apostila estatista industrial - felipe dias lopes

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APOSTILA www.felipelopes.com Luis Felipe Dias Lopes, Dr. [email protected] o E - UFSM 2004

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Apostila Estatista Industrial - Felipe dias lopes2004UFSM

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  • APOSTILA

    www.felipelopes.com

    Luis Felipe Dias Lopes, [email protected]

    o E - UFSM2004

  • 1 EstatisticB'

    1.1 O que Estatstica?

    "A Estatstica um conjunto de mtodos destinados coleta, organizao, resumo,apresentao e anlise de dados de observao, bem como da tomada de decises razoveisbaseadas em tais anlises".

    "A Estatstica um conjunto de processos ou tcnicas empregadas na investigao eanlise de fenmenos coletivos ou de massa".

    "A Estatstica a matemtica aplicada aos dados de observao".

    1.2 O que devemos saber sobre a Estatstica?

    o que modernamente se conhece como Cincias Estatsticas, ou simplesmenteEstatstica, um conjunto de tcnicas e mtodos de pesquisa que entre outros tpicos envolveo planejamento do experimento a ser realizado, a coleta qualificada dos dados, a inferncia, oprocessamento e anlise das informaes e a disseminao das informaes.

    o desenvolvimento e o aperfeioamento de tcnicas estatsticas de obteno e de anlisede informaes permite o controle e o estudo adequado de fenmenos, fatos, eventos eocorrncias, em diversas reas do conhecimento. A Estatstica tem por objetivo fornecermtodos e tcnicas para se lidar, racionalmente, com situaes sujeitas a incertezas.

    Apesar da Estatstica ainda ser uma rea de pesquisa relativamente recente, ela remonta antigidade onde operaes de contagem populacional j eram utilizadas para obteno deinformaes sobre os habitantes, riquezas e poderio militar dos povos. Aps a idade mdia osgovernantes na Europa Ocidental, preocupados com a difuso de doenas endmicas quepoderiam devastar populaes e tambm acreditando que o tamanho da populao poderiaafetar o poderio militar e politico de uma nao, comearam a obter e armazenar informaessobre os batizados, casamentos e funerais. Entre os sculos XVI e XVIII, quando asaspiraes mercantilistas levaram as naes a buscarem o poder econmico como forma depoder politico, informaes estatsticas, referentes a variveis econmicas tais como: comrcioexterior, produo de bens e de alimentos, comeou a serem coletadas pelos governantes.

    Atualmente as informaes estatsticas so obtidas, classificadas e armazenadas em meiomagntico e disponibilizadas em diversos sistemas de informaes abrangentes que fornecemaos pesquisadores/cidados e s organizaes da sociedade informaes estatsticas inteligentese necessrias ao desenvolvimento de suas atividades. A expanso no processo de obteno,armazenamento e disseminao de informaes estatsticas, extensivamente facilitadas pelo usodos recursos computacionais, tm sido acompanhada pelo rpido desenvolvimento de novastcnicas e metodologias estatsticas de anlise estatstica de dados.

    1

  • 1.3 Aplicaes

    Grande parte das informaes divulgadas pelos meios de comunicao atuais provm depesquisas e estudos estatsticos. Os ndices de inflao e de emprego e desemprego, divulgadoe analisado pela mdia so um exemplo de aplicao da Estatstica no nosso dia a dia. OInstituto Brasileiro de Geografia e Estatstica - IBGE (\N\vw.ibge.gov.br) o qual a EscolaNacional de Cincias Estatsticas (www.ibge.gov.brlence) est vinculada, o rgo responsvelpela produo das estatsticas oficiais que subsidiam estudos e planejamentos governamentaisno Brasil.

    Os conceitos estatsticos tm exercido profundas influncias na maioria dos campos doconhecimento humano. Mtodos estatsticos vm sendo utilizados no aprimoramento deprodutos agrcolas, no desenvolvimento de equipamentos espaciais, no controle do trfego, napreviso de surtos epidmicos bem como em melhorias de processos de gerenciamento, tantona rea governamental como nos negcios, de um modo geral.

    Na prtica, a Estatstica pode ser empregada como ferramenta fundamental em vriasoutras cincias. Na rea mdica, por exemplo, a Estatstica fornece metodologia adequada quepossibilita decidir sobre a eficincia de um novo tratamento no combate determinada doena.A Estatstica permite identificar situaes crticas e, conseqentemente, atuar em seu controle,desempenhando papel crucial, por exemplo, no estudo da evoluo e incidncia da AIDS. Narea tecnolgica, o advento da era espacial suscitou diversos problemas relacionados ao clculode posio de uma astronave, cuja soluo depende fundamentalmente de conceitos e teoriasestatsticas mais elaboradas, considerando que estas informaes (por exemplo, sinais desatlites) so recebidas de forma ruidosa e incerta.

    O crescente uso da Estatstica vem ao encontro da necessidade de realizar anlises eavaliaes objetivas e fundamentadas em conhecimentos cientficos. As organizaesmodernas esto se tornando cada vez mais dependentes de dados e informaes estatsticaspara obter informaes essenciais sobre seus processos de trabalho e principalmente sobre aconjuntura econmica e social.

    As informaes estatsticas so concisas, especficas, eficazes e, quando analisadas com aajuda dos instrumentos/tcnicas formais de anlise estatstica, fornecem subsdiosimprescindveis para as tomadas racionais de deciso. Neste sentido, a Estatstica forneceferramentas importantes para que as empresas ou instituies possam definir melhores suasmetas, avaliar sua performance, identificar seus pontos fracos e atuar na melhoria contnua deseus processos.

    1.4 O Perfil do Estatstico

    A formao acadmica do estatstico est fundamentada em conhecimentos deMatemtica, Clculo e Teoria das Probabilidades, Tcnicas e Mtodos Estatsticos, Computao,Mtodos de Anlise Estatstica e Disciplinas Profissionalizantes.

    Essa formao acadmica bsica permite ao estatstico utilizar tcnicas para: efetuar levantamentos e anlises de informaes;

    2

  • planejar e realizarexperimentos e pesquisasem vriasreas cientficas;e formular a soluo para os mais variados e complexos problemas concernentes melhoria e

    otimizaodos maisvariadosprocessos.

    A explorao de vastas e diversas bases de dados estansticos hoje existentes requer umprofissional capaz de extrair da relevantes informaes atravs do uso de modernas tcnicas deamostragem,modelageme inferncia, que so algumasdas ferramentasusuaisda Estatstica.

    A formao do estatstico desenvolve aptides que lhe permitam solucionar problemasatuando como um detetive em busca de evidncias quantitativas sobre determinadosfenmenos.

    preciso, pois: Construir uma slida base de conhecimentos em matemtica; Incorporar habilidades no uso de computadores; Desenvolver uma boa comunicao oral e escrita; Estar permanentemente aberto ao aprendizado de novas tcnicas e mtodos de

    trabalho; Aprender a trabalhar em conjunto com profissionais de diferentes reas do

    conhecimento.

    3

    ---------.,~

  • 1 Populao x Amostra

    Populao (N): Conjunto de todos os elementos relativos a um determinado fenmenoque possuem pelo menos uma caracterstica em comum, a populao o conjuntoUniverso, podendo ser finita ou infinita.

    Finita - apresenta um nmero limitado de observaes, que passvel de contagem.Infinita - apresenta um nmero ilimitado de observaes que impossvel de contar e geralmente esta2SSOCiadaa processos.

    Amostra (n): um subconjunto da populao e dever ser considerada finita, a amostradeve ser selecionada seguindo certas regras e deve ser representativa, de modo que ela.represente todas as caractersticas da populao como se fosse uma fotografia desta.

    Lma populao pode, mediante processos operacionais, ser considerada infinita, pois a mesma ir dependerdo tamanho da amostra. Se a freqncia relativa entre amostra e populao for menor do que 5% ela considerada infinita, se a freqncia relativa for maior do 5% ela considerada Emita.

    22 Censox Amostragem

    Pesquisa Estatstica: qualquer informao retirada de uma populao ou amostra,podendo ser atravs de Censo ou Amostragem.

    Censo: a coleta exaustiva de informaes das "N" unidades populacionais.

    Amostragem: o processo de retirada de informaes dos "n" elementos amostrais, noqual deve seguir um mtodo criterioso e adequado (tipos de amostragem).

    2.3 Dado x Varivel

    Dados estatsticos: qualquer caracterstica que possa ser observada ou medida dealguma maneira. As matrias-primas da estatstica so os dados observveis.

    Varivel: aquilo que se deseja observar para se tirar algum tipo de concluso, geralmenteas variveis para estudo so selecionadas por processos de amostragem. Os smbolosutilizados para representar as variveis so as letras maisculas do alfabeto, tais como X, Y,Z, ... que pode assumir qualquer valor de um conjunto de dados. As variveis podem serclassificadas dos seguintes modos: .7

    4

  • - Qualitativas (ou atributos): So caractersticas de uma populao que no pode sermedidas.

    Nominal: so utilizados smbolos, ou nmeros, para representar determinado tipo dedados, mostrando, assim, a qual grupo ou categoria eles pertencem.Ordinal ou por Postos: quando uma classificao for dividida em categoriasordenadas em graus convencionados, havendo uma relao entre as categorias do tipo"maior do que", "menor do que", "igual a", os dados por postos consistem de valoresrelativos atribudos para denotar a ordem de primeiro, segundo, terceiro e, assim,sucessivamente.

    Quantitativas: So caractensticas populacionais que podem ser quantificadas, sendoclassificadas em discretas e contnuas.

    Discretas: so aquelas variveis que pode assumir somente valores inteiros numconjunto de valores. gerada pelo processo de contagem, como o nmero deveculos que passa em um posto de gasolina, o nmero de estudantes nesta sala de aula.Contnuas: so aquelas variveis que podem assumir um valor dentro de um intervalode valores. gerada pelo processo de medio. Neste caso serve como exemplo ovolume de gua em um reservatrio ou o peso de um pacote de cereal.

    2.4 Parmetros X Estatsticas

    Parmetros: so medidas populacionais quando se investiga a populao em suatotalidade, neste caso impossvel fazer inferncias, pois toda a populao foi investigada.

    Estatsticas ou Estimadores: so medidas obtidas da amostra, torna-se possvel nestecaso utilizarmos as teorias inferncias para que possamos fazer concluses sobre apopulao.

    Parmetro(valores reais)

    MdiaVarincia

    DesvioPadroProporo

    Estimador(valores estimados)

    a

    2.5 Arredondamento de Dados

    Regras: Portaria 36 de 06/07/1965 - INPM ~ Instituto Nacional de Pesos eMedidas.

    5

  • 1) Se o primeiro algarismo aps aquele que formos arredondar for de O a 4,conservamos o algarismo a ser arredondado e desprezamos os seguintes.

    Ex.: 7,34856 (para dcimos) ~ 7,3

    2J\) Se o primeiro algarismo aps aquele que formos arredondar for de 6 a 9,acrescenta-se uma unidade no algarismo a ser arredondado e desprezamos osseguintes.

    Ex.: 1,2734 (para dcimos) ~ 1,3

    3J1) Se o primeiro algarismo aps aquele que formos arredondar for 5, seguido apenasde zeros, conservamos o algarismo se ele for par ou aumentamos uma unidade seele for mpar, desprezando os seguintes.

    Ex.: 6,2500 (para dcimos) ~ 6,212,350 (para dcimos) ~ 12,4

    ~ Se o 5 for seguido de outros algarismos dos quais, pelo menos um diferente de zero, aumentamos umaunidade no algarismo e desprezamos os seguintes.

    Ex.: 8,2502 (para dcimos) ~ 8,38,4503 (para dcimos) ~ 8,5

    4) Quando, arredondarmos uma srie de parcelas, e a soma ficar alterada, devemosfazer um novo arredondamento (por falta ou por excesso), na maior parcela doconjunto, de modo que a soma fique inalterada.

    Ex.: 17,4% 12,3% + 29,7% + 22,2% 100%+ 18,4% +

    arredondando para inteiro:

    17% 18% 12% + 30% + 22% 99%+ +

    17% 18% 12% + 31% + 22% 100%+ +

    6

  • ----------------------------------------_._._----_ .._------------------

    2.6 Fases do mtodo estatstico

    o mtodo estatstico abrange as seguintes fases:

    a) Definio do ProblemaConsiste na:

    - formulao correta do problema;- examinar outros levantamentos realizados no mesmo campo (reviso da literatura);- saber exatamente o que se pretende pesquisar definindo o problema corretamente(variveis, populao, hipteses, etc.)

    b) PlanejamentoDeterminar o procedimento necessrio para resolver o problema:

    - Como levantar informaes;

    - Tipos de levantamentos: Por Censo (completo);Por Amostragem (parcial).

