Apostila de PO

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<ul><li><p>Apostila de Pesquisa Operacional II</p><p>Ldia Angulo MezaRenato Teixeira da Silva</p><p>11 de maro de 2008</p></li><li><p>Sumrio</p><p>1 Teoria dos Grafos 11.1 Histrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Conceitos Bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2</p><p>1.2.1 Grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Adjacncia e Incidncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.3 Grau de um grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.4 Representao de um Grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.5 Alguns Tipos de Grafos mais Utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.6 Percursos em Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9</p><p>1.3 O Problema do Caminho Mnimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.1 Algoritmo de Dijkstra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.2 Algoritmo de Floyd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12</p><p>1.4 O Problema da rvore Geradora Mnima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.1 Conexidade de um grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.2 rvore e rvore Geradora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.3 Algoritmo de Prim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.4 Algoritmo de Kruskal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17</p><p>1.5 O Problema de Fluxo Mximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.1 Modelo de Otimizao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.2 Algoritmo de Ford-Fulkerson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20</p><p>1.6 Bibliografia do Captulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20</p><p>2 Teoria da Deciso 232.1 Conceitos Bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23</p><p>2.1.1 Decisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.2 Analista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.3 Conjunto de Alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.4 Atributos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23</p><p>2.2 Apoio Multicritrio Deciso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.1 Tipos de Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.2 Preferncia do Decisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.3 Mtodo ou Escolha Justa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24</p><p>2.3 Problema-exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4 Mtodos Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25</p><p>2.4.1 Mtodo da Dominncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4.2 Mtodo Conjuntivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4.3 Mtodo Lexicogrfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25</p><p>2.5 Mtodos Ordinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5.1 Mtodo de Borda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25</p><p>i</p></li><li><p>SUMRIO ii</p><p>2.5.2 Mtodo de Condorcet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5.3 Mtodo de Coppeland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5.4 Mtodo das Ponderaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27</p><p>2.6 Deciso com Incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6.1 Problema-exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6.2 Regra Otimista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6.3 Regra Pessimista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.6.4 Regra de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.6.5 Regra de Savage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30</p><p>2.7 Deciso com Risco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.8 Bibliografia do Captulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32</p></li><li><p>Captulo 1</p><p>Teoria dos Grafos</p><p>"A