apostila elementos de matemática aplicada

Elementos de Matemtica Aplicada

Wagner Queiroz Barros

Engenheiro de Petrleo

2013

1

Esse documento foi compilado pelo Engenheiro de Petrleo Wagner Queiroz

Barros a partir de notas de aula do Professor Viatcheslav Ivanovich Priimenko,

da Universidade Estadual do Norte Fluminense - Dacy Ribeiro, Laboratrio de

Engenharia e Explorao de Petrleo LENEP.

Quaisquer dvidas ou sugestes favor enviar um e-mail para:

[email protected].

2

Sumrio

1 Conceitos Bsicos de EDPs ........................................................................ 4

1.1 Definio de EDP .................................................................................. 4

1.2 Classificao de EDPs .......................................................................... 4

1.3 Soluo clssica de EDPs .................................................................... 7

2 A Equao da Onda ................................................................................... 10

2.1 Introduo ao estudo das ondas .......................................................... 10

2.2 Vibrao em uma corda, deduo da equao da onda ...................... 10

2.3 Soluo da equao da onda (Soluo de DAlembert) ...................... 14

3 Leis de Conservao Equaes de 1 Ordem no lineares ..................... 21

3.1 Derivao das leis de conservao ..................................................... 21

3.2 Soluo de equaes conservativas Mtodo das Caractersticas ...... 24

4 Catstrofe de Gradiente ............................................................................. 32

4.1 Catstrofe de gradiente ....................................................................... 32

4.2 Solues do tipo ondas de choque ...................................................... 40

5 Ondas de Rarefao .................................................................................. 52

5.1 reas de rarefao .............................................................................. 52

5.2 Soluo geral de equaes homogneas com reas de rarefao ..... 57

6 Condio de Entropia ................................................................................. 62

6.1 No unicidade de solues suaves por partes .................................... 62

6.2 Condio de entropia ........................................................................... 63

7 Propagao de Ondas em Meios Infinitos .................................................. 71

7.1 Equao de DAlembert ....................................................................... 71

7.2 Curvas caractersticas da equao da onda ........................................ 74

7.3 Soluo da equao da onda baseado nas curvas caractersticas ..... 76

7.4 Conservao de energia na equao da onda .................................... 83

8 Propagao de Ondas em Meios Semi-Infinitos ........................................ 85

8.1 Meios semi-infinitos, condio de Dirichlet .......................................... 85

8.2 Meios semi-infinitos, condio de Neumann ........................................ 89

3

8.3 Soluo da equao da onda baseado nas curvas caractersticas para

um meio semi-infinito .................................................................................... 94

9 Propagao de Ondas em Meios Finitos.................................................... 99

9.1 Meio finito com limites fixos: ................................................................ 99

9.2 Meio finito com termo fonte Funo de Green: ............................... 109

9.3 Meio finito com limites variveis: ....................................................... 116

10 Problemas de Propagao de Ondas em Meios Finitos ........................ 120

10.1 Problema do martelo chato batendo em uma corda: ....................... 120

10.2 Problema do martelo pontiagudo batendo em uma corda: .............. 122

10.3 Problema da corda ressonante: ....................................................... 124

10.4 Problema da corda com extremidades livre: .................................... 129

11 Equao de Conservao de Calor ........................................................ 135

11.1 Conduo de calor em uma barra de comprimento finito: ............... 135

11.2 Soluo da equao do calor sem termo fonte: ............................... 137

11.3 Soluo da equao de calor considerando o termo fonte: ............. 139

11.4 Soluo final da equao de calor: .................................................. 142

Referncias Bibliogrficas .............................................................................. 146

Apndice 1: Derivadas parciais e regra da cadeia para funes dependentes de

vrias variveis ............................................................................................... 147

A1.1 Derivadas parciais ........................................................................... 147

A1.2 Regra da cadeia para funes de vrias variveis .......................... 148

Apndice 2: Soluo alternativa da equao da onda ................................... 152

Apndice 3: Ortogonalidade de Funes ....................................................... 154

A3.1 Ortogonalidade de funes do tipo seno: ........................................ 154

A3.2 Ortogonalidade de funes do tipo cosseno: .................................. 156

4

1 Conceitos Bsicos de EDPs

1.1 Definio de EDP

Uma equao diferencial parcial uma equao que contm derivadas

parciais, sendo as funes desconhecidas dependentes de mais de uma

varivel. Por exemplo, a temperatura em uma placa que depende da posio e

do tempo.

Para efeitos de simplificao, a seguinte notao utilizada:

t

uut

x

uux

yx

uuxy

2

...

Pode-se definir uma EDP utilizando a seguinte notao clssica:

Considerando-se a seguinte funo:

),( yxuu , 2),( RDyx (x,y) pertencentes ao domnio D, contido no R

ento, uma funo do tipo:

0,...),,,,,,,( yyxyxxyx uuuuuuyxF , Dyx ),( (Eq. 1.1)

chamada Equao Diferencial Parcial (EDP). Segue alguns exemplos de

EDPs famosas:

1. tyxyyxxyxtt FuuCu ,,),( )( Equao da onda

2. txxt Fuu , Equao de Burgers

1.2 Classificao de EDPs

Existem seis classificaes bsicas de EDPs:

i. Quanto ordem da EDP:

A ordem da EDP a ordem da derivada parcial mais alta presente na equao.

Exemplos:

xxt uu (2 Ordem)

xt uu (1 Ordem)

senxuuu xxxt . (3 Ordem)

5

ii. Quanto ao nmero de variveis:

Essa classificao leva em conta o nmero de variveis independentes na

equao.

Exemplos:

xxt uu (Dependente de 2 variveis, (x,t))

ur

ur

uu rrrt 211

(Dependente de 3 variveis, (r,t,))

iii. Quanto linearidade:

As equaes diferenciais parciais podem ser classificadas em lineares e no-

lineares. Existem duas formas de se definir se uma EDP linear:

1 Forma: Uma EDP dita linear se a varivel dependente e todas suas

derivadas parciais puderem ser escritas em uma forma linear do tipo:

GFuEuDuCuBuAu yxyyxyxx (Eq. 1.2)

onde A, B, C, D, E, F, e G podem ser constantes ou funes das variveis

independentes (x,y).

Exemplos:

)(. tsenueu xxt

tt

(linear)

0. txx uuu (no linear)

0. yyxx uyu (linear)

2 Forma: A equao diferencial parcial chamada de linear, se ela linear

com respeito da funo u e todas as suas derivadas. Assim as solues da

EDP podem ser obtidas a partir de uma combinao linear de outras solues.

Exemplo 1.1:

0)( xxxtt ucu (linear)

Demonstrao:

2211 uuu Uma soluo a partir de uma combinao linear de outras 2

6

02211)(2211 xxxtt uuCuu

02)(221)(11 xxxttxxxtt ucuucu

Exemplo 1.2:

0. xt uuu (no linear)

Demonstrao:

2211 uuu Uma soluo a partir de uma combinao linear de outras 2

0. 221122112211 xt uuuuuu

Desenvolvendo e agrupando:

0.. 1221212122222211

2111 xxxtxt uuuuuuuuuu

O aparecimento de termos cruzados torna impossvel a escrita da soluo

linear como combinao linear de outras duas, assim a equao no linear.

iv. Quanto homogeneidade:

Uma EDP dita homognea quando o termo independente yxG , da Equao

1.2 for igual zero para todo ),( yx . Quando o termo yxG , for diferente de

zero, a EDP dita no homognea.

v. Quanto aos tipos de coeficientes:

Se o coeficientes A, B, C, D, E e F da Equao 1.2 forem constantes, a EDP

dita como tendo coeficientes constantes. Caso contrrio ela dita como tendo

coeficientes variveis.

vi. Trs tipos bsicos de equaes lineares:

Todas as EDPs do tipo da Equao 1.2 podem ser classificadas em

basicamente 3 tipos:

a) Parablicas: Descrevem problemas de trocas de calor e problemas de

difuso, e satisfazem a seguinte propriedade 042 ACB . b) Hiperblicas: Descrevem problemas de ondas e vibraes, e satisfazem

a seguinte propriedade 042 ACB .

7

c) Elpticas: Descrevem problemas estacionrios, e satisfazem a seguinte

propriedade 042 ACB .

Exemplos:

xxt uu (A=1, B=C=0, 042 ACB ) Parablica

xxtt uu (A=1, B=0, C=-1, 442 ACB ) Hiperblica

0 xxyy uu (A=1, B=0, C=1, 442 ACB ) Elptica

1.3 Soluo clssica de EDPs

Considere uma equao diferencial parcial de ordem m:

0,...,,,,, uDuuuyxF myx , (Eq. 1.3)

2),( Ryx Para todos os pontos pertencentes a um espao mega,

contido no plano cartesiano.

