apostila de matemática aplicada às ciências agrárias _funcoes_

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1UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA/CESNORS PROFESSORA MARIZA DE CAMARGO FUNO DO 1 GRAU (OU FUNO AFIM) SITUAO-PROBLEMA:Umacontatelefnicaapresentaapenasduasparcelas:a referente assinatura,que custa R$ 25,00, e a referente aos pulsos, que representam o tempo de uso da linha para fazer ligaes locais ao custo de R$ 0,08 cada. Qual o valor da conta para 100 pulsos? RESOLUO:v= pulsos + assinaturas = R$ 08 , 0 100 + R$00 , 25 33,00 R$ 25,00 R$ 8,00 R$ = + = . Se o consumo fosse de 200 pulsos, qual seria o valor da conta? v= R$ 08 , 0 200+ R$00 , 25 41,00 R$ 25,00 R$ 16,00 R$ = + = . Podemosnotarque,paracadanmerox depulsos,humcertovalor) (x v daconta telefnica. O valor de) (x v uma funo dex : 25 08 , 0 ) ( + = x x v , Que um exemplo de funo polinomial do 1 grau ou funo afim. DEFINIO:Chama-sefunopolinomialdo1grauoufunoafim,aqualquer funofde9 em9 ( 9 9 : f ) dada por uma lei da formab ax x f + = ) ( , em que aebso nmeros reais dados e0 = a . Na funob ax x f + = ) ( , o nmeroa chamado de coeficiente dexe o nmerob chamado termo constante. Odomnioeocontradomniodessafunooconjuntodos9,eoconjuntoimagem coincidecomocontradomnio,ouseja,9 = Im .(nocasodesituaesproblemaseles podem mudar). 2EXEMPLOS:1., 7 5 ) ( + = x x fem que5 = ae7 = b2., 11 3 ) ( = x x fem que3 = ae11 = b3.,534) ( = xx fem que 41= ae 53 = b Grfico: O grfico de uma funo polinomial do 1 grau,b ax y + = , com0 = a , uma reta oblqua aos eixosOxeOy . EXEMPLO 1: Construir o grfico da funo3 2 = x y . EXEMPLO 2: Construir o grfico da funo2 + = x y . Se0 > a , a funob ax y + = crescente. Se0 < a , a funob ax y + = decrescente. 3Chama-sezeroouraizdafunopolinomialdo1graub ax x f + = ) ( ,0 = a ,o nmero realxtal que. 0 ) ( = x f EXEMPLO: Encontre o zero da funo. 7 3 ) ( + = x x f CASOS PARTICULARES DA FUNO DO 1 GRAU ( OU AFIM) 1) Funo Identidade 9 9 : fdefinida porx x f = ) (para todo9 e x . Nesse caso,1 = ae0 = b . 2) Funo Linear 9 9 : fdefinida porax x f = ) (para todo9 e xe 0 = a . Nesse caso,0 = b . 3) Funo constante 9 9 : fdefinida porb x f = ) (para todo9 e x . Nesse caso,0 = a . EXERCCIOS 1.Construaogrficodasseguintesfunesde9em9eanaliseseelassofunes crescentes ou decrescentes. a)1 2 = x yb)1 + = x yc)x x f32) ( =d)2 ) ( = x f42.UmmotoristadetxicobraR$3,20debandeiradamaisR$1,02porquilmetrorodado. Sabendoqueopreoapagardadoemfunodonmerox dequilmetrosrodados, responda: a) Qual a lei da funo afim representada por essa situao? b) Quanto pagarei pela corrida se andar 10 km? 3. Na produo de peas, uma indstria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo varivel de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendoxo nmero de unidades produzidas: a) Escreva a lei da funo que fornece o custo total dexpeas; b) Calcule o custo de 100 peas. 4. O salrio de um estudante de R$ 560,00. Para aumentar sua receita, ele faz plantesnos finais de semana em um bar, onde recebe R$ 60,00 por final de semana. a) Se em um ms o estudante fizer 3 plantes, que salrio receber? b) Qual o salrio finalyquando ele realizaxplantes? c) Represente graficamente a funo obtida no item anterior, lembrando que seu domnio o conjunto dos nmeros naturais. 5.Umalojanocentrodeumacidadealugamicrocomputadoresparausuriosquedesejam navegar pela internet. Para utilizar esse servio, o usurio paga uma taxa de R$ 2,00 acrescida de R$ 3,00 por hora de utilizao da mquina. O grfico que melhor representa o preo desse servio : 56. Em um experimento cientfico, forneceu-se calor a uma substncia slida. Verificou-se que a temperatura da substncia aumentava at o incio da fuso, permanecia constante at a fuso completar-se e, depois, voltava a aumentar. Traando-se o grfico da variao da temperatura da substncia em funo do tempo, ela ser similar figura: 7. O grfico abaixo registra o reflorestamento de uma rea em0 = t (ano de 1996),1 = t(ano de1997),2 = t (anode1998),eassimpordiante.Admitindo-seconstanteataxade reflorestamento anual, o ano em que o nmero de rvores plantadas atinge 46,5 mil : a) 2021 b) 2022c) 2023d)2024 e) 2025 68. Uma torneira enche um reservatrio de gua com capacidade de 1500 litros. Estando aberta a torneira, o volume da gua do reservatrio aumenta em funo do tempo, de acordo com o grfico acima. O tempo necessrio para que o reservatrio fique completamente cheio igual a: a) 2h30minb) 3hc)3h30min d)4he)4h30min 9.Bilogosdescobriramqueonmerodesonsemitidosporminutoporcertaespciede grilos est relacionado com a temperatura. A relao quase linear. A 68 F, os grilos emitem cerca de 124 sons por minuto. A 80 F, emitem 172 sons por minuto. Encontre a equao que relaciona a temperatura emFahrenheit F e o nmero de sons n. 10. Para transformar graus Fahrenheit em graus Celsius usa-se a frmula) 32 (95 = F C , em que F o nmero de graus Fahrenheit e C nmero de graus Celsius. a) Transforme 35 graus Celsius em graus Fahrenheit. b) Qual a temperatura (em graus Celsius) em que o nmero de graus Fahrenheit o dobro do nmero de graus Celsius? 11.Umdosmaisfamososusosdaextrapolaolinearfoidescobertopelocientistafrancs Jacques Charles em 1787. Ele observou que os gases expandem quando aquecidos e contraem quandoresfriados.