Universidade Federal da Bahia - Escola PolitécnicaDepartamento de Ciência e Tecnologia dos Materiais

(Setor de Geotecnia)

MECÂNICA DOS SOLOS IIConceitos introdutórios

Autores: Sandro Lemos Machado e Miriam de Fátima C. Machado

1

MECÂNICA DOS SOLOS IIConceitos introdutórios

SUMÁRIO

1. FLUXO DE ÁGUA EM SOLOS 051.1 Introdução 051.2 Conservação da energia 061.3 Lei de Darcy. 121.4 Validade da lei de Darcy 141.5 Coeficiente de permeabilidade dos solos 141.6 Métodos para determinação da permeabilidade dos solos 151.7 Fatores que influem no coeficiente de permeabilidade do solo 201.8 Extensão da lei de Darcy para o caso de fluxo tridimensional 211.9 Permeabilidade em extratos estratificados 211.10 Lei de fluxo generalizada (conservação da massa) 231.11 Capilaridade nos solos 27

2. COMPRESSIBILIDADE DOS SOLOS 302.1 Introdução 302.2 Compressibilidade dos solos 302.3 Ensaio de compressão confinada 312.4 Interpretação dos resultados de um ensaio de compressão confinada 332.5 Cálculo dos recalques totais em campo 392.6 Analogia mecânica do processo de adensamento proposta por Terzaghi422.7 Teoria do adensamento unidirecional de Terzaghi 462.8 Obtenção dos valores de Cv. 512.9 Deformações por fluência no solo 532.10 Aceleração dos recalques em campo 54

3. FLUXO BIDIMENSIONAL – REDES DE FLUXO 563.1 Introdução 563.2 Equação para fluxo estacionário e bidimensional 563.3 Métodos para resolução da equação de Laplace 593.4 Redes de fluxo 603.5 Fluxo de água através de maciços de terra 683.6 Fluxo de água através de maciços de terra e fundações permeáveis 743.7 Fluxo de água através de maciços anisotrópicos 743.8 Fluxo de água em meios heterogêneos 77

4. RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO 804.1 Introdução 804.2 O conceito de tensão em um ponto 824.3 Círculo de Mohr 834.4 Resistência dos solos 864.5 Ensaios para a determinação da resistência ao cisalhamento dos solos 874.6 Características genéricas dos solos submetidos à ruptura 934.7 Trajetórias de tensões 1054.8 Aplicação dos resultados de ensaios a casos práticos 108

2

5. EMPUXOS DE TERRA 1115.1 Introdução 1115.2 Coeficientes de empuxo 1115.3 Método de Rankine 1155.4 Método de Coulomb 1185.5 Aspectos gerais que influenciam na determinação do empuxo 1235.6 Estruturas de arrimo 125

6. ESTABILIDADE DE TALUDES 1456.1 Introdução 1456.2 Métodos de análise de estabilidade 1476.3 Considerações gerais 163

� BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 165

3

NOTA DOS AUTORES

� Estetrabalhofoi desenvolvidoapoiando-senaestruturaçãoe ordenaçãode tópicosjá existentesno Departamentode Ciência e Tecnologiados Materiais (DCTM),relativosà disciplinaMecânicadosSolos.Destaforma,a ordenaçãodoscapítulosdo trabalhoe a sualógica deapresentaçãodevemmuito ao materialdesenvolvidopelos professoresdesteDepartamento,antes do ingressodo professorSandroLemos Machado à UFBA, o que se deu em 1997.

� Vale ressaltartambémque o capítulo de origem e formação dos solos, cujoconteúdoé apresentadono volume1 destetrabalho,tem a suafundamentaçãonomaterial elaborado,com uma enorme base de conhecimentoregional, pelosprofessoresdo DCTM e pelo aluno Maurício de JesusValadão,apresentadoemum volumede notasde aulas, de grandevalor didáticoe certamentereferênciabibliográfica obrigatóriapara os alunosque cursama disciplina MecânicadosSolos.

4

1. FLUXO DE ÁGUA EM SOLOS.

�������������� ���������

Antesdeiniciarmosumaexposiçãomaisou menosdetalhadadasbasesteóricaquesedispõeparatratardosproblemasde fluxo deáguano solo,é convenienteesclarecerasrazõespelasquaisa resoluçãodetaisproblemasé devital importânciaparao engenheirogeotécnico.Ao se mover no interior de um maciço de solo, a água exerce em suas partículas sólidas forçasqueinfluenciamno estadode tensõesdo maciço.Os valoresdepressãoneutrae comisto osvaloresdetensãoefetivaemcadapontodo solosãoalteradosemdecorrênciadealteraçõesnoregimedefluxo. Na zonanãosaturada,mudançasnosvaloresdeumidadedo solo irão alterarde forma significativa os seus valores de resistência ao cisalhamento. De uma forma geral, sãoos seguintes os problemas onde mais se aplicam os conceitos de fluxo de água nos solos:

�Estimativada vazãodeágua(perdadeáguado reservatórioda barragem),atravésda zona de fluxo.

�Instalação de poços de bombeamento e rebaixamento do lençol freático

�Problemas de colapso e expansão em solos não saturados

�Dimensionamento de sistemas de drenagem

�Dimensionamento de “liners” em sistemas de contenção de rejeitos

�Previsão de recalques diferidos no tempo

�Análisedainfluênciado fluxo deáguasobrea estabilidadegeraldamassadesolo(estabilidade de taludes).

�Análisedapossibilidadesdaáguadeinfiltraçãoproduzirerosão,arastedematerialsólido no interior do maciço, “piping”, etc.

Comosepodeobservar,o conhecimentodasleis queregemosfenômenosdefluxo deáguaem solosé aplicadonasmaisdiversassituaçõesda engenharia.Um casode particularimportância na engenharia geotécnica, o qual aplica diretamente os conceitos de fluxo de águaem solos, é o fenômeno de adensamento,característicode solos moles, de baixapermeabilidade.Por contados baixos valoresde permeabilidadedestessolos,os recalquestotais a serem apresentadospor eles, em decorrênciados carregamentosimpostos, nãoocorremdeimediato,seapresentandodiferidosno tempo.A estimativadastaxasderecalquedo solo com tempo, bem como a previsãodo tempo requeridopara que o processodeadensamentoseja virtualmente esgotado, são questões freqüentementetratadas peloengenheirogeotécnico,o qual teráqueutilizar deseusconhecimentosacercado fenômenodefluxo de água em solos, para respondê-las.O capítulo 2 deste volume trata do temacompressibilidade/adensamento.

A influência do fluxo de águana estabilidadedasmassasde solo sedá pelo fato dequequandohá fluxo no solo,a pressãoa qualáguaestásujeitaé denaturezahidrodinâmicaeestefato produzváriasrepercussõesimportantes.Em primeiro lugar, dependendoda direçãodo fluxo, a pressãohidrodinâmicapode alterar o peso específicosubmersodo solo. Porexemplo, se a água flui em sentido descendente,o peso específicosubmersodo solo émajorado.Se o fluxo ocorre em uma direçãoascendente,se exerceum esforço sobreaspartículasdesoloo qual tendea diminuir o seupesoespecíficosubmerso.Em segundolugare de acordocom o princípio dastensõesefetivasde Terzaghi,conservando-sea tensãototalatuandoem um ponto na massade solo e modificando-seo valor da tensãoneutranaqueleponto,a suatensãoefetivaserámodificada.Comojá vimosanteriormente,a tensãoefetivaé aresponsávelpelasrespostasdo solo,sejaem termosde resistênciaao cisalhamento,sejaem

5

termosde deformações,o que vem a ilustrar aindamais a importânciados fenômenosdefluxo de água nos solos.

Conformeapresentadono capítulo4 do volume1 destetrabalho,a águano solo podese apresentarde diferentesformas,dentreas quaispodemoscitar a águaadsorvida,a águacapilare a águalivre. A águaadsorvidaestáligadaàssuperfíciesdaspartículasdo solo pormeio de forças elétricas,não se movendono interior da massaporosa e portanto nãoparticipandodosproblemasde fluxo. O fluxo de águacapilar apresentagrandeimportânciaemalgumasquestõesda mecânicado solo, tais comoo umedecimentodeum pavimentoporfluxo ascendente.Contudo,namaioriadosproblemasdefluxo emsolos,osefeitosdaparcelade fluxo devido à capilaridadesão de pequenaimportância e podem ser desprezados,principalmentese considerarmosas complicaçõesteóricasadicionaisquesurgiriamse estesfossem levados em conta. A água livre ou gravitacional é aquela que sob o efeito da gravidadeterrestrepode mover-seno interior do maciço terrososem outro obstáculosenãoaquelesimpostos por sua viscosidade e pela estrutura do solo.

Emumamassadesoloa águagravitacionalestáseparadadaáguacapilarpeloníveldolençol freático. Nem sempreé fácil se definir ou localizar o nível do lençol freático. Naprática,ao seefetuarumaescavação,o espelhode águaqueseforma apósdecorridotemposuficienteparao equilíbrio do fluxo, define o lençol freático. Tal superfíciede separação,porém,provavelmentenão existeno solo adjacente,já que devido a naturezado solo emquestãodevehaversolo totalmentesaturadoacimado espelhode águaformado(ascensãocapilar).

O estudodos fenômenosde fluxo de águaem solosé realizadoapoiando-seem trêsconceitosbásicos:conservaçãoda energia (Bernoulli), permeabilidadedos solos (lei deDarcy) e conservaçãoda massa.Estesconceitosserãoapresentadosde forma resumidanospróximos itens deste capítulo. Após a exposição dos mesmos será apresentadaumaformulaçãoampla,aplicávela todosos casosde fluxo de águaem solos.Estaformulaçãoéentão simplificada, de modo a considerarsomenteos casosde fluxo de água em solossaturados,homogêneose isotrópicos.Obedecendo-seestasrestrições,são apresentadasasequaçõesutilizadaspara os casosde fluxo bidirecional estacionárioe fluxo unidirecionaltransiente (teoria do adensamento de Terzaghi).

��� ���������� �������������������� �� �"! �

O conceitode energiatotal deum fluido, formuladopor Bernoulli, é apresentadoaosalunosdo cursode engenhariacivil nasdisciplinasde Físicae FenômenosdosTransportes.Parafins deGeotecnia,contudo,é maispráticoseutilizar o conceitodedensidadedeenergia,geralmenteexpressosem relaçãoao pesoou ao volume de fluido. A eq. 1.1 apresentaapropostade Bernoulli pararepresentara energiatotal em um ponto do fluido, expressaemtermosda razãoenergia/peso.A energiatotal ou cargatotal é igual à somade trêsparcelas:(carga total = carga altimétrica + carga piezométrica + carga cinética).

g

vuzh

wtotal

2

2

++=γ (1.1)

Onde,htotal é a energiatotal do fluido; z é a cotado pontoconsideradocom relaçãoaum dadoreferencialpadrão(DATUM); u é o valor da pressãoneutra;v é a velocidadedefluxo da partículade águae g é o valor da aceleraçãoda gravidadeterrestre,geralmenteadmitido como sendo igual a 10 m/s2.

Comosepodeobservardestaequação,estemododeexpressaro teoremadeBernoulliconduzà representaçãoda energiaespecíficado fluido em termos de cotasequivalentes,possuindoa unidadede distância(m, cm, mm, etc.). Notar que a relação Joule/Newtonpossui unidade de comprimento. Como será visto no próximo item deste capítulo, a

6

representaçãoda energiatotal de um fluido em termosde cotasequivalentesé preferívelquando do estudo de problemas envolvendo fluxo de água nos solos.

Paraa grandemaioriadosproblemasenvolvendofluxo deáguaemsolos,a parceladaenergiatotal daáguano solo referenteà energiacinética,termo(v2/2g), podeserdesprezada.Isto faz com que a eq. 1.1 possa ser escrita de uma forma mais simplificada:

wtotal

uzh

γ+=

(1.2)

A cargaaltimétrica(z) é a diferençade cota entreo pontoconsideradoe o nível dereferência.A cargapiezométricaé a pressãoneutrano ponto,expressaem altura de colunad`água.

A fig. 1.1 apresentaa variaçãodasparcelasde energiade posição(z) e de pressãodofluido (u/γw) em um reservatóriode águaem situaçãoestática(sema ocorrênciade fluxo).Conforme se pode observar desta figura, as parcelas de energia de posição (ou gravitacional) ede pressão variam de tal forma a manter constante o valor do potencial total da água no solo.

Nível do lençol freático

DATUM (z = 0)

Z

Zw

u = γw.z

w, onde z

w é a

distância vertical do ponto considerado até o nível do lençol freático.

u h z

h = u/γw

+z

Figura 1.1 - Variação dasenergiasdeposição,pneumáticae total ao longo de umreservatório de água em condições estáticas.

Conformeserávisto no item seguintedestecapítulo,paraquehajafluxo deáguaentredois pontosno solo, é necessárioquea energiatotal em cadaponto sejadiferente.A águaentão fluirá sempre do ponto de maior energia para o ponto de menor energia total.

Costuma-sedefinir a energialivre daáguaem um determinadopontodo solocomoaenergiacapazde realizar trabalho (no caso, fluxo de água).Considerando-sea condiçãonecessáriaparaquehajafluxo no soloexpostaacima,a energialivre poderiaserrepresentadapela diferença entre os valores de energia total nos dois pontos considerados da massa de solo.Destaforma,casoo nível dereferência(DATUM) apresentadonafig. 1.1fossemodificado,ovalor da energiatotal em cadaponto tambémo seria,porém,a diferençaentreas energiastotais permaneceriaconstante,ou seja, a energia livre da água entre os dois pontospermaneceria inalterada, independente do sistema de referência.

No item seguinte deste capítulo, o termo htotal da equaçãode Bernoulli serádenominado de potencial total da água no solo e será representado pelo símbolo h.

7

��� ������������ ����������������� �����

No esquemaapresentadona fig. 1.2a,a águaseelevaatéumacertacota(h1) nosdoisladosdo reservatório.O potencialtotal é somadacotaatingidapelaáguae a cotado planodereferência.Nessecaso,o potencialtotal é o mesmonosdoisladosdo reservatório(pontosF1 eF2), portanto,não há fluxo. Somenteocorrefluxo quandohá diferençade potenciaistotaisentre dois pontose ele seguirádo ponto de maior potencial para o de menor potencial.Considerando-seo casob dafig. 1.2,tem-seno ladoesquerdo(pontoF1) maiorpotencialtotalqueno pontoF2, no ladodireito.Dessaforma,a águaestáfluindo daesquerdaparadireita,ouseja, de F1 para F2. Ocorrendo movimento de água através de um solo, ocorre umatransferênciade energiada águaparaas partículasdo solo, devidoao atrito viscosoque sedesenvolve.A energiatransferidaé medidapela perdade cargae a força correspondenteaessaenergiaé chamadade força de percolação.A força de percolaçãoatuanas partículastendendoa carregá-las,conseqüentemente,é umaforçaefetivadearrastehidráulicoqueatuana direção do fluxo de água.

Figura 1.2 – Forças de percolação.

Na fig. 1.2b, pode-se observar que a amostra de solo está submetida à força F1=γw.h1.A,graçasà cargah1 atuandodo ladoesquerdodo reservatórioe quedo ladodireito, atuaa forçaF2=γw.h2.A

A força resultante,FP,dadapeladiferençaF1 – F2, quesedissipauniformementeemtodo o volume de solo (A.L), é dada por:

)hh.(A.FFFp 21w21 −=−= γ Sendo, i= -∆h/L, temos:

i.V.Fp wγ= (1.3)

i.fp wγ= (fp: Força de percolação por unidade de volume)

A análisedo equilíbriodeumamassadesolosujeitaà percolaçãodaáguaadmitedoisprocedimentos distintos:

• Pesototal (saturado)do solo+ forçasdesuperfíciedevidoàspressõesdaáguaintersticial;

• Peso efetivo (submerso) do solo + forças de percolação.

O primeiroprocedimentoenvolvea consideraçãodo equilíbriodamassadesolocomoum todo(sólido+ água),aopassoqueo segundoanalisaascondiçõesdeequilíbrioapenasdo

h1

F2

F1

L

A

h

h2

h1

F2

F1

L

AFP

(a) (b)

8

esqueleto sólido do solo. Ambos são igualmente válidos e a aplicação de um ou outro dependedo problema a ser analisado, em termos de conveniência.

É interessanteressaltar,no segundoprocedimento,ascondiçõesparticularesdefluxosascendentese descendentesde água.Uma vez queasforçasde percolaçãoatuamna direçãodo fluxo, ocorre um acréscimode pressõesefetivasno casode fluxo descendentee umaredução das pressões efetivas no caso de fluxo ascendente, os seja:

γ ' =γ sub ± fp

��� ��� ������� ��� ����� ��� ����� � ����� �!#"$��� � !Rupturahidráulicaéo processodeperdadaresistênciaedaestabilidadedeumamassa

de solo por efeito dasforçasde percolação.Um primeiro tipo de rupturahidráulicaé aqueleem quea perdade resistênciado solo decorreda reduçãodaspressõesefetivasdevidoa umfluxo d`àguaascendente.Nestascondições,a força de percolaçãogeradapodese igualaràsforças gravitacionaisefetivas,desdeque os gradienteshidráulicos sejam suficientementeelevados.Assim, a resultantedas forçasefetivasseránula. A fig. 1.3 mostraum esquemaexplicandocomo isso poderá ocorrer. Nesta figura, a areia está submetidaa um fluxoascendentede água,ou seja,a águapercolado ramodaesquerdaparadireita, em virtudedadiferençade cargah, que é dissipadapelo atrito viscoso desenvolvidoentre a águae aspartículassólidas,sendoportantosatisfeitaa primeiracondiçãoparaocorrênciado fenômeno(fluxo ascendente).

Figura 1.3 – Permeâmetro com fluxo ascendente – Areia movediça.

A segundacondição,conformejá exposto,consistena verificaçãoda condiçãodetensãoefetiva igual a zero (σ`=0) ou força de percolaçãoigual ao pesosubmersodo solo(Fp=Wsub). Fazendo o equilíbrio no Ponto A temos (pressão igual à tensão total):

Tensão total:σA = γw.h1 + γsat. L (1.4)

Pressão neutrauA = γw. (h1 +L + h) (1.5)

Igualando as equações 1.4 e 1.5 tem-se a eq. 1.6:

Fluxo descendente (+): γ` = γsub + γ w·i → %v' &(' )

sub * )w + i + dz

Fluxo ascendente (-): γ` = γsub - γ w·i→ %v' &,' )

sub - )w + i + dz

Areia saturada

L

h1

h

A

Areia saturada

L

h1

h

A

9

w

wsatcc L

hi

γγγ −

==(1.6)

onde:ic é chamadogradientehidráulico critico (aproximadamenteigual a 1,0 paraamaioria dos solos). A condição i ≥ ic implica, portanto, em pressõesefetivas nulas emquaisquer pontos do solo.

No casode solosarenosos(semcoesão),a resistênciaestádiretamentevinculadaàspressõesefetivasatuantes(s = σ` tg φ`). Atingida a condiçãode fluxo paraic, resultaumaperdatotal daresistênciaaocisalhamentodaareia,quepassaa secomportarcomoum líquidoem ebulição.Este fenômenoé denominadoareiamovediça.Nota-se,portanto,que a areiamovediçanãoconstituiumtipo especialdesolo,massimplesmente,umaareiaatravésdaqualocorre um fluxo ascendente de água sob um gradiente hidráulico igual ou maior que ic.

A ocorrênciade areia movediçana naturezaé rara, mas o homempode criar estasituaçãonassuasobras,com maior freqüência.A fig. 1.4 apresentaduassituaçõesem queestefenômenopodeocorrer.No caso(a) tem-seumabarragemconstruídasobreumacamadade areiafina sobrepostaa umacamadade areiagrossa.A águado reservatóriode montantepercolará,preferencialmente,pela areia grossae sairá a jusanteatravésda areia fina comfluxo ascendente.No caso(b) tem-seuma escavaçãoem areiasaturadae rebaixamentodonível de água para permitir a execução dos trabalhos.

Figura 1.4 – Condiçõesde areia movediçacriada em obras.Modificado de Pinto,(2000).

Um outro tipo derupturahidráulicaé aquelequeresultado carreamentodepartículasdo solo por forçasde percolaçãoelevadas,sendoo fenômenodesignado,comumente,pelotermoeminglês“piping” (entubamento). Estefenômenopodeocorrer,por exemplo,na saídalivre da águano taludede jusantede uma barragemde terra,ondeas tensõesaxiais sendopequenas,resultamem valoresbaixosdasforçasdeatrito interpartículasque,assim,tornam-se passíveisde seremarrastadaspelas forças de percolação.Iniciado o processo,com ocarreamentode partículasdestazona do maciço, desenvolve-seum mecanismode erosãotubular regressiva, que pode levar ao colapso completo da estrutura.�� ��� �������� ���� ������������ ������������ �� �!���� ����"��

Devido aos graves problemasque podem resultar da ocorrência de forças depercolaçãoelevadas,torna-seimprescindívelo controledestasforçasem umaobrade terra.Este controlepodeser feito, basicamente,por dois procedimentosdistintos,sendousuala

10

adoçãoconjuntadeambosemum mesmoprojeto,quesão:reduçãodavazãodepercolaçãoeadoção de dispositivos de drenagem.

A fig. 1.5 sintetizaassoluçõesclássicasparaumabarragemde terra,queincorporamos seguintesdispositivospara a reduçãoda vazão de percolação:construçãode tapetesimpermeabilizantea montante(1); construçãode revestimentosde proteçãodo talude demontante (2); zoneamentodo maciço, com núcleo constituído de material de baixapermeabilidade(3); construçãode trincheirade vedação(cut off) , escavadana fundaçãoepreenchida com material de baixa permeabilidade (4); construção de cortina de injeção (5).

Adicionalmente,em termos de dispositivosde drenagem,podem ser adotadasasseguintessoluções:execuçãode filtros verticais e inclinados (6); construçãode tapetesfiltrantes (filtros horizontais),(7); zoneamentodo maciçocom materialmais permeávelnazona de jusante(8); execuçãode drenosverticais ou poços de alívio (9); construçãodeenrocamento de pé (10).

Figura 1.5 - Elementos para controle de forças de percolação.

Devido à percolaçãode água de um solo relativamentefino para um solo maisgranular(areiase pedregulhos),existea possibilidadedecarreamentodaspartículasfinasparao solo granular,com crescenteobstruçãodosporose consequentereduçãoda drenagem.Talcondiçãoocorre,por exemplo,entre o material do maciço de uma barragemde terra e oenrocamentoexecutadono pédo taludede jusante(ver fig. 1.5). Há portanto,necessidadedeevitar estesdanosmediantea colocaçãode filtros de proteçãoentreo solo fino passíveldeerosão e o enrocamento de pé, os quais devem satisfazer duas condições básicas:

• Os vazios (poros) do material usadocomo filtro devemser suficientementepequenospara impedir o carreamentodaspartículasdo solo adjacentea serprotegido;

• Os vazios (poros) do material usadocomo filtro devemser suficientementegrandesparagarantirumaelevadapermeabilidadee evitar o desenvolvimentode altas pressões hidrostáticas.

A escolhado materialde filtro, baseadanestesrequisitosbásicos,é feita a partir dacurva granulométrica do solo a ser protegido. Terzaghi propôs as seguintes relações:

D 15 f � 4a 5D 85 s

D 15 f

�4 a 5D 15 s (1.7)

11

sendo,f, o índicerelativoaomaterialde filtro e, s, o índicerelativoaosoloa serprotegidoeainda,D(%), o diâmetrocorrespondenteà porcentagemque passa,ou seja,semelhanteasdefinições de D10 e D60.

Na fig. 1.6 tem-seum exemplodecomoescolhera curvagranulométricadeum filtro,paraprotegerum solo com curva granulométricaconhecida.Estabelecidosos limites paraD(15)f (pontosA e B), traçam-se,por estespontos,curvasgranulométricasde coeficientedeuniformidadeaproximadamenteiguais ao solo a ser protegido,definindo-se,portanto,umafaixa de granulometrias possível de atender às condições exigidas para o filtro de proteção.

Figura 1.6 - Escolhada faixa de variaçãogranulométricapara filtros de proteção.Modificado de Bueno & Vilar, (1985).

��� ����������� ��������

Conformeestudadona disciplina Fenômenosde Transporte,os problemasde fluxopodemser divididos em duasgrandescategorias:fluxo (ou escoamento)laminar e fluxoturbulento.No regimede fluxo laminaraspartículasdo fluido semovimentamemtrajetóriasparalelas,umanãointerferindono movimentodasoutras.No regimede fluxo turbulento,astrajetóriasde fluxo sãoirregulares,cruzando-seumascom as outrasde forma inteiramentealeatória.OsborneReynolds,em seu experimentoclássicoestudandofluxo em condutosfechados,estabeleceuum limite inferior de velocidadeno qual o fluxo muda as suascaracterísticasde laminarparaturbulento.Estelimite é denominadode velocidadecrítica, eos fenômenosde fluxo queocorremcom valoresde velocidadeabaixoda velocidadecríticasãoconsideradoscomopertencentesa categoriadefluxo laminar,casocontrário,sãotratadoscomoproblemasde fluxo turbulento.No casode fluxo laminarde águano solo,a resistênciaao fluxo é devida principalmenteà viscosidadeda água e as condiçõesde contorno doproblemapossuemmenorimportância.A velocidadecritica de escoamento,vc, é governadapor um númeroadmensional,denominadodenúmerodeReynolds(R). A eq.1.8 apresentaaexpressãoutilizada parao cálculo do númerode Reynolds.Verifica-se experimentalmentequea velocidadecríticaparaescoamentoemtuboscorrespondea um númerodeReynoldsdeaproximadamente 2000.

νDv

R⋅=

(1.8)

12

Onde:v é a velocidadede fluxo do fluido, D é o diâmetrodo tuboe ν é a viscosidadecinemática do fluido (expressa nas unidades L2/T).

É difícil seestudarascondiçõesdefluxo paracadaporo,demaneiraindividual dentrodo solo.Somenteascondiçõesmédiasexistentesemcadaseçãotransversaldesolopodemserestudadas.Pode-sedizer,contudo,queparaostamanhosdeporosgeralmenteencontradosnossolos,o fluxo atravésdosmesmosé invariavelmentelaminar.Somenteparao casode solosmais grossos,como no casodos pedregulhos,escoamentoturbulentopode ocorrer, aindaassim requerendo para isto altos valores de gradientes hidráulicos.

O engenheiroFrancêsH. Darcyrealizouum experimento,o qualeraconstituídodeumarranjosimilar àqueleapresentadona fig. 1.7,paraestudaraspropriedadesde fluxo de águaatravésde uma camadade filtro de areia.Este experimento,realizadoem 1856, se tornouclássicoparaasáreasdehidráulicae geotecniae deuorigemaumalei quecorrelacionaa taxade perda de energia da água (gradientehidráulico) no solo com a sua velocidadedeescoamento (lei de Darcy).

L

∆hh1

h2

h

h1

h2

i = -dh/dz

z

Figura 1.7 - Esquema ilustrativo do experimento realizado por Darcy.

No experimentoapresentadona fig. 1.7, os níveis de água h1 e h2 são mantidosconstantese o fluxo de água ocorre no sentido descendenteatravésdo corpo de prova.Medindoo valor da taxadefluxo quepassaatravésdaamostra(vazãodeágua),representadapelo símbolo q, para vários valores de comprimentoda amostra(L) e de diferença depotencialtotal (∆h), Darcy descobriuque a vazão“q” era proporcional a razão∆h/L (ougradientehidráulico da águaatravésda amostra,i). Isto é ilustrado na eq. 1.9 apresentadaadiante.

Ai kA L

hkq ⋅⋅=⋅∆⋅−=

(1.9)

Na eq. 1.9, k é uma constantede proporcionalidadedenominadade coeficientedepermeabilidadedo solo.Quantomaioro valor dek, maiorvai sera facilidadeencontradapelaáguaparafluir atravésdosvaziosdo solo.O coeficientedepermeabilidade,k, temdimensãode velocidade(L/T), e podeserdefinido comoa velocidadede percolaçãoda águano soloparaum gradientehidráulico unitário. A é o valor da seçãotransversalda amostrade soloperpendicular à direção do fluxo.

No lado direito da fig. 1.7 estárepresentadaa variaçãodo potencialtotal da águaemfunçãoda cota (z) da águano experimento.Conformeapresentadonestafigura, o valor do

13

potencialtotal da águaé constante(e igual a h1) até que a águacomecea fluir dentro daamostrade solo, passandoa h2 na outra extremidadeda amostra(extremidadeinferior).Considerando-sea amostradesolocomohomogênea,pode-seadmitir umavariaçãolineardopotencialtotal da águadentroda amostra(valoresde gradienteshidráulicos(i) constantes).Em outraspalavras,asperdasdecargaeventualmenteocorrendono exteriordamassadesolosão desprezadas.

A vazão(q) dividida pelaáreatransversaldo corpode prova(A) indica a velocidadecom quea águapercolano solo.O valor da velocidadede fluxo da águano solo (v), é dadopela eq. 1.10, apresentada a seguir.

i k L

hkv ⋅=∆⋅−=

(1.10)

Estavelocidadeé chamadadevelocidadededescarga(v). A velocidadededescargaédiferentedavelocidaderealdaáguanosvaziosdo solo. Isto ocorreporquea áreaefetivaquea águatem parapercolarna seçãode solo nãoé dadapelaáreatransversaltotal da amostra(A), massim pelasuaáreatransversalde vazios.Aplicando-seasnoçõesdesenvolvidasemíndices físicos pode-seadmitir que a relaçãoentre a área transversalde vazios e a áreatransversaltotal seja dada pela porosidadedo solo (n). Deste modo, a velocidade depercolaçãoreal da águano solo é dadapela eq. 1.11. Como os valorespossíveispara aporosidadedo solo estão compreendidosentre 0 e 1, percebe-seque a velocidadedepercolação real da água no solo é maior do que a velocidade de descarga. Apesar disto, devidoa suaaplicaçãopráticamaisimediata,a velocidadededescargaé a velocidadeempregadanaresolução de problemas envolvendo fluxo de água em solos.

n

vvreal =

(1.11)

��� �������� ������ ������� ���� ����������

A lei deDarcy parao escoamentodaáguano solo é válida somenteparaos casosdefluxo laminar.Pesquisasefetuadasposteriormentea postulaçãoda lei de Darcy demostraramqueo valor limite do númerodeReynoldsparao qual regimedefluxo mudade laminarparaturbulentono solo se situa entre1 e 2. Estaenormediferençaentreo númerode Reynoldscrítico paraescoamentosem condutosforçadose no solo deve-seao fato de queno solo oscanalículosligando os diversosporos em seu interior são irregulares,tortuosose mesmoeventualmente não contínuos.

��� �����! " $#� �" &%(') ��� �*� ��,+- ���./ ������ ��� 10�23 � 10

Poucaspropriedadesem engenharia(senãonenhuma)podem variar em tão largasfaixasparaum “mesmomaterial”quantoo coeficientedepermeabilidadedossolos.A fig. 1.8ilustra valores de permeabilidadetípicos para diversostipos de solo. Conforme se podeobservarda fig. 1.8,a dependerdo tipo desolopodemosencontrarvaloresdecoeficientesdepermeabilidadeda ordemde 10 cm/s (solosgrossos,pedregulhos)até valorestão pequenosquanto1 x 10-10 cm/s.É interessantenotar que os solosfinos, emborapossuamíndicesdevaziosgeralmentesuperioresàquelesalcançadospelossolosgrossos,apresentamvaloresdecoeficiente de permeabilidade bastante inferiores a estes.

14

Valores típicos:

102 10-1010-810-610-410-210

cm/s

Pedregulho Areia Areia fina, silte e mistura deargila com ambos

Argila

Figura 1.8 - Faixas de variação de valoresdo coeficientede permeabilidadeparadiferentes tipos de solo.

Os solos,quandonãosaturados,apresentamcoeficientesde permeabilidademenoresdo quequandosaturados.Considerando-sedadosexperimentais,pode-seatribuir a soloscomgrau de saturação de 90% coeficientes de permeabilidade da ordem de 70% do correspondenteaoestadosaturado.Estadiferençanãopodeseratribuídaexclusivamenteaomenoríndicedevaziosdisponível,pois as bolhasde ar existentessãoum obstáculoao fluxo. Nestecaso,asituação da água na interface água/ar das bolhas é parcialmente responsável pela diferença.

��� ���������� ���������������������� � !"��#%$&�� ���'����(�)�*��+,� -.� ��& ��/ ��"�102�3- ���

A avaliaçãoda permeabilidadede um solo pode ser feita diretamente,atravésdeensaios de campo e laboratório ou indiretamente, utilizando-se de correlações empíricas.

A determinaçãodo coeficientede permeabilidadeem laboratórioé conceitualmentemuito simples,masosensaiossãodedifícil realização.Osensaiosdecamponãosãotãobemcontroladoscomoos de laboratório,porémresultamdo comportamentodosmaciçosdesolo,isto é, namaneiracomoseencontramnanatureza,enquantoquea validadedosresultadosdelaboratório são função da qualidadee da representatividadedas amostrasutilizadas nosensaios.

��� ���4�5�768�3�9���&- ��#%:��;�3�<�,=5�>� ?%�*�

Os solos granularespodem ter o seu coeficiente de permeabilidadeestimadoutilizando-seos resultadosde ensaiosparaa determinaçãode suagranulometria.Paraestessolos,umaboaindicaçãodo coeficientede permeabilidadeé dadapelaequaçãode Hazen,aqualcorrelacionao coeficientedepermeabilidadedo solocomo diâmetroefetivo(d10) desuacurvagranulométrica.Estaequação,propostapor Hazen(1911),deveserusadasomenteparaos casos de areia e pedregulho, com pouca ou nenhuma quantidade de finos.

210dCk ⋅= (1.12)

Parak expressoem cm/se o diâmetroefetivo expressoem cm, temos90 < C <120sendoo valor de C = 100 muito usado.Outra equaçãotambémutilizada na estimativadevalores de coeficientes de permeabilidade é a fórmula de Sing:

( )ke logβα += (1.13)

Onde α = 10β e β = 0,01⋅IP + δ. δ é uma constantedo solo, geralmenteadotadacomo igual a 0,05. Na eq. 1.13 k é expresso em cm/s.

A proporcionalidadeentre k e d102, adotadana fórmula de Hazen,tem respaldoem

deduçãode fluxo de águaatravésde tubos capilares.Recomenda-seque o coeficientedeuniformidadedo solo(Cu) sejamenorque5, paraa utilizaçãodestarelação.Devesenotarquena equaçãopropostapor Hazeno diâmetroequivalentedosvaziosdasareias,e, portanto,a

15

suapermeabilidade,é determinadapelasuafraçãomaisfina, poucointerferindoa suafraçãogranulométrica mais grossa.

Duasoutrasequaçõesqueseaplicamà avaliaçãodapermeabilidadeemmeiosporosossão as de Taylor (eq. 1.14) e a de Kozeny-Carman (eq. 1.15):

k � C � D2�

w� e3

1 � e(1.14)

k ��

w� e3

1 � e1

k o S 2(1.15)

Sendo:e = índicedevaziosdo solo,γw = pesoespecíficodo fluido, µ= viscosidadedofluido, ko = fator quedependeda forma dosporose da tortuosidadeda trajetóriada linha defluxo, S= superfícieespecífica,D = diâmetrodeumaesferaequivalenteaotamanhodosgrãosdo solo, C = fator de forma.�� �� �������������������� "!$#%�&��' ���(��)�*(�#+�&��,-(�#%�.

Conforme será apresentadono capítulo 2, através do ensaio de adensamentoefazendo-seuso da teoria da consolidaçãounidirecional de Terzaghi, pode-seestimar ocoeficientedepermeabilidadedossolosatravésdaeq.1.16.Nestaequação,av é o coeficientede compressibilidadedo solo (expressoem termosde m2/kN), Cv é o seu coeficientedeadensamento(expressoem termosde m2/s), γw é o pesoespecíficoda água,(expressoemtermosde kN/m3) e eo é o índicede vaziosinicial da amostra.Nestecaso,k é expressoemm/s.

o

wvv

e

Cak

+⋅⋅

=1

γ

(1.16)

Umaoutraformadeseobtero coeficientedepermeabilidadedo soloduranteo ensaiode adensamentoé realizando-seum ensaiode permeabilidadea cargavariável, atravésdacélulaedométrica,entredoisestágiosde carregamento.Isto é feito principalmentequandosedesejaagilizara obtençãoderesultadose estudara variaçãodo coeficientedepermeabilidadedo solo com o seu índice de vazios.

�� �� /������������������*(102(*��,-(43�,-(����. 5�São os ensaiosde laboratóriomais utilizados.A seguir sãoapresentados,de modo

sucinto, os métodos empregados na realização de cada tipo de ensaio.

�� �� /��67�208(��9,-(43�,:(����� ;�*(=<>���.?��@<> 4#+�5���A#%�B(O esquemamontadoparaarealizaçãodesteensaioseassemelhaemmuito comaquele

elaborado por Darcy para a realização de sua experiência histórica (fig. 1.7) sendoreapresentadona fig. 1.9.Esteensaioconstadedois reservatóriosondeosníveisd’águasãomantidosconstantese comdiferençadealtura(∆H), comodemonstraa fig. 1.9.Medindo-seavazãoq e conhecendo-seasdimensõesdo corpode prova(comprimentoL e a áreada seçãotransversal A), calcula-se o valor da permeabilidade, k, através da eq. 1.17.

q C k D i D a q E vol F t vol C k D i D a D t i GIH H J L

16

Deste modo temos:

k � vol�

LA���

H�

t(1.17) em que:

vol: quantidade de água medida na proveta L: comprimento da amostra medido no sentido do fluxoA: área da seção transversal da amostra ∆H: diferença de nível entre o reservatório superior e inferiort: tempo medido entre o início e o fim do ensaio

O permeâmetrodecargaconstanteé sempreutilizadotodavezquetemosquemedirapermeabilidadeem solos granulares (solos com razoável quantidade de areia e/oupedregulho), os quais apresentam valores de permeabilidade elevados.

∆H

∆L

Figura 1.9 - Esquema utilizado no ensaio de permeabilidade a carga constante.

��� ��� � ���� �������������������������! "�$#� &%' ���( )+*���,

O permeâmetrodecargavariávelé usadoquandoensaiamossoloscombaixosvaloresdepermeabilidade.Seuusoé requeridoporquesenãoteríamosquedispordeum tempomuitolongo parapercolara quantidadede águanecessáriaparaa determinaçãode k com o usodopermeâmetrode carga constante.Além disto, devido às baixas velocidadesde fluxo, aevaporaçãoda águaparaa atmosferapassaa ter grandeimportânciae cuidadosespeciaisdevemsertomadosdurantea realizaçãodosensaios.A fig. 1.10apresentadaa seguirilustraoesquema montado para a realização do ensaio de permeabilidade a carga variável.

No ensaiode permeabilidadea cargavariávelmedem-seos valoresde h obtidosparadiversosvaloresde tempo decorrido desdeo início do ensaio(notar que a diferençadepotencial entre os dois lados da amostra,aqui representadapor h(t), não é mais umaconstante).São tambémanotadosos valoresde temperaturaquandoda efetuaçãode cadamedida.O coeficientede permeabilidadedo solo é entãocalculadofazendo-seusoda lei deDarcy e levando-seem conta que a vazãode águaatravésdo corpo de prova pode serrepresentada pela eq. 1.18 (conservação da massa), apresentada adiante.

17

Carga variável (solos finos)

AL

h = f(t)

a

Figura 1.10 - Esquemamontadopara a realizaçãodo ensaiode permeabilidadeacarga variável.

dt

dhaq −=

(1.18)

A lei de Darcy podeser expressaem termosde vazãopela eq. 1.19, apresentadaaseguir.

A L

hkq ⋅⋅=

(1.19)

Igualando-se as expressões 1.18 e 1.19 chega-se a eq. 1.20, apresentada abaixo.

� a � �h o

h 1

dhh

� kAL

�t o

t 1

dt (1.20) onde, integrando-se obtém-se:

a. lnh o

h1 �k.AL � t explicitando-se o valor de k, obtém-se:

k � a.LA. � t � ln

ho

h1

ou k � 2,3. a.LA. � t � log

ho

h1

(1.21)

18

Sendo;a: área interna do tubo de carga A: seção transversal da amostra L: altura do corpo de prova ho: distância inicial do nível d`água para o reservatório inferior h1: distância, para o tempo 1, do nível d`água para o reservatório inferior∆t: intervalo de tempo para o nível d`água passar de ho para h1

��� ��� �������� �� ���������� ������

Geralmenteutilizadosemfurosdesondagens,podemserrealizadospelaintroduçãodeáguano furo de sondagem,medindo-sea quantidadede águaque infiltra no maciçocom odecorrerdo tempode ensaioou retirando-seáguade dentrodo furo e medindo-sea vazãobombeada.O primeiroprocedimentoconstituio ensaiodeinfiltraçãoe o segundoé conhecidopor ensaio de bombeamento.A fig. 1.11 apresentao esquemautilizado no ensaio debombeamento.Nesteensaio,umavazãoconstantede retiradade água(q) é impostaao poçofiltrante esperando-seo equilíbriodo nível deáguano fundodo poço.Poçostestemunhassãoabertosa certasdistâncias(x1 e x2) do poçofiltrante, anotando-seasprofundidadesdo lençolfreáticonestespoços.O coeficientede permeabilidadedo solo é entãocalculadofazendo-seuso da eq. 1.22, apresentada adiante.

Figura 1.11 - Esquema utilizado no ensaio de bombeamento.

( )21

22

1

2ln

yy

x

xq

k−⋅

⋅

=π (1.22)

O ensaiodetuboaberto(infiltração)é utilizadoparasolosmaisfinos ea determinaçãodo coeficientede permeabilidadeé feita enchendo-seum furo revestido(escavadoaté umaprofundidadedeterminada,abaixodo lençol freático) com uma determinadaquantidadedeáguae deixando-sea águapercolarpelosolo,fig. 1.12.Duranteo processodeinfiltraçãosãorealizadasleiturasdo nível de águano revestimentodo furo e do tempodecorridodesdeoinício do ensaio.O coeficientede permeabilidadepara o casodo ensaiode infiltração écalculado com o uso da eq. 1.23, apresentada adiante.

19

∆∆⋅

=

t

h

h

rk

41

(1.23)

Osensaiosdecampoparaa determinaçãodocoeficientedepermeabilidadedosolo,serealizadoscom perícia, tendema fornecervaloresde coeficientede permeabilidademaisrealísticos, já que são realizadosaproximadamentena mesma escala do problema deengenhariae levamemcontaoseventuais“defeitos” do maciçode solo (fraturas,anisotropiado material,não homogeneidade,etc.). Os ensaiosde laboratório,emborarealizadoscommaiorcontroledascondiçõesdecontornodo problema,utilizam emgeralamostrasdesolodepequenasdimensões,que deixama desejarquantoa representatividadedo maciço.Maioresdetalhessobrea realizaçãodeensaiosde permeabilidadeem camposãoobtidosemDe Lima(1983) e ABGE (1981).

Figura 1.12 - Esquema ilustrativo do ensaio de infiltração.

��� ���������� ������������������ ����� �!�#"$�!���&% '!% �������()��*+�, ��-��,./% �0% ()��(,��()��12��� �

Além de serumadaspropriedadesdo solocom maior faixa devariaçãode valores,ocoeficientede permeabilidadede um solo é umafunçãode diversosfatores,dentreos quaispodemos citar a estrutura, o grau de saturação, o índice de vazios, etc.

Quantomais porosoé o solo maior seráa suapermeabilidade.Essacorrelaçãopodeser visualizada através das equações1.14 e 1.15. Deve-se salientar, contudo, que apermeabilidadedependenãosó da quantidadede vaziosdo solo mastambémda disposiçãorelativa dos grãos.

Amostrasde um mesmosolo, com mesmoíndice de vazios, tenderãoa apresentarpermeabilidadesdiferentesem funçãoda estrutura.A amostrano estadodispersoterá umapermeabilidademenorquea amostradeestruturafloculada.Estefator é marcanteno casodesolos compactadosque, geralmente,quandocompactadosno ramo seco,apresentamumadisposiçãode partículas(estruturafloculada)que permitemaior passagemde águado quequandocompactadosmais úmido (estruturadispersa),ainda que com o mesmoíndice de

20

vazios. Solos sedimentares,os quais por sua gênesepossuemuma estruturaestratificada,geralmenteapresentamfortesdiferençasentreos valoresde permeabilidadeobtidosfazendo-se percolarágua nas direçõesvertical e horizontal, em uma mesmaamostra(anisotropiasurgidaemdecorrênciadaestruturaparticulardestessolos).Quantomaioro graudesaturaçãodeum solomaior serásuapermeabilidade,poisa presençade ar nosvaziosdo soloconstituium obstáculoao fluxo de água.Além disto,quantomenoro Sr, menora seçãotransversaldeágua disponível para a ocorrência do fluxo.

Além dos fatoresrelacionadosacima,a permeabilidadetambémsofre influênciadascaracterísticasdo fluido quepercolapelosvaziosdo solo.A permeabilidadedependedo pesoespecíficoe daviscosidadedo fluido (geralmenteágua).Essasduaspropriedadesvariamcoma temperatura,entretanto,a variaçãodaviscosidadeé muito maissignificativado queo pesoespecífico(quantomaior a temperatura,menora viscosidadee menoro pesoespecíficodaágua).É práticacomumsedeterminara permeabilidadea umadadatemperaturade ensaioe,em seguida, corrigir o resultado para uma temperatura padrão de 20oC, através da fórmula:

k 20 � k T

�T�20

(1.24)

onde:kT e µT são,respectivamente,permeabilidadee viscosidadena temperaturadeensaioe k20 e µ20, são,respectivamente,permeabilidadee viscosidadena temperaturapadrão(20oC).

��� �������� �������������� ����� ! "�$#&%&'�(��$#)�*�*+,�-���.� 0/1 23��546#3� ��� 78 ������ ���9�1 �

A lei de Darcy podeserestendidaparao casode fluxo tridimensionalatravésda eq.1.25 apresentadaadiante.Para o caso de solo isotrópico (kx=ky=kz), a eq. 1.25 pode sersimplificada, resultando na eq. 1.26.

:V ;=< k x >

?h?

x >@i A k y >

?h?

y >@j A k y >

?h?

z >@k (1.25)

BV CED k F

GhGxF9Hi I

GhGyF6Hj I

GhGzFJHk (1.26)

��� K$��L� �#&7M -��N�� 1O� ����� P �7Q4� �#3#� ��9���*�$�9�3#��-�3� RS� %T������

Os depósitosde solosnaturaispodemexibir estratificaçãoou seremconstituídosporcamadascom diferentescoeficientesde permeabilidadena direçãovertical e horizontal.Apermeabilidademédiado maciçodependeráda direçãodo fluxo em relaçãoà orientaçãodascamadas.Dois casos podem ser facilmente considerados:fluxo na direção paralela àestratificação e fluxo perpendicular à estratificação.

Fluxo paralelo aos planos das camadas do solo:

A fig. 1.13 mostraum esquemade fluxo paraleloà direçãodascamadasdo solo. Osoloé constituídopor camadasdematerialcomcoeficientede permeabilidadediferentes(k1,k2, kn). Na direçãohorizontaltodasascamadasestãosujeitasao mesmogradientehidráulico(i). ComoV=ki, e k é diferenteparaascamadas,entãoa velocidadede fluxo serádiferentepara cada camada (V1= k1.i, V2=k2.i, Vn =kn.i).

Considerandoum comprimentounitário na direçãoperpendicularao planodo papel,temosqueáreadefluxo decadacamadaseráh1, h2,....hn, respectivamente,e estavaleráh paratodas as camadas.

21

q

1

h

q

2 q

3

h

1 h

2 h

3

k1,

i1

k2,

i2

k3,

i3

Figura 1.13 – Fluxo paralelo aos planos das camadas.

A vazãototal quepassapelo solo é somada vazõesem cadacamada.Assumindokx

como a permeabilidademédia do solo, paralela à estratificaçãoe aplicandoa eq. 1.27podemos determinar a permeabilidade média do maciço (eq. 1.28).

q ; q1 � q2 � q3 ����� qn (1.27)

mas, k x ih � k 1 ih1

�k 2 ih2

�����k n ihn

k xi � 1

n

k i h i

i � 1

n

h i

(1.28)

Fluxo perpendicular aos planos das camadas do solo:

Um esquemadefluxo perpendicularà estratificaçãodo maciçoé apresentadonafig. 1.14.Na direçãovertical,sendocontínuoo escoamento,a vazãoquepassaatravésdecadacamadaé a mesmae a perdade cargaé diferenteem cadauma delas(∆h1, ∆h2, ∆hn). Desdequeavazãoé constanteem todasascamadase a áreada seçãotransversalao fluxo é a mesma,avelocidadede fluxo tambémseráa mesmaemtodasascamadas. Considerando-seaindaqueh1, h2, hn, são a espessurade cada camadade solo e k1, k2, kn, os coeficientesdepermeabilidadede cadacamada,podemosescrevera equaçãoda permeabilidademédianadireção vertical (kz), eq. 1.29:

q ; q1 ; q2 ; q3 ; � ; qn

V z A ; V 1 A 1 ; V 2 A 2 ; � ; V n A n ou V z � V 1 � V 2 �� �� V n

V z � k z � h�h i� k 1 � h1

h1� k 2 � h2

h2����� k n � hn

h n

Sea perdade cargatotal ∆h é dadopelo somatóriodasperdasde cargasatravésdecada uma das camadas e o coeficiente de permeabilidade do conjunto é kz, ter-se-á:

22

�h ; �

h1 � �h2 � �

h3 ����� � hn ou

V z

�h i

k z �V 1 h1

k 1 �V 2 h2

k 2 ���V n hn

k n

k z ��i 1

n

h i

�i 1

n h i

k i

(1.29)

h

k1,

i1

h

1 h

2 h

3

k2,

i2

k3,

i3

q

Figura 1.14 – Fluxo perpendicular aos planos das camadas.