Onde, define-se o operador derivada parcial:

21

)21(

mm

mmm

yx

uuD

, 21 mmm

Uma funo ),( yxu dita soluo clssica (ou soluo suave) da Equao 1.3

se:

i. )(),( mCyxu Funo ),( yxu possuir derivadas de ordem m

contnuas no subespao mega

ii. 0,...,,,,, uDuuuyxF myx , ),( yx

Exemplo 1.3:

Considere a seguinte equao da Adveco:

nteconstac

cuu xt

.

0 (Eq. 1.4)

8

Provar que a funo ),( ctxfu )(1 RCf soluo da equao da

Adveco.

Demonstrao:

Calcular as derivadas parciais da funo u:

)(' ctxfux

ux

)).((' cctxfut

ut

Substituindo na Equao 1.4:

0 xt Cuu

0))('.()('. ctxfcctxfc

Assim, como a igualdade permanece verdadeira, a funo )( ctxfu

considerada soluo clssica (ou suave) da Equao 1.4. Essa soluo ser

demonstrada com detalhes no Tpico 3.2.

As solues do tipo )( ctxfu so chamadas de soluo do tipo onda

viajante para a direita, pois para valores crescentes de ),( tx o perfil da soluo

deslocado para a direita, como pode ser visto na Figura 1.1.

Figura 1.1: Soluo do tipo onda viajante para a direita

9

Exemplo 1.4:

Considere a seguinte equao da onda:

constantec

ucu xxtt 02

(Eq. 1.5)

Provar que a soluo da Equao 1.5 uma combinao linear das solues

tipo ondas viajante para esquerda e ondas viajante para direita, ou seja, uma

combinao linear de:

)( ctxf Onda viajante para direita

)( ctxg Onda viajante para esquerda

Demonstrao:

Escrevendo a funo ),( txu como combinao linear das funes ),( txf e

),( txg :

)()(),( 21 ctxgCctxfCtxu

Calculando as derivadas parciais:

)(')(' 21 ctxgCctxfCux

)('')('' 21 ctxgCctxfCuxx

))(('))((' 21 cctxgCcctxfCut

22

21 ))((''))(('' cctxgCcctxfCutt

Substituindo as derivadas de segunda ordem na Equao 1.5:

02 xxtt ucu

0)('')('')('')('' 212

22

12 ctxgCctxfCcctxgCcctxfCc

Como a igualdade permaneceu verdadeira, podemos concluir que a

combinao linear das funes ),( txf e ),( txg soluo clssica da

Equao 1.5.

10

2 A Equao da Onda

2.1 Introduo ao estudo das ondas

A noo de onda algo familiar para as pessoas de uma forma ou de outra,

uma noo intuitiva de onda uma perturbao que se propaga por um meio.

Uma descrio fsica de uma onda um transporte de energia de um ponto ao

outro sem que haja transporte de matria. Segundo Whitham (1976) uma onda

um sinal reconhecvel que transferido de uma parte de um meio para outra

parte com uma velocidade de propagao reconhecida. A Figura 2.1 mostra o

exemplo de pedras batendo em um lago gerando ondas na superfcie.

Figura 2.1: Ondas na superfcie de um lago geradas por pequenos impactos.

2.2 Vibrao em uma corda, deduo da equao da onda

A equao da onda (Equao 2.1) uma equao diferencial parcial que

descreve o fenmeno ondulatrio em vrios ramos da fsica.

xxtt ucu2 (Eq. 2.1)

Nesse tpico ser demonstrada a Equao 2.1 que modela pequenas

vibraes em uma corda totalmente esticada.

Considere uma corda totalmente esticada, homognea, que possui peso,

porm no afetada pela gravidade (vibrao em uma mesa horizontal, por

exemplo), localizada no eixo x, como mostrada na Figura 2.2.

11

Figura 2.2: Representao de uma onda unidimensional trafegando em uma

corda totalmente esticada

Para uma total derivao da equao da onda, sero utilizadas as seguintes

consideraes:

Corda uniforme: A corda possui uma densidade linear constante;

Tenso constante: Ser assumido que a tenso ter o mesmo mdulo

em todos os pontos da corda, variando apenas a direo e o sentido;

Pequenas vibraes: A inclinao da corda indicada por ),( txux ter

sempre um valor pequeno.

Considere um elemento de comprimento infinitesimal da corda como mostrado

na Figura 2.3. Utilizando a segunda lei de Newton:

)()( aceleraoxmassaForas (Eq. 2.2)

Considera-se atuando as seguintes foras no elemento infinitesimal:

1. Foras devidas a tenso na corda:

Decompondo o vetor tenso na componente vertical em cada ponta da corda

mostrada na Figura 2.3 possvel obter a seguinte equao:

12 .. senTsenTT xxxvertical (Eq. 2.3)

12

Figura 2.3: Representao de um elemento infinitesimal de corda

Utilizando a considerao de tenso constante, possvel observar que a

derivada espacial da funo ),( txu (funo que representa o deslocamento da

corda) possui aproximadamente o mesmo valor do seno do ngulo formado

pela corda e a horizontal, em qualquer ponto da corda, assim a Equao 2.3

pode ser escrita como:

),(),( txutxxuTT xxvertical (Eq. 2.4)

2. Foras externas:

Consideram-se foras externas principalmente as foras de campo, ou seja, o

peso da prpria corda, ou foras criadas pela passagem de outras ondas na

mesma corda. Utilizando o conceito de fora mdia no elemento infinitesimal,

as foras externas podem ser escritas como:

xtxFexternasForas ).,(_ (Eq. 2.5)

no caso da gravidade, por exemplo, mgtxF ),( .

13

3. Fora de frico ao movimento da corda:

Essa fora pode ser modelada como sendo uma resistncia da corda

passagem da onda, utilizando o conceito de mdia, pode ser descrita como:

xtxuFricoFora t ).,(_ (Eq. 2.6)

4. Fora de restaurao

Essa fora pode ser entendida como uma fora que tende a restaurar a corda

para a posio de equilbrio, e pode ser escrita como:

xtxustauraoFora ),(_ Re (Eq. 2.7)

Observa-se que as foras com sinal negativo possuem o a direo contrria ao

movimento da corda, de forma a causar uma resistncia passagem da onda.

Substituindo as Equaes (2.4 2.7) na Equao 2.2:

xuxtxuxtxuxtxFtxutxxuT tttxx ),(),(),()],(),([

(Eq. 2.8)

onde a densidade linear da corda. Dividindo ambos os lados da equao

2.8 por x , e fazendo x tender para zero, a Equao 2.8 pode ser escrita como:

),(1 txFuuTuu txxtt

(Eq. 2.9)

Desprezando as foras externas, e de atrito que atuam na corda, a Equao

2.9 fica escrita de uma forma mais simples:

xxtt uu2 (Eq. 2.10)

onde:

T (Eq. 2.11)

14

2.3 Soluo da equao da onda (Soluo de DAlembert)

No Captulo 1 foi provado que as funes tipo onda viajante para a esquerda e

para a direita so solues da equao da onda, essa soluo foi obtida por

Jean le Rond d'Alembert, e ser demonstrada nesse tpico. Para o melhor

entendimento desse tpico, o Apndice 1 mostra detalhes da regra da cadeia

para funes dependentes de mais de uma varivel, e o Apndice 2 mostra

uma segunda demonstrao da soluo para a equao da onda. Antes de

demonstrar a soluo, ser feita uma descrio matemtica do problema.

O problema da soluo da equao da onda (Equao 2.10) consiste em

encontrar a soluo do seguinte conjunto:

constantec

ucu xxtt2

t

x

0 EDP Hiperblica (Eq. 2.13)

Sujeito as seguintes condies iniciais:

)()0,(

)()0,(

xgxu

xfxu

t

x Condies Iniciais (Eq. 2.14)

A soluo da Equao 2.13 ser realizada em quatro passos.

1 Passo: Transformao de coordenadas:

Para se resolver a Equao 2.13, ser utilizada uma transformao de

coordenadas ,, tx , definida por:

ctx

ctx

(Eq. 2.15)

Assim, tomando as derivadas parciais no novo sistema de coordenadas:

uucuuu ttt (Eq. 2.16)

t

uucutt

))((

tttttt uuuucu

uuucutt 2.2 (Eq. 2.17)

uuuuu xxx (Eq. 2.18)

15

x

uuuxx

)(

xxxxxx uuuuu

uuuuxx 2 (Eq. 2.19)

Substituindo as Equaes 2.17 e 2.19 na Equao 2.13:

uuucuuuc 2.2. 22

04 2 uc (Eq. 2.20)

Como a constante c foi definida como positiva, a Equao 2.20 pode ser

reescrita como:

0u (Eq. 2.21)

2 Passo: Soluo da equao diferencial parcial:

A Equao 2.21 pode ser resolvida utilizando-se duas integraes, uma em

relao e outra em relao . Integrando em relao obtm-se:

ddu 0

)(),( u (Eq. 2.22)

onde )( uma funo qualquer dependente apenas da varivel .