(Issopodeserverificadoexperimentalmenteaoseencherumabexigae coloca-la no congelador. A bexiga ir encolher.) Observando valores diversos para a temperatura e os valores correspondentes do volume, os pares ordenados obtidos pareciam estar em linha reta. a) Suponha que um determinado gs tenha um volume de 3500cmaos 27 C e um volume de 3605cmaos 90 C. Escreva uma equao para esses dados. b) Use aequao que voc conseguiu em a e descubra em qual temperatura temos o volume de 30 cm .Aofazerissovocircalcularamenortemperaturapossvel.(Essatemperatura, chamada de zero absoluto, foi primeiramente estimada por Charles.) 712.DoispontosmateriaisAeBdeslocam-sesegundoasseguintesfuneshorrias t SA10 60 = et SB10 20 + = .Determine,analticaegraficamente,oinstante(em segundos) em que os pontos materiais se encontram. 13.Umautomveldesloca-sea90km/h,commovimentoretilneouniforme,duranteum intervalodetempode0a3h.Construaogrficodavelocidadeemfunodotempo,para esse automvel. 14. Dado o grfico abaixo, podemos dizer que a funo constante no intervalo: a) [0, 2]b) [2, 4]c) [4, 5]d)[2, 5] e) nda 15.Umapessoaobesa,pesandonumcertomomento156kg,recolhe-seaumspaonde anunciamperdasdepesodeat2kgporsemana.Suponhamosqueissorealmenteocorra. Nessas condies: a) Encontre uma frmula que expresse o peso mnimo P que essa pessoa poder atingir aps n semanas. b)Calculeonmeromnimo desemanascompletasquea pessoa dever permanecernospa para sair de l com menos de 120 kg de peso. 8FUNO QUADRTICA SITUAO-PROBLEMA:Umagricultor desejacercarumahortacomteladealambrado. Tendodisponvel200mdetela,elequesaberquaisdevemserasdimensesdoterrenoa cercar com tela para que a rea seja a maior possvel.OBS: A porta para entrar na horta tambm vai ser de tela. RESOLUO: Podemos ilustrar o problema com o retngulo ABCD, com dimensesxpor x 100 . Observe que a rea do terreno a cercar dada em funo da medidax , ou seja: x x x x x x x f 100 100 ) 100 ( ) (2 2+ = = = lei da funo Esse um caso particular da funo quadrtica. Posteriormente terminaremos a resoluo. DEFINIODEFUNOQUADRTICA:Umafuno9 9 : f chama-se quadrtica quando existemnmeros reais, a , b , ccom, 0 = atal quec bx ax x f + + =2) (para todo. 9 e xc bx ax xf+ + 9 92

: OBS: O domnio e o contradomnio dessa funo o conjunto dos. 9 (no caso de situaes problemas eles podem mudar). EXEMPLOS: -x x x f 100 ) (2+ = , em que, 1 = a 100 = be0 = c-4 3 2 ) (2+ = x x x f , em que, 2 = a 3 = be4 = c-1 2 3 ) (2+ = x x x f , em que, 3 = a 2 = be1 = c-3 ) (2+ = x x f , em que, 1 = a 0 = be3 = c . 9EXEMPLO: Um corpo lanado do solo verticalmente para cima tem posio em funo do tempo dada pela funo 25 40 ) ( t t t h = , em que a altura h dada em metros e o tempot dado em segundos. Determine: a) a altura em que o corpo se encontra em relao ao solo no instante. 3 s t =b) Os instantes em que o corpo est a uma altura dem 60do solo. GRFICO DE UMA FUNO QUADRTICA O grfico de uma funo quadrtica uma curva aberta chamada parbola. EXEMPLOS:Construir o grfico das seguintes funes: a)3 2 ) (2+ + = x x x f b)3 2 ) (2 = x x x f 10OBSERVAES: 1. Quando construmos o grfico de uma funo quadrtica notamos sempre que: 2.Paraevitaradeterminaodeumnmeromuitograndedepontoseobterumaboa representaogrfica,vamosdestacartrsimportantescaractersticasdogrficodafuno quadrticaqueso:aconcavidade,aposioemrelaoaoeixoxealocalizaodoseu vrtice. RAZES DE UMA FUNO QUADRTICA Consideremosafunoquadrtica12 7 ) (2+ = x x x f .Observamosque0 ) 3 ( = f e . 0 ) 4 ( = fDizemos ento que3 e4so as razes ou zeros dessa funo quadrtica. De modo geral: Chamam-se razes de uma funo quadrtica, ) (2c bx ax x f + + = , 0 = aos nmeros reaisxtal que. 0 ) ( = x f OBSERVAO: QUANTIDADE DE RAZES Aquantidadederazesreaisdeumafunoquadrticadependedovalorobtidoparao radicando, 42ac b = Achamado discriminante: -QuandoA positivo, h duas razes reais e distintas; -QuandoA zero, h s uma raiz real ( ou uma raiz dupla); -QuandoA negativo, no h raiz real. 11COORDENADAS DO VRTICE DA PARBOLAOgrficodafunoquadrtica, ) (2c bx ax x f + + = umaparbolacujovrticeVum ponto de mnimo quando0 > ae um ponto de mximo quando. 0 < aEm ambos os casos as coordenadas de V so:abxv2=(abscissa)e ayv4A =(ordenada) |.|

\| A =a abV4,2, ondeac b 42 = A IMAGENS E VALORES MXIMO OU MNIMO A determinao do vrtice da parbola ajuda na elaborao do grfico e permite determinar a imagem da funo, bem como seu valor mximo ou mnimo. EXEMPLOS:Acharasrazes,ovrticeaimagemerepresentargraficamenteasseguintes funes: a)x x x f 8 2 ) (2 = 12b)5 4 4 ) (2+ + = x x x f -Se, 0 > aayv4A = o valor mnimo da funo e.4a-y | ) Im()` A> 9 e = y f-Se, 0 < aayv4A = o valor mximo da funo e.4a-y | ) Im()` As 9 e = y f EXEMPLOS: 1) Resolver a situao problema do incio do contedo. Umagricultordesejacercarumahortacomteladealambrado.Tendodisponvel200mde tela, ele que saber quais devem ser as dimenses do terreno a cercar com tela para que a rea seja a maior possvel. OBS: A porta para entrar na horta tambm vai ser de tela. 132) A trajetria da bola, num chute a gol, descreve uma parbola. Supondo que sua altura h em metros, t segundos aps o chute, seja dada por, 62t t h + =determine: a) Em que instante a bola atinge a altura mxima? b) Qual a altura mxima atingida pela bola?