����������������������� �! #"%$&�(')��*,+��-� .!+/��+A seguiré apresentadoum tratamentomatemáticosumárioo qual permitechegarde

uma forma direta às equaçõesbásicasque se utilizam hoje para tratar dos problemasenvolvendofluxo deáguaemsolos.Considere-seumaregiãodefluxo (ouseja,umaregiãodesolo por ondehá fluxo de água)a qual forma um elementoparalelepipédicoinfinitesimal dedimensões dx, dy e dz (fig. 1.15).

Figura 1.15 – Movimento de água na direção y através da região de soloconsiderada.

23

Na fig. 1.15 está representadaa parcela de fluxo através do elementode soloconsiderado,correspondentea componenteda velocidadede fluxo da águana direçãoy, vy.Deve-senotardaanálisedafig. 1.15quea componentevy davelocidadedaáguanãoprovocanenhumfluxo atravésdasoutrasquatrofacesdo elementodesolo (vy estácontidanosoutrosdoisplanosortogonaisdo paralelepípedo).Destaforma,a quantidadede fluxo quepassapelafacecujo centrotemcoordenadas(x,y,z) podeserdadapelaeq.1.30,apresentadaadiante.Naeq.1.30,vy é a componentedo fluxo na direçãoy e o produtodx⋅dz correspondeao valor daáreapelaqual o fluxo estáocorrendo.Deve-senotaraindaqueo símboloqy tem unidadedevazão, isto é, é expresso em termos de L3/T.

( ) ( ) xzyyyy ddVq ⋅⋅= (1.30)

Paraa outra face do elementode solo a qual sofre a influência do fluxo de águaprovocadopor vy, o centroda áreade fluxo tem coordenadas(x,y+dy,z). A velocidadedefluxo na direção y não é mais necessariamentevy, devendoser melhor representadaporvy+dvy. dvy representaa variaçãoda velocidadede fluxo na direçãoy, devido a variaçãoespacialdacoordenadado centrodafacede fluxo, dy. A eq.1.31representaa quantidadedefluxo passando pela outra face do elemento de solo

( ) ( ) ( ) xzyyxzdyyydyyy dddVVddVq ⋅⋅+=⋅⋅=

++ (1.31)

A taxa de armazenamentode águano solo devidaa componenteda velocidadedefluxo na direçãoy serádadapeladiferençaentreasquantidadesde fluxo quepassampelasduasfacesaqui consideradas(diferençaentreos termosdadospelaseqs.1.31e 1.30).A eq.1.32 representaa taxade armazenamentoda águano solo devidoa componentede fluxo nadireçãoy. O sinalnegativonaeq.1.32significa queparahavero acúmulode águano soloacomponenteda velocidadena direçãoy, na facede saída,devesermenordo quena facedeentrada.

dq y �� dv y

� dx � dz (1.32)

dvy podesercalculadofazendousodo conceitodediferencialtotal (eq.1.33).Deve-senotarqueos centrosdasfacesconsideradaspossuemasmesmascoordenadasz e x, de modoquedz = dx = 0. Destemodo,o termodvy podeserrepresentadopelaeq.1.34.Substituindo-sea eq. 1.34 na eq. 1.32 chega-se a eq. 1.35, apresentada adiante.

dzVy

dyVy

dxV

dVzyx

yy

∂∂

∂∂

∂∂ ++=

(1.33)

dyy

VdV

yy

∂∂=

(1.34)

dq y�

� �V y�y

� dx � dy � dz (1.35)

A taxadearmazenamentototal daáguano soloserádadapelascontribuiçõesdo fluxonastrêsdireções:x, y e z (eq.1.36).Seguindo-seo mesmoprocedimentoapresentadoparaocasodadireçãoy, pode-semostrarquea taxadearmazenamentototal daáguano soloé dadapela eq. 1.37, apresentada adiante (lei de conservação da massa).

0 0

24

zyxtotal dqdqdqdq ++= (1.36)

dq total � ��

V x�x��

V y�y��

V z�z� dx � dy � dz (1.37)

O termodx⋅dy⋅dz representao volumedo elementoinfinitesimal desolo considerado.Destemodo,podemosexprimir a taxadearmazenamentototal daáguano solo,emrelaçãoaopróprio volume do elemento infinitesimal, pela eq. 1.38.

dq total

dv � ��

V x�x��

V y�y��

V z�z

(1.38)

Porsuavez,o termodqtotal/dv podeserexpressocomoumafunçãodosíndicesfísicosdo solo.A fig. 1.16apresentaum diagramadefasesparao elementodesoloconsiderado,emtermosde índice de vazios.Conformese podeobservardo diagramade fasesapresentadonesta figura, a relação volume de água/volumetotal do elementode solo é dada porSr⋅e/(1+e),ondee é o índice de vaziosinicial da amostrae Sr o seugraude saturação.Otermo dqtotal/dv correspondea variação da relação Sr⋅e no tempo, dividida pelo volumeinfinitesimal de solo, podendo ser representado pela eq. 1.39. Igualando-se as Equações 1.38 e1.39 chega-sea eq. 1.40, a qual atendeaos requerimentosimpostos pelo princípio daconservação da massa de água no solo.

�Sr � e

�t 1 � e

dq total

dv (1.39)

Sr � e

t 1 � e ��

V xx�

V yy�

V zz

(1.40)

Pesos Volumes

1

e1 + eSr⋅e

0

γw⋅Sr⋅e

γs

Ar

Solo

Água

Figura 1.16 – Diagrama de fases para o elemento de solo considerado.

A eq.1.25apresentadaanteriormenterepresentaa lei de Darcyaplicadaparaum casode fluxo tridimensional.Da eq.1.25pode-sededuzirasigualdadesapresentadasna eq.1.41,mostrada adiante.

V x �� k x

�h�x

;V y �� k y

�h�y

; V z �� k z

�h�z

(1.41)

Substituindo-seos termosapresentadosna eq.1.41 dentroda eq. 1.40chega-sea eq.1.42,apresentadaadiante,a qual representaa equaçãogeralparao casode fluxo deáguaemsolos.

25

�Sr � e

�t 1 � e

�

� k x ��

h�

x�x

�

� k y ��

h�

y�y

�

� k z ��

h�

z�z

(1.42)

Para o caso de fluxo em solo não saturado,heterogêneoe anisotrópico,tanto osvaloresdoscoeficientesdepermeabilidadeemcadadireção(kx, ky e kz) quantoosvaloresdopotencialtotal daáguano soloserãodependentesdascoordenadasdo pontoconsideradoe dograu de saturaçãodo solo, de modo que a resoluçãoanalíticada eq. 1.42 se torna bastanteárdua,senãoimpossível.Deve-seressaltar,contudo,quecomo desenvolvimentodastécnicascomputacionaisde representaçãodo contínuo(como o métododos elementosfinitos, porexemplo),a resoluçãode tais problemasse tornou possível,em tempo viável, para umaenormevariedadede condiçõesde contorno.Parao casode fluxo de águaem solosaturado,homogêneo e isotrópico, a eq. 1.42 é reduzida a eq. 1.43 apresentada a seguir.

�Sr � e

�t 1 � e

� k �� 2 h

�x 2

�� 2 h

�y 2

�� 2 h�

z 2 (1.43)

A eq. 1.43 é utilizada na resoluçãode dois tipos de problemasfundamentaisparaamecânicados solos envolvendofluxo de água: Fluxo bidimensionalestacionário(fluxoestacionário,do inglês “steady state flow”) e a teoria do adensamentounidirecional deTerzaghi(Fluxo transiente,do inglês“transientflow”). Diz-sequeo movimentode águanosoloestáemum regimeestacionárioquandotodasascondiçõesno domíniodo problemanãomudamcomo tempo.No casodaeq.1.43parafluxo estacionário,o índicedevaziosdo soloé uma constante,de modo que esta equaçãopode ser rescrita (considerando-seo fluxosomente em duas direções) como a eq. 1.44.

k �� 2 h

�x 2

�� 2 h

�y 2

�� 2 h�

z 2� 0 (1.44)

A resoluçãoanalíticadaeq.1.44nosforneceduasfamíliasdecurvasortogonaisentresi (linhasde fluxo e linhasequipotenciais).Além de serresolvidaanaliticamente,a eq.1.44pode ser resolvida utilizando-seuma grandevariedadede métodos,como o método dasdiferençasfinitas, o métodosdoselementosfinitos, atravésde modelosreduzidosou atravésde analogias com as equaçõesque governam os problemas de campo elétrico outermodinâmicos.Osmétodosmaisutilizadosparaa resoluçãodaeq.1.44sãoapresentadosnocapítulo3 destevolume.A título ilustrativo,a fig. 1.17apresentaa resoluçãodeum problemade fluxo de águaatravésda fundaçãodeumabarragemde concretocontendoumacortinadeestacaspranchasem sua extremidadeesquerda.Notar a ortogonalidadeentre as linhas defluxo e as linhas equipotenciais encontradas na resolução do problema.

Diz-se que o movimentode águano solo estáem um regime transientequandoascondiçõesde contornodo problemamudamcom o tempo.Nestecaso,o valor do índicedevaziosdo solo irá mudarcom o desenvolvimentodo processode fluxo. Um doscasosmaisimportantesde fluxo transienteem solos saturadosé o caso da teoria do adensamentounidirecionalde Terzaghi,estudadano capítulo seguinte.Parao casode fluxo transienteunidirecional a eq. 1.43 se transforma na eq. 1.45 apresentada a seguir.

�Sr e

�t 1 e � k

� 2 h�

z 2 (1.45)

26

Figura 1.17 – Esquemailustrativo de resoluçãode um problema de fluxo estacionáriobidimensional. Modificado de Holtz & Kovacs, (1981).

Comoveremosno capítuloseguinte,asvariaçõesno potencialtotal da águano solo,para o caso do adensamento,serãoprovocadaspor carregamentosexternosaplicadosnasuperfíciedo terreno,sobdeterminadascondiçõesde contorno.Os carregamentosaplicadosao solo irão fazer surgir excessosde pressãoneutra,os quais tenderãoa se dissiparpelaexpulsão da água presente nos vazios do solo (diminuição do seu índice de vazios).

��������������� � �� �� ������������������ ���

��������������������������� !��#"$�&%(' �� �#�)���&%�����*� +�����

Nesteitem é feitaumarevisãosumáriadealgunsconceitosenvolvendoo fenômenodacapilaridadeem solos.O assuntocapilaridadejá deveserdo conhecimentodosalunosdestecursode mecânicadossolos,sendonormalmenteestudadonasdisciplinasde física aplicada.Parao estudoda ascensãoda franja capilarnossolos,os seusvaziossãoassociadosa tuboscapilaresinterconectados,aindaquemuito irregulares.Logo, a capilaridadesemanifestanossolospelapropriedadequepossuemos líquidosdepoderemsubir,a partir do nível do lençolfreático, pelos canais tortuosos do solo, formados pelos seus vazios.

No casodos solos,o líquido o qual ascendealém do nível freático é geralmenteaágua, pura ou contendo alguma substância dissolvida. A explicação dos fenômenos capilares éfeita combasenumapropriedadedo soloassociadacoma superfícielivre dequalquerlíquido,denominadatensãosuperficial.A tensãosuperficialresultada existênciade forçasdeatraçãode curto alcance entre as moléculas, denominadasde forças de Van der Waals, ousimplesmenteforçasdecoesão.A distâncialimite deatuaçãodestasforças,isto é, a distânciamáximaqueumamoléculaconsegueexerceratraçãosobreasoutras,é conhecidapelo nomeraio da esfera de ação molecular ‘r’, que na água, não excede 5x10-6 cm.

Destemodo,qualquermoléculacuja esferade açãonãoestejatotalmenteno interiordo líquido, não se equilibra, porquea calota inferior da sua esferade açãoestárepletademoléculasquea atrai,o quenãoacontececoma calotasuperior,quecai fora do líquido,e nãoestácheiade moléculascomoa inferior (vide fig. 1.18).Tais moléculassãoatraídasparaointerior do líquido pela resultantedestasforçasde coesãonão equilibradas.Evidentemente,estaresultanteé nula quandoa moléculase encontraa umadistância‘r’ ou maior quer dasuperfície do líquido.

27

Figura 1.18 - Forças intermoleculares, modificado de Libardi (1993).

Além disto,pelaaçãodestasforças,a superfíciedo líquidosecontraiminimizandosuaárea,eadquireumaenergiapotencialextraqueseopõea qualquertentativadedistendê-la,ouseja, ocorrendouma distensão,a tendênciada superfícieé semprevoltar a sua posiçãooriginal.Baseando-senestasobservações,a superfícieativado líquido é tambémchamadademembrana contrátil.

Quandoa membranacontrátil de um líquido seapresentacurva,pelo fato da mesmapossuirmoléculastracionadas,umaforça resultantesurge,sendoresponsávelpor fenômenostaiscomoa ascensãocapilar.A curvaturado meniscopor suavezé funçãoda intensidadedaforça com queasmoléculasdo líquido sãoatraídaspor outrasmoléculasdo mesmolíquido,pelo ar e pelasmoléculasda superfíciesólida eventualmenteem contatocom o líquido. Aformação de meniscos capilares é ilustrada na fig. 1.19, mostrada adiante.

Conformepodemosobservarnestafigura, F1 representaa força resultantede atraçãodaspartículassólidas(em suapartesuperiore inferior) sobreas moléculasde águaqueseencontramno ponto P e F2 representaa resultantedas forçasde atraçãoentreas própriasmoléculasdo fluido. Desprezando-sea atraçãoentreasmoléculasde líquido e ar, casoF2 =2F1,o menisconãoapresentarácurvatura,ou θ seráde 90º.CasoF2 < 2F1, o meniscoserácôncavo,ou seja,θ serámenorque90º (comono casodosmeniscosformadospelaáguae amaioriadassuperfíciesde contato).CasoF2 > 2F1,o meniscoseráconvexo,ou seja,θ serámaior do que 90º (como nos casosdos meniscosformadospelo mercúrioe a maioria dassuperfícies de contato).

F2 resultante líquido

F1 resultantesólido

F1 resultantesólido

P

θ

Figura 1.19 - Formação de meniscos capilares. modificado de Libardi (1993).

Imergindo-sea pontade um tubo fino de vidro num recipientecom água,essasubiráno tubo capilar até umadeterminadaaltura,a qual serámaior quantomais fino for o tubo.

28

Existirá sempreumatensãosuperficial(Ts) no contatoentrea águae o vidro, formandoumânguloθ (cujo valor dependeda relaçãoentreas forçasapresentadasna fig. 1.19),o qual étambémé conhecidocomoângulode molhamentoou de contato.Ts e θ assumirãovaloresque dependerãodo tipo de fluido e da superfíciede contatoem questão.No casoda água,consideradapura e o vidro quimicamente limpo, na temperatura ambiente, Ts éaproximadamente igual a 0,074 N/m e θ é igual a zero.

��������� �������� ��������������������� ���

Sobefeito da capilaridade,o movimentoda águaé contrárioa atraçãoda gravidade.Essaascensãoda águanos solos é chamadade ascensãocapilar e é bastantevariável adepender do tipo de solo.

No solos,a altura de ascensãodependedo diâmetrodos vazios.Como estessãodedimensõesmuito variadas,a superfíciesuperior de ascensãonão fica bem caracterizada,sendopossívelquebolhasdear fiquemenclausuradasno interior do solo.Ainda assim,existeuma altura máxima de ascensãocapilar que dependeda ordem de grandezado tamanhorepresentativo dos vazios do solo. Para solos arenosos, a altura de ascensão capilar é da ordemde centímetros, enquanto que em terrenos argilosos esta pode atingir dezenas de metros.

Cálculo da altura de ascensãocapilar – O cálculo da altura de ascensãocapilar éfeito atravésda forma de Laplace, representadapela eq. 1.46 mostradaa seguir. Nestaequação, r1 e r2 são raios de curvatura ortogonais do menisco de água.

+=

21

11

rrTsσ

(1.46)

Casoo meniscode águaseja esférico,temosr1=r2, o que, utilizando-seo esquemaapresentadona fig. 1.20, faz com quea equaçãode Laplacesejatransformadana eq. 1.47,utilizada para calcular a altura de ascensão capilar da água.

( )r

Tsh

w ⋅⋅⋅=

γθcos2

(1.47)

Figura 1.20 – Cálculo da altura de ascensão capilar da água.

O fenômenoda capilaridadeé responsávelpela falsacoesãodasareias,quandoestasseencontramparcialmentesaturadas.Em areiaspuras,areiasde praiaspor exemplo,nãoháaderênciaentre os seus grãos, seja no estadoseco ou completamentesaturado.Nota-se

29

entretanto,que quandonessasareiasexisteum teor de umidadeentrezero e a umidadedesaturação,surgeum meniscoentreoscontatosdosgrãos,quetendea aproximaraspartículasde solo. Essasforçasde atraçãosurgemem decorrênciado fenômenoda capilaridadee sãoresponsáveis pela coesão aparente das areias

Nasargilas,quandosecas,há umadiminuiçãoconsideráveldo raio de curvaturadosmeniscos,levandoa um aumentodaspressõesdecontatoe a umaaproximaçãodaspartículas,provocandoo fenômenodaretraçãopor secagemno solo.Duranteo processodesecagemdasargilas,as tensõesprovocadasem decorrênciada capilaridadepodemse elevara ponto deprovocartrincasdetraçãono solo.A fig. 1.21ilustrao contatoentreduaspartículasesféricasemum solonãosaturado.Conformesepodeobservar,a tensãosuperficialda águapromoveuma tensãonormal entre as partículas,que por atrito irá gerar uma certa resistênciaaocisalhamento,denominadafreqüentementedecoesãoaparente(o termoaparenteserefereaofato de que o solo em seu estadosaturadoou totalmentesecoirá perderestaparceladeresistência).

Figura 1.21 – Ação do meniscocapilar no contato entre duas partículas esféricasem um solo não saturado.

30

2. COMPRESSIBILIDADE DOS SOLOS.

����������� ������������

Quandoascargasdeumadeterminadaestruturasãotransmitidasaosolo,estasgeramumaredistribuiçãodosestadosde tensãoem cadapontodo maciço(acréscimosde tensão),aqual,por suavez,irá provocardeformaçõesemtodaáreanasproximidadesdo carregamento,inevitavelmente resultando em recalques superficiais.

Os dois fatoresmais importantesna análisede uma fundaçãoqualquersão1) – Asdeformaçõesdo solo, especialmenteaquelasque irão resultar em deslocamentosverticais(recalquesna cotade assentamentoda estrutura)e 2) A resistênciaao cisalhamentodo solo,responsável pela estabilidade do conjunto solo/estrutura.

Paraanálisedo primeiro requerimentoimpostoà fundação(recalquesadmissíveisdafundação), deve-se considerar e estudar aspectos relativos à deformabilidade (oucompressibilidade)dossolos.A naturezadasdeformaçõesdo solosoboscarregamentosa eleimpostos,podeserelástica,plástica,viscosaou mesmose apresentar(comona maioriadoscasos)como uma combinaçãodestestrês tipos de deformação.As deformaçõeselásticasgeralmentecausampequenasmudançasno índice de vazios do solo, sendo totalmenterecuperadasquandoem um processode descarregamento.Não se devenuncaconfundir ostermoselasticidadee linearidade,já queum materialpodesecomportardemaneiraelásticaenão linear.

Diz-sequeum materialsecomportaplasticamentequando,cessadasassolicitaçõesaele impostas,nãoseobservanenhumarecuperaçãodasdeformaçõesocorridasno corpo.Emtodososdois tiposde deformaçãorelatadosacima,a respostado soloa umamudançano seuestadode tensõesefetivo é imediata.Quandoo solo,mesmocom a constânciado seuestadode tensõesefetivo, continuaa apresentardeformaçõescom o tempo,diz-seque ele estáaapresentar um comportamento do tipo viscoso (processo de fluência).

As deformaçõesde compressãodo solo, asquaissãoasprincipaisresponsáveispeloaparecimentoderecalquesnasuperfíciedo terreno,sãodevidasaodeslocamentorelativodaspartículasde solo (no sentido de torná-las mais próximas umas das outras), tendo asdeformaçõesque ocorrem dentro das partículasgeralmenteuma pequenainfluência nasdeformações volumétricas totais observadas.

Jáquenosdepósitosnaturaiso soloseencontrageralmenteconfinadolateralmente,osrecalquesapresentadospelasestruturasde fundaçãosão devidos,em sua maior parte, àsvariaçõesvolumétricasde compressãoapresentadasno interior do maciçode solo. Pode-seaindadizer que,nestecaso,as deformaçõesno sentidovertical compõema maior partedasdeformações volumétricas observadas.

��� ������������� ��!"!�# $%# & # �('��)�*���"!*+,��& ��!

Como o solo é um sistemaparticulado,compostode partículassólidase espaçosvazios, os quais podem estar parcialmenteou totalmente preenchidoscom água, osdecréscimosdevolumepor eleapresentadospodemseratribuídos,demaneiragenérica,a trêscausas principais:

-Compressão das partículas sólidas

-Compressãodosespaçosvaziosdo solo,com a conseqüenteexpulsãode água,nocaso de solo saturado.

-Compressão da água (ou do fluido) existente nos vazios do solo.

31

Paraa magnitudedascargasgeralmenteaplicadasnaengenhariageotécnicaaossolos,as deformaçõesocorrendo na água e nas partículas sólidas podem ser desprezadas,calculando-seas deformaçõesvolumétricasdo solo a partir dasvariaçõesem seuíndice devazios.

A compressibilidadedeum soloirá dependerdo arranjoestruturaldaspartículasqueocompõee do grauem queaspartículasdo solo sãomantidasumaem contatocom a outra.Umaestruturamaisporosa,comono casodeumaestruturafloculada,irá resultaremum solomais compressíveldo que um solo contendouma estruturamais densa.Um solo compostobasicamentede partículaslamelaresserá mais compressíveldo que um solo possuindopartículas predominantemente esféricas.

Quandohá acréscimosdetensãono solo,é naturalqueestesedeforme,diminuindooseuíndice de vazios.Se a pressãoanteriormenteaplicadaao solo é entãoretirada,algumaexpansão(recuperaçãoelástica)irá ocorrer,masnuncanatotalidadedasdeformaçõessofridasanteriormente. Em outras palavras, o comportamento apresentado pelo solo épreferencialmentedenaturezaelastoplástica.No casodesolossaturadose considerando-seashipótese efetuadasanteriormente(água e partícula sólidas incompressíveis),caso hajadiminuiçãode volumedo solo (acréscimosde pressão),o solo deveráexpulsaráguade seusvazios,o contrárioocorrendono casode alívio de pressões.Parao casodossolosfinos, osquais tendema possuirbaixos valoresde permeabilidade,estesprocessosde deformaçãopodem requerer muito tempo para que ocorram em sua totalidade.

O processodecompressãogradualdo solodevidoa expulsãodeáguaemseusvaziosédenominadode adensamentoe a equaçãogovernandoo processode adensamentodo solo jáfoi apresentadano capítuloanterior(eq.1.45).Nota-sepois,queno processodeadensamentoestudamosdois fenômenosde naturezadistinta,que ocorremsimultaneamenteno solo: umprocessode fluxo e um processode compressãodo solo,devidoà modificaçõesnosvaloresde tensãoefetivaatuandono interior do maciço.Vê-sedaqui que a análisedo processodeadensamentodo solodeveserfeita de modoacoplado,isto é, considerando-secaracterísticasde deformabilidade e fluxo do solo de modo conjunto.

��� ���������� ����������������������������� ! �������

O estudoda compressibilidadedos solos é normalmenteefetuadoutilizando-seoedômetro,um aparelhodesenvolvidopor Terzaghi para o estudo das característicasdecompressibilidadedo solo e da taxade compressãodo solo com o tempo.Esteaparelhofoiposteriormente modificado por Casagrande,sendo algumas vezes denominado deconsolidômetro.A fig. 2.1 apresenta,demodoesquemático,o aparelhoutilizadonosensaiosde compressão confinada.

Figura 2.1 – Edômetro utilizado nos ensaios de compressão confinada.

32

Utilizando-seo aparelhoapresentadonafig. 2.1,umaamostradesolo,compactadaouindeformada,é submetidaa valores crescentesde tensão vertical, sob a condição dedeformaçõesradiaisnulas.O ensaiodeadensamentoé normalmenterealizadomantendo-seaamostrasaturadae utilizando-seduaspedrasporosas(umano topo e outrana basedo corpode prova) de modo a acelerara velocidadedos recalquesna amostrae por conseguinte,diminuir o tempo necessáriopara a execução do ensaio. Durante cada estágio decarregamentosãoefetuadasleituras,atravésdeum extensômetro,dosdeslocamentosverticaisdo topo da amostra e do tempo decorrido para obtenção de cada valor de deslocamento.

A taxademudançadevolumedaamostracomo tempo(notarquenestecaso,comoasdeformaçõesradiaissãonulas,a deformaçãovolumétricado solo é numericamenteigual àdeformaçãoaxial) varia enormementede acordo com o tipo de solo ensaiado.Solos nãocoesivos,comono casodasareiaspuras,sedeformamquaseinstantaneamente,enquantoqueos solos finos requeremlongosperíodospara que o processode adensamentodo solo secomplete.

As leiturasdosdeslocamentosmedidosno topo do corpode provadevemserobtidasatéqueseassegureumapercentagemdeadensamentomédiadepelomenos90%.No casodesolos finos, com muito baixosvaloresde permeabilidade,o temporequeridoparaque sepassede um carregamentoparao outro podeser superiora um dia ou até mesmomais,adependerda naturezado solo ou no casode se desejarestudaras suascaracterísticasdefluência.

��� ���������� ��� �����������������������! �" ����#�$�%���& $')(*����#+ �%���-,���'.�� ����$�����&,/�!��01+ �����#���

Existemdiversosmodosdeserepresentarosresultadosdeum ensaiodeadensamento.O processode adensamentose inicia relativamenteveloz, mas com o tempo, a taxa dedeformaçõesdo solo decrescesubstancialmente.Após transcorridoo tempo necessário,asleituras do extensômetrose tornam praticamenteconstantes,e pode ser assumidoque aamostraatingiu uma condiçãode equilíbrio (não há mais variaçõesno estadode tensõesefetivodo solo),apesardeque,teoricamentefalando,o temporequeridoparaqueo processode adensamentose completeé infinito. Em vista destascaracterísticas,os resultadosdasleiturasefetuadasem cadaestágiode adensamentosãocolocadosem gráficosem funçãodologaritmo do tempo, na maioria dos casose em função da raiz quadradado tempo, emalgumas circunstâncias.

Jáquea compressãodo soloocorreemfunçãodevariaçõesnosvaloresdeseuíndicede vazios,a suacurva de compressãoé normalmenterepresentadaem termosde índice devaziosversuso logaritmoda tensãovertical (novamenteaqui seadotaum gráfico semi-log,em decorrência do fato de que os valores de tensão vertical aplicados ao solo em um ensaio deadensamentovariam enormemente,indo de valorestão baixosquanto2 kPa até valoresdaordem de 2 MPa).

O valor do índicedevaziosaofinal decadaestágiodecarregamentodo solopodeserobtido considerando-sea hipótesede carregamentoconfinado(εv = ∆h/ho) e utilizando-seodiagrama de fases apresentado na fig. 1.16 Da análise da fig. 1.16 temos:

e f 2 eo 34

hh o

1 3 eoonde; (2.1)

ef: índice de vazios ao final do estágio de carregamento atual∆h: variação de altura do corpo de prova (acumulada) ao final do estágioho: altura inicial do corpo de prova (antes do início do ensaio)eo: índice de vazios inicial do corpo de prova (antes do início do ensaio)

33

As figs. 2.2,2.3e 2.4 apresentamosresultadosobtidosemum ensaiodeadensamentotípico.Na fig. 2.2sãoapresentadasvariaçõesdealturadaamostraemfunçãodo logaritmodotempo e em função da raiz quadradado tempo (estesgráficos apresentamos resultadosobtidosem um estágiode carregamento).Na fig. 2.3 sãoapresentadosresultadostípicosdeum ensaiode adensamentoexecutadoem argilas normalmenteadensadas.Nestafigura, aamostrafoi comprimida,em primeiro carregamento,a partir do pontoA atéo pontoB. Emseguidaestasofreu um processode descarregamentoaté o ponto D, para, finalmente,serrecarregadaatéo pontoB, e, novamenteemprimeirocarregamento,atingir o pontoC. Comopodemos notar, a curva σv′ x e apresentahisterese,ou seja, deformaçõesplásticasirreversíveis.Isto podeser claramenteobservadose se toma um determinadovalor de σv′,como indicado na fig. 2.3, por exemplo, em que cada um dos trechos decarga/descarga/recargacorta a linha correspondentea estatensãocom valoresdiferentesdeíndice de vazios.

ρ Log(t) ρt

(a) (b)Figura 2.2 – Resultadostípicos obtidos em um estágiode carregamentode um

ensaio de adensamento.

Figura 2.3 – Representação dos resultados de um ensaio de adensamento em termosde índice de vazios x tensão vertical. Escala linear.

34

C

A

D

0 100 200 300 400 500 6000,80

0,90

1,00

1,10

1,20

1,30

1,40

1,50

1,60

1,70

1,80

Tensão vertical (kPa)

Índi

ce d

e va

zios

(e)

A inclinação em cada ponto da curva de compressãodo solo é dada pelo seucoeficientedecompressibilidade(av), representadopelaeq.2.2.Da análisedafig. 2.3 nota-seque duranteo ensaiode adensamentoo solo se torna cada vez mais rígido (ou menoscompressível),conduzindoa obtençãodevaloresdeav cadavezmenores(pode-senotarqueocoeficientede compressãodo solo varia de forma inversamenteproporcionalao seumódulode elasticidade).

'v

v

ea

σ∆∆−=

(2.2)

O sinal negativonaeq.2.2 é necessáriopoiso índicede vaziose a tensãoverticaldosolo variam em sentidocontrário(acréscimosna tensãovertical irão causardecréscimosnoíndice de vazios do solo).

Na análise da fig. 2.3, a expressãoprimeiro carregamento significa que oscarregamentosqueora se impõemao solo superamo maior valor por ele já sofrido em suahistóriadecarregamentoprévia.Esteconceitoé bastanteimportante,poiso solo(assimcomoqualquermaterialqueapresenteum comportamentoelastoplástico),guardaem suaestruturaindíciosdoscarregamentosanteriores.Assim,na fig. 2.3, dizemosqueo trechoda curvadecompressãodo soloentreos pontosA e B correspondea um trechode carregamentovirgemdaamostra,nosentidodequea amostraensaiadanuncaantesexperimentaravaloresdetensãovertical daquela magnitude. Quando isto ocorre, dizemos que a amostra de solo énormalmenteadensada.É fácil perceberque parao trechoda curva de compressãoB-D-B(trechodedescarga/recarregamento),a amostranãopodeserclassificadacomonormalmenteadensada,já quea tensãoa quallhe é impostanestetrechoé inferior a tensãomáximapor elajá experimentada(pontoB). Nota-setambémqueno trechoB-D-B o comportamentodo soloé essencialmenteelástico,ou seja,asdeformaçõesqueocorremno solonestetrecho,alémdepequenamonta,sãoquasequetotalmenterecuperáveis.Quandoo estadodetensõesaoqualosolo está submetidoé inferior ao máximo valor de tensãopor ele já sofrido, o solo éclassificadocomopré-adensado.A partir do pontoB da curvade compressãodo solo, todoacréscimodetensãoirá levaro soloa um estadodetensãosuperioraomaiorestadodetensãojá experimentadoanteriormente,demodoqueno trechoB-C o soloé novamenteclassificadocomo normalmente adensado.

Na fig. 2.4 os mesmosresultadosjá apresentadosna fig. 2.3 estãoplotadosem escalasemi-log. Como se pode observar, em escala semi-log estes resultados podem seraproximadospor dois trechoslineares(emboraparao trechodescarga/recarga,D-B-D, estasimplificação não se ajuste de forma tão satisfatóriacomo nos trechosde carregamentovirgem A-B e B-C). As inclinaçõesdos trechos de descarregamento/recarregamentoecarregamentovirgem da curvadecompressãoemescalasemi-logsãodadaspelosíndicesderecompressão(Ce)e decompressão(Cc), respectivamente.As Equações2.3e 2.4 ilustramasexpressões utilizadas no cálculo dos índices de compressão e recompressão do solo.

( )

−

−=

vi

vf

ifc

eec

σσ

log (trecho de compressão virgem do solo) (2.3)

( )

−

−=

vi

vf

ife

eec

σσ

log (trechos de descompressão e recompressão do solo) (2.4)

35

A fig. 2.5 ilustra o efeito do pré-adensamentosobreos solos.Nestafigura, em queacurva de compressãodo solo foi aproximadapor trechoslineares,um solo normalmenteadensadoé comprimido até um determinadovalor de σv′ (representadopelo ponto B1), apartir do qualsofreum processode descompressão,atingindoo pontoD1. Se,nestepontoosolo é recarregado,a trajetóriade tensõesseguidano espaçoσv′ x e, podeser representadapela reta D1-B1, a menosde uma pequenahisterese,de valor normalmentenegligenciável.Atingindo novamenteo valor de B1, o solo irá seguira retade compressãovirgem. Sendonovamentedescarregadoo solo paraqualquervalor de σv′ > B1 (como B2, por exemplo),teremos resultados semelhantes.

Figura 2.4– Representaçãodosresultadosdeum ensaiodeadensamentoemtermosde índice de vazios x tensão vertical. Escala semi-log.

Log(σv)

e

1

Cc

1 Ce

A

B1

B2

D1

D2

C

Figura 2.5 – Efeito do pré-adensamentona curva de compressãodos solos.Atkinson & Bransby (1978)

36

C

B

D

A

1 10 100 1000 100000,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

1,30

1,40

1,50

1,60

1,70

1,80

Tensão vertical (kPa)

Índi

ce d

e va

zios

(e)

Conformeserávisto nestecapítulo,quandodo cálculoderecalquesemcampo,a curvade compressãodo solo é geralmenterepresentadapor dois segmentoslineares, cominclinaçõesdistintas, a saber,um trecho de recompressãodo solo, o qual possui comoinclinaçãoo valor deCee um trechodecarregamentovirgemdo solo,cuja inclinaçãoé dadapelo índiceCc. O valor da tensãoa qualseparaos trechosderecompressãoe de compressãovirgem do solo é normalmentedenominadode tensãode pré-adensamento,e representa,conceitualmente, o maior valor de tensão já sofrido pelo solo em campo.

Deve-seter em menteque quandoum ensaiode adensamentoé realizadoem umaamostra indeformadacoletada em campo, durante o processode amostragemhá umadescompressãodo solo a serensaiado,poisqueascamadasa elesobrejacentessãoretiradas.Destemodo,semprequeum ensaiodeadensamentoé realizado,a amostrasofreinicialmenteum processode recompressão,quecontinuaatéqueo carregamentoimpostopelaprensadeadensamentoao solo supereo maior valor de tensãovertical já sofrido por ele em campo(valor dao detensãodepré-adensamentodo solo).A dependerdahistóriageológicado solo,o valor da tensãode pré-adensamentocalculadaa partir do ensaiode compressãoconfinadapodeser maior ou igual ao valor da tensãovertical efetiva do solo em campo.Quandoatensãode pré-adensamentocalculadaparao solo superao valor da sua tensãoefetiva decampo,diz-se que o solo é pré-adensado.Quandoestevalor é aproximadamenteigual aovalor da tensão vertical efetiva de campo, diz-se que o solo é normalmente adensado.

A fig. 2.6 ilustraa formaçãodeum depósitodesolopré-adensado.Na hipótesedeumsolo sedimentar,duranteo seuprocessode formação,o acúmulode tensãoocasionadopelopesodas camadassobrepostasde solo leva-o continuamentea um estadode tensõesquesuperao máximo valor já vivificado por ele em toda a sua história geológica.Se por umeventogeológicoqualquer,o processode deposiçãofor interrompidoe passara existir nolocal do maciçodesoloum processodeerosão,a tensãoverticalefetivaemcampopassaa sermenordo quea máximatensãojá vivificada pelo solo, isto é, o solo passaa umacondiçãopré-adensada.

Log(σv)

e

Deposição decampo

Tensão verticalmáxima decampo

Erosão

σv de campo

e de

cam

po

Figura 2.6 – Processo de formação de um solo pré-adensado.

É importante frisar que nestecaso,a tensãode pré-adensamentodeterminadanoensaiode compressãoconfinadaterávalor aproximadamenteigual à tensãovertical máximade campo, ilustradana fig. 2.6. Nesteponto pode-sedefinir o conceitode razãode pré-adensamentode um solo (RPA) ou OCR (do inglês “over consolidationratio”). A razãodepré-adensamentodeum solo,dadapelaeq.2.5,é a relaçãoentrea máximatensãovertical jáexperimentadapelo solo e a tensãovertical efetivaatualde campo,ou seja,é a razãoentreatensãode pré-adensamentodo solo e a sua tensãovertical efetiva de campo. A fig. 2.7apresentaumacurvade compressãotípica,em escalasemi-log,obtidaa partir de um ensaiodeadensamentorealizadoemumaamostraindeformadadesolo.Estãoilustradosnestafigura

37

ostrechosderecompressãoe compressãovirgemdo solo.A tensãodepré-adensamentodevenecessariamente se situar entre estes dois trechos.

vcampo

vp

vcampo

vRCOσ

σσσ

== max.. (2.5)

Onde σvp representa a tensão de pré-adensamento do solo.

Conformeapresentadona fig. 2.7, há umatransiçãogradualentreas inclinaçõesdostrechos de recompressãoe de compressãovirgem do solo. O valor da tensãode pré-adensamentodo solo é determinadoempiricamente,a partir de dois processosgráficos,conhecidos como métodos de Casagrandee PachecoSilva. A fig. 2.8 apresentaadeterminação da tensão de pré-adensamento do solo pelo método de Casagrande.

0.70

0.75

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

índi

ce d

e va

zios

10 100 1000 10000 Tensão vertical (kPa)

CompressãoRecompressão

Figura 2.7 – Curva de compressãotípica obtida em um ensaio de compressãoconfinada.

0.70

0.75

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

índi

ce d

e va

zios

10 100 1000 10000 Tensão vertical (kPa)

Tensão de Pré- Adensamento

Bissetriz

Tangente

Figura 2.8 – Determinaçãoda tensãode pré-adensamentodo solo pelo métododeCasagrande.

38

Conformeilustradona fig. 2.8, paraobtençãoda tensãode pré-adensamentodo solopelo métodode Casagrandeprocede-seda seguintemaneira:Determina-seo pontode maiorcurvaturada curvade compressãoconfinadado solo.Por estepontotraça-seumatangenteàcurva e uma reta horizontal.A tensãode pré-adensamentodo solo serádeterminadapelainterseçãodo prolongamentoda bissetrizdo ângulo formado por estasduas retascom oprolongamento da reta de compressão virgem do solo.

A fig. 2.9 ilustra o procedimentoutilizado para obtenção da tensão de pré-adensamentodo solo desenvolvidopor PachecoSilva (pesquisadorbrasileirodo IPT-SP).Adeterminaçãodatensãodepré-adensamentodo solopelométododePachecoSilva é realizadaprolongando-seo trechocomainclinaçãodaretavirgematéquesetoqueumaretahorizontal,fixadaemum valor correspondenteaodo índicedevaziosinicial do solo (antesdo ensaiodeadensamento).Nesteponto,uma vertical é traçadaaté se atingir a curvade compressãodosolo.Traça-seentãoumahorizontalindo do pontode interseçãocom a curvade compressãoatéo prolongamentodo trechode compressãovirgem, realizadoanteriormente.Estepontoéadotadocomosendocorrespondenteaovalor da tensãodepré-adensamentodo solo.Deve-seter em menteque como os processosaqui ilustradossão empíricose gráficos,o valor datensãodepré-adensamentodo solo irá variarem funçãodapessoaquerealizaoscálculosouem funçãodo métodoempregado.Os resultadosobtidos,contudo,nãodevemseapresentarmuito destoantes.

0.70

0.75

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

índi

ce d

e va

zios

10 100 1000 10000 Tensão vertical (kPa)

Tensão depré- adensamentode 330 kPa

Figura 2.9 – Determinaçãoda tensãode pré-adensamentodo solo pelo métododePacheco Silva.

��� ������� � �� ��������������� ��� ������� �!��" �#��$%���&$('����

Neste item se ilustrará o procedimentonormalmenteadotadopara o cálculo dosrecalquestotaisdo soloemcampo.É importantefrisar queosrecalquestotaisirão ocorrernosolo somenteapós virtualmente completadoo seu processode adensamento.Conformerelatadoanteriormente,no casode solos finos, o temporequeridoparaque isto ocorraemcampo pode ser extremamentelongo (até mesmo da ordem de séculos).O cálculo dosrecalquesdiferidos no tempo é normalmenterealizadoutilizando a teoria do adensamentounidirecional de Terzaghi, a qual será exposta, de modo sucinto, no item seguinte.

O cálculo dos recalquesno solo é freqüentementerealizadoutilizando-sea eq. 2.1,expressa em termos de ∆h (eq. 2.6)

39

� � h ������ � e1 � eo

� ho (2.6)

Ondeρ é o valor do recalquedo soloemsuperfíciee ho é a alturainicial dacamadadesolocompressível(ou da camadadesoloparaa qualsequercalcularo recalque).O valor de∆e é calculado fazendo-seuso das equações2.3 e 2.4, apresentadasanteriormente.Substituindo-seasEquações2.3 e 2.4 na eq.2.6, encontram-seasseguintesequaçõesparaocálculo do recalque do solo em campo:

1) Solo normalmente adensado:

��Cc ho log

�vo ' �� � v

�vo '

1 � eo

(2.7)

Na eq. 2.7, o termo∆σ correspondeao acréscimode tensãovertical provocadopelaconstrução,enquantoqueo termoσvo’ correspondeaoestadodetensõesinicial efetivodosoloem campo. A fig. 2.10 ilustra o significado dos termos apresentados na eq. 2.7.

z

σo

σo = γz

∆σ

Figura 2.10-Estadoinicial de tensõesno solo (tensõesgeostáticas)e acréscimosdetensão provocados pela estrutura.

2) Solo pré-adensadocom σvo’ + ∆σ menordo quea tensãode pré-adensamentodosolo:

oo

vo

vo

he

Ce

⋅+

∆+⋅=

1

''

log

σ

σσ

ρ (2.8)

40

3) Solo pré-adensadocom σvo’ + ∆σ maior do que a tensãode pré-adensamentodosolo:

∆+⋅+

⋅

+=

vp

vo

vo

vp

o

oc CcCe

e

h

σσσ

σσρ '

log'

log1

(2.9)

Parao cálculodosrecalquestotaisdo soloutilizando-seasEquações2.7a2.9,deve-seconsideraro pontomédiodacamadaparao cálculodastensõesgeostáticasdo solo (valor deσvo’) e do valor do acréscimode tensões(∆σ). No casode um aterroextenso,em quesuasdimensõessãobem superioresa espessurada camadacompressível,pode-seassumir,semincorreremerrossignificativos,um acréscimodetensão∆σ constanteemtodaa espessuradacamadacompressível.Na fig. 2.10é ilustradaa distribuiçãodeacréscimosde tensãoverticalno maciço,provocadospor umafundaçãode formacircular.No casodeum aterroextenso,arelaçãoz/a é aproximadamentezero,de modo queo acréscimode tensãono solo podeserconsideradocomo constantecom a profundidadee aproximadamenteigual ao valor dapressãoaplicadapelaplacacircular.Paraosoutroscasos,osacréscimosdetensãoprovocadospela estrutura devem ser estimados em vários pontos da camada compressível.

O uso daseq. 2.7 a 2.9 é razoávelparao casode carregamentoextenso,maso errocometidoaoutilizá-lasparaumadistribuiçãodetensõesverticaistal comoaquelailustradanafig. 2.10podeserdemasiado.Nestescasos,épreferíveldividir a camadadesolocompressívelemum númeron decamadas,empregando-seasEqs.2.7 a 2.9 paracalcularos recalquesemcadadivisãoadotada.O recalquetotal da camadacompressívelde solo seráentãodadopelosomatóriodos recalquescalculadosparacadasubcamada.As Eqs.2.10 a 2.12 devementãoserutilizadasparao cálculodosrecalquestotaispor adensamentono solo,paraum casomaisgeral de carregamento.

1) Solo normalmente adensado:

i

n

i voi

ivoi

oi

in

i

ze

Cc∆

∆+

+∆= ∑∑

== 11 '

'log

1=

σσσ

ρρ (2.10)

OndeCci representao índicede compressãodo solo,eoi representao índicede vaziosinicial, σvoi’ representao valor da tensãovertical geostáticaefetiva inicial e ∆σi representaocréscimode tensãovertical, relativosao centroda subcamada(i). ∆zi representaa espessurada subcamada (i).

2) Solo pré-adensadocom σvo’ + ∆σ menordo quea tensãode pré-adensamentodosolo:

i

n

i voi

ivoi

ioi

iCe

e

z∑=

∆+⋅

+∆=

1 '

'log

1

σσσ

ρ (2.11)

Onde Cei representa o índice de recompressão do solo na subcamada considerada.

3) Solo pré-adensadocom σvo’ + ∆σ maior do que a tensãode pré-adensamentodosolo:

41

∑=

∆+⋅+

⋅

+∆=

n

i vpi

ivoi

ivoi

vpi

ioi

iCcCe

e

z

1 '

'log

'log

1

σσσ

σσρ

(2.12)

��� ��������� ���� ������������ ����� ���� !�"�$#�#! %���%�&������#!�'(���*)+ %�,� $-. �#�)+�-. /�102���43"���5�� �

Conformerelatadoanteriormente,casoseconsidereo solo saturadoe aspartículasdeáguae sólidos incompressíveis,toda a variaçãode volume apresentadapelo solo deveráocorrerem funçãodevariaçõesem seuíndicede vazios.Casoo solo estejasaturado,já queconsideramosa águacomo incompressível,variaçõesno índice de vaziosdo solo somentepoderãoocorrer caso ocorra tambémexpulsãode água de seusvazios (no caso de umprocessode compressão)ou absorçãode águaparadentrode seusvazios (no casode umprocessodeexpansão).Vê-sedaquique,considerando-seashipótesescitadasacima,paraqueo solo sedeformeé necessárioqueocorraum processode fluxo de águaemseuinterior. Nocapítulo1 foramapresentadasasprincipaisleis governandoosprocessosdefluxo deáguanossolos.Do expostonaquelecapítulo,pode-seconcluirque,conservando-setodasascondiçõesde contorno do problema,a velocidadedo fluxo de água em cada ponto do solo seráproporcionalao seucoeficientede permeabilidade.Ora, conformetambémrelatadonaquelecapítulo, o coeficiente de permeabilidadetalvez seja a propriedadedos solos de maioramplitudedevariação,apresentadovaloresdecercade10 cm/sparao casodepedregulhosevaloresdaordemde10-9 cm/sparaargilasdebaixapermeabilidade.Sea velocidadedefluxoé proporcional ao coeficiente de permeabilidade do solo, é fácil entender porque a compressãodossolosgrossosseprocessaquasequeimediatamentea aplicaçãodo carregamentoao solo,enquantoque o processode adensamentodos solos argilosos pode requerer períodossuperiores a cem anos para que seja virtualmente completado.

O processode adensamentoe a teoria de Terzaghi,apresentadaa seguir,podemserbementendidossomenteseumaimportantehipótesesimplificadoraé explicadae apreciada.A relação entre o índice de vazios e a tensãovertical é assumidacomo sendo linear.Conforme apresentadona fig. 2.3, contudo, o comportamentodo solo sob compressãoconfinadaé desortetal queestesetornacadavezmenoscompressível,diminuindoo valordeseucoeficientede compressibilidade(av, eq.2.2). Complementarmente,é assumidoqueestarelaçãoé independentedo tempoe dahistóriade tensõesdo solo,o quesóseriaválido casoosolo apresentasseum comportamentoperfeitamenteelástico.Conformeapresentadona fig.2.3, contudo, o solo apresentadeformaçõesresiduais ao ser descarregado,isto é, ocomportamentotensão/deformaçãodo soloé preferencialmenteelastoplástico.O processodeadensamentopode então ser explicado, partindo-sedesta hipótese preliminar, conformeapresentado nos parágrafos seguintes.

Admitamosumaamostrade solo em equilíbrio com astensõesgeostáticasde campo(σvo’ inicial de campo,calculadoconformedescritono capítulode tensõesgeostáticas),comíndicedevazioseo. Imediatamenteapósa aplicaçãodeum acréscimodecarregamento∆σv, oíndicede vaziosé aindaeo. Conformeilustradona fig. 2.11,o acréscimode tensõesno solosomenteseconverteráemum acréscimodetensõesefetivaquandoo índicedevaziosdo solonãofor maiseo, massim ef (quandoisto ocorrer,a tensãoefetivaatuandono elementodesoloseráigual a σvf). Em outraspalavras,o acréscimode tensãoprovocadono solo (∆σv) iráocasionar uma redução em seu índice de vazios (∆e). De acordo com o discutidoanteriormente,para que isto ocorra,uma certaquantidadede tempo é requerida,a qual éfunçãodo tipo de solo.Assim,considerando-seo princípio dastensõesefetivasde Terzaghi,existesomenteumapossibilidadeparaexplicaresteretardonarespostado solo:O incrementode tensãoaplicadoao elementode solo é no início totalmentesuportadopelaágua,ou seja,logo apósa aplicaçãodo incrementode tensão∆σv, gera-seum incrementonapressãoneutrado solo ∆u, numericamenteigual ao valor de ∆σv. Esteaumentona pressãoneutrado solo,

42

tambémdenominadodeue, ocasionaum processodefluxo transienteemseuinterior,o qualégovernado pela eq. 1.45, apresentada no capítulo fluxo de água em solos.

