 10/2 = 5 ( x i = 5 + 6 = 11

Quando o limite superior de uma classe for igual ao inferior da seguinte, o intervalo de classe poder ser calculado atravs da mdia aritmtica dos limites do intervalo.

Exemplo: 6 ( 16 : x i = 6 + 16 = 11

2

Para obter os pontos mdios das classes seguintes, basta acrescentar ao ponto mdio da classe precedente a amplitude do intervalo de classe (se for constante).

5. TIPOS DE FREQNCIAS

a. Freqncia simples absoluta ( f i ): o nmero de repeties de um valor individual ou de uma classe de valores da varivel.

( f i = n

b. Freqncia simples relativa ( f r ): representa a proporo de observaes de um valor individual ou de uma classe em relao ao nmero total de observaes. Para calcular a freqncia relativa basta dividir a freqncia absoluta da classe ou do valor individual pelo nmero total de observaes. um valor importante para comparaes.

f r = f i / n = f i / ( f i

Para expressar o resultado em termos percentuais, multiplica-se o quociente obtido pr 100.

f r = ( f i / n ). 100

A freqncia relativa o resultado de uma regra de trs simples:

n ------- 100% Exemplo: 94 ------ 100%

f i ------- x% 29 ------ x% x = 30,9 %

Obs 1: a soma das freqncias simples relativa de uma tabela de freqncia sempre igual a 1,00 : ( f r = 1,00.

Obs 2: a soma das freqncias relativas percentuais de uma tabela de freqncia sempre igual a 100%: ( f r = 100%.

6. DISTRIBUIES CUMULATIVAS

6.1. Freqncia absoluta acumulada abaixo de ( Fi )

A freqncia absoluta acumulada abaixo de uma classe ou de um valor individual a soma das freqncias simples absoluta da classe ou de um valor com as freqncias simples absoluta das classes ou dos valores anteriores. A expresso abaixo de refere-se ao fato de que as freqncias a serem acumuladas correspondem aos valores menores ou anteriores ao valor ou classe cuja freqncia acumulada se quer obter, incluindo no clculo a freqncia do valor ou da classe. Quando se quer saber quantas observaes existem at uma determinada classe ou valor individual, recorre-se freqncia acumulada abaixo.

6.2. Freqncia relativa acumulada abaixo de ( F r )

A freqncia relativa acumulada da classe ou do valor individual i igual a soma da freqncia simples relativa da classe ou do valor individual com as freqncias simples relativas das classes ou dos valores anteriores. As freqncias relativas acumuladas podem ser obtidas de duas formas:

1. Acumulando as freqncias simples relativas de acordo com a definio de freqncias acumuladas.

2. Calculando as freqncias relativas diretamente a partir das freqncias absolutas de acordo com a definio de freqncias relativas:

F r = F i / n

6.3. Freqncia Acumulada Acima de

b.1. Freqncia absoluta acumulada acima de ( Fj )

A freqncia absoluta acumulada acima de uma classe ou de um valor individual representa o nmero de observaes existentes alm do valor ou da classe, incluindo no clculo as observaes correspondentes a esse valor ou a essa classe. Para obter a freqncia absoluta acumulada acima de, soma-se freqncia simples absoluta da classe ou do valor individual as freqncias simples absolutas das classes ou dos valores individuais posteriores.

b.2. Freqncia relativa acumulada acima de ( FR )

A freqncia relativa acumulada acima de uma classe ou do valor individual j igual soma da freqncia simples relativa da classe ou do valor individual com as freqncias simples relativas das classes ou dos valores posteriores. Pode-se obter as freqncias relativas acumuladas acima de a partir da:

1. definio de freqncias acumuladas;

2. definio de freqncias relativas.

Vamos trabalhar, agora, com as seguintes variveis:

1() Considere a varivel nmero de filhos do sexo masculino de 34 famlias com 4 filhos cada uma.