EXERCCIOS1) Esboce o grfico das seguintes funes quadrticas: a)4 22+ = x x yb)1 22 + = x x y c)12 ) (2 + = x x x fd)9 12 42+ = x x y e)5 4 32+ + = x x y 2)Dadaafunoquadrticax x x f 4 ) (2 = construaogrficoerespondacombaseno grfico ou na lei da funo: a) A concavidade para cima ou para baixo? b) Qual o vrtice da parbola? c) Em que ponto a parbola intercepta o eixo y? d) Em quantos pontos ela intercepta o eixo x? Quais so esses pontos? 3)Emcada grficodafunoquadrtica, ) (2c bx ax x f + + = com, 42ac b = A descubra se0 > aou 0 < ae se, 0 > A 0 < Aou. 0 = A 144)Sabe-sequeocustoCparaproduzirxunidadesdecertoprodutodadopor . 000 3 80 ) (2+ = x x x CNessas condies, calcule: a) A quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mnimo; b) O valor mnimo do custo. 5)Deseja-seconstruirumacasatrreadeformaretangular.Oretnguloondeacasaser construda tem 80 m de permetro. Calcule as dimenses desse retngulo, sabendo que a rea de sua regio deve ser a maior possvel. 6)Nafiguraabaixotem-serepresentadaacurvadescritaporumprojtil,desdeoseu lanamento(pontoA)atqueatinjaosolo(pontoB).Seacurvadescritaaparbolade equao, 7 22x x y + =qual distnciaABem metros? 7)Umabolalanadaaoar.Suponhaquesuaalturah,emmetros,tsegundoapso lanamento, seja6 4 ) (2+ + = t t t h . Determine: a) O instante em que a bola atinge a sua altura mxima; b) a altura mxima atingida pela bola; 8)Considereafuno9 9+: f definidapor) 1 )( 3 ( ) ( = x x x f .Identifiqueamelhor representao do grfico de. f 159) Ao ser cobrada uma falta numa partida de futebol, a trajetria da bola tal que sua altura h, em metros, varia com o tempo t, em segundos, de acordo com a equao. 22t t h + =A bola atingir o solo novamente no instante t igual a: a) 2b) 3 c) 4d) 5e) 6 10) Duas plantas de mesma espcie, A e B, que nasceram no mesmo dia, foram tratadas desde oinciocomadubosdiferentes.Umbotnicomediutodososdiasocrescimento,em centmetros,dessasplantas.Aps10diasdeobservao,elenotouqueogrficoque representaocrescimentodaplantaAumaretapassandopor(2,3)eoquerepresentao crescimentodaplantaBpodeserdescritopelaleimatemtica 12242x xy= .Umesboo desses grficos est apresentado na figura. Determine: a) A equao da reta; b) O dia em que as plantas Ae B atingiram a mesma altura e qual foi essa altura. 11) Suponha que numa fbrica de refrigeradores o custo, em reais, de cada geladeira dado pela funo500 40 ) (2+ = x x x C , em que x a quantidade de geladeiras produzidas. (Obs. Ogrficodessafunoumaparboladeconcavidadevoltadaparacima,questem significado econmico no primeiro quadrante.) Assinale V ou F nas proposies seguintes, justificando as falsas. a) Quando se produzem 10 geladeiras, o custo de cada geladeira de R$ 200,00. b) A produo de 20 geladeiras a que proporciona o menor custo de cada geladeira. c) O custo total para se produzirem 50 geladeiras de R$ 2 000,00. 12) Gerador um aparelho que transforma qualquer tipo de energia em energia eltrica. Se a potnciaP(emwatts)quecertogeradorlananumcircuitoeltricodadapelarelao , 5 20 ) (2i i i P = emqueiaintensidadedacorrenteeltricaqueatravessaogerador, determine o nmero de watts que expressa a potnciaPquando i=3 ampres. 16 13) Sabe-se que o lucro de uma empresa dado pelafrmula, C R L =em que L o lucro total,RareceitatotaleCocustototaldaproduo.Numaempresaqueproduzx unidades,verificou-seque 2000 6 ) ( x x x R = e. 000 2 ) (2x x x C = Nessascondies,qual deve ser a produo x para que o lucro da empresa seja mximo? 14)Ummergulhadorqueriaresgataracaixa-pretadeumavioquecaiuemumrio amaznico.Comohaviaumpoucodecorrenteza,atrajetriadescritapelomergulhadorfoi comonafiguraabaixo.Sabendo quea distnciahorizontaldobote deresgateaolocalonde estavaacaixade5mequeatrajetriadomergulhadordescritapelafuno , 321) (2+ + = x x x fa profundidade que o mergulhador ter de alcanar ser de: a) 23,4 mb) 19,5 mc) 55,7 m d) 105,1 m d)33,2 m 15)Umapedralanadadosoloverticalmenteparacima.Aofimdetsegundos,atingea altura h, dada por 25 40 t t h = . a) Calcule a posio da pedra no instante 2 s. b) Calcule o instante em que a pedra passa pela posio 75 m, durante a subida. c) Determine a altura mxima que a pedra atinge. d) Construa o grfico da funo h para. 8 0 s s t 16) A temperatura de uma estufa, em graus centgrados, regulada em funo do tempo t de acordo com a leif dada por, 10 42) (2+ + = ttt fsendo. 0 > tPode-se afirmar que: a) a estufa nunca atinge zero grau. b) a temperatura sempre positivac) o valor da temperatura mxima 18 graus. d) a temperatura positiva s para. 5 0 < < t 1717) Um agricultor resolveu consultar os tcnicos de uma instituio de pesquisas agronmicas para fazer um bom uso do adubo na lavoura. Feita a anlise da terra, os tcnicos observaram que poderiam usar a tabela seguinte e trabalharam com a hiptese adicional de que a produo P uma funo quadrtica da quantidade x de adubo por hectare, isto ,. ) (2c bx ax x P + + =x (kg/ha)P (toneladas) 03 25 46 Determine: a) A produo em toneladas por hectare, se o agricultor no adubar a terra; b) os valores dea, b e c; c) a produo mxima por hectare. 