Apostila de Matemática 15 – Análise Combinatória

1.0 Princípio Fundamental da Contagem

Se um evento é composto por 2 etapas sucessivas e independentes de tal maneira

que o número de possibilidades na primeira etapa é ‘m’ e o número de

possibilidades da segunda etapa é ‘n’, então o número total de possibilidades de

o evento ocorrer é o produto das possibilidades – m x n.

O produto dos números de possibilidades vale para qualquer número de etapas

independentes.

Árvore de possibilidades ou diagrama de árvore – Esquema que mostra o

número de possibilidades das etapas.

2.0 Permutação Simples

Permutar – Trocar.

Agrupamentos ordenados (Diferem pela ordem) – A ordem dos elementos

importa.

Se temos ‘n’ elementos distintos, então o número de agrupamentos ordenados

que podemos obter com todos esses ‘n’ elementos é dado por:

PN = n(n-1)(n-2) ... (n-m), sendo (n-x) = 1

2.1 Fatorial

O valor obtido pela permutação simples também é chamado de fatorial.

Indicado por ‘n!’ (fatorial de ‘n’).

Considera-se o fatorial de zero igual a 1.

3.0 Arranjo Simples

Arranjos simples de ‘n’ elementos tomados ‘p’ a ‘p’ (p n) são os

agrupamentos ordenados diferentes que se podem formar com ‘p’ dos ‘n’

elementos dados.

p = número de elementos para cada grupo.

Se p = n, então AN, N = PN.

Se p < n, então se têm ‘n’ elementos distintos ordenados de ‘p’ a ‘p’.

AN, p = n(n-1)(n-2) ... [n-(p-1)]

4.0 Combinação Simples

Combinações simples de ‘n’ elementos tomados ‘p’ a ‘p’ (p n) são os

subconjuntos com exatamente ‘p’ elementos que se podem formar com os ‘n’

elementos dados.

A ordem dos elementos não importa.

Propriedade importante:

5.0 Permutação com Repetição

A permutação de ‘n’ elementos dos quais ‘x’ são um tipo, ‘y’ de outro e ‘z’ de

outro, com x + y + z = n é dado por: