apostila de trigonometria esférica e ortodromia by clc vivekananda
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Trigonometria Esférica VivekanandaTRANSCRIPT
CENTRO DE INSTRUÇÃO ALMIRANTER BRAZ DE AGUIAR – CIABA
TRIGONOMETRIA ESFÉRICA & NAVEGAÇÃO ORTODRÔMICA
POR
PROF. CLC J. VIVEKANANDA
2009
Prefácio
A Trigonometria Esférica estuda as relações entre os elementos de um
triângulo esférico. Qualquer triângulo plano, ou esférico, é composto de três lados e
três ângulos, sendo, portanto, seis elementos no total. As relações entre eles, os
elementos, servem para resolver os triângulos esféricos, o que significa calcular três
desses elementos quando são conhecidos os outros três.
A grande aplicação da Trigonometria Esférica para o Oficial de
Náutica é na navegação, seja a Astronômica ou Ortodrômica. Na primeira, quando
se considera o céu como uma esfera de raio infinito e a terra como o centro dessa
esfera, a Trigonometria Esférica é aplicada com extrema propriedade visto que
existe íntima relação entre ela e o sistema de coordenadas geográficas, no qual
se considera a terra como uma perfeita esfera. Na segunda, também a
Trigonometria Esférica é relacionada com o sistema de coordenadas geográficas, o
qual, em suma, é o responsável pelo posicionamento de qualquer lugar ou
embarcação na superfície do nosso planeta.
Nesta publicação estudaremos, da Trigonometria Esférica, o
necessário e suficiente para que possamos aplicá-la na Navegação Ortodrômica.
É importante observar que os princípios matemáticos necessários ao
estudo que ora apresentamos serão sucintamente aqui explicados, simplesmente
para que o leitor não venha a necessitar folhear outra qualquer publicação, motivado
pelo esquecimento ou desconhecimento daqueles princípios.
O AUTOR
2
SUMÁRIO
Prefácio
Unidade de Ensino I – A forma da terra................................................01
1.1 Conceitos preliminares indispensáveis para o estudo da trigonometria esférica.
Unidade de Ensino II - Fundamentos da Trigonometria Esférica.....................02
2.1 planos e esfera .............................................................................02
2.2 polos .............................................................................................02
2.3 meridianos, paralelos e equador..................................................03
2.4 a menor distância entre dois pontos ...........................................03
2.5 triângulo esférico ......................................................................04
2.6 propriedades gerais dos triângulos esféricos ..........................07
2.7 particularidades dos triângulos esféricos .................................08
2.8 relações entre os elementos de um triângulo esférico ............09
lei dos cosenos para os lados ................................................09
lei dos cosenos para os ângulos .............................................11
lei dos senos ............................................................................12
lei das tangentes ......................................................................12
usando calculadoras de bolso ..................................................14
aplicando logaritmos ...............................................................17
resolução pelo Excel ............................................................ 21
triângulos esféricos retângulos..................................................26
as dez fórmulas .......................................................................27
as analogias de NEPER ................................................................29
CAPÍTULO III – Navegação Ortodrômica ............................................32
3.1 navegação ortodrômica por pontos e por rumos iniciais ....... 33
3.2 casos particulares da navegação ortodrômica .......................33
3.3 o primeiro triângulo da ortodromia .........................................34
3.3 a diferença de longitude () e o caminho em longitude ......37
3.4 os sentidos leste e oeste ......................................................37
3.5 constantes do círculo máximo ..........................................38
3
3.6 cálculo da distância ortodrômica ............................................39
3.7 distância ortodrômica pelo Excel ..........................................41
3.8 convertendo o ângulo de partida (Pt) em rumo inicial (Ri) ....44
3.9 rumo inicial pelo Excel ............................................................45
CAPÍTULO IV - Vertexes de uma derrota ortodrômica ......................54
4.1 cálculo das constantes do círculo máximo .............................55
4.2 cálculo das coordenadas dos vertexes ...................................57
4.3 cálculo das constantes do círculo máximo pelo Excel ............58
4.4 visão básica dos vertexes ........................................................62
CAPÍTULO V - INFORMÁTICA APLICADA À ORTODROMA ...........67
5.1 a planilha do Excel ...................................................................67
5.2 inserindo dados ........................................................................68
5.3 calculando a diferença de longitude .......................................69
5.4 cálculo da distância a navegar .................................................72
5.5 cálculo do rumo inicial ............................................................72
5.6 cálculo de e.........................................................................73
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UNIDADE 1. A FORMA DA TERRA
A Terra, todos sabemos, não tem a forma perfeitamente esférica mas, sabemos
também, pode vir a ser considerada assim, dada a diminuta diferença entre seus dois
diâmetros (o maior, que é o equatorial e o menor que é o polar, diferentes em cerca de
40 km ou achatamento, em km, de 12.756/12.716). Para as navegações, então, A
TERRA É UMA ESFERA e, sendo assim, devemos estudá-la como tal e, ao navegar
em sua superfície, fazê-lo cônscios de que:
a) cada ponto de sua superfície admite um único plano tangente a ela como
esfera;
b) cada plano tangente a ela dista de seu centro de um valor linear igual à
medida de seu raio, considerado a metade da média aritmética entre os
seus diâmetros, o maior e o menor;
c) seus diâmetros polar e equatorial são, em tese, iguais;
d) seus “círculos máximos” são intercessões da sua superfície com planos
que lhes contém o centro e todos os demais círculos, formados em sua
superfície, oriundos de planos que não contenham seu centro, serão
chamados de “círculos menores”;
e) por dois pontos quaisquer de sua superfície, desde que não
diametralmente opostos, admite-se passar um único círculo máximo;
f) que qualquer de seus círculos máximos tem comprimento igual a medida
linear de 2.π.r, onde r é a medida de seu raio;
g) que o equador terrestre, equivalendo a 360º, tem 60 x 360 = 21.600
minutos de arco;
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Plano de Círculo Menor
Círculo Menor
Plano de Círculo Máximo
Círculo Máximo
h) que cada minuto de arco, de qualquer de seus círculos máximos, equivale
a uma milha náutica (1 M) ou 1853 metros;
i) a menor distância a se navegar entre dois pontos de sua superfície é um
arco de círculo máximo;
j) ORTODROMIA é navegação feita sobre um círculo máximo, assim como
LOXODROMIA é navegação feita fora de círculo máximo.
Figura 1 - O círculo máximo é originado de plano que passa pelo centro da esfera,
o círculo menor, por plano que não passa pelo centro da esfera.
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2. FUNDAMENTOS DA TRIGONOMETRIA ESFÉRICA
2.1 - Planos e Esfera
Uma esfera pode ser apenas tocada por um plano, em um único ponto,
tangenciando-a, ou pode cortá-la, separando-a em duas partes. No segundo caso o
plano determina, na sua intercessão com a superfície da esfera, uma figura
geométrica plana chamada círculo.
Se o plano, ao cortar a esfera, passar pelo seu centro, chamar-se-á plano
de círculo máximo; caso não passe pelo centro, tomará o nome de plano de
círculo menor.
A explicação desses nomes é muito simples: O círculo obtido da intercessão
de uma esfera por um plano terá o máximo diâmetro possível (igual ao diâmetro da
esfera) se o plano contiver o centro da esfera, determinando, então, o círculo
máximo; todos os outros determinados por planos paralelos a este, serão, assim,
menores.
Figura 2 – Um círculo máximo e o plano que o gera.
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2.2 - Polos
Ao cortar uma esfera, além do círculo que fica determinado pela sua
intercessão com a superfície da esfera, o plano determinará também os dois pontos
mais distantes, também da superfície da esfera, de si, plano. A esses dois pontos
chamamos polos:
Figura 3 – Um círculo menor e o plano que o gera.
2.3- Meridianos, Paralelos e Equador
A Terra tem a forma de um elipsóide de revolução, isto é: “De uma esfera
com achatamento nos pólos”, mas para o estudo das Navegações ela é considerada
de forma esférica. Essa é a razão de se estudar os Princípios da Trigonometria
Esférica.
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Os meridianos e o equador terrestres são círculos máximos. Já os
paralelos, são círculos menores.
2.4 A menor distância entre dois pontos
A menor distância entre dois pontos quaisquer da superfície de uma esfera é
um arco de círculo máximo.
Figura 4 – A menor distância entre dois pontos da superfície de uma esfera.
2.5 Triângulo Esférico
Conceito
É qualquer parte da superfície de uma esfera, limitada pelas seções de três
círculos máximos que se interceptam dois a dois. É qualquer das partes triangulares
da superfície de uma esfera quando esta é cortada por três planos de círculo
máximo que se interceptam.
Lembremos que um plano qualquer que intercepta uma esfera resulta em
uma figura geométrica chamada círculo. Esse círculo será máximo (o maior obtido
nessa mesma esfera, por ter seu raio igual ao da esfera) se o plano que o determina
contiver o centro dessa esfera. Nesse caso, tal plano chamar-se-á Plano de Círculo
Máximo. Se um plano corta uma esfera sem passar pelo seu centro, este não será
de círculo máximo pois determinará, na sua intercessão com a superfície dessa
esfera, um chamado círculo menor, já que sempre poderemos obter círculos
maiores que este, a medida que aproximarmos o plano do centro da esfera.
Triângulos esféricos somente podem ser originados de planos de
círculos máximos.
Imaginemos uma esfera como, por exemplo, um melão perfeitamente
esférico, sendo cortado por um plano de círculo máximo, que, no caso, seria uma
faca que o cortasse passando exatamente pelo seu centro. Nesse caso teríamos
apenas um plano cortando a esfera, o que, evidentemente, a separaria em duas
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metades, mas nenhuma das superfícies (as cascas das duas metades) seria uma
superfície triangular, logo, não temos triângulos esféricos quando apenas um plano
de círculo máximo secciona a esfera.
Figura 5 - Quando um único plano de círculo máximo secciona uma esfera, as duas semi-esferas resultantes não tem superfícies triangulares, não constituindo Triângulo
Esférico.
Agora imaginemos dois planos ( e ), ambos de círculo máximo, seccionando
uma mesma esfera, como se fizéssemos dois cortes no mesmo melão, ambos
passando pelo centro da fruta, de modo a dividi-la em quatro partes. Ainda assim
não teríamos, em nenhuma das cascas dessas partes (quatro gomos), superfície
triangular. Daí deduzimos que, também não temos nenhum triângulo esférico
formado na superfície de uma esfera quando apenas dois planos de círculo máximo
a interceptam.
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Figura 6 - Dois planos de círculo máximo que seccionam uma esfera, dividem-na em
quatro gomos, cujas superfícies não são triangulares.
Ao analisarmos um dos quatro gomos que resultaram do corte da esfera por
dois planos de círculo máximo, veremos que a superfície desse gomo não é
triangular justamente porque os encontros das seções de círculo, pertencentes a
este único gomo, são apenas duas (dois vértices), não caracterizando a formação de
triângulo na seção de superfície esférica desse gomo:
Figura 7 - Dois planos de círculo máximo que seccionam uma esfera, dividem-na emsuperfícies que não são triangulares.
Consideremos agora a esfera seccionada por três planos de círculo máximo.
É como se cortássemos o melão esférico com três golpes de faca, todos esses
golpes passando bem ao centro do melão. Desse modo teríamos o melão dividido
em oito partes, sendo que a seção da superfície esférica de cada uma dessas partes
(onde estaria a casca) seria um triângulo esférico. Assim, quando dividimos uma
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esfera por três planos concorrentes no centro dessa esfera (planos de círculo
máximo), determinamos, em sua superfície, oito triângulos esféricos, iguais dois a
dois se os ângulos entre os planos forem desiguais entre si. Se dois dos ângulos
formados entre os planos forem iguais entre si e diferentes do terceiro, teremos
quatro triângulos iguais entre si e diferentes dos outros quatro que, por sua vez,
serão também iguais entre si. Finalmente, se os três ângulos formados pela
intercessão dos três planos forem todos iguais, o que acontece quando estes planos
são perpendiculares entre si, teremos os oito triângulos iguais entre si.
Para representarmos uma esfera, naturalmente tridimensional, num
plano só, no caso o plano do papel, temos que considerar que um dos três planos é
sempre o próprio papel, o qual chamaremos de :
C
C’
A B
D
E
Figura 8 – A esfera seccionada por três planos de círculo máximo,
ortogonais entre si.
Do anteriormente exposto, concluímos que será facilitado o estudo da
Trigonometria Esférica se nos limitarmos aos estudo dos menores triângulos
formados na superfície da esfera cortada por três planos de círculo máximo (planos
formando ângulos desiguais entre si) porque, sendo eles apenas dois e iguais entre
si, resumiríamos nosso estudo ao estabelecimento das relações entre os elementos
de um só triângulo esférico. Assim é feito e, em qualquer situação em que tenhamos
três círculos máximos a determinar oito superfícies esféricas, apenas uma delas, o 12
C
B
A
a
b
c
chamado Triângulo Esférico, é estudado pela Trigonometria Esférica,
estabelecendo-se, para isso, algumas regras às quais chamaremos de propriedades
dos triângulos esféricos, vistas a seguir.
2.6 - Propriedades Gerais dos Triângulos Esféricos.
Em um triângulo ABC, onde os vértices são representados por letras
maiúsculas e os lados por letras minúsculas:
Figura 9 – Um triângulo esférico qualquer ABC
1a ) A soma dos lados é maior do que 00 e menor do que 3600 .
00 < a +b + c < 3600
2a) Qualquer lado é menor que a soma e maior que a diferença dos outro dois lados.
a + b > c > a - c
a + c > b > a - c
b + c > a > b - c
3a) Os lados e os ângulos opõem-se na ordem sucessiva de suas respectivas
grandezas:13
- Aos maiores ângulos opõem-se os maiores lados e vice-versa.
