apostila de matemática i

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2 APOSTILA DE MATEMÁTICA CONTEÚDO Operações com números inteiros, Fracionários e decimais. Frações ordinárias e decimais. Conjunto e funções. Progressões aritméticas e geométricas. Logaritmos. Porcentagem e juros. Razões e proporções. Medidas de tempo. Equações de primeiro e segundo grau; Sistemas de equações. Sistema de medidas de tempo, S istema métrico decimal, Sistema monetário brasileiro. Relações trigonométricas. Formas geométricas básicas. Perímetro, Área e volume de figuras geométricas. Gráficos e tabelas. Porcentagem. Regra de três simples e composta. Cálculo Proposicional. Lógica de 1ª ordem. Raciocínio Lógico. Resolução de problemas.

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APOSTILA DE MATEMTICA

CONTEDO

Operaes com nmeros inteiros, Fracionrios e decimais. Fraes ordinrias e decimais. Conjunto e funes. Progresses aritmticas e geomtricas. Logaritmos. Porcentagem e juros. Razes e propores. Medidas de tempo. Equaes de primeiro e segundo grau; Sistemas de equaes. Sistema de medidas de tempo, S istema mtrico decimal, Sistema monetrio brasileiro. Relaes trigonomtricas. Formas geomtricas bsicas. Permetro, rea e volume de figuras geomtricas. Grficos e tabelas. Porcentagem. Regra de trs simples e composta. Clculo Proposicional. Lgica de 1 ordem. Raciocnio Lgico. Resoluo de problemas.

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Operaes com nmeros inteiros, fracionrios e decimais.

Adio Os termos da adio so chamadas parcelas e o resultado da operao de adio denominado soma ou total. 1 parcela + 2 parcela = soma ou total A ordem das parcelas nunca altera o resultado de uma adio: a + b = b + a O zero elemento neutro da adio: 0 + a = a + 0 Subtrao O primeiro termo de uma subtrao chamado minuendo, o segundo, subtraendo e o resultado da operao de subtrao denominado resto ou diferena. minuendo - subtraendo = resto ou diferena A ordem dos termos pode alterar o resultado de uma subtrao: a - b b - a (sempre que a b) Se adicionarmos uma constante k ao minuendo, o resto ser adicionado de k. Se adicionarmos uma constante k ao subtraendo, o resto ser subtrado de k. A subtrao a operao inversa da adio: M- S=RR+S=M A soma do minuendo com o subtraendo e o resto sempre igual ao dobro do minuendo. M+S+R=2M Valor absoluto O Valor absoluto de um nmero inteiro indica a distncia deste nmero at o zero quando consideramos a representao dele na reta numrica. Ateno: O valor absoluto de um nmero nunca negativo, pois representa uma distncia. A representao do valor absoluto de um nmero n | n |. (L-se "valor absoluto de n" ou "mdulo de n".) Nmeros simtricos Dois nmeros a e b so ditos simtricos ou opostos quando: a + b = 0 Exemplos: -3 e 3 so simtricos (ou opostos) pois (-3) + (3) = 0. 4 e -4 so simtricos (ou opostos) pois (4) + (-4) = 0.

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O oposto de 5 -5. O simtrico de 6 -6. O oposto de zero o prprio zero. Dois nmeros simtricos sempres tm o mesmo mdulo. Exemplo: |-3| = 3 e |3| = 3

Operaes com nmeros inteiros (Z) Qualquer adio, subtrao ou multiplicao de dois nmeros inteiros sempre resulta tambm um nmero inteiro. Dizemos ento que estas trs operaes esto bem definidas em Z ou, equivalentemente, que o conjunto Z fechado para qualquer uma destas trs operaes. As diviss, as potenciaes e as radiciaes entre dois nmeros inteiros nem sempre tm resultado inteiro. Assim, dizemos que estas trs operaes no esto bem definidas no conjunto Z ou, equivalentemente, que Z no fechado para qualquer uma destas trs operaes. Adies e subtraes com nmeros inteiros Existe um processo que simplifica o clculo de adies e subtraes com nmeros inteiros. Observe os exemplos seguintes: Exemplo1: Calcular o valor da seguinte expresso: 10 - 7 - 9 + 15 - 3 + 4 Soluo: Faremos duas somas separadas uma s com os nmeros positivos: 10 + 15 + 4 = +29 outra s com os nmeros negativos: (-7) + (-9) + (-3) = -19 Agora calcularemos a diferena entre os dois totais encontrados: +29 - 19 = +10 Ateno: preciso dar sermpre ao resultado o sinal do nmero que tiver o maior valor absoluto! Exemplo2: Calcular o valor da seguinte expresso: -10 + 4 - 7 - 8 + 3 - 2 1 passo: Achar os totais (+) e (-): (+): +4 + 3 = +7 (-): -10 - 7 - 8 - 2 = -27 2 passo: Calcular a diferena dando a ela o sinal do total que tiver o maior mdulo: -27 + 7 = - 20

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Multiplicao Os termos de uma multiplicao so chamados fatores e o resultado da operao de multiplicao donominado produto. 1 fator x 2 fator = produto O primeiro fator tambm pode ser chamado multiplicando enquanto o segundo fator pode ser chamado multiplicador.

A ordem dos fatores nunca altera o resultado de uma multiplicao: a x b = b x a O nmero 1 o elemento neutro da multiplicao: 1 x a = a x 1 = a Se adicionarmos uma constante k a um dos fatores, o produto ser adicionado de k vezes o outro fator: a x b = c (a + k) x b = c + (k x b) Se multiplicarmos um dos fatores por uma constante k, o produto ser multiplicado por k: a b = c (a k) b = k c Podemos distribuir um fator pelos termos de uma adio ou subtrao qualquer: a (b c) = (a b) (a c) Diviso inteira Na diviso inteira de N por D 0, existir um nico par de inteiros, Q e R, tais que: Q D + R = N e 0 R < R < |D| (onde |D| o valor absoluto de D) A segunda condio significa que R (o resto) nunca pode ser negativo. Os quatro nmeros envolvidos na diviso inteira so assim denominados: N o dividendo; D o divisor (sempre diferente de zero); Q o quociente; R o resto (nunca negativo). Exemplos: 1) Na diviso inteira de 60 por 7 o dividendo 60, o divisor 7, o quociente 8 e o resto 4. 8 7 + 4 = 60 e 0 4 < |7| 2) Na diviso inteira de -60 por 7 o dividendo -60, o divisor 7, o quociente -9 e o resto 3. -9 7 + 3 = -60 e 0 3 < |7| Quando ocorrer R = 0 na diviso de N por D, teremos Q D = N e diremos que a diviso exata indicando-a como N D = Q. Quando a diviso de N por D for exata diremos que N divisvel por D e D divisor de N ou, equivalentemente, que N mltiplo de D e D fator de N. O zero divisvel por qualquer nmero no nulo: D 0 0 D = 0. Todo nmero inteiro divisvel por 1: N 1 = N. Se multiplicarmos o dividendo (N) e o divisor (D) de uma diviso por uma constante k 0, o quociente (Q) no ser alterado mas o resto (R) ficar multiplicado por k, se R k < D, ou ser igual ao resto da diviso de R k por D, se R k D.6

Multiplicao e divises com nmeros inteiros Nas multiplicaes e divises de dois nmeros inteiros preciso observar os sinais dos dois termos da operao: Exemplos: Sinais iguais (+) Sinais opostos (-) (+) (+) = + (-) (-) = + (+) - (+) = + (-) - (-) = + (+) (-) = (-) (+) = (+) - (-) = (-) - (+) = -

Adio e subtrao de nmeros fracionrios Temos que analisar dois casos: 1) denominadores iguais Para somar fraes com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador. Para subtrair fraes com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador. Observe os exemplos:

2) denominadores diferentes Para somar fraes com denominadores diferentes, uma soluo obter fraes equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das fraes. Exemplo: somar as fraes Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10. (10:5).4 = 8 (10:2).5 = 25 .

Resumindo: utilizamos o mmc para obter as fraes equivalentes e depois somamos normalmente as fraes, que j tero o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.

Multiplicao e diviso de nmeros fracionrios Na multiplicao de nmeros fracionrios, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como mostrado nos exemplos abaixo:

Na diviso de nmeros fracionrios, devemos multiplicar a primeira frao pelo inverso da segunda, como mostrado no exemplo abaixo:

Operaes com nmeros decimais Adio e Subtrao: Para efetuar a adio ou a subtrao de nmeros decimais temos que seguir alguns passos: (a) Igualar a quantidade de casas decimais dos nmeros decimais a serem somados ou subtrados acrescentando zeros direita de suas partes decimais. Por exemplo: (a) 2,4 + 1,723 = 2,400 + 1,723 (b) 2,4 - 1,723 = 2,400 1,723 (b) Escrever os numerais observando as colunas da parte inteira (unidades, dezenas, centenas, etc), de forma que: i. o algarismo das unidades de um nmero dever estar embaixo do algarismo das unidades do outro nmero, ii. o algarismo das dezenas de um nmero dever estar em baixo do algarismo das dezenas do outro nmero, iii. o algarismo das centenas dever estar em baixo do algarismo das centenas do outro nmero, etc), iv. a vrgula dever estar debaixo da outra vrgula, e v. a parte decimal (dcimos, centsimos, milsimos, etc) de forma que dcimos sob dcimos, centsimos sob centsimos, milsimos sob milsimos, etc. Dois exemplos: 2,400 2,400 + 1,723 - 1,723 ------- ------(c) Realizar a adio ou a subtrao. Multiplicao de nmeros decimais: Podemos multiplicar dois nmeros decimais transformando cada um dos nmeros decimais em fraes decimais e realizar a multiplicao de numerador por numerador e

denominador por denominador. Por exemplo:

225 2,253,5 = 100

35 = 10

22535 = 10010

7875 = 7,875 1000

Podemos tambm multiplicar os nmeros decimais como se fossem inteiros e dar ao produto tantas casas quantas forem as casas do multiplicando somadas s do multiplicador. Por exemplo: 2,25 2 casas decimais multiplicando x 3,5 1125 + 675 7875 7,875 3 casas decimais Produto Diviso de nmeros decimais: Como visto anteriormente, se multiplicarmos tanto o dividendo como o divisor de uma diviso por 10, 100 ou 1000, o quociente no se alterar. Utilizando essas informaes poderemos efetuar divises entre nmeros decimais como se fossem divises de nmeros inteiros. Por exemplo: 3,60,4=? Aqui, dividendo e divisor tm apenas uma casa decimal, logo multiplicamos ambos por 10 para que o quociente no se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor sero nmeros inteiros. Na prtica, dizemos que "cortamos" a vrgula. 3,6 3,60,4 = = 0,4 Um outro exemplo: 0,35 0,357= = 7 7100 0,35100 = 700 35 = 7007 357 = 100 5 = 0,05 410 3610 = 4 36 =9 1 casa decimal multiplicador

Neste caso, o dividendo tem duas casas decimais e o divisor um inteiro, logo multiplicamos ambos por 100 para que o quociente no se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor sero inteiros. Exerccio: Uma pessoa de bom corao doou 35 alqueires paulistas de terra para 700 pessoas. Sabendo-se que cada alqueire paulista mede 24.200 metros quadrados, qual ser a rea que cada um receber? Diviso com o dividendo menor do que o divisor: Vamos considerar a diviso de 35 (dividendo) por 700 (divisor). Transforma-se o dividendo, multiplicando-se por 10, 100, ..., para obter 350 dcimos, 3500 centsimos, ... at que o novo dividendo fique maior do que o divisor, para que a diviso se torne possvel. Neste caso, h a necessidade de multiplicar por 100. Assim a diviso de 35 por 700 ser transformada numa diviso de 3500 por 700. Como acrescentamos dois zeros ao dividendo, iniciamos o quociente com dois zeros, colocando-se uma vrgula aps o primeiro zero. Isto pode ser justificado pelo fato que se multiplicarmos o dividendo por 100, o quociente ficar dividido

por 100.

dividendo 3500 700

divisor

resto 0 0,05 quociente Realiza-se a diviso de 3500 por 700 para obter 5, concluindo que 0,35/7=35/700=0,05. Diviso de nmeros naturais com quociente decimal: A diviso de 10 por 16 no fornecer um inteiro no quociente. Como 10 < 16, o quociente da diviso no ser um inteiro, assim para dividir o nmero 10 por 16, montamos uma tabela semelhante diviso de dois nmeros inteiros. 10 16 ? (1) Multiplicando o dividendo por 10, o quociente ficar dividido por 10. Isto justifica a presena do algarismo 0 seguido de uma vrgula no quociente. 100 16 0, (2) Realizamos a diviso de 100 por 16. O resultado ser 6 e o resto ser 4. 100 -96 16 0,6

4 (3) O resto 4 corresponde a 4 dcimos = 40 centsimos, razo pela qual colocamos um zero (0) direita do nmero 4. 100 -96 16 0,6

40 (4) Dividimos 40 por 16 para obter o quociente 2 e o novo resto ser 8. 100 -96 40 -32 8 (5) O resto 8 corresponde a 8 centsimos = 80 milsimos, razo pela qual inserimos um 0 direita do nmero 8. Dividimos 80 por 16 para obter o quociente 5 e o resto igual a 0. 100 -96 40 -32 80 -80 0 16 0,625 16 0,62

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A diviso 10/16 igual a 0,625. O o quociente um nmero decimal exato, embora no seja um inteiro.

Fraes ordinrias e decimais Para representar os elementos que no so tomados como partes inteiras de alguma coisa, utilizamos o objeto matemtico denominado frao. O conjunto dos nmeros naturais, algumas vezes inclui o zero e outras vezes no, tendo em vista que zero foi um nmero criado para dar significado nulo a algo. Nesse momento o conjunto N ser representado por: N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... } Logo, todos os nmeros naturais representam partes inteiras. Os nmeros que no representam partes inteiras, mas que so partes de inteiros, constituem os nmeros racionais no-negativos, aqui representados por Q+, onde esta letra Q significa quociente ou diviso de dois nmeros inteiros naturais. Q+ = { 0,..., 1/4,..., 1/2,..., 1,...,2,... } Numeral: Relativo a nmero ou indicativo de nmero. Nmero: Palavra ou smbolo que expressa quantidade. Definio de frao Os numerais que representam nmeros racionais no-negativos so chamados fraes e os nmeros inteiros utilizados na frao so chamados numerador e denominador, separados por uma linha horizontal ou trao de frao. Numerador

Denominador onde Numerador indica quantas partes so tomadas do inteiro, isto , o nmero inteiro que escrito sobre o trao de frao e Denominador indica em quantas partes dividimos o inteiro, sendo que este nmero inteiro deve necessariamente ser diferente de zero. Observao: A linguagem HTML (para construir pginas da Web) no proporciona ainda um mtodo simples para a implementar a barra de frao, razo pela qual, s vezes usaremos a barra / ou mesmo o sinal , para entender a diviso de dois nmeros. Exemplo: Consideremos a frao 1/4, que pode ser escrita como: 1

4 Em linguagem matemtica, as fraces podem ser escritas tanto como no exemplo acima ou mesmo como 1/4, considerada mais comum.

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1/4

1/4

1/4

1/4

A unidade foi dividida em quatro partes iguais. A frao pode ser visualizada atravs da figura anexada, sendo que foi sombreada uma dessas partes. Leitura de fraes (a) O numerador 1 e o denominador um inteiro 1 4 pode ser dada geometricamente por: 8 3 15 10 > 15 9 = 5 3

3/4=6/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 Observe que a rea amarelada maior na primeira figura. 1/8 1/8

3/8 1/8 1/8 1/8 1/8

Diviso de fraes Consideremos inicialmente uma diviso D de duas fraes, denotada por: 1 D= 2

2 3 Um modo fcil para explicar esta diviso tomar as duas fraes com o mesmo denominador e realizar a diviso do primeiro numerador pelo segundo numerador, isto : 1 D= 2 = 3 4

2 3 6 6 pois 1/2 equivalente a 3/6 e 2/3 equivalente a 4/6. O desenho abaixo mostra as fraes 1/2 e 2/3, atravs de suas respectivas fraes equivalentes: 3/6 e 4/6. 3/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 4/6 1/6 1/6

Realizar a diviso entre dois nmeros fracionrios ou no A e B, o mesmo que procurar saber quantas partes de B esto ocupadas por A. Quantas partes da frao 4/6 esto ocupadas pela frao 3/6? No desenho, os numeradores das fraes esto em cor amarela. Como temos 3 partes em amarelo na primeira frao e 4 partes em amarelo na segunda frao, a diviso corresponde frao 3/4, ou seja, em cada 4 partes amarelas, 3 esto ocupadas. Este argumento justifica a diviso de duas fraes pela multiplicao da primeira frao pelo inverso da segunda frao e observamos que de fato isto funciona neste caso: 2 3 D= 1 2 =3 6

6

4

= 18 = 3

24 4

Na verdade, h um tratamento mais geral que o deste caso particular. A diviso de um nmero real a/b pelo nmero real c/d , por definio, a multiplicao do nmero a/b pelo inverso de c/d. Acontece que o inverso de c/d a frao d/c, assim: a b c = d a b d = c b.c a.d

Dentre todas as fraes, existe um tipo especial cujo denominador uma potncia de 10. Este tipo denominado frao decimal. Exemplos de fraes decimais, so: 1/10, 3/100, 23/100, 1/1000, 1/103 Toda frao decimal pode ser representada por um nmero decimal, isto , um nmero que tem uma parte inteira e uma parte decimal, separados por uma vrgula. A frao 127/100 pode ser escrita na forma mais simples, como: 127 = 1,27 100 onde 1 representa a parte inteira e 27 representa a parte decimal. Esta notao subentende que a frao 127/100 pode ser decomposta na seguinte forma: 127 = 100 100 100+27 = 100 100 + 100 27 = 1+0,27 = 1,27

A frao 8/10 pode ser escrita na forma 0,8, onde 0 a parte inteira e 8 a parte decimal. Aqui observamos que este nmero decimal menor do que 1 porque o numerador menor do que o denominador da frao.

Leitura de nmeros decimais Para ler nmeros decimais necessrio primeiramente, observar a localizao da vrgula que separa a parte inteira da parte decimal. Um nmero decimal pode ser colocado na forma genrica: Centenas Dezenas Unidades , Dcimos Centsimos Milsimos Por exemplo, o nmero 130,824, pode ser escrito na forma: 1 Centena 3 dezenas 0 unidades , 8 dcimos 2 centsimos 4 milsimos

Exemplos:

0,6 0,37 3,7

Seis dcimos Trinta e sete centsimos Trs inteiros e sete dcimos Cento e trinta inteiros e oitocentos e vinte e quatro milsimos

0,189 Cento e oitenta e nove milsimos 13,45 Treze inteiros e quarenta e cinco centsimos 130,824