0

2

3

40

2

3

41

2

3

41

2

31

2

31

2

31

2

31

2

32

3

32

3

3

Distribuio de freqncia sem classes por se tratar de uma Varivel Discreta.

Tabela 1- Nmero de filhos do sexo masculino de 34 famlias com 4 filhos cada uma.

Nmero

meninos

( x i )Nmero de famlia

( f i )fr%FiFr%FjFR%Xi(

Xi2.fi

0

1

2

3

4

Total (()

2() Considere a estatura (em cm) de 40 alunos do Colgio B.

150

156

161

164151

156

161

165152

157

161

166153

158

161

167154

158

162

168155

160

162

168155

160

163

169155

160

163

170155

160

164

172156

160

164

173

Distribuio de freqncias com classes por se tratar de uma Varivel Continua.

Tabela 2- Estatura (em cm) de 40 alunos do Colgio B.

Estatura

(em cm)Nmero de alunos

(f i)xi

fr%FiFr%FjFR%xi2Xi2.fi

150 -- 154

154 158

158 162

162 166

166 170

170 -- 1744

9

11

8

5

3

Total (()40

HISTOGRAMA E POLGONO DE FREQUNCIAS_______6

6.1. HISTOGRAMAS

So grficos de superfcies utlizados para representar distribuies de frequncias com dados agrupados em classes.

O histograma composto por retngulos (denominados clulas), cada um deles representando um conjunto de valores prximos (as classes).

A largura da base de cada clula deve ser proporcional amplitude do intervalo da classe que ela representa e a rea de cada clula deve ser proporcional frequncia da mesma classe.

Se todas as classes tiverem igual amplitude, ento as alturas dos retngulos sero proporcionais s frequncias das classes que eles representam.

Considere o histograma obtido a partir da Tabela 2:

Tabela 2 - Taxas municipais de urbanizao, no Estado de Alagoas (em %) - 1970.

Taxas (em %)

Nmero de

municpios( f i )Percentual

6 --- 162930,9

16 --- 262425,5

26 --- 361617,0

36 --- 461313,8

46 --- 56 44,3

56 --- 6633,2

66 --- 7622,1

76 --- 8622,1

86 --- 9611,1

Total (()94100,0

6.2. POLGONO DE FREQUNCIAS

O polgono de freqncias o grfico que obtemos unindo pontos dos lados superiores dos retngulos superiores dos retngulos de um histograma por meio de segmentos de reta consecutivos.

Na Tabela 5.7, temos:


Taxas (em %)

Nmero de

municpios( f i )Percentual

6 --- 162930,9

16 --- 262425,5

26 --- 361617,0

36 --- 461313,8

46 --- 56 44,3

56 --- 6633,2

66 --- 7622,1

76 --- 8622,1

86 --- 9611,1

Total (()94100,0

MEDIDAS DE POSIAO (MEDIDAS DE TENDNCIA CENTRAL)_____7

As distribuies de frequncias para variveis discretas e contnuas descrevem os grupos que uma varivel pode assumir. possvel visualizar a concentrao de valores de uma distribuio de frequncias. Se se localizam no incio, no meio ou no final, ou se distribuem de forma igual.

As medidas de posio so nmeros que resumem e representam caractersticas importantes da distribuio de frequncias e podem apresentar-se de vrias formas, dependendo daquilo que se pretende conhecer a respeito dos dados.

As medidas de posio so chamadas de medidas de tendncia central, devido tendncia de os dados observados se concentrarem em torno desses valores centrais que se localizam em torno do meio ou centro de uma distribuio.

As medidas (nmero-resumo) mais usadas para representar um conjunto de dados so a mdia, a moda e a mediana.

1. Mdia aritmtica

1.1. Mdia aritmtica para dados no-agrupados (ou dados simples)

Seja X uma varivel que assume os valores x1, x2, x3 ,..., xn. A mdia aritmtica simples de X, representada por x, definida por:

x1 + x2 + x3 + ... + xn ( xi

x = ------------------------------- ou x = -------

n n

xi : so os valores que a varivel X assume

n: nmero de elementos da amostra observada

Exemplo: A produo leiteira diria da vaca B, durante uma semana, foi de 10, 15, 14, 13, 16, 19, e 18 litros. Determinar a produo mdia da semana (a mdia aritmtica).