    - Cronograma, Custos, etc.

    c) Coleta ou levantamento dos dadosConsiste na obteno dos dados referentes ao trabalho que desejamos fazer.

    A coleta pode ser: DiretaIndireta

    - diretamente da fonte;- feita atravs de outras fontes.

    Os dados podem ser obtidos pela prpria pessoa (primrios) ou se baseia no registrode terceiros (secundrios).

    d) Apurao dos Dados ou sumarizaoConsiste em resumir os dados, atravs de uma contagem e agrupamento. umtrabalho de coordenao e de tabulao.

    Apurao: manual, mecnica, eletrnica e eletromecnica.

    e) Apresentao dos dados a fase em que vamos mostrar os resultados obtidos na coleta e na organizao.

    Esta apresentao pode ser: Tabular (apresentao numrica)Grfica (apresentao geomtrica)

    f) Anlise e interpretao dos dados a fase mais importante e tambm a mais delicada. Tira concluses que auxiliam opesquisador a resolver seu problema.

    7

  • Consiste em dispor os dados em linhas e colunas distribudas de modo ordenado. Aelaborao de tabelas obedece Resoluo di. 886, de 26 de outubro de 1966, do ConselhoNacional de Estatstica. As normas de apresentao so editadas pela Fundao Brasileira deGeografia e Estatstica (IBGE).

    3.4 Distribuio de Freqncia

    o tipo de srie estatstica na qual permanece constante o fato, o local e a poca. Osdados so colocados em classes preestabelecidas, registrando a freqncia de ocorrncia. Umadistribuio de freqncia pode ser classificada em discreta e intervalar.

    a) Distribuio de Freqncia Discreta ou Pontual: uma srie de dados agrupados naqual o nmero de observaes est relacionado com um ponto real.

    Notas do Aluno "X" na Disciplina de Estatstica segundocritrios de avaliao do DE da UFSM - 1990

    X f1 16,3 28,4 35,3 29,5 36,5 5L 15

    Fonte: Departamento de Estatistica (1990)

    8

  • 9

    b) Distribuio de Freqncias Intervalar: Na distribuio de freqncia, os intervalosparciais devero ser apresentados de maneira a evitar dvidas quanto classe a que permanecedeterminado elemento.

    o tipo de intervalo mais usado do tipo fechado a esquerda e aberto a direita,representado pelo smbolo: 1---.

    Altura em centmetros de 160 alunos do Curso de Administrao da UFSM - 1990

    Altura (em) X fi 1150 1--- 158 154 18158 1--- 166 162 25166 1--- 174 170 20174 1--- 182 178 52182 1--- 190 186 30190 1--- 198 194 15

    ~ ---- 160Fonte: Departamento de Estatstica (1990)

    Elementos de uma Distribuio de Freqncias:

    ~ Classe ou Classe de Freqncia (K): cada subintervalo (linha) na qual dividimos ofenmeno.

    Para determinar o nmero de classes a partir dos dados no tabelados, podemos usar aFrmula de Sturges, mas deve-se saber que existem outros mtodos de determinao donmero de classes em uma tabela de freqncia. O que se deseja fazer apenas comprimir umconjunto de dados em uma tabela, para facilitar a visualizao e interpretao dos mesmos.

    n(K) = 1+ 3,31og n, onde "n" n de informaes.

    ~ Alm da Regra de Sturges, existem outras frmulas empricas para resolver o problema para determinao

    do nmero de classes [n(k)], h quem prefira n(k) ::= .j;; .Entretanto, a verdade que essas frmulas nonos levam a uma deciso final; esta vai depender na realidade de um julgamento pessoal, que dever estarligado a natureza dos dados, procurando, sempre que possvel, evitar classes com freqncias nulas oufreqncias relativas exageradamente grandes.

    ~ Limite de Classe (li ou Li>:So os valores extremos de cada classe.

    li = limite inferior da i-sima classe;4 = limite superior da i-sima classe;

  • ~ Amplitude do intervalo de classe (h): a diferena entre dois limites inferiores ousuperiores consecutivos.

    ~ A amplitude do intervalo de classe deve ser constante em todo a distribuio de freqncias intervalar.

    ~ Amplitude total (H): a diferena entre o limite superior da ltima classe e o limiteinferior da 1a classe, ou a diferena entre ltimo e o primeiro elemento de um conjunto dedados postos em ordem crescente.

    ~ Ponto mdio de classe (Xi>: a mdia aritmtica simples do limite inferior com o limitesuperior de uma mesma classe.

    X. = li + LiI 2

    ou a partir do XI os demais pontos mdios pode ser determinado por:

    ~=~_I+h

    ~ Quando substituirmos os intervalos de classes pelos pontos mdios CX), ter-se' - uma distribuio defreqncia pontual.

    n

    Obs.: I.fri = 1i=1

    ~ Freqncia absoluta (fi>: a quantidade de valores em cada classen

    n =Lfi = fi + f2 + ...+ fni;]

    ~ Freqncia Acumulada (Fi): o somatrio da freqncia absoluta da i-sima classe coma freqncia absoluta das classes anteriores, ou a freqncia acumulada da classe anterior.

    n

    F ="f=nn L..J Ii;]

    ~ Freqncia Relativa (fq): o quociente entre a freqncia absoluta da i-sima classecom o somatrio das freqncias.

    ~ Freqncia Relativa Acumulada (Frj): o somatrio da freqncia relativa da i-simaclasse com as freqncias relativas das classes anteriores.

    n

    Fr =" fr = 1n L..J Ii;]

    10

  • Os grficos so uma forma de apresentao visual dos dados. Normalmente, contmmenos informaes que as tabelas, mas so de mais fcil leitura. O tipo de grfico depende davarivel em questo

    4.1 Grficos utilizados para a anlise de uma distribuio de freqncia

    4.7.1 Histograma

    Altura em centmetros de 160 alunos do Curso de Administrao da UFSM - 1990

    6052

    50

    4030

    fi 30 2518 20

    20 15

    10

    150 158 166 174 182 190 198

    MuraFonte: Departamento de 'Estatstica (1990)

    4.7.2 Polgono de Freqncias

    Altura em centmetros de 160 alunos do Curso de Administrao da UFSM - 1990

    60

    5040

    fi 30

    20

    10

    52:.",-.'/ \:: \;:1 \.

    ! :\25 I : : -- --,--~.-- 2r ' \.''18 ,/ -""-!..' "/"" ;>-- - -' ~\15: - =r": -: ': ' ,:/: :: :--"\--:r' , 'i.

    ;/: : ,\.I "\

    150 158 166 174 182 190 198

    AlturaFonte: Departamento de Estatstica (1990)

    11

  • 4.7.30givas

    Altura em centmetros de 160 alunos do Curso de Administrao da UFSM - 1990

    Ogiva Crescente Ogiva Decrescente

    200

    50

    145 16011.5.... ,y~.;

    '",/' '.... 7. '63 : /:

    43 ... ./18;~:..:..;...:- .; -/: :

    0+--1-=--+--+--+--+--+-----+--1

    150

    Fi 100

    '15.0 158 166 114 182 190 '198 150 158 166 114 182 190 198

    Altura Altura

    4.7.4 Grfico em segmentos de reta vertical

    utilizado para representar uma distribuio de freqncia pontual, onde ossegmentos de reta so proporcionais s respectivas freqncias absolutas,

    Altura em centmetros de 160 alunos do Curso de Administrao da UFSM - 1990

    60

    50

    40

    fi 30

    2010OL-~-~~-~--+__-+ __ 4-_

    52

    18 20.3025

    154 162 170 178 186 194Altura

    Fonte: Departamento de Estatstica (1990)

    12

  • 5 Medidas Descritivas

    Tem por objetivo descrever um conjunto de dados de forma organizada e compactaque possibilita a visualizao do conjunto estudado por meio de suas estatsticas, o que nosignifica que estes clculos e concluses possam ser levados para a populao.

    Podemos classificar as medidas de posio conforme o esquema abaixo:

    5.1 Medidas de Posio

    Representativas{

    Mdia AritmticaMdias Mdia Geomtrica

    Mdia Harmnica

    SeparatrizesMedianaQuartisDecisCentis ou Percentis

    Dominantes {Moda BrutaModa de Czuber5.1.1 Representativas (Mdias)

    So medidas descritivas que tem por finalidade representar um conjunto de dados.

    a) Mdia Aritmtica: Amostral (X); Populacional (u)

    Dados No Tabelados

    n

    LXiX=~

    n

    13

  • Altura (cm) X- f Xi fi1 1150 1--- 158 154 18 2763,0158 1--- 166 162 25 4037,5166 1--- 174 170 20 3390,0174 1--- 182 178 52 9230,0182 1--- 190 186 30 5565,0190 1--- 198 194 15 2917,55

    ~ ---- 160 27903

    n

    LXifiX=--.!.:i-=.!.l__

    n

    LfiH

    Dados Tabelados com Valores Ponderados

    Mdia Aritmtica Ponderada (Xw), (onde Wi o peso)

    Nota do aluno "X"10 semestre de 1994 - UFSM

    Notas (Xi.) Pesos (Wi.)

    7.8 28.3 39.2 25.8 3~ 10

    n

    LXi.W;X = ....!Ci==.!l _

    W n

    LWii=l

    Fonte: Dados Hipotticos

    Distribuio defreqncias

    - Mdia Aritmtica (X)

    Altura em centmetros de 160 alunos doCurso de Administrao da UFSM - 1990

    Fonte: Departamento de Estatstica (1990)

    Caractersticas da Mdia Aritmtica Simples

    1) A Mdia Aritmtica Simples dever estar entre o menor e o maior valor observado,

    X"""" :::;X :::;Xt='-,

    2) A soma algbrica dos desvios calculados entre os valores observados e a mdiaaritmtica igual a zero; desvios = d = Xi - fi

    n n

    L d = L (x. - Jl) = zeroi=l i=l

    14

  • 3) Somando-se ou subtraindo-se todos os valores (Xv da srie por uma constante "k"

    (k -::j:. O),a nova mdia aritmtica ser igual a mdia original somada ou subtrada poresta constante "k".

    Xi Yi =Xi kU UX Y=Xk

    4) Multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores (Xv da srie por uma constante

    "k" (k =j:. O), a nova mdia aritmtica ser igual a mdia original multiplicada oudividida por esta constante "k".

    Xi Yi =Xi xk Yi =Xi +kU U UX Y=Xxk Y=X-;-k

    b) Mdia Geomtrica; (Xg):

    A aplicao da mdia geomtrica deve ser feita, quando os valores do conjunto de dadosconsiderado se comportam segundo uma progresso geomtrica (p.G.)ou dela se aproximam.

    Dados No Tabelados

    Dados Tabelados

    n

    Xg =nrrX/i =~X/I .X/2 ~fni=l

    Usando um artifcio matemtico, pode-se usar para calcular a mdia geomtrica aseguinte frmula:

    15

  • c) Mdia Harmnica (Xh)

    usada para dados inversamente proporcionais.

    Ex.: Velocidade Mdia, Preo de Custo Mdio

    5.1.2 Emprego da mdia

    1) Deseja-se obter a medida de posio que possui a maior estabilidade;

    2) Houver necessidade de um tratamento algbrico ulterior.

    Dados No Tabeladosn n

    1 1 1--+--+ ...+--x , x , x ,n 1Li=l X i

    Dados Tabelados

    ~ Deve-se observar esta propriedade entre as mdias X ~ X g ~ X h

    5.1.3 Dominantes - Moda (Mo)

    definida como sendo a observao de maior freqncia.

    a) Dados no tabelados

    Ex.: 3 4 4 4 5 5 6 6 7 8 9 => Mo = 4 (unimodal)567 8 9 10 11 12 13 =>Mo =] (amodal)1 1 2 2 3 3 3 4 5 55=> M01 = 3 M02 = 5 (bimodal)5 5 6 6 7 7 8 8 => Mo = tl (amodal)5 5 6 6 7 7 8 => M01 = 5 M02 = 6 M03 = 7 (multimodal)

    ~ Acima de 3 modas usamos o termo multimodal.

    Dados Tabelados

    a) Distribuio de freqncias pontual

    - Moda Bruta (M0b): o ponto mdio da classe de maior freqncia

    MOb = Xi

    16

  • b) Distribuio de freqncias intervalar

    - Moda de Czuber (MoJ: O processo para determinar a moda usado por Czuber levaem considerao as freqncias anteriores e posteriores classe modal.

