apostila de números de números complexos

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Matematica

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PAGE 1

Faculdade Metropolitana de Londrina IESB

Curso: Engenharia de Telecomunicaes

Disciplina: Clculo III - Nmeros Complexos

Professora Simone de Castro Queiroz

Londrina

2006Nmeros ComplexosINTRODUO: Para que servem os nmeros complexos? Os nmeros complexos apareceram no sculo XVI ao longo das descobertas de procedimentos gerais para resoluo de equaes algbricas de terceiro e quarto grau. No sculo XVII os complexos so usados de maneira tmida para facilitar os clculos. No sculo XVIII so mais usados na medida que se descobre que os complexos permitem a conexo de vrios resultados dispersos da Matemtica no conjunto dos nmeros reais. No entanto, nada feito para esclarecer o significado desses novos nmeros. No sculo XIX, aparece a representao geomtrica dos nmeros complexos, motivada pela necessidade em Geometria, Topografia e Fsica, de se trabalhar com o conceito de vetor no plano. Os nmeros complexos passam a ser aplicado em vrias reas do conhecimento humano, dentro e fora da Matemtica. Na eletrnica e na eletricidade, a anlise de circuitos de corrente alternada feita com a ajuda de nmeros complexos. Grandezas como a impedncia (em ohms) e a potncia aparente (em volt-ampre) so exemplo de quantidades complexas.

A impedncia o nmero complexo Z = R + jX, ou na forma polar Z = |Z|(cosf +jsenf), onde j2 = -1 , f o ngulo (argumento) de defasagem entre a tenso aplicada e a corrente no circuito, |Z| o mdulo, R a resistncia eltrica (em ohm) e X a resultante (em ohm) das reatncias indutivas e capacitivas do circuito. Na Fsica e na Engenharia usado, como nmero imaginrio, o j no lugar do i para evitar confuso com o i de corrente eltrica.

A potncia aparente (em volt-ampre) o nmero complexo P = Pr + jPx, ou, P = |P|(cosf +jsenf), onde j2 = -1 , |P| o mdulo, f o ngulo de defasagem entre a tenso e a corrente, Pr a potncia real ou ativa (em watt), Px a potncia reativa (em volt-ampre reativo). O valor do cosf (fator de potncia) importante na determinao do aproveitamento da energia que est sendo gasta. Os procedimentos (algoritmos) recursivos (iterativos ou recorrentes) no plano complexo criaram na maioria das vezes figuras invariantes por escala denominadas Fractais. Estas formas geomtricas de dimenso fracionria servem como ferramenta para: descrever as formas irregulares da superfcie da terra; modelar fenmenos, aparentemente imprevisveis ( teoria do caos ), de natureza meteorolgica, astronmica, econmica, biolgica, etc. Von Koch (1904) e Julia (1910), foram os pioneiros no nascimento dessa nova matemtica (ou ser nova arte?).

Henon (1974) estudou o sistema Xn+1 = 1 - Yn - a(Xn)2 e Yn+1 = bXn. Foi observado que, dados a, b, Xo, Yo, variando n (n = 0,1,2,3, ...) e representando o par (Xn , Yn) no plano complexo, independentemente dos valores iniciais Xo e Yo, os caminhos numricos descritos pelos pares ordenados (Xo , Yo), (X1 , Y1) , (X2 , Y2) , ... , (Xn , Yn) repetiam-se, formando hexgonos deformados. Ampliando seu conjunto de trajetrias (vrios Xo e Yo) e representando-as juntas no plano complexo, Henon produziu uma figura enigmtica que chamou de "Gingerbreadman".

Mandelbrot (1975) estudou a equao Xn+1 = (Xn)2 + Z , onde Z = a + bi, i2 = -1 e n = 1 , 2 , 3 , ... . Atravs de um programa recursivo de computador (um programa em loop), variou Z e o computador imprimiu na tela os pontos Xn+1. Constatou que, para cada valor de Z uma figura era imprimida na tela. Ampliando as figuras descobriu que continha cpias aproximadas de si mesmo (auto-semelhana).

