apostila engenharia economica

Engenharia Econômica Prof. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise 1

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DPS 1016

Engenharia Econômica

Material de Aula

Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas

Centro de Tecnologia - Universidade Federal de Santa Maria - RS


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SUMÁRIO

1. Introdução e conceitos básicos

1.1 O objeto de estudo da econômia

1.2 Fundamentos da análise macroeconômica

1.3 Fundamentos da análise microeconômica

1.4 Definição de Engenharia Econômica

1.5 Definição e modalidades de Juros

1.6 Juros simples e compostos

1.7 Diagrama de fluxo de caixa

2. Relações de equivalência

2.1 - Dado “P” achar “F”

2.2 - Dado “F” achar “P”

2.3 - Dado “A” achar “F”

2.4 - Dado “F” achar “A”

2.5 - Dado “A” achar “P”

2.6 - Dado “P” achar “A”

2.7 - Dado “G” achar “A”

2.8 - Dado “G” achar “P”

2.9 – Séries perpétuas

3. Taxas de juros

3.1 - Considerações gerais

3.2 - Taxa Nominal e Taxa Efetiva

3.3 - Taxas cobradas antecipadamente

3.4 - Taxas Equivalentes

3.5 - Taxa Global de Juros

3.6 - Taxa Mínima de Atratividade

4. Financiamento

4.1 - Fontes de recursos

4.2 - Seleção das fontes de financiamento

4.3 - Amortização de dívidas

4.4 - Sistema de amortização francês (Tabela Price)

4.5 - Sistema de amortização constante (SAC)

4.6 - Sistema de amortização misto (SAM)

4.7 - Sistema de amortização crescente (SACRE)

4.8 - Outros sistemas de amortização

4.8.1 - Sistema americano

4.8.2 - Pagamento único, com juros postecipados

4.8.3 - Pagamento único, com juros antecipados

4.8.4 - Sistema de amortizações variáveis

4.9 - Comentários sobre os sistemas de amortização


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4.10 - Correção monetária dos empréstimos

4.10.1 - Prestação calculada após a incorporação da correção monetária ao saldo

devedor

4.10.2 - Prestação calculada antes da incorporação da correção monetária ao saldo

devedor

5. Métodos determinísticos de análise de investimentos

5.1 - Valor Presente Líquido

5.1.1 - Projetos com vidas iguais

5.1.2 - Projetos com vidas diferentes

5.2 - Valor (ou Custo) Anual Uniforme Equivalente

5.2.1 - Valor anual uniforme equivalente

5.2.2 - Custo anual uniforme equivalente

5.3 - Taxa Interna de Retorno

5.3.1 - Casos especiais

5.3.2 - Análise incremental

5.3.3 - Interseção de Fisher

5.3.4 - Projetos com vidas diferentes

5.4 - Análise Benefício/Custo

5.5 - Tempo de Recuperação do Capital - PAYBACK

5.6 - Métodos Modificados

5.7 - Estudo de Caso

6. Bibliografia

7. Calendário

8. Apendice


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1. INTRODUCAO E CONCEITOS BÁSICOS

1.1 O OBJETO DE ESTUDO DA ECONOMIA

A palavra economia é de origem Grega (oikonomes) (de oikos = casa e nomos = norma,

lei), que significa a administração de uma casa. Xenofontes (455 a 345 a.c.) foi o primeiro

a usar o termo Economia no sentido exposto anteriormente, ou seja, abrangendo apenas o

governo ou a administração do lar.

A Economia se define como “uma ciência social que estuda como o individuo e a

sociedade decidem (escolhem) empregar recursos produtivos escassos na produção de

bens e serviços, de modo a distribuí-los entre as várias pessoas e grupos da sociedade, a

fim de satisfazer as necessidades humanas da melhor maneira possível.” (PINHO;

VASCONSELLOS, 2006, p. 2).

Percebe-se os cinco conceitos básicos escrita na definição anterior, como:

Recursos;

Escassez;

Necessidades;

Produção; e

Distribuição.

Os recursos (seja mão-de-obra, terra, matérias-primas, etc.) são limitados. Ao contrário as

necessidades que se renovam e mudam, ou seja, são ilimitadas, pois sempre o individio tem

o desejo elevar o padrão de vida e a população cresce mundialmente.

Mesmo nos países mais ricos do mundo, todos os recursos disponíveis não estão

suficientes para satisfazer todas as necessidades. Por isso, se fala de escassez, ou seja,

recursos limitados. Viviendo com a escassez, a sociedade busca alternativas de produção e

de distribuição dos resultados da atividade produtiva para atender as necessidades de

diversos grupos da sociedade.

Para satisfação das necessidades:

Produção → Distribuição → Consumo

Nesse processo de produção e consumo, surgem e são solucionados muitos problemas de

caráter econômico:

Produção ↔ Consumo

↓ ↓

Que bens produzir Como vão gastar

e

Que meios utilizará para produzir

Assim se encontra a questão principal da economia: Como alocar recursos produtivos

limitados para satisfazer todas as necessidades da população?

Então a sociedade deve tomar decisão sobre a melhor forma da utilização de recursos

limitados, sendo estudar assuntos como inflação, taxa de juros, taxa de câmbio,

desemprego, crescimento, déficit público, vulnerabilidade externa, etc.


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Micro

Economia Descritiva → T E [ ] P E

Macro

↓ ↓

Economia Positiva Economia Normativa

Economia Descritiva trata da identificação do fato econômico. É a partir dos

levantamentos descritivos sobre a conduta dos agentes econômicos que se inicia o

complexo de conhecimento sistematizado da realidade no campo da economia positiva. È a

tarefa de levantamento e descrição dos fatos que se dedica a economia descritiva; é através

dela que a realidade começa a ser submetida a um criterioso tratamento no sentido de que

possam se analisados as relações básicas que se estabelecem entre os diversos agentes que

compõem o quadro da atividade econômica.

Teoria Econômica (TE) é o compartimento central da economia, compete-lhe dar

ordenamento lógico aos levantamentos sistematizados fornecidos pela economia descritiva,

produzindo generalizações que sejam capazes de ligar aos fatos entre si, desvendar cadeias

de ações manifestadas e estabelecer relações que identifiquem os graus de dependência de

um fenômeno em relação a outro. Surgiram então em decorrência conjunto de princípios,

de teorias, de modelos e de leis fundamentadas nas descrições apresentadas.

A teoria econômica adota duas posições distintas na apresentação e análise do fenômeno

econômico, estas posições são conhecidas como microeconomia e macroeconomia.

A microeconomia é aquela parte da teoria econômica que estuda o processo de formação

de preços e o funcionamento dos mercados, ou seja, comportamento das unidades, tais

como os consumidores, as indústrias e empresas, e suas inter-relações.

A macroeconomia estuda o funcionamento do sistema econômico em seu conjunto. Seu

propósito é obter uma visão simplificada da economia que, porém, ao mesmo tempo,

permita conhecer e atuar sobre o nível da atividade econômica de um determinado país ou

de um conjunto de países.

Os desenvolvimentos elaborados no compartimento da teoria econômica tem a finalidade

de servir a Política Econômica (PE). Nesse terceiro compartimento é que serão utilizados

os princípios, as teorias, os modelos e as leis. A utilização terá a finalidade de conduzir

adequadamente a ação econômica com vistas a objetivos pré-determinados. Quando

empregamos a expressão política econômica governamental estamos nos referindo as ações

praticas desenvolvidas pelo governo com a finalidade de condicionar, balizar e conduzir o

sistema econômico no sentido de que sejam alcançados um ou mais objetivos

politicamente estabelecidos.

Para completar existem ainda a Lei da Economia, que é a relação entre um fenômeno e sua

causa, Economia política é uma ciência e conseqüentemente possui princípios, normas e

leis. Assim, as leis podem ser dividas:

Leis Naturais são aquelas de forma global, gerias; exprimem uma relação constante entre

a causa e o efeito. Ex: leis físicas são aquelas onde cientistas podem determinar

perfeitamente a causa; a água a zero grau congela.

Leis Sociais exprimem a tendência que certos fatos tem em produzir certos efeitos. Ex:

fenômenos econômicos podem garantir a tendência de acontecimento do fato, segundo as

condições propostas; a escassez do produto indica um aumento do preço.


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Leis Tipicamente Econômicas é lei da oferta e da procura – essa lei diz que o preço

aumenta. Não pode dizer quanto (em valores), quando e como acontecera e nem em que

medida poderá ser produzida.

1.2 FUNDAMENTOS DA ANÁLISE MACROECONÔMICA

A Macroeconomia, segundo Garcia e Vasconcellos (2002, p. 83), “[...] estuda a economia

como um todo, analisando a determinação e o comportamento de grandes agregados, tais

como: renda e produto nacionais, nível geral de preços, emprego e desemprego, estoque de

moeda e taxas de juros, balança de pagamentos e taxa de câmbio”.

Assim sendo, a Macroeconomia faz uma abordagem global das unidades econômicas

individuais e de mercados específicos. Por exemplo, essa teoria considera apenas o nível

geral de preços, e não atende as mudanças dos preços dos bens das diferentes indústrias.

Basicamente, a macroeconômia constitui-se de cinco mercados, que através de suas ofertas

e demandas determinam os agregados macroeconômicos. Estes cinco mercados são

mercado de bens e serviços, de trabalho, monetário, de títulos e de divisas.

1.2.1 Mercado de Bens e Serviços

Determina o nível de produção agregada, bem como o nível geral de preços. Para Garcia e

Vasconcellos (2002, p. 90) “A idéia seria a de idealizarmos a economia como se ela

teoricamente produzisse apenas um único bem, que seria obtido através da agregação dos

diversos bens produzidos.”

O nível geral dos preços e do agregado da produção depende da demanda agregada –

consumidores, empresas, governo, setor externo – e da oferta agregada de bens e serviços.

Para que ao menos houvesse um equilíbrio de mercado, seria necessário que a oferta

agregada de bens e serviços fosse igual à demanda agregada de bens e serviços.

O mercado de bens e serviços define as variáveis de: nível de renda, produto nacional e de

preços, consumo, poupança e investimentos agregados e exportações e importações

globais.

1.2.2 Mercado de Trabalho

Nesse mercado admite-se um único tipo de mão-de-obra, independente do grau de

qualificação, escolaridade, sexo etc. Ele determina os salários e o nível de emprego. A

oferta de mão-de-obra dá-se pelo salário e pela evolução da população economicamente

ativa. E a procura de mão-de-obra ocorre pelo seu custo à empresa e do nível de produção

desejada pela mesma. O equilíbrio nesse mercado se dá pela igualdade entre a oferta e a

demanda de mão-de-obra. Esse mercado determina o nível de emprego e a taxa de salário.

1.2.3 Mercado Monetário

Existem em função de que todas as operações comerciais da economia são realizadas

através da moeda. Nele existe, portanto, uma demanda e também uma oferta de moeda –

através do Banco Central – que juntas determinam uma taxa de juros. Aqui, a igualdade

entre a oferta e a demanda de moeda é dá a condição de equilíbrio no mercado monetário.

E é ele que impõe, além da taxa de juros, o estoque de moeda.


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1.2.4 Mercado de Títulos

Determina o preço dos títulos, por exemplo, do título público federal. Ele analisa o papel

dos agentes econômicos superavitários – que gastam menos e ganham mais, podendo

efetuar empréstimos – e dos agentes econômicos deficitários – que gastam mais que

ganham, que geralmente recorrem à empréstimos dos superavitários. Quando a oferta de

títulos se iguala a sua demanda, ocorre o equilíbrio desse mercado.

1.2.5 Mercado de Divisas

Divisas são moedas estrangeiras, dessa forma ele também é chamado de mercado de moeda

estrangeira, e cuida das transações da economia com o resto do mundo. Para que ocorra um

equilíbrio nesse mercado a oferta de divisas – gerada pelas exportações e entrada de capital

– seja iguala sua demanda – gerada pelas importações e saída de capital financeiro. A taxa

de câmbio é a variável determinada neste mercado que possui interferência do Banco

Central, que fixa ou deixa a taxa de câmbio flutuar.

Na análise macroeconômica, os gastos do governo e a oferta da moeda [...] não são

determinadas nesses mercados, mas sim de forma autônoma pelas autoridades. [...] já que

dependem do tipo de política econômica adotada pelas autoridades. [...] Elas vão

condicionar o comportamento de todos os demais agregados, [...] (GARCIA;

VASCONCELLOS, 2002, p. 92).

1.3 FUNDAMENTOS DA ANÁLISE MICROECONOMICA

A Microeconomia é concebida como o ramo da ciência econômica voltado ao estudo do

comportamento das unidades de consumo representadas pelos indivíduos ao estudo das

empresas, suas respectivas produções e custos, e ao estudo da geração e preços dos

diversos bens, serviços e fatores produtivos (PINHO; VASCONCELLOS, 2006).

O individuo é considerado como fornecedor de trabalho e capital, demandantes de bens de

consumo. Já a firma é considerada demandante de trabalho e fatores de produção e

fornecedoras de produtos. Assim, o individuo requer maximizar o seu consumo e uma

firma (empresa) maximizar o seu lucro.

Entre estes dois pontos, a microeconomia procura analisar o mercado, e, ainda, os tipos de

mecanismos, que estabelecem preços relativos entre os produtos e serviços, tentando alocar

de modos alternativos os recursos dos quais dispõe determinados indivíduos organizados

numa sociedade.

Para este fim, a microeconomia preocupa-se em explicar como é gerado o preço dos

produtos finais e dos fatores de produção num equilíbrio, geralmente perfeitamente

competitivo. A explicação pode ser feito a partir de seguintes teorias (PINHO;

VASCONCELLOS, 2006):

Teoria do Consumidor estuda as preferências do consumidor analisando o seu

comportamento, as suas escolhas, as restrições quanto a valores e a demanda de

mercado. A partir dessa teoria se determina a curva de demanda.

Teoria da Firma estuda a estrutura econômica de organizações cujo objetivo é

maximizar lucros. Organizações que para isso compram fatores de produção e

vendem o produto desses fatores de produção para os consumidores. Estuda

estruturas de mercado tanto competitivas quanto monopolísticas. A partir dessa

teoria se determina a curva de oferta.


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Teoria da Produção estuda o processo de transformação de fatores adquiridos pela

empresa em produtos finais para a venda no mercado. Estuda as relações entre as

variações dos fatores de produção e suas conseqüências no produto final. Determina

as curvas de custo, que são utilizadas pelas firmas para determinar o volume ótimo

de oferta.

Em geral a economia estuda o mercado em si, a produção, custo e eficiência, e a oferta e

demanda, entre outros assuntos.

Os estudos sobre o mercado incluem o comportamento dos agentes (indivíduos e firmas) e

as suas interações em mercados específicos, considerando a escassez de recursos e a

regulação governamental. Um determinado mercado pode ser para de um produto ou de

serviços de um fator de produção. A teoria considera ainda considera o “jogo” de uma

quantidade demandada (comprador) e quantidade ofertada (vendedor) para cada preço

possível por unidade. Com estes dois lados, oferta (procura) e demanda, a microeconomia

descreve como o mercado pode atingir o equilíbrio entre o preço e a quantidade negociada

ou explicar as variações do mercado ao longo do tempo.

A estrutura do mercado pode ser classificada em:

Monopólio;

Monopsónio;

Oligopólio;

Oligopsónio;

Concorrência perfeita; e

Concorrência monopolística.

Um segundo ponto de estudo de microeconomia é a produção, custo e eficiência. A

produção é um processo que usa insumos para criar produtos, destinados ao comércio ou ao

consumo (PINHO; VASCONCELLOS, 2006). A produção é um fluxo, logo é mensurável

através de um rácio por unidade de tempo. É comum distinguir entre a produção de bens de

consumo (alimentos, etc.), bens de investimento (novos carros, edifícios, estradas, etc.),

bens públicos (defesa nacional, segurança pública, proteção civil, etc.) ou bens privados

(computadores novos, bananas, etc.).

Já o custo de oportunidade está relacionado com o custo econômico: é o valor da melhor

alternativa dispensada, quando se tem que fazer uma escolha entre duas ações desejadas,

mas mutuamente exclusivas (EHRLICH; MORAES, 2009). É descrita como sendo a

expressão da “relação básica entre escassez e escolha.” O custo de oportunidade é um fator

que garante a utilização eficiente dos recursos escassos. Os custos de oportunidade não se

restringem a custos monetários. Podem também ser medidos em tempo, lazer, ou qualquer

outra coisa que corresponda a um benefício alternativo (utilidade).

As entradas para o processo de produção incluem fatores de produção básicos como o

trabalho, capital (bens duradouros usados na produção, como uma fábrica) e terra

(incluindo recursos naturais). Outros fatores incluem bens intermédios usados na produção

dos bens finais, como seja o aço num carro novo.

Quando a economia se refere a eficiência econômica na produção, na verdade, descreve o

quanto um sistema utiliza bem os recursos disponíveis, dada a tecnologia disponível. A

eficiência pode aumentar se conseguirá obter um maior resultado sem aumentar os recursos

usados, ou seja, se conseguirá reduzir o “desperdício”.

A fronteira de possibilidades de produção (FPP) é uma ferramenta analítica que

representa a escassez, custo e eficiência (PINHO; VASCONCELLOS, 2006). No caso mais

simples, estuda-se uma economia que produz apenas dois bens. A FPP é uma tabela ou


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gráfico (ver Figura 1) que mostra as várias combinações de quantidades dos dois produtos

que são possíveis, dado a tecnologia e os fatores de produção disponíveis.

Cada ponto na curva da Figura 1 mostra uma produção potencial total máxima para a

economia, que é a produção máxima de um bem (Carne), dada uma quantidade de

produção do outro bem (batata).

A escassez é representada na Figura 1 pelas pessoas poderem querer além da FPP, mas não

poderem consumir. Quando a produção de um bem aumenta, a produção do outro diminui,

numa relação inversa. Isso ocorre porque uma maior produção de um bem requer a

transferência de insumos da produção do outro bem, diminuindo-a. A inclinação da curva

num ponto determina o trade-off entre os dois bens e mede o quanto uma unidade adicional

de um bem implica reduzir o outro bem, que é um exemplo de custo de oportunidade

(PINHO; VASCONSELLOS, 2006). Ao longo da FPP, escassez significa que escolher

mais de um bem implica ter menos do outro. Ainda assim, numa economia de mercado, o

movimento ao longo da curva pode ser explicado como uma escolha que os agentes vêm

como preferível.

Figura 1: Fronteira de possibilidades de produção

A última das grandes áreas de estudo da microeconomia é a oferta e demanda, se refere à

determinação do preço e quantidade num mercado de concorrência perfeita. Assim, eles

estão fundamentalmente importantes na construção de modelos para outras estruturas de

mercados.