    (Ao) {~ = f - fM - 1 til h I Mo ant0c - Mo + . ~~I + ~2 ~2 = fMo - fpos

    17

    onde:

    1Mo => limite inferior da classe modal;fMo => freqncia absoluta da classe modal;h => amplitude do intervalo de classe;fant => freqncia absoluta da classe anterior a classe modal;fpos => freqncia absoluta da classe posterior a classe modal;

    5.1.4 Emprego da moda

    1) Quando se deseja obter uma medida rpida e aproximada de posio;

    2) Quando a medida de posio deve ser o valor mais tpico da distribuio.

    5.1.5 Separatrizes (Mediana, Quartis, Decis e Centis ou Percentis)

    So medidas de posio que divide o conjunto de dados em partes proporClonaIs,quando os mesmos so ordenados.

    a) Dados no tabelados

    Antes de determinarmos as separatrizes devemos em primeiro lugar encontrar a posioda mesma.

    - Se o nmero de elementos for par ou mpar, as separatrizes seguem a seguinte ordem:

    . _ i(n +1)Posio = --'----'--

    S

    {i=l

    se for medianaS=2 {

    1:S-; i:S-;3se for quartis

    S=4

    {l:S-;i:S-; 9

    se for decisS=lO {

    l:S-;i :S-;99se for centis

    S=100

  • b) Distribuio de freqncias pontual: segue a mesma regra usada para dadosno tabelados

    Dados Tabelados

    c) Distribuio de freqncias intervalar

    onde:

    Si =Md~ i=l;Si=Qi~ 1.:Si.:S3;Si=Di~ 1.:Si.:S9;Si = c, OU Pi ~ 1.:Si .:S991S. => limite inferior da classe que contm a separattiz;

    1

    1.ll=> posio da separattiz;

    => freqncia acumulada da classe anterior a que contm a separatriz;=> amplitude do intervalo de classe;

    => freqncia absoluta da classe que contm a separatriz;

    x = Md = Mo -4 curva simtrica

    5.1.6Emprego da mediana

    1) Quando se deseja obter um ponto que divide a distribuio em partes iguais;

    2) H valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a mdia;

    3) A varivel em estudo salrio.

    5.1.7 Posio relativa da mdia, mediana e moda

    Quando uma distribuio simtrica, as trs medidas coincidem. Porm, a assimetriatorna-as diferentes e essa diferena tanto maior quanto maior a assimetria. Assim, em umadistribuio temos:

    x

  • Mediana

    Mdia

    Mo Md x x Md Mo

    5.1.8 Exerccios

    Para os dados abaixo calcule: Md; Q1; Q3; D3; C70

    1)3 7 8 10 12 13 15 17 18 21

    4 6 8 11 13 14 17 18 19 22 25

    2)

    x=Md=Mo

    /T'------- Moda

    Alturas dos alunos da Turma "X"no 1 sem. de 1994 - UFSM

    Alturas fI63758491

    1525302090

    Fonte: Dados Hipotticos

    19

  • Alturas dos alunos da Turma ''Y''no 1Q sem. de 1994 - UFSM

    3)

    Alturas f F-I 161 1--- 65 12 1265 1--- 69 23 3569 1--- 73 34 6973 1--- 77 26 9577 1--- 81 15 110

    L 110 110Fonte: Dados Hipotticos

    5.2 Medidas de Variabilidade ou Disperso

    Visam descrever os dados no sentido de informar o grau de disperso ou afastamentodos valores observados em torno de um valor central representativo chamado mdia. Informase um conjunto de dados homogneo (pouca variabilidade) ou heterogneo (muitavariabilidade).

    As medidas de disperso podem ser:

    Absoluta- Desvio extremo - amplitude- Desvio Mdio- Desvio Padro- Desvio quadrtico - Varincia

    Para estudarmos as medidas de variabilidade para dados no tabelados usaremos umexemplo prtico. Supomos que uma empresa esteja querendo contratar um funcionrio, e nofinal da concorrncia sobraram dois candidatos para uma nica vaga. Ento foi dado 4 tarefaspara cada um, onde as mesmas tiveram como registro o tempo (em minutos) de execuo.

    TAREFAS 1 2 3 4OPERARIO 1 (fEMPO) 55 45 52 48OPERRIO 2 (TEMPO 30 70 40 60

    - Anlise Grfica

    80706050+----------------403020

    807060 50 403020

    2 3 4Operrio A

    234Operrio B

    20

  • - Medidas de disperso Absoluta:

    - Desvio Extremo ou Amplitude de Variao (H): a diferena entre o maior e omenor valor de um conjunto de dados

    - Desvio Mdio (d): Em virtude do t (Xi - X) = 0, usamos para calcular o desvioi=l

    n

    mdio LIXi - Xl= 0, assim ficando:i=l

    Para dados no tabelados

    d ~ ~ IX,- Xl JX, - XI+lX, - XI+ +IX"- Xln n

    Para dados tabelados

    t (i; Ix; - xl)d --'-;=--'-1 _

    n

    Li;i=l

    fllXI -xl+ f21X2 -xl++ fnlXn -xln

    Li;i=1

    - Desvio Quadrtico ou Varincia : S2 (amostra) ou cr2 (populao)

    Para dados no tabelados:

    t(X; -xy ( -)2 ( -)2 ( -)22 ;=] X]-X + X2-X +...+ Xn-Xa = =~~~-~-~--~~~

    n n

    t(X; -xyS2 = ..!..:;;:.!...] _

    n-l

    (Xl -xy +(X2 -xy +...+(Xn -xyn-l

    Para dados tabelados

    i=l i=l

    21

  • ;=1 ;=1

    - Desvio Padro: S (amostra) ou (J (populao)

    Para dados no tabelados:

    t (X, - xf J( -\2 ( -\2 ( -\2;=1 = XI -X) + X2 -X) + ...+ Xn -X)

    n n(7=

    s= t (X, - Xf J( -\2 ( -\2 ( -\2;=1 = XI - X) + X2 - X) + ...+ Xn - X)n-1 n-1

    Para dados tabelados

    (7=

    i:f (X; _X)2i:f;=1 ;=1

    i=1

    s= i=l .t;(XI -xy + 12(X2 -xy + ...+ In(Xn -xyI.f-1;=1

    n

    Lf -1i=l

    ~ (n - 1) usado como um fator de correo, onde devemos considerar a varincia amostral como umaestimativa da varincia populacional.

    - Propriedades da Varincia

    1') Somando-se ou subtraindo-se uma constante k a cada valor observado a varincia no ser alterada;

    2') Multiplicando-se ou dividindo-se por uma constante k cada valor observado a varincia ficarmultiplicada ou dividida pelo quadrado dessa constante.

    22

  • 23

    5.3 Medidas de Disperso Relativa

    Relativa- Coificiente de Variao (pearson)

    - Varincia relativa

    a medida de variabilidade que em geral expressa em porcentagem, e tem por funodeterminar o grau de concentrao dos dados em torno da mdia, geralmente utilizada para sefazer a comparao entre dois conjuntos de dados em termos percentuais, esta comparaorevelar o quanto os dados esto prximos ou distantes da mdia do conjunto de dados.

    - Varincia Relativa

    - Coeficiente de Variao de Pearson

    a SCV.=-ou=xl00

    Il X

    ~ C.V. ::::;;50% ~ a mdia representativaC.V. ~ ~ a maior representatividade da mdia (S = O)

    5.4 Exerccios

    Para os exerccios abaixo construa uma tabela de disperso o suficiente para determinaras medidas de posio (mdia aritmtica, mediana e moda de czuber), disperso (desvio padroe varincia, coeficiente de variao de Pearson), assimetria (coeficiente de assimetria, ecoeficiente de curtose). Faa um relatrio referente ao comportamento dos dados em funodos resultados obtidos.

    1) De um exame final de Estatstica, aplicado a 50 alunos da UniversidadeLuterana.Ano 1999 resultaram as seguintes notas:

    4,0 4,2 4,3 4,4 4,5 4,5 4,6 5,0 5,1 5,25,3 5,3 5,5 5,7 5,8 6,0 6,1 6,3 6,4 6,56,6 6,7 6,8 6,9 7,0 7,2 7,5 7,6 7,7 7,98,0 8,3 8,5 8,6 8,8 8,9 9,0 9,1 9,2 9,39,3 9,4 9,4 9,5 9,5 9,6 9,7 9,8 9,9 10,0

  • 2) Os dados a seguir refere-se a altura em centmetros de 70 alunos da PUCC, turma 6,ano 20000

    153 154 155 156 158 160 160 161 161 161162 162 163 163 164 164 165 166 167 167168 168 169 169 170 170 170 171 171 172172 173 173 174 174 175 175 176 177 178179 179 180 182 183 184 185 186 186 187188 188 189 189 190 191 192 192 192 192193 194 194 195 197 197 199 200 201 205

    3) Os dados a seguir referem-se aos salrios anuais pagos em dlares a 60 funcionriosda Empresa "PETA SoA." em 19970

    50,00 52,50 53,50 54,00 54,20 55,50 56,30 56,50 57,00 58,1058,50 59,00 60,30 61,50 62,00 62,90 63,50 64,00 64,30 65,0066,00 66,25 67,50 68,00 68,70 69,50 70,00 72,00 75,00 76,50 .77,00 78,00 80,00 81,50 82,50 83,50 85,00 87,30 88,00 89,1090,00 91,35 92,10 93,20 94,00 95,25 96,00 97,00 98,00 99,80100,10 100,20 101,00 102,00 103,40 104,30 105,00 107,00 108,00 109,10

    24

  • 6,,1 Modelos Matemticos

    Podem-se destinguir dois tipos de modelos matemticos:

    6.1.1 Modelos Determinsticos

    Refere-se a um modelo que estipule que as condies sob as quais um experimento

    seja executado determinem o resultado do experimento.

    Em outras palavras, um modelo determinstico emprega "Consideraes Fsicas" para

    prever resultados,

    6.1.2 Modelos No Determinsticos ou Probabilisticos

    So aqueles que informam com que chance ou probabilidade os acontecimentos

    podem ocorrer. Determina o "grau de credibilidade" dos acontecimentos. (Modelos

    Estocsticos) .

    Em outras palavras, um modelo probabilistico emprega uma mesma espcie de

    consideraes para especificar uma distribuio de probabilidade.

    6.2 Conceitos em ProbabilidadeOs conceitos fundamentais em probabilidade so experimentos aleatrios, espao

    amostral e eventos.

    6.2.1 Experimento aleatrio (O)

    Qualquer processo aleatrio, capaz de produzir observaes, os resultados surgem ao

    acaso, podendo admitir repeties no futuro. Um experimento aleatrio apresenta as seguintes

    caracters ticas:

    a - os resultados podem repetir-se n vezes (n ---+ oc);b - embora no se possa prever que resultados ocorrero, pode-se descrever o

    conjunto de resultados possveis;

    25

  • c - a medida que se aumenta o nmero de repeties, aparece uma certa regularidade

    nos resultados.

    6.2.2 Esp~o Amostral (S)

    o conjunto de resultados possveis, de um experimento aleatrio. Quanto ao

    nmero de elementos pode ser:

    6.2.2.1 Pinito

    Nmero limitado de elementos;

    Ex.: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

    6.2.2.2 Infinito

    Nmero ilimitado de elementos, pode ser sub-dividido em:

    a - Enumerve1

    Quando os possveis resultados puderem ser postos em concordncia biunvoca com

    o conjunto dos nmeros naturais (N) (caso das variveis aleatrias discretas).

    Ex.:N

    b - No Enumervel

    Quando os possveis resultados no puderem ser postos em concordncia biunvoca

    com o conjunto dos nmeros naturais (caso das variveis aleatrias contnuas).

    Ex.:R

    6.2.3 Evento (E)

    Um evento (E) qualquer subconjunto de um espao amostral (S).

    Pode-se ter operaes entre eventos da mesma forma que com conjuntos, como

    mostra a seguir.

    6.2.4 Operaes com Eventos

    6.2.4.1 A unio B

    Smbolo utilizado "U", o evento que ocorrer se, e somente se, A ou B ou ambosocorrerem;

    26

  • s

    A B

    FIGURA 6.1 - Evento A unio B

    6.2.4.2 A interseo B

    Smbolo utilizado "n", o evento que ocorrer se, e somente se, A e B ocorremsimultaneamente.

    s

    IIAoB

    A B

    FIGURA 6.2 - Evento A interseo B

    6.2.4.3 Complementar de A

    Simbologia" A ", o evento que ocorrer se, e somente se A no ocorrer.