(xi 10 + 15 + 14 + 13 + 16 + 19 + 18

x = --------- ( x = ---------------------------------------------- = 15 litros

n 7

1.2. Mdia aritmtica para dados agrupados

Se os valores da varivel forem agrupados em uma distribuio de freqncias ser usada a mdia aritmtica dos valores x1, x2, x3 ,..., xn ponderadas pelas respectivas frequncias absolutas: f1, f2, f3 ,..., fn.

( xi . i

x = ------------ , onde:

n

xi : valores observados da varivel ou ponto mdio das classes

i: freqncia simples absoluta

(i = n : nmero de elementos da amostra observada

A frmula acima ser usada para as distribuies de freqncias sem classes e com classes.

1.2.1. Mdia aritmtica para dados agrupados sem classes (Mdia aritmtica ponderada)

(Dados sem classes): Determinar a mdia aritmtica da Tabela 5.4


Nmero de filhos

( xi )Numero

de casais

( fi )xi . i ( xi . i 117x = ----------- = ------ = 2,34

n 50

x = 2,3 filhos

06

116

29

38

43

53

63

72

Total (()50

Os 50 casais possuem, em mdia 2,3 filhos.

1.2.2. Mdia aritmtica para dados agrupados com classes intervalares

(Dados com classes): Determinar a mdia aritmtica da Tabela 5.7

Tabela 5.7 - Taxas municipais de urbanizao, no Estado de Alagoas(em %) 1970.

Taxas (em %)

Nmero de

Municpios

( fi )xixi . i

6 --- 1629

16 --- 2624

26 --- 3616

36 --- 4613

46 --- 564

56 --- 663

66 --- 762

76 --- 862

86 --- 961

Total (()94

( xi . i x = ------------ = ---------- ( x =

n

1.3. Propriedades da mdia aritmtica

1 propriedade

A soma algbrica dos desvios em relao mdia zero (nula).

( di = ( (xi - x ) = 0

onde: di so as distncias ou afastamentos da mdia.

Em uma distribuio simtrica ser igual a zero e tender a zero se a distribuio for assimtrica.

Idades ( xi ) di = xi - x

2 d1 = 2 6 = -4

4 d2 = 4 6 = -2

6 d3 = 6 6 = 0

8 d4 = 8 6 = +2

10 d5 = 10 6 = +4

( 0

2 + 4 + 6 + 8 + 10

x = ------------------------------- = 6

5

2 propriedade

Somando-se ou subtraindo-se uma constante (c) a todos os valores de uma varivel, a mdia do conjunto fica aumentada ou diminuda dessa constante.

Somar o valor 2 aos dados da tabela e calcular a nova mdia

Idades ( xi ) xi + 2

2 2 + 2 = 4

4 4 + 2 = 6

6 6 + 2 = 8

8 8 + 2 = 10

10 10 + 2 = 12

( 40

A nova mdia ser: 40

x = ------ = 8. No caso, a mdia aritmtica anterior ficou aumentada de 2.

53 propriedade

Multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores de uma varivel por uma constante (c), a mdia do conjunto fica multiplicada ou dividida por essa constante:

Multiplicar o valor 2 aos dados da tabela e calcular a nova mdia

Idades ( xi ) xi x 2

2 2 x 2 = 4

4 4 x 2 = 8

6 6 x 2 = 12

8 8 x 2 = 16

10 10 x 2 = 20

( 60

A nova mdia ser: 60

x = ------ = 12. No caso, a mdia aritmtica anterior ficou multiplicada por 2.