Tensão vertical efetiva

e

eo

ef

e(t)

∆σv

ue(t)

σvo σvfσv(t)

Figura 2.11– Conversãodepressãoneutra emtensãoefetivaduranteo processodeadensamento do solo.

Sea amostradesolo seapresentassehermeticamenteselada,nãopermitindoo escapede água dos vazios do solo, as condiçõesiniciais do problema continuariama existirindefinidamente.Aconteceque,no ensaiode adensamentodescritoanteriormente,aspedrasporosas colocadas no topo e na base da amostra tendem a dissipar imediatamente o excesso depressão gerado pelo carregamento, passando a drenar a água expulsa dos vazios do solo com otranscorrerdo processo.Comoaspedrasporosasdissipamrapidamenteo excessodepressãoprovocadopelo carregamento,e dentro da amostraainda há excessosde pressãoneutra,surgemgradienteshidráulicos,os quaisvão fomentaro processode fluxo. Tem-seentãoqueduranteo processode adensamento,gradualmente,o índicede vaziosdo solo decresce(indode eo a e(t), paraum tempo t decorridodesdea aplicaçãodo carregamento),o excessodepressãoneutraé dissipadoe a tensãoefetiva no elementode solo é aumentadado mesmovalor do decréscimodo excessode pressãoneutra.Isto ocorreporqueo acréscimode tensãofornecidoaosolo é supostoconstantecom o tempo,de modoqueempregando-sea propostade Terzaghi para o princípio das tensões efetivas, escrito de forma incremental, temos:

���v ����

' v ��

ue (2.13)

Como o valor de ∆σv é constante temos:

ev u∆−=∆ 'σ (2.14)

É razoávelsuporquea quantidadedeexcessodepressãoneutradissipadaao longodaaltura da amostrade solo não seja a mesma.De fato, quanto mais próximo o pontoconsideradonaamostradesolo estiverdassuperfíciesdedrenagem,maior vai sero valor doexcessode pressãoneutradissipado.O processode adensamentocontinuaatéqueem todosospontosdaamostradesolosetenhae = ef. Teoricamente,a partir desteinstante,nãohámaisno interior do solo gradienteshidráulicos,de modoquenãohá maiságuasendoexpulsadocorpodeprovae o excessodepressãoneutraemtodosospontosdaamostraé igual a zero.Atensãoefetivaem todosos pontosda amostrade solo é igual a σvf e a amostraé dita comoadensadaparaaquelevalor de tensãovertical.Deve-seter emmentequeaofinal do processo

∆e

43

de adensamentodo solo em campo,não há mais excessode pressãoneutraao longo doextratodesoloconsiderado,contudo,aspressõesneutrasgeostáticascontinuama existir. Emcampo,aspedrasporosasempregadasno topoe nabasedo corpodeprovaduranteum ensaiodeadensamentosãorepresentadaspor camadasde solo possuindovaloresde permeabilidadebemsuperioresaosvaloresdepermeabilidadedo estratodesolomoleestudado.Destemodo,a condiçãode ensaiode laboratóriopode ser representativada situaçãoformadapor umextrato de argila mole compreendido entre dois extratos de areia.

O grau de adensamentoem cadaponto da amostra,u(z,t), é normalmentecalculadocom o uso da eq. 2.15.

u z , t �uo

� u t

uo� u f

� 1 � ue tueo

(2.15)

Substituindo-se a eq. 2.14 dentro da eq. 2.15 tem-se:

u z , t �

� t ` � �o`

�f` � �

o`

(2.16)

Logo apósa aplicaçãodo carregamentoao solo temosue(z,0) = ueo, de modo queovalor do graudeadensamentoemtodosospontosdaamostradeargilaé zero(vide eq.2.15).Ao final do adensamentotemosue(z,∞) = 0, o que faz com queo graude adensamentoemcada ponto da amostra seja igual a 1.

Uma analogiamecânicado processode adensamentofoi desenvolvidapor Terzaghi,por intermédioda qualo processodeadensamentodo solopodesermelhorentendido.A fig.2.12 ilustra a analogiapropostapor Terzaghiparaexplicar o processode adensamentonosolo, a qual é apresentada nos parágrafos seguintes:

Uma mola de altura inicial H é imersa em água em um cilindro. Nesta analogia, a molatemumafunçãosemelhanteàestruturadosoloe a águado cilindro temumafunçãoanálogaàpressãoneutra.Nestecilindro é ajustadoum pistãodeáreatransversalA, atravésdo qualumacargaaxial podesertransmitidaaosistema,querepresentao solo saturado.O pistão,por suavez, é dotadode uma válvula a qual podeestar,fechada,abertaou parcialmenteaberta.Aválvulado pistãocontrolaa facilidadecomquea águapodesairdo sistemae seusignificadoé semelhante ao do coeficiente de permeabilidade do solo.

Aplica-seumacargap ao pistão.Sea válvula do pistãoestáfechada,todaa pressãodecorrentedacargaaplicada(p/A) serásuportadapelaágua,visto quea compressibilidadedaágua é bem inferior à compressibilidade da mola. Se agora abrimos a válvula do pistão, a águacomeçaa ser expulsado sistema,em uma velocidadeque é função da diferençaentre apressãona águae a pressãoatmosféricae da aberturado pistão.Com a saídada águadosistema,o pistãosemovimentae a molapassaa sersolicitadaemfunçãodestedeslocamento.Em qualquerinstante,a somadasforçasexercidaspelamola e pelaáguano pistãodeveserigual a cargap aplicadaexternamente.Esteprocessocontinuaatéque todaa cargap estejasendosuportadapela mola, sendoa pressãona águaexistentedentro do sistemadevidasomenteaoseupesopróprio(osexcessosdepressãonaáguado sistemaao final do processosãonulos).Nestepontonãohá maisfluxo de águaparafora do sistema.A fig. 2.12no seuladodireito, ilustraa variaçãodasparcelasdacargaaplicadasuportadaspelaáguaepelamolacom o tempo

Emboraanálogoao que ocorre nos solos,no esquemamecânicoilustrado pela fig.2.12,osexcessosdepressãoemcadainstantesedistribuemdemaneirauniformeao longodetodoo sistema.Conformejá relatadoanteriormente,contudo,emumamassadesolo,emumcadainstante,o valor do excessode pressãoneutraem relaçãoà pressãoneutrainicial serádiferenteemcadapontodo maciço.Quantomaispróximoo pontoconsideradoestiverdeumacamadapermeável,maiorseráa suadissipaçãodepressãoneutra(ou maiorseráo seugraude

44

adensamento),parao mesmoinstante,emrelaçãoaosoutrospontosdo maciço.O fenômenodeadensamentodossolosé entãomelhorexplicadofazendo-seusodafig. 2.13.Nestafigura,não mais um, masvários pistõesexistemno sistema,cadapistãopossuindouma aberturaatravés da qual a água se comunica com os reservatórios superior e inferior.

p

A

Válvula

mola

Águap

Tempo

Força

Força aplicada pelamola ao pistão

Força aplicada pelaágua ao pistão

Figura 2.12 – Analogia mecânica do processo de adensamento de Terzaghi.

p

A

Altura deascensãoda água

Ho = p/Aγw

t = 0

t = t4 t = ∞

t = t3

t = t2

t = t1

Figura 2.13 – Analogia completa do processode adensamentoproposto porTerzaghi.

Conformepode-seobservarda fig. 2.13, parao início do processode adensamento(t=0), todosospontosdo soloapresentarãoum valor deexcessodepressãoneutraigual.Como passardo tempo,osvaloresdeexcessodepressãoneutravãodiminuindoprogressivamenteatéseanularemaofinal do processodeadensamento.Nota-seporém,queos pontossituadosmaisno interior do sistemaapresentamsempremenoresvaloresdedissipaçãodo excessodapressãodeágua(oumaioresvaloresdeexcessodepressãodeágua)do queospontossituados

H

45

maispróximosà superfície.A aberturaexistenteno pistãosuperiorfuncionaentãocomosefosseumacamadadrenante,coletandoa águaexpulsado sistema.Pode-senotartambémqueo excessodepressãoneutranapartesuperiordo sistemaé dissipadologo apósa aplicaçãodocarregamento.

��� ��������� � ��������������������������� ��� �!� ����"#� ��$��%!���������'&��(*)��+�

A teoriaparao processode adensamentounidirecionalfoi propostapor Terzaghiem1925e é baseadanashipóteseslistadasabaixo,algumasdasquaisjá foramcitadasno capítulode fluxo de água em solos:

1) O solo é homogêneo (isto é, os valores de k independem da posição z)2) O solo está completamente saturado (Sr = 100%)3) As partículassólidase aáguasãovirtualmenteincompressíveis(γw é constantee as

mudançasdevolumeno solosãodecorrentessomentedemudançasemseuíndicede vazios).

4) O adensamento é unidirecional5) A lei deDarcyé válida(conformerelatadono capítuloanterior,isto implica quea

natureza do fluxo ocorrendo no solo deve ser laminar)

Como usodestashipóteses,a aplicaçãodosprincípiosdeconservaçãodaenergiae damassa, chega-se a eq. 1.45 a qual é reapresentada neste capítulo (eq. 2.17).

( ) te

e

z

hk

o ∂∂

∂∂

+=

12

2

(2.17)

6) Certas propriedadesdo solo, como a permeabilidadee o coeficiente decompressibilidade(av) sãoconstantes(adota-seuma relaçãolinear entreo índicede vazios e a tensão vertical efetiva)

Pode-sedizer queas trêsprimeirashipóteseslistadasacimanãose distanciammuitodarealidadeparaa maioriadoscasosencontradosemcampo.A quartahipóteseé validaparaoscasosdeaterroextenso,do ensaiodeadensamento,e parao casodeextratosdesolomolesituadosa grandesprofundidades.Paraoscasosondea distribuiçãodeacréscimosde tensõesno solo nãoé constantecoma profundidade,elaconduza resultadosapenasaproximados.Aquintahipótesegeralmentelevaa resultadosbastantessatisfatórios,sendoa validadedalei deDarcy raramentequestionada.A sextahipótese,pelo quejá foi discutidonestecapítulo,é aquemaissedistanciadarealidade:sabe-sequecom o aumentodaspressõesatuandono solo(e a conseqüentediminuiçãono valor do seuíndicede vazios),os valoresdo seucoeficientede permeabilidade e de seu coeficiente de compressibilidade se tornam cada vez menores.

Paraa resoluçãoanalíticado problemade adensamento,temosque modificar a eq.2.17 de modo que nos dois ladosda igualdadeapareçamas mesmasvariáveis.Isto é feitogeralmenteexprimindo-seo índicedevaziosdo soloe o potencialtotaldaágua,h, emfunçãodo excessodepressãoneutrageradopelocarregamentoexterno.Do processodeadensamentosabe-se que:

evv dudd −= σσ ' (2.18)

A eq.2.18nadamaisé do queo princípio dastensõesefetivasde Terzaghiescritodeforma incremental.Se o acréscimode tensõestotais aplicadoao solo não varia duranteoprocesso de adensamento (o que corresponde a realidade para a maioria dos casos) temos:

46

ev dud −='σ (2.19)

Conformeilustradona fig. 2.13,o excessodeenergiada águaem cadapontodo solopode ser dado pela eq. 2.20, apresentada a seguir.

w

euh

γ=

(2.20)

Substituindo-se a eq. 2.2 na eq. 2.19 temos:

ev

e

v duadedu

dea ⋅== ou

(2.21)

Substituindo-se as eqs. 2.21 e 2.20 na eq. 2.17 tem-se finalmente:

t

u

z

uCv ee

∂∂

∂∂

=⋅2

2

(2.22)

Ondeo termoCv, denominadodecoeficientedeadensamentodo solo,é dadopelaeq.2.23. Da análise dimensional da eq. 2.23 chega-sea conclusãoque o coeficiente deadensamentodo solo possuidimensõesde L2/T (esteé geralmenteexpressoem termosdecm2/s).

( )wv

o

a

ekCv

γ⋅+⋅= 1

(2.23)

Na análise da hipótese 6 adotada para resolução analítica do problema deadensamento,foi comentadoquetantok comoav tendema diminuir com o índicede vaziosdo solo. Consisteportantoem um fato bastantefeliz a ocorrênciadestesparâmetrosemposiçõesdiferentesna eq.2.23,pois isto faz com queo valor do coeficientede adensamentonãovarie muito com o índicede vaziosdo solo, fazendocom quea teoriado adensamentounidirecional de Terzaghi forneça resultados satisfatórios.

Na resoluçãoda eq. 2.22 sãoadotadasas seguintescondiçõesde contorno,as quaistêm como base a analogia mecânica apresentada na fig. 2.13.

1) - Existe drenagem no topo do extrato de solo, de modo que para z = 0 tem-se ue = 0para qualquer valor de t.

2) - Existedrenagemna basedo extratode solo, de modoqueparaz = 2⋅Hd, ue = 0para qualquer valor de t.

3) - O valor do excessode pressãoneutrano início do processode adensamentoéigual ao acréscimode tensãototal: ∆σv = ∆ue, parat = 0, em todosos pontosdacamada de solo.

O termo Hd, citado na segundacondição de contorno, se refere a distância dedrenagemda camadade solo e é igual a maior distânciaquea águatem quepercorrerparaalcançaruma camadadrenante.A fig. 2.14 apresentaa distribuiçãodo excessode pressãoneutra no solo para um determinadotempo decorrido após o início do processodeadensamento.

47

Figura 2.14– Distribuição do excessodepressãoneutra para um tempot ao longode uma camada de solo com drenagem dupla, para o caso de um aterro extenso.

Conformeapresentadona fig. 2.14, a distânciade drenagempara o caso de umacamadadesolo com drenagemduplacorrespondea metadeda espessuratotal (H) do estratode solo. Isto ocorreporquedevido a condiçãode simetriado problema,a águasituadanametadesuperiorda camadade solo tendea ser expulsapela camadadrenantesuperior,ocontrárioocorrendoparaasmoléculasdeáguasituadasabaixodametadeda camadade solo(Hd = H/2). Parao casodeumaúnicacamadadrenante,a distânciade drenagemseráigual aespessuradacamadadesolo (Hd = H). Além dosvaloresdeexcessodepressãoneutra,ue, nafig. 2.14estáapresentadaa distribuiçãodaspressõesneutrasgeostáticas,parao casodo lençolfreáticosituadonasuperfíciedo terreno.No casoda fig. 2.14,o acréscimodepressãoneutrainicial, aolongodetodaa camadaé dadopor γa⋅h, ondeγa e h sãoo pesoespecíficoe a alturado aterrolançadosobrea camadadesolocompressível,ou seja,o aterroé consideradocomoum aterroextenso.A eq. 2.22 é normalmenteresolvidaparao casode aterroextenso(ueo

constanteao longo de toda a camada),emboraseja possívelse obter soluçõesanalíticasfechadasparao casodaeq.2.22,considerando-sediferentesdistribuiçõesdeueo. A soluçãodaeq. 2.22 é geralmenteapresentadaem termos da percentagemde adensamentomédia dacamada,U(t), emfunçãodo fator tempo(Τ). Tantoa percentagemde adensamentomédiadacamadaquantoo fator temposãoadmensionais,e possibilitamo usoda soluçãoda eq. 2.22para diferentesconfiguraçõesgeométricas.A soluçãoda eq. 2.22 nos fornece curvasdedistribuiçãodeexcessosdepressãoneutrataiscomoaquelasapresentadasnafig. 2.15,paraocaso de uma camadacom dupla drenagem(a) ou drenagemsimples (b). As curvasapresentadasna fig. 2.15 correspondemà evoluçãodo processode adensamentoparacadainstanteadotado(t1, t2, ..., t5) e por isto sãodenominadasde isócronas.A percentagemdeadensamentoemcadapontodacamadadesolo,u(z,t) é dadapelaeq.2.15.A percentagemdeadensamentomédiadetodaa camadadesolo,U(t), é dadapelaeq.2.24apresentadaa seguir.Comosepodeobservardaeq.2.24,a percentagemdeadensamentomédiacorrespondea umarelaçãoentrea áreacompreendidapelosvaloresde ueo e a áreadosvaloresde pressãoneutrajá dissipados.A fig. 2.16 ilustra o significadoda percentagemde adensamentomédia dacamada de solo.

1001)(2

0

2

0 ⋅

⋅

−=

∫

∫

⋅

Hd

eo

Hd

e

dzu

dzu

tU

(2.24)

48

H

ue

z

H/2

t1 < t2 < t3 < t4 < t5

t5

t4

t3

t2

t1

H

ue

z t1 < t

2 < t

3 < t

4 < t

5

t5

t4

t3

t2

t1

(a) (b)Figura 2.15– Distribuição dosexcessosdepressãoneutra ao longo deuma camada

de solo com o tempoe a profundidade.(a) – Camadade solo comdrenagemdupla. (b) –Camada de solo com drenagem simples.

u

ue

oz

U = 1- Área

Área

Área dos valores de ue

para um determinadotempo t

Área inicial dos valores de ue

Figura 2.16 – Interpretação geométrica dos valores de percentagem de adensamentomédia.

Pode-semostrartambémque,a partir do usodaeq.2.2, considerando-seo valor deav

constanteparao cálculodo recalquediferido do solo,chega-sea eq.2.25,a qualcorrelacionaa percentagemde adensamentomédia da camada com o recalque ocorrido até umdeterminado instante e o recalque total previsto.

100)(

)( ⋅=ρ

ρ ttU

(2.25)

O valor de ρ (recalquetotal da camadade solo, a serobtido ao final do processodeadensamento), é calculado com o auxílio das eqs. 2.7 a 2.12.

O fator tempoé dadopelaeq.2.26.Conformesepodeobservarda eq.2.26,o temporequeridoparaqueseprocesseumadeterminadapercentagemde adensamentona camadadesolo varia de maneiradiretamenteproporcionalao quadradoda distânciade drenagem(Hd).Esteé um dosmotivospelosquaiso ensaiode adensamentoem laboratórioé realizadoemamostrasdepequenaespessura.Considerando-seumacamadadeargilacom8 m deespessura

49

e drenagemdupla(Hd = 4m), um ensaiodelaboratóriorealizadono mesmosoloempregando-se corposde prova com 2cm de altura (Hd = 0,01m) demorará1/160.000vezeso temponecessário em campo para que se complete o adensamento da camada de solo!

2dH

tCv ⋅=Γ (2.26)

Conforme tambémveremosadiante,com basena eq.2.26,alguns métodosforamdesenvolvidospara acelerara velocidadedos recalquesna camadade solo compressível.Nestes métodos, a aceleraçãodo processo de adensamentoé geralmente realizadadiminuindo-se a distância de drenagem (Hd) em campo.

A eq.2.27apresentaasoluçãodaeq.2.22,emtermosdepercentagemdeadensamentomédiae fator tempo,parao casodeum aterroextenso.Na eq.2.27,N é um contadordasérieresultantedaresoluçãodaeq.2.22,o qualvai de1 a infinito. Notarquenaeq.2.27U nãoestáexpresso em percentagem.

( )( )

∑∞ Γ⋅⋅+−

+−=

0

4

12

22

22

exp12

181)(

π

π

N

NtU

(2.27)

A eq. 2.27 podeser aproximadapelaseqs.2.28 e 2.29, apresentadasa seguir,paravaloresdepercentagemdeadensamentomenoresque60%(eq.2.28)e maioresque60%(eq.2.29).Pode-semostrarqueparao casodeumadistribuiçãodeueo linearcom a profundidade,chega-seà mesmaeq.2.27.Paradiferentesformasde distribuiçãode ueo, relaçõesdiferentesda eq. 2.27 são obtidas.

2dH

tCv ⋅=Γ, p/ U < 0,6. (2.28)

( ) 0851.01log9332.0 −−⋅−=Γ U , p U > 0,6 (2.29)

A tabela 2.1 apresentadiversos valores de U e T, para diferentes formas dedistribuiçãodeacréscimosdecarregamento,∆σv, coma profundidade(ou, deoutraforma,dedistribuiçãodeueo coma profundidade).Conformesepodeobservardatabela2.1,oscasos3e 4 apresentamos valoresde U e T obtidosparauma distribuiçãode tensõeslinear com aprofundidade,considerando-seuma única camadade drenagem.O valor do fator temponecessárioparaqueocorraumadeterminadapercentagemde adensamentomédiada camadaparao caso3 é superioràqueleencontradopara o caso4. Em outraspalavras,paraumamesmaconfiguraçãogeométrica,a distribuiçãodo excessode pressõesneutrasapresentadaparao caso3 irá demorarmaistempoparasedissipardo queaquelaapresentadaparao caso4. Paraqueocorraumapercentagemdeadensamentode90%,por exemplo,a distribuiçãodepressõesapresentadasno caso3 irá demorarum tempocercade30%maior,relativamenteaocaso4. Istoocorreporqueparao caso3 osmaioresvaloresdeacréscimosdepressãoocorrempróximos da camadaimpermeável,de modo que estesdemorammais tempo para seremdissipados, aumentando o tempo requerido para o adensamento do solo.

Paraoutrasformasde distribuiçãodeacréscimosdetensõesverticaisno solo,pode-seresolvera eq. 2.22 atravésde processosnuméricos,como o métododasdiferençasfinitas.Pode-senotardaquiqueo usodaseqs.2.28e 2.29parasecalcularo temponecessárioparaqueocorrauma determinadapercentagemde adensamentono solo, paraqualquerforma dedistribuiçãode tensõesno solo,é apenasumaaproximação.Aconteceque,os valoresde Cvnormalmentedeterminadosem laboratório podem trazer consigo variações até mesmo

50

superioresa 30%,quefoi o erroestimadoaosetrocarassoluçõesdaeq.2.22obtidasparaoscasos3 e 4. Issosemsefalar de outrosproblemascomorepresentatividadeda amostra,etc.Porcontadisto,a resoluçãodaeq.2.22paraa distribuiçãodeacréscimosdetensãorealmenteocorrendoem campoé feita somenteem algunscasosespeciais.Deve-sesalientarcontudo,que a resolução numérica da eq. 2.22 pode ser feita de maneira rápida e simples,possibilitando ao engenheiro mais exigente a obtenção de resultados com menospossibilidadesde discrepânciascom o comportamentoapresentadoem campo.A fig. 2.17apresentaa resoluçãonuméricadaeq.2.22parao casodeumadistribuiçãode acréscimosdetensãolinear com a profundidade.Sãoapresentadasnestafigura a distribuiçãodosexcessosdepressãoneutrainiciais e isócronaspara20, 40, 60 e 80%de percentagemdeadensamentomédia.

Tabela2.1 – Valoresde U e t para diferentesformas dedistribuição de acréscimosde tensão no solo.

U FATOR TEMPO (T)CASO 1 CASO 2 CASO 3 CASO

40,1 0,008 0,048 0,050 0,0030,2 0,031 0,090 0,102 0,0090,3 0,071 0,115 0,158 0,0240,4 0,126 0,207 0,221 0,0490,5 0,197 0,281 0,294 0,0920,6 0,287 0,371 0,383 0,1660,7 0,403 0,488 0,500 0,2720,8 0,567 0,652 0,685 0,4400,9 0,848 0,933 0,940 0,720

0 20 40 60 80

100 120 140 160

Exc

esso

de

poro

pre

ssão

(kP

a)

0 100 200 300 400 Cota em relação ao topo (Cm)

U = 20 % U = 40 % U = 60 %U = 80% Po

Po = 50 + 25Z (m)

Figura 2.17– Resoluçãonuméricada eq.2.22para umadistribuiçãodeexcessosdepressão neutra inicial linear.

��� ���������� ������������������ ����������! #"$�

O cálculodos recalquesno tempo(ou recalquesdiferidos no tempo)é normalmenterealizadocom o empregodas eqs. 2.25 e 2.26. A partir do valor de recalquetotal (ρ),

51

calculadoutilizando-seaseqs.2.7 a 2.12e do valor desejadodo recalquediferido no tempo,ρ(t), calcula-sea percentagemde adensamentomédiada camadaU (eq. 2.25). O valor dofator temponecessárioparaqueocorraa percentagemde adensamentomédiadeterminadaéobtido fazendo-seusodaseqs.2.28e 2.29(ou com o usodosvaloresapresentadosna tabela2.1). Com o uso da eq. 2.26, o tempo necessáriopara que ocorra o valor do recalqueespecificadoé determinado.Deve-senotarqueparaqueisto sejapossível,contudo,o valordocoeficiente de adensamento do solo, Cv, deve ser determinado.

O valor do coeficientedeadensamentodo soloé determinadoa partir dedoismétodosgráficos,denominadosdemétodosde Casagrandee deTaylor. Deve-senotarqueo valor docoeficientedeadensamentodosoloé determinadoparacadaestágiodecarregamento,ou parao estágiode carregamentocujo valor de tensãovertical se aproximedo valor da tensãovertical queseráimpostoao solo pelaconstrução.No métodode Casagrande,marcam-seosvaloresdos deslocamentosverticaisdo topo da amostrano eixo das ordenadas,em escalaaritmética, e os valores dos tempos correspondentesno eixo das abcissas,em escalalogarítmica,paracadaestágiode carga.O processográficoutilizadonaobtençãodo Cv pelométodode Casagrandeé ilustradona fig. 2.18.O adensamentototal (U = 100%)ocorreránopontode interseçãodastangentesao pontode inflexãoda curvadeadensamentoe ao trechoaproximadamenteretilíneo obtido após o adensamentoprimário da amostra (parterepresentantedo processode fluência do solo). O valor do recalqueinicial (U = 0%) serádeterminadoescolhendo-sedois instantes1/4t e t paravaloresde tempocorrespondentesaoinício do processodeadensamento.Obtém-sea diferençaentresuasordenadase estevalor érebatido verticalmenteacima da ordenadacorrespondentea 1/4t. A leitura no eixo dosdeslocamentos será o valor procurado.

O adensamentode 50% será lido exatamentea meio caminho dos valores dedeslocamentoestimadospara U=100% e U=0%. O valor do tempo necessáriopara queocorresse50%deadensamento(t50) do soloserviráparaqueo seucoeficientedeadensamento(Cv) seja calculado através da relação abaixo (na tabela 2.1, primeira coluna, para um valor deU = 0,5 tem-se T = 0,197):

50

2197,0

t

HCv d⋅

= (2.30)

A determinaçãodo coeficientede adensamentodo solo pelo método de Taylor érealizadoconforme ilustrado na fig. 2.19. Conforme ilustrado nestafigura, os resultadosobtidosdo ensaiode adensamentosãocolocadosem um gráfico contendoos deslocamentosmedidosno topodo corpodeprovaemfunçãodaraiz do tempo.Destemodo,o trechoinicialdacurvaobtidapodeseraproximadaporumareta.Em umpontoqualquer,emquea distânciaentrea retaajustadae o eixo dasordenadassejadadapor d, umanovaretatraçada,a partir damesmaorigem da reta original, devepassara uma distânciade 1,15⋅d do mesmoeixo. Opontocorrespondenteà interseçãodestanovaretacomacurvadosdadosexperimentaisseráamedidada raiz quadradado tempocorrespondentea uma percentagemde adensamentode90%. Elevando-seestevalor ao quadradotemoso valor do t90. O valor do coeficientedeadensamentodo solo é entãocalculadoutilizando-sea eq. 2.31,apresentadaa seguir(notarquena primeiracolunada tabela2.1, tem-separaU = 0,90um valor de T = 0,848).Emborasendométodosempíricose gráficos,os valoresde Cv calculadosutilizando-seum dosdoismétodos apresentados tendem a ser aproximadamente iguais.

Cv �0,848 � H d

2

t 90

(2.31)

52

Figura 2.18 – Processo de cálculo do Cv pelo método de Casagrande.

Raiz do tempo (min1/2)

Rec

alqu

e da

am

ostr

a (m

m)

d

0,15d

√t90

Figura 2.19 – Processo de cálculo do Cv pelo método de Taylor.

��� ���������� ����������������� ���� ���� �!�" �# ��%$&�'� ���

Conformeilustrado na fig. 2.18, apóscessadoo processode adensamento,o solocontinuaa sedeformarcomo tempo,demodoquea curvarecalquedaamostrax log(t) passaa apresentarum trechocom inclinaçãoaproximadamenteconstante.Estetrechoda curva édenominadode trechodecompressãosecundáriado soloou trechode fluência,sendoquenoprocessodecompressãosecundáriao soloapresentaum comportamentoviscoso.O trechodacurvasituadoentreas ordenadasU = 0 e U = 100%é tambémdenominadode compressãoprimáriado solo. Há umaenormediferençaconceitualentreos processosde adensamentoede fluência. No processo de adensamento, a resposta do solo a uma mudança em seu estado detensõesefetivoé admitidacomoinstantânea.As deformaçõesno solosãodiferidasno tempoporqueo estadode tensõesefetivoem cadapontodo solo variacom o tempo,em funçãoda

53

dissipaçãodos excessosde pressãoneutra.No processode fluência, todosos excessosdepressãoneutrageradospelo carregamentojá foram dissipados,de modo que o estadodetensões efetivo em cada ponto passa a ser constante com o tempo.

O cálculodosrecalquespor fluênciado solo é feito atravésdo índicede compressãosecundária,calculadoa partir de dadosexperimentais,utilizando-sea eq.2.32,apresentadaaseguir. Notar que Cα é admensional.

C � ��

e�

log t (2.32)

���������� ���� ����������������� �!�� ��� "�#$�%�&��')(*��',+!���

Nãorarasasvezes,o temponecessárioparaqueocorraumadeterminadapercentagemdeadensamentodo soloemcampoé demasiadamentelongo.Aconteceque,emalgunscasos,a obra só podeser finalizadaapóscompletadovirtualmenteo processode adensamentodosolo, sob pena destavir a apresentarum mau funcionamentoou mesmoter o seu usoimpedido.Nestescasos,a aceleraçãodosrecalquespor adensamentodo soloemcampopodeser a solução mais viável.

Os métodosde aceleraçãode recalquesem campo mais utilizados são o sobreadensamentoe o método dos drenos verticais de areia. No caso do método do sobreadensamento,a aceleraçãode recalquesé feita calculando-seo recalque total a serapresentadopelo solo quandoda instalaçãoda estruturae submetendo-opreviamentea umatensão vertical de valor maior do que aquela prevista após a execução do projeto. Deste modo,o valor do recalquetotal previstoparaseratingidopelosoloemdecorrênciadaobrapodeseratingido para relativamentebaixos valoresde tempo. Deve-senotar que devido ao sobreadensamento,o recalquetotal a seratingidopelo solo agoraé maior (e funçãoda sobrecargaaplicadaao terreno).Comoexplicitadona eq. 2.25,paraum mesmorecalquetotal previstoparaocorreremcampoemfunçãodaestrutura(notarqueagoraestevalor correspondea ρ(t),pois o recalquetotal previstoparao solo em decorrênciado carregamentoprévioé maior doque o seu valor), quantomaior for o valor de ρ, menor seráo valor da percentagemdeadensamentocorrespondente,e por conseguinte,menoro temponecessárioparaatingi-la.Oprocessode aceleraçãode recalquespor sobreadensamentoalgumasvezestem o seu usorestringido pelas condições de estabilidade do terreno de fundação.

Conforme apresentadona eq. 2.26, o tempo para que ocorra uma determinadapercentagemde adensamentono solo é proporcionalao quadradoda distânciade drenagem(Hd), dadapela geometriado problema.O métododos drenosverticais de areia trabalhaempregandoestaconstatação,diminuindoa distânciade drenagemdo problema.A fig. 2.20ilustra a instalaçãode drenosverticais de areia em campo para aceleraro processodeadensamentodacamadacompressíveldesolo.Conformeilustradonestafigura, o movimentode águaapósa instalaçãodosdrenosverticaispassaa seraproximadamentehorizontal,emsentidoradial aosdrenos.A distânciade drenagemnestecasopassaa seraproximadamenteigual a metadedadistânciahorizontalentreo centrodosdrenos(oua metadedo espaçamentoentreos drenosverticaisde areia).Na parteinferior do aterroé normalmenteinstaladoumcolchão de areia, cuja função é recolher a água expulsado solo duranteo processodeadensamento.O espaçamentoentre os drenosde areiaé determinadoentãoem função dotempoesperadoparaqueo processode adensamentosejavirtualmentecompletado(comooprocesso de adensamentocontinua, em teoria, por um período indefinido, adota-senormalmentevaloresem torno de U=95%, como correspondenteao final do processodeadensamento em campo).

54

Figura 2.20 – Uso de drenos verticais de areia na aceleraçãodos recalquesporadensamento do solo em campo. Modificado de Caputo, (1981).

55

3. FLUXO BIDIMENSIONAL – REDES DE FLUXO

����������� ������������

De umaforma geral,abordou-seno capítulo1 quea águalivre ou gravitacionalpodese movimentarde um ponto a outro dentrodo solo, desdeque haja diferençade potencialentreessesdoispontos.Duranteessemovimento,ocorreumatransferênciadeenergiadaáguaparaaspartículasdo solo devidoao atrito viscoso,sendoessaenergiamedidapelaperdadecarga. Quando o fluxo de água ocorre semprena mesmadireção, como no caso dospermeâmetrosestudadosno capítulo1, diz-se que o fluxo é unidimensional. Em campo,contudo,os fenômenosde fluxo sãopreferencialmentetri-dimensionais,apesarde que,paraboa parte dos problemasgeotécnicos,adotam-seestudosbi-dimensionais,considerandoplanosou seçõesrepresentativosdo problema.Em virtude da ocorrênciafreqüentedo fluxobidimensionalem obrasde engenhariae de suaimportânciana estabilidadedasbarragens,este merece especial atenção.

O estudodo fluxo bidimensionalé feito, usualmente,atravésde um procedimentográficoconhecidocomoRededefluxo. O processoconsiste,basicamente,emtraçarnaregiãoem que ocorreo fluxo, dois conjuntosde curvasconhecidascomo linhas de fluxo e linhasequipotenciais.A fundamentaçãoteóricapararesoluçãode problemasde fluxo de águafoidesenvolvidaporForchheimere difundidaporCasagrande(1937).O fluxo deáguaatravésdomeioporosoé descritopor umaequaçãodiferencial(equaçãodeLaplace),bastanteconhecidae estudada, pois se aplica a outros fenômenos físicos, como exemplo, fluxo elétrico.

É importantefrisar queo estudodo fluxo deáguaemobrasdeengenhariaé degrandeimportância,pois visa quantificara vazãoquepercolano maciço,controlaro movimentodaáguaatravésdo solo e evidentementeproporcionaruma proteçãocontraos efeitosnocivosdeste movimento (liquefação em fundos de valas, erosão, piping, etc).

��� ������������������������! #" �%$&�'��()�+*�, �-�).��%, ��/!0#, ��, 12/���(�, �-�)�#"

Tomandoum pontodefinido por suascoordenadas(x, y, z), considerando-seo fluxoatravésdeum paralelepípedoelementaremtornodesteponto,assumindoa validadeda lei deDarcy e aplicando-seos principios de conservaçãoda energiae da massa,chega-se a eq.1.42, a qual é representada neste capítulo como eq. 3.1.

3Sr 4 e3

t 1 5 e6

3 k x 43

h3x3

x53 k y 4

3h3

y3y

53 k z 4

3h3

z3z

(3.1)

A eq. 3.1 representaa equaçãogeral de fluxo de água em solo não saturado,heterogêneoe anisotrópico,pois tantoosvaloresdoscoeficientesdepermeabilidadeemcadadireção(kx, ky, kz) quantoosvaloresdo potencialtotal deáguano soloserãodependentesdascoordenadas do ponto considerado e do grau de saturação.

A eq. 3.1 pode ser simplificada para eq. 3.2, supondo-se que:

- o solo está saturado (Sr=100%);- o fluxo deáguaestáemregimeestacionário(steadystateflow), demodoquedurante

o fluxo não ocorre mudançado índice de vazios,ou seja, não ocorre compressãoe nemexpansão do solo;

- as partículas sólidas e de água são incompressíveis- O fluxo é bidimensional.Em quasetodosos problemaspráticosde mecânicados

solos, as análisessão desenvolvidasem um plano, considerando-seuma seçãotípica domaciço, situada entre dois planos verticais e paralelos, de espessuraunitária. Esse

56

procedimentoé justificadopeladimensãolongitudinalsermuito maior queasdimensõesdaseção transversal, para boa parte das obras geotécnicas.

k x �� 2 h�

x 2

�k z �� 2 h�

z 2 � 0 (3.2)

Considerando-seaindaisotropiaem relaçãoà permeabilidade,isto é, kx = kz a eq.3.2se reduzirá na eq. 3.3, a qual é conhecida como equação de Laplace:

� 2 h�x 2

� � 2 h�z 2 � 0 (3.3)

É importanteobservarque a permeabilidadek do solo não interferena equaçãodeLaplace.Consequentemente,em solosisotrópicosa soluçãoanalíticado problemade fluxodepende unicamente das condições de contorno.

A soluçãodaequaçãodiferencialdeLaplaceé constituídapor doisgruposde funções(φ, ψ), asquaispodemserrepresentadasdentrodazonadefluxo emestudo,por duasfamíliasde curvas ortogonais entre si que formam um reticulado chamado Rede de fluxo.

A funçãoφ (x, z), chamadade funçãocargahidráulicaou funçãopotencial,obedeceaeq. 3.4

φ (x, z) = - k.h + c (3.4)

���

z Vz �� k

�h�z

��

x� Vx ��� k

h x

A função ψ(x, z), chamada de função de fluxo, é definida de maneira que: ��

z� Vx ��� k

h x

(3.5)

����

x�� Vz k

�h�z

(3.6)

Paraφ (x, z)=cte,o valordeh (x, z) tambémé umaconstante.Essasituaçãorepresentanazonadefluxo o lugargeométricodospontosdemesmacargahidráulicatotal, denominadode linha equipotencial. Por suavez,a funçãoψ(x, z)=cte,representafisicamentea trajetóriada águaao longo da regiãoondese processao fluxo. Dá-seo nomede linhas de fluxo àscurvas determinadas pela função ψ(x, z)=cte.

Na fig. 3.1 considerea linha AB, representativada trajetóriada águapassandopeloponto P, com velocidade tangencial (v). Dessa figura temos:

tg ��� VzVx� dz

dxou Vx.dz – Vz.dx = 0 (3.7)

substituindo as equações 3.5 e 3.6 em 3.7, temos:

57

����

zdz �

����

xdx � 0 ou dψ = 0 (3.8)

portanto ψ = cte

Assim, as curvasdadaspor ψ = cte, definem as trajetóriasdas partículasde fluxo(linhas de fluxo), pois em cada ponto elas são tangentes aos vetores de velocidade.

x

Vx

Vz

θ

ψ

z

A

B

P

x

ψ2

z

Vx

1

2

ψ1

Figura 3.1 – Trajetória de uma partícula de fluído.

No gráfico mais à direita da fig. 3.1, pode-seobservarquea vazãounitária (q) quepassa pela seção 1-2, compreendida entre as duas linhas de fluxo (ψ1, ψ 2) é dado por:

q ���

2

�1

Vx � dz ���

2

�1

d �� 1 � 2(3.9)

Sea redede fluxo é desenhadade modoqueψn − ψn-1 = const.,pode-sedizer queofluxo entreduaslinhas de fluxo é constante.O trecho compreendidoentreduaslinhas defluxo consecutivasquaisqueré denominadode canal de fluxo. Portanto,a vazãoem cadacanal de fluxo é constante e igual para todos os canais.

Outra importanteparticularidadereferenteas linhas de fluxo e linhas equipotenciaisdiz respeitoa ortogonalidade(interseçãoa 90o), a qual podeser verificadapelasequaçõesabaixo(as linhas de fluxo e eqüipotenciaissomenteserãoortogonaisparao casode solosisotrópicos):

Para ψ(x, z)=cte, tem-se:

dzdx �� cte

� �� �� � x

� �� � z� Vz

Vx(3.10)

Para φ (x, z)=cte, tem evidentemente dφ =0, o que implica em:

����

zdz �

����

xdx � 0 (3.11)

dzdx � � cte

� ���� � � x

��� � � z� � Vx

Vz(3.12)

58

Logo tem-se:

dzdx ��� cte

� � 1dzdx � � cte

(3.13)

De acordocoma eq.3.13,asfamiliasdecurvasφ (x, z)=cteé ortogonala ψ(x,z)=cte.Assim ascurvasda funçãoφ interceptamascurvasda funçãoψ segundoângulosretos,ou,em outras palavras, as linhas de fluxo cruzam as linhas equipotenciais segundo ângulos retos.

��� ������ ���������������������� ���! "���$#&%�'���#"�( "�)���+*�#-,.� #�/0�

A equaçãodeLaplace(3.3) podeserresolvidapor umagrandevariedadedemétodos,comopor exemplométodosnuméricos,analíticose gráficos,bemcomoatravésde modelosreduzidosou atravésde analogiascom as equaçõesque governamos problemasde campoelétrico ou termodinâmicos.

Os métodosanalíticosconsistemna soluçãomatemática(integração)da equaçãodeLaplace,obedecendocondiçõesde contornoespecíficase envolvendoa determinaçãodasfunçõesφ (x, z) e ψ(x,z). A complexidadedo processodesoluçãoanalítica,contudo,somentejustifica a sua aplicação a problemas de fluxo de geometria relativamente simples.

Os métodosnuméricos,comopor exemplométododasdiferençasfinitas e métodosdos elementosfinitos, permitem subdividir a zona de fluxo em uma série de pequenoselementosgeométricos,sendo o comportamentodo fluxo estudadoem cada um deles,mediantefunçõessimples.A aplicaçãodestastécnicaspressupõefamiliaridadecom algebramatricial, cálculo variacional,mecânicados sólidose técnicascomputacionais.A principalvantagemdos métodos numéricos é permitir a simulação de casos complexos, comogeometriasmaiscomplicadas,materiaiscomváriascamadascomdiferentespermeabilidades,solos não saturados e regime não estacionário, ou seja, utilizando a eq. 3.1.

Quandoo problemaenvolve configuraçãocomplexatorna-se,às vezes,necessáriorecorrera modelosreduzidospararesolvero problemade percolaçãode água.Desses,doistipos são os mais usuais: modelos físicos e analogia elétrica.

O modelofísico consisteem reproduzira seçãotransversalpor ondepercolaa águanumtanquecomparedelateraldevidro ou acrílico.Parao traçadodaslinhasdefluxo, utiliza-secorantecolocadoemdeterminadasposiçõesno paramentodemontante.As linhasdefluxoquepassampelocorantevãotingir a água,permitindoa visualizaçãodo conjuntodaslinha depercolação.As linhasequipotenciaissãoobtidasa partir da instalaçãode piezômetrosdentrodo modelo. A partir desses dados pode-se traçar a rede de fluxo do problema.

A analogia elétrica permite determinar uma rede de fluxo estabelecendo-seacorrespondênciaentrevoltageme cargahidráulica,condutividadeelétricae permeabilidadeecorrenteelétrica e vazão.Isto é possívelporqueo fluxo elétrico atravésde um condutortambém obedece à equação de Laplace.

Finalmente,o métodográficopor tentativasé o maisusadopararesoluçãodaequaçãode Laplace.Consisteem desenhar,dentroda regiãoem que ocorreo fluxo, as famílias decurvas equipotenciaisφ (x, z) e de fluxo ψ(x, z), que se interceptamem ângulosretos,formandoumafigura denominadarede de fluxo. Ao setraçarmanualmente,asduasfamíliasde curvas,respeitandoascondiçõesde fronteirae ortogonalidade,ter-se-áumaaproximaçãoda soluçãoúnicado problema(fig. 3.2). Essaaproximação,seo desenhofor realizadocomcuidado, é suficientementeboa para fins de engenharia,principalmentese leva-se emconsideraçãoas incertezassurgentesquandoda obtençãode valoresparao coeficientedepermeabilidade do solo.

59

Figura 3.2 – Redede fluxo de uma barragemvertedouro.Modificado de Holtz & Kovacs(1981).

A determinaçãográficadasredesdefluxo serádescritaemdetalhenositensseguintes,por ser a mais usada para a solução de problemas de percolação de água em solos.

��� ����������� ������ �����

Qualquerquesejao métodoadotadoparadeterminaçãoda redede fluxo é necessáriodefinir previamenteas condiçõeslimites ou de contornodo escoamento,asquaispodemserepresentarnumasituaçãode fluxo confiandoou de fluxo nãoconfinado.Procura-sedefinirquatro condições limites, a saber:

� superfície de entrada (equipotencial de carga máxima)� superfície de saída (equipotencial de carga mínima)� linha de fluxo superior� linha de fluxo inferior

Diz-que o fluxo é confinadoquandoas quatro condiçõeslimites são possíveisdedeterminação,sendoo fluxo não confinado quandouma das condiçõeslimites não estádeterminadaa priori. As condiçõesde fluxo não confinadoserãoestudadaem detalhenospróximos itens.

Um problemaclássicoparao traçadode redede percolaçãoé ilustradona fig. 3.3,onde uma parede de estacas pranchas é engastada num solo permeável.

NA

HA B C D

M N

R

impermeável

NANA

HA B C D

M N

R

impermeável

NA

Figura 3.3 – Percolaçãode água atravésda fundação de uma cortina de estacasprancha – Fluxo confinado.

60

Na fig. 3.3pode-seobservarquea águapercoladaesquerdaparadireitaemfunçãodadiferençade cargatotal existente.A linha AB é uma equipotencialde cargamáxima,poisqualquerpontosobreestalinha tema mesmacargade elevaçãoe a mesmacargade pressão(u=hw.γw). A linha CD é a equipotencialdesaídaou decargamínima.A linha BRC representaa linha de fluxo superior e linha MN é uma linha de fluxo que representao caminhopercorridopor umapartículad`águaquevemdeumalongadistância(linha defluxo inferior).Nem a estacaprancha,nema rochasãomeiospermeáveis,logo o fluxo é limitado por essesdois meios.

A fig. 3.4 apresentaa soluçãográficaparao problemaclássicoda cortinade estacaspranchasemfundaçõespermeáveismostradona fig. 3.3.Na fig. 3.4,pode-seobservarqueas9 linhas equipotenciaissão perpendicularesàs 5 linhas fe fluxo, formando elementos,aproximadamente,quadrados.A redeé formadapor 4 canaisde fluxo (nf=4), sendonúmerode canaisde fluxo igual ao númerode linhas de fluxo menosum (nf=L.F.-1) e por neq=8númerodequedasdepotencial(neq = L.eq.-1). Oscanaisdefluxo temespessurasvariáveisaolongo de seudesenvolvimento,pois a seçãodisponívelparapassagemde águapor baixo daestacapranchaé menordo quea seçãopelaqualáguapenetrano terreno. Em funçãodisso,aolongodo canaldefluxo, a velocidadedaáguaé variável.Quandoo canalseestreita,devendoserconstanteavazão,a velocidadetemquesermaior,logo o gradientehidráulicoé maior(leideDarcy).Em consequência,sendoconstantea perdadepotencialdeumalinha equipotencialparaoutra,o espaçamentoentreasequipotenciaisdevediminuir, demodoquea relaçãoentrelinhas de fluxo e equipotenciais se mantém constante.

Figura 3.4 – Redede fluxo atravésde uma fundaçãopermeávelde uma cortina deestacas prancha – Fluxo confinado.

Consideremosagora, um elementoisolado de uma rede de fluxo, como aquelerepresentadonafig. 3.5,o qualé formadopor linhaslinhasdefluxo distanciadasentresi debno plano do desenho e de uma unidade de comprimento no sentido normal ao papel.

Segundo a lei de Darcy, a vazão (q) no canal de fluxo é dada por:

q � k � i � A sendo i ��

�h trecho

l trecho

A = b.1

q � k�

hl

b.1 (3.14)

61

h1

h2 h3 h4

q

q b

l

equipotenciais

LF

LF

III

h1

h2 h3 h4

q

q b

l

equipotenciais

LF

LF

I

II

Figura 3.5– Canal defluxo deuma redecomvazãoconstantee perdadecarga∆h,constante entre suas equipotenciais. Considerar a largura de 1m normal ao papel.

Onde: ∆h representa a perda de carga entre as equipotenciais (hi - hf), l a distância entreelas, b é largura do canal de fluxo e k é a permeabilidade do solo.

No traçadode uma redede fluxo, por questãode facilidadede desenho,costuma-sefazerl=b, do queresultaaeq.3.15.A perdadecargaentreduasequipotenciaisconsecutivaséconstante,requisitoparaquea vazãonumdeterminadocanaldefluxo tambémsejaconstante.Ao sefazerl=b e comoaslinhasdefluxo sãoperpendicularesàslinhasequipotenciais,resultauma figura formada por “quadrados” de lados ligeiramentecurvos, conforme pode serobservado na fig. 3.4.

q � k � h (3.15)

A cargatotal disponível(h) é dissipadaatravésdasneq (númerode equipotenciais),deforma que entre duas equipotencias consecutivas temos:

�h � h

n eq

(3.16)

Substituindoa eq. 3.16 em 3.15 tem-sea eq. 3.17,a qual expressaa vazãoem cadacanalde fluxo (trechoentre duaslinhas de fluxo consecutivasquaisquer).Observarque avazão é constante e igual para todos os canais.

q � k hneq

(3.17)

A vazão total do sistema de percolação(Q), por unidade de comprimento, éconseguidamultiplicando-sea vazãodo canal(q) pelonúmerodecanaisdefluxo (nf), assimteremos:

Q � q. nf Q � k h nfn eq

(3.18)

onde,h é a perdade cargatotal, nf/neq é denominadode fator de forma e dependedarede traçada. Q é a vazão por unidade de comprimento da seção.

