UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA Campus Ararangu ARA FUNDAMENTOS MATEMTICOS PARA COMPUTAO PROFA. SILVIA HELENA MANGILI, MSc. 2012 1 1. CONJUNTOS Em geral, observasse a cada dia mais a associao de objetos com uma mesma propriedade (mulheresentre30e35anos;grupodaterceiraidade;alunosdasalaA;etc)sendo organizadosparaserviremageraodeinformaesmaisprecisas,pormpraqueisto acontea criou-se teoria dos conjuntos: o estudo de uma notao precisa e um conjunto de operaes e propriedades que facilitem a manipulao de tais classificaes. 1.1. DEFINIO E NOTAO A noo de conjunto a mais simples e fundamental daMatemtica, pois a partir dela podem ser expressos todos os conceitos matemticos. De acordo com GERSTING (2001, p. 112) um conjunto : umacoleodeobjetos.Emgeral,todososobjetosem umconjuntotmalgumapropriedadeemcomum(alm depertenceremaomesmoconjunto!),qualquerobjeto quetemessapropriedadepertenceaoconjuntoe qualquerobjetoquenotemessapropriedadeno pertence ao conjunto.

Umconjuntoentoumacoleoouumaclassequalquerdeobjetos,conhecidoscomo elementos do conjunto. So exemplos de conjuntos: -Conjunto de pases do Mercosul: M = {Brasil, Argentina, Paraguai, Uruguai} -Conjunto dos nmeros primos: A = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23...}; Lembre-se: Nmeros primos so os nmeros naturais maiores que 1 divisvel somente por 1 e por ele mesmo. -Conjunto das vogais: B = {a; e; i; o; u}; -Conjunto dos nmeros naturais, maiores que 5: N = {6; 7; 8; 9;...}. Pararepresentarumconjunto,usaremosletrasmaisculas(conformeexemplosdados anteriormente)eapertinnciadeumdeterminadoelementoaesteconjuntoosmbolo matemtico e. UmobjetoxqualquerpodeserelementodeumdeterminadoconjuntoS.Sexfor,dizemos que:x pertence aS e escrevemosxe S. Caso contrrio, dizemos quex no pertence a S e escrevemos x e S. Nos exemplos dados anteriormente sobre conjuntos, podemos afirmar que: -Brasil e M e Bolvia e M -2 e A e 9 e A -a e B e y e B -6 e N e 5 e N 1.1.1. Algumas notaes importantes: C ou { } : conjunto vazio (obs: C = de {C }) : unio : interseco _ : subconjunto de (est contido em) c : est contido em . : no est contido em : contm : no contm e : pertence e : no pertence : no : se ... ento : se, e somente se : para todo - : existe > : maior que < : menor que > : maior ou igual a s : menor ou igual a nf (i) = f (0) + f (1) + f (2) + ... + f (n): i = 0 somatrio 1.2. MANEIRAS DE DEFINIR UM CONJUNTO 1.2.1. Listar seus elementos entre chaves: Para representar usaremos letras maisculas. Por exemplo: a) A = {amarelo; verde; azul} b) B = {2; 4; 6; 8; 10;...; 20} c) C = {1; 2; 3; 4; 5; 6;...} d) D = {} = C 1.2.2. Definir usando a forma E = {x: P(x)}: Por exemplo: E = {x: x um inteiro positivo, mpar e menor que 10} 1.2.3. Usar definio recursiva: Por exemplo: (a) 1 e A (b) se x e A e x + 2 < 10, ento x + 2 e A. 1.2.4. Utilizar operaes sobre conjuntos previamente definidos: Por exemplo: B = {2; 10}C 1.2.5. Especificar sua funo (caracterstica): Por exemplo: (x) =1, se x = 0; 2; 4; 6; 8 0 caso contrrio ATENO: Nem sempre conseguimos utilizar os 5 tipos de definio. 