54 propriedade

A mdia das mdias a mdia global de 2 ou mais grupos.

x1 = 10 n1 = 15

x2 = 18 n2 = 23Ento: (x1 . n1 ) + (x2 . n2 ) + ... + (xk . nk ) xG = ---------------------------------------------------

n1 + n2 + .... + nk

(10 . 15 ) + (18 . 23 ) xG = -------------------------------- = 14,84

15 + 23

5 propriedade

A soma dos quadrados dos afastamentos contados a partir da mdia aritmtica um mnimo.

Idades ( xi ) di = (xi x) ( di2 = ( (xi x)2

2 d1 = 2 6 = -4( 4)2 = 16

4 d2 = 4 6 = -2( 2)2 = 4

6 d3 = 6 6 = 0( 0)2 = 0

8 d4 = 8 6 = +2 ( +2)2 = 4

10 d5 = 10 6 = +4( +4)2 = 16

( 040

De modo que: ( (xi x)2 = 40 sendo este valor o menor possvel. Isso significa que, se tomssemos outro valor que no a mdia (x), o resultado dessa operao seria maior que o obtido. 6 propriedade

A mdia aritmtica atrada pelos valores extremos.

Considere os valores originais:

xi : 2, 4, 6, 8, 10 ( x = 6

Se o primeiro valor xi for alterado para 0:

xi : 0, 4, 6, 8, 10 ( x = 5,6

Se o ltimo valor xi for alterado para 12:

xi : 2, 4, 6, 8, 12 ( x = 6,4

3. Moda (Mo)

Tambm chamada de norma, valor dominante ou valor tpico.

Defini-se a moda como o valor que ocorre com maior frequncia em conjunto de dados.

Exemplo: Se o salrio modal dos empregados de uma empresa igual a mil reais, este o salrio recebido pela maioria dos empregados dessa empresa.

A moda utilizada frequentemente quando os dados esto registrados na escala nominal.

Exemplo: Sexo dos alunos Turma A Escola Z

SexoFreqncia

Masculino40

Feminino60

Total100

A moda sexo feminino porque tem maior freqncia.

3.1. Moda para dados no agrupados

Primeiramente os dados devem ser ordenados para , em seguida, observar o valor que tem maior freqncia.

Exemplo: Calcular a moda dos seguintes conjuntos de dados:

1. X = (4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8) ( Mo = 6 (0 valor mais freqente)

Esse conjunto unimodal, pois apresenta apenas uma moda.

2. Y = (1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6) ( Mo = 2 e Mo = 4 (valores mais freqentes)

Esse conjunto bimodal, pois apresenta duas modas.

3. Z = (1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5) ( Mo = 2, Mo = 3 e Mo = 4 (valores mais freqentes)

Esse conjunto plurimodal, pois apresenta mais de duas modas.

4. W = (1, 2, 3, 4, 5, 6) ( Esse conjunto amodal porque no apresenta um valor predominante.

3.2. Moda para dados agrupados sem classes - Basta observar, na tabela, o valor que apresenta maior freqncia.

1) Clculo da moda pelo ROL

Na Tabela 5.2, o resultado 1 aparece mais vezes ( Mo =1.Tabela 5.2 - Nmero de filhos de um grupo de 50 casais

0000001111

1111111111

1122222222

2333333334

4455566677

2) Clculo da moda pela distribuio de freqncias sem classes


Nmero de filhos

( xi )Numero

de casais

( fi ) O valor 1 apresenta a maior freqncia.

Mo = 1

Esse resultado indica que casais com um filho foi o resultado mais observado.

06

116

29

38

43

53

63

72

Total (()50

3.3. Moda para dados agrupados com classes

Tabela 5.7 Taxas municipais de urbanizao (em %) Alagoas, 1970. 1) Identifica-se a classe (a de maior freqncia):

Na Tabela a 1 classe: 6 --- 16

2 passo: Aplica-se a frmula:

li + ls 1 processo: Moda bruta: Mo = -------- 2

sendo,

li: limite inferior da classe modal = 6

ls: limite superior da classe modal = 16 6 + 16

Mo = ----------- = 11%

2

Taxas (em %)

Nmero de

Municpios

( fi )

