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1. Variveis aleatrias

1. Introduo

As distribuies de freqncias de amostras foram tratadas anteriormente. Agora, trataremos das distribuies de probabilidades de populaes. A distribuio de freqncia de uma amostra uma estimativa da distribuio de probabilidade da populao correspondente. Se o tamanho da amostra for grande, espera-se que a distribuio de freqncias da amostra tenha uma boa aproximao da distribuio de probabilidade da populao.

No estudo de pesquisas empricas e anlises de situaes reais, a Estatstica Descritiva (tabelas de freqncias, mdia, moda, mediana, desvio padro, etc) so bastante teis. Porm, no estudo de uma populao, as distribuies de probabilidades, como veremos mais adiante, so preferidas, pois possibilitam a construo de modelos matemticos que nos auxiliam na compreenso dos fenmenos do mundo real.

2. Variveis aleatrias

Como j vimos no estudo das probabilidades, o conjunto de todos os possveis resultados de um experimento aleatrio chamado de espao amostral. Os elementos desse conjunto podem ser numricos ou no. Por exemplo, o nmero de filhos de um casal um exemplo de conjunto numrico. Porm, o grau de escolaridade de um indivduo algo no numrico. Dessa forma, em muitas vezes, para podermos trabalhar probabilisticamente com uma varivel no numrica, atribumos valores para cada elemento do espao amostral.

O resultado de um experimento de probabilidade geralmente uma contagem ou uma medida. Quando isso ocorre, o resultado chamado de varivel aleatria.

Definio: uma varivel aleatria X representa um valor numrico associado a cada resultado de um experimento de probabilidade. A palavra aleatria indica que os valores assumidos por X so obtidos ao acaso.

Notao: geralmente, as variveis aleatrias so representadas por letras maisculas (X), enquanto que os valores assumidos por essas variveis aleatrias so representadas por letras minsculas (x). Dessa forma, se escrevermos X=x queremos dizer que a varivel aleatria X assume um valor numrico igual a x.

As variveis aleatrias podem ser de dois tipos: discretas ou contnuas.

2.1. Variveis aleatrias discretas

Uma varivel aleatria discreta se ela assume um nmero finito de valores ou assume um nmero infinito de valores numerveis (contveis). Podemos dizer que uma varivel discreta quando seus valores puderem ser listados.

3

Por exemplo: o nmero de ligaes recebidas por dia em um escritrio pode ser um valor igual a 0, 1, 2, 3, 4, ... Assim, definimos a varivel aleatria X:

X: nmero de ligaes recebidas pelo escritrio.

Os valores que essa varivel pode assumir so x=0, 1, 2, 3, ... Dessa forma, se escrevermos X=3 estamos dizendo que o nmero de ligaes recebidas pelo escritrio (X) igual a 3 ligaes (x).

2.2. Variveis aleatrias contnuas

Uma varivel aleatria contnua se ela possui um nmero incontvel de possveis resultados. Ou seja, uma varivel dita contnua quando os valores que ela pode assumir puderem ser representados como um intervalo na reta dos nmeros reais. Neste caso, os valores assumidos por uma varivel contnua, no podem ser listados, visto que so infinitos os possveis valores dessa varivel.

Por exemplo: consideremos o tempo de durao de uma ligao recebida em minutos (incluindo fraes de minutos). Neste caso, podemos definir uma varivel aleatria Y da seguinte forma:

Y: tempo de durao de uma ligao em minutos.

Perceba que os valores de Y podem assumir qualquer valor em um intervalo real. Suponhamos, para facilitar, que o tempo mximo de uma ligao seja de 120 minutos. Neste caso, os valores y pertencem ao intervalo [0, 120].

3. Distribuies de probabilidades discretas

Para cada valor de uma varivel aleatria discreta pode-se determinar uma probabilidade correspondente a esse valor. Ao listar cada valor de uma varivel aleatria juntamente sua probabilidade, voc estar formando uma distribuio de probabilidade.

Uma distribuio de probabilidades deve satisfazer as seguintes condies:

I. A probabilidade de cada valor da varivel um nmero de 0 1. Ou seja:

1)xX(P0 = ou, ainda, 1)x(P0 .

II. A soma de todas as probabilidades igual a 1:

==i

i 1)xX(P , ou ainda, =i

i 1)x(P .

Perceba que podemos trabalhar com dois tipos de notao: P(X=x) ou simplesmente P(x). Por exemplo, a probabilidade de a varivel X assumir o valor igual a 3 pode ser escrita como P(X=3) ou apenas P(3).

4

Exemplo 1: um psiclogo aplicou um teste para classificar o nvel de estresse dos 150 funcionrios de uma empresa. Para isso, ele atribuiu cinco possibilidades: muito calmo, calmo, moderado, irritado, muito irritado. Essas caractersticas foram pontuadas com valores de 1 5, onde 1 indica a qualidade muito calmo e 5 indica muito irritado. Definindo a varivel aleatria X: nvel de estresse, podemos dizer que x=1,2,3,4,5. Os resultados da pesquisa esto na tabela a seguir:

x frequncia 1 24 2 33 3 42 4 30 5 21

total 150

Construir uma distribuio de probabilidade para a varivel X.

Resoluo

Utilizando a tabela, podemos calcular as probabilidades:

P(X=1) = 24/150 = 0,16 P(X=2) = 33/150 = 0,22 P(X=3) = 42/150 = 0,28 P(X=4) = 30/150 = 0,20 P(X=5) = 21/150 = 0,14

A distribuio de probabilidades est apresentada na tabela a seguir:

x 1 2 3 4 5 P(X=x) ou P(x) 0,16 0,22 0,28 0,20 0,14

Graficamente, podemos representar da seguinte forma:

5

Nveis de estresse

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

1 2 3 4 5

escore

pro

babi

lidad

e

Exemplo 2: em uma cidade, a distribuio de probabilidade da varivel que representa o nmero de dias de chuva ao longo de uma determinada semana dada pela tabela:

Dias de chuva Probabilidade 0 0,216 1 0,432 2 m 3 0,064

a) defina a varivel aleatria X; b) calcule o valor m apresentado na tabela; c) determine P(X=3); d) calcule P(X

6

Resoluo

Vamos construir a rvore de probabilidades:

Definindo:

X: nmero de peas boas retiradas.

Note que X poder assumir valores iguais a 0, 1, ou 2. Logo, a distribuio de probabilidades ser dada pela tabela:

x 0 1 2

P(X=x) 566

5630

5620

4. Valor Esperado ou Mdia de uma varivel aleatria discreta

Seja X uma varivel aleatria discreta, com valores x1, x2, ..., xk. O valor esperado de X (ou esperana matemtica de X), ou simplesmente a mdia de X definida como:

=

==k

1iii )x(P.x)X(E

J vimos que a mdia amostral dada por =

=

n

1iii x.fx . A mdia terica (ou

populacional) semelhante mdia amostral x . medida que o tamanho da amostra aumenta, a freqncia relativa fi aproxima-se de p(xi), ou seja, a mdia amostral aproxima-se da mdia populacional.

B

D

B

B

D

D

5/8

3/8

4/7

3/7

5/7

2/7

20 / 56

15 / 56

15 / 56

6 / 56

7

Observao: embora as probabilidades nunca possam ser negativas, o valor esperado de uma varivel aleatria pode ser negativo.

Exemplo 4: considere um jogo no qual se lanam trs moedas no viciadas e se recebe R$ 2,00 caso aparea 1 cara, R$ 4,00 se aparecerem 2 caras e R$ 8,00 caso apaream 3 caras. Se nenhuma cara ocorrem, nada se recebe. Quanto se esperaria ganhar caso fizesse esse jogo uma vez? Em outras palavras: qual o valor esperado de uma jogada?

Inicialmente, fazendo o estudo das probabilidades (como a construo de uma rvore de probabilidades, por exemplo), verificamos que a probabilidade de ocorrer uma certo nmero de caras dada pela tabela:

N caras Probabilidade 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8

Se definirmos a varivel aleatria X: valor a ser recebido, podemos construir a distribuio de probabilidades de X, conforme tabela a seguir:

N caras 0 1 2 3 xi: valor a ser recebido (R$) 0 2 4 8

Probabilidade: P(X=xi) 1/8 3/8 3/8 1/8

A esperana (ou valor esperado) ser:

25,3 $R826

81

.883

.483

.281

.0)X(E ==+++= .

O valor esperado uma mdia a longo prazo. No caso, aps vrias jogadas, se esperaria ganhar R$ 3,25.

Exemplo 5: em um sorteio, 1500 bilhetes so vendidos a R$ 2,00 cada. Sero 4 prmios sorteados nos valores de R$ 500, R$ 250, R$ 150 e R$ 75. Voc compra um bilhete. Qual o valor esperado do seu lucro?

Resoluo

Para encontrar o lucro para cada prmio, devemos subtrair o valor do prmio do valor pago pelo bilhete. Assim, para o prmio de R$ 500, temos um lucro igual a R$ 500 R$ 2 = R$ 498. E assim por diante para os demais prmios. Definindo a varivel aleatria discreta X: lucro em reais, construmos a distribuio de probabilidades:

8

Lucro em reais(x) 498 248 148 73 2 P(X=x)

15001

15001

15001

15001

15001496

Agora, calculamos o valor esperado:

35,115001496).2(

15001

.731500

1.148

15001

.2481500

1.408)X(E =++++=

Logo, como o valor esperado negativo, voc espera perder uma mdia de R$1,35 por cada bilhete que comprar.

5. Varincia e desvio padro de uma varivel aleatria discreta

Como j estudamos, a varincia uma medida de disperso que avalia o grau de homogeneidade dos valores da varivel em torno da mdia. A definio da varincia de uma varivel aleatria discreta X dada por: [ ]22 )x(E)X(Var ==

Desenvolvendo o quadrado da diferena, obtemos uma frmula prtica para o clculo da varincia:

)X(E)X(E)X(Var)X( 222 ==

onde:

=

=

k

1iii )x(P.x)X(E e

=

=

k

1ii

2i

2 )x(P.x)X(E

Cuidado: E2(X) = [E(X)]2 que diferente do valor de E(X2).

O desvio padro da varivel X corresponde raiz quadrada da varincia:

)X()X( 2= ou ainda )X(Var)X(DP = .

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Exemplo 6: uma loja possui a seguinte distribuio de vendas de geladeiras por semana:

xi (vendas) 0 1 2 3 4 P(X=xi) 0,20 0,30 0,30 0,15 0,05

Calcular o valor esperado de X: nmero de vendas por semana e o desvio padro de X.

Utilizando a frmula para a esperana:

E(X) = 0.0,20 + 1.0 ,30 + 2.0,30 + 3.0,15 + 4.0,05 = 1,55 geladeiras.