    27

  • FIGURA 6.3 - Evento complementar de A (A)

    '+-6.2.5Tipos de eventos,

    6.2.5.1 Eventos Mutuamente Excludentes

    So ditos eventos mutuamente excludentes, quando a ocorrncia de um implica 'ou

    no ocorrncia de outro, isto , no pode ocorrer juntos, e conseqentemente, A n B oconjunto vazio (0).

    s

    A B

    FIGURA 6.4 - Eventos mutuamente excludentes

    6.2.5.2 Eventos No Excludentes ou Quaisquer

    So ditos eventos no excludentes quando a ocorrncia de um implica na ocorrncia

    do outro, isto , so aqueles que ocorrem ao mesmo tempo, AnB "* 0.

    28

  • P(A) =~4

    P(B) =~4

    s

    IIAnB

    A B

    FIGURA 6.5 - Evento no excludentes

    6.2.5.3 Eventos Independentes

    So aqueles cuja ocorrncia de um evento, no possui efeito algum na probabilidade

    de ocorrncia do outro.

    A nB * 0, se A e B forem Quaisquer;

    AnB = 0, se A e B forem Mutuamente Excludentes.

    logo,

    P(A n'B) = P(A). P(B)

    Ex.: A e B eventos Quaisquer

    S = { 1,2,3,4 } A = {1, 2} B = { 2, 4'} AnB={2}

    P(A n B) = P(A). P(B)

    6.2.5.4 Eventos Dependentes ou Condicionados

    Existem varias situaes onde a ocorrncia de um evento pode influenciar fortemente

    na ocorrncia de outro.

    29

  • Assim, se (A) e (B) so eventos, deseja-se definir uma quantidade denominada

    probabilidade condicional do evento (A) dado que o evento (B) ocorre, ou sob a forma

    simblica p(%).Assim, d-se a seguinte definio:

    p(A/)= P(AnB)/B P(B)

    onde P(B) > o. Se P(B) = O,tem-se que p(%) no definida.

    6.2.5.5 Eventos Coletivamente Exaustivos

    So aqueles que ocorrem se nenhum outro ocorrer.

    A

    s

    FIGURA 6.6 - Evento coletivamente exaustivos

    6.3 Conceitos de Probabilidade

    6.3.1 Conceito Emprico de Probabilidade

    O problema fundamental da probabilidade consiste em atribuir um nmero a cada

    evento (E), o qual avaliar quo possvel ser a ocorrncia de "E", quando o experimento for

    realizado.

    Uma possvel maneira de tratar a questo seria determinar a freqncia relativa doevento E (fr(E),

    f (E) = nmero de ocorrncias do evento (E)r nmero de repeties do experimento (Q)

    Surgem, no entanto, dois problemas:

    30

  • a - Qual deve ser o nmero de repeties do experimento (O);

    b - A sorte ou habilidade do experimentador poder influir nos resultados, de forma

    tal que a probabilidade definida como sendo:

    onde "n" o nmero de repeties do experimento O.

    6.3.ZDefinio Clssica ou Enfoque "A priori" de Probabilidade

    Se existe "a" resultados possveis favorveis a ocorrncia de um evento "E" e "b"

    resultados possveis no favorveis, sendo os mesmos mutuamente excludentes, ento:

    P(E)a

    a+b '

    onde os resultados devem ser verossmeis (possvel e verdadeiro) e permite a observao dos

    valores da probabilidade antes de ser observado qualquer amostra do evento (E).

    6.3.3 Definio Axiomtica

    Seja (O) um experimento, seja (S) um espao amostral associado a (O). A cada evento

    (E) associa-se um nmero real representado por P(E) e denominaremos de probabilidade de E,

    satisfazendo as seguintes propriedades:

    31

    a-O'::;P(E)'::;l;

    b - P(S) = 1;

    c - Se A e B so eventos mutuamente excludentes, ento:

    P(A U B) = P(A) + P(B).

    d - Se Al, AZ, ..., An so eventos mutuamente excludentes dois a dois, ento:

    P(Al U A2 U ...U An) = P(Al) + P(A:z) + ... +P(A~ou

    n nP(~AJ = LP(AJ.

    i=!

  • As propriedades anteriores so conhecidas como axiomas da teoria da probabilidade.

    Os axiomas, muitas vezes, se inspiram em resultados experimentais e que, assim, definem a

    probabilidade de forma que possa ser confirmada experimentalmente.

    6.3.4 Teoremas Fundamentais.

    Teorema 1 - Se 0 for evento vazio, ento P(0) = O.

    Prova: Seja um evento A = 0. Assim, A = A U 0, como A n 0 = 0, de acordo com o item(3.2.3.4), A e 0 so mutuamente excludentes, ento:

    P(A) = P(A U 0)P(A) = P(A) + P(0)P(0) = P(A) - P(A)

    P(0) = O.

    '" .Teorema 2 - Se o evento 1\.' for o evento complementar de A, ento P()=l-P(A).

    Prova: A U = S, mas A e so mutuamente excludentes, ento:

    P(A U ) = P(S)P(A U ) = P(A) + P()P(A) + P(A) = 1

    logo,

    P(A) = 1 - P(A).

    Teorema 3 - Se A e B so eventos quaisquer, ento:

    P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A n B)

    Prova: Para provar o Teorema 3 devemos transformar A U B em eventos mutuamenteexcludentes, conforme a FIGURA 6.

    ,32

  • A B

    s

    [dA[JOB

    FIGURA 6 - Decomposio de eventos quaisquer em mutuamente excludentes

    Tem-se ento que:

    (A U B) = A U (B n )e

    B = (A n B) U (B n )

    logo pela propriedade (c) temos:

    P(A U B) = P[A U (B n )]P(A U B) = P(A) + P(B n )e

    P(B) = P[(A n B) U (B n )]P(B) = P(A n B) + P(B n )ou

    P(B n ) = P(B) - P(A n B)

    substituindo-se a equao (*) na equao (**) tem-se:

    P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A n B).

    Decorrncias do Teorema 3:

    Sejam A, B e C eventos quaisquer:

    P(A U B U C) = P[(A U B) U C]

    33

  • P(A U B U C) = P(A U B) + P(C) - P[(A U B) n C]

    P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A n B) - p[(AnC) U (BnC)]

    P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) - p(AnB) - [p(AnC) + p(BnC) - p(AnBnC)]

    P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) - p(AnB) - p(AnC) - p(BnC) + p(AnBnC)

    Sejam At, A2, ..., An eventos quaisquer:

    n n n

    P(A1UA2U ... UAn)= LP(AJ- LP(AinA)+ LP(AinAjnAk)+i=1 i

  • 6.4 Exerccios

    1) A probabilidade de 3 jogadores marcarem um penalti respectivamente: 2/3; 4/5;7/10 cobrando uma nica vez.

    a) todos acertarem. (28/75)b) apenas um acertar. (1/6)c) todos errarem. (1/50)

    2) Numa bolsa com ~moedas

  • 9) Um conjunto de 80 pessoas tem as caractersticas abaixo:

    BRASILEIRO ARGENTINO URUGUAIO TOTALMASCULINO 18 12 10 40FEMININO 20 05 15 40

    TOTAL 38 17 25 80

    Se retirarmos uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de que ela seja:a) brasileira ou uruguaia. (63/80)b) do sexo masculino ou tenha nascido na argentina. (9/16)c) brasileiro do sexo masculino. (18/80)d) uruguaio do sexo feminino. (15/80)e) ser mulher se for argentino. (5/17)

    10) Um grupo de pessoas est assim formado:

    Mdico Engenheiro VeterinrioMasc. 21 13 15Femin, 12 08 17

    Escolhendo-se, ao acaso, uma pessoa do grupo, qual a probabilidade de que seja:a) Uma mulher que fez o curso de medicina?b) Uma pessoa que fez o curso de medicina ?c) Um engenheiro dado que seja homem?d) No ser mdico dado que no seja homem?

    11) Num ginsio de esportes, 26% dos frequentadores jogam vlei, 36% jogam basquetee % praticam os dois esportes. Um dos frequentadores sorteado para ganhar umamedalha. Sabendo-se que ele joga basquete, qual a probabilidade de que tambmjogue vlei?

    12) A probabilidade de um aluno resolver um determinado problema de 1/5 e aprobabilidade de outro de 5/6. Sabendo que os alunos tentam solucionar oproblema independentemente. Qual a probabilidade do problema ser resolvido:

    a) somente pelo primeiro?b) ao menos por um dos alunos ?c) por nenhum?

    36

  • 6.6 Variveis aleatrias

    Ao descrever um espao amostral (S) associado a um experimento (O) especifica-se

    que um resultado individual necessariamente, seja um nmero. Contudo, em muitas situaes

    experimentais, estaremos interessado na mensurao de alguma coisa e no seu registro como

    um nmero.

    Definio: Seja (O) um experimento aleatrio e seja (S) um espao amostral associado ao

    experimento. Uma funo de X, que associe a cada elemento s E S um nmero

    real x(s), denominada varivel aleatria.

    s R

    FIGURA 1 - Representao de uma varivel aleatria

    Uma varivel X ser discreta (V.AD.) se o nmero de valores de x(s) for finito ou

    infinito numervel. Caso encontrarmos x(s) em forma de intervalo ou um conjunto de

    intervalos, teremos uma varivel aleatria contnua (V.A.c.).

    6.7 Funo de Probabilidade

    A probabilidade de que uma varivel aleatria "X" assuma o valor "x" uma funo

    de probabilidade, representada por P(X = x) ou P(x).

    6.7.1 Funo de Probabilidade de uma V.A.D.

    A funo de probabilidade para uma varivel aleatria discreta chamada de funode probabilidade no ponto, ou seja, o conjunto de pares (xi.P(xJ), i = 1,2, ..., n, ..., conforme,mostra a FIGURA 9.

    37

  • -+-_---L._....L..-----L_....L..- ..:...~ x

    P(x)

    ------------------------------------~FIGURA 6.1 - Distribuio de probabilidade de uma V.A.D.

    Para cada possvel resultado de x teremos: I)

    O~P(X) ~ 1;00

    LP(XJ = 1

    38

    i=l

    ~6.7.2 Funo de 'gleparti] para V.A.D.

    Seja X uma varivel aleatria discreta.

    Define-se Funo de Repartio da Varivel aleatria X, no ponto xi' como sendo a

    probabilidade de que X assuma um valor menor ou igual a Xi' isto :

    F(X) = p(X ~ xdPropriedades:

    2) F( -(0) =O

    3) F(+oo) = 1

    L/1!) p(a < x ::;b] = F(b) - F(a)5) p(a::; x::; b) = F(b) - F(a) +P(X = a)

    6) p(a < x < b) = F(b) - F( a) - P(X = b)

    7 ) F(X) , , , dir . lim F(X) = F(Xo)a e continua a eta ~ x~xo

  • zero.

    8l!) F(X) descontnua esquerda, nos pontos em que a probabilidade diferente de

    lim F(X); F(Xo)' para P(X = Xo); Ox~xo

    9l!) A funo no decrescente, isto , F(b) ;::::F(a) para b > a.

    6.7.3 Esperana Matemtica de V.A.D.

    Definio: Seja X uma V.A.D., com valores possveis xl, x2, ..., xn, ... ; Seja P(xi.>=

    P(X = xi.>,i = 1, 2, "', n, .... Ento, o valor esperado de X (ou Esperana

    Matemtica de X), denotado por E(X) definido como

    ro

    E(X) = LXi P(xJro ro

    se a srie E(X) = LXi P(xJ convergir absolutamente, isto , se Llxil P(xJ

  • f(x)

    a b x

    FIGURA 6.2 - Distribuio de probabilidade de uma v.A.c.

    Se qwsermos calcular a probabilidade de X assumir um valor x entre "a" e "b"

    devemos calcular:

    P(a::; x::; b) = !f(x) dx

    Pelo fato de que a rea representa probabilidade, e a mesma tem valores numricos

    positivos, logo a funo precisa estar inteiramente acima do eixo das abscissas (x).

    Definio: A funo f(x) uma Funo Densidade de Probabilidade (f.d.p.) para uma

    v.A.c. X, definida nos reais quando

    f(x) ~ O;

    [f(x) dx = 1;

    P(a:=:;x:=:;b)= lf(x)dx.

    6.7.6 Funo de Repartio para V.A.C.

    Seja X uma varivel aleatria contnua.

    Define-se Funo de Repartio da Varivel aleatria X, no ponto Xi' como sendo:

    F(X) = ~x) dx

    ~ p( a S; x S; b] = p(a < x < b] = p( a < x S; b] = p( a S; x < b]

    40

  • 6.7.7 Esperana Matemtica de uma V.A.C.

    Definio: Seja X uma V.A.c. com f.d.p. f(x). O valor esperado de X definido como

    E(X) = ['" x.f(x) dx

    pode acontecer que esta integral imprpria no convirja.