6 --- 1629

24

16

13

4

3

2

2

1

16 --- 26

26 --- 36

36 --- 46

46 --- 56

56 --- 66

66 --- 76

76 --- 86

86 --- 96

Total (()94

D12 processo: Frmula de Czuber: Mo = LMo + -------------- x h

(mtodo mais elaborado) D1 + D2sendo:

LMo : limite inferior da classe

h: intervalo da classe modal

D1 : freqncia simples da classe modal ( freqncia simples anterior da classe modal

D2 : freqncia simples da classe modal ( freqncia simples posterior da classe modal

Na Tabela 5.7, temos: 29

LMo = 6 Mo = 6 + ------------- x 10 = 14,5%

h = 10 29 + 5

D1 = 29 ( 0 = 29

D2 = 29 ( 24 = 5 A taxa de urbanizao mais freqente ficou em torno de

14,5%.

4. Mediana (Md)

uma medida de posio cujo nmero divide um conjunto de dados em duas partes iguais. Por esse motivo, a mediana considerada uma medida separatriz. Portanto, a mediana se localiza no centro de um conjunto de nmeros ordenados segundo uma ordem de grandeza.

4.1. Mediana - para dados no agrupados

a) O nmero de valores observados impar

Exemplo: Considere o conjunto de dados:

X = (5, 2, 7, 10, 3, 4, 1)

1) Colocar os valores em ordem crescente ou decrescente:

X = (1, 2, 3, 4, 5, 7, 10)

2) Determinar a ordem ou posio (P) da Mediana por

n + 1

P = ------- , quando n (n de elementos) for mpar

2

7 + 1

P = ------- = 4 posio. O nmero que se encontra na

2 4 posio o nmero 4.

Md = 4

b) O nmero de valores observados par

Exemplo: Considere o conjunto de dados:

X = (4, 3, 9, 8, 7, 2, 10, 6)

1) Colocar os valores em ordem crescente ou decrescente:

X = (2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10)

2) Determinar a ordem ou posio (P) da Mediana por

n n

P = ---- e P = ---- + 1 , quando n (n de elementos

2 2 for par

8 8

P = ---- = 4 posio e P = ---- + 1 = 5 posio

2 2

Os nmeros so 6 (4 posio) e 7 (5 posio). Tira-se a mdia aritmtica entre os dois nmeros.

6 + 7

Md = ----------- = 6,5

2

4.2. Mediana para dados agrupados sem classes

Tabela 5.4 - Nmero de filhos de um

grupo de 50 casais

Nmero de filhos

( xi )Numero

de casais

( fi )Fi1) Determinar a posio da mediana por:

n n

P = ---- e P = ---- + 1 , pois n par

2 2

50 50

P = ----- = 25 posio e P = ----- + 1 = 26 posio

2 2

2) Pela Fi (freq. abs. Acum. abaixo de) verifica-se que o 31 contm o 25 e 26 elemento 2 +2

25 corresponde ao n 2 Md = -------- = 2

26 corresponde ao n 2 2

066

11622

2931

3839

4342

5345

6348

7250

Total (()50

O n 2 deixa 50% dos valores, ou seja o elemento central

4.3. Mediana para dados agrupados com classes

Tabela 5.7 - Taxas municipais de urbanizao (em %) Alagoas, 1970. n 94

1) Calcular a posio: P = ---- = ---- = 47 posio

2 2

(no importa de n for mpar ou par)

2) Pela Fi identifica-se a classe que contm a Md:

O n 47 est dentro de 53. Portanto, a classe da Md a 2: 16 --- 26.

