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Apostila de matemática Aplicada em Eletromecânica
Professor Vitor Filho
POTÊNCIA DE DEZ E NOTAÇÃO CIENTÍFICA
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Neste texto veremos o que é a potência de dez e a notação científica, como
esta notação matemática pode nos ajudar na resolução de problemas de Física e
Química.
Em muitos exercícios você vai se deparar com o “problema” de representar uma
distância muito grande em uma unidade na adequada, por exemplo: representar a
distância da Terra e a Lua em centímetros ou o número de Avogadro representando mol.
Bem, colocar todos os algarismos destas medidas te daria um bom trabalho para não
errar na quantidade de zeros.
Mas existe um jeito muito mais fácil, é só utilizar a notação científica.
A potência de dez é utilizada para abreviar múltiplos (ou submúltiplos) de dez. Assim:
100 = 10 x 10;
1000 = 10 x 10 x 10;
100000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10.
Para escrevermos estes números de uma maneira abreviada, basta indicar o
número de dezenas envolvidas na multiplicação com um pequeno número (expoente) no
alto da potência de 10.
Logo, se 100 = 10 x 10, podemos dizer que 100 = 102. Da mesma maneira 1000 = 103, e
100000 = 105.
Nestes exemplos o expoente da base 10 é igual ao número de zeros. Para os
submúltiplos de dez, também utilizamos o sistema exponencial. Assim:
0,01 = 1/10 x 1/10 ;
0,001 = 1/10 x 1/10 x 1/10
0,00001 = 1/10 x 1/10 x 1/10 x 1/10 x 1/10
Neste caso, para abreviar esses números indicamos o número de casas decimais com
expoente negativo da potência de 10.
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Assim, se 0,01 = 1/10 x 1/10, podemos dizer que 0,01 = 10-2. Da mesma maneira, 0,001
= 10-3 e 0,00001 = 10-5.
Para escrever um número em notação científica devemos obedecer ao seguinte
formato: A x 10B onde A deve ser um número que esteja entre 1 e 9, ou seja, deve ser
maior ou igual a 1 e menor que 10 e B o número de zeros (ou casas decimais se o
expoente for negativo) do número.
Vamos ver alguns exemplos:
40 é igual a 4 vezes 101, então em notação científica representa-se 40 = 4 x 101.
15000 é igual a 15 vezes 1000, ou 1,5 vezes 10000. Como 10000 que é igual 104, então
em notação científica representa-se 15000 = 1,5 x 104.
0,2 corresponde a 2 dividido por 10, ou 2 multiplicado por 0,1 que corresponde a 1/10.
Como 1/10 pode ser representado por 10-1, então em notação científica representa-se 0,2
= 2 x 10-1.
Notamos então que fica muito mais fácil de representar números muito grandes
ou muito pequenos utilizando a notação científica e a potência de dez.
Abaixo temos mais alguns números expressos em notação científica:
1 000 000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 106 mega
100 000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 105
10 000 = 10 x 10 x 10 x 10 = 104
1 000 = 10 x 10 x 10 = 103 quilo
100 = 10 x 10 = 102
10 = 10 = 101
1 = 1 = 100
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0,1 = 1/10 = 10-1
0,01 = 1/100 = 10-2 centi
0,001 = 1/1000 = 10-3 mili
0,0001 = 1/10 000 = 10-4
0,00001 = 1/100 000 = 10-5
0,000001 = 1/1 000 000 = 10-6 micro
Exercícios extras sobre notação científica
1 - Explique como os números muito grandes ou muito pequenos podem ser escritos de
maneira compacta. Dê exemplos.
2 - Escreva os números abaixo em potências de 10
a) 0, 0056 e) 2 600 i) 0,003
b) 5 000 f) 8 900 000 j) 900
c) 71 000 g) 0,023 k) 40
d) 350 000 h) 0,85 l) 0,000066
4 - Transforme as potências de 10 abaixo em numeração decimal.
a) 2,7 x 10-3 e) 7,6 x 103 i) 5 x 10-3
b) 4 x 103 f) 8,5 x 106 j) 6 x 102
c) 3,1 x 104 g) 5,8 x 10-2 k) 3 x 101
d) 9,9x 105 h) 1,7 x 10-1 l) 4,4 x 10-5
5 - Escreva, com suas palavras, qual é a regra que você pode utilizar para mexer com a
vírgula em uma potência de 10.