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0

Pre

ço

do

ap

art

am

en

to (

R$

)

Número de apartamentos

Preço de equilíbrio

c d

Excesso de oferta

Excesso de procuraa

b

210.000

45

Figura 2: Oferta e demanda

Para o mercado de um bem, a demanda mostra a quantidade que os possíveis compradores

estariam dispostos a comprar para cada preço unitário do bem (ver Figura 2). A demanda é

freqüentemente representada usando uma tabela ou um gráfico relacionando o preço com a

quantidade demandada (ver Figura 2).

A teoria da demanda descreve os consumidores individuais como entes “racionais” que

escolhem a quantidade “melhor possível” de cada bem, em função dos rendimentos,

preços, preferências, etc.

A lei da demanda diz que, regra geral, o preço e a quantidade demandada num determinado

mercado estão inversamente relacionados, ou seja, quanto mais alto for o preço de um

produto, menos pessoas estarão dispostas ou poderão comprá-lo (tudo o resto inalterado).

Quando o preço de um bem sobe, o poder de compra geral diminui (efeito renda) e os

consumidores mudam para bens mais baratos (efeito substituição). Outros fatores também

podem afetar a demanda. Por exemplo, um aumento na renda desloca a curva da demanda

em direção oposta à origem.

Já a oferta é a relação entre o preço de um bem e a quantidade que os fornecedores colocam

à venda para cada preço desse bem. A oferta é normalmente representada através de um

gráfico relacionando o preço com a quantidade ofertada.

Assume-se que os produtores maximizam o lucro, o que significa que tentam produzir a

quantidade que lhes irá dar o maior lucro possível.

1.4 DEFINICAO DE ENGENHARIA ECONÔMICA

Os estudos sobre engenharia econômica iniciaram nos Estados Unidos em 1887, quando

Arthur Wellington publicou seu livro “The Economic Theory of Railway Location”, texto

que sintetizava análise de viabilidade econômica para ferrovias.

“A Engenharia econômica objetiva a análise econômica de decisões sobre investimentos. E

tem aplicações bastante amplas, pois os investimentos poderão tanto ser de empresas, como

de particulares ou de entidades governamentais.” (CASAROTTO; KOPITTKE, 2007,

p. 105).

Pode-se definir Engenharia Econômica como o estudo que compreende os métodos, as

técnicas e os princípios necessários para se tomar decisões entre alternativas de


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investimentos, relativas à aquisição e à disposição de bens de capital, tanto de empresas,

como de particulares ou de entidades do governo, indicando a mais econômica.

Segundo Hess et al. (1984, p.1) “justifica-se o nome, porque grande parte dos problemas de

investimento dependem de informações e justificativas técnicas e porque na maioria das

organizações tais decisões são tomadas ou por engenheiros, ou por administradores agindo

com base nas recomendações dos engenheiros”.

Ela é importante para todos que precisam decidir sobre propostas tecnicamente corretas, e

seus fundamentos podem ser utilizados tanto para empresas privadas como estatais.

Todo o fundamento da engenharia econômica se baseia na matemática financeira, que se

preocupa com o valor do dinheiro no tempo.

O estudo de Engenharia Econômica envolve:

a) um problema a resolver ou uma função a executar, como por exemplo o transporte

de material dentro de um almoxarifado;

b) diversas alternativas possíveis, por exemplo, transporte manual, por empilhadeira,

por carrinhos ou ainda por correia transportadora;

c) avaliação de cada alternativa, determinando as vantagens e desvantagens, tais como

custo, eficiência, distância, volume transportado, etc.;

d) comparação e escolha da melhor alternativa, sendo que, neste caso, devemos

“otimizar alternativas”, ou seja, minimizar custos ou maximizar lucros.

As principais características de um estudo econômico são:

a) avaliar quantitativamente vantagens e desvantagens;

b) adotar unidades coerentes (R$, €, U$,…);

c) determinar o investimento necessário;

d) estimar custos (manutenção, mão-de-obra, energia elétrica, impostos, refugos, …);

e) avaliar receitas (vendas, mercado, …);

f) conhecimento técnico do processo em estudo;

g) considerar somente problemas futuros (ex.: já investi tanto em um determinado

projeto que o jeito é investir um pouco mais nele);

h) inicialmente desprezar fatores imponderáveis, considerado-los somente após a

análise (prestígio, status, valor promocional, etc.);

i) avaliar o risco do investimento;

j) considerar critérios econômicos, ou seja, a rentabilidade do investimento;

k) considerar critérios financeiros, ou seja, a disponibilidade de recursos.

Pode-se citar como exemplos de aplicação (CASAROTTO; KOPITTKE, 2007):

Efetuar o transporte de materiais manualmente ou comprar uma correia

transportadora;

Fazer uma rede de abastecimento de água com tubos grossos ou finos;

Substituição de equipamentos obsoletos;

Comprar carro a prazo ou à vista.

Para fazer um estudo econômico adequado alguns princípios básicos devem ser

considerados, sendo os seguintes:

a) deve haver alternativas de investimentos. É infrutífero calcular se é vantajoso

comprar um carro à vista se não há condições de conseguir dinheiro para tal;

b) as alternativas devem ser expressas em dinheiro. Não á possível comparar

diretamente 200 horas/mensais de mão de obra com 500 kWh de energia.

Convertendo os dados em termos monetários teremos um denominador comum


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muito prático. Alguns dados, entretanto, são difíceis de converter em dinheiro.

Exemplos que ocorrem muito nos casos reais são: boa vontade de um fornecedor,

boa imagem da empresa ou status. São os chamados intangíveis;

c) só as diferenças entre as alternativas são relevantes. Numa análise para decidir

sobre o tipo de motor a comprar não interessa sobre o consumo dos mesmos se

forem idênticos;

d) sempre serão considerados os juros sobre o capital empregado. Sempre existem

oportunidades de empregar dinheiro de maneira que ele renda alguma coisa. Ao se

aplicar o capital em um projeto devemos ter certeza de ser esta a maneira mais

rendosa de utilizá-lo;

e) nos estudos econômicos o passado geralmente não é considerado; interessa-nos o

presente e o futuro. A afirmação: “não posso vender este carro por menos de $

10000 porque gastei isto com ele em oficina” não faz sentido, o que normalmente

interessa é o valor de mercado do carro.

Os critérios de aprovação de um projeto são os seguintes:

critérios financeiros: disponibilidade de recursos;

critérios econômicos: rentabilidade do investimento; e

critérios imponderáveis: fatores não convertidos em dinheiro.

Neste curso, a atenção especial será sobre os critérios econômicos, ou seja, a principal

questão que será abordada é quanto o financiamento e a rentabilidade dos investimentos.

1.5 DEFINICAO E MODALIDADES DE JUROS

Para podermos compreender o conceito de capitalização temos de começar pelos seguintes

conceitos base:

Capital (Principal) é a quantidade de moeda (meios líquidos) que originou uma

transação entre duas entidades ou indivíduos que é aplicada durante um certo

período de tempo.

Tempo é o prazo pelo qual o capital é aplicado;

Período de tempo é a unidade de tempo em que o tempo global da aplicação foi

subdividido, para efeito de cálculo dos juros. Toda transação financeira deve

necessariamente prever quando (datas de início e do término da operação) e por

quanto tempo (duração da operação) se dará a cedência (o empréstimo) do capital.

Este prazo deve estar expresso em determinada unidade de tempo (que pode ser:

dia, mês, trimestre, semestre, ano, etc.).

Juro será a remuneração recebida (ou paga) em troca do empréstimo de algum

recurso financeiro. Ao possuir um recurso financeiro que excede as necessidades,

pode-se, em geral, adquirir alguns bens extraordinários ao dia a dia (tais como

imóveis, veículos, viagens etc.), pode também aplicá-los (ou mesmo emprestá-los).

Quando se empresta recursos financeiros, então, abre-se mão, temporariamente, da

disponibilidade deles e em troca desta disponibilidade recebe-se o juro. Sendo

assim, podemos dizer que o juro é o aluguer pago (ou recebido) pelo uso de um

recurso financeiro, e, portanto, será função do prazo deste aluguer, do valor do

recurso alugado e do risco envolvido na transação.

Taxa de juro é a constante de proporcionalidade entre o juro produzido e o capital

aplicado numa unidade de tempo.


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Inflação defini-la como sendo o aumento generalizado de preços na economia. Este

fenômeno provoca a redução do poder aquisitivo da moeda, que nada mais é do

que, com a mesma quantidade de moedas (unidades monetárias, dinheiro), passar-se

a comprar menos produtos e serviços. O processo inverso da inflação, quando há

uma queda generalizada dos preços na economia, denomina-se deflação.

Forma de pagamento de juros determina como os juros serão pagos e sua

periodicidade.

Spread é a taxa de intermediação cobrada pelo intermediário financeiro.

Os tipos de taxa de juros são expressos em período anual ou mensal, com base em ano

comercial, convencionado em 360 dias (semestral = 180 dias, trimestral= 90 dias, mensal =

30 dias). Nada impede que sejam contratadas com base no ano civil, 365 dias. Os títulos

federais, por exemplo, adotavam como período de remuneração o ano civil. Atualmente,

utilizam com base em ano de 252 dias úteis. Os tipos de taxas de juros se diferenciam de

seguinte maneira:

a) Taxas fixas: São aquelas que não se alteram durante todo o prazo da operação

financeira (tomador – cedente), mesmo que exista mais de um período de

capitalização.

b) Pré-fixada: Quando determinada ou definida no ato da contratação. Por exemplo,

2,69% a.m.; 4,50% por 90 dias.

c) Pós-fixada: Quando o valor efetivo do juro é calculado somente após o reajuste da

base de cálculo. Normalmente, é utilizado para contratos com previsão de reajuste

monetário, atrelado a um índice de variação de preços, como, por exemplo, IGP-M,

INPC, IPCA, IGP-DI.

d) Taxa Flutuante (ou variáveis): São as que variam a cada período de capitalização,

ou seja, são fixadas novas taxas para o novo período de capitalização. Para tanto, há

uma taxa de juros referencial como Libor – London Interbank Offered Rate

(mercado londrino), Prime (mercado americano), Anbid (mercado brasileiro), etc.

Por ser uma espécie de indexação (que engloba uma taxa de inflação e uma taxa de

juros) esse modelo de taxa de juros proporciona maior segurança ao investidor.

1.6 JUROS SIMPLES E COMPOSTOS

Os juros são a remuneração do capital. Representam o dinheiro pago pelo uso de dinheiro

emprestado ou o ganho de dinheiro gerado pelo capital empregado num investimento. A

especificação dos juros é feita pela taxa de juros, definida como a razão entre os juros que

serão cobrados no fim do período e o capital inicialmente empregado (HESS ET AL.,

1984). O intervalo de tempo no qual os juros são calculados é o seu período de

capitalização. A taxa deve sempre especificar este período.

Exemplo 1: Seja uma quantia de R$ 1.000,00 que rendeu R$ 120,00 de juros após um ano.

A taxa de juros foi de R$ 120,00 / R$ 1.000,00 = 0,12 ou 12% a.a. (ao ano).

Define-se montante (F) como sendo o principal (P) mais os juros (J) devidos:

F = P + J (1)

Exemplo 2: Para o Exemplo 1, F = R$ 1.000,00 + R$ 120,00 = R$ 1.120,00


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Existem dois regimes de capitalização para os juros, denominados de juros simples e juros

compostos (EHRLICH; MORARES, 2009).

Juros simples: apenas o principal rende juros.

J = i P n (2)

F = P (1 + i n) (3)

onde: J – juros

i – taxa de juros

P – principal

n – número de períodos de capitalização

F – montante

Juros compostos: a cada período de capitalização, os juros são incorporados ao

capital e passam a também render juros.

J = P [(1 + i)n – 1] (4)

F = P (1 + i)n (5)

onde : J – juros

i – taxa de juros

P – principal

n – número de períodos de capitalização

F – montante

A Equação 5 permite calcular o montante F que se obtém a partir de um investimento P

aplicado à taxa i, após n períodos. Esta é uma das mais importantes equações da

Matemárica Financeira.

Resolução em planilha eletrônica:

Fórmulas da planilha:

C7 = C2*(1+C3*C4)

C10 = C2*(1+C3)^C4

Exemplo 3: Seja R$ 1.000,00 aplicados a 15% a.a., durante 5 anos. Calcular o montante

após cada período de capitalização, a o total a receber no final do 5º ano, empregando a

fórmula.


[email protected]

Solução:

Período Montante (F) – [R$]

Juros simples Juros compostos

0 1.000,00 1.000,00

1 1.000 + 0,15 x 1.000 = 1.150,00 1.000 + 0,15 x 1.000 = 1.150,00

2 1.150 + 0,15 x 1.000 = 1.300,00 1.150 + 0,15 x 1.150 = 1.322,50

3 1.300 + 0,15 x 1.000 = 1.450,00 1.322,50 + 0,15 x 1.322,50 = 1.520,88

4 1.450 + 0,15 x 1.000 = 1.600,00 1.520,88 + 0,15 x 1.520,88 = 1.749,01

5 1.600 + 0,15 x 1.000 = 1.750,00 1.749,01 + 0,15 x 1.749,01 = 2.011,36

Fórmula F = P (1 + i n) F = P (1 + i)n

1.000 x (1 + 0,15 x 5) = 1.750,00 1.000 x (1 + 0,15)5 = 2.011,36

Na prática, em estudos econômicos são utilizados quase sempre juros compostos. Neste

texto, daqui para frente, sempre será considerada a hipótese dos juros compostos, salvo

quando mencionado o contrário.

No Exemplo 3, R$1.000,00 hoje são equivalentes a R$ 2.011,36 daqui a cinco anos, à taxa

de 5% a.a. (juros compostos). Assim, a taxa de juros e o número de períodos estabelecem

um fator de conversão para tornar equivalentes duas quantias de dinheiro, considerado em

diferentes pontos no tempo.

Exemplo 4: Qual é o fator de conversão para tornar equivalente uma quantia hoje numa

quantia daqui a cinco anos, considerando juros de 15% ao ano? Considere as quantias

fornecidas e calculadas no Exemplo 3.

Solução: R$ 2.011,36 / R$ 1.000,00 = 2,01136

Este fator de conversão pode ser aplicado a qualquer quantia presente para calcular a

equivalência no futuro, sob as mesmas condições para i e n.

Exemplo 5: Qual é a quantia equivalentes a um valor de R$ 5.370,00 hoje, considerando

juros de 15% ao ano, durante 5 anos?

Solução: F = 5.370,00 x 2,01136 = R$ 10.801,00

1.7 DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA

Para elaborar o fluxo de caixa deve-se estimar o momento no tempo em que se darão os

desembolsos e as receitas previstas para o empreendimento. Necessita-se, portanto, de

orçamentos para o custo de construção e do respectivo cronograma, da planilha de vendas e

do respectivo plano de vendas, bem como da estimativa de desembolsos diversos

associados ao empreendimento.

Os principais elementos a considerar no fluxo de caixa de um empreendimento imobiliário

são os seguintes:

1. Custo do terreno: corresponde ao valor do terreno. A aquisição do terreno pode

dar-se por desembolso de dinheiro, por troca de área construída, ou por uma

combinação destas duas modalidades.

2. Custo da legalização do terreno: corresponde às despesas com impostos de

transmissão, escritura e registro do imóvel.

3. Custo dos projetos: refere-se ao custo de elaboração de todos os projetos

necessários ao empreendimento.


[email protected]

4. Custo de construção: corresponde aos custos diretos de construção, conforme

cronograma previsto para a execução da obra.

5. Despesas administrativas: inclui todos os custos administrativos necessários para

a execução do empreendimento.

6. Despesas com seguros: correspondem aos prêmios das apólices de seguros

(responsabilidade civil do construtor, danos físicos, garantia de término da obra,

etc.)

7. Despesas de vendas: inclui todos os custos referentes à publicidade do

empreendimento. Os maiores custos incorrem no momento de seu lançamento e nos

meses seguintes.

8. Corretagem: é a comissão sobre as vendas, devida ao corretor. É paga à vista, no

momento da venda.

9. Receita de vendas: segue o plano de vendas e é função da estratégia do

incorporador.

10. Financiamentos: no caso de empreendimentos financiados, devem-se considerar

também as receitas e despesas destes financiamentos (juros e amortizações,

comissões diversas, IOF, etc.).

11. Receita financeira: Sempre que houver sobra de caixa, este valor pode ser

aplicado, proporcionando uma receita.

12. Impostos e taxas diversas: taxas para habite-se e averbação, imposto de renda,

etc., de acordo com a legislação fiscal em vigor.

Outras despesas ainda podem ser consideradas, dependendo de sua importância em termos

de valor. Estas despesas, que não foram detalhadas no projeto, podem ser consideradas

numa conta genérica de despesas diversas. Deve-se lembrar também que existe sempre

uma incerteza associada às estimativas feitas, tanto em valor quanto ao momento de sua

ocorrência. Assim, não será de grande valia esmiuçar excessivamente o fluxo de caixa. Em

algumas situações, pode ser interessante considerar na análise um valor de contingência,

que leva em conta estas incertezas (quanto maior a incerteza, maior a contingência).


[email protected]

2. RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA

2.1 DADO “P” ACHAR “F”

Esta relação permite determinar o valor futuro F (montante) equivalente a um valor

presente P (principal) e vice-versa, considerando uma aplicação à taxa de juros i durante

um período n (Figura 3).

Figura 3: Dado P determinar F, e vice-versa

F = P (1 + i)n (6)

O termo entre parênteses na Equação 2.1 representa um fator de conversão, denominado de

“achar F dado P”, e tem a seguinte notação e significado:

(F/P; i; n) = (1 + i)n (7)

A notação aqui adotada é a notação internacional. O exemplo do que já foi comentado

sobre a simbologia, também não existe uniformização de notação para os fatores de

conversão, na bibliografia existente.

Estes fator, e os que serão apresentados a seguir, podem sr facilmente tabelados, em função

de i e n. O uso destas tabelas apresenta utilidade quando se dispõe de apenas uma

calculadora não financeira para resolver problemas de matemática financeira. Embora não

faremos apelo a este tipo de tabela neste texto, indicaremos a resolução de problemas

através destes fatores, por serem de mais fácil memorização do que as fórmulas

respectivas. Além disto, interessa destacar o raciocínio aplicado na resolução dos

problemas propostos, mais do que “fazer contas”. Calculadoras financeiras e planilhas

eletrônicas dispõem de rotinas para fazer os cálculos respectivos. Caso não se disponha

destes instrumentos, deve-se calcular o valor dos fatores usando as respectivas fórmulas ou

consultando as já referidas tabelas.

