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Circuitos de Corrente AlternadaNotas de Fsica Experimental

Prof. Hugo L. FragnitoUnicamp IFGW

Campinas, Setembro de 2000

Contedo1. CONCEITOS BSICOS ...............................................................................................................................1 1.1 A linha de alimentao ............................................................................................................ 2 1.2 Voltagem e corrente reais ........................................................................................................ 3 VOLTAGEM E CORRENTE COMPLEXAS ....................................................................................................7 IMPEDNCIA COMPLEXA .........................................................................................................................9 3.1 Equivalente Thvenin..............................................................................................................11 3.2 Impedncia interna de geradores e instrumentos de medio...................................................12 3.3 Potncia mdia .......................................................................................................................16 FILTROS ................................................................................................................................................19 4.1 Funo de transferncia e Transmitncia................................................................................19 CIRCUITOS RESSONANTES .....................................................................................................................23 5.1 Ressonncia srie ...................................................................................................................23 5.2 Ressonncia paralelo..............................................................................................................24 5.3 Filtros ressonantes..................................................................................................................26 RESISTORES, CAPACITORES E INDUTORES REAIS...................................................................................29 6.1 Resistores ...............................................................................................................................29 6.2 Indutores ................................................................................................................................31 6.3 Capacitores ............................................................................................................................33 6.4 Ressonncias esprias ............................................................................................................33 CIRCUITOS DE C.A. COM GERADOR DE FUNO ARBITRRIA ................................................................35 7.1 Circuito integrador.................................................................................................................38 7.2 Circuito diferenciador ............................................................................................................40 TRANSIENTES NO CIRCUITO RESSONANTE SRIE ...................................................................................43 8.1 Estudos avanados..................................................................................................................46 TRANSFORMADORES .............................................................................................................................51 9.1 Generalidades ........................................................................................................................51 9.2 Transformador ideal ...............................................................................................................52 9.3 Alguns Tipos de Transformadores ...........................................................................................53 9.4 Impedncia refletida ...............................................................................................................54 9.5 Transformador real ................................................................................................................54

2. 3.

4. 5.

6.

7.

8. 9.

10. LINHAS DE TRANSMISSO .....................................................................................................................57 10.1 Impedncia caracterstica...................................................................................................57 10.2 Impedncia Caracterstica de um Cabo Coaxial..................................................................59 10.3 Coeficiente de Reflexo ......................................................................................................59 10.4 Propagao de ondas em linhas de transmisso..................................................................61 10.5 Atenuao ..........................................................................................................................61 APNDICES...............................................................................................................................................65 EXPERIMENTOS......................................................................................................................................77

C:\WINDOWS\Desktop\Hugo\CURSOS\ac\Livro.doc

Impresso em 18-10-00

Conceitos bsicos

1

1.

Conceitos bsicos

Os elementos essenciais de circuitos de corrente alternada (c.a.) so os Geradores de c.a. e elementos passivos e lineares que so uma combinao de Resistores, Capacitores ou Indutores em srie ou em paralelo. Alguns circuitos podero ter ainda transformadores, mas excluiremos os casos em que os transformadores exibam histerese ou saturao, j que esses seriam elementos no lineares; igualmente excluiremos outros elementos como diodos (que so no-lineares) e amplificadores a transistores (que no so passivos). A Figura 1.1 mostra dois circuitos de corrente alternada simples. O da Figura 1.1(a) um circuito de uma malha, o da Figura 1.1(b) de duas malhas.

a

R

b

Z1

Z2

(t)

I(t)

L

(t)

i1(t)

Z3

i2(t)

CFigura 1.1. Exemplos de circuitos de corrente alternada. Z1, Z2 e Z3 indicam elementos como resistores, capacitores ou indutores.

Um Gerador de c.a. gera uma voltagem senoidal (t) que em geral caracterizada pela frequncia angular , a amplitude 0 (tambm chamada valor pico ou de crista) e a fase inicial 0: (t) = 0 cos(t + 0). [1.1]

Para que a amplitude e a fase sejam univocamente definidas, impomos que a amplitude seja positiva e que a fase esteja entre - e .Exerccio 1.1: Escreva as funes abaixo na forma da eq. 1 com 0 positivo e - < 0 : 1. 2.

(t) = -100V cos(t) (t) = 10V sin(t)

[Resposta: 100V cos(t + )] [Resposta: 10V cos(t - /2)]

Muitos osciloscpios modernos possuem recursos para medir automaticamente a amplitude pico-apico pp = 20 e o perodo T = 2/ ou a frequncia f = 1/T. Outros instrumentos, como voltmetros de c.a. e multmetros, medem o valor eficaz pp = 0 / 2. Assim, por exemplo, 110 Volts eficazes correspondem a uma amplitude de 155.6 V e uma amplitude pico-a-pico de 311 V. O aluno pode medir a voltagem de linha com um multmetro. A maioria dos osciloscpios medem at 80 V. Para medir voltagens maiores que 80 V se utilizam pontas de prova atenuadoras, mas mesmo com uma ponta atenuadora o/a aluno/a nunca deve intentar medir a voltagem de linha com um osciloscpio (leia primeiro a seo 1.1 sobre a linha de alimentao).

2

Circuitos de Corrente Alternada

1.1

A linha de alimentao

Antes de fazer experimentos importante que o/a aluno/a tenha conhecimentos bsicos do que h por trs de uma tomada de alimentao eltrica. Vou discutir aqui a linha de alimentao dos laboratrios de ensino do Instituto de Fsica da Unicamp, que uma linha de 127 V. O professor de outra regio deve adaptar esta discusso para o caso da sua sala de aula. A energia eltrica produzida em alguma usina hidroeltrica, nuclear o de outro tipo, geralmente muito remota. A energia transportada atravs de linhas de transmisso de muito alta voltagem (centenas de quilovolts, pudendo chegar at megavolts). A razo disto obvia: a perda nos cabos proporcional ao quadrado da corrente e resistncia do cabo e, para uma dada potncia de consumo, diminuir a corrente significa aumentar a voltagem. Estas linhas terminam em alguma estao distribuidora, onde a voltagem reduzida para algo entorno de algumas dezenas de quilovolts e alimenta redes locais, do tamanho de uma cidade. Subestaes distribuidoras reduzem a voltagem ainda mais (3 a 11 kV) e alimentam redes menores, do tamanho de bairros ou de um campus universitrio. Transformadores espalhados no bairro reduzem a alta voltagem para alimentar com a tenso de linha (entre 110 e 220 V eficazes) prdios individuais ou um conjunto de poucas casas. Destes transformadores saem geralmente dois ou trs fios vivos e um fio de retorno ou neutro que geralmente aterrado perto do transformador. Aterrado significa exatamente isto: o fio neutro ligado a uma lana condutora que est enterrada a alguns metros de profundidade na terra, onde a condutividade alta. Os fios vivos so tambm chamados fases. Em alguns casos (Estados Unidos, por exemplo) h duas fases de 110 V eficazes e a diferena de potencial entre elas de 220 V. Assim, uma casa pode ter 110 V para as tomadas e 220 V para alguns eletrodomsticos que consomem muito, tais como chuveiro eltrico, fogo eltrico, lavadoras, etc. (lembre sempre que a corrente deve ser baixa, menor que 40 A; caso contrrio haver que instalar fios mais grossos). Em outros casos (Campinas, por exemplo) h duas ou trs fases de 127 V, com uma diferena de fase entre elas de 120. A diferena de potencial entre dois fios vivos quaisquer novamente 220 V. Na Europa e alguns pases Latino-americanos (Argentina, por exemplo) o vivo de 220 V e a diferena entre dois vivos (que esto defasados em 120) de 381 V. Isto barateia o custo das instalaes das redes eltricas pois os fios so mais finos do que em pases com linhas de 110 V, mas encarece as instalaes dentro das casas pois necessrio um melhor isolamento e mais cuidados com a segurana. Outra diferena que a frequncia de linha nos pases com 220 V de 50 Hz e nos pases com 110 V de 60 Hz. No Brasil a voltagem de linha depende da cidade e at da casa! Por exemplo, em Braslia uma casa pode estar ligada em 220 V e outra em 110 V (independentemente da ideologia poltica do proprietrio, no tem lgica mesmo!). Em Campinas 127 V/ 60 Hz. Note que a voltagem pico-a-pico de uma linha de 127 V de 359 V. Nas viagens bom perguntar qual a tenso de linha local antes de ligar o seu secador de cabelos ou o barbeador eltrico. E antes de comprar um aparelho motorizado na Europa, verifique se este no tem um motor sncrono, que funciona em sincronismo com a frequncia da linha (50 Hz na Europa, mas 60 Hz no Brasil). Nos laboratrios existe outra lana aterrada, bem perto do prdio, ligada a um fio chamado terra ou terra de segurana. A voltagem do neutro em relao ao terra depende da corrente (ou seja, do consumo) e da resistncia do fio neutro at o ponto onde ele est aterrado, e no deve ser maior que uns 5 a 10 V (mesmo assim, o fio neutro no deve ser tocado!). Normalmente no passa corrente pelo fio terra. Na tomada do laboratrio temos ento (Figura 1.2) um vivo, um neutro e um terra. O gabinete metlico de todo instrumento, eletrodomstico ou computador deve estar conectado ao terra, de modo que possa ser tocado com segurana.