Integrando a Equao 2.22 em relao , obtm-se:

ddu

)()(),( u (Eq. 2.23)

sendo )( a funo anti-derivada de )( , e )( uma funo dependente

apenas da varivel . Assim a soluo geral da Equao 2.21 pode ser definida como a soma de quaisquer funes dependentes apenas de e .

Exemplo 2.1:

Provar que a funo 3)(),( senu soluo da Equao 2.21.

16

Resoluo:

Substituindo a funo definida no problema na Equao 2.21:

0))(( 32

sen (Eq. 2.24)

Derivando a Equao 2.24 em relao :

)())(( 3

cos

sen

(Eq. 2.25)

Derivando a Equao 2.25 em relao :

0))((

cos (Eq. 2.26)

O que prova que a funo 3)(),( senu soluo da Equao 2.21.

3 Passo: Transformao da soluo nas coordenadas iniciais do

problema:

Para se encontrar a soluo geral da Equao 2.13 preciso aplicar a mesma

transformada de coordenadas definidas pela Equao 2.15 na Equao 2.23,

assim:

ctx

ctx

aplicadas em:

)()(),( u

resulta em:

)()(),( ctxctxtxu (Eq. 2.27)

dessa forma, a Equao 2.27 a soluo geral da Equao 2.13. Observa-se

que a Equao 2.27 composta por uma soma de ondas viajantes para a

esquerda para a direita, como foi discutido no Exemplo 1.4 do Captulo 1.

Exemplo 2.2: Provar que a equao )().(),( tcosxsentxu soluo geral da

equao da onda definida pela Equao 2.13 com 1c , e demonstrar que essa soluo pode ser escrita de acordo com a Equao 2.27.

17

Soluo:

1 Parte: Provar que )().(),( tcosxsentxu soluo de:

xxtt ucu2 , com 1c (Eq. 2.28)

Derivando a funo ),( txu :

)()( tcosxsenu

)()( tcosxcosux

)()( tcosxsenuxx (Eq. 2.29)

)()( tensxsenut

)()( tcosxsenutt (Eq. 2.30)


xxtt uu

)()()()( xcosxsenxcosxsen (Eq. 2.31)

O que prova que a funo )().(),( tcosxsentxu uma soluo da equao

da onda com 1c .

2 Parte: Escrever a funo )().(),( tcosxsentxu na forma da Equao 2.27:

Utilizando a propriedade de soma e subtrao de arcos:

)().()().()( xcostsentcosxsentxsen (Eq. 2.32)

)().()().()( xcostsentcosxsentxsen (Eq. 2.33)

somando-se as Equaes 2.32 e 2.33:

)().(2)()( tcosxsentxsentxsen

2

)(

2

)()().(

txsentxsentcosxsen

(Eq. 2.34)

como 1c , a Equao 2.34 pode ser escrita na forma:

)()(),( ctxctxtxu

sendo

18

2

)()(

txsenctx

Onda viajante para direita (Eq. 2.35)

2

)()(

txsenctx

Onda viajante para esquerda (Eq. 2.36)

4 Passo: Substituio das condies iniciais do problema

Nos passos anteriores foi encontrada a Equao 2.27 que soluo geral da

Equao 2.13. Nesse passo sero utilizadas as condies iniciais,

)()0,(

)()0,(

xgxu

xfxu

t

x Condies Iniciais

para se encontrar a soluo especfica do problema.

Substituindo as condies iniciais na Equao 2.27:

)()()()0()0()0,( xfxxcxcxxu (Eq. 2.37)

))(0('))(0(')0,( ccxccxxut

)()(')(')0,( xgxcxcxut (Eq. 2.38)

integrando a Equao 2.38:

Kdssgc

xxx

x

0

)(1

)()( , onde K uma constante (Eq. 2.39)

As Equaes 2.37 e 2.39 formam um conjunto de equaes lineares, cuja

soluo dada por:

Kxfdssgc

xx

x

)(2

1)(

2

1)(

0

(Eq. 2.40)

Kxfdssgc

xx

x

)(2

1)(

2

1)(

0

(Eq. 2.41)

A soluo especfica da Equao 2.13 feita substituindo )( ctx e

)( ctx nas Equaes 2.40 e 2.41, e somando as duas equaes:

19

Kctxfdssgc

ctxctx

x

)(2

1)(

2

1)(

0

(Eq. 2.42)

Kctxfdssgc

ctxctx

x

)(2

1)(

2

1)(

0

(Eq. 2.43)

)()(),( ctxctxtxu

)(2

1)(

2

1)(

2

1)(

2

1),(

00

ctxfdssgc

ctxfdssgc

txuctx

x

ctx

x

substituindo os limites de integrao:

dssgc

ctxfctxftxuctx

ctx

)(2

1)()(

2

1),( (Eq. 2.44)

A Equao 2.44 a soluo da equao da onda de dAlembert, onde a funo

),( txu fica escrita utilizando as condies iniciais do problema.

Exemplo 2.3:

Encontrar a soluo do seguinte problema de valor inicial:

0)0,(

)0,(2

xu

exu

uu

t

x

xxtt

(Eq. 2.45)

Soluo:

Percebe-se que a Equao 2.45 a equao da onda com 1c , assim a soluo dada pela Equao 2.44, onde:

2

)( xexf (Eq. 2.46)

0)( xg (Eq. 2.47)

substituindo as Equaes 2.46 e 2.47 na Equao 2.44:

dsc

eetxuctx

ctx

ctxctx

02

1

2

1),(

22 )()(

20

22 )()(2

1),( txtx eetxu (Eq. 2.48)

A Equao 2.48 a soluo da Equao 2.45, composta por uma onda viajante

para esquerda e uma onda viajante para a direita. A Figura 2.4 mostra a

soluo 2.48 plotada para vrios tempos diferentes. Pode-se observar

claramente que existem duas ondas trafegando em sentidos contrrios na

figura.

Figura 2.4: Soluo da Equao 2.45 plotada para diferentes tempos.

21

3 Leis de Conservao Equaes de 1 Ordem no lineares

As leis de conservao constituem equaes que contabilizam a variao de

qualquer varivel mensurvel em um sistema isolado. Constituem na

matemtica um conjunto amplo de equaes diferenciais parciais hiperblicas,

onde as equaes das ondas so um sub-grupo das leis de conservao. No

prximo tpico ser deduzido a lei de conservao em um sistema

unidimensional, e sero apresentados alguns exemplos de equaes

conservativas.

3.1 Derivao das leis de conservao

Imagine um meio unidimensional posicionado ao longo do eixo-x que contm

uma substncia mensurvel que consegue se mover ou fluir por esse meio.

Utiliza-se a varivel Q para representar essa substncia (carros, partculas,

energia, massa, etc...), para se deduzir a equao da conservao, utilizam-se

dois conceitos bsicos:

1. Concentrao:

Concentrao ou densidade definida como o nmero de unidades da

substncia Q por unidade de comprimento em um tempo t qualquer, ou seja:

tx

QNtxu

)(),( (Eq. 3.1)

Podendo ser, por exemplo, nmero de carros por quilmetro em uma rodovia,

ou gramas de uma substncia por metro de tubulao.

2. Fluxo:

Nmero de unidades da substncia Q passando por um ponto x , em um

intervalo de tempo t , assim:

xt

QNtxF

)(),( (Eq. 3.2)

Considere um pequeno segmento S definido pelos pontos a e b , mostrado na

Figura 3.1. A variao do nmero de unidades da substncia Q nesse

segmento acontecer somente de duas maneiras, ou a substncia atravessar

22

as fronteiras A e B , mostradas no esquema, ou a substncia ser criada ou

destruda no interior do segmento S , em outras palavras:

),()()()(

txst

QN

t

QN

t

QN

BAS

(Eq. 3.3)

Onde ),( txs definida como termo fonte de uma substncia, sendo

considerada a taxa (variao no tempo) em que a substncia Q adicionada

ou retirada do meio S .

Figura 3.1: Segmento S delimitado pelo intervalo ],[ ba do eixo-x.