Transformando fraes decimais em nmeros decimais Podemos escrever a frao decimal 1/10 como: 0,1. Esta frao lida "um dcimo". Notamos que a vrgula separa a parte inteira da parte fracionria: parte inteira parte fracionria 0 , 1 Uma outra situao nos mostra que a frao decimal 231/100 pode ser escrita como 2,31, que se l da seguinte maneira: "dois inteiros e trinta e um centsimos". Novamente observamos que a vrgula separa a parte inteira da parte fracionria: parte inteira parte fracionria 2 , 31 Em geral, transforma-se uma frao decimal em um nmero decimal fazendo com que o numerador da frao tenha o mesmo nmero de casas decimais que o nmero de zeros do denominador. Na verdade, realiza-se a diviso do numerador pelo denominador. Por exemplo: (a) 130/100 = 1,30 (b) 987/1000 = 0,987 (c) 5/1000 = 0,005 Transformando nmeros decimais em fraes decimais Tambm possvel transformar um nmero decimal em uma frao decimal. Para isto, toma-se como numerador o nmero decimal sem a vrgula e como denominador a unidade (1) seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais do nmero dado. Como exemplo, temos: (a) 0,5 = 5/10 (b) 0,05 = 5/100 (c) 2,41 = 241/100 (d) 7,345 = 7345/1000 Propriedades dos nmeros decimais Zeros aps o ltimo algarismo significativo: Um nmero decimal no se altera quando se acrescenta ou se retira um ou mais zeros direita do ltimo algarismo no nulo de sua parte decimal. Por exemplo: (a) 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000 (b) 1,0002 = 1,00020 = 1,000200 (c) 3,1415926535 = 3,141592653500000000 Multiplicao por uma potncia de 10: Para multiplicar um nmero decimal por 10, por 100, por 1000,

basta deslocar a vrgula para a direita uma, duas, ou trs casas decimais. Por exemplo: (a) 7,4 x 10 = 74 (b) 7,4 x 100 = 740 (c) 7,4 x 1000 = 7400 Diviso por uma potncia de 10: Para dividir um nmero decimal por 10, 100, 1000, etc, basta deslocar a vrgula para a esquerda uma, duas, trs, ... casas decimais. Por exemplo: (a) 247,5 10 = 24,75 (b) 247,5 100 = 2,475 (c) 247,5 1000 = 0,2475 Comparao de nmeros decimais A comparao de nmeros decimais pode ser feita analisando-se as partes inteiras e decimais desses nmeros. Para isso, faremos uso dos sinais: > (que se l: maior); < (que se l: menor) ou = (que se l: igual). Nmeros com partes inteiras diferentes: O maior nmero aquele que tem a parte inteira maior. Por exemplo: (a) 4,1 > 2,76, pois 4 maior do que 2. (b) 3,7 < 5,4, pois 3 menor do que 5. Nmeros com partes inteiras iguais: Igualamos o nmero de casas decimais acrescentando zeros tantos quantos forem necessrios. Aps esta operao, teremos dois nmeros com a mesma parte inteira mas com partes decimais diferentes. Basta comparar estas partes decimais para constatar qual o maior deles. Alguns exemplos, so: (a) 12,4 > 12,31 pois 12,4=12,40 e 40 > 31. (b) 8,032 < 8,47 pois 8,47=8,470 e 032 < 470. (c) 4,3 = 4,3 pois 4=4 e 3=3. Porcentagem Ao abrir um jornal, ligar uma televiso, olhar vitrines, comum depararmos com expresses do tipo: A inflao do ms foi de 4% (l-se quatro por cento) Desconto de 10% (dez por cento) nas compras vista. O ndice de reajuste salarial de maro de 0,6% (seis dcimos por cento) A porcentagem um modo de comparar nmeros usando a proporo direta, onde uma das razes da proporo uma frao cujo denominador 100. Toda razo a/b na qual b=100 chama-se porcentagem. Exemplos: (1) Se h 30% de meninas em uma sala de alunos, pode-se comparar o nmero de meninas com o nmero total de alunos da sala, usando para isto uma frao de denominador 100, para significar que se a sala tivesse 100 alunos ento 30 desses alunos seriam meninas. Trinta por cento o mesmo que 30 = 30% 100

20

(2) Calcular 40% de R$300,00 o mesmo que determinar um valor X que represente em R$300,00 a mesma proporo que R$40,00 em R$100,00. Isto pode ser resumido na proporo: 40 = 100 300 X

Como o produto dos meios igual ao produto dos extremos, podemos realizar a multiplicao cruzada para obter: 100X=12000, assim X=120 Logo, 40% de R$300,00 igual a R$120,00. (3) Li 45% de um livro que tem 200 pginas. Quantas pginas ainda faltam para ler? 45 = 100 200 X

o que implica que 100X=9000, logo X=90. Como eu j li 90 pginas, ainda faltam 200-90=110 pginas. Conjuntos e Funes 1 - Conjunto: conceito primitivo; no necessita, portanto, de definio. Exemplo: conjunto dos nmeros pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }. Esta forma de representar um conjunto, pela enumerao dos seus elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto tambm poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderamos escrever: P = { x | x par e positivo } = { 2,4,6, ... }. 1.1 - Relao de pertinncia: Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x 1.2 - Subconjunto: Se todo elemento de um conjunto A tambm pertence a um conjunto B, ento dizemos que A subconjunto de B e indicamos isto por A 2 - Conjuntos numricos fundamentais Entendemos por conjunto numrico, qualquer conjunto cujos elementos so nmeros. Existem infinitos conjuntos numricos, entre os quais, os chamados conjuntos numricos fundamentais, a saber: Conjunto dos nmeros naturais N = {0,1,2,3,4,5,6,... } Conjunto dos nmeros inteiros Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... } Obs: evidente que N Conjunto dos nmeros racionais Q = {x; x = p/q com p

Conjunto dos nmeros irracionais I = {x; x uma dzima no peridica}. Exemplos de nmeros irracionais: 3 - Intervalos numricos Dados dois nmeros reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos nmeros reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os nmeros p e q so os limites do intervalo, sendo a diferena p - q , chamada amplitude do intervalo. Se o intervalo incluir p e q , o intervalo fechado e caso contrrio, o intervalo dito aberto. A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos. A , onde o smbolo significa "pertence a". Sendo y um elemento que no pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notao y A. O conjunto que no possui elementos , denominado conjunto vazio e representado por f . Com o mesmo raciocnio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo smbolo U. Assim que, pode-se escrever como exemplos: = { x; x x} e U = {x; x = x}. B. Notas: a) todo conjunto subconjunto de si prprio. ( A A ) b) o conjunto vazio subconjunto de qualquer conjunto. ( A) c) se um conjunto A possui m elementos ento ele possui 2m subconjuntos. d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A denominado conjunto das partes de A e indicado por P(A). Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A dado por P(A) = {f , {c}, {d}, {c,d}} e) um subconjunto de A tambm denominado parte de A. Z. Z , q Z e q 0 }. Temos ento que nmero racional aquele que pode ser escrito na forma de uma frao p/q onde p e q so nmeros inteiros, com o denominador diferente de zero. Lembre-se que no existe diviso por zero!. So exemplos de nmeros racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1, etc. Notas: a) evidente que N Z Q. b) toda dzima peridica um nmero racional, pois sempre possvel escrever uma dzima peridica na forma de uma frao. Exemplo: 0,4444... = 4/9 p = 3,1415926... (nmero pi = razo entre o comprimento de qualquer circunferncia e o seu dimetro) 2,01001000100001... (dzima no peridica) 3 = 1,732050807... (raiz no exata). Conjunto dos nmeros reais R = { x; x racional ou x irracional}. Notas:

a) bvio que N Z Q R b) I R c) I Q = R d) um nmero real racional ou irracional, no existe outra hiptese! TIPOS INTERVALO FECHADO INTERVALO ABERTO REPRESENTAO [p;q] = {x R; p x q} (p;q) = { x R; p < x < q} OBSERVAO inclui os limites p e q exclui os limites p e q inclui p e exclui q exclui p e inclui q valores maiores ou iguais a p. valores menores ou iguais a q. valores menores do que q. valores maiores do que p.

INTERVALO FECHADO A [p;q) = { x ESQUERDA R; p x < q} INTERVALO FECHADO (p;q] = {x DIREITA R; p < x q} INTERVALO SEMIFECHADO INTERVALO SEMIFECHADO INTERVALO SEMIABERTO INTERVALO SEMIABERTO [p; ) = {x R; x p} ( ; q] = { x R; x q} ( ; q) = { x R; x < q} (p; )={x>p}

Nota: fcil observar que o conjunto dos nmeros reais, (o conjunto R) pode ser representado na forma de intervalo como R = ( 4 - Operaes com conjuntos 4.1 - Unio ( Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto unio A Propriedades imediatas: a) A 4.2 - Interseo ( Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseo A Propriedades imediatas: a) A So importantes tambm as seguintes propriedades : P1. A 4.3 - Diferena: A - B = {x ; x Observe que os elementos da diferena so aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas no

pertencem ao segundo. Exemplos: { 0,5,7} - {0,7,3} = {5}. {1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.f = A b) f - A = f c) A - A = d) A - B B - A ( a diferena de conjuntos no uma operao comutativa). A , a diferena A - B chama-se, neste caso, complementar de B em relao a A . Simbologia: CAB = A - B. Caso particular: O complementar de B em relao ao conjunto universo U, ou seja , U - B , indicado pelo smbolo B' .Observe que o conjunto B' formado por todos os elementos que no pertencem ao conjunto B, ou seja: B' = {x; x B}. bvio, ento, que: B' = f b) B B' = U c) f' = U d) U' = f 5 - Partio de um conjunto Seja A um conjunto no vazio. Define-se como partio de A, e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por P(A)), que satisfaz simultaneamente, s seguintes condies: 1 - nenhuma dos elementos de part(A) o conjunto vazio. 2 - a interseo de quaisquer dois elementos de part(A) o conjunto vazio. 3 - a unio de todos os elementos de part(A) igual ao conjunto A. Exemplo: Seja A = {2, 3, 5} Os subconjuntos de A sero: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto vazio - . Assim, o conjunto das partes de A ser: P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, } Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A): X = { {2}, {3,5} } Observe que X uma partio de A - cuja simbologia part(A) - pois: a) nenhum dos elementos de X . b) {2} 6 - Nmero de elementos da unio de dois conjuntos Sejam A e B dois conjuntos, tais que o nmero de elementos de A seja n(A) e o nmero de elementos de B seja n(B). Nota: o nmero de elementos de um conjunto, tambm conhecido com cardinal do conjunto. Representando o nmero de elementos da interseo A {3, 5} = c) {2} U {3, 5} = {2, 3, 5} = A Sendo observadas as condies 1, 2 e 3 acima, o conjunto X uma partio do conjunto A. Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S = { {3,2}, {5} } so outros exemplos de parties do conjunto A.

Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, ...}, {1, 3, 5, 7, ...} } uma partio do conjunto N dos nmeros naturais, pois {0, 2, 4, 6, 8, ...} {1, 3, 5, 7, ...} = e {0, 2, 4, 6, 8, ...} U {1, 3, 5, 7, ...} = N . B por n(A B) e o nmero de elementos da unio A B por n(A B) , podemos escrever a seguinte frmula: n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B) Propriedades imediatas: a) A 4.3.1 - Complementar de um conjunto Trata-se de um caso particular da diferena entre dois conjuntos. Assim , que dados dois conjuntos A e B, com a condio de que B a) B ; + ). ) B = { x; x A ou x B}. Exemplo: {0,1,3} { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto unio contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B. A = A b) A f = A c) A B = B A (a unio de conjuntos uma operao comutativa) d) A U = U , onde U o conjunto universo. ) B = {x; x A e x B}. Exemplo: {0,2,4,5} { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseo contempla os elementos que so comuns aos conjuntos A e B. A = A b) A = c) A B = B A ( a interseo uma operao comutativa) d) A U = A onde U o conjunto universo. ( B C ) = (A B) ( A C) (propriedade distributiva) P2. A ( B C ) = (A B ) ( A C) (propriedade distributiva) P3. A (A B) = A (lei da absoro) P4. A (A B) = A (lei da absoro) Obs: Se A B = f , ento dizemos que os conjuntos A e B so Disjuntos. A e x B}.

Dados dois conjuntos A e B, denomina-se funo de A em B toda relao que a cada elemento de A associa um nico elemento de B. X varivel independente DOMNIO Y varivel dependente IMAGEM

o o o

Empregando a linguagem das funes: O conjunto A o domnio da funo. O conjunto B o contradomnio da funo. O elemento y de B, associado ao elemento x de A, denominado imagem de x.

o O subconjunto de B formado pelos elementos que so imagens dos elementos de A denominado conjunto imagem ou apenas imagem da funo. o 1) Exemplo:

Diga em quais itens temos funes:

A)

- No

B)

- Sim

C)

- Sim

Progresso Aritmtica e Geomtrica Progresso aritmtica uma sequncia numrica na qual, a partir do segundo, cada termo igual soma de seu antecessor com uma constante, denominada razo.

Frmula do termo geral de uma P.A. a n = a1 + (n 1).r : (a + a n ).n Sn = 1 2 Soma de termos de uma P.A. finita :

Logo abaixo temos alguns exerccios de progresses aritmticas resolvidos.

1) Dada a P.A. (-19,-15,-11,...) calcule o seu ensimo termo.

Primeiramente encontramos a razo : r = a2 Logo, o termo geral : a1 an = a1 + (n a n 1).r

r = 15 (19) r = 4. = 19 + 4n 4 an = 4n 23

= 19 + (n 1).4 an

2) Interpole seis meios aritmticos entre 8 e 13.

No problema : a1 = 8, an 13,

= n = 8 (pois 6 meios aritmticos sero interpolados

entre os dois extremos, que so - 8 e 13. Logo, existem 8 termos na P.A.). Para interpolar os valores, devemos encontrar a razo : an = a1 + (n 13 = 8 + (8 13 = 8 + 13 + 8 = 7r 1).r 1).r 7r 21 7

7r = 21 r =

r = 3.

Encontrada a razo, basta interpolar os meios aritmticos : - 8, - 5, - 2, 1, 4, 7, 10, 13

PROGRESSES GEOMTRICAS Podemos definir progresso geomtrica, ou simplesmente P.G., como uma sucesso de nmeros reais obtida, com exceo do primeiro, multiplicando o nmero anterior por uma quantidade fixa q, chamada razo. Podemos calcular a razo da progresso, caso ela no esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucesso (1, 2, 4, 8,...), q = 2. Clculos do termo geral Numa progresso geomtrica de razo q, os termos so obtidos, por definio, a partir do primeiro, da seguinte maneira: a1 a1 a2 a1xq a3 a1xq2 ... ... a20 a1xq19 ... an ... a1xqn-1 ...

Assim, podemos deduzir a seguinte expresso do termo geral, tambm chamado ensimo termo, para qualquer progresso geomtrica. an = a1 x qn-1 Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, ento: an = 2 x (1/2)n-1 Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na frmula, obtemos: a5 = 2 x (1/2)5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8 A semelhana entre as progresses aritmticas e as geomtricas aparentemente grande. Porm, encontramos a primeira diferena substancial no momento de sua definio. Enquanto as progresses

aritmticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas progresses geomtricas os termos so gerados pela multiplicao, tambm repetida, por um mesmo nmero. As diferenas no param a. Observe que, quando uma progresso aritmtica tem a razo positiva, isto , r > 0, cada termo seu maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progresso crescente. Ao contrrio, se tivermos uma progresso aritmtica com razo negativa, r < 0, seu comportamento ser decrescente. Observe, tambm, a rapidez com que a progresso cresce ou diminui. Isto conseqncia direta do valor absoluto da razo, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior ser a velocidade de crescimento e vice-versa.

Soma dos n primeiros termos de uma PG Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o clculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos considerar o que segue: Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an Multiplicando ambos os membros pela razo q vem: Sn.q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q Conforme a definio de PG, podemos reescrever a expresso como: Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q Observe que a2 + a3 + ... + an igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem: Sn . q = Sn - a1 + an . q Da, simplificando convenientemente, chegaremos seguinte frmula da soma:

Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentao para a frmula da soma, ou seja:

Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...) Temos:

Observe que neste caso a1 = 1. 5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condies, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na frmula anterior, encontraremos:

Exemplo: Resolva a equao: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100 O primeiro membro uma PG de primeiro termo x e razo 1/2. Logo, substituindo na frmula, vem:

Dessa equao encontramos como resposta x = 50. Logaritmos Sabemos que 5 elevado potncia 2, resulta 25, agora mudamos o contexto e vou fazer uma pergunta:

- Qual o nmero (expoente) que devemos elevar o 5 para obtermos 25?Voc deve estar pensando: -Mas isso eu resolvo com exponenciais!!! Sim, porque essa bem fcil, as difceis no saem to simples assim. Vamos comear de baixo. O logaritmo serve para isso! Esta pergunta poderia ser interpretada matematicamente da seguinte forma:

Onde "x" o expoente que devemos elevar a base 5 para obtermos 25. Como sabemos que devemos elevar o 5 ao quadrado (ou seja, potncia 2) para obtermos 25, chegamos concluso que o logaritmo de 25 na base 5 2:

Cada elemento desta estrutura possui um nome. Vamos ver:

No exemplo anterior, base 5 2.

, temos ento que a base 5, o logaritmando 25 e o logaritmo de 25 na

Note que, anteriormente, dissemos que "x" o expoente de "b", e na figura acima est escrito que "x" o

"logaritmo". Isso acontece pois o LOGARITMO UM EXPOENTE. Agora, com esta breve introduo, podemos escrever uma primeira defino de logaritmo (hei, ainda no a oficial, mas o que temos at agora): Logaritmo de um nmero N, na base b, o nmero x ao qual devemos elevar a base b para obtermos N. Esta a apenas uma definio, voc deve ter entendido bem o que est escrito acima dela para ir ao prximo captulo de estudo. Veremos quais as condies que a base, o logaritmando e o logaritmo devem satisfazer para termos um logaritmo.

No podemos sair escrevendo logaritmo de qualquer nmero em qualquer base. Existem algumas regras para que o logaritmo exista, so as: condies de existncia dos logaritmos. Para mostrar quais so estas condies, vou dar um EXEMPLO ERRADO para cada restrio existente, para que voc veja o absurdo que seria se elas no existissem. Veja primeiro o exemplo abaixo: Ex. 1: Quanto vale ?

Ou seja, queremos saber qual o expoente que devemos elevar o nmero 4 para obtermos -16. Voc viu no captulo de potenciao que no h valor para este expoente. Chegamos ento a um absurdo. Por causa deste tipo de absurdo, h uma restrio quanto ao sinal do logaritmando: PRIMEIRA CONDIO DE EXISTNCIA (logaritmando): O logaritmando deve ser um nmero positivo. Veja que esta primeira restrio j inclui o fato de que o logaritmando deve ser diferente de ZERO. Duvida? Experimente encontrar o logaritmo de ZERO na base 3 (log30). Veja o prximo exemplo errado para ilustrar a prxima restrio: Ex. 2: Quanto vale ?

Ou seja, queremos saber qual o expoente que devemos elevar o nmero -4 para obtermos 4. Novamente chegamos em um absurdo, no h expoente que faa isso. Ainda olhando para a base: Ex. 3: Calcule .

Queremos saber qual o expoente que devemos elevar a base 1 para obtermos 4. Como visto no captulo de potenciao, a base 1 elevada a qualquer expoente resulta 1, ou seja, no existe expoente para a base 1 que resulte 4. Absurdo!

3 30

Ex. 4: Calcule

.

Traduzindo, qual o expoente que devemos elevar a base 0 para obtermos 4. Absurdo! Com estes trs exemplos sobre a base do logaritmo, chegamos na segunda condio de existncia. SEGUNDA CONDIO DE EXISTNCIA (base): A base deve ser um nmero positivo diferente de 1. Note que dito que a base deve ser um nmero positivo, ou seja, no pode ser ZERO tambm. Portanto, resumindo as trs condies em um quadro s: CONDIES DE EXISTNCIA

logbN = x1 N > 0 2 b > 0 3 b1

Juros simples e porcentagem

Porcentagem uma frao cujo denominador 100, seu smbolo (%). Sua utilizao est to disseminada que a encontramos nos meios de comunicao, nas estatsticas, em mquinas de calcular, etc. A utilizao da porcentagem se faz por regra de 3 simples. Por exemplo, a vendedora de uma loja ganha 3% de comisso sobre as vendas que faz. Se as vendas do ms de outubro forem de R$ 3.500,00 qual ser sua comisso? Equacionando e montando a regra de 3 temos:

Na regra de 3, quando as grandezas so diretamente proporcionais (no caso, quanto maior a venda, maior a comisso) usamos setas paralelas e multiplicamos os termos em cruz, como se v abaixo:

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Ora, se 100 x = 3500 3, ento

Logo, a comisso ser de R$ 105,00. Existe outra maneira de encarar a porcentagem, que seria usar diretamente a definio: 3% = logo 3% de R$ 3.500,00 seriam x R$ 3.500,00 = R$ 105,00.

Alguns termos de matemtica financeira Como estamos falando de finanas, os termos mais usados, de acordo definies reduzidas, sero: Capital = o dinheiro em questo; Capital inicial = o capital antes de decorrido um tempo determinado; Capital final = o capital depois de decorrido o tempo determinado; Tempo = determinado perodo em que se modifica o valor do capital; Lucro = Ganho obtido com algum produto ou atividade em relao ao capital inicial; Prejuzo = Perda obtida com algum produto ou atividade em relao ao capital inicial; Juros = Importncia cobrada, por unidade de tempo, pelo emprstimo de um capital; Taxa de juros = Taxa de juro percentual cobrada por intervalo de tempo.

Juros simples Pode parecer bvio, mas o produto de uma sapataria o sapato, da papelaria o papel e similares. No caso de bancos e financeiras, o produto o dinheiro, ou os lucros e taxas que possam advir do mesmo. Se voc utiliza o dinheiro do banco (cheque especial, emprstimos, carteira hipotecria, etc), sero cobrados juros sobre esse dinheiro. Se, ao contrrio, o banco que utiliza o seu dinheiro (caderneta de poupana, investimentos, etc.) voc que receber os tais juros. De uma maneira geral o juro simples (J) produzido por um capital (C) a uma taxa de juro (i) por um prazo (t) calculada assim:

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Exemplo: Voc coloca seu suado dinheiro na poupana, digamos R$ 1.000,00. Aps um ms qual ser o juro a receber se a taxa de 0,5% ao ms?

Logo, o banco lhe pagar R$ 5,00 para utilizar os seus R$ 1000,00 por 1 ms. Veja que a taxa de juros 0,5% foi colocada em sua forma fracionria. Exemplo: Voc vai utilizar o seu cheque especial de R$ 1000,00 por um ms, sendo que a taxa de 15% ao ms. Quanto pagar de juros?

Logo, voc pagar R$ 150,00 ao banco. Razes e Propores Razes A palavra razo vem do latim ratio e significa a diviso ou o quociente entre dois nmeros A e B, denotada por: A

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B Exemplo: A razo entre 12 e 3 4 porque: 12 =4 3 e a razo entre 3 e 6 0,5 pois: 3 = 0,5 6 A razo tambm pode ser expressa na forma de diviso entre duas grandezas de algum sistema de medidas. Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de suco, normalmente adicionamos A litros de suco concentrado com B litros de gua. A relao entre a quantidade de litros de suco concentrado e de gua um nmero real expresso como uma frao ou razo (que no tem unidade), a razo: A = A/B B Exemplo: Tomemos a situao apresentada na tabela abaixo. Lquido Suco puro gua Situao1 Situao2 Situao3 Situao4 3 8 6 16 8 32 30 80

Suco pronto 11 22 40 110 Na Situao1, para cada 3 litros de suco puro coloca-se 8 litros de gua, perfazendo o total de 11 litros de suco pronto. Na Situao2, para cada 6 litros de suco puro coloca-se 16 litros de gua, perfazendo o total de 24 litros de suco pronto. Exemplo: Em uma partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e acerta 10.

Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o nmero de arremessos que ele acertou pelo total de arremessos, o que significa que o jogador acertou 1 para cada dois arremessos, o que tambm pode ser pensado como o acerto de 0,5 para cada arremesso. 10 : 20 = 1 : 2 = 0,5

Propores

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Proporo a igualdade entre duas razes. A proporo entre A/B e C/D a igualdade: A = B D Notas histricas: A palavra proporo vem do latim proportione e significa uma relao entre as partes de uma grandeza, ou seja, uma igualdade entre duas razes. No sculo XV, o matemtico rabe Al-Kassadi empregou o smbolo "..." para indicar as propores e em 1.537, o italiano Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, escreveu uma proporo na forma 6:3::8:4. C

Regiomontanus foi um dos matemticos italianos que mais divulgou o emprego das propores durante o perodo do Renascimento.Propriedade fundamental das propores Numa proporo: A = B D os nmeros A e D so denominados extremos enquanto os nmeros B e C so os meios e vale a propriedade: o produto dos meios igual ao produto dos extremos, isto : AD=BC Exemplo: A frao 3/4 est em proporo com 6/8, pois: 3 = 4 8 Exerccio: Determinar o valor de X para que a razo X/3 esteja em proporo com 4/6. Soluo: Deve-se montar a proporo da seguinte forma: x = 3 Para obter X=2. 6 4 6 C

Medidas de tempo Introduo comum em nosso dia-a-dia pergunta do tipo:

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Qual a durao dessa partida de futebol? Qual o tempo dessa viagem? Qual a durao desse curso? Qual o melhor tempo obtido por esse corredor? Todas essas perguntas sero respondidas tomando por base uma unidade padro de medida de tempo. A unidade de tempo escolhida como padro no Sistema Internacional (SI) o segundo.

Segundo O Sol foi o primeiro relgio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as sucessivas passagens do Sol sobre um dado meridiano d origem ao dia solar. O segundo (s) o tempo equivalente a do dia solar mdio.

As medidas de tempo no pertencem ao Sistema Mtrico Decimal.

Mltiplos e Submltiplos do Segundo Quadro de unidades Mltiplos minutos min 60 s So submltiplos do segundo: hora h 60 min = 3.600 s dcimo de segundo centsimo de segundo milsimo de segundo dia d 24 h = 1.440 min = 86.400s

Cuidado: Nunca escreva 2,40h como forma de representar 2 h 40 min. Pois o sistema de medidas de tempo no decimal.Observe:

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Equaes do primeiro grau

Para resolver um problema matemtico, quase sempre devemos transformar uma sentena apresentada com palavras em uma sentena que esteja escrita em linguagem matemtica. Esta a parte mais importante e talvez seja a mais difcil da Matemtica. Sentena com palavras 2 melancias + 2Kg = 14Kg Sentena matemtica 2 x + 2 = 14

Normalmente aparecem letras conhecidas como variveis ou incgnitas. A partir daqui, a Matemtica se posiciona perante diferentes situaes e ser necessrio conhecer o valor de algo desconhecido, que o objetivo do estudo de equaes.

Equaes do primeiro grau em 1 varivel Trabalharemos com uma situao real e dela tiraremos algumas informaes importantes. Observe a balana:

A balana est equilibrada. No prato esquerdo h um "peso" de 2Kg e duas melancias com "pesos" iguais. No prato direito h um "peso" de 14Kg. Quanto pesa cada melancia? 2 melancias + 2Kg = 14Kg Usaremos uma letra qualquer, por exemplo x, para simbolizar o peso de cada melancia. Assim, a equao poder ser escrita, do ponto de vista matemtico, como: 2x + 2 = 14 Este um exemplo simples de uma equao contendo uma varivel, mas que extremamente til e aparece na maioria das situaes reais. Valorize este exemplo simples. Podemos ver que toda equao tem: Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que so denominadas variveis ou incognitas; Um sinal de igualdade, denotado por =. Uma expresso esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro da esquerda; Uma expresso direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da direita. No link Expresses Algbricas, estudamos vrias situaes contendo variveis. A letra x a incgnita da equao. A palavra incgnita significa desconhecida e equao tem o prefixo equa que provm do Latim e significa igual. 2x+2 = 14

1o. membro

sinal de igualdade

2o. membro

As expresses do primeiro e segundo membro da equao so os termos da equao. Para resolver essa equao, utilizamos o seguinte processo para obter o valor de x. 2x + 2 = 14 Equao original Dividimos por 2 os dois membros Soluo

2x + 2 - 2 = 14 - 2 Subtramos 2 dos dois membros 2x = 12 x=6

Observao: Quando adicionamos (ou subtramos) valores iguais em ambos os membros da equao, ela permanece em equilbrio. Da mesma forma, se multiplicamos ou dividimos ambos os membros da equao por um valor no nulo, a equao permanece em equilbrio. Este processo nos permite resolver uma equao, ou seja, permite obter as razes da equao. Exemplos: 1. A soma das idades de Andr e Carlos 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que Andr 4 anos mais novo do que Carlos. Soluo: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemtica. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de Andr, logo a=c-4. Assim: c + a = 22 c + (c - 4) = 22 2c - 4 = 22 2c - 4 + 4 = 22 + 4 2c = 26 c = 13 Resposta: Carlos tem 13 anos e Andr tem 13-4=9 anos. 2. A populao de uma cidade A o triplo da populao da cidade B. Se as duas cidades juntas tm uma populao de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B? Soluo: Identificaremos a populao da cidade A com a letra a e a populao da cidade com a letra b. Assumiremos que a=3b. Dessa forma, poderemos escrever: a + b = 100.000 3b + b = 100.000 4b = 100.000 b = 25.000 Resposta: Como a=3b, ento a populao de A corresponde a: a=325.000=75.000habitantes. 3. Uma casa com 260m2 de rea construda possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual a rea de cada quarto, se as outras dependncias da casa ocupam 140m2? Soluo: Tomaremos a rea de cada dormitrio com letra x. 3x + 140 = 260

3x = 260 -140 3x = 120 x = 40 Resposta: Cada quarto tem 40m2. Exerccios: Resolver as equaes 1. 2x + 4 = 10 2. 5k - 12 = 20 3. 2y + 15 - y = 22 4. 9h - 2 = 16 + 2h Desigualdades do primeiro grau em 1 varivel Relacionadas com as equaes de primeiro grau, existem as desigualdades de primeiro grau, (tambm denominadas inequaes) que so expresses matemticas em que os termos esto ligados por um dos quatro sinais: < > < > menor maior menor ou igual maior ou igual

Nas desigualdades, o objetivo obter um conjunto de todas os possveis valores que pode(m) assumir uma ou mais incgnitas na equao proposta. Exemplo: Determinar todos os nmeros inteiros positivos para os quais vale a desigualdade: 2x + 2 < 14 Para resolver esta desigualdade, seguiremos os seguintes passos: Passo 1 2x + 2 < 14 Escrever a equao original Dividir pelo nmero 2 ambos os membros Soluo

Passo 2 2x + 2 - 2 < 14 - 2 Subtrair o nmero 2 dos dois membros Passo 3 Passo 4 S = {1, 2, 3, 4, 5} Exemplo: Para obter todos os nmeros pares positivos que satisfazem desigualdade 2x + 2 < 14 obteremos o conjunto soluo: S = {2, 4} Observao: Se h mais do que um sinal de desigualdade na expresso, temos vrias desigualdades "disfaradas" em uma. 2x < 12 x0, colorimos a regio que contm este ponto, caso contrrio, colorimos a regio que est do outro lado da reta. (4) A regio colorida o conjunto soluo para a desigualdade.40

Sistemas linear de equaes do primeiro grau Uma equao do primeiro grau, aquela em que todas as incgnitas esto elevadas potncia 1. Este tipo de equao poder ter mais do que uma incgnita. Um sistema de equaes do primeiro grau em duas incgnitas x e y, um conjunto formado por duas equaes do primeiro nessas duas incgnitas. Exemplo: Seja o sistema de duas equaes: 2 x + 3 y = 38 3 x - 2 y = 18 Resolver este sistema de equaes o mesmo que obter os valores de x e de y que satisfazem simultaneamente a ambas as equaes. x=10 e y=6 so as solues deste sistema e denotamos esta resposta como um par ordenado de nmeros reais: S = { (10,6) }

Mtodo de substituio para resolver este sistema Entre muitos outros, o mtodo da substituio, consiste na idia bsica de isolar o valor algbrico de uma das variveis, por exemplo x, e, aplicar o resultado outra equao. Para entender o mtodo, consideremos o sistema: 2 x + 3 y = 38 3 x - 2 y = 18 Para extrair o valor de x na primeira equao, usaremos o seguinte processo: 2x + 3y = 38 2x = 38 - 3y x = 19 - (3y/2) 3x - 2y = 18 57 - 9y/2 - 2y = 18 114 - 9y - 4y = 36 114 - 13y = 36 114 - 36 = 13y 78 = 13y Primeira equao Dividimos ambos os membros por 2 Este o valor de x em funo de y Segunda equao multiplicamos os termos por 2 reduzimos os termos semelhantes separamos variveis e nmeros simplificamos a equao mudamos a posio dos dois membros41

2x + 3y - 3y = 38 - 3y Subtramos 3y de ambos os membros

Substitumos aqora o valor de x na segunda equao 3x-2y=18:

3(19 - (3y/2)) - 2y = 18 Aps substituir x, eliminamos os parnteses

13 y = 78 y=6 x = 19 - (36/2) = 19 - 18/2 = 19-9 = 10

dividimos ambos os membros por 6 Valor obtido para y

Substituindo y=6 na equao x=19-(3y/2), obtemos:

Exerccio: Determinar a soluo do sistema: x+y=2 x-y=0 Cada equao do sistema acima pode ser visto como reta no plano cartesiano. Construa as duas retas no plano e verifique que, neste caso, a soluo um par ordenado que pertence interseo das duas retas.

Relao entre sistemas lineares e retas no plano No contexto que estamos trabalhando aqui, cada equao da forma ax+by=c, representa uma reta no plano cartesiano. Um sistema com duas equaes de primeiro grau em 2 incgnitas sempre pode ser interpretado como um conjunto de duas retas localizadas no plano cartesiano. Reta 1: ax + by = c Reta 2: dx + ey = f H trs modos de construir retas no plano: retas concorrentes, retas paralelas e retas coincidentes.

Se o sistema formado por duas equaes que so retas no plano cartesiano, temos a ocorrncia de: Retas concorrentes: quando o sistema admite uma nica soluo que um par ordenado localizado na interseo das duas retas; Retas paralelas: quando o no admite soluo, pois um ponto no pode estar localizado em duas retas paralelas; Retas coincidentes: quando o admite uma infinidade de solues pois as retas esto sobrepostas. Exemplos das trs situaes Tipos de retas Concorrentes Paralelas Coincidentes Problemas com sistemas de equaes: 1. A soma das idades de Andr e Carlos 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que Andr 4 anos mais novo do que Carlos. Soluo: A idade de Andr ser tomada com a letra A e a idade de Carlos com a letra C. O sistema de42

Sistema x+y=2 x-y=0 x+y=2 x+y=4 x+y=2 2x + 2y = 4

equaes ser: C + A = 22 C-A=4 Resposta: C = 13 e A = 9 2. A populao de uma cidade A o triplo da populao da cidade B. Se as duas cidades juntas tm uma populao de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B? Soluco: Identificando a populao da cidade A com a letra A e a populao da cidade B com B, o sistema de equaes ser: A + B = 100000 A = 3B Resposta: A = 75000, B= 25000. 3. Uma casa com 260m2 de rea construda tem 3 dormitrios de mesmo tamanho. Qual a rea de cada dormitrio se as outras dependncias da casa ocupam 140m2? Soluo: Identificaremos a rea de cada dormitrio com a letra D e a rea das outras dependncias com a letra O. Assim, o sistema ser: 3D + O = 260 O = 140 Resposta: D = 40 Desigualdades com 2 Equaes em 2 variveis Outra situao bastante comum aquela em que existe uma desigualdade com 2 equaes em 2 ou mais incgnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 equaes e 2 incgnitas x e y. Uma forma geral pode ter a seguinte forma tpica: ax+byf onde as constantes: a, b, c, d, e, f; so conhecidas. Exemplo: Determinar todos os pares ordenados de nmeros reais para os quais: 2x + 3y > 6 5x + 2y < 20 H infinitos pares ordenados de nmeros reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossvel exibir todas as solues. Para remediar isto, utilizaremos um processo geomtrico que permitir obter uma soluo geomtrica satisfatria. Processo geomtrico: (1) Traar a reta 2x+3y=6 (em vermelho); (2) Escolher um ponto fora da reta, como o par (2,2) e observar que ele satisfaz primeira desigualdade; (3) Devemos colorir o semi-plano contendo o ponto (2,2) (em verde);43

(4) Traar a reta 5x+2y=20 (em azul); (5) Escolher um ponto fora da reta, por exemplo, o prprio par j usado antes (2,2) (no necessrio que seja o mesmo) e observamos que ele satisfaz segunda desigualdade; (6) Colorir o semi-plano contendo o ponto (2,2), inclusive a prpria reta. (cor azul) (7) Construir a interseo (em vermelho) das duas regies coloridas. (8) Esta interseo o conjunto soluo para o sistema com as duas desigualdades.

Equaes do segundo grau (Algbricas)

Equaes algbricas so equaes nas quais a incgnita x est sujeita a operaes algbricas como: adio, subtrao, multiplicao, diviso e radiciao. Exemplos: 1. a x + b = 0 2. a x + bx + c = 0 3. a x4 + b x + c = 0 Uma equao algbrica est em sua forma cannica, quando ela pode ser escrita como: ao xn + a xn-1 + ... + a x1 + a = 0 1 n-1 n onde n um nmero inteiro positivo (nmero natural). O maior expoente da incgnita em uma equao algbrica denominado o grau da equao e o coeficiente do termo de mais alto grau denominado coeficiente do termo dominante. Exemplo: A equao 4x+3x+2=0 tem o grau 2 e o coeficiente do termo dominante 4. Neste caso, dizemos que esta uma equao do segundo grau.

A frmula quadrtica de Sridhara (Bhaskara) Mostraremos na sequncia como o matemtico Sridhara, obteve a Frmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que a frmula geral para a resoluo de equaes do segundo grau. Um fato curioso que a Frmula de Bhaskara no foi descoberta por ele mas pelo matemtico hindu Sridhara, pelo menos um sculo antes da publicao de Bhaskara, fato reconhecido pelo prprio Bhaskara, embora o material construdo pelo pioneiro no tenha chegado at ns. O fundamento usado para obter esta frmula foi buscar uma forma de reduzir a equao do segundo grau a44

uma do primeiro grau, atravs da extrao de razes quadradas de ambos os membros da mesma. Seja a equao: a x + b x + c = 0 com a no nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos: x + (b/a) x + c/a = 0 Passando o termo constante para o segundo membro, teremos: x + (b/a) x = -c/a Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equao seja um quadrado perfeito e para isto somaremos o quadrado de b/2a a ambos os membros da equao para obter: x + (b/a) x + (b/2a) = -c/a + (b/2a) Simplificando ambos os lados da equao, obteremos: [x+(b/2a)]2 = (b - 4ac) / 4a Notao: Usaremos a notao R[x] para representar a raiz quadrada de x>0. R[5] representar a raiz quadrada de 5. Esta notao est sendo introduzida aqui para fazer com que a pgina seja carregada mais rapidamente, pois a linguagem HTML ainda no permite apresentar notaes matemticas na Internet de uma forma fcil. Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equao e lembrando que a raiz quadrada de todo nmero real no negativo tambm no negativa, obteremos duas respostas para a nossa equao: x + (b/2a) = + R[(b-4ac) / 4a] ou x + (b/2a) = - R[(b-4ac) / 4a] que alguns, por preguia ou descuido, escrevem:

contendo um sinal que lido como mais ou menos. Lembramos que este sinal no tem qualquer significado em Matemtica. Como estamos procurando duas razes para a equao do segundo grau, deveremos sempre escrever: x' = -b/2a + R[b-4ac] /2a ou x" = -b/2a - R[b-4ac] /2a A frmula de Bhaskara ainda pode ser escrita como:

onde D (s vezes usamos a letra maiscula "delta" do alfabeto grego) o discriminante da equao do segundo grau, definido por: D = b - 4ac

Equao do segundo grau Uma equao do segundo grau na incgnita x da forma: a x + b x + c = 0 onde os nmeros reais a, b e c so os coeficientes da equao, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equao tambm chamada de equao quadrtica, pois o termo de maior grau est elevado ao quadrado.