Conceitos bsicos

3

Prdio de laboratrios Linha de alta tenso vivos 2 3 caixa de distribuio tomada Tomada (detalhe) terra vivo neutro terra

transformador

1

neutro

TerraFigura 1.2. Esquema da linha de alimentao eltrica do laboratrio. Vrias tomadas so alimentadas por cada fase. No detalhe, uma tomada com ponto de terra. Uma conveno que o neutro deve ficar direita do vivo e o terra embaixo. Outra conveno que o fio vivo deve ser preto (cor da morte) o neutro branco e o terra verde. (Estas convenes no so muito respeitadas no Brasil).

Alguns instrumentos (como voltmetros, eletrmetros e alguns tipos de fontes) podem ter entrada ou sada flutuante, que significa que nenhum dos contatos de entrada ou sada est ligado terra. Este no o caso dos osciloscpios, que sempre medem em relao a terra; por isso, nunca ligue a entrada do osciloscpio linha (voc poder estar ligando o terra do osciloscpio ao vivo ou ao neutro, mas voc saber se ligou ao vivo s depois de ouvir a exploso!). Se no suporta a curiosidade e quiser mesmo ver a forma de onda da linha, faa o seguinte na presena do professor: utilize uma ponta de prova atenuadora de pelo menos 10 (verifique que a impedncia da ponta de prova alta, maior que 1 M) e no ligue o terra da ponta de prova (geralmente um conector tipo jacar) a nenhum dos pontos da tomada. Assim pelo menos voc poder medir as voltagens (em relao ao terra do osciloscpio) de cada ponto da tomada e descobrir qual o vivo e qual o neutro. Se quiser medir a diferena de potencial entre vivo e neutro, voc deve utilizar um osciloscpio de dois canais e subtrair os sinais no osciloscpio. Faa o seguinte na presena do professor: utilize um osciloscpio de pelo menos dois canais que tenha modo de soma (ADD) e de inverso (INVERT); utilize tambm duas pontas de prova (no ligue os terras das pontas), uma em cada canal do osciloscpio; ligue uma ponta (Channel 1) no vivo e a outra (Channel 2) no neutro, e faa a subtrao no osciloscpio (ou seja, INVERT Channel 2 e coloque o modo vertical em ADD. Se no entendeu porque ainda no deve intenta-lo). Note que sempre que for medir voltagens de linha dever utilizar pontas de prova atenuadoras para que a senide caiba na tela do osciloscpio (onde geralmente cabem 80 volts). Se a tenso eficaz de 127 V, a voltagem pico-a-pico 359.2 Volts!

1.2

Voltagem e corrente reais

Nos circuitos de c.a. alimentados por um nico gerador ideal as correntes reais que passam pelos diferentes elementos so senoidais. A corrente real i(t) que passa por um dado elemento de um circuito est relacionada com a diferena de potencial (ou voltagem) nesse elemento v(t). Tanto i(t) como v(t) so funes do tempo com a mesma forma que a eq. 1.1, cada um com sua amplitude e fase, mas com a

4

Circuitos de Corrente Alternada

mesma frequncia. Sem perda de generalidade podemos escolher a origem dos tempos de modo que a fase inicial da corrente seja nula: i(t) = I0 cos(t) v(t) = V0 cos(t + ), onde a diferena de fase entre a voltagem e a corrente. Note que a fase de uma senide sozinha no tem muito sentido fsico. sempre possvel escolher a origem dos tempos de modo de fazer ela zero. Por outro lado, a diferena de fase entre duas senides no depende dessa escolha. A Figura 1.3 mostra duas senides na tela de um osciloscpio para ilustrar como se mede a diferena de fase. A corrente pode ser medida com osciloscpio medindo a voltagem sobre qualquer resistor do circuito, que proporcional a corrente. Cuidado porm porque o osciloscpio somente mede em relao ao terra e, portanto, o resistor (ao qual ligamos o osciloscpio para medir a corrente) deve estar aterrado.cursores V1 V23.76 m s

[1.2] [1.3]

t = 3.76 ms3.76 m s

.2V

20mV

2s

m

.1V

10mV

2s

m

t TFigura 1.3. Medida da diferena de fase entre duas senides (V1 e V2) com um osciloscpio de dois canais. Tela da esquerda: Primeiramente medimos o perodo, que neste exemplo T = 8.6 ms. A seguir medimos a diferena de tempo t em que as senides cruzam, subindo (ou descendo), a linha horizontal de V = 0. Neste exemplo, t = 3.76 ms (alguns osciloscpios, como o ilustrado aqui, dispem de cursores verticais para medir diferenas de tempo, a leitura indicada no canto superior direito da tela). Finalmente, a fase dada por = 2t/T = 2.75 rad ou = 360t/T = 157. Tela da direita: Para diminuir a incerteza da medida, podemos expandir a escala vertical (duas vezes neste exemplo) de modo que apenas a regio central das senides mostrada no osciloscpio. Na regio central as senides so aproximadamente retas e os pontos de cruzamento com o eixo V = 0 so mais evidentes (expandindo ainda mais a escala vertical, a retas viram quase verticais e a incerteza a mnima possvel).

Vejamos qual a relao entre voltagem e corrente nos trs elementos bsicos: resistor, capacitor e indutor. Em um resistor vale sempre a lei de Ohm v(t) = Ri(t), onde R a resistncia e, no caso de corrente alternada (isto , com i(t) na forma da eq. 1.1) obtemos [1.4]

Conceitos bsicos

5

v(t) = RI0 cos(t). Em um indutor a relao geral entre v e i v( t ) = Ldi / dt , onde L a indutncia (henry, H). No caso de corrente alternada, v( t ) = LI 0 sin(t ) = LI0 cos3t + 8 . 2 Finalmente, em um capacitor a voltagem proporcional carga no capacitor, q: v = q/C, onde C a capacitncia (farad, F) e, dado que i = dq/dt, a relao geral entre v e i v( t ) =

[1.5]

[1.6]

[1.7]

[1.8]

I

t

0

i( t )dt / C + v( 0) ,

[1.9]

onde v(0) a voltagem no capacitor em t = 0. No caso de corrente alternada, v( t ) = I I0 sin( t ) = 0 cos3t 8 . 2 C C Amplitude V0 = RI0 V0 = I0/C V0 = LI0 Fase [1.10]

A Tabela 1-I resume o que acabamos de falar. Elemento Resistor Capacitor Indutor Voltagem real v = Ri v = q/C v = Ldi/dt

=0 = -/2 = /2

Tabela 1-I. Relao entre a voltagem e corrente reais em elementos de circuito de corrente alternada.

Voltagem e corrente complexas

7

2.

Voltagem e corrente complexas

A relao entre voltagem e corrente reais em um circuito de uma malha contendo resistores, capacitores e indutores em geral uma equao integro-diferencial de primeira ordem ou uma equao diferencial ordinria de segunda ordem. Por exemplo, no circuito RLC srie (Figura 1.1a) esta equao Ri + L di q + = dt C [2.1]

(que contm a integral da incgnita, i(t), dado que q( t ) = R

I

t

0

i( t ) dt + q( 0) ), ou [2.2]

di d 2i i d . +L 2 + = dt C dt dt

Em circuitos com N malhas teremos N equaes diferenciais ordinrias de segunda ordem acopladas. Para resolver este tipo de equaes que aparecem frequentemente em circuitos de corrente alternada utilizaremos o formalismo de impedncia complexa. Apesar do nome, este formalismo no tem nada de complexo, muito pelo contrrio, como veremos, simplifica muito os problemas de circuitos de corrente alternada, j que as equaes diferenciais se transformam em equaes no diferenciais. As equaes de malha do tipo da 2.1 e 2.2 podem ser escritas como a parte real de uma equao entre nmeros complexos. Utilizamos para isto a frmula de Euler (vide Apndice A) e jx = cos x + j sin x , onde j = 1 e introduzimos a voltagem e corrente complexas1,2,3 V ( t ) = V0 e j ( t + ) I ( t ) = I0 e jt de modo que as voltagens e correntes reais, v(t) e i(t), podem ser recuperadas atravs das relaes v( t ) = Re{V ( t )} = Re{V0 e j ( t + )} = V0 cos ( t + ) i( t ) = Re{I ( t )} = Re{I0 e jt } = I 0 cos (t ) [2.4]

[2.3]

O smbolo Re{ } indica a parte real do nmero complexo dentro de { }. Trabalhar com correntes e voltagens complexas tem a vantagem de que as equaes diferenciais que descrevem os circuitos de c.a. se transformam facilmente em equaes ordinrias. Para isto basta substituir

R.P. Feynman, R.B. Leighton, and M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. 2: Mainly Electromagnetism and Matter, Addison-Wesley, Reading, 1964. 2 H.M. Nussenzveig, Curso de Fsica Bsica, Vol 3: Eletromagnetismo, Edgar Blcher, So Paulo, 1997.3

1

F.N.H. Robinson, Electricity, in The New Encyclopdia Britannica (Macropdia Knowledge in Depth), Vol. 6, pp 537-610, 15th Ed., H. Hemingway Benton, Publisher (London, 1974).

8

Circuitos de Corrente Alternada

d j dt

,

d2 ( j )2 = 2 2 dt

,

d3 ( j )3 = j 3 3 dt

, etc.