62

Considerando-seaindaa fig. 3.5, os quadradosI e II estãocontidosdentrodo mesmocanal de fluxo, onde tem-se que:

qI = qII= q = cte k I

�h I

l I

b I � 1 � k II

�h II

l II

b II � 1

Mas: kI = kII e b I

l I

� b II

l II

� constante � 1 qudrados

Então:

�h I �

�h II � cte (3.19)

��� ��� ������������� �����������! �"��#� $%���&�'�)(�*+�-,������&�'�/.'0 (�1�

2 As linhasdefluxo e aslinhasequipotenciaissãoperpendicularesentresi, isto é,suaintersecção ocorre a 90o (ver eq. 3.13).

2 A vazãoem cadacanal de fluxo é constantee igual para todos os canais.Setomarmos dois elementos (I e II) contidos entre as memas equipotenciais teremos:

∆hI = ∆hII = ∆h = cte k I

3h I

l I

b I 4 1 5 k II

3h II

l II

b II 4 1

Como:b I

l I

6 b II

l II

6 constante 6 1 qudrados então temos:qI=qII=q = cte (3.20)

2 As linhas de fluxo não se interceptam,pois não é possível ocorrerem duasvelocidade diferentes para a mesma partícula de água em escoamento2 As linhasequipotenciaisnãoseinterceptam,poisnãoé possívelseter duascargastotais para um mesmo ponto

2 A perda de carga entre duas equipotenciais consecutivas quaisquer é constante.

��� � 7��8,9��$%��*:�#;<���'=?>@���)AB�'����� �&�9���C�!�EDF���'=%�#���G�'�H,9���'��G�'�/.'0 (�1��

A soluçãoé obtida por tentativasiniciando-secom um pequenonúmerode linhas eobedecendo-seas condiçõeslimites. A maior qualidadee menortempogastono traçadoéconseguidoatravésdo treino. Existem, entretanto,recomendaçõesgerais que auxiliam otraçado das redes, principalmente nas primeiras tentativas.

I Aproveitar todas as oportunidadespara estudar o aspectode redes de fluxo bemconstruídas.Quandoa representaçãográficaestiverbemassimilada,tentedesenhá-lasemolhar o desenhooriginal. Repitaa tentativaatésercapazde reproduzira redede maneirasatisfatória.

I Delimitar a zonade fluxo que se desejaestudar,analisandosuascondiçõesde fronteira(determinação das linhas de fluxo e equipotenciais limites);

I Usualmente,é suficientetraçara redecom um númerode canaisde fluxo entre3 a 5. Ouso de muitos canais de fluxo dificulta o traçado e desvia a atenção de aspectos essenciais.

63

� Traçarduasfamíliasdecurvasortogonaisentresi quesatisfaçamascondiçõesdefronteirae que constituam uma solução ótima com elementos aproximadamente “quadrados”;

� Deve-seobservarsemprea aparênciadetodarede,semtratardecorrigir detalhesantesquetoda a rede esteja aproximadamente bem traçada;

� Frequentemente,há partes das redesde fluxo em que as linhas de fluxo devem seraproximadamenteretase paralelas.Nestescasos,os canaissãomaisou menosdo mesmotamanhoe osquadradosvãoresultarmuitoparecidos.O traçadodaredepodeserfacilitadose iniciarmos por essa zona;

� Há uma tendência de se errar em traçar transiçõesmuito abruptas entre trechosaproximadamenteretilíneos e trechos curvos das linhas equipotenciaisou de fluxo.Lembre-sesemprequeastransiçõessãosuaves,com formatossemelhantesaosde elipsesou de parábolas. O tamanho dos diferentes quadrados deve ir mudando gradualmente.

� Em geral,a primeiratentativade traçadopodenãoconduzira umarededequadradosemtoda a região de fluxo. Pode ocorrer, ao final da rede, que entre duas equipotenciassucessivasa perdade cargaseja uma fração da perdaentre as equipotenciaisvizinhasanteriores (formam-se retângulos ou invés de quadrados).Geralmente, isto não éprejudiciale estafileira podeserconsideradaparao cálculodo númerode equipotenciais(neq), estimadaa fraçãoda perdade cargaqueresultou.Sepor razõesde apresentaçãosedesejaque todasas fileiras de quadradostenhamo mesmo∆h, pode-secorrigir a redemudandoo númerode canaisde fluxo sejapor interpolaçãoou começandonovamente.Não se deve tentar convergir a fileira incompleta em uma de quadradosatravésdecorreçõespuramentegráficas,a nãoserque,o quefalta ou sobranafileira incompleta,sejamuito pouco. A mesmaabordagempode ser aplicada aos canais de fluxo, onde seconsidera frações da vazão (q).

� Umasuperfíciedesaídanaredeemcontatocomo ar, senãoé horizontal,nãoé nemlinhade fluxo, nem equipotencial,de forma que os quadradoslimitados por essasuperfíciepodem ser incompletos.

Num primeiro contatocom o assunto,pode parecerao principianteque a melhorsoluçãoseráobtidapor quemtiver maioresfacilidadesparadesenho.Na verdade,obedecendoàs condiçõesteóricas anteriormenteestabelecidas,está se obedecendoàs condiçõesdaequaçãode Laplacee isto conduziráa uma soluçãoúnica, que independeda habilidadeartística de quem procura resolver o problema.

A fig. 3.6 apresenta alguns exemplos rede de fluxo em fundações permeáveis.

��� ��� ������� � ����������������������������! � "$#��

O traçadoda redede fluxo nos problemasqueenvolvemo escoamentode águanossolos tem como objetivo a obtençãoda vazãoque percolaatravésda seçãoestudada,dogradientehidráulicoe da velocidadeem qualquerponto,daspressõesneutras,subpressõeseda força de percolação.

% Vazão:A vazãototal quepercolapelomaciçopodeserdeterminadapelaeq.3.18,apresentada

anteriormente.

% Gradientes hidráulicos:A diferençade cargatotal que prova percolação,dividida pelo númerode faixas de

perdade potencial,indica a perdade cargade umaequipotencialparaa seguinte.Estaperdadecarga,dividida peladistânciaentreasequipotenciais,é o gradiente.Comoa distânciaentreequipotenciaisé variável ao longo de uma linha de fluxo, o gradientevaria de ponto paraponto.

64

�h � h

n eq

i �

�h trecho

l trecho

(3.21)

Figura 3.6 – Exemplos de rede de fluxo em fundações permeáveis– Fluxoconfinado. Modificado de Stancati (1984).

De particularinteresseé o gradientenafacedesaídado fluxo, emvirtudeda forçadepercolaçãoatuardebaixoparacima,podendoprovocarsituaçãodeareiamovediça,discutidano capítulo1.Pode-seobservar,na rededa fig. 3.5 por exemplo,que estasituaçãocríticaocorre junto ao pé de jusante da barragem, onde a distância entre as duas linhas equipotenciaisé mínima.

65

� Velocidade:Uma vez que se tem o gradientehidráulico em um pontobastarámultiplicá-lo pelo

coeficientede permeabilidadedo solo, para ter a velocidadeda água em magnitude.Avelocidade(V) de escoamentoé tangenteà linha de fluxo que passapelo ponto e tem adireção do escoamento, sendo seu módulo dado por:

V � K i (3.22)

� Pressões neutras:Em determinadassituações,como por exemplono casode estruturasde concreto

(barragemvertedouro),construídassobrefundaçõesondeocorreo fluxo deágua,aspressõesneutrasatuarãona baseda estruturaexercendoumaforça contráriaao seupeso,o quepodeconduzi-laa umasituaçãoinstável.Particularmente,nestescasos,essaspressõesneutrassãodenominadasde subpressões.Considerea barragemvertedouroesquematizadana fig. 3.7, aqual está sujeita a percolação de água pela sua fundação.

Paradeterminarassubpressõesatuantesemsuabasebastaconsiderara rededefluxo edeterminarascargasem diversasposições.Fixemosa referênciade nível (RN) na superfícieimpermeável. A partir daí podemosdeterminara cargatotal em cadaequipotenciallimite,queé, respectivamente,a somadascargasaltimétrica(z) e piezométrica(u/�

w) ao longo desuaextensão.Em cadaeqüipotencial,o valor da cargatotal é constante,masos valoresdasparcelas de carga altimétrica e potencial variam.

Figura 3.7 – Rededefluxo pelafundaçãodeuma barragemvertedourodeconcretoe diagrama de subpressões. Modificado de Bueno & Vilar (1985).

No ponto 0, a carga total disponível é: htotal(o) = Z0 + h = Z0 +u0/�

w .

No final da rede, isto é, na última equipotencial, a carga disponível é: htotal(f) = Zf = Z0.A perdade cargapor percolaçãoserá: htotal(o) - htotal(o) = h, queserádissipadaentreneq

equipotenciais,ou seja,entreduasequipotenciaisconsecutivasdissipa-se∆h=h/neq. Comojáfoi visto, neq depende da rede traçada.

Paracalcular as subpressõesde águaem qualquerponto da rede (por exemploospontos 1 e P), deve-se considerar as perdas de cargas que ocorrem até cada um desses pontos.

Sendo assim, considere-seo ponto 1 na base do vertedouro.A carga inicial éhtotal(o)=Z0+ h e o ponto1 localiza-senasegundaequipotencialdarede.Logo,daequipotencialque passapelo ponto (0) à equipotencialque passapor (1) houveuma perdade carga∆h,assim teremos:

h total 1 �u1

�w

�Z 1 � h total 0 �

�h � Z 0

�h �

�h (3.23)

RN

66

u1

�w

� Z 0 � Z 1

�h �

�h (3.24)

Mesmo raciocínio pode ser estendido aos outros pontos de forma a se obter o diagramade subpressõesao longo da baseda barragem(fig. 3.7). Importantenotarque,mesmoqueopontoondesedesejadeterminara pressãoneutranãosesituesobreumaequipotencialdaredetraçada,o procedimentodescritoacimatambémseaplica.A rigor a redetraçadarepresentaapenasalgumasequipotenciase algumaslinhasde fluxo, porémsobrequalquerpontosemprepassaráumaequipotencial.Sejao pontoP situadoentrea 4a e a 5a equipotenciais.Estimandoque a perda de carga até ele seja 4,5 ∆h, pode-se determinar a subpressão sobre ele:

h total P �uP

�w

�Z P � h total 0 � 4,5 h � Z 0

�h � 4,5 h (3.25)

uP

w� Z 0 � Z P � h � 4,5 h (3.26)

O problemapodeserresolvidotambémgraficamente.Paratantobastadividir a perdade carga em parcelasiguais, correspondentesao número de quedasde equipotenciais,etransformá-lasemcotastal queserepresentenafig. 3.7.No ponto1, por exemplo,a cargadepressãocorresponderáà distância vertical entre o ponto e o número de quedas deequipotenciais(um no caso).No ponto4 a mesmasituaçãoserepete,bastandoobservarqueocorreramquatro perdasde carga.Observarque as cargasaltimétricasou de posiçãosãoconsideradas positivas acima RN e negativas abaixo do RN.

� Forças de percolação:Comojá visto no capítulo1, quandoa águaescoaatravésde umamassade solo seu

efeito nãoselimita à pressãohidrostática,queocorrequandoa águaestáemequilíbrio,masestaexercetambémuma pressãohidrodinâmicasobreas partículasdo solo, na direçãodofluxo, efeito que pode representar-sepor empuxoshidrodinâmicostangentesàs linhas depercolação.

Na fig. 3.8 o elementodestacadotemlado(a), gradientehidráulicoi=-∆h/ae perdadecarga entre duas equipotenciais consecutivas de ∆h=h/neq.

Figura 3.8 – Determinaçãoda força de percolaçãoa partir da rede de fluxo.Modificado de Bueno & vilar (1985).

67

Considerando-secomo nulo o potencialtotal na equipotencialde saídada água,nafacedeentradado elementoatuao potencialtotal htotal(n) = n∆h, onden é o númerodequedasde equipotencial, (∆h), a contar de jusante

Na face de saída potencial total será htotal(n-1) = (n-1)∆h, Isto origina uma diferença de energia total de ∆htotal =htotal(n) - htotal(n-1) = ∆h.Multiplicando ∆h pelo pesoespecíficoda água,(γw), e pela áreado elemento(a·1),

temos a força de percolaçãoatutanteentre as duas faces do elemento,Fp (eq. 3.27).Dividindo-se a força de percolaçãopelo volume do elemento, (a2.1), e levando-seemconsideraçãoque a razão,(∆h/a) correspondeao gradientemédio i atuandono elemento,chega-seà eq.3.28,quecorrespondeà forçadepercolaçãoporunidadedevolumeatuandonoelemento de solo.

Fp � �h � a ��� w (3.27)

A força de percolação por unidade de volume do elemento considerado será (fp):

fp � i. � w (3.28)

A forçade percolação,nassuperfíciesdesaída, nãodeveultrapassara resistênciaaocisalhamentoentreas partículas,casocontrárioprovocaráo fenômenode erosãoou arraste(piping). Para combateressefenômenoutilizam-se os filtros que são estruturasporosascolocadasconvenientementedentro do maciçopararecolhera águaque percolae evitar aformação de altos gradientes hidráulicos.

��� ��� � ������������� �������! "��#�$�%����'&(��)+* ,-��%�����./�� � "�

O fluxo de água atravésde maciços de terra constitui um dos casosde maiorimportância na aplicação da teoria de fluxo para resoluçãode problemaspráticos. Apercolaçãoatravésdo maciçocompactadoenquadra-seno casode fluxo não confinado, umavezqueumadasfronteirasdazonadefluxo (a linha de fluxo superior)nãoestápreviamentedeterminada.Consideremosa fig. 3.9. Admitindo RN ao longo da superfícieimpermeável,temoscomocondiçãolimite, a equipotencialdecargamáxima(linha AB), a equipotencialdecargamínima(linha CD), a linha de fluxo inferior (linha AC). A linha quelimita o fluxo naregiãosuperiordo maciçoé denominadade linha freáticae nãoestádefinidaa priori. A linhafreática,formadapelospontosdo maciçoque possuemvaloresde pressãoneutraiguaisaovalor da pressãoatmosférica,sendouma linha de fluxo com característicaspróprias,e suadeterminaçãoconstitui o primeiro passopara o traçadoda rede de fluxo em meio nãoconfinado.

DA

B

C

NA

NA

Linha freática

impermeávelDA

B

C

NA

NA

Linha freática

impermeávelA

B

C

NA

NAA

B

C

NA

NA

Linha freática

impermeávelFigura 3.9 – Percolação através de barragem de terra – fluxo não confinado.

68

��� ��������� ��������������� ������������� !� "��

Dupuit em1963estabeleceuasprimeirasbasesparaa soluçãodefluxo nãoconfinadoe mais tardeKozenypropôsumasoluçãoteóricaparaumabarragemhomogêneacom filtrohorizontal a jusante e fundação impermeável, como se mostra na fig. 3.10.

A soluçãoKozeny admiteque a rede de fluxo é constituídapor dois conjuntosdeparábolasconfocais conjugadas,um deles representandoas linhas de fluxo e o outrorepresentandoas linhas equipotenciais.A parábolabásicade Kozeny foi obtida atravésdateoria das variáveis complexas (solução analítica exata para a equação de Laplace).

A partir da construçãoda parábolabásica,seguidapelascorreçõesdeentradae saídadessalinha de fluxo no maciçocompactadopode-sedeterminara linha freática.Passaremosadeterminação da parábola básica.

Figura 3.10 – Solução teórica de Kozeny – Parábola básica.

# Traçado da parábola básica de Kozeny:

A parábolaé umacurvaquedefineo lugar geométricodospontosqueequidistamdeum ponto,denominadofoco e deumadiretriz . No casoemquestão,conhecem-sedoispontosda parábola,D e F (foco), mostradosna fig. 3.11.Paraa determinaçãográficada posiçãodaparábola, deve-se seguir o seguinte roteiro:

$ Marcar o ponto D tal que DC= (1/3 a 1/4) AC;$ CentroemD e raio DF, determinaro pontoE sobrea horizontaldo prolongamento

do nível d'água;$ Traçar uma vertical por E e determinar o segmento EG, a diretriz da parábola;$ Dividir GF ao meio e obter o ponto N que é a origem da parábola;$ Traçar uma vertical por N e obter o segmento NM;$ Dividir NM e DM em parte iguais;$ Ligar ospontosde divisãodeDM aopontoN, formandoretasinclinadasou linhas

auxiliares radiais;$ Traçarlinhasauxiliareshorizontaispassandopelospontosde divisãodo segmento

NM;$ A intersecçãodas linhas auxiliares radiais com as linhas auxiliares horizontais

determinam os pontos da parábola.

A fig. 3.12 apresentaalgumasposiçõesrotineirasdo foco (F) na parábolabásica,necessárias para o seu traçado.

69

Figura 3.11 – Construçãoda parábolabásicade Kozeny.Modificado de Bueno &Vilar (1985).

F F F F

ωω ωωFiltro de pé

Figura 3.12 – Posições de foco em barragem de terra.

Após traçada a parábolabásicasãofeitascorreçõesdeentradae saídadestalinha nomaciço, a fim de que esta respeiteas condiçõesde contorno da linha freática, que sãoesquematizadas abaixo:

� Condições de entrada da linha freática no maciço de terra

Deve-selembrar,como condiçãorotineira, que a linha freática sendouma linha defluxo deveser perpendicularao taludede montante(que é equipotencial)no seu ponto deentrada(fig. 3.13).Paraω>90o a linha freáticaé perpendicularao taludede montante,paraocasode ω ≤90o, a linha freáticadevesertangenteàhorizontalquepassapelonível d`água.Éimportanteobservarque quandoω<90o (por exemplonos casosde ensecadeiraincorporada,constituídade materialgranular),a linha freáticanãoé perpendicularao talude,porqueparasatisfazeressacondição,a freáticaprecisariaaumentara suaenergiacom o transcorrerdofluxo, o queé contrárioaosconceitosbásicosapresentadosatéaqui(comoa lei deDarcy,porexemplo).

Figura 3.13 – Condições de entrada da linha freática no maciço.

70

# Condições de saída da linha freática no maciço de terra

Na fig. 3.14, apresentam-secondiçõesde saídada freática, devendoressaltarque,rotineiramente,a freáticaé tangenteao taludede jusanteparaos casosem queω≤90o. Paraω>90o (filtro de pé), a linha freática tangenciaa vertical no ponto de saídado talude dejusante.

Figura 3.14– Condições de saída da linha freática no maciço.

Outracondiçãoa serobservadaé o pontodesaídadafreáticano taludedejusante(fig.3.15). Paracondiçõesdiferentedaquelapropostapor Kozeny, filtro horizontal (ω=180o), oponto da saídada freática não coincide com o ponto de saídada parábolabásica,sendonecessário fazer a correção da saída da freática no talude de jusante.

Figura 3.15– Correções para posicionar a linha freática

Casagrande,após observaçõesem modelos, recomendaa seguinte correção naparábola básica:

- determinar o ponto de encontro da parábola básica com o talude de jusante,- determinara distância(∆a +a) quevai do foco ao pontode saídada parábolabásica

no talude de jusante,- determinar o ângulo (ω), ângulo entre o talude de jusante e a horizontal,- determinar a relação ∆a/(∆a +a), a partir do ábaco mostrado na fig. 3.15,

$ calculara distância(a) entreponto 4 (ponto de encontroda linha freáticae o taludedejusante) e o ponto F (foco),

- traçara linha freática passandopelo ponto 4, tangenteao taludede jusante(paraω≤900) ou tangenteà verticalquepassapeloponto4 (paraω>900). Quandoo ânguloω<300, ovalor de (a) pode ser calculado diretamente pela eq. 3.29:

71

a � lcos� � l 2

cos2 �� h2

sin2 � (3.29)

onde, l e h são, respectivamente, a projeção horizontal e vertical da distância MF

A fig. 3.16apresentacondiçõesdesaídada freáticae da parábolabásicano taludedejusante para ω>900 e ω=900.

ω>900 ω=900

Figura 3.16 – Correções para posicionar a linha freática

Após o traçadoda linha freática, as condiçõesde contorno,ou seja, as condiçõeslimites do problemade fluxo de águaem barragensde terra ficam totalmentedeterminadas.Assim, poderemostraçar a rede de percolaçãocom linhas equipotenciaise de fluxo,obedecendo às mesmas leis e recomendações já vistas.

Antesdepassarmosa essetraçado,é importanteressaltaralgumascondiçõesde cargada linha freática. Como os pontos da linha freática estão submetidos às pressões piezométricasnulas(u/γw=0), a cargatotal fica restritaao valor da cargade posição(z). Assim, a perdadecargaentre duasequipotenciasconsecutivasseráapenasa diferençade carga altimétrica(intervalos verticais iguais ∆z), fig. 3.17.

h I� z I

� u I�

w

h II � z II �u II

w

mas, uI = uII = 0

então, hI - hII = zI - zII = ∆z=∆h (3.30)

A propriedadedescritapelaeq. 3.30 constituium elementobásicoparao traçadodarede de fluxo.

Determinadaa posiçãoda linha freática,divide-sea cargatotal disponívelem cotasiguais definindo, assim,os pontosde intersecçãoda linha freática com as equipotenciais.Comoa linha freáticaé umalinha de fluxo, aslinhasequipotenciaislhe sãoperpendiculares.Evidentemente,o númerode perdasde cargaa escolherseráum problemade tentativaseerros, até que se tenha uma solução que leve em conta os fundamentos das redes de fluxo.

Após o traçado das linhas equipotenciais(linhas aproximadamenteparabólicaseperpendicularesà linha freática), de modo que a perda de carga seja constanteentre asmesmas,deve-setraçar as demais linhas de fluxo. Essaslinhas de fluxo devem formar“quadrados”com as linhas equipotenciais,seguindoaproximadamentea forma da linha

72

freática,(fig. 3.17).Um exemploderededefluxo embarragemdeterracomfiltro depéestáapresentado na fig. 3.18.

Figura 3.17 – Esquema de construção de uma rede de fluxo.

O cálculo da vazãoatravésdo maciçode terra,é feito da mesmaforma apresentadapara o cálculo da vazão através de uma fundação permeável, valendo portanto a eq. 3.31.

Q � q. nf Q � k h nfneq

(3.31)

Onde,h é a perdade cargatotal, nf/neq é denominadode fator de forma e dependedarede traçada. Q é a vazão por unidade de comprimento da seção.

A avaliaçãodo fator de forma nf/neq, pode levantar dúvidas, pois o número deequipotenciais (neq) pode ser diferente se as perdas de carga forem contadas sobre a freática ousobrea superfícieimpermeávelhorizontal (fronteira inferior da região de fluxo), (ver fig.3.17).Essaaparenteambiguidadena realidadenãoexisteseseconsiderarquena fórmula davazão,h = ∆h neq, é a perdade cargatotal, consequentementeneq serásempreo mesmosedeterminadopelo númerode vezesque∆h coubeem h. Isto significa dizer queo númerodeperdas altimétricas deve ser contadosna vertical, pois essesforam os pontos usadosefetivamenteparao traçadoda redee eventualmenteajustadospelageometriado maciço.Ocálculodaspressõespiezométricasno maciçosefaz deformasemelhanteaodaspressõesemuma fundação permeável, ja visto.

Figura 3.18 – Exemplo de rede de fluxo em meio não confinado – Barragem deterra com filtro de pé. Modificado de Stancati (1984).

73

��� ������� ���� ����������������������� ��"!#��$�% &'�(�� ��*)+������,�-�.��/� ���&'0���� 12���435�76����% �

No casode fluxo de águaem maciçose fundaçõespermeáveis,a dificuldadeestáemdefinir as condiçõeslimites do problema.Definidasas condiçõeslimites, a redeé traçadasegundoos mesmosprocedimentosjá vistos (traçarparábolabásica,fazer as correçõesdeentradae saídada linha freática,manterortogonalidadeentreas LF e LE, etc). A fig. 3.19apresentao traçado da rede de percolaçãoem maciço de terra e fundaçãopermeável,constituídode material homogêneoe isotrópico. Nesta figura, as condiçõesde contornopodemser visualizadasfacilmente.A linha de fluxo limite serána fundação,limite entreomaterialpermeávele impermeávele asequipotenciaislimites serãoo taludede montantee ofiltro a jusante.

Figura 3.19 – Exemplo de rede de fluxo em maciço e fundações permeáveis.Modificado de Stancati (1984).��� 89����� ���� ��������(�,�:3;!<�.$�% &'��� ���)=���������>/7% ���(���?�@�% $A�(�

A percolação,na maioria dos casospráticos, ocorre em solos anisotrópicoscomrelaçãoà permeabilidade.Isto significa dizer que a permeabilidadeé diferente nas duasdireções ortogonais tomadas(kx ≠ kz). Essa situação ocorre com frequência em solossedimentaresbem como nos maciços compactados,onde geralmente,o coeficiente depermeabilidade na direção horizontal tende a ser maior que o da direção vertical.

Para o caso de solo anisotrópicoem relaçãoao coeficientede permeabilidade,aequação de fluxo bidimensional é da forma:

k x

B 2 hBx 2 C k z

B 2 hBz 2 D 0 (3.32)

Pararesolvero problemaseguindoosprincipiosjá apresentados,devemostransformara eq. 3.32, para fluxo em meio anisotrópico(kx ≠ kz), em um fluxo em meio isotrópico(equaçãode Laplace). Para tanto, usa-seo artifício de transformaras coordenadasdoproblema,modificandoasdimensõesdazonade fluxo, conformesedemonstraa seguir.Estatransformaçãoconsisteem reduzirasdistânciashorizontais,pois a permeabilidadevertical émenordo quea horizontal.A consequênciadistosefaz sentirnaequaçãodefluxo (3.32),quepode ser escrita na forma da eq. 3.33.

k x

k z

E 2 hEx 2 F

E 2 hEz 2 G 0 ou

E 2 hk z

k x

Ex 2FE 2 hE

z 2 G 0 (3.33)

74

Admitindo a seguinte transformação de escala na direção x, de forma que se tenha:

x t � xk z

k x

(3.34)

�x t

2 � k z

k x

�x 2 (3.35)

Substituindoa eq. 3.35 em 3.33, encontramosa equaçãode Laplace para meiosanisotropicos:

� 2 h�x t

2 �� 2 h�

z 2 � 0 (3.36)

Da eq. 3.36, pode-severificar que procedendouma mudançade variável paraxt=(kz/kx)0.5x, uma região homogêneae anisotropicapode ser transformadanuma regiãofictícia isotrópicaondea equaçãode Laplaceé válida, e consequentementea teoriaatéaquidesenvolvida é aplicável. Esta região fictícia é chamada seção transformada.

Na prática,a partir da seçãoreal ((kx ≠ kz) desenha-seuma seçãotransformadaemescalatal quesatisfaçaa eq. 3.34.A seguir,traça-sea redede fluxo na seçãotransformadacom elementosquadradose em seguidaretorna-seao problemaoriginal desdobrandoasdimensõesda direção que foi reduzida.Na seçãoreal, as linhas equipotenciaisnão sãonecessariamenteortogonaisàs linhas de fluxo e os elementosda rede podem assumiraaparênciaderetângulosou losangos,dependendodarelaçãodepermeabilidades.Na fig. 3.20são apresentadosexemplos de redes traçadasem coordenadastransformadase depoisretornadas à sua condição real.

(a) seção transformada (b) Seção real

(a) seção transformada (b) Seção realFigura 3.20 – Exemplosde rede de fluxo em meiosanisotrópicos.Modificadode

Stancati (1984).

75

Parao cálculode gradienteshidráulicoso quevale é a seçãoreal, pois o gradienteéigual a perdade cargadividida peladistânciaentreasequipotenciaisna escalareal e nãoadistância entre as equipotenciais na escala transformada.

O cálculo da vazãonos casosde meiosanisotrópicosdeveser feita considerando-seuma permeabilidade equivalente (keq) determinada em função das permeabilidades reais.

Consideremosum elementoda redede fluxo em queo escoamentosedá paraleloaoeixo dasabcissas,conformeindica a fig. 3.21.Na seçãoreal o elementoé retangular,sendo∆x maior do que ∆z, pela transformação das abcissas.

vx

z

xkxkz

Seção real (anisotrópica)

vx

z

Seção transformada (isotrópica)

kequivxt

= kt

∆z

∆x ∆xt

∆zvx

z

xkxkz

Seção real (anisotrópica)

vx

z

Seção transformada (isotrópica)

kequivxt

= kt

∆z

∆x ∆xt

∆z

Figura 3.21– Determinação da vazão para meios anisotrópicos.

Na direção x, a velocidade de fluxo na seção real é igual a:

V x �� k x

�h�x

(3.37)

A velocidade de fluxo na seção transformada (isotrópica) é igual a:

V x ��� k x t

�h�x t

ou V x �� k x t

h

k z

k x

x

(3.38)

Igualando-se as equações 3.37 e 3.38, temos a eq. 3.39:

� k x

�h�x � k x t

�h

k z

k x

�x

k x t � k x

k z

k x

k x t � k eq � k x k z(3.39)

onde,kxt ou keq é o coeficientedepermeabilidadedaseçãotransformada.keq é a médiageométricadoscoeficientesde permeabilidadehorizontale vertical. Assim, a vazãototal depercolação num sistema anisotrópico é dado pela eq. 3.40.

Q � k eq h nfn eq

L (3.40)

76

sendo,L igual aocomprimentodabarragemondeo fluxo ocorree asdemaisvariáveisjá foram definidas anteriormente.

��� ������� ���� ������������������� �������� !��"#�$�&%�'(�����

No projetode umabarragem,procura-seconciliar os materiaisdisponíveisna regiãocom a seçãotípica. Em função disso, é comum projetar a seçãotípica com materiaisdepermeabilidadesdiferentes. Por exemplo, pode-se ter um núcleo argiloso de baixapermeabilidade,abasde materialarenosode permeabilidademaiselevadae, ainda,fundaçãoformadapor camadasdediferentespermeabilidades.Nessescasostem-sepercolaçãodeáguaatravésde meiosheterogêneos,ou seja,as propriedadesdo materialvariam de ponto paraponto.

Parao traçadode umaredede fluxo num meio heterogêneopermanecemválidasascondiçõesestabelecidaspara o fluxo em meio homogêneo,devendo-seacrescentarascondições de transferência das linhas de fluxo de um meio para o outro.

Quandoa água flui atravésde uma fronteira entre dois solos de permeabilidadesdiferentes,as linhas de fluxo mudamde direção.Essavariaçãona direçãoocorresegundoângulos de interseção inversamenteproporcionais aos coeficientes de permeabilidade(semelhantea lei de refraçãoda luz). Quandoa águaflui deum solo de alta permeabilidadeparaoutro de baixapermeabilidadeos canaisde fluxo devemsealargarparadar passagemamesmavazãoe perdade carga.Por outro lado,seo fluxo vai de um materialde menorparaum materialdemaiorpermeabilidade,o canaldefluxo deveestreitar.A fig. 3.22apresentaascondições gerais de transferência de canais de fluxo do solo 1 para o solo 2.

Figura 3.22 – Transferência das linhas de fluxo entre meios de diferentespermeabilidades (k1>k2). Modificado de Vargas (1977)

Nestafigura, a águaestápercolandode um meio de maior permeabilidade(solo 1)paraummeiodemenorpermeabilidade(solo2). Peloprincípiodacontinuidade,a vazãodevesera mesmanosdois canais,portantotem quehaverum alargamentodoscanaisde fluxo nomeio 2, tal que a transferência de um meio para outro satisfaça as equações:

q1 ) q2 k 1

*h

aa.1 + k 2

*h

bc.1

k 1

k 2

, cb

(3.41)

Mas,

77

sin ��� aAB

sin��� c

ABAB � a

sin � �c

sin �

cos � aAC

cos � � bAC

AC acos �

bcos �

a � csin � sin ��� b

cos � cos � cb� tg �

tg �� k 1

k 2

(3.42)

Comopodeserobservadopelaeq.3.42,a deflexãodaslinhasdefluxo sãotaisqueastangentesdos ângulosde intersecçãocom a fronteira são inversamenteproporcionaisaoscoeficientes de permeabilidade.

Casoa permeabilidadek1 for menorquek2 (fig. 3.23),pode-senotarqueos canaisdefluxo devemestreitarno meio 2 paradarpassagemà mesmavazãoquepercolavanoscanaisdo meio 1.

Figura 3.23– Transferência das linhas de fluxo entre meios de diferentespermeabilidades (k1<k2). Modificado de Bueno & Vilar (1985).

O traçadode redede fluxo em seçõesheterogêneasé mais complexoque o traçadoparaseçõeshomogêneas,em virtudeda transferênciadaslinhasde um meioparaoutro.Estetraçadorequerumaboadosede experiênciabemcomoconhecimentodosprincípiosbásicosdateoria.O fluxo emum meioheterogêneopodeadmitir maisdeumasoluçãoparao mesmoproblema,dependendoas hipótesesadotadas.Na fig. 3.24, temos um exemplo de duassoluçõesde redede fluxo paraum mesmomaciçoconstituídodedois materiais.O taludedemontanteé constituídopor um materialaltamentepermeável(enrocamento),o meio 1 é onúcleo do maciço com uma permeabilidade menor que o material do meio2 (k2 = 5k1).

78

Figura 3.24–Redesde fluxo no mesmomaciço constituídode zonasde diferentespermeabilidades. Modificado de Bueno & Vilar (1985).

Na primeira rede,a soluçãoadotadafoi traçar a redecom elementosquadradosnomeio1 e retangularesno meio2, mantendoa igualdadedevazãoe perdadecarga.Na últimarede, a solução adotada permitiu o traçado de malhas quadradas em cada um dos meios.

79

4. RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO.

����������� ������������

Vários materiais empregadosna construção civil resistem bem à tensões decompressão,porémtêmumacapacidadebastantelimitada de suportartensõesde traçãoe decisalhamento.Assim ocorrecom o concretoe tambémcom os solosem geral.No casodossolos, devido a naturezafriccional destesmateriais, pode-semostrar que a ruptura dosmesmosse dá preferencialmentepor cisalhamento,em planosondea razãoentrea tensãocisalhantee a tensãonormalatingeum valor crítico.Estesplanossãodenominadosdeplanosde rupturae ocorremem inclinaçõesas quaissãofunçãodos parâmetrosde resistênciadosolo. Conformejá relatadoanteriormentenestetrabalho,as deformaçõesem um maciçodeterra são devidas principalmenteaos deslocamentosque ocorrem nos contatosentre aspartículasdo solo, de modoque,na maioria doscasos,asdeformaçõesque ocorremdentrodas partículasdo solo podemser desprezadas(considera-sea águae as partículassólidascomo incompressíveis).Pode-sedizer também,que as tensõescisalhantessão a principalcausado movimentorelativoentreaspartículasdo solo.Porestasrazões,aonosreferirmosàresistência dos solos estaremos implicitamente falando de sua resistência ao cisalhamento.

A resistênciado solo forma, ao lado da permeabilidadee da compressibilidade,osuportebásicopararesoluçãodosproblemaspráticosda engenhariageotécnica.Trata-sedeuma propriedadede determinaçãoe conhecimentoextremamentecomplexos,pois às suaspróprias dificuldadesdevemser somadasàs dificuldadespertinentesao conhecimentodapermeabilidadee dacompressibilidade,vistoqueestaspropriedadesinterferemdecisivamentenaresistênciado solo.Dentreosproblemasusuaisemqueé necessárioconhecera resistênciado solo, destacam-sea estabilidadede taludes,a capacidadede cargade fundaçõese osempuxos de terra sobre estruturas de contenção.

Ao falarmosderesistênciadeum determinadomaterial,o conceitoderupturadeveseresclarecidoe avaliado,levando-seemconsideraçãoascaracterísticasdo materialemquestão.Esta necessidadedecorre do fato de que materiais diferentes possuem curvastensão/deformaçãodiferentes,de modo que diferentesdefinições de ruptura podem sernecessáriasparacaracterizaro seucomportamento.Em algumassituações,seum materialécarregadoatéumacondiçãoderupturaiminente,asdeformaçõesapresentadassãotãograndesque,paratodosos propósitospráticos,o materialdeveser consideradocomorompido. Istosignificaqueo materialnãopodemaissuportardemodosatisfatórioascargasaeleaplicadas.Deve-seressaltarcontudo,queemmuitoscasos(inclusiveparaalgunssolos),a curvatensãodeformaçãoapresentadapelomaterialé denaturezatal queimpedequeumadefiniçãoprecisado ponto de ruptura seja dada.Destaforma, poderíamosdefinir como ruptura a máximatensão a qual um determinadomaterial pode suportar, ou, de outra forma, a tensãoapresentadapelo material para um nível de deformaçãosuficientementegrande paracaracterizar uma condição de ruptura do mesmo.

Conformeserávisto adiante,parao casodasareiasfofas e dasargilasnormalmenteadensadas,a curvatensão/deformaçãoobtidanãopermiteumadefiniçãoprecisado pontoderuptura.Nestescasos,é usualseconvencionarcomopontoderupturado materialo valor detensão para o qual se obtém uma deformação axial em torno de 20%.

O estudodo comportamentoderesistênciadeumdeterminadomaterialé normalmenterealizado por intermédio de um critério de ruptura. Um critério de ruptura expressamatematicamentea envoltóriaderuptura deummaterial,a qual separaa zonadeestadosdetensãopossíveisda zonade estadosde tensãoimpossíveisde se obter para o mesmo.Emoutraspalavras,todososestadosde tensãodeum materialdevemsesituarno interior dasuaenvoltória de ruptura.Conformerelatadoanteriormente,cadamaterial,em funçãode suascaracterísticas,deve possuir um critério de ruptura que melhor se adapte ao seu

80

comportamento.Parao casodos solos,o critério de rupturamais utilizado é o critério deruptura de Mohr-Coulomb.

Segundoestecritério, inicialmentepostuladopor Mohr, em 1900, a rupturade ummaterial se dá quandoa tensãocisalhanteno plano de ruptura alcançao valor da tensãocisalhantede rupturado material,o qual é umafunçãoúnicada tensãonormalnesteplano.Em outras palavras:

( )ffff f στ = (4.1)

Ondeτff e σff sãoa tensãode cisalhamentode rupturae a tensãonormalno planoderuptura.

A envoltóriaderupturaobtidaparaossolosé notadamentenãolinear,principalmenteseutilizamoslargosintervalosdetensãonormalnasuadeterminação.Pode-sedizer,contudo,que para uma faixa limitada de tensões,a envoltória de ruptura dos solos pode serrazoavelmenteajustadaporumareta.A adequaçãodeumaretaaocritério derupturadeMohrfoi propostapor Coulomb,de modoque freqüentementenos referimosa estecritério comocritério de rupturade Mohr-Coulomb.A fig. 4.1 apresentauma envoltóriade rupturatípicaobtidaparaum solo,paradiversosvaloresde tensãonormale o seuajusteutilizando-seumareta, para a faixa de interesse de valores de σ (tensão normal).

0

10

20

30

40

50

Ten

são

cisa

lhan

te (

kPa)

0 20 40 60 80 100

Tensão normal (kPa)

Pontos experimentais

Faixa de valoresde interesse

φ

c (coesão)

Figura 4.1 – Envoltória de ruptura típica obtida para um solo e o seu ajuste àproposta de Mohr – Coulomb.

Conforme se pode observar da fig. 4.1, a envoltória de ruptura de Mohr-Coulomb pôdeserajustadapelaeq.4.2,apresentadaadiante,paraa faixa detensõesde interesse,obtendo-seresultadossatisfatórios.Nestaequação,o coeficientelinear da retaque define o critério derupturaé denominadodecoesãoe a suacontribuiçãoparaa resistênciado solo independedatensãonormal atuandono plano de ruptura.Conformeexpostonos capítulosanteriores,acoesãodo solodecorredaexistênciadeumaforçaresultantedeatraçãoentreaspartículasdeargila,sendoresponsávelpor exemplo,pelaalta resistênciadostorrõesformadospelossolosfinos, quandosecos.Mesmoparao casode total saturação,os solosfinos podemapresentarinterceptosde coesãonão nulos. O coeficienteangularda reta é dadopela tg(φ), ondeφ édenominadode ângulode atrito interno do solo. Os parâmetrosc e φ sãodenominadosdeparâmetrosde resistênciado solo. Conformeserávisto no decorrerdestetrabalho,paraum

81

mesmosolo,a dependerdascondiçõesdeensaioespecificadas,pode-seobtervaloresdec e φtotalmente diferentes. Deste modo, deve-se evitar considerar estes parâmetroscomopropriedades intrínsecas do solo.

( )φστ tgc ffff ⋅+= (4.2), ou, simplismente, ( )φστ tgc ⋅+=

Ondec é a coesão(ou interceptode coesão)do solo e φ é o seu ângulode atritointerno.

Na prática,é impossívelquantificarasinterferênciascausadaspelascaracterísticasdosolonaresistência,porém,constata-sequea utilizaçãodaenvoltóriadeMohr-Coulombé umamaneiraeficienteeconfiávelderepresentaçãodaresistênciado solo,residindojustamenteemsua simplicidade um grande atrativo para sua aplicação na prática.

��� ��������� ����� �������������������� � �"!��#��

O conceitode tensãoem um pontojá foi expostono capítulode tensõesgeostáticas,apresentadonestetrabalho.Neste item far-se-áapenasuma revisãosucintada análisedetensõesparao casodos estadosplanosde tensãoe deformação,utilizando-seos conceitosenvolvidosnaconstruçãodoscírculosdeMohr. Diz-sequeum soloestáemum estadoplanodetensãoquandoa tensãoortogonalaoplanoconsideradoénula.No casodeum estadoplanode deformação,as deformaçõesem um sentidoortogonalao plano analisadosãonulase atensãoortogonalseráumafunçãodascomponentesdetensãocontidasno planoconsiderado.Inúmerosproblemasda engenhariageotécnicapermitemsoluçõesconsiderandoum estadoplanode tensões.O elementode solo ilustradona fig. 4.2 estásubmetidoa um estadoplanodetensões.Porestarazão,ascomponentesdo tensordetensõesquetêmpor direçãoa normalao plano considerado são nulas (vide fig. 8.1), ou seja: τxy = τyx = τzy = τyz = σy = 0.

τzxσz

τxz

σx

α

σα

τα

x

z

Figura 4.2 – Elemento de solo sujeito a um estado plano de tensões.

As tensõesem um planopassandopor um pontodo solo (planoα da fig. 4.2) podemsersempredecompostasem suascomponentescisalhante(τα, na fig. 4.2) e normalao plano,(σα). Em Mecânicados Solos, as tensõesnormaisde compressãosão tomadascom sinalpositivo.

Em um determinadoponto,astensõesnormaise de cisalhamentovariamconformeoplanoconsiderado.No casogeral,existemsempretrêsplanosemquenãoocorremtensõesdecisalhamento.Estesplanossãoortogonaisentresi e recebemo nomede planosde tensõesprincipais.As tensõesnormaisa estesplanosrecebemo nomede tensõesprincipais;a maiordas três é chamadade tensãoprincipal maior, σ1, a menoré denominadatensãoprincipal

82

menor,σ3 e a outra é chamadade tensãoprincipal intermediária,σ2. No estadoplano detensão,leva-seem consideraçãoapenasas tensõesσ1 e σ3, ou seja,despreza-seo efeito datensão principal intermediária.

Conhecendo-seos planos e as tensõesprincipais num ponto, pode-se sempredeterminarastensõesnormaise decisalhamentoemqualquerplanopassandopor esteponto.Estecálculopodeser feito, igualando-seas forças(produtotensãox área)decompostasnasdireçõesnormale tangencialao planoconsiderado.Sendoα o ângulodo planoconsideradocom o plano principal maior, obtém-se:

ασσ

τ

ασσσσσ

α

α

2sen2

)(

2cos2

)(

2

31

3131

⋅−

=

⋅−++=

(4.3)

De maneirasemelhante,conhecidasas tensõesem dois planosortogonaisquaisquer,podem-sedeterminarastensõesemqualqueroutroplanousando-seasequaçõesdeequilíbriodos esforços.Esta soluçãopodeser obtida mais facilmentepelo o conceitode Círculo deMohr, o qual será exposto a seguir.

��� ��������� ��� �������������

O estadode tensãoem todosos planospassandopor um pontopodeserrepresentadograficamente,num sistemade coordenadasem que as abcissassãoas tensõesnormaise asordenadassãoas tensõesde cisalhamento.O círculo de Mohr tem seucentro no eixo dasabcissase podeser construídoquandose conheceas duastensõesprincipaisem um ponto,com as respectivasinclinaçõesdos planosonde estasatuam,ou as tensõesnormaise decisalhamentoemdoisplanosquaisquer.A fig. 4.3 ilustraa construçãodeum círculodeMohrpara o casode um estadoplano de tensões.As tensõesatuandoem um plano com umainclinaçãoα emrelaçãoaoplanoprincipalpodemserobtidascomo usodaeq.4.3,mostradaanteriormente.A eq.4.3 podeescritadeumaforma maisgeral,conformeapresentadona eq.4.4. Pode-seaindademonstrarque o raio do círculo de Mohr é dadopela eq. 4.5 e que oângulo que o plano vertical faz com o plano principal é dado pela eq. 4.6.

( )

( )ατασσ

τ

ατασσσσσ

α

α

2cos2sen2

)(

2sen2cos2

)(

2

⋅−⋅−

=

⋅+⋅−++=

xzzx

xzzxzx

(4.4)

2

2

2

)(xz

zxR τσσ

+

−

= (4.5)

2

2

−⋅

= yx

xz

p

atgσσ

τ

α (4.6)

As tensõesprincipaismaiore menorpodemserobtidassomando-seou diminuindo-seo valor do raio do círculode Mohr à coordenadade seucentro.Esteprocedimentoresultanaeq. 4.7, apresentada adiante.

83

2xz

2

zxzx3

2xz

2

zxzx1

2

)(

2

2

)(

2

τσσσσ

σ

τσσσσ

σ

+

−

−

+

=

+

−

+

+

=

(4.7)

α

σα

τzx

σz

τxz

σx

τα

σ

τ

σ1

σ3

(σx;τ

xz)

(+)

Convenção de sinais

c

polo

Estado de tensões

Círculo de Mohr

α

α

(σα;τα)

(σz;τ

zx)

(σx + σ

z)/2

Figura 4.3– Construçãodeum círculo deMohr para o casodeum estadoplano detensões.

Um ponto notáveldestaca-sedo círculo de Mohr: é o polo, ou origem dos planos,representadona fig. 4.3. Desejando-seconheceras tensõesem um plano com inclinaçãoconhecida,bastatraçarumaparalelaao citadoplano,pelo polo. A interseçãodestaparalelacom o círculo de Mohr, forneceráas tensõesno plano. A fig. 4.3 ilustra a obtençãodastensões em um plano inclinado de α com a horizontal.

Da análisedo círculo de Mohr, diversasconclusõespodem ser obtidas,como asseguintes:

1) A máximatensãode cisalhamentoocorreem planosque formamângulosde 45o

com os planos principais (estes planos são ortogonais entre si).2) A máxima tensão de cisalhamento é igual a τmáx = (σ1 -σ3)/2.3) As tensõesde cisalhamentoem planosperpendicularessãonumericamenteiguais,

mas de sinal contrário.4) Em dois planosformandoo mesmoângulo com o plano principal maior, com

sentido contrário, ocorrem tensõesnormais iguais e tensõesde cisalhamentonumericamente iguais e de sinais opostos.

Peladefiniçãodeenvoltóriaderupturadadaanteriormente,pode-sedizerqueparaqueum estadode tensãoseja possívelem um determinadoponto do solo, o círculo de Mohrrepresentativodeste estado de tensõesdeve estar totalmente contido na envoltória deresistênciado solo. Particularmente,nos casosde ruptura iminente, o círculo de Mohrtangenciaráa envoltóriaderuptura.A fig. 4.4apresentaumaenvoltóriaderesistênciaobtidaapartir de diversoscírculos de Mohr construídospara uma condiçãode ruptura iminente.Conforme se pode notar, os círculos de Mohr para uma condiçãode ruptura tendema

84

tangenciara envoltóriaderupturadosolo.Na prática,por sero soloummaterialheterogêneo,a suaenvoltóriade resistênciaé obtidaa partir de um ajustedestaaoscírculosde Mohr deruptura obtidos experimentalmente,geralmente utilizando-se o método dos mínimosquadrados.

Figura 4.4 – Ajuste da envoltória de ruptura do solo a círculos de Mohr obtidospara a sua condição de ruptura.

A fig. 4.5 ilustraum círculodeMohr narupturasendotangenciadopelaenvoltóriaderesistênciado solo. Conformesepodeobservarnestafigura, o planode rupturado solo fazum ângulode45o + φ/2 como planoprincipalmaior.Comoapenasa partesuperiordo círculodeMohr foi apresentada,devidoa simetriado problema,pode-semostrarqueexisteum outroplano de ruptura,situadotambéma 45o + φ/2 do plano principal maior, só que em sentidoopostoaoplanoapresentadona fig. 4.5.Pode-sedizerentão,queosplanosderupturaemumsolo, admitindo-secomo corretoo uso de critério de rupturade Mohr Coulomb,perfazementresi umângulode90o + φ. Paraa condiçãoderuptura,pode-setambémdemonstrarqueosvalores das tensões principais estão relacionados entre si pela eq. 4.8, apresentada adiante.