inteligncia o farol que nos guia, mas a vontade que nos faz caminhar."Annimo</p><p>1.1 Histrico</p><p>Podemos dizer que o estudo sobre grafos iniciou no sculo XVIII com os estudos de Euler.Ele formulou no ano de 1736 o primeiro problema do que seria chamada posteriormenteTeoria dos Grafos a partir de uma questo relevante para arquitetura, mais especificamenteao planejamento urbano. O problema das pontes de Knigsberg (atualmente Kaliningrado)na Prssia questionava se existia um caminho em que se pudesse cruzar apenas uma vezcada uma das sete pontes que passam sobre o rio Nagel e ligam duas ilhas centrais, passandopelas quatro reas e retornando ao ponto ponto de partida.</p><p>Figura 1.1: Pontes de Knigsberg e a representao em grafos</p><p>Euler construiu um diagrama simplificado onde as ilhas e as margens so representadaspor pontos e as pontes pelas linhas que unem esses pontos. Para chegar a concluso dano existencia de soluo para esse problema Euler analisou que para cada ponto da cidadedeveria haver uma chegada e uma partida e que elas deveriam ser distintas, pois se devecruzar uma ponte uma nica vez, s havendo rota possivel caso o nmero de ligaes recaindoem cada um dos pontos seja constante, fato que no ocorre neste problema.</p><p>Outro problema que faz parte da histria da Teoria dos Grafos o Problema das QuatroCores, que buscava determinar o nmero mnimo de cores necessrias para colorir um mapade forma a que paises com fronteiras comum tenham cores diferentes. Francis Guthrie, em</p><p>1</p></li><li><p>CAPTULO 1. TEORIA DOS GRAFOS 2</p><p>1852, conjecturou que esse nmero mnimo seria 4. A prova dessa conjectura surgiu somenteem 1976 por Appel e Haken.</p><p>Em 1856 William R. Hamilton formula um novo problema, o Problema do Ciclo Hamil-toniano. Ele consiste em buscar um caminho que comece e termine num mesmo vrticee passe exatamente uma vez por todos os outros vrtices. Esse problema foi precursor doProblema do Caixeiro Viajante, muito abordado atualmente.</p><p>No sculo XX houve um maior interese sobre o estudo da Teoria dos Grafos desencade-ando no patamar em que estamos hoje.</p><p>1.2 Conceitos Bsicos</p><p>1.2.1 Grafo</p><p>Um grafo uma noo simples e abstrata utilizada para representar a idia de relao entre"objetos". Graficamente, representado por uma figura composta de vrtices, representandoos objetos, que esto unidas por um trao denominado aresta, representando a relaoimaginada. Matematicamente, um grafo representado por:</p><p>G = (V,A) (1.1)</p><p>onde V o conjunto de vrtices e A o conjunto de ligaes entre vrtices.</p><p>Grafo No Orientado</p><p>Um grafo dito no orientado quando os pares de vrtices no possuem uma ordem, ouseja, quando o par (i, j) semanticamente igual ao par (j, i), podendo ser expressado como[i, j] onde i, j V .</p><p>Figura 1.2: Exemplo de Grafo no orientado</p><p>Na figura 1.2 temos um exemplo de um grafo no orientado que representa uma rede decomputadores em um escritrio. A transmisso de dados se d tanto do computador 1 parao 5 quanto de 5 para o 1.</p><p>Grafo Orientado (ou Dgrafo)</p><p>Um grafo dito orientado quando o sentido das ligaes entre os vrtices considerado.Neste caso denomina-se arco o par ordenado (i, j) sendo i o vrtice inicial e j o vrtice final,onde i, j V . Quando estes arcos possuem um valor associado ele ento chamado de redeorientada.</p><p>A figura 1.7 nos mostra um exemplo de rede orientada representado um sistema detransporte, sendo cada vrtice uma cidade, cada arco uma estrada ligando uma cidade aoutra e o valor associado a cada arco a distncia entre cada cidade.</p></li><li><p>CAPTULO 1. TEORIA DOS GRAFOS 3</p><p>Figura 1.3: Exemplo de Rede Orientada</p><p>1.2.2 Adjacncia e Incidncia</p><p>Sejam x e y vrtices de um grafo G orientado ou no. Se x e y esto unidos por uma arestaa, ento x e y so adjacentes. Alem disso, x e y so incidentes em a e a incidente em x ey.