18FUNO EXPONENCIAL REVISO 1. Potncia de expoente natural Definio:Sendodadosumnmeroreala eumnmeronatural, n com, 2 > n chama-se potncia de baseae expoenteno nmero naque o produto denfatores iguais aa . Dessa definio decorre que: ,2a a a = ,3a a a a =,4a a a a a = etc. EXEMPLOS: Definioespecial:Sendodadoumnmeroreal, a convencionaremosquea a =1eque 10= a (nesse caso0 = a ).EXEMPLOS: Propriedades Sendoaebreais em ennaturais, valem as seguintes propriedades: 2. Potncia de expoente inteiro negativo Definio: Dado um nmero real, ano nulo, e um nmeron natural, chama-se potncia de baseae expoenten o nmero,na que o inverso de.nannaa1= 19EXEMPLOS: Propriedades: Com essa definio para potncia de expoente inteiro negativo, todas as cinco propriedades, 1Pa,5Penunciadas anteriormente continuam vlidas para quaisquer expoentes m en inteiros (positivos ou negativos). 3. Potncia de expoente racional Definio: Sendo, ,*N e Z e n ptemos: 9 e+*an pnpa a =s> = =0 para definido no 00 para , 0 00npnpanpnp = 9 emparforsepar forse real sempre nem*n a an aan pnpnp OBS: As propriedades 1Pa,5Pso vlidas para potncias de expoente racional. EXEMPLOS: Notao cientficaAnotaocientficapermiteescrevernmerosusandopotnciasde10.Issomuito conveniente em Fsica, por exemplo, que lida com nmeros muito grande ou muito pequenos. EXEMPLOS: -A distncia mdia da terra ao sol: 149 600 000 km = -A velocidade da luz 300 000 km/s = -A massa de um tomo de oxignio: 2,72310g; -A massa de um eltron: 9,11.10-28 g (aproximadamente). Umnmeroestexpressoemnotaocientificaseestescritocomooprodutodedois nmeros reais: um nmero real pertencente ao intervalo [ 1, 10) e uma potncia de 10. EXEMPLOS: 204. FUNO EXPONENCIAL Introduo: Um boato se espalha da seguinte maneira: 1 dia: duas pessoas ficam sabendo do boato. 2 dia: cada uma dessas 2 pessoas conta o boato para outras 2 pessoas. 3dia:cadaumadas4pessoasqueficaramsabendodoboatocontaparaoutras2novas pessoas,....e assim por diante. Enfim para um certo dia x, h um nmero) (x fde pessoas que tomaram conhecimento dele naqueledia. Ovalor de), (x f portanto, uma funo de, xe alei que expressa) (x fem funo dex, 2 ) (xx f =que um caso particular da funo exponencial. Definio: Chama-se funo exponencial qualquer funofde9 em9 dada por uma lei da forma, ) (xa x f =em quea um nmero real dado,0 > ae. 1 = a EXEMPLOS: Grfico da funo exponencial EXEMPLO:Construir o grfico das funes exponenciais: a) xx f 2 ) ( = 21b) xx f |.|

\|=21) ( Propriedades Pela observao das tabelas e grficos podemos concluir que, para uma funo exponencial: -, ) ( 9 = f De; ) Im(*+9 = f-O grfico uma figura chamada curva exponencial,que passa por (0, 1); -O grfico no toca o eixoxe no tem pontos nos quadrantes IIIeIV; -Para1 > aa funo crescente ( 2 12 1x xa a x x > > ); -Para, 1 0 < < aa funo decrescente (2 12 1x xa a x x < > ). 5. Aplicaes da funo exponencial Ocrescimentoexponencialcaractersticodecertosfenmenosnaturais.Noentanto,de modo geral no se encontrana forma,xamas sim modificado por constantes caractersticas do fenmeno, como em: kxa C x f . ) ( = 22EXEMPLOS: 1) O nmero de bactrias de uma cultura,thoras aps o incio de certo experimento, dado pelaexpresso 0,4t2 200 1 ) ( = t N .Nessascondies,quantotempoapsoinciodo experimento a cultura ter 38 400 bactrias? 2) Chama-se montante (M) a quantia que uma pessoa deve receber aps aplicar um capital C, ajuroscompostos,aumataxaiduranteumtempot.Omontantepodesercalculadopela frmula. ) 1 (ti C M + = SupondoqueocapitalaplicadodeR$200000,00aumataxade 12% ao ano durante 3 anos, qual o montanteno final da aplicao? EXERCCIOS 1.Construaogrficodasfuneseconfirmeasobservaesfeitassobreasfunes exponenciais. a)9 9 : fdada por xx f 3 ) ( =b)9 9 : fdefinida por xx f |.|

\|=41) ( 2. Construa o grfico da funofde9 em9 definida por 12 ) (=xx fe determine). Im( f 233. Uma substncia se decompe aproximadamente segundo a lei, 2 ) (5 . 0 tK t Q =em queK uma constante,tindica o tempo (em minutos)) (t Qindica a quantidade de substncia (em gramas) no instante. tConsiderando os dados desse processo de decomposio mostrados no grfico, determine os valores deKe de. a 4.AquantiadeR$20000,00foiaplicadaaumataxade1%aoms,nosistemadejuros compostos. Qual ser o saldo no final de 3 meses? 5.Estima-sequedaquiat anosovalordeumafazendasejaiguala) 3 ( 500tmilharesde reais. Aps dois anos, a valorizao (aumento do valor) em relao a hoje ser de: a) 4 milhes de reais. b) 3,5 milhes de reais. c) 2 milhes de reais. 6.Sobcertascondies,onmerodebactriasBdeumacultura,emfunodotempo, tmedido em horas, dado por 122 ) (tt B = . Isso significa que 5 dias aps a hora zero o nmero de bactrias : a) 1 024 b) 1 120 c) 512d) 20 7. Uma reserva florestal possui 10 000 rvores. Determine emquantos anos a quantidade de rvores estar reduzida oitava parte, se a funo que representa a quantidade de rvores por ano . 2 000 10 ) (tt y =8.Umamaionesemalconservadacausoumalestarnosfreqentadoresdeumclube.Uma investigao revelou a presena da bactria salmonela, que se multiplica segundo a lei: att n 2 200 ) ( = , Emque) (t n onmerodebactriasencontradasnaamostrademaioneset horasapso incio do almoo ea uma constante real. a) Determine o nmero inicial de bactrias. b) Sabendo que aps 3 horas do incio do almoo o nmero de bactrias era de 800, determine o valor da constante. ac) Determine o nmero de bactrias aps 1 dia da realizao do almoo. 