Vamos calcular a varincia. Para isto, precisamos determinar, antes, o valor de E(X2):

E(X2) = 02.0,20 + 12.0,30 + 22.0,30 + 32.0,15 + 42.0,05 = 3,65.

Utilizando a frmula da varincia:

25,1)55,1(65,3)X(E)X(E)X(Var 222 ===

O desvio padro ser:

12,125,1)X(DP == foges.

6. Exerccios

1) Seja X a varivel aleatria correspondente soma dos pontos obtidos no lanamento de dois dados. Determine: a) a distribuio de probabilidades de X; b) P(3 X 10) c) P(X > 7) d) P(X 5)

2) Uma varivel aleatria tem a distribuio de probabilidade dada pela seguinte frmula:

P(xi) = K/x para x = 1, 3, 5, 7.

a) Determinar K. b) Calcular P(2 X 6).

3) Um vendedor calcula que cada contato resulta em venda com probabilidade de 20%. Certo dia, ele contata dois possveis clientes. Construa a tabela de distribuio de probabilidade para a varivel Y: nmero de clientes que assinam um contrato de venda.

10

4) Uma varivel aleatria discreta pode assumir cinco valores, conforme a distribuio de probabilidade:

xi 1 2 3 4 5 P(xi) 0,20 0,25 ? 0,30 0,10

a) Encontre o valor de P(3). b) Calcule a mdia da distribuio. c) Calcule a varincia e o desvio padro de X.

5) A distribuio de probabilidade de uma varivel aleatria X dada pela frmula:

P(x) = (0,8).(0,2)x1 para x=1,2,3,...

a) Calcular P(x) para x=1, x=2, x=3, x=4 e x=5. b) Some as probabilidades obtidas no item a. O que voc pode dizer a respeito das probabilidades para valores de x maiores que 5?

6) O nmero de chamadas telefnicas recebidas por uma central e suas respectivas probabilidades para um intervalo de um minuto so:

N de chamadas 0 1 2 3 4 5 Probabilidades 0,55 0,25 0,10 0,04 0,04 0,02

a) Determinar P(1 X 4) e P(X > 1). b) Qual o nmero esperado de chamadas em um minuto? c) Lembrando que o coeficiente de variao o quociente entre o desvio padro e a mdia, calcule o coeficiente de variao de X.

7) De acordo com uma pesquisa do Data Journal, 70% das pessoas que trabalham em escritrios utilizam computadores da IBM. Se dois indivduos que trabalham em escritrios so selecionados ao acaso, encontrar a distribuio de probabilidades da varivel X: nmero de usurios dos computadores da IBM. Calcule a mdia e o desvio padro dessa varivel.

8) O grfico mostra a distribuio de furaces que atingiram o territrio dos EUA divididos por categorias, sendo 1 o nvel mais fraco e 5 o mais forte.

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Para essa varivel, calcule: a) a esperana; b) a varincia; c) o desvio padro.

9) O grfico mostra a distribuio de probabilidades do nmero de pessoas que moram em cada casa nos EUA:

Para essa varivel, calcule: a) a esperana; b) a varincia; c) o desvio padro.

10) Em um jogo de roleta americana, h 38 nmeros: 00, 0, 1, 2, 3, ..., 36 marcados em espaos igualmente divididos. Se um jogador aposta $ 1 em um nmero e ganha, ele continua apostando com o $ 1 e recebe $ 35 adicionais. Caso contrrio, ele perde $ 1. Definindo a varivel X: lucro obtido em uma rodada, determine a quantidade mdia de dinheiro, por jogo, que esse jogador pode esperar perder (e no ganhar, visto que se trata de um jogo de azar).

12

Respostas 1) a)

xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 b) 8/9 c) 5/12 d) 5/18 2) a) K = 105/176 b) 7/22 3)

yi 0 1 2 P(yi) 0,64 0,32 0,04 4) a) 0,15 b) 2,85 c) 1,7275 e 1,31 5) a)

xi 1 2 3 4 5 P(xi) 0,8 0,16 0,032 0,0064 0,00128 b) A soma das probabilidades 0,99968. logo, as probabilidades para valores maiores que 5 so prximas de zero. 6) a) 0,43 e 0,20 b) 0,83 d) CV = 145,8% 7)

xi 0 1 2 P(xi) 0,09 0,42 0,49 (X) = 1,40 (X) = 0,65 8) a) 2,0 b) 1,0 c) 1,0 9) a) 2,5 b) 1,9 c) 1,4 10) $ 0,05

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2. Modelos Discretos de Distribuies de Probabilidades

2.1. Lei binomial da probabilidade - Ensaios de Bernoulli

Consideremos um experimento que consiste em uma seqncia de ensaios ou tentativas independentes, isto , ensaios nos quais a probabilidade de um resultado em cada ensaio no depende dos resultados ocorridos nos ensaios anteriores, nem dos resultados nos ensaios posteriores. Em cada ensaio, podem ocorrer apenas dois resultados, um deles que chamaremos de sucesso (S) e outro que chamaremos de fracasso (F). probabilidade de ocorrer sucesso em cada ensaio chamaremos de p; a probabilidade de fracasso chamaremos de q, de tal modo que q=1p. Tal tipo de experimento recebe o nome de ensaio de Bernoulli.

Exemplos de ensaio de Bernoulli

1) Uma moeda lanada 5 vezes. Cada lanamento um ensaio, em que dois resultados podem ocorrer: cara ou coroa. Chamemos de sucesso o evento sair uma cara e de fracasso o evento sair uma coroa. Em cada ensaio, p=0,5 e q=0,5.

2) Uma urna contm 4 bolas vermelhas e 6 brancas. Uma bola extrada, observada sua cor e reposta na urna; este procedimento repetido 8 vezes. Cada extrao um ensaio, em que dois resultados podem ocorrer: bola vermelha ou bola branca. Chamemos de sucesso o evento sair bola vermelha. Conseqentemente, fracasso corresponde ao evento sair bola branca. Neste caso,

104p = e

106q = .

2.2. Distribuio Binomial

Antes de apresentarmos a frmula e suposies da distribuio Binomial de probabilidades, vamos analisar um exemplo e deduzir a frmula a partir dele.

Exemplo 1: uma prova consta de 10 testes com 5 alternativas cada um, sendo apenas uma delas correta. Um aluno que nada sabe a respeito da matria avaliada, chuta uma resposta para cada teste. Qual a probabilidade dele acertar exatamente 6 testes?

A probabilidade de acertar um teste aleatoriamente 2,051

= . Logo, a de errar

esse teste de 8,054

511 == .

Vamos considerar uma situao bastante especfica: o aluno acerta os testes de 1 6 e erra os testes de 7 10. A probabilidade de isso acontecer obtida utilizandose o Princpio Fundamental da Contagem:

0,2 . 0,2 . 0,2 . 0,2 . 0,2 . 0,2 . 0,8 . 0,8 . 0,8 . 0,8 =

14

= (0,2)6 . (0,8)4 0,000026 ou 0,0026%.

Porm, essa apenas uma situao de acertos / erros possvel. O nmero total de maneiras que esse aluno pode acertar 6 testes de um total de 10 testes calculada utilizandose combinao (visto que a ordem dos acertos NO importa):

210)!610!.(6!10C 6,10 =

= maneiras.

Para cada uma dessas 210 formas, temos uma probabilidade de acerto igual a calculada anteriormente. Logo, a probabilidade de esse aluno acertar 6 testes qualquer :

210 . (0,2)6 . (0,8)4 0,0055 ou 0,55%.

Vamos definir a varivel aleatria X que representa sucesso como sendo:

X: nmero de testes que o aluno acerta (sucesso).

Associada a X, temos a probabilidade de sucesso p=0,2 e, conseqentemente, a probabilidade de fracasso q=10,2=0,8 (probabilidade de errar o teste).

Lembrando que

=

6 10C 6,10 , podemos escrever que a probabilidade do aluno

acertar 6 testes :

P(X=6) =

6 10

. (0,2)6 . (0,8)4

Generalizando, se em cada uma das n repeties de Ensaios de Bernoulli a probabilidade de ocorrer um evento definido como sucesso sempre p, a probabilidade de que esse evento ocorra em apenas k das n repeties dada por:

knk )p1.(p.kn)kX(P

==

Resumindo: um experimento binomial deve satisfazer os seguintes critrios:

1) O experimento repetido n vezes, onde cada tentativa independente das demais. 2) H apenas dois resultados possveis em cada tentativa: um de interesse, associado varivel X, chamado de sucesso e o seu complementar que o fracasso.

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3) A probabilidade de sucesso ser denotada por p e a mesma em cada tentativa (entenda Ensaio de Bernoulli). Logo, a probabilidade de fracasso ser denotada por q = 1 p.

Observaes importantes: comum queles que esto iniciando os estudos da distribuio Binomial acharem que a varivel definida como sucesso precisa ser algo bom. Porm, isso no est correto. A varivel X, ou seja, o sucesso, dever ser algo que nos interesse. Por exemplo, poderamos definir como sucesso:

alunos reprovados em determinado ano; nmero de bitos em uma UTI; nmero de fumantes presentes em uma reunio; acertar um alvo num torneio de tiro; entrevistados serem do sexo masculino; sair cara no lanamento de uma moeda; sair face 5 ou 6 no lanamento de um dado.

Ou seja, a varivel sucesso pode ser ou pode no ser algo bom! s vezes, pode ser algo imparcial, como face de uma moeda ou dado, ou sexo de uma pessoa.

Exemplo 2: para entender melhor a frmula, vamos recapitular o clculo de probabilidades com base em um exemplo. Responda rapidamente a pergunta: um casal deseja ter 4 filhos, 2 homens e 2 mulheres. Supondo que a probabilidade de nascimento de um homem (H) ou uma mulher (M) seja a mesma, qual a probabilidade de tal fato acontecer?

Muitas pessoas respondem 50%. Se voc foi uma delas, a pergunta seguinte possivelmente ser por qu? No ???. A resposta no! O que mostra que muitas vezes a intuio nos engana, enfatizando a importncia da probabilidade (veja, por exemplo, o caso de um mdico obstetra ou um laboratrio que muitas vezes precisa conhecer clculos de probabilidades como este).

Faremos, inicialmente, um mtodo mais trabalhoso, mas que certamente convencer o leitor de que tal probabilidade no 50%. Depois, faremos o clculo utilizando um modelo probabilstico.

Listemos todas as possibilidades de nascimentos:

HHHH HHHM HHMH HMHH MHHH HHMM HMHM MHHM HMMH MHMH

16

MMHH HMMM MHMM MMHM MMMH MMMM

Das 16 possibilidades listadas, note que em 6 delas ocorrem o nascimento de 2 homens e 2 mulheres. Logo, a probabilidade disso ocorrer :

37,5% ou 375,0166P == .

Ou seja, a probabilidade inferior a 50%, mais precisamente, vale 37,5%, o que contradiz a intuio da maioria das pessoas.