Para se calcular o nmero de unidades da substncia Q calcula-se a integral

da concentrao nesse intervalo, assim:

b

aS

dxtxudt

d

t

QN),(

)( (Eq. 3.4)

logo a Equao 3.3 pode ser escrita como:

b

a

b

a

dxtxstbFtaFdxtxudt

d),(),(),(),( (Eq. 3.5)

A Equao 3.5 conhecida como Forma Integral da Lei da Conservao, as

funes ),( taF e ),( tbF possuem sinais contrrios, pois a substncia Q est

entrando na fronteira A , e saindo na fronteira B . Considerando as funes

),( txu e ),( txF constantes e com primeiras derivadas constantes em todo o

domnio, e utilizando o teorema fundamental do clculo, possvel escrever as

funes de fluxo da seguinte forma:

23

b

a

x dxtxFtbFtaF ),(),(),( (Eq. 3.6)

assim a Equao 3.5 fica escrita como:

b

a

b

a

x

b

a

t dxtxsdxtxFdxtxu ),(),(),( (Eq. 3.7)

ento:

0),(),(),( b

a

xt dxtxstxFtxu (Eq. 3.8)

o que implica que o resultado da integral deve ser sempre igual zero em

qualquer intervalo ],[ ba do domnio, ou seja:

sFu xt (Eq. 3.9)

A Equao 3.9 conhecida como Forma Diferencial da Lei da Conservao,

tambm conhecida como lei fundamental da natureza. Apesar da Equao 3.9

ter um forte significado fsico ela no consegue por si s modelar fenmenos

fsicos, sendo necessrias equaes constitutivas, que so relaes entre

),( txu e ),( txF . No caso de ),( txF dependente de ),( txu , e aplicando a

regra da cadeia, a Equao 3.9 pode ser escrita como:

suuFu xt )(' (Eq. 3.10)

Exemplo 3.1:

constantec

cuu xt

,0

0 Equao da Adveco (Eq. 3.11)

A Equao 3.11 escrita na forma da lei da conservao:

),(.),(

0

txuctxF

Fu xt Forma da Lei da Conservao (Eq. 3.12)

Exemplo 3.2:

0 xt uuu Equao de Burgers invscida (Eq. 3.13)


24

2

),(),(

0

2 txutxF

Fu xt

Forma da Lei da Conservao (Eq. 3.14)

Exemplo 3.3:

constante

uuuu xxxt

Equao de Burgers vscida, viscosidade (Eq. 3.15)


),(2

),(),(

0

2

txutxu

txF

Fu

x

xt


Exemplo 3.4:

xxt uxu ').( (Eq. 3.17)


x

xt

uxtxF

Fu

).(),(

0


3.2 Soluo de equaes conservativas Mtodo das Caractersticas"

No tpico anterior foram deduzidas as equaes conservativas (Forma

Diferencial da Lei de Conservao), nesse tpico sero discutidos mtodos de

soluo desse tipo de equao, ou seja, soluo de equaes hiperblicas de

primeira ordem. Assim o objetivo desse tpico de se resolver o seguinte

problema:

)()0,(

),(),(

0 xuxu

txFutxcu xt

Problema de Cauchy (Eq. 3.19)

O problema descrito pela Equao 3.19 conhecido como problema de

Cauchy, sendo composto por uma equao diferencial parcial e uma soluo

inicial. Para se resolver esse problema ser utilizado um mtodo conhecido

como mtodo das caractersticas, deduzido a partir da regra da cadeia

(descrita no apndice 1). Para se resolver a Equao 3.19 ser utilizada uma

parametrizao da varivel x , assim:

25

)),((),(

)(

ttxutxu

txx (Eq. 3.20)

derivando a funo )),(( ttxu em relao ao tempo:

xt ut

txu

t

txu

t

tx

x

txu

t

ttxu

)(),()(),()),(( (Eq. 3.21)

comparando-se as Equaes 3.19 e 3.21 chega-se a duas concluses:

),()(

txct

tx

(Eq. 3.22)

),()),((

txFt

ttxu

(Eq. 3.23)

Observa-se que a equao diferencial parcial foi transformada em duas

equaes diferenciais ordinrias, que so geralmente mais fceis de resolver.

Resolvendo a Equao 3.22:

dttxcdx ),( (Eq. 3.24)

tx

x

dttxcdx0

),(

0

(Eq. 3.25)

t

dttxcxx0

0 ),( (Eq. 3.26)

A Equao 3.26 descreve as curvas caractersticas do problema, mostradas na

Figura 3.2. Resolvendo a Equao 3.23:

dttxFdu ),( (Eq. 3.27)

ttx

x

dttxFdu0

),(

)0),0((

),( (Eq. 3.28)

t

dttxFxutxu0

0 ),()0,(),( (Eq. 3.29)

Utilizando-se o valor inicial do problema de Cauchy:

t

dttxFxutxu0

00 ),()(),( (Eq. 3.30)

26

Combinando as Equaes 3.26 e 3.30, chega-se a soluo final da Equao

3.19:

tt

dttxFdttxcxutxu00

0 ),()),((),( (Eq. 3.31)

O princpio fsico do mtodos das caractersticas baseia-se no fato de que um

distrbio em um ponto x qualquer do domnio se propaga ao longo de curvas

no plano ),( tx , chamadas de curvas caractersticas, mostradas na Figura 3.2.

Figura 3.2: Curvas caractersticas no plano ),( tx .

Teorema 3.1:

Seja 1

0 )( Cxu (contnua e com primeira derivada contnua), ento existe uma

soluo nica do problema de Cauchy (Equao 3.19), dada pela Equao

3.31.

Exemplo 3.5:

Resolver a equao da Adveco, descrita por:

)()0,(

0

0 xuxu

cuu xt, onde

0t

x e constantec (Eq. 3.32)

Soluo:

27

1 parte: Construo das caractersticas:

Encontrar curvas que satisfazem a Equao 3.24, ou seja:

cdt

dx (Eq. 3.33)

Resolvendo a Equao 3.33:

ctxx 0 (Eq. 3.34)

ou

ctxx 0 (Eq. 3.35)

Plotando-se as caractersticas descritas pela Equao 3.34 (Figura 3.3)

observa-se que as caractersticas so representadas por retas no plano ),( tx .

Figura 3.3: Caractersticas do Exemplo 3.5, considerando 3c .

28

2 Parte: Construo da soluo:

Construir uma soluo que satisfaa a Equao 3.27, com 0),( txF , ou seja:

0dt

du (Eq. 3.36)

ttx

x

dtdu0

),(

)0),0((

0 (Eq. 3.37)

)()0),0((),( 00 xuxutxu (Eq. 3.38)

Substituindo a Equao 3.35 na Equao 3.38, chega-se ao resultado da

Equao 3.32:

)(),( 0 ctxutxu (Eq. 3.39)

Essa soluo dada na forma de onda viajante para a direita, e foi comentada

com detalhes no Tpico 3.1.

Exemplo 3.6:

Utilizar o mtodo das caractersticas para se resolver a seguinte equao:

2)0,(

02

x

xt

exu

uu onde

0t

x (Eq. 3.40)

Soluo:


Encontrar curvas que satisfaam a seguinte equao:

0)0(

2

xx

dt

dx

(Eq. 3.41)

txx 20 (Eq. 3.42)

2 parte: Construo da soluo:

Para se construir a soluo da Equao 3.40 deve-se resolver a seguinte

equao:

29

0dt

du (Eq. 3.43)

ttx

x

dtdu0

),(

)0),0((

0 (Eq. 3.44)

)0),0((),( xutxu (Eq. 3.45)

Substituindo a condio inicial na Equao 3.45, encontra-se:

20),(x

etxu (Eq. 3.46)

Utilizando-se a Equao 3.42:

2)2(),( txetxu (Eq. 3.47)

A soluo dada pela Equao 3.47 do tipo onda viajante para a direita, a

Figura 3.4 mostra a soluo, plotada para diferentes tempos.

Figura 3.4: Soluo do Exemplo 3.6, para diferentes tempos.

Exemplo 3.7:

Utilizar o mtodo das caractersticas para se resolver a seguinte equao:

21

1)0,(

0

xxu

txuu xt onde

0t

x (Eq. 3.48)

Soluo:

30



0)0( xx

xtdt

dx

(Eq. 3.49)

tx

x

tdtx

dx

00

(Eq. 3.50)

)2(0

2

. texx (Eq. 3.51)

As caractersticas definidas pela Equao 3.51 esto plotadas na Figura 3.5.

Observa-se que nesse caso as caractersticas no so definidas por retas no

plano ),( tx .

Figura 3.5: Caractersticas do Exemplo 3.7.

2 parte: Construo da soluo:

Para se construir a soluo do Exemplo 3.7 deve-se resolver a seguinte

equao:

0dt

du (Eq. 3.52)

31

ttx

x

dtdu0

),(

)0),0((

0 (Eq. 3.53)

)0),0((),( xutxu (Eq. 3.54)

Substituindo a condio inicial dada:

2011

),(x

txu

(Eq. 3.55)

222.11

),(tex

txu

(Eq. 3.56)

A Figura 3.6 mostra a soluo dada pela Equao 3.56 para diferentes tempos.

Figura 3.6: Soluo do Exemplo 3.7 plotada para diferentes tempos

32

4 Catstrofe de Gradiente

No Captulo 3 foi deduzido o mtodo das caractersticas, uma importante

ferramenta na resoluo de equaes diferenciais parciais de 1 ordem. Nesse

captulo ser discutida uma extenso do mtodo das caractersticas, utilizado

para resolver problemas em reas onde existem mais de uma caracterstica

(reas de catstrofe de gradiente).