24LOGARITMOIntroduo NaAmricaLatina,apopulaocresceaumataxade3%aoano,aproximadamente.Em quantos anos a populao da Amrica Latina ir dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma? Nessas condies podemos organizar o seguinte quadro: TempoPopulao Incio oP1 ano03 , 11 =oP P2 anos 21) 03 , 1 ( 03 , 1 ) 03 , 1 (o oP P P = =3 anos 33) 03 , 1 (oP P =M Mxanos xo xP P ) 03 , 1 ( = Supondo que a populao dobrar apsxanos, temos: o xP P 2 =Assim:. 2 ) 03 , 1 ( 2 ) 03 , 1 ( = =xoxoP P Nopossvelresolveressaequaotransformando-aemumaigualdadedepotnciasde mesma base, para resolv-la precisamos utilizar logaritmos. Definio: Sendoae, bnmeros reais e positivos com, 1 = achama-se logaritmo de, bna baseao expoentexao qual se deve elevar a basea de modo que a potncia xaseja igual a . bb a x bxa= = logcom, 0 > a 1 = ae0 > bNaexpressox ba= log temos: -a a base do logaritmo, -b o logaritmando; -x o logaritmo. 25EXEMPLOS: Conseqncias da definio de logaritmo Decorrem da definio de logaritmo as seguintes propriedades: 1. O logaritmo de 1 em qualquer basea igual a 0. , 0 1 log =a pois10= a 2. O logaritmo da base, qualquer que seja ela, igual a 1. , 1 log = aa poisa a =1 3. A potncia de baseae expoentebalog igual ab . ,logb aba=pois o logaritmo debna basea justamente o expoente que se deve dar baseapara que a potncia fique igual a. b 4. O logaritmo de uma potncia da base igual ao expoente. , log m ama=pois m ma a =5.Sedoislogaritmosemumamesmabasesoiguais,entooslogaritmandostambmso iguais . log log c b c ba a= = OBSERVAO Se a base do logaritmo for 10, costuma-se omiti-la na sua representao. b b log log10=( log logaritmo decimal) Oconjuntodoslogaritmosnabase10detodososnmerosreaispositivoschamadode sistema de logaritmos decimais ou de Briggs. 26H,ainda,osistemadelogaritmosneperianos(onomefoidadoemhomenagemaJohn Napier). A base desses logaritmos o nmero irracional... 71828 , 2 = e Esse sistema tambm conhecido como sistema de logaritmos naturais. b beln log = ( ln logaritmo natural) Propriedade dos logaritmos 1. Logaritmo do produto: Em qualquer base, o logaritmo do produto de dois nmeros reais e positivos igual soma dos logaritmos dos nmeros. Em smbolos: Se, 1 0 = < a 0 > be, 0 > cento: c b c ba a alog log ) ( log + = 2. Logaritmo do quociente: Em qualquer base, o logaritmo do quociente de dois nmeros reais e positivos igual diferena entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor. Em smbolos: Se, 1 0 = < a 0 > be, 0 > cento: c bcba a alog log log = 3. Logaritmo da potncia: Em qualquer base, o logaritmo de uma potncia de base real e positiva igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potncia. Em smbolos: Se, 1 0 = < a 0 > be, 0 > cento: b r baralog log = EXEMPLO: Ostomos de um elemento qumico radioativo possuem uma tendncia natural asedesintegrar(emitindopartculasesetransformandoemoutroelemento).Assimsendo, com o passar do tempo, a quantidade original desse elemento diminui. Suponhamos que certa quantidade de um elemento radioativo com inicialmente 0mgramas de massa se decomponha segundo a equao matemtica: , 10 ) (700tm t m =Onde) (t m a quantidade de massa radioativa no tempot(em anos). Usando a aproximao , 3 . 0 2 log =determine: 27a); 8 logb)quantosanosdemorarparaqueesseelementosedecomponhaatatingirumoitavoda massa inicial. Mudana de base Usando uma tabela de logaritmos decimais ou uma calculadora cientfica, tambm possvel calcular qualquer logaritmo em uma outra base, diferente de 10. Almdisso,parasimplificarexpressesouresolverequaeslogartmicas,necessitamos aplicar as propriedades operativas, e os logaritmos devem ser da mesma base. Paramostrarcomoissopodeserfeito,vamosapresentarumafrmulaconhecidacomo frmula da mudana de base. abbccalogloglog = , com, 0 > b 1 0 = < ae1 0 = < c EXEMPLO: Calcule6 log2. 28Aplicaes dos logaritmos 1)Sabemosqueonmerodebactriasnumacultura,depoisdeumtempot,dadopor rte N N0= , em que 0N o nmero inicial (quando0 = t ) er a taxa de crescimento. Vamos calcularemquantotempoonmero debactriasdobrarseataxade crescimentocontnuo for de 5% ao minuto. 2) Em quantos anos 500 g de uma substncia radioativa, que se desintegra a uma taxa de 3% ao ano se reduzir a 100 g? Use,0rte Q Q=em queQ a massa da substncia,r a taxa et o tempo em anos. 3) Resolver a situao da introduo de logaritmo. 29FUNO LOGARITMICA Definio: Dado um nmero reala(com), 1 0 = < achama-se funo logartmica de baseaa funo de *+9em9 dada pela lei. log ) ( x x fa=EXEMPLO:x y2log =ex x f10log ) ( = GRFICO DA FUNO LOGARITMICA Construa o grfico das seguintes funes logartmicas: a)x x f2log ) ( = b)x y21log = 30Pela observao dos grficos da funo logartmica, log ) ( x x fa=conclumos que: -O grfico da funo logartmica sempre passa pelo ponto (1, 0); -O grfico nunca toca o eixoye no ocupa pontos dos quadrantes II e III; -Quando, 1 > aa funo logartmica crescente (2 1 2 1log log x x x xa a> > ); -Quando, 1 0 < < aa funo logartmica decrescente (2 1 2 1log log x x x xa a< > ); EXERCCIOS 1. Construa os grficos das funes logartmicas e confirme nelas as concluses obtidas: a)x x f3log ) ( =b)x31log2. OpHde uma soluo dado em funo da concentrao de hidrognio +Hem mols por litro de soluo, pela seguinte expresso ||.|