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6 - Efetue as operações indicadas (deixe todos os resultados com somente uma casa
antes da vírgula)
a) 106 x 104 e) (7 x 106) + (5 x 106)
b) 103 x 10-7 f) (2 x 105) + (7 x 107)
c) (3 x 102) x (2,5 x 104) g) (5,6 x 104) - (6 x 103)
d) (8 x 105) (5 x 102) h) (8 x 109) - (3 x 109)
Dízimas periódicas
As dízimas periódicas pertencem ao conjunto dos números racionais, representado pela
letra Q e que engloba os números inteiros (Z), os números decimais finitos e os números
decimais infinitos periódicos. Estes últimos são aqueles que repetem uma sequência de
algarismos da parte decimal infinitamente, isto é, as dízimas periódicas. Em uma dízima
periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente constituem o período
dessa dízima. Os números racionais hora são apresentados na forma de fração, hora na
forma decimal.
Classificação das dízimas
As dízimas periódicas podem ser classificadas em:
Dízimas periódicas simples: Quando o período apresenta-se logo após a vírgula.
Observe os exemplos a seguir:
4/13 = 0, 307692307692… (Período: 307692)
2/3 = 0, 666666 … (Período: 6)
31/33 = 0, 93939393 … (Período: 93)
Dízimas periódicas compostas: Quando há uma parte não periódica (não repetitiva) entre o período e a vírgula.
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Observe os exemplos a seguir:
44/45 = 0, 9777777 … (Período: 7; parte não periódica: 9)
35/36 = 0, 972222 … (Período: 2 ; parte não periódica: 97)
35/42 = 0, 833333 … (Período: 3 ; parte não periódica: 8)
Geratriz de uma dízima periódica
A geratriz da dízima periódica é a fração (número racional) que deu origem a essa
dízima periódica.
Exemplos:
1) 1/3 é a geratriz da dízima periódica simples 0,333…
2) 23/30 é a geratriz da dízima periódica composta 0, 7666 …
Determinação da geratriz de uma dízima periódica
1) Geratriz de uma dízima periódica simples
A geratriz de uma dízima periódica simples é uma fração cujo numerador é o período e
o denominador é formado por tantos “noves” quantos forem os algarismos do período.
Caso a dízima possua parte inteira, ela deve ser incluída à frente dessa fração, formando
um número misto.
Exemplos:
0, 7777 … = 7/9
0, 2323… = 23/99
2) Geratriz de uma dízima periódica composta
A geratriz de uma dízima periódica composta é uma fração de forma n/d, onde tem-se
que:
O numerador “n” é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica;
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O denominador “d” é formado por tantos “noves” quantos forem os algarismos do período, seguidos de tantos “zeros” quantos forem os algarismos da parte não periódica.
Exemplos:
0, 1252525 … = 125 – 1/990 = 124/990
0, 03666 … = 036 – 03/900 = 33/900 = 11/300
Atividades
1. Encontre a fração geratriz das dízimas abaixo:
a) 13,212121... b) 5,033333... c) 1,1666... d) 0,373737... =
e) 0,555... = f) 3,222... = g) 1,434343... = h) 2,010101... =
2. Qual a diferença entre o conjunto dos números naturais e o conjunto dos números
inteiros? Exemplifique.
3. Transforme para notação científica os seguintes números
a) 0,0000512 b) 0,003000 c) 1.200.000.000 d) 4.315.000.000.000.000
e) 632.000.000 f) 11.312.000.000 g) 802 x 1012 – 52 x 1013
4. Escreva na forma de fração irredutível os seguintes decimais:
a) 0,8 = b) 12,3= c) 0,33= d) 0,333...= e) 0,2525...=
f) 0,1222...= g) 0,5 = h) 2,4 = i) 0,02 = j) 1,25 =
Sistema Métrico Decimal
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Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um
deles possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio
ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas
medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para
cada grandeza.
Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um grupo de
representantes de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de
medidas. Surgia o sistema métrico decimal.