- Aos menores ângulos opõem-se os menores lados e vice-versa.
- A ângulos iguais opõem-se lados iguais e vice-versa.
4a) A soma dos ângulos de um Triângulo Esférico é maior que 1800 e
menor que 5400.
1800 < A + B + C < 5400
5a) A soma de quaisquer dois de seus ângulos é menor que o terceiro aumentado de
1800.
A + B < C + 180o
A + C < B + 180o
B + C < A + 180o
6a) A diferença entre quaisquer dois de seus ângulos é menor que o suplemento do
terceiro.
A - B < 180o - C e B - A < 180o - C
A - C < 180o - B e C - A < 180o - B
B - C < 180o -A e C - B < 180o - A
Para que as propriedades dos Triângulos Esféricos sejam obedecidas, é
aconselhável que na escolha do polo (N ou S) como vértice do Triângulo da
Ortodromia, quando os pontos de partida e chegada tem mesmo sinal de Latitude,
escolhamos, como terceiro vértice, o polo de mesmo sinal delas.
2.7- Particularidades dos Triângulos Esféricos
Os triângulos esféricos podem ser retângulos, bi-retângulos ou tri-
retângulos, conforme tenham um, dois ou três ângulos medindo 90o,
respectivamente; podem também ser retiláteros, bi-retiláteros ou tri-retiláteros,
conforme tenham um, dois ou três lados medindo 90o, respectivamente.
2. 8 - Relações entre os elementos de um Triângulo Esférico.
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As relações entre os seis elementos de um mesmo triângulo esférico, são
estabelecidas principalmente por três leis, chamadas de Lei dos Cossenos para os
Lados, Lei dos Cossenos para os Ângulos, Lei dos Senos e Lei das Tangentes. Tais
leis são suficientes para resolver qualquer caso de triângulo esférico aplicado à
Navegação.
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3. DEDUÇÃO DAS RELAÇÕES ENTRE OS ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO
ESFÉRICO RETÂNGULO
3.1 - Lei dos Cossenos para os Lados
“O cosseno de qualquer dos lados é igual ao produto dos cossenos dos
outros dois somado com o produto dos senos desses outros dois, multiplicado ainda
pelo cosseno do ângulo oposto ao lado pedido”.
ou
cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A
cos b = cos a . cos c + sen a . sen c . cos B
cos c = cos a . cos b + sen a . sen b . cos C
A dedução de tais fórmulas é feita da seguinte maneira:
Figura 10 – Um triângulo esférico traçado a partir do centro "O", da esfera
Do centro O da esfera, com um compasso, traçamos o triângulo ABC na
superfície esférica.
Do centro O da esfera traçam-se os raios que unem o centro aos vértices do
triângulo e prolongam-se dois deles.
No ângulo A do triângulo ABC tira-se duas tangentes aos lados c e b até
encontrar os prolongamentos dos raios que passam por B e C. Esses encontros
chamam-se, respectivamente, B’ e C’. Unindo B’ a C’ teremos formados os
triângulos AB’C’ e OB’C’.
Pela trigonometria plana sabemos que num triângulo qualquer ABC:
a2 = b2 + c2- 2.b.c.cos A
Aplicando aos triângulos AB’C’ e OB’C’ da fig.:
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sen2 c sen2 b sen b . sen c
cos2 c cos2 b cos b . cos c
cos A =
1 1 2 1 1 2
AB’C’ : (B’C’)2 =(AB’)2 +(AC’)2 - 2 (AB’) (AC’) COS A
OB’C’ : (B’C’)2 = (OB’)2 + (OC’)2 - 2(OB’) (OC’) COS a
Igualando-se os dois valores temos:
(AB’)2 + (AC’)2 - 2 (AB’) (AC’) COS A = (OB’)2 + (OC’)2 - 2(OB’) (OC’) COS a
Notando-se que (AB’) = tg c ; (AC’) = tg b ; (OB’) = sec c e (OC’) = sec b,
substitui-se:
tg2 c + tg2 b - 2 . tg b . tg c . cos A = sen2 c + sec2 b - 2 . sec b . sec c . cos a
Transformando-se os valores de tangente e secante em função de seno e
cosseno:
cos a
Eliminando-se os denominadores ( m.m.c. = cos2 b . cos2 c ) :
sen2 c . cos2 b + sen2 b . cos2 c - 2 . sen b . sen c . cos b . cos c . cos A = cos2 b + cos2 c - 2cos b .
cos c . cos a
Passando o 2o membro para o 1o:
sen2 c . cos2 b + sen2 b . cos2 c - 2 . sen b . sen c . cos b . cos c . cos A - cos2 b - cos2 c + 2cos b .
cos c . cos a = 0
Colocando-se em evidência (cos2 b . cos2 c) :
cos2 b (sen2 c-1) + cos2 c (sen2 b-1) -2sen b . sen c . cos b . cos c . cos A-cos2 b-cos2 c+2cos b.
cos c . cos A = 0
Como, pela trigonometria plana, sabemos que
sen2 b + cos2 b= 1 ; sen2 b - 1 = cos2 b
sen2 c + cos2 c= 1 ; sen2 c - 1 = cos2 c
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+ -
+ - 2
Substituímos:
-cos2 b . cos2 c - cos c . cos2 b - 2 sen b . sen c . cos b . cos c. cos A + 2 cos b . cos c . cos a = 0
-2 cos2 c.cos2 b - 2 sen b . sen c . cos b . cos c. cos A + 2 cos b . cos c .cos a = 0
Multiplicando ambos os membros por – 2 / (cos b . cos c), fica:
cos b . cos c + sen b . sen c . cos A - cos a = 0
onde:
cos a = cos b . cos c + sen b . sen c cos A
Se tirarmos as tangentes aos outros dois ângulos:
cos b = cos a . cos c + sen a . sen c . cos B
cos c = cos a . cos b + sen a . sen b . cos C
- Aplicação da Lei dos cossenos para os lados.
Ao verificarmos o conjunto das três fórmulas oriundas da Lei dos Cossenos
para os lados percebemos que essas fórmulas relacionam os três lados e um dos
ângulos de um triângulo esférico qualquer. Assim, deduzimos que tal lei serve para
resolvermos dois tipos de problemas:
a) Quando são dados os três lados (e aí então calcula-se cada um dos
ângulos); ou
b) Quando são dados dois lados e o ângulo compreendido entre eles ( aí
então calcula-se o terceiro lado e, já com os três lados, caímos no item a , onde são
dados os três lados, para calcular os elementos que faltam.
3.2 - Lei dos Cossenos para os Ângulos.
“O cosseno de qualquer dos ângulos de um triângulo esférico é igual ao
produto negativo dos cossenos dos outros dois ângulos, somado com o a
multiplicação do produto de seus senos pelo cosseno do lado oposto ao ângulo que
se quer calcular”:
cos A = - cos B . cos C + sen B . sen C . cos a
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cos B = - cos A . cos C + sen A . sen C . cos b
cos C = - cos A . cos B + sen A . sen B . cos c
Aplicação da Lei dos Cossenos para os Ângulos.
As fórmulas resultantes dessa Lei, como o leitor já deve ter observado,
relacionam os três ângulos e o lado oposto a um deles. Com tais fórmulas
poderemos resolver também dois tipos de problemas:
a) Quando são dados os três ângulos (e aí se calculam cada um dos lados);
ou
b) Quando são dados dois ângulos e o lado compreendido entre eles (nesse
caso calcula-se o terceiro ângulo e prosseguimos resolvendo o triângulo já com os
três ângulos conhecidos).
3.3 Lei dos Senos
“Os lados são proporcionais aos seus ângulos opostos”.
A Lei dos Senos resolve problemas quando:
- São dados dois lados e o ângulo adjacente a um deles e
- São dados dois ângulos e o lado adjacente a um, deles.
Aplicação da Lei dos Senos.
Essa Lei relaciona tanto dois lados e o ângulo oposto a um deles como dois
ângulos e o lado oposto a um deles. Dessa maneira, quando são dados dois lados e
o ângulo oposto a um deles, pode-se calcular o ângulo oposto ao outro lado dado.
Quando são dados dois ângulos e o lado oposto a um deles, pode-se calcular o
ângulo oposto ao outro lado dado.
3.4 Lei das tangentes
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sen a sen b sen c
= =sen A sen B
sen C
C
c
a
B
A
b
Em um Triângulo Esférico qualquer, ABC, se são conhecidos dois lados e o
ângulo compreendido entre eles, podemos calcular um dos outros ângulos aplicando
a relação:
Figura 11 – Triângulo esférico genérico ABC
O resumo da teoria sobre Trigonometria Esférica até aqui estudado é
suficiente para que se aplique ao nosso objetivo maior que é a Navegação (tanto a
Astronômica quanto a Ortodrômica). Desta forma, evitaremos prolongar ou
aprofundar esse estudo matemático sem resultados práticos, passando diretamente
a exercitar em resoluções de problemas sobre triângulos esféricos quaisquer, aquilo
que já aprendemos.
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Cotg a . Sen b = Cotg  . Sen C . + Cos b . Cos C de onde deduzimos:
Cotg a . Sen b – Cos C . Cos b = Sen C . Cotg A
dividindo toda a equação por (Sen C . Sen b), teremos:
(Cotg a/Sen C) – Cotg C . Cotg b . Cotg A Sen b e então
Sen b [(Cotg a / Sen C) – Cotg C . Cotg b] = Cotg A
A aplicação dessa equação é feita, principalmente, na Tábua ABC, das Norie’s Nautical Tables
Exercício Resolvido de Aplicação da LEI DOS COSSENOS PARA OS LADOS:
- Aplicando arcos notáveis:
Sabendo-se que, num triângulo esférico qualquer, a = 600 ; b = 450 e c = 450 ,
pede-se calcular o ângulo A :
Solução:
Cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A
cos a - cos b . cos c
Cos A =
sen b . sen c
1/2 - 2/2 . 2/2 1/2 - 1/2
Cos A = = = 0
2/2 . 2/2 1/2
A = 900
Note-se que quando aplicamos os arcos notáveis como valores dos
elementos dados, para a resolução de um triângulo, o problema torna-se
extremamente fácil, haja vista que não necessitamos consultar as Tábuas de
Funções Trigonométricas já que temos memorizados os valores das funções
trigonométricas daqueles arcos. Mas, na prática, isso geralmente não acontece e
sempre nos deparamos com a necessidade de utilizar aquelas Tábuas e trabalhar
com valores numéricos de, no mínimo, cinco casas decimais, que é o que dá a
aproximação dos décimos de minuto de arco nas respostas.
4. RELAÇÕES ENTRE OS ELEMENTOS DE TRIÂNGULO ESFÉRICO21
4.1 - Usando calculadoras de bolso.
Ao usarmos calculadora de bolso (científica) eliminamos, logicamente, a
necessidade de utilização das Tábuas. Nelas podemos encontrar as teclas
sen cos F com as quais podemos resolver nossos problemas e,
caso sua calculadora tenha mais de uma memória será ainda mais facilitado o
trabalho. Com a tecla 0 ‘ “ , caso exista na calculadora, o usuário pode digitar
diretamente os graus, minutos e décimos, sem ter a necessidade de transformar
todos os arcos (dados em grau, minuto e décimo de minuto) para valores de grau e
décimos de grau.
Quando trabalhamos com calculadora de bolso é importante
definir, antes de qualquer operação, se a unidade de arco utilizada será o Grau,
o Radiano ou o Grado. Estas unidades são indicadas pelas calculadoras como
DEG, RAD e GRAD, respectivamente. É natural que o navegador prefira sempre
trabalhar em Graus porque tanto os dados dos problemas devem estar sempre
nessa unidade ( porque são latitudes e longitudes lidos nas Cartas Náuticas,
em graus), como também os resultados obtidos, como o Rumo, são aplicados,
na prática, em um Piloto Automático cuja Rosa de Manobras também está
subdividida em graus e minutos de arco de horizonte.
Exemplo:
Dados : a = 1360 02.9’ ; b = 210 46.3’ ; C = 750 31.4’
Calcular o lado c.
Resolução:
A fórmula a ser aplicada será: cos c = cos a . cos b + sen a . sen b . cos C
1. Verificar se a calculadora está pronta para trabalhar em Graus (DEG), caso
negativo, prepará-la para tal.
2. Dividir os minutos de a (2.9) por 60 e somar com os graus correspondentes
(136), do resultado determina-se o cosseno:
22
(se sua calculadora tiver a tecla 0 ‘ “ digite diretamente os graus inteiros seguidos
dessa tecla, depois digite os minutos e décimos e novamente a mesma tecla: no
visor já será apresentado o valor transformado para graus e décimos de graus,
pronto para ser determinado o cosseno).
2.9 60 + 136 = cos
Se sua calculadora tiver várias memórias, armazene este resultado na
memória 1; caso ela só tenha uma só memória anote este resultado a parte ou
substitua na própria fórmula arredondando-o para a quinta casa decimal.
3) Proceda com b como fez com a :
46.3 60 + 21 = cos
Armazene o resultado na memória 2, ou substitua-o na fórmula (com cinco
casas decimais, no mínimo)
4) Repita a operação 2 trocando a tecla cos pela tecla sen. Substitua o
resultado na fórmula (sempre com um mínimo de 5 decimais) ou armazene na
memória 3.
2.9 60 + 136 = sen
5) Repita a operação 3 trocando a tecla cos pela tecla sen. Substitua o
resultado na fórmula (sempre com um mínimo de 5 decimais) ou armazene na
memória 4.
46.3 60 + 21 = sen
6) Repita a operação 3 trocando os valores de graus e minutos de b pelos
valores de C.
31.4 60 + 75 = cos
Substitua na fórmula ou armazene na memória 5.
23
7) Resolva a equação armada só com os valores numéricos que você
substituiu na fórmula (ou multiplique a memória 1 pela 2 , armazenando esse
resultado na memória 6; multiplique também as memórias 3, 4 e 5 entre elas e
armazene o resultado na memória 7, e some os resultados das memórias 6 e 7).