Por exemplo, a equao diferencial 2.11 vira a equao ordinria (no diferencial) jRI 2 LI + I / C = jV , onde V = 0 e j ( t + o ) . Resolvendo para I obtemos I = jV / ( jR 2 L + 1 / C ) . Para obter a corrente real basta tomar a parte real de I:

i( t ) = Re{I ( t )} = = 0 + tan1 2

0 (R )2 + ( 2 L 1 / LC )2

cos (t + ),

L 1 / LC . R

A Figura 2.1 mostra a representao da voltagem e corrente no plano complexo. A corrente e a voltagem so vetores que rodam com velocidade angular mantendo o ngulo fixo. Em qualquer instante de tempo os valores reais de corrente ou voltagem podem ser determinados pela projeo do vetor correspondente sobre o eixo real.eixo imaginrio

a)

b)V

V I

V0 I I0eixo real

t

v(t) i(t)

Figura 2.1. Voltagem e Corrente no plano complexo em (a) t = 0 e (b) t 0. Exerccio 2.1. Um prdio alimentado com trs fios vivos de 127 V (eficazes) e fases 1, 2 e 3. A diferena de fase entre dois vivos quaisquer de 120. Represente as trs voltagens no plano complexo e mostre que a diferena de potencial entre dois vivos quaisquer V cost, onde V = 311.1 Volts (pico) ou 220 Volts eficazes.

Impedncia complexa

9

3.

Impedncia complexa

A voltagem entre os terminais de um resistor, indutor ou capacitor pode ser escrita na forma complexa V = ZI , onde, nos casos de resistor, capacitor e indutor, respectivamente, temos Z=R Z = j L = L e j 2 1 1 j 2 = Z= e j C C [3.2] [3.1]

Trabalhar com o formalismo de impedncias complexas tem a enorme vantagem de que podemos aplicar quase tudo que aprendemos da teoria de circuitos de corrente contnua. Por exemplo, a associao de elementos em srie ou em paralelo se tratam com as mesmas relaes que se utilizam para resistores em circuitos de corrente contnua e as leis de Kirchoff se aplicam diretamente para as correntes e voltagens complexas em cada n ou cada malha. Devemos ter presente apenas duas coisas: 1- O formalismo de impedncia complexa til para tratar relaes lineares (como, por exemplo uma equao de malha) mas no para relaes no lineares, como a potncia (que uma funo quadrtica da corrente). 2- Este formalismo pode ser aplicado diretamente a circuitos com geradores de onda realmente senoidais (e no, por exemplo, se o gerador de onda quadrada). Para correntes de forma arbitrria devemos utilizar, em princpio, as voltagens e correntes reais. Esta condio e menos restritiva que a primeira. Como veremos na seo 7, se o circuito linear ento vale o princpio de superposio e ainda podemos aplicar o formalismo de impedncia complexa, mas combinado com sries de Fourier para expressar as voltagens como soma de funes senoidais. Do mesmo modo que uma combinao de resistores em srie e em paralelo pode ser representada por um nico resistor equivalente, um circuito contendo uma combinao arbitrria de resistores, indutores e capacitores pode ser representado por uma impedncia total Z.

eixo imaginrio

Z |Z| X

eixo real

Figura 3.1. Representao da impedncia no plano complexo. Z um ponto neste plano.

10

Circuitos de Corrente Alternada

Em geral podemos escrever Z na forma cartesiana ou polar (Figura 3.1): Z = + jX =|Z| e j: Impedncia complexa, [3.3]

onde = Re{Z} a parte real da impedncia complexa; X = Im{Z}, a parte imaginria de Z chamada Reatncia; |Z| o mdulo de Z (as vezes tambm chamada de impedncia) e a fase de Z. Para passar da forma cartesiana polar podemos utilizar as relaes | Z| = 2 + X 2 e = tan 1 ( X / ) . [3.5] [3.4]

Podemos ver que coincide com a diferena de fase entre a voltagem sobre Z e a corrente, sejam estas complexas (como na eq. 3.1) ou reais (como na eq. 2.2). Se X > 0 dizemos que a reatncia do tipo indutiva e se X < 0 dizemos que a reatncia capacitiva. Mostraremos na seo 5 que em circuitos passivos sempre 0. A parte real da impedncia pode ser uma funo da frequncia (veja Exerccio 4.1). A recproca da impedncia complexa chamada de admitncia complexa e denotada com o smbolo Y: Y = 1/Z = G + jB : Admitncia complexa [3.6]

A parte imaginria, B, chamada Susceptncia, e a parte real, G, chamada Condutncia.4 Esta ltima deve ser positiva (ou nula) em circuitos passivos. A impedncia equivalente de duas associadas em srie simplesmente a soma das impedncias. A admitncia equivalente de duas impedncias associadas em paralelo a soma das admitncias (Tabela 3-I). A demonstrao destas afirmaes idntica ao caso de resistores e corrente contnua e vamos deixa-la como exerccio para o aluno. comum abreviar a impedncia de uma associao em paralelo como Z1 // Z2 = Z1Z2 /(Z1 + Z2). s vezes podemos at achar abreviaes como R // C, L // C, R // L. O significado obvio. [3.7]

4

A unidade de admitncia, condutncia e susceptncia o Siemen (1 S = 1 -1). Antigamente se utilizava o mho, que no um mili-ho mas apenas a palavra ohm escrita ao contrrio.

Impedncia complexa

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Associao em srie Z = Z1 + Z2

Associao em paralelo 1/Z = 1/Z1 + 1/Z2 (Y = Y1 + Y2)

Z1Z1 Z2

Z2Tabela 3-I. Associao de impedncias complexas em srie e em paralelo.

3.1

Equivalente Thvenin

O teorema de Thvenin que o aluno j conhece de circuitos de corrente contnua vlido tambm para corrente alternada e formalmente idntico ao caso de circuitos de corrente contnua mas com impedncias, voltagens e correntes complexas: todo circuito contendo geradores e uma combinao de impedncias pode ser visto, entre dois pontos quaisquer A e B, como uma caixa preta ou equivalente Thvenin, contendo um gerador eq e uma impedncia em srie Zeq, onde eq = VAB a voltagem de circuito aberto (isto , sem ligar em nenhum instrumento de medio) e Zeq = VAB /Icc, onde Icc a corrente de curto-circuito. Como no caso de corrente contnua, Zeq pode ser obtida tambm como a impedncia que teramos entre A e B fazendo um curto-circuito em todos os geradores do circuito.a)Z1

b) AZ2

Z1

c) AZ2 Zeq

A

(t)

(t)

Icc

eq(t)B

B

B

Figura 3.2. Um circuito de corrente alternada (a) e seu equivalente Thvenin (c). O circuito intermedirio (b) serve para calcular a corrente de curto-circuito Icc.

A Figura 3.2 mostra um exemplo de circuito e seu equivalente Thvenin entre os pontos A e B. Neste exemplo, a voltagem entre os pontos A e B vale V AB = eq = e a impedncia equivalente Zeq = Z2 // Z1 = Z1 Z2 /( Z1 + Z2). A impedncia equivalente tambm pode ser calculada achando primeiro a corrente de curto-circuito (Figura 3.2-b), Z2 , Z1 + Z2

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Circuitos de Corrente Alternada

Icc = /Z1, e depois utilizando Zeq = VAB /Icc.

3.2

Impedncia interna de geradores e instrumentos de medio

No laboratrio devemos sempre ter presente que os geradores e instrumentos de medio tm impedncia interna. Em todos os casos, antes de utilizar um instrumento pela primeira vez, o aluno deve ler o Manual do usurio do instrumento e entender as especificaes do fabricante, ou consultar o professor. Nem sempre o professor sabe o significado de todas as especificaes tcnicas de um instrumento (principalmente dos sofisticados instrumentos modernos), mas isto no deve desanimar o aluno; se o professor no sabe algum detalhe, provavelmente um detalhe no muito relevante. Os geradores de alta potncia (incluindo a linha de alimentao) tm baixa impedncia interna (|Zint| < 5 ) e em geral complexa. Os geradores de funes para instrumentao tem uma impedncia interna geralmente de 50 , real e independente da frequncia (variao dentro de 1 em toda a faixa de frequncias de operao do instrumento, tipicamente). Em medidas de voltagem sempre necessrio que o mdulo da impedncia interna |Zint| do instrumento de medio seja muito maior que o da impedncia do circuito. Caso contrrio dizemos que o instrumento carrega o circuito e a voltagem medida no reflete fielmente a voltagem no circuito sem estar ligado ao instrumento. Se ligamos o instrumento a um elemento de impedncia Z, pode parecer a primeira vista que a condio para no carregar o circuito |Zint| >> |Z|. Isto porm no correto em geral. Entre os pontos em que ligamos o instrumento, todo circuito tem um equivalente Thvenin e a impedncia que ver o instrumento ser Zeq, no Z. Portanto, a condio para que o instrumento no carregue o circuito que |Zint| >> |Zeq| . O aluno deve ter muito cuidado pois neste ponto os circuitos de corrente alternada so diferentes dos circuitos de corrente contnua. Por exemplo, se medimos voltagens com um osciloscpio de Zint = 1 M sobre um resistor de 47 em um circuito de corrente contnua no precisamos preocuparmos com o resto do circuito, j que o resto est em paralelo com este resistor e a resistncia equivalente ser sempre menor ou igual que os 47 . Por outro lado, um indutor L = 50 mH a uma frequncia = 950 rad/s, tem uma impedncia de mdulo |Z| = 47.5 , mas se este estiver em paralelo com um capacitor C = 22 F, ento |Zeq| = 655 k que comparvel ao mdulo |Zint| do osciloscpio. Em circuitos de corrente alternada no verdade que a impedncia de dois elementos em paralelo seja menor, em mdulo, que a de cada elemento. Isto verdade, porm, se um dos elementos um resistor (vide Exerccio 3.2). Finalmente, sobre este assunto, o fato de ser |Zint| >> |Zeq| garante apenas que a amplitude da voltagem ser medida fielmente, mas no necessariamente a fase.