    Conseqentemente, diremos que E(X) existir se, e somente se, [J X I f(x) forfinita,

    6.7.8 Varincia de uma V.A.C.

    Definio: Seja X uma v.A.c. de uma funo distribuio de probabilidade (f.d.p.). A

    varincia de X :

    V(X) = [(x-E(X)tf(x)dx ou V(X)=E(X2)-[E(X)y

    onde

    16.8 Exemplos- Varivel Aleatria Discreta

    Seja X o~ame~~ de duas mo~ e descrever o

    obteno dotmero de caras:==:::::::-- ~

    experimento em funo da

    i) determinar a funo de probabilidade e represente graficamerhe;

    ii) construir a funo de repartio e represente graficamente;

    i) Use as propriedades para determinar:

    a) P(O< x < 2); b) P(O~ x ~ 1); c) P(O< x ~ 2); d) F(l); e) F(2)iv) E(X) e V(X)

    i) Representao grfica

    41

  • 0,6 ,--------------------,

    0,5 - - - - - - - - - - - - - ,------,- - - - - - - - - - - - -

    0,4 - - - - - - - - - - - - -x P(X='Xi)O 1/41 2/42 1/4L 4/4

    0,3 - - - - - - - - - - - - -

    0,2

    0,1

    o~---~~----~~----~o 2

    ii) Representao grfica

    F(x) = Ose x

  • - Varivel Aleatria Contnua

    Seja X uma varivel aleatria contnua:

    {2X, para O< x < 1

    f(x) =O,para qualquer outro valor

    i) represente graficamente funo densidade de probabilidade;

    ii) determinar a funo de repartio e represente graficamente;

    ili) Determine p( < x < %) e p( ~ x < 1)iv) E(X) e V(X)

    i)f(x)

    2 .. -----

    x

    ii)

    para x

  • 9-8 1--=-18 18

    Representao grfica

    F (x)

    1 ---r-li/i

    O x

    (1 3) ~ 2 (3)2 (1)2 8i) p "4~ x ~"4 = ~ 2x dx = [X2]1 ="4 -"4 = 16= 0,54 4

    iv) E(X) = Xx f(x) dx = Xx 2x dx = X 2x2 f(x) dx = f[X3]~= fE(X2) =!x2 f(x) dx= !x2 2x dx= !2x3 f(x) dx=~[X4]~ =+

    logo,

    6.9 Exerccios

    1) Admita que a varivel X tome valore 1,2 e 3 com probabilidades 1/3, 1/6 e 1/2

    respectivamente.

    a) Determine sua funo de repartio e represente graficamente.

    b) Calcule usando as propriedades:

    b.1) a) P(l < x < 3); b) P(l ~ x ~ 2); c) P(l < x ~ 3); d) F(l); e) F(2)c) E(X) e V(X)

    2) No lanamento simultneo de dois dados, considere as seguintes variveis

    aleatrias:

    44

  • x = nmero de pontos obtidos no 1lldado.Y = nmero de pontos obtidos no 2ll dado.

    a) Construir a distribuio de probabilidade atravs de uma tabela e grfico das

    seguinte variveis:

    i) W = X- Y) A = 2 Yili) Z = X. Y

    b) Construir a funo de repartio das Variveis W, A e Z

    c) Aplicar as propriedades e determinar:

    i) P (-3 < W ~ 3)) P (OsW s 4)ili) P (A> 6)

    iv) P (Z ~ 5.5)

    v) P (Z = 3)vi) P (A?11)

    vii) P (20 ~ Z ~ 35)

    vili) P 3,5 < Z < 34)

    d) Determine E(W), E(A), E(Z), V(W), V(A) e VeZ)

    3) Uma varivel aleatria discreta tem a distribuio de probabilidade dada por:

    Kp(x) = -;- para x = 1,3,5 e 7

    a) calcule o valor de k

    c) E(X)

    b) Calcular P(X=5)

    d) V(X)

    4) Seja Z a varivel aleatria correspondente ao nmero de pontos de uma pea de

    domin.

    a) Construir a tabela e traar o grfico P(Z).

    b) Determinar F(Z) e traar o grfico.

    c) Calcular P(2~ Z < 6).

    d) Calcular F (8).

    e) E(Z) e VeZ).

    45

  • 5) Seja feX)={%(1-X2}0
  • 9) Uma varivel aleatria X tem a seguinte f.d.p.:

    f(x) = O x < Of(x) = Ax O~ x < 500f(x) = A(100 - x) 500 ~ x < 1000f(x) = O x ~ 1000

    a) Determine o valor de A.

    b) P (250 ~ x ~ 750).

    10) Dada a funo de repartio:

    F(X) = O para x

  • Aps termos visto as definies de V.A.D. e V.A.c., citaremos as pnnClpals

    distribuies de probabilidade relacionadas a estas variveis.

    7.1 Distribuies Discretas de Probabilidade

    7.1.1 Distribuio Binomial

    o termo "Binomial" utilizado quando uma varivel aleatria esta agrupada em duasclasses ou categorias. As categorias devem ser mutuamente excludentes, de modo a deixar bem

    claro a qual categoria pertence determinada observao; e as classes devem ser coletivamente

    exaustivas, de forma que nenhum outro resultado fora delas possvel

    Sejam, "p" probabilidades de sucesso e "q" probabilidades de falha, ou seja p + q=1.

    A probabilidade de x sucessos em x tentativas dado por pX e de (n - x) falhas em

    (n - x) tentativas dado por qn-x, onde o nmero de vezes em que pode ocorrer x sucessos e

    (n-x) falhas dado por:

    (n: n!C - - .n,x X x!(n - x)!logo, a probabilidade de ocorrer x sucessos com n tentativas ser

    P(X ~ x) ~(:}, q"-'

    Propriedades necessrias para haver uma utilizao da Distribuio Binomial:

    1-) Nmero de tentativas fixas;2-) Cada tentativa deve resultar numa falha ou sucesso;3-) As probabilidades de sucesso devem ser iguais para todas as tentativas;4) Todas as tentativas devem ser independentes.

    48

  • 7.1.11 Esperana Matemtica de Distribuio Binornial

    E(X) = n.p

    7.1.2.2 Varincia de uma Distribuio Binomial

    V(X) = n.p.q

    7.1.2 Distribuio de Poisson

    Quando numa distribuio binornial o tamanho "n" das observaes for muito

    grande e a probabilidade "p" de sucesso for muito pequena, a probabilidade x de ocorrncia de

    um determinado nmero de observaes segue uma Distribuio de Poisson.

    A aplicao da distribuio segue algumas restries:

    - Somente a chance afeta o aparecimento do evento, contando-se apenas com a sua

    ocorrncia, ou seja, a probabilidade de sucesso "p".

    - Uma vez no conhecido o nmero total de eventos, a distribuio no pode ser

    aplicada.

    7.1.2.1 Esperana Matemtica da Distribuio de Poisson

    E(x) =

    7.1.2.2 Varincia da Distribuio de Poisson

    V(X) =

    49

    ..

  • 50

    7.2 Exerccios

    1) Admitindo-se o nascimento de meninos e rnerunas sejam IguaiS, calcular a

    probabilidade de um casal com 6 filhos ter:

    a) 4 filhos e 2 filhas b) 3 filhos e 3 filhas

    2) Em 320 famlias com 4 crianas cada uma, quantas se esperaria que tivessem:

    a) nenhuma menina; b) 3 meninos c) 4 meninos

    3) Um time X tem 2/3 de probabilidade de vitria sempre que joga. Se X jogar 5

    partidas, calcule a probabilidade de:

    a) X vencer exatamente 3 partidas;

    b) X vencer ao menos uma partida;

    c) X vencer mais da metade das partidas;

    d) X perder todas as partidas;

    4) A probabilidade de um atirador acertar um alvo 1/3. Se ele atirar 6 vezes, qual a

    probabilidade de:

    a) acertar exatamente 2 tiros; b) no acertar nenhum tiro.

    5) Num teste de certo-errado, com 100 perguntas, qual a probabilidade de um aluno,

    respondendo as questes ao acaso, acertar 70% das perguntas?

    6) Se 5% das lmpadas de certa marca so defeituosas, achar a probabilidade de que,

    numa amostra de 100 lmpadas, escolhidas ao acaso, tenhamos:

    a) nenhuma defeituosa (use binomial e poisson)

    b) 3 defeituosas;

    c) mais do que uma boa;

    7) Uma fabrica de pneus verificou que ao testar seus pneus nas pistas, havia em mdia

    um estouro de pneu a cada 5.000 km.

    a) qual a probabilidade que num teste de 3.000 km haja no mximo um pneu

    estourado?

    b) Qual a probabilidade de um carro andar 8.000 km sem estourar nenhum pneu?

    8) Certo posto de bombeiros recebe em mdia 3 chamadas por dia. Calcular a

    probabilidade de:

  • a) receber 4 chamadas num dia;

    b) receber 3 ou mais chamadas num dia;

    c) 22 chamadas numa semana.

    9) A mdia de chamadas telefnicas em uma hora 3. Qual a probabilidade:

    a) receber exatamente 3 chamadas numa hora;

    b) receber 4 ou mais chamadas em 90 minutos;

    c) 75 chamas num dia;

    10) Na pintura de paredes aparecem defeitos em mdia na proporo de 1 defeito por

    metro quadrado. Qual a probabilidade de aparecerem 3 defeitos numa parede 2 x 2

    m?

    11) Suponha que haja em mdia 2 suicdios por ano numa populao de 50.000 hab.

    Em uma cidade de 100.000 habitantes, encontre a probabilidade de que um dado

    ano tenha havido: a) nenhum suicdio; b) 1 suicdio; c) 2 ou mais suicdios.

    12) Suponha 400 erros de impresso distribuidos aleatoriamente em um livro de 500

    pginas. Encontre a probabilidade de que uma dada pgina contenha:

    a) nenhum erro;

    b) 100 erros em 200 pginas.

    51

    7.3 Distribuies Contnuas de Probabilidade

    7.3.1 Distribuio Uniforme

    uma distribuio de probabilidade usada para variveis aleatrias contnuas,definida num intervalo [a, b], e sua funo densidade de probabilidade dada por:

    sea s x sbsex b

  • R,f(x)

    1b-a

    -;----~a~~~------~b--------~x

    FIGURA 7.1 - Representao de uma Distribuio Uniforme

    7.3.1.1 Esperana Matemtica da Distribuio Uniforme

    E(X) = (b +a)2

    7.3.1.2 Varincia da Distribuio Uniforme

    V(X) = (b - a)212

    7.3.2 Distribuio Normal ou Gaussiana

    um modelo de distribuio contnua de probabilidade, usado tanto para variveis

    aleatrias discretas como contnuas.

    Uma varivel aleatria X, que tome todos os valores reais -00 < x < +00 tem

    distribuio normal quando sua funo densidade de probabilidade (f.d.p.) for da forma:

    1(X-Il)2f(x) = 1 e -"2 -;;- ,-00 < x < +00J2;. (J

    Os parmetros f..l e (J seguem as seguintes condies:

    -00 < f..l < +00 e (J > O.

    52

  • 7.3.2.1 Propriedades da Distribuio Normal

    a) O aspecto grfico da funo f(x) tem:

    - Semelhana de um sino, unimodal e simtrico em relao a mdia f..l.

    - A especificao da mdia f..l e do desvio padro (J completamente evidenciado.

    - A rea total da curva equivale a 100%.

    - A rea total da curva equivale a 100%.

    f(x)

    FIGURA 7.2 - Distribuio Normal em funo da f..l e (J

    7.3.2.2 Esperana Matemtica da Distribuio Normal

    E(X) = f..l

    7.3.2.3 Varincia da Distribuio Normal

    v(X) = (J2

    53

  • 7.3.2.4 Distribuio Normal Padronizada

    Tem como objetivo solucionar a complexidade da f(x) atravs da mudana de

    varivel. fez).

    f(z) z1 b-~

    P(a~z~b)= ~l e 2 dz'\f2n

    a b z

    FIGURA 7.4 - Complemento da Distribuio Normal Padronizada

    X-JlFazendo z = -- e z ~ N(O,l) temos que

    c

    1 [-~fez) = -J2n e 2,

    com E(z) = e VAR(z) = 1.onde:

    z = nmero de desvios padres a contar da mdiax = valor arbitrrioJl= mdia da distribuio normalcr = desvio padro da distribuio normal

    Estas probabilidades esto tabeladas e este caso particular chamado de Forma

    Padro da Distribuio Normal.

    54

  • 7.3.3 Distribuio "t" de Student

    Trata-se de um modelo de distribuio contnua que se assemelha distribuio

    normal padro, N ~ (0,1). E utilizada para inferncias estatsticas, particularmente, quando setem amostras com tamanhos inferiores a 30 elementos.