8) O resultado da operação anterior (7) será o cos C, a partir do qual você
calculará o valor do Arc cos C que, em certas calculadoras, é obtido teclando INV
antes do Cos e , em outras, tecla-se F antes de Cos.
Estando no visor da calculadora o resultado 0.89268 da operação 8 ,
simplesmente tecla-se
F cos ou INV cos
O resultado aparecerá no visor como 127,17333 , em graus e décimos de grau.
9) O resultado em graus, minutos e décimos de minuto será obtido, nas
calculadoras que tem a tecla 0 ‘ “ , diretamente ao apertarmos essa tecla. Nas
calculadoras que não tem a tecla 0 ‘ “ precisaremos anotar o valor dos graus inteiros
e multiplicar o valor dos décimos de grau por 60 para determinarmos os minutos e
décimos. O resultado será 1270 10.4’.
4.2 - Aplicando logaritmos
Quando não dispomos de calculadoras de bolso, além da necessidade de
procurar os valores das funções trigonométricas nas Tábuas, temos ainda que
executar as operações de multiplicação e divisão entre aqueles valores, que tornam
as operações extremamente demoradas e sujeitas a erros, já que temos que utilizar
sempre o mínimo de cinco casas decimais. Nesse caso é preferível logaritimar as
expressões já que, como sabemos, uma das principais utilidades dos logaritimos é
transformar multiplicações em somas, e divisões em subtrações, segundo duas de
suas propriedades:
24
log ( a . b ) = log a + log b
log ( a / b ) = log a - log b
Assim, quando se calcula, por exemplo, um dos ângulos de um triângulo
esférico qualquer, a partir dos três lados dados, aplicamos o logaritmo da seguinte
maneira:
Dados: os lados a, b,c
Calcular: o ângulo A.
cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A
cos a - cos b . cos c
cos A =
sen b . sen c
cos a cos b . cos c
cos A = -
sen b. sen c sen b . sen c
cos a cos b. cos c
fazendo x = e y =
sen b . sen c sen b . sen c
e, logaritimando ( na base 10 por ser mais comum), fica :
log x = log cos a - log sen b - log sen c ; log y = log cos b + log cos c - log sen b -
log sen c
Como sabemos que colog n = - log n , podemos substituir os
LOGARITMOS negativos em cologarítimos, tornando todas as parcelas, de ambas
as equações, positivas :
25
log x = log cos a + colog sen b + colog sen c ; log y = log cos b + log cos c + colog
sen b + colog sen c
A forma usualmente dada à resolução destes problemas é:
log cos a = log cos b =
colog sen b = log cos c =
colog sen c = colog sen b =
colog sen c =
log x = log y =
x = y =
cos A = x + y
A =
Nas resoluções dos problemas acima, chamamos atenção para os seguintes
detalhes:
- Quanto ao uso de tábuas:
a) Quando utilizada a Tábua de Logaritmos das Funções Trigonométricas,
obrigatoriamente teremos que considerar os sinais (positivo ou negativo) para x e
para y, de acordo com os valores dos cossenos naturais das parcelas que
constituem x e y.
b) As Tábuas de Logaritmos das Funções Trigonométricas fornecem os
valores com características negativas e mantissas positivas. Isto porque todos os
valores dos cossenos e senos são maiores que zero e menores que um (arcos no
primeiro quadrante), sendo, assim, as características de seus logaritimos, que
representam o número de zeros antes do primeiro algarismo significativo, sempre
números inteiros negativos ou subtraídos de dez.
- Quanto ao uso de calculadoras:
a) Quando usamos calculadora para resolver esses problemas (aplicando
logaritmo) temos que trabalhar com os logarítmos em uma única base (geralmente
26
A
B
C
a
b
c
a base 10), já que as calculadoras quase sempre podem trabalhar também com a
base e (número neperiano) ou outra base qualquer. As calculadoras apresentam, em
suas teclas, as iniciais Log quando a base é decimal e Ln quando a base é
neperiana.
b) Antes de teclarmos Log, depois de termos, no visor da calculadora, o valor
de uma função trigonométrica, é necessário que se transforme esse valor em um
valor positivo (caso ele seja negativo) sob pena de a calculadora indicar sinal de
erro, já que, como sabemos, não existe logaritmo de número negativo. Para inverter
o sinal de um número negativo apresentado no visor da calculadora, basta que se
aperte a tecla + -
O valor do logaritmo de um número encontrado na Tábua tem que ser o
mesmo valor fornecido pela calculadora, depois de somado com 10, pois as
calculadoras fornecem os valores com características e mantissas negativas.
Em um triângulo esférico ABC, dados dois lados e o ângulo compreendido
entre eles, calcular o terceiro lado.
A = 75O15’4 ; b = 83o43’8 ; c = 78o06’4
Calcular o lado a
Figura 12 – Triângulo ABC
Aplicando a Lei dos Cossenos para os Lados:
Cos a = Cos b . Cos c + Sen b . Sen c . Cos A
- Por Função Natural:
Cos a = Cos (83o43’8).Cos (78o06’4) + Sen (83o43’8) . Sen (78o06’4). Cos (75o15’4)
= 0,10921 . 0,20609 + 0,99402 . 0,97853 . 0,25449
= 0,02251 + 0,24754 = 0,27005
a = 74o20’
27
Resolvendo por função logarítmica.
Fazendo:
(Cos b . Cos c) = x e (Sen b . Sen c . Cos A) = y
cos a = x + y
resolvendo x e y:
log x = log cos (83o43’8) + log cos (78o06’4)
= 9.03828 + 9.31406 = 8.35234
x = 0,02251
log y = log sen (83o43’8) + log sen (78o06’4) + log cos (75o15’4)
= 9.99739 + 9.99057 + 9.40567 = 9.39363
y = 0,24754
cos a = 0,02251 + 0,24754 = 0,27004
a = 074o20’
Resolvendo pelo Excel.
Nas células G3 e H3, respectivamente, digitam-se as seguintes fórmulas:
G3=INT(GRAUS(ACOS(COS(RADIANOS(A4+B4/60))*COS(RADIANOS(C4+D4/60))
+SEN(RADIANOS(A4+B4/60))*SEN(RADIANOS(C4+D4/60))*COS(RADIANOS
(E4+F4/60)))))
H
3=60*((GRAUS(ACOS(COS(RADIANOS(A3+B3/60))*COS(RADIANOS(C3+D3/60))
+SEN(RADIANOS(A3+B3/60))*SEN(RADIANOS(C3+D3/60))*COS(RADIANOS(E3+
F3/60)))))-G3)
A B C D E F G H
1 b c A a
2 Gr MIN Gr MIN Gr MIN Gr Min
3 83 43,8 78 6,4 75 15,4 74 20
28
Exercício de Aplicação da Lei dos Cossenos para os Ângulos (dados os três
ângulos):
- Aplicação da Lei dos Cossenos para os Ângulos.
Grau Min
A = 98 14,7 CosA= - cosB.cosC+senB.senC.cosa
B = 33 42 cosa=(cosA+cosB.cosC)/(senB.senC)
C = 57 11,8 x= (cosA)/(senB.senC)
cos A= -0,1434 y= (cosB.cosC)/(senB.senC)
cos B= 0,83195 cos a= x + y
cos C= 0,54176 cosa= -0,3075 + 0,966445
sen B= 0,55484 cosa= 0,658947 a= 48 46,8
sen C= 0,84054 log cosB= 9,920099
sen A= 0,98966
log cosA
= 9,156568 log cosC= 9,733805
colog
senB= 0,255829
colog
senB= 0,255829
colog
senC= 0,075444
colog
senC= 0,075444
log x
= 9,48784 log y = 19,98518
x = -0,3075 y = 0,966445
cos a= 0,658947
a = 48,78035
48 46,8
cosB= - cosA.cosC+senA.senC.cosb
cosb=(cosB+cosA.cosC)/(senA.senC)
x = (cosB)/(senA.senC) y =(cosA.cosC)/(senA.senC)
cosB= x + y
cos B = 1,000128 + -0,09340 = 0,90673
B = 24 56,5 log cosA= 9,15657
log cosB
= 9,92010 log cosC= 9,73380
colog
senA= 0,004512
colog
senA= 0,00451
29
colog
senC= 0,075444
colog
senC= 0,07544
log x
= 0,00006 log y = -1,02967
x = 1,000128 y = -0,09340
cos b= 0,90673
b = 24,94238
b = 24 56,5
Outros exercícios resolvidos pelas aplicações das duas leis dos cossenos
(para os ângulos e para os lados).
1) Dados os lados a = 980 14.7’ e c = 400 28.4’ e o ângulo B = 1170 30.2’ ,
Calcular o lado b.
Solução:
Grau Min cos b = cos a . cos c + sen a .sen c . cos B
a= 98 14.7 x= cosa.cosc y= sena.senc.cosb
c= 40 28.4 cos b = x + y
B= 117 30.2 cosb= -0.10909 + -0.29665
cosa= -0.14341 cosb= -0.40574
cosc= 0.760708 b= 113 56.3
cosB= -0.4618 log cosa= 9.156568 log sena= 9.995488
sena= 0.989664 log cosc= 9.881218 log senc= 9.812308
senc= 0.649094 log cosB= 9.664454
senB= 0.886984 log x = 9.037786 log y = 9.47225
x= 0.10909 y= 0.296654
cosb= 0.405744
Com os lados a e c (dados) e o b (calculado) determinam-se os ângulos pela Lei dos Cosenos para
os lados.
30
2) Calcular o ângulo A de um triângulo esférico, sabendo-se que seus lados valem:
a = 1200 34.5’ ; b = 1050 57.4’ e c = 640 52.5’
Solução:
Grau Min
a = 120 34.5 Cosa= cosb.cosc+senb.senc.cosA
b = 105 57.4 cosA=(cosa-cosb.cosc)/(senb.senc)
c = 64 52.5 x= (cosa)/(senb.senc)
cos a= -0.50867 y= (cosb.cosc)/(senb.senc)
cos b= -0.27491 cos A= x - y
cos c= 0.42459 cosA= -0.58434 - -0.13409
sen b= 0.96147 cosA= -0.45025 A= 116 45.6
sen c= 0.90538 log cosb= 9.439191
sen a= 0.86096 log cosa = 9.70643 log cosc= 9.627974
colog senb= 0.01706 colog senb= 0.017064
colog senc= 0.04317 colog senc= 0.043167
log x = 9.76666 log y = 19.12740
x = -0.58434 y = -0.13409
cos A= -0.45025
A = 116.7596
116 45.6
31
3) Calcular o lado a do triângulo esférico que tem como ângulos
A = 1010 28.2’
B = 750 36.8’
C = 530 22.1’
Resolução:
Grau Min
A = 101 28.2 CosA= - cosB.cosC+senB.senC.cosa
B = 75 36.8 cosa=(cosA+cosB.cosC)/(senB.senC)
C = 53 22.1 x= (cosA)/(senB.senC)
cos A= -0.1989 y= (cosB.cosC)/(senB.senC)
cos B= 0.24846 cos a= x + y
cos C= 0.59667 cosa= -0.25582 + 0.19072
sen B= 0.96864 cosa= -0.0651 a= 93 44.0
sen C= 0.80249 log cosB= 9.395264
sen A= 0.98003 log cosA
=
9.29854 log cosC= 9.775733
colog
senB=
0.01384 colog
senB=
0.013837
colog
senC=
0.09556 colog
senC=
0.095562
Log x = 9.40793 log y = 19.28040
x = -0.2558 y = 0.19072
cos a= -0.0651
a = 93.73261
93 44.0
32
4) Calcular o ângulo C do triângulo esférico que tem A = 470 13.3’ ; B = 1200 09.9’
e c = 1230 31.6’.
Resolução:
Grau Min cosC = - cosA.cosB + senA.senB.cos c
A= 47 13.3 x= cosA.cosB y=senA.senB.cosc
B= 120 9.9 cosC= - x + y
c= 123 31.6 cosC= -
0.34127
4
+ -0.3505
cosA= 0.679164 cosC= -
0.00922
7
cosB= -0.50249 C= 90 31.7
cosc= -0.55233 log
cosA=
9.83197 log senA= 9.86569
senA= 0.733987 log
cosB=
9.70113 log senB= 9.93681
senB= 0.864582 log cosc= 9.74219
senc= 0.833629 log x = 9.5331 log y = 9.54469
x= -0.34127 y= -0.3505
33
5. TRIÂNGULOS ESFÉRICOS RETÂNGULOS.
O caso particular dos triângulos retângulos, na Trigonometria Esférica, é
largamente utilizado em resolução de problemas, tanto na Navegação Ortodrômica
quanto na Navegação Astronômica. Esse caso particular, apesar de poder ser
também resolvido pela aplicação das leis já aqui estudadas, merece, pela sua
importância, um estudo mais detalhado, como faremos a seguir, pois este simplifica
muito a memorização de suas fórmulas fundamentais e, consequentemente,
aumenta a rapidez das resoluções desse tipo de problema.
Quando se trata de um triângulo esférico retângulo, apenas dois de seus
elementos devem ser dados do problema já que o terceiro é o próprio ângulo reto.
Assim, dados dois elementos quaisquer de um triângulo retângulo esférico, podemos
calcular os outros três aplicando as Analogias de Neper.
5.1 - As dez fórmulas.
Para resolver qualquer triângulo retângulo esférico é necessário o
conhecimento de um conjunto de dez fórmulas, assim deduzidas:
Figura 13 – Triângulo esférico deduzido de triângulo plano.
Dado um triângulo ABC na superfície de uma esfera cujo centro é O, tal que
esse triângulo tenha seu ângulo C medindo 900, cujos lados a, b e c menores que
900, unem-se os vértices desse triângulo de modo a formar o triedro O-ABC.