Medidas de comprimento
No sistema métrico decimal, a unidade fundamental para medir comprimentos é
o metro, cuja abreviação é m. Existem os múltiplos e os submúltiplos do metro, veja na
tabela:
Múltiplos u.f. Submúltiplos
quilômetro hectômetro decâmetro metro Decímetro centímetro Milímetro
km hm dam m m cm mm
1 000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m
Existem outras unidades de medida, mas que não pertencem ao sistema métrico
decimal.
Vejamos as relações entre algumas dessas unidades e as do sistema métrico decimal:
1 polegada = 25 milímetros ou 2,5 cm
1 milha = 1 609 metros
1 légua = 5 555 metros
1 pé = 30 centímetros
1 arroba = 15 kg.
1 palmo = 8 polegadas = 22 cm
1 barril de petróleo = 159,11315 litros (se for o barril imperial britânico)
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Transformação de unidades de comprimento
Observando o quadro das unidades de comprimento, podemos dizer que cada unidade
de comprimento é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior, isto é, as
sucessivas unidades variam de 10 em 10. Conclui-se então que para transformar uma
unidade para um submúltiplo, basta multiplicar por 10n onde n é o número de colunas à
direita do número na tabela. Já para passar para um múltiplo, basta dividir por 10 n onde
n é o número de colunas à esquerda do número na tabela.
Por exemplo:
7 m = 7 x 102 cm = 700 cm 500 m = 500 x 10-3 km = 0,5 km
Medidas de superfície
No sistema métrico decimal, a unidade fundamental para medir superfícies é o metro
quadrado, cuja representação é m2 . O metro quadrado é a medida da superfície de um
quadrado de um metro de lado. Como na medida de comprimento, na área também
temos os múltiplos e os submúltiplos:
Múltiplos u.f. Submúltiplos
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
1 000 000 m2 10 000 m2 100 m2 1 m2 0,01 m2 0,0001 m2 0,000001 m2
Transformação de unidades de superfície
Analogamente à transformação de unidades da medida de comprimento, faremos para a
medida de área, porém para cada devemos multiplicar ou dividir por 102 e não 10. Veja
os exemplos:
1. 5 m2 = 5 x 102 dm2 = 500 dm2
2. 3 km2 = 3 x 106 m2 = 3 000 000 m2
3. 20 000 m2 = 20 000 x 10-6 km2 = 0,02 km2
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Obs. Quando queremos medir grandes porções de terra (como sítios, fazendas etc.)
usamos uma unidade agrária chamada hectare (ha).
O hectare é a medida de superfície de um quadrado de 100 m de lado.
1 hectare (há) = 1 hm2 = 10 000 m2
Em alguns estados do Brasil, utiliza-se também uma unidade não legal
chamada alqueire.
1 alqueire mineiro é equivalente a 48 400 m2.
1 alqueire paulista é equivalente a 24 200 m2.
Medidas de volume
No sistema métrico decimal, a unidade fundamental para medir volume é o metro
cúbico, cuja abreviatura é m3 . O metro cúbico (m3) é o volume ocupado por um cubo
de 1 m de aresta. Como nas medidas de comprimento e de área, no volume também
temos os múltiplos e os submúltiplos:
Múltiplos u.f. Submúltiplos
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
1 000 000 000
m3
1000 000
m3
1000
m3
1 m3 0,001 m3 0,000001
m3
0,000000001 m3
As mais utilizadas, além do metro cúbico, são o decímetro cúbico e o centímetro
cúbico.
Transformação de unidades de volume
Analogamente à transformação de unidades da medida de comprimento, faremos para a
medida de área, porém para cada devemos multiplicar ou dividir por 103 e não 10. Veja
os exemplos:
1. 8,2 m3 = 8,2 x 103 dm3 = 8 200 dm3
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2. 500 000 cm3 = 500 000 x 10-6 m3 = 0,5 m3
Medidas de capacidade
A unidade fundamental para medir capacidade de um sólido é o litro.
De acordo com o Comitê Internacional de Pesos e Medidas, o litro é, aproximadamente,
o volume equivalente a um decímetro cúbico, ou seja:
1 litro = 1,000027 dm3
Porém, para todas as aplicações práticas, simples, podemos definir:
1 litro = 1 dm3
Veja os exemplos:
1) Na leitura do hidrômetro de uma casa, verificou-se que o consumo do último mês foi
de 36 m3. Quantos litros de água foram consumidos?