</p><p>Quando duas arestas compartem um mesmo vrtice podemos dizer tambm que elas soadjacentes.</p><p>Sejam v e w vrtices de um grafo G orientado. Se v e w esto unidos por um arco e,ento v e w so adjacentes. Se o arco e comea em v e termina em w ento o arco e incidente de v e incidente a w.</p><p>Figura 1.4: Adjacncia e Incidncia num grafo orientado</p><p>1.2.3 Grau de um grafo</p><p>Para grafos no orientados</p><p>O grau de um vrtice x de um grafo F o nmero de arestas com incidncia em x erepresentado por d(x).</p><p>Figura 1.5: Grafo no orientado</p><p>d(x) = 2, d(y) = 5, d(w) = 4, d(z) = 5</p><p>Teorema 1.1. Em qualquer grafo, a soma de todos os graus dos vrtices igual a duasvezes o nmero de arestas.</p><p>No exemplo: d(x)+d(y)+d(w)+d(z) = 2+5+4+5 = 16, ento o grafo tem 8 arestas.</p><p>Para grafos orientados</p><p>Seja G um grafo orientado o grau exterior de um vrtice x ou d+(x) o nmero de todosos arcos incidentes de x. O grau interior de um vrtice de x ou d(x) o nmero de todosos arcos incidentes a x.</p></li><li><p>CAPTULO 1. TEORIA DOS GRAFOS 4</p><p>Figura 1.6: Grafo orientado</p><p>d+(v) = 3, d(v) = 1, d+(u) = 1, d(u) = 1, d+(w) = 2, d(w) = 2, d+(z) = 0, d(z) = 2</p><p>Teorema 1.2. Em um grafo orientado, a soma de todos os graus exteriores e a soma detodos os graus interiores igual ao nmero de arcos.</p><p>No exemplo: d+(v) + d+(u) + d+(w) + d+(z) = 3 + 1 + 2 + 0 = 6 = 1 + 1 + 2 + 2 =d(v) + d(u) + d(w) + d(z)</p><p>1.2.4 Representao de um Grafo</p><p>A representao grfica dos vrtices e ligaes pode ser de fcil visualizao, mas no socomputacionalmente viveis. Desta forma, os grafos devem ser representados de formamatemtica.</p><p>Existem vrias formas de representar um grafo. Dentre as quais temos:</p><p>Lista de Adjacncias</p><p>Uma lista de adjacncia armazena o relacionamento entre os vrtices de um grafo em umaestrutura de listas. Esse tipo de representao tida como econmica do ponto de vistacomputacional.</p><p>Figura 1.7: Exemplo de grafo orientado</p><p>Vrtices VrticesOrigem Destino Destino Origem</p><p>1 2,3,4 1 -2 4 2 13 - 3 1,44 3 4 1,2</p><p>Tabela 1.1: Lista de Adjacncias</p><p>A tabela 1.1 apresenta a lista de adjacncias do grafo da figura 1.7. Por se tratar de umgrafo orientado, necessrio duas listas de adjacncias: uma de origem-destino e outra dedestino-origem. Caso se tratasse de um grafo no orientado seria necessrio somente a listade origem-destino.</p></li><li><p>CAPTULO 1. TEORIA DOS GRAFOS 5</p><p>Matriz de Adjacncias</p><p>A matriz de adjacncia mostra o relacionamento entre os vrtices de um grafo. Ela umamatriz quadrada de tamanho n, onde n o nmero total de vrtices. A matriz de adjacn-cias construida da seguinte forma:</p><p>M ={aij = 1 (i, j) A.aij = 0 (i, j) / A. (1.2)</p><p>A partir do grafo utilizado no exemplo anterior (figura 1.7) foi construida a matriz deadjacncias a seguir:</p><p>M =</p><p>1 2 3 4</p><p>1 0 1 1 12 0 0 0 13 0 0 0 04 0 0 1 0</p><p> (1.3)onde as linhas representam o vrtice de origem e as colunas representam o vrtice de destino.</p><p>Caso i = j e aij = 1, temos o chamado loop, representado pela figura 1.8.</p><p>Figura 1.8: Loop</p><p>Para um grafo no orientado o procedimento de construo da matriz de adjacncias o mesmo e podemos notar que a matriz gerada simtrica.</p><p>Figura 1.9: Exemplo de grafo no orientado</p><p>M =</p><p>1 2 3 4</p><p>1 0 1 1 02 1 0 1 13 1 1 0 04 0 1 0 0</p><p> (1.4)Quando os grafos precisam incluir valores de distncias, de custos ou outros, precisamosrepresent-las de forma um pouco diferente. Desta forma temos uma matriz de adjacnciasvalorada, que chamada de matriz de distncias ou custos. A construo dessa matriz sed da seguite forma:</p><p>D =</p><p>dij = 0 i = jdij 6= 1 (i, j) A.dij = (i, j) / A.</p><p>(1.5)</p></li><li><p>CAPTULO 1. TEORIA DOS GRAFOS 6</p><p>Esse tipo de representao ser muito utilizada em todas as prximas sees. Na figura1.10 encontramos um exemplo de uma rede orientada e a seguir sua matriz de distncias oucustos.