4.1 Catstrofe de gradiente

Como descrito no captulo anterior, o mtodo das caractersticas baseia-se no

fato de uma perturbao do sistema se propagar ao longo de linhas

caractersticas no domnio. Porm em alguns casos essas linhas se colapsam

em um nico ponto, inviabilizando a soluo da EDP via mtodo das

caractersticas. Para se entender a catstrofe do gradiente, considera-se o

seguinte exemplo:

Exemplo 4.1:

Plotar as caractersticas da seguinte equao diferencial:

2)0,(

0

x

xt

exu

uuu onde

0t

x (Eq. 4.1)



0)0( xx

udt

dx

(Eq. 4.2)

Aplicando a definio do mtodo das caractersticas:

0dt

du (Eq. 4.3)

)0),0((),( xutxu (Eq. 4.4)

Substituindo a Equao 4.4 na Equao 4.2:

33

x

x

t

dtxudx

0 0

0 )0,( (Eq. 4.5)

texxx.

20

0 (Eq. 4.6)

Plotando-se a Equao 4.6 (Figura 4.1) encontram-se as curvas caractersticas

da Equao 4.1. possvel observar que as curvas caractersticas se

colapsam em um nico ponto aps aproximadamente 2.1t .

Figura 4.1: Curvas caractersticas da Equao 4.1.

Esse fenmeno est associado com o princpio que a funo soluo ),( txu

acompanha a caracterstica da soluo no plano ),,( utx . A Figura 4.2 mostra

duas curvas da funo soluo ),( txu em uma regio onde no ocorre a

catstrofe do gradiente. possvel observar que a funo ),( txu determina

uma funo contnua nesse domnio.

34

Figura 4.2: Funo ),( txu plotada em um domnio ),,( utx o qual no ocorre

catstrofe de gradiente.

A Figura 4.3 mostra duas curvas da funo soluo ),( txu plotada em um

domnio onde ocorre a catstrofe de gradiente. possvel perceber que no

ponto onde ocorre a catstrofe, a funo ),( txu possui dois valores diferentes,

representando uma descontinuidade na funo.

Figura 4.3: Funo ),( txu plotada em um domnio ),,( utx o qual ocorre


35

Traando retas paralelas ao eixo t que ligam as duas curvas na Figura 4.3

observa-se que no ponto de quebra do grfico, a reta traada faz uma vertical

em relao ao plano ),( tx , conclui-se ento que a funo ),( txu contnua

com relao ao tempo, e a catstrofe do gradiente ocorre quando a derivada

primeira da funo ),( txu em relao varivel x tende ao infinito.

Pode-se chegar mesma concluso analisando-se o perfil da soluo quando

ocorre e quando no ocorre a catstrofe do gradiente. A Figura 4.4 mostra o

avano da soluo com o tempo em um caso onde no ocorre a catstrofe do

gradiente, pode-se se perceber que a funo crescente com velocidade

crescente. A Figura 4.5 mostra o avano da soluo em um caso onde ocorre a

catstrofe do gradiente, nesse caso a funo soluo decrescente em um

intervalo com velocidade crescente, o que leva formao da catstrofe do

gradiente.

Figura 4.4: Avano do perfil da soluo ),( txu com o tempo, para um caso

onde no ocorre a catstrofe de gradiente.

Figura 4.5: Avano do perfil da soluo ),( txu com o tempo, para um caso

onde ocorre a catstrofe de gradiente.

Analisando o perfil da soluo, observa-se que no momento em que ocorre a

catstrofe de gradiente, a reta que liga os dois pontos da soluo se torna

vertical.

36

Definio:

Define-se tempo de queda (Breaking Time) o ponto onde ocorre a catstrofe de

gradiente pela primeira vez, ou seja, o menor tempo positivo em que ocorre a


O tempo de queda pode ser calculado da seguinte forma:

bt = tempo mnimo onde dx

txud )),(( (Eq. 4.7)

Exemplo 4.2:

Calcular o tempo de queda para uma equao diferencial parcial homognea

de primeira ordem, definida por:

)()0,(

0)(

0 xuxu

uucu xt, com

0t

Rx (Eq. 4.8)

Soluo:

Para se calcular o tempo de queda, primeiro preciso se calcular a soluo da

EDP, nesse caso, utilizando-se o mtodo das caractersticas:

0dt

du (Eq. 4.9)

ttx

x

dtdu0

),(

)0),0((

(Eq. 4.10)

)()0),0((),( 00 xuxutxu , com 0)0( xx (Eq. 4.11)

Calculando a derivada parcial da funo ),( txu em relao x :

dx

xud

dx

txud ))(()),(( 00 (Eq. 4.12)

Utilizando a regra da cadeia:

dx

xd

dx

xud

dx

txud )(.

))(()),(( 0

0

00 (Eq. 4.13)

Construindo as caractersticas desse problema:

37

)(ucdt

dx (Eq. 4.14)

txucxx )).(( 000 (Eq. 4.15)

Derivando em relao x :

tdx

xucd

dx

xd ))](([)(1 000 (Eq. 4.16)

Utilizando a regra da cadeia:

tdx

xd

dx

xucd

dx

xd )())](([)(1 0

0

000 (Eq. 4.17)

t

dx

xucd

dx

xd

0

000 ))](([1)(

1 (Eq. 4.18)

Combinando as Equaes 4.13 e 4.18:

0

00

0

00

))](([.1

))((

)),((

dx

xucdt

dx

xud

dx

txud

(Eq. 4.19)

Analisando a Expresso 4.19, a derivada de ),( txu em relao x tende ao

infinito quando o denominador da expresso for igual ao zero, assim o tempo

de queda calculado escolhendo o menor tempo onde:

0))](([

.10

0 dx

xucdt ob (Eq. 4.20)

Ou seja:

0

0 ))](([

1

dx

xucdt

ob

(Eq. 4.21)

Para se encontrar o tempo de quebra deve se encontrar o maior valor negativo

do denominador da Equao 4.21.

38

Exemplo 4.3:

Encontrar o tempo de queda do seguinte problema de Cauchy:

2)0,(

0

x

xt

exu

uuu, com

0t

Rx (Eq. 4.22)

Soluo:

A Equao 4.22 anloga a Equao 4.8, com:

20))(( 00x

exuc (Eq. 4.23)

Assim:

0

0

00 .2))](([ 2

0 xedx

xucd x (Eq. 4.23)

Essa funo ter valor mximo quando a derivada for igual ao zero, ou seja:

0))](([

2

0

002

dx

xucd (Eq. 4.24)

022 202

02

0 xee xx (Eq. 4.25)

2

10 x (Eq. 4.26)

Para valores negativos de 0x a Equao 4.23 se torna positiva, e o tempo de

queda se torna negativo. Utilizando a Equao 4.21:

0

0 ))](([

1

dx

xucdt

ob

(Eq. 4.27)

Substituindo a parte positiva da Equao 4.26, encontra-se um tempo de queda

igual a:

2

etb (Eq. 4.28)

De fato esse valor vale aproximadamente 2.1bt , fato que foi comprovado graficamente na Figura 4.1.

39

Exemplo 4.4:

Encontrar o tempo de queda do seguinte problema de Cauchy, e confirmar o

valor graficamente plotando as caractersticas do problema:

2

2

1

1)0,(

0

xxu

uuu xt, com

0t

Rx (Eq. 4.29)

Soluo:

A Equao 4.29 anloga a Equao 4.8, com:

22

0

00)1(

1))((

xxuc

(Eq. 4.30)

Assim:

3200

0

00

1

4))](([

x

x

dx

xucd

(Eq. 4.31)

Essa funo ter valores mximos em pontos de descontinuidade, assim:

0))](([

2

0

002

dx

xucd (Eq. 4.32)

01

1241462

0

22

0

2

0

32

0

x

xxx (Eq. 4.33)

Ou seja:

5

10 x (Eq. 4.34)

Para valores negativos de 0x a Equao 4.34 se torna positiva, e o tempo de

queda se torna negativo. Utilizando a Equao 4.21:

0

0 ))](([

1

dx

xucdt

ob

(Eq. 4.35)

Substituindo a parte positiva da Equao 4.34 na Equao 4.35, encontra-se

um tempo de queda igual a:

40

125

554bt (Eq. 4.36)

As caractersticas da Equao 4.29 esto plotadas na Figura 4.6. possvel

ver que o tempo de queda ocorre em um tempo aproximado de 97.0bt , que

numericamente igual ao tempo de queda encontrado na Equao 4.36.


4.2 Solues do tipo ondas de choque

No tpico anterior foi visto que ao depender do tipo da equao diferencial, e

do tipo da soluo inicial do problema, podem ocorrer reas onde mais de uma

caracterstica passa pelo mesmo ponto, denominada rea de catstrofe de

gradiente, foi tambm deduzida no tpico anterior, uma metodologia capaz de

se prever o tempo mnimo onde ocorre a catstrofe, denominado de tempo de

queda ou Breaking Time. Para se construir a soluo da equao diferencial

em rea de catstrofe, primeiro entenderemos o conceito de funo suave por

partes.