3) Aplica-se a frmula:

n/2 Fa

Md = LMd + ------------- x h

fMdonde,

Taxas (em %)

Nmero de

Municpios

( fi )Fi

6 --- 162929

16 --- 262453

26 --- 361669

36 --- 461382

46 --- 56486

56 --- 66389

66 --- 76291

76 --- 86293

86 --- 96194

Total (()94

* LMd = limite inferior da classe da Md = 16

* n = tamanho da amostra ou n de elementos (( n/2 = 94/2 = 47

* Fa = frequncia acumulada anterior classe da Md = 29

* h = intervalo da classe da Md = 10

* fMd = frequncia simples da classe da Md = 24

47 29

Md = 16 + ------------- x 10 = 23,5%

24

50% das taxas de urbanizao esto antes taxa 23,5%.

5. Quartis (medidas separatrizes)

Dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais.

Q1 = 1 quartil, deixa 25% dos elementos

n

1) Calcular a posio: P = ---- (seja n mpar ou par)

4

2) Pela Fi identifica-se a classe que contm o Q13) Aplica-se a frmula:

n/4 Fa

Q1 = LQ1 + -------------- x h

f Q1sendo

* LQ1 = limite inferior da classe do Q1* n = tamanho da amostra ou n de elementos

* Fa = frequncia acum. anterior classe do Q1* h = intervalo da classe do Q1* f Q1 = frequncia simples da classe do Q1Q3 = 3 quartil, deixa 75% dos elementos

3 n

1) Calcular a posio: P = ----- (seja n mpar ou par)

4

2) Pela Fi identifica-se a classe que contm do Q3 3) Aplica-se a frmula:

3n/4 Fa

Q3 = LQ3 + -------------- x h

f Q3sendo

* LQ3 = limite inferior da classe do Q3* n = tamanho da amostra ou n de elementos

* Fa = frequncia acum. anterior classe do Q3* h = intervalo da classe do Q3* f Q3 = frequncia simples da classe do Q3

Q2 = 2 quartil, igual a mediana, deixa 50% dos elementos

6. Decis: dividem a srie em 10 partes iguais

in

1) Calcular a posio: P = ---- (seja n mpar ou par),

10

em que i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9

2) Pela Fi identifica-se a classe que contm o Di3) Aplica-se a frmula:

in/10 Fa

Di = L Di + ---------------- x h

f Di sendo

* LDi = limite inferior da classe Di , i = 1, 2, 3, ..., 9

* n = tamanho da amostra ou n de elementos

* Fa = frequncia acum. anterior classe do Di

* h = intervalo da classe do Di* f Di = frequncia simples da classe do Di 7. Percentis: dividem a srie em 100 partes iguais

in

1) Calcular a posio: P = ----- (seja n mpar ou par),

100

em que i = 1, 2, 3, ..., 98, 99

2) Pela Fi identifica-se a classe que contm o Pi3) Aplica-se a frmula:

in/100 Fa

Pi = L Pi + ----------------- x h

f Pi sendo

* LPi = limite inferior da classe Pi , i = 1, 2, 3, ..., 99

* n = tamanho da amostra ou n de elementos

* Fa = frequncia acum. anterior classe do Pi

* h = intervalo da classe do Pi* f Pi = frequncia simples da classe do Pi

15. Medidas de disperso (Medidas de variabilidade)

So medidas utilizadas para medir o grau de variabilidade, ou disperso dos valores observados em torno da mdia aritmtica. Servem para medir a representatividade da mdia e proporcionam conhecer o nvel de homogeneidade ou heterogeneidade dentro de cada grupo analisado.

Considere a seguinte situao:

Um empresrio deseja comparar a performance de dois empregados, com base na produo diria de determinada pea, durante cinco dias:

Empregado A : 70, 71, 69, 70, 70 ( x = 70

Empregado B : 60, 80, 70, 62, 83 ( x = 71

A performance mdia do empregado A de 70 peas produzidas diariamente, enquanto que a do empregado B de 71 peas. Com base na mdia aritmtica, verifica-se que a performance de B melhor do que a de A. Porm, observando bem os dados, percebe-se que a produo de A varia apenas de 69 a 71 peas, ao passo que a de B varia de 60 a 83 peas, o que revela que a performance de A bem mais uniforme do que de B.

Qual o melhor empregado?