Solução: 36 m3 = 36 000 dm3 = 36 000 litros
2) Uma indústria farmacêutica fabrica 1 400 litros de uma vacina que devem ser
colocados em ampolas de 35 cm3 cada uma. Quantas ampolas serão obtidas com essa
quantidade de vacina?
Solução: 1 400 litros = 1 400 dm3 = 1 400 000 cm3
(1 400 000 cm3): (35 cm3) = 40 000 ampolas.
Outras unidades para medir a capacidade
São também utilizadas outras unidades para medir capacidade, que são múltiplos e
submúltiplos do litro:
Múltiplos u.f. Submúltiplos
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hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro
hl dal l dl cl ml
100 l 10 l 1 l 0,1 l 0,01 l 0,001 l
Obs. 1) Não é usado nem consta da lei o quilolitro.
Obs. 2) Além do litro, a unidade mais usada é o mililitro (ml), principalmente para
medir pequenos volumes, como a quantidade de líquido de uma garrafa, de uma lata ou
de uma ampola de injeção.
Transformação de unidades de capacidade
Observando o quadro das unidades de capacidade, podemos verificar que cada unidade
de capacidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior, isto é, as
sucessivas unidades variam de 10 em 10.
Veja os exemplos:
1) Expressar 15 l em ml.
Solução: 15 l = (15 x 103) ml = 15 000 ml
2) Expressar 250 ml em cm3.
Solução: 250 ml = 0,25 l = 0,25 dm3 = 250 cm3
Exercícios
1. 15.000 mm2 + 15 cm2 é igual a:
A) 0,1515 dm2 B) 1,5015 dm2 C) 1,65 dm2
D) 15,15 dm2 E) 151,5 dm2
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2. Se uma vela de 36 cm de altura diminui 1,8 mm por minuto, quanto tempo levará
para se consumir?
A) 2 h B) 2 h 36 min C) 3 h
D) 3 h 18 min E) 3 h 20 min
3. Um reservatório tem 1,2 m de largura, 1,5 m de comprimento e 1 metro de altura.
Para conter 1.260 litros de água, esta deve atingir a altura de:
A) 70 cm B) 0,07 m C) 7 m
D) 0,7 dm E) 700 cm
4. Uma parede de 5 m por 2,40 m tem uma porta de 2,00 m por 70 cm e deve ser
azulejada com peças quadradas de 10 cm de lado. O mínimo de azulejos necessários
para não haver sobra é igual a:
A) 106 B) 1.060 C) 10.600
D) 106.000 E) 1.060.000
5. Um município colheu uma produção de 9.000 toneladas de milho em grão em uma
área plantada de 2.500 hectares. Obtenha a produtividade média do município em
termos de sacas de 60 kg colhidas por hectare.
A) 50 B) 60 C) 72
D) 90 E) 100
Geometria Espacial
Cubo
Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes (a= b = c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadradas.
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Diagonais da base e do cubo Considere a figura a seguir:
dc = diagonal do cubodb = diagonal da base
Na base ABCD, temos:
No triângulo ACE, temos:
Área lateral A área lateral AL é dada pela área dos quadrados de lado a:
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AL=4a2
Área total A área total AT é dada pela área dos seis quadrados de lado a:
AT=6a2
Volume De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por:
V = a.a.a = a3
Paralelepípedo retângulo Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura:
Temos quatro arestas de medida a quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas.
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Diagonais da base e do paralelepípedo Considere a figura a seguir:
db = diagonal da basedp = diagonal do paralelepípedo
Na base ABFE, temos:
No triângulo AFD, temos:
Área lateral Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos:
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AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =AL = 2(ac + bc) Área total Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas:
AT= 2( ab + ac + bc)
Volume Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2 cubos de aresta 1:
Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por:V = abc
Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como qualquer face pode ser considerada como base, podemos dizer que o volume do paralelepípedo retângulo é o produto da área da base AB pela medida da altura h:
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Classificação do Cilindro Um cilindro pode ser:
circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases; circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases.
Veja:
O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser gerado pela rotação completa de um retângulo por um de seus lados. Assim, a rotação do
retângulo ABCD pelo lado gera o cilindro a seguir:
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A reta BC contém os centros das bases e é o eixo do cilindro. Secção Secção transversal é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases. Todas as secções transversais são congruentes.