Definio:

Uma funo ),( txu que divide o domnio R em duas regies distintas R e

R (Figura 4.7) dita suave por partes quando obedecer as seguintes

condies:

41

i. A funo possui primeiras derivadas contnuas nos intervalos R e R ,

e a funo soluo do seguinte conjunto de equaes:

)()0,(

0

0 xuxu

Fu xt,

)0(

),(

sxx

Rtx

Lei de conservao (Eq. 4.37)

)()0,(

0

0 xuxu

Fu xt,

)0(

),(

sxx

Rtx

Lei de conservao (Eq. 4.38)

ii. O limite )0),0((),( sxtx tendendo pelas regies R e R existem,

podendo assumir valores diferentes.

Figura 4.7: Domnio de uma funo suave por partes, onde sx a curva de

descontinuidade da funo.

A Figura 4.8 mostra um exemplo de uma funo suave por partes. possvel

ver que nos domnios R e R a funo ),( txu contnua e com primeiras

derivadas contnuas, sendo que a curva sx define um plano de

descontinuidade na funo, sendo que os limites laterais existem possuindo

valores diferentes.

42

Figura 4.8: Funo ),( txu suave por partes.

Para se resolver o problema da catstrofe do gradiente, observa-se que se

pode escrever uma curva no plano ),( tx , onde as caractersticas se unem,

tornando assim a regio de caractersticas uniforme, a Figura 4.9 mostra uma

curva s qualquer, onde as caractersticas se encontram de ambos os lados,

tornando a regio das caractersticas uniforme.

Figura 4.9: Construo da curva s na regio de catstrofe de gradiente.

43

A construo da soluo resolvendo-se a equao da continuidade na forma

diferencial utilizando o mtodo das caractersticas interrompida a partir do

tempo de queda, porm o processo fsico um processo contnuo no tempo,

no havendo paradas, assim devemos voltar lei de conservao na forma

diferencial, com termo fonte nulo, dada por:

),(),(),( tbFtaFdxtxudt

d b

a

(Eq. 4.39)

Considerando o conceito de soluo suave, o domnio agora segmentado em

duas regies dividas por uma curva )),(( ttxss , como mostrado na Figura

4.10, a Equao 4.39 pode ser escrita como:

),(),(),(),()(

)(

tbFtaFdxtxudxtxudt

dtx

a

b

tx

s

s

(Eq. 4.40)

Figura 4.10: Domnio da soluo segmentado em dois domnios.

Desenvolvendo o lado esquerdo da equao:

),(),()),(()),(()(

)(

tbFtaFdxttxudt

ddxttxu

dt

dtx

a

b

tx

s

s

(Eq. 4.41)

Utilizando a regra da cadeia para se resolver a derivada, e integral por partes

para se resolver a integral:

)()(

)()]),(([)]),(([)),((

tx

a

tx

a

ss

dxdt

tdx

dx

ttxud

dt

ttxuddxttxu

dt

d (Eq. 4.42)

44

)()()(

)()]),(([),()),((

tx

a

tx

a

t

tx

a

sss

dxdt

tdx

dx

ttxuddxtxudxttxu

dt

d (Eq. 4.43)

)( 2)()( )(

).,(),(),()),((tx

a

ss

tx

a

t

tx

a

sss

dxdtdx

txdtxu

dt

dxtxudxtxudxttxu

dt

d

(Eq. 4.44)

Como )(tx depende apenas de t , a Equao 4.44 pode ser escrita como:

dt

dxtxudxtxudxttxu

dt

d ss

tx

a

t

tx

a

ss

),(),()),(()()(

(Eq. 4.45)

Analogamente para o segundo termo do lado esquerda da Equao 4.41:

dt

dxtxudxtxudxttxu

dt

d ss

b

tx

t

b

tx ss

),(),()),(()()(

(Eq. 4.46)


),(),(),(),(),(),()(

)(

tbFtaFdt

dxtxudxtxu

dt

dxtxudxtxu ss

b

tx

ts

s

tx

a

t

s

s

(Eq. 4.47)

Fazendo sxa e

sxb , a Equao 4.47 pode ser escrita como:

),(),(),(),( txFtxFdt

dxtxu

dt

dxtxu ss

ss

ss

(Eq. 4.48)

Que pode ser escrita da seguinte forma:

),(),(

),(),(

txutxu

txFtxF

dt

dx

ss

sss

(Eq. 4.49)

De acordo com a equao deduzida, uma soluo suave por partes que

satisfaz a lei de conservao na forma integral deve satisfazer a Equao 4.49.

Essa equao tambm chamada de condio de Rankine-Hugoniot, que

pode ser escrita utilizando-se a notao de funo salto, dada por:

][

][

u

F

dt

dxs Condio de Rankine-Hugoniot (Eq. 4.50)

45

Para se encontrar precisamente essa curva, necessita-se de um dado inicial,

para isso se utiliza o tempo de queda descrito na Tpico 4.1, assim, encontrar

a funo que descreve a curva ),( txs o mesmo que se resolver a seguinte

equao:

bbs

s

ss

xtx

u

F

dt

dx

tx

)(

][

][

),( (Eq. 4.51)

Sendo o ponto ),( bb tx o ponto onde ocorre a catstrofe de gradiente pela

primeira vez.

Definio:

Dada uma funo ),( txu , que seja soluo suave de 0 xt Fu , satisfazendo

a condio de Rankine-Hugoniot, essa soluo dita ondas de choque, e a

funo salto ),( txs que divide o domnio em duas partes dita caminho de

choque.

Exemplo 4.5:

Resolver o seguinte problema de valor inicial:

0,0

0,1)0,(

0

x

xxu

uuu xt

(Eq. 4.52)

Soluo:

1 Passo: Construo das caractersticas:

udt

dx (Eq. 4.53)

Como a Equao 4.52 homognea, as caractersticas so dadas da seguinte

forma:

txuCxx )).(( 000 (Eq. 4.54)

Ou seja:

46

0,

0,

0

0

xx

xtxx (Eq. 4.55)

As caractersticas do problema esto plotadas na Figura 4.11. possvel

observar que o breaking time ocorre no ponto )0,0(),( bb tx .


2 Passo: Construo da soluo:

De acordo com a Figura 4.11 existe uma zona de catstrofe de gradiente,

assim a soluo ser construda utilizando-se o conceito de ondas de choque.

0dt

du (Eq. 4.56)

)0,(),( 0xutxu (Eq. 4.57)

Utilizando a definio de soluo suave por partes:

Rx

Rxtxu

,0

,1),( (Eq. 4.58)

Portando, para se encontrar as regies R e R , deve-se encontrar a curva de

caminho de choque. Assim, utilizando a Equao 4.51:

47

bbs

s

ss

xtx

u

F

dt

dx

tx

)(

][

][

),( (Eq. 4.59)

A funo fluxo pode ser encontrada utilizando-se a seguinte definio:

xx uuF . (Eq. 4.60)

Integrando a Equao 4.60 em relao a varivel x , tem-se:

2

2uF (Eq. 4.61)

Assim, a Equao 4.59 pode ser escrita como:

0)0(

2

1

),(

22

s

s

ss

x

uu

uu

dt

dx

tx (Eq. 4.62)

De acordo com a Equao 4.58 0u e 1u , assim:

0)0(

2

1

),(

s

s

ss

x

dt

dx

tx (Eq. 4.63)

2

txs (Eq. 4.64)

A Figura 4.12 mostra as caractersticas plotadas considerando a curva de

caminho de choque dada pela Equao 4.64, assim a soluo final pode ser

escrita como:

2,0

2,1

),(t

x

tx

txu (Eq. 4.65)

A Figura 4.13 mostra a Soluo 4.65 plotada para diferentes tempos.

possvel observar que a frente de choque se move com velocidade igual a 5.0 .

48

Figura 4.12: Caractersticas do Exemplo 4.5 plotadas junto curva de caminho

de choque.

Figura 4.13: Soluo do Exemplo 4.5 para diferentes valores de tempo.

Exemplo 4.6:

Resolver o seguinte problema de valor inicial:

1,1

1,2)0,(

02

x

xxu

uuu xt

(Eq. 4.66)

49

Soluo:



forma:

txuCxx )).(( 000 (Eq. 4.67)

Ou seja:

1,

1,4

0

0

xtx

xtxx (Eq. 4.68)


observar que o breaking time ocorre no ponto )0,1(),( bb tx .



De acordo com a Figura 4.14 existe uma zona de catstrofe de gradiente,

assim a soluo ser construda utilizando-se o conceito de ondas de choque.

