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  • Apostila de Pesquisa Operacional II

    Ldia Angulo MezaRenato Teixeira da Silva

    11 de maro de 2008

  • Sumrio

    1 Teoria dos Grafos 11.1 Histrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Conceitos Bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.2.1 Grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Adjacncia e Incidncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.3 Grau de um grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.4 Representao de um Grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.5 Alguns Tipos de Grafos mais Utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.6 Percursos em Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.3 O Problema do Caminho Mnimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.1 Algoritmo de Dijkstra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.2 Algoritmo de Floyd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.4 O Problema da rvore Geradora Mnima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.1 Conexidade de um grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.2 rvore e rvore Geradora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.3 Algoritmo de Prim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.4 Algoritmo de Kruskal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.5 O Problema de Fluxo Mximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.1 Modelo de Otimizao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.2 Algoritmo de Ford-Fulkerson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    1.6 Bibliografia do Captulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2 Teoria da Deciso 232.1 Conceitos Bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    2.1.1 Decisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.2 Analista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.3 Conjunto de Alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.4 Atributos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    2.2 Apoio Multicritrio Deciso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.1 Tipos de Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.2 Preferncia do Decisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.3 Mtodo ou Escolha Justa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2.3 Problema-exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4 Mtodos Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.4.1 Mtodo da Dominncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4.2 Mtodo Conjuntivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4.3 Mtodo Lexicogrfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.5 Mtodos Ordinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5.1 Mtodo de Borda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    i

  • SUMRIO ii

    2.5.2 Mtodo de Condorcet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5.3 Mtodo de Coppeland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5.4 Mtodo das Ponderaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2.6 Deciso com Incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6.1 Problema-exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6.2 Regra Otimista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6.3 Regra Pessimista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.6.4 Regra de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.6.5 Regra de Savage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    2.7 Deciso com Risco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.8 Bibliografia do Captulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

  • Captulo 1

    Teoria dos Grafos

    "A inteligncia o farol que nos guia, mas a vontade que nos faz caminhar."Annimo

    1.1 Histrico

    Podemos dizer que o estudo sobre grafos iniciou no sculo XVIII com os estudos de Euler.Ele formulou no ano de 1736 o primeiro problema do que seria chamada posteriormenteTeoria dos Grafos a partir de uma questo relevante para arquitetura, mais especificamenteao planejamento urbano. O problema das pontes de Knigsberg (atualmente Kaliningrado)na Prssia questionava se existia um caminho em que se pudesse cruzar apenas uma vezcada uma das sete pontes que passam sobre o rio Nagel e ligam duas ilhas centrais, passandopelas quatro reas e retornando ao ponto ponto de partida.

    Figura 1.1: Pontes de Knigsberg e a representao em grafos

    Euler construiu um diagrama simplificado onde as ilhas e as margens so representadaspor pontos e as pontes pelas linhas que unem esses pontos. Para chegar a concluso dano existencia de soluo para esse problema Euler analisou que para cada ponto da cidadedeveria haver uma chegada e uma partida e que elas deveriam ser distintas, pois se devecruzar uma ponte uma nica vez, s havendo rota possivel caso o nmero de ligaes recaindoem cada um dos pontos seja constante, fato que no ocorre neste problema.

    Outro problema que faz parte da histria da Teoria dos Grafos o Problema das QuatroCores, que buscava determinar o nmero mnimo de cores necessrias para colorir um mapade forma a que paises com fronteiras comum tenham cores diferentes. Francis Guthrie, em

    1

  • CAPTULO 1. TEORIA DOS GRAFOS 2

    1852, conjecturou que esse nmero mnimo seria 4. A prova dessa conjectura surgiu somenteem 1976 por Appel e Haken.

    Em 1856 William R. Hamilton formula um novo problema, o Problema do Ciclo Hamil-toniano. Ele consiste em buscar um caminho que comece e termine num mesmo vrticee passe exatamente uma vez por todos os outros vrtices. Esse problema foi precursor doProblema do Caixeiro Viajante, muito abordado atualmente.

    No sculo XX houve um maior interese sobre o estudo da Teoria dos Grafos desencade-ando no patamar em que estamos hoje.