\|=+] [1log10HpHou]. log[+ = H pH Calcule: a) OpHde uma soluo que tem; 10 0 , 1 ] [8 + = Hb) o valor de] [+Hpara uma soluo que tenha. 2 = pH 3.Asindicaes 1R e 2R ,naescalaRitcher,dedoisterremotosestorelacionadospela frmula, log2 1N R R = ondeN medearazoentreasenergiasliberadaspelosdois terremotos, sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Supondo que houve um terremoto correspondente a81 = Re, 52 = Rento quanto N ?31TRIGONOMETRIA NO TRINGULO RETNGULO 1. Introduo Atrigonometria(trigono =triangular;metria= medida) teveorigemnoestudo dasrelaes entreasmedidasdosladosedosngulosdeumtringuloe,emparticular,dotringulo retngulo. Observe uma pessoa que sobe dois tipos de rampa: Dizemos que a segunda rampa mais ngreme ou tem aclive maior, pois seu ngulo de subida maior (55 > 30). Situao-Problema:semconhecerosngulosdesubida,comosaber qualdasduasrampas abaixo a mais ngreme? Situaescomoessa,queenvolvemladosengulosdeumtringulo, podemserresolvidas com o uso da trigonometria. 2. ndice de subida ParacadapontoPalcanadonasubida,temosumpercurso,umafastamentoeumaaltura. Observe a rampa e a tabela a seguir. Para cada um dos pontos, a razo entre a altura e o afastamento correspondente dado por: 32 Notequearazoentreaalturaeoafastamento,paracadapontodeumamesmasubida, umaconstate(sempreamesma).Noexemplodado,estaconstante 21eaeladamoso nome de ndice de subida. o afastamentalturasubida de ndice = Relacionando o ngulode subida e o ndice de subida At, agora, verificamos o quanto uma subida ngreme usando o ngulo de subida ou ento o ndice de subida. -Quanto maior o ngulo de subida, mais ngreme a subida. -Quanto maior o ndice de subida, mais ngreme a subida. Ser que podemos associar esses dois coeficientes numa mesma subida? 3. A idia de tangente Usaremos a palavra tangente para associar a medida do ngulo de subida e o ndice na mesma subida. A tangente do ngulo de subida igual ao ndice de subida associado e indicaremos por 1k . 33Temos agora condies de resolver a situao-problema inicial. Vamosretomarasduasfigurasedepoisconstruirseusmodelosmatemticos,quesodois tringulos retngulos. ndice de subida da primeira ou 43= tgndice de subida da primeira ou 75= tgComo,7543>a primeira subida a mais ngreme. 4. A idia de SenoEmqualquersubida,podemosdeterminararazoentreaalturaeopercurso,queserum nmero que indicaremos por2ke chamaremosde seno do . 2nmeropercursoalturak = Onmero,2kdamesmaformaqueamedida dongulo desubida, podeindicaro quantoa subida ngreme. 345. A idia do Cosseno Em qualquer subida, podemos determinar a razo entre o afastamento e o percurso, que ser um nmero que indicaremos por 3ke chamaremos de cosseno do . 3nmeropercursoo afastamentk = O nmero 3k , da mesma forma que a medida do ngulo de subida, indica o quanto a subida ngreme. 6. O tringulo retngulo: definies Considerando a seguinte subida, observamos que: -O tringulo OPQ retngulo, com ngulo reto em Q. -O percurso a hipotenusa (lado oposto ao ngulo reto). -O afastamento e a altura so os catetos (lados que formam o ngulo reto). -O afastamento o cateto adjacente ao ngulo, e a altura o cateto oposto ao ngulo . Pelo que vimos, temos: 357. Relaes que envolvem seno, cosseno e tangente de ngulos agudos No tringulo retngulo ABC ( reto) da figura abaixo, em que a medida deC e a medida de,Btemos: 8. Resoluo de tringulos retngulos e aplicaes Resolverumtringuloretngulodeterminarasmedidasnoconhecidasdeseuselementos (3 lados e 3 ngulos), quando se conhecem algumas delas. EXEMPLO 1: Uma rampa lisa de 10 m de comprimento faz um ngulo de 30 com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe essa rampa inteira eleva-se quanto metros verticalmente? OBSERVAO: Chama-se ngulo de elevao ou ngulo dedepresso de um ponto A em relao a um ponto B o ngulo formado pela semi-reta AB com a horizontal passando por A. 36EXEMPLO 2: O ngulo de elevao do p de uma rvore, a 50 m da base de uma encosta, ao topo da encosta de 60. Que medida deve ter um cabo para ligar o p da rvore ao topo da encosta? EXEMPLO 3: Do alto da torre de uma plataforma martima de petrleo, de 45 m de altura, o ngulo de depresso em relao proa de um barco de 60. A que distncia o barco est da plataforma? 37EXERCCIOS 1. Um navio, situado exatamente aleste de um ponto A, est distante 10 milhas desse ponto. Umobservador,situadoexatamenteaosuldonavio,vopontoAsobumngulode40. Calcule a distncia entre o observador e o navio. 2. Um caminho sobe uma rampa inclinada de 10 em relao ao plano horizontal. Se a rampa tem30mdecomprimento,aquantosmetrosocaminhoseeleva,verticalmente,aps percorrer toda a rampa? 3. Para determinar a altura de uma torre, um topgrafo coloca o teodolito a 100 m da base e obtm um ngulo de 30, conforme mostra a figura. Sabendo que a luneta do teodolito est a 1,70 m do solo, qual aproximadamente a altura da torre? 