Utilizando a definio de soluo suave por partes:

50

Rx

Rxtxu

,1

,2),( (Eq. 4.69)

Portando, para se encontrar as regies R e R , deve-se encontrar a curva de

caminho de choque. Assim:

bbs

s

ss

xtx

u

F

dt

dx

tx

)(

][

][

),( (Eq. 4.70)

A funo fluxo pode ser encontrada utilizando-se a seguinte definio:

xx uuF .2 (Eq. 4.71)

Integrando a Equao 4.60 em relao a varivel x , tem-se:

3

3uF (Eq. 4.72)

Assim, a Equao 4.59 pode ser escrita como:

1)0(

3

1

),(

33

s

s

ss

x

uu

uu

dt

dx

tx (Eq. 4.73)

De acordo com a Equao 4.69 1u e 2u , assim:

1)0(

3

7

),(

s

s

ss

x

dt

dx

tx (Eq. 4.74)

13

7

txs (Eq. 4.75)

A Figura 4.15 mostra as caractersticas plotadas considerando a curva de

caminho de choque dada pela Equao 4.75, assim a soluo final pode ser

escrita como:

51

13

7,1

13

7,2

),(t

x

tx

txu (Eq. 4.76)

A Figura 4.16 mostra a Soluo 4.76 plotada para diferentes tempos.

possvel observar que a frente de choque se move com velocidade 3/7 .

Figura 4.15: Caractersticas do Exemplo 4.6 plotadas junto curva de caminho

de choque.

Figura 4.16: Soluo do Exemplo 4.6 para diferentes valores de tempo.

52

5 Ondas de Rarefao

No Captulo 3 foi deduzido o mtodo das caractersticas para soluo de

equaes diferenciais parciais de 1 ordem, e no Captulo 4 foi deduzida uma

extenso do mtodo das caractersticas para lidar com reas de catstrofe de

gradiente. Nesse captulo ser deduzida a soluo para uma rea ainda no

discutida por onde no se passa nenhuma caracterstica, denominadas reas

de rarefao.

5.1 reas de rarefao

Como discutido no tpico anterior, quando a funo soluo decrescente com

velocidade crescente algumas reas podem possuir mais de uma

caracterstica, denominadas reas de catstrofe de gradiente. Nesse tpico

sero discutidas algumas equaes que possuem um vazio no plano das

caractersticas, essas reas so denominadas reas de rarefao. Para se

entender melhor a formao dessas zonas, o tpico ser comeado com o

Exemplo 5.1:

Exemplo 5.1:

Plotar as caractersticas da seguinte equao diferencial:

0,1

0,0)0,(

0

x

xxu

uuu xt

(Eq. 5.1)

Soluo:

Utilizando o fato da Equao 5.1 ser homognea:

txucxx )).(( 000 (Eq. 5.2)

0,

0,

0

0

xtx

xxx (Eq. 5.3)

As caractersticas dadas pela Equao 5.3 esto plotadas na Figura 5.1.

possvel ver o aparecimento de uma zona 0R onde no passam

caractersticas, tal zona denominada zona de rarefao.

53


Para melhor entendimento da soluo do tipo ondas de rarefao, antes de se

apresentar a soluo geral, ser resolvido o Exemplo 5.1.

Podemos aproximar a soluo do problema inicial por um problema que possui

as caractersticas homogneas, apenas substituindo a condio inicial, da

seguinte forma:

x

xxg

x

xu

uuu xt

,1

),(

,0

)0,(

0

(Eq. 5.4)

A Figura 5.2 mostra a diferena entre os perfis das solues iniciais dada pelas

Equaes 5.1 e 5.4. A Figura 5.3 mostra as caractersticas da Equao 5.4.

Do fato da Equao 5.4 ser homognea, a soluo pode ser escrita da seguinte

forma:

tx

txtxg

x

txu

,1

),,(

,0

),( (Eq. 5.5)

54

Figura 5.2: Modificao da soluo inicial da Equao 5.1.

Figura 5.3: Caractersticas da Equao 5.4.

Agora tomando o seguinte limite:

),(lim0

txu

(Eq. 5.6)

Tem-se:

tx

txtxg

x

txu

,1

0),,(

0,0

),( (Eq. 5.7)

55

A Figura 5.4 mostra as caractersticas da Equao 5.7. Agora o problema se

tornou se encontrar uma funo ),( txg que possua caractersticas contnuas e

que seja soluo da Equao 5.1. De acordo com a Figura 5.4 a inclinao das

caractersticas muda na zona de rarefao, o que indica que a funo ),( txg

possua a seguinte forma:

t

xgtxg ),( (Eq. 5.8)


Assim, como a funo ),( txg deve ser soluo da Equao 5.1:

0)],([

),()],([

dx

txgdtxg

dt

txgd (Eq. 5.9)

01

''2

tt

xg

t

xg

t

x

t

xg (Eq. 5.10)

01

'2

t

x

tt

xg

t

xg (Eq. 5.11)

56

A Equao 5.11 admite duas solues:

constantetxg ),( (Eq. 5.12-a)

t

xtxg ),( (Eq. 5.12-b)

Para se decidir qual soluo melhor representa o Problema 5.1, deve-se

analisar a condio de Rankine-Hugoniot nas duas solues, assim:

1: Soluo 5.12-a:

tx

txa

x

txu

,1

0,

0,0

),( , onde constantea (Eq. 5.13)

Aplicando a condio de Rankine-Hugoniot nas descontinuidades da funo:

uu

uu

u

F

dt

dxs22 )()(

2

1

][

][ (Eq. 5.14)

020

a

dt

dx

sx

s (Eq. 5.15)

Ou seja, 0a .

12

1

a

dt

dx

tx

s

s

(Eq. 5.16)

Ou seja, 1a .

Como a constante a tem que assumir dois valores diferentes, a Equao 5.13

no obedece condio de Rankine-Hugoniot.

2: Soluo 5.12-b:

tx

txt

x

x

txu

,1

0,

0,0

),( (Eq. 5.17)

Aplicando a condio de Rankine-Hugoniot nas descontinuidades da funo:

57

uu

uu

u

F

dt

dxs22 )()(

2

1

][

][ (Eq. 5.18)

020

t

x

dt

dx

sx

s (Eq. 5.19)

12

1

t

x

dt

dx

tx

s

s

(Eq. 5.20)

Fazendo 0x na Equao 5.19, e tx na Equao 5.20, observa-se que a Equao 5.17 obedece condio de Rankine-Hugoniot, sendo considerada

a soluo da Equao 5.1.

A Figura 5.5 mostra a soluo dada pela Equao 5.17 plotada para diferentes

tempos. Observa-se a presena de uma onda de avano da soluo, chamada

de onda de rarefao.

Figura 5.5: Soluo da Equao 5.1, para diferentes valores de tempo.

5.2 Soluo geral de equaes homogneas com reas de rarefao

No Tpico 5.1 foi construda uma soluo do tipo ondas de rarefao para

resolver o Exemplo 5.1. Nesse tpico ir ser construda uma soluo geral que

pode ser aplicada em todos os casos. Assim ser construda a soluo do

seguinte problema de Cauchy:

axu

axuxu

uuCu xt

,

,)0,(

0)(

(Eq. 5.21)

58

Soluo:

Utilizando o fato da Equao 5.21 ser homognea, as caractersticas so

dadas da seguinte forma:

txucxx )).(( 00 (Eq. 5.22)

axtuucx

axtuucxx

,)).((

,)).((

0

0 (Eq. 5.23)

De acordo com a Equao 5.23 as caractersticas so retas, plotadas na Figura

5.6.


Da mesma forma que o Exemplo 5.1, a soluo da Equao 5.21 pode ser

aproximada da seguinte forma:

])).(([,

])).(([])).(([),,(

])).(([,

),(

tuucaxu

tuucaxtuucatxg

tuucaxu

txu (Eq. 5.24)

De acordo com a Figura 5.6 a inclinao das caractersticas muda na zona de

rarefao, o que indica que a funo ),( txg possua a seguinte forma da

Equao 5.8, porm deslocada de uma constante a , ou seja:

59

t

axgtxg ),( (Eq. 5.25)

Assim, calculando as derivadas parciais da funo ),( txg atravs da regra da

cadeia:

2

)().,('

)],([

t

axtxg

dt

txgd (Eq. 5.26)

ttxg

dx

txgd 1).,('

)],([ (Eq. 5.27)

Substituindo as Equaes 5.26 e 5.27, na Equao 5.21:

01

).,(')).,(()(

).,('2

ttxgtxgC

t

axtxg (Eq. 5.28)

0)(1

)).,((),('2

t

ax

ttxgCtxg (Eq. 5.29)

Da mesma forma que na Equao 5.11, a Equao 5.29 possui duas solues

distintas, assim verificando a condio de Rankine-Hugoniot nas duas

condies, chega-se a concluso que a soluo fisicamente coerente da

Equao 5.29 dada por:

0)(1

)).,((2

t

ax

ttxgC (Eq. 5.30)

t

axtxgC

)()),(( (Eq. 5.31)

Por isso, a funo ),( txg dada da seguinte forma:

t

axCtxg

)(),( 1 (Eq. 5.32)

Logo, a soluo da Equao 5.21 dada por:

60

])).(([,

])).(([])).(([,)(

])).(([,

),( 1

tuucaxu

tuucaxtuucat

axC

tuucaxu

txu (Eq. 5.33)

Exemplo 5.2:

Resolver o seguinte problema de Cauchy:

1,2

1,1)0,(

03

x

xxu

uuu xt

(Eq. 5.34)

Soluo:



forma:

txucxx )).(( 00 (Eq. 5.35)

1,8

1,

0

0

xtx

xtxx (Eq. 5.36)


perceber uma zona de rarefao que comea no ponto )0,1(),( bb tx .