3.2.1 Impedncia interna de voltmetrosMuitos voltmetros de c.a. de agulha so na realidade galvanmetros de DArsonval em srie com uma resistncia (para transforma-lo em voltmetro) e um retificador (para transformar c.a. em corrente contnua); a impedncia depende da escala e se especifica em k/V (por exemplo, 10 k/V significa que na escala de 3 volts de fundo de escala a impedncia interna de 30 k). Estes instrumentos so utilizados para frequncias baixas (< 1 kHz) pois a impedncia interna depende muito da frequncia. A leitura diretamente em volts eficazes mas precisa somente se a forma de onda for senoidal. Outro tipo de instrumento bastante utilizado o voltmetro eletrnico de preciso, que pode ter impedncia interna

Impedncia complexa

13

de 100 M e pode medir volts eficazes de formas de onda arbitrrias (em alguns modelos), mas ainda de baixa frequncia.

3.2.2 Impedncia interna de osciloscpiosO instrumento mais utilizado para medir voltagens em circuitos de c.a. o osciloscpio. 5 Os osciloscpios tm uma impedncia interna geralmente Rint = 1 M e uma capacitncia parasita em paralelo Cint de uns 20 pF (em osciloscpios de alta frequncia, > 100 MHz, os valores tpicos so Rint = 50 e Cint = 7 pF). Para poder medir sinais alternos pequenos com um nvel de corrente contnua grande, os osciloscpios possuem um recurso que bloquear o nvel contnuo. Este recurso chama-se acoplamento ac (ac = alternate current) e consiste em intercalar, na entrada, um capacitor em srie Cs relativamente grande (10 a 15 nF). O acoplamento ac no deve ser utilizado em medidas precisas. O modo normal de operao de um osciloscpio com acoplamento dc.6 Vamos comentar sobre alguns cuidados que devem ser observados no modo normal.

ac dc

Cs

Osciloscpio

Rint

Cint

Figura 3.3. Impedncia interna de um osciloscpio. O osciloscpio mede sempre a voltagem que aparece sobre Rint. No modo de acoplamento dc o sinal a medir aplicado diretamente sobre Rint, mas h sempre um capacitor em paralelo Cint. No acoplamento ac o sinal a medir passa primeiro por um capacitor em srie, Cs, que bloqueia frequncias baixas (< 10 Hz).

No modo de acoplamento dc (Figura 3.3) a impedncia interna depende da frequncia: Zint = Rint // Cint = Rint /(1 + jRintCint) e cai em valor absoluto de 1 M ( = 0) a menos de 500 k para frequncias > 7.96 kHz (isto para um osciloscpio com Rint = 1 M e Cint = 20 pF). Alm disso, para medir precisamos ligar o osciloscpio ao circuito teste atravs de algum cabo. Este cabo faz parte do instrumento e devemos incluir a sua capacitncia Cc.7 A capacitncia do cabo ligado entrada do osciloscpio est em paralelo com Cint (Figura 3.3) e geralmente maior (a capacitncia do cabo coaxial normalmente utilizado em instrumentao, o RG-58U, de uns 100 pF por cada metro de cabo). A impedncia interna do instrumento (osciloscpio + cabo) Zint = Rint //(Cc + Cint). Com 1 metro de cabo coaxial, esta impedncia interna do osciloscpio cai de 1 M a frequncia zero para menos de 500 k a frequncias acima de 1 kHz, aproximadamente.5

Para uma introduo ao princpios http://www.if.ufrj.br/teaching/oscilo/intro.html .

de

funcionamento

do

osciloscpio

visite

o

site

6

dc abreviatura de direct current. Em portugus utilizado cc (corrente contnua), mas se confunde com curtocircuito e complexo conjugado. Nestas notas utilizaremos as abreviaturas ac e dc.

7

Em princpio, devemos considerar tambm a indutncia do cabo Lc; mas na imensa maioria dos casos esta indutncia to pequena (por exemplo, uns 250 nH por metro para o cabo RG-58U) que no afeta medidas para frequncias de at 10 MHz.

14

Circuitos de Corrente Alternada

3.2.3 Osciloscpio com ponta de provaA presena de capacitncia na impedncia interna do instrumento faz que a voltagem medida dependa da frequncia. Portanto, a forma de onda mostrada na tela do osciloscpio deformada (no caso de um sinal no senoidal) e imprecisa (ou seja, de amplitude diferente daquela que teramos se o circuito no estivesse ligado ao osciloscpio). Se utiliza ento uma ponta de prova que consiste de um cabo de 1 a 2 metros com um resistor de preciso R e um capacitor varivel C em paralelo com R. Ajustando o valor de C podemos conseguir que a forma de onda no osciloscpio seja pouco distorcida. Os osciloscpios srios tm um gerador interno que uma onda quadrada de 1 kHz de alta preciso. Para o ajuste, ligamos a ponta de prova na sada do sinal de calibrao e variamos C at que a forma de onda observada seja quadrada (Figura 3.2-c). Uma ponta de prova ajustada deste modo chamada uma ponta compensada. Se a ponta de prova no est devidamente ajustada, a onda quadrada aparecer deformada, como nos traos da Figura 3.2-a e -b. O sinal na entrada do osciloscpio idntico ao sinal visto pela ponta de prova compensada e atenuado por um fator 1 + R/Rint que no depende da frequncia (Exerccio 3.3). Porm, isto no significa que o sinal visto pela ponta seja igual ao que queremos medir (ou seja, o sinal que temos no circuito sem estar ligado ao osciloscpio). Para isto necessrio sempre que o mdulo da impedncia do instrumento incluindo o cabo ou a ponta de prova (Zint = R//C + Rint//(Cc + Cint)) seja muito maior que a do circuito (Exerccio 3.4).C Cc 1M Osciloscpio 20 pF(a) (b)

R

(c)

Figura 3.4. Ponta de prova atenuadora ligada a um osciloscpio. Na prtica a capacitncia parasita do osciloscpio varia de um instrumento a outro. C ento um capacitor varivel e se ajusta para dar um fator de atenuao independente da frequncia. Este procedimento se chama compensao.

A ponta de prova tambm facilita medidas em baixa frequncia com acoplamento ac como, por exemplo, quando queremos medir o ripple de uma fonte de corrente contnua. Se Rint = 1 M, uma ponta de prova de 10 tem um resistor R = 9 M. No acoplamento de entrada ac, os sinais lentos so fortemente deformados. A frequncia de corte (seo 6) sem ponta de prova de 10 Hz tipicamente, mas com a ponta de prova de 10 a frequncia de corte cai para 1 Hz. Os osciloscpios podem medir at frequncias especificadas pela largura de banda dele, geralmente escrita no painel. Valores tpicos para osciloscpios de 1 M so 10 ou 20 MHz, podendo chegar a 100 MHz nos modelos mais caros. Osciloscpios de 50 podem chegar at uns 50 GHz. Uma pergunta natural que muitos alunos se fazem a seguinte: se o osciloscpio do laboratrio de ensino (que geralmente tm 1 M // 20 pF) atenua sinais de frequncias acima de uns 8 kHz, como que a largura de banda do osciloscpio muito maior? A resposta que a largura de banda determinada pelo amplificador da entrada vertical, que vem logo aps a impedncia de entrada. Qualquer sinal eltrico que aparecer na entrada do amplificador vertical ser amplificado sem deformao at a frequncia especificada pela largura de banda. Note bem que isto no significa que esse sinal de entrada seja igual ao que h no circuito que queremos medir. responsabilidade do operador garantir que isto acontea: para isto ele deve se assegurar de que a impedncia equivalente do circuito teste vista desde a ponta do cabo (ou da ponta de prova) seja |Zeq| 1 M).Exerccio 3.1: Mostre que a impedncia equivalente de um resistor R em paralelo com um indutor L Z = ( R 2 L2 + jLR 2 ) / ( R 2 + 2 L2 ) . Este um exemplo onde depende de . Exerccio 3.2: A resistncia equivalente de dois resistores em paralelo sempre menor que cada uma das resistncias: R1//R2 < R1 e R1//R2 < R2. No caso de impedncias complexas o mdulo de Z1//Z2 no sempre menor que o mdulo de Z1 ou de Z2. Por exemplo, um indutor e um capacitor em paralelo tem uma impedncia cujo mdulo, L/|2LC 1|, pode ser muito maior que L ou maior que 1/C, ou maior que ambas, dependendo do valor . No obstante isso, se uma das impedncias um resistor R, ento mostre que |R//Z| min{R, |Z|}, onde o igual acontece s se uma das impedncias nula. (Nota: na demonstrao necessrio usar o fato que a parte real de qualquer impedncia sempre 0. Este fato ser provado na seo 3.3). Exerccio 3.3: (resolvido) Compensao da ponta de prova de osciloscpios: A impedncia de entrada de um osciloscpio de 1 M e tm uma capacitncia parasita de 20 pF. Uma ponta de prova que atenua por um fator 10 vezes ligado a este osciloscpio atravs de um cabo coaxial de capacitncia Cc = 250 pF. O circuito da ponta de prova mostrado na Figura 3.4. Quanto devem ser R e C para que atenue por um fator 10 independentemente da frequncia? Soluo: Suponhamos que queremos medir uma voltagem a uma frequncia e amplitude Ve. A voltagem medida pelo osciloscpio a voltagem Vo sobre a sua resistncia interna Ro = 1 M, e queremos que seja Vo = Ve /10 independentemente de . Para simplificar o problema notemos que a capacitncia do cabo est em paralelo com a capacitncia interna do osciloscpio de modo que podemos esquematizar o circuito como na Figura 3.5, onde substitumos o cabo e o capacitor parasita do osciloscpio por um nico capacitor de capacitncia Co = Cc + 20 pF = 270 pF.