Uma outra forma de resolver esse mesmo problema utilizando a Binomial.

Agora, para resolvermos essa situao apresentada atravs da Binomial, vamos determinar que nosso interesse seja o nmero de homens que nascem. Essa ocorrncia ser chamada de sucesso. Assim:

X: nmero de homens que nascem (sucesso)

Logo, nascer mulher indicaria fracasso. No nenhum tipo de preconceito, mas sim, uma questo Estatstica. Poderamos, sem problemas, ter trocado homem por mulher e vice-versa.

A probabilidade de sucesso a probabilidade de em um nascimento qualquer ocorrer um homem, ou seja,

5,021p == .

Temos interesse que, em 4 nascimentos, 2 sejam homens e 2 sejam mulheres. Como chamamos de sucesso nascer homem, temos interesse no nascimento de 2 homens ou, em linguagem matemtica, X=2. Logo, o valor de k 2 (basta comparar a frmula X=k com o que acabamos de escrever X=2).

Obtemos, portanto:

375,083

41

.

41

.6211.

21

.

24)2X(P

242

===

==

,

que o mesmo valor obtido utilizando o mtodo anterior.

Cabe ressaltar que a frmula apresentada no tem carter mstico algum. possvel fazer a sua deduo e, para isso, basta utilizarmos a lgica desenvolvida no mtodo anterior. Vejamos:

17

Suponhamos 4 caixas numeradas, e que iremos colocar em cada uma delas um carto que possui uma letra H ou um carto que possui uma letra M. Suponhamos que temos um par de cartes mestre que sero utilizados na escolha de uma das letras e que tenhamos uma outra pilha de cartes que sero colocados nas caixas.

Inicialmente, escolheremos duas delas para colocarmos um carto que possui a letra H. O nmero de maneiras que podemos fazer tal escolha no depende da ordem, ou seja, escolher a caixa 1 e 3 indiferente de escolher a 3 e 1, visto que colocaremos cartas iguais dentro de cada uma delas. Utilizamos a combinao:

624C 2,4 =

=

Logo, h 6 maneiras de se fazer tal escolha.

Fixemos uma das escolhas, como por exemplo, H nas caixas 1 e 3. Nas caixas 2 e 4 colocaremos cartas com a letra M. A probabilidade de tal fato ocorrer pode ser expressa atravs do princpio multiplicativo. A probabilidade de ocorrer cada H de 0,5 (pois sorteamos as letras a partir dos cartes-mestre) e de ocorrer M tambm 0,5.

Assim, a probabilidade de sortearmos H na primeira vez, M na segunda, H na terceira e M na quarta dada por

0,5.0,5.0,5.0,5 = (0,5)4 = 0,0625.

Como tal fato (2 H e 2 M) pode ocorrer de 6 maneiras diferentes temos que a probabilidade final fica

P = 6 . 0,0625 = 0,375.

Note que 0,5 = 1 0,5 = 1 p. O raciocnio aqui desenvolvido o mesmo que se faz para deduzir a frmula da Distribuio Binomial.

Exemplo 3: uma urna tem 4 bolas vermelhas (V) e 6 brancas (B). Uma bola extrada, observada sua cor e reposta na urna. O experimento repetido 5 vezes. Qual a probabilidade de observarmos exatamente 3 vezes bola vermelha?

Inicialmente, vamos definir a varivel aleatria de interesse:

X: nmero de bolas vermelhas observadas (sucesso).

1 2 3 4

H H M

H

Cartes mestre

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Logo, a probabilidade de sucesso ser p=4/10=0,4. Utilizando a frmula apresentada, em que n=5 (nmero de retiradas) e k=3 (nmero de bolas vermelhas que temos interesse em observar), temos:

2304,06,0.4,0.35)4,01.(4,0.

35)3X(P 23353 =

=

==

ou 23,04%.

Exemplo 4: numa cidade, 10% das pessoas possuem carro de marca A. Se 30 pessoas so selecionadas ao acaso, com reposio, qual a probabilidade de exatamente 5 pessoas possurem carro de marca A?

Definindo X: nmero de pessoas que possuem o carro da marca A (sucesso), temos associada uma probabilidade de sucesso p=0,10. Sendo n=30 e k=5, temos:

1023,09,0.1,0.5

30)1,01.(1,0.5

30)5X(P 2555305

=

==

ou 10,23%.

Exemplo 5: admitese que uma vlvula eletrnica, instalada em determinado circuito, tenha probabilidade 0,3 de funcionar mais de 600 horas. Analisandose 10 vlvulas, qual ser a probabilidade de que, entre elas, pelo menos 3 continuem funcionando aps 600 horas?

Seja X: nmero de vlvulas que permanecem funcionando aps 600 horas. Temos que a probabilidade de sucesso p=0,3. Perceba que estamos realizando 10 Ensaios de Bernoulli (n=10). Logo, queremos calcular:

P(X3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + ... + P(X=9) + P(X=10).

Note que teramos que calcular cada uma das probabilidades envolvidas nessa soma utilizando a frmula apresentada, ou seja, teramos que aplicar a frmula 8 vezes para, em seguida, somar todos os resultados. Neste caso, vamos utilizar uma propriedade, j vista, de eventos complementares:

P(X3) = 1 P(X

19

Exemplo 6: em uma grande pesquisa com 6000 respondentes, determinouse que 1500 dos entrevistados assistiam determinado programa de TV. Se 20 pessoas so escolhidas ao acaso, qual a probabilidade de que ao menos 19 assistam a esse programa?

Definindo a varivel aleatria que indica sucesso:

X: nmero de pessoas que assistem ao programa.

Perceba que a probabilidade de sucesso (p) pode ser calculada a partir do enunciado:

25,060001500p == .

Logo, queremos calcular:

P(X19) = P(X=19) + P(X=20) = =

020119 75,0.25,0.2020

75,0.25,0.1920

+

=

5,5.1011, ou seja, a probabilidade de 19 ou 20 pessoas assistirem ao programa muito pequena, quase zero, visto que vale 0,0000000055%.

Exemplo 7: vamos supor o lanamento de uma moeda honesta (ou seja, P(cara)=P(coroa)=0,5). Suponhamos que voc faa uma aposta com um amigo seu: ganha aquele que obtiver mais caras (no seu caso) ou coroas (no caso dele) em 7 lanamentos.

A probabilidade de voc ganhar ocorre quando sarem 4 ou 5 ou 6 ou 7 caras. Utilizando o modelo Binomial onde:

X: nmero de caras (sucesso) n = 7 lanamentos k = 4,5,6,7 p = 0,5

temos:

P(ganhar) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) =

5,021

.121

.721

.2121

.35

211

21

77

211

21

67

211

21

57

211

21

47

7777

777676575474

=

+

+

+

=

=

+

+

+

=

Resultado interessante, no? Ou seja, ao invs de fazer essa aposta, poderiam ter feito a tradicional aposta de cara x coroa.

Exemplo 8: Suponhamos a mesma situao do exemplo anterior, mas agora, voc pega, sem seu amigo perceber, uma moeda viciada em que a probabilidade

20

de ocorrer uma cara de 0,75 ou 43

. Neste caso, p=0,75 e a probabilidade de

voc ganhar :

P(ganhar) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) =

9294,0431

43

77

431

43

67

431

43

57

431

43

47 777676575474

+

+

+

=

ou 92,94%.

Logo, muito provvel que voc ganhe a aposta usando essa moeda viciada.

Exemplo 9: Overbooking prtica realizada na aviao do mundo todo. Consiste na empresa area vender mais bilhetes do que o disponvel no vo com base na mdia de desistncia dos vos anteriores. Uma empresa area possui um avio com capacidade para 100 lugares. Se para um certo vo essa empresa vendeu 103 passagens e, admitindo que a probabilidade de um passageiro no comparecer para embarque de 1%, qual a probabilidade de algum passageiro no conseguir embarcar?

Este um problema clssico resolvido utilizando a Binomial. Aqui, muito comum haver uma certa confuso na elaborao do que o sucesso bem como do que se deseja calcular. Assim, vamos definir:

X: nmero de passageiros que comparecem ao embarque (sucesso).

Neste caso, p=0,99. Temos, ainda, que n=103, visto que cada um dos 103 passageiros pode comparecer ao embarque (sucesso) ou no comparecer (fracasso). Queremos calcular a probabilidade de que algum passageiro no consiga embarcar, ou seja, de que compaream ao embarque mais de 100 passageiros:

P(X>100) = P(X=101) + P(X=102) + P(X=103) = =

010311022101 01,0.99,0.10310301,0.99,0.

10210301,0.99,0.

101103

+

+

=

=010311022101 01,0.99,0.101,0.99,0.10301,0.99,0.5253 ++ =

= 0,9150 ou 91,50%.

Espantoso? Pois , a probabilidade de haver problemas devido ao excesso de passageiros para esse vo bastante elevada e igual a 91,5%.

2.2.1. Mdia ou Valor Esperado de uma distribuio Binomial

Seja uma varivel X com distribuio Binomial de parmetros n (nmero de ensaios de Bernoulli) e p (probabilidade de sucesso). A mdia ou valor esperado de X dado por:

21

p.n)X(E ==

2.2.2. Varincia e Desvio Padro de uma distribuio Binomial

Nas mesmas suposies da mdia, temos:

Varincia: q.p.n)X(Var2 ==

ou )p1.(p.n)X(Var2 ==

Desvio padro: q.p.n)X(DP ==

ou )p1.(p.n)X(DP ==

Exemplo 10: consideremos o exemplo anterior que trata sobre o Overbooking. Determine a mdia, varincia e desvio padro para a varivel X definida anteriormente. Interprete os resultados.

Lembrando que: n=103 p=0,99 q=10,99=0,01

Ento:

E(X) = 103 . 0,99 = 101,97 Var(X) = 103 . 0,99 . 0,01 = 1,0197 DP(X) = 0197,1 =1,0098

Logo, em mdia comparecem ao embarque aproximadamente 102 (101,97) passageiros com um desvio padro de 1 passageiro.

2.2.3. Exerccios

1) Uma moeda lanada 6 vezes. Qual a probabilidade de observarmos exatamente duas caras?

2) Um dado lanado 5 vezes. Qual a probabilidade de que o 4 aparea exatamente 3 vezes?

3) Uma pessoa tem probabilidade 0,2 de acertar num alvo toda vez que atira. Supondo que as vezes que ela atira so ensaios independentes, qual a probabilidade de ela acertar no alvo exatamente 4 vezes, se ela d 8 tiros?

4) A probabilidade de que um homem de 45 anos sobreviva mais 20 anos 0,6. De um grupo de 5 homens com 45 anos, qual a probabilidade de que exatamente 4 cheguem aos 65 anos?