    A distribuio t tambm possui parmetros denominado "grau de liberdade - ip''. Amdia da distribuio zero e sua varincia dada por:

    A distribuio t simtrica em relao a sua mdia.

    -- 7.4 Exerccios '0

    1) As alturas dos alunos de uma determinada escola so normalmente distribudas

    com mdia 1,60 m e desvio padro 0,30 m. Encontre a probabilidade de um aluno

    escolhido ao acaso medir:

    a) entre 1,50 e 1,80 m

    c) menos que 1,48 m

    e) menos que 1,70 m

    b) mais que 1,75 m

    d) entre 1,54 e 1,58 m

    f) exatamente 1,83 m

    2) A durao de certo componente eletrnico tem mdia 850 dias e desvio padro 45

    dias. Qual a probabilidade do componente durar:

    a) entre 700 e 1000 dias b) menos que 750 dias c) mais que 850 dias

    d) Qual deve ser o nmero de dias necessrios para que tenhamos de repor 5% dos

    componentes. (R = 776 dias)

    3) Um produto pesa, em mdia, 10 g, com desvio padro de 2 g. embalado em

    caixas com ~ unidades. Sabe-se que as caixas vazias pesam -500 g, com desvio-

    padro de15 g. Admitindo-se uma distribuio normal dos pesos e independnciaentre as variveis dos pesos do produto e da caixa, calcule a probabilidade de uma

    caixa cheia pesar mais de 1050 g.

    Xgeral= 1000, Vgeral= 50Vp +v., Sgeral= ~Vgeral= 28.73 (R = 0.04093)

    55

  • -t-4) Em uma distribuio normal 28% dos elementos so supenores a 34 e 12%

    inferiores a 19. Encontrar a mdia e a varincia da distribuio. (R =

    X=29.03, S2=73.44)

    5) Suponha que a durao de vida de dois equipamentos El e E2 tenham

    respectivamente distribuies N(45 ; 9) e N(40 ; 36). Se o equipamento tiver queser usado por perodo de 45 horas, qual deles deve ser preferido? (R = Ej)

    6) A precipitao pluviomtrica mdia em certa cidade, no ms de dezembro, de 8,9

    cm. Admitindo a distribuio normal com desvio padro de 2,5 cm, determinar a

    probabilidade de que, no ms de dezembro prximo, a precipitao seja (a)

    inferior a 1,6 em, (b) superior aS cm mas no superior a 7,5 cm, (c) superior a 12

    cm.

    7) Em uma grande empresa, o departamento de manuteno tem instrues para

    substituir as lmpadas antes que se queimem (no esperar que queimem para ento

    substitu-Ias). Os registros indicam que a durao das lmpadas tem distribuio

    N(900 ; 75) (horas). Quando devem ser substitudas as lmpadas de modo que no

    mximo 10% delas queimem antes de serem trocadas? (R = 889 horas)

    8) Os registros indicam que o tempo mdio para se fazer um teste

    aproximadamente N(80 ; 20) (min.). Determinar:

    a) a percentagem de candidatos que levam menos de 60 min ?

    b) se o tempo concedido de lh, que percentagem no conseguir terminar o teste?

    9) A profundidade dos poos artesianos em um determinado local uma varivel

    aleatriaN(20 ; 3) (metros). Se X a profundidade de determinado poo,

    determinar (a) P(X < 15), (b) P(18 < X < 23), (c) P (X> 25).

    10) Certa mquina de empacotar determinado produto oferece variaes de peso com

    desvio padro de 20 g. Em quanto deve ser regulado o peso mdio do pacote para

    que apenas 10% tenham menos que 400 g? Calcule a probabilidade de um pacote

    sair com mais de 450 g. [R = a) J:l_=~2~.6 J) Q11123 ~]

    56

  • 8.1 Conceitos em Amostragem

    Inferncia Estatstica - o processo de obter informaes sobre uma populao apartir de resultados observados ma Amostra.

    Amostragem: o processo de retirada de informaes dos "n" elementos amos trais,na qual deve seguir um mtodo adequado (tipos de amostragem).

    IS~~8~10()1( \Inferncia Amostroqem

    ~ )8.2 Plano de Amostragem

    P) Definir os Objetivos da Pesquisa

    22) Populao a ser Amostrada

    - Parmetros a ser Estimados (Objetivos)

    3) Definio da Unidade Amostral

    - Seleo dos Elementos que faro parte da amostra

    4) Forma de seleo dos elementos da populao

    57

  • - Tipo de AmostragemEstratificada

    por Conglomerados

    Aleatoria Simples

    Sistematica

    5~ Tamanho da Amostra

    Ex.: Moradores de uma Cidade (populao alvo)

    {

    prpria

    Objetivo: Tipo de Residncia alugada

    emprestada{

    um pISO

    dois pisos

    tres ou mais pisos

    Unidade Amostral: Domiclios (residncias)

    Elementos da Populao: Fanlia por domiclio

    {

    aleatoria simples

    Tipo de Amostragem: sistematica

    estratificada

    8.3 Tipos de Amostragem

    8.3.1 Amostragem Simples ou Ocasional

    o processo mais elementar e freqentem ente utilizado. Todos os elementos dapopulao tem igual probabilidade de serem escolhidos. Para uma populao finita o processodeve ser sem reposio. Todos os elementos da populao devem ser numerados. Para realizaro sorteio dos elementos da populao devemos usar a Tabela de Nmeros Aleatrios.

    8.3.2 Amostragem Sistemtica

    Trata-se de uma variao da Amostragem Aleatria Ocasional, conveniente quando apopulao est naturalmente ordenada, como fichas em um fichrio, lista telefnica, etc.

    Ex.: N = 5000N

    n = 50, ento r = - = 10, (p.A. de razo 10)n

    Sorteia-se usando a Tabela de Nmeros Aleatriosum nmero entre 1 e 10, (x=3), o nmero sorteadorefere-se ao 1Q elemento da amostra, logo os elementosda amostra sero:

    58

  • 3 13 23 33 43

    Para determinar qualquer elemento da amostra podemos usar a frmula do termogeral de uma P.A.

    an = al + (n - 1).r

    8.3.3 Amostragem Estratificada

    um processo de amostragem usado quando nos depararmos com populaesheterogneas, na qual pode-se distinguir subpopulaes mais ou menos homogneas,denominados estratos.

    Aps a determinao dos estratos, seleciona-se uma amostra aleatria de cada umasubpopulao (estrato).

    As diversas subamostras retiradas das subpopulaes devem ser proporcionais aosrespectivos nmeros de elementos dos estratos, e guardarem a proporcionalidade em relao avariabilidade de cada estrato, obtendo-se uma estratificao tima.

    Tipos de variveis que podem ser usadas em estratificao: idade, classes sociais, sexo,profisso, salrio, procedncia, etc.

    8.3.4 Amostragem por Conglomerados (ou Agrupamentos)

    Algumas populaes no permitem, ou tornam-se extremamente difcel que seidentifiquem seus elementos, mas podemos identificar subgrupos da populao. Em tais casos,uma amostra aleatria simples desses subgrupos (conglomerados) podem ser escolhida, e umacontagem completa deve ser feita no conglomerado sorteado.

    Agregados tpicos so: quarteires, famlias, organizaes, agncias, edifcios, etc.

    8.4 Amostragem "COM" e ''SEM'' reposio

    Seja "N" o nmero de elementos de uma populao, e seja "n" o nmero deelementos de uma amostra, ento:

    Se o processo de retirada dos elementos for COM reposio (pop. infinita (f:::;5%) ),o nmero de amostras possveis ser:

    nQ de amostras = N"Se o processo de retirada de elementos for SEM reposio (pop. finita (f > 5%) ), o

    nmero de amostras possveis ser:

    59

  • d C N!n- e amostras = N n = ( ), n! N -n!

    Ex.: Supondo N = 8 e n = 4

    com reposio: n de amostras = Nn = 84 = 4096

    . d C N! 8!sem reposio: n- e amostras = N n = ( ) = C = -- = 70, n! N-n ! 8,4 4! 4!

    Ex.: Processo de Amostragem Aleatria Simples(Distribuio Amostral das Mdias)

    - (com reposio)

    N={1,2,3,4} n=2 nQ de amostras = Nn = 42 = 16

    {l,I} {1,2} {I,3} {1,4}

    {2,I} {2,2} {2,3} {2,4}{3,I} {3,2} {3,3} {3,4}{4,I} {4,2} {4,3} {4,4}

    - (sem reposio)

    N = { 1,2,3, 4} n=2 d2 de amostras = C = ~ = 64,2 2! 2!

    ~,2}~,3}~,4}{2,3} {2,4} {3,4}

    Para ilustrar melhor as estatsticas amos trais usaremos o processo com reposio.

    {I,I} => X = 1,0{2,I} => X = 1,5{3,I}=> X = 2,0{4,I} => X = 2,5

    {I,2} => X = 1,5{2,2}=> X = 2,0{3,2}=> X = 2,5{4,2} => X = 3,0

    {I,3}=> X = 2,0{2,3} => X = 2,5{3,3}=> X = 3,0{4,3}=> X= 3,5

    {I,4} => X = 2,5{2,4} => X = 3,0{3,4} => X = 3,5{4,4}=> X = 4,0

    60

  • 8.5 Representaes de uma Distribuio Amostral

    - Tabela

    ~ P(X=xJ1,0 1/161,5 2/162,0 3/162,5 4/163,0 3/163,5 2/164,0 1/16L 16/16

    - Grfico

    p(x)

    416 -------------------

    316 ------------- ----- ----

    216 ------- ---- ----- ----- ----

    ,t --r-- ------------------------Io

    1.5 2 2.5 3.5

    8.6 Estatsticas Amostrais

    - Esperana Matemtica

    n _ 40~(x) = E(x) = LXi P(X = xJ = 16 = 2,5

    1=1

    -Varincia

    n

    onde E(X2) = LX; p(X=xi)i=1

    61

  • 8.7 TAMANHO DA AMOSTRA

    8.7.1 Introduo

    Os pesquisadores de todo o mundo, na realizao de pesquisas cientficas, emqualquer setor da atividade humana, utilizam as tcnicas de amostragem no planejamento deseus trabalhos, no s pela impraticabilidade de poderem observar, numericamente, em suatotalidade determinada populao em estudo, como devido ao aspecto econmico dessasinvestigaes, conduzidos com um menor custo operacional, dentro de um menor tempo,alm de possibilitar maior preciso nos respectivos resultados, ao contrrio, do que ocorre comos trabalhos realizados pelo proceso censitrio (COCHRAN, 1965; CRUZ, 1978).

    A tcnica da amostragem, a despeito de sua larga utilizao, ainda necessita de algumadidtica mais adequada aos pesquisadores iniciantes.

    Na teoria da amostragem, so consideradas duas dimenses:

    1) Dimensionamento da Amostra;

    2) Composio da Amostra.

    8.7.2 Procedimentos para determinar o tamanho da amostra

    1) Analisar o questionrio, ou roteiro da entrevista e escolher uma varivel que julguemais importante para o estudo. Se possvel mais do que uma;

    2) Verificar o nvel de mensurao da varivel: nominal, ordinal ou intervalar;

    3) Considerar o tamanho da populao: infinita ou Emita

    4) Se a varavel escolhida for:

    intervalar e a populao considerada infinita, voc poder determinar otamanho da amostra pela frmula:

    62

  • ..--------------------------------------------------

    onde: Z = abscissa da curva normal padro, fixado um nvel de confiana (1- a)

    Z = 1,65 ~ (1 - a) = 90%

    Z = 1,96 ~ (1 - a) = 95%Z = 2,0 ~ (1 - a) = 95.5%Z = 2,57 ~ (1 - a) = 99%

    Geralmente usa-se Z = 2

    c desvio padro da populao, expresso na unidade varivel, onde poder serdeterminado por:

    Especificaes Tcnicas Resgatar o valor de estudos semelhantes Fazer conjeturas sobre possveis valores

    d = erro amostral, expresso na unidade da varivel. O erro amostral a mximadiferena que o investigador admite suportar entre Il e x, isto : 11l-xl < d.

    intervalar e a populao considerada finita, voc poder determinar otamanho da amostra pela frmula:

    onde: Z = abscissa da normal padro

    cr2 = varincia populacional

    N = tamanho da populao

    d = erro amostral- nominal ou ordinal, e a populao considerada infinita, voc poder

    determinar o tamanho da amostra pela frmula:

    onde: Z = abscissa da normal padro

    p = estimativa da verdadeira proporo de um dos nveis da varivel escolhida. Porexemplo, se a varivel escolhida for parte da empresa, p poder ser a estimativa da

    63

  • ~----------~-------------------------------------~--~ ~~

    verdadeira proporo de grandes empresas do setor que est sendo estudado. pser expresso em decimais (p = 30% ----+ P = 0.30).