Tipos de medidas de disperso

1. Medidas de disperso absoluta

1.1. Amplitude total (AT): a diferena entre o maior e o menor valor observado.

AT = xmax ( xmin

Empregado A = 71 ( 69 = 2

Empregado B = 83 ( 60 = 23

1.2. Desvio mdio (DM)

Analisa todos os desvios ou distncias em relao a mdia aritmtica.

O clculo dos desvios feito por:

di = (xi ( x) onde, di = desvio ou distncia

xi = valores observados

x = mdia aritmticaA soma de todos os desvios em relao a mdia aritmtica igual a zero:

( di = ( (xi x) = 0

Clculo dos di:Para eliminar a soma zero, coloca-se os desvios em mdulo:

Empregado A

d1 = 70 70 = 0

d2 = 71 70 = +1

d3 = 69 70 = ( 1

d4 = 70 70 = 0

d5 = 70 70 = 0

( di = 0Empregado B

d1 = 60 71 = ( 11

d2 = 80 71 = +9

d3 = 70 71 = ( 1

d4 = 62 71 = ( 9

d5 = 83 71 = +12

( di = 0Empregado A

d1 = ( 0 ( = 0

d2 = ( +1( = 1

d3 = ( (1( = 1

d4 = ( 0 ( = 0

d5 = ( 0 ( = 0

( ( di ( = 2Empregado B

d1 = ( 11( = 11

d2 = ( +9 ( = 9

d3 = ( 1 ( = 1

d4 = ( 9 ( = 9

d5 = ( +12 ( = 12

( ( di ( = 42

Dessa forma, possvel calcular a mdia dos desvios por:

( ( di ( ( ( xi ( x ( DM = ----------- = ----------------

n nEmpregado A

( ( di ( 2

DM = ----------- = ----- = 0,4

n 5Empregado B

( ( di ( 42

DM = ----------- = ----- = 8,4

n 5

1.3. Varincia

Considera-se o quadrado de cada desvio, (xi x)2 , evitando que

( di = 0.

Para eliminar a soma zero, eleva-se os desvios ao quadrado:Varincia populacional ((2): quando o estudo feito em toda populao.

Empregado A

d1 = (0)2 = 0

d2 = (+1)2 = 1

d3 = ((1)2 = 1

d4 = (0)2 = 0

d5 = (0)2 = 0

( ( di )2 = 2Empregado B

d1 = (11)2 = 121

d2 = (+9)2 = 81

d3 = ((1)2 = 1

d4 = (9)2 = 81

d5 = (+12)2 = 144

( ( di )2 = 428 ( ( di )2 ( (xi ( x)2

(2 = ------------ = ---------------

n n

Empregado A

2

( = ----- = 0,4

5Empregado B

428

( = ------ = 85,6

5

Usando a frmula prtica para o clculo da varincia populacional:

( (xi ( x)2 ( xi2 ( ( (xi)2 / N

(2 = ---------------- = -----------------------

N N

Empreg. A (xi)xi2Empreg. B (xi)xi2

70490060

71504180

69476170

70490062

70490083

(35024502(

Empregado A

( xi = 350, ( xi2 = 24502

( xi2 ( ( (xi)2 / N 24502 ( (350)2 / 5

(2 = ------------------------- = -------------------------- = 0,4 N 5

Empregado B

( xi = , ( xi2 =

( xi2 ( ( (xi)2 / N

(2 = ------------------------- = ------------------------- =

N

Varincia amostral (s2)

usada quando o estudo feito por amostragem.

( (xi ( x)2s2 = ----------------

n 1Frmula prtica:

( xi2 ( ( (xi)2 / n

s2 = -----------------------

n 1

Varincia para dados agrupados sem e com classes

Varincia populacional:

( (xi ( x)2 . fi

(2 = ---------------------

NFrmula prtica:

( xi2. fi ( ( (xi . fi)2 / N

(2 = --------------------------------

N

Varincia amostral:

( (xi ( x)2 . fi

s2 = ---------------------

n 1 Frmula prtica:

( xi2. fi ( ( (xi . fi)2 / n

s2 = --------------------------------

n 1

OBS: quando os dados forem uma amostra, usa-se o denominador n 1 na frmula da varincia, pois se obtm uma estimativa melhor do parmetro da populao. Quando a amostra for grande (n > 30) no h diferena entre usar n 1 ou n.