22

5) Uma moeda lanada 6 vezes. Qual a probabilidade de observarmos ao menos uma cara?

6) Um time de futebol tem probabilidade p = 0,6 de vencer todas as vezes que joga. Se disputar 5 partidas, qual a probabilidade de que vena ao menos uma?

7) Uma prova consta de 5 testes com 4 alternativas casa um, sendo apenas uma delas correta. Um aluno que nada sabe a respeito da matria da prova, chuta uma resposta para cada teste. Qual a probabilidade desse aluno: a) acertar os 5 testes? b) acertar apenas 4 testes? c) acertar apenas 3 testes? d) acertar apenas 2 testes? e) acertar apenas 1 teste? f) errar todos os testes propostos? g) qual o resultado mais provvel obtido pelo aluno?

8) Foi realizada uma pesquisa com 500 pessoas para verificar se assistiam determinado programa de televiso. Duzentas pessoas afirmaram assistir. Se, a partir da populao, retirarmos 8 indivduos, qual a probabilidade de que no mximo 6 assistam o programa?

9) Um aluno tem o domnio de 70% do contedo que ser cobrado em uma prova. Sabendose que essa prova composta por 10 questes, qual a probabilidade de ele acertar, ao menos, 7 questes para ser aprovado?

10) Em uma UTI, em mdia 5% dos bebs que nascem prematuros no sobrevivem. Se, atualmente, h 40 bebs prematuros, qual a probabilidade de que no mximo 5% dos bebs no sobrevivam?

11) Em 320 famlias com quatro crianas cada uma, quantas famlias seria esperado que tivessem: a) nenhuma menina? b) trs meninos? c) quatro meninos?

12) Um time X tem 32

de probabilidade de vitria sempre que joga. Se X jogar cinco partidas, calcule a probabilidade de: a) X vencer exatamente trs partidas; b) X vencer ao menos uma partida; c) X vencer mais da metade das partidas.

13) A probabilidade de um atirador acertar o alvo 31

. Se ele atirar seis vezes,

qual a probabilidade de: a) acertar exatamente dois tiros? b) no acertar o alvo?

23

14) Se 5% das lmpadas de certa marca so defeituosas, ache a probabilidade de que, numa amostra de 100 lmpadas, escolhidas ao acaso, tenhamos: a) nenhuma defeituosa; b) trs defeituosas; c) mais do que uma boa.

15) Em determinada cidade, 56% dos dias so nublados. Encontre a mdia, a varincia e o desvio padro para o nmero de dias nublados durante o ms de junho.

16) Calcule a mdia, a varincia e o desvio padro da distribuio binomial cujos parmetros so: a) n=80 e p=0,3; b) n=124 e p=0,26.

Respostas 1) 0,2344 2) 0,03215 3) 0,4588 4) 0,2592 5) 0,98439 6) 0,9898 7) a) 1/1024 b) 15/1024 c) 90/1024 d) 270/1024 e) 405/1024 f) 243/1024 g) O resultado mais provvel que o aluno acerte apenas 1 teste. 8) 0,9915 9) 0,6496 10) 0,6767 11) a) 20 b) 80 c) 20 12) a) 80/243 b) 242/243 c) 64/81 13) a) 80/243 b) 64/729 14) a) (0,95)100 b)

3100

(0,05)3.(0,95)97

c) 1(0,05)100 100.(0,95).(0,05)99 15) E(X)=16,8 Var(X)=7,4 DP(X)=2,7 16) a) E(X) = 24 Var(X)=16,8 DP(X)=4,1 b) E(X) = 32,2 Var(X)=23,9 DP(X)=4,9

24

2.3. Distribuio Geomtrica

Muitas situaes reais podem ser repetidas at atingirse o sucesso. Um candidato pode prestar uma prova de vestibular at ser aprovado, ou voc pode digitar um nmero de telefone vrias vezes at conseguir completar a ligao. Situaes como essas podem ser representadas por uma distribuio Geomtrica.

Uma distribuio pode ser considerada Geomtrica se satisfizer as seguintes condies: 1) Uma tentativa (correspondente a um Ensaio de Bernoulli) repetida at que o sucesso ocorra, ou seja, ocorrem k1 fracassos at que ocorra o primeiro sucesso na ksima tentativa. 2) As tentativas so independentes umas das outras. 3) A probabilidade de sucesso p constante em todos os Ensaios de Bernoulli.

Logo, a probabilidade de que ocorra sucesso na tentativa k :

P(X=k) = p.(1p)k1

com k=1,2,3,4...

Ou seja, ocorrem k1 fracassos com probabilidade 1p at que ocorra um sucesso na tentativa k com probabilidade p.

Exemplo 1: uma linha de produo est sendo analisada para efeito de controle da qualidade das peas produzidas. Tendo em vista o alto padro requerido, a produo interrompida para regulagem toda vez que uma pea defeituosa observada. Se 0,01 a probabilidade da pea ser defeituosa, determine a probabilidade de ocorrer uma pea defeituosa na 1 pea produzida, na 2, na 5, na 10, na 20 e na 40.

Vamos admitir que cada pea tem a mesma probabilidade de ser defeituosa, independentemente da qualidade das demais. Sendo a ocorrncia de pea defeituosa um sucesso, podemos aplicar o modelo Geomtrico. Definindo a varivel aleatria com distribuio geomtrica X: nmero total de peas observadas at que ocorra a primeira defeituosa, podemos escrever nosso modelo:

P(X=k) = 0,01 . 0,99k1

Assim, podemos aplicar nosso modelo para calcular as probabilidades pedidas:

P(X=1) = 0,01 . 0,990 = 0,01 P(X=2) = 0,01 . 0,991 = 0,0099 P(X=5) = 0,01 . 0,994 = 0,0096 P(X=10) = 0,01 . 0,999 = 0,0091 P(X=20) = 0,01 . 0,9919 = 0,0083 P(X=40) = 0,01 . 0,9939 = 0,0068

25

Exemplo 2: por experincia, voc sabe que a probabilidade de que voc far uma venda em qualquer telefone dado 0,23. Encontre a probabilidade de que sua primeira venda ocorra na quarta ou na quinta ligao.

X: nmero da primeira ligao em que ocorre a venda (sucesso).

P(X=4) = 0,23 . 0,773 0,105003 P(X=5) = 0,23 . 0,774 0,080852

Logo, a probabilidade desejada :

P(venda na 4 ou 5 ligao) = P(X=4) + P(X=5) = 0,105003 + 0,080852 0,186.

Embora um sucesso possa, teoricamente, nunca ocorrer, a distribuio geomtrica uma distribuio de probabilidade discreta porque os valores de x podem ser listados 1,2,3.... Perceba que conforme x se torna maior, P(X=x) se aproxima de zero. Por exemplo:

P(X=50) = 0,23 . 0,7749 0,0000006306.

2.3.1. Esperana (ou mdia) da Distribuio Geomtrica

Seja X uma varivel aleatria com distribuio geomtrica de parmetro p (probabilidade de sucesso). A mdia ou esperana de X dada por:

p1)X(E ==

2.3.2. Varincia da Distribuio Geomtrica

Nas mesmas condies que as apresentadas para a mdia, temos que a varincia dada por

22

pp1)X(Var ==

Observao: o desvio padro calculado como sendo a raiz quadrada da varincia, assim como j estudamos anteriormente.

2.3.3. Exerccios

1) Considere uma varivel aleatria X com distribuio Geomtrica com parmetro p=0,4. Calcule: a) P(X = 4). b) P(3 X < 5). c) P(X 2).

26

2) Uma moeda equilibrada lanada sucessivamente, de modo independente, at que ocorra a primeira cara. Seja X a varivel aleatria que conta o nmero de lanamentos anteriores ocorrncia de cara. Determine: a) P(X 2). b) P(X > 1). c) P(3 < X 5).

3) Suponha que a probabilidade de que voc faa uma venda durante qualquer um dos telefonemas feitos 0,19. Encontre a probabilidade de que voc: a) faa sua primeira venda durante a quinta ligao; b) faa sua primeira venda durante a primeira, segunda ou terceira ligao; c) no faa uma venda durante as trs primeiras ligaes.

4) Um produtor de vidro descobre que 1 em cada 500 itens de vidro est torcido. Encontre a probabilidade de: a) o primeiro item de vidro torcido ser o dcimo item produzido; b) o primeiro item de vidro torcido ser o segundo ou terceiro item produzido; c) nenhum dos dez primeiros itens de vidro estar imperfeito.

Respostas 1) a) 0,0864 b) 0,2304 c) 0,6000 2) a) 0,875 b) 0,250 c) 0,047 3) a) 0,082 b) 0,469 c) 0,531 4) a) 0,002 b) 0,004 c) 0,980

27

2.4. Distribuio de Poisson

A distribuio de Poisson (falase: Poassom) uma distribuio de probabilidade discreta de uma varivel aleatria X que satisfaz s seguintes condies:

1) O experimento consiste em calcular o nmero de vezes, k, que um evento ocorre em um dado intervalo. O intervalo pode ser de tempo, rea, volume, etc. 2) A probabilidade de o evento acontecer a mesmas para cada intervalo. 3) O nmero de ocorrncias em um intervalo independente do nmero de ocorrncias em outro intervalo.

A distribuio de Poisson possui um parmetro (leiase: lmbda) que chamamos de taxa de ocorrncia, que corresponde freqncia mdia ou esperada de ocorrncias em um determinado intervalo. Alm disso, sempre temos que >0.

A probabilidade calculada da seguinte forma:

!k.e)kX(P

k==

onde: k=0,1,2,3,... e o nmero irracional que vale aproximadamente 2,71828;

a taxa de ocorrncia (que igual mdia da distribuio).

2.4.1. Esperana e Varincia da distribuio de Poisson

Sendo X uma varivel que segue o modelo Poisson com parmetro , temos que:

Mdia ou esperana: E(X) = .

Varincia: Var(X) = .

Desvio padro: DP(X) = .

Importante: a Poisson, assim como a Geomtrica, uma distribuio que pode assumir infinitos valores. Dessa forma, k assume valores em todo o conjunto dos nmeros naturais.

Exemplo 1: a emisso de partculas radioativas tem sido modelada atravs de uma distribuio de Poisson, com o valor do parmetro dependendo da fonte utilizada. Suponha que o nmero de partculas alfa, emitidas por minuto, seja uma varivel aleatria seguindo o modelo Poisson com parmetro 5, isto , a taxa mdia de ocorrncias de 5 emisses a cada minuto. Calcular a probabilidade de haver mais de 2 emisses em um minuto.

28

Resoluo

Pelo enunciado, temos que X: nmero de emisses em um minuto; = 5 emisses/minuto

Neste caso, queremos calcular P(X > 2), que uma soma infinita de valores, pois podemos ter X=3,4,5,6,7,8,... Assim, devemos, obrigatoriamente, trabalhar com o complementar:

P(X > 2) = 1 P(X 2) = 1 [ P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) ] = =

++

!25.e

!15.e

!05.e1

251505

= 0,875.