Hubbard (1979) resolveu a equao polinomial do quarto grau x4 - 1 = 0 no computador, usando o mtodo de Newton (1711) estendido para razes complexas. Ao mapear a maneira pela qual o mtodo leva, de diferentes valores iniciais xo, a uma das quatros solues, produziu tambm geometria fractal. Os fractais permitem desenhar (ou modelar) qualquer coisa (ou fenmeno) da natureza numa tela de computador (computao grfica), tudo isto graas ao corpo dos nmeros complexos.Quantidade complexa (ou fasor) uma grandeza que pode ser representada e operada vetorialmente, pela lgebra dos nmeros complexos, no plano . Pode significar uma variao de amplitude A (ou Mdulo) e fase f (ou argumento) num movimento peridico (como acontece nos circuitos eltricos de corrente alternada). Grandeza vetorial (ou vetor) aquela que possui direo, sentido e mdulo (velocidade, deslocamento, etc). representada e operada vetorialmente no plano e no espao por uma lgebra (clculo vetorial) diferente da lgebra dos complexos.Foi atravs do uso e da compreenso dos nmeros complexos que, certos "defeitos" existentes no conjunto dos nmeros reais foram "consertados". Euler (1748) usou as sries de Maclaurin (1742),

ou seja, ex = 1 + (x/1!) + (x2/2!) + (x3/3!) + (x4/4!) + ... ,

cos x = 1 - (x2/2!) + (x4/4!) - (x6/6!) + ... ,

sen x = x - (x3/3!) + (x5/5!) - (x7/7!) + ... ,

com x = ix, para chegar a relao eix = cos x + i sen x , onde i2 = -1 , e = 2,7182 ... , conhecida como identidade de Euler. Esta equao fez a to necessria conexo entre logaritmos, funes trigonomtricas e fatoriais (os complexos conseguem ter forma exponencial, trigonomtrica ou polar). Alm dessas conquistas, a identidade de Euler deu significado aos logaritmos de nmeros negativos. Fazendo x = p, Euler obteve epi + 1 = 0, onde o nmero p = 3,1415..., implicando em Ln(-1) = pi, ou seja, os logaritmos de nmeros negativos so nmeros imaginrios puros.

Hadamard (1883), em um estudo sobre distribuio de temperatura, resolveu equaes diferenciais (funes de Bessel) usando i2 = -1. Os nmeros complexos conquistaram novos domnios para Matemtica.

Os nmeros complexos so muito teis na Aerodinmica. Joukowski (1906), utilizando transformaes geomtricas, construiu uma curva fechada no plano complexo que representa o perfil de uma asa de avio ( aeroflio de Joukowski ) e, usando o princpio de Bernoulli (1738) e a teoria das funes complexas, deduziu a frmula F = x + yi = -ieia(VkLr) que permite calcular a fora de levantamento responsvel pela sustentao do vo de um avio. Os nmeros complexos permitiram uma explicao matemtica para o vo. Da em diante o progresso aeronutico foi rpido.

1. Definies

Vimos na resoluo de uma equao do 2 grau que se o discriminante negativo, ela no admite razes reais. Por exemplo, a equao

x2 + 9 = 0

no admite razes reais. Se usarmos os mtodos que conhecemos para resolv-la, obtemos

x2 = -9

x = mas inaceitvel tal resultado para x; os nmeros negativos no tm raiz quadrada.

Para superar tal impossibilidade e poder, ento, resolver todas equaes do 2 grau, os matemticos ampliaram o sistema de nmeros, inventando os nmeros complexos.

Primeiro, eles definiram um novo nmero

i = Isso conduz a i2 = -1. Um nmero complexo ento um nmero da forma a + bi onde a e b so nmeros reais.

Para a equao acima fazemos

x = x = x = . x = 3 i

As razes da equao x2 + 9 = 0 so 3i e - 3i.DefinioUm nmero complexo uma expresso da forma

a + bi

onde a e b so nmeros reais e i2 = -1.

No nmero complexo a + bi, a a parte real e b a parte imaginria.

Exemplos5 + 3iparte real 5parte imaginria 3

parte real

parte imaginria 4

24iparte real 0parte imaginria 24

-11parte real -11parte imaginria 0

Um nmero como 24i, com parte real 0, chama-se nmero imaginrio puro. Um nmero real como -11, pode ser considerado como um nmero complexo com parte imaginria 0.

Igualdade de nmeros complexos

Os nmeros complexos a + bi e c + di so iguais se suas partes reais so iguais e suas partes imaginrias so iguais, isto :

a + bi = c + di

Exemplos

2 + 5i =

Se x e y so nmeros reais e x + yi = 8 - 6i, ento x = 8 e y = - 6.