C

Z1 Vo 1M 20 pF + Cc

Ve

R

=

Ve

Z2

Vo

Figura 3.5. Esquema simplificado do circuito da Figura 3.4. O problema agora o de um divisor de tenso, ou seja,Vo = Z2Ve / ( Z1 + Z2 ) .

com impedncias Z1 e Z2 dadas por

Z1 =

R / jC R = R + 1 / jC 1 + jRC Ro / jCo Ro = Z2 = Ro + 1 / jCo 1 + jRoCo

Em geral, o fator de atenuao deste divisor,

Z1 + Z2 Z R(1 + jRC ) , = 1+ 1 = 1+ Z2 Z2 Ro (1 + jRoCo )depende de ; mas se RC = RoCo ento esse fator no depende de e vale

( Z1 + Z2 ) / Z2 = 1 + R / Ro = 10 .Substituindo pelo valor de Ro obtemos R = 9 M. O valor de C que satisfaz a condio RC = RoCo ento C = (1 M)(270 pF) /(9 M) = 30 pF.

16

Circuitos de Corrente Alternada

Exerccio 3.4 - Influncia da impedncia interna do osciloscpio em medidas de voltagem: Com ilustrado na Figura 3.3, a impedncia de entrada de um osciloscpio formada por um resistor R0 de 1 M em paralelo com um capacitor C0 de 20 pF. Este osciloscpio utilizado para medir a voltagem de sada de um gerador com impedncia interna de Zint = 50 (real e independente da frequncia) atravs de um cabo coaxial RG-58 (100 pF/m) de 30 cm. Para baixas frequncias o osciloscpio mede corretamente a fem, j que R0 >> Zint (se diz que o instrumento de medio no carrega o gerador), porm, a medida que aumentamos a frequncia acima de uns poucos kHz a impedncia interna do osciloscpio comea a cair devido a C0 (1/C0 = R0 para f = 7.96 kHz). A preciso de um osciloscpio tipicamente de 1%. At que frequncia a voltagem medida no osciloscpio igual fem do gerador dentro de um erro de 1 %? Quanto se (no lugar do cabo de 30 cm) utilizarmos um ponta de prova (devidamente compensada) de 10? [Resposta: 80 kHz sem, 800 kHz com ponta de prova].

3.3

Potncia mdiaA potncia instantnea dissipada em um circuito eltrico sempre dada por Pinst ( t ) = v( t )i( t ) [3.8]

e deve ser calculada utilizando as correntes e voltagens reais. No caso de corrente alternada a potncia instantnea varia periodicamente com o tempo. A potncia mdia dissipada em um perodo T = 2/

P=Utilizando os valores eficazes

1 T T 0

I

v( t )i( t )dt = 1 V0 I0 cos . 2

[3.9]

Vef = V0 Ief = I0 obtemos

2 e [3.10] 2,

2 2 P = Vef Ief cos = I ef = GVef .

[3.11]

Na eq. 3.11 escrevemos a potncia mdia dissipada em uma impedncia Z de trs formas equivalentes e que destacam similaridades e discrepncias em relao as frmulas anlogas dos circuitos de corrente contnua: A primeira forma na eq. 3.11 se parece com a expresso P = VI do caso contnuo, exceto pelo importante fator cos, tambm chamado fator de potncia. A segunda forma na eq. 3.11 idntica potncia dissipada em um resistor P = RI2 no caso contnuo e mostra que a parte real de Z responsvel pela dissipao de potncia. A terceira forma na eq. 3.11 mostra uma assimetria em relao ao caso de corrente contnua, onde P = 2 2 2 V /R. No caso de c.a. a potncia GVef (e no Vef / ). A eq. 3.11 nos leva a concluses gerais ainda mais importantes: Dado que um elemento passivo s pode dissipar potncia (i.e., no pode ser P < 0, em cujo caso estaria gerando energia), as duas ltimas formas da eq. 3.11 nos mostram que sempre deve ser 0 e G 0. [3.12]

Ou seja, a parte real da impedncia e a parte real da admitncia de um circuito passivo devem ser sempre positivas (ou nulas). Notemos que indutores e capacitores ideais no dissipam potncia (nos dois casos o fator de potncia nulo). A potncia dissipada sempre nos resistores e pode ser calculada como a soma dos valores de

Impedncia complexa

17

2 RIef mas onde Ief a corrente que passa por cada resistor R. Na prtica, tanto capacitores como indutores

possuem resistncia interna e portanto dissipam potncia. interessante notar que a mxima transferncia de potncia de um gerador de c.a. para uma impedncia de carga ocorre quando a impedncia interna do gerador coincide com o complexo conjugado da impedncia de carga. Isto o anlogo do Teorema de mxima transferncia de potncia da teoria de circuitos de corrente contnua e est demonstrado no Exerccio 3.5.Exerccio 3.5 (resolvido): Um gerador de c.a. possui uma impedncia interna z e alimenta um circuito com impedncia total Z. Mostre que a potncia dissipada em Z mxima se Z = z* (* indica o complexo conjugado) e que neste caso metade da potncia total gerada dissipada no gerador. Este resultado o anlogo do teorema de mxima transferncia de potncia de circuitos de corrente contnua. Soluo: O gerador produz uma f.e.m. mas devido a queda de tenso em z, a tenso aplicada sobre Z V = zI (Figura 3.6).

z

V

I

Z

Figura 3.6. Gerador com impedncia interna alimentando um circuito externo de impedncia Z. A corrente no circuito I = /(z + Z). Portanto, se escrevermos z = r + jx e Z = + jX, a potncia dissipada em Z ser2 P = Ief = 2 ef

| z + Z |2

=

2 ef

( r + )2 + ( x + X ) 2

.

Esta expresso mxima para x = -X e r = , ou seja Z = z* (note que no podemos fazer r = - pois a parte real da impedncia de um elemento passivo sempre positiva ou nula). Neste caso I = /2r, P = Pmax = 2 / 4r , e a potncia total fornecida pelo ef gerador vale2 Ptotal = ef I ef = ef / 2r = 2 Pmax .

Portanto, na condio de mxima transferncia de potncia, 50% da potncia total dissipada na impedncia interna do gerador e 50% no circuito externo.

Filtros

19

4.

Filtros

Os filtros eltricos so muito utilizados em instalaes eltricas e equipamentos eletrnicos para rejeitar rudo e para proteger, por exemplo, contra transientes induzidos pela queda de raios durante as tormentas. De modo geral um filtro pode ser representado como um circuito com dois terminais de entrada e dois de sada (Figura 4.1). Ve

Vs

Figura 4.1. Representao geral de um filtro. Na porta de entrada aplicamos uma voltagem Ve e na sada obtemos uma voltagem Vs que depende da frequncia.

4.1

Funo de transferncia e Transmitncia

Todo filtro caracterizado por uma funo de transferncia (outros nomes empregados so resposta espectral e resposta em frequncia) H() definida a seguir: Suponha que ligamos um gerador de frequncia varivel nos terminais de entrada e medimos a amplitude das voltagens de entrada (|Ve|) e de sada (|Vs|) e a fase relativa () entre Vs e Ve como funo da frequncia do gerador (). A funo de transferncia ento

H ( ) =

Vs ( ) Vs ( ) j ( ) . e = Ve ( ) Ve ( )

[4.1]

A funo de transferncia pode ser definida para frequncia zero como o quociente entre as voltagens de corrente contnua. Neste caso um indutor atua como um curto-circuito e um capacitor como um circuito aberto. Como consequncia, H(0) real e a fase (0) s pode ser 0 (H(0) positivo) ou (H(0) negativo). A importncia do estudo das propriedades gerais de filtros que todo circuito pode ser pensado como um filtro no qual a voltagem de entrada a do gerador () e a de sada a voltagem sobre um elemento do circuito. Se o gerador no senoidal ainda podemos escrever (t) como uma superposio de funes harmnicas atravs da decomposio em srie de Fourier (ou atravs da transformada de Fourier no caso pulsos e sinais no peridicos). A voltagem de sada se obtm multiplicando cada componente de Fourier pela funo de transferncia calculada na frequncia correspondente e somando sobre todas frequncias. Na seo 7 mostraremos como isto feito. Na maioria das situaes de interesse prtico estamos mais interessados na amplitude e menos na fase. O quadrado do mdulo de H, T ( ) = H ( )2

[4.2]

denominada Transmitncia ou Resposta em potncia. Geralmente a transmitncia expressa em decibis T(dB) = 10 log[ T() ]. Por exemplo, para o filtro RC passa-baixos, (Figura 4.2) [4.3]

20

Circuitos de Corrente Alternada

e

1 jC 1 = R + 1 jC 1 + jRC 1 T ( ) = 1 + ( RC )2 H ( ) =

[4.4]

Este filtro possui transmitncia mxima Tmax = 1 para = 0 e cai para zero como 1/(RC)2 na medida que . Para = 0 1/RC a transmitncia cai metade do mximo. Este comportamento mais fcil de se visualizar em um diagrama log-log (tambm chamado diagrama de Bode8) como o da direita na Figura 4.2. Para > 0 a transmitncia cai a uma taxa de 20 dB/dec (decibis por dcada) (10 log[1/(RC)2] = -20 log() + const). 0 chamada frequncia de corte ou de cotovelo e a faixa de frequncias entre 0 e 0 chamada largura de banda do filtro. Note que no diagrama de Bode a dependncia com 1/2 em alta frequncia muito mais evidente do que no grfico em escala linear.