Logo, h uma probabilidade de 87,5% de haver mais que 2 emisses ao longo de um minuto.

Exemplo 2: voc o gerente de uma loja e sabe que, fora do horrio de pico, entram, em mdia, 6 clientes a cada 10 minutos. Qual a probabilidade de entrarem: a) 6 clientes na loja em um perodo qualquer de 10 minutos fora do horrio de pico? b) at 2 clientes num perodo de 10 minutos fora do horrio de pico? c) entrarem 3 clientes ou mais fora do horrio de pico?

Resoluo

Inicialmente, percebemos que se trata de uma varivel com distribuio de Poisson: X: nmero de clientes que entram num perodo de 10 minutos; =6 clientes a cada 10 minutos

a) P(X=6) =!66.e 66

= 0,1606.

b) =++==+=+==

!26.e

!16.e

!06.e)2X(P)1X(P)0X(P)2X(P

261606

0620,025.e!2

6!1

6!0

6.e 6

2106

==

++=

Perceba que o clculo ficou bastante simplificado quando colocamos o termo e6 em evidncia (fator comum).

c) Vamos utilizar o resultado do item anterior na resoluo: 9380,00620,01)2X(P1)3X(P1)3X(P ===

29

Exemplo 3: no pedgio da rodovia dos Imigrantes passam, em mdia, 3600 carros por hora em vsperas de feriado. Qual a probabilidade de:

a) passarem dois carros em um segundo? b) passarem 30 carros em 15 segundos? c) passarem at 5 carros em 10 segundos?

Resoluo

Pelo enunciado, temos que =3600 carros/hora. Porm, se voc observar as perguntas, poder perceber que as unidades no correspondem a 1 hora. Assim, devemos recalcular o valor do nosso parmetro a cada item, de modo a trabalharmos sempre na mesma unidade. Esse clculo pode ser direto ou atravs de uma regra de trs simples.

a) X: nmero de carros que passam no pedgio por segundo. Nosso parmetro ser recalculado. Lembrando que 1 hora possui 3600 segundos, temos: 1

36003600

== carro por segundo. Agora, podemos calcular a probabilidade

desejada:

1839,0!21.e)2X(P

21

===

.

b) X: nmero de carros que passam no pedgio a cada 15 segundos. Vamos trabalhar, agora, com uma regra de trs:

3600 carros 3600 segundos (1h) - 15 segundos

= 15 carros a cada 15 segundos. Assim:

00022,0!30

15.e)30X(P3015

===

.

c) X: nmero de carros que passam no pedgio a cada 10 segundos. Da mesma forma que no item anterior, temos que = 10 carros a cada 10 segundos. Portanto:

==++=+== )5X(P...)1X(P)0X(P)5X(P

0671,06667,1477.e!5

10!4

10!3

10!2

10!1

10!0

10.e

!510.e

!410.e

!310.e

!210.e

!110.e

!010.e

10543210

10

510410310210110010

==

+++++=

=+++++=

Ou seja, h uma probabilidade de 6,71% de passarem 5 carros ou menos ao longo de 10 segundos.

30

Exemplo 4: suponha que 360 erros de impresso estejam distribudos aleatoriamente, segundo uma Poisson, em um livro de 180 pginas. Calcule a probabilidade de encontrar uma pgina com: a) nenhum erro; b) mais de um erro.

Resoluo

Sendo X: nmero de erros encontrados em 1 pgina, devemos calcular o valor do nosso parmetro:

2180360

== erros / pgina.

a) 1353,0!02.e)0X(P

02

===

.

b) [ ] 5940,0!12.e

!02.e1)1X(P)0X(P1)1X(P1)1X(P

1202

=

+==+===>

.

Exemplo 5: experincias passadas indicam que o nmero de ligaes recebidas, no perodo noturno, em uma central telefnica segue uma distribuio de Poisson. As probabilidades de receber um certo nmero de chamadas por hora esto apresentadas na tabela a seguir:

N chamadas Probabilidade 0 0,0111 1 0,0500 2 0,1125 3 0,1687 4 0,1898 5 0,1708

Calcule a probabilidade de que essa central receba 3 ou mais chamadas ao longo de uma hora.

Resoluo

Cuidado! Perceba que queremos calcular P(X3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + ... que uma soma infinita. Muitas vezes, essa tabela nos leva a um erro na hora do clculo caso voc no se lembre que a Poisson vlida para infinitos valores, no caso, do nmero de chamadas. Devemos, portanto, trabalhar com o complementar:

P(X3) = 1P(X

31

2.4.2. Exerccios

1) A aplicao de fundo anticorrosivo em chapas de ao de 1 m2 feita mecanicamente e pode produzir defeitos (pequenas bolhas na pintura), de acordo com uma varivel aleatria Poisson de parmetro = 1 defeitos por m2. Uma chapa sorteada ao acaso para ser inspecionada. Qual a probabilidade de: a) encontrarmos pelo menos 1 defeito? b) no mximo 2 defeitos serem encontrados? c) encontrar entre 2 e 4 defeitos? d) no mais de 1 defeito ser encontrado?

2) Uma indstria de tintas recebe pedidos de seus vendedores atravs de fax, telefone e Internet. O nmero de pedidos que chegam por qualquer meio, durante o horrio comercial, uma varivel aleatria discreta com distribuio Poisson com taxa de 5 pedidos por hora. a) Calcule a probabilidade de haver mais de 2 pedidos por hora. b) Em um dia de trabalho (8 horas), qual seria a probabilidade de haver 50 pedidos? c) Qual a probabilidade de no haver nenhum pedido em um dia de trabalho? Voc diria que isso um evento raro?

3) O pessoal de inspeo de qualidade afirma que os orlos de fita isolante apresentam, em mdia, uma emenda a cada 50 metros. Admitindo que a distribuio do nmero de emendas dada pela Poisson, calcule a probabilidade de encontrar: a) nenhuma emenda em um rolo de 125 metros; b) no mximo duas emendas em um rolo de 125 metros. c) pelo menos uma emenda num rolo de 100 metros.

4) Certo posto de bombeiros recebe em mdia 3 chamadas por dia. Calcule a probabilidade de receber, em um dia: a) 4 chamadas; b) 3 ou mais chamadas.

5) A mdia de chamadas telefnicas numa hora igual a 3. Qual a probabilidade de: a) receber exatamente 3 chamadas em uma hora? b) receber 4 ou mais chamadas em 90 minutos?

6) Na pintura de paredes, aparecem defeitos em mdia na proporo de um defeito por metro quadrado. Qual a probabilidade de aparecerem 3 defeitos numa parede de 2 x 2m?

7) Suponha que haja em mdia dois suicdios por ano numa populao de 50000 habitantes distribudos segundo uma Poisson. Em certa cidade com 100 000 habitantes, qual a probabilidade de que o nmero de suicdios em determinado ano seja: a) igual a 0? b) igual a 1? c) igual a 2?

32

d) igual a 2 ou mais?

8) Suponha que ocorram 400 erros de impresso distribudos aleatoriamente em um livro de 500 pginas. Encontre a probabilidade de que uma dada pgina contenha: a) nenhum erro; b) exatamente dois erros.

9) Certa loja recebe, em mdia, 5 clientes por hora, segundo o modelo Poisson. Qual a probabilidade de: a) receber dois clientes em 24 minutos? b) receber pelo menos trs clientes em 18 minutos?

10) A mdia de chamadas telefnicas em uma hora trs, segundo o modelo Poisson. Qual a probabilidade de receber: a) trs chamadas em 20 minutos? b) no mximo duas chamadas em meia hora?

11) Em uma estrada passam, em mdia, 1,7 carros por minuto. Qual a probabilidade de passarem exatamente dois carros em dois minutos? Admita vlido o modelo Poisson.

12) Uma fbrica produz tecidos com 2,2 defeitos, em mdia, por pea, segundo o modelo Poisson. Determine a probabilidade de haver ao menos dois defeitos em duas peas.

Respostas 1) a) 0,632 b) 0,920 c) 0,261 d) 0,736 2) a) 0,875 b) 0,018 c) Sim, pois a probabilidade de e40. 3) a) 0,0821 b) 0,5440 c) 0,8647 4) a) 0,1680 b) 0,5767 5) a) 0,2241 b) 0,6580 6) 0,1954 7) a) 0,0183 b) 0,0732 c) 0,1464 d) 0,9085 8) a) 0,449 b) 0,1438 9) a) 0,2707 b) 0,1912 10) a) 0,0613 b) 0,8088 11) 0,1929 12) 0,9337

33

3. Modelos Contnuos de Distribuies de Probabilidades

Como j vimos, uma varivel aleatria pode ser discreta ou contnua. Quando a varivel contnua, ou seja, assume valores em intervalos da reta dos nmeros reais, a distribuio de freqncia de uma amostra de observaes pode ser representada atravs de um histograma.

Agora, porm, queremos analisar a populao de onde foi retirada essa amostra. Como no temos acesso ao histograma de freqncias relativo populao, no conseguimos determinar, diretamente, o clculo de qualquer probabilidade. Para o clculo exato, necessitamos de um modelo para a distribuio de freqncias da populao. Estudaremos, aqui, dois dos principais modelos contnuos: a Normal e a Exponencial.

Os modelos que sero analisado representam comportamentos de uma extensa srie de variveis do mundo dos negcios e tambm distribuies tericas de probabilidades que so fundamentais para os mtodos de inferncia estatstica. Tais modelos so expressos por funes matemticas denominadas funes densidade de probabilidade.

A rea sob a curva que expressa a funo densidade de probabilidade igual a 1 (total das probabilidades), sendo que a probabilidade de uma particular observao pertencer a um intervalo dado pela rea sob a curva, correspondente ao intervalo, conforme podemos observar na figura seguinte:

3.1. Distribuio Uniforme

A Distribuio Uniforme Contnua uma das distribuies contnuas mais simples de toda a Estatstica. Ela se caracteriza por ter uma funo densidade contnua em um intervalo fechado [a,b]. Ou seja, a probabilidade de ocorrncia de um certo valor sempre o mesmo. Embora as aplicaes desta distribuio no sejam to abundantes quanto as demais distribuies que discutiremos mais adiante, utilizaremos a Distribuio Uniforme para introduzirmos as funes contnuas e darmos uma noo de como se utiliza a funo densidade para determinarmos probabilidades, esperanas e varincias.

34

3.1.1. Funo densidade de probabilidade

A varivel aleatria X tem distribuio Uniforme no intervalo [a,b] se sua densidade de probabilidade for dada por:

=

contrrio. caso 0,

b;xa ,ab

1)x(f

Usaremos a notao X ~ U[a,b] para indicar que X segue o modelo Uniforme Contnuo no intervalo considerado.