2. Operaes bsicas com nmeros complexos

Adio e Subtrao

Adio(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)iPara adicionarmos dois nmeroscomplexos, adicionamos as partesreais e as partes imaginrias

Subtrao(a + bi) - (c + di) = (a c) + (b d)iPara subtrairmos dois nmeroscomplexos, subtramos as partesreais e as partes imaginrias

Exemplos(3 + 4i) + (- 7 + 8i) = (3 - 7) + (4 + 8) i

= - 4 + 12i

Na prtica, fazemos

(3 + 4i) + (-7 + 8i) = 3 + 4i -7 + 8i = -4 +12i(- 5 + 6i) - (4 - 2i) = (- 5 - 4) + [6 - (- 2)] i

= - 9 + 8i

Multiplicao(a + bi) . (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)iMultiplicamos nmeroscomplexos como multiplicamosbinmios, usando i2 = - 1

Exemplosa) = 6 8i + 9i 12i2 b) = 8 4i + 4i + 2i2 = 6 + i 12 . (-1) = 8 + 2 . (-1) = 6 + i + 12 = 8 2 = 18 + i = 10c) = 3i . (4) 3i . (-2i)

= - 12i + 6i2= - 12i + 6 . (-1)

= - 6 - 12i3. O conjugado e a diviso

Diviso de nmeros complexos semelhante racionalizao do denominador de uma frao com radicais. Assim, se temos o quociente nosso objetivo escrev-lo na forma a + bi. Para isso, introduziremos inicialmente o conceito de conjugado de um nmero complexo.

Complexos conjugadosO conjugado de um nmero complexo a + bi a - bi, e o conjugado de a - bi a + bi.

Os nmeros complexos a + bi e a - bi so chamados complexos conjugados.

Para um nmero complexo z, seu conjugado representado com ; ento, se z = a + bi escrevemos = a - bi.

Exemplos

O conjugado de z = 2 + 3i = 2 - 3i

O conjugado de z = 2 - i = 2 + 3i

O conjugado de z = 5i = - 5i

O conjugado de z = 10 = 10

Quando multiplicamos um nmero complexo z = a + bi pelo seu conjugado = a - bi, o resultado que se obtm um nmero real no negativo:z . = (a + bi) . (a bi)

= a2 abi + abi b2i2

= a2 b2 . (-1)A soma dos quadradosde dois nmeros reaisnunca negativa

= a2 + b2

Usamos essa propriedade para expressar o quociente de dois nmeros complexos na forma a + bi.

Dividindo dois nmeros complexosPara escrevermos o quociente na forma a + bi, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

Exemplo

Vamos escrever o quociente na forma a + bi.

Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, para obter um nmero real no denominador.

= = = = i

= 1 i

OBS: Para obter o inverso de um nmero complexo, por exemplo, o inverso de z=5+12i, deve-se:

1. Escrever o inverso desejado na forma de uma frao

2. Multiplicar o numerador e o denominador da frao pelo conjugado de z

3. Lembrar reduo dos termos semelhantes, para obter

4. Potncias de i

Temos:

i0 = 1 i4 = i2 . i2 = (-1) . (-1) = 1

i1 = i i5 = i4 . i = 1 . i = i

i2 = -1 i6 = i4 . i2 = 1 . (-1) = -1

i3 = i2 . i = -1 . i = -i i7 = i4 . i3 = 1 (-i) = -i

Observe que as quatro potncias de i na coluna da esquerda, repetem-se nos quatro casos seguintes na coluna da direita. Este ciclo

1, i, -1, -i

repete-se indefinidamente.

Ento, para simplificar ix para x > 4, buscamos o maior mltiplo de 4 contido em x; por exemplo

i26 = i24 . i2 = (i4)6 . i2= 16 . (-1)

= -1

i43 = i40 . i3 = (i4)10 . i3= i10 . (-i)

= -i

5. O caso da raiz quadrada

Sabemos que um nmero real positivo r tem duas razes quadradas

e -,

Os nmeros reais negativos tambm tem duas razes quadradas. Por exemplo, 2i e - 2i so as razes quadradas de - 4 porque

(2i)2 = 22 . i2 = 4 . (-1) = - 4

(- 2i)2 = (- 2)2 . i2 = (- 2)2 . i2 = 4 . (- 1) = - 4

De um modo mais geral, se r > 0 um nmero real, o nmero real negativo - r, tem duas razes quadradas, porque

(i)2 = i2 . ()2 = -1 . r = -r

(-i2) = (-1) 2 . i2 . ()2 = 1 . (-1) . r = -r

Chamamos i de raiz quadrada principal de - r, e usamos o desenho para represent-la; a outra raiz quadrada - i representada com -. Note que as duas razes quadradas so nmeros complexos imaginrios puros, e que so conjugados.Razes quadradas de nmeros negativosSe - r < 0, ento as razes quadradas de - r so

ie - iA raiz quadrada principal de - r i :