1.00

Frequencia de corte: 0 = 1/RC0.75

R

T()

0.50

Ve

C

Vs

% G%

Inclinao: -20 dB/dec)LOWUR 5& SDVVDEDL[RV

'LDJUDPD GH %RGH

0.25

0.00 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

RC

ORJ

#

Figura 4.2. Filtro RC passa-baixos e Transmitncia como funo da frequncia em escala linear (esquerda) e logartmica (direita).

A transmitncia de outros tipos de filtros, como o passa-altos e passa-faixa est esquematizada na Figura 4.3. A banda passante de um filtro passa-faixa definida como o intervalo de frequncias onde a transmitncia em dB se mantm acima de 3 dB (ou seja, acima de 50 % em uma escala linear) em relao ao mximo.

8

Em memria de Hendrick Bode (1905-1982) pesquisador da Bell Laboratories (USA) e primeiro a utilizar estes diagramas nos anos 1930.

Filtros

21

Tmax

3 dB

3 dB

3 dB

T, dB

f

log( f0)

log( f0)

log( f0)

log(f )

log(f )

log(f )

Figura 4.3. Transmitncia de filtros passa-baixos (esquerda) passa-altos (centro) e passa-faixa (direita). O passa-faixa caracterizado pela frequncia central (f0), a largura de banda (f) da faixa passante e as taxas (em dB/dec) de subida (roll-on) e de descida (roll-off). Exerccio 4.1 - Filtro passa-altos: Mostre que a funo de transferncia e a transmitncia do filtro da Figura 4.4 esto dadas por H() = 1/(1 j/RC) e T() = 1/[1 + 1/(RC)2]. Este um filtro RC passa-altos com frequncia de corte 0 = 1/RC. A transmitncia como funo de est representada na Figura 4.4 em escala linear e na forma de um diagrama de Bode. Complete a informao levantando um grfico da fase de H como funo de log(RC).

1.00

G%

0.75

)UHTXrQFLD GH FRUWH

T()

0

RC

T(), dB

C0.50

Ve

R

Vs

,QFOLQDomR

G%GpFDGD

0.25

Filtro RC passa-altos

0.00

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

RC

log(RC)

Figura 4.4. Filtro RC passa-altos e sua Transmitncia em escala linear (esquerda) e diagrama de Bode (direita). A transmitncia -3 dB (em relao a Tmax = 0 dB) para = 0.

Circuitos ressonantes

23

5.

Circuitos ressonantes

Circuitos contendo indutores e capacitores exibem o fenmeno de ressonncia. Os circuitos ressonantes mais simples contm apenas um indutor e um capacitor, alm de resistores. A ressonncia diferente se o indutor e o capacitor esto ligados em srie ou em paralelo. A ressonncia coberta em todos os livros texto e at na Internet9. Vamos rever as propriedades gerais destes circuitos utilizando o formalismo de impedncia complexa.

5.1

Ressonncia srieA impedncia complexa do circuito ressonante srie vista pelo gerador (Figura 5.1) Z = R + j L

1 C

[5.1]

e a corrente I =V / Z = onde V0 a amplitude da voltagem do gerador e tan = L 1 / C . R [5.3] V0 e j ( t ) R 2 + ( L 1 / C )2 , [5.2]

C

L

R = 10 (Q = 10)

0 = 150 rad/s 0L = 100

P()

V(t)

I(t)

R

= R/L

R = 20 (Q = 5) R = 100 (Q = 1) R = 200 (Q = 0.5)

(rad/s)Figura 5.1. Circuito ressonante srie e potncia transferida por um gerador de Vef = 1 V para vrios valores de R.

Para ver uma animao grfica do circuito RLC srie, brincando com os parmetros do circuito, visite o stio da Internet http://jersey.uoregon.edu/vlab/ntnujava/rlc/rlc.html.

9

24

Circuitos de Corrente Alternada

A potncia dissipada no resistor 2 P = I ef Vef cos = RIef = 1 2

RV022

R 2 + 1L 1 C6

.

[5.4]

A condio de ressonncia = 0 = 1 / LC . Na ressonncia srie temos que: a impedncia mnima (Z(0) = R), a reatncia nula (L em srie com C age como um curto-circuito) (X(0) = 0), a corrente mxima (I(0) = V0/R) e [5.5]

a potncia transferida ao circuito mxima. A largura de banda da ressonncia definida como o intervalo de frequncia dentro do qual a potncia P() maior ou igual que a metade do valor mximo. Em radianos/s = R/L. [5.6]

O fator de mrito, Q, do circuito ressonante srie caracteriza a acuidade da curva de ressonncia (Figura 5.1): Q = 0L/R = 0 / . [5.7]

5.2

Ressonncia paraleloA impedncia do circuito ressonante paralelo (ou circuito tanque) visto pelo gerador (Figura 5.2) Z = R+ LC L = R+ j jL + 1 jC 1 2 LC [5.8]

e a corrente I =V / Z =2

V0e j ( t ) R + L 41 LC92 2

,

[5.9]

onde a fase da impedncia Z, dada por tan = L R41 2 LC9 . [5.10]

Circuitos ressonantes

25

1.0 0.9

Q = 100 Q = 10 Q=5

C P() / P(0)

0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0 1

L V(t) I(t) R

Q=1 Q = 0.52 3 4

/0Figura 5.2. Circuito tanque e potncia normalizada para vrios valores de Q.

A potncia dissipada no resistor 2 P = I ef Vef cos = RIef = 1 2 2

RV022 2

.

[5.11]

R + L 41 LC9

A condio de ressonncia = 0 = 1 / LC . Na ressonncia paralelo temos que: a impedncia mxima (|Z(0)| = ), a reatncia infinita (age como um circuito aberto) (X(0) = ), a corrente mnima (I(0) = 0) e a potncia transferida ao circuito mnima (P(0) = 0). [5.12]

Para = 0 ou a potncia dissipada no resistor mxima (e igual a P( 0 ) = 1 V02 / R ). Se = 0 2 toda a corrente passa pelo indutor e, para , passa pelo capacitor. A largura de banda da ressonncia definida como o intervalo de frequncia dentro do qual a potncia dissipada menor ou igual que a metade do valor mximo. Em radianos/s tanque = 1/RC. [5.13]

O fator de mrito, Qtanque, que caracteriza a acuidade da curva de ressonncia do circuito tanque (Figura 5.2) dado por Qtanque = 0 RC = 0 /tanque . Note que Qtanque = 1/Qsrie (Qsrie o Q dado pela 5.7). [5.14]

26

Circuitos de Corrente Alternada

5.3

Filtros ressonantes

Os circuitos ressonantes so utilizados principalmente como filtros. Filtros ressonantes passa-banda so utilizados, por exemplo, em circuitos de sintonia de rdio e televiso para selecionar uma estao transmissora e rejeitar as frequncias dos outros canais vizinhos. Filtros rejeita-banda (tambm chamados notch filters) so utilizados em instrumentao cientfica para rejeitar frequncias indesejveis como, por exemplo, a frequncia de linha (que sempre se acopla aos circuitos atravs dos cabos). Um exemplo de filtro rejeita-banda o circuito tanque (Figura 5.2) com sada no resistor. Para entender rapidamente o que os filtros ressonantes fazem, til imaginar que, na frequncia de ressonncia, o capacitor e indutor em srie podem ser substitudos por um fio, ou seja, um curto-circuito, e o capacitor e indutor em paralelo podem ser substitudos por um circuito aberto.

Transmitncia, dB

a)

Q = 0.1

0.5

C

L1

R100

5 10

/oQ=5 1 0.5

20 10

b)

Transmitncia, dB

0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 0.1 1

L

R

RC (

-20

dB /d

ec)

C RL 0 (-4

C

) ec /d dB10 100

/0Figura 5.3. Dois filtros ressonantes srie com as suas curvas de transmitncia. a) passa-banda; b) passabaixos. Note que o circuito b) um amplificador de voltagem se Q > 1.