A Equação 5 pode então ser reescrita como:

F = P (F/P; i; n) (8)

Exemplo 6: Uma construtora contraiu um empréstimo de R$ 30.000,00 para ser devolvido

em 5 meses. Qual o montante a ser devolvido, se a taxa de juros deste empréstimo é de

4,5% a.m.? Solução:

0

n

0

n

P

F


[email protected]

F = P (F/P; i; n) = P (1 + i)n

F = P (F/P; 4,5%; 5) = 30.000 (1 + 0,045)5

F = R$ 37.385,46

2.2 DADO “F” ACHAR “P”

Da Equação 6 tira-se que:

ni) (1

F P

(9)

Fazendo (P/F; i; n) = ni) (1

1

(fator “achar P dado F”) (10)

tem-se que P = F (P/F; i; n) (11)

Exemplo 7: Uma empreiteira precisa adquirir escoras metálicas no valor de R$ 8.000,00,

que serão necessárias daqui a 6 meses. Quanto ela deve investir hoje em papéis que rendem

2,2% a.m., para ter este dinheiro disponível quando necessário?

Solução:

P = F (P/F; i; n) =ni) (1

F

P = 8.000 (P/F; 2,2%; 6) =6)022,0 (1

8.000

P = R$ 7.020,77

2.3 DADO “A” ACHAR “F”

Em muitas situações práticas, onde se tem uma série uniforme de pagamentos, exige-se que

o primeiro pagamento da série seja feito no momento de fechamento do negócio, servindo

como entrada. Tem-se então uma série uniforme antecipada, como mostrado na Figura 4.

Observa-se nesta figura que a série antecipada A' inicia no período 0 (zero) e termina no

período (n-1). Uma outra situação prática é aquela na qual se faz depósitos regulares num

P

0

6

8.000

F

0

5

30.000


[email protected]

fundo que rende juros i, iniciando na data 0 (zero) e terminando na data (n-1), para retirar

um valor F na data n. Também nesta situação tem-se uma série uniforme antecipada.

Figura 4: Série uniforme antecipada

A relação entre uma série uniforme A e uma série uniforme antecipada A' é a seguinte:

A' = )1( i

A

(12)

ou A' = A (P/F; i; 1) (13)

e A = A' (1+i) (14)

ou A = A' (F/P; i; 1) (15)

Como F = A (F/A; i, n) ,aplicando a Equação 11 tem-se:

F = A' (F/P; i; 1) (F/A; i, n) (16)

Substituindo os fatores pelas suas expressões (Equação 7 e Equação 21, respectivamente),

chega-se a:

F = A'

i) (1 1] - i) [(1 n

i

(17)

e A' = F i) (1 1] - i) [(1

i n

(18)

ou A' = F (A/F; i; n) (P/F, i; 1) (19)

Exemplo 8: Num financiamento de compra de apartamento, uma parcela de R$ 6.000,00,

referente à entrega de chaves, vence daqui a 5 meses. O comprador propõe parcelar esta

quantia em 5 parcelas iguais, iniciando hoje. Se a TMA do vendedor é de 2,5% a.m., de

quanto deve ser a prestação exigida do comprador?

0 (n-1) n

P

A'

0 (n-1)

n

F

A'

0 4

5

6.000

A'


[email protected]

Solução 1:

A' = F i) (1 1] - i) [(1

i n

A' = 6.000 0,025) (1 1] - 0,025) [(1

0,025 5

A' = 6.000 x 0,1856066

A' = R$ 1.113,64

Solução 2:

A' = F (A/F; i; n) (P/F, i; 1)

A' = 6.000 (A/F; 2,5%; 5) (P/F, 2,5%; 1)

A' = F x 1 - i) (1 n

i x

ni) (1

1

= 6.000 x

1 - 0,025) (1

025,05

x 10,025) (1

1

A' = 6.000 x 0,1902468 x 0,9756097 = R$ 1.113,64

Exemplo 9: Se um investidor aplicar R$ 1.000,00 por mês, durante 2 anos numa aplicação

que lhe renderá 12% a.a., capitalizados mensalmente, qual a quantia que ele terá disponível

em 2 anos?

Solução:

i = 12% a.a./12meses = 1% a.m.

F = A (F/A; i; n) = A i

1 - i) (1 n

F = 1.000 (F/A; 1%; 24)

F = 1.000 01,0

1 - 0,01) (1 24

F = R$ 26.973,47

2.4 DADO “F” ACHAR “A”

Esta relação permite determinar o valor futuro F equivalente a uma série uniforme A e

vice-versa, considerando uma aplicação à taxa de juros i durante um período n (Figura 5).

F

1.000

0

24 1


[email protected]

Figura 5: Dado A determinar F, e vice-versa

F = A i

1 - i) (1 n (20)

Fazendo (F/A; i; n) = i

1 - i) (1 n (fator “achar F dado A”) (21)

tem-se que F = A (F/A; i; n) (22)

Da Equação 20 tem-se que:

A = F 1 - i) (1 n

i (23)

Fazendo (A/F; i; n) = 1 - i) (1 n

i (fator “achar A dado F”) (24)

tem-se que A = F (A/F; i; n) (25)

Exemplo 10: Uma construtora necessitará comprar um carro novo daqui a um ano. Nesta

ocasião, dará um carro usado como parte do pagamento, mas mesmo assim estima que

precisará desembolsar R$ 15.000,00 para efetuar o negócio. Quanto ela deverá aplicar por

mês num fundo de investimentos que lhe renderá 1,8% a.m. neste período, para ter

disponível esta quantia?

Solução:

A = F (A/F; i; n) = F 1 - i) (1 n

i

A = F (A/F; 1,8%; 12)

0 n 0

n

F

A

1

A

15.000

0

12 1


[email protected]

A = 15.000 1 - 0,018) (1

018,012

A = R$ 1.131,03

2.5 DADO “A” ACHAR “P”

Em muitas situações práticas, onde se tem uma série uniforme de pagamentos, exige-se que

o primeiro pagamento da série seja feito no momento de fechamento do negócio, servindo

como entrada. Tem-se então uma série uniforme antecipada, como mostrado na Figura 6.

Observa-se nesta figura que a série antecipada A' inicia no período 0 (zero) e termina no

período (n-1). Uma outra situação prática é aquela na qual se faz depósitos regulares num

fundo que rende juros i, iniciando na data 0 (zero) e terminando na data (n-1), para retirar

um valor F na data n. Também nesta situação tem-se uma série uniforme antecipada.

Figura 6: Série uniforme antecipada

A relação entre uma série uniforme A e uma série uniforme antecipada A' é a seguinte:

A' = )1( i

A

(26)

ou A' = A (P/F; i; 1) (27)

e A = A' (1+i) (28)

ou A = A' (F/P; i; 1) (29)

Como P = A (P/A; i, n) ,aplicando a Equação 28 tem-se:

P = A' (F/P; i; 1) (P/A; i, n) (30)

Substituindo os fatores pelas suas expressões (Equação 10 e Equação 38, respectivamente),

chega-se a:

P = A' 1-n

n

i) (1

1 - i) (1

i (31)

e A' = P 1 - i) (1

i) (1 n

1-n

i (32)

ou A' = P (A/P; i; n) (P/F, i; 1) (33)

0 (n-1) n

P

A'

0 (n-1)

n

F

A'


[email protected]

Exemplo 11: A poupança de um apartamento é de R$ 15.000,00. Um comprador propõe

parcelar esta poupança em 6 vezes, iniciando os pagamentos hoje. Se a TMA da empresa

vendedora é de 2% a.m., de quanto deve ser a prestação exigida?

Solução 1:

A' = P 1 - i) (1

i) (1 n

1-n

i

A' = 15.000 1 - 0,02) (1

0,02) (1 02,06

1-6

A' = 15.000 x 0,1750253

A' = R$ 2.625,38

Solução 2:

A' = P (A/P; i; n) (P/F, i; 1)

A' = 15.000 (A/P; 2%; 6) (P/F, 2%; 1)

A' = P x 1 - i) (1

i) (1 n

n

i x

ni) (1

1

= 15.000 x

1 - 0,02) (1

0,02) (1 02,06

6

x

10,02) (1

1

A' = 15.000 x 0,1785258 x 0,9803921 = R$ 2.625,38

2.6 DADO “P” ACHAR “A”

Esta relação permite determinar uma série uniforme A, que é equivalente a um valor

presente P e vice-versa, considerando uma aplicação à taxa de juros i durante um período n

(Figura 7).

Figura 7: Dado P determinar A, e vice-versa

0 5 6

15.000

A'

0

n

0

n

P

A

1


[email protected]

A = P 1 - i) (1

i) (1 n

n

i (34)

Fazendo (A/P; i; n) = 1 - i) (1

i) (1 n

n

i (fator “achar A dado P”) (35)

tem-se que A = P (A/P; i; n) (36)

Da Equação 34 tem-se que:

P = A n

n

i) (1

1 - i) (1

i (37)

Fazendo (P/A; i; n) = n

n

i) (1

1 - i) (1

i (fator “achar P dado A”) (38)

tem-se que P = A (P/A; i; n) (39)

Exemplo 12: As condições de financiamento de um apartamento exigem como poupança a

quantia de R$ 20.000,00. Um comprador está interessado no negócio, mas precisa parcelar

esta poupança em 5 vezes, iniciando os pagamentos em 30 dias. Se a TMA da empresa

vendedora é de 2% a.m., de quanto deve ser a prestação exigida?

Solução:

A = P (P/A; i; n) = P n

n

i) (1

1 - i) (1

i

A = 20.000 (A/P; 2%; 5)

A = 20.000 1 - 0,02) (1

0,02) (1 02,05

5

A = R$ 4.243,17

Exemplo 13: A poupança de um apartamento é de uma entrada mais 12 prestações mensais

fixas de R$ 1.200,00, com vencimentos iniciando em 30 dias. Um potencial comprador

propõe pagar a entrada solicitada mais R$ 12.000,00 hoje, para liquidar a parte parcelada

da poupança. Se a TMA do vendedor é de 2,5% a.m., ele deve aceitar este negócio?

Solução:

A 0

5

20.000

1


[email protected]

P = A (P/A; i; n)= A n

n

i) (1

1 - i) (1

i

P = 1.200 (P/A; 2,5%; 12)

P = 1.200 12

12

0,025) (1 025,0

1 - 0,025) (1

P = R$ 12.309,32

Como a proposta do comprador é inferior ao valor equivalente das parcelas vincendas, o

vendedor não deve aceitar a proposta.

2.7 DADO “G” ACHAR “A”

Esta relação permite determinar uma série uniforme A equivalente a uma série gradiente G

e vice-versa, considerando uma taxa de juros i durante um período n (Figura 8).

Figura 8: Dado G determinar A, e vice-versa

A = G ] 1 - i) (1

i x

i

n -

i

1 [

n (40)

Fazendo (A/G; i; n) = ] 1 - i) (1

i x

i

n -

i

1 [

n (fator “achar A dado G”) (41)

tem-se que A = G (A/G; i; n) (42)

Exemplo 14: Considere os mesmos dados do Exemplo 15 e calcule a série uniforme

equivalente.

Solução:

A = 2.000,00 + 200 (A/G; 10%, 6)

A = 2.000,00 + 200 ] 1 - 0,10) (1

0,10 x

0,10

6 -

0,10

1 [

6

0 n

P

2 0 n

G

1

(n-1)G

1.200 0

12

P

1


[email protected]

A = 2.000,00 + 200 x 2,2235572 = 2.000,00 + 444,71

A = R$ 2.444,71

2.8 DADO “G” ACHAR “P”

Esta relação permite determinar o valor presente P equivalente a uma série gradiente G e

vice-versa, considerando uma taxa de juros i durante um período n (Figura 9).

Figura 9: Dado G determinar P, e vice-versa

P = G } i) (1

1 ]

i

n -

1 - i) (1[ {

n2

n

i (43)

Fazendo (P/G; i; n) = } i) (1

1 ]

i

n -

1 - i) (1[ {

n2

n

i (fator “achar P dado G”) (44)

tem-se que P = G (P/G; i; n) (45)

Exemplo 15: Um determinado veículo tem um custo anual de manutenção de R$ 2.000,00.

Estima-se que, a partir do 2º ano de uso, devido ao crescente desgaste, este custo aumente

em R$ 200,00 ao ano. Considerando que este veículo tem 6 anos de vida útil, calcule o

valor presente dos custos de manutenção, para uma TMA de 10% a.a.

Solução:

O problema pode ser decomposto em uma série uniforme de R$ 2.000,00 e uma série

gradiente com G = R$ 200,00. O valor presente será então:

P = 2.000 (P/A; 10%; 6) + 200 (P/G; 10%, 6)

P = 2.000 6

6

0,10) (1 10,0

1 - 0,10) (1

+ 200 }

0,10) (1

1 ]

0,10

6 -

10,0

1 - )10,0 (1[ {

62

6

0 n

P

2 0 n

G

1

(n-1)G

200

1.000

2 0 6 1

2.000 200

1.000

2 0 6 1 2 0 6 1

2.000


[email protected]

P = 2.000 x 4,3552607 + 200 x 9,6841712 = 8.710,52 + 1.936,83

P = R$ 10.647,35

2.9 – SÉRIES PERPÉTUAS

Uma série perpétua é aquela na qual os pagamentos (ou recebimentos) não tem um

horizonte de tempo finito, ou o número de períodos no qual eles ocorrem é muito grande.

O valor presente de uma série perpétua é:

P = n

n

i) (1

1 - i) (1 lim

iA

n = A

i

1

P = i

A (46)

e A = i P (47)

Exemplo 16: Quanto deve ser depositado numa caderneta de poupança que rende 0,5%

a.m., para fazer-se retiradas perpétuas de R$ 3.000,00 a cada seis meses?

Solução: i = (1 + 0,005)6 – 1 = 0,030378 a.s.

P = 030378,0

000.3 = R$ 98.755,68

Exemplo 17: Qual é o custo, em termos de valor presente, de uma máquina que tem vida

útil muito longa, cujo valor de aquisição é R$ 10.000,00 e que consome anualmente R$

2.000,000 em despesas de operação e manutenção? Considere uma taxa de juros de 15%

a.a.

Solução:

P = 10.000,00 + i

A = 10.000,00 +

15,0

000.2 = 10.000 + 13.333,33

P = R$ 23.333,33

Exemplo 18: Quanto pode-se retirar a cada doze meses de um fundo de investimento que

rende 1% a.m., de forma a que ele sempre permaneça com o mesmo valor do investimento

inicial, que foi de R$ 50.000,00?

Solução:

i = (1 + 0,01)12 – 1 = 0,126825 a.a.

A = i P = 0,126825 x 50.000,00

A = R$ 6.341,25

Ou seja, a série perpétua corresponde aos rendimentos da aplicação.


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3. TAXAS DE JUROS

3.1. CONSIDERAÇÕES GERAIS

Todas as decisões que envolvem quantias de dinheiro, além da quantia propriamente dita,

devem também considerar o momento no tempo em que esta quantia será desembolsada ou

recebida.

O fluxo de caixa é um diagrama que mostra as quantias de dinheiro (desembolsos e

recebimentos) ao longo do período considerado na análise. Este diagrama é composto de

uma reta horizontal, que constitui-se na escala de tempo, e por flechas verticais, que

representam as entradas e saídas de dinheiro (Figura 10).

Figura 10: Fluxo de caixa genérico

Os períodos de tempo são representados em intervalos contíguos, progredindo da esquerda

para a direita, iniciando no instante 0 (início do primeiro período a ser considerado na

análise) e terminando no instante n (fim do último período a ser considerado na análise).

Assim, cada número representa o período de tempo acumulado até aquele ponto.

Por convenção, as saídas de dinheiro são representadas por flechas para baixo, abaixo da

linha de tempo, e as entradas de dinheiro são representadas por flechas para cima, acima da

linha de tempo. As flechas não precisam representar em escala as quantias de dinheiro.

Por hipótese, os valores ocorrem num único momento em cada período considerado. O

valor inicial é desembolsado (ou recebido) no instante zero, e os demais recebimentos (ou

desembolsos) dão-se no fim de cada período em que ocorrem, a menos que indicado de

outro modo.

Não existe uniformização de simbologia na bibliografia disponível, variando de autor para

autor. A simbologia apresentada a seguir é a mais comum, e será adotada neste texto.

Costuma-se identificar genericamente a quantia inicial pela letra P (valor Presente) ou I

(Investimento) e as quantias seguintes por Fi, com i = 1, ..., n (valor Futuro). A quantia

inicial também pode ser representada por F0.

Quando todos os valores futuros são iguais e consecutivos, eles são comumente

representados pela letra A (de Anuidade, embora nem sempre os períodos considerados

tenham esta periodicidade). Estes valores constituem uma série uniforme de pagamentos

(ou recebimentos), iniciando no período 1 e terminando no período n (Figura 11).

0 1 2 3 4 n

P (=I =F0)

F1 F2 F3

F4

Fn


[email protected]

Figura 11: Série uniforme de pagamentos

Uma variante da série uniforme é a série uniforme antecipada, que difere daquela apenas

no fato de que os pagamentos (ou recebimentos) iniciam já no período inicial (data zero) do

fluxo de caixa, terminando no período n-1, conforme mostrado na Figura 12.

Figura 12: Série uniforme antecipada de pagamentos

Uma série de pagamentos (ou recebimentos) que cresce a uma razão constante G em cada

período, iniciando com o valor G no período 2, e terminando com o valor (n-1)G no

período n, é denominada de série em gradiente (Figura 13). Observe que esta série não

apresenta nenhum valor no período 1.

Figura 13: Série gradiente de pagamentos

3.2 TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA

Uma taxa de juros efetiva é aquela na qual o período referido na taxa coincide com o

período de capitalização (exemplo: 12% a.a. com capitalização anual). Mas nem sempre o

período referido na taxa coincide com o período de capitalização (exemplo: 12% a.a. com

capitalização mensal). Muitas vezes uma taxa de juros é assim enunciada para aparentar

um rendimento maior, ou aparentar uma cobrança de juros mais baixa. Nesta situação, tem-

se uma taxa de juros nominal.

Para uma taxa nominal in, capitalizada k vezes por período, a taxa efetiva i é:

0 1 2 3 n

A

0 1 2 3 n

A

n-1

0 1 2 3 n

G

2G

(n-1)G

4

3G


[email protected]

k)k

i (1 i) (1 n (48)

1 - )k

i (1 i n k (49)

Um outro modo de solucionar o problema consiste em transformar primeiro a taxa nominal

numa taxa efetiva, considerando o período de capitalização enunciado, e a seguir aplicar a

Equação 51:

k

ii n (50)

ieq = (1 + i)k– 1 (51)



C5 = (1+C2/C3)^12-1

C6 = EFETIVA(C2;C3)

Exemplo 19: Qual a taxa anual efetiva equivalente a taxa de 30% a.a. com capitalização

mensal?

Solução 1:

1 - )k

i (1 i n k 1 - )

12

0,3 (1 i 12 = 0,3449 = 34,49% a.a.