= i

Exemplos

= i = i

= i = 5i

= iObservao Devemos ter especial cuidado quando efetuamos operaes envolvendo razes quadradas de nmeros negativos. Quando a e b so positivos vale a propriedade . = . Mas, quando ambos so negativos a propriedade no verdadeira. Por exemplo, a definio dada permite-nos escrever

. = i . i= i2 . . =Entretanto, se usarmos a propriedade temos

(errado)Quando multiplicamos radicais de nmeros negativos, devemos em primeiro lugar, escrev-los na forma i, com r > 0.

6. Representao dos nmeros complexos

Um nmero complexo constitudo por duas componentes: a parte real e a parte imaginria. Isso sugere a utilizao de dois eixos para represent-lo: um para a parte real e o outro para a parte imaginria. Esses dois eixos chamam-se eixo real e eixo imaginrio, respectivamente. O plano determinado por esses dois eixos chama-se plano complexo.Para desenharmos o grfico do nmero complexo a + bi, marcamos o ponto (a; b) no plano.

ou

Exemplo

7. Mdulo de nmero complexo

No grfico anterior observamos que existe um tringulo retngulo cuja medida da hipotenusa a distncia da origem 0 ao nmero complexo z, normalmente denotada pela letra grega ro nos livros, mas aqui denotada por r, o cateto horizontal tem comprimento igual parte real a do nmero complexo e o cateto vertical corresponde parte imaginria b do nmero complexo z.

Desse modo, se z=a+bi um nmero complexo, ento r2=a2+b2 e a medida da hipotenusa ser por definio, o mdulo do nmero complexo z, denotado por |z|, isto :DefinioO mdulo (ou valor absoluto) do complexo z = a + bi

| z | =

Exemplos

O mdulo do nmero complexo - 3 + 4i

|-3 + 4i| = = = 5

O mdulo do nmero complexo 7 + 4i

|7 + 4i| = = 8.Argumento de um nmero complexoO ngulo formado entre o segmento OZ e o eixo OX, denominado o argumento do nmero complexo z. Pelas definies da trigonometria circular temos as trs relaes:

cos()=a/r,sen()=b/r,tan()=b/a

Por experincia, observamos que melhor usar o cosseno ou o seno do ngulo para definir bem o argumento, uma vez que a tangente apresenta alguns problemas.

9. Forma polar e sua multiplicao

Forma polar de um nmero complexo: Das duas primeiras relaes trigonomtricas apresentadas anteriormente, podemos escrever:

z = a+bi = r cos() + r i sen() = r (cos + i sen )

e esta ltima a forma polar do nmero complexo z.

Multiplicao de complexos na forma polarConsideremos os nmeros complexos:

z = r (cos + i sen )w = s (cos + i sen )

onde, respectivamente, r e s so os mdulos e e so os argumentos destes nmeros complexos z e w.

Realizamos o produto entre estes nmeros da forma usual e reescrevemos o produto na forma:z . w = r s [cos (+) + i sen (+)]

Este fato garantido pelas relaes:cos(+) = cos() cos() - sen() sen()sen(+) = sen() cos() + sen() cos()

Diviso de complexos na forma polar

10. Potncia de um nmero complexo na forma polar

Seguindo a frmula de multiplicao acima, poderemos obter a potncia de ordem k de um nmero complexo. Assimz = r [cos() + i sen()]

Pela frmula de Moivre

[cos() +isen()] n = cos(n) + isen(n)ento

zn = rn [cos(n) + i sen(n)]

Exemplo: Consideremos o nmero complexo z=1+i, cujo mdulo a raiz quadrada de 2 e o argumento /4 (45 graus). Para elevar este nmero potncia 16, basta escrever:z16 = 28[cos(720o)+isen(720o)]=256

11. Raiz quarta de um nmero complexo

Um ponto fundamental que valoriza a existncia dos nmeros complexos a possibilidade de extrair a raiz de ordem 4 de um nmero complexo, mesmo que ele seja um nmero real negativo, o que significa, resolver uma equao algbrica do 4o. grau. Por exemplo, para extrair a raiz quarta do nmero -16, devemos obter as quatro razes da equao algbrica x4+16=0.