Graficamente:

Note que a rea compreendida entre a funo densidade e o eixo :

rea = base x altura = (ba) .ab

1

= 1.

Ou seja, de modo simples, podemos dizer que REA = PROBABILIDADE.

3.1.2. Esperana

J vimos que a esperana para variveis discretas calculada atravs da frmula ==

iii )xX(P.x)X(E . Quando trabalhamos com variveis contnuas, utilizamos a

funo densidade. Alm disso, no podemos trabalhar com o somatrio visto que se trata de uma funo contnua, ou seja, se trata do clculo de uma rea. Logo, utilizaremos integral.

f(x)

x a b

ab1

35

Vamos deduzir a frmula da esperana da distribuio Uniforme contnua:

2ba

)ab(2ab

2x

.

ab1dx

ab1

.xdx)x(f.x)X(E22b

a

2b

a

b

a

+=

=

=

=== .

Logo,

2ba)X(E += .

3.1.3. Varincia

Assim como j vimos, a varincia de uma varivel aleatria obtida atravs da expresso:

22222 )X(E)X(E)X(E)X(Var === .

J calculamos o valor de E(X). Vamos calcular, agora, E(X2):

3aabb

)ab(3ab

3x

.

ab1dx

ab1

.xdx)x(f.x)X(E2233b

a

3b

a

2b

a

22 ++=

=

=

== .

Agora, podemos obter a varincia:

( ) ( ) ( )12

ab2

ba3

aabbXEXE)X(Var2222

222 =

+

++=== .

Logo,

( )12

ab)X(Var2

= .

Exemplo: com o objetivo de verificar a resistncia presso de gua, os tcnicos de qualidade de uma empresa inspecionam os tubos de PVC produzidos. Os tubos inspecionados tem 6 metros de comprimento e so submetidos a grandes presses at o aparecimento do primeiro vazamento, cuja distncia a uma das extermidades (fixada priori) anotada para fins de anlise posterior. Escolhe-se um tubo ao acaso para ser inspecionado. Denote por X a varivel aleatria que indica a distncia correspondente ao vazamento. Assuma que X tem uma distribuio Uniforme Contnua.

a) Determine a funo densidade de probabilidade. b) Construa o grfico da funo densidade. c) Utilizando apenas a funo, determine a probabilidade de que o vazamento esteja, no mximo, a 1 metro das extremidades.

36

d) Utilizando apenas o grfico construdo no item b, determine a probabilidade de que o vazamento esteja, no mximo, a 1 metro das extremidades.

Resoluo

a) Temos, a partir do enunciado, que X ~ U[0,6]. Logo:

=

contrrio. caso 0,

6;x0 ,61

)x(f

b)

c) Utilizando a funo densidade:

31

65

660

61

6x

6xdx

61dx

61)6X5(P)1X0(P

6

5

1

0

6

5

1

0

=+=+=+=+ .

Portanto, a probabilidade desejada vale 31

.

d) usando apenas o grfico construdo, basta lembrarmos que probabilidade equivalente a rea sob o grfico da funo densidade:

f(x)

x 0 6

61

37

A rea hachurada igual a probabilidade procurada:

31

61

.161

.1)6X5(P)1X0(P =+=+ ,

que igual ao resultado obtido no clculo do item c.

3.1.4. Exerccios

1) Sendo X ~ U[0,4], calcule: a) P(X > 2). b) P(X 2). c) P(1 < X < 2).

2) Admite-se que uma pane pode ocorrer em qualquer ponto de uma rede eltrica de 10 km. a) Qual a probabilidade de a pane ocorrer nos primeiros 500 metros? E de ocorrer nos 3 km centrais da rede? b) O custo de reparo da rede depende da distncia do centro de servio ao local da pane. Considere que o centro de servio est na origem da rede e que o custo de R$ 200 para distncias at 3 km, de R$ 400 entre 3 e 8 km e de R$ 1000 para as distncias acima de 8 km. Qual o custo mdio do conserto?

3) O tempo necessrio para um medicamento contra dor fazer efeito foi modelado de acordo com a densidade Uniforme no intervalo de 5 a 15 minutos tendo por base experimentos conduzidos em animais. Um paciente, que esteja sofrendo dor, recebe o remdio e, supondo vlido o modelo mencionado, qual a probabilidade da dor: a) cessar em at 10 minutos? b) demorar pelo menos 12 minutos at cessar?

f(x)

x 0 6

61

1 5

38

4) Suponha que o valor esperado de uma varivel aleatria com distribuio Uniforme contnua 1 e a varincia igual a 1/12. Encontre a probabilidade da varivel assumir valores menores que 3/4.

Respostas 1) a) b) c) 2) X ~ U[0,10] a) 1/20 e 3/10 b) 460 3) X ~U[5,15] a) b) 3/10 4) Resolva um sistema com os valores da mdia e da varincia para determinar quanto valem os parmetros a e b. P(X < ) = .

39

3.2. Distribuio Exponencial

H uma estreita relao entre a distribuio Exponencial e a distribuio de Poisson. O modelo de distribuio de probabilidade que descreve o tempo, ou espao, entre dois sucessos consecutivos de uma varivel de Poisson a distribuio exponencial. Assim, por exemplo, o tempo entre falhas de equipamentos, o tempo entre chegadas de clientes a um shopping, a rea entre dois defeitos consecutivos de uma pea de tecido, etc., so descritos pela distribuio Exponencial.

Uma varivel aleatria contnua X, que assuma todos os valores reais no negativos, ter uma distribuio Exponencial com parmetro >0 se a sua funo densidade de probabilidade for dada por:

=

contrrio. caso , 00;t se, e.)x(f

x.

3.2.1. Mdia e Varincia da Distribuio Exponencial

Se uma varivel X possui distribuio Exponencial com parmetro , ento:

Mdia ou Esperana:

=

1)X(E .

Varincia: 21)X(Var

= .

Conseqentemente:

Desvio padro:

=

1)X(DP .

3.2.2. Clculo de Probabilidades

Lembrando que a probabilidade a rea compreendida entre o eixo x e a curva do grfico da funo densidade de probabilidade, podemos calcular as probabilidades da distribuio Exponencial utilizando a funo densidade juntamente com uma integral definida.

Porm, podemos, tambm, utilizar as seguintes frmulas para o clculo:

t.e)tX(P => .

Logo:

40

t.e1)tX(P = .

Fazendo um esboo grfico temos:

Exemplo 1: suponha que, em determinado perodo do dia, o tempo mdio de atendimento em um caixa de banco seja de 5 minutos. Admitindo que o tempo para atendimento tenha distribuio exponencial, determinar a probabilidade de um cliente: a) esperar mais do que 5 minutos; b) esperar menos do que 4 minutos; c) esperar entre 3 e 8 minutos.

Resoluo

Seja a varivel aleatria X: tempo de atendimento. Foi dado que o tempo mdio de atendimento de 5 minutos. Vimos que a mdia, ou esperana, de uma varivel com distribuio exponencial

=

1)X(E . Logo: 2,05151 ===

, que

o parmetro da distribuio.

a) Vimos que: t.e)tX(P => . Ento: P(X>5) = e-0,2.5 = 0,3679 ou 36,79%.

b) Vimos que t.e)tX(P => . Logo: 5507,0e1)4X(P 4.2,0 == ou 55,07%.

c) Graficamente, esperar entre 3 e 8 minutos corresponde regio hachurada:

41

Essa rea (probabilidade) pode ser calculada da seguinte forma:

P(3 < X < 8) = P(X > 3) P(X > 8) = e0,2.3 e0,2.8 = 0,5488 0,2019 = 0,3469.

3.2.3. Distribuio Exponencial aplicada Teoria da Confiabilidade

Na teoria da confiabilidade de componentes, ou sistemas, calculam-se as probabilidades de que o componente, ou sistema, no venha a falhar durante um intervalo [O, t0], ou seja: a probabilidade de que o componente ainda esteja funcionando na poca t0. Uma das mais importantes leis de falhas aquela cuja durao at falhar descrita pela distribuio exponencial. Admite-se que a taxa de falhas constante, isto , depois que a pea (equipamento, sistema etc.) esteja em uso, sua probabilidade de falha no se altera. Logo, no se considera o efeito do desgaste quando o modelo exponencial admitido. Por exemplo, considerando-se uma taxa de falhas constante, o funcionamento de um rolamento, a qualquer momento, to bom quanto novo, e nestes casos o modelo de distribuio de tempo at falhar exponencial.

Exemplo 2: Suponha que a durao da vida de um dispositivo eletrnico seja exponencialmente distribuda com tempo mdio entre falhas de 100 horas. a) Qual a probabilidade de o dispositivo no falhar em 150 horas de uso? b) Qual o nmero de horas para se ter confiabilidade de 90% (isto , 90% de probabilidade de no falhar)?

Resoluo

Como

=

1)X(E , ento 01,0100

11100 ==

= .

a) P(X>150) = e0,01.150 = 0,2231 ou 22,31%.

b) Queremos encontrar um valor t de modo que:

P(X > t) = 0,90 e0,01.t = 0,90

Aplicando logaritmo nos dois lados da igualdade temos:

42

ln e0,01.t = ln 0,90 0,01.t = ln 0,90

01,090,0lnt =

t = 10,54 horas.

Ou seja, h 90% de confiabilidade de o dispositivo no falhar antes de 10,54 horas.

Exemplo 3: uma indstria fabrica lmpadas especiais que ficam em operao continuamente. A empresa oferece a seus clientes a garantia de reposio, caso a lmpada dure menos de 50 horas. A vida til dessas lmpadas modelada atravs da distribuio exponencial e possui, para t 0, a seguinte funo

densidade de probabilidade: t.

80001

e.8000

1)t(f = . Qual a porcentagem de lmpadas que essa indstria dever repor a seus clientes, a ttulo de garantia?

Comparando com a funo densidade da distribuio Exponencial

=

contrrio. caso , 00;t se, e.)x(f

x.

, percebemos que o nosso parmetro vale

80001

= . Queremos calcula a seguinte probabilidade:

006,0e1)50T(P 50.80001

== 180).

50

Mas antes, calculemos o valor do desvio-padro () de cada uma das populaes. Lembrando que o desvio-padro nada mais do que a raiz quadrada da varincia. Logo:

864A == 11B ==

Utilizando um software possvel calcularmos tais probabilidades. Esse software calcula, na verdade, a rea abaixo da curva:

P(XA > 180) = 0,2266 ou 22,66%.

P(XB > 180) = 0,0228 ou 2,28%.

Portanto, o pesquisador ter mais facilidade de achar pessoas com mais de 1,80m na populao A. Aleatoriamente falando, tal probabilidade de 22,66%.