</p><p>Figura 1.10: Exemplo de rede orientada</p><p>M =</p><p>1 2 3 4</p><p>1 0 5 6 22 0 33 0 4 5 0</p><p> (1.6)1.2.5 Alguns Tipos de Grafos mais Utilizados</p><p>Os exemplos aqui citados podem foram extraidos de BOAVENTURA NETTO (2003).</p><p>Grafo simtrico</p><p>Um grafo G = (N,A) ser simtrico se (i, j) A e somente se (j, i) A, i, j N , assima matriz de adjacncia de G ser uma matriz simtrica. Exemplos:</p><p>Figura 1.11: Grafos simtricos</p><p>Grafo anti-simtrico</p><p>Um grafo G = (N,A) ser simtrico se (i, j) A se e somente se (j, i) / A, i, j N .Claramente, este tipo de relacionamento utilizado para grafos orientados e no pode</p><p>possuir laos. Este tipo de grafos pode expressar relaes de ordem total ou parcial (pater-nidade, idade, hierarquia, e outros), por exemplo, o organograma um grafo anti-simtrico.</p></li><li><p>CAPTULO 1. TEORIA DOS GRAFOS 7</p><p>Figura 1.12: Grafos anti-simtricos</p><p>Grafo completo</p><p>Um grafo G = (N,A) ser completo, se existir ao menos uma ligao associada a cada parde vrtices. No caso orientado, isso significa exatamente uma ligao e, portanto, o grafopossuir todas as arestas possveis. So conhecidas como cliques, Kn onde n o nmero devrtices do grafo.</p><p>Figura 1.13: Grafos completos</p><p>Para o caso orientado, se (i, j) / A ento (j, i) A, isto , a ausncia de um arco emum sentido implicar na presena do arco no sentido oposto.</p><p>Grafo Bipartido</p><p>Aqueles nos quais o conjunto de vrtices N pode ser particionado em dois subconjuntos detal forma que vrtices pertencentes a um mesmo subconjunto no so adjacentes.</p><p>Figura 1.14: Grafo Bipartido</p><p>Cliques Bipartidas</p><p>So grafos bipartidos no orientados com o maior nmero possvel de arestas, denota-se porKp,q.</p></li><li><p>CAPTULO 1. TEORIA DOS GRAFOS 8</p><p>Figura 1.15: Cliques Bipartidas</p><p>Grafo Complementar</p><p> um grafo G que possui o mesmo conjunto de vrtices e as ligaes no existentes em umgrafo G = (N,A), sendo que o universo de arcos corresponde s arestas de um clique.</p><p>Figura 1.16: Grafos Complementares</p><p>Subgrafo</p><p> um grafo que possui o subconjunto de vrtices e o subconjunto de ligaes de um grafoincidentes aos vrtices retirados.</p><p>Figura 1.17: Exemplo de subgrafo</p><p>Grafo Parcial</p><p> um grafo obtido pela supresso de ligaes do grafo original.</p></li><li><p>CAPTULO 1. TEORIA DOS GRAFOS 9</p><p>Figura 1.18: Grafo Parcial</p><p>1.2.6 Percursos em Grafos</p><p>Um percurso ou itinerrio ou ainda cadeia uma famlia de ligaes sucessivas adjacentes.Um percurso euleriano em um grafo o percurso que usa cada ligao exatamente uma</p><p>vez. Um conhecido problema que se encaixa nesse perfil o Problema do Carteiro Chins.Nele, o carteiro deseja percorrer todas as ruas da sua rota um nmero mnimo de vezes evoltar ao correio.</p><p>Um percurso hamiltoniano em um grafo o percurso que visita cada vrtice uma svez. No Problema do Caixeiro Viajante, um exemplo que utiliza percurso hamiltoniano,o caixeiro deseja visitar uma variedade de cidades e depois voltar ao ponto de partida.Associando-se o tempo de viagem entre as cidades, o caixeiro planeja um itinerrio de talforma que visite todas as cidades num menor tempo possvel. Este talvez um dos proble-mas mais estudados na Teoria dos Grafos e de mais dificil soluo.</p><p>Nas seguintes sees estudaremos alguns dos principais problemas em grafos.</p><p>1.3 O Problema do Caminho Mnimo</p><p>O problema do caminho mnimo consiste na minimizao do custo de percurso de um grafoentre dois vrtices, custo este dado pela soma dos custos de cada aresta percorrida. Para asua resoluo existem vrios algoritmos, mas esta disciplina abordar somente dois deles: oAlgoritmo de Dijkstra e o Algoritmo de Floyd.</p><p>1.3.1 Algoritmo de Dijkstra</p><p>O algoritmo de dijkstra tem por objetivo de...</p></li></ul>