Equao Completa do segundo grau Uma equao do segundo grau completa, se todos os coeficientes a, b e c so diferentes de zero. Exemplos: 1. 2 x + 7x + 5 = 0 2. 3 x + x + 2 = 0

Equao incompleta do segundo grau Uma equao do segundo grau incompleta se b=0 ou c=0 ou b=c=0. Na equao incompleta o coeficiente a diferente de zero. Exemplos: 1. 4 x + 6x = 0 2. 3 x + 9 = 0 3. 2 x = 0

Resoluo de equaes incompletas do 2o. grau Equaes do tipo ax=0: Basta dividir toda a equao por a para obter: x = 0 significando que a equao possui duas razes iguais a zero. Equaes do tipo ax+c=0: Novamente dividimos toda a equao por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter: x = -c/a Se -c/a for negativo, no existe soluo no conjunto dos nmeros reais. Se -c/a for positivo, a equao ter duas razes com o mesmo valor absoluto (mdulo) mas de sinais contrrios. Equaes do tipo ax+bx=0: Neste caso, fatoramos a equao para obter: x (ax + b) = 0 e a equao ter duas razes:

x' = 0 ou x" = -b/a

Exemplos gerais 1. 4x=0 tem duas razes nulas. 2. 4x-8=0 tem duas razes: x'=R[2], x"= -R[2] 3. 4x+5=0 no tem razes reais. 4. 4x-12x=0 tem duas razes reais: x'=3, x"=0 Exerccios: Resolver as equaes incompletas do segundo grau. 1. x + 6x = 0 2. 2 x = 0 3. 3 x + 7 = 0 4. 2 x + 5 = 0 5. 10 x = 0 6. 9 x - 18 = 0

Resoluo de equaes completas do 2o. grau Como vimos, uma equao do tipo: ax+bx+c=0, uma equao completa do segundo grau e para resolv-la basta usar a frmula quadrtica (atribuda a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:

onde D=b-4ac o discriminante da equao. Para esse discriminante D h trs possveis situaes: 1. Se D B, onde A o antecedente e B o conseqente) afirmar o conseqente no caso do antecedente ser verdadeiro. Segundo Quine, a nica maneira de se negar a implicao lgica como um todo quando isto no ocorre, isto , tem-se o antecedente (A) V e o consequente (B) F. Apenas neste caso, a implicao (A => B) F. Em todos os outros casos V. A equivalncia sempre V quando os dois argumentos possuem o mesmo valor lgico (seja, este valor, V ou F).

Para Aristteles, o raciocnio (dedutivo) reduz-se essencialmente ao tipo determinado que se denomina silogismo.114

Os componentes do silogismo aristotlico so sentenas universais ou particulares, afirmativas ou negativas, isto , dos tipos seguintes: A : Todos os animais so mortais universal afirmativa E : Nenhum animal imortal universal negativa I : Alguns homens so sbios particular afirmativa O: Alguns homens no so sbios particular negativa Os silogismo aristotlicos constam de duas premissas e uma concluso: Num premissa "todo X Y", X e Y so termos.

Estrutura lgica de relaes entre pessoas, lugares, objetos ou eventos. Caracteriza-se por apresentar um conjunto de afirmaes (premissas), formado por proposies compostas (os termos so interligados pelos conetivos lgicos: e, ou, se...ento, se e somente se), e tambm podem apresentar proposies simples. A resposta solicitada para este tipo de questo a alternativa que traz uma concluso que necessariamente verdadeira para o conjunto de premissas fornecidas no enunciado. Assim, notamos que as questes de estruturas lgicas se assemelham s de Argumento Vlido, pois apresenta premissas (trazidas no enunciado) e uma concluso vlida (que ser a prpria resposta procurada!). Para resolver as questes de estruturas lgicas utilizaremos os mtodos de teste de validade de argumentos apresentados anteriormente. Dividiremos as questes de Estruturas lgicas em dois tipos, a saber:

1 tipo: Quando uma das premissas apresenta somente uma forma de ser verdadeira. Isso ocorre em duas situaes: 1) o conjunto de premissas traz alguma proposio simples; ou 2) o conjunto de premissas traz alguma proposio composta em forma de conjuno (com o conectivo e interligando os seus termos). 2 tipo: Quando todas as premissas do argumento possuem mais uma forma de ser verdadeira. O 1 tipo, definido acima, resolvido utilizando-se o 3 mtodo de teste de validade de argumentos, j nosso conhecido! Como j vimos, o 3 mtodo realizado por meio dos seguintes passos: 1 passo: consideram-se as premissas verdadeiras, e com o conhecimento das tabelas-verdade dos conectivos, descobrimos os valores lgicos das proposies simples que compe o argumento.

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2 passo: A partir dos valores lgicos das proposies simples, devemos encontrar qual a alternativa que traz uma proposio que conseqncia obrigatria das premissas, ou seja, que possui valor lgico necessariamente verdadeiro. No h melhor maneira de se aprender a trabalhar questes de Estruturas Lgicas do que por meio da resoluo de questes! Passemos a elas! (AFC 2002 ESAF) Se Carina amiga de Carol, ento Carmem cunhada de Carol. Carmem no cunhada de Carol. Se Carina no cunhada de Carol, ento Carina amiga de Carol. Logo, a) Carina cunhada de Carmem e amiga de Carol. b) Carina no amiga de Carol ou no cunhada de Carmem. c) Carina amiga de Carol ou no cunhada de Carol. d) Carina amiga de Carmem e amiga de Carol. e) Carina amiga de Carol e no cunhada de Carmem. Soluo: O enunciado da questo traz trs afirmaes (premissas), que so apresentadas abaixo: P1. Se Carina amiga de Carol, ento Carmem cunhada de Carol. P2. Carmem no cunhada de Carol. P3. Se Carina no cunhada de Carol, ento Carina amiga de Carol. Da mesma forma que j fizemos em diversas solues de questes, vamos traduzir simbolicamente as frases acima, a fim de tornar a soluo mais rpida. Para isso, vamos definir as seguintes proposies simples: A = Carina amiga de Carol B = Carina cunhada de Carol C = Carmem cunhada de Carol

Destarte, as frases traduzidas para a linguagem simblica ficam assim: P1. A C P2. ~C P3. ~B A Agora vamos a soluo propriamente dita. Observe os passos abaixo: 1 PASSO: Considerando as premissas como verdadeiras e a partir do conhecimento das tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lgico das proposies simples (A , B e C). Veja o procedimento seqencial feito abaixo: a) Comeamos pela 2 premissa, pois esta uma proposio simples, e, portanto, s possui uma forma de ser verdadeira. P1. A C P2. ~C Como ~C verdade, logo C F

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P3. ~B A Resultado: O valor lgico de C F. b) Substitua C pelo seu valor lgico F P1. A F para que a condicional seja verdade necessrio que A tenha valor lgico F P2. ~F P3. ~B A Resultado: O valor lgico de A F. c) Substitua A pelo seu valor lgico F P1. F F P2. ~F P3. ~B F para que a condicional seja verdade necessrio que ~B tenha valor lgico F, e da B V. Resultado: O valor lgico de B V. - Em suma: A F , significa que: Carina amiga de Carol falso. Da: (Carina no amiga de Carol verdade) B V , significa que: Carina cunhada de Carol verdade. C F , significa que: Carmem cunhada de Carol falso. Da: (Carmem no cunhada de Carol verdade) 2 PASSO: De posse das verdades obtidas no 1 passo, verificaremos qual a alternativa que traz uma proposio necessariamente verdadeira. No h necessidade de traduzirmos as frases das alternativas da questo para linguagem simblica. Observemos como fcil descobrir a alternativa correta: falso falso a) Carina cunhada de Carmem e amiga de Carol. falso verdade verdade b) Carina no amiga de Carol ou no cunhada de Carmem. falso falso c) Carina amiga de Carol ou no cunhada de Carol. falso falso d) Carina amiga de Carmem e amiga de Carol. falso verdade falso falso

verdade

e) Carina amiga de Carol e no cunhada de Carmem.

falso

A nica alternativa que traz uma proposio verdadeira a letra B Resposta!

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EXEMPLO 02: (ANEEL 2004 ESAF) Surfo ou estudo. Fumo ou no surfo. Velejo ou no estudo. Ora, no velejo. Assim, a) estudo e fumo. b) no fumo e surfo. c) no velejo e no fumo. d) estudo e no fumo. e) fumo e surfo. Soluo: O enunciado da questo apresenta quatro afirmaes (premissas), que so apresentadas abaixo: P1. Surfo ou estudo. P2. Fumo ou no surfo. P3. Velejo ou no estudo. P4. No velejo. Ora, as premissas so frases pequenas, ento no h necessidade de definir letras para representar as proposies simples. Vamos trabalhar do jeito que est! Agora vamos soluo propriamente dita. Observemos os passos abaixo: 1 PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e, a partir do conhecimento das tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lgico das proposies simples. Vejamos a seqncia abaixo: a) Iniciaremos pela 4 premissa, pois esta uma proposio simples, e, portanto, s tem uma forma de ser verdadeira. P1. Surfo ou estudo P2. Fumo ou no surfo P3. Velejo ou no estudo P4. No velejo Como No velejo verdade, logo velejo F Resultado: O valor lgico velejo F.

b) Substitua velejo por F, e no velejo por V P1. Surfo ou estudo P2. Fumo ou no surfo P3. F ou no estudo para que a disjuno seja verdade necessrio que no estudo tenha valor lgico V . Da estudo F. P4. V Resultado: O valor lgico de estudo F. c) Substitua estudo por F, e no estudo por V P1. Surfo ou F para que a disjuno seja verdade necessrio que surfo tenha valor lgico V. P2. Fumo ou no surfo P3. F ou V P4. V

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Resultado: O valor lgico de surfo V. d) Substitua surfo por V, e no surfo por F P1. V ou F P2. Fumo ou F para que a disjuno seja verdade necessrio que Fumo tenha valor lgico V. P3. F ou V P4. V Resultado: O valor lgico de Fumo V. - Em suma, as verdades so: no velejo ; no estudo surfo ; Fumo 2 PASSO: De posse das verdades obtidas no 1 passo, verificar qual a alternativa que traz uma proposio necessariamente verdadeira. FV a) estudo e fumo falso FV b) no fumo e surfo falso VF c) no velejo e no fumo falso FF d) estudo e no fumo falso VV e) fumo e surfo verdade A nica alternativa que traz uma proposio verdadeira a E Resposta!