    Li= 1-p

    d = erro amostral, expresso em decimais. O erro amostral neste caso ser a maximadiferena que o investigador admite suportar entre rt e p, isto : 11t- pl < d, em que1t a verdadeira proporo (freqncia relativa do evento a ser calculado a partir daamostra.

    nominal ou ordinal, e a populao considerada finita, voc poderdeterminar o tamanho da amostra pela frmula:

    onde: Z = abscissa da normal padro

    N = tamanho da populao

    p = estimativa da proporo

    Li= 1-p

    d = erro amostral

    Estas frmulas so bsicas para qualquer tipo de composlao da amostra; todavia,existem frmulas especficas segundo o critrio de composio da amostra.

    - Se o investigador escolher mais de uma varivel, poder acontecer de ter que aplicarmais de uma frmula, assim dever optar pelo maior valor de "n".

    ~ Quando no tivermos condies de prever o possvel valor para p, admita p = 0.50, pois, dessa forma,voc ter o maior tamanho da amostra, admitindo-se constantes os demais elementos.

    8.8 Distribuies amostrais de probabilidade

    8.8.1Distribuio amostral das mdias

    Se a varivel aleatria "x" segue uma distribuio normal:

    64

  • 65

    IJ,(x)= IJ,(a mdia da distribuio amostral igual a mdia populacional)

    cr(x) = crtn (Desvio Padro Amostral)

    8.8.1.1 Caso COM reposio (pop. infinita)

    - N[ (-) cr2(X)]x- IJ,x;---n

    8.8.1.2 Caso SEM reposio (pop. finita)

    Quando a amostra for> 5% da populao (~) devemos usar um fator de correo.

    - [_ cr2(x) N-nj N-n,x - N IJ,(x);--- --- , onde -- e o fator de correon N-l N-l

    EX1': Uma populao muito grande tem mdia 20,0 e desvio padro 1,4 . Extrai-seuma amostra de 49 observaes. Responda:

    a) Qual a mdia da distribuio amostral ?b) Qual o desvio padro da distribuio amostral ?c) Qual a porcentagem das possveis mdias que diferiram por mais de 0,2 da mdia

    populacional ?

    EX2': Um processo de encher garrafas de coca-cola d em mdia 10% mal cheias comdesvio padro de 30%. Extrada uma amostra de 225 garrafas de uma sequnciade produo de 625, qual a probabilidade amostral das garrafas mal cheias estarentre 9% e 12%.

    o exemplo n Q 2 pode ser resolvido usando a distribuio amostra! das propores, onde p = proporopopulacional, p= mdia da distribuio amostral das propores. Logo temos:

  • 66

    8.8.2 Distribuio amostra1 das propores

    p=p e - =~P(1-P) ~N-nCJp .,n N-1

    &-nonde -- usado para populao finita.N-1Ex.: Uma mquina de recobrir cerejas com chocolate regulada para produzir um

    revestimento de (3% em relao ao volume da cereja). Se o processo segue uma distribuionormal, qual a probabilidade de extrair uma amostra de 25 cerejas de um lote de 169 eencontrar uma mdia amostral superior a 3,4%. R = 0,44828.

    8.9 Exerccios

    1) Uma fabrica de baterias alega que eu artigo de primeira categoria tem uma vidamdia de 50 meses, e desvio padro de 4 meses.

    a) Que porcentagem de uma amostra de 36 observaes acusaria vida mdia nointervalo de um ms em torno da mdia?

    b) Qual ser a resposta para uma amostra de 64 observaes?c) Qual seria o percentual das mdias amostrais inferior a 49,8 meses com n =100?

    2) Um varejista compra copos diretamente da fbrica em grandes lotes. Os copos soembrulhados individualmente. Periodicamente o varejista inspeciona os lotes paradeterminar a proporo dos quebrados ou lascados. Se um grande lote contm10% de quebrados (lascados) qual a probabilidade do varejista obter numa amostrade 100 copos 17% ou mais defeituosos?

    3) Deve-se extrair uma amostra de 36 observaes de uma mquina de cunharmoedas comemorativas. A espessura mdia das moedas de 0,2 em, com desviopadro de 0,01 cm.

    a) Que percentagem de mdias amos trais estar no intervalo 0,004 em torno damdia? R = 0.98316

    b) Qual a probabilidade de obter uma mdia amostral que se afaste por mais de 0,005em da mdia do processo? R = 0.00164

    4) Suponha que uma pesquisa recente tenha revelado que 60% de uma populao deadultos do sexo masculino consistam de no-fumantes. Tomada uma amostra de10 pessoas de uma populao muito grande, que percentagem esperamos nosintervalos abaixo:

    a) de 50% a 65% b) maior que 53% c) de 65% a 80%

    5) Se a vida mdia de operao de um "flash" 24 horas, com distribuio normal edesvio padro de 3 horas, qual a probabilidade de uma amostra de 10 "flashes"retirados de uma populao de 500 "flashes" apresentar vida mdia que difira pormais de 30 minoda mdia. R = 0.60306

  • um processo de induo, na qual usamos dados extrados de uma amostra paraproduzir inferncia sobre a populao. Esta inferncia s ser vlida se a amostra forsignificativa.

    - Tipos de Estimaes de Parmetros

    - i) Estimao Pontual

    --= ii) Estimao Intervalar

    9.1 Estimao Pontual

    usada quando a partir da amostra procura-se obter um nico valor de certoparmetro populacional, ou seja, obter estimativas a partir dos valores amostrais.

    a) Estatsticas

    Seja (Xl' X2, ... , XJ uma amostra aleatria e (x, ,x2, ... , xJ os valores tomados pelaamostra; ento y = H(xl ,x2, ... , xJ uma estatstica.

    Principais estatsticas:

    - Mdia Amostral- Proporo Amostral- Varincia Amostral

    9.2 Estimao Intervalar

    Uma outra maneira de se calcular um estimativa de um parmetro desconhecido, construir um intervalo de confiana para esse parmetro com uma probabilidade de 1-a(nvel de confiana) de que o intervalo contenha o verdadeiro parmetro. Dessa maneira a sero nvel de significncia, isto , o erro que se estar cometendo ao afirmar que o parmetro estentre o limite inferior e o superior calculado.

    9.2.1 Intervalo de confiana para a mdia (u) com a varincia (02) conhecida.

    (n> 30 ~ Z)

    67

  • Como j vimos anteriormente, x: (mdia amostral) tem distribuio normal de mdiaIl e desvio padro ;i;. ,ou seja:

    Portanto, Z = :11 tem distribuio N (0,1)

    Ento,

    p( -za/2 ~ Z ~ +Za/2) = 1-a

    (x-Il JP -za/2 ~ al.j;; ~ +za/2 = 1- a

    (a - a -)P -za/2 Tn - X ~ Il ~ +za/2 Tu - X = 1- a(- a - a)

    PtX - za/2 Tu ~ Il ::;;X + za/2 Tu = 1- a (pop. Infinita)

    Para caso de populaes finitas usa-se a seguinte frmula:

    (- a ~N-n a~-nP X+Za/2 F -- ~ ll~a/2 ~E ---v n -1 v n N-1

    Obs.: Os niveis de confiana mais usados so:

    l-a = 90% => za/2 = 1,64l-a = 95% => za/2 = 1,96 l-a = 85% => za/2 =l-a = 99% => za/2 = 2,58

    68

  • Ex.: Seja X a durao da vida de uma pea de equipamento tal que o = 5 horas.Admita que 100 peas foram ensaiadas fornecendo uma durao de vida mdia de 500 horas eque se deseja obter um intervalo de~para a verdadeira mdia populacional. R = P (499,02 ~ 500,98) = 95%.

    Obs.: Podemos dizer que 95% das vezes, o intervalo acima contm a verdadeiramdia populacional. Isto no o mesmo que afirmar que 95% a probabilidade doparmetro ~ cair dentro do intervalo, o que constituir um erro, pois ~ um parmetro(nmero) e ele est ou no no intervalo.

    9.2.2 Intervalo de confiana para a mdia (u) com a varincia (cr2)desconhecida

    n-Ionde n -1 = graus de liberdade

    (n:::; 30)

    Neste caso precisa-se calcular a estimativa S (desvio padro amostral) a partir dosdados, lembrando que:

    n:L(xi --xyS2 = ..!.i==..!I _

    69

    X-~Portanto, t = s/.r;; tem distribuio N (0,1)

    x-~t---- s/.r;; c z N(O,l)S=%- %Esta distribuio conhecida como distribuio "t" de Student, no caso com

    (

  • o grfico da funo densidade da varivel "t" simtrico e tem a forma da normal,porm menos "achatada" sua mdia vale Oe a varincia ~ em que
  • A N(A. P.i)p~ p,-n

    (pop. infinita)

    (pop. finita)

    Ap-nlogo Z=--

    O"p 1f!Ap.qonde O" P = --;:;

    A X caractersticap = ~ = nmero de elementos da amostra

    Para caso de populaes finitas usa-se a seguinte frmula:

    p(p - ZU/2 O"p~N - n s n s P + ZU/2 O"p~N - nJ = 1-a (pop. Finita)N-1 N-1

    Ex.: Uma centena de componentes eletrnicos foram ensaiados e 93 delesfuncionaram mais que 500 horas Determine um intervalo de confina de 95% para averdadeira proporo populacional sabendo que os mesmos foram retirados de uma populaode 1000 componentes.

    9.2.4 Intervalo de Confiana para Varincia

    , (n-1)S2Como o estimador de 0"2 S2 pode-se considerar que tem distribuio Qui

    0"2- quadrado, ou seja:

    2 S2Xn_1 ~Z-2'

    O"

    logo o intervalo ser:

    71

  • Assim temos:

    [(n-l)82< 2 n-l)82] __P 2 _O" - 2 -1 a

    Xsup Xinf

    O!2

    2X 1- O!22 2

    Xsup = Xa.2''1'

    Ex.: A seguinte amostra: 9, 8, 12, 7, 9, 6, 11, 6, 10, 9 foi extrada de uma populaoaproximadamente normal. Construir um intervalo de confiana para 0"2 com um nvel de 95%.

    9.2.5 Intervalo de Confiana para a diferena Entre duas Mdias:

    Usualmente comparamos as mdias de duas populaes formando sua diferena:

    ~l- ~2

    Uma estimativa pontual desta diferena correspondente:

    a) Varincias Conhecidas

    Erro Padro?

    72

  • logo o erro padro =

    Obs.: se a] e a 2 so conhecidas e tem um valor em comum, logo:

    ~

    lErro Padro: a - +-

    ll] ll2

    Ex.: Seja duas classes muito grande com desvios padres a] =1,21 e a2 =2,13.Extrada uma amostra de 25 alunos da classe 1 obteve-se uma nota mdia de 7,8, e da classe 2foi extrada uma amostra de 20 alunos obteve-se uma nota mdia de 6,0. Construir umintervalo de 95% de confiana para a verdadeira diferena das mdias populacionais. R ==(LI=0,753; LS=2,847)

    b) Varincias Desconhecidas

    Em geral conhecemos duas varincias populacionais (a~ e a;). Se as mesmas sodesconhecidas o melhor que podemos fazer estim-Ias por meio de varincias amostraisS~e S;.

    Como as amostras sero pequenas, introduziremos uma fonte de erro compensadapela distribuio "t":

    Obs.: Se as varincias populacionais so desconhecidas mas as estimativas so iguais,poderemos usar para o Erro Padro o seguinte critrio:

    - J21Erro Padrao: Se - +-ll] ll2

    onde Sc o desvio padro conjunto

    S -e-(ll] -l)S~+(ll2 -l)S;

    ll] +ll2-2

    EX1': De uma turma (1) foi extrada uma amostra de 6 alunos com as seguintesalturas: 150, 152, 153, 160, 161, 163. De uma segunda turma foi extrada uma amostra de 8alunos com as seguintes alturas: 165, 166, 167, 172, 178, 180, 182, 190. Contruir um intervalode 95% de confiana para a verdadeira diferena entre as mdias populacionais.

    73

  • -------_._----------- ._.__ ...

    EX2': De uma mquina foi extrada uma amostra de 8 peas, com os seguintesdimetros: 54, 56, 58, 60, 60, 62, 63, 65. De uma segunda mquina foi extrada uma amostrade 10 peas, com os seguintes dimetros: 75, 75, 76, 77, 78, 78, 79, 80, 80, 82. Construir umintervalo de 99% de confiana para a diferena entre as mdias populacionais, supondo que asmquinas foram construdas pelo mesmo fabricante.