1.3. TIPOS DE CONJUNTOS Nestecontedo,faremosumarevisodostiposdeconjuntosnumricoseno-numricos assim como teremos a oportunidade de ampliarmos nossos conhecimentos, vamos adiante? comum e ao mesmo tempo conveniente usarmos notaes padres para representar alguns conjuntos numricos, tais como, (N) conjunto dos nmeros naturais; (Z) conjunto dos nmeros inteiros; (Q) conjunto dos nmeros racionais; (I) conjunto dos nmeros irracionais; (R) conjunto dos nmeros reais; Nmeros Naturais: O conjunto dos nmeros naturais representado por N, cujos elementos so: N = { 0;1;2;3;4;...} N* = {1;2;3;4;5;...} Nmeros Inteiros:

O conjunto dos nmeros inteiros representado por Z ,cujos elementos so: Z = {...;-3;-2;-1;0;+1;+2;+3;...} Z* = {...;-3;-2;-1;+1;+2;+3;...} Sem o zero. Z+ = {0; +1;+2;+3;...} Apenas os inteiros positivos. Z- = {...;-3;-2;-1; 0} Apenas os inteiros negativos. Nmeros Racionais: O conjunto dos nmeros racionais representado por Q, cujos elementos so: Q = { x : x = ba,e a Z,e b Z,0 = b } Todo n racional pode ser representado na forma decimal, e podemos ter dois casos: a) a representao decimal finita. Ex:75 , 043=;6 , 053=; etc. b) A representao decimal infinita peridica. Ex:... 333 , 031=; ... 5222 , 09047= ; etc. Tambm podemos separ-los em: Q* = Sem o zero. Q+ = Apenas os racionais positivos. Q- = Apenas os racionais negativos. Nmeros Reais: AreuniodosconjuntosQ denotado por R: R = Q U I peridica. Ex:2 = 1,4142... ; ... 14159 , 3 = t ; e = 2,71828..., etc. Tambm podemos separ-los em: R* = Sem o zero. R+ = Apenas os reais positivos. R- = Apenas os reais negativos. Ateno: N*; Z*, Q*; 9* = idem a nomenclatura, porm sem o nmero zero. Z**; Q*+ ; 9*+ = idem a nomenclatura, porm sem o nmero zero e s os positivos. Z*-;Q*-; 9*-=idema nomenclatura,porm sem onmerozeroesos negativos. Conjunto Vazio: Umtipodeconjuntooconjuntovaziocujanotaoou{}.Umapropriedade contraditria qualquer pode ser usada para defini-lo. Exemplo:{todososnmerosnaturaismparesmenoresque1}={x|xumnmeronatural mpar menor que 1} = pois no h nmero natural mpar menor que 1. Conjunto Unitrio: Outro conjunto o conjunto unitrio formado por um nico elemento. Exemplo: {todos os nmeros pares e primos} = {x | x um nmero natural par e primo} = {2} Conjunto Universo: UmconjuntoimportanteoconjuntouniversocujanotaoU.oconjuntoformadopor todososelementoscomosquaisestamostrabalhandonumdeterminadoassunto.Fixadoo universo U, todos os elementos pertencem a U e todos os conjuntos so partes de U. Exemplo: No estudo de divisores e mltiplos de um nmero, o universoU pode ser o conjunto dos nmeros inteiros. Conjunto Finito: Um conjunto definido, com incio e fim determinado. Exemplo: O conjunto A definido pelos nmeros naturais entre 5 e 10, ou seja, A = {x e N / 5 s x s 10}. A = {5; 6; 7; 8; 9; 10} Conjunto Infinito: Um conjunto no definido, com incio e fim podendo ser indeterminado. Exemplos: a) O conjunto A = conjunto dos nmeros naturais, ou seja, A = N. A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; ...} b) B = {...; - 1; 0; 1; 2; 3;...