Antes de apresentar o nosso processo para a obteno da raiz quarta de um nmero complexo w, necessitamos saber o seu mdulo r e o seu argumento t, o que significa poder escrever o nmero complexo na forma polar:

w = r (cos t + i sen t)

O primeiro passo realizar um desenho mostrando este nmero complexo w em um crculo de raio r e observar o argumento t, dado pelo angulo entre o eixo OX e o nmero complexo w.

O passo seguinte obter um outro nmero complexo z(1) cujo mdulo seja a raiz quarta de r e cujo argumento seja t/4. Este nmero complexo a primeira das quatro raizes complexas procuradas.

z(1) = r1/4 [cos(t/4)+isen(t/4)]

As outras razes sero:

z(2) = i z(1)z(3) = i z(2)z(4) = i z(3)

Todas aparecem no grfico, mas observamos que este processo para obter as quatro razes do nmero complexo w ficou mais fcil pois temos a propriedade geomtrica que o nmero complexo i multiplicado por outro nmero complexo, roda este ltimo de 90 graus e outro fato interessante que todas as quatro razes de w esto localizadas sobre a mesma circunferncia e os ngulos formados entre duas razes consecutivas de 90 graus.

Se os quatro nmeros complexos forem ligados, aparecer um quadrado rodado de t/4 radianos em relao ao eixo OX.

12. Raiz n-sima de um nmero complexoExiste uma importantssima relao atribuda a Euler:

ei.t = cos(t) + i sen(t)

que verdadeira para todo argumento real e a constante e tem o valor aproximado 2,71828... Para facilitar a escrita usamos freqentemente:

exp(i t) = cos(t) + i sen(t)

Observao: A partir da relao de Euler, possvel construir uma relao notvel envolvendo os mais importantes sinais e constantes da Matemtica:

Voltemos agora exp(it). Se multiplicarmos o nmero eit por um nmero complexo z, o resultado ser um outro nmero complexo rodado de t radianos em relao ao nmero complexo z.

Por exemplo, se multiplicarmos o nmero complexo z por exp(i/8)=cos(/8)+i sen(/8), obteremos um nmero complexo z(1) que forma com z um ngulo /8=22,5graus, no sentido anti-horrio.

Iremos agora resolver a equao xn=w, onde n um nmero natural e w um nmero complexo dado. Da mesma forma que antes, podemos escrever o nmero complexo w=r(cos t + i sen t) e usar a relao de Euler, para obter:

w = r eitPara extrair a raiz n-sima, deve-se construir a primeira raiz que dada pelo nmero complexo

z(1) = r1/n eit/nTodas as outras n-1 razes sero obtidas pela multiplicao recursiva dada por:

z(k) = z(k-1) e2i/nonde k varia de 2 at n.

Exemplo: Para obter a primeira raiz da equao x8=-64, observamos a posio do nmero complexo w=-64+0i, constatando que o seu mdulo igual a 64 e o argumento igual a radianos (=180 graus).

Aqui, a raiz oitava de 64 igual a 2 e o argumento da primeira raiz /8, ento z(1) pode ser escrita na forma polar:

z(1) = 2 ei/8 = 2(cos 22,5o+i sen 22,5o) = R[2](1+i)

onde R[2] a raiz quadrada de 2. Obtemos as outras razes pela multiplicao do nmero complexo abaixo, atravs de qualquer uma das formas:

e2i/8 = 2(cos 45o + i sen 45o) = R[2](1+i)/2=0,707(1+i)

Assim:

z(2) = z(1) R[2](1+i)/2z(3) = z(2) R[2](1+i)/2z(4) = z(3) R[2](1+i)/2z(5) = z(4) R[2](1+i)/2z(6) = z(5) R[2](1+i)/2z(7) = z(6) R[2](1+i)/2z(8) = z(7) R[2](1+i)/2

Ou ainda podemos escrever a frmula das razes n-simas como:

Sejam os nmeros complexosz = r (cos + i sen )

w = s (cos + i sen )

e usando a frmula de Moivre, obtemos

sn (cos n + i senn) = r (cos + i sen )logo

sn = r e n = + 2k , onde k um inteiro.

Assim obtemos a frmula que produz n razes distintas, quando a k se atribuem os valores k = 0, 1, 2, ..., n -1.

_1200368339.unknown

_1200368717.unknown

_1200371792.unknown

_1200374454.unknown

_1200368806.unknown

_1200368528.unknown

_1200310321.unknown

_1200366909.unknown

_1200368328.unknown

_1200315504.unknown

_1200310088.unknown