Solução 2:

k

ii n .a.m %5,2

12

%30i

Ieq = (1 + i)k– 1 = (1 + 0,025)12 – 1 = 0,3449 = 34,49% a.a.

Exemplo 20: Qual a taxa mensal efetiva equivalente a taxa de 4% a.m. com capitalização

anual?

Solução 1:

1 - )k

i (1 i n k 1 - )

1/12

0,04 (1 i 12/1 =0,0332 = 3,32% a.a.


[email protected]

Solução 2:

k

ii n

12

1

% 4i i = 4% a.m. x 12 meses = 48% a.a. (taxa efetiva)

Ieq = (1+ i)k – 1 = (1 + 0,48)1/12 – 1 = 0,0332 = 3,32% a.m.

3.3 TAXAS COBRADAS ANTECIPADAMENTE

Em alguns empréstimos costuma-se cobrar antecipadamente os juros. Ou seja, os juros são

pagos no momento em que se recebe o dinheiro emprestado, sendo devolvido no final

apenas o principal emprestado. Nestas situações, a taxa de juros real é maior do que aquela

enunciada.

Exemplo 21: Calcule a taxa efetiva anual e mensal de um empréstimo de R$ 10.000 por

um ano a uma taxa de 30% a.a., sendo os juros cobrados antecipadamente.

Solução. Juros: J = R$ 10.000 x 0,3 = R$ 3.000,00

Dinheiro efetivamente recebido: P = R$ 10.000,00 – R$ 3.000,00 = R$ 7.000,00

Dinheiro a ser devolvido: F = R$ 10.000,00

F = P (1 + i)n

10.000 = 7.000 (1 + i) * 1

i = (10.000 / 7.000) – 1

i = 0,4286 = 42,86% a.a.

i = (1+ i)1/m – 1 = (1 + 0,4286)1/12 – 1 = 0,0302 = 3,02% a.m.

3.4 TAXAS EQUIVALENTES

A taxa de juros sempre é expressa em termos numéricos e com menção de seu período de

capitalização. Duas taxas de juros podem ser equivalentes, ou seja, produzirem o mesmo

montante após um mesmo período de tempo, porém com períodos de capitalização

diferentes.

A conversão entre taxas de juros é feita utilizando-se a relação:

P(1 + ieq) = P(1 + i)k (52)

ieq = (1 + i)k– 1 (53)

1

0

7.000

10.000


[email protected]

onde: ieq

– taxa de juros equivalente

i - taxa de juros a ser convertida

k – número de vezes que a taxa i vai ser capitalizada no período

Duas situações podem ocorrer: converter uma taxa de juros com um período de

capitalização menor em uma taxa com um período de capitalização maior ou converter

uma taxa de juros com um período de capitalização maior em uma taxa com um período de

capitalização menor.

Exemplo 22: Converter a taxa de juros de 1% a.m. para uma taxa de juros com

capitalização anual.

Solução:

ieq = (1 + i)k – 1 = (1 + 0,01)12 – 1 = 12,68% a.a.

Exemplo 23: Converter a taxa de juros de 12% a.a. para uma taxa de juros com

capitalização mensal.

Solução:

ieq = (1+ i)k – 1 = (1 + 0,12)1/12 – 1 = 0,9489% a.m.

3.5 TAXA GLOBAL DE JUROS

Pcorr. = P(1 + ) (54)

F = Pcorr.(1 + i) (55)

F = P(1 + )(1 + i) (56)

F = P(1 + ig) (57)

Onde ig é a taxa global que considera simultaneamente a inflação e os juros.

P(1 + ig) = P(1 + )(1 + i) (58)

(1 + ig) = (1 + )(1 + i) (59)

ig = (1 + )(1 + i) - 1 (60)

P

Pcorr.

0 1


[email protected]

Exemplo 24: Determine o valor atualizado de um investimento de R$ 75.000,00 feito a 12

meses. Neste tempo, ele foi corrigido pela inflação que ocorreu no período (8%) e foi

remunerado por uma taxa de juros de 12,0%.

Solução:

F = P(1 + )(1 + i)

F = 75.000,00(1 + 0,08)(1+0,12) = 90.720,00

Exemplo 25: Um cliente deseja financiar uma compra de R$ 8.500,00 em 6 vezes, sem

entrada. Qual é o valor de cada prestação que deve ser cobrada dele, se estima-se uma

inflação de 2,3% a.m. e a TMA da empresa vendedora for de 1,5% a.m.?

11

1

n

g

g

n

g

i

iiPA

(1 + ig) = (1 + i)(1 + )

(1 + ig) = (1 + 0,015)(1 + 0,023)

ig = 3,83% a.m.

10383,01

0383,01.0383,08500

6

6

A

A = 1.612,51

3.6 TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE

A taxa mínima de atratividade (TMA) é a menor taxa que um investidor aceita como

rentabilidade para um investimento. É a taxa a partir da qual o investidor considera que

está tendo ganhos financeiros (Casarotto; Kopitke, 1994). Sua determinação deve

considerar duas situações:

1. A TMA deve remunerar adequadamente os capitais (próprios e de terceiros)

investidos:

Capital do Total

3 Cap Custo x 3 CapQuant Própr Cap CustoPrópr x CapQuant Capital de Custo

osos (61)

2. A TMA deve expressar a remuneração de um investimento alternativo, de baixo risco,

para o investidor.

8.500

A = ?

0

1 6


[email protected]

A TMA a ser adotada é a maior das encontradas nas duas situações acima mencionadas.

Assim sendo, verifica-se que a TMA depende da situação econômica e financeira do

investidor. Cada investidor, ou empresa, tem sua própria TMA.

Somente pode-se somar ou comparar quantias de dinheiro que estejam referidas a um

mesmo período de tempo. Para movimentar quantias de dinheiro no tempo, utiliza-se uma

taxa de juros denominada de taxa de desconto (normalmente, deve-se comparar valores

atuais com valores futuros, devendo-se, pois “descontar” estes últimos valores).

Numa análise de investimento, a taxa de desconto a ser utilizada pelo investidor é a sua

TMA. Por isso, um investimento pode ser atrativo para um investidor A e não ser atrativo

para um investidor B, por exemplo.

Exemplo 26: Uma empresa está avaliando a possibilidade de diversificar seus negócios.

Para tal, dispõe de 35% do capital necessário, devendo financiar os 65% restantes, a um

custo de 12% a.a. (o dinheiro emprestado somente poderá ser aplicado neste projeto). Os

acionistas exigem uma remuneração de 15% a.a. do capital investido na empresa. Caso a

empresa desista deste negócio, ela pode aplicar seu dinheiro em papéis do governo, a um

rendimento de 12,8% a.a. Qual a TMA que a empresa deve adotar na análise deste

investimento?

Solução:

Custo do dinheiro:

%05,13100%

12% x 65% 15% x 35%Capital de Custo

Remuneração do investimento alternativo: 12,8% a.a.

Logo, para a análise de viabilidade econômica deste empreendimento deve ser adotada uma

TMA de 13,05% a.a.


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4. FINANCIAMENTO

4.1 FONTES DE RECURSOS

Para a execução de um projeto de investimento, nem sempre os recursos próprios são

suficientes, devendo uma parte ser financiada. De qualquer forma, o aporte de capital

próprio é muito importante, dado que quase sempre as instituições financeiras só

emprestam dinheiro até certos limites do capital total necessário.

A decisão de financiar o projeto implica em modificações no custo do capital para a

empresa. Este custo é uma média ponderada do custo dos recursos próprios e do custo dos

recursos de terceiros. O retorno de um projeto deve, no mínimo, cobrir estes custos.

O dinheiro proveniente de empréstimos, ao contrário do capital próprio, não participa no

risco empresarial associado ao projeto. Por isso, normalmente é remunerado a uma taxa

mais baixa do que o capital dos acionistas (quotistas). Além disso, os juros são

considerados como despesas para efeito de tributação, ou seja, diminuem o imposto de

renda a pagar. A desvantagem dos empréstimos é que eles tem datas de vencimentos

prefixadas para serem restituídos. Além disto, os direitos dos credores tem preferência

sobre os direitos dos proprietários da empresa, numa eventual liquidação.

O capital próprio não tem data de vencimento, salvo nos casos de sociedades constituídas

por tempo limitado. Por participarem no risco do projeto, os proprietários recebem uma

remuneração média maior e tem o controle administrativo do empreendimento.

Para obter crédito junto às instituições financeiras, as empresas precisam atender algums

requisitos. Entre outras condições, elas devem:

• aportar uma parcela mínima de recursos próprios;

• oferecer garantias reais;

• demonstrar que tem condições de cumprir os compromissos assumidos; e

• demonstrar que o projeto é rentável.

O endividamento excessivo pode provocar um risco financeiro elevado, que pode

comprometer a viabilidade do projeto. A capacidade financeira do projeto corresponde à

capacidade dele gerar receitas que cubram, pelo menos, os custos de produção, as despesas

financeiras (juros) e gerar recursos para devolver os empréstimos.

Define-se como risco primário a risco associado à possibilidade de que o fluxo de caixa

gerado pelo projeto não seja suficiente para pagar os juros e as amortizações das dívidas

(incluindo as debêntures e os dividendos obrigatórios dos acionistas preferenciais). A

possibilidade de que os proprietários (possuidores de ações ordinárias ou quotistas) não

sejam remunerados é defino como risco secundário (Woiler & Mathias, 1985).

4.1.1 Fatores a serem considerados na seleção das fontes de financiamento

Para a análise dos recursos necessários à implementação de um projeto, deve-se prever o

volume total de investimentos e o correspondente cronograma de desembolsos. Com estes

dados, pode-se fazer a busca e seleção das fontes de recursos necessários à execução do

projeto. Woiler & Mathias (1985) recomendam analisar os seguintes fatores na seleção de

financiamentos:

a) Compatibilidade: os fundos devem ser adequados às aplicações previstas. Deve-se

considerar que os financiamentos de curto prazo são normalmente mais caros que

os de longo prazo. Daí a recomendação de que eles sejam utilizados apenas para

financiar parte do ativo circulante.


[email protected]

b) Risco: fontes que participam do risco do negócio exigem uma remuneração maior.

Para otimizar seu custo de capital, a empresa deve balancear adequadamente a

participação das diferentes fontes de recursos.

c) Rendimento: quanto mais elevado for o risco do empreendimento, maior será a

remuneração exigida do projeto de investimento.

d) Controle: um endividamento excessivo levar à perda do controle da empresa – os

credores podem querer interferir na sua administração, de modo a garantir a

restituição dos empréstimos.

e) Flexibilidade: um endividamento elevado pode dificultar a concessão de novos

empréstimos à empresa, mesmo que existam recursos a custos baixos. Isto dificulta

a flexibilidade da empresa de alterar a composição dos fundos que a financiam.

f) Época: a disponibilidade de recursos e os seus custos dependem da liquidez

existente na economia. Assim, em termos de obtenção de recursos, um projeto

pode ser viável numa época e inviável em outra.

4.1.2 Classificação das fontes de financiamento

As fontes de financiamentos podem ser classificadas (Holanda, 1975; Woiler & Mathias,

1985):

a) Quanto ao prazo:

• curto prazo: empréstimos bancários em conta corrente; crédito mercantil,

operações de desconto de duplicatas;

• médio prazo: empréstimos e créditos diversos;

• longo prazo: empréstimos bancários, debêntures, aporte próprio (lucros retidos,

ações).

b) Quanto à origem:

• fontes internas: reservas (depreciação, exaustão, outras reservas, etc.), lucros

retidos, outros fundos e provisões;

• fontes externas: aportes novos de capital próprio (ações), e empréstimos

(instituições financeiras, fornecedores, debêntures, etc.).

ou ainda:

• recursos próprios: lucros retidos, reservas diversas e ações;

• recursos de terceiros: empréstimos diversos.

4.2 SELEÇÃO DAS FONTES DE FINANCIAMENTO

Evidentemente, procura-se sempre obter recursos nas fontes que representam os menores

custos de financiamento.

Na maior parte das vezes, os custos especificados pelas instituições financeiras são

nominais. Para chegar-se aos custos efetivos, deve-se calcular as taxas efetivas de juros e a

cobrança de diversas taxas (administrativas, de abertura de crédito, de aval, etc.),

comissões, além do imposto sobre operações financeiras (IOF). Também as contrapartidas

exigidas pela instituição financeira, como saldo médio em conta corrente e/ou aplicações,

seguros, etc., representam um custo adicional.

O problema da seleção da fonte de financiamento resume-se, pois a selecionar aquela que

tem o menor custo efetivo dentre as opções disponíveis. O custo efetivo de um empréstimo

é obtido através do cálculo da taxa de juros real do empreendimento, que corresponde à

taxa interna de retorno do fluxo de caixa do empréstimo.


[email protected]

Além do critério econômico acima mencionado, deve-se também considerar o critério

financeiro, ou seja, a questão ligada à disponibilidade de caixa da empresa. O sistema de

amortização, que determina o fluxo de caixa da devolução do empréstimo e do pagamento

dos juros correspondentes, fornece elementos para este estudo.

Os principais sistemas de amortização são:

• sistema francês ou tabela price (TP);

• sistema de amortização constante (SAC);

• sistema de amortização misto (SAM);

• sistema de amortização crescente (SACRE);

• sistema americano;

• pagamento único com juros postecipados;

• pagamento único com juros antecipados;

• sistema de amortizações variáveis.

4.3 AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS

Muitas vêzes, para viabilizar um empreendimento imobiliário faz-se necessário financiar

uma parte dos recursos necessários. A devolução do empréstimo dá-se através de

prestações. A cada período t é paga uma prestação, que é composta de uma parcela de

amortização e de uma parcela de juros:

pt = at + jt (62)

onde: p – prestação

a – amortização

j – juros

A amortização corresponde à devolução do dinheiro (principal) emprestado. Os juros são

a remuneração deste dinheiro. Os juros incidem sobre o saldo devedor do período:

jt = SD(t-1) x i (63)

onde: j – juros

SD – saldo devedor

i – taxa de juros

O saldo devedor do t-ésimo período é obtido mediante a subtração da parcela de

amortização do período, do saldo devedor anterior:

SDt = SD(t-1) – at (64)

onde: SD – saldo devedor

a – amortização

Os juros variam com o saldo devedor; à medida que este vai decrescendo, os juros também

vão ficando menores.

Alguns financiamentos incluem um prazo de carência, durante o qual não há devolução

do principal emprestado. Duas situações podem ocorrer:

durante o prazo de carência ocorre o pagamento de juros; e

durante o prazo de carência não há necessidade de pagamento de juros, que são

capitalizados (somados ao saldo devedor, passam a também render juros).


[email protected]

A seguir serão apresentadas as principais modalidades de amortização de dívidas.

4.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (TABELA PRICE)

O Sistema Francês de amortização também é conhecido como “sistema de prestações

constantes”. Este sistema de amortização caracteriza-se por ter suas prestações constantes.

Foi popularizado no crédito direto ao consumidor e pelos financiamentos para aquisição de

casa (moradia) própria. Atualmente, é utilizado comumente e em alguns financiamentos de

curto prazo.

A Tabela Price (TP) é um caso particular do sistema francês, no qual as taxas usadas nos

contratos são nominais (usualmente são dadas em termos anuais) e as prestações tem

periodicidade menor do que aquela enunciada na taxa (em geral, usam-se prestações

mensais).

Como a prestação é constante, a amortização é variável, crescendo exponencialmente ao

longo do tempo. O saldo devedor decresce exponencialmente, seguindo o movimento dos

juros (Figura 14).

Figura 14: Evolução da prestação (a) e do saldo devedor (b) no

Sistema Francês de amortização

O valor da prestação p (que corresponde ao valor A de uma série uniforme, conforme visto

no capítulo 2) é dado por:

p = P (A/P; i; n) (65)

ou p = P 1 - i) (1

i) (1 n

n

i (66)

ou ainda: p = P n-i) 1(1

i (67)

onde: p – valor da prestação (constante)

P – principal (dívida inicial)

i – taxa de juros

n – número de períodos para amortização da dívida

A amortização é obtida subtraindo-se da prestação paga o valor correspondente aos juros

do período:

Período

Prestação

($)

juros

amortização

1 n

Saldo Devedor

($)

1 n

(a) (b)

Período


[email protected]

a = p – j (68)

Após o pagamento da t-ésima parcela, o saldo devedor é o valor presente das prestações

que ainda faltam pagar (Casarotto e Kopitke, 1994), conforme mostra a Figura 15.

Figura 15: Saldo devedor no sistema francês

Então: SDt = p [P/A; i; (n-t)] (69)

ou SDt = p t)-(n

t)-(n

i) (1

1 - i) (1

i (70)

Para acompanhar a evolução do pagamento da dívida, costuma-se montar uma planilha

onde aparecem, período a período, a prestação, juros, amortização e saldo devedor.



C8 = +PGTO($C$3;$C$4;-$C$2)

D8 = C2*C3

E8 = C8-D8

F9 = F8+E9

G9 = G8-E9

Exemplo 27: Fazer a planilha de amortização, usando o sistema francês, de um

empréstimo de R$ 100.000, a ser pago em 10 parcelas mensais. A taxa de juros é de 2,5%

a.m. Calcule também o saldo devedor após o pagamento da 6ª prestação, usando a fórmula.

SDt

p t

(t+1) n


[email protected]

Solução:

p = P (A/P; i; n) = P 1 - i) (1

i) (1 n

n

i = P

n-i) 1(1

i

p = 100.000 (A/P; 2,5%; 10)

88,425.111 - 0,025) (1

0,025) (1 025,0100000p

10

10

ou 88,425.110,025) 1(1

025,0100000 p

10-

SD6 = 11.425,88 x [P/A; 2,5%; (10-6)]

87,983.420,025) (1 025,0

1 - 0,025) (188,11425SD

6)-(10

6)-(10

6

Exemplo 28: Fazer a planilha de amortização, utilizando o sistema francês (tabela PRICE),

de um empréstimo de R$ 100.000, a ser pago em 10 parcelas mensais, com carência de três

meses, durante a qual serão pagos apenas os juros. A taxa de juros é de 2,5% a.m.

Solução:

valor dos juros durante carência: j = 100.000,00 x 0,025 = R$ 2.500,00

Os demais cálculos são idênticos ao Exemplo 27. A planilha é mostrada abaixo:

Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor

0 100.000,00

1 2.500,00 2.500,00 0,00 100.000,00

2 2.500,00 2.500,00 0,00 100.000,00

3 2.500,00 2.500,00 0,00 100.000,00

4 11.425,88 2.500,00 8.925,88 91.074,12

5 11.425,88 2.276,85 9.149,02 81.925,10

6 11.425,88 2.048,13 9.377,75 72.547,35

7 11.425,88 1.813,68 9.612,19 62.935,16

8 11.425,88 1.573,38 9.852,50 53.082,66

9 11.425,88 1.327,07 10.098,81 42.983,85

10 11.425,88 1.074,60 10.351,28 32.632,57

11 11.425,88 815,81 10.610,06 22.022,51

12 11.425,88 550,56 10.875,31 11.147,20

13 11.425,88 278,68 11.147,20 0,00

Total 100.000,00

Exemplo 29: Fazer a planilha de amortização, utilizando o sistema francês (tabela PRICE),

de um empréstimo de R$ 100.000, a ser pago em 10 parcelas mensais, com carência de três

meses, sendo os juros capitalizados durante este período. A taxa de juros é de 2,5% a.m.