} 1.4. RELAES ENTRE CONJUNTOS a) Igualdade de conjuntos Doisconjuntossoiguaisquandopossuemosmesmoselementos.Porexemplo,seA= {nmeros naturais pares} e B = {0; 2; 4; 6; 8; ...}, ento A = B. Se A no igual a B, ento A diferente de B e escrevemos A=B. Outros Exemplos: Dados A = {1; 2; 3; 4; 5} e B = {5; 4; 3; 2; 1}, dizemos que A = B {x : (x 1)2 = 4} = {x : (x + 1) (x 3) = 0} = { - 1; 3} b) Subconjuntos e relao de incluso Consideremos dois conjuntos, A e B. Se todos os elementos de A forem tambm elementos de B, dizemos que A um subconjunto de B ou que A est contido em B, ou ainda, que A parte de B. Indicamos esse fato por Ac B. L-se Ac B-A subconjunto de B -A est contido em B -A parte de B Se A no for subconjunto de B, escrevemos A. B. Exemplos: a)ConsiderandoPoconjuntodosnmerosnaturaispareseNoconjuntodosnmeros naturais, temos: P = {0; 2; 4; 6; 8; 10;...} e N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10;...} Neste caso, Pc N, pois todos os elementos de P pertencem a N. b) Se A o conjunto dos retngulos e B o conjunto dos quadrilteros, ento Ac B, pois todo retngulo um quadriltero. 1.5. PROPRIEDADES OU RELAO DE INCLUSO A relaoAc B chama-se relao de incluso. Ela possui trs propriedades bsicas. Dados os conjuntos A, B e C quaisquer: -Ac A: propriedade reflexiva; -Se Ac B e Bc A, ento A = B: propriedade anti-simtrica; -Se Ac B e Bc C, ento Ac C: propriedade transitiva. Apropriedadeanti-simtrica sempreusadaquandosequer provarquedoisconjuntosso iguais. Para provar que A = B basta provar que Ac B e que Bc A. A propriedade transitiva fundamental em dedues. Na LGICA ela conhecida como uma forma de raciocnio chamada de silogismo (s para conhecimento a nvel de curiosidade). Exemplo -C: conjunto de catarinenses -B: conjunto de brasileiros -S: conjunto de sul-americanos Todo catarinense brasileiro. Todo brasileiro sul-americano. Ento, todo catarinense sul-americano. Se C c B e B c S, ento C c S. 1.6. CONJUNTOS DE CONJUNTOS ParaumconjuntoS,podemosformarumnovoconjunto,noqualseuselementos(objetos) sero os subconjuntos de S. A este novo conjunto daremos o nome de conjunto das partes de S ou conjunto potncia e o denotaremos por P (S). Qualquer que seja o conjunto S, ns teremos no mnimo os subconjuntos C (vazio) e o prprio conjunto S. Exemplos: a)DadooconjuntoS={2;4;6},oseuconjuntodaspartesserformadopelosseguintes conjuntos. OBS: Sempre por conjuntos, em forma de conjuntos, pois so subconjuntos. P (S) = {C; {2; 4; 6}; {2}; {4}; {6}; {2; 4}; {2; 6}; {4; 6} } b) Dado o conjuntoA = {a; e; i; o; u}, o seu conjunto das partes ser formado pelos seguintes conjuntos. P (A) = {C; {a; e; i; o; u}; {a}; {e}; {i}; {o}; {u}; {a; e}; {a; i}; {a; o}; {a; u}; {e; i}; {e; o}; {e; u}; {i; o}; {i; u}; {o; u}; {a; e; i}; {a; e; o}; {a; e; u}; {a; i; o}; {a; i; u}; {a; o; u}; {e; i; o}; {e; i; u}; {i; o; u}; {e; o; u}; {a; e; i; o}; {a; e; i; u}; {a; e; o; u}; {e; i; o; u}; {a; i; o; u}} Comosexemplostrabalhadosvocpercebeuqueo conjunto das partes sempre ter o nmero de subconjuntos dado por 2n; ou seja, 2 elevado ao nmero de elementos (n) do conjunto original? 