Deduo de novas informaes a partir de outras apresentadas. Deduo natural um dos sistemas dedutivos utilizados para construir demonstraes formais na Lgica. Nos anos 30, foram introduzidos pela primeira vez, por Gentzen e Jakowski, os sistemas de Deduo Natural para a Lgica Clssica. As demonstraes realizadas no sistema de deduo natural seguem uma via sinttica e utilizam rvores de derivao. Para poder realizar uma derivao formal, necessrio formalizar a expresso que queremos demonstrar. Formalizar significa traduzir da forma lingstica usual para uma notao lgica, uma forma que entendvel para qualquer um, independente da lngua que fala, e que tambm reduz o espao ocupado pela frase escrita, tendo em vista que podemos utilizar uma notao mais econmica, a lgica. Na notao formal utilizamos conectivos lgicos, operadores que realizam a ligao entre os tomos (os menores objetos). So eles:

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O sistema de deduo natural serve para verificar a derivabilidade de uma expresso. Porm, no serve para gerar um contra-modelo nem para mostrar um conjunto de derivaes possveis, ou seja, a rvore de derivao nos mostra, apenas, uma das, vrias, derivaes existentes para a expresso. Existem dois mtodos de se escrever as demonstraes em deduo natural: atravs de um mtodo linear ou atravs de rvores de derivao (rvores de deduo). A raiz da rvore a concluso, os filhos so as derivaes que geram a concluso. O sistema de deduo natural apresenta regras que unem rvores (finitas) que so geradas a partir de um conjunto finito de premissas e hipteses at derivar uma certa concluso. As folhas da rvore representam hipteses ou premissas. As folhas abertas representam premissas, enquanto as fechadas representam hipteses (marcadas com []). Todas as folhas devem possuir marcas e deve-se evitar o conflito de marcas, ou seja, ter duas frmulas diferentes com uma mesma marca. A marca, geralmente, um nmero natural, identificando as folhas. Cada passo, ou seja, cada derivao realizada, na rvore, deve ser baseada em uma das regras do sistema. como um jogo, em que devemos seguir todas as regras para podermos conclu-lo de maneira correta e vencer. Os sistemas que trataremos aqui sero o Sistema intuitivo(Lgica Intuicionista), Sistema Np (Lgica Clssica Proposicional) e o Sistema Nc(Lgica Clssica de Primeira Ordem). Sistema intuitivo No sistema intuitivo possumos regras que tratam de conectivos, assim como o sistema Np apresentado abaixo. A grande diferena entre o sistema intuitivo e o sistema Np que o sistema intuitivo no possui a regra do absurdo clssico e nenhuma derivao baseada nela. Sendo assim, no podemos fazer derivaes como: , facilmente derivadas no sistema Np ou Nc da lgica clssica. Com exceo do citado,120

podemos utilizar as mesmas regras do sistema Np. Sistema Np No sistema Np possumos regras que tratam de conectivos. Abaixo est a apresentao do conjunto de regras do Sistema Np: Regras de eliminao As regras de eliminao mostram como retirar os conectivos para podermos gerar derivaes. Elas so melhores utilizadas quando estamos construindo uma derivao a partir das hipteses e em direo a concluso ("de cima para baixo").

Eliminao da conjuno Eliminao da conjuno direita.

Eliminao da conjuno esquerda. As regras de eliminao da conjuno, como foram apresentadas acima, dizem que, se temos uma conjuno, podemos tirar um pedao dela, a parte mais direita (Ed) ou a parte mais esquerda (Ee), e elimin-lo.

Lgica da argumentao

# Argumento: Chama-se argumento a afirmao de que um grupo de proposies iniciais redunda em uma outra proposio final, que ser conseqncia das primeiras! Dito de outra forma, argumento a relao que associa um conjunto de proposies p1, p2, ... pn , chamadas premissas do argumento, a uma proposio c, chamada de concluso do argumento. No lugar dos termos premissa e concluso podem ser tambm usados os correspondentes hiptese e tese, respectivamente. Vejamos alguns exemplos de argumentos: Exemplo 1) p1: Todos os cearenses so humoristas. p2: Todos os humoristas gostam de msica.121

c : Todos os cearenses gostam de msica.

# Argumento Vlido: Dizemos que um argumento vlido (ou ainda legtimo ou bem construdo), quando a sua concluso uma conseqncia obrigatria do seu conjunto de premissas. Veremos em alguns exemplos adiante que as premissas e a prpria concluso podero ser visivelmente falsas (e at absurdas!), e o argumento, ainda assim, ser considerado vlido. Isto pode ocorrer porque, na Lgica, o estudo dos argumentos no leva em conta a verdade ou a falsidade das premissas que compem o argumento, mas to somente a validade deste. Exemplo: O silogismo... p1: Todos os homens so pssaros. p2: Nenhum pssaro animal. c: Portanto, nenhum homem animal.... est perfeitamente bem construdo, sendo, portanto, um argumento vlido, muito embora a veracidade das premissas e da concluso sejam totalmente questionveis. Repetindo: o que vale a construo, e no o seu contedo! Ficou claro? Se a construo est perfeita, ento o argumento vlido, independenteme nte do contedo das premissas ou da concluso! Num raciocnio dedutivo (lgico), no possvel estabelecer a verdade de sua concluso se as premissas no forem consideradas todas verdadeiras. Determinar a verdade ou falsidade das premissas tarefa que incumbe cincia, em geral, pois as premissas podem referir-se a qualquer tema, como Astronomia, Energia Nuclear, Medicina, Qumica, Direito etc., assuntos que talvez desconheamos por completo! E ainda assim, teremos total condio de averiguar a validade do argumento! Agora a questo mais importante: como saber que um determinado argumento mesmo vlido? Uma forma simples e eficaz de comprovar a validade de um argumento utilizando-se de diagramas de conjuntos. Trata-se de um mtodo muito til e que ser usado com freqncia em questes que pedem a verificao da validade de um argumento qualquer. Vejamos como funciona, usando esse exemplo acima.

Quando se afirma, na premissa p1, que todos os homens so pssaros, poderemos representar essa frase da seguinte maneira:

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Observem que todos os elementos do conjunto menor (homens) esto includos, ou seja, pertencem ao conjunto maior (dos pssaros). E ser sempre essa a representao grfica da frase Todo A B. Dois crculos, um dentro do outro, estando o crculo menor a representar o grupo de quem se segue palavra todo. Ficou claro? Pois bem! Faamos a representao grfica da segunda premissa. Temos, agora, a seguinte frase: Nenhum pssaro animal. Observemos que a palavra chave desta sentena nenhum. E a idia que ela exprime de uma total dissociao entre os dois conjuntos. Ser sempre assim a representao grfica de uma sentena Nenhum A B: dois conjuntos separados, sem nenhum ponto em comum. Tomemos agora as representaes grficas das duas premissas vistas acima e as analisemos em conjunto. Teremos:

Agora, comparemos a concluso do nosso argumento Nenhum homem animal com o desenho das premissas acima. E a? Ser que podemos dizer que esta concluso uma123

conseqncia necessria das premissas? Claro que sim! Observemos que o conjunto dos homens est totalmente separado (total dissociao!) do conjunto dos animais. Resultado: este um argumento vlido! # Argumento Invlido: Dizemos que um argumento invlido tambm denominado ilegtimo, mal construdo, falacioso ou sofisma quando a verdade das premissas no suficiente para garantir a verdade da concluso. Exemplo: p1: Todas as crianas gostam de chocolate. p2: Patrcia no criana. c: Portanto, Patrcia no gosta de chocolate. Veremos a seguir que este um argumento invlido, falacioso, mal construdo, pois as premissas no garantem (no obrigam) a verdade da concluso. Patrcia pode gostar de chocolate mesmo que no seja criana, pois a primeira premissa no afirmou que somente as crianas gostam de chocolate. Da mesma forma que utilizamos diagramas de conjuntos para provar a validade do argumento anterior, provaremos, utilizando-nos do mesmo artifcio, que o argumento em anlise invlido.

Diagramas lgicos So ditas proposies categricas as seguintes: Todo A B Nenhum A B Algum A B e Algum A no B Proposies do tipo Todo A B afirmam que o conjunto A um subconjunto do conjunto B. Ou seja: A est contido em B. Ateno: dizer que Todo A B no significa o mesmo que Todo B A. Enunciados da forma Nenhum A B afirmam que os conjuntos A e B so disjuntos, isto , no tem elementos em comum. Ateno: dizer que Nenhum A B logicamente equivalente a dizer que Nenhum B A. Por conveno universal em Lgica, proposies da forma Algum A B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. Contudo, quando dizemos que Algum A B, pressupomos que nem todo A B. Entretanto, no sentido lgico de algum, est perfeitamente correto afirmar que alguns de meus colegas esto me elogiando, mesmo que todos eles estejam. Dizer que Algum A B logicamente equivalente a dizer que Algum B A. Tambm, as seguintes expresses so equivalentes: Algum A B = Pelo menos um A B = Existe um A que B. Proposies da forma Algum A no B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento que no pertence ao conjunto B. Temos as seguintes equivalncias:124

Algum A no B = Algum A no B = Algum no B A. Mas no equivalente a Algum B no A. Nas proposies categricas, usam-se tambm as variaes gramaticais dos verbos ser e estar, tais como , so, est, foi, eram, ..., como elo de ligao entre A e B. Resolvemos listar algumas regras que j foram vistas anteriormente Todo A B = Todo A no no B Algum A B = Algum A no no B Nenhum A B = Nenhum A no no B Todo A no B = Todo A no B Algum A no B = Algum A no B Nenhum A no B = Nenhum A no B Nenhum A B = Todo A no B Todo A B = Nenhum A no B A negao de Todo A B Algum A no B (e vice-versa) A negao de Algum A B Nenhum A B (e vice-versa) Verdade ou Falsidade das Proposies Categricas Dada a verdade ou a falsidade de qualquer uma das proposies categricas, isto , de Todo A B, Nenhum A B, Algum A B e Algum A no B. pode-se inferir de imediato a verdade ou a falsidade de algumas ou de todas as outras.

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Algum vai perguntar: preciso decorar tudo isso? Na realidade, o melhor buscar entender tudo isso! A rigor, conforme veremos pela resoluo das questes abaixo, conseguiremos solucionar os problemas deste assunto praticamente mediante o desenho dos diagramas lgicos!126

Ou seja, a coisa bem mais fcil do que aparenta. Passemos s resolues! Exerccio: (Especialista em Polticas Pblicas Bahia 2004 FCC) Considerando todo livro instrutivo como uma proposio verdadeira, correto inferir que: a) Nenhum livro instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira. b) Algum livro instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira. c) Algum livro no instrutivo uma proposio verdadeira ou falsa. d) Algum livro instrutivo uma proposio verdadeira ou falsa. e) Algum livro no instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira.

Pode haver questo mais fcil que esta? A opo A descartada de pronto: nenhum livro instrutivo implica a total dissociao entre os diagramas. E estamos com a situao inversa! A opo B perfeitamente escorreita ! Percebam como todos os elementos do diagrama vermelho esto inseridos no diagrama azul. Resta necessariamente perfeito que algum livro instrutivo.Resposta: opo B.

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