φφσσ NcN ⋅⋅+⋅= 231 (4.8)

)45(tan=N :Onde2

2 φφ + (4.9)

Figura 4.5 – Definição do plano de ruptura em um ponto do solo.

85

��� ��������� ���� ����� ������������� ���

Conformerelatadoanteriormente,de uma maneirageral, a resistênciados solos édecorrenteda açãointegradade dois fatores,denominadosde atrito e coesão.Conformeserávisto adiante,o ângulodeatrito do soloestáassociadoaoefeitodeentrosamentoentreassuaspartículas.Por outro lado,a possibilidadeou nãode drenagem,ou seja,do desenvolvimentodepressõesneutras,mereceumaatençãoespecialno estudodossolos.Comoprincípiogeral,deveserfixado queo fenômenodecisalhamentoé basicamenteum fenômenode atrito e queportanto a resistênciade cisalhamentodos solos dependepredominantementeda tensãoefetiva normal ao plano de cisalhamento.

��� �������� !�#"$ ���

A lei de atrito Coulombresultoude observaçõesempíricas.Posteriormente,Terzaghielaborouumateoriaqueforneceembasamentoteóricoparaasconstataçõesempíricasdasleisde atrito.

SegundoTerzaghi,em sua“Teoria Adesivado Atrito”, a superfíciede contatorealentredoiscorposconstituiapenasumaparceladasuperfícieaparentedecontato,dadoqueemum nível microscópico,assuperfíciesdosmateriaissãoefetivamenterugosas.O contatoentreas partículasse dá entãoapenasnasprotuberânciasmais salientes.Sendoassim,as tensõestransmitidasnos contatosentre as partículasde solo são de valor muito elevado,sendorazoáveladmitir que haja plastificaçãodo materialna áreados contatosentreas partículas.Destemodo,casohajaacréscimosde carregamentono solo, a áreade contatoentreassuaspartículas (zona plastificada), tende a aumentar proporcionalmenteao acréscimo decarregamento, resultando em uma maior resistência por atrito do solo.

No casode partículasgrossas,a altura dasprotuberânciasé muito menordo que odiâmetrodas partículas,de modo que cadacontatoaparenteenglobaminúsculoscontatosreais,dondesedeveesperaraltastensõesnessespontosdecontato.Naspartículasfinas,aindaquemais lisas,sãopoucoprováveisos contatosfacea face,devidoàs forçasde superfície.Assim, os contatos devem se dar, predominantemente, através das quinas das partículas e cadacontatodeveocorreratravésde umaúnicaprotuberância,resultandoum esquemaresistentesemelhante ao que ocorre nas partículas grossas.

��� ��� %��&'������(�

A coesãoconsistena parcelade resistênciadeum solo queexisteindependentementede quaisquertensõesaplicadase que se mantém,ainda que não necessariamentea longoprazo,se todasas tensõesaplicadasao solo forem removidas.Várias fontespodemoriginarcoesãoem um solo. A cimentaçãoentre partículasproporcionadapor carbonatos,sílica,óxidosde ferro,dentreoutrassubstâncias,respondemuitasvezespor altosvaloresdecoesão.É interessantenotarqueos agentescimentantespodemadvir do próprio solo,apósprocessosde intemperização.Tal ocorre, por exemplo,na silificação de arenitos,quandoa sílica édissolvida pela água percolante e depositada como cimento (Paraguassu, 1972).

Excetuando-seo efeito da cimentação,pode-seafirmar seremtodasasoutrasformasde coesãoo resultadode um fenômenode atrito causadopor forçasnormais,atuantesnoscontatosinter-partículas.Essastensõesinter-partículas,tambémdenominadasde “internas”ou “intrínsecas”, são o resultadoda ação de muitas variáveis no sistemasolo-água-ar-eletrólitos,podendo-sedestacarasforçasdeatraçãoe de repulsão,originadaspor fenômenoseletrostáticos e eletromagnéticos e as propriedades da água adsorvida junto às partículas.

A coesãoaparenteé umaparceladaresistênciaao cisalhamentode solosúmidos,nãosaturados,que não tem suaorigem na cimentaçãoe nem nasforças intrínsecasde atração.Essetipo de coesãodeve-seao efeito de capilaridadena águaintersticial.A pressãoneutra

86

negativaatrai aspartículasgerandonovamenteum fenômenode atrito, visto queela originaumatensãoefetivanormalentreasmesmas.Saturando-setotalmenteo solo,ou secando-oporinteiro, estaparceladesaparece,dondeo nomede aparente.A suaintensidadecrescecom adiminuição do tamanhodas partículas.A coesãoaparentepode ser uma parcelabastanteconsiderável da resistência ao cisalhamento do solo, principalmente nos solos argilosos.

A despeitodasdificuldadesde explicaçãofísica e da medidado seu valor, tem-seconstatado que a coesão aumenta com os seguintes fatores:

�quantidade de argila e atividade coloidal

�razão de pré-adensamento (over consolidation ration – OCR)

�diminuição da umidade

��� ���������� ������������������������ �!��"�#��%$&�(')��* !�,+*��-! �����/.0 ��&1 23���4�*�����5$&��/60�31 ��

A determinaçãoda resistênciaao cisalhamentode um solo podeser feita atravésdeensaiosemcampoou emlaboratório.Osensaiosemlaboratóriomaisusuaissãoosensaiosdecisalhamentodireto e os ensaiostriaxiais,ao passoqueos ensaiosde campomaisutilizadossão os ensaios de Palheta “Vane-Test”, sondagens à percussão e cisalhamento direto “in situ”.

No casodos ensaiosde laboratório,paracadasolo sãoensaiadosvários corposdeprovaindeformadosou preparadossobcondiçõesidênticas.Paracadacorpodeprovaobtém-se umacurva tensão/deformação,a qual convenientementeinterpretadafornecetensõesquepermitirão, num diagrama σ x τ, a definição da envoltória de resistência.

��� ���879����:��� �!%�*�<;3��=&�*�>�3�>?*�@ �

��� ���879�A79����:��� �%$&��.B ���1 23���4�*�:�>�5�C �����>�

Parao ensaiode cisalhamentodireto o solo é colocadonumacaixade cisalhamentoconstituídadeduaspartes,conformeapresentadona fig. 4.6. A parteinferior é fixa enquantoque a partesuperiorpodemovimentar-se,aplicandotensõescisalhantesno solo. As pedrasporosas,nasextremidadesdo corpodeprova,permitema drenagemduranteo ensaio.Sobreocorpo de prova são aplicadastensõesnormaisque permanecemconstantesaté o final doensaio.Essastensõesdevemvariar paracadacorpode prova,com o intuito de poderdefinirpares de tensões diferentes na ruptura.

O corpode prova podeser rompido aplicando-setensõescontroladas(medem-seasdeformaçõesprovocadas)ou deformaçõescontroladas(medem-seas tensõesprovocadas).Três leituras são tomadasduranteo ensaio:deslocamentohorizontal (δh), força cisalhanteaplicada(S) e deformaçãovertical (εv) a qual forneceráa variaçãode volume do corpo deprova (notar que durante o ensaio o corpo de prova permaneceem uma condição decompressão confinada).

O gráficosda fig. 4.7 mostramresultadostípicosde ensaiosde cisalhamentodireto equedeumamaneirageralrepresentamo queocorrenumsolo aosercisalhado,independentedo tipo de ensaio.A curvacheiaé característicadasareiascompactas:nota-seum valor bemdefinido da tensãocisalhantede ruptura,normalmentepara pequenasdeformações,e umaumentode volumeà medidaemqueo soloé cisalhado.Jáa curvapontilhadaé comumnasareias fofas: após atingida uma determinadadeformaçãoaxial, as deformaçõescrescemcontinuamentesem acréscimosapreciáveis de tensão cisalhante. Contrário as areiascompactas, ocorre agora uma redução de volume.

O comportamentodasareiasfofa e compactaé explicadoda seguinteforma: no casoda areia compacta,os grãos de solo encontram-seentrosados.Iniciadas as deformaçõescisalhantesos grãosdeslizarãouns por sobreos outrosde forma a atingir uma posiçãode

87

menor compacidade,ocorrendoum aumentode volume. Já no caso das areiasfofas, astensõescisalhantespermitemum maiorentrosamentodosgrãos,comconseqüentereduçãodevolume.

Figura 4.6 – Esquema adotado para a realização do ensaio de cisalhamento direto.

Dascurvastensão/deformaçãodosvárioscorposdeprovasãotomadososvaloresdastensõescisalhantesderuptura,osquais,conjugadoscomastensõesnormaiscorrespondentes,permitem a definição da envoltória de resistência do solo para o intervalo de tensões ensaiado.

εa

τ

εv

εv de compressãopositiva

Areia compactaAreia fofa

Figura 4.7 – Resultadotípico de um ensaiode cisalhamentodireto realizado emareias fofa e compacta.

Algumas deficiênciaslimitam a aplicabilidadedo ensaiode cisalhamentodireto. Aprimeira delasé o fenômenoda ruptura progressiva,que se manifestaprincipalmentenossolos de ruptura do tipo frágil. A ruptura progressivapode se dá porque a deformaçãocisalhanteaolongodo planoderupturanãoé uniforme:aoiniciar o cisalhamentoocorreumaconcentraçãode deformaçõespróximo às bordasda caixa de cisalhamento,que tendemadecrescerem direçãoao centro da amostra.Obviamente,as tensõesem cada local serãodiferentes,deformaquequandonasregiõespróximasà bordadacaixadecisalhamentoforematingidasa deformaçãoe a tensãode ruptura,teremospróximo ao centroda amostratensõesinferiores à de ruptura.

88

À medidaque aumentamasdeformações,a rupturacaminhaem direçãoao centroeumavezqueasextremidadesjá passarampelaruptura,teremosagoratensõesmenoresqueaderuptura,nessasextremidades.Dessaforma,o valor deresistênciaquesemedeno ensaioémais conservadordo que a máximaresistênciaque se poderiaobter parao solo, porqueadeformaçãomedidaduranteo ensaionãoconseguerepresentaro querealmenteocorre,massomente uma média das deformações que se processam na superfície de ruptura.

Tratando-sedesolosderupturaplástica,tal nãoocorre,porqueemtodosospontosdasuperfíciede rupturaatuamesforçosiguais,independentementede qualquerconcentraçãodetensões.Outroaspectoquemerecesercitadorefere-seao fato dequeo planode rupturaestádeterminadoa priori e podenãoserna realidadeo mais fraco. Por suavez,os esforçosqueatuamem outrosplanosquenãoo de ruptura,nãopodemserestimadosdurantea realizaçãodo ensaiosenãoquandono instantederuptura.Além, disso,a áreado corpodeprovadiminuidurante o ensaio.

Por último, deve-sesalientara dificuldadede controle(conhecimento)daspressõesneutrasantese duranteo ensaio.Emboraexistampedrasporosasquepermitama dissipaçãode pressõesneutras,não existenenhummecanismoque permitaavaliar o desenvolvimentodaspressõesneutrasno corpo de prova, tal qual seriapossívelnum ensaiode compressãotriaxial.De umaforma resumida,podemoscitar asseguintesvantagense desvantagensdo ensaiodecisalhamento direto:

- Vantagens:Ensaiosemareias(moldagem)e planospreferenciaisderuptura.Desvantagens:Ruptura progressiva; rotação dos planos principais e não há controle de drenagem

- Outras propostas: “Ring shear” e cisalhamento simples

��� ������� ������ ���� ���������������� ! �"��$#%�&� ��'�� �)(

Estetipo deensaioé o quemaisopçõesofereceparaa determinaçãodaresistênciadosolo.Basicamenteeleconsistenumcorpodeprovacilíndrico comalturah de2 a 2,5 vezesoseu diâmetro,φ (são normalmenteadotadosdiâmetrosde corpos de prova de 3,2, 5,0 e7,5cm),envolvidopor umamembranaimpermeávele queé colocadodentrodeumacâmara,tal qual se esquematiza na fig.4.8.

Preenche-sea câmaracomáguae aplica-seumapressãonaáguaqueatuaráemtodoocorpo de prova.O ensaioé realizadoacrescendoa tensãovertical, o que induz tensõesdecisalhamentono solo, até queocorraa rupturaou deformaçõesexcessivas.Deve-senotar aversatilidadedo ensaio.As diversasconexõesda câmaracom o exteriorpermitemmedir oudissipar pressões neutras e medir variações de volume do corpo de prova.

Existem várias maneiras de se conduzir o ensaio:�

EnsaioNãoAdensadoe NãoDrenado- Nesteensaioa amostraé submetidaa umapressãoconfinantee a um carregamentoaxial até ruptura sem ser permitidaqualquerdrenagem.O teor de umidadedo corpode provapermanececonstanteeastensõesmedidasãotensõestotais.Esteensaioé tambémchamadode ensaiodotipo Q, (do inglês “quick”), sem drenagemou ensaio UU (“unconsolidatedundrained”).Nestetipo de ensaio,em se tratandode solos saturados,a pressãoconfinanteaplicadaserá toda absorvidapela água intersticial, de modo que atensão efetiva de confinamento do solo permanece inalterada. Símbolo: UU

�EnsaioAdensadoe NãoDrenado- Nesteensaiopermite-sedrenagemdo corpodeprovasomentesoba açãodapressãoconfinante.Aplica-sea pressãoconfinantee

89

espera-seque o corpo de prova adense.A seguir, fecham-seos registros dedrenagem,e a tensãoaxial é aumentadaatéa ruptura,semquesealterea umidadedocorpodeprova.As tensõesmedidasnesteensaiodurantea fasedecisalhamentosãotensõestotais.Esteensaioé tambémchamadode ensaiodo tipo R (do inglês“rapid”), adensadorápido,adensadosemdrenagem,ou ensaioCU (“consolidatedundrained”). É importante salientar que neste tipo de ensaio, permite-se adissipaçãodaspressõesneutrasoriginadaspelo confinamentodo corpode prova.Durantea fasedecisalhamento,osvaloresdepressãoneutradesenvolvidospodemser medidos.Nestecasoo comportamentoobtido parao solo podeser descritotanto em termos de tensão total quanto em termos de tensão efetiva. Símbolo: CU.

�EnsaioAdensadoe Drenado- Nesteensaiohá permanentedrenagemdo corpodeprova.Aplica-sea pressãoconfinantee espera-sequeo corpode provaadense.Aseguir, a tensãoaxial é aumentadalentamente,de modo que todo excessodepressãoneutrano interior do corpode provasejadissipado.Destaforma,a tensãoneutrano cisalhamentopermanecepraticamentenula (ou constante,no casodeensaiosrealizadoscom contra pressão)e as tensõestotais medidassão tensõesefetivas.Esteensaioé tambémchamadode ensaiolento ou do tipo S (do inglês“slow”), ensaiodrenado,ensaioadensado- drenadoou ensaioCD (“consolidateddrained”).É importantesalientarquenestetipo deensaio,permite-sea dissipaçãode pressõesneutrasem todasassuasfasese queastensõesmedidassãoefetivas.Símbolo: CD.

Figura 4.8 – Ensaio de compressão triaxial.

90

As curvas tensão/deformaçãosão traçadasem função da diferença de tensõesprincipais(σ1 - σ3) ou da relaçãoσ’ 1/σ’ 3 , dependendoda finalidadedo ensaio(vide fig. 4.9).A máximadiferençade tensõesprincipais(σ1 - σ3)máx, correspondeà resistência(ou aovalorde ruptura)à compressãodo corpode provano ensaioconsiderado.Geralmente,costuma-sedefinir a envoltóriaemfunçãodosvaloresde(σ1 - σ3)máx dosdiversoscorposdeprova,poréma segundaforma de representaçãotambémé utilizada,sobretudoem ensaiosem que σ’ 3 évariável(ensaiosCU, por exemplo).De qualquerforma, convémressaltarqueos valoresdemáximo não ocorremparaa mesmadeformação,quandose observamas duasformas derepresentação.Isso introduz na envoltória uma diferençano ângulo de atrito, resultandovaloresligeiramentemaioresquandoseconsideraa relaçãoσ’ 1/σ’ 3. Obviamente,parao casodosensaiosCD, estesdoiscritériosirão fornecerosmesmosresultados(pede-seaoalunoquereflita sobre esta afirmação).

Após ensaiadosvários corpos de prova com diferentestensõesde confinamento,define-sea envoltóriaderesistênciado solocomoscírculosdeMohr obtidosparaa condiçãode ruptura, conforme se exemplifica na fig. 4.10. Evidentemente,dependendodo ensaiopodem-setraçar os círculosde Mohr em termosde tensõestotais ou efetivas,podendo-seobterassimumaenvoltóriareferidaa tensõestotais(c,φ) e outrareferida a tensõesefetivas(c’,φ’).

εa

σ1 – σ3

Tensão de ruptura:(σ1 – σ3)max

εa

σ’1/σ’3

Tensão de ruptura:(σ’ 1/σ’3)max

εa1εa2

εa2 < εa1

Figura 4.9 – Diferentes formas de se definir ruptura para o caso de um ensaiotriaxial do tipo CU.

τ

σ

Envoltória efetiva

φ '

Envoltória totalc e φ

c e

Figura 4.10 – Envoltórias de resistência obtidas a partir de ensaios triaxiais.

O aspectoqueoscorposdeprovamostramaofinal do ensaioé bastantecaracterístico.Os solos que apresentamruptura do tipo frágil mostramuma superfíciede ruptura bem

91

definida, podendo-seinclusive determinara direção do plano de ruptura; já os solos decomportamentoplásticomostramum embarrigamentodo corpodeprova,sema possibilidadede distinção dos planos de ruptura. A seguir listam-se,de modo resumido,as principaisvantagens e desvantagens do ensaio triaxial:

- Vantagens:Permitecontrolede drenagem(EnsaiosCD, CU e UU); nãohá rupturaprogressivae permiteensaiosemdiversastrajetóriasdetensão.Desvantagens:Dificuldadenamoldagem de corpos de prova de areia.��� ������� ������ ���� ����������������� �!��#"$� ����% ��

Este ensaiopode ser entendidocomo um casoespecialdo ensaiode compressãotriaxial. A tensãoconfinanteéa pressãoatmosférica,ou σ3 = 0. O valor datensãoprincipalnaruptura,σ1, recebeo nomede resistênciaà compressãosimples.Algumasobservaçõessobreeste tipo de ensaio:

1) Ensaio possível apenas em solos coesivos.2) Ensaioexecutadoemamostrassaturadascujo resultadodeveseraproximadamente

igual ao obtido por ensaio UU.3) Este ensaio é do tipo rápido, simples, fácil de execução e barato.4) Neste ensaio não há medição de pressões neutras.

��� ��� &�����' ���� � (�)�*�������+�

��� ��� &��,������ ���� �(���.-+�/% 0���1���2435���6�(7+�� 1

Esteensaionãoé normalizadopelaABNT, massim pelaASTM D2573-72.O VaneTesté o principal ensaiode campoutilizado na determinaçãoda resistêncianãodrenadadesolos moles, consistindona rotação,a uma velocidadepadrão,de uma de uma palhetacruciforme(em planta),em profundidadespré-definidas.A resistêncianãodrenadado soloéobtida em função do torque requerido para se fazer girar a palheta. ��� ��� &�� &���"8��� �/�)9��)�;:4-+���=<'>� �!��

A sondagemà percussãoé um procedimentogeotécnicode campo,capazdeamostraro subsolo.Quandoassociadaaoensaiodepenetraçãodinâmica(SPT),medea resistênciadosoloaolongodaprofundidadeperfurada.Ao serealizarumasondagemà percussãopretende-se conhecer:

�O tipo de solo atravessadoatravésda retiradade umaamostradeformada,a cadametro perfurado.

�A resistência oferecida pelo solo à cravação de um amostrador padrão.

�A posição do nível d’água.

A partir do valor da resistênciaà penetraçãooferecidopelo solo (N), pode-seinferirempiricamentediversaspropriedadesdo solo. Este procedimentoestá normalizadopelaAssociação Brasileira de Normas Técnicas, ABNT (NBR 6484).��� ��� &�� ������' ���� � ����������6�

Consisteem penetrarum cone na ponta de uma haste,que é protegidapor um tubo derevestimento,e medir-seo esforçonecessárioparatanto.Vários sãoos tipos de conee asformas de penetração (estática ou dinâmica, cones mecânicos ou elétricos e piezocones).

O ensaiodepenetraçãoestática,comconeholandêsou deBejemanmedea resistênciade pontae o atrito lateral,permitindoestimativasde φ e c. Os resultadosobtidospodemser

92

usados diretamente (preferencialmente) para dimensionamento de fundações, oucorrelacionados com o N do SPT.

Há correlaçõesentre os resultadosdas sondagense parâmetrosde resistência,deformabilidade e permeabilidade para uma grande variedade de solos.

��� ��� ��� ����� ���� ������������������������! #"#�$�� �#%�&

O ensaiodecisalhamentodireto“in situ” é realizadogeralmenteemargilasfissuradas,folhelhos e rochas brandas.São ensaios especiaise caros exigindo muitos cuidados,conhecimentoe preparativosprévios.Elesvisamabarcardescontinuidadesquenãoestariamcontidas em corpos de provas usuais em laboratórios.��� ��� '��)(*���+�������-,� � �����

Consisteem apósa ocorrênciade uma rupturaem campo,estimaros parâmetrosderesistênciado solo. Paratanto é necessárioo conhecimentoda geometria,antese apósaruptura, cargas atuantes, pressões e outros elementos relevantes.

Quandoum casoé bemdocumentado,a retroanálisenos forneceos resultadosmaisprecisose mais confiáveis, pois a ocorrênciade um fenômenoem verdadeiragrandezapossibilita em muito a ampliação dos conhecimentos da Mecânica dos Solos.��� .����)�/�#��01�2���#3 �4�1 05���!67���-8��+ 05����9/�-�;:<�� �4�;:<%�=/�����+ 9��4������0� ���� �����>�?�-���� .��A@B�)(*���� �-��C���04 �D9����FEG�2�� ���

Nos solosde granulaçãogrossa,dadaa forma maisou menosregulardaspartículas,reduzem-seos pontosde contatodentroda massade solo. As tensõestransmitidasnessespontossãoaltasfazendocom queos contatossejamdiretos,partículaa partícula.A açãodapelículaadsorvidaé desprezívele a resistênciadasareiasresultaexclusivamentedo atritoentre partículas.

Os altos valoresde permeabilidadedos solos grossos,a exceçãoda ocorrênciadeeventossísmicos,fazem com que a situaçãodrenadamelhor representea resistênciadasareias.A equaçãorepresentativadaresistênciadessessolosé, por analogiacomo atrito entrecorpos sólidos, da forma:

( )'' φστ tg⋅= (4.10)

A rigor, a resistênciadasareiasé atribuídaa duasfontes.Umadelas,deve-seaoatritopropriamentedito, que por sua vez se compõede duas parcelas:a primeira, devida aodeslizamentoe a outra devida ao rolamentodas partículas,uma por sobreas outras.ASegundafonte de contribuiçãorefere-sea umaparcelade resistênciaestruturalrepresentadapelo arranjo das partículas.

As principais característicasque interferem na resistência das areias são acompacidade,a presençade água, o tamanho,a forma e a rugosidadedos grãos e agranulometria. ��� .��A@B�A@H�*I#�-9* 0+�!9��7J��K4 �-�D��?3 �1 05�

Uma situaçãoparticular de carregamentopode ocorrer com areias saturadasemcondições não drenadas,sobretudo com as areias finas fofas. Frente a solicitaçõesextremamenterápidas e na impossibilidadedas pressõesneutrasseremdissipadas,podeocorrera liquefaçãodo solo. Um fenômenodessetipo foi uma das causasda espetacularrupturadabarragemdeFort Peck(EUA), construídaematerrohidráulico.Tal fenômenopodeser explicadopelasvariaçõesde volume a que estãosujeitosos solos.No casodasareiasfofas, de compacidaderelativamentebaixa,o cisalhamentoprovocareduçãode volume dosolo.Estandoo solo saturado,e sendoassolicitaçõesno solosuficientementerápidas(como

93

no casodos sismos),essareduçãovirá acompanhadade um aumentodaspressõesna águaintersticial,quese não forem dissipadasa tempo,poderãoreduzir a tensãoefetiva a zeroeconseqüentementeprovocara liquefaçãodo solo.Em setratandodasareiascompactas,ocorreo processoinverso,ou seja,aumentode volume do solo. As pressõesneutrasdespertadasagoraserãonegativas,o que faz aumentaras tensõesefetivasa afastara possibilidadedeliquefação.

A reduçãode volumepor um lado e o aumentopor outro, conduzemà idéia de umestadodecompacidadeintermediário,no qualnãoocorremvariaçõesdevolume.Esseestadode compacidadeé definido em termosde um índicede vazioscrítico, que parecedependerfundamentalmentedascondiçõesde solicitação.Compreende-seque uma vez conhecidooíndicede vazioscrítico teríamosum valor de referência,quantoa compacidade,queserviriaparaseparara possibilidadeou nãode liquefaçãodo maciço.Conformereferido,o índicedevazios crítico dependedas condiçõesde confinamento,de modo que quanto maioresastensões de confinamento, menores os índices de vazios críticos.

Quantoà técnicade obtençãodo índicede vazioscrítico, váriossãoosprocessos,emfunçãodasdefiniçõescriadaspordiversosautores.SegundoCasagrande,o ecrít correspondeaoestadoinicial de compacidadede um corpode provao qual, submetidoa um ensaiotriaxialcomtensãoconfinanteconstante,nãoviessea apresentarvariaçãodevolumeentreo início docisalhamentoe o instantede ruptura.A fig. 4.11 apresentaas variaçõesde volume obtidaspara altos valoresde deformaçãoaxial em corposde prova de areia confeccionadoscomdiferentesvaloresde índicede vaziosinicial. Conformesepodeobservar,amostrasqueparauma menortensãode confinamentose comportamcomo compactas(aumentode volume),passama se comportarcomo fofas para valores de tensõesmaiores.A fig. 4.12 ilustraresultadosde ensaiostriaxiais obtidosa partir de corposde prova de areia com índice devaziosinicial de 0,605e 0,834.Conformese podeobservardestafigura, o corpode provacom um índice de vazios inicial de 0,605 se comportoude maneiraanálogaa uma areiacompacta,enquantoque o comportamentoapresentadopela amostracom índice de vaziosinicial de 0,834 é típico de uma areia no seu índice de vazios crítico (as variaçõesvolumétricasparaaltosvaloresde deformaçãoaxial sãopraticamentenulas).É interessantenotardestasfigurasquetantoa resistênciafinal obtidapelasamostrasquantoo seuíndicedevaziosparaaltosvaloresde deformaçãoaxial sãopraticamenteidênticose iguaisaovalor doíndice de vazios crítico, para a tensão de confinamento utilizada no ensaio.

Figura 4.11– Variaçõesvolumétricasde corposde prova com diferentesíndice devaziosiniciais, quandoensaiadossobdiferentesvaloresde tensãoconfinante.Modificadode Holtz & Kovacs (1981).

94

Figura 4.12 – Resultadostípicosde ensaiostriaxiais obtidosem areia. Modificadode Taylor (1948).��� ������� ��� ���������������������� ���

Areiasúmidasusualmenteexibemumaparcelade resistênciaindependenteda tensãonormal. Tal resistênciadeve-seà capilaridade,que como se sabeorigina pressõesneutrasnegativas.Ora,comoa resistênciadasareiasé funçãodatensãoefetiva,o fato destaaumentarorigina a parcela de resistência citada, conhecida como coesão aparente.

A coesãoé circunstanciale desaparecequandoo soloé totalmentesaturado,visto queisso elimina os meniscos.Os principaisfatoresqueinterferemnessaatraçãointer-partículassão o grau de saturação e o tamanho das partículas.

Existemaindaoutrasareiasqueapresentamem seuspontosde contatoalgumagentecimentantecomoosóxidosdeferro ou cimentoscalcários,por exemplo,o quetambémensejao aparecimentoda coesãoem areias.Nestecaso,desdeque o agentecimentantenão sejapassível de desaparecer, a areia apresenta uma coesão verdadeira ou perene.��� ������� ��� �!��"�#�$ �&%��&�(')�)� '��*�,+.-/��0/��#1���

Quandosedespejaumaareiasobreumasuperfíciehorizontal,a inclinaçãonaturalqueo taludetomaé denominadodeânguloderepouso.Comcertafreqüência,costuma-seassumirque o ângulo em repouso é igual ao ângulo de atrito da areia.

Na realidade,o ângulo em repousocorrespondeao atrito que se desenvolvenumacamadasuperficialinclinadade areiatal qual seobservaquandoum corposólido deslizaaolongodeum planoinclinado,e nãoenglobaemsi ascaracterísticasdecompacidadedamassadeareia.Comojá sefalou,a resistênciadasareiasé compostadeumaparceladevidaaoatrito

95

por deslizamento,outradevidaao atrito por rolamentoe umaterceiraparcelaproporcionadopelo arranjoestruturaldaspartículas.A simplesobservaçãoda Tabela4.1, permiteconstataras diferençasque a compacidadeintroduz no ângulo de atrito das areias:passa-sede umângulodaordemde300 emumaareiamuito fofa paraum ângulode380 emumaareiamuitocompacta de grãos arrendodados e graduação uniforme.��� ������� ������ �� ���������� ������������� ��!#"$�� &%�(')���*�)��',+ ��-� �.�� #"(�0/1'��$� �

- Compacidade: O ângulode atrito internodasareiasdependefundamentalmentedoseuíndice de vazios,o qual, governao entrosamentoentrepartículas.Como as areiastêmintervalosdeíndicesdevaziosbemvariáveis,a comparaçãoentreelasé geralmentefeita pelacompacidaderelativa. Nota-seque, em média, o ângulo de atrito interno no estadomaiscompactoé cercade7 a 100 maiordo queo ângulodeatrito internodamesmaareianoestadomaisfofo. A fig. 4.13apresentaa variaçãodoângulodeatrito internodeumaareiaemfunçãodesuaporosidade.Na fig. 4.13,φcv correspondeaovalor do ângulodeatritoobtidoparaumacondiçãode deformaçãoa volumeconstante(valor de resistênciaresidual)e fu correspondeao valor do atrito entreas partículasde quartzo.Vê-sedestafigura, quemesmoparao casodasareiasfofas,a compacidadee a estruturado solo desempenhamum papelimportantenadefinição do seu ângulo de atrito interno

- Tamanhodos Grãos: Ao contrário do que se julga comumente,o tamanhodaspartículas,sendoconstantesas outrascaracterísticas,poucainfluência tem na resistênciadaareia. Pode-sedizer contudo, que areias com partículasmaiores apresentamvalores deresistência ao cisalhamento um pouco superiores.

- DistribuiçãoGranulométrica: Quantomaisbemdistribuídasgranulometricamenteasareias,melhor o entrosamentoexistentee, conseqüentemente,maior o ângulo de atrito daareia.

Tabela4.1 – Valorestípicosdeângulo deatrito para diversostiposdesolosgrossos.composta à partir de Terzaghi (1967) e Leonards (1962).

Solo CompacidadeGrãos arredondados,

granulometriauniforme

Grãos angulares,solos bemgraduados

Areia Média:Muito Fofa 28-30 32-34

Compacidademédia

32-34 36-40

MuitoCompacta

35-38 44-46

PedregulhosArenosos:

G(65%)S(35%)

G(80%)S(20%)

Fofo --- 39Compacidade

média37 41

Fofo 34 ---Compacto --- 45

Fragmentos de Rocha 40-55Areia Siltosa* Fofa

CompactaSilte Inorgânico Fofo

Compacto

27-3330-3427-30

30-35

• - Para tensões efetivas inferiores a 500 kPa.

96

Figura 4.13– Variaçãodo ângulo deatrito interno deuma areia emfunção desuaporosidade. Modificado de Rowe (1962).

No queserefereaoentrosamento,é interessantenotarqueo papeldosgrãosgrossosédiferentedo desempenhadopelos finos. Consideremos,por exemplo,que uma areia tenha20% de grãosgrossose 80% de grãosfinos. O comportamentodestaareiaé determinadoprincipalmentepelaspartículasfinas,pois aspartículasgrossasficam envolvidaspelamassade partículasfinas, poucocolaborandono entrosamento.Consideremos,de outraparte,umaareiacom 80%de grãosgrossose 20%degrãosfinos. Nestecaso,os grãosfinos tenderãoaocuparos vaziosentreos grossos,aumentandoo entrosamentoe conseqüentementeo ângulode atrito interno.

- FormatodosGrãos: Emborao formatodosgrãosde areiasejade difícil descrição,neleestandoenvolvidasuaesfericidade(formato médio),seuarredondamento(formato doscantos)e suarugosidade,tem-severificadoqueasareiasconstituídasdepartículasesféricasearredondadastêm ângulosde atrito sensivelmentemenoresdo que as areiasconstituídasdegrãos angulares.

A maior resistênciadasareiasde grãosangularesé devidaao maior entrosamentoentre grãos. Mesmo no estadofofo, ou para grandesdeformações,quandoa resistênciaresidualestásendosolicitada,as areiascom grãosangularesapresentammaior ângulo deatrito interno.

Da análisefeita acimasobrea influênciadascaracterísticasdaareianasuaresistênciaao cisalhamento,severifica queos fatoresdemaior influênciasão,emordemhierárquica,acompacidade,a distribuiçãogranulométricae o formatodosgrãos.Revendo-seos resultadospublicadospor diversospesquisadores,a seguintetabeladevalorestípicos,em funçãodestestrês fatores, foi elaborada:

97

Tabela 4.2 – Valores típicos de ângulo de atrito em areias em função de suascaracterísticas intrínsecas.

Graduação das Areias CompacidadeFofa Compacta

Areias Bem Graduadas Grãos Angulares 370 470

Grãos Arredondados 300 400

Areias Mal Graduadas Grãos Angulares 350 430

Grãos Arredondados 280 350

��� ��� �������� ���������� �������������� ���

Muitos fatoresfazemcom queo estudoda resistênciados solosargilosossejamaiscomplexoqueo dossolosarenosos.No casodossolosargilosos,o seuhistóricode tensõesdesempenhaum papel fundamentalem seu comportamento.Isto ocorre porque,conformeapresentadono capítulo de compressibilidade,os solos finos exibem um comportamentoessencialmenteelastoplástico,de modo que as suas deformaçõesnão são totalmenterecuperadasquando de um processode descarregamento.O pré-adensamentodo solo,portanto,o conduza um estadomais densodo que o mesmosolo normalmenteadensado,fazendocomqueo mesmoapresentemaioresvaloresderesistência,principalmenteno quesereferea suacoesão.Em outraspalavras,como aumentodamáximatensãojá vivificada pelosolo,maiscontatosentrepartículaspodemresultarplastificados,assimpermanecendomesmocomo descarregamentodo solo,o quegeraumaparceladeresistênciaadicionalnossolospréadensados.

As baixaspermeabilidadesdos solosargilososrespondempor uma dissipaçãolentadaspressõesneutrasdespertadaspor um acréscimodecargas.Torna-senecessáriorepresentaressascondiçõesde dissipaçãode pressõesneutrasem cadacasopara conhecercom maispropriedadeo comportamentodos solos.Para retrataressescomportamentosexistemtrêsformas clássicasde conduzir os ensaiosde resistência,como já foi visto anteriormente:ensaios não drenados (rápidos), adensados rápidos e drenados (lentos).

Deve-selembrartambémque o mesmocomportamentoque caracterizaas areiasnotocanteas curvastensão/deformaçãotambémocorre nas argilas.Uma argila pré-adensadaexperimenta expansões volumétricas quando cisalhada e o seu comportamentotensão/deformaçãoé muito semelhanteao das areiascompactas.As argilas normalmenteadensadasou levemente pré-adensadas(OCR < 4) assemelham-seàs areias fofas eexperimentam,portanto, reduçõesde volume quando cisalhadas.A fig. 4.14 apresentaresultados típicos de ensaios triaxiais do tipo CD obtidos em corpos de prova de solo argiloso.

Conformesepodeobservarda fig. 4.14,a razãode pré-adensamentodo solo possuium papelsemelhante,parao casodasargilas,aopapeldesempenhadopelacompacidade,parao casodasareias.Tambémo fenômenoda dilataçãoparao casodasargilaspossuicausasdiferenciadas daquelas para o caso das areias.

98

εa

σ1 − σ3

εv

εv de compressãopositiva

Argila pré-adensada

Argila normalmenteadensada

Figura 4.14 – Resultadostípicosde ensaiostriaxiais drenados(CD) realizadosemsolo argiloso.

Cabedestacaraindaas interferênciasdo fator estrutura.Conformejá relatadonestetrabalho, o amolgamentodas amostras,quer provocado pela amostragemquer pelocisalhamento,interferedecisivamentenosvaloresderesistênciadossolosargilosos,seuefeitosendo maior para o caso dos solos exibindo alta sensibilidade.

Pode-sedizer entãoque a resistênciadas argilas é basicamenteinfluenciadapelascondiçõesdedissipaçãodaspressõesneutras,razãodepré-adensamentoe amolgamento.Nositens seguintesfar-se-áuma discussãoacercado comportamentoapresentadopelos solosargilosos para cada tipo de ensaio triaxial.

��� ��� ������� �����������������������������! "��#%$ & ���'�(�*)+�,���%$ �-��./���(�0�(���-����1324�(�,�5�0�768�.:9

Em um ensaiotriaxial do tipo consolidadodrenado,os corposde prova apresentamresistênciasao cisalhamentocrescentescom as tensõesnormais aplicadas(tensõesdeconfinamento).Nestecaso,todasas tensõesmedidassão tensõesefetivas.A definição daenvoltóriaé possívela partir do ensaiode vários corposde prova submetidosa diferentescondiçõesde confinamento.Uma vez determinadaas curvastensão/deformação,toma-seomaior valor de tensãodesviadora,(σ’ 1 -σ’ 3)máx, e, comojá seconheceσ’ 3 (mantidoconstanteduranteo ensaio),é possívellocarnumdiagramaτ x σ oscírculosdeMohr correspondentesàruptura de cada corpo de prova. Deve-senotar que no casodo ensaiotriaxial, a tensãodesviadoracorrespondeao diâmetrodo círculo de Mohr. A estescírculosde Mohr deve-seadequara envoltóriade resistênciado solo, dentroda faixa de tensõesde interesse.Paraocasodos solos normalmenteadensados,a envoltória de resistênciapassapela origem dosistemade coordenadas,ou interceptao eixo τ num valor muito próximo de zero,de formaque c’≅ 0, o que em termospráticospermite definir a envoltória para um solo saturadonormalmenteadensado,em termosde tensõesefetivas,utilizando-sea eq. 4.11.A fig. 4.15ilustra a obtençãode uma envoltória de ruptura para o caso de um solo normalmenteadensado,utilizando-se ensaios do tipo CD. Se o mesmo solo estiver pré-adensado,modificam-se as características de resistência. Seja a curva de compressão de um solo deixadoconsolidardesdeo instantede sua deposiçãocomo representadona fig. 4.16. A amostraprincipia a consolidara partir do ponto 0. Uma vez atingido o ponto A, mede-sea suaresistência.O mesmocom referênciaao pontoB. As resistênciasmedidassãorepresentadaspor A’ e B’ e notequeestasresistênciascorrespondemaointervalonormalmenteadensadodosolo, definindo uma envoltória cujo prolongamento passa pela origem.

99

( )'' φστ tg⋅= (4.11)

τ

σ

φ’

Círculos de MohrNa ruptura

Figura 4.15 – Envoltória de resistência drenada de um solo normalmente adensado.

Atingindo o ponto1, a amostraé descarregadaaté2. Posteriormenteo recarregamentose inicia, e atingidos os pontos C e D, mede-senovamentea resistênciado solo. AsresistênciassãorepresentadasporC’ e D’ e agoraobserva-sequeestasamostras,ensaiadasnointervalopréadensadodo solo,mostramumaresistênciamaiorqueasamostrasnormalmenteadensadas.Este acréscimode resistênciaé responsávelpela introduçãodo parâmetrodecoesãona envoltória de resistênciado solo, de forma que para solos pré-adensados,emcondições drenadas, a envoltória característica é dada pela eq. 4.12.

( )''' φστ tgc ⋅+= (4.12)

Ao prosseguiro recarregamento,uma vez ultrapassadaa tensãocorrespondenteaoponto 1 (no caso,a tensãode pré-adensamento),se medirmosa resistênciano ponto E,teremosum valor E’, situadosobreo prolongamentoda envoltórianormalmenteadensada,pois queestamosnovamentenacurvade compressãovirgem da amostra.É fácil seperceberqueparao casodaamostrapré-adensada,o interceptode coesãoobtidoseráfunçãoda razãode pré-adensamento média do trecho ensaiado.

O acréscimode resistênciapodeser explicadopelaconstataçãoexperimentalde queexisteumarelaçãoentreo decréscimodo índicede vaziose o aumentode resistência(Fig.4.16).Note queparaa mesmatensão,a amostrapré-adensadaapresentaum índicede vaziosmenor do que a normalmenteadensada,donde o ganho de resistênciamostrado.Umaexplicaçãofísica para tal fato já foi mostradaquando se discutiu as causasfísicas daresistênciados solos.Por causado pré-adensamentoresultaramcontatosplastificadosquepermaneceram com a retirada das cargas, gerando a parcela adicional de resistência.

100

Índice devazios

0

1

2 AB

DC E

σ

σ

τ

Envoltórianormalmenteadensada

TrechoPré- adensado(ganho decoesão)

A´’ B´’

D´’ C´

E’

Figura 4.16 – Ganho de coesão do solo devido ao seu pré-adensamento.

��� ��� ��� �������� ������������������������ ��!#" $ ���%���'&(�)���#" *���+�����������#,��-).(/� �" ��*�102�43657�

Nestesensaiosa primeiraetapaé realizadacom total dissipaçãodaspressõesneutrasgeradaspela tensãoconfinante.Durante a fase de cisalhamentoda amostra,as pressõesneutras desenvolvidassão impedidas de se dissipar, ou seja, não ocorrem variaçõesvolumétricaspor cisalhamento.A fig. 4.17apresentaos resultadostípicosobtidosa partir deum ensaio triaxial do tipo CU, em argilas normalmente adensadas e pré-adensadas.

Conforme ilustrado nesta figura, as argilas normalmenteadensadastendem adesenvolverpressõesneutraspositivasduranteo cisalhamento,o contrárioocorrendoparaocasodossolospré-adensados.Isto ocorrepelasdiferentestendênciasdevariaçãovolumétricadestes solos. No caso dos solos normalmente adensados,estes tendem a apresentardeformaçõesvolumétricasde compressão(há uma tendênciade diminuição de volume docorpode prova),de modoqueparasecontrapora estatendência,excessosdepressãoneutrapositivos são gerados. O contrário ocorre no caso das argilas pré-adensadas.

101

εa

σ1 − σ3

εv

εv de compressãopositiva

Argila pré-adensada

Argila normalmenteadensada

Figura 4.17 – Resultadostípicos obtidosa partir de ensaiostriaxiais do tipo CU,realizados em solos normalmente adensados e pré-adensados.

Durante a realizaçãodos ensaiossão conhecidas,de imediato, as tensõestotaisatuantes.É possíveltambémefetuarleiturasde pressãoneutrae conhecerastensõesefetivasem cadafasedo ensaio.Nota-se,como no casodrenado,que asresistênciassãocrescentescom as tensõesnormais aplicadas.Os círculos de Mohr em termos de tensõesefetivasdefinem uma envoltória praticamente igual à obtida em ensaios drenados, donde é muito usualdeterminara resistênciadrenadanos ensaiosadensados-rápidoscom leitura de pressõesneutras .

A utilização das tensõestotais fornece, para os solos normalmenteadensadossaturados,umaenvoltóriacujo prolongamentotambéminterceptaa origemdo diagramaσ x τ,como no caso das tensões efetivas (fig. 4.18).

Assim é possívelobter duasenvoltóriasa partir dos ensaiosCU, que paraos solossaturados normalmente adensados têm as seguintes equações características:

( )'' φστ tg⋅= (4.13) (Nestecaso,leva-seem consideraçãoos valoresde pressãoneutra medidos durante o ensaio).

( )'' φστ tg⋅= (4.14) (tensões totais).

O ânguloφ é denominadodeângulodeatrito aparente,ou ângulodeatrito emtermosdetensõestotais.A relaçãoentreφ’ e φ dependedaspressõesneutrasdespertadasno instanteda ruptura.

Com relaçãoà fig. 4.18 é importantenotar que o círculo de tensõesefetivas (E)encontra-sedeslocadopara a esquerdado círculo de tensõestotais (T), com o valor dodeslocamentoigual ao valor da pressãoneutra(u), uma vez que estaé positiva nos solosnormalmente adensados. Por sua vez o raio permanece o mesmo nos dois círculos.

No casodossolospré-adensados,a tendênciade variaçãode volumeé no sentidodeexpansão.Isto originaum aspectointeressante,poisestandoa drenagemimpedida,originam-sepressõesneutrasnegativase conseqüentementea tensãoefetivatorna-semaior quea total.Oscírculosdetensõesefetivas(E) situam-seagoraà direitadoscírculosdetensõestotais(T),resultandoqueosparâmetrosderesistênciadosoloemtermosdetensõestotaissãosuperioresaos obtidosem termosde tensãoefetiva. A fig. 4.19 ilustra círculosde Mohr obtidosemensaios CU realizados em amostras pré-adensadas.

102

τ

σ

Solos normalmenteadensados, ensaios CU.

Envoltória efetiva (E): φ’- - - - -Envoltória total (T): φ____

u

E

T

Figura 4.18– Envoltóriasde ruptura total e efetivaobtidasem ensaiosdo tipo CU,realizados em amostras normalmente adensadas.

τ

σ

Solos pré - adensados, ensaiosCU.

Envoltória efetiva (E): c’ e φ’- - - - -Envoltória total (T): c e φ____

- u

ET

Trecho pré- adensado

Figura 4.19– Envoltóriasde ruptura total e efetivaobtidasem ensaiosdo tipo CU,realizados em amostras pré-adensadas.

Tal situaçãoaconteceem solos fortementepré-adensados,com razõesde pré-adensamentoda ordem de 10, o que implica a necessidadede cuidadosna adoçãodeparâmetrosparaessessolos,em análisesa longo prazo.As envoltóriasobtidasem ensaiosadensados rápidos sobre solos saturados pré-adensados resultam:

( )'' φστ tgc ⋅+= (4.15) (Nestecaso,leva-seem consideraçãoos valoresde pressãoneutra medidos durante o ensaio).

( )φστ tgc ⋅+= (4.16) (tensões totais).

Em termospráticos,existeumagrandesemelhançaentreos parâmetrosde resistênciaobtidosem termosde tensõesefetivas,querseempreguemensaiosdrenadosou do tipo CU.Dessaforma, o ensaiomais empregadopara a determinaçãoda envoltória de resistênciaefetiva do solo é o ensaio CU, com leitura de pressões neutras.

��� ��� ��� ������ ����������� ��������������! "��#%$ & ���'�� )(*�+���,$ �-�/.10���23�����-�����4����5'6*7��$ �,�4�98;:<:>=

Em todasas fasesdo ensaionão drenado,a pressãogeradano corpo de prova éimpedidade dissipar.Em geral,conhecem-sea cadainstanteas tensõestotaisaplicadas,sebemquesejapossívelfazerleiturasdepressãoneutra.Mais umavezé fundamentalconhecero papeldesempenhadopelaspressõesneutras,o queserádescritoa seguir,considerandoosolo saturado.

103

Suponhamosquea amostraestavainicialmenteadensada,em campo,sobumatensãoσo

’. Imediatamenteapósa amostragem,o desconfinamentodo solo tenderáa provocarumaumentodevolume,quandoentãosecontrapõeumapressãoneutranegativaigual à tensãoσo

(uo = -σo). A aplicaçãoda tensãoconfinantegeraráacréscimosdepressãoneutrano corpodeprova. Estandoa drenagemimpedida e como o solo se encontrasaturado,toda a tensãoconfinante será suportada pela água intersticial. Tal situação significa que não houve ganho deresistência pelo confinamento do solo, já que não houve acréscimo de tensão efetiva.

Finalmente,durantea fasede cisalhamento,novaspressõesneutrassãogeradas.Aoensaiarvárioscorposde prova, nota-se,de imediato,que todosos círculosde Mohr têm omesmoraio e fornecemumaenvoltóriaderesistênciahorizontal,comoa representadana fig.4.20.Na fig. 4.20,estátambémrepresentadoo círculo deMohr correspondenteaoestadodetensõesefetivas de ruptura, que para o caso de um ensaio UU é sempre o mesmo,independentedo valor da tensãoconfinantetotal. A envoltória de resistênciaobtida nosensaiosUU é representadapelaeq.4.17,apresentadaa seguir.Notequeparaestasituaçãooângulode atrito em termosde tensõestotais (φ) é igual a zero,e que,qualquerque sejaocírculo considerado:

uc=τ (4.17) (tensões totais).

Onde o termo cu representa a coesão não drenada do material

Figura 4.20 – Resultados de ensaios típicos de um ensaio UU.

Em qualquer um dos círculos de Mohr apresentados na fig. 4.20, temos:

��� cu�

�1 �

�3 max

2 (4.18).

��� �� �� ���� ������ ����������� ��� ���"!#��$ ���&%�� '(��� � $ )*���+�,�-!.���0/�'����1���

Tambémno casodos solosparcialmentesaturadosa tensãoefetivaé a determinantedascaracterísticasde resistência.Nos solosde granulaçãofina aspressõesneutrasnegativasdevidasà capilaridadepodemdesempenharum papel importanteno aumentodas tensõesefetivas e, consequentemente, da resistência.