1.7. OPERAES SOBRE CONJUNTOS a) Diferena ( ) DadososconjuntosA={0;1;3;6;8;9}eB={1;4;9;90},podemos escreveroconjuntoC formado pelos elementos que pertencem a A mas que no pertencem a B. Assim, C = {0; 3; 6; 8}. De modo geral, escrevemos: A B = { x | x e A e x e B} b) Unio () Dados os conjuntosA = {0; 10; 20; 30; 40; 50} e B = {0; 30; 40; 50; 60}, podemos escrever o conjuntoCformadopeloselementosquepertencemaAoupertencemaBouaambos. Assim, C = {0; 10; 20; 30; 40; 50; 60}. O conjunto C chamado reunio ou unio de A e B e indicado por A B (l-se: A reunio B ou A unio B). Demodogeral,dadosdoisconjuntosAeB,areunioABoconjuntoformadopelos elementos de A mais os elementos de B: A B = { x | x e A ou x e B} Exemplo: Se A = {3; 6} e B = {5; 6}, ento A B = {3; 5; 6}. c) Interseco ( ) Dados os conjuntos A = {a; e; i; o; u} e B = {a; e; u; b}, podemos escrever o conjunto C formado pelos elementos que pertencem tanto a A como a B, ou seja, pelos elementos comuns a A e B. Assim, C = {a; e; u}. O conjunto C chamado interseco de A e B e indicamos A B (l-se: A interseco B). De modo geral, a interseco A B : A B = { x | x e A e x e B} Exemplo: Se A = {2; 4; 6} e B = {2; 3; 4; 5}, ento A B = {2; 4} Quando A B = C, A e B so chamados disjuntos. Por exemplo, A = {1; 3} e B = {2; 4}. d) Complemento de um conjunto Obtm-se com anlise ao conjunto universo U aonde para um conjuntoA e U, o complemento de A, A, {x / x e U e x e A}. Pararepresentarocomplementodeumdeterminadoconjunto(A,porexemplo),precisamos conhecer o conjunto universo tambm ao qual o conjuntoA pertence, em matemtica bsica, oupodemosoptaremrepresentarusandolgebradosconjuntosatravsdediagramasde Venn. (Este assunto ser mais detalhado posteriormente). Exemplo: Sejam os conjuntos: A = {1; 2; 3; 5; 10} B = {2; 4; 7; 8; 9} C = {5; 8; 10} U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} Obtm-se como resultado das operaes a seguir os seguintes subconjuntos: a) A= {4; 6; 7; 8; 9} b) B = {1; 3; 5; 6; 10} c) C= {1; 2; 3; 4; 6; 7; 9} d) B (AC) = {1; 3; 5; 6; 10} {1; 2; 3; 5; 8; 10} = {1; 3; 5; 10} e) Produto Cartesiano Sejam A e B subconjuntos de S, o produto cartesiano de A e B, denotado por A x B, definido por: A x B = { (x; y) / x e A e y e B } Logo, o produto cartesiano de dois conjuntos A e B, o conjunto de todos os pares ordenados com a primeira componente em A e a segunda em B. Exemplo: Dados os conjuntos A = {1; 2} e B = {3; 4}, os resultados encontrados ao que se pede sero: a) A x B = {(1; 3); (1; 4); (2; 3); (2; 4)} b) B x A = {(3; 1); (3; 2); (4; 1); (4; 2)} c) A2 = A x A = {(1; 1); (1; 2); (2; 1); (2; 2)} Exerccios 1 - Dados os conjuntos A = {a; b; c; d; e; f; g}, B = {b; d; g; h; i} e C = {e; f; m; n}, determine: a)A B b)B C c)B A d)(A B)(B A) 2 - Dados os conjuntos A = { x | x um nmero natural mpar menor que 10}, B = {x | x par entre 3 e 11} e C = {x | x um nmero natural menor que 5}, determine: a)A B b)A C c)A C d)A B e)(A B) C f)(A C) B 3 - A partir do diagrama a seguir, hachure os conjuntosfazendo uma figura para cada item.