A Figura 5.3 mostra dois filtros ressonantes srie com as suas respectivas curvas de transmitncia. Quando a sada no resistor (Figura 5.3a) temos um filtro passa-banda. Longe da ressonncia a transmitncia cai a 20 dB por dcada. Quando a sada (Figura 5.3b) no capacitor temos um filtro passabaixos. Este filtro rejeita melhor as alta frequncias do que o filtro RC passa-baixos. Para uma melhor comparao entre os filtros passa-baixos RLC e o RC, na linha tracejada de Figura 5.3b representamos

Circuitos ressonantes

27

tambm a transmitncia do um filtro RC com a mesma frequncia de corte. No filtro RLC a transmitncia cai com o logaritmo da frequncia a uma taxa de -40 dB/dec, enquanto que no RC a queda de -20 dB/dec. Note finalmente que no circuito ressonante srie, em um faixa estreita de frequncias em torno da ressonncia e dependendo do valor de Q, a amplitude da voltagem no capacitor ou no indutor pode ser maior que a de entrada. Isto ilustrado pelo pico de ressonncia que aparece na Figura 5.3b no caso Q = 5. Nesse pico a voltagem de sada maior que a de entrada. De fato, fcil mostrar que, na ressonncia, a voltagem no capacitor Q vezes maior que a de entrada. Pode parecer a primeira vista que h algo esquisito pois esse circuito passivo, no entanto apresenta ganho. No h nenhum princpio fsico violado, porm. Circuitos passivos podem ser amplificadores de voltagem, embora no de potncia. Na prtica, o comportamento de um filtro real se afasta do previsto no modelo com elementos de circuito ideais devido s indutncias, capacitncias e resistncias parasitas presentes nos elementos e circuitos de c.a. (seo 6)Exerccio 5.1: Mostre que a transmitncia do filtro ressonante RLC srie com sada no capacitor (Figura 5.3-b)

T ( ) =e que na ressonncia vale T(0) = Q2.

1 (RC )2 + (1 2 LC )2

Resistores, capacitores e indutores reais

29

6.

Resistores, capacitores e indutores reais

praticamente impossvel fabricar resistores, capacitores ou indutores ideais. Os resistores sempre tem uma reatncia que depende da frequncia devido capacitncia e indutncia parasitas, inerentes geometria. Por exemplo, se um resistor fabricado na forma de um arame enrolado, ele ter uma indutncia aprecivel. Um indutor tem uma resistncia srie devida resistividade do fio (e se tiver ncleo de ferro, ter uma resistncia adicional devido s perdas hmicas das correntes de Foucault) e uma capacitncia entre espiras adjacentes. Um capacitor tem uma resistncia srie devido resistividade dos metais das placas e uma resistncia paralelo devido condutividade dos dieltricos, etc.. Por outro lado, a resistncia depende intrinsecamente da frequncia devido a dois efeitos nos condutores; um que a prpria resistividade do material depende da frequncia e o outro o efeito pelicular comentado abaixo. Vemos ento que os elementos de um circuito sempre tem impedncia complexa, com partes real e imaginria que dependem da geometria e da frequncia. Para complicar ainda mais a nossa vida, existem tambm impedncias parasitas nos fios e conexes utilizados nos circuitos. Levar em considerao todos os efeitos teoricamente possvel se conhecemos exatamente as geometrias e as propriedades eltricas e magnticas dos materiais, mas formidavelmente complicado. mais vivel usar o bom senso e obter estimativas razoveis dos parmetros relevantes que podem influir em um dado circuito. Neste curso trabalharemos com frequncias de at 10 MHz. Vamos ento comentar apenas o comportamento tpico de resistores, indutores e capacitores na faixa de frequncias de 0 at 10 MHz.10 A Figura 6.1 mostra alguns circuitos equivalentes de capacitores e indutores utilizados geralmente para entender o comportamento destes elementos a baixa e alta frequncia. Devido s capacitncias e indutncias parasitas, os indutores e capacitores reais apresentam ressonncias, geralmente em altas frequncias (> 10 MHz).

(a)

(b)

(c)

(d)

rs L

cp

rs L rp C

C rs ls

Figura 6.1. Circuitos equivalentes de (a) indutor a baixa frequncia, (b) indutor a alta frequncia, (c) capacitor a baixa frequncia, e (d) capacitor a alta frequncia. Exerccio 6.1: Escreva a impedncia complexa para cada caso da Figura 6.1.

6.1

Resistores

Nas frequncias que nos interessam, a maioria dos resistores podem ser considerados ideais, exceto talvez alguns resistores de pequeno valor nominal, R, nas frequncias mais altas. Os resistores mais comuns para circuitos de baixa potncia (< 5 W) so feitos de filme de carbono depositado em forma helicoidal sobre um cilindro cermico (Figura 6.2). A corrente ento passa por um solenide de comprimento d e rea A = r2. Se N o nmero de voltas, a indutncia parasita , aproximadamente,10

Veja por exemplo, B.M. Oliver and J.M. Cage, Electronic Measurements and Instrumentation, Mc-Graw-Hill, New York, 1971.

30

Circuitos de Corrente Alternada

ls 0 N 2 A/d.

[6.1]

Para termos uma idia concreta, suponhamos d = 12 mm, 2r = 4.5 mm e N = 7 (valores tpicos para alguns resistores de W). A indutncia ser ento de 82 nH, que representa uma reatncia X = 5 a 10 MHz. Portanto, se R for pequeno (neste exemplo, menor que 100 , e, em geral, se R for comparvel ou menor que X), a indutncia deste tipo de resistor dever ser levada em considerao. O valor preciso de ls depende de N2, sendo que N varia muito entre resistores de diferentes valores de R e entre resistores de diferentes fabricantes.

2r

Filme de helicoidal de carbono depositado

Rd

lsTampa metlica

Figura 6.2. Resistor de filme de carbono. O circuito equivalente para alta frequncia um resistor ideal em srie com um indutor.

Alguns resistores de alta potncia (> 5 W) so feitos de arame metlico enrolado sobre uma cermica; estes so altamente indutivos e no devem ser utilizados em frequncias acima de 1 kHz. Se precisar de um resistor de baixo valor de R, baixa indutncia e alta potncia, voc mesmo pode fazer um a partir de arame. O truque para diminuir a indutncia dobrar o arame na metade do comprimento e enrolar o fio duplo sobre a cermica (tomando cuidado para que o arame no se toque). Deste modo, o campo magntico devido corrente nas espiras tem um sentido at a metade do arame e sentido oposto na segunda metade.

6.1.1 Efeito pelicularPara frequncias acima de algumas dezenas de kHz se observa que a resistncia dos fios metlicos aumenta com a frequncia devido a que quase toda a corrente passa apenas por uma camada fina perto da superfcie. Este fenmeno se conhece como efeito pelicular.11,12 A amplitude da densidade de corrente no interior dos condutores reais (resistividade no nula) cai exponencialmente a partir da superfcie. A distncia dentro do condutor para a qual densidade de corrente vale 1/e do valor na superfcie dada por 2 / , [6.2]

onde a permeabilidade magntica (para metais no magnticos = 0 = 4107 H/m) e a resistividade do metal a baixa frequncia.11 12

Veja por exemplo, The Feynman Lectures on Physics, op. cit., vol. 2, sect. 32-11. S. Ramo and J.R. Whinnery, Fields and Waves in Modern Radio, 2nd Ed., Wiley, New York, 1960.

Resistores, capacitores e indutores reais

31

f > / a 2

2aFigura 6.3. Efeito pelicular. A baixas frequncias (esquerda) a corrente passa por toda a seo transversal de um fio condutor, e a altas frequncias (direita) passa apenas por uma camada de espessura .

A resistncia de um fio de comprimento l e raio a pode ser estimada como R = l / S , onde S (a rea efetiva da seo por onde efetivamente passa a corrente) S = a2 a baixa frequncia ( f > / a 2 ). O efeito pelicular importante se > rs (mesmo considerando o efeito pelicular, que daria rs = 130 ). Apesar disto, em certos casos, principalmente em circuitos ressonantes, rs no poder ser ignorada, mesmo que a frequncia seja alta. A frequncias mais altas necessrio considerar a capacitncia parasita entre as espiras da bobina, cp, em paralelo com o indutor (Figura 6.1b). A relao entre a reatncia a uma dada frequncia de trabalho e a resistncia srie chama-se fator de mrito ou Q da bobina: QB = L/rs . [6.3]

Note que a fase da impedncia complexa de um indutor ideal = /2, enquanto que para um indutor real = tan-1QB. Indutores com ncleo de ferro possuem uma resistncia parasita em paralelo que representa as perdas por correntes de Foucault13 e por histerese. O efeito das correntes de Foucault depende pouco da frequncia mas depende muito do material, sendo mnima em materiais de gros sinterizados ou laminados. J o efeito de histerese diminui com a frequncia mas depende da corrente (e portanto um efeito no linear).

6.2.1 Indutncia interna de fios e indutncias parasitas em circuitosPara frequncias acima de 1 MHz frequentemente necessrio levar em considerao a indutncia parasita dos circuitos. Todo fio de seo circular possui uma indutncia interna, L0 que a baixa frequncia vale 50 nH/m vezes o comprimento do fio, independentemente do seu dimetro, e diminui com a frequncia devido ao efeito pelicular. A indutncia interna de um objeto condutor obtida utilizando a igualdade para a energia do campo magntico1 2

L0i 2 =

1 2

I

H 2 dV ,

onde a integral sobre o volume interno do objeto e H o campo magntico produzido pela corrente i. No caso de um fio de seo circular, com a corrente uniformemente distribuda no seu volume e comprimento l, o resultado L0 = l / 8 .