A determinaçãodaspressõesneutrasé bastantecomplexadevidaaocaráterbifásicodafasefluída (ar + água),de modoquefica maisdifícil empregaros conceitosdo princípio dastensõesefetivas.Descreve-sea seguir o comportamentoa esperarnos diversostipos deensaios.

Em setratandode ensaiosdrenadosnosquaisseproporcionaa drenagemdo ar e daágua, é de esperar comportamento semelhante ao que se observam para o solo saturado.

104

Nos ensaios não drenados,embora não possa ocorrer dissipação das tensõesintersticiais,ocorreumareduçãodevolumequandodaaplicaçãodatensãoconfinante,devidoà altacompressibilidadedo ar. Tem-seum ganhogradualderesistênciaquedependedo graudesaturaçãoinicial e quecontinuaatéquetodoo ar sedissolvanaáguaintersticial.O corpode prova tende a se saturar por efeito das tensõesconfinantescrescentes.A envoltóriaresultanteem termosde tensõestotais é curva, porém na prática, novamente,costuma-seaproximá-la a uma reta.

No casodosensaiosadensados-rápidospodeocorrerum comportamentosemelhanteao observadonosensaiosnãodrenados,desdequena fasede cisalhamentopossamocorrervariações volumétricas devido à compressão do ar ainda presente nos vazios do solo.

��� ��� ������� � ����������� ����� � �������

Duas amostrasdo mesmo solo, com diferentes característicasiniciais, quandosubmetidasàsmesmassolicitaçõesatingemestadosfinais praticamenteconstantes,desdequehaja prazo suficiente para que se processemas variaçõesvolumétricas geradaspelassolicitaçõesaplicadas.No casodeumaargilasaturada,a umidadefinal seráa mesmaparaasduasamostrase no casodas areias,as duasamostrastenderãopara um mesmoíndice devazios.

A resistênciamedidanessascondiçõesfinais, isto é, apósconsideráveisdeformações,é conhecidapor resistênciaresidual ou última (τres ou τult). Pelo exposto,nota-seque aresistênciaresidual nas argilas independedas condiçõesiniciais (histórico de tensões),havendoumarelaçãoúnicaentrea tensãoefetiva,a umidadee a resistênciaresidual.Tem-seconstatadoocorrer uma reduçãode φr

’ (ângulo de atrito residual)com o aumentode IP etambémque φr

’ é dependentedo nível de tensõesaplicado. Por essarazão, quandosedeterminaφr

’ é necessárioreproduziras condiçõesde solicitaçãoreais,inclusivequantoaosdeslocamentosa esperar.Estasobservaçõessão a basepara a formulaçãodos conceitosfundamentaisda mecânicados solosdosestadoscríticos,que tem comocaracterísticamaismarcantetratarde forma conjuntaresistênciae deformabilidade,sendoo alicercede um dosmodelosconstitutivosmais utilizadospararepresentaro comportamentodos solos:o Cam-Clay.

��� ������ !�!"#��!$� %� �&�'��(�)��*��+���

Até o momentoutilizou-seo círculo deMohr pararepresentaro estadode tensõesderupturade um corpode prova.Imaginequesequisesserepresentaros sucessivosestadosdetensãoporquepassaum corpodeprova,antesdasuaruptura.O usodecírculosdeMohr pararepresentaçãode todososestadosdetensãopeloqualpassouo solo levariainevitavelmenteauma configuraçãoextremamenteconfusa,principalmentequandoas duascomponentesdetensão, σ1 e σ3, variam ao longo do ensaio.

Sendoassim,pode-sedizer que a utilizaçãodo círculo de Mohr para representaraevolução dos estados de tensão num elemento do solo, durante um determinado carregamento,não é adequada.O estudoda trajetóriade tensõesseguidapor um corpo de prova em umensaioé extremamenteimportante,já que em um material elastoplástico,como o solo, oestado final de tensõese deformaçõesé dependenteda trajetória de tensõesadotada(possibilidade de ocorrência de deformações plásticas ou irrecuperáveis).

O estudoda trajetóriadetensõesseguidapelosoloemum determinadoensaioé entãorealizadoutilizando-sedois parâmetros,denominadosde t e s e representadospelaseqs.4.19e 4.20, apresentadas a seguir.

105

( )2

31 σσ −=t

(4.19)

( )2

31 σσ +=s

(4.20).

Conformeapresentadonafig. 4.21,o pontoP do círculodeMohr possuicoordenadase t e correspondeaoplanodemáximatensãocisalhante.Em outraspalavras,o parâmetros irásemprecorresponderà coordenadanoeixo σ do centrodocírculodeMohr e t corresponderáàtensãodecisalhamentomáxima(logicamentet ocorreem um planoo qual faz um ângulode45o como planoprincipalmaior).Osparâmetross e t sãoalgumasvezesrepresentadospelossímbolosp e q, respectivamente.Nestetrabalhose utilizarãoos símboloss e t, pois queossímbolosp e q já sãoutilizadosna mecânicadossolosdosestadoscríticos,com definiçõesdiferentes das aqui apresentadas para os parâmetros s e t.

σ

τ

P (s,t)

Figura 4.21 – Definição dos parâmetros s e t.

A fig. 4.22apresentaumatrajetóriade tensõestípica seguidapor um corpode provaem um ensaiotriaxial drenado.Conformesepodenotardestafigura, a trajetóriade tensõesseguidaemtermosde s e t possuiumainclinaçãode 45o com o eixo s. Isto é explicadopelofato de que em um ensaiotriaxial convencionaldrenado,o valor da tensãoprincipal menorpermaneceinalterado,ou δσ3 = 0. Os parâmetross e t podemser representadosde formaincremental pelas eqs. 4.21 e 4.22, apresentadas adiante. Como δσ3 = 0, temos δt/δs = 1.

( )2

31 δσδσδ

−=t

(4.21).

( )2

31 δσδσδ

+=s

(4.22).

Conforme apresentadona fig. 4.22, na ruptura, o círculo de Mohr tangenciaaenvoltóriaderupturadefinidaemtermosdeτ e σ. Além disto,umanovaenvoltóriaderupturapodeserdefinida,emtermosdosparâmetross e t. Estanovaenvoltória,quepassapelopontoP(s;t) de cadacírculo de Mohr para uma condiçãode ruptura,é definida em termosdosparâmetrosderesistênciac’* e α’, osquaissecorrelacionamcomosparâmetrosc’ e φ’ pelaseqs. 4.23 e 4.24, apresentadas adiante.

( )φστ tgc ⋅+= (4.23).

106

( )'cos'*

'φ

cc =

(4.24).

σ,s

τ,t___ τ = c´’ + σ⋅tg(φ′’)

1

1

Estado de tensão naruptura

t = c´* + s·tg(α´)

Figura 4.22 – Trajetória de tensões seguida em um ensaio triaxial drenado.

Assimsendo,nadefiniçãodaenvoltóriaderupturado soloapartir deensaiostriaxiais,ospontosdes e t obtidosnarupturapodemserajustadospor umareta,demodoa seobterosparâmetrosc* e α, utilizando-seo método dos mínimos quadrados,por exemplo. Osparâmetrosderesistênciado solo,c′ e φ′, podementãoserobtidoscomo usodaseqs.4.23e4.24,apresentadasanteriormente.As eqs.4.23e 4.24podemserutilizadastantoparatensõestotais como para tensões efetivas.

No caso dos ensaiostriaxiais consolidadosnão drenados,há geraçãode pressõesneutrasduranteo cisalhamentodo corpodeprova.Destemodo,emum ensaiotriaxial do tipoCU, casohajamedidasde pressãoneutra,pode-setraçarduastrajetóriasde tensõesdistintasparao solo,umaemtermosde tensãoefetivae outraem termosde tensãototal. A definiçãodosparâmetross e t emtermosde tensãoefetivaé feita comosegue:do princípiodastensõesefetivas de Terzaghi sabe-se que σ’ 1 = σ1 – u e σ’ 3 = σ3 – u. Substituindo-se os valores de σ’ 1 eσ’ 3 nas eqs. 4.19 e 4.20 temos:

( ) ( ) ( )t

22

)u(u

2

'''t 313131 =

−=

−−−=

−=

σσσσσσ

(4.25)

( ) ( )us

2

uu

2

'''s 3131 −=

−+−=

+=

σσσσ

(4.26).

Comosepodenotardaseqs.4.25e 4.26,o parâmetrot temseuvalor independentedapressãoneutrano solo: t = t’. De certa forma, isto já deveriaser esperado,pois que esteparâmetrorefleteo valor da máximatensãocisalhanteatuandoem um ponto,e a água,pornãopodersuportartensõescisalhantes,nãopodeinterferir em seuvalor. O parâmetros’, oqual correspondeà médiadas tensõesefetivasprincipaisatuandono ponto é dadopela eq.4.26.Isto faz comquea trajetóriade tensõesemtermosdetensõesefetivas(TTE), obtidaemum ensaioCU, se desloqueparaa esquerdada trajetóriade tensõesem termosde tensõestotais(TTT), do valor de u. A fig. 4.23apresentatrajetóriasde tensõestípicasobtidasparaocasode ensaiostriaxiais do tipo CU, realizadosem uma amostrade argila em seu trechonormalmenteadensadoe pré-adensado.Conformese podeobservardestafigura, no trechonormalmenteadensado,o solo apresentasemprepressõesneutraspositivas,de modoque atrajetória de tensõesefetiva, TTE, se encontrasempreà esquerdada trajetória de tensõestotais. Para o caso do trecho pré-adensado,há inicialmente geraçãode pressõesneutraspositivasno corpodeprova(vide fig. 4.17),sendoquecomo cisalhamentodaamostrasestas

107

passama seapresentarnegativas.Destemodoa trajetóriade tensõesTTE obtidaparao casode solos pré-adensadosinicialmentese situa a esquerdada trajetóriaTTT, passandoà suadireita com o progresso do cisalhamento do solo.

A trajetória de tensões efetivas, indica portanto, a pressão neutra existente em qualquerfase do carregamento.Ela indica, também,a tendênciado desenvolvimentodas pressõesneutrasduranteo carregamento.Quandoa trajetóriasedesenvolveparalelamenteà trajetóriaTTT, não está havendovariação na pressãoneutra; quando a trajetória se desenvolveperpendicularmenteà trajetóriaTTT, a variaçãode pressãoneutraé igual à própriavariaçãoda tensão principal maior.

Determinando-sea envoltóriadas trajetóriasde tensões,obtém-seos parâmetrosderesistênciado solo. O conceitode trajetória de tensõesé bastanteútil quandose pretendedeterminara envoltóriacorrespondentea um númeroelevadode ensaios,situaçãoem queoscírculos de Mohr ficam mais sobrepostos.

s

t

TTTTTE

Trecho pré-adensado Trecho normalmenteadensado

Tensão dePré-adensamento

TTT

TTEu

φ’

Figura 4.23 – Trajetórias de tensõestípicas obtidasem ensaiosCU, em amostrasnormalmente adensadas e pré-adensadas.

��� ��������� �������������������� �� !������"�#���#�%$������ �"���& '���������(�*) !+� ��"�

Nos itensanterioresfoi apresentadoo comportamentodo solo sobumavariedadedecondiçõesdeensaio,principalmenteno tocanteàscondiçõesdedrenagem,duranteasfasesdeadensamentoe cisalhamentodo corpodeprova.É óbvioquequalquerensaiodeveprocurarseaproximar o mais possível das condições de campo. Em particular, o processodecarregamentoemcampodeveserinterpretadodemodoqueseestabeleçamcondiçõescríticasparao problema,as quaispoderãoocorrera curto prazoou a longo prazo,relativamenteàconstruçãoda obra. Por exemplo,a construçãode um aterro sobreargila mole de baixapermeabilidadeinduzirápressõesneutrasna argila, asquais,ao término da construção,malterão começadoa se dissipar. A fig. 4.24 ilustra o desenvolvimentode tensõesdecisalhamentoe neutrasdurantea construçãodeum aterroem solomole.Conformeilustradonestafigura,durantea fasedeconstruçãodo aterro,crescemastensõescisalhantesno pontoPe as pressõesneutras,de modo que a resistênciaao cisalhamentodo solo permanecepraticamenteinalterada.Após a construçãodo aterro,o solo passaa sofrer o processodeadensamento,duranteo qual ocorrema dissipaçãodo excessode pressãoneutrageradonosolo e a diminuiçãodo seu índice de vazios.Duranteesteperíodo,as tensõescisalhantesinduzidasaosolopermaneceminalteradas,já queo aterronãotema suaalturamodificada.Aresistênciado solo,no entanto,crescecoma dissipaçãodaspressõesneutrapeloprocessodeadensamentoe com a diminuiçãodo índicede vaziosdo solo, de modoquea situaçãomais

108

crítica nestecasoocorreao final da construção.Tambémna fig. 4.24 estárepresentadaavariaçãodo fator de segurançado solo de fundaçãocom o tempo.Logicamente,menoresvaloresde F.S.indicamumacondiçãomaiscrítica.Nestecaso,deve-seutilizar o ensaioUUna análiseda estabilidadedo solo de fundaçãodo aterro,pois com o decorrerda dissipaçãodas pressões neutras há um aumento da estabilidade global do problema.

No casode taludesdeescavação,o queocorreé o contrário.Nestecaso,háum alíviode tensões,de modoqueo solo tendea seexpandire a curtoprazogeraexcessosde pressãoneutranegativos.Ora,do princípio dastensõesefetivassabe-sequequanto“maisnegativo”for o valor da pressãoneutra,maior vai ser o valor da resistênciaao cisalhamentodo solo.Tambémsabe-seque um aumentono índicede vaziosdo solo irá faze-lomenosresistente.Destemodo,a condiçãomaiscrítica parao solo ocorrea longo prazo,e os ensaiosa seremrealizadosdevemserdo tipo CD. Nestescasos,recomenda-setambémquea faixa de tensõesescolhidaparaosensaiosdelaboratóriosejamrepresentativasdaquelasemcampo,poiso soloirá se encontrarem uma situaçãopré-adensadae os parâmetrosde resistênciado solo irãovariar coma suarazãodepré-adensamento.A fig. 4.25ilustra o desenvolvimentode tensõesde cisalhamento e neutras durante a realização de escavações no solo.

Figura 4.24 – Variação das tensõesde cisalhamento, da pressão neutra, daresistênciaao cisalhamentoe do fator desegurançado solo,emdecorrênciada construçãode um aterro em solo mole.

De um modogeral,os ensaiosdrenados,ou do tipo CD, sãoutilizadosparaa análisede problemasem que a situaçãomais crítica ocorre a longo prazo e em casosonde avelocidadede construçãoda obra é inferior à capacidadedo solo de dissiparas pressõesneutrasgeradas.Em outraspalavras,nãohá sentidoem serealizarensaiosdo tipo UU paraareiaou solopossuindoaltosvaloresdepermeabilidade(ou mesmoparao casodossolosnãosaturados),pois, para estes solos, as tensõesneutras provocadaspela construçãosãodissipadas quase que instantaneamente.

Os ensaiosCU são utilizados em situaçõesintermediárias,ou, em outraspalavras,quandoocorremacréscimosde tensõesrápidosemum soloquejá completarao seuprocessode adensamentoparaa condiçãode campo.Os ensaiosCU sãoutilizadosnormalmentenaanálisede estabilidadede aterrossobresolosmoles,no casodeconstruçãoem etapas,ou naanálise da estabilidade de um talude de montante de uma barragem, sob rebaixamento rápido

109

Figura 4.25– Variaçãoda pressãoneutra,da resistênciaaocisalhamentoe do fatorde segurança do solo, em decorrência de um processo de escavação no solo.

110

5. EMPUXOS DE TERRA.

����������� ������������

Algumasvezes,naengenhariacivil, nãodispomosdeespaçosuficienteparafazerumatransiçãogradualdaselevaçõesdo terrenoondequeremosimplantarumadeterminadaobra.Nestescasos,os taludesnecessáriospodemsersuficientementealtosou inclinados,de modoquea estabilidadedosmesmosnãoé asseguradaa longo prazo.As estruturasde contençãosãoprojetadasparaprover suporteparaestasmassasde solo não estáveis.Os empuxosdeterra sãoassolicitaçõesdo solo sobreestasestruturas,e estessãodependentesda interaçãosolo/estrutura.

O cálculo dos empuxosde terra constitui uma das mais antigaspreocupaçõesdaengenhariacivil, tratando-sede um problema de elevado valor prático, de ocorrênciafreqüente e de determinação complexa.

Os muros de arrimo, os escoramentosde escavações,os encontrosde pontes,osproblemasde capacidadede cargade fundações,entreoutras,sãoasobrasque exigem,emseusdimensionamentose análisesde estabilidade,o conhecimentodosvaloresdosempuxos.Tais estruturasfreqüentementerequeremverificaçõesadicionaisno seu dimensionamento,não só a análise da sua estabilidadeglobal, como a segurançade seus elementosdeconstrução.

Para o estudo dos empuxos de terra, em síntese, existem duas linhas de conduta:

�A primeira,de cunhoteórico,apoia-seem tratamentosmatemáticoselaboradosapartir de modelos reológicos que tentam traduzir, tanto quanto possível, ocomportamento preciso da relação tensão x deformação dos solos.

�A segundaforma de abordagemé de caráter empírico/experimental,sendorecomendaçõescolhidasde observaçõesem modelosde laboratórioe em obrasinstrumentadas.

Vale ressaltarque a automaçãodos métodosnuméricos,como o método das diferençasfinitas, o métododoselementosfinitos ou o métododoselementosdecontornoe a evoluçãodastécnicasdeamostrageme ensaios,tempropiciado,nosúltimosanos,um desenvolvimentosignificativo dosprocessosde cunhoteórico.As análisespelo métododoselementosfinitos(MEF) são, dentre os processos teóricos, as mais difundidas. O uso do MEF propicia o cálculotanto dos empuxosquantodas deformaçõesdo solo e da estrutura.Todos os aspectosdoproblema, como a interação solo/estrutura, seqüência construtiva, comportamentotensão/deformaçãodo solo, podemser abordados.As maioresdificuldadesde aplicaçãodoMEF dizem respeito à definição de uma curva σ x ε que defina o comportamentogeneralizadodo solo.Nesteaspecto,vale dizer quea aplicaçãoda teoriada plasticidadeaossolos vem fornecendo resultados satisfatórios.

��� ����������� !� ����"��#$�%�'&)(+*)��,��

Os empuxoslaterais de solo sobre uma estruturade contençãosão normalmentecalculadospor intermédiode um coeficiente,o qual é multiplicado pelo valor da tensãoverticalefetivanaqueleponto.O valordestecoeficienteirá dependerdo processodeinteraçãosolo/estrutura,ou seja, dos movimentosrelativos entre a estruturade contençãoe o solo.Destemodo,pode-sedizerque,a dependerdo tipo deestrutura,obter-se-ãodiferentesvaloresde coeficientes.Estescoeficientessãodenominadosde coeficientesde empuxodo solo e adependerda direçãodo movimentolateral imposto pela estruturade contenção,estessãodenominadosde coeficientede empuxoativo (Ka) ou passivo(Kp). No casodo solo não

111

apresentardeslocamentoslaterais,o coeficientede empuxoé denominadode coeficientedeempuxoemrepousodo solo (Ko), cujo cálculoe aplicaçãojá forammencionadosno capítulode tensõesgeostáticasdestetrabalho.As tensõeshorizontaisefetivasdo solo nestecasosãocalculadasutilizando-sea eq. 5.1, apresentadaadiante.Conformetambémrelatadonaquelecapítulo,a expressãomaisutilizadaparao cálculodo coeficientede empuxoem repousodosolo é a equação de Jáky (1948), a qual também é reproduzida a seguir (eq. 5.2).

''vh Ko σσ ⋅= (5.1)

( )'' φστ tgc ⋅+= (5.2)

Considerando-seo solo como um material elástico, linear e isotrópico, em umacondiçãodecompressãoconfinada,o coeficientede empuxoemrepousodo soloé dadopelaeq. 5.3, apresentada adiante.

υυ−

=1

Ko (5.3)

Onde υ é o valor do coeficiente de Poisson do solo.

Vários resultadospublicadosna literaturaespecializadademonstramsero coeficientede empuxoem repousodo solo umafunçãonãosó de suaspropriedadesde resistência,mastambémda suahistóriade tensõesem campoe do seugraude saturação.Assim, solospré-adensadostendema exibir maioresvaloresde Ko, os quaisseapresentamcrescentescom arazãode pré-adensamento.Paraaltos valoresde O.C.R., pode-seencontrarvaloresde Kosuperioresà unidade.Tem-sedemonstradoqueossolosnãosaturadostendema exibir valoresde Ko decrescentescom o seuvalor de sução.A tabela5.1 apresentavalorestípicosde Kopara diversos tipos de solo.

Tabela 5.1 – Valores de Ko (compostaa partir de Bernatzik, 1947; Bishop, 1957,1958; Simons, 1958; Terzaghi e Peck, 1967).

TIPO DE SOLO LL LP IP ATIVIDADE KO

Areia Compacta (e=0,60) - - - - 0,49Areia Média (e=0,70) - - - - 0,52Areia Fofa (e=0,88) - - - - 0,64Areia Fofa Saturada - - - - 0,46Areia Compacta Saturada - - - - 0,36Argila Residual de média plasticidade - - 9,3 0,44 0,42Argila Residual de alta plasticidade - - 31 1,55 0,66Argila Mole, Orgânica, Indeformada 74 28 45 1,20 0,57Argila Marinha, Indeformada 37 21 16 0,21 0,48Argila Sensível 34 24 10 0,18 0,52Argilas - - - - 0,60 a 0,80Areias não Compactadas(Fofas ou Compactas)

- - - - 0,40 a 0,50

Areias Compactadas por Camadas - - - - 0,80

Paraa determinaçãodosoutroscoeficientesde empuxoconsidere-seum semi-espaçoinfinito de solo, constituídopor um solo isotrópico,não saturadoe de superfíciehorizontal(fig. 5.1), no qual foi inserido um muro extenso,delgadoo suficientepara não acarretar

112

mudançasno estadode tensõesinicial do solo.Admitamosagoraqueatravésdeum artifícioqualquerestemurosejamovimentadoparaa direita,comdeslocamentosuniformesemtodaasuaextensão.A fig. 5.2 ilustra o que acontece,em termosde tensõeshorizontais,em doiselementosde solo situadosà esquerdae à direita do muro (elementoA e elementoB,respectivamente).

Figura 5.1 – Esquemailustrativo utilizado na definiçãodosempuxosde terra ativoe passivo. Modificado de Perloff & Baron (1976).

Conformeilustradona fig. 5.2, os elementosA e B partemde um mesmovalor detensãohorizontal,σ’ xo, que correspondeao valor da tensãohorizontalem repousodo solo.Como deslocamentodo muro,o valor datensãohorizontalno elementoB aumenta,enquantoque o valor da tensãohorizontalno elementoA diminui. Deve-senotar contudo,que estecrescimentonãosedá indefinidamente,de modoquevaloresmáximoe mínimo sãoobtidosparaastensõeshorizontaisatuandonesteselementos.Estesvaloreslimites correspondemàstensõeshorizontaisparaum estadoativo (elementoA) ou passivo(elementoB) do solo. Dafig. 5.2 pode-senotartambémqueosdeslocamentosrelativosnecessáriosparaseatingir umacondiçãode empuxo ativo são menoresdo que aquelasrequeridospara se atingir umacondição de empuxo passivo.

Figura 5.2 – Tensõeshorizontais nos elementosA e B da fig. 5.1. Modificado dePerloff & Baron (1976).

113

A fig. 5.3 ilustrao queacontecenoselementosdesoloA e B emtermosdecírculosdeMohr. Conformeilustradonestafigura, ambosos elementospartemde um círculo de Mohrpossuindocomotensõesprincipaisσv e Ko⋅σv. Conformeapresentadonestafigura, no estadoemrepousoo solo seencontraafastadoda ruptura.Como deslocamentodo muro,astensõeshorizontaisno elementoB setornammaioresqueo valor da tensãovertical,sendoseuvalorlimite alcançadoquandoo círculo de Mohr passaa tangenciara envoltóriade resistênciadosolo. Neste instante,diz-se que o solo estáem um estadode ruptura passiva.Conformeapresentadono capítuloanterior,parauma condiçãode ruptura,as tensõesprincipaisestãorelacionadas de acordo com a eq. 5.4, apresentada adiante.

τ

σ

φ’

σv

Kaσ

vK

pσ

vK

oσ

v

c’

EmpuxoPassivo (elemento B)

EmpuxoAtivo (elemento A)

Figura 5.3 – Círculos de Mohr inicial e finais para os elementos A e B.

φ⋅⋅+φ⋅σ=σ NcN 231 (5.4)

)45(tan=N :Onde2

2 φφ + (5.5)

No estadopassivo,a tensãohorizontal,σ’ xp ou σ’ hp, correspondea tensãoprincipalmaior, σ1. Se assume-seo solo como granular,ou sem coesão,pode-sedemostrarque ocoeficientede empuxopassivodo solo é dadopelaeq. 5.6, apresentadaadiante.Da eq. 5.6nota-se que o coeficiente de empuxo passivo do solo é sempre superior à unidade.

+===

2452 φφ

σσ

tgNKpv

hp

'

'

(5.6)

No estadoativo, a tensãohorizontal, σ’ xa ou σ’ ha, correspondea tensãoprincipalmenor,σ3. Se assume-seo solo como granular,ou sem coesão,pode-sedemostrarque ocoeficientedeempuxoativo do soloé dadopelaeq.5.7,apresentadaadiante.Da eq.5.7nota-se que o coeficiente de empuxo ativo do solo é sempre inferior à unidade.

−===

245

1

'

'2 φ

φσσ

tgN

Kav

hp

(5.7)

SegundoMello (1975),emtermospráticos,adota-sea posturadecalcularosempuxosativo e passivo(EA e EP), alterando-os,emseguida,como auxílio deumfator parafugir-sedasituaçãode ruptura.No casoativo, o valor de EA serámajoradopor um coeficientetomado,

114

em geral,entre1,3 a 1,5. Paraa situaçãopassiva,o valor de EP serádividido por um fatorcompreendidonafaixade1,4a 1,5.Destaforma,osvaloresdeprojetoestarãosituadosdentroda fasede equilíbrio elástico.No casoativo, esteprocedimentoimplica em obrasde maiorporte, portantomais caras.Em compensaçãoo inversoocorreparaa situaçãopassiva.Emambos, porém, há uma garantia da ausência da ruptura do solo arrimado.

��� ���������� ��� ������������ ���

Os processosclássicosutilizados para a determinaçãodos empuxosde terra sãométodosde equilíbrio limite. Admite-se,nestesmétodos,que a cunhade solo situadaemcontatocoma estruturadesuporteestejanumdospossíveisestadosdeplastificação,ativo oupassivo.Estacunhatentadeslocar-seda partefixa do maciçoe sobreela sãoaplicadasasanálisesde equilíbrio dos corposrígidos. A análisede Rankineapoia-senas equaçõesdeequilíbrio internodo maciço.Estasequaçõessãodefinidasparaum elementoinfinitesimaldomeio e estendidaa todaa massaplastificadaatravésde integração.Estaanáliseenquadra-seno teorema da região inferior (TRI) da teoria da plasticidade.

Comofilosofia básicaesteteoremadefende,emprimeirolugar,o equilíbriodetensõesentreoscamposexternose internosqueseestabelecemsobrea cunhaplastificada.As tensõesexternassãomotivadaspor solicitaçõesaplicadasna superfíciedo terrenopelaaçãodo pesoprópriodacunha.As solicitaçõesinternassãoasreaçõesquesedesenvolvemnacunha,comoconseqüênciadassolicitaçõesexternas.Pararesoluçãodasequaçõesde equilíbrio, todosospontosdentroda cunhade rupturasãosupostosem estadolimite e as tensõesserelacionampelo critério de ruptura de Mohr – Coulomb.

A soluçãode Rankine, estabelecidaparasolosgranularese estendidapor Rèsal parasoloscoesivos,constituia primeiracontribuiçãoao estudodascondiçõesdeequilíbrio limitedosmaciços,tendoemcontaasequaçõesdeequilíbrio internodo solo.Em razãodisto,estasequações são conhecidas como estados de plastificação de Rankine.

O métodode Rankine,queconsistena integração,ao longoda alturado elementodesuporte, das tensõeshorizontais atuantes,calculadasa partir do sistema de equaçõesestabelecido para o maciço, fundamenta-se nas seguintes hipóteses:

1) Maciço homogêneo de extensão infinita e de superfície plana (horizontal).2) O solono interior da cunhaderupturaseencontranosestadosdeplastificaçãode

Rankine.3) A inserção do muro não interfere nos resultados obtidos.

Embora teoricamentea soluçãode Rankine só seja válida para muro de paredevertical, perfeitamentelisa, queé quandoseatingemos estadosde plastificaçãode Rankine(superfíciede escorregamentofazendoum ânguloigual a 45 + φ/2 ou 45 - φ/2 com o planoprincipal maior,paraascondiçõesativa e passiva,respectivamente,fig. 5.4), ela é estendidatambémaos casosem que o tardoz do muro faz um ângulo β com a vertical. Quandoasuperfíciedo terrenoé inclinadade um ângulo i com a horizontal,há que considerar-seomuro com uma rugosidade suficiente para inclinar as tensões resultantes do mesmo valor.

À medidaqueseafastadascondiçõesteóricasfundamentais,o métodofornecevaloresquesedistanciamcadavez maisdosvalorespráticosobservados.A presençado atrito ou deadesãona interface solo/muro gera tensõestangenciaisque contribuem para resistir aodeslocamentodacunhaplastificada.Nestecaso,a utilizaçãodateoriadeRankinefazcomqueo empuxoativo sejasobrestimadoe o empuxopassivo,subestimado.Além disso,o atritopropiciaumareduçãoda componentehorizontaldo empuxo(menorquantomaior for o valordo coeficientede atrito (δ) entreo solo e o muro)e provocao encurvamentodassuperfíciesdeescorregamento.A fig. 5.4 ilustracunhasderupturaobtidaspelo métodode Rankineparauma variedadede situações.A fig. 5.5 ilustra as formas das cunhasde ruptura obtidasconsiderando-se o atrito na interface solo/muro.

115

Figura 5.4 – Aplicaçãoda teoria deRankinepara a obtençãodecunhasderuptura

no solo,para cálculo do empuxosobreestruturasde contenção.Modificado de Perloff &Baron (1976).

Figura 5.5 – Formato das cunhas de ruptura obtidas pelo método de Rankinequando se considera o atrito na interface solo/muro. Modificado de Perloff & Baron(1976).

Sobreo procedimentodo métododeRankineexistea desvantagemdequea obtençãodosvaloresde Ka e Kp parageometriascomplexase/ououtrasformasdecarregamentoquenão carregamento extenso conduz a procedimentos de cálculos bastante árduos.

Para os solos não coesivos,a variação das tensõeshorizontais é linear com aprofundidade.O diagramaresultanteserátriangulare o empuxoconsistirána integraçãodastensõeslateraisao longo da altura.A fig. 5.6 ilustra a obtençãodo empuxoativo sobreumaestruturadecontençãopelométododeRankine,parao casodesolosnãocoesivose coesivos.Conformesepodeobservar,parao casodossoloscoesivos,osvaloresdeempuxoobtidosatéumaprofundidadedez = zo sãonegativos.A ocorrênciadeempuxonegativosobrea estruturadecontençãoé poucoprovável,poisnestecasohaveriaumatendênciado solo se“descolar”do muro.Além disto,atéa profundidadedez = zo, éprovávelaocorrênciadetrincasdetraçãono solo. Deste modo o empuxo negativo sobre a estruturade contençãoé geralmentedesprezado,calculando-seo empuxoa partir daalturareduzidado muro,h = H – zo, conforme

116

se ilustra na fig. 5.6. Conformetambémapresentadona fig. 5.6, a integraçãodos esforçoshorizontaisao longo do muro de arrimo resultana eq.5.8,que representao empuxoativoatuando sobre a estrutura de contenção.

h/3

Ea= Kaγh2/2

hSolo não coesivo

h/3

Ea = Kaγh2/2

h = H - Zo

Solo coesivoz

co =

⋅ −

2

452

γφ

tan

H

Figura 5.6 – Aplicaçãodo métodode Rankinepara cálculo do empuxoativo sobreestruturas de contenção.

2

2 γ⋅⋅= hKaEa

(5.8)

A presençada coesãopossibilita manter um corte vertical, sem necessidadedeescoramento,atéumadeterminadaalturano solo (alturacrítica),naqualo empuxoresultanteé nulo. Da fig. 5.6 é fácil perceberque isto ocorrequandoz = 2⋅zo. Estaé a alturana qualpodem ser feitas escavaçõessem escoramentono solo. A eq. 5.9, apresentadaa seguir,expressa a altura crítica de corte sem escoramento.

−⋅

⋅=

245

4

''

φγ tg

czc

(5.9)

No casodesoloscoesivos,empuxopassivo,o valor do empuxoé calculadoconformeapresentado pela eq. 5.10. Notar que agora h corresponde novamente à altura total da estruturade arrimo.

KphchKp

Ep ⋅⋅⋅+⋅⋅= 22

2 γ (5.10)

Emboraestejase considerandoo casode estruturasde contençãosuportandosoloscoesivos,deve-sesalientarquequandoda execuçãodestasestruturasem campo,semprequepossível,deve-seutilizar materiais granularesno aterro anterior ao muro. Os materiaisgranulares,nãocoesivos,sãosemprepreferíveis,poisapresentammaioresvaloresde ângulode atrito e geralmentenão apresentamgrandesvariaçõesvolumétricasem processosdesecagem/umedecimento.Além disto, é imprescindívelque as estruturas de contençãopossuamumbomsistemadedrenagem,demodoa evitar empuxosna estruturadecontençãoprovocadospela água. Combasena experiêncialocal, pode-seafirmar queo efeito da águatem sido decisivo na instabilização de estruturas de contenção.

O efeito da água é ilustrado na fig. 5.7. No caso de o nível do lençol freáticointerceptara estruturade contenção,existirãodois empuxossobrea estrutura,um originadopelaáguae outropelo solo.O empuxoda águaseráaplicadoa umaaltura(h – hw)/3 dabaseda contençãoe o empuxode solo a umaalturaaproximadamenteigual a h/3. Deve-senotar

117

quenestecasoháumamudançano pesoespecíficodo solo,quepassaa γsat, e queastensõesneutras devem subtraídasdas tensõeshorizontais do solo sobre a estrutura, pois oscoeficientesde empuxodevemsempreser utilizadosem termosde tensãoefetiva.Casoonível d’ água se eleve até a superfície do terreno, o que consiste na situação maisdesfavorável, o empuxo ativo sobre a estrutura de contenção será dado pela eq. 5.11.

Es

Ew

u u

hw

h - hw

Figura 5.7 – Efeito da água no empuxo do solo sobre estruturas de contenção.

22

22wsub

a

hhKaE

γγ ⋅+

⋅⋅=

(5.11)

No casode taludescom uma inclinaçãoi com a horizontal,pode-semostrarque oscoeficientesdeempuxoativo e passivosãodadospelaseqs.5.12e 5.13,respectivamente.Osvaloresdos empuxossobreas estruturasde contençãosão dadospelas eqs.5.14 e 5.15,respectivamente.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )'coscoscos

'coscoscos''

φ

φσσ

22

22

−+

−−==

ii

iiKa

v

ha

(5.12)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )'coscoscos

'coscoscos''

φ

φσσ

22

22

−+

−−==

ii

iiKa

v

ha

(5.13)

( )ihKaEa cos⋅⋅⋅=

2

2 γ (5.14)

( )ihKpEp cos⋅⋅⋅=

2

2 γ (5.15)

��� ���������� ��� ��������� �����

O métodode Coulomb paracálculo dos empuxosde terra foi enunciadoem 1776.Enquadra-senafilosofia do TeoremadaRegiãoSuperior(TRS)dateoriadaplasticidade,queestabeleceo equilíbriodeumamassadesolo,se,paraum deslocamentoarbitrário,o trabalho

118

realizado pelas solicitaçõesexternasfor menor do que o das forças internas.Em casonegativo, a massa estará em condição de instabilização ou de plastificação.

O método de Coulomb admite as seguintes hipóteses básicas:

�

É atendidaa condiçãode deformaçãoplanaao longo do eixo do muro, logo oproblema é bidimensional.

�

Ao longo da superfíciede deslizamento,o materialestáem estadode equilíbriolimite (uso do critério de Mohr – Coulomb).

�

Ocorre deslizamentorelativo entre o solo e o muro. Tensõescisalhantessedesenvolvemnestainterface.A direçãodastensõescisalhantesé determinadapelomovimento relativo solo/muro.

�

A superfície de ruptura é geralmente assumida como planar.

A fig. 5.8 ilustra o esquemaidealizadopor Coulomb para cálculo dos empuxossobreestruturas de contenção.

Figura 5.8– Ilustração do métododeanálisedeCoulomb.Modificado dePerloff & Baron,(1976).

O cálculodo empuxoé efetuadoestabelecendo-seasequaçõesdeequilíbriodasforçasatuantessobreumacunhade deslizamentohipotética.Uma dasforçasatuantesé o empuxo,queno estadoativo correspondeà reaçãodaestruturadesuportesobrea cunhae, no passivo,à força quea estruturade arrimo exercesobreela.O empuxoativo seráo máximovalor dosempuxos determinados sobre as cunhas analisadas; o passivo, o mínimo.

Na mobilizaçãodo empuxoativo,o murosemovimentademodoqueo soloé forçadoa mobilizara suaresistênciaaocisalhamento,atéa rupturaiminente.A ativaçãodaresistênciaao cisalhamentodo solo podeserentendidacomoo fim de um processode expansãoquesedesencadeianosoloa partir deumaposiçãoemrepouso.Isto significaqueo valor doempuxosobrea estruturade contençãovai diminuindo,com a expansão,atéquese atingeum valorcrítico, situado no limiar da ruptura, ou da plastificação.

Quandoas análisesde equilíbrio sãoefetuadasparaas diversascunhashipotéticas,supõe-seque estelimiar da rupturatenhasido alcançadoem todaselas.Portanto,o maiorvalor de empuxoestabelecidona análisedestascunhasseráo crítico, pois no processodeativaçãoele seráatingido em primeiro lugar, sendopor conseguinteo empuxoativo. Istocorrespondedizerqueo empuxoativo é um pontodemáximodentreosvaloresdetermináveisde empuxo.Um fato inversoao descritonestedois últimos parágrafosocorreráparao casopassivo.

Tendoem vista a filosofia do Teoremada RegiãoSuperior,na qual se enquadra,oprocessodeCoulombtemcomoprincípioa comparaçãoentreos trabalhosde forçasexternase o de forças internas. Isto eqüivale a um equilíbrio estáticode forças, para um dado

119

deslocamento.Assim, nos casosde geometriamais simples,serápossívelestabelecerumaequaçãogeralparao problemae encontraro seuvalor máximo,ou mínimo,correspondenteàssituações ativa e passiva, respectivamente.

Em seguidaserãofornecidosos casosem que estaabordagemé possível.Soluçãoanalítica do método de Coulomb para solos granulares.

EmpuxoAtivo – A eq.5.16apresentao valor do coeficientede empuxoativo obtidopelo métodode Coulomb.Na fig. 5.9 estãoapresentadastodasas variáveiscontidasna eq.5.16,parao casodeempuxopassivo.No casodeempuxoativo,a resultanteR do soloatuarádesviadatambémde φ’ da normalà cunha,masagoraem sentidooposto.Do mesmomodo,devido ao movimentodescendenteda cunhano casoativo, Ea seráinclinada da normal àcontenção também de δ, mas em sentido contrário àquele apresentado na fig. 5.9. Deste modo,no uso das eqs. 5.16 e 5.17, deve-se atentar para a convenção de sinais adotada na fig. 5.9(b).

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

2

sensensensen

1sensen

sen

+⋅−−′⋅+′

+−⋅

′+=

βαδαβφδφδαα

φαKa

(5.16)

MuroCaso ativo

Normal

δ (+)

Ep

MuroCaso passivo

Normal

δ (+)

(

b)

Ea

Figura 5.9 – (a) - MétododeCoulombpara o casodeempuxopassivo.(b) – Convençãodesinais para δ. Modificado de Perloff & Baron, (1976).

Empuxo Passivo:A eq. 5.17 apresentao valor do coeficientede empuxopassivoobtido pelo método de Coulomb

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

2

sensen

sen`sen1sensen

senKp

+⋅++′⋅+−+⋅

′−=

βαδαβφδφδαα

φα

(5.17)

No casodeum carregamentoverticaluniformementedistribuídosobrea superfíciedoterreno,o pesoespecíficodo solo podesermajoradopela eq. 5.18, apresentadaadiante,demodo a levar em consideração o carregamento q (notar que q tem dimensões de tensão).

( ) ( )

+⋅⋅

⋅+=βαα

γγsensen

2

h

qq

(5.18)

(a)

120

Paracasosmaisgerais,o cálculodo empuxode terradeveserfeito de forma gráfica.Estes processosgráficos são todos semelhantesentre si, de modo que neste trabalhoapresentar-se-áapenaso processográficodiretoparaa obtençãodo empuxodecoulomb,semse utilizar a rotação de eixos proposta por Cullman. As figs. 5.10 e 5.11 ilustram acomposiçãode forçasao longodeumacunhadedeslizamento,paraoscasodeempuxoativoe passivo.

Figura 5.10 – Composiçãode forças utilizada pelo métodográfico para o casode

empuxo ativo. Modificado de Perloff & Baron, (1976).

Figura 5.11 – Composiçãode forças utilizada pelo métodográfico para o casodeempuxo passivo. Modificado de Perloff & Baron, (1976).

A fig. 5.12 ilustra a obtençãodo empuxoativo sobreuma estruturade contençãoutilizando-seo método gráfico. Considerou-senesta figura um terraplenohorizontal e apresençado nível d’água.Conformese podeobservarda fig. 5.12,adotou-sea hipótesedesolo com intercepto de coesãonão nulo, inclusive vislumbrando-sea possibilidadedeconsideraçãodeumaparceladeadesãono contatosolo/muro.No casodesoloscoesivos,valenotar queas cunhaspotenciaisde rupturanão mantéma suainclinaçãoaté a superfíciedoterreno,prolongando-severticalmenteparaprofundidadesinferiores a zo (vide fig. 5.6). Oempuxoativo total sobrea estruturaé obtido considerando-seo empuxodo solo e da águaseparadamente.O empuxoda águaé calculadoutilizando-sea eq.5.19,apresentadaadiante,ondeh’ representaa profundidadedabasedeassentamentodaestruturaatéo nível do lençolfreático (no caso da fig. 5.12, h’ corresponde a 12m).

2

'2hE w

aw

⋅=

γ

(5.19)

121

O empuxodo solo é calculadoparadiversascunhaspotenciaisde ruptura,conformeilustradona fig. 5.12.Nestecaso,paraa partesubmersado solo,o pesodacunhaé calculadoutilizando-seo valor do γsub do solo.Parao casodeempuxoativo o valor do empuxodo solocorrespondeao máximo valor de P’ (ou Ea’) encontrado.O empuxototal seráentãoobtidopelosomatório(vetorial)dosdoisvalorescalculado.Deve-senotar,conformeilustradonafig.5.12,quenestecasoo empuxodaáguapossuium pontodeaplicação,umvalor e umadireçãodiferentes do empuxo do solo.

15 m

3 mNível de água

Solo coesivo

EMPUXO ATIVO

β= 85o

N.A.

δ’

Ea’ (solo)

E (água)

EaResultante

Figura 5.12 – Obtençãográfica do empuxo ativo sobreestruturasde contenção.Modificado de Perloff & Baron, (1976).

Parao casodo empuxopassivoo procedimentoé o mesmo,a menosdamudançadosvetoresapresentadosna fig. 5.12, conformeilustrado na fig. 5.11. Tambémnestecaso,oempuxo passivo do solo corresponde ao valor mínimo do empuxo obtido.

Na prática, conforme já relatadoanteriormente,é semprepreferível se executaroaterro da contençãocom solos granulares,de modo que nestecaso os vetoresc’a e C’,apresentadosna fig. 5.12sãonulos.Do mesmomodo,naconstruçãodequalquerestruturade

122

contenção,um bomsistemadedrenagemdeveserprevisto,demodoqueeventuaisempuxosprovocadospela águasão geralmentedesprezadosna fase de projeto. No casode cargasuniformementedistribuídas,pode-semajoraro pesoespecíficodo soloconformeeq.5.18.Nacaso de linhas de carregamento(carga por unidade linear) o seus valores devem seracrescentadosaopesodascunhaspotenciaisqueascontém,demodoanálogoaoilustradonasfigs. 5.10 e 5.11. Nestecaso,a linha unindo os vetoresP’ da fig. 5.12 poderáapresentarsobressaltos ou descontinuidades.

��� ������������ ������������� ���������� �"! ����#�$� ��%&�$�(')# *+��%,� �$��- .��0/+�(12%3�2� 4#�

A seguiré feito um comentárioresumosobrealgunsfatoresqueinfluem no valor doempuxoem umaestruturadecontenção.Aspectosreferentesa váriosdestesfatoresjá foramrelatados anteriormente.

a) Influência da Pressão Neutra.O empuxodevidoà águadeveserconsideradoseparadamente.Não é possívelincluir

esforçosdevidosà percolaçãodeáguanasteoriasdeRankinee Coulomb.Ao assumiro níveldeáguaestático,lembrarqueoscoeficientesdeempuxoreferem-sea tensõesefetivas,e queaágua exerce igual pressãoem todas as direções, sendo o empuxo da água sempreperpendicular à face da contenção.

b) Influência de Sobrecargas Aplicadas à Superfície do Terreno.Esforçoslateraisdevidosa sobrecargasaplicadasnasuperfíciedo terrenonemsempre

sãodefácil avaliação.Algunstiposdesobrecargas(uniformementedistribuídas,lineares,etc)podemserconsideradas,bastandoincluí-lasnospolígonosdeforçasdasconstruçõesgráficas.No caso da cargas uniformemente distribuídas, pode-se também utilizar o artifíciorepresentadona eq. 5.18.No cálculodosacréscimosdosempuxosdevidosà carregamentosemsuperfície,algunsresultadosdeinstrumentaçãocomprovama aplicabilidadedasfórmulasda Teoria de Elasticidade.Entretanto,são necessáriasalgumascorreçõesempíricasparaadequá-lasaosvaloresreaismedidos.Um dos aspectosa considerare querequercorreçãorefere-se à rigidez da estrutura.

Váriosautoressugeremaplicar,paracarregamentosfuturos,um fator multiplicativode2 nas expressõesda Teoria da Elasticidade,para levar em conta a possível restriçãoadeformações imposta pela estrutura.

c) Influência do Atrito entre o Solo e o Muro.A influênciado atrito entreo solo e o muro podeserevidenciadaobservando-seque

quandoo muromove-se,o soloqueelesuportaexpande-seou é comprimidoconformesejaoestadoativo ou passivo.No primeirocaso,o soloapresentaumatendênciadedesceraolongodaparedeque,seimpedida,origina tensõestangenciaisascendentesquesuportamemparteamassadesolodeslizante.Alivia-se, assim,o valor do empuxosobreo muro.No casopassivoocorre simplesmente o contrário.

O método de Rankine, que desconsiderao atrito entre o solo e o muro, fornecesoluçõesdo lado da segurança.O métodode Coulombconsiderao atrito e fornecesoluçõesmais realistas.O empregode uma ou de outra teoriaestáassociado,inclusive, como já foireferido,à geometriado problema.As obrasdimensionadaspelo métodode Rankineserãomaiscaraspois, como se sabe,estemétodofornecevaloresmais conservativosem facedenão consideraro atrito entre o solo e o muro. Por outro lado, esta teoria é de extremasimplicidade e portanto menos trabalhosa do que a solução de Coulomb.

A presençado atrito na interfacesolo/muro,além de reduzir o valor do empuxo,provocaa suainclinação.Isto tornaosmurosmaisestáveisjá quea componentehorizontaldoempuxo,queé diminuída,estádiretamenterelacionadacoma estabilidadedo muroquantoaoescorregamentoe ao tombamento.O ângulo de atrito entre o solo e o muro depende

123

fundamentalmentedo ângulodeatrito do solo.Na falta deum valor específico,recomenda-seadotar para δ um valor situado entre o intervalo apresentado na eq. 5.20.

''

32

3φδφ ⟨⟨

(5.20)

A tabela 5.2 apresenta alguns valores de δ/φ’ em função do material do muro

Tabela 5.2 – Valores de δ/φ’ em função do material do muro.Material do muro δ/φ’

Concreto liso e argamassa 0,8 – 1,0Concreto rugoso 0,9 – 1,0

Aço liso 0,5 – 0,7Aço rugoso 0,8 – 0,9Madeira lisa 0,7 –0,9

Madeira rugosa 0,9 – 1,0

d) Ponto de Aplicação do Empuxo.

A teoriade Rankine,admitindoumadistribuiçãohidrostáticade tensões,fixa o pontode aplicaçãodo empuxoa 1/3 da altura,medidaa partir da base.A teoriade Coulombnadaestabelecea respeito.Nesteponto,vale ressaltarquenãosó o valor do empuxoé importanteno dimensionamentodeumaestruturadecontenção,mastambémo pontodeaplicaçãodesteempuxodesempenhaumafunçãoessencial.Isto é importanteprincipalmentena verificaçãoda estabilidadeda estruturade fundaçãoquanto ao tombamento,o que será visto nospróximos itens. Por enquanto,deve-seobservarque a forma de distribuição das tensõeshorizontaissobrea estruturadecontenção,a qualdeterminao pontodeaplicaçãodo empuxo,irá dependerde alguns fatores como a presençade água no solo, a existência decarregamentosem superfíciee a liberdadede movimentaçãoda estrutura.A fig. 5.13 ilustraalgumasformasde distribuiçãode tensõeshorizontaissobrea estruturaa dependerde algunsfatores relatados acima.