Solução: valor da dívida após capitalização dos juros:


[email protected]

F = P (F/P; i; n) = P (1 + i)n

F = 100.000 (F/P; 2,5%; 3) = 100.000 (1 + 0,025)3 = R$ 107.689,06

Este é o novo saldo devedor (R$ 107.689,06), que deve ser devolvido em dez prestações.

valor da prestação: p = P (A/P; i; n) = 1 - i) (1

i) (1 n

n

i

p = 107.689,06 (A/P; 2,5%; 10)

42,304.121 - 0,025) (1

0,025) (1 025,0107689,06 p

10

10

Segue abaixo a planilha de amortização. Observe que os juros dos meses de carência, por

não serem pagos neste período, constituem amortizações negativas.


0 100.000,00

1 0,00 2.500,00 (2.500,00) 102.500,00

2 0,00 2.562,50 (2.562,50) 105.062,50

3 0,00 2.626,56 (2.626,56) 107.689,06

4 12.304,42 2.692,23 9.612,19 98.076,87

5 12.304,42 2.451,92 9.852,50 88.224,37

6 12.304,42 2.205,61 10.098,81 78.125,56

7 12.304,42 1.953,14 10.351,28 67.774,28

8 12.304,42 1.694,36 10.610,06 57.164,22

9 12.304,42 1.429,11 10.875,31 46.288,91

10 12.304,42 1.157,22 11.147,20 35.141,71

11 12.304,42 878,54 11.425,88 23.715,83

12 12.304,42 592,90 11.711,52 12.004,31

13 12.304,42 300,11 12.004,31 0,00

Total 100.000,00

4.5 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)

Como o nome indica, o sistema de amortização constante caracteriza-se por ter suas

amortizações constantes. Neste sistema, a prestação e o saldo devedor decrescem

linearmente (Figura 16).


[email protected]

Figura 16: Evolução da prestação (a) e do saldo devedor (b) no SAC

O valor da t-ésima prestação é dado pela relação:

Pt = a + jt (71)

onde: p – prestação do período t

a – amortização (constante)

j – juros do período t

A amortização de cada período é dada por:

a = n

P (72)

onde: a – amortização (constante)



Os juros referentes ao t-ésimo período obtém-se fazendo:

jt = SD(t-1) x i (73)

onde: j – juros

SD – saldo devedor

i – taxa de juros

Como o saldo devedor no t-ésimo período é dado por:

SDt = P – a x t (74)

tem-se que jt = [P – a x (t-1)] x i (75)

ou ainda jt = [1 – n

t )1( ] x P x i (76)

A prestação em qualquer período será então:

pt = P [n

1 + (1-

n

t 1)i] (77)

Período

Prestação

($)

juros

amortização

1 n

Saldo Devedor

($)

1 n

(a) (b)

Período


[email protected]

Para o primeiro período (t = 1) tem-se:

i x x p 00

1 SDn

SDiP

n

P (78)



C8 = D8+E8

D8 = C2*C3

E8 = C2/C4

F9 = E9+F8

G9 = C$2-F9

Exemplo 30: Fazer a planilha de amortização, utilizando o sistema de amortização

constante (SAC), de um empréstimo de R$ 100.000, a ser pago em 10 parcelas mensais. A

taxa de juros é de 2,5% a.m. Calcule também o saldo devedor após o pagamento da 6ª

prestação, usando a fórmula.

Solução:

pt = a + jt

a = n

P =

10

000.100 = R$ 10.000,00

Para o 1º período tem-se: jt = [P – a x (t-1)] x i

j1 = [100.000 – 10.000 (1-1)] x 0,01 = R$ 1.000,00

então: p1 = a + j1 = 10.000,00 + 1.000,00 = R$ 11.000,00

e o saldo devedor é:

SDt = P – a x t SD1 = 100.000 – 10.000 x 1 = R$ 90.000,00

SD6 = 100.000 – 10.000 x 6 = 40.000,000


[email protected]


0 100.000,00

1 12.500,00 2.500,00 10.000,00 90.000,00

2 12.250,00 2.250,00 10.000,00 80.000,00

3 12.000,00 2.000,00 10.000,00 70.000,00

4 11.750,00 1.750,00 10.000,00 60.000,00

5 11.500,00 1.500,00 10.000,00 50.000,00

6 11.250,00 1.250,00 10.000,00 40.000,00

7 11.000,00 1.000,00 10.000,00 30.000,00

8 10.750,00 750,00 10.000,00 20.000,00

9 10.500,00 500,00 10.000,00 10.000,00

10 10.250,00 250,00 10.000,00 0,00

Total 100.000,00

4.6 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM)

O sistema de amortização misto (SAM) é uma composição entre o sistema francês (tabela

price – TP) e o sistema de amortização constante (SAC). Assim sendo, apresenta

amortizações crescentes e juros decrescentes.

Suas prestações correspondem à média aritmética das prestações calculadas pelo sistema

francês e pelo sistema de amortização constante. O valor da primeira prestação é:

p = 2

P [(

1 - i) (1

i) (1 n

n

i) + (

n

1 + i)] (79)

onde: p – valor da prestação inicial


i – taxa de juros


O valor da prestação em qualquer período é dado por:

p = 2

1 [P

1 - i) (1

i) (1 n

n

i + (

n

P + (P-(a(t-1)i))] (80)

ou

i

n

t

ni

iin

n 11

1

1)1(

)1(

2

P p (81)

O cálculo dos juros, das amortizações e do saldo devedor para cada período seguem os

princípios já expostos neste texto.



[email protected]


C8 = (C2/2)*(((C3*(1+C3)^C4)/(((1+C3)^C4)-1))+((1/C4)+(1-((C5-1)/C4))*C3))

D9 = G8 *C3

E9 = C9-D9

F9 = E9+F8

G9 = C2-F9

Exemplo 31: Fazer a planilha de amortização, utilizando o sistema de amortização misto

(SAM), de um empréstimo de R$ 100.000, a ser pago em 10 parcelas mensais. A taxa de

juros é de 2,5% a.m.

Solução:

Valor da prestação inicial:

i

n

t

ni

iin

n 11

1

1)1(

)1(

2

P p

025,0

10

111

10

1

1)025,01(

)025,01(025,0

2

100000 p

10

10

p = 50.000 (0,1142587 + 0,125) = R$ 11.962,94


0 100.000,00

1 11.962,94 2.500,00 9.462,94 90.537,06

2 11.837,94 2.263,43 9.574,51 80.962,55

3 11.712,94 2.024,06 9.688,87 71.273,68

4 11.587,94 1.781,84 9.806,10 61.467,58

5 11.462,94 1.536,69 9.926,25 51.541,33

6 11.337,94 1.288,53 10.049,40 41.491,93

7 11.212,94 1.037,30 10.175,64 31.316,29

8 11.087,94 782,91 10.305,03 21.011,25

9 10.962,94 525,28 10.437,66 10.573,60

10 10.837,94 264,34 10.573,60 0,00

Total 100.000,00


[email protected]

4.7 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE (SACRE)

O sistema de amortização crescente (SACRE) é uma variação do sistema de amortização

constante (SAC). No SACRE, a prestação é calculada como no SAC, mas é mantida

constante. Normalmente, esta prestação permanece congelada por períodos determinados

em contrato (geralmente 1 ano), após os quais se recalcula a prestação.


princípios já expostos anteriormente. No SACRE, as parcelas de amortização são

crescentes e os juros são decrescentes.

Atualmente, este é o sistema mais utilizado pela Caixa Econômica Federal em suas linhas

de crédito imobiliário.



C8 = C2/C4+C2*C3

D9 = G8*C3

E8 = C7-C8


crescente (SACRE), de um empréstimo de R$ 100.000, a ser pago em 10 parcelas mensais.

A taxa de juros é de 2,5% a.m. Considere que:

a) não haverá recálculo da prestação; e

b) haverá um recálculo da prestação, na metade do prazo de financiamento.

Solução do item a):

Valor da prestação do período 1 até o período 9:

Pt = a + jt

p1 = ... = p9 = 10

0SD + SD0 x i =

10

000.100 + 100.000 x 0,025 = R$ 12.500,00


[email protected]


0 100.000,00

1 12.500,00 2.500,00 10.000,00 90.000,00

2 12.500,00 2.250,00 10.250,00 79.750,00

3 12.500,00 1.993,75 10.506,25 69.243,75

4 12.500,00 1.731,09 10.768,91 58.474,84

5 12.500,00 1.461,87 11.038,13 47.436,71

6 12.500,00 1.185,92 11.314,08 36.122,63

7 12.500,00 903,07 11.596,93 24.525,70

8 12.500,00 613,14 11.886,86 12.638,84

9 12.500,00 315,97 12.184,03 454,81

10 12.500,00 11,37 12.488,63 -12.033,82

Total 112.033,82

p10 = 466,18

O valor da última prestação é:

p10 = 12.500,00 – 12.033,82 = R$ 466,18

ou p10 = SD9 + j10 = 454,81 + 454,81 x 0,025 = R$ 466,18

Solução do item b): Valor da prestação do período 1 até o período 5:

Pt = a + jt

p1 = ... = p5 = 10

0SD + SD0 x i =

10

000.100 + 100.000 x 0,025 = R$ 12.500,00

Cálculo da 6ª até a 9ª prestação:

p6 = ... = p9 =5

5SD + SD5 x i =

5

47.436,71 + 47.436,71x 0,025 = R$ 10.673,26


0 100.000,00

1 12.500,00 2.500,00 10.000,00 90.000,00

2 12.500,00 2.250,00 10.250,00 79.750,00

3 12.500,00 1.993,75 10.506,25 69.243,75

4 12.500,00 1.731,09 10.768,91 58.474,84

5 12.500,00 1.461,87 11.038,13 47.436,71

6 10.673,26 1.185,92 9.487,34 37.949,37

7 10.673,26 948,73 9.724,53 28.224,85

8 10.673,26 705,62 9.967,64 18.257,21

9 10.673,26 456,43 10.216,83 8.040,37

10 10.673,26 201,01 10.472,25 -2.431,88

Total 102.431,88

p10 = 8.241,38


[email protected]


p10 = 10.673,26 – 2.431,88 = R$ 8.241,38

ou p10 = SD9 + j10 = 8.040,37 + 8.040,37 x 0,025 = 8.241,38

4.8 OUTROS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

4.8.1 Sistema Americano

No sistema americano pagam-se apenas os juros durante o prazo de empréstimo. No final,

são pagos os juros e devolvido o principal (Figura 17).

Figura 17: Sistema Americano

A prestação, do período 1 ao período (n-1) resume-se aos juros:

p1 = ...= p(n-1) = j = i P (82)

e o último pagamento é: pn = i P + P (83)


j – juros

i – taxa de juros

P – principal


0

1 n

P

P

i P


[email protected]


C8 = C2*C3

C18 = C2*C3+C2

Exemplo 33: Calcule as prestações mensais, utilizando o sistema americano, de um

empréstimo de R$ 100.000, a ser devolvido em dez meses. A taxa de juros é de 2,5% a.m.

Solução:

Prestações do mês 1 ao 9: p1 = ... = p9 = i P = 0,025 x 100.000 = R$ 2.500,00

Prestação do mês 10: p10 = i P + P = 0,025 x 100.000 + 100.000 = R$ 102.500,00

4.8.2 Pagamento único, com juros postecipados

No sistema de pagamento único, com juros postecipados, tanto o principal como os juros

são devolvidos numa única parcela, no final do prazo de empréstimo:

p = P (1 +i)n (84)


P – principal

i – taxa de juros

n – número de capitalizações no prazo do empréstimo



C7 = C2*(1+C3)^C4

Exemplo 34: Calcule a quantia a ser devolvida após dez meses, no sistema de pagamento

único com juros postecipados, referente a um empréstimo de R$ 100.000, à taxa de juros

de 2,5% a.m.

Solução: p = P (1 +i)n = 100.000 (1 + 0,025)

10 = R$ 128.008,45

4.8.3 Pagamento único, com juros antecipados

No sistema de pagamento único, com juros antecipados, os juros são cobrados no instante

em que o empréstimo é cedido, e o principal é devolvido numa única parcela, no final do

prazo de empréstimo.

Deve-se observar que neste tipo de empréstimo a taxa de juros enunciada é sempre menor

do que a taxa efetivamente cobrada.


[email protected]



C7 = C2*(1+C3)^C4-C2

Exemplo 35: Calcule a taxa de juros efetiva de um empréstimo de R$ 100.000,00 por dez

meses, à taxa de juros de 2,5% a.m., cobrados antecipadamente.

Solução:

juros a serem pagos antecipadamente:

j = P (1 +i)n – P = 100.000 (1 + 0,025)10 – 100.000,00 = R$ 28.008,45

Cálculo da taxa de juros:

F = P (1 +i)n

100.000 = (100.000,00 – 28.008,45) (1 +0,025)10 = 71.991,55 (1 +0,025)10

i = (100.000 / 71.991,55) 1/10 – 1 = 0,0334 = 3,34% a.m.

4.8.4 Sistema de amortizações variáveis

No sistema de amortizações variáveis as prestações contradas pelas partes são variáveis.

Por isso, as amortizações também são variáveis (Figura 18).

Figura 18: Sistema de amortizações variáveis


princípios já comentados anteriormente.

4.9 COMENTÁRIOS SOBRE OS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

Período

Prestação

($)

juros

amortização

1 n


[email protected]

Qual é o melhor sistema de amortização? A resposta a esta pergunta depende de uma série

de fatores e da forma com que estes pesam na análise: velocidade de recuperação do

capital, valor das prestações, quantia de juros pagos, risco envolvido na transação, etc.

Cada situação apresenta particularidades que devem ser cuidadosamente estudadas. Além

disto, há que se considerar que o ponto de vista do credor nem sempre coincide com o

ponto de vista do devedor.

Qual o sistema que mais cobra juros? Para responder a esta pergunta, deve-se calcular o

valor presente dos juros pagos em cada sistema. Para exemplificar, a Tabela 1 mostra os

resultados destes cálculos para os exemplos resolvidos neste capítulo, para os principais

sistemas de amortização utilizados em empréstimos de longo prazo. Não foi considerado

nenhum prazo de carência e a taxa utilizada foi a mesma dos exemplos (2,5% a.m.).

Sistema de amortização Valor Presente dos juros pagos (R$)

Sistema francês (TP) 12.918,28

Sistema de amortização constante (SAC) 12.479,36

Sistema de amortização misto (SAM) 12.698,82

Sistema de amortização crescente (SACRE (a)) 11.839,82

Sistema de amortização crescente (SACRE (b)) 12.214,76

Tabela 1: Juros pagos em diferentes sistemas de amortização

A Tabela 2 e a Figura 19 mostram o comportamento das prestações nos sistemas TP, SAC,

SAM e SACRE, para os exemplos explorados.

Período

[meses]

Prestação [R$]

TP SAC SAM SACRE (a) SACRE (b)

1 11.425,88 12.500,00 11.962,94 12.500,00 12.500,00

2 11.425,88 12.250,00 11.837,94 12.500,00 12.500,00

3 11.425,88 12.000,00 11.712,94 12.500,00 12.500,00

4 11.425,88 11.750,00 11.587,94 12.500,00 12.500,00

5 11.425,88 11.500,00 11.462,94 12.500,00 12.500,00

6 11.425,88 11.250,00 11.337,94 12.500,00 10.673,26

7 11.425,88 11.000,00 11.212,94 12.500,00 10.673,26

8 11.425,88 10.750,00 11.087,94 12.500,00 10.673,26

9 11.425,88 10.500,00 10.962,94 12.500,00 10.673,26

10 11.425,88 10.250,00 10.837,94 466,18 8.241,38

Tabela 2: Comportamento da prestação em alguns sistemas de amortização


[email protected]

8.000

8.500

9.000

9.500

10.000

10.500

11.000

11.500

12.000

12.500

13.000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Período

Pre

sta

ção

[$]

TP

SAC

SAM

SACRE (b)

Figura 19: Comportamento da prestação em alguns sistemas de amortização

A Tabela 3 apresenta o comportamento dos saldos devedores nos sistemas TP, SAC, SAM

e SACRE, para os exemplos explorados.

Período

[meses]

Saldo Devedor [R$]

TP SAC SAM SACRE (a) SACRE (b)

0 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00

1 91.074,12 90.000,00 90.537,06 90.000,00 90.000,00

2 81.925,10 80.000,00 80.962,55 79.750,00 79.750,00

3 72.547,35 70.000,00 71.273,68 69.243,75 69.243,75

4 62.935,16 60.000,00 61.467,58 58.474,84 58.474,84

5 53.082,66 50.000,00 51.541,33 47.436,71 47.436,71

6 42.983,85 40.000,00 41.491,93 36.122,63 37.949,37

7 32.632,57 30.000,00 31.316,29 24.525,70 28.224,85

8 22.022,51 20.000,00 21.011,25 12.638,84 18.257,21

9 11.147,20 10.000,00 10.573,60 454,81 8.040,37

10 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Tabela 3: Comportamento do saldo devedor em alguns sistemas de amortização

O sistema que permite a menor prestação, para o tomador de empréstimo, é o sistema

francês. Em contrapartida, é o sistema onde se pagam os maiores juros. Em empréstimos de

curto prazo, é o sistema mais utilizado, pois evidencia ao tomador do empréstimo se ele

poderá cumprir o compromisso assumido.

O sistema de amortização constante (SAC), normalmente empregado em empréstimos de

longo prazo, permite uma recuperação mais rápida, por parte do credor, do dinheiro

emprestado. Com isso, ele tem seu risco diminuído. Para o tomador do empréstimo, apesar

de exigir uma maior capacidade de pagamento nos períodos iniciais, a vantagem está no

pagamento de menos juros.

O sistema de amortização misto (SAM) é exatamente o meio termo entre a tabela price e o

sistema de amortização constante.

O sistema de amortização crescente (SACRE) é atualmente muito utilizado pela Caixa

Econômica Federal em suas linhas de crédito imobiliário (Apenas algumas linhas de


[email protected]

crédito voltadas à população de baixa renda continuam usando a tabela price). É o sistema

que permite a mais rápida recuperação do capital emprestado. Outro fator de diminuição do

risco do credor é o modo de cálculo da prestação, que dilui significativamente o impacto

negativo da inflação sobre o saldo devedor e no recálculo das prestações.