Passando por B um plano perpendicular a OA, forma-se, nesse plano, o triângulo
plano BDE.
34
Como OE é perpendicular ao plano BDE, também é perpendicular a EB e ED.
Os triângulos BEO e DEO são, então, ambos retângulos, com seus ângulos retos
em E.
O ângulo BÊD mede o diedro B-OA-C (o ângulo A do triângulo esférico).
Como o plano BDE é perpendicular a OE, também é perpendicular a OAC e
sua intercessão nesse plano é OE. Sendo BD a intercessão dos planos OBC e BDE,
ambos perpendiculares a ao plano OAC, é, também, perpendicular a OAC. Assim
sendo, os triângulos BDO e BDE são retângulos, ambos com seus ângulos retos em
D.
Nos triângulos retângulos
(1) BDO, BDE e BEO: sen a = = x = sen  . sen c
(2) BDO, BDE e DEO: tg a = = x = tg  . sen b
(3) BEO, DEO e BDO: cos c = = x = cos b . cos a
(4) DEO, BDE e BEO: tg b = = x = cos  . tg c
Trocando a por b e A por B nas fórmulas (1), (2) e (4), teremos:
(5) sen b = sen B . sen c
(6) tg b = tg B . sen a
(7) tg a = cos B . tg c
O produto de (2) por (6) é tg a. tg b = tg A . tg B x sen a . sen b
Substituindo-se tg a por e tg b por e dividindo-se por sen
a . sen b
Teremos _____1______ = tg A . tg B
substituindo-se em (3) , obtém-se _________ = tg A . tg B ou
35
1
cos c
cos a . cos b
cos a sen b sen a sen b
OB OD OE OD ED EB
OB OD OB
OE OE OD
OD ED OD
OB EB OBDB DB EB
ab
co-A
co-cco-Bco-A
co-c
b
(8) cos c = cotg A . cotg B
Do produto de (5) por (4) obtém-se:
(9) cos A = sen B . cos a
Do produto de (1) por (7) obtém-se:
(10) cos B = sen A . cos b
5.2 - Analogias de Neper
A memorização das dez fórmulas acima pode ser feita com muita facilidade
se usarmos o artifício de recorrer a um triângulo esquemático, obtido do triângulo
esférico retângulo ABC, onde C = 900, o lado c é substituído pelo seu complemento
(900 - c), assim como os ângulos A e B , tornando-os (900 - A) e (900 - B). Constrói-se
um círculo, chamado Círculo de Neper, dividido em cinco partes, cada uma
ocupada por um dos elementos do triângulo esquemático, rigorosamente na mesma
ordem horária:
co-B
a
Figura 14 – Comparação entre o triângulo esférico retângulo e o círculo de cinco setores, feita por Neper.
No Circulo de Neper o elemento de qualquer dos setores terá sempre dois
adjacentes e dois opostos, de tal maneira que as Regras de Neper os associa,
através de:
I - O seno do meio é igual ao produto das tangentes dos adjacentes.
II - O seno do maio é igual ao produto dos cossenos dos opostos.
36
A
a BC
bc
Memorizados o círculo e as duas regras de Neper, poderemos deduzir
qualquer das dez fórmulas que resolvem os triângulos retângulos esféricos.
5.3 Aplicações práticas
Figura 15 – Triângulo esférico retângulo ABC
Considerando o triângulo esférico da figura acima, retângulo em C, resolver
os seguintes problemas:
1) Dados os lados a = 520 31.4’ e b = 690 46.8’ , calcular o ângulo A.
Resolução:
Fazendo b meio (sendo A e a adjacentes) e aplicando a
primeira regra:
sen b = tg a . tg (co-A) donde sen b = tg a . cotg A
Então:
sen b 0,93837 cotg A = = = 0,71943 tg a 1,30432
A = 540 16.0’
Aplicando logaritmo:
log sen b = 9.97237
colog tg a = -0.11538
log cotg A = 9.85699
A = 540 16’
37
2) Com os dados do problema anterior calcular o lado c .
Resolução:
Fazendo co-c ser o meio (a e b sendo opostos), no Círculo de Neper:
sen (co-c) = cos a . cos b
cos c = 0,60844 x 0,34563
cos c = 0,21029
c = 770 51.6’
Aplicando logaritmo:
log cos a = 9.78422
log cos b = 9.53861
log cos c = 9.32283
c = 770 51.6’
3) Ainda considerando os dados do problema 1, indicar a fórmula utilizada para
calcular o ângulo B.
Resolução:
Fazendo a ser meio, (co-B) e b serão adjacentes. Então
sen a = tg (co-B) . tg b
sen a
cotg B =
tg b
38
6. NAVEGAÇÃO ORTODRÔMICA
A Navegação Ortodrômica é aquela em que o navio procura seguir um arco
de círculo máximo limitado por dois pontos (o de partida e o de chegada). O objetivo
desta navegação é seguir o menor percurso entre esses pontos, pois, como
sabemos, na superfície de uma esfera (no caso a Terra), a menor distância entre
dois pontos é exatamente o menor arco do círculo máximo que contém esses
pontos. Por quaisquer dois pontos da superfície de uma esfera é possível, sempre,
ser traçado um círculo máximo. Isto porque três pontos definem um plano e, nesse
caso, além dos pontos de partida e de chegada, temos, como terceiro ponto, o
centro da Esfera Terrestre.
No caso da Terra (considerada esférica no nosso estudo), sejam quais forem
os pontos de partida e chegada, sempre poderemos uni-los por um arco de círculo
máximo.
Em se tratando de portos, é evidente que nem sempre podemos seguir essa
trajetória (navegando no círculo máximo que une os portos de partida e chegada)
haja vista que podem haver obstáculos (terra, águas não navegáveis ou outros
quaisquer) que nos impeçam de fazer tal navegação desde a saída de um porto até
a chegada ao porto seguinte. Aí então, procuramos depois do porto de partida, um
ponto que podemos considerar como inicial ou de partida e navegaremos até outro
ponto (mesmo que este seja anterior ao porto de destino) que consideraremos como
de chegada, daí seguindo em loxodromia até o porto de chegada ou até poder ser
retomada a Navegação Ortodrômica.
Quando navegamos em um círculo máximo temos a vantagem de percorrer o
caminho mais curto. Mas para que se execute, na prática, tal navegação
(Ortodrômica) se faz necessário que seja alterado o rumo do navio a maior
quantidade de vezes possível já que, na verdade, o navio percorrerá as tangentes
àquela curva. Isso acontece porque qualquer círculo máximo pertencente à esfera
terrestre, não sendo ele o Equador ou um dos Meridianos, forma, em cada ponto da
curva, um ângulo diferente com o meridiano que a intercepta naquele ponto. Assim,
quanto mais vezes os rumos forem alterados, maior será o número de tangentes ao
círculo máximo que procuramos seguir e, consequentemente, mais perfeita será a
curva descrita pelo navio.
39
Cada vez que o rumo for alterado teremos que considerar a posição atual do
navio (obtida por qualquer meio, como GPS, NAVSAT, Navegação Astronômica,
etc.) como ponto de partida e, junto com o ponto de chegada (constante para toda
a viagem), calcular o novo rumo (que geralmente é aplicado ao Piloto Automático
levando em consideração (Erro da Giro e abatimento), o qual é considerado como
Rumo Inicial.
6.1 Navegação Ortodrômica por Pontos e por Rumos Iniciais.
A Navegação Ortodrômica por Pontos é aquela em que se traçam tangentes
ao círculo máximo que pretendemos descrever com o navio e os encontros das
sucessivas tangentes serão os pontos que constituem os objetivos intermediários do
navio, isto é, os pontos que o navio deverá alcançar (way points). É lógico que,
sendo esses pontos pré-definidos, teremos instantes, também pré-determinados,
para mudanças de rumo, ou seja, para mudanças da direção de uma tangente para
a direção da tangente seguinte.
Na Navegação Ortodrômica por Rumos Iniciais poderemos determinar, cada
vez que obtemos uma Posição Observada, um novo Rumo Inicial.
Ambas as navegações acima descritas podem ser executadas nas cartas de
Projeção Gnomônica, próprias para ortodromia, ou nas de Mercator (para
loxodromia).
6.2 Casos Particulares de uma Navegação Ortodrômica.
Existem dois casos em que podemos descrever um círculo máximo da
superfície da Terra sem que tenhamos que mudar de rumo:
a) Quando os pontos de partida e de chegada têm a mesma longitude.
Neste caso navegaremos sempre sobre o mesmo meridiano (que é um círculo
máximo) e o rumo será o mesmo durante toda a viagem: 0000 se o ponto de
chegada estiver ao norte do ponto de partida ou 1800 se o ponto de chegada estiver
ao sul do ponto de partida.
b) Quando os pontos de partida e de chegada têm latitudes nulas . Sendo
as latitudes de partida e chegada ambas iguais a zero, navegaremos sempre sobre
40
o Equador (que é também um círculo máximo) e o rumo será o mesmo durante toda
a viagem: 0900 se o ponto de chegada estiver a Leste do ponto de partida ou 2700
se o ponto de chegada estiver a Oeste do ponto de partida.
6.3 A formação do primeiro triângulo da ortodromia.
- Associação da Trigonometria Esférica com a Navegação.
Quando se une dois pontos quaisquer da superfície da Terra através de um
arco de círculo máximo, estamos, na verdade, traçando um dos lados de um
triângulo esférico. Os terceiro ponto da superfície da terra, necessário e suficiente
para que possamos uní-los a cada um dos dois anteriores, traçando um Triângulo
Esférico, é o Polo Terrestre (Norte ou Sul) mais próximo. Assim, se são dados
quaisquer dois pontos da superfície da Terra, suponhamos que um deles seja o
ponto de partida de uma navegação e o outro seja o de chegada, podemos unir cada
um desses pontos (tanto o de partida como o de chegada) ao Pólo terrestre mais
próximo desses pontos, formando assim uma superfície triangular esférica que, com
certeza, é um triângulo esférico. Isto acontece porque os triângulos esféricos tem,
como já afirmamos antes, os lados como arcos de círculos máximos (originados de
planos que contém o centro da esfera), e, no caso agora estudado, quando unimos
um dos pontos (o de partida ou o de chegada) a um dos pólos terrestres, nada mais
estamos fazendo do que traçar uma seção do meridiano que passa por esse ponto
(meridiano de partida ou meridiano de chegada), e, como sabemos, os meridianos
são círculos máximos.
- O PrimeiroTriângulo da Navegação Ortodrômica.
O Triângulo da Navegação Ortodrômica é aquele cujos vértices são os pontos
de partida e de chegada da derrota, além de um dos polos terrestres. Daí podemos
deduzir que:
a) Um dos lados do Triângulo é própria distância a navegar (ou navegada) entre os
pontos de partida e de chegada.
41
b) Um dos dois outros lados é a co-latitude de partida ou a soma de 90° com a
latitude de partida, conforme os pontos de partida e chegada estejam no mesmo
ou em hemisférios diferentes.
c) O terceiro lado é a colatitude de chegada ou a soma da latitude de chegada com
90°, por motivo idêntico ao já citado.
Caso os pontos de partida e chegada estejam no mesmo hemisfério, o polo
terrestre escolhido para ser o terceiro vértice do triângulo, deverá ser de mesmo
sinal dos pontos de partida e chegada.
Dados dois pontos quaisquer da superfície da Terra, um deles chamado "de
partida" e outro "de chegada", por cada um deles traçamos um meridiano, além de
uni-los por um círculo máximo:
Figura 16 - Triângulo da Ortodromia (Polo-Ponto de Partida-Ponto de Chegada),
cujos lados são arcos dos meridianos de partida, de chegada, e do círculo máximo
da derrota
42
P
ChPt
Ri
LPt
LCh
dortC
A
Ba
bc
Vértices:
a) O primeiro dos vértices é um dos polos (Norte ou sul): se as latitudes de
partida e chegada tem o mesmo sinal, o vértice do triângulo será o polo
desse mesmo hemisfério. Se a partida e a chegada estão em hemisférios
diferentes, então o polo escolhido para vértice do triângulo poderá ser
qualquer dos dois.
b) Os outros dois vértices serão o ponto de partida (PT) e o ponto de chegada
(CH) .
Ângulos nos vértices:
a) Em P é a Diferença de Longitude (entre os pontos de Partida e Chegada:
b) Ângulo de Partida (PT), que se converte em Rumo Inicial (Ri)
c) Ângulo de Chegada (CH)
Figura 17 – Comparação entre os triângulos ABC e P, Pt, Ch (pólo-partida-chegada)
Lados:
Dos três lados do Triângulo Esférico clásico da Ortodromia, dois são
geralmente conhecidos (os originados das Latitudes de Partida e de Chegada) e o
terceiro é á distância a navegar.
Existirão quase sempre duas situações distintas:
43
PtCh
Pt)Ch)
1. Quando os pontos de partida e chegada estão no mesmo hemisfério.
Figura 18 – Relações entre os elementos do triângulo esférico e as coordenadas geográficas (partida e chegada no mesmo hemisfério).
Nesse caso os lados do triângulo da ortodromia serão, cada um o complemento da latitude (de partida ou de chegada, conforme o caso)
Figura 19 – Relações entre os elementos do triângulo esférico e as coordenadas geográficas (partida e chegada em hemisférios diferentes).
2. Quando os pontos de Partida e Chegada estão em hemisférios diferentes.
44
Nesse caso, um dos lados é o complemento da Latitude (Lp = 90º - ) e o
outro é a Latitude somada a 90º (Lc = + 90º)
Ângulo entre os dois Lados - é a diferença de Longitude entre a Partida e a
Chegada ()
A Longitude (de um Observador ou de um Lugar) - é o arco de Equador
contado desde o Meridiano de Greenwich até o Meridiano do lugar (ou do observador), de
000o a 180o, para Leste (E) ou para Oeste (W).