Carregamento em superfície

Figura 5.13 – Diferentes formas de distribuição das tensõesprovenientesdosempuxos de terra sobre as estruturas de fundação.

124

e) Fendas de Tração.Em solosque apresentamcoesãoexistea possibilidadede surgimentode fendasde

tração.A profundidadeque estaspodematingir é determinadapelo ponto em que a tensãolateral se anula (zo).

��� ���������� �� ������������������ ���

Pode-seutilizar estruturasdearrimo emobrastemporárias,comonaaberturade valaspara implantação de condutos e metrôs. Nestes casos, geralmente, introduzem-se os elementosda estrutura anteriormente à escavação e à medida que se processa a escavação, complementa-se a estruturacom os elementosadicionais:pranchõesde madeira,estroncas,tirantes,etc.Completadaa obra, procede-seao reaterro da escavaçãoe os elementosutilizados noescoramento podem ser retirados e reaproveitados.

Em obrasdefinitivas, como no casodos muros de arrimo, é normal proceder-seàescavação, deixar um espaço livre atrás de onde será implantada a estrutura, para facilidade detrabalho,e, umavez completadaa estrutura,procede-seao reaterrodo espaçodeixadolivre.Deve-sefrisar, entretanto,que estasnão são regrasgerais para estruturastemporáriasedefinitivas, havendo comumente exceções.

��� ����� �"!#� $%������&������ '� ������������(����� �)�

As estruturasde contençãosão basicamentedivididas em flexíveis e rígidas.Estaspodemserdeváriostipos e proporcionamestabilidadedeváriasmaneiras.Existemosmurosdearrimodegravidade,degravidadealiviada,murosdeflexão,murosdecontraforte,cortinasde estacasprancha,cortinasde estacassecantesou justapostas,cortinasde perfis metálicoscombinadoscom pranchõesde madeira, paredesdiafragma e eventualmentepartes deestruturasprojetadasparaoutro fim, que têm por finalidaderetenção,comopor exemploossubsolosdos edifícios e os encontrosde pontes.Na fig. 5.14 ilustram-sealgunsdos maisutilizadostipos de estruturade contenção.As estruturasde contençãopor estroncamentosãonormalmenteutilizadasparaobrasprovisórias,principalmentena escavaçãode valasa céuaberto.

No casodo muro de gravidade,como o próprio nomeindica, conta-secom o pesopróprio do muro para lhe assegurarestabilidade.Os muros de gravidadesãonormalmenteconstruídosem alvenariade pedra.Suasseçõesnormalmentepossuemforma tal que osmesmosnãoprecisamserarmados.Porquestõesde economiadeconcreto,a seçãodo murodegravidadepodeserreduzida,no entantoé necessárioa adoçãode armaduraparaabsorverosesforçosdetraçãoqueaparecem.Assim,essesmurospassama serdenominadosdemurosde gravidadealiviada. Atualmente,estásendomuito difundida a construçãode muros dearrimo por meio de gabiões.

Os murosde arrimo construídosem gabiõesfuncionamtambémpor gravidade,e secompõemdeelementosemformadeprismaretangular,fabricadosemmalhametálica,a qualé preenchidacom fragmentosde rocha.Esteselementossãosuperpostosde modoa formaraestruturadearrimo.Comrelaçãoaosmurosdealvenaria,osgabiõespossuema vantagemdeserem mais flexíveis, garantindo a mobilização de todo o solo anterior ao tardoz da contenção.Porseremconstruídosutilizando-sede fragmentosderocha,sempreenchimento,estetipo decontençãoé altamentepermeável,o quefacilita a drenagemdo solo.Paraquecomo fluxo osolo nãopenetrenosvaziosdo gabião,é necessárioquesecrie umacamadade transição,oquepodeserobtidocom a utilizaçãodegeotêxteis(ver fotos degeossintéticos,no CD-ROMdemecânicadossolos),dessaforma,respeitandoo gradientehidráulicoe permitindoumaboapercolaçãodaáguana faixa decontatogabião/solo.Nos locaisondetêmsidoempregadososmurosdearrimoemgabiões,algumasvezes,temsidoverificadoum processodedepredação,

125

126

Com o progressodos métodosconstrutivos,tem se empregadocada vez mais aconstrução de estruturas de contenção utilizando-se geotêxteis ou outros elementosestruturais.Esteé o casodosmurosde arrimo construídosutilizando-seas técnicasde terraarmadaou solo envelopado.Emboraestejafora do propósitodestetrabalhoa apresentaçãodetalhadadosprincípiosde funcionamentodestasestruturas,pode-sedizer que,nestescasos,há a incorporaçãode elementosestruturaisao solo no sentidode conferir a esteresistênciaàtração.Em ambososcasos,trabalha-secomo atritoentreo soloe oselementosestruturais,demodoqueo usode solosgranularesé semprepreferível.No casodestasestruturase mesmono casodosmurosde arrimoem gabiões,alémdasverificaçõesdeestabilidadenormalmenterealizadas,deve-setambémrealizaranálisesno sentidode verificar a estabilidadeinternadaestrutura de contenção.

Outro exemplode elementoestruturalparao reforçode solo é a soluçãodenominadaSistemaTerramesh que permitea construçãodo paramentoexternoe o reforço de formacontínua.Os tipos deelementosTerramesh sediferenciampelo paramentoexterno.Quandocompostopor gabiõescom malhahexagonalde dupla torção,denomina-sepor Terramesh

System,porémo paramentopodesercompostopelo terrenonaturalcompactadoe protegidopelamesmamalha,denominando-sepor Terramesh Verde.Existemdoistipo deTerramesh

Verde:o Terrae o Água.O primeiro diz respeitoa obrasde contençãode taludee encostassempresençadeáguae o segundocom,ondetodaa superfíciedo paramentoé revestidacombiomantase geomantas,respectivamente.Ambos os tipos de mantastêm como finalidadefavorecero crescimentoda vegetaçãosemeadapor todo o talude, protegendotoda a suasuperfície contra possíveis processos erosivos.

As cortinasatirantadassãoexemplosde estruturasde contençãoutilizadasem locaisonde não há espaçopara a execuçãode muros de arrimo ou onde o terreno é bastantevalorizado, justificando o seu uso. Em seu procedimentoexecutivo, o solo é escavadopaulatinamente(atéumaprofundidadequenãorequeirao usode escoramentos)e placasdeconcreto são fixadas no talude por intermédio de tirantes.

As estacaspranchasão peçasde madeira,concretoarmadoou aço (ou até mesmoPVC), quesecravamformandopor justaposiçãoascortinase seprestamparaestruturasderetençãode águaou solo, podendoser utilizadastanto paraobrastemporáriasquantoparapermanentes.Quantoao métodoconstrutivopode-seter estacaspranchaembalanço,emquea profundidadede cravaçãoé suficiente para suportar os esforçoslaterais. Este tipo énormalmenteaplicadopara pequenosdesníveis.Quandoos desníveisse tornam maiores,passa-se a utilizar cortinas de estacas prancha ancoradas.

Paredediafragma são paredesde concreto armado, concretadasem painéis comespessurade 30 até120cm,antesdo inicio da escavação.A larguradospainéispodevariarentre2 a 4 metros,podendoserexecutadosem sequênciaou alternados.A escavaçãoé feitacom caçambatipo “ clanshell” e a concretagemé submersaafastando-sea lamabentoníticaqueestabilizao furo. A sequênciadeexecuçãodeumaparedediafragmapodeservistanafig.5.15.

As paredesconstituídasdeestaçõesjustapostosou secantes,quepodemseratirantadasou não, tem processode execuçãosemelhanteao da paredediafragma,visto acima.O soloentreos estaçõespodesercontido,dependendodo caso,por concretoprojetado,armadoounão.

127

Figura 5.15 – Esquemade execuçãode uma paredediafragma. Modificado deGaioto (1993).

��� ��� �������� ���� ��� �� ����������������� ��� !"�#�#� $%�

A determinaçãodos esforçoslaterais sobre muros de arrimo, pode ser feita porqualquer dos métodos tradicionais, desenvolvidosanteriormente.De qualquer forma,relembra-seque os esforçossãodecisivamentedeterminadospelasdeformaçõesem jogo emuitavezes,dadaa rigidezdaestrutura,nãoocorremdeformaçõessuficientesparamobilizaros estados de equilíbrio plástico.

Experimentoscomareiasdensasrealizadospor Terzaghimostraramquea distribuiçãolineardeesforços,tal qualpreconizadonasteoriastradicionais,temchancedeocorrerquandoo murosofreum giro emtornodo seupé.Paraareiascompactasbastaqueo topodo murosedesloquecercade 0,001da suaaltura,paraqueo estadode tensõespassedo repousoparaoativo. Comoo deslocamentoé muito pequeno,parecelícito suporque essasituaçãoocorrecomumente nos muros de arrimo em balanço.

Na verificação da estabilidadede um muro de arrimo há que se atentar para apossibilidadede deslizamentoe tombamento.Além disso,deve-seconsiderara possibilidadede rupturado taludeformado(estabilidadeglobal), bemcomoverificar as tensõesaplicadasao solo de fundaçãoe os recalques(segurançaa rupturado solo de fundação).Conformejárelatado,para alguns tipos de estruturasde contençãodeve-sefazer verificaçõesde suaestabilidade interna (gabiões, contenções em terra armada, solo envelopado, etc).

Um sistemadedrenagem,mesmorústico,podeproporcionarsensíveisbenefíciosa ummuro de arrimo, com redução de esforços sobre ele.

A seguirsãoapresentadososprocedimentosusuaisutilizadosno dimensionamento(naverdade,verificação)de murosde arrimo. A fig. 5.16 ilustra os esforçosatuandoem umaestrutura de contenção.

128

Figura 5.16 – Esforços em um muro de arrimo. Modificado de Venkatramaiah,(1993).

Conformeapresentadonafig. 5.16,a capacidadedecargadosolo,aplicadanabasedomuro, temderesistir,com segurança,ao pesodo muroe àscomponentesverticaisdasoutrasforças.O empuxoativo ageno sentidodeinstabilizaro muro,provocandoo seutombamento,girando-oemtornodeseupé.A tendênciaaotombamentoé contrapostapelopesoprópriodomuro e pelacomponentevertical do empuxoativo. Por outro lado,a componentehorizontaldo empuxoativo tendea empurraro murono sentidoexterno,o queé resistidopelastensõesde cisalhamentodesenvolvidasna basedo muro e pelo empuxopassivomobilizadono ladoesquerdode sua base.O pesodo muro age assim de duasformas distintas:provoca ummomentonadireçãocontráriaaomomentoinstabilizantedo empuxoativo e causaresistênciaao cisalhamentona basedo muro. Por estasrazões,estasestruturassão denominadasdeestruturas de gravidade.

Por equilíbrio de forças temos:

pvav EEWN −+= (5.21)

phah EET −= (5.22)

Paraqualquerconfiguraçãodo problema,Ea, Ep e W podemsempreser obtidos,demodoqueasresultantesT e N podemsempresercalculadas.A excentricidadee da forçaN,relativaao centroda basedo muro,podeserobtidaigualando-seos momentosem torno doponto B:

2121 zEbEzExExWxN phpvahav ⋅−⋅−⋅+⋅+⋅=⋅ ' (5.23)

( )∑∑=

⋅−⋅−⋅+⋅+⋅=

V

M

N

zEbEzExExWx phpvahav 2121'

(5.23)

2dH

tCv ⋅=Γ (5.24)

129

Istosimplesmentesignificaquea resultantedeW, Ea e Ep é justamenteiguale opostaaresultantede T e N e deveter a mesmalinha deaçãoparao equilíbriodo muro.O problemadedimensionamentodo murosetransformaentãoemum procedimentodetentativae erro.Alargura necessária para a base geralmente se situa entre 30% e 60% da altura do muro.

Os critériosparaum projetosatisfatóriode umaseçãode um muro dearrimo podemser enunciados como segue:

(a) – A basedo muro devesertal quea máximatensãoexercidano solo de fundaçãonão exceda a sua tensão admissível.

(b) – Não devemsedesenvolvertensõesde traçãosignificantesem nenhumapartedomuro.

(c) – O muro devesersegurocontrao deslizamento,ou seja,o fator desegurançaaodeslizamento deve ser adequado.

(d) – O murodeveserseguroquantoaotombamento,ou seja,o fator desegurançaaotombamento deve ser adequado.

(e) – Deve haver segurança à ruptura do conjunto solo/muro (ruptura global).

Para qualquer configuração do problema esses critérios são investigados como segue:

(a) – A pressãoexercidapelaforçaN nabasedo muroé umafunçãodeseumóduloede suaexcentricidade,e. Assumindouma variaçãolinear da pressãona basedomuro,o equilíbrio de forçasé atendidoquandoastensõesmáximase mínimasnabasesãodadaspela eq. 5.25, mostradaadiante(vide fig. 5.17). Deve-setambémlimitar o valor da excentricidade,de modoquenãoocorramtensõesde traçãonosolo. Pode ser mostrado que para que esta condição seja atendida temosque e ≤ b/6.

−=

+=

be

bN

be

bN

61

61

2

1

.

.

σ

σ

(5.25)

Figura 5.17 – Tensões desenvolvidasno solo da base do muro de arrimo.Modificado de Venkatramaiah, (1993).

(b) As seçõesnecessáriaspara que se obtenhauma segurançaglobal do conjuntosolo/muro geralmente conduzem à satisfação desta condição.

(c) Se o ângulo de atrito entre o solo e a basedo muro é δ’, o requerimentodesegurançacontrao deslizamentoé que a obliqüidadeda reaçãoR sejamenordoque δ’. Isto pode ser expresso como:

130

υυ−

=1

Ko (5.26)

O fator de segurançacontrao deslizamentoda basedo muro podeser representadopelaeq.5.27,isto é, o somatóriodasforçashorizontaisresistentespelo somatóriodasforçashorizontaisatuantes.Deve-seprocuraradotarum fator sesegurançaaodeslizamentosuperiora 1,5 para solos granularese superiora 2,0 para solos coesivosou quandoa resistênciapassiva for considerada.

( )TtgN

SF desl

'.. .

δ⋅= (5.27)

(d) Paraqueo murosejaseguroquantoaotombamento,a reaçãoR devecruzara basedo muro. Seo requerimentode quenãosurjamtensõesde traçãono solo dabasedo muroé atendido,entãoo muroé seguroquantoao tombamento.Mesmoassim,deve-seconsiderarum fator desegurançaadequado,nestecaso,tambémsuperiora1,5 parasolosgranularese superiora 2,0, para solos coesivos.A eq. 5.28 nosforneceo valor do fator sesegurançaquantoao tombamentodo muro (Fs=∑MR\∑MA) :

( ) ( )1

221

zE

zExbExbWSF

ah

phavtomb ⋅

⋅+−⋅+−⋅=...

(5.28)

Em estruturasde contençãocompostapor gabiões,a análiseda estabilidadeinternadeveserlevadaemcontadevidoa possibilidadederupturainternadaestruturadearrimo.Astensõessuportadaspeloconjuntodaestruturapodemlevara esforçosinternosexcessivosqueatuamdiretamentenasjunçõesdosblocoscausandomovimentaçãona interfacebloco/bloco.Neste caso, deve-severificar a segurançacontra o deslizamentodos blocos de gabiõessuperioressobreosinferiores.Conformeilustradonafig. 5.18,nestasanálisesdetermina-seoempuxoativo que atuana partedo muro acimada seçãoanalisadautilizando-sea mesmametodologia empregada no conjunto global da estrutura.

Forças atuantes em cada seção daestrutura:

E - Empuxo AtivoP - Peso Próprio T - Força tangencial na baseN - Força Normal a base

Figura 5.18– Verificaçãodastensõesinternas para o casode muros dearrimo emgabiões

A análiseda estabilidadenasseçõesintermediáriasé feita tomando-sea resultantedoequilíbrio de forçase calculando-seastensõescisalhantese normaismáximasqueatuamnaseção.

131

Tensão de Cisalhamento:

B

T=τ (5.29)

Tensão Normal:

d

N

⋅=

2σ

(5.30)

tomando d como:

N

MaMrd

−= (5.31)

onde:B é o comprimentoda camadade gabiõesacimada seçãoanalisada,Mr e Masãodeterminadosnaverificaçãodo tombamentoe d é a distânciaentreo pontode aplicaçãode N e o canto inferior esquerdo da base da seção. T, e N, resultam do equilíbrio de forças.

Os valores admissíveis para as tensões cisalhantes e normais são:

gadm cN +⋅= *tanϕτ

3050 −⋅= gadm γσ(expresso em tf/m2)

onde: �* � 25 ��� z � 10o

5,03,0 −⋅= ug Pc(expresso em tf/m2)

Nestas expressõesγg é o pesoespecíficodos gabiõese Pu é o peso damalha em kgf/m3.

O pesoda malha é função de suatração admissível,onde essacorrelaçãoéobtida de acordo com o fabricante damalha,ou seja,é determinadono processode produção.

A segurançaà rupturaglobaldeveserverificadaatravésdaanálisedeestabilidadedesuperfíciesde ruptura que englobema estruturade contenção.Isto é feito normalmenteutilizando-seum dos métodosdesenvolvidospara o cálculo da estabilidadede taludes(geralmente o método das lamelas), os quais são estudados no próximo capítulo.

As dimensõesdo muro de arrimo sãodefinidaspor tentativasde modo a atenderascondiçõesapresentadosacima, isto é, segurançaquanto ao deslizamento,tombamento,capacidadede cargada fundação.Comopré-dimensionamentopode-seadotarasdimensõesapresentadas na fig. 5.19.

132

0,3H a H/12

0,5D a D

D

0,5 a 0,7H

H/8 a H/6

1:4H

>20cm

H/12 a H/10

B= 0,4 a 0,7H

B/3

H

Figura 5.19 – Sugestões de medidas para dimensionamento de muros de arrimo.

Finalmente,chama-sea atençãopara os benefíciosque um sistemade drenageminterna propicia: a saturaçãodo maciço, com elevaçãodas pressõesneutras,aumentaráconsideravelmenteos esforçossobre o muro. Talbot apresentauma regra prática para adrenagem de muros de arrimo, que consiste na relação:

AdAm

�0,01 (5.32)

onde: Ad: área da seção transversal dos drenos. Am: área do muro a ser drenado.Os drenosdevemter inclinaçãomínimade2% paraasseguraro fácil escoamentodas

águas,bemcomodisporde pingadurasde 5cm paraevitar o efeito antiestéticodeixadopelocorrimento da água sobre o muro. De maneira geral utiliza-se uma camadadrenanteconstituídapor material de alta permeabilidade(brita, cascalho)com cerca de 40cm deespessura.Na parte interna do muro deve ser colocadoum dreno (por exemplomanilhasperfuradas,tubos de PVC). Externamenteao muro, deve existir um coletor para a águaprovenientedaspingadurase do drenointerno.Estecoletorevita o solapamentoda basedomuroe conduza águaparaum local adequado.A fig. 5.20(a)ilustraasconsideraçõescitadasacima,enquantoquefig. 5.20(b)apresentaoutrasoluçãoparadrenagemadotadaemmurosdeconcreto.Trata-sedautilizaçãodeum geocompostoparadrenagem,quenadamaisé queumamantasintéticacompostapor um núcleotridimensionaldrenantee envoltapor doisgeotêxteisnão-tecidos.Essadrenagemé feita na interfacesolo/estrutura,direcionandoo fluxo paraumsistemacoletor drenantecompostopor um tubo perfuradocolocadona parte inferior daestrutura.

As cortinasde estacasprancha,conformejá exposto,sãoconstituídaspor peçasdemadeira,concretoou aço,cravadasno terreno,quesedestinama retençãode águaou solo.Tem larga aplicaçãoem obras portuárias,proteçãode taludes, aberturade valas, etc.Atualmente,o empregodeestacaspranchademadeiraencontra-selimitado emvirtudedo seucomprimentorelativamentepequeno(em torno de 5m), ocorrênciade danos durante acravação,principalmenteem terrenosmais resistentes,bem como, duraçãoreduzida emambientessujeitosa variaçãodo lençol freático. As estacasde concretoapresentammaiorresistênciaqueasdemadeira,no entanto,osproblemasdecravaçãotambémtornamo seuusorestrito.As estacaspranchametálicastem sido usadascom maior frequênciadevidoà maiorfacilidadedecravaçãoe derecuperação,melhorestanqüeidadee possibilidadedereutilização,no entanto, estas estacas podem apresentar problemas de corrosão.

133

Coletor externo

Camada drenante

Dreno interno

Drenos com incl. de 2% e pingaduras

(a) (b)Figura 5.20 – Sistemas de drenagem em muros de arrimo.

������� ����� ����������� ������������������� �!�"��#�� $���$�% �����&� $'(�)��#*� + �

As cortinasdiferemestruturalmentedosmurosde arrimo,por seremflexíveis e terempeso próprio desprezível em face das demais forças atuantes.

Baseadosem seu tipo estruturale esquemade carregamento,as cortinaspodemserclassificadascomocortinassemancoragem(cantilever)e cortinasancoradas.Por suavez,ascortinasancoradaspodemsersubdividasemcortinasdeextremidadelivre ou deextremidadefixa, de acordo com a profundidadede penetraçãoda estacapranchano solo (ficha),resultando esta diversidade, em diferentes métodos de cálculo, como veremos adiante.

Para o cálculo das cortinas admite-se geralmente as seguintes hipótesessimplificadoras:

, distribuição hidrostáticadas pressõesativas e passivas,similar às teorias clássicasdedistribuição de empuxo do solo sobre estruturas de contenção.

, ângulo de atrito entre o solo -cortina é considerado nulo, flexibilidade da cortina negligenciada.

������� ���.-/�10(� ���2��#*� 3 ��45��#*��� �6�87���4:9;�&��#&�2��� � <"���>=

São usadaspara estabilizarpequenasalturas de solo. Em geral, são usadascomoestruturastemporáriasde suporte,podendo,no casode solosarenosose com pedregulhos,seremusadascomo estruturaspermantes.Uma cortina sem ancoragemresisteao empuxodevidoaoseuengastamentono soloe,portanto,é necessárioexistir um comprimentomínimode embutimentoda estacano solo, abaixodo fundo da escavação,quegarantao equilíbrio,com margemde segurançaadequada.A estabilidadede uma cortinade estacapranchasemancoragemou em balançoé somentedevido à resistênciapassivadesenvolvidaabaixodasuperfíciedo terrenoe do mesmolado da escavação.O modo de rupturaé por rotaçãonoentornodo ponto o, conformemostraa fig. 5.21a,consequentemente,a resistênciapassivaatuatantona frentedacortina,acimado pontoo, comona parteposteriorda cortina,abaixodo ponto o (fig. 5.21b). Em geral, adota-separa projetos uma simplificação (fig 5.21c),

134

assumindo-seque a resistênciapassivaabaixo do ponto o é representadapor uma forçaconcentradaEp2 agindono pontoo, ou seja,naprofundidadef abaixodasuperfíciedo terreno,do lado da escavação.O comprimentoda ficha (f) é determinadafazendosomatáriodosmomentos no ponto o igual a zero. Desta forma teremos, para um solo não coesivo (c=0):

�M o � 0 Ep1

f3 � E a

h � f3

(5.33)

Substituindo na eq. 5.33, os valores de Ea e Ep1 teremos:

12 � kp ����� f 2

�f3 �

12 � ka ���� h f 2

�h f

3kp � f 3 � ka � h f 3 � 0 (5.34)

O

Ea

Ep1

Ep2

Ea

Ep1

Ep2

H

f

O

(a) (b) (c)

Figura 5.21 - Cortina de estaca prancha sem ancoragem - Solo não coesivo

O comprimentoteóricodaficha (f) é obtidoresolvendoa eq.5.34,queé umaequaçãodo 3o grau.A favor dasegurança,aconselha-seadotaro valor final da ficha 20%maiorqueocalculado, assim teremos:

f final � 1,2 � f (5.35)

Casoo solo a ser contido apresentecoesãoe ângulo de atrito (c ≠ 0, φ ≠ 0), istoconduz a um diagrama de pressões como o apresentado na fig. 5.22.

O

Ea

Ep1 Ep

2

h

f

O

zo

� 2c � ka

2c � kp

� � f � kp � 2c � kp ��� h � f � ka � 2c � ka

Figura 5.22 - Cortina de estacaprancha semancoragem- Solo com coesãoe ângulo deatrito.

135

Desta forma, cabe ressaltarque, aqui são válidas todas as consideraçõesjámencionadasno cálculo de tensõeshorizontaisconformeprevêas teoriasclássicas.Outropontodignodenota,é referenteà presençadeníveld'água.Casoo nível deáguaesteja na mesma posição nos dois lados da cortina, a distribuição de pressão neutra seráhidrostáticae balanceada,consequentemente,poderáser desconsideradaparafins decálculo.Casocontrário,isto é, a águaestejaapenasum lado da cortina.o efeito doempuxo hidrostático deve que ser considerado.

������� ��� ��� �������������������������������

A utilização de ancoragens,permite uma reduçãodas deformaçõeslaterais, dosmomentossolicitantese da profundidadede cravaçãoda estaca.Podeserutilizado uma oumaislinhasde tirantes.De umamaneirageral,asestacaspranchasãocravadasno solo atéaprofundidade fixada em projeto e em seguida procede-se a escavação em estágios, quando vãosendo colocados os elementos de suporte adicionais (estroncas, tirantes, etc).

A estabilidadedascortinasancoradasé devidoà resistênciapassivadesenvolvidanafrente da estaca e devido a força de ancoragem do tirante.

Existemdoismétodosclássicosde cálculodecortinasancoradas,quesão:cortinasdeextremidadelivre (fig. 5.23a)ou deextremidadefixa (engastada)(fig. 5.24a).Cadaum destesmétodos será apresentado a seguir.

�! "#���$���������%�'&(&*)��+�$&�,-� �.����&0/�� 1��$&

Parao cálculo, admite-seque as estacascorrespondema vigas verticais sobredoisapoios,sendoum a ancorageme o outroa reaçãodo solonafrentedaficha.Nessemétododeanalise é assumidoque a profundidadede embutimentoda estaca,abaixo do nível daescavação,é insuficienteparaproduzira fixaçãodamesma.Dessaforma,a estacaé livre paragirar naparteinferior e o diagramademomentoobtidotemaformaapresentadanafig. 5.23b.O modo de rupturaé por rotaçãoem torno do ponto de aplicaçãoda ancoragem(T) e emprojetos é essencialassegurarque os momentosestabilizantesdisponíveisexcedamosmomentos instabilizantes, por uma margem de segurança adequada.

O

T

O

T

f

h

h1

Ea

Ep f

O

T

h

h1

(a) (b) (c)Figura 5.23 - Cortina de estaca prancha ancorada - extemidade livre.

A profundidadede embutimentoda estaca,ou seja,a ficha, é determinadafazendoosomatóriodos momentos,em relaçãoao ponto de aplicaçãoda ancoragemigual a zero.Assim, para um solo não coesivo, temos:

136

�M T � 0 Ep

23 � f � h � h1 � Ea

23 � h � f � h1 (5.36)

Substituindo-sena eq.5.36,os valoresde Ea e Ep, chegaremosa umaequaçãode 3o

grau,queresolvida,nospermiteencontraro valor daficha (f). Umavezdeterminadaa ficha,aforçano tirantepodesercalculada,visto quea somaalgébricadasforçashorizontaisdeveserigual a zero. Assim, temos:�

F h � 0 T � E p E a 0 (5.37)

Neste caso, também se recomenda acrescer o valor da ficha calculado de 20%.� ������������ ���������! �"���$#%� �&�$�&�('�� )�

Estemétododeanáliseé utilizadoquandoa partecravadadacortinaé suficienteparaconsidera-la engastada no terreno. Assim, para efeito de cálculo, considera-se a estaca apoiadano topo (pontode aplicaçãode T) e engastadana extremidadeinferior, pontoa (fig. 5.24a).Paratanto,é precisoque os pontosa e T sejamo mais rígidospossíveis.Na prática,isto éconseguidopor meio de uma ancoragemadequada,no ponto T e, no ponto a, fazendoaspressões ativas iguais às pressões passivas (ppa=paa). Desta forma, obtém-se o valor de x:

pp a * pa ax + pb,.- kp / ka

(5.38)

T

x

h

y f

h1

a

b

O

pb

Pp

O

T

. a Pa x

h

y f

Rf

. g

c

d e

a) (b)

Figura 5.24 - Cortina de estaca prancha ancorada - extemidade fixa.

Comopodeserobservadonafig. 5.24,osempuxosabaixodo pontoa, isto é, referenteao trechoy, não podemser obtidos,uma vez que y é uma incógnita.Assim adota-seumasimplificação,a qualconsisteemadmitir a existênciadeumaforça resultanteR, na linha doapoioa, queequilibreo sistema,(empuxospassivose ativosno trechooa). A forçaR atuanocentro de rotação a, não influindo, portanto, no equilíbrio de momentos.Dessaforma,tomando-sesomatóriodos momentosem relaçãoao ponto de aplicaçãode R igual a zero,obtém-seo esforçono tirante(T). Em seguida,fazendo-seequilíbrio dasforçashorizontais,encontra-se o valor de R, conforme mostra a eq. 5.39.

137

T � R � �Ep � �

Ea (5.39)

A estabilidadedo pontoa é asseguradaaprofundando-sea cravaçãoda estacano solodeum valor igual a y, o qualpodeserdeterminadopelaeq.5.40,a qualé obtidatomando-sesomatório dos momentos devido à força R e aos empuxos passivos e ativos no trecho oa.

y + 6R��� kp � ka(5.40)

O comprimentodaficha é dadopelaeq.5.41.É convenienteaumentarestevalor de20a 40%.

f � x � y (5.41)� �� ������������������! ��" #������$�%&��'( �)�*&$!�As escavaçõescom escoramentossãonormalmenteutilizadasem obrassubterrâneas

(metrôs, galerias, túneis), valas para instalaçãode sistemasde águaspluviais, esgotos,adutorase sub-solosde edifícios. Os escoramentoscompõem-se,de um modo geral, dosseguinteselementos:paredes,longarinas,estroncase tirantes(fig. 5.25).Paredeé a parteemcontatodireto com o solo a ser contido,podendoser formadapor materiaiscomo madeira,aço ou concreto. +-,/.1032546,703879:,�;&2<0>=?.@4:,

ACBED 4GFH9,/0JI B FK432 B L 4KM�NH0

OKP�Q�RTSVUWPXEY QWZ XEY UT[1U�P

(a) (b)

\^]>_K`badc-egfbh

ikjladcb]Hm5f

(c)

Figura 5.25 - Escoramento de escavações.

138

As paredespodemserflexíveis ou rígidas.No primeiro tipo enquadram-seascortinasde estacaspranchae similarese no segundoas paredesdiagrama.Longarinaé o elementolinear, longitudinal,em quea paredeseapóia.Estroncasou escorassãoelementosde apoiodaslongarinas.Dispõem-se,portanto,no planoverticaldaslongarinas,sendoperpendicularesàs mesmas e podem ser constituídas de barras de madeira ou aço (fig. 5.25a). As estroncas sãoelementossubmetidosà compressãoe aopesopróprio.Em escavaçõesestreitas,osmomentosdevidosao pesopróprio são pequenos,porém em escavaçõeslargasisso pode ter grandeinterferência,sendonecessáriopensarem apoiose contraventamentosparaessasestroncas,oque diminui o espaçoútil dentro da escavação.Nestassituações,tem-seutilizado tirantesancoradosno terreno(fig. 5.25c).Outra alternativamais simples,consistena colocaçãodeescorasinclinadase apoiadasno fundo da escavação.(fig. 5.25b). Tirantessãoelementoslinearesintroduzidosno maciçocontidoe ancoradosemprofundidadepor meiodeum trechoalargado,denominadobulbo,osquaistrabalhama tração(fig 5.25c)Umavezdefinidoo tipode parede,deve-sedefinir o tipo de escoramentoa empregar.O mais comum é utilizarestroncas,porém devido a problemastais como largura da vala, circulação interior edeslocamentos da parede pode-se optar por tirantes ancorados no solo.

A conjugaçãode perfismetálicos(H ou I) com pranchõesde madeira,suportadosporestroncasa diferentesprofundidade,é um dos tipos de escoramentoflexível mais utilizado.Na fig. 5.26,estãoapresentados,em corte e em fotografia,esquemasde implantaçãodessetipo de estrutura de arrimo.

Figura 5.26 - Escoramentocom estacae pranchõesde madeira. Modificado de Gaioto,1993.

Como visto, o escoramentoé normalmenteusado para suportar as paredesdasescavações,sendo a estabilidadeasseguradapor meio de estacasou escorasagindotransversalmentea escavação(figs 5.25e 5.26).A estacaé, inicialmente,cravadano terreno.Em seguida,inicia-se a escavação,que prossegueaté a colocaçãodo primeiro nível deestroncas.Quandoo primeiro nível de estroncasé instalado,a profundidadeda escavaçãoéaindapequenae, asdeformaçõesdamassade solosãopraticamentenulas,portanto,o estadooriginal de tensõespermanecepraticamenteinalterado(repouso).Ao prosseguira escavação

139

atéa profundidadedo segundonível de estroncas,a rigidez da primeiraestroncaimpedeosdeslocamentosda partesuperiordo escoramento,poréma profundidadeda escavaçãogeraesforços laterais suficientespara provocar um deslocamentodos perfis para dentro daescavação(fig. 5.27a). Á medida que a escavaçãocontinua, mais se acentuam osdeslocamentos,de forma quequandoseatingeo fundo da vala,o estadodo escoramentoseencontrana posiçãoAB` (giro em torno do topo) e normalmentenosníveis inferiores,essesdeslocamentossão suficientespara mobilizar a situaçãode equilíbrio plástico ativo deRankine.Assim, nos escoramentos,temosuma situaçãode equilíbrio elástico,próximo àsuperficie,e umasituaçãode equilíbrio plástico,a maioresprofundidadese os diagramasdeesforçoslateraistêmumaformadiferentedaespecificadanasteoriastradicionais(fig. 5.27b).Na partesuperiordesenvolvem-sepressõesquemaisseaproximamdo repouso(portantomaiselevadas),resultandoum diagramateórico de forma parabólica,por conseguinte,com omáximoaproximadamenteno centroda alturada parede.Essefenômenode transferênciadepressõesde um nível que passoupela condiçãode ruptura, para outro nível adjacente,éconhecidocomoarqueamento.Comopode-seobservar,ascondiçõesdedeformaçãodateoriade Rankinenãosãosatisfeitase, portanto,essateorianãopodeserusadaparao cálculodeesforçoslateraisemvalasescoradas.Segundoa teoriadeRankine,a pressãolateralsobreumaestruturade contençãovaria linearmentecom a profundidade.Entretanto,os resultadosobtidos da instrumentação instalada em escoramentosde valas tem demonstrado,frequentemente,queasmaiorespressõesocorremà meiaaltura,e àsvezes,na partesuperiordessasestruturas.A interpretaçãodessasmedidasindica que distribuição de tensõesestádiretamenterelacionadacom as deformaçõessofridas pela estruturade arrimo duranteoprocessoconstrutivo.Interferemnessasdeformaçõeso tempodecorridoentrea escavaçãoe acolocação das estroncas, a forma de colocação das estroncas e as variações da temperatura.

����

�

�

�

�

(a) (b)Figura 5.27 - Distribuição das pressõeslaterais resultantesdasdeformaçõesde uma vala

escorada.

O procedimentousual para avaliação dos esforços laterais em escavaçõescomescoramentosé semi-empírico,sendo baseadoem medidasde cargasque atuavamnasestroncas,em grandenúmerode escavaçõesfeitas em areiae argila. A partir dos esforçosmedidos, criaram-sediagramaspara vários tipos de solos. Tais diagramasfornecem,geralmente,valoresconservadores.Os diagramasdeesforçoslateraisno solo maisutilizadossãodevidosa Therzaghi& Peck(1967),em queos carregamentossãoem funçãodo tipo desolo, conformemostradona fig. 5.28. Observarque os diagramasaparentesapresentadosreferem-seexclusivamenteaosesforçosdevidoao solo.Havendoáguae/ousobrecargaa suacontribuição também deve ser levada em conta.

O esforço lateral em solos arenosos,segundoTerzaghi & Peck, apresentaumadistribuiçãouniforme e constantee vale 0,65 vezeso valor obtido pela teoria de Rankine

140

(0,65.ka.γ.h). Já em solo argiloso, o comportamentoda escavaçãodependedo valor donúmerode estabilidade(N= γ.H/c), ondec é a coesãoda argila adjacenteà escavação.Seonúmerode estabilidadeé menorque4 (N<4), a argila adjacenteà escavaçãodeveestaremequilíbrio elástico e para essacondição,Terzaghi & Peck recomendama utilização dodiagramadafig.5.28b. SeN>4, umazonadeplastificaçãopodeseresperadapróximadabasedaescavaçãoe o diagramada fig. 5.28cdeveserusado.Em geralo valor dem na fig. 5.28cdeve ser tomadocomo unitário (um), entretanto,em casosde argilas moles normalmenteconsolidadas m=0,4 (isto quando γ.h/c >4).

AREIA ARGILA RIJA FISSURADA ARGILA MOLE A MÉDIA

������������

�

�����������������

�

������ !�

������ !����" #�$�

%'&γ (*)

)

+�,.-�/ )+0,�1�/ )

k' 2 1 3 m4c4 H

(a) (b) (c)Figura 5.28 - Diagrama de esforçoslaterais para dimensionamentodoselementos

de escavações escoradas.

No dimensionamentoestrutural dos perfis, pode-seconsidera-locomo uma vigacontínuacom a partesuperiorem balançoe intermediariamenteapoiadonasestroncase aparteinferior em balançoou com ascondiçõesde apoiodeterminadaspelaprofundidadedeembutimentodo perfil (ficha). Um processorápidoparadeterminaçãodosesforçossobreasestroncas está representado na fig. 5.29.

5$65�75

88:9

lj

lu

ln

li . li/2

. ln/2

. lj/2 . lu/2

1o. apoio

apoio (i)

apoio (u)

Pb, Pa, P, Q, Qu... resultantes das forças devido às tensões nas áreas indicadas

Forças nas estroncas

na primeira: P1 = Pb+Pana intermediária: Pi = Pna última: Pu = Q/2+Qu

Figura 5.29 - Processo simplificado para determinação dos esforços nas estroncas.

;<>=#<>?@<"AB<DCFEHGJILKNM>O�M P#IP#Q$P�IRESCFE@TUIWVXILY[Z\QWESCFERT[]R^_IP�IREAlém do cálculo estruturaldas partescomponentesdo escoramento,é necessário

realizarverificações,taiscomo:profundidadedeembutimentodaficha,estabilidadedo fundoda escavação(levantamentoe piping), escorregamentode todo o sistema,deslocamentodaparede.

141

a) Verificação da ficha

Os perfismetálicoscom pranchõesde madeira,nãoconstituem,abaixoda escavação,uma paredecontínuacomo as estacasprancha.A resistênciamobilizadapela ficha (f) seconcentraem torno dos perfis, que são cravadosisoladamente,dessaforma, é necessárioverificar o empuxopassivodisponívelparagarantiro apoiodo perfil. Uma forma de cálculopropostapor Weissenbach,considerandoperfil comababo =30cme espaçamentoentreperfisL>1,50m, é dada pelas expressões:

E p � 7,0 f 2 (para areia úmida de densidade média) (5.42)

E p � 3,5 f 2 (para areia submersa de densidade média) (5.43)

Para outros tipos de solos, outras larguras de aba e espaçamentoentre estacasinferiores a 1,50m, deve-se utilizar fatores de correções nas fórmulas acima (f1, f2 e f3):

f1 (correção devido ao solo):2,0 - Margas em blocos (c>10kN/m2)1,5 - Areia (Dr >70%)0,6 - Silte e argila

f 2� b

30(b= largura da aba do perfil - cm)

f 2� L

1,5(L= espaçamento entre perfis - m)

Na verificação da ficha procura-se um fator de segurança mínimo de 1,5.

b) Ruptura do fundoEstemecanismode rupturanormalmentetem maior importânciaquandoo fundo da

escavaçãoseencontraemargilamole,nãoserevelandocondicionantede projetoparaoutrostipos de solo. O mecanismode rupturaassociadoa estefenômenopodeser assemelhadoaruptura de fundação direta, que está esquematizado na fig. 5.30.

Figura 5.30 - Estabilidade do fundo da escavação. Modificado de Caputo, (1981).

142

Nestescasos,o coeficientedesegurançadavalacomrelaçãoaomecanismoderupturade fundo pode ser obtido através da comparação do carregamento do lado externo da vala coma capacidadede cargado solo calculada,por exemplo,atravésda teoriageralde capacidadede carga de Terzaghi. Para as condições da fig. 5.30, o coeficiente de segurança é dado por:

Fs � c � N c

� � H � q (5.44)

ondeNc podeserobtidoconformesugeridopor Skemptone queestáapresentadonafig. 5.31.

B

q

H

Figura 5.31 Fatores de capacidade de carga segundo skempton. Modificado deCaputo, (1981).

É importanteressaltarque a ficha da paredede contençãotem atuaçãofavorávelnosentidode aumentaro coeficientede segurançacontraa rupturade fundo, umavez queestaaumenta a estabilidade pelo acréscimo de sobrecarga.

Em solosarenosos,empresençadeágua,o fluxo paradentrodaescavação,pelabase,tenderáa promovero aparecimentode areiamovediça.Há necessidade,portanto,de impedirque as pressõesneutrasgeradassuperemo pesototal de solo no fundo da escavação.Ocontroleda percolaçãodeágua,o aumentoda ficha e a colocaçãode filtros sãomedidasqueauxiliam a garantir a estabilidade do fundo da escavação.

c) Estabilidade geral

A estabilidadede todo o sistemapodesercalculadapor qualquermétodode cálculode equilíbrio limite, normalmenteempregadoparaavaliaçãoda estabilidadede taludes.Noscasosnormaisos valoresmais aceitospara o coeficientede segurançasão1,3 para obrasprovisorias, e 1,5, para obras permanentes.

��������� ���� ����������������������� "!#�$ %�&���

Nasescavaçõesa céuaberto,é sempremaiseconômicoprevera execuçãode taludessemou com bermasdo queparedesverticaisescoradasou ancoradas,levando-sesempreemconsideração a resistência ao cisalhamento do solo.

143

A tabela5.3 apresentaalgumasindicaçõessobreasinclinaçõesadmissíveisdo talude,em função da profundidade da escavação e das características do solo (peso específico, ângulode atrito e coesão).

Tabela 5.3 - Sugestões de inclinações admissíveis de taludes sem escoramentos.Solo γ

(kN/m3)φ

(graus)Coesão(kPa)

Profundidade daescavação (m)

Inclinação dotalude

Areia muitofina

18 22,5 10

0,0 - 3,03,0 - 6,06,0 - 9,09,0 - 12,0

12,0 - 15,0

1:1,51:1,751:1,91:2,21:2,5

Silte 20 20 15

0,0 - 3,03,0 - 6,06,0 - 9,09,0 - 12,0

12,0 - 15,0

1:1,51:1,51:1,81:2,151:2,5

Argila mole 19 15 25

0,0 - 3,03,0 - 6,06,0 - 9,09,0 - 12,0

12,0 - 15,0

1:1,51:1,51:1,51:1,81:2,4

Argila rija 20 10 35

0,0 - 3,03,0 - 6,06,0 - 9,09,0 - 12,0

12,0 - 15,0

1:1,51:1,51:1,51:1,81:2,6

��� ��� ��� ������ ��������� ������������� ��� !�"�#�$��%&�('�)* !��+!��,!-�

A escavaçãoem solospermaneceverticalmente,semsuporte,atéquea profundidadeatinja a chamadaprofundidadecrítica (Hcr). Supondoque a ruptura ocorra segundoumasuperfície plama, a altura crítica é dada por:

Hcr . 4c/ tg 45 0

1

2(5.45)

No caso de solo puramente coesivo (φ=0°), a altura crítica resulta em:

Hcr 2 4c3 (5.46)

De acordo com Terzaghi, a altura crítica será:

Hcr 4 2,67 c5 tg 45 6

72

(5.47)

Para solo argiloso (φ=0°), tem-se:

Hcr 8 2,67 c9 (5.48)

144

6. ESTABILIDADE DE TALUDES

����������� � �����������

As superfíciesde terrenosnão horizontais,conhecidasgenericamentecomo taludes,podemser agrupadasem duascategorias:taludesnaturais(aquelesformadospela açãodanatureza,seminterferênciahumana,denominadosgenericamentede encostas),ou artificiais(formadosoumodificados,pelaaçãodiretado homem,comporexemploostaludesdecorteeaterro). Graçasao desnível existenteno terreno, estestaludes são submetidosa forçasgravitacionaise eventualmentede percolação,que tendem a mover o solo para baixo,instabilizando-o.Quandoa resistênciado solo não é suficientepara conter a açãodestasforçasinstabilizantes,umapartedo terrenopassaa semoveremrelaçãoa outra,ocorrendoaruptura.De acordocoma velocidadedemovimentodapartedo solo instável,osmovimentosde terra podem ser classificados em: rastejo, escorregamento e desmoronamento.

Os rastejossão movimentosbastantelentos e contínuosque ocorremnas camadassuperficiaisdo maciço,nãoocorrendonecessariamenteumarupturaclássica,com separaçãodasmassasestávele instáveldo solo. Os movimentosdevidoao rastejosãogeralmentedaordemdealgunsmilímetrospor ano,massãocapazesdeprovocarencurvamentoemárvores,deslocamentode cercas,rupturasde tubulaçõesancoradasna superfíciedo terreno,etc. Avelocidadede rastejoé afetadapor diversosfatores,tais como, a geometriado talude,ascaracterísticas tensão-deformação do solo, e as condições de umidade do solo, que por sua vezsãoafetadaspeloclima daregião.Jáosdesmoronamentossãomovimentosrápidos,resultantedaaçãodagravidadesobrea massadesoloquesedestacado restantedo maciçoe rola taludeabaixo, acumulando-se no pé da encosta.

Os escorregamentos,por suavez,sãomovimentosquepodemserlentosou rápidoseprocedemdo deslocamentode umacunhade solo quesemovimentaem relaçãoao restodomaciço,segundouma superfíciede ruptura bem definida. A fig. 6.1 ilustra os tipos maisimportantesde superfíciede escorregamento.A forma da superfíciede ruptura pode sercircular ou não circular, quando em presençade solo homogêneoe não homogêneo,respectivamente.

Superfície circular

Superfície plana

Superfície composta

Figura 6.1 - Tipos de superfícies de ruptura.

145

Taludesíngremesgeralmenteapresentamsuperfíciesde rupturaplana,enquantoquetaludessuavesescorregamsegundosuperfíciescilíndricas.A presençade um extratocomresistênciasignificativamentediferente,comoporexemploa ocorrênciadeum extratodesolomole,ou de um contatorocha-solo,ou mesmoasestruturasherdadasdarochamãepelosolopodem condicionar a forma e a posição da superfície de ruptura.

Os escorregamentosde taludes são normalmentecausadospor uma redução daresistênciainterna do solo que se opõe ao movimento da massadeslizantee/ou por umacréscimodassolicitaçõesexternasaplicadasao maciço.Dessaforma, pode-sedizer queosescorregamentospodem ocorrer devido a açõesexternas,internas ou mistas. As açõesinstabilizantesexternassãoaquelasquealteramo estadode tensãoatuantesobreo maciço,comopor exemploo aumentodainclinaçãodo talude,disposiçãodematerialao longodasuacrista e os efeitos sísmicos.Estas alteraçõespodem resultar num acréscimode tensõescisalhantesque igualandoou superandoa resistênciaintrínsecado solo levam o maciço àcondiçãode ruptura.As açõesinternassão aquelasque atuamreduzindoa resistênciaaocisalhamento do solo constituinte do talude sem mudar o seu aspecto geométrico. Estas causaspodemser,por exemplo,o aumentodapressãonaáguaintersticialou o decréscimodacoesãodo solo,causadopelacontinuaçãodo processodeintemperismoou peloaumentodo seugraude saturação(reduçãoda coesãoaparentedo solo).O fenômenode liquefaçãodasareiase aerosãointernado maciçosãochamadosde causasintermediárias,pois nãoseenquadramemnenhuma das duas categorias descritas anteriormente.

A açãoda água tem sido uma das maioresresponsáveisna ocorrênciade muitosescorregamentosde taludes.Ao infiltrar em um maciçode terra,a água,podeproduzir osseguintes efeitos potencializadores da ocorrência de deslizamentos de terra:

� introdução de uma força de percolação, no sentido do escorregamento;� aumentodo pesoespecíficodo soloe, portanto,da componenteda forçadagravidadeque

atua na direção do escorregamento;� perda de resistência do solo por encharcamento;� diminuição da resistência efetiva do solo pelo desenvolvimento das pressões neutras;

Além daágua,outroagenteimportantena instabilizaçãodetaludesé a açãoantrópica,quepodealterara geometriadostaludes,realizandocortes,escavaçõese aterros,perfurandotúneis, alterando a cobertura vegetal, etc.

Os taludespodemeventualmentepor si só manteremsuasconformaçõesgeométricasestáveis.Em casonegativo,contudo,seránecessárioestabilizá-los.Isto requera construçãode obrasquevão desdeumasimplesmudançaemsuageometria(retaludamento),incluindo-se,por vezes,bermas,que além de alterara forma geométricapermitemfazer a drenagemsuperficial do maciço,até obrasde contenção,abrangendoos muros de arrimo, placasdeancoragem, os escoramentos, etc.