Os outros métodos apresentados (sistema americano, pagamento único com juros

postecipados e pagamento único com juros antecipados, sistema de amortizações variáveis)

são normalmente utilizados apenas em empréstimos de curto prazo.

4.10 CORREÇÃO MONETÁRIA DOS EMPRÉSTIMOS

A correção monetária dos empréstimos é feita para compensar a inflação ou uma variação

cambial, no caso de empréstimos em moeda estrangeira.

Duas situações podem ocorrer: a prestação é calculada após a incorporação da correção

monetária ao saldo devedor, ou, a prestação é calculada antes da incorporação da correção

monetária ao saldo devedor.

4.10.1 Prestação calculada após a incorporação da correção monetária ao saldo devedor

Nesta situação, o saldo devedor deve ser recalculado considerando-se a taxa de correção

monetária relativa ao período transcorrido. Calculam-se então a prestação, os juros e a

amortização em função do saldo devedor corrigido.

Na montagem da planilha de amortização é conveniente inserir uma coluna para o cálculo

do saldo devedor corrigido.

O saldo devedor corrigido é obtido pela Equação 85.

SDt corrig = SDt-1 . (1 + t) (85)

Onde: t – taxa de correção monetária para o período t

SDt corrig – saldo devedor corrigido, relativo ao início do período t

(final do período t –1)

Para o Sistema Francês (Tabela Price) tem-se as seguintes relações:

pt = SDt corrig (A/P; i; n) = SDt corrig 1 - i) (1

i) (1 1)-(t-n

1)-(t-n

i

jt = SDt corrig. i

at = pt – jt

SDt = SDt corrig – at

Onde os elementos das fórmulas tem o mesmo significado já apresentado em fórmulas

anteriores.

Para os demais sistemas de amortização, o procedimento é análogo.

Exemplo 36: Fazer a planilha de amortização do Exemplo 27 (Sistema Francês),

considerando o seguinte comportamento para as taxas de correção monetária:


[email protected]

Período 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Correção Monetária (%) 1,5 1,7 2,0 2,3 2,1 1,7 1,3 1,8 2,4 2,0

A prestação devida é calculada após a incorporação da correção monetária ao saldo

devedor.

Solução: P = R$ 100.000,00 i = 2,5% a.m. n = 10 meses

Período Taxa de CM SD corrig. Prestação Juros Amortização Saldo Devedor

0 100.000,00

1 1,5% 101.500,00 11.597,26 2.537,50 9.059,76 92.440,24

2 1,7% 94.011,72 11.794,42 2.350,29 9.444,12 84.567,59

3 2,0% 86.258,95 12.030,31 2.156,47 9.873,83 76.385,11

4 2,3% 78.141,97 12.307,00 1.953,55 10.353,45 67.788,52

5 2,1% 69.212,08 12.565,45 1.730,30 10.835,15 58.376,93

6 1,7% 59.369,34 12.779,06 1.484,23 11.294,83 48.074,51

7 1,3% 48.699,47 12.945,19 1.217,49 11.727,70 36.971,77

8 1,8% 37.637,26 13.178,20 940,93 12.237,27 25.399,99

9 2,4% 26.009,59 13.494,48 650,24 12.844,24 13.165,35

10 2,0% 13.428,65 13.764,37 335,72 13.428,65 0,00

SD1 corrig = SD0 . (1 + 1) = 100.000,00 x (1+0,015) = 101.500,00

p = P (A/P; i; n) = P 1 - i) (1

i) (1

n

n

i

p1 = SD1 corrig . (A/P; 2,5%; 10)

26,597.111 - 0,025) (1

0,025) (1 025,0101500p

10

10

1

j1 = SD1 corrig. i = 101.500,00 x 0,025 = 2.537,50

a1 = p1 – j1 = 11.597,26 – 2.537,50 = 9.059,76

SD1 = SD1 corrig - a1 = 101.500,00 - 9.059,76 = 92.440,24

SD2 corrig = SD1 . (1 + 2) = 92.440,24 x (1+0,017) = 94.011,72

p2 = SD2 corrig . (A/P; 2,5%; 9)

42,794.111 - 0,025) (1

0,025) (1 025,0 94.011,72p

9

9

2

j2 = SD2 corrig . i = 94.011,72 x 0,025 = 2.350,29

a2 = p2 – j2 = 11.794,42 – 2.350,29 = 9.444,13

SD2 = SD2 corrig – a2 = 94.011,72 - 9.444,13 = 84.567,59

Um outro procedimento possível, é calcular a planilha de amortização sem a correção

monetária, e após, corrigir cada linha da planilha de amortização pelo índice de correção

monetária (ou de variação cambial) acumulado. Para maior clareza, é interessante incluir

colunas onde são registrados os índices de correção monetária do período e os índices de

correção monetária acumulados a serem aplicados.

O índice de correção monetária acumulado é obtido pela Equação 86:

ICMt = (1+1). .(1+2)... .(1+t) (86)

Onde: ICMt - índice de correção monetária acumulado na data t

i – taxa de correção monetária relativa ao período i

i = 1, 2, ..., t


[email protected]

O Quadro 1 mostra a montagem da planilha de amortização.

Período

Taxa de

Correção

Monetária

Índice de CM

Acumulado Prestação Juros Amortização

Saldo

Devedor

0 SD0

1 1 ICM1 = (1+1) p1 . ICM1 j1 . ICM1 a1. ICM1 SD1 . ICM1

2 2 ICM2 = (1+1). .(1+2) p2 . ICM2 j2 . ICM2 a2 . ICM2 SD2 . ICM2

... ... ... ... ... ...

n n ICMn = (1+1).

.(1+2)... .(1+n) pn . ICMn jn . ICMn an . ICMn 0

Quadro 1: Planilha de amortização com correção monetária



Período 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


Solução:

a) Planilha de amortização sem correção monetária:


0 100.000,00

1 11.425,88 2.500,00 8.925,88 91.074,12

2 11.425,88 2.276,85 9.149,02 81.925,10

3 11.425,88 2.048,13 9.377,75 72.547,35

4 11.425,88 1.813,68 9.612,19 62.935,16

5 11.425,88 1.573,38 9.852,50 53.082,66

6 11.425,88 1.327,07 10.098,81 42.983,85

7 11.425,88 1.074,60 10.351,28 32.632,57

8 11.425,88 815,81 10.610,06 22.022,51

9 11.425,88 550,56 10.875,31 11.147,20

10 11.425,88 278,68 11.147,20 0,00

Total 100.000,00


[email protected]

b) Planilha de amortização com correção monetária:

Período Taxa CM Índice Acum. SD corrig. Prestação Juros Amortização Saldo Devedor

0 100.000,00

1 1,5% 1,0150 101.500,00 11.597,26 2.537,50 9.059,76 92.440,24

2 1,7% 1,0323 95.421,90 11.794,42 2.350,29 9.444,12 84.567,59

3 2,0% 1,0529 89.041,23 12.030,31 2.156,47 9.873,83 76.385,11

4 2,3% 1,0771 82.275,69 12.307,00 1.953,55 10.353,45 67.788,52

5 2,1% 1,0997 74.549,49 12.565,45 1.730,30 10.835,15 58.376,93

6 1,7% 1,1184 65.290,61 12.779,06 1.484,23 11.294,83 48.074,51

7 1,3% 1,1330 54.467,04 12.945,19 1.217,49 11.727,70 36.971,77

8 1,8% 1,1534 42.641,94 13.178,20 940,93 12.237,27 25.399,99

9 2,4% 1,1810 29.998,55 13.494,48 650,24 12.844,24 13.165,35

10 2,0% 1,2047 15.859,85 13.764,37 335,72 13.428,65 0,00

4.10.2 Prestação calculada antes da incorporação da correção monetária ao saldo devedor

Neste caso, as prestações são calculadas sobre o saldo devedor sem correção, havendo um

resíduo no final dos pagamentos das prestações, devido a correção monetária não paga(s)

na(s) prestação(ões).

A correção monetária, que é calculada sobre o saldo devedor do final do período anterior e

sobre a parcela de juros, é incorporada ao saldo devedor do início do período em questão,

que se mantém desta forma atualizado. Assim, a amortização e os juros calculados pela

Equação 62 são nominais. A amortização efetiva (real) deve considerar o efeito negativo da

correção monetária. As equações 87 a 89 mostram como se fazem estes cálculos.

CMt = SDt-1 . t + jt . t = (SDt-1 + jt ). t (87)

a t efetiva = at nominal – CMt (88)

SDt = SDt-1 – at efetiva = SDt-1 – at nominal + CMt (89)

Onde: CMt – Correção monetária do período t

t - taxa de correção monetária do período t

SD, j, a – saldo devedor, juros, amortização

lembrando que pt = at nominal + jt nominal (90)

onde at nominal e jt nominal são ditos nominais porque no seu cálculo não foi considerada

a correção monetária.



Período 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


A prestação devida é calculada antes da incorporação da correção monetária ao saldo

devedor.

Solução: P = R$ 100.000,00 i = 2,5% a.m. n = 10 meses


[email protected]

Período Taxa

CM Prestação Juros

Amortização

Nominal

Correção

Monetária

Amortização

Efetiva

Saldo

Devedor

0 100.000,00

1 1,5% 11.425,88 2.500,00 8.925,88 1.537,50 7.388,38 92.611,62

2 1,7% 11.618,77 2.315,29 9.303,48 1.613,76 7.689,72 84.921,91

3 2,0% 11.843,83 2.123,05 9.720,79 1.740,90 7.979,89 76.942,02

4 2,3% 12.118,02 1.923,55 10.194,47 1.813,91 8.380,56 68.561,46

5 2,1% 12.447,33 1.714,04 10.733,29 1.475,79 9.257,51 59.303,95

6 1,7% 12.764,99 1.482,60 11.282,39 1.033,37 10.249,02 49.054,93

7 1,3% 13.039,68 1.226,37 11.813,30 653,66 11.159,65 37.895,29

8 1,8% 13.268,55 947,38 12.321,17 699,17 11.622,00 26.273,29

9 2,4% 13.631,30 656,83 12.974,46 646,32 12.328,14 13.945,15

10 2,0% 14.293,78 348,63 13.945,15 285,88 13.659,27 285,88

p10 = 14.293,78 + 285,88 = 14.579,66

Ou p10 = 14.293,78

e p11 = SD10 + j11 + CM11 = SD10 + j11 + (SD10 + j11) x 11

p11 = 285,88 + 285,88 x 0,025 + (285,88 + 7,15) x 11

Muitos contratos de financiamento prevêem reajustes periódicos, entre os quais a prestação

se mantém constante.

Observe-se que, apesar das prestações serem reajustadas somente após um período de

tempo maior do que o período de capitalização dos juros, o saldo devedor é reajustado a

cada pagamento de prestação.


crescente (SACRE), de um empréstimo de R$ 30.000, a ser pago em 36 parcelas mensais.

A taxa de juros é de 1% a.m mais a variação da TR, estimada em 0,5% a.m. Considere que

haverá recálculo da prestação a cada 12 meses.

Solução:

Os cálculos referentes à planilha de amortização da página seguinte, são explicitados

abaixo, para os períodos em que há mudança de cálculo da prestação. Os demais cálculos

seguem os princípios já expostos.

Prestações 1 a 12:

p1 = 36

0SD + SD0 x i =

36

000.30 + 30.000 x 0,01 = R$ 1.133,33

Correção monetária no período 1: CM1 = SD0 x TR + j1 x TR

CM1 = 30.000 x 0,005 + 300 x 0,005 = R$ 151,50

Saldo devedor no período 1:

SD1 = SD0 – a1 efetiva = SD0 – a1 nominal + CM1

SD1 = 30.000,00 – 681,83 = 30.000,00 – 833,33 + 151,50 = R$ 29.318,17


[email protected]

Período Prestação Juros Amortização

Nominal

Correção

Monetária

Amortização

Efetiva

Saldo

Devedor

0 30.000,00

1 1.133,33 300,00 833,33 151,50 681,83 29.318,17

2 1.133,33 293,18 840,15 148,06 692,09 28.626,07

3 1.133,33 286,26 847,07 144,56 702,51 27.923,56

4 1.133,33 279,24 854,10 141,01 713,08 27.210,48

5 1.133,33 272,10 861,23 137,41 723,82 26.486,66

6 1.133,33 264,87 868,47 133,76 734,71 25.751,95

7 1.133,33 257,52 875,81 130,05 745,77 25.006,19

8 1.133,33 250,06 883,27 126,28 756,99 24.249,20

9 1.133,33 242,49 890,84 122,46 768,38 23.480,81

10 1.133,33 234,81 898,53 118,58 779,95 22.700,87

11 1.133,33 227,01 906,32 114,64 791,69 21.909,18

12 1.133,33 219,09 914,24 110,64 803,60 21.105,58

13 1.090,45 211,06 879,40 106,58 772,82 20.332,76

14 1.090,45 203,33 887,13 102,68 784,45 19.548,32

15 1.090,45 195,48 894,97 98,72 796,25 18.752,06

16 1.090,45 187,52 902,93 94,70 808,24 17.943,83

17 1.090,45 179,44 911,02 90,62 820,40 17.123,43

18 1.090,45 171,23 919,22 86,47 832,75 16.290,68

19 1.090,45 162,91 927,55 82,27 845,28 15.445,40

20 1.090,45 154,45 936,00 78,00 858,00 14.587,40

21 1.090,45 145,87 944,58 73,67 870,91 13.716,48

22 1.090,45 137,16 953,29 69,27 884,02 12.832,46

23 1.090,45 128,32 962,13 64,80 897,33 11.935,14

24 1.090,45 119,35 971,10 60,27 910,83 11.024,30

25 1.028,94 110,24 918,69 55,67 863,02 10.161,28

26 1.028,94 101,61 927,32 51,31 876,01 9.285,28

27 1.028,94 92,85 936,08 46,89 889,19 8.396,09

28 1.028,94 83,96 944,97 42,40 902,57 7.493,51

29 1.028,94 74,94 954,00 37,84 916,16 6.577,35

30 1.028,94 65,77 963,16 33,22 929,95 5.647,41

31 1.028,94 56,47 972,46 28,52 943,94 4.703,47

32 1.028,94 47,03 981,90 23,75 958,15 3.745,32

33 1.028,94 37,45 991,48 18,91 972,57 2.772,75

34 1.028,94 27,73 1.001,21 14,00 987,21 1.785,55

35 1.028,94 17,86 1.011,08 9,02 1.002,06 783,48

36 1.028,94 7,83 1.021,10 3,96 1.017,14 -233,66


p13 = 24

12SD + SD12 x i =

24

58,105.21 + 21.105,58 x 0,01 = R$ 1.090,45

Correção monetária no período 13: CM13 = SD12 * TR + j13 * TR

CM13 = 21.105,58 x 0,005 + 211,06 x 0,005 = R$ 106,58


SD13 = SD12 – anominal 13 + CM13 = 21.105,58 – 879,40 + 106,58= R$ 20.332,76


p25 = 12

24SD + SD24 x i =

12

11.024,30 + 11.024,30 x 0,01 = R$ 1.028,94

Correção monetária no período 25: CM25 = SD24 * TR + j25 * TR

CM25 = 11.024,30 x 0,005 + 110,24 x 0,005 = R$ 55,67


SD25 = SD24 – anominal 25 + CM25 = 11.024,30 – 918,69 + 55,67 = R$ 10.161,28


[email protected]


p36 = 1.028,94 – 233,66 = R$ 795,27

ou p10 = 783,48 + 783,48 x 0,01 + (783,48 + 7,83) x 0,005 = 795,27

Exemplo 40: Refaça o exercício anterior, considerando agora que a variação da TR seja de

1,5% a.m.

Solução:

Principal juros prazo TR

30.000,00 1% 36 1,50%

Período Prestação Juros

Amortização

Nominal

Correção

Monetária

Amortização

Efetiva

Saldo

Devedor

0 30.000,00

1 1.133,33 300,00 833,33 454,50 378,83 29.621,17

2 1.133,33 296,21 837,12 448,76 388,36 29.232,81

3 1.133,33 292,33 841,01 442,88 398,13 28.834,68

4 1.133,33 288,35 844,99 436,85 408,14 28.426,54

5 1.133,33 284,27 849,07 430,66 418,41 28.008,13

6 1.133,33 280,08 853,25 424,32 428,93 27.579,20

7 1.133,33 275,79 857,54 417,82 439,72 27.139,48

8 1.133,33 271,39 861,94 411,16 450,78 26.688,71

9 1.133,33 266,89 866,45 404,33 462,11 26.226,60

10 1.133,33 262,27 871,07 397,33 473,73 25.752,86

11 1.133,33 257,53 875,80 390,16 485,65 25.267,21

12 1.133,33 252,67 880,66 382,80 497,86 24.769,35

13 1.279,75 247,69 1.032,06 375,26 656,80 24.112,55

14 1.279,75 241,13 1.038,62 365,31 673,32 23.439,23

15 1.279,75 234,39 1.045,36 355,10 690,25 22.748,98

16 1.279,75 227,49 1.052,26 344,65 707,61 22.041,37

17 1.279,75 220,41 1.059,34 333,93 725,41 21.315,96

18 1.279,75 213,16 1.066,59 322,94 743,65 20.572,30

19 1.279,75 205,72 1.074,03 311,67 762,36 19.809,95

20 1.279,75 198,10 1.081,65 300,12 781,53 19.028,42

21 1.279,75 190,28 1.089,47 288,28 801,19 18.227,23

22 1.279,75 182,27 1.097,48 276,14 821,33 17.405,90

23 1.279,75 174,06 1.105,69 263,70 841,99 16.563,90

24 1.279,75 165,64 1.114,11 250,94 863,17 15.700,74

25 1.465,40 157,01 1.308,39 237,87 1.070,53 14.630,21

26 1.465,40 146,30 1.319,10 221,65 1.097,45 13.532,76

27 1.465,40 135,33 1.330,07 205,02 1.125,05 12.407,70

28 1.465,40 124,08 1.341,33 187,98 1.153,35 11.254,35

29 1.465,40 112,54 1.352,86 170,50 1.182,36 10.072,00

30 1.465,40 100,72 1.364,68 152,59 1.212,09 8.859,91

31 1.465,40 88,60 1.376,80 134,23 1.242,58 7.617,33

32 1.465,40 76,17 1.389,23 115,40 1.273,83 6.343,51

33 1.465,40 63,44 1.401,97 96,10 1.305,86 5.037,64

34 1.465,40 50,38 1.415,03 76,32 1.338,71 3.698,94

35 1.465,40 36,99 1.428,41 56,04 1.372,37 2.326,56

36 1.465,40 23,27 1.442,14 35,25 1.406,89 919,68

37 942,80 9,20 933,61 13,93 919,68 0,00

P37= 919,68 + 919,68 x 0,01 + (919,68 + 9,19) x 0,015 = 942,80


[email protected]

5. MÉTODOS DETERMINÍSTICOS DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS

5.1 VALOR PRESENTE LÍQUIDO

O Valor Presente Líquido (VPL) de um fluxo de caixa é obtido pela soma de todos os

valores do fluxo de caixa, trazidos para a data presente. Ou seja, desconta-se os valores

futuros para a data presente e soma-se estes valores descontados com o valor que o fluxo

de caixa apresenta na data inicial. Como taxa de desconto, utiliza-se a TMA do investidor.

t

tn

t i

FPVPL

11

(91)

ou: t

tn

t i

FVPL

10

(92)

Para ser viável, o projeto deve ter VPL 0.