Esse resultado pode parecer estranho, visto que a populao B possui uma mdia de alturas superior ao da populao A. Porm, tal fato explicado atravs da variabilidade dos resultados, ou melhor, pelo desvio-padro.

Exemplo 2: Consideremos, ainda, o exemplo anterior. S que, agora, temos interesse em obter pessoas que tenham entre 1,75m e 1,80m. Qual populao possui um nmero maior de habitantes nessa faixa de altura?

Aqui, queremos calcular as seguintes probabilidades: P(175 < XA < 180) e P(175 < XB < 180) .

Novamente, usando um software, obtemos:

P(175 < XA < 180) = 0,2236 e

P(175 < XB < 180) = 0,9759.

Portanto, evidente que a populao B, mais uma vez, representa a melhor escolha, pois a probabilidade de escolhermos uma pessoa nessa faixa de altura na populao B quase 100%, ou seja, quase todos habitantes possuem as alturas procuradas.

Meu computador deu pau! Como calcular as probabilidades da Normal?

USE A NORMAL PADRO !

51

3.3.2. Normal Padro

Em muitos livros de Estatstica podemos encontrar uma tabela da Normal Padro. uma tabela que nos fornece valores das reas (= probabilidades) de acordo com o valor de x, exatamente como fizemos nos exemplos anteriores com o auxlio do software Winstats.

A maioria dos softwares de Estatstica possuem comandos que permitem calcularmos o valor das reas sobre curvas como a Normal, dentre eles, o SAS, o Excel, o S-PLUS, e outros. Porm, se no temos acesso a um computador, podemos usar a Tabela da Normal. Mas, como dissemos anteriormente, existem diversas curvas da normal, que variam segundo a mdia e varincia. Isso significa que teramos que ter inmeras tabelas da normal... o que no parece muito vivel.

Dessa forma, criou-se uma maneira mais simples de se obter as reas desejadas. Criou-se uma curva denominada Normal Padro, que corresponde a uma distribuio normal com mdia zero e desvio-padro um. Geralmente a varivel aleatria associada distribuio normal padro chamada de Z. Em notao:

A grande vantagem de usarmos tal distribuio o fato de trabalharmos apenas com uma distribuio e, portanto, com uma nica tabela. Tudo mais fcil!

Porm, como fazer para obtermos tal varivel Z (padronizada) a partir de uma varivel aleatria qualquer X tal que X ~ N(, 2) ?

Basta padronizarmos ou normalizarmos a varivel X atravs da frmula:

onde: = mdia de X = desvio-padro de X

3.3.2. Usando a tabela da Normal Padro

Existem algumas variaes de apresentao da tabela. No nosso caso, utilizaremos uma tabela tal que P(0 Z zc) = p, ou seja, a probabilidade fornecida pela tabela (p) corresponde ao intervalo que vai de 0 at um certo nmero zc no eixo x. Esquematicamente, a tabela da normal nos fornece a probabilidade correspondente rea a seguir:

Z ~ N(0,1), ou seja, Z = 0 e Z = 1

=

XZ

52

Veja, esquematicamente, como deve ser a leitura da tabela:

Exemplo 3 Padronizao

Voltemos ao caso do exemplo anterior onde tnhamos = 174 e = 8. Queramos calcular P(X > 180). Vamos normalizar a varivel X (ou seja, transform-la em Z) e utilizar a tabela para obter a probabilidade desejada.

( )75,0ZP8

174180XP)180X(P >=

>

=>

Para obtermos a probabilidade desejada, devemos lembrar que a nossa tabela nos fornece a probabilidade de 0 at um certo valor.

0 zc

p

Leitura da TabelaLeitura da TabelaLeitura da TabelaLeitura da Tabela

2 casa decimal de Z

Parte inteira e 1 casa decimal de Z

Probabilidade

53

Dado Z = 0,75, vejamos como obter a probabilidade a partir da tabela da Normal Padro. Na coluna mais esquerda, tomamos a parte inteira e a primeira decimal de Z, no caso, 0,7. Na linha superior, observamos o valor da segunda casa decimal, no caso 5 (lembre-se que o nmero 0,75). A clula correspondente linha do nmero 0,7 e da coluna de 5 o valor da probabilidade. No caso, p=0,2734.

Parte inteira e primeira decimal de z Segunda casa decimal de z

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621

Ento:

3.0 2.0 1.0 1.0 2.0 3.0

0.1

0.2

0.3

0.4

3.0 2.0 1.0 1.0 2.0 3.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0,75

Em vermelho, temos a rea (probabilidade)

fornecida pela tabela.

p=0,2734

Consultando a tabela da Normal

54

3.0 2.0 1.0 1.0 2.0 3.0

0.1

0.2

0.3

0.4

3.0 2.0 1.0 1.0 2.0 3.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Como fazer para calcular o valor desejado a partir do valor da tabela?

Bem, preciso relembrar as propriedades da curva da normal, em especial duas delas:

1) a rea abaixo da curva igual a 1; 2) a curva simtrica em torno da mdia (no caso da normal padro, em torno

do zero).

Logo, conclumos, que a rea correspondente metade da curva igual a 0,5:

3.0 2.0 1.0 1.0 2.0 3.0

0.1

0.2

0.3

0.4

3.0 2.0 1.0 1.0 2.0 3.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Ento, podemos observar que:

P(0 Z 0,75) + P(Z > 0,75) = 0,5

P(Z > 0,75) = 0,5 P(0 Z 0,75)

P(Z > 0,75) = 0,5 0,2734

0,75

Em laranja, temos a rea (probabilidade) que desejamos obter.

p = 0,5

55

P(Z > 0,75) = 0,2266

Logo, a probabilidade procurada de 0,2266 que corresponde ao mesmo valor obtido utilizando-se o software (exemplos anteriores).

Exemplo 4 Padronizao

Consideremos a mesma situao das alturas, ou seja, = 178, = 1 e queramos calcular a probabilidade P(175 < X < 180).

Normalizando a varivel X temos:

)2Z3(P1

178180X1

178175P)180X175(P

56

E, tambm, fornece o valor de:

3.0 2.0 1.0 1.0 2.0 3.0

0.1

0.2

0.3

0.4

3.0 2.0 1.0 1.0 2.0 3.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Logo, a rea procurada corresponde soma das reas parciais:

P(3 < Z < 2) = 0,4772 + 0,4987 = 0,9759,

que igual probabilidade obtida atravs do software (exemplos anteriores).

Assim, mostramos que a tabela pode ser muito til, principalmente quando no temos um computador ou software adequado por perto.

Exemplo 5 Teste de aptido

Em um certo teste de aptido para contratao de determinada empresa, os candidatos devem realizar uma seqncia de tarefas no menor tempo possvel. Suponhamos que o tempo necessrio para completar esse teste tenha uma distribuio Normal com mdia 45 minutos e desvio-padro de 20 minutos. Suponhamos que, numa primeira etapa, esse teste foi aplicado com uma amostra de 50 candidatos. Qual a probabilidade de encontrarmos algum candidato que tenha um tempo superior a 50 minutos (candidato muito lento) ou inferior a 30 minutos (que seria impossvel completar o teste)? Qual o nmero aproximado de candidatos com tal perfil?

Inicialmente, seja X uma varivel que indique o tempo de execuo das tarefas tal que X ~ N(45, 202). Desejamos calcular:

P(X > 50) + P(X < 35) =

= =

20

4530XP20

4550XP

= P(Z > 0,25) + P (Z < -0,75) =

0,4987

Lembre-se que, como a curva simtrica, a

rea correspondente ao intervalo de 3 0 igual a rea de 0 3!

57

3.0 2.0 1.0 1.0 2.0 3.0 4.0

0.1

0.2

0.3

0.4

3.0 2.0 1.0 1.0 2.0 3.0 4.0

0.1

0.2

0.3

0.4

3.0 2.0 1.0 1.0 2.0 3.0 4.0

0.1

0.2

0.3

0.4

3.0 2.0 1.0 1.0 2.0 3.0 4.0

0.1

0.2

0.3

0.4

= (0,5 0,0987) + (0,5 0,2734) =

= 0,6279 ou 62,79%

Como 0,6279 . 50 = 31,39, temos que o nmero de pessoas aproximado que contenham tais caracterstica de 32 pessoas. Ento, nesse teste a empresa j exclui 32 candidatos, restando apenas 18 para continuarem no processo de seleo.

3.3.3. Resumo das Propriedades da Distribuio Normal

1) A varivel aleatria X pode assumir todo e qualquer valor real. 2) A representao grfica da distribuio normal uma curva em forma de sino, simtrica em torno da mdia, que recebe o nome de curva normal ou de Gauss.

3) A rea total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas igual a 1, j que essa rea corresponde probabilidade de a varivel aleatria X assumir qualquer valor real.

4) A curva normal assinttica em relao ao eixo das abscissas, isto , aproxima-se indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcan-lo.

5) Como a curva simtrica em torno da mdia, a probabilidade de ocorrer valor maior que a mdia igual probabilidade de ocorrer valor menor do que a mdia, isto , ambas as probabilidades so iguais a 0,5 ou 50%. Cada metade da curva representa 50% de probabilidade.

6) Uma varivel Normal X com mdia e desvio padro pode ser transformada em uma varivel Normal Padro Z pela frmula

=

XZ .

58

Exemplo 6: Qual a probabilidade de escolher-se de forma aleatria, numa s tentativa, uma pessoa que tenha renda anual entre US$ 4.000 e US$ 7.000, morador de uma cidade. Sendo a renda mdia desta cidade US$ 5.000 e o desvio padro de US$ 1.500? Sabese que a renda populacional possui uma distribuio Normal.

Sendo X: renda anual de uma pessoa em dlares, temos:

)33,1Z67,0(P1500

50007000Z1500

50004000P)7000X4000(P

59

Exemplo 8: sendo Z uma varivel Normal Padro, calcule as seguintes probabilidades: a) P (0 < Z < 1,44) b) P (1,48< Z < 2,05) c) P (Z > 2,03) d) P (Z > 2,03) e) P (0,72 < Z < 1,89) f) P (0,72 Z < 1,89) g) P (0,72 < Z 1,89) h) P (0,72 Z 1,89) i) P(Z = 0,72) j) P(Z = 1,89) k) P(Z>4,5) l) P(Z 2,03) = 0,5 + 0,4788 = 0,9788 d) P (Z > 2,03) = 0,5 0,4788 = 0,0212 e) P (0,72 < Z < 1,89) = 0,4706 0,2642 = 0,2064

Para os itens seguintes, perceba que h apenas a alterao entre os smbolos < e . Pensando que a probabilidade corresponde a rea sob a curva e que a rea sob um nico ponto uma linha e, portanto, tem rea igual a zero, conclumos que a adio ou remoo de um ponto no interfere no resultado final. Ou seja: f) P (0,72 Z < 1,89) = 0,2064 g) P (0,72 < Z 1,89) = 0,2064 h) P (0,72 Z 1,89) = 0,2064

A rea sob um ponto uma linha, ou seja, a rea igual a zero: i) P(Z = 0,72) = 0 j) P(Z = 1,89) = 0

Note que a tabela no possui valores de probabilidade para z muito grande (geralmente acima de 4, dependendo da tabela utilizada). Ao mesmo tempo, note que para os ltimos valores da tabela, a probabilidade se aproxima de 0,5. Ento: k) P(Z>4,5) = 0,5 0,5 = 0 l) P(Z

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Exemplo 9: Se X uma varivel aleatria tal que X~N(20; 49), Calcule P(X

61

Consequentemente, vamos procurar na tabela o valor que mais se aproxima de 0,40 (veja a figura seguinte):

Observando a tabela, encontramos o valor de z mais prximo probabilidade 0,40:

0,10

z = ?

z = ?