Nos projetos de estabilização o fundamental é atuar sobre os mecanismosinstabilizadores,eliminandoascausascomobrasou medidasparamelhorara segurança.Seaaçãoinstabilizadoraé a percolaçãode águano maciço,devemser convenientesobrasdedrenagemprofunda e/ou impermeabilizaçãoa montantedo talude. Os efeitos de erosãopodem ser combatidosadotandoproteçãovegetal com gramínease rede de drenagemsuperficialcom canaletas,descidasd`água,linhasde declive,etc.Seo deslizamentoocorrerpor efeito das forças gravitacionais, o retaludamento deve ser a primeira opção a ser pensada.

Nasobrasdeestabilizaçãoé importanteconsiderartambémassoluçõesmaissimples,àsvezes,elassãoasmaisadequadas.As obrasmaiscarassósejustificamquandoo processode instabilizaçãonãopodesercontroladopelasobrasmaissimplesou quandoascondiçõesgeológicas e geotécnicas obrigam a utilização de obras mais complexas.

146

A segurançadeum maciçoé usualmentequantificadaatravésdeum número,o qualédenominadofator desegurança(FS).Atravésdestenúmero,busca-sedeterminara razãoentrea resistênciaao cisalhamentodisponível(s= c+ σ tg φ) e os esforçosatuantesao longo dasuperfície potencial de ruptura, ou seja:

FS � Resistência disponívelEsforçosatuantes

(6.1)

A resistênciadisponível na superfíciede ruptura pode ser explicitada atravésdasforçasresultantesdacoesãoe atrito do solo,produtodosparâmetrosde resistênciapelaárea(A) da superfície provável de ruptura. Como veremos,alguns métodosde cálculo deestabilidadeatestamo equilíbrio dostaludesatravésda somatóriade forçasqueatuamsobreeles, assim temos:

FS � �F R�F A

(6.2)

Já em outrosmétodos,o FS é obtido atravésda razãoentreos momentosdevidoasforçasque atuandosobrea cunhatendema mantê-laem equilíbrio (MR) e o momentodasforçasquetendeminstabilizá-la(MA). Essesmomentossãotomadosem relaçãoa um pontosituado fora do talude.

FS 8�

M R�M A

(6.3)

Um maciçocom fator de segurançaigual à unidadeestána condiçãode equilíbriolimite, ou seja,os esforçosatuantessãoiguais à resistênciadisponível.Em outraspalavras,estemaciçoestánaiminênciaderuptura.Poroutrolado,do pontodevistaconceitual,taludescom fator de segurançaacimada unidadesãosegurose abaixoda unidade“deveriam” terrompido.É importanteressaltarque tantoa quantificaçãoda resistênciado maciçocomo aquantificaçãodosesforçosatuantesadmitemsimplificaçõese erros.Comoo problemaadmiteerros,deve-setrabalhara favordasegurança.Dessaforma,a fraçãodo fator desegurançaqueultrapassaa unidadeé um artifício parasubstituirasincertezae fenômenosquenãopossamser levados em conta na análise.

O cálculo da estabilidadedos taludes de terra pode consistir, por exemplo, nadeterminaçãodo ângulode inclinaçãosobo qualo taludemantém-seem equilíbrio plástico,logicamenteconsiderandoascondiçõespeculiaresde cadataludee a influênciadaspressõesneutras provenientes da submersão, percolação, adensamentoou deformações decisalhamento.Isto se dará, se em todos os pontos do maciço taludado, as tensõesdecisalhamentoigualaremasresistênciasao cisalhamento.O taludeexistenteseráconsideradoestávelseo seuângulode inclinaçãofor menor,dentrode certasegurança,queo taludedeequilibrio calculado; e instável no caso contrário.�

� ����� ��������������������� � �������!� ���"��#$�%� � ���&���As análisesda estabilidadede um talude são usualmenterealizadassegundoa

abordagemdo equilíbrio limite, queé umaferramentada teoriada plasticidadeparaanálisesde corpos rígidos que admite como hipóteses:

147

� Existênciade uma superfíciede escorregamentode forma conhecida(plana, circular,espiral-logarítmicaou mista),quedelimita,acimadela,a porçãoinstáveldo maciço.Estamassa de solo instável, sob a ação da gravidade, move-se como um corpo rígido;

� Empregodo critério de resistênciade Mohr-Coulombao longo da superfíciede rupturapré-fixada;

As análisesde estabilidadesãofeitasno plano,considerando-seumaseçãotípica domaciço situadaentre dois planos verticais e paralelosde espessuraunitária. Estuda-seoequilibrio da porçãodo solo acima da superfíciede ruptura pré fixada, assumindo-se osvaloresdasforçasatuantese calculando-sea forçadecisalhamentoresistentenecessária.Estaforçanecessáriaé comparadacoma resistênciaaocisalhamentodisponível,o queresultanumcoeficiente de segurança. Para que ocorra a ruptura é necessário que a soma das forças (ou dosmomentos),quetendema produziro escorregamento,superamou igualema somadasforças(ou dos momentos)resistentes,devidasà resistênciaao cisalhamentodo solo ao longo dasuperfície em análise.

Apresenta-senos próximositens os principaismétodosde análisede estabilidadedetaludesdesenvolvidosa partir dosconceitosde equilíbrio limite. A maioria dessesmétodosquantificamo fator desegurançaao longodeumadadasuperfíciepor umafunçãodecálculoe, através de um algoritmo de busca, localiza a superfície de menor FS.

��� ������� ����������������� ���������! "��� � ���

Um talude é considerado infinito quando a relação entre as suas grandezasgeométricas,extensãoe espessura,for muito grande.Nestestaludes,a superfíciederupturaéadmitida como sendo paralela á superfície do terreno.

Paraanalisara estabilidadede um taludeconsideradoinfinito (fig. 6.2), inclinadodeum ângulo i com a horizontal e profundidadeh, consideremosum elementoisoladodessetalude e as tensões que atuam sobre as três faces deste elemento.

NT

W

h1

h

.i

b

N

T

AC

D

B

U

bo

Fe

Fd

hw=h

1.cos2 (i)

Figura 6.2 - Talude infinito com percolação de água.

O nível de águaé paraleloá superficie do terreno.Assim, quandohá percolaçãodeáguaatravésdo maciço,assume-seuma redede percolaçãoconstituídade linhas de fluxoparalelasao talude e as equipotenciaisperpendicularesà ele. As forças nas duas facesverticaissãoiguaise seequilibram,pois seassimnão fosse,as tensõesem planosverticaisdependeriamda posiçãoao longo do talude,o queseriacontrárioà hipótesede que todo o

148

talude se move como uma só massa.Assim, somenteas tensõesna face BD, devemserconsideradas,juntamentecomo peso,no equilibriodoelementodesolo.As tensõesinduzidaspelo peso da cunha ABDC sobre a face BD tem como força resultanteW, que atuaverticalmenteno pontomédio do segmentoBD. A estaforça se opõea reaçãodo restodomaciço sobrea cunha,R, que por ser a única força vertical deve ter o mesmoponto deaplicaçãode W. As forçasde empuxolateral (Fe e Fd), sãoiguais e tem a mesmalinha deação. Para o elemento considerado temos:

� Força peso:

W � h � h1��� b � h1

� b ��� sat(6.4)

� Componente normal da força peso:

N � W � cos i � h � h1����� b � h1

� b ��� sat� cos i (6.5)

� Componente cisalhante da força peso:

T � W � sen i � h � h1��� b � h1

� b �� sat� sen i (6.6)

� Tensão normal na base do elemento:

n� N

BD mas como, BD � b

cos i, então temos:

�n �

�� b � h � h1 � h1� b � sat

� cos2 i

b� �� h � h1 � h1

�� sat� cos2 i

(6.7)

� Tensão cisalhante na base do elemento, eq. 6.8:

� � TBD

���� b � h � h1 � h1

� b ��� sat� cos i � sen i

b� � h � h1 � h1

���sat cos i � sen i

� Pressão neutra na base do elemento:

u�

w

� hw� h1 � cos2 i ou u � � w

� h1� cos2 i (6.9)

As pressõesneutrasqueatuamno elementodesoloABCD estãorepresentadasna fig.6.2. Note-seque no elementoda fig. 6.2, a resultantedessaspressõesna faceAB é igual eoposta à face CD, restando apenas as pressões na face BD, cuja resultante vale:

U � u � BD ��� w � h1 � BD � cos2 i (6.10)

mas como BD � bcos i

, podemos escrever a eq. 6.11.

U � �w � h1 � b � cos i (6.11)

149

� Resistênciaao cisalhamentoao longo do plano de ruptura,em termosde tensãoefetiva:

�f� c' � ��� u � tan � ' (6.12)

Paraque ocorrao escorregamentoé necessárioque as tensõescisalhantesdevido àforça peso(τ) se iguale à resistênciaao cisalhamento(τf) do solo ao longo de BD. Assim,podemos escrever:

FS ��

f� � c' � � � h � h1� h1 � � sat � cos2 i ��� w � h1 � cos2 i � tan � '

� � h � h1� h1 � � sat � sen i � cos i

(6.13)

Esta equação pode ser reescrita sobre a forma da eq. 6.14.

FS � c' � � � h � cos2 i �� � h1 � cos2 i �� sat � h1 � cos2 i ��� w � h1 � cos2 i tan � '

� � h � h1� h1 � � sat � sen i � cos i

FS � c'

� � h � h1� h1 � � sat � sen i � cos i

� � � h � h1��

sub � h1 � tan � '

� � h � h1���

sat � h1 � tan i(6.14)

A equaçãoacimaé umaexpressãogeralqueforneceo valor do fator desegurançaparaa situaçãomaiscompleta.As soluçõesparticularespodemser obtidasa partir dela fazendonulos os termos não participantes, ou substituindo adequadamente os termos.

No casodetaludeconstituídodesolonãosaturadoecomcoesão,o γsube γsatdevemsersubstituídos por γ. Após simplificações dos termos, obteremos a eq. 6.15.

FS � c'

� � h � sen i � cos i� tan � '

tan i(6.15)

No casode solo não saturadoe não coesivo(c'=0), entãoteremoso coeficientedesegurança dado pelo eq. 6.16.

FS � tan � '

tan i(6.16)

No casodesolosaturado(nível deáguacoincidentecoma superfíciedo terreno)e nãocoesivo(c'=0),o fator de segurançado taludeserádeterminadopelaeq.6.17,obtidaa partirdas devidas substituições na eq. 6.14.

FS ��

sub � tan � '

�sat � tan i

(6.17)

É importanteobservarque,noscasosde solo nãocoesivo(c'=0), o fator de segurançanão depende da profundidade h. Na eq. 6.16, nota-se, também, que para ocorrerescorregamento é necessário que o ângulo de atrito do solo seja inferior ao do talude (φ < i).

150

��� ��� �������� ��� �������������� �� ������� � ��

O métododo círculo de atrito, ou métodode Taylor, admite superfíciede rupturacircular e analisaa estabilidadedo corpo rígido formado pelo solo situado acima destasuperfície.Traçando-seuma superfíciepotencialde rupturacircular com centroO e raio r(fig. 6.3), verifica-se que a cunha de ruptura, AEB, está sob a ação das seguintes forças:

Figura 6.3 - Método do círculo de atrito. Modificado de Caputo, (1981).

• força peso(W) da massaque tendea deslizar,com direção,sentido,móduloe pontodeaplicação conhecidos;

• forçadeatrito F, cujadireçãofaz um ânguloφ coma normalà superfíciededeslizamentoe portanto tangênciaum círculo de centro O e raio r.sen(φ). O módulo de F édesconhecido;

• forçaresultantedacoesãodo solo(C) quesedesenvolveaolongodasuperfíciederupturae que constitui do produtoda coesãodo solo pelo comprimentodo arco de AB, isto éC=c.L. A resultanteC tem sentidode atuaçãoconhecidoe direçãodacordaAB. O pontode aplicaçãodistado centroO de um valor a, determinadoconsiderando-sea igualdadeentre o momento resultante e o momento da resultante, dado pela expressão:

a ! r " LLc

(6.18)

onde, Lc é o comprimento da corda AB.

Parahaverequilíbrio, estastrês forçasdevemconcorrerem um mesmoponto (M),interseçãodeW comC. Torna-se,assim,possível,pelotraçadodo polígonodeforças(W, F eCm), determinar-sea força Cm e, conseqüentemente,a coesãocm necessáriaparaqueo talude

151

estejaem equilíbrio. Comparando-acom a coesãoexistentec, tem-sefator de segurançaemtermos de coesão para o círculo estudado:

FS c �c

cm (6.19)

Pode-se,também,adotandoum valor deφm menorqueo φ do solo,definir um fator desegurança em relação ao atrito:

FS ���tan

�

tan�

m

(6.20)

O fator de segurançaparao círculo estudadoé definido por um valor de FSc = FSφ.Deve-seressaltarqueparasedefinir o fator desegurançadomaciçoé necessáriorealizarumabuscada superfíciecrítica, a qual deveconduzirparao menovalor de F.S. possívelparaaconfiguração geométrica considerada.

Utilizando um processomatemáticode tentativas,Taylor, baseadono método docírculodeatrito, elaboroudoisgráficosquecorrelacionamo númerodeestabilidade(N) como ângulo de inclinaçãodo talude.As hipótesesembutidasnas soluçõesapresentadassão:taludehomogêneoe sempercolaçãodeágua(análiseemtermosde tensõestotais),superfíciederupturacilíndricae envoltóriaderesistênciado soloτ=c+σ tan φ. Osgráficoselaboradospor Taylor sãoapresentadosnasfig.s 6.4e 6.5.Na fig. 6.4 temoso casodo círculoderupturapassandopelo pé do talude, já na fig. 6.5, temoso casode rupturasprofundasem argilasmoles(φ=0). O empregodestesgráficosé alto explicativoe existemesquemasindicandoqualo casoa que pertencecada talude e quais as curvas que deverãoser utilizadas.Para autilizaçãodo gráfico da fig. 6.4, calcula-se,primeiramente,o númerode estabilidade(N),definido como:

N �cm��� H

(6.21)

onde:cm é coesãomobilizada(cm=c/FS),c é a coesãodo solo,γ é o seupesoespecíficodo solo e H é a altura do talude.

Com o númerode estabilidadee com o ângulode atrito do material,encontra-senográfico,o taludei estável.Pode-se,inversamente,a partir do taludeexistentee do ângulodeatrito disponível,calcularo valor de N' necessárioparaa suaestabilidade.Seo valor de Ndisponível for maior que o N' necessário a estabilidade do talude está assegurada.

O gráfico da fig. 6.5 permiteo cálculo da estabilidadede taludesem terrenosmoles(caracterizadospor φ =0, indicando a hipótesede carregamentorápido do solo, sem apossibilidadede dissipaçãodas pressõesneutras) e em duas situaçõesdefinidas pelosesquemasapresentadosao ladodestegráfico.Sea superfíciederupturafor limitadapor umacamadamais resistentea umaprofundidadeD+H, deverãoserutilizadasas linhascheiasdográfico. No casoda superfíciede ruptura passarpelo pé do talude, utilizam-se as linhastracejadas.Quandoa camadaresistenteencontra-seao nível da basedo taludeou acima,asuperfíciede rupturapassaráacimado pé do talude.Nestecaso,a soluçãopodeser obtidausando-se as curvas tracejadas.

152

Figura 6.4 - Gráfico de Taylor - Ruptura pelo pé do talude. Modificado deVenkatramaiah, (1993).

Figura 6.5 - Gráfico de Taylor - Rupturas profundas. Modificado de Caputo, (1985).

153

O métododeTaylor fornecevaloresrazoavelmenteaproximadosdefator desegurançaparaos casosem queas condiçõesde campose aproximamdascondiçõesidealizadaspelométodo:solo homogêneosema presençadeágua.Parasituaçõesde campomaiselaboradas,comdiferentescamadase presençadeágua,deve-selançarmãodemétodosmaiselaborados,como por exemplo o método das fatias, que veremos a seguir.�� ��� �������� ��� ����������� ���

Os métodosdasfatiassãoos maisaplicadosa problemaspráticos,principalmenteporsua flexibilidade em analisarproblemascom diversascamadasde solos com propriedadesdiferentes,variação da resistênciaem uma mesmacamada,diferentesconfiguraçõesdepressãoneutra, diversasformas de superfície de ruptura, etc. Estes métodossão assimdenominadospor dividirem a massade solo acimada superfíciede rupturaem fatias,comoilustradona fig. 6.6, paraefeito de integraçãonumérica.Nestafigura, estãoapresentadososesforços atuantes em uma fatia genérica e o equilíbrio de forças nessa fatia. Tais forças são:

� Peso total da fatia W;� Forçanormalnabaseda fatia,N, (N=σ.bo).Em geral,essaforça temduascomponentes,aforçanormalefetivaN' , (N'=σ'.bo) e forçadevidaà pressãoneutraU, U=u.bo,ondeu é apressão neutra no centro da base da fatia e bo é o comprimento da base;� Força cisalhante na base da fatia T, (T = τi bo), onde τι é a tensão cisalhante na base da fatiae bo é o comprimento da base da fatia).� Componente vertical da força lateral Xi, Xi+1� Componente horizontal da força lateral Ei, Ei +1.

Comopodeobservarqualquerforçaexternapodeserincluídana análisede equilíbrioda fatia e a superfíciede rupturapodeter umaforma qualquer:circular (métodode Bishop,Fellenius), mista (método de Janbu).

N.A.

b

h

Xi

EiEi+1

Xi+1 Wi

Ui

TiNi`

.boi

Figura 6.6 - Método das fatias: superfície de ruptura e esforços envolvidos.Modificado de Geo-Slope (1999).

O fator de segurançaé definidocomoa razãoentrea tensãocisalhantede rupturae atensão cisalhante atuante na base de cada fatia.

FS ��� r

i

� m i� ci

' �! i' " tan # i

'

� m i(6.22)

154

Note-sequea definiçãodo fator de segurançaenvolveapenasos esforçosna basedafatia,comopodeserobservadonafig. 6.6.A maioriadosmétodosdasfatiasadmiteo fator desegurançacomoconstanteao longo da superfíciede ruptura.Isto implica em considerarumvalor de fator de segurançarepresentativoda segurançade todaa superfície,ou seja,o valordo fator de segurança deve funcionar como uma espécie média. A divisão do maciço em fatiasé apenas para facilitar o processo de integração numérica.

Paradeterminaro valor do fator de segurançautilizam-seos fundamentosdaestática,ou seja,o equilíbriode forçasnasduasdireçõese o equilíbriodemomentos,alémdo critériode ruptura de Mohr-coulomb.

Paraumasuperfíciepotencialde rupturaqualquer,dividida em n fatias,o problemaéindeterminado,pois tem-se3n equaçõesde equilíbrio e 6n-3 incógnitas,comoapresentadoaseguir:

Equações Incógnitas

n equilíbrio de forças horizontais n força normal na base da fatia (N)

n equilíbrio de forças verticais n força cisalhante na base da fatia (T)

n equilíbrio de momentos n ponto de aplicação da normal (N)

n-1 força horizontal interfatias (Ei)

n-1 forca vertical interfatias (Xi)

n-1 ponto de aplicação de Ei

3n: equações 6n-3: incógnitas

Para resolução do sistema, adota-se geralmente as seguintes hipóteses:

� Casoa fatia sejasuficientementedelgada,pode-seadmitir o pontode aplicaçãode N, nocentro da base da fatia. Com isso passamos a ter 5n-3 incógnitas e 3n equações.� A tensãocisalhantena baseda fatia pode ser obtida em função dos parâmetrosderesistênciado solo e de um fator de segurança,conservadoconstanteao longo de todaasuperfície de ruptura. Assim teremosmais uma incógnita (Fs) e mais uma equação(τ=c´+σ` tan φ`), resultando em 5n-2 incógnitas e 4n equações.� Existeuma relaçãoentreos esforçosnormaise tangenciaisnaslateraisdasfatias a qualpodeser definida por uma funçãof(x) multiplicada por uma constante,λ, que funcionacomo um tipo de fator de escalada função f(x), onde x indica a posiçãoao longo dasuperfície de ruptura:

X i

E i

����� f x (6.23)

onde,λ: constanterelacionadacom a inclinaçãodasforçasresultantesnaslateraisdasfatias; f(x): funçãoempíricade modificaçãoda inclinaçãodasforçasentreas fatias.Temosagora: n-1 equaçõese uma incógnita (λ), o que resulta em 5n-1 equaçõese incógnitas,fazendo portanto o sistema estaticamente determinado.

Vários autores propuseram soluções para este problema adotando hipótesessimplificadoras diferentes,o que acabou resultandoem diferentes métodos de análise,conforme veremosa seguir. Algumas destassoluçõesnão atendema todas equaçõesdeequilíbrio.

155

��� ��� �������� ���������������� � ����� ���Uma dasprimeirassoluçõesdo tipo métododasfatias foi propostapor Fellenius,o

qualadmitiuqueasforçasentrefatiassãoiguaise opostas,ou sejaosesforçosinterfatiassãodesprezados.O fator de segurançaé determinadodiretamentepelo equilíbrio de momentosem torno do centro geométrico do círculo estudado. O equilíbrio de forças não é garantido.

Consideremoso casomais genéricode taludescom percolaçãode água.O valor dapressãoneutraao longo dasuperfíciede rupturaé obtido traçando-sea rededepercolaçãoe,emcadapontodestasuperfície,toma-seo valor dacargapiezométrica,hw. Apósa divisãodomaciçoem fatias,pode-sedeterminaro peso(W) de cadafatia, queé decompostoem suabase,emumaforçatangencial(T) e umanormal(N). Desprezandoasforçaslateraisentreasfatias(E, X) pode-sedeterminaro equilíbriodemomentosemtorno do centrogeométricodocírculo. Desta forma, fazendo o equilíbrio de momentos resistentes temos (ver fig 6.6):

Mr � �T r R � �

bo c' !#" ' tan $ ' R � R�

c' bo ! N ' tan $ ' (6.24)

A eq. 6.24 envolve a força normal efetiva atuante na base da fatia, que é dada por:

N ' % N & U % W ' cos ( & u ' bo (6.25)

Do equilibrio de momento devido às forças atuantes obtém-se:

Ma )+* T m , R ) R , * W , sin - (6.26)

Sendoo fator de segurançadeFelleniusdadopelarelaçãoentremomentosresistentese atuantes, então podemos escrever a eq. 6.27.

FS ��

{ c' bo ! W cos . / u bo tan $ ' }�W sin . (6.27)

Havendoqualqueresforçoexternoao talude,como por exemplouma sobrecargaouumabermaem umaregiãoqueenglobea superfíciede rupturaanalisada,considera-sea suainterferência incluindo-o no somatório dos momentos,instabilizantes,Ma. No caso demaciçosheterogêneos,constituídosde dois ou mais solos,considera-seos diferentespesosespecíficosno cálculodo pesoda fatia e utiliza-separacadatrechodasuperfíciederupturaaenvoltória de resistência ao cisalhamento do solo da base.

A determinaçãodo coeficientedesegurançaé feita por tentativas,pesquisando-seumasérie de círculos, com diferentescentros.Para cada centro, deve-setambémcalcular oscoeficientesde segurançapara diferentes raios. A pesquisado centro do círculo querepresentao coeficientede segurançamínimo é feita considerandouma malha de pontosequidistantes,que permitemo traçadode isolinhasde igual coeficientede segurança,emtorno do valor mínimo (fig. 6.7).

156

Figura 6.7 - Busca da superfície crítica (F.S. mínimo). Modificado de Geo-slope(1999).

��� ��� ��� ������ ��� �������� ���� ��

O método proposto por BISHOP (1955), conhecido como método de Bishopsimplificado, admite, para uma superfíciecircular, que não existem esforçoscisalhantesinterfatias (X), somenteesforços normais (E), (ver Fig. 6.6). O fator de segurançaédeterminadotomando-seo somatóriodemomentos,emtornodo centrogeométricodo círculoestudado,e garantindoque este somatórioseja igual a zero. O método garanteainda oequilíbrio de forçasna vertical.Fazendo-seo equilibrio de momentoschega-sena eq. 6.28,idêntica à eq. 6.27, obtida do método de Fellenius,

FS ��

{ c' � bo � W � cos � � u � bo � tan � ' }�W � sin �

(6.28)

Paraestecaso,porém, o valor de N' (N'= W. cosα-u.bo), utilizado no métododeFellenius, é substituídopelo valor obtido fazendo-seo equilibrio das forças na direçãovertical. Assim temos:

W � X i � X i 1 � T m� sin � � N ' � cos � � u � bocos � (6.29)

sendo: Tm a força devido à resistência ao cisalhamento mobilizada, a qual é dada por:

T m ! c' " bo # N ' " tan $ '

FS(6.30)

Substituindoa eq.6.30em6.29e rearranjandode tal formaa explicitarN', obteremosa eq. 6.31.

157

N ' � W � X i � X i � 1 � u � cos � � c'

FS� sin � bo

cos � � sin � � tan � '

FS

(6.31)

Levandoo valor de N' na eq. 6.28 e considerandoque b= bo. cos(α), apósalgunsrearranjos teremos a eq. 6.32.

FS ) 1�W � sin �

�� c' � b W u � b X i X i � 1 � tan � '

M (6.32)

onde, Mα é dado pela eq. 6.33

M ��� cos � � sin � � tan � '

FS(6.33)

Paraa resoluçãodaeq.6.32é necessáriodeterminarosvaloresdeX i -X i+1, o quepodeser feito por aproximaçõessucessivas,satisfazendoa condiçãoΣ(X

i-X i+1)=0. Estemétodoé

conhecidocomométododeBishoprigoroso,poucousadonaprática.Comovisto, no métodorigoroso os esforços cisalhante interfatias são encontradosatravés de aproximaçõessucessivas,deformaa garantirqueo somatóriode forçascisalhantese normaisinterfatias,aolongodetodaa superfíciederuptura,sejaigual a zero.O métodogarantiriaassimo equilíbriode forças e de momentos.

Um processovariantedo métododescritoacima,denomina-sede Métodode BishopSimplificado, o qual consisteem considerar(X

i-X i+1)=0. Destaforma,a expressãogeralpara

calculo do fator de segurança (eq. 6.32) pode ser reescrita sob a forma da eq. 6.34.

FS � 1�W � sin �

�� c' � b � W � u � b � tan � '

M � (6.34)

Comoo fator desegurançaapareceem ambosos ladosdasequações6.32e 6.34,(Mα

depende do fator de segurança), deve-se adotar um processo de aproximação sucessiva para seobter o valor corretode FS parao métodode Bishop Simplificado. As análisessão feitasatribuindo-se inicialmente um valor arbitrário a FS para o cálculo de Mα, o que vai resultar emum valor calculadodeFS,geralmentediferentedo arbitrado.Comestenovovalor calcula-seMα e assimprocede-sesucessivamenteatéobter-seo valor final de FS igual ao arbitrado.Ométodoconvergerapidamentepara uma soluçãoúnica, de modo que, em geral, 3 ou 4tentativasé suficienteparaseobterum valor aproximadamenteconstanteparaFS.Comoumaprimeira estimativado valor de FS, é comum adotar-seo valor obtido pelo método deFellenius,ou seja:FS(Bishop,1

ainteração)=FSFellenius. A fig. 6.8permitea determinaçãográficadeMα,

em funçãoda inclinaçãode cadafatia, do ângulode atrito do solo da baseda superfíciedeescorregamento e do Fator de Segurança estimado para a superfície de escorregamento.

Como procedimentoprático recomenda-sedividir o taludeem cercade 10 fatias, apartir destevalor hápoucoganhona precisãoe um considerávelaumentodoscálculos.Cadapardevalores,centroe raiodecírculohipotético,conduza umvalor defator desegurança.O

158

valor critico deFSseráobtidopor tentativas,considerando-seo menorvalor obtidoparacadacentro, no traçado das isolinhas de Fator de Segurança.

Figura 6.8 - Gráfico para determinação de Mα. Modificado de Gaioto, (1993)

Desenhadoo talude em escala,determina-seuma malha de centrospotenciais;emseguida,escolhe-seum centroe um raio quedeterminarãoumasuperfíciede deslizamentoecalcula-seo fator desegurançaparaessasuperfície.Mantendo-seo centrodo círculo,adota-seum novoraio edetermina-seum novofator desegurança.Prosseguevariandoo raioatéobter-se o FS mínimo. Escolhe-seum novo centroe repete-seos passosanteriores,até percorrertoda a malhadesejada.Após a determinaçãodos valoresmínimosde FS paracadacentro,traçam-securvasque unemos fatoresde segurançaiguais, com o objetivo de determinaraposição do centro que fornece o menor deles (ver fig 6.7).

Devido a naturezarepetitiva dos cálculos e necessidadede trabalhar com váriassuperfíciesde ruptura, os métodosdas fatias tornam-separticularmenteadequadosparasolução por computador. �� ��� ��� �������� ����������������

É um métodoque atendeàs condiçõesde equilíbrio de forças e de momentos.Ométodode SPENCERassumequea inclinaçãodasforçasresistentesnaslateraisdasfatiaséconstante,isto é: f(x)=1 e λ≠0. O métododeSpencerpodesercompreendidocomoum casoparticulardo métodode MORGENSTERN& PRICE (1965) paraa funçãof(x) constante,conforme veremos a seguir.�� ��� ��� ��������� ������ ��!�"� ��$#&%�')( " * +,��( �$-�( .�( ���/0������1��2�435����6��798:��( ���

O métodoGeralde Equilíbrio Limite (GLE - “GeneralLimit Equilibrium MethodofSlices”), é um métodorigorosodecálculo,propostopor MORGENSTERN& PRICE(1965).Os demais métodos vistos anteriormente, isto é, os métodos de Fellenius, Bishopsimplificado, Janbusimplificadoe Spencerpodemfacilmenteser consideradoscomo casosparticulares deste ultimo método.

159

O GLE atendea todasa equaçõesdeequilíbrio e a superfíciederupturapodeter umaforma qualquer (circular, não circular ou composta).Os esforçosnormais e cisalhantesinterfatias mantêm uma relação definida por uma função f(x), como veremos a seguir.

A fig. 6.9 apresentaas forças agindo numa superficie de ruptura composta.Asseguintes variáveis associadas a cada fatia devem ser definidas:

W = peso total da fatia de largura b e altura h,N = força normal total na base da fatia de comprimento bo,Tm= força cisalhantemobilizada na base da fatia. Esta é uma percentagemda

resistência ao cisalhamento definida pela equação de Mohr-Coulomb, ( eq. 6.30),E = forçahorizontalinterfatia,sendoo subscriton designandoo ladoesquerdoe n+1

designando o lado direito,X = força vertical interfatia,sendoo subscriton designandoo lado esquerdoe n+1

designando o lado direito,D = carga externa linear (força por unidade de comprimento)kW= forçadinâmicahorizontaldevidoaoefeito sísmicoaplicadano centrode cada

fatia, R = braço de alavanca de momento associado à força cisalhante mobilizada Sm,f = braço de alavanca de momento associado à força normal N,x = distância horizontal da fatia ao centro de rotação,e = distância vertical do centróide de cada fatia ao centro de rotação,d = distância perpendicular entre a carga externa aplicada ao centro de rotação,h = altura correspondente ao centro da base de cada fatia,A = resultante da pressão hidrostática,a = distânciaperpendicularda resultantedapressãohidrostáticaaocentroderotação

(o subscrito L significando o lado esquerdo e o R, lado direito)ω = ângulo da carga linear com a horizontalα = ângulo entre a tangente ao centro da base de cada fatia e a horizontal.

O GLE usa as seguintes equações da estática para obtenção do fator de segurança:� Equilíbrio de forçasna direçãoverticalem cadafatia, o qualpermiteexplicitaro valor daforça normal na base da fatia (N), dado pela eq. 6.35.

N ' � W�

X i � X i � 1 � u � cos � � c'

FS� sin � bo

�D � sin �

cos � � sin � � tan � '

FS

(6.35)

� Equilíbrio de forçasna direçãohorizontalem cadafatia, o qual permiteexplicitar a forçanormal interfatia (E), dado pela equação abaixo (eq. 6.36):

E n � 1 E n c ' � bo � u � bo � tan '

cos �FS N � tan ' � cos �

FS� sin � � kW D � cos �

(6.36)

� Equilíbrio de momentonum ponto arbitrário acima do maciço, considerandotodasasfatias, o que permite explicitar o Fator de segurança em relação ao momento (FSM):

160

FSM ��

c' � bo � R � N � u � bo � R � tan � '

�W � x �

�N � f �

�kW � e � D � d � A � a (6.37)

Figura 6.9 - Representaçãodas forças agindo numa superfície de rupturacomposta. Modificado do Geo-slope, (1999).

� Somatório,considerandotodasas fatias,dasforçasna direçãohorizontal,o qual permitedefinir o Fator de Segurança com relação a força FSF.

FSF �

c' bo cos � � N u bo cos � tan � '

N sin � �

kW D cos � � A

(6.38)

Os esforçosnormaise cisalhantesinterfatiasmantêmumarelaçãodefinidapor umafunçãof(x), ondex indicaa posiçãoaolongodasuperfíciederuptura.Duranteo processodesolução,um fator deescalaλ é determinado.Estefator λ definea magnitudedainclinaçãodaforça interfatiasresultante.Como já exposto,os esforçosinterfatiasse relacionampela eq.6.39.

X i

E i ����

f x (6.39)

A fig. 6.10 ilustra algumasdas funçõestípicas de inclinaçãode forças interfatias.Pode-secalcular,paracadavalordeλ, umfator desegurançaparao equilíbriodemomentoseum fator desegurançaparao equilíbriode forças.O métodoadmitequeexisteum valor deλpara o qual o valor do fator de segurança de forças é igual ao fator de segurança de momentos.Em geraladota-seum procedimentodecálculoparadeterminaçãodo valor deλ queatendeàsduasequaçõesdefator desegurança.Primeirocalculam-seosfatoresdesegurançarelativosaforçase a momentosparadiferentesvaloresde λ. Ajusta-seum polinômio a cadaum dosconjuntosde pontosde FS versusλ. O valor de λ queleva estesdois polinômiosao mesmovalor de fator de segurançadefine a respostaparao problema.Observa-sena fig. 6.11 quepara λ=0 as expressõespara os fatoresde segurançarelativos aos momentose às forçasrepresentamos resultadosdo método de Bishop simplificado e o método de Janbu

161

simplificado,respectivamente.O métododeFelleniuspodeserrepresentadocomoum pontono eixo λ=0.

É importanteressaltarque análisesde estabilidadefeitas empregandométodosquesatisfazemtodasascondiçõesdeequilíbrio apresentamdiferençasnosresultadosinferioresa5%; o método de Bishop simplificado, apesarde não satisfazertodas as condiçõesdeequilíbrio,obtémresultadoscomprecisãosemelhante.O métododeFelleniusapresentaerrosemrelaçãoaosmétodosrigorososdeaté50%paracondiçõesdepressãoneutraelevadas,nãosendo recomendada a sua utilização na prática da engenharia.

Pode-setambémnotarnafig. 6.11,quea inclinaçãodacurvaFSM versus λ é menordoqueaquelaobtidaparaa curvaFSF versus λ . Isto ocorreparaa maioriadoscasosestudadoseexplica os melhoresresultadosobtidos pelo métodode Bishop simplificado (equilíbrio demomentos), em comparação com o método de Jambu simplificado (equilíbrio de forças).

x

X/E

λ=1

λ=0.5

x

X/E

λ=1

λ=0.5

x

X/E

λ=1

λ=0.5

x

X/E

λ=1λ=0.5

f(x) constante f(x) senoidal

Xi

EiEi+1

Xi+1 W

U

θi

θi+1

N T

f(x) trapezoidal f(x) especificada

i

ii

Figura 6.10-Funçõesde inclinação de força interfatias típicas.Modificado deLins,(1996).

FS

Fm

Ff

θi

θI+1

Bishop

Simplificado

Fellenius

Janbu

Simplificado

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50

1,90

2,00

2,10

2,20

2,30tan θι=λ f(x

i)

Morgenstern

& Price

λ

Figura 6.11 - Variação de FSM e FSM com λ. Modificado do Geo-slope, (1999).

162

��� ������� � ������������������������

� A grandemaioriadasanálisesdeestabilidadede taludesé realizadaassumindosuperfíciesde rupturade projeçãocircular ou poligonal, ou seja,admitindo-seum estadoplano dedeformações.Pode-se dizer, porém que observaçõesde campo mostram que aconfiguraçãode ruptura,na maioria dos casos,é claramentetridimensionale a análiseplana pode não ser a mais representativa.Paraestudarestassituações,vários autoresadaptaramos métodosdasfatiasparaumasituaçãotridimensional,criandoo métododascolunas,ondea massadeslizanteé dividida em colunasque têm esforçosatuandoentrecolunase na sua base.Uma consequênciadestasobservaçõesé que as superficiesdedeslizamentoobservadasemcampotendema ter umaárearesistentemaiordo queaquelasprismáticasoucilíndricas.Assim,pode-sedizerqueparaboapartedoscasosconsiderados,uma análise bidimensional irá levar a resultados conservadores.

� O cálculo do FS obtido a partir dos métodosde análisede estabilidadeapresentadosanterirormenteé feita em termosdeterminísticos,isto é, uma análisede estabilidadenosdiz se o taluderompeou não.Entretanto,existemincertezasconcernentesao cálculo doFator de Segurança,que estão relacionadascom a quantificaçãodas resistênciasaocisalhamentodas camadasconsideradas(principalmentea inferência de parâmetrosderesistênciarepresentativos),configuraçãogeométricado problemae a quantificaçãodassolicitações(influênciado métodode cálculoe dasconstruçõesexistentese futuras,comsuasrespectivascargaspermanentese acidentais).Dessaforma, uma análiseem termosprobabilísticospoderiater um melhorsignificado,permitindoatrelarumvalor deFSa umadadaprobabilidadede rupturado maciço.No casode uma análisedeterminística,paraefeito de projeto, usualmenteadotam-sevaloresmínimos de Fator de Segurançacomoreferência.Os valoresde FS adotadossãogeralmenteumafunçãodosriscosde prejuízos(humanose materiais)que trariam a ruptura da obra e das restriçõesde recalquesdasestruturas assentes na crista do talude.

� A grandemaioriadasanálisesdeestabilidaderealizadasutilizam parâmetrosderesistênciaobtidosparaa condiçãosaturadado solo.Emboraestacondiçãoconsistana situaçãomaiscríticadeocorrênciaemcampo,boapartedostaludes,principalmenteemáreastropicaisesemiáridas,permanecememcondiçõesnãosaturadasa maiorpartedo tempo.Nestecasos,temosumavariaçãoda resistênciado solocoma sucçãoe/ouumidadeduranteasdiversasépocasdo ano. Nas épocasde chuva,o Fator de Segurançado talude tem o seuvalorreduzido,o contrárioocorrendonosperíodosde baixaprecipitação.Isto é explicadopelofato de que os solos,principalmenteaquelescom uma considerávelquantidadede finos,temo seuvalor decoesãoaltamentevariávelcoma suaumidade,no sentidodequequantomenora umidademaiora resistênciaaocisalhamento.Pode-sedizerque,seporum lado,oempregodeparâmetrosderesistênciaparaa condiçãonãosaturadado soloemum cálculorigorosodaestabilidadedeum maciçoexigiria umaanálisede infiltraçãodaáguano solo,parauma dadachuvacrítica ou a análiseda eficáciade um determinadotratamentodeimpermeabilizaçãodo talude, obtendo-seuma distribuição de umidadesno maciço,atreladaa um determinadotempode recorrência,por outro, a despeitode certashipótesesimplificadoras,abordagensmais simplespodemser utilizadas.Assim é que é valida arealizaçãode ensaiostriaxiais ou de cisalhamentodireto, utilizando-sede amostrasnãosaturadas,naumidadedecampo,por exemplo.Estesensaios,principalmenteserealizadosem conjuntocom a determinaçãoda sucçãodo solo, nos dãoum indicativo de quantoosolo pode ganharem resistênciaao cisalhamentocom a sucção,e nos fornecemdadosvaliososno julgamentode quesoluçãoadotarparaum determinadolocal (seumaobradeproteçãoou de estabilizaçãoou umaobradecontençãopropriamentedita). Vale ressaltar

163

que diversostrabalhostêm sido publicadosna literatura,mostrandonovasmaneirasdeestimativada resistêncianãosaturadados solos,como a partir da curvacaracterísticadesucção(Fredlund,et al., 1995; Öberg& Sällfors, 1997 e Machado& Vilar, 1998). Poroutrolado,outrostrabalhostêmapontadoparao desenvolvimentodetécnicaslaboratoriaise de campoquepermitema obtençãoda curvacaracterísticadesucçãoe mesmodacurvade condutividadehidráulica do solo em um tempo bastanteinferior ao despendidoatualmente (Fourie & Papageorgian, 1995 e Machado & Dourado, 2001).

� de Em áreasmuito valorizadasestasoluçãopodeserpreferívelà adoçãode estruturasdecontenção do talude.

� A análiseda estabilidadede um taludepodeser feita em termosde tensõestotaisou emtermosde tensõesefetivas.Deve-se,portanto,estudarqual é a condiçãomaiscrítica paradefiniçãodosparâmetrosderesistênciaa seremusados.No casodeparâmetrosefetivosderesistência,a pressãoneutrapodeserlevadaemconta atravésdo traçadoderedede fluxo(resoluçãográfica);Grid depressõesneutrasobservadasemcampoa partir depiezômetrosou estimativa da posição da linha freática.

� Os métodosmais elaboradosparacálculo de estabilidadecomo os métodosde Spencer,Janbu,GLE, MEF apresentamresultadosparao fator desegurançabemsemelhantes,comvariaçõesinferioresa 5%.O métododeBishop,apesardenãosatisfazertodasasequaçõesde equilibrio, apresenta precisão semelhante.

164

�

- BIBLIOGRAFIA CONSULTADA

ABGE. Ensaiosde permeabilidadeem solos:Orientaçõesparaa execuçãono campo,1a. Tentativa, boletim no. 4, 38p, 1981..

ALMEIDA, M.S.S. (1996). Aterros sobre solos moles. Rio de Janeiro:UFRJ. ATKINSON, J. H. andBRANSBY, P. L. Themechanicof soils - An introductionto

critical state soil mechanics.ed. McGraw-Hill, 1978.BARATA, F. E. Propriedadesmecânicasdossolos.Ed. Livros técnicose científicos

S.A. Rio de Janeiro, 1984.BISHOP, A. W. The use of the slip circle in the stability analysis of slopes.

Geotechnique, vol. 5, no 1, 1955.BISHOP,A. W. & BEJERRUM,L. Therelevanceof thetriaxial testto thesolutionof

stability problems.Proc.ASCE Conf. on ShearStrengthof CohesiveSoils,Boulder,p 437 -501, 1960.

BISHOP,A. W. & HENKEL, D. J. Themeasurementof soil propertiesin thetriaxialtest. 2a. ed., Edward Armold, London, 227p, 1962.

BUENO, B. S. & VILAR, O. M. Mecânicadossolos.GráficaEESC/USP,vols. 1e2.São Carlos, 1985.

CAPUTO, H. P. Mecânica dos solos e suas aplicações.Ed. Livros técnicos ecientíficos S.A, Vols. 1, 2 e 3. Rio de Janeiro, 1981.

CASAGRANDE, A. Researchon the Atterberglimits of soils. Public Roads,vol.13,No.8, pp.121-136, 1932.

CASAGRANDE,A. Seepagethroughdams.Journalof thenew Englandwaterworksassociation. Vol. LI, no. 2, 1937.

CASAGRANDE,A. Classificationandidentificationof soils,Transations ASCE, vol.113, p.901-992, 1948.

CEDERGREN,H.R. Seepage,drainage,and flow nets.2nd ed., JohnWiley & Sons:New York., 533p, 1977.

CRIAG, R. F. Soil mechanics. Chapman & Hall, London, 1992.CRUZ, P.T.100BarragensBrasileiras.SãoPaulo:Oficina detextos,USP,SãoPaulo,

1996.DE LIMA, M. J. C. P. ProspecçãoGeotécnicado sub-solo.ed.LTC, Rio de Janeiro,

1983.FANG, H.Y. FoundationEngineeringHandbook,Ed. Van NostrandReinhold,New

York, 1991.FELLENIUS,W. Calculationof thestability of earthdams.Trans.2nd Cong.On large

Dams, Washington, 1936.FOURIE,A. B. & PAPAGEORGIAN,G. A techniquefor therapid determinationof

the soil moistureretentionrelationshipandhydraulicconductivityof unsaturatedsoils.Proc.of the 1st Int. Conf. on unsaturated soils. Paris, 1995.

FREDLUND, D. G. & RAHARDJO, H. Soil Mechanicsfor unsaturatedsoils. JohnWiley & Sons, New York, 1993.

FREDLUND,D. G.; VANAPALLI, S. K.; XING, A. And PUFAHL, D. E. Predictingtheshearstrengthfunctionfor unsaturatedsoilsusingthesoil watercharacteristiccurve.Proc.of the 1st Int. Conf. on unsaturated soils. Paris, 1995.

GAIOTO, N. Estruturas de Arrimo e Empuxo de terra. EESC- USP, 40p, 1993.GEO-SLOPE INTERNACTIONAL USER GUIDE. Alberta, Canadá, 1999.GRUPOde GEOTECNIA DO DCTM – Notasde aulademecânicade solos.Versão

anterior existente no DCTM.HACHICH, W. C.; FALCONI, F.F.;SAES,J.L.; FROTA,R. G. Q.; CARVALHO, C.

S. & NIYAMA, S. Fundações - teoria prática. ed. Pini, São Paulo, 1996.

165

HAZEN, A. Discussionon damsand sandfoundations.Transactionsof ASCE, vol.72, 1911.

HEAD, K.H. Manual of laboratorysoil testing,PenetchPress,London, vol. 1 a 3,1980.

HOLTZ, R. & KOVACS. An introductionto GeotechnicalEngineering.PrenticeHall,New Jersey, 1981.

JÁKY, J. Pressures in silos. II ICSMFE, vol I, p. 103, 1948.LAMBE, T. W. & WHITMAN, R. V. Soil Mechanics.John,Wiley & Sons,Inc. New

York, 1969.LEONARDS,G.A. Engineeringpropertiesof soils.FoundationEngineering.ed.G.A..

Leonards, McGraw-Hill, p. 66-240, 1962.LIBARDI, P.L. Potenciaisdeáguano solo,sériedidáticano. 007,Dpto deEngenharia

Rural, Piracicaba, São Paulo, 1993.LINS, P. G. C. (1996). Consideraçõessobrea aplicaçãodo métododos elementos

finitos à análisede estabilidadede taludes.Dissertaçãode mestrado- EESC-USP, 129p,1996.

MACHADO, S. L. Alguns conceitosde mecânicados solos dos estadoscríticos.Gráfica EESC/USP. São Carlos, 1997.

MACHADO, S. L. e DOURADO, K. A. Novas técnicaspara obtençãoda curvacaracterísticadesucçãodo solo.4o SimpósioBrasileirodeSolosnãoSaturados.PortoAlegre- RS, 2001.

MACHADO, S. L. & VILAR, O. M. Resistênciaao cisalhamentode solos nãosaturados:Ensaiosde laboratórioe determinaçãoexpedita.Solose Rochas,V(21), No (2),agosto de 1998.

MITCHELL, J.K. Fundamentals of soils behavior. John Wiley & Sons, 422p, 1976.MOLITERNO, A. Caderno de Muros de Arrimo. Editora Edgard Blucher Ltda.MORGENSTERN,N. R. And PRICE,V. E. The analysisof the stability of general

slip surfaces. Geotechnique, vol. 13, no 2, 1965.NOGUEIRA, J. B. Mecânicadossolos- Ensaiosde laboratório.EESC- USP,248p,

1995.ÖBERG,A. L. & SÄLLFORS,G. A. Determinationof shearstrengthparametersof

unsaturatedsilts andsandsbasedon thewaterretentioncurve.GeotechnicalTestingJournal,GTJODJ, Vol. 20, No 1, 1997.

ORTIGÃO, J. A. R. Introduçãoà mecânicadossolosdosestadoscríticos.Ed. Livrostécnicos e científicos S.A, Rio de Janeiro, 1993.

PERLOFF,W. H. & BARON, W. Soil Mechanics- PrinciplesandApplications.JohnWiley & Sons: New York., 745p, 1976.

PINTO, C. S. Resistência ao cisalhamento dos solos. Politécnica - USP, São Paulo.PINTO,C. S.Cursobásicodemecânicadossolos.Oficina detextos,USP,SãoPaulo,

2000.RESAL, J. La Poussé de terres. Paris, 1910.ROWE, P. W The stressdilatancy relation for static equilibrium of a assemblyof

particles in contact. Proc. Royal Soc., A269, pp 500-527, 1962.SKEMPTON, A.W. The porepressurecoefficientsA and B, Geotechnique,vol.4:4,

p.143-147, 1954.STANCATI, G. Redes de fluxo. Gráfica EESC/USP, São Carlos-SP, 1984.TAYLOR, D.W. Fundamentals of soil mechanics, John Wiley & Sons, 700p, 1948.TERZAGHI, K. & PECK,R.B. Soil mechanicsin engineeringpratice.JohnWiley &

Sons, New York, 2a. Ed, 1967.TERZAGHI, K. Theoretical soil mechanics. John Wiley & Sons, New York, 1943.TSCHEBOTARIOFF, G. P. Foundations,Retaining and Earth Structures. Ed.

Mcgraw-Hill Kogakusha, Ltd, VARGAS, M. Introdução à mecânica dos solos. Ed. Mcgraw-Hill, USP, 1977.

166

VENKATRAMAIAH, C. Geotechnical Engineering. John, Wiley & Sons, Inc. NewYork, 1993.

167