C10 = =VPL(C2;D6:I6)+C5+(I7/((1+C2)^6))

Exemplo 41: Os investimentos em uma concreteira, entre equipamentos, veículos e

aquisição de uma jazida, somam US$ 200.000,00. Os lucros esperados são de US$

56.000,00/ano. Após 6 anos, a jazida estará esgotada, e a empresa terá um valor residual de

US$ 20.000,00. Determine o valor presente líquido (VPL) deste negócio, considerando

uma TMA de 12% a.a.

Período 0 1 2 3 4 5 6

Investimentos -200.000,00

Lucro Anual 56.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00

Valor Residual 20.000,00

Fluxo de Caixa -200.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00 76.000,00


[email protected]

Solução:

VPL = P + A . (P/A; i; n) + F . (P/F; i; n)

VPL = -200000 + 56000 . (P/A; 12%; 6) + 20000 . (P/F; 12%; 6)

nn

n

i

F

ii

iAP

)1()1.(

1)1(.VPL

66

6

)12,01(

20000

)12,01.(12,0

1)12,01(.56000200000VPL

VPL = -200.000,00 + 230.238,81 + 10.132,62 = 40.371,43

Para ser viável, um projeto deve ter VPL 0. No caso de escolha entre mais de uma

alternativa, a melhor será aquela que apresenta o maior VPL.

5.1.1 Projetos com vidas iguais

Neste caso, o horizonte de planejamento a ser considerado corresponde à vida dos projetos.

Exemplo 42: Dadas as duas opções de investimento abaixo, determine a melhor delas, para

um investidor cuja TMA é de 14% a.a. Utilize o método do VPL.

VPLA = -35000 + 17000(P/A; 14%; 4)

11,533.1414,0114,0

114,011700035000

4

4

AVPL

VPLB = -42000 + 20000(P/A; 14%; 4)

25,274.1614,0114,0

114,012000042000

4

4

BVPL

Logo, a melhor opção é o investimento B.

17.000

2 1 0

35.000

3

Investimento A

4

20.000

2 1 0

42.000

3 4

56.000

1 0

200.000

6

20.000

Investimento B


[email protected]

5.1.2 Projetos com vidas diferentes

Neste caso, duas situações são possíveis: os projetos podem ser repetidos quando sua vida

acabar, ou não podem ser repetidos. Cada caso tem um procedimento de análise que será

exposto a seguir.

5.1.2.1 Projetos com repetição

Se dois projetos tem vidas diferentes, usa-se na análise como horizonte de planejamento, o

mínimo múltiplo comum da duração dos mesmos.

Exemplo 43: Calcular, pelo VPL, qual das alternativas abaixo para a compra de um

equipamento, é mais econômica, supondo que haja repetição. A TMA do investidor é de

12% a.a.

Equipamento A Equipamento B

Custo inicial 30.000,00 51.000,00

Vida útil 3 anos 6 anos

Economias Anuais 14.000,00 15.000,00

Valor residual 10.000,00 12.000,00


Solução:

Investimento A Investimento B

VPLA= - 30000 + 14000(P/A; 12%; 6) - 20000(P/F; 12%; 3) + 10000(P/F; 12%; 6)

4,390.1812,01

10000

12,01

20000

12,0112,0

112,011400030000

636

6

AVPL

VPLB = -51000 + 15000(P/A; 12%; 6) + 12000(P/F; 12%; 6)

30.000

14.000

10.000

1

0

3

51.000

15.000

12.000

1

0

6

30.000

14.000

10.000

1

0

3 6

10.000

30.000

51.000

15.000

12.000

1

0

6


[email protected]

68,750.1612,01

12000

12,0112,0

112,011500051000

66

6

BVPL

A melhor opção é o Equipamento A, pois apresenta o maior VPL.

5.1.2.2 Projetos sem repetição

Neste caso, cada projeto será analisado tomando-se como horizonte de planejamento a sua

respectiva vida útil. Considera-se que na diferença entre os horizontes de tempo analisados,

os recursos do projeto de menor vida sejam aplicados à TMA. Como o valor presente de

um fluxo de caixa de qualquer quantia aplicada à TMA é nulo, a contribuição desta parcela

no VPL total é nula, podendo-se pois, desconsiderá-la na análise. Então, calcula-se o VPL

para cada um dos projetos com sua respectiva vida, e escolhe-se o projeto com maior valor.

Exemplo 44: Considere os mesmos dados do exemplo anterior, supondo agora que não

haja repetição (caso o investidor opte pela alternativa A, ele sairá do mercado após 3 anos,

reaplicando seus ganhos à TMA).


Custo inicial 30.000,00 51.000,00

Vida útil 3 anos 6 anos

Economias Anuais 14.000,00 15.000,00

Valor residual 10.000,00 12.000,00


Solução:

VPLA= - 30000 + 14000(P/A; 12%; 3) + 10000(P/F; 12%; 3)

44,743.1012,01

10000

12,0112,0

112,011400030000

33

3

AVPL

VPLB = -51000 + 15000(P/A; 12%; 6) + 12000(P/F; 12%; 6)

68,750.1612,01

12000

12,0112,0

112,011500051000

66

6

BVPL

A melhor opção agora é o Equipamento B, pois apresenta o maior VPL.

5.2. VALOR (OU CUSTO) ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE – VAUE OU CAUE

5.2.1 Valor anual uniforme equivalente

30.000

14.000

10.000

1

0

3

51.000

15.000

12.000

1

0

6


[email protected]

O Valor Anual Uniforme Equivalente (VAUE) ou simplesmente Valor Uniforme

Equivalente (VUE), é um método que consiste em achar a série uniforme equivalente (A)

ao fluxo de caixa do investimento em análise, à TMA do investidor. Se VAUE 0 o

projeto é viável.



C10 = VPL($C$2;$D$6:$I$6)+$C$5+(I7/((1+C2)^6))

C11 = PGTO(C2;I4;-C10)

Exemplo 45: Determine o valor anual uniforme equivalente (VAUE) da empresa

caracterizada abaixo. A TMA do investidor é de 12% a.a.

Período 0 1 2 3 4 5 6


Lucro Anual 56.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00


Fluxo de Caixa -200.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00 76.000,00

Solução:

VAUE = P . (A/P; i; n) + A + F . (A/F; i; n)

VAUE = -200000 . (A/P; 12%, 6) + 56000 + 20000 . (A/F; 12%; 6)

56.000

1 0

200.000

6

20.000


[email protected]

1)1(

.1)1(

)1.(.

nn

n

i

iFA

i

iiPVAUE

1)12,01(

12,0.2000056000

1)12,01(

)12,01.(12,0.200000

66

6

VAUE

VAUE = -48.645,14 + 56.000,00 + 2.464,51

VAUE = 9.819,37

Se um projeto apresenta VAUE 0, ele é viável. Entre dois projetos, deve-se escolher

aquele que apresenta o maior VAUE.

5.2.1.1. Projetos com vidas iguais

O horizonte de planejamento a ser considerado é o tempo de vida dos projetos.

Exemplo 46: Os fluxos de caixa abaixo mostram duas alternativas para aquisição de um

determinado sistema produtivo. Calcule a alternativa mais econômica para uma empresa

que tem uma TMA de 18% a.a.

Solução:

VAUEA = -27.000,00(A/P; 18%; 5) + 10.500,00

00,866.110500118,01

18,0118,027000

5

5

AVAUE

VAUEB = -33.000,00(A/P; 18%; 5) + 12.000,00

33,447.112000118,01

18,01180,033000

5

5

BVAUE

A melhor opção é a alternativa A, por proporcionar o maior retorno.

5.2.1.2. Projetos com vidas diferentes

Também neste caso, duas situações são possíveis: os projetos podem ser repetidos quando

sua vida acabar, ou não podem ser repetidos. Os procedimentos para cada caso serão

expostos a seguir.

5.2.1.2.1. Projetos com repetição

Determina-se diretamente os VAUE’s sem necessidade de calcular o mínimo múltiplo

comum das vidas das alternativas.

10.500

1 0

27.000

5

Alternativa A

12.000

1 0

33.000

5

Alternativa B


[email protected]

Exemplo 47: Selecione a alternativa mais vantajosa entre as duas mostradas abaixo.

Considere uma TMA = 16% a.a.

Solução:

VAUEA = -35000(A/P; 16%;3) + 19000

97,415.319000116,01

16,0116,035000

3

3

AVAUE

VAUEB = -47000(A/P; 16%; 4) + 20000

37,203.320000116,01

16,0116,047000

4

4

BVAUE

A melhor opção é o investimento A, pois apresenta o maior VAUE.

5.2.1.2.2. Projetos sem repetição

Neste caso, transforma-se um dos fluxos em fluxo equivalente de mesmo horizonte de

tempo do outro, utilizando-se a TMA do investidor.

Exemplo 48: Resolva o Exemplo 47 considerando que os projetos não podem ser

repetidos.

Solução: Neste caso, transforma-se a série uniforme de três anos numa série uniforme

equivalente de quatro anos.

19.000

1 0

35.000

3

Alternativa A

20.000

1 0

47.000

4

Alternativa B

19.000

1 0

35.000

3

Alternativa A

15.249,87

1 0

35.000

4


[email protected]

VP rec = 19000(P/A; 16%; 3) 90,671.42)16,01(16,0

)0,16(119000 rec VP

3

3

Série uniforme (A) para 4 anos:

A = 42671,90(A/P; 16%; 4) = 15.249,87

87,249.15116,01

16,0116,090,42671

4

4

A

VAUEA = -35000(A/P; 16%; 4) + 15249,87

75,741.287,15249116,01

16,0116,035000

4

4

AVAUE

Como VAUEB = 3.203,37 a melhor opção agora é a alternativa B.

5.2.2 Custo anual uniforme equivalente

O método do Custo Anual Uniforme Equivalente (CAUE) é uma variante do método do

Valor Anual Uniforme Equivalente (VAUE).

Este método é utilizado quando faz-se análise de investimentos onde preponderam as

saídas de caixa, tendo-se, no final, um valor que representa um custo anual ao invés de uma

receita anual. Por isso, no CAUE inverte-se a convenção de sinais: as saídas (desembolsos)

tem sinal positivo e as entradas (recebimentos) tem sinal negativo. No mais, ele é idêntico

ao VAUE.

Entre outras aplicações, o CAUE é usado para determinar a vida econômica de um bem.

A vida econômica de um bem é o horizonte de tempo no qual este bem apresenta o menor

custo total. O custo total considera o custo de capital (custo de aquisição) e os custos de

operação (que inclui a manutenção) (Figura 20).

Figura 20: Vida econômica de um bem

Custo de

Capital

Custo de

Operação

Custo

Total

Vida Útil Vida Econômica

CAUE


[email protected]

Exemplo 49: Calcule a vida econômica de um veículo pelo método do CAUE. O preço do

veículo novo é R$ 60.000 e a TMA do comprador é 14% a.a O valor de revenda e os custos

de operação, ano a ano, são mostrados abaixo.

Ano 1 2 3 4

Valor Revenda 54.000 49.000 45.000 41.000

Custo Operacional 10.000 11.000 12.500 15.000

Solução:

1 ano:

2 anos:

3 anos:

4 anos:

CAUE1 = 60000.(F/P; 14%; 1) – 54000 + 10.000 = 24.400

Ou CAUE1 = [60000 - 54000.(P/F; 14%; 1) + +10000.(P/F; 14%; 1)].(A/P; 14%; 1)

= 24.400

CAUE2 = [60000 + 10000.(P/F; 14%; 1) + 11000.(P/F; 14%; 2) –

49000.(P/F; 14%; 2)].(A/P; 14%; 2) = 24.007

CAUE3 = [60000 + 10000.(P/F; 14%; 1) + 11000.(P/F; 14%; 2) –

32500.(P/F; 14%; 3)].(A/P; 14%; 3) = 23.819

CAUE4 = [60000 + 10000.(P/F; 14%; 1) + 11000.(P/F; 14%; 2) +

12500.(P/F; 14%; 3) - 26000.(P/F; 14%; 4)].(A/P; 14%; 4) = 24.120

Resumindo:

Ano 1 2 3 4

CAUE 24.400 24.007 23.819 24.120

60.000

49.000

0

10.000

1 2

11.000

45.000

0

60.000

10.000

1 2

11.000

3

12.500

41.000

0

60.000

10.000

1 2

11.000

3

12.500

15.000

4

54.000

0

60.000

10.000

1


[email protected]

A vida econômica do veículo é de 3 anos, pois para este tempo ele apresenta o menor custo

anual uniforme equivalente.

5.3 TAXA INTERNA DE RETORNO

A Taxa Interna de Retorno (TIR) é a taxa que iguala os recebimentos futuros aos

investimentos feitos no projeto, ou seja, é a taxa de desconto para a qual tem-se VPL = 0.

É determinada por tentativas, testando-se diversas taxas de desconto. Se para uma tentativa

tiver-se VPL>0, deve-se aumentar a taxa; se VPL<0, deve-se diminuí-la. A taxa final pode

ser obtida por interpolação linear entre uma taxa que fornece VPL>0 e outra taxa que

fornece VPL<0. Na realidade, o decréscimo do VPL quando se aumenta a taxa de desconto

não acontece de forma linear, por isso, quanto mais próximas forem estas duas taxas,

melhor será a interpolação.

Como t

n

t i

FtVPL

10

(93)

então, a TIR é a taxa i para a qual

010

t

n

t i

Ft (94)

Um projeto é considerado viável se TIR TMA.



C10 = TIR(C8:I8)

Exemplo 50: Determine a taxa interna de retorno (TIR) da empresa caracterizada abaixo.

A TMA do investidor é de 12% a.a.

Período 0 1 2 3 4 5 6


Lucro Anual 56.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00


Fluxo de Caixa -200.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00 76.000,00


[email protected]

Solução:

VPL = P + A . (P/A; i; n) + F . (P/F; i; n) = 0

-200000 + 56000 . (P/A; i; 6) + 20000 . (P/F; i; 6) = 0

0)1()1.(

1)1(.VPL

nn

n

i

F

ii

iAP

0)1(

20000

)1.(

1)1(.56000200000

66

6

iii

i

para i = 15% VPL = 20.577,58

para i = 20% VPL = -7.073,47

para i = 19% VPL = -589,37

para i = 18% VPL = 936,18

Portanto, a TIR está entre 18% a.a. e 19% a.a. O valor pode ser obtido por interpolação

linear:

x % a.a. 936,18

1% a.a. (19% - 18%) 1525,55 (=936,18 + 589,37)

55,1525

18,936

1

x

x = 0,61 % a.a.

Então: TIR = 18 + 0,61 = 18,61 % a.a. Teste: para i = 18, 61% VPL = 24,27 0

56.000

1 0

200.000

6

20.000

936,18

-589,37 x

18%

19%


[email protected]

5.3.1 Casos especiais

A equação

010

t

n

t i

Ft

(95)

pode não apresentar nenhuma solução no domínio dos números reais. Neste caso, sua

solução será um número imaginário.

Esta equação também pode ter mais de uma solução, pois segundo a regra de sinais de

Descartes, podem existir tantas raízes quantas forem o número de variações de sinais na

equação. Neste caso, utiliza-se o artifício apresentado no exemplo abaixo.

Exemplo 51: Verifique a viabilidade do investimento abaixo, para um investidor que tem

uma TMA de 20% a.a. (Fleischer, 1973).

Há duas soluções possíveis: TIR = 25% a.a. e TIR = 400% a.a. O problema pode ser

resolvido capitalizando-se o adiantamento recebido no período 0 até o período 1, pela

TMA do investidor. Tem-se então:

F1 = 1600.(1,2) - 10000 = 1920 – 10000 = -8080

e a equação para o cálculo da TIR passa a ser:

-8.080 + 10.000 (1 + TIR)-1

= 0

que tem como solução TIR = 23,8 % a.a.

5.3.2 Análise incremental

O critério para análise de viabilidade de um projeto é a comparação da TIR com a TMA do

investidor. Sempre que a TIR for maior do que a TMA, o projeto é viável. Mas, se um

projeto A apresentar uma TIR maior do que um projeto B (TIRA TIRB), não significa

necessariamente que o projeto A é melhor do que o projeto B. Na comparação entre

diversas alternativas deve-se fazer uma análise incremental.

A análise incremental consiste em determinar a TIR do fluxo de caixa do projeto

incremental, obtido pela diferença entre o projeto que exige o maior investimento e o

projeto que necessita de menos recursos. O projeto que exige mais recursos será melhor do

que o outro somente se a TIR do projeto incremental for maior do que a TMA do

investidor.

1.600

10.000

10.000

0

1

2


[email protected]

Na comparação entre diversos investimentos, deve-se ordená-los em ordem crescente,

considerando o investimento inicial necessário. Depois, comparam-se os projetos entre si,

dois a dois, fazendo-se a análise incremental. Assim, a TIR do investimento incremental

vai mostrar o rendimento do investimento adicional, que é feito no projeto maior. Se este

rendimento for maior do que a TMA, vale a pena o esforço de investir no projeto que exige

maior desembolso, devendo-se então escolher o projeto maior.

Exemplo 52: Usando o método da TIR, determine qual o melhor dos dois investimentos

abaixo. A TMA do investidor é de 15% a.a.

Solução:

-20000 + 6500(P/A; i; 7) = 0

0

1

11650020000

7

7

ii

i

TIRA = 26,1% a.a. TMA viável

VPL(TMA=6%)A = 7.042,73

-30000 + 9200(P/A; i; 7)

0

1

11920030000

7

7

ii

i

TIRB = 23,8% a.a. TMA viável

VPL(TMA=6%)B = 8.275,86

A TIR do investimento A é maior do que a TIR do investimento B, porém o VPL do

investimento A é menor do que o VPL do investimento B. Como o método do Valor

Presente Líquido e o método da Taxa Interna de Retorno são equivalentes, devem conduzir

ao mesmo resultado, ou seja, os dois métodos devem apontar o mesmo investimento como

sendo o melhor dos dois.