Diferença de Longitude – é o menor dos dois arcos em que o Equador é
dividido, quando cruzado pelos meridianos de dois lugares.
Caminho em Longitude – é a Diferença de Longitude orientada.
A Diferença de Longitude também é representada como um ângulo, formado no
polo.
A DIFERENÇA DE LONGITUDE () e o CAMINHO EM LONGITUDE
Figura 20 – Diferença de Longitude ()
6.4 - Os sentidos leste e oeste45
DIFERENÇA DE LONGITUDE
É o menor dos arcos de Equador, limitado pelos meridianos de dois lugares (ou dois observadores).
CAMINHO EM LONGITUDE
É a diferença de Longitude orientada (para E ou para W) no sentido da partida para a chegada.
PNE
PNE W
Pt
Além de Pontos Cardeais, os termos Leste (E) e Oeste (W) são empregados
para denominar sentidos de movimento:
a) Leste é o sentido do movimento natural de rotação da Terra. É anti-horário
para quem olha do Polo Norte e horário para quem olha do Polo Sul.
b) Oeste é o sentido contrário à rotação da Terra. É horário para quem olha
do Polo Norte e anti-horário para quem olha do Polo sul
6.5 - Constantes de um círculo máximo
Representadas pelas letras gregas e , as Constantes de um círculo máximo
de uma esfera são:
o arco de Equador medido desde o meridiano de partida até o ponto de
cruzamento do círculo máximo da derrota com o Equador; e
é o ângulo diedro formado entre os planos do Equador e do Círculo Máximo da
Derrota.
Quando destacamos o triângulo esférico Pt, I, O de uma ortodromia, com seus
elementos e , constantes do círculo máximo dessa ortodromia. Poderemos ter o
ponto intercessão (I) a Leste do Meridiano de Partida.
46
Figura 21 – As constantes ( e ) de um círculo máximo.
Como também pode essa intercessão (I), ficar a Oeste (w) do Meridiano de
Partida.
Em qualquer dos casos o arco deve ser combinado com a Longitude de
Partida para resultar na Longitude da Intercessão (I), por isso o valor desse arco
deve ser orientado (com sinal) para Leste ou para Oeste.
Quando as latitudes forem de sinais iguais: se a Latitude de chegada for
maior do que a Latitude de Partida (ch>pt), o terá sinal contrário ao do Caminho em Longitude ().
Figura 22 – Os sinais de e .
47
doo PtoCho
PtCh
(90-Pt)(90-Ch)
Porém, se as latitudes de partida e chegada tiverem sinais diferentes, ou se a
latitude de chegada for menor do que a de partida (ch<pt), o sinal de será o mesmo caminho em longitude ().
6.6 Cálculo da Distância Ortodrômica (do).
1. Quando os pontos de partida (Pt) e Chegada (Ch) encontram-se no mesmo
hemisfério (ambos de Latitude Norte ou ambos de Latitude Sul):
a) Os dados do problema são as posições geográficas dos pontos de partida
e chegada;
Pt = Pt =
Ch = Ch =
b) Dos dados do problema, deduzimos os três (3) elementos conhecidos do
Triângulo da Ortodromia, sendo dois lados e o ângulo compreendido entre eles.
Figura 23 – A distância ortodrômica como elemento do triângulo da ortodromia.
c) Calcula-se o valor de aplicando-se a fórmula
/Ch – (+/-) Pt usando as convenções seguintes:
E → +
W → -
d) Aplica-se a Lei dos Cossenos para os Lados:48
Ch
Pt
Ch)
Ch)
cos do = cos (90 - Pt) . cos (90 - Ch) + sen (90 - Pt) . sen (90 - Ch) . cos onde
cos do = sen Pt . sen Ch + cos Pt . cos Ch . cos
2. Quando os pontos de partida (Pt) e Chegada (Ch) encontram-se em hemisférios
diferentes (um tem Latitude Norte e outro tem Latitude Sul):
a) Os dados do problema são sempre as posições geográficas dos pontos de
partida e chegada;
Pt = Pt =
Ch = Ch =
b) Dos dados do problema, deduzimos os três (3) elementos conhecidos do
Triângulo da Ortodromia, sendo dois lados e o ângulo compreendido entre eles.
Figura 24 – Os argumentos do triângulo da ortodromia.
c) Aplica-se a Lei dos Cossenos para os Lados:
cos do = cos (90 - Pt) . cos (90+Ch) + sen (90-Pt) . sen (90+Ch) . cos onde
cos do = sen Pt . (- sen Ch) + cos Pt . cos Ch . cos e, finalmente
cos do = - sen Pt . sen Ch + cos Pt . cos Ch . cos
d) Essa formula serve para calcular a distância ortodrômica aplicando
diretamente as funções trigonométricas naturais: seno e cosseno, usando uma
49
calculadora científica ou uma Tábua de Funções Trigonométricas Naturais comum
ou a das Norie's Nautical Tables.
e) No caso da falta de uma calculadora científica, o s cálculos tornam-se
extremamente sujeitos a erros, haja vista a necessidade de executar os cálculos
todos com cinco casas decimais para se conseguir a aproximação da distância até
décimo de milha. Assim, as operações de números com tantas casas decimais não
somente tornam os cálculos vulneráveis a erros, como também mais demorados,
diminuindo o número de vezes que se calcula a distância a navegar e,
principalmente, o rumo a seguir chamado rumo inicial (Ri) para continuar a
ortodromia.
f) Para agilizar os cálculos, convertendo as multiplicações entre números de
vários algarismos em somas, assim como as divisões em subtrações, aplica-se a
função logaritmica chamando as duas parcelas da soma de x e y:
cos do = - sen Pt . sen Ch + cos Pt . cos Ch . cos
onde x = - sen Pt . sen Ch e y = cos Pt . cos Ch . cos
Então, cos do = y –x
Depois, é só logaritmar os valores de x e de y, calculando seus valores em
seguida:
log sen Pt = log cos Pt =
log sen Ch = log cos Ch =
log x = log . cos
log y =
x = y =
Distância Ortodrômica pelo EXCEL.
50
a) Inserir os dados (posições geográficas do ponto de partida e do ponto de
chegada) nas primeiras doze colunas, separando, tanto a Latitude como a Longitude
de partida, em Graus, Minutos e Sinal (3) da Latitude de Partida; Graus Minutos e
Sinal da Longitude de Partida (3), totalizando as primeiras seis (6) colunas e
repedindo com a posição de chegada, mais três (3) colunas para a Latitude de
chegada e três (3) para a Longitude de chegada, no total de doze colunas, só para
os dados do problema clássico da Ortodromia. Todas as fórmulas serão inseridas
nas colunas seguintes, como veremos mais adiante.
A B C D R F G H I J K L
Pt Pt Ch Ch
Gr Min N/S Gr Min E/W Gr Min N/S Gr Min E/W
b) Na primeira linha mesclam-se as células, de ter em três, para inserção de
cada uma das coordenadas, tanto de partida como de chegada.
c) A segunda linha é reservada às unidades de medida e sinais de cada
coordenada.
d) Da terceira linha em diante, reservamos para cada problema, ou seja, a
sequência da Navegação Ortodrômica, por way point, cada um com suas
coordenadas, as de partida mudando com a evolução da navegação, a cada
determinação da posição do navio, seja pelo GPS ou pela Navegação Astronômica.
Quanto à posição de chegada, essa permanecerá constante até que mude o destino
da viagem.
e) As três colunas que sucedem as doze colunas dos dados, ou seja, as
colunas M, N e O, são reservadas à inserção dos elementos do Triângulo da
Ortodromia, ou seja, as fórmulas que definem os valores dos dois lados e do ângulo
compreendido entre eles, em função das coordenadas de partida e chegada.
51
f) A coluna M será, então, reservada ao lado deduzido com o auxílio da
Latitude de Partida, a coluna N ao lado deduzido com auxílio da Latitude de
Chegada e a coluna O destinada ao ângulo compreendido entre esses lados, que é
a Diferença de Longitude.
g) Na linha dois (2) citamos as unidades de medida dos três elementos dados,
que será radianos (Rad), unidade trabalhada pelo Ecxel.
M N O P
LPt LCh E/W
Rad Rad Rad
h) As fórmulas que transformam as coordenadas geográficas dos pontos de
partida e chegada em elementos do Triângulo da Ortodromia são:
Em M3 : =RADIANOS(90-(A3+(B3/60)))
Em N3 : =RADIANOS(SE(C3=I3;90-G3-H3/60;90+G3+H3/60))
Em O3 :
i) o último passo, o preenchimento das linhas da coluna P:
P1: célula vazia;
P2: E/W como opções para o sinal da ;
P3: a fórmula que calcula o sinal da : =SE(F3=L3;SE((J3+K3/60-D3-
E3/60)>0;L3;SE(L3="E";"W";"E"));SE((J3+K3/60+D3+E3/60)>180;F3;L3))
6.7 O Cálculo do Rumo Inicial
Após calcular a Distância Ortodrômica, como mostrado nos capítulos
anteriores, ficamos com os três lados do Triângulo à nossa disposição para calcular
o ângulo de partida (Pt), que será o principal argumento na determinação do Rumo
Inicial (Ri)
52
=RADIANOS(SE(F3=L3;ABS(J3+K3/60-D3-E3/60);SE((J3+K3/60+D3+E3/60)>180;360-(J3+K3/60+D3+E3/60);(J3+K3/60+D3+E3/60))))
P
Pt
Ch(90+Pt)
(90-Ch)
P
Ch
Pt
(90+Pt)
(90-Ch)
dodo
Figura 25 – Dois ângulos de partida (Pt) diferentes.
a) Como os ter lados já são conhecidos, aplica-se a Lei dos Cossenos para os
Lados para calcular um dos ângulos, no caso o ângulo Pt, iniciando o
desenvolvimento da fórmula pelo lado oposto ao ângulo que se deseja
calcular:
A relação abaixo será aplicada ao caso do gráfico à direita da figura anterior,
ou seja, quando os pontos de partida e chegada encontram-se em hemisférios
diferentes.
cos(90-Ch) = cos do . cos (90 + Pt) + sen do . sen (90 + Pt) . cos Pt onde
cos Pt =
cos Pt =
Quando aplicada a função logarítmica para tornar ágil a resolução, fica:
x = y =
53
sen do . cos Pt sen do . cos Pt
sen Ch cos do . sen Pt
sen do . cos Pt sen do . cos Pt
sen Ch cos do . sen Pt
sen do . cos Pt) sen do . cos Pt)
cos(90-Ch) cos do . cos (90+Pt)
logaritimando x e y :
log sen Ch = log cos do =
colog sen do = log sen Pt =
colog cos Pt = colog sen do =
log x = colog cos Pt =
log y =
cos Pt = x + y
Pt =
Convertendo o Ângulo de Partida (Pt) em Rumo Inicial (Ri).
O ângulo de partida, Pt, como é medido desde o Norte ou do Sul do
horizonte, conforme o pólo escolhido para vértice do Triângulo da Ortodromia, tanto
pode ser contado para Leste (E) como para Oeste (W), admitindo, assim, qualquer
dos seguintes sinais: NE, SE. NW ou SW. Como o Rumo Inicial (Ri) é sempre
contado exclusivamente a partir do Norte (N) e exclusivamente no sentido Leste (E),
como todo e qualquer outro rumo, de 000o a 360o, como mostra a Rosa dos Ventos,
somente em uma condição o valor absoluto do Ri coincidirá com o valor absoluto do
Pt : é no caso do sinal do Pt ser NE. Em todos os outros três casos, há que fazer a
conversão do Pt para Ri, como mostrado a seguir:
54
Os sinais do ângulo Pt serão o do pólo escolhido como vértice do triângulo da ortodromia e o do Caminho em Longitude ().
Figura 26 – calculando o rumo verdadeiro inicial usando o ângulo na partida
(PT) como dado.
Rumo Inicial pelo Excel
Depois de calculada a Distância Ortodrômica (do), na célula P3, como visto no
capítulo anterior denominado Distância Ortodrômica pelo EXCEL, prosseguimos
aproveitando toda a construção anteriormente feita. o ângulo Pt na mesma linha que
abrigou a Distância Ortodrômica (do)
i. Primeiro inserimos, na coluna Q, a identificação da distância Ortodrômica,
registrada em Milhas, para que seja aplicada na Lei dos Cossenos para os Lados,
depois de convertida para Radianos, junto com os outros dois lados também
conhecidos em radianos:
Q1 : do
Q2 : M
Q3 : =60*(GRAUS(ACOS(COS(M3)*COS(N3)+SEN(M3)*SEN(N3)*COS(O3))))
55
ii. Convertemos a distância ortodrômica para Radianos, compatibilizando as
unidades de medidas dos três lados dados, na coluna R:
R1 : do
R2 : Rad
R3 : =RADIANOS(Q3/60)
iii. Em seguida, com os três lados conhecidos, todos em radianos, aplica-se a Lei
dos Cossenos para os Lados para calcular o ângulo Pt , na célula S3, não sem antes
identificar a coluna S, nas linhas S1 e S2:
S1: Pt
S2 : Gr
S3 : = GRAUS(ACOS((COS(N3)-COS(M3)*COS(Q3))/(SEN(Q3)*SEN(N3))))
M N O P Q R S T U V
1 LPt LCh E/W do do Pt
2 Rad Rad Rad M Rad Gr N/S E/W
3
iv. As duas colunas seguintes, T e U, são destinadas aos sinais do ângulo Pt :
T1 : célula vazia U1 : célula vazia
T2 : N/S U2 : E/W
T3 : =C3 U3 : =P3
v. Com o valor de Pt (coluna S) e seus sinais (colunas T e U), calculamos o Rumo
Inicial (Ri) na coluna V :
V1 : Ri
V2 : Graus
V3 : =SE(T3="N";SE(U3="E";S3;360-S3);SE(U3="E";180-S3;180+S3))
56
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
4.1 - Da Lei dos Cossenos para os Lados
4.1.1 - Aplicando arcos notáveis:
Sabendo-se que, num triângulo esférico qualquer, a = 600 ; b = 450 e c
= 450 , pede-se calcular o ângulo A :
Solução:
Cos a = cos b .cos c + sen b .sen c . cos A
cos a - cos b . cos c
Cos A =
sen b . sen c
1/2 - 2/2 . 2/2 1/2 - 1/2
Cos A = = = 0
2/2 . 2/2 1/2
A = 900
Note-se que quando aplicamos os arcos notáveis como valores dos
elementos dados, para a resolução de um triângulo, o problema torna-se
extremamente fácil, haja vista que não necessitamos consultar as Tábuas de
Funções Trigonométricas já que temos memorizados os valores das funções
trigonométricas daqueles Arcos. Mas, na prática, isso geralmente não acontece e
sempre nos deparamos com a necessidade de utilizar aquelas Tábuas e trabalhar
com valores numéricos de, no mínimo, cinco casas decimais, que é o que dá a
aproximação dos décimos de minuto de arco nas respostas.