    9.2.6 Intervalo de Confiana para a Diferena entre duas Propores

    Ex.: Em uma pesquisa realizada pelo Instituto Gallup constatou que 500 estudantesentrevistados com menos de 18 anos, 50% acreditam na possibilidade de se verificar umamodificao na Amrica, e que dos 100 estudantes com mais de 24 anos, 69% acreditam nessamodificao. Construir um intervalo de confiana para a diferena entre as propores destassubpopulaes usando 0.=5%. R=(LI=0,0893, LS=0,2905)

    9.3 Exerccios

    1) Ao se realizar uma contagem de eritrcitos em 144 mulheres encontrou-se em mdia5,35 milhes e desvio padro 0,4413 milhes de glbulos vermelhos. Determine oslimites de confiana de 99% para a mdia populacional.

    2) Um conjunto de 12 animais de experincia receberam uma dieta especial durante 3semanas e produziram os seguintes aumentos de peso (g): 30, 22, 32, 26, 24, 40, 34,36, 32, 33, 28 e 30. Determine um intervalo de 90% de confiana para a mdia.R:::::>X=30.58, S = 5.09,LI = 27.942, LS = 33.218

    3) Construa um intervalo de 95 % de confiana para um dos seguintes casos:

    Mdia c Tamanho daAmostral Amostra

    a) 16,0 2,0 16b) 37,5 3,0 36c) 2,1 0,5 25d) 0,6 0,1 100

    4) Numa tentativa de melhor o esquema de atendimento, um mdico procurou estimar otempo mdio que gasta com cada paciente. Uma amostra aleatria de 49 pacientes,colhida num perodo de 3 semanas, acusou uma mdia de 30 min., com desvio padrode 7 mino Construa um intervalo de 95% de confiana para o verdadeiro tempomdio de consulta.

    74

  • 5) Solicitou-se a 100 estudantes de um colgio que anotasse suas despesas comalimentao e bebidas no perodo de uma semana. H 500 estudantes no colgio. Oresultado foi uma despesa de $40,00 com um desvio padro de $10,00. Construa umintervalo de 95% de confiana para a verdadeira mdia.

    6) Uma amostra aleatria de 100 fregueses da parte da manh de um supermercadorevelou que apenas 10 no incluem leite em suas compras.

    a) qual seria a estimativa percentual dos fregueses que compram leite pela parte damanh. (a = 5%). R~ti=84.12%,LS=95.88%

    b) construir um intervalo de 90% de confiana para a verdadeira proporo dosfregueses que no compram leite pela manh. R ~ ti = 5.08%, LS = 14.92%

    7) Uma amostra aleatria de 40 homens trabalhando num grande projeto de construorevelou que 6 no estavam usando capacetes protetores. Construa um intervalo de98% de confiana para a verdadeira proporo dos que no esto usando capacetesneste projeto.R zz 0"1' = 0.056, ti = 0.02, LS = 0.28

    8) De 48 pessoas escolhidas aleatoriamente de uma longa fila de espera de um cinema,25% acharam que o filme principal continha demasiada violncia.

    a) qual deveria ser o tamanho da fila, a partir do qual se pudesse desprezar o fator decorreo finita;

    b) construa um intervalo de 98% de confiana para a verdadeira proporo, se h 100pessoas na fila;

    c) construa um intervalo de 98% de confiana para a verdadeira proporo, se h 500pessoas na fila.

    9) Em uma fbrica, colhida uma amostra (n 30) de certa pea, obtiveram-se asseguintes medidas para os dimetros:

    10 11 11 11 12 12 12 12 13 1313 13 13 13 13 13 13 13 13 1314 14 14 14 14 15 15 15 16 16

    a) estimar a mdia e a varincia; R x 13,13e 2,05b) construir um intervalo de confiana para a mdia, sendo a = 5%.

    (U = 12.536eLS = 13.664)c) construir um intervalo de 95 % de confiana para a mdia, supondo que a amostra

    tenha sido retirada de uma populao de 100 peas, sendo a = 5%. (U = 12.581e LS =13.579)

    d) Construir um intervalo de confina para a varincia populacional, sendo a = 5%. (U= 1.3003 e LS = 3.104)

    10) Supondo populaes normais, contruir um intervalo de confiana para a mdia epara a varincia ao nvel de significncia de 90% para as amostras.

    a)b)c)

    2 3 4 5 5 612 12 15 15 16 1625 25 27 28 30 33

    67817 18 2034 35 36

    8 922 22 23

    n = 11n = 12n=9

    75

  • 11) Sendo X uma populao tal que X - N(Il;cr2) em que Il e cr2 so desconhecidos.Uma amostra de tamanho 15 forneceu os seguiutes valores "X = 8 7 eL...J 1 "LX~ = 27,3. Determinar um intervalo de confiana de 95% para Il e cr2, supondo:

    - LXiX=--n

    LX~-(LnXire S2 = -- _

    n-I

    12) Dados os seguintes conjuntos de medias, determinar um intervalo de 99% deconfiana para a varincia populacional e para a mdia populacional.

    0.0105; 0,0193; 0,0152; 0,0229; 0,0244; 0,0190; 0,0208; 0,0253; 0,0276

    R::::::>X =0.0206, U = 0.01467, LS = 0.026653;5 = 0.0053,U = 0.00001, LS = 0.000167

    13) O tempo de reao a uma injeo intravenosa em mdia de 2.1 min., com desviopadro de 0.1 min., para grupos de 20 pacientes. Construa um intervalo de confianade 90 % para o tempo mdio para toda a populao dos pacientes submetidos aotratamento.

    14) Uma firma esta convertendo as mquinas que aluga para uma verso mais moderna.At agora foram convertidas 40 mquinas. O tempo mdio de converso foi de 24horas com desvio padro de 3 horas. a) Determine um intervalo de confiana de 99% para o tempo mdio de converso. b) Para uma amostra de 60 mquinas, comoficaria o intervalo de confiana de 99 % para o tempo mdio de converso

    15) Seis dentre 48 terminais telefnicos do respostas de ocupado. Uma firma possui800 terminais. Construir um intervalo de confiana de 95 % para a proporo dosterminas da firma que apresentam sinal de ocupado. R::::::>U = 3.4%, LS = 21.6%

    16) Uma amostra de 50 bicicletas de um estoque de 400 bicicletas, acusou 7 com pneusvazios. a) Estime o nmero de bicicletas com pneus vazios: b) Construa um intervalode 99 % confiana para a populao das bicicletas com pneus vazios.R::::::>a) 56; b)U = 0.021 LS = 0.258

    17) A mdia salarial semanal para uma amostra de n = 30 empregados em uma grandefirma X = 180,00 com desvio padro S = 14,00. Construa um intervalo deconfiana de 99 % para a mdia salarial dos funcionrios.

    18) Uma empresa de pesquisa de mercado faz contato com uma amostra de 100 homensem uma grande comunidade e verifica que uma proporo de 0.40 na amostraprefere lminas de barbear fabricadas por seu cliente em vez de qualquer outra marca.Determinar o intervalo de confiana de 95 % para a proporo de todos os homensna comunidade que preferem a lmina do cliente.

    76

  • 19) Uma pequena fbrica comprou um lote de 200 pequenas peas eletrnicas de umsaldo de estoque de uma grande firma. Para uma amostra aleatria de 50 peas,constatou-se que 5 eram defeituosas. Estimar a proporo de todas as peas que sodefeituosas no carregamento utilizando um intervalo de confiana de 99 %.

    20) Duas amostras de plantas foram cultivadas com dois fertilizantes diferentes. Aprimeira amostra oriunda de 200 sementes, acusou altura mdia de 10,9 em e desviopadro 2,0 cm. A segunda amostra, de 100 sementes, acusou uma altura mdia de10,5 em com desvio padro de 5,0 em. Construir um intervalo de confiana entre asalturas mdias das populaes ao nvel de 95% de confiana.

    21) Uma amostra aleatria de 120 trabalhadores de uma grande fbrica leva em mdia22,0 mino para executar determinado servio, com S2 de 4 min-. Em uma segundafbrica, para executar a mesma tarefa, uma amostra aleatria de 120 operrios, gastaem mdia 19,0 min com S2 de 10 min-. Construir um intervalo de 99% de confianaentre as mdias das populaes.

    22) Extraram-se amostras independentes de adultos brancos e pretos, que acusaram osseguintes tempos (em anos) de escolaridade.

    Branco6Preto

    Construir um intervalo de 95% de confiana para:

    a) a mdia da populao branca, e a mdia da populao preta;b) a diferena entre as mdias entre brancos e pretos

    23) Em uma amostra aleatria de cinco pessoas, foi medida a capacidade torxica antes eaps determinado tratamento, obtendo-se os dados a seguir. Construir um intervalode 95% de confiana para a diferena entre as mdias antes e depois do tratamento.

    ABCDE

    Antes (Xl Aps (Y)PessoaCapacidade Torxica

    2750 28502360 23802950 29302830 28602250 2320

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  • ------------------- --------------------------------------------------------------------------------------

    24) Extrada duas amostras de professores homens e mulheres, obteve-se os seguintesresultados quantos aos salrios em milhares de dlares: Construir um intervalo de95% de confiana para:

    Homensn2 = 5

    X2 = 11,0S2 = 102

    Mulheresn1 = 25

    XI = 16,0S2 = 161

    a) a mdia da diferena entre os salrios;b) a mdia do salrio dos homens;c) a mdia do salrio das mulheres.

    25) Em uma pesquisa efetuada em com 1650 americanos foram consultados sobre oseguinte tema: "A mulher grvida pode procurar um mdico e interromper a gravidez,a qualquer momento durante os trs primeiros meses. a favor ou contra estadeciso?" Uma semana mais tarde foram consultados 1650 americanos foramconsultados sobre o mesmo assunto, exceto que a pergunta "a favor do aborto, aoinvs de "interromper a gravidez". As respostas foram as seguintes:

    RespostaPergunta A favor Contra Sem opinio

    "Interromper a gravidez" 46% 39% 15%"A favor do aborto" 41% 49% 10%

    a) Seja 11:1 a proporo dos votantes a favor do 1 caso (interromper) e 11:2 a proporodos votantes a favor do 2 caso (aborto). Construir um intervalo de 95% de confianapara a diferena 11:1 - 11:2, R = U = 0.01628, LS = 0.08379

    b) Repetir a (a) para os votantes que no tiveram opinio. R = U = 0.0275, L.S = 0.0725

    26) Numa pesquisa sobre inteno do comprador brasileiro. 30 famlias de uma amostraaleatria de 150 declararam ser uma inteno comprar um carro novo dentro de umano. Uma outra amostra de 160 famlias 25 declararam a mesma inteno. Construirum intervalo de 99% de confiana para as diferenas entre as propores.R = U = 0.0727, L.S = 0.1527

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  • Trata-se de uma tcnica para se fazer inferncia estatstica. Ou seja, a partir de um teste dehipteses, realizado com os dados amostrais, pode-se inferir sobre a populao.

    No caso da inferncia atravs de Intervalo de confiana, busca-se "cercar" oparmetro populacional desconhecido. Aqui formula-se uma hiptese quanto ao valor doparmetro populacional, e pelos elementos amostrais faz-se um teste que indicar aACEITAO ou REJEIO da hiptese formulada.

    10.1 Principais Conceitos

    10.1.1 Hiptese Estatstica

    Trata-se de uma suposio quanto ao valor de um parmetro populacional, ou quanto natureza da distribuio de uma varivel populacional.

    So exemplos de hipteses estatsticas:

    a) A altura mdia da populao brasileira 1,65 m, isto : H: ).! = 1,65 m;b) A varincia populacional dos salrios vale $ 5002, isto , H: 0'2 = 5002 ;c) A proporo de paulistas fumantes 25%, ou seja, H: p = 0.25d) A distribuio dos pesos dos alunos da nossa faculdade normal.

    10.1.2 Teste de Hiptese

    uma regra de deciso para aceitar ou rejeitar uma hipteses estatstica com base noselementos amostrais.

    10.1.3 Tipos de Hipteses

    Designa-se por Ho, chamada hiptese nula, a hipteses estatstica a ser testada, e porH1 a hiptese alternativa. A hiptese nula expressa uma igualdade, enquanto que a hiptese

    alternativa dada por uma desigualdade (* , < , .

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  • Exemplos:

    Teste Bicaudal ou Bilateral

    Teste Unilateral Direito

    Teste Unilateral Esquerdo

    10.1.4 Tipos de erros

    H dois tipos de erro ao testar uma hiptese estatstica. Pode-se rejeitar umahipteses quando ela , de fato verdadeira, ou aceitar uma hipteses quando ela , de fato,falsa. A rejeio de uma hiptese verdadeira cha