Se o fio for de metal magntico (ferro, ao, etc) ento a indutncia interna poder ser grande a baixas frequncias, devido ao alto valor de . A malha de todo circuito em si mesma uma espira e portanto possui uma autoindutncia. Esta indutncia pode ser estimada assumindo uma espira circular14: L L0 + r ln(8r / e2 a ) , vlida se o quociente entre o raio da espira e o raio do fio r/a >> 1. Assim, por exemplo, uma espira sem ncleo ( = 0), de dimetro 2r = 10 cm e feita de um fio de dimetro 2a = 0.5 mm tem uma indutncia de uns 0.35 H.

13 14

Na literatura inglesa as correntes de Foucault so denominadas eddy currents. Veja por exemplo a seo. 6-18 do livro de Ramo e Whinnery (ref. 12).

Resistores, capacitores e indutores reais

33

6.3

Capacitores

Os capacitores so confeccionados geralmente com filmes de alumnio separados por filmes dieltricos (isolantes), e enrolados para fazer um pacote compacto. A resistividade do Al e a resistncias das soldas (entre os filmes de Al e os fios de cobre que fazem os contatos externos) contribuem resistncia srie, rs (Figura 6.1d). Quanto mais finas so as lminas de Al, maior a resistncia srie. Valores tpicos de rs esto entre 0.1 e 1 . A resistncia srie mais importante a altas frequncias, j que a reatncia XC = 1/C pode ser muito pequena. Para baixas frequncias a resistncia srie tem pouca ou nenhuma importncia, mas agora a resistncia paralelo, rp, entra no jogo (Figura 6.1c). O filme dieltrico geralmente um plstico, mas pode ser um papel impregnado em leo (capacitores para alta tenso) ou em soluo de eletrlitos (capacitores de alto valor C, mas com polaridade). Os capacitores reais apresentam fugas de corrente pela superfcie do isolante (no caso de isolantes plsticos) ou pelo volume (no caso de papel impregnado). A fuga total pode ser caracterizada por uma condutncia g = 1/rp ou pela assim chamada tangente de perdas a uma dada frequncia (geralmente 60 Hz): tan = gXC = 1/rpC. [6.4]

Note que a fase da impedncia complexa de um capacitor ideal = -/2, enquanto que para um capacitor real = - tan-1(1/tan) = -/2 + . Valores tpicos so rp > 100 M e < 10-3 rad @ 60 Hz. Outro tipo de capacitor muito utilizado pelo seu baixo custo o capacitor cermico, feitos de uma cermica de alta constante dieltrica na forma de disco. Estes capacitores so pouco indutivos mas a alta constante dieltrica devida a que o material est perto de uma transio fase, pelo que a capacitncia varia muito com a temperatura. So utilizados em alta frequncia e alta tenso, mas no em circuitos de preciso. A constante dieltrica elevada implica tambm em alta condutividade, que resulta em tangentes de perdas altas a baixas frequncias. Finalmente, os capacitores apresentam sempre uma indutncia parasita. Esta preocupante apenas nos circuitos de alta frequncia ou nos circuitos de pulsos de curta durao. A indutncia de um capacitor de placas paralelas pode ser estimada como ls 0ld/w, onde d a espessura do isolante e l e w so, respectivamente, o comprimento e a largura das placas.Exerccio 6.4: Estime a capacitncia, C, a indutncia, ls, e resistncias srie, rs, e paralelo, rp, de um capacitor de lminas de alumnio ( = 2.810-6 cm) de w = 2 cm de largura, t = 5 m de espessura, l = 2 m de comprimento separadas por um filme plstico ( = 30 pF/m, = 1.21018 cm) de espessura d = 10 m. Note que a indutncia parasita depende de se os contatos forem soldados s lminas de Al pelos extremos ou pelos lados (aps enrolado); calcule ls nos dois casos.

[6.5]

6.4

Ressonncias esprias

A indutncia parasita no faz muito mal em circuitos ressonantes que j possuem uma indutncia grande, mas pode ser terrvel em circuitos que supostamente no deveriam ser ressonantes, como os filtros RC. Para ilustrar este fato, suponha um circuito cujos elementos so conectados por um fio de 0.5 mm de dimetro formando uma malha aproximadamente circular com 10 cm de dimetro. Como comentamos na seo 6.2.1, esta espira tem uma indutncia parasita de uns 0.35 H. Suponha que o circuito um filtro RC passa baixo com C = 1 F, ento haver uma ressonncia espria em cerca de 1 / ( 2 LC ) 270 kHz ou ainda menor se consideramos a indutncia parasita interna ao capacitor. Para diminuir a indutncia parasita, deve-se diminuir a rea da espira, utilizando fios curtos e grossos, e colocando eles bem perto um de outro, ou tranando-os. No exemplo da espira de 10 cm de

34

Circuitos de Corrente Alternada

dimetro, o comprimento total do fio (de 31.4 cm) pode ser disposto como um par de fios paralelos de comprimento l = 15.7 cm separados por, digamos, b = 3 mm. Neste caso a indutncia parasita ser15 L0

l cosh( b / 2a ) 170 nH,

e a ressonncia espria ocorrer em 390 kHz. Vemos que esmagando a espira diminumos a indutncia parasita e levamos o problema para frequncias mais altas. Mas no ganhamos muito: as coisas continuam da mesma ordem de grandeza. Mesmo utilizando um cabo coaxial do mesmo comprimento, a indutncia do cabo16 ser da ordem de 250 nH/m15.7cm = 40 nH, levando a ressonncia espria para uns 800 kHz. Por mais cuidados que tenhamos, ressonncias esprias so inevitveis. Afortunadamente, na maioria dos casos de interesse neste curso elas no so um grande problema porque geralmente temos um resistor em srie que faz o Q da ressonncia espria ser n e j nt Cv( t ) = vdc + Re>Vn en =1 n =1

[7.7]j n t

C,

onde Vn = vn e j n a amplitude complexa da componente de frequncia n = n. Lembrando o que falamos na seo 6, a razo entre as amplitudes das voltagens de sada e de entrada a uma frequncia a funo de transferncia do circuito, H(); portanto Vn = H ( n ) n e vdc = H ( 0 ) dc . Temos ento que v( t ) = H ( 0) dc + Re> H ( n ) n e j n t C .n =1

[7.8]

Como exemplo deste tipo de anlise, consideremos o filtro RC passa baixos (Figura 4.2) excitado por uma onda quadrada, cuja expanso em srie de Fourier est apresentada na Figura 7.2-a. A funo de transferncia deste circuito H ( ) = 1 / (1 + j ) , onde = RC. Portanto, a voltagem no capacitor ser v( t ) = dc + 2 pp Re & e j n t j / 2 ( K ) (1 + j n ) n * K K 'n =1,impar% K

[7.9]

O anlise utilizando sries de Fourier pode decepcionar alguns alunos pois difcil intuir qual o resultado da soma infinita. Por exemplo, no caso particular da eq. 7.9, se T > 1 e como consequncia v( t ) dc

ppT2

cos( nt ) . n =1,impar n2

[7.10]

38

Circuitos de Corrente Alternada

que no diz muito alm do que j sabemos: os termos da srie da voltagem de sada caem mais rapidamente com n do que a os termos da funo de entrada, como cabe esperar de um filtro passa baixos. Mas se olharmos s sries de Fourier da Figura 7.2 e notarmos que cos(nt) = cos(nt ), perceberemos que a eq. 7.10 coincide com a expanso da uma onda triangular de amplitude pico-a-pico v pp = pp T / 4 . Note que a onda triangular proporcional a integral da onda quadrada. Como veremos na seo 7.1, o filtro RC passa baixos um circuito integrador para frequncias altas ( >> 1/). Para as funes tpicas de um gerador de funes (ondas quadrada, retangular, rampa e triangular) as equaes de Kirchoff de circuitos simples de uma malha podem ser resolvidas facilmente integrando uma equao diferencial. Este procedimento leva a solues analticas mais fceis de analisar do que um srie de Fourier. Como exemplos, vamos resolver a seguir alguns problemas simples mas de grande importncia prtica.

7.1

Circuito integrador

A Figura 7.3 mostra dois circuitos integradores. O integrador RC o mesmo que o filtro RC passa baixos da seo 3. O integrador RC caracterizado pela constante de tempo = RC, em tanto que para o integrador RL = L/R. Os dois circuitos so filtros passa baixos com a mesma frequncia de corte 1/. Na prtica o circuito integrador RL pouco utilizado pois os indutores so mais volumosos e caros que os capacitores. Alm disto, um capacitor mais perto do ideal que um indutor, j que difcil fabricar um indutor com resistncia srie pequena. O integrador RL encontra aplicaes apenas em frequncias muito altas (> 100 MHz).

Integrador RC R pp dc C = RC Integrador RL L v(t) pp tanh(T/4) dc

> T ( = 40T)

0

T/2

T

Figura 7.3. Circuitos integradores RC e RL e resposta destes circuitos a uma onda quadrada de amplitude pico-a-pico pp para os casos em que muito menor, comparvel ou muito maior que T (as relaes exatas entre e T para as quais as formas de onda foram calculadas esto indicados entre parntesis. Note portanto que as escalas verticais no so as mesmas). (Veja o Exerccio 7.1)

Mostraremos aqui que para frequncias altas (ou seja quando a voltagem de sada pequena comparada com a de entrada) os circuitos da Figura 7.3 se comportam como integradores no seguinte sentido: em qualquer intervalo de tempo de durao |t - t0| v. Assim, se T