57
4.1.2 - USANDO CALCULADORAS DE BOLSO.
Ao usarmos calculadora de bolso (científica) eliminamos, logicamente,
a necessidade de utilização das Tábuas. Nelas podemos encontrar as teclas sen
cos F com as quais podemos resolver nossos problemas e, caso sua
calculadora tenha mais de uma memória será ainda mais facilitado o trabalho. As
calculadoras que tem a tecla 0 ‘ “ também facilitam o trabalho do usuário pois
com elas pode-se digitar diretamente os graus, minutos e décimos, sem ter a
necessidade de transformar todos os arcos (dados em grau, minuto e décimo de
minuto) para valores de grau e décimos de grau.
Quando trabalhamos com calculadora de bolso é importante
definir, antes de qualquer operação, se a unidade de arco utilizada será o Grau,
o Radiano ou o Grado. Estas unidades são indicadas pelas calculadoras como
DEG, RAD e GRAD, respectivamente. É natural que o navegador prefira sempre
trabalhar em Graus porque tanto os dados dos problemas devem estar sempre
nessa unidade (porque são latitudes e longitudes lidos nas Cartas Náuticas,
em graus), como também os resultados obtidos, como o Rumo, são aplicados,
na prática, em um Piloto Automático cuja Rosa de Manobras também está
subdividida em graus e minutos de arco de horizonte.
Exemplo:
Dados : a = 1360 02.9’ ; b = 210 46.3’ ; C = 750 31.4’
Calcular o lado c.
Resolução:
A fórmula a ser aplicada será cos c = cos a . cos b + sen a . sen b . cos C
1) Verificar se a calculadora está pronta para trabalhar em Graus (DEG), caso
negativo, prepará-la para tal.
2) Dividir os minutos de a (2.9) por 60 e somar com os graus correspondentes (136),
do resultado determina-se o cosseno:
58
(se sua calculadora tiver a tecla 0 ‘ “ digite diretamente os graus inteiros seguidos
dessa tecla, depois digite os minutos e décimos e novamente a mesma tecla: no
visor já será apresentado o valor transformado para graus e décimos de graus,
pronto para ser determinado o cosseno).
2.9 60 + 136 = cos
Se sua calculadora tiver várias memórias, armazene este resultado na
memória 1; caso ela só tenha uma só memória anote este resultado a parte ou
substitua na própria fórmula arredondando-o para a 5a casa decimal.
3) Proceda com b como fez com a :
46.3 60 + 21 = cos
Armazene o resultado na memória 2, ou substitua-o na fórmula (com 5 casas
decimais, no mínimo)
4) Repita a operação 2 trocando a tecla cos pela tecla sen. Substitua o resultado na
fórmula (sempre com um mínimo de 5 decimais) ou armazene na memória 3.
2.9 60 + 136 = sen
5) Repita a operação 3 trocando a tecla cos pela tecla sen. Substitua o resultado na
fórmula (sempre com um mínimo de cinco decimais) ou armazene na memória 4.
46.3 60 + 21 = sen
6) Repita a operação 3 trocando os valores de graus e minutos de b pelos valores de
C.
31.4 60 + 75 = cos
59
Substitua na fórmula ou armazene na memória 5.
7) Resolva a equação armada só com os valores numéricos que você substituiu na
fórmula
(ou multiplique a memória 1 pela 2 , armazenando esse resultado na memória 6;
multiplique também as memórias 3, 4 e 5 entre elas e armazene o resultado na
memória 7).
e some os resultados das memórias 6 e 7).
8) O resultado da operação anterior (7) será o cos C, a partir do qual você calculará
o valor do
Arc cos C que, em certas calculadoras, é obtido teclando INV antes do Cos e , em
outras, tecla-se F antes de Cos.
Estando no visor da calculadora o resultado 0.89268 da operação 8 ,
simplesmente tecla-se
F cos ou INV cos
o resultado aparecerá no visor como 127,17333 , em graus e décimos de grau.
9) O resultado em graus, minutos e décimos de minuto será obtido, nas calculadoras
que tem a tecla 0 ‘ “ , diretamente ao apertarmos essa tecla. Nas calculadoras que
não tem a tecla 0 ‘ “
precisaremos anotar o valor dos graus inteiros e multiplicar o valor dos décimos de
grau por 60 para determinarmos os minutos e décimos. O resultado será 1270 10.4’
4.1.3 - APLICANDO LOGARITMOS.
Quando não dispomos de calculadoras de bolso, além da necessidade de
procurar os valores das funções trigonométricas nas Tábuas, temos ainda que
executar as operações de multiplicação e divisão entre aqueles valores, que tornam
as operações extremamente demoradas e sujeitas a erros, já que temos que utilizar
sempre o mínimo de cinco casas decimais. Nesse caso é preferível logaritimar as
60
expressões já que, como sabemos, uma das principais utilidades dos logaritimos é
transformar multiplicações em somas e divisões em subtrações, segundo duas de
suas propriedades:
log ( a . b ) = log a + log b
log ( a / b ) = log a - log b
Assim, quando se calcula, por exemplo, um dos ângulos de um triângulo
esférico qualquer, a partir dos três lados dados, aplicamos o logaritmo da seguinte
maneira:
Dados: lados a , b e c
Calcular: ângulo A .
cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A
cos a - cos b . cos c
cos A =
sen b . sen c
cos a cos b . cos c
cos A = -
sen b. sen c sen b . sen c
cos a cos b. cos c
fazendo x = e y =
sen b . sen c sen b . sen c
e, logaritimando ( na base 10 por ser mais comum), fica :
log x = log cos a - log sen b - log sen c ; log y = log cos b + log cos c - log sen b -
log sen c
61
como sabemos que colog n = - log n , podemos substituir os logaritimos
negativos em cologarítimos, tornando todas as parcelas, de ambas as equações,
positivas :
log x = log cos a + colog sen b + colog sen c ; log y = log cos b + log cos c + colog
sen b + colog sen c
A forma usualmente dada à resolução destes problemas é:
log cos a = log cos b =
colog sen b = log cos c =
colog sen c = colog sen b =
colog sen c =
log x = log y =
x = y =
cos A = x + y
A =
Nas resoluções dos problemas acima, chamamos atenção para os seguintes
detalhes:
1) Quanto ao uso de tábuas:
a) Quando utilizada a Tábua de Logaritmos das Funções Trigonométricas,
obrigatoriamente teremos que considerar os sinais (positivo ou negativo) para x e
para y , de acordo com os valores dos cossenos naturais das parcelas que
constituem x e y .
b) As Tábuas de Logaritmos das Funções Trigonométricas fornecem os valores com
características negativas e mantissas positivas. Isto porque todos os valores dos
cossenos e senos são maiores que zero e menores que um (arcos no primeiro
quadrante), sendo, assim, as características de seus logarítimos, que representam
62
o número de zeros antes do primeiro algarismo significativo, sempre números
inteiros negativos ou subtraídos de dez.
2) Quanto ao uso de calculadoras:
a) Quando usamos calculadora para resolver esses problemas (aplicando logaritmo)
temos que trabalhar com os logarítimos em uma única base (geralmente a base
10), já que as calculadoras quase sempre podem trabalhar também com a base e
(número neperiano) ou outra base qualquer. As calculadoras apresentam, em suas
teclas, as iniciais Log quando a base é decimal e Ln quando a base é neperiana.
b) Antes de teclarmos Log, depois de termos, no visor da calculadora, o valor de
uma função trigonométrica, é necessário que se transforme esse valor em um valor
positivo (caso ele seja negativo) sob pena de a calculadora indicar sinal de erro, já
que, como sabemos, não existe logaritmo de número negativo. Para inverter o sinal
de um número negativo apresentado no visor da calculadora, basta que se aperte a
tecla
+ -
O valor do logaritmo de um número encontrado na Tábua tem que ser o
mesmo valor fornecido pela calculadora, depois de somado com 10, pois as
calculadoras fornecem os valores com características e mantissas negativas.
CAPÍTULO IV - Vertexes de uma Derrota Ortodrômica
Os vertexes de uma derrota ortodrômica são os mesmos vertexes do círculo
máximo onde a derrota está inserida e os vertexes de um círculo máximo qualquer,
da Esfera Terrestre, são os pontos mais afastados do Equador, aqueles de maiores
latitudes de todos os que compõem o círculo máximo. Um tem latitude Norte (N),
outro tem Latitude Sul (S), sempre diametralmente opostos. Portanto, distantes entre
eles de um arco de Equador igual a 180º e, também, distantes, cada um, de um arco
de 90º de Equador, de cada ponto de cruzamento do círculo máximo da derrota com
o Equador, as duas Intercessões chamadas I1 e I2.
63
PS
PN
Vertex Norte
Vertex Sul
Intercessão I1
Intercessão I2
Vertex Norte
Intercessão I2 Intercessão I1
Vertex Sul
Figura 27 – Pontos notáveis do círculo máximo de uma derrota.
Figura 28 – Pontos notáveis do círculo máximo de uma derrota vistos do zênite.
64
Cálculo das Constantes do Círculo Máximo
Para calcular as constantes do círculo máximo de uma derrota ortodrômica
são necessários dois dados fundamentais, ambos constantes da primeira parte do
problema fundamental já resolvido quando foram calculados o Rumo Inicial (Ri) e a
Distância Ortodrômica (do), são:
1. As coordenadas do Ponto de Partida, Pt e Pt ; e
2. O ângulo Pt e seus sinais.
Com esses dados, procede-se do seguinte modo, armando um novo triângulo:
i. Plotado o ponto de partida (primeiro vértice do novo triângulo), traça-se, por ele, o
meridiano de partida, até que encontre o Equador, com quem fará um ângulo reto,
intercessão essa que será o segundo vértice do novo triângulo (obviamente
retângulo);
ii. Também pelo ponto de partida traça-se um arco do círculo máximo da derrota no
sentido do Equador, em cuja intercessão será indicado o terceiro vértice desse novo
triângulo, como mostra a figura a seguir:
65
I O
pt
VN
Pt
O = 90º
= ConstantePt =
IO = ConstanteOPt = pt
Figura 29 – O segundo triângulo da ortodromia.
Elementos do Triângulo:
Ângulos Lados
66
VS
Os elementos adjacentes ao ângulo reto não são antecedidos por co (indicando os complementos)pt
Co-Co-Vazio
Co-Pt
iii. Arma-se um círculo (chamado Círculo de Neper) dividido em cinco setores,
alocando em cada um desses setores um dos elementos do novo triângulo, exceto
o ângulo de noventa graus, na mesma ordem em que são encontrados no novo
triângulo, usando os complementos dos elementos não adjacentes ao ângulo de
noventa graus:
Figura 30 – O Círculo de NEPER aplicado ao segundo triângulo da ortodromia.
Cada um desses cinco setores tem dois outros, chamados opostos (sem lado
em comum) e dois outros, chamados adjacentes (com lado em comum).
iv. Fazendo com que um dos setores seja meio, relaciona-se com outros dois
setores, adjacentes ou opostos, através das duas (2) analogias de Neper :
1) O seno do meio é igual ao produto dos cossenos dos opostos; e
2) O seno do meio é igual ao produto das tangentes dos adjacentes.
v. Para calcular as constantes e , aplicamos o círculo e as analogias de Neper:
a. fazendo ser “meio”: sen (co- = cos (co-Pt). cos pt
cos = sen Pt . cos pt
b. fazendo pt ser “meio” : sen pt = tg(co- . tg Pt onde
tg(co- sen pt . cotg Pt
67
I Pt = neutro 90º
PN
PS
Perfil do Plano do Equador do Círculo Máximo da Derrota
Vertex Norte
Vertex Sul
VN
VS
cotg
vi. Se aplicarmos a função logarítmica para calcular ambas as constantes, ficarão:
log cos Pt = log sen pt
log cos pt = log cotg Pt
log cos = log cotg
=
Cálculo das Coordenadas dos Vertexes
1. O nada mais é do que o ângulo diedro formado entre os planos do
Equador e do Círculo Máximo da Derrota, portanto, é comum ao centro da Esfera
Terrestre e na superfície dela. Assim:
Figura 31 – Os perfis de dois planos de círculo máximo.
O valor absoluto das latitudes dos vertexes Norte e Sul é o mesmo, e igual ao
próprio valor de
Então, VN = N e VS = S
1. Quanto às Longitudes dos vertexes Norte e Sul, sabe-se que são defasadas
entre elas de um arco de Equador igual a 180º e calculadas a partir do valor de já
que essa constante expressa a distância equatorial entre o meridiano de partida e
68
Perfil do Plano do Equador
PT
O
uma das intercessões (I), sendo possível, portanto, ao combinar a Longitude de
partida (PT) com , calcular a longitude desse ponto intercessão. Com o valor e o
sinal da longitude desse ponto intercessão e sabendo-se que cada intercessão dista
90º do meridiano de cada um dos vertexes, calcula-se a longitude de cada vertex
somando ou subtraindo os 90º do valor da Longitude da intercessão conhecida.