    1.2 Conceitos Bsicos

    1.2.1 Grafo

    Um grafo uma noo simples e abstrata utilizada para representar a idia de relao entre"objetos". Graficamente, representado por uma figura composta de vrtices, representandoos objetos, que esto unidas por um trao denominado aresta, representando a relaoimaginada. Matematicamente, um grafo representado por:

    G = (V,A) (1.1)

    onde V o conjunto de vrtices e A o conjunto de ligaes entre vrtices.

    Grafo No Orientado

    Um grafo dito no orientado quando os pares de vrtices no possuem uma ordem, ouseja, quando o par (i, j) semanticamente igual ao par (j, i), podendo ser expressado como[i, j] onde i, j V .

    Figura 1.2: Exemplo de Grafo no orientado

    Na figura 1.2 temos um exemplo de um grafo no orientado que representa uma rede decomputadores em um escritrio. A transmisso de dados se d tanto do computador 1 parao 5 quanto de 5 para o 1.

    Grafo Orientado (ou Dgrafo)

    Um grafo dito orientado quando o sentido das ligaes entre os vrtices considerado.Neste caso denomina-se arco o par ordenado (i, j) sendo i o vrtice inicial e j o vrtice final,onde i, j V . Quando estes arcos possuem um valor associado ele ento chamado de redeorientada.

    A figura 1.7 nos mostra um exemplo de rede orientada representado um sistema detransporte, sendo cada vrtice uma cidade, cada arco uma estrada ligando uma cidade aoutra e o valor associado a cada arco a distncia entre cada cidade.

  • CAPTULO 1. TEORIA DOS GRAFOS 3

    Figura 1.3: Exemplo de Rede Orientada

    1.2.2 Adjacncia e Incidncia

    Sejam x e y vrtices de um grafo G orientado ou no. Se x e y esto unidos por uma arestaa, ento x e y so adjacentes. Alem disso, x e y so incidentes em a e a incidente em x ey.

    Quando duas arestas compartem um mesmo vrtice podemos dizer tambm que elas soadjacentes.

    Sejam v e w vrtices de um grafo G orientado. Se v e w esto unidos por um arco e,ento v e w so adjacentes. Se o arco e comea em v e termina em w ento o arco e incidente de v e incidente a w.

    Figura 1.4: Adjacncia e Incidncia num grafo orientado

    1.2.3 Grau de um grafo

    Para grafos no orientados

    O grau de um vrtice x de um grafo F o nmero de arestas com incidncia em x erepresentado por d(x).

    Figura 1.5: Grafo no orientado

    d(x) = 2, d(y) = 5, d(w) = 4, d(z) = 5

    Teorema 1.1. Em qualquer grafo, a soma de todos os graus dos vrtices igual a duasvezes o nmero de arestas.

    No exemplo: d(x)+d(y)+d(w)+d(z) = 2+5+4+5 = 16, ento o grafo tem 8 arestas.

    Para grafos orientados

    Seja G um grafo orientado o grau exterior de um vrtice x ou d+(x) o nmero de todosos arcos incidentes de x. O grau interior de um vrtice de x ou d(x) o nmero de todosos arcos incidentes a x.

  • CAPTULO 1. TEORIA DOS GRAFOS 4

    Figura 1.6: Grafo orientado

    d+(v) = 3, d(v) = 1, d+(u) = 1, d(u) = 1, d+(w) = 2, d(w) = 2, d+(z) = 0, d(z) = 2

    Teorema 1.2. Em um grafo orientado, a soma de todos os graus exteriores e a soma detodos os graus interiores igual ao nmero de arcos.

    No exemplo: d+(v) + d+(u) + d+(w) + d+(z) = 3 + 1 + 2 + 0 = 6 = 1 + 1 + 2 + 2 =d(v) + d(u) + d(w) + d(z)

    1.2.4 Representao de um Grafo

    A representao grfica dos vrtices e ligaes pode ser de fcil visualizao, mas no socomputacionalmente viveis. Desta forma, os grafos devem ser representados de formamatemtica.

    Existem vrias formas de representar um grafo. Dentre as quais temos:

    Lista de Adjacncias

    Uma lista de adjacncia armazena o relacionamento entre os vrtices de um graf