Secção meridiana é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo.
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Áreas
Num cilindro, consideramos as seguintes áreas:a) área lateral (AL) Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:
Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é um retângulo de dimensões A=2 π r e h:
A=2 π r h b) área da base ( AB):área do círculo de raio r
A=π r2
c) área total ( AT): soma da área lateral com as áreas das bases
AT =AL +2Ab= 2 π r (h+r )
Volume
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Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princípio de Cavalieri.Dados dois sólidos com mesma altura e um plano α, se todo plano β, paralelo ao plano α, intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:
Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh. Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e de todo cilindro é o produto da área da base pela medida de sua altura:
Vcilindro = ABh
No caso do cilindro circular reto, a área da base é a área do círculo de raio rA=π r2; portanto seu volume é:
V=π r2 h
Exercícios
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1. Qual o volume de concreto utilizado na construção de uma laje de 80 centímetros de espessura em uma sala com medidas iguais a 4 metros de largura e 6 metros de comprimento?
2. Um prisma de base quadrangular possui volume igual a 192 cm³. Determine sua altura sabendo que ela corresponde ao triplo da medida da aresta da base.
3. Uma caixa de papelão será fabricada por uma indústria com as seguintes medidas: 40 cm de comprimento, 20 cm de largura e 15 cm de altura. Essa caixa irá armazenar doces na forma de um prisma com as dimensões medindo 8 cm de comprimento, 4 cm de largura e 3 cm de altura. Qual o número de doces necessários para o preenchimento total da caixa fabricada?
4. A área total de um cubo cuja diagonal mede 5√3 cm é:
a) 140 cm²b) 150 cm²c) 120√2 cm²d) 100√3 cm²e) 450 cm²
5. As medidas das arestas de um paralelepípedo retângulo são proporcionais a 2, 3 e 4. Se sua diagonal mede 2√29 cm, seu volume, em centímetros cúbicos, é:
a) 24
b) 24√29
c) 116
d) 164
e) 192
6. Em uma piscina retangular com 10 m de comprimento e 5 m de largura, para elevar o nível de água em 10 cm são necessários:
a) 500 l de águab) 5 000 l de águac) 10 000 l de águad) 1 000 l de águae) 50 000 l de água
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7. Um reservatório em formato cilíndrico possui 6 metros de altura e raio da base igual a 2 metros. Determine o volume e a capacidade desse reservatório em litros.
8. A figura indica o tambor cilíndrico de um aquecedor solar com capacidade de 1 570 litros.
Sabendo que 1 000 litros de água ocupam um volume de 1 m³ e adotado π = 3,14, determine a medida do raio r do cilindro.
9. Um tanque subterrâneo, que tem o formato de um cilindro circular reto na posição vertical, está completamente cheio com 30 m³ de água e 42 m³ de petróleo. Considerando que a altura do tanque é de 12 metros, calcule a altura da camada de petróleo.
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10. Um produtor de suco armazena seu produto em caixas, em forma de paralelepípedo, com altura de 20 cm, tendo capacidade de 1 litro. Ele deseja trocar a caixa por uma embalagem em forma de cilindro, de mesma altura e mesma capacidade. Para que isso ocorra, qual deve ser o raio da base dessa embalagem cilíndrica?
11. Calcular a medida da diagonal de um paralelepípedo retângulo de dimensões 10 cm,
8 cm e 6 cm. 10√2cm
12. Determine a capacidade em dm3 de um paralelepípedo retângulo, sabendo-se que suas dimensões são proporcionais aos números 2, 3 e 5 e que tem área total igual a 3038
cm2. 10,29l
13 Duas das dimensões de um paralelepípedo retângulo, são 4 cm e 5cm. Achar a
terceira dimensão sabendo-se uma diagonal mede √105cm 8 cm
15 Calcular a área lateral e área total de um paralelepípedo retângulo de dimensões 15 cm, 10 cm e 8 cm, sendo que a altura dele corresponde à menor das suas dimensões. 400 cm2 e 700 cm2
16 A diagonal de um paralelepípedo retângulo mede 2√14 cm e sua área total, 88cm2. Determinar suas dimensões, sabendo-se que elas estão em progressão aritmética. 2 cm, 4 cm e 6 cm
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