61

2 Passo: Construo da soluo

A soluo do tipo onda de rarefao pode ser escrita utilizando-se a Equao

5.33, dessa forma:

]81[,2

]81[]1[,)1(

]1[,1

),( 1

tx

txtt

xC

tx

txu (Eq. 5.37)

Nesse problema a funo )(uC dada da seguinte forma:

3)( uuC (Eq. 5.38)

Dessa forma, a soluo da Equao 5.24 dada por:

]81[,2

]81[]1[,)1(

]1[,1

),( 3

tx

txtt

x

tx

txu (Eq. 5.39)

A Figura 5.8 mostra a soluo dada pela Equao 5.39 plotada para diferentes

tempos.

Figura 5.8: Soluo do Exemplo 5.2 plotadas em diferentes tempos.

62

6 Condio de Entropia

As solues do tipo ondas de choque e ondas de rarefao so solues

particulares da lei de conservao, quando utilizada a noo de soluo

suave por partes. Nesse tpico ser visto que a noo de soluo suave por

partes pode fazer com que um mesmo problema possua diversas solues,

assim a condio de entropia ser utilizada para se definir qual soluo possui

maior significado fsico.

6.1 No unicidade de solues suaves por partes

Considere o seguinte problema de Cauchy:

0,1

0,0)0,(

0

x

xxu

uuu xt

(Eq. 6.1)

Utilizando-se a soluo do tipo onda de rarefao, a soluo da Equao 6.1

pode ser escrita como:

tx

txt

x

x

txu

,1

0,

0,0

),( (Eq. 6.2)

Porm, utilizando-se a soluo do tipo ondas de choque, a soluo da Equao

6.1 pode ser escrita como:

xtA

tAxAtA

Atx

txu

)1(2

1,1

)1(2

1

2

1,

2

1,0

),( , onde )10( A (Eq. 6.3)

Assim a Equao 6.1 possui uma soluo do tipo onda de rarefao, e infinitas

solues do tipo ondas de choque, note que todas as solues obedecem

condio de Rankine-Hugoniot.

63

6.2 Condio de entropia

Quando um problema de valor inicial tem mais de uma soluo, utiliza-se a

condio de entropia para se escolher a soluo mais realista do ponto de vista

da fsica do problema. A condio de entropia pode ser definida da seguinte

forma:

Definio:

Uma funo ),( txu satisfaz a condio de entropia se possvel encontrar

uma constante positiva E que satisfaz:

t

E

h

txuthxu

),(, (Eq. 6.4)

Para todo Rx e 0t .

Graficamente a condio de entropia expressa inclinao mxima que funo

pode possuir com relao varivel x, como pode ser visto na Figura 6.1.

Figura 6.1: Representao grfica da condio de entropia.

A condio de entropia tambm pode ser representada utilizando-se o conceito

de derivada parcial, da seguinte forma:

t

E

h

txuthxuh

),(,lim 0 (Eq. 6.5)

Que pode ser escrito como:

t

Etxux ),( , Rx , e 0t . (Eq. 6.6)

64

Assim voltando ao Problema 6.1, deve-se analisar a condio de entropia nas

solues do tipo ondas de choque e ondas de rarefao.

I. Condio de Entropia na soluo do tipo ondas de choque:

A Figura 6.2 mostra o grfico da soluo dada pela Equao 6.3, possvel ver

que a maior inclinao acontece nos pontos de descontinuidade da funo,

assim, analisando o ponto da primeira descontinuidade, quando 2/Atx :

h

A

h

txuthxu

),(, (Eq. 6.7)

h

Ah 0lim (Eq. 6.8)

O que indica que as solues do tipo ondas de choque no satisfazem a

condio de entropia.

Figura 6.2: Soluo do tipo ondas de choque, da Equao 6.1, para um tempo

1t qualquer.

65

II. Condio de Entropia na soluo do tipo ondas de rarefao:

A Figura 6.3 mostra o grfico representando a soluo do tipo ondas de

rarefao para uma tempo t qualquer. possvel ver que a maior inclinao

ocorre no intervalo 1,0 tx , dessa forma:

),('

),(,11 ttu

h

txuthxux

(Eq. 6.9)

Figura 6.3: Soluo do tipo ondas de rarefao, da Equao 6.1, para um

tempo 1t qualquer.

1

11

1),('

tttu x , 01 t (Eq. 6.10)

Dessa forma, utilizando-se a condio de entropia:

t

E

h

txuthxu

),(,, quando 1E (Eq. 6.11)

Assim a soluo do tipo ondas de rarefao satisfaz a condio de entropia,

sendo a soluo mais fisicamente aceita.

Exemplo 6.1:

Verificar se a soluo do tipo ondas de rarefao da equao 6.12 satisfaz a

condio de entropia.

66

0,2

0,10,

0,,02

x

xxu

txuuu xt

(Eq. 6.12)

Soluo:

1 Passo: Construo das curvas caractersticas:

Do fato da Equao 6.12 ser homognea, as caractersticas so definidas da

seguinte forma:

txucxx )).(( 00 (Eq. 6.13)

0,4

0,

0

0

xtx

xtxx (Eq. 6.14)

A Figura 6.4 mostra as caractersticas definidas pela Equao 6.14. possvel

observar a formao de uma zona de rarefao a partir do tempo 0t .



A soluo do tipo ondas de rarefao dada de acordo com a seguinte

equao:

67

tx

txtt

x

tx

txu

4,2

4,

,1

),( (Eq. 6.15)

A Figura 6.5 mostra o perfil da soluo do Problema 6.12, para um tempo 1t

qualquer a partir do incio.

Figura 6.5: Perfil da soluo da Equao 6.12, para um tempo 1t qualquer a

partir do incio do problema.

3 Passo: Verificao da condio de entropia

De acordo com a Figura 6.5, a inclinao mxima quando 1tx , dessa

forma:

),('

),(,11 ttu

h

txuthxux

(Eq. 6.16)

tx

txtxt

tx

txu x

4,0

4,2

1

,0

),(' (Eq. 6.17)

68


0),('lim 11

txu xtx

(Eq. 6.18)

11

2

1),('lim

1t

txu xtx

, 01 t (Eq. 6.19)

Assim, aplicando a condio de entropia:

t

E

h

txuthxu

),(,, quando

2

1E (Eq. 6.20)

Assim a soluo do tipo ondas de rarefao dada pela Equao 6.15 satisfaz a

condio de entropia.

Exemplo 6.2:

Verificar se a soluo do tipo ondas de rarefao da equao 6.21 satisfaz a

condio de entropia.

0,1

0,00,

0,,02

x

xxu

txuuu xt

(Eq. 6.21)

Soluo:

1 Passo: Construo das curvas caractersticas:

As curvas caractersticas so dadas por:

0,

0,

0

0

xtx

xxx (Eq. 6.22)

A Figura 6.6 mostra as caractersticas definidas pela Equao 6.22. possvel

observar a formao de uma zona de rarefao a partir do tempo 0t .

69



A soluo do tipo ondas de rarefao dada de acordo com a seguinte

equao:

tx

txt

x

x

txu

,1

0,

0,0

),( (Eq. 6.23)

A Figura 6.7 mostra o perfil da soluo do Problema 6.21, para um tempo 1t

qualquer a partir do incio do problema.

3 Passo: Verificao da condio de entropia

De acordo com a Figura 6.7, a inclinao mxima quando 0x , dessa forma:

),0('

),(,1tu

h

txuthxux

(Eq. 6.24)

70

Figura 6.7: Perfil da soluo da Equao 6.21, para um tempo 1t qualquer a

partir do incio do problema.

xt

txxt

x

txu x

,0

0,2

1

0,0

),(' (Eq. 6.25)


0),('lim 10

txu xx

(Eq. 6.26)

),('lim 10

txu xx

, 01 t (Eq. 6.27)

De acordo com a Equao 6.27 impossvel encontrar um valor E positivo que satisfaa a condio de entropia, logo, a soluo do tipo ondas d

apostila elementos de matemática aplicada

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