0,40

62

Ou seja, o valor de z desejado z=1,28. Isso significa que P(Z>1,28) 0,10. Comparando com a expresso obtida 10,0

580aZP =

> , temos a seguinte

igualdade: 28,1

580a

=

Portanto, a=86,4. Concluso: existem 10% dos operrios que ganham acima de $86,40. Esse , portanto, o salrio procurado.

b) Agora, desejamos saber o salrio b que separa os 20% que ganham menos dos demais, ou seja:

P(X

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Observando a tabela da Normal Padro, devemos procurar a probabilidade mais prxima de 0,30:

Ou seja, o valor procurado z=0,84. Porm, olhando o ltimo grfico, devemos ficar atento para o fato de que o valor que desejamos est esquerda do zero, ou seja, um valor negativo. Devido simetria da curva da Normal, conclumos que o valor de z que realmente queremos z=0,84. Em outras palavras, temos que P(Z

64

84,0580b

=

e, portanto, b=75,8.

Assim, o salrio semanal de $ 75,80 separa os 20% dos operrios que recebem menos.

Exemplo 11: em uma escola, as notas de um exame so normalmente distribudos com mdia de 72 pontos e desvio padro de 9. O professor atribuir conceito A aos 8% dos melhores alunos. Qual a menor nota (valor inteiro) que um aluno pode tirar de modo a garantir um conceito A?

Seja k a nota procurada e seja X a varivel que representa a nota de um aluno. Queremos:

P(X>k)=0,08 08,0

972kZP =

> .

Buscando na tabela da normal o valor de z que mais se aproxima da probabilidade igual a 0,50,08=0,42, encontramos z=1,41. Ou seja, P(Z>1,41)=0,08. Logo:

69,84k41,1972k

==

. Ou seja, a menor nota que o aluno deve tirar para garantir um conceito A 85.

3.3.4. Exerccios

1) O tempo necessrio em uma oficina para o conserto da transmisso de um tipo de carro segue distribuio normal com mdia de 45 minutos e desvio-padro de 8 minutos. O mecnico comunicou a um cliente que o carro estar pronto em 50 minutos. Qual probabilidade do mecnico atrasar o seu servio?

2) A durao de certo componente eletrnico pode ser considerada normalmente distribuda com mdia de 850 dias e desvio padro de 45 dias. Calcular a probabilidade de um componente durar: a) Entre 700 e 1000 dias b) Mais de 800 dias c) Menos de 750 dias

3) Determinado atacadista efetua suas vendas por telefone. Aps alguns meses, verificou-se que os pedidos se distribuem normalmente com mdia de 3.000 pedidos e desvio-padro de 180 pedidos. Qual a probabilidade de que um ms selecionado ao acaso esta empresa venda menos de 2700 pedidos.

4) O contedo lquido das garrafas de 300 ml de um refrigerante normalmente distribudo com mdia de 300 ml e desvio padro de 2 ml. Determine a probabilidade de uma garrafa selecionada ao acaso apresentar contedo lquido: a) inferior a 306 ml

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b) Superior a 305 ml c) entre 302 e 304 ml

5) O lucro mensal obtido com aes de determinada empresa tem distribuio normal com mdia de 12 mil reais e desvio padro de 5 mil reais. Qual a probabilidade de que em determinado ms o lucro desta empresa seja: a) superior a 18 mil reais b) inferior a 8 mil reais c) entre 10 e 15 mil reais

6) Durante o ms de dezembro aumenta a procura por concesso de crdito para pessoa fsica. De acordo com dados histricos possvel verificar que a procura segue uma distribuio aproximadamente normal com mdia de 12,8 milhes e desvio padro de 15 milhes. Se as instituies de crdito reservarem 25 milhes para concesso de crdito, qual a probabilidade de faltar dinheiro para emprestar?

7) Suponha que a renda mdia anual de uma grande comunidade tenha distribuio normal com mdia de 15 mil reais e com um desvio-padro de 3 mil reais. Qual a probabilidade de que um indivduo aleatoriamente selecionado deste grupo apresente uma mdia salarial anual superior a 18 mil reais?

8) O escore de um estudante no vestibular uma varivel com distribuio normal com mdia de 550 pontos e desvio padro de 30 pontos. Se a admisso em certa faculdade exige um escore mnimo de 575 pontos, qual a probabilidade de um aluno ser admitido nesta faculdade?

9) As vendas de determinado produto tm apresentado distribuio normal com mdia de 600 unidades e desvio padro de 40 unidades. Se a empresa decide fabricar 700 unidades naquele mesmo ms, qual a probabilidade dela no poder atender a todos os pedidos desse ms por estar com o estoque esgotado?

10) O volume de enchimento de uma mquina automtica usada para encher latas de bebidas gasosas distribudo normalmente com uma mdia de 12,4 onas e um desvio padro de 0,1 ona. Qual a probabilidade do volume de enchimento ser: a) inferior a 12 onas b) entre 12,1 e 12,6 onas c) superior a 12,3 onas

11) O tempo de reao de um motorista para o estmulo visual normalmente distribudo com uma mdia de 0,4 segundos com um desvio-padro de 0,05 segundos. Qual a probabilidade de que uma reao de um motorista requeira: a) mais de 0,5 segundos b) entre 0,4 e 0,5 segundos

12) O perodo de falta de trabalho em um ms por causa de doenas dos empregados normalmente distribudo com uma mdia de 100 horas e desvio padro de 20 horas. Qual a probabilidade desse perodo no prximo ms estar: a) entre 50 e 80 horas

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b) superior a 90 horas c) inferior a 60 horas

13) X N(10; 100). Calcular P (12 < X 20).

14) X N(30; 16). Calcular P (X < 19).

15) X N(20; 25). Calcular P (X 30).

16) X N(50; 81). Calcular P (40 X < 60).

17) X N(10; 16). Calcular P (X 5).

18) Uma pesquisa indica que as pessoas usam seus computadores por uma mdia de 2,4 anos antes de troclos por uma mquina nova. O desvio padro 0,5 anos. Um dono de computador selecionado de forma aleatria. Encontre a probabilidade de que ele v usar o computador por menos de 2 anos antes de troclo. Considere uma distribuio normal de probabilidades.

19) Uma pesquisa indica que para cada ida ao supermercado, uma pessoa gasta uma mdia de 45 minutos, com desvio padro de 12 minutos naquela loja. Esse tempo gasto na loja normalmente distribudo. Uma pessoa entra na loja. a) Qual a probabilidade de que essa pessoa fique na loja entre 24 e 54 minutos? b) Qual a probabilidade de que essa pessoa fique na loja mais que 39 minutos? c) Se 200 pessoas entrarem na loja, quantas devem permanecer nela entre 24 e 54 minutos? d) Se 200 pessoas entrarem na loja, quantas devem permanecer nela por mais de 39 minutos?

20) As pontuaes para um teste de servio civil so normalmente distribudas com uma mdia de 75 pontos e um desvio padro de 6,5. Para ser adequado ao emprego de servio civil. Voc deve ter pontuao dentro dos 5% primeiros colocados. Qual a menor pontuao que voc pode obter e ainda assim ser adequado ao emprego? Considere que a pontuao um valor inteiro.

21) Em uma amostra escolhida aleatoriamente de homens com idade entre 35 e 44 anos, a mdia do nvel de colesterol total era de 210 mg/dl. Suponha que os nveis totais de colesterol sejam normalmente distribudos. Encontre o nvel total de colesterol mais alto que um homem nessa faixa etria pode ter dentre os 1% dos homens com menores nveis de colesterol.

22) Voc vende uma marca de pneus de automveis que tem uma expectativa de vida que normalmente distribuda com uma vida mdia de 30.000 milhas e um desvio padro de 2.500 milhas. Voc quer dar uma garantia de troca de pneus grtis que no durem muito. Como voc poderia honrar sua garantia se voc est disposto a trocar 10% dos pneus que vende?

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23) Uma mquina de venda automtica, distribui caf em um copo de 8 decilitros. A quantidade de caf no copo normalmente distribuda com desvio padro de 0,03. Voc pode deixar o caf transbordar 1% das vezes. Qual quantidade voc deveria marcar como a quantidade mdia de caf a ser distribudo?

24) Os pesos do contedo de uma caixa de cereais so normalmente distribudos com um peso mdio de 20 onas e um desvio padro de 0,07 ona. Caixas nos 5% mais baixos no atendem s condies mnimas de peso e devem ser embaladas novamente. Qual o peso mnimo exigido para uma caixa de cereais?

Respostas 1) 0,2643 2) a) 0,9992 b) 0,8665 c) 0,0132 3) 0,0475 4) a) 0,9987 b) 0,0062 c) 0,1359 5) a) 0,1151 b) 0,2119 c) 0,3811 6) 0,2090 7) 0,1587 8) 0,2033 9) 0,0062 10) a) 0 b) 0,9759 c) 0,8413 11) a) 0,0228 b) 0,4772 12) a) 0,1525 b) 0,6915 c) 0,0228 13) 26,2% 14) 0,3% 15) 97,72% 16) 73,3% 17) 89,44% 18) 21,19% 19) a) 0,7333 b) 0,6915 c) 147 pessoas d) 138 pessoas 20) 86 pontos 21) 120 mg/dl 22) Pneus que gastam antes de completarem 26.800 milhas. 23) 7,93 decilitros. 24) 19,88 onas

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Distribuio Normal: Valores de p tais que P(0 Z z) = pParte inteira e primeira

decimal de z Segunda casa decimal de z0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,03590,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,07530,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,11410,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,15170,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,18790,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,22240,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,25490,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,28520,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,31330,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,33891,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,36211,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,38301,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,40151,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,41771,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,43191,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,44411,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,45451,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,46331,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,47061,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,47672,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,48172,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,48572,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,48902,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,49162,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,49362,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,49522,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,49642,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,49742,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,49812,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,49863,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,49903,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,49933,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,49953,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,49973,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,49983,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,49983,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000