A aparente contradição entre os VPLs e TIRs calculados pode ser resolvida pela análise

incremental. Nesta análise é determinada a TIR de um investimento fictício, obtido

tomando-se o fluxo de caixa do investimento maior e diminuindo-se dele o fluxo de caixa

do investimento menor.

Então:

6.500

1 0

20.000

7

Investimento A 9.200

1 0

30.000

7

Investimento B


[email protected]

-10.000 + 2700(P/A; i; 10) = 0

01

11270010000

7

7

ii

i

TIR(B – A) = 19,0% a.a. TMA viável

Se a empresa optasse por investir em A, teria que aplicar o saldo num projeto que rendesse

19% a.a. para equivaler ao projeto B. Como a alternativa que a empresa tem é investir na

TMA (15% a.a.), sua melhor opção é investir em B. Investir em B, neste caso, traz um

retorno equivalente a investir em A e no projeto incremental (A-B).

5.3.3 Interseção de Fisher

A TIR do investimento incremental identifica a taxa para a qual o VPL deste investimento

é nulo.

Como Invest(INCREMENTAL) = InvestMAIOR - InvestMENOR

então VPL(INCREMENTAL) = VPLMAIOR - VPLMENOR

ou VPLMAIOR = VPL(INCREMENTAL) + VPLMENOR

quando VPL(INCREMENTAL) = 0

tem-se que VPLMAIOR = VPLMENOR

Num gráfico VPL x TMA, o ponto no qual as curvas de dois investimentos se cruzam, é

denominado de interseção de Fischer (Figura 21). Este ponto identifica a taxa para a qual

os VPLs dos dois investimentos são iguais. Assim, a interseção de Fischer é dada pela taxa

para a qual o VPL do investimento incremental é nulo, ou seja, pela TIR do investimento

incremental.

2.700

1 0

10.000

7

Investimento Incremental (B-A)


[email protected]

Figura 21: Interseção de Fischer

No Exemplo 52 a interseção de Fischer é dada pela taxa de 19% a.a. Para investidores que

tenham uma TMA menor do que esta taxa, o investimento B é melhor; para investidores

que tenham uma TMA maior do que 19%, A é a melhor opção de investimento, conforme

mostrado na Figura 21.

5.3.4 Projetos com vidas diferentes

Na aplicação do método da Taxa Interna de Retorno, quando se compara dois projetos que

tenham vidas diferentes, o procedimento a adotar é o mesmo que para o método do Valor

Presente:

a) Projetos com repetição: utiliza-se como horizonte de planejamento o mínimo

múltiplo comum das vidas dos dois projetos.

b) Projetos sem repetição: calculam-se diretamente as TIRs de cada investimento.

c) Nos dois casos, para selecionar o melhor projeto, deve-se fazer a análise

incremental.

5.4 ANÁLISE BENEFÍCIO/CUSTO

Neste método, calcula-se um índice expresso pela relação entre o VPL dos benefícios

(receitas e/ou economias de custo) e o VPL dos investimentos para execução do projeto.

Então:

tt

n

t

t

tn

t

i

toinvestimen

i

benefício

IBC

1

1

0

0

(96)

Interseção de Fisher

B

A

taxas

VPL

15 19 24 26

VPLA = VPLB

Escolher A

(menor invest)

Escolher B

(maior invest)


[email protected]

O IBC também pode ser calculado tomando-se uma base anual. Neste caso, será a relação

entre os benefícios anuais e o valor dos investimentos anualizados, de acordo com a

Equação 96.

anualtoinvestimen

anualbenefícioIBC

(97)

Se IBC 1 então o investimento é viável.

Exemplo 53: Determine o índice benefício/custo (IBC) da empresa caracterizada abaixo. A

TMA do investidor é de 12% a.a.

Período 0 1 2 3 4 5 6


Lucro Anual 56.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00


Fluxo de Caixa -200.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00 76.000,00

Solução:

P

i

F

ii

iA

i

toinvestimen

i

benefício

IBCnn

n

tt

n

t

tt

n

t )1()1.(

1)1(.

1

1

0

0

200000

)12,01(

20000

)12,01.(12,0

1)12,01(.56000

66

6

IBC

00,000.200

43,371.240

00,000.200

62,132.1081,238.230

IBC

IBC = 1,202

56.000

1 0

200.000

6

20.000


[email protected]

Ou:

1)1(

)1.(

1)1(

n

n

n

i

iiP

i

iFA

anualtoinvestimen

anualbenefícioIBC

1)12,01(

)12,01(12,0.200000

1)12,01(

12,0.2000056000

6

6

6

IBC

14,645.48

61,464.58

14,645.48

51,464.200,000.56

IBC

IBC = 1,202

Se IBC 1 então o investimento é viável. Na comparação entre dois investimentos, para

decidir qual é o melhor, também deve-de fazer uma análise incremental, a exemplo do que

foi feito para a TIR.

Exemplo 54: Utilizando-se os dados do Exemplo 52, calcule o IBC de cada um dos

investimentos A e B, indicando qual o melhor dos deles.

Solução:

35,1

000.20

7%;15 ;/6500

APIBCA

28,1

000.30

7 %;15 ;/9200

APIBCB

IBCA = 1,35 1 viável IBCB = 1,28 1 viável

Análise incremental:

12,115,0115,0

115,01

10000

2700

000.10

7 %;15 ;/27007

7

APIBC AB

IBC(B – A) = 1,12 1 viável. Este índice indica que o investimento adicional feito em B

(em relação a A), traz benefícios maiores do que os custos adicionais.

Logo, a melhor opção é o investimento B.

5.5. TEMPO DE RECUPERAÇÃO DO CAPITAL (PAYBACK)

O Tempo de Recuperação do Capital (TRC), também chamado de Período de Recuperação

do Investimento (PRI) e payback (PB), mede o tempo necessário para recuperar o capital

investido. O Payback é um método não exato de análise de investimento, mas é muito

usado por permitir uma avaliação do risco através do tempo necessário para recuperar o

capital investido.



[email protected]


C4 = C2/C3

Exemplo 55: Determine o tempo de recuperação do capital (TRC) ou pay-back (PB) da

empresa caracterizada abaixo.

Período 0 1 2 3 4 5 6


Lucro Anual 56.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00


Fluxo de Caixa -200.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00 76.000,00

Solução: Recuperação do capital (RC):

No período 3: RC = 3 x 56.000,00 = 168.000,00 < 200.000,00

No período 4: RC = 4 x 56.000,00 = 224.000,00 > 200.000,00

Então, o payback é de 4 anos.

Contudo, no Exemplo 54 não foi considerado o valor do dinheiro no tempo, o que está

incorreto. Para contornar esta deficiência, foi criado o TEMPO DE RECUREPAÇÃO DO

CAPITAL DESCONTADO (TRCD) ou PAY-BACK DESCONTADO (PBD), que leva em

conta a TMA do investidor.

Exemplo 56: Determine o tempo de recuperação do capital descontado (TRCD) ou

payback descontado (PBD) da empresa caracterizada abaixo. A TMA do investidor é de

12% a.a.

Período 0 1 2 3 4 5 6


56.000

1 0

200.000

6

20.000


[email protected]

Lucro Anual 56.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00


Fluxo de Caixa -200.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00 56.000,00 76.000,00

Solução:

00,000.20000,000.50)12,01(

560001

PBD

00,000.20086,642.9486,642.4400,000.50)12,01(

56000212

PBDPBD

00,000.20055,502.13469,859.3986,642.94)12,01(

56000323

PBDPBD

00,000.20056,091.17001,589.3555,502.134)12,01(

56000434

PBDPBD

00,000.20046,867.20190,775.3156,091.170)12,01(

56000545

PBDPBD

Então, o payback descontado é de 5 anos.

O tempo de recuperação do capital ou payback não é um método adequado para selecionar

alternativas de investimento. O mesmo pode ser dito do tempo de recuperação do capital

descontado ou payback descontado, como mostra o Exemplo 6.8.

Exemplo 57: Dados os investimentos abaixo, qual o melhor, segundo o critério do

Payback, assumindo uma TMA = 1% a.m.?

56.000

1 0

200.000

6

20.000


[email protected]

Solução:

PBA = 3 PBB = 3

PBDA = 4 PBDB = 4

O investimento A é melhor que o investimento B, devido ao valor das prestações iniciais.

Contudo, o método do payback, mesmo o descontado, não identifica isto.

Além disso, este método não considera o que acontece com o fluxo de caixa após o período

de recuperação do capital, o que também é incorreto. Por estas razões, o payback é

considerado um método não exato de resolução de problemas de investimento, não

servindo, geralmente, como parâmetro para escolher a melhor opção de investimento, entre

diversas possíveis.

Contudo, este método é usado nas análises de viabilidade de investimentos, por fornecer

uma medida do risco associado ao projeto, mostrando claramente ao investidor quanto

tempo levará para ele recuperar o dinheiro investido.

Mas pode servir como critério de desempate para projetos que tem retornos semelhantes:

nestes casos, um payback curto é sempre preferível à um payback longo. Também é usado,

por vezes, como critério de exclusão de projetos (por exemplo: não aceitar projetos que

tenham um payback descontado maior do que X anos).

5.6. MÉTODOS MODIFICADOS

Nos métodos VPL, VAUE e TIR aqui estudados, considerou-se que os valores

desembolsados e recebidos são influenciados pela mesma taxa: a TMA no caso dos

métodos do Valor Presente Líquido e do Valor Anual Uniforme Equivalente e a TIR no

caso do método da Taxa Interna de Retorno.

De maneira mais genérica, pode-se considerar que os recebimentos e os desembolsos

tenham influência de taxas diferentes: uma taxa de reaplicação para os recebimentos e uma

taxa de custo para os desembolsos. Nesta situação, os métodos recebem a denominação de

métodos modificados, sendo designados de VPLM, VAUEM e TIRM.

Para aplicação dos métodos modificados segue-se o seguinte procedimento:

1. As parcelas positivas devem ser capitalizadas para o último período do fluxo de

caixa usando-se a taxa de reaplicação.

2. As parcelas negativas são descontadas para a data inicial do fluxo de caixa usando-

se a taxa de custo.

600

2 1 0

1500

500 400

1000

3 4

Investimento A

2 1

0

1500

1000

3 4

Investimento B

500 500 500


[email protected]

1. Determinar o VPL, o VAUE e a TIR para este novo fluxo de caixa.

Exemplo 58: Determine o VPLM, o VAUEM e a TIRM para um projeto no qual deve-se

investir inicialmente R$ 120.000,00, mais R$ 140.000,00 e R$ 95.000,00 nos dois períodos

seguintes. A partir do Ano 3 este projeto renderá R$ 130.000,00 durante 5 anos. Considere

uma taxa de custo igual a 12% a.a. e uma taxa de reaplicação de 10% a.a. A TMA é de

12% a.a.

Solução.

P = -120000 – 140000 * (P/F, 12%,1) – 95000.(P/F,12%,2)

42,733.320)12,01(

000.95

)12,01(

000.140000.120

21

P

F = 130000 * (F/A, 10%, 5)

00,663.79310,0

1)10,01(000.130

5

F

Então:

0 0

n n

1 2

3 4

P F1

F2

F3 F4

Fn Fn´

P´

0

7

1 2

3 4

120 140

95

130


[email protected]

VPLM = -320733,42 + 793663,00.(P/F, 12%, 7)

42,279.38)12,01(

00,663.79342,733.320

7

VPLM

VAUEM = -320733,42 * (A/P, 12%, 7) + 793633,00 * (A/F, 12%, 7)

70,387.81)12,01(

12,000,663.793

1)12,01(

)12,01.(12,042,733.320

77

7

VAUEM

.. %8,1300,0)1(

00,663.79342,733.320

7aa

iTIRM

Os métodos não modificados tem como solução:

VPL = 52.848,30

VAUE = 11.580,00

TIR = 16,5% a.a.

5.7 ESTUDO DE CASO

Abaixo são apresentados dados relativos a um investimento num prédio residencial e a um

investimento num prédio comercial. Determine, usando os métodos de análise de

investimento estudados, qual deles á a melhor opção para um incorporador.

Projeto A: Prédio Residencial

Unidades: 24

Área Apto: 160

Área Equivalente Total: 3264

Área Construída Total: 3840

Custo Unit. de Construção: 1,15 CUBs

Custo Total de Construção: 3753,6 CUBs (1/6 + 2/6 + 2/6 + 1/6)

Custo do terreno: 800 CUBs

Preço Unit.de Venda: 1,8 CUBs

Preço do Apto: 288 CUBs

Receita Total de Vendas: 6912 CUBs

Vendas: 3 aptos por semestre

TMA: 10% a. s.

320.733,42

793.663,00

0

7


[email protected]

Projeto B: Prédio Comercial

Unidades: 40

Área Sala: 82

Área Equivalente Total: 2624

Área Construída Total: 3280

Custo Unit. de Construção: 1,05 CUBs

Custo Total de Construção: 2755,2 CUBs (1/6 + 2/6 + 2/6 + 1/6)

Custo do terreno: 800 CUBs

Preço Unit.de Venda: 1,7 CUBs

Preço da Sala: 139,4 CUBs

Receita Total de Vendas: 5576 CUBs

Vendas: 5 salas por semestre

TMA: 10% a. s.

Solução:

Análise de Investimentos Imobiliários 6.83

Projeto A - Período: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Total

Investimentos: 1425,6 1251,2 1251,2 625,6 4553,6

Receitas: 864 864 864 864 864 864 864 864 6912

Fluxo Líquido: -1425,6 -387,2 -387,2 238,4 864 864 864 864 864 2358,4

Valor Presente Líquido: 542,25

Valor Uniforme Equivalente 101,64

TIR: 15,1%

VPL Receitas: 4.609,38

VPL Custos: 4.067,13

IBC: 1,13

Projeto B - Período: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Total

Investimentos: 1259,2 918,4 918,4 459,2 3555,2

Receitas: 697 697 697 697 697 697 697 697 5576

Fluxo Líquido: -1259,2 -221,4 -221,4 237,8 697 697 697 697 697 2020,8



TIR: 16,0%

VPL Receitas: 3.718,44

VPL Custos: 3.198,12

IBC: 1,16

Fluxo Incremental: Residencial x Comercial

Período: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Total

Investimentos: 166,4 332,8 332,8 166,4 0 0 0 0 0 998,4

Receitas: 0 167 167 167 167 167 167 167 167 1336

Fluxo Líquido: -166,4 -165,8 -165,8 0,6 167 167 167 167 167 337,6

Análise de Investimentos Imobiliários 6.84



TIR: 11,1%

VPL Receitas: 890,93

VPL Custos: 869,01

IBC: 1,03

Logo, o Projeto A (Prédio Residencial) é a melhor opção de investimento. Observe que todos os métodos aplicados apontaram este projeto como

sendo o melhor.

Interseção de Fischer:

Valor Presente Líquido

TMA Residencial Comercial

2% 1.884,82 1.630,82

4% 1.475,45 1.293,11

6% 1.120,46 999,69

8% 811,65 743,93

10% 542,25 520,32

12% 306,56 324,25

14% 99,81 151,85

16% (82,00) (0,15)

18% (242,27) (134,51)

20% (383,89) (253,55)

11,071% 412,17 412,16

-500

0

500

1.000

1.500

2.000

2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% 18% 20%

CU

B

TMA

Interseção de Fischer

Residencial Comercial

6. BIBLIOGRAFIA

CASAROTTO F°, N.; KOPITKE, B. H. Análise de investimentos. 10. ed. São Paulo:

Atlas, 2007.

CHERRY, Richard T. Introdução à administração financeira. São Paulo : Atlas, 1977.

CLEMENTE, Ademir et. al. Projetos empresariais e públicos. São Paulo : Atlas, 1998.

Ehrlich, P. J.; MORAES, E. A. de. Engenharia Econômica: Avaliação e seleção de projetos

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FARO, Clovis de. Elementos de engenharia econômica. São Paulo: Atalas, 1979.

FLEISCHER, Gerald A. Teoria da aplicação do capital: um estudo das decisões de

investimento. São Paulo: Edgard Blücher, 1977.

GARCIA, Manuel Enriquez; VASCONCELLOS, Marco Antonio Sandoval de.

Fundamentos de economia. São Paulo: Saraiva, 2002.

GRANT, Eugene L.; IRESON, W. Grant; LEAVENWORTH, Richard. Principles of

engineering economy. New York: John Wiley & Sons, 1982.

HESS, Geraldo; MARQUES, José Luiz; PAES,Luis Carlos Rocha, PUCCINI, Abelardo.

Engenharia Econômica. São Paulo: Difel, 1984.

HIRSCHFELD, Henrique. Engenharia econômica e análise de custos. Sãao Paulo: Atals,

1989.

HOCHHEIM, Norberto. Análise de investimentos sob condições de risco e inflação.

Florianópolis, UFSC (Dissertação de Mestrado), 1986.

HOLANDA, Nilson. Planejamento e projetos. Rio de Janeiro: APEC, 1975.

JUNGLES, Antônio Edésio e ÁVILA, Antônio Victorino. Gerenciamento na construção

civil. Cahpecó : Argos, 2006.

LIMA Jr., João da Rocha. O preço das obras empreitadas : análise e modelo para sua

formação. Boletim Técnico 25/90. São paulo : EPUSP, 1990.

MOREIRA, Alberto Lélio. Princípios de engenharia de avaliações. São Paulo: Pini, 1994.

OLIVEIRA, José Alberto Nascimento de. Engenharia econômica: uma abordagem às

decisões de investimento. São Paulo: McGraw-Hill, 1982.

POMERANZ, Lenina. Elaboração e análise de projetos. São Paulo: Hucitec, 1988.

WOILER, Sansão e MATHIAS, Washington Franco. Projetos: Planejamento, elaboração e

análise. São Paulo: Atlas, 1996.

Engenharia Econômica p. 86

7. CALENDÁRIO

08/08/2011 Introdução à disciplina

15/08/2011 Introducao e conceitos básicos (aula 1)

22/08/2011 Relações de equivalência, Excercícios (aula 2)

29/08/2011 Taxas de juros, Excercícios (aula 3)

05/09/2011 Financiamento, Excercícios (aula 4)

12/09/2011 Financiamento, Excercícios (aula 5)

19/09/2011 Dia não-letivo

26/09/2011 Prova 1

03/10/2011 Excercícios / Congresso ENEGEP

10/10/2011 Valor Presente Líquido, Excercícios (aula 6)

17/10/2011 JAI

24/10/2011 Valor (ou Custo) Anual Uniforme Equivalente, Excercícios (aula 7)

31/10/2011 Taxa Interna de Retorno Excercícios (aula 8)

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Modificados, Excercícios (aula 9)

14/11/2011 Dia não-letivo

21/11/2011 Estudo de Caso, Excercícios (aula 10)

28/11/2011 Excercícios

05/12/2011 Prova 2

12/12/2011 Exame

apostila engenharia economica

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