384.Queremossaberalargural deumriosematravess-lo.Paraisso,adotamososeguinte processo: -Marcamos dois pontos, A (uma estaca) e B (uma rvore), um em cada margem; -Marcamos um ponto C, distante 8 m de A, onde fixamos o aparelho de medir ngulos (teodolito), de tal modo que o ngulo no ponto A seja reto; -Obtemos uma medida de 70 para o ngulo.B C ANessas condies, qual a largura do rio? 39FUNES TRIGONOMTRICAS 1. estudo da funo seno Definio:DadoumarcoAPdemedidax,definimoscomosenxaordenada doponto Pe representamos assim: 2senOP x = Em que 2OP a medida de um segmento orientado (pode ser positiva, negativa ou nula). OBS: Note que a definio de seno de um ngulo agudo vista em um tringulo retngulo est de acordo com esta definio no ciclo trigonomtrico. Valores notveis do seno 40Temos, ento, a tabela com os valores notveis do seno: EXEMPLO:Determinar o valor de sen 32. A funo seno Dado um nmero real x, podemos associar a ele o valor do seno de um ngulo (ou arco) de x radianos: Grfico da funo seno Veja o grfico inicialmente para x ] 2 , 0 [ ee depois para: 9 e x Como a funox x f sen) ( = definida no conjunto dos nmeros reais, ou seja, seu domnio 9, a curva pode ser estendida para valoresmenores que zero e maiores que. 2Assim, o 41grficodafuno, : 9 9 f definidapor, sen) ( x x f = acurvachamadasenide,que tem o seguinte aspecto: Observaes sobre a funo seno: -O conjunto imagem dex x f sen) ( = o intervalo [-1, 1]. -A funo seno impar, isto , qualquer que seja9 e xtemos sen x = - sen (-x). -A funo seno peridica de perodo, 2 = pou seja, sen x = sen (x+ 2 ) = sen (x+ 4 )= ... para todo9 e x . OBS: Para, sen nx y =o perodo .2np=-Quanto ao sinal da funo seno, vemos que a funo positiva para valores do 1 e 2 quadrantes e negativa para valores do 3 e 4 quadrantes. -Quanto variao do valor da funo seno, observe que: 1 quadrante: quando x cresce de 0 a,2 sen x cresce de 0 a 1. 2 quadrante: quando x cresce de 2a, sen xdecresce de 1 a 0. 3 quadrante: quando x cresce dea,23 sen x decresce de 0 a -1. 4 quadrante: quando x cresce de 23 a 2 , sen x decresce de -1 a 0. EXEMPLO: Escrever a expresso geral que representa todos os valores reais de x tal que sen x = 23. EXERCCIOS 1. Verifique se os valores abaixo so positivos, negativos ou nulos: a) sen 43b) sen|.|

\|3 c) sen 27 d) sen 900 422. Se] 4 , 2 [ e x , determine x para que se tenha.23sen= x3. Determine o perodo de cada funo:a) 3sen xy = b)x y 6 sen= 1. Estudo da funo cosseno Definio:DadoumarcoAPdemedidax,definimoscomocosxaabscissadopontoPe representamos assim: 1cos OP x =Em que 1OP a medida de um segmento orientado (pode ser positiva, negativa ou nula). Valores notveis do cosseno Temos, ento, a tabela com os valores notveis do cosseno: EXEMPLO:Determinar o valor de cos 135. 43A funo cosseno Dado um nmero real x, podemos associar a ele o valor do cosseno de um ngulo (ou arco) de x radianos: Grfico da funo cosseno Veja o grfico inicialmente para x ] 2 , 0 [ ee depois para: 9 e x Comoafunox x f cos ) ( = definidanoconjuntodosnmerosreais,ouseja,seu domnio9,acurvapodeserestendida paravaloresmenoresquezeroemaioresque. 2Assim,ogrficodafuno, : 9 9 f definidapor, cos ) ( x x f = acurvachamada cossenide, que tem o seguinte aspecto: Observaes sobre a funo cosseno: -O conjunto imagem dex x f cos ) ( = o intervalo [-1, 1]. -A funo cosseno par e peridica de perodo. 2 = p -Quanto ao sinal da funo cosseno, vemos que a funo positiva para valores do 1 e 4 quadrantes e negativa para valores do 2 e 3 quadrantes. 44-Quanto variao do valor da funo cosseno, observe que: 1 quadrante: quando x cresce de 0 a,2cos x decresce de 1 a 0. 2 quadrante: quando x cresce de 2a, cos xdecresce de 0 a -1. 3 quadrante: quando x cresce dea,23 cos x decresce de -1 a 0. 4 quadrante: quando x cresce de 23 a 2 , cos x cresce de 0 a 1. EXERCCIOS 1. Determine os valores de: a) cos 780 b) cos 13c) cos 405d) cos 27

2. Determine o perodo da funo a)x y 6 cos =b) 53cosxy = 3. Verifique se os valoresde cos x abaixo so positivos, negativos ou nulos: a) cos 97 b) cos) 7 ( c) cos 211 453. Estudo da funo tangente Vamos considerar no ciclo trigonomtrico a reta t tangente circunferncia no ponto A, com a mesma orientao do eixo y. Dado um arco AP de medidax radianos com,2|.|

\|+ = k xdefine-secomo tangente de x a medida algbrica de ___AT , sendo T o encontro de OP e t. Simbolicamente, tg, AT x =com,2k x + =. Z k eObserve que a definio j vista para um ngulo agudo de medida x, num tringulo retngulo, est de acordo com a definio dada, pois noOAT Atemos.1tg ATATOAATx = = =Valores notveis da tangente 46 Temos, ento, a tabela com os valores notveis da tangente: EXEMPLO: Vamos determinar o valor de tg 43 Grfico da funo tangentex x f tg ) ( = Veja o grfico inicialmente para x ] 2 , 0 [ e . Comoafunox x f tg ) ( = temseudomnioD= } ,2/ { Z k k x x e + = 9 e 9 ,acurva podeserestendidaparavaloresmenoresquezeroemaioresque. 2 Assim,ogrficoda funo, : 9 D f definidapor, tg ) ( x x f = acurvachamadatangentide,quetemo seguinte aspecto:47 A partir do ciclo trigonomtrico ou da relao tg,cossen xxx =para cos, 0 = xou do grfico, possvel fazer algumas afirmaes sobre a funo tangente: -Tem D(f) = } ,2{ Z k k x x e + = 9 e e Im(f) =9. -A funo tangente mpar, isto , tg x = - tg(-x),e xD(f). -A funo tangente peridica de perodo = p , isto , tg x = tg (x+ k ), comZ k eee xD(f). -Quanto ao sinal da funo tangente,vemos que ela positiva para valores do 1 e 3 quadrantes e negativa para valores do 2 e 4 quadrantes. -Quanto variao do valor da funo tangente, observe que: 1 quadrante: quando x cresce de 0 a,2tg x cresce de 0 a + . 