1.4 Desvio-padro

a raiz quadrada da varincia.

Na frmula original para o clculo da varincia, observa-se que uma soma de quadrados. Por exemplo, se a unidade original for metro (m) o resultado ser metro ao quadrado (m2). Para retornar a uidade de medida original, extrai-se a raiz quadrada da varincia, passando a chamar-se de desvio-padro.

Desvio-padro populacional

( = (2

Desvio-padro amostral

s = s2

Clculo da varincia e do desvio-padro para a Tabela 5.4 (sem classes)


Nmero de filhos

( xi )Numero

de casais

( fi )xi . ixi2xi2. fiVarincia amostral:

( xi2. fi ( ( (xi . fi)2 / n

s2 = --------------------------------

n 1

Desvio-padro:

s = s2 =

06

116

29

38

43

53

63

72

Total (()50117

Clculo da varincia e do desvio-padro para a Tabela 5.7 (com classes)

Tabela 5.7 - Taxas municipais de urbanizao - Alagoas (em %) 1970.

Taxas (em %)

Nmero de

Municpios

( fi )xixi . ixi2xi2. fiVarincia amostral:

( xi2. fi ( ( (xi . fi)2 / n

s2 = --------------------------------

n 1

Desvio-padro:

s = s2 =

6 --- 162911

16 --- 262421

26 --- 361631

36 --- 461341

46 --- 56451

56 --- 66361

66 --- 76271

76 --- 86281

86 --- 96191

Total (()94

1. Medidas de disperso relativa

2.1. Coeficiente de variao (CV)

uma medida relativa de disperso til para a comparao em termos relativos do grau de concentrao em torno da mdia de sries distintas.

Populao (CV = ------ x 100

x

ouAmostra

s

CV = ------ x 100

X

O coeficiente de variao expresso em porcentagem.

Duas maneiras de analisar o CV :

Pequena disperso: CV ( 10%

Mdia disperso: 10% ( CV ( 20%

Grande disperso: CV ( 20%Baixa disperso: CV ( 15%

Mdia disperso: 15% ( CV ( 30%

Grande disperso: CV ( 30%

16. Medidas de assimetria

Assimetria o grau de afastamento de uma distribuio da unidade de simetria.

Coeficiente de assimetria

1 Coeficiente de Pearson2 Coeficiente de Pearson

Populao x Mo

AS = ------------

(

Amostra

x Mo

AS = ------------

s Q1 + Q3 2.Md

AS = -----------------------------

Q3 Q1

Se:

AS = 0 ( a distribuio simtrica

AS > 0 ( a distribuio assimtrica positiva ( direita)

AS < 0 ( a distribuio assimtrica negativa ( esquerda)

Graficamente:

Distribuio simtrica

Distribuio assimtrica positiva

Distribuio assimtrica negativa

Clculo do coeficiente de assimetria para as Tabelas 5.4 e 5.7

17. Medidas de curtose

Denomina-se curtose o grau de achatamento da distribuio.

Para medir o grau de curtose utiliza-se o coeficiente:

Q3 Q1

K = ----------------------

2 ( P90 P10 )

Em que:

Q3 = 3 quartil

Q1 = 1 quartil

P90 = 90 percentil

P10 = 10 percentil

Se K = 0,263 ( a distribuio mesocrtica

Se K > 0,263 ( a distribuio platicrtica

Se K < 0,263 ( a distribuio leptocrtica

Graficamente:

Distribuio mesocrtica

Distribuio platicrtica Distribuio leptocrtica

Clculo do coeficiente de curtose para as Tabelas 5.4 e 5.7

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apostila estatistica

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