a)A B b)B C c)(A B) C d)(B C) A e)A (C B) f)(A B) (A C) g)Compare os diagramas obtidos nos itens e e f. O que pode-se concluir? 4 Classifique as sentenas em verdadeira (V) ou falsa (F) e justifique. a)Se A tem 3 elementos e B tem 4 elementos, ento A B tem 7 elementos. b)Se A tem 2 elementos e B tem 3 elementos, ento A B tem 2 elementos. c)Se A B = e A tem 5 elementos e B tem 4 elementos, ento A B tem 9 elementos. 5 - Sejam os conjuntos A, B e C dados pelas condies: A = {x | x um nmero inteiro que satisfaz x2 5x + 6 = 0} B = {x | x um nmero inteiro que satisfaz x2 2x = 0} C = {x | x um nmero inteiro que satisfaz x2 9 = 0} Determine a)A B b)A B c)B C d)A B C 1.8. ALGUMAS PROPRIEDADES IMPORTANTES SOBRE OPERAES: Sejam os conjuntos: A, B e C: a)A c AB, B c AB b)Se A c C e B c C, ento AB c C c)A B c A, A B c B d)Se C c A e C c B, ento C c A B Fazendo interseco e unio de subconjuntos de um conjunto S, os conjuntos resultantes so tambm subconjuntos de S. Sejam A, B subconjuntos de um conjunto universo U. a)(A) = A b)A A = C c)AA = U d)AB = BA e)A B = B A C BA

2. LGEBRA DE CONJUNTOS 2.1. DIAGRAMAS DE VENN Nestapartedocontedoiremosrevisaralgumasoperaes(unio,intersecoediferena) estudadas alm de conhecer outras maneiras de se criar novos conjuntos a partir de conjuntos j definidos, atravs da lgebra dos conjuntos. Em muitas discusses, todos subconjuntos sob considerao esto contidos enm um conjunto fixochamadoconjuntouniverso,simbolizadoporU.Assimumavezidentificadooconjunto universoU,noinciodadiscusso,todossubconjuntosmencionadosdaliemdianteso supostos subconjuntos de U. O complemento de um conjuntoA, denotado porA, nada mais do que o conjunto de todos objetos (elementos) do conjunto universo U que no esto em A.isto : A = {x / x e U e x e A} EstesdiagramassochamadosdiagramasdeVenneapartehachuriadaindicaoconjunto determinado pela definio. Pode-seobservaristousandoasoperaesde:diferena(obtendo-seocomplemento),a unio e a interseco. Diferena: A B A B = { x | x e A e x e B} Exemplo a: A U A U Exemplo b: Seja U = N, A = {x | x par} e B = { x | x > 10} A = { x | x mpar} A B = {0; 2; 4; 6; 8; 10} U B = {x / x s 10} = B Unio: AB AB = { x | x e A ou x e B} Exemplo a: Exemplo b: Seja U = N, A = {x | x par} e B = { x | x > 10} AB = {x e N / x par} Interseco: A B A B = { x | x e A e x e B} Exemplo a: Exemplo b: Seja U = N, A = {x | x > 20} e B = { x | x > 10} A B = {x e N / x > 20} AB AB U 2.2. CONJUNTOS (INTERRUPTORES) Sejama,b,c,...conjuntosdepontostomadosnumespaoEdado.Nasfigurasaseguir,o retngulo o nosso espao E e as figuras internas so os conjuntos. Conforme a notao utilizada em interruptores, denota-se a + b o conjunto de todos os pontos que pertencem somente ao conjunto a ou s ao conjunto b ou a ambos. Dizemos que a + b a unio de a com b. Oconjuntodepontoscomunsaambos(quepertencemaaeb)serdenotadoporab. Dizemos que a b a interseco de a e b, que pode ser denotada tambm por ab. Seja a o conjunto de todos os pontos do espao considerado que no pertencem a a. Dizemos que a o complemento de a. Chamaremosconjuntovazioeodenotaremospor0oconjuntoqueNOcontmpontose; denotaremos por 1 o conjunto de todos os pontos, que o conjunto universo. Para dois conjuntos quaisquer a e b do universo 1 valem as igualdades: 0 + 0 = 00 0 = 0 0 + 1 = 10 1 = 0 1 + 0 = 11 0 = 0 1 + 1 = 11 1 = 1 a + a = 1a a = 0 a + b = b + aa b = b a a + 0 = aa 0 = 0 a + 1 = 1a 1 = a Podemosverificarsuavalidadeconstruindo,osdiagramas,apropriado,porexemplo,pelos crculosdeEuleroudiagramasdeVenn.Outrosresultadospodemserobtidosparatrs conjuntos quaisquer de a, b e c. Exemplo a: Mostrar mediante diagramas apropriados que: a + (b c) = (a + b) (a + c) OBS: Estes diagramas devero ser completados