Assim:
i. I = PT (+/-)
ii. V = lI (+/-) 90º
iii. Se a longitude calculada logo acima, em ii, for do vertex Norte, calcula-se a
longitude do vertex sul somando ou subtraindo 180º à longitude calculada.
iv. Caso seja primeiramente calculada a longitude do vertex Sul, a do vertex Norte
será achada com o mesmo procedimento acima.
Cálculo das Constantes do Círculo Máximo pelo Excel.
Figura 32 – O segundo triângulo da ortodromia e seus vértices.
I. No Triângulo retângulo Pt, O, I, retângulo em O :
69
I
Pt é o ângulo que originou o Rumo Inicial (Ri) e em todos os casos os
valores absolutos dos cossenos de Ri e Pt são iguais. Como a Latitude de
cada vertex é igual a e este depende do cosseno
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO (RESOLVIDOS).
1) Determine a distância a navegar e o Rumo Inicial da viagem de Honolulu a San
Francisco, em ortodromia, sabendo que o ponto de partida (Honolulu) é pt = 210
18.3’ N ; pt = 1570 52.3’ W e o ponto de chegada (S.Francisco) é ch = 370 47.5’ N ;
ch = 1220 25.7’ W.
RESOLUÇÃO:
a) Como ambos os pontos (de partida e de chegada) tem latitudes Norte, o terceiro
vértice do triângulo será o Pólo Norte. Assim, os lados do triângulo serão, além da
distância a ser navegada, as colatitudes dos pontos de partida e de chegada.
b) Como as longitudes de partida e chegada estão Oeste (W) , a diferença de
longitude (ângulo formado no polo entre os lados co-pt e co-ch) é igual a diferença
entre a maior e a menor longitude: pt - ch .
c) Já que temos dois lados e o ângulo compreendido entre eles, apliquemos a Lei
dos Cossenos para os Lados para calcular, primeiramente, o terceiro lado (distância
a ser navegada):
cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A onde
a é distância a navegar; b é a colatitude de partida; c é a colatitude de chegada e
A é a diferença de longitude:
cos d = cos (co-pt) . cos (co-ch) + sen (co-pt) . sen (co-pt). cos
70
cos d = sen pt . sen ch + cos pt . cos ch . cos
log sen (210 18.3’) = 9.56030 log cos (210 18.3’) = 9.96926
log sen (370 47.5’) = 9.78732 log cos (370 47.5’) = 9.89776
log cos (350 26.6’) = 9.91099
log x = 9.34762 log y = 9.77801
x = 0,22265 y = 0,59980
cos d = x + y = 0,82245
d = 340 40.1 = 2080 M
d) Já com os 3 lados (co-pt , co-ch e d ) voltamos a aplicar a Lei dos Cossenos
para os Lados com o fim de determinar o Rumo Inicial (que é o ângulo oposto ao
lado co-ch ) :
sench = sen pt . cos d + cos pt . sen d . cos
sench sen pt . cos d
cos = - onde
cos pt . sen d cos pt . sen d
sench sen pt . cos d
= x e = y
cos pt . sen d cos pt . sen d
Fazendo:
71
log sen ch = 9.78731 log sen pt = 9.56030
colog cos pt = 0,03074 log cos d = 9.91511
colog sen d = 0,24500 colog cos pt = 0,03074
colog sen d = 0,24500
log x = 0,06305
x = 1,15627 log y = 9.75115
y = 0,56384
cos = x - y = 1,15627 - 0,56384
cos = 0,59243
= Ri = 530 40.2’
2) Calcular o Rumo Inicial e a distância de uma viagem de Natal (Brasil) =50 47.0
S ; =350 13.0 W a Luanda (Angola) = 80 50.0’ S ; = 130 15.0’ E .
cos d = cos (co-pt) . cos (co-ch) + sen (co-pt) . sen (co-pt). cos
cos d = sen pt . sen ch + cos pt . cos ch . cos
log sen (050 47.0’ ) = 9.00332 log cos (050 47.0’ ) = 9.99778
log sen (080 50.0’ ) = 9.18628 log cos (080 50.0’ ) = 9.99482
log cos (480 28.0’ ) = 9.82155
log x = 8.18960 log y = 9.81415
x = 0.01547 y = 0.65186
cos d = x + y = 0.66733
d = 480 08.3’ = 2888.3 M
log sen ch = 9.18628 log sen pt = 9.00332
colog cos pt = 0.00222 log cos d = 9.82434
72
vertex norte
vertex sul
colog sen d = 0.12798 colog cos pt = 0.00222
colog sen d = 0.12798
log x = 9.31648
x = 0.20724 log y = 8.95786
y = 0.09075
cos = x - y = 0.11649
cos = 0.11649
= 830,31 Ri = 1800 - = 960 41.4’
Visão Básica dos Vertexes:
Uma derrota é ortodrômica se estiver contida dentro de um círculo
máximo. Esse círculo máximo em que a derrota ortodrômica está contida, salvo em
uma única hipótese, que é quando coincide com o Equador Terrestre, estará
inclinado em relação ao Equador, exatamente porque os planos que originam tais
círculos máximos são concorrentes, isto é, estão inclinados um em relação ao outro.
Os pontos do círculo máximo que contém a derrota, mais afastados da
linha do Equador (de maiores latitudes), são chamados Vertexes da derrota. Eles
são dois e, obrigatoriamente, ficam um no hemisfério norte e o outro no hemisfério
sul.
Figura 33 – Os Vertexes norte e sul de um círculo máximo.
73
Sabendo que uma derrota ortodrômica é um arco de círculo máximo,
podemos garantir que todas elas tem vertexes, à exceção daquelas já citadas,
quando o plano que contém seu círculo máximo é coincidente com o plano do
Equador.
Sendo, cada um dos vertexes do círculo máximo de uma derrota
ortodrômica, um ponto da superfície da Terra, hão de ter, ambos, latitude e
longitude.
É fácil deduzir que os vertexes de uma derrota ortodrômica são
equidistantes do Equador, ficando um no hemisfério norte e o outro no hemisfério
sul. O valor absoluto da latitude dos vertexes é exatamente igual ao ângulo diedro
formado entre os planos do círculo máximo da derrota e o do Equador.
Quanto às longitudes dos vertexes de uma derrota, não é difícil concluir
que, estando cada um deles defasado do outro, em longitude, de 180 graus, é
impossível que suas longitudes tenham sinais iguais.
Para calcular as latitudes dos vertexes de uma derrota, basta que se
arme um triângulo cujos vértices sejam:
um ponto conhecido da derrota (de partida).
o ponto de encontro do meridiano que passa pelo ponto escolhido, com o
Equador.
o ponto em que o círculo máximo da derrota corta o Equador.
Nesse triângulo:
* o ângulo cujo vértice é o cruzamento do círculo máximo da derrota com o
Equador, é chamado de e representa o valor absoluto da latitude dos vertexes.
* o ângulo cujo vértice é o ponto escolhido (de partida ou de chegada)
representa uma relação com o Ri (no caso do ponto de partida) ou com o Rumo
Final (no caso do ponto de chegada), calculado facilmente pela aplicação das Leis
dos Cossenos, como explicado no item 6.3).
* o ângulo cujo vértice é o cruzamento do meridiano (que passa pelo ponto
escolhido) com o Equador, mede, evidentemente, 90 graus e caracteriza o referido
triângulo como retângulo.
* um dos lados é exatamente a latitude do ponto escolhido e como tal, é
conhecida.
74
pt
PT
co-
co-c
co-Pt pt
Usando como argumentos desse triângulo o ângulo de patida (PT) e a
pt, calcularemos o ângulo a latitude dos vertexes, cujo valor absoluto é representado
por , aplicando as analogias e leis de Neper, nas resoluções de triângulos esféricos
retângulos:
c
Na figura anterior:
- Ângulo no ponto de cruzamento do círculo máximo da derrota com o Equador.
PT – Ângulo no ponto de partida da derrota ortodrômica.
– diferença entre as longitudes do ponto de partida e do ponto intercessão entre o
círculo máximo da derrota e o Equador
sen (co-) = cos (co-Pt) . cos (pt)
cos = sen (Pt) . cospt
Calculado o valor de , atribuímos a ele os sinais N e S, transformando-os nas
latitudes dos dois vertexes.
Para calcular as longitudes dos vertexes de uma derrota ortodrômica,
usamos o mesmo triângulo acima descrito e nele calculamos, com os mesmos
argumentos, o lado que fica sobre o Equador, o qual chamaremos de b, ainda
aplicando as analogias e leis de Neper para triângulos retângulos esféricos:
sen (pt) = tg (co-Pt) . tg
tg =
Esse lado nada mais é do que a diferença entre as longitudes do
ponto escolhido (no caso o ponto de partida) e o cruzamento do meridiano com o
Equador; assim sendo, podemos determinar facilmente a longitude do ponto de
75
cotg Pt sen (pt)
Pt
Intercessão
Gw
pt
cruzamento do círculo máximo que contém a derrota com o Equador. Sabendo que
esse ponto de cruzamento está defasado de um arco Equador de 90o, de cada um
dos vertexes, fica fácil determinar as longitudes dos vertexes:
Exemplo 1
o
Se a longitude do ponto escolhido (de partida) for, por exemplo, 15o W e o
ponto de cruzamento do círculo máximo da derrota com o Equador estiver 20o a
oeste do meridiano do ponto escolhido, então a longitude do cruzamento será a
soma da longitude do ponto escolhido com o valor de (20o):
I = ch + = 15º + 20º = 35º W
Sabendo que a o ponto de cruzamento (I) do círculo máximo da derrota está distante
do dos vertexes de arcos de 90o, basta somar e subtrair os 90o do valor de CR para
se obter as longitudes dos dois vertexes.
Exemplo 2
Se a posição de partida de uma derrota ortodrômica é pt = 12o N e pt =
45o E; a posição de chegada é ch = 17o N e ch = 47o E, calcule as posições dos dois
vertexes.
Resolução:
Em primeiro lugar temos que escolher um ponto (ou o de partida ou o
de chegada) para tomar como base para o cálculo de e b, já que as fórmulas para
esses cálculos usam o Ri (se escolhido o ponto de partida) ou o Rf (se escolhido o
ponto de chegada). Escolheremos o ponto de partida.
Escolhido o ponto de partida temos que calcular o Ri. Para calcular Ri
temos que achar a distância a navegar pela lei dos cossenos para os ângulos:
cos d = cos (co-pt) . cos (co-ch) + sen (co-pt) . sen (co-ch) . cos
76
d = 322 M ou 5o 22’
Calculando agora o Ângulo Inicial (Pt), pela lei dos cossenos para ao
lados, usando também a distância (d) como argumento:
Cos (co-ch) = cos d . cos (co-pt) + sen d . sen (co-pt) . cos Pt
sen ch - cos d . sen pt
cos Pt = = 20,9o
sen d . cos pt
Com o Pt é a posição de partida, podemos calcular as latitudes dos vertexes:
cos = sen Pt . cos pt
= 69,6o , Vn = 69,6o N e Vs = 69,6o S
Calculando as longitudes dos vertexes, fazemos:
sen pt
Tg b = b = 4o 32,4’
cotg Pt
Como é a diferença de longitude entre o ponto de partida da derrota e
o cruzamento de seu círculo máximo com o Equador, estando b a oeste do ponto de
partida, podemos subtrair b da longitude de partida para encontrar a longitude
daquele cruzamento com o Equador:
I = pt - ou
I = 47o - 4o 32,4’ = 42o 27,6’
Como os vertexes estão defasados do cruzamento, de 90o em
longitude, podemos calcular as longitudes dos vertexes como:
Vn = 42o 27,6’ + 90o = 132o 27,6’ E e
77
Vs = 42o 27,6’ - 90o = 47o 32,4’ W
78
5. INFORMÁTICA APLICADA À NAVEGAÇÃO ORTODRÔMICA.
Escolhemos aplicar a Planilha do Excel, do Microsoft Office, à Navegação
Ortodrômica, por ser o Office o software mais conhecido e usado no mundo inteiro e
que acompanha a esmagadora maioria dos microcomputadores instalados a bordo
dos navios mercantes brasileiros. Além disso, todas as planilhas eletrônicas tem
uma coisa em comum que as tornam extremamente apropriadas para o uso na
Navegação Ortodrômica: a simples inserção de fórmulas dá a praticidade da
resolução dos mais variados problemas.
A viabilidade da aplicação da informática na navegação ortodrômica é
comprovada através dos fatos seguintes:
1- O custo de um conjunto de cartas náuticas de projeções gnomônicas, em escalas
diversificadas e de acordo com as necessidades de cada derrota, cobrindo todas
as regiões navegáveis, tem o custo mais alto de um microcomputador e o
software nele instalado para cumprir a mesma função.
2- A velocidade de cálculo dos objetivos da Navegação Ortodrômica (Rumo Inicial,
Distância a navegar e posições dos vertexes) é bem maior quando feita no
computador, comparado com qualquer outro método. Isso gera a possibilidade de
se proceder um número de cálculos muito maior e, por conseguinte, seguir uma
curva mais perfeita.
3- O programa pode ser guardado em um simples pen driver e elimina a
necessidade de manuseio de quaisquer tábuas, tabelas, calculadoras, etc.
4- As derrotas feitas podem ser arquivadas com segurança e até mesmo podem
servir de orientações múltiplas, como a respeito das influências de vento e
corrente, numa região, ou alimentar automaticamente outros programas que
venham a necessitar dos resultados da navegação, como distância navegada.
4.1 – A Planilha do Excel.
Como qualquer outra, é uma grande área em branco dividida em pequenos
retângulos chamados células, numeradas em ordem crescente, de cima para baixo
em linhas e da esquerda para direita em colunas, na ordem alfabética. Assim,
qualquer célula pode perfeitamente ser identificada, e de todas as outras se
distinguir, através de número seguido de letra, sendo que o número representa a
79
linha a que ela pertence e a letra representa a coluna. O usuário pode, de acordo
com a sua necessidade, aumentar ou diminuir o tamanho das células.
A B C D E F G
1
2
3
O principal objetivo de uma planilha eletrônica, de efetuar cálculos, é
cumprido quando inserimos, em uma determinada célula, uma fórmula qualquer
relacionando os dados de duas (ou mais) outras células diferentes. Tais fórmulas
devem iniciar sempre com o sinal de igualdade (=) pois é exatamente isso que indica
ao computador tratar-se de uma fórmula.
Por exemplo, se queremos somar o valor inserido, qualquer que seja ele, na
célula A1, com o valor inserido, também qualquer que seja ele, na célula A2, e
efetuar e registrar automaticamente essa soma na célula B5, por exemplo, basta
digitar, na célula B5, a fórmula =A1+A2, como aparece na planilha anterior, e teclar
Enter.
A partir daí todos os valores que aparecerem na célula B5 serão o resultado
da soma dos valores das células A1 e A2:
A B C D E F G H
1 3
2 4
3
4
5 7
6
5.2 - Inserindo dados.
Como, na Navegação Ortodrômica, os cálculos são feitos
principalmente tendo como dados a posição de partida e a posição de chegada,
com a latitude, a longitude e o sinal de cada uma coordenada, basta que se separem
doze células específicas para os registros desses dados, ou seja, três células para o
registro da latitude de partida (uma para os graus inteiros, uma para os minutos e
80
décimos, e outra para o sinal), três células para o registro da longitude de partida
(graus, minutos e sinal), três para a latitude de chegada e três para a longitude de
chegada, como mostrado a seguir:
A B C D E F G H I J K L M N
1 pt pt ch ch
2 Gr Min N/S Gr Min E/W Gr Min N/S Gr Min E/W
3
4
As abreviaturas as Gr e Min representam os valores em graus e minutos,
respectivamente.
Também podemos convencionar os sinais norte e sul, das latitudes, como
positivo e negativo, respectivamente, e os sinais leste e oeste, das longitudes,
também como, respectivamente, positivo e negativo. Desse modo eliminamos duas
colunas, as dos sinais da latitude e da longitude, sem prejudicar os cálculos. Por
exemplo:
A B C D E F G H I
1 pt pt ch ch
2 Gr Min Gr Min Gr Min Gr Min
3 12 45,6 -163 -32,8 13 44,5 -161 05,4
4
5
Os dados acima representariam valores, escolhidos aleatoriamente, de
posições de partida e chegada, dadas pela latitude de partida 12o 45,6’ N (porque
não há sinal negativo), longitude de partida 163o 32,8’ W (porque o sinal é negativo
tanto nos graus como nos minutos), latitude de chegada 13o 44,5 N e longitude de
chegada 161o 05,4’ W.
81
5.3 - Calculando a diferença de longitude entre os pontos de partida e chegada.
Ao ocuparmos as colunas de A até H com as posições de partida e chegada,
podemos notar que cada uma das linhas representará uma derrota ortodrômica
diferente, ou trechos de uma mesma derrota, caso mantenhamos uma única posição
de chegada com as sucessivas posições (consideradas pontos de partida) do
mesmo navio. Desse modo podemos, considerando ainda o exemplo acima, calcular
a diferença de longitude () entre os pontos de partida e chegada, já que a mesma
será utilizada para o cálculo da distância a navegar, na Navegação Ortodrômica. A
fórmula aplicada será a Lei dos Cosenos para os Lados, digitada na célula I3,
transformando os dados para radianos porque o Excel fornece as funções
trigonométricas dos arcos quando estes são lidos em radianos.
Para podermos aplicar cada uma das Leis é necessário que tenhamos os
elementos exatos do triângulo, que serão representados pelos seguintes valores:
Lados:
Colatitude de partida (fixa, tanto nos casos em que os pontos de partida e
chegada estejam no mesmo hemisfério, como estando eles em hemisférios
diferentes, com sinais diferentes para as suas latitudes). (co-pt)
Colatitude de chegada, co-ch, (no caso dos pontos de partida e chegada
estarem no mesmo hemisfério). Se os pontos de partida e chegada
estiverem em hemisférios diferentes, isto é, tiverem sinais diferentes para
as suas latitudes, esse lado será igual à latitude de chegada somada à 90o :
90+ch .
Distância a navegar (d).
Ângulos:
Diferença de longitude entre os pontos de partida e chegada (), ângulo
oposto ao lado que representa a distância a navegar (d).
Rumo final (Rf), ângulo oposto ao lado que representa a colatitude de
partida.
Rumo inicial (Ri), ângulo oposto ao lado que representa a colatitude de
chegada (ou 90+ch).
82
co-pt
co-ch
ChCH
Pt
Ri
P
PoloPt
Ch
Equador
Caso em que os pontos de partida (PT) e chegada (CH) estão no mesmo
hemisfério (norte ou sul) conforme o P.
Caso em que as latitudes de partida e chegada tem sinais diferentes.
Para construir a planilha contendo os elementos que são dados do triângulo
(dois lados e o ângulo compreendido), já transformados para radianos (porque o
computador trabalha com arcos em radianos para determinar-lhes as funções
trigonométricas), fazemos, para cada posição de partida e chegada:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S
1 VGM DATA HORA pt pt ch ch L1 L2
2 Gr Min N/S Gr Min E/W Gr Min N/S Gr Min E/W Rad Rad Rad
3 * ** ***
4
Na planilha acima deve-se digitar, nas células P3, Q3 e R3, que contém os
asterísticos:
* =RADIANOS(SE(I3=O3;(G3+H3/60)-(M3+N3/60);(G3+H3/60)+(M3+N3/60)))
** =RADIANOS(90-D3-E3/60)
*** =RADIANOS(SE(F3=L3;(90-J3-K3/60);(90+J3+K3/60)))
83
d CH
Se a planilha for preparada exatamente como mostrada acima, sem qualquer
erro de digitação, ainda que seja de simples espaços em branco ou palavras, cada
vez que forem preenchidas as células referentes aos dados, na linha 3, as células
que contém os asteríscos imediatamente mostrarão os valores dos três elementos
dados no triângulo, já em radianos e prontos para serem aplicados às Leis dos
cossenos já estudadas.
5.4 Cálculo da distância a navegar.
Se adicionarmos uma coluna (S), e em uma de suas célula (S3)
digitarmos a Lei dos Cossenos para os lados, usando as células que tinham
asteríscos (P3, Q3 e R3), as quais são os elementos dados do triângulo,
possibilitaremos o cálculo automático da distância a navegar:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S
1 VGM DATA HORA pt pt ch ch L1 L2 d
2 Gr Min N/S Gr Min E/W Gr Min N/S Gr Min E/W Rad Rad Rad M
3
4
S3 - Na célula S3 digitamos a fórmula:
=60*Graus(cos(Q3)*cos(R3)+sen(Q3)*sen(R3)*cos(P3))
5.5 - Cálculo do rumo inicial.
O Rumo Inicial é a direção e o sentido que o navio deve tomar,
inicialmente, a partir do ponto onde inicia a ortodromia, ao seguir, em uma
Navegação Ortodrômica, para um ponto ou porto de destino. Como qualquer
ortodromia é feita através de um conjunto de linhas retas (loxodromias), todas
tangentes à curva que em hipótese o navio deveria descrever, uma ortodromia é
tanto mais perfeita quanto maior o número de tangentes o navio seguir e, por
consequência, quanto maior o número de rumos o navio tiver navegado. Em cada
ponto da trajetória do navio em que se tenha uma posição observada pode-se ter um
Rumo Inicial.
84
Para calcular o Rumo Inicial de maneira automática, a partir da mesma
planilha preparada anteriormente, simplesmente prossegue-se acrescentando mais
uma coluna (coluna T):
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T
1 VGM DATA HORA pt pt ch
ch
L1 L2 d Ri
2 Gr Min N/S Gr Min E/W Gr Min N/S Gr Min E/W Rad Rad Rad M Gr
3
4
Na célula T3 digita-se a seguinte fórmula que calculará o ângulo, do triângulo
da navegação ortodrômica, formado no ponto de partida, chamado de Rumo Inicial
(Ri), mas que ainda não será o rumo que o navio deverá seguir para percorrer a
ortodromia desejada, a não ser que o ponto de chegada esteja a nordeste do ponto
de partida. Caso o ponto de chegada esteja a noroeste do de partida, teremos que
subtrair de 360o; se estiver a sudeste teremos que subtrair de 180o; e se estiver a
sudoeste teremos que somar com 180o:
T3 - A fórmula adicionada à célula T3 será:
=GRAUS(ACOS((COS(R3)-COS(RADIANOS(S3/60))*COS(Q3))/
(SEN(RADIANOS(S3/60))*SEN(Q3))))
5.6 - Cálculo de e.
O Ângulo formado entre o Equador e o círculo máximo que contém a derrota
ortodrômica, ou melhor ainda, entre o plano do Equador e o plano que contém o
círculo máximo da derrota, é indicado por e é exatamente igual à latitude dos
vertexes Norte e Sul (apenas os sinais são diferentes, indicando que um é norte e o
outro é sul).
Para calculá-lo através da mesma planilha, acrescenta-se uma coluna a esta
(coluna U) e na célula U3 digita-se a fórmula, originada das Leis e Analogias de
85
PT
pt
K
ptco-
co-K
co-Pt
Neper para resolução de triângulos esféricos retângulos, aplicando-as a um triângulo
retângulo cujos vértices são:
o ponto de encontro entre o Equador e o círculo máximo da derrota
o ponto de partida da derrota ortodrômica
o ponto de encontro do meridiano do ponto de partida e o Equador
Nesse triângulo os ângulos são:
(por definição, o ângulo formado no encontro do Equador com o círculo
máximo da derrota, e igual ao valor absoluto das latitudes dos vertexes)
90o (porque é o encontro de um meridiano com o Equador)
Ri (porque é oposto pelo vértice a Ri, formado pelo mesmo meridiano e
pela mesma derrota)
Ainda nesse mesmo triângulo os lados são:
a própria latitude de partida (pt) - lado oposto a
a diferença entre as longitudes de partida e do ponto de cruzamento do círculo
máximo da derrota com o Equador (lado oposto ao Ri), ao qual chamaremos de
um lado que não será levado em conta para os cálculos, mas que chamaremos
de K
Pelas analogias temos que:
sen (co-) = cos (co-Ri) . cos pt
de onde
cos = sen Ri . cos pt
86
e sen (co-Ri) = cos (co-) . cos
de onde
cos = cos Ri /sen
Essas fórmulas são digitadas, respectivamente, nas células U3 e V3, criadas
nas colunas U e V da mesma planilha:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V
1 VGM DATA HORA pt pt ch ch L1 L2 d Ri
2 Gr Min N/S Gr Min E/W Gr Min N/S Gr Min E/W Rad Rad Rad M Gr Gr Gr
3
4
As fórmulas a serem inseridas, respectivamente, nas células U3 e V3, são:
EmU3: =GRAUS(ACOS(SEN(RADIANOS(T3))*COS(RADIANOS(D3+E3/60))))
Em V3: =GRAUS(ACOS(COS(RADIANOS(T3))/SEN(RADIANOS(U3))))
Como as latitudes dos vertexes são ambas iguais, em valor absoluto, a b.
Como as longitudes dos vertexes são defasadas em 90o do ponto de cruzamento do
círculo máximo da derrota com o Equador, podemos criar, na planilha, mais 6
colunas (W, X, Y, Z, AA e AB) para designar duas para a latitude do vertex (W e X),
duas para a longitude do vertex norte (Y e Z) e duas para a longitude do vertex sul
(AA e AB), como mostra a planilha final, digitando as seguintes fórmulas em cada
uma dessas colunas:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z AA AB
1 VGM DATA HORA pt pt ch ch L1 L2 d Ri v v V
2 Gr Min N/S Gr Min E/W Gr Min N/S Gr Min E/W Rad Rad Rad M Gr Gr Gr Gr Min Gr Min Gr Min
3
4
87
As fórmulas a serem digitadas nas células adicionais são:
Em W3: =INT(U3)
Em X3: =(U3-W3)*60
Em Y3: =ARREDONDAR.PARA.BAIXO(SE(V3+90+(G3+H3/60)>180;360-V3-90-
(G3+H3/60);V3+90+(G3+H3/60));0)
Em Z3: =((SE(V3+90+(G3+H3/60)>180;360-V3-90-G3+H3/60);V3+90+(G3+H3/60)))-
Y3)*60
Em AA3: =INT(180-Y3-Z3/60)
Em AB3: =((180-Y3-Z3/60)-AA3)*60
Para completar a planilha podemos adicionar mais três colunas (AC, AD e AE)
para adicionarmos, respectivamente, a cada cálculo, a Singradura, a marcha média
e o ETA:
Em AC3: =S2-S4 (Singradura em milhas)
Em AD3: =AC4/((B4-B3)*24) (marcha média em nós)
Em AE3: =(S4/AD4)+B4 (ETA, data/hora)
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z AA AB AC AD
1 VGM DATA HORA pt pt ch ch L1 L2 d Ri v v V Sing m/m
2 Gr Min N/S Gr Min E/W Gr Min N/S Gr Min E/W Rad Rad Rad M Gr Gr Gr Gr Min Gr Min Gr Min M Nó
3
4
88