2 quadrante: quando x cresce de 2a, tg xcresce de a 0. 3 quadrante: quando x cresce dea,23 tg x cresce de 0 a. 4 quadrante: quando x cresce de 23 a 2 , cos x cresce de a 0. EXERCCIOS 1. Determine o valor, quando existir, de: a) tg (-60) tg(0) 2. Verifique se a tg x maior que, menor que ou igual a zero nos seguintes casos: a) tg 95 b) tg ) ( c) tg ()5 d) tg 720e) tg 925 48Funo cossecante Chamamosdefunocossecanteafunodefinidapor= ) (x f cossecxou,sen 1) (xx f =para todo9 e x , tal que. 0 = xD(f) =, | { k x x = 9 ecom} Z k ee Im(f) = { }. 1 ou1 | > s 9 e y y yAssim: Z k k x x e = = , com ,sen x1cossec Funo secante Chamamos de funo secante a funo definida porx x f sec ) ( =ou,cos1) (xx f =para todo 9 e xtal que cos. 0 = xD } com ,2| { ) ( Z k k x x f e + = 9 e = e Im( }. 1 ou1 | { ) > s 9 e = y y y fAssim: , x cos1sec = xcomZ k k x e + = ,2 49 Funo cotangente Chamamosdefunocotangentefunodefinida porx x f cot) ( = ou,sen cos) (xxx f = para todo9 e xtal que sen. 0 = xD } com , | { ) ( Z k k x x f e = 9 e = e Im( . ) 9 = fAssim: cotg,sen cosxxx = com. , Z k k x e = EXEMPLO: Calcular os valores de cossec 6, sec 6 e cotg 6. 50EXERCCIOS 1) Calcule quando existir: a) cossec 4 b) sec 3c) cotg d) sec 120 e) cotg 32 f) cotg 4 g) sec 2 e) cossec (-30) 2) Determine sen , cos , cossec , sec e cot nos seguintes casos: a) 43 =b) 30 = c) 23 =d) 2 = RESOLUO DE TRINGULOS QUAISQUER 1. Lei dos senos Situao-problema:duas rvores localizam-se em lados opostos de um lago. O ngulo entre as linhas de viso de um observador que as v de 120 e o ngulo formado por uma dessas linhasealinhaqueuneasrvoresde45.Sabendoquea3linhamede100 m,quala distncia entre as rvores? OtringuloAOBobtusnguloearesoluodesteproblemaconsisteemdeterminara medida do lado AB. Para resolver esta situao-problema vamos aprender a lei dos senos. Leidossenos:EmqualquertringuloABC,asmedidasdosladossoproporcionaisaos senos dos ngulos opostos, ou seja:CsenBsenAsen c b a= = 51Resoluo da situao-problema: 2. Lei dos cossenos Situao-problema:Umnavioseencontranum pontoA, distante10milhasdeumfarolF. No mesmo instante,outro navio se encontranumponto B distante15 milhas do farol, de tal modo que o ngulo. 60= B F AQual a distncia entre os dois navios nesse instante? Pelo desenho, observamos que o nosso problema consiste em determinar a medida de um lado de um tringulo quando conhecemos as medidas dos outros dois edo ngulo oposto ao lado cuja medida se quer encontrar. Para resolve-lo, precisamos recorrer lei dos cossenos. Lei dos cossenos: Em qualquertringulo ABC, o quadrado da medida de um lado igual somadosquadradosdasmedidasdosoutrosdoisladosmenosduasvezesoprodutodas medidas desses lados pelo cosseno do ngulo que eles formam, ou seja: C ab b a cB ac c a bA bc c b acos 2cos 2cos 22 2 22 2 22 2 2 + = + = + = 52Resoluo da situao-problema: Clculo da rea de uma regio triangular Quando conhecemos dois lados de uma regio triangular e o ngulo formado por eles, podemos determinar a sua rea por meio das seguinte propriedade: A rea S de qualquer regio triangular igual metade do produto das medidas de dois dos seu lados multiplicada pelo seno do ngulo formado por eles: BacbcCabsen 2SAsen 2Ssen 2S = = = EXEMPLO: Determinar a rea da regio triangular representada na figura.

EXERCCIOS 1. Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incndio florestal em F. Conhecendo os ngulos, 45= B A Fe 105= A B Fe a distncia, 15 km AB =determine as distncias AF e BF. 532. A gua utilizada na casa de um stio captada e bombeada do rio para uma caixa-dgua a 50 m de distncia. A casa est a 80 m de distncia da caixa-dgua e o ngulo formado pelas direescaixa-dguabombaecaixa-dgua-casade60.Seaidiabombearguado mesmo ponto de captao at a casa, quantos metros de encanamento so necessrios? 3.UmbarcodepescadoresAemiteumsinaldesocorroquerecebidopordois radioamadores,BeC,distantesentresi70km.SabendoqueosngulosC B AeB C A medem, respectivamente, 64 e 50, determine qual radioamador se encontra mais prximo do barco. A que distncia ele est do barco? 4.Paraconstruirumapontesobreorio,conformeafigura,umengenheirofezasseguintes medidas:segmento, 30 m AB = ngulo 105= C A B engulo. 30= A B C Oengenheiro instalouoteodolitonopontoB.Combasenasmedidasfeitaspeloengenheiro,determineo comprimento AC da ponte. 5.OterrenoABCDErepresentadopelafiguraaseguirfoivendidoaR$35,00ometro quadrado. Qual o seu valor? 546.Podemoscalcularareaaproximadadeumterrenoirregular,dividindo-oemtringulos formadospartirdeummesmovrtice,comomostraafigura.Dareaaproximadadesse terreno. REFERNCIAS DANTE, L. R.; MATEMTICA: Contexto e Aplicaes. v. nico, So Paulo: tica, 2003. GIOVANNI,J.R.;BONJORNO,J.R.;JR,GIOVANNI,J.R.MATEMTICA FUNDAMENTAL: Uma nova abordagem. V. nico, So Paulo: FTD, 2002. IEZZI,G.;DOLCE,O.;DEGENSZAJN,D.;PRIGO,R.MATEMTICA.v.nico,So Paulo: Atual, 2002.