copiando do quadro, em sala de aula. Exemplo b: Ilustrar pelos crculos de Euler a expresso pr + p q r a cb a cb a cb a cb a cb a cb p rq p rq p rq OBS: Estes diagramas devero ser completados copiando do quadro, em sala de aula. Exemplo c: Dar a expresso da regio hachurada no diagrama: xyz Soluo:x y z` + x` y` z EXERCCIOS 1 - Desenhar os diagramas de Euler-Venn para mostrar: a)p + q b)p q c)pq + pq d)(p + q) r e)(p + q) r 2 - Dar as expresses correspondentes aos conjuntos hachurados: a) b) 3. RELAES BINRIAS: 3.1. INTRODUO A cada dia que passa, mais e mais as pessoas vm usando os computadores, para processar informaes estruturadas, no mesmo? Mesmo as aplicaes mais elementares manipulam itens de informaes associados, guardados em arquivos. Tais informaes podem ser: nomes deempregado,cargo,departamento,salrio,nmerodedependentes,eoutras,organizadas em tabelas. Vamossupor,quetemosdoisconjuntos:A={10horas;20horas;30horas;40horas}eB= {Ari;Estela;Luana;Rui}.UmarelaodeAemB,podeseraquelaqueaonmerodehoras trabalhadassemanalmenteassocia-seonomedoempregado,como:10horasassocia-seo nome Ari, 20 horas associa-se a Estela, 30 horas associa-se a Luana e 40 horas associa-se a Rui: Esquema representativo: AB 10 horas Ari 20 horas Estela 30 horas Luana 40 horas Rui Outra forma de representar seria utilizando a notao de par ordenado: Produto Cartesiano. ESQUEMA: (10 horas; Ari); (20 horas; Estela); (30 horas; Luana); (40 horas; Rui). Note que a correspondncia estabelecida determina um conjunto de pares ordenados: N = {(10 horas; Ari); (20 horas; Estela); (30 horas; Luana); (40 horas; Rui)}. Esboce duas relaes R1 e R2, a partir dos conjuntos anunciados na introduo. 3.2. DEFINIO: Relao uma correspondncia entre dois conjuntos, logo, dado um conjunto S, uma Relao Binria em S um subconjunto de S x S (um conjunto de pares ordenados de elementos de S). EXEMPLO: Sejam os conjuntos A = {1; 2; 3} e B = {2; 3; 4; 5} e seja S = {(x , y) e A x B / y =x + 1}. Para x tal, temos y: xy 1y = x + 1 = 1 + 1 = 2 2y = x + 1 = 2 + 1 = 3 3y = x + 1 = 3 + 1 = 4 A relao S dada por: S = {(1 ; 2), (2 ; 3), (3 ; 4)} Lembretes: -Dados dois conjuntos A e B, d-se o nome de relao R de A em B a qualquer subconjunto de A x B. -R relao de A em B R c A X B 3.3. REPRESENTAO DE UMA RELAO: Almdeescrevermosumarelaoemformadeconjuntoentrechaves,quandotemosuma relaoemconjuntosfinitos,A={a1;...;an},B={b1;...;bm}contamosaindacomoutras representaes,entreelaspor:matrizretangularnxm(n=linha,m=coluna);plano cartesiano; diagramas e, grafos. Dados os conjuntos A = {1; 2; 3}, B = {6; 7; 8; 9} e R = { (1; 7); (1; 9); (2; 6); (2; 7); (2; 8); (3; 9) }, podemos representar R em: a) Representao entre chaves: R = { (1; 7); (1; 9); (2; 6); (2; 7); (2; 8); (3; 9)} b) Representao em diagramas: R = { (1; 7); (1; 9); (2; 6); (2; 7); (2; 8); (3; 9) } AB c) Representao no plano cartesiano: R = { (1; 7); (1; 9); (2; 6); (2; 7); (2; 8); (3; 9) } 1 2 3 6 7 8 9 d) Representao em matriz retangular n x m: Como vimos se A e B so conjuntos finitos, A = {a1; ... ; an}, B = {b1; ... ; bm}, uma relao R c A x B pode ser representada por uma matriz retangular n x m (n = A, m = B) chamada matriz da relao R (rij) satisfazendo: 1 se ai R bj(l-se (ai; bj ) e R), ou seja, se existe a relao de a x b rij = 0 caso contrrio Dada R = { (1; 7); (1; 9); (2; 6); (2; 7); (2; 8); (3; 9) } A matriz de relao R ser a seguinte: R6789 10101 21110 30001 e) Representao em grafos: Dado A e B dois conjuntos finitos, A = {a1; ... ; an}, B = {b1; ... ; bm} e a relao R de A x B, cada nododaesquerdarepresentaumelementodeAecadanododadireitaumelementodeB, assim a todos elementos de A e B corresponde um nodo, e uma linha de ai para bj Significa ai R bj.

Dados A = {a1; a2; a3 }, B = {b1; b2; b3 } e R = { (a1; b1 ); (a1; b2 ); (a2; b1 ); (a2; b3 ); (a3 ; b3 ) } O grafo da relao R ser o seguinte: R 0 2 4 6 8 10 00,511,522,533,5 PLANO CARTESIANO (a; b) a1

a2

a3

b1

b2

b3

OBS:EstarepresentaonsdaremosmaiornfasenocontedosobreTeoriadeGrafos,a ser visto posteriormente, mas ainda nesta disciplina. 3.4. PROPRIEDADES: Asrelaesbinriaspossuemnpropriedades,elaspodemserumarelao:inversa; identidade; reflexiva; irreflexiva; simtrica; anti-simtrica e transitiva. a) Relao Inversa (R -1): Sejam A e B dois conjuntos, no necessariamente distintos, e seja R uma relao de A para B. A relao inversa R -1 uma relao de B para A tal que b R-1a se e somente se aRb, isto R -1 = {(b; a) / (b; a) e B x A e (a; b) e R}. Exemplo: Dados os conjuntos A = {1; 2; 3}, B = {6; 7; 8; 9} e R = { (1; 7); (1; 9); (2; 6); (2; 7); (2; 8); (3; 9) }, teremos:R -1 = { (7; 1); (9; 1); (6; 2); (7; 2); (8; 2); (9; 3) } b) Relao Identidade (I): A relao I, A = { (x; x) / x e A } chamada relao identidade em A. Exemplo: Dado o conjunto A = {1; 2; 3} teremos: I = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) } c) Relao Reflexiva: Rconsiderada uma relao dotiporeflexivaseparatodoxeSexistirxRx,ouseja, todox estrelacionadoasimesmo.Quandorepresentadaemmatrizter1emtodadiagonal principal. Seja S = {0; 1; 2}, R = { (0; 0); (0; 1); (1; 1); (2; 2) } a relao R reflexiva como mostra a matriz a seguir. R012 0110 1010 2001 d) Relao Irreflexiva: Rconsiderada uma relaodotipoirreflexivase,aocontrriodareflexiva,paratodoxeS noexistirxRxe{(x;x)eR}.Quandorepresentadaemmatriznoter1algumemtoda diagonal principal. SejaS={0;1;2},R={(0;1);(0;2);(2;1);(2;0)}arelaoRirreflexivacomomostraa matriz a seguir. R012 0011 1000 2110 e) Relao Simtrica: RchamadarelaosimtricasesemprequexRy,yRx,ouseja,sexestrelacionadoay entoyestrelacionadoax.AmatrizdeRumarelaosimtricaquandorij=rji,ou seja, quando as linhas forem idnticas as colunas. Dado S = {a; b; c}, R = { (a; b); (b; a); (b; c); (c; b); (c; c) } a relao R simtrica como mostra a matriz a seguir. RabC a010 b101 c011 f) Relao Anti-simtrica: R chamada relao Anti-simtrica sempre que x est relacionado a y e y est relacionado a x, ento x = y. Cuidado: Anti-simtrica no pode ser considerada sempre o oposto da simtrica em uma relao binria, ela no o oposto. Dado S = {a; b; c}, R = { (a; a); (a; b); (b; c); (c; a) } a relao R anti-simtrica como mostra a matriz a seguir. Rabc a110 b001 c100 g) Relao Transitiva: R chamada relao transitiva se para todo x, y, z e S se xRy e yRz, ento xRz, ou seja, se x est relacionado a y e y est relacionado a z, ento x est relacionado a z. Dado S = {a; b; c}, R = { (a;b); (a; c); (b; c) } a relao R transitiva como mostra a matriz a seguir. Rabc a011 b001 c000