apostila de concreto armado - ufes 2011

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO TECNOLÓGICO

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS

DE CONCRETO ARMADO

Fernando Musso Junior [email protected]

2011/1

ESTRUTURAS DE CONCRETO I (EST01058) - ESTRUTURAS DE CONCRETO II (EST01059) PROGRAMA 1 - INTRODUÇÃO 2 - ESTADOS LIMITES 3 - AÇÕES 4 - MATERIAIS 5 - DURABILIDADE 6 - VIGA 6.1 - VIGA - ANÁLISE 6.2 - VIGA - DIMENSIONAMENTO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU) 6.2.1 - VIGA - DIMENSIONAMENTO À MOMENTO FLETOR (ELU-M) 6.2.2 - VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA PARA MOMENTO FLETOR 6.2.3 - VIGA - DIMENSIONAMENTO À FORÇA CORTANTE (ELU-V) 6.2.4 - VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA PARA FORÇA CORTANTE 6.2.5 - VIGA - DIMENSIONAMENTO À MOMENTO TORÇOR (ELU-T) 6.2.6 - VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA PARA MOMENTO TORÇOR 6.3 - VIGA - VERIFICAÇÂO NO ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS) 6.3.1 - VIGA - VERIFICAÇÃO DE FLECHA (ELS-DEF) 6.3.2 - VIGA - VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA (ELS-W) 6.4 - VIGA - EXEMPLOS 7 - LAJE 7.1 - LAJE - DEFINIÇÕES 7.2 - LAJE - ANÁLISE 7.3 - LAJE - DIMENSIONAMENTO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU) 7.3.1 - LAJE - DIMENSIONAMENTO À MOMENTO FLETOR (ELU-M) 7.3.2 - LAJE - DIMENSIONAMENTO À FORÇA CORTANTE (ELU-V) 7.3.3 - LAJE - DIMENSIONAMENTO À PUNÇÃO 7.4 - LAJE - VERIFICAÇÂO NO ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS) 7.4.1 - LAJE - VERIFICAÇÃO DE FLECHA (ELS-DEF) 7.4.2 - LAJE - VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA (ELS-W) 7.5 - LAJE - EXEMPLOS 7.5.1 - LAJE MACIÇA - EXEMPLOS 7.5.1 - LAJE NERVURADA - EXEMPLOS 8 - PILAR 8.1 - PILAR - DEFINIÇÕES 8.2 - PILAR - ANÁLISE 8.3 - PILAR - DIMENSIONAMENTO 8.4 - PILAR - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA 8.5 - PILAR - EXEMPLOS 9 - FUNDAÇÃO 9.1 - FUNDAÇÃO - DEFINIÇÕES 9.2 - FUNDAÇÃO - ANÁLISE E DIMENSIONAMENTO 9.3 - FUNDAÇÃO - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA 10 - PROJETO ESTRUTURAL DO EDIFÍCIO DA ENGENHARIA CIVIL 10.1 - ARQUITETURA DO EDIFÍCIO 10.2 - CONSIDERAÇÕES BÁSICAS DO PROJETO ESTRUTURAL 10.3 - VISTA 3D DA ESTRUTURA E PROJETO DE FORMA DO EDIFÍCIO 10.4 - ANÁLISE, DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO DE LAJES 10.5 - ANÁLISE, DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO DE VIGAS 10.6 - ANÁLISE, DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO DE PILARES 10.7 - ANÁLISE, DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO DE BLOCOS SOBRE ESTACAS 10.8 - ANÁLISE, DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO DA ESCADA AVALIAÇÕES EST01058 - ESTRUTURAS DE CONCRETO I - P1 (06/05); P2 (21/06); PF (08/07) EST01059 - ESTRUTURAS DE CONCRETO II - P1 (05/05); P2 (20/06); PF (07/07)

Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 2

ESTRUTURAS DE CONCRETO I (EST01058) - ESTRUTURAS DE CONCRETO II (EST01059) BIBLIOGRAFIA 1 – [MUSSO] MUSSO JUNIOR, F. Dimensionamento de Estruturas de Concreto Armado. Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, 2011. 2 – [ARAUJO] ARAÚJO, J. M. Curso de Concreto Armado. v. 1 a 4. 2a ed. Rio Grande: Dunas, 2003. 3 – [MONTOYA] MONTOYA, P. J.; MESEGUER, A. G.; CABRÉ, F. M. Hormigón Armado: ábacos para el calculo de secciones em el estado ultimo de agotamiento. tomo II.10a ed. Barcelona: Gustavo Gili, 1981. 4 – [LEONHARDT] LEONHARDT, F.; MÖNNIG, E. Construções de Concreto. v. 1 a 6. 1a ed. Rio de Janeiro: Interciência, 1977. 5 – [MOSLEY] MOSLEY, B.; BUNGEY, J.;HULSE, R. Reinforced Concrete Design to Eurocode 2. 6a

ed. New York: Palgrave Macmillan, 2007. 6 – [FAVRE] FAVRE, R.; JACCOUD, J.; BURDET, O.; CHARIF, H. Dimensionnement des Structures em Béton: Aptitude au Service et Elements de Structures. Traité de Génie Civil. v. 8. Lausanne: Pressses Polytechniques Universitaires Romandes, 2004. 7 – [BARES] BARES, R. Tablas para el Cálculo de Placas y Vigas Pared. 2a ed. Barcelona: Gustavo Gili, 1981. 8 – [CZERNY] CZERNY, F. Tafeln fur Rechtekplatten. Beton-Kalender. Teil I. Berlin: Ernst & Sohn, 1996. 9 – [EISENBIEGLER] EISENBIEGLER, G.; LIEB, H. Schnittgrossen und Verformungen von Pilzdecken mit Stutzenkopfverstarkungen infolge Gleichlast. Beton-und Stahlbetonbau. n. 74, p. 219-224, 1979. 10 – [GRASSER] GRASSER, E.; THIELEN, G. Hilfsmittel zur Berechnung der Schnittgroβen und Formanderungen von Stahlbetontragwerken. Deutscher Ausschuss fur Stahlbeton. n. 240, Berlin: Beuth, 1991. 11 – [NBR 6118] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de Estruturas de Concreto - Procedimento: NBR 6118. Rio de Janeiro, 2007. 12 – [NBR 6120] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Cargas para o Cálculo de Estruturas de Edificações - Procedimento: NBR 6120. Rio de Janeiro, 1980. 13 – [NBR 6122] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto e Execução de Fundações: NBR 6122. Rio de Janeiro, 2010. 14 – [NBR 6484] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Solo – Sondagens de Simples Reconhecimento com SPT – Método de Ensaio: NBR 6484. Rio de Janeiro, 2001. 15 – [NBR 7480] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Aço destinado a Armaduras para Estruturas de Concreto Armado - Especificação: NBR 7480. Rio de Janeiro, 2007. 16 – [NBR 8681] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Ações e Segurança nas Estruturas - Procedimento: NBR 8681. Rio de Janeiro, 2003. 17 – [EUROCÓDIGO 2] COMITÉ EUROPEU DE NORMALIZAÇÃO. Eurocódigo 2: Projecto de Estruturas de Betão – Parte 1-1: Regras Gerais e Regras para Edifícios: EN 1992-1-1. Bruxelas, 2004. 18 – [FTOOL] MARTHA, L. F. FTOOL212.EXE: Ftool – Two-Dimensional Frame Analysis Tool. Versão 2.12. Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2008. 19 – [VIGA] MUSSO JUNIOR, F. VIGA-2011-1.XLS: Dimensionamento de Viga de Concreto Armado. Versão 2011-1. Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, 2011. 20 – [LAJE] MUSSO JUNIOR, F. LAJE-2011-1.XLS: Dimensionamento de Laje de Concreto Armado. Versão 2011-1. Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, 2011. 21 – [PILAR] MUSSO JUNIOR, F. PILAR-2011-1.XLS: Dimensionamento de Pilar de Concreto Armado. Versão 2011-1. Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, 2011. 22 – [SAPATA] MUSSO JUNIOR, F. SAPATA-2011-1.XLS: Dimensionamento de Sapata de Concreto Armado. Versão 2011-1. Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, 2011. 23 – [BLOCO] MUSSO JUNIOR, F. BLOCO-2011-1.XLS: Dimensionamento de Bloco de Concreto Armado. Versão 2011-1. Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, 2011. 24 – [CYPECAD]


1 - INTRODUÇÃO


ELEMENTOS ESTRUTURAIS BÁSICOS Classificação dos Elementos Estruturais Tipo Definição Elemento Esquema Definição

Viga

elemento linear em que a flexão é preponderante

Pilar

elemento linear de eixo reto, usualmente disposto na vertical, em que a força normal de compressão é preponderante; a maior dimensão da seção transversal é menor ou igual a 5 vezes a menor dimensão

Tirante

elemento linear de eixo reto em que a força normal de tração é preponderante

Line

ar

o co

mpr

imen

to l

ongi

tudi

nal

é m

aior

ou

igua

l a

três

veze

s a

mai

or d

imen

são

da s

eção

tran

sver

sal

Arco

elemento curvo em que a força normal de compressão é preponderante, agindo ou não com flexão

Laje

elemento de superfície plana sujeito principalmente a ações normais a seu plano; o lado menor é maior ou igual a 5 vezes a espessura

Viga-parede

elemento de superfície plana sujeito principalmente a ações contidas em seu plano; o comprimento é menor que três vezes a maior dimensão da seção transversal

Casca

elemento de superfície não plana

Supe

rfíc

ie

uma

dim

ensã

o, u

sual

men

te c

ham

ada

espe

ssur

a, é

re

lativ

amen

te p

eque

na e

m fa

ce d

as d

emai

s

Pilar-parede

elemento de superfície plana ou casca cilíndrica, usualmente disposto na vertical, em que a força normal de compressão é preponderante; a maior dimensão da seção transversal é maior que 5 vezes a menor dimensão

Sapata

elemento de volume usado para transmitir ao solo as cargas de fundação

Volu

me

três

dim

ensõ

es s

ão

sign

ifica

tivas

Bloco sobre estacas

elemento de volume usado para transmitir às estacas as cargas de fundação

[NBR 6118]


2 - ESTADOS LIMITES


ESTADOS LIMITES DE UMA ESTRUTURA

[NBR 8681]


3 - AÇÕES


AÇÕES NOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS Classificação das Ações

[NBR 8681]


Peso Específico dos Materiais de Construção

[NBR 6120]


Valores Mínimos de Cargas Verticais Acidentais em Lajes

[NBR 6120]


4 - MATERIAIS


PROPRIEDADES DO CONCRETO

Ecs 4760fck1/2 MPa

módulo de elasticidade secante do concreto fctm 0,3fck

2/3 (fck em MPa) resistência média do concreto à tração

fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à compressão

Gc 0,4Ecs módulo de elasticidade transversal do concreto

fck resistência característica do concreto à compressão aos 28 dias

αc 10-5/oC coeficiente de dilatação térmica do concreto

fctk 0,7fctmresistência característica do concreto à tração

ν 0,2 coeficiente de poisson do concreto

fctd fctk/1,4 resistência de cálculo do concreto à tração

ρc 2400 kg/m3 concreto simples 2500 kg/m3 concreto armado massa específica do concreto

Propriedades de Cálculo do Concreto em Função de sua Classe Classe C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 equação fck MPa 15 20 25 30 35 40 45 50 fcd MPa 10,71 14,29 17,86 21,43 25,00 28,57 32,14 35,71 fck/1,4 fctm MPa 1,825 2,210 2,565 2,896 3,210 3,509 3,795 4,072 0,3fck

2/3

fctk MPa 1,277 1,547 1,795 2,028 2,247 2,456 2,657 2,850 0,7fctmfctd MPa 0,912 1,105 1,282 1,448 1,605 1,754 1,898 2,036 fctk/1,4 Ecs MPa 18435 21287 23800 26072 28161 30105 31931 33658 4760fck

1/2

Gc MPa 7374 8515 9520 10429 11264 12042 12772 13463 0,4EcsObs.: C20 ou superior – concreto armado (C15 só para fundações e obras provisórias) C25 ou superior – concreto protendido Diagrama σ-ε Parabólico do Concreto comprimido para Estado Limite Último (ELU)

Diagrama σ-ε Simplificado Retangular do Concreto comprimido para Estado Limite Último (λ = 0,8; η = 0,85)

{NBR 6118]


Diagrama σ-ε do Concreto comprimido para Estado Limite de Serviço (ELS)

Coeficiente de Fluência e Deformação de Retração do Concreto

Ecs

εc

1

σc

[NBR 6118]


PROPRIEDADES DO AÇO

Es 210000 MPa módulo de elasticidade do aço

αs 10-5/oC coeficiente de dilatação térmica do aço

fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento do aço à tração

fyd/Esεyddeformação de escoamento do aço

fyk resistência característica de escoamento do aço à tração

ρs 7850 kg/m3

massa específica do aço Resistência de Cálculo e Deformação de Escoamento do Aço em função de sua Categoria

Categoria CA-25 CA-50 CA-60 equação fyk MPa 250 500 600 fyd MPa 217,4 434,8 521,7 fyk/1,15

0,1035% 0,2070% εyd 0,2484% fyd/Es

Diagrama σ-ε do Aço para Estado Limite Último (ELU)

Es

εs

1

σs

fyd

10‰ εyd

Diagrama σ-ε do Aço para Estado Limite de Serviço (ELS)

Relação entre Coeficiente de Conformação η (NBR 7480) e Coeficiente de Conformação η1 (NBR 6118)

Es

εs

1

σs

[NBR 6118] Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 16

Classificação do Aço das Armaduras

Comprimento de Barras e Fios

Diâmetro, Massa, Área da Seção e Perímetro de Barras e Fios

[NBR 7480]


Propriedades Mecânicas de Barras e Fios

[NBR 7480]


Configuração Geométrica de Barras e Fios

[NBR 7480]


5 - DURABILIDADE


DIRETRIZES DE DURABILIDADE DAS ESTRUTURAS DE CONCRETO Exigências de Durabilidade

Classes de Agressividade Ambiental

Correspondência entre Classe de Agressividade e Qualidade do Concreto


Correspondência entre Classe de Agressividade e Cobrimento Nominal dos Elementos Estruturais

Correspondência entre Classe de Agressividade e Abertura de Fissura

[NBR 6118]



6 - VIGA


6.1 - VIGA - ANÁLISE


VIGA - VÃO EFETIVO DE VIGA

[NBR 6118]


VIGA - MOMENTO FLETOR, FORÇA CORTANTE, MOMENTO TORÇOR E FLECHA Momento Fletor (α = a/L; β = b/L)

Sistema

Carga Mmáx; xo/L Mmáx; xo/L Mdir Mmáx; xo/L Mesq Mdir Mesq

5,0;8

pL2

375,0;128pL9 2

8

pL2

− 5,0;24pL2

12pL2

− 12pL2

− 2

pL2

−

577,0;

39pL2

447,0;515

pL2

15pL2

− 548,0;64,46

pL2

30pL2

− 20pL2

− 3

pL2

−

423,0;

39pL2

329,0;65,23

pL2

120pL7 2

− 452,0;64,46

pL2

20pL2

− 30pL2

− 6

pL2

−

5,0;

4PL 5,0;

32PL5

16PL3

− 5,0;8

PL 8

PL−

8PL

− 2

PL−

ααβ ;PL ααβ

β− ;PL2

3 2 PL2

1 2

αα−

− αβα ;PL2 22 PL2αβ− PL2βα− PLα−

Força Cortante (α = a/L; β = b/L)

Sistema

Carga Vesq Vdir Vesq Vdir Vesq Vdir Vesq

2pL

2pL

− 8pL3

8pL5

− 2

pL 2

pL− pL

6

pL 3

pL−

10pL

5pL2

− pL15,0 pL35,0− 2

pL

3

pL 6

pL−

40pL11

40pL9

− pL35,0 pL15,0− 2

pL

2P

2P

− 16P5

16P11

− 2P

2P

− P

Pβ Pα− P

23 2β

β− P2

3 2

αα−

− P)23( 2ββ− P)23( 2αα−− P

Momento Torçor (α = a/L; β = b/L)

Carga

Sistema Tesq Tdir Tesq Tdir Tesq Tdir Tesq Tdir Tesq Tdir 2

tL 2tL

− 6tL

3tL

− 3tL

6tL

− 2T

2T

− Tβ Tα−

Tesq Tesq Tesq Tesq Tesq tL

2tL

2tL T T

Flechas (α = a/L; β = b/L)

Sistema

Carga Δmáx; xo/L Δmáx; xo/L Δmáx; xo/L Δdir

5,0;EI384

pL5 4

422,0;EI6,184

pL4

5,0;EI384

pL4

EI8

pL4

519,0;

EIpL00652,0

4

447,0;EI3,419

pL4

525,0;EI2,764

pL4

EI120

pL11 4

481,0;

EIpL00652,0

4

402,0;EI1,328

pL4

475,0;EI2,764

pL4

EI30

pL4

5,0;

EI48PL3

447,0;EI548

PL3

5,0;EI192

PL3

EI48

PL5 3

5,0;

EI48PL)43( 32

≤ααα− - -

EI6PL)3( 32αα−

[MUSSO]

a b

L/2

a b

L/2

a b

L/2

L/2 a b


VIGA - FLECHAS EM DIVERSOS SISTEMAS COM DIFERENTES CARREGAMENTOS

[GRASSER]


6.2 - VIGA - DIMENSIONAMENTO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU)


VIGA - DIMENSÕES LIMITES DE VIGAS

[NBR 6118]


6.2.1 - VIGA - DIMENSIONAMENTO À MOMENTO FLETOR (ELU-M)


VIGA - FORMULÁRIO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÂO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR (ELU-M)

As área da seção da armadura longitudinal fyk resistência característica de escoamento do aço tracionada h altura da seção transversal sA′ área da seção da armadura longitudinal Md 1,4(MG + MQ) momento fletor de cálculo comprimida Md,lim momento fletor de cálculo máximo com

As,mín área mínima da seção da armadura longitudinal armadura simples tracionada MG momento fletor da ação permanente G

As,lim área da seção da armadura tracionada MQ momento fletor da ação variável Q correspondente a Md,lim T força de tração na armadura longitudinal b largura da seção transversal x profundidade da linha neutra no estádio 3 (ELU) C força de compressão no concreto xlim profundidade máxima da linha neutra para d altura útil da seção transversal ruptura dúctil da seção (ruptura com aviso) distância do centróide da armadura tracionada à z braço de alavanca (braço do binário) borda comprimida da seção transversal εc encurtamento da fibra extrema de concreto

d′ distância do centróide da armadura comprimida εyd fyd/Es deformação de escoamento do aço à borda comprimida da seção transversal εs alongamento da armadura tracionada

d ′′ h - d sε′ encurtamento da armadura comprimida dlim altura útil mínima com armadura simples ξ x/d profundidade da linha neutra adimensional Es 210000 MPa módulo de elasticidade do aço λ 0,8 coeficiente de redução da altura comprimida fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à da seção (diagrama retangular x parabólico) compressão η 0,85 coeficiente de redução da resistência de

fck resistência característica do concreto à cálculo do concreto à compressão compressão aos 28 dias μ Md/(bd2ηfcd) momento fletor adimensional

fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento sdσ′ tensão de compressão na armadura longitudinal do aço

A – Momento fletor de cálculo máximo com armadura simples (dados b, d e fck, obter Md,lim)

Modelo resistente à momento fletor no estado limite último

fck < 35 MPa > 35 MPa Armadura simples (seção com As; Md < Md,lim; x < xlim) xlim 0,5d 0,4d A1

Md,lim cd2fbd272,0 cd

2fbd22848,0 A2

As,lim ydcd f/bdf34,0 ydcd f/bdf272,0 A3B – Altura útil mínima da seção com armadura simples (dados Md e b, obter dlim)

fck < 35 MPa > 35 MPa

dlim cd

d

bf272,0M

cd

d

bf22848,0M B1

C - Dimensionamento da armadura longitudinal (dados Md, b, d, fck e fyk, obter As e As’) Armadura simples (seção com As; Md < Md,lim; x < xlim)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=

cd2

d

fbd425,0M

11d25,1x C1

ydcds f/bxf68,0A = C2( )bhf/f035,0%;15,0máximoA ydcdmín,s = C3

fck MPa 20 25 30 35

(a) )2/xd(fxb)x(fCzM cdd λ−ηλ=== (b) ydcdscdyds f/fxbAoufxbCfAT ηλ=ηλ===

:fbd)a( cd2η÷ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ λ−

λ=

η d2x1

dx

fbdM

cd2

d ou

( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

η−−

λ==μ−−=λξ

=μ+λξ−λξ∴λξ−λξ=λξ−λξ=μ

cd2

dd

22

fbdM211d)M(fxou211)c(

0)(2/)(2/)()(2/1

As,mín/(bh) 0,150% 0,150% 0,173% 0,201% Armadura dupla (seção com As e sA′ ; Md > Md,lim; x = xlim)

Armadura dupla (seção com As e sA′ ; Md > Md,lim; x = xlim)

)dd(fMM

AAyd

lim,ddlim,ss ′−

−+= C4

)dd(MM

Asd

lim,dds ′−σ′

−=′ C5

ydsydsd sef ε≥ε′=σ′ ; ydssssd seE ε<ε′ε′=σ′ C6fck < 35 MPa > 35 MPa

sε′ )d/d5,0(007,0 ′− )d/d4,0(00875,0 ′− C7fyk 250 MPa 500 MPa 600 MPa εyd 1,035‰ 2,070‰ 2,484‰ C8

(d) lim,ddlim,dd MMMouMMM −=ΔΔ+= (e) )]dd(/[MAou)dd(AM sdssds ′−σ′Δ=′′−σ′′=Δ (f) ydsdslim,sssdsydlim,syds f/AAAouAfAfA σ′′+=σ′′+=

[MUSSO]

x

Md

λx

T = Asfyd

C = bλxηfcd

2/xdz λ−=

ηfcd

h d

b

As LN

ηfcd

d ′′

xlim

Md

Asfyd

sdsA σ′′

=

sdsA σ′′

sdsA σ′′

ΔMd-d´

As,limfyd

Md,lim

λxlim

+

ηfcd ηfcd

d

b

As LN

sA′

d′

d ′′

xlim

εc = 3,5‰

εs

d sε′

d′

lim

lim

s

x‰5,3dx

=

′−ε′


VIGA - PARÂMETROS ADIMENSIONAIS DE DIMENSIONAMENTO A MOMENTO FLETOR

[MUSSO]


VIGA - GRÁFICO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR

[MUSSO]


VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR

[MUSSO]


VIGA - DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO T À MOMENTO FLETOR (ELU-M) (hf < λxlim ; λ = 0,8 ; η = 0,85) A - Momento fletor resistido pela mesa comprimida (MRf) B - Momento fletor máximo com armadura simples (Md,lim)

)2/hd(fhbCzM fcdffRf −η== A1 )2/xd(fxb)2/hd(fh)bb(

zCzCMMM

limcdlimwfcdfwf

wwaalim,walim,d

λ−ηλ+−η−=

=+=+= B1

C - Profundidade limite da linha neutra (xlim) xlim = 0,5d se fck < 35 MPa xlim = 0,4d se fck > 35 MPa C1 D - CASO 1 – Seção T com Md < MRf (parte da mesa comprimida) G - Armadura mínima para seção T (As,mín) armadura simples seção retangular com Md e b = bf A)f/f024,0%;15,0(máximoA ydcdmín,s = G1

fck MPa 20 25 30 35 As,mín/A 0,15% 0,15% 0,15% 0,15%

hbh)bb(A wfwf +−= (área da seção T) G2H - Tensão na armadura comprimida )( sdσ′

)(f ydsydsd ε≥ε′=σ′ ; )(E ydssssd ε<ε′ε′=σ′ H1


sε′ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

−dd5,0007,0 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

−dd4,000875,0 H2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=

cd2

f

d

fdb425,0M11d25,1x D1

fyk 250 MPa 500 MPa 600 MPa

sA

mín,sydcdfs Af/xfb68,0A ≥= D2 εyd 1,035‰ 2,070‰ 2,484‰ H3 E - CASO 2 - Seção T com MRf < Md < Md,lim (toda mesa e parte da alma comprimidas)

Superposição de efeitos (abas comprimidas + parte da alma comprimida) abas (seção retangular com Ma e b = bf - bw) alma (seção retangular com Mw e b = bw) armadura simples

)2/hd(fh)bb(zCM fcdfwfaaa −η−== E1 adw MMM −= E4

ff h25,1hx =

λ= E2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=

cd2

w

w

fdb425,0M11d25,1x E5

was AAA +=

ydcdwfa f/xf)bb(68,0A −= E3 ydcdww f/xfb68,0A = E6 F - CASO 3 - Seção T com Md > Md,lim (toda mesa e parte da alma comprimidas)

Superposição de efeitos (abas comprimidas + parte da alma comprimida) abas (seção retangular com Ma e b = bf - bw) alma (seção retangular com Mw e b = bw)

armadura dupla

)2/hd(fh)bb(zCM fcdfwfaaa −η−== F1 adw MMM −= F4

)2/xd(fxbM limcdlimwlim,w λ−ηλ= F5

ydcdlimwlim,w f/fxb68,0A = F6 f

f h25,1hx =λ

= F2

)dd(MA

sds ′−σ′

Δ=′ ; lim,ww MMM −=Δ F7

was AAA +=

sA′

ydcdwfa f/xf)bb(68,0A −= F3 ydsdslim,ww f/AAA σ′′+= F8 [MUSSO]

x

MRf

λx = hf

T = Asfyd

C = bf hfηfcd

z = d - hf /2

ηfcd

h d

bf

As LN

bw

hf xlim

Md,lim

λxlim

T = As,limfyd

Ca = (bf - bw)hf ηfcd

za = d - hf /2

ηfcd

h d

bf

As LN

bw

hfa w a

zw = d - λxlim /2

Cw = bwλxlimηfcd

h d

bf

As

bw

hf

Md Ma

bf - bw

Aa

hf

d

bw

Aw

λx

Mw d

Ma

bf - bw

Aa

hf

d

h d

bf

As

bw

hf

Md d

bf

As

λx

Md

h d

bf

As

bw

hf

Md d′

sA′

bw

Aw

λxlim

Mw

sA′

d

d′

sdsA σ′′

sdsA σ′′

ΔMd-d´+

Aw,limfyd Mw,lim

bwλxlimηfcd

=


VIGA - LARGURA COLABORANTE DA MESA DE SEÇÃO T

[NBR 6118]


VIGA - TABELA DE MOMENTO DE INÉRCIA E POSIÇÃO DO CENTRO DE GRAVIDADE DE SEÇÃO T

[MUSSO]


6.2.2 - VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA PARA MOMENTO FLETOR


VIGA - TAXA MÍNIMA DE ARMADURA LONGITUDINAL DE TRAÇÂO

Ac área da seção transversal de concreto fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento do aço à tração

As área da seção da armadura longitudinal de tração


As,mín área da seção mínima da armadura longitudinal de tração

h altura da seção transversal

b largura da seção transversal ρ As/Ac taxa geométrica de armadura longitudinal de tração


ω Asfyd/(Acfcd) taxa mecânica de armadura longitudinal de tração


[NBR 6118]


VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA LONGITUDINAL A NÍVEL DE SEÇÃO

ah máximo(20 mm; φ; 1,2dag) dc distância do centróide da armadura espaçamento livre mínimo horizontal entre tracionada ao centro da armadura da barras da armadura longitudinal primeira camada

av máximo(20 mm; φ; 0,5dag) d’ distância do centróide da armadura espaçamento livre mínimo vertical entre barras comprimida à borda comprimida da seção da armadura longitudinal transversal

As área da seção da armadura longitudinal d” distância do centróide da armadura tracionada tracionada à borda tracionada da seção

As’ área da seção da armadura longitudinal transversal comprimida fcd fck/1,4

As,mín máximo(0,15%; 0,035fcd/fyd)bh resistência de cálculo do concreto à área da seção mínima da armadura compressão longitudinal (seção retangular) fck resistência característica do concreto à

As,máx As + As’ < 4%bh compressão aos 28 dias área da seção máxima da armadura fyd fyk/1,15 longitudinal resistência de cálculo de escoamento do

As,pele 0,10%bh (por face lateral ; se h > 60 cm) aço à tração área da seção da armadura de pele fyk resistência característica de escoamento do

b largura da seção transversal aço à tração ct cobrimento de concreto da armadura h altura da seção transversal transversal φ diâmetro da barra da armadura longitudinal

d altura útil da seção transversal φt diâmetro da barra da armadura transversal distância do centróide da armadura tracionada à borda comprimida da seção transversal

dag diâmetro do agregado graúdo 9,5 mm (brita 0) 19 mm (brita 1) 25 mm (brita 2)

[MUSSO]

b

av > máximo(20 mm; φ; 0,5dag) ah > máximo(20 mm; φ; 1,2dag)

φ

ct

5 mm < φt < b/10

h d

dc < 10%h

d’

d”

As,pele > 0,10%bh (se h > 60 cm)

< d/3 < 20 cm

As

As’

2ª camada

> φt


VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA LONGITUDINAL A NÍVEL DE SEÇÃO T1 - Área da seção transversal de Q barras longitudinais (cm2)

Diâmetro da barra (mm) Q 5 6,3 8 10 12,5 16 20 22 25 1 0,20 0,31 0,50 0,79 1,23 2,01 3,14 3,80 4,91 2 0,39 0,62 1,01 1,57 2,45 4,02 6,28 7,60 9,82 3 0,59 0,94 1,51 2,36 3,68 6,03 9,42 11,40 14,73 4 0,79 1,25 2,01 3,14 4,91 8,04 12,57 15,21 19,63 5 0,98 1,56 2,51 3,93 6,14 10,05 15,71 19,01 24,54 6 1,18 1,87 3,02 4,71 7,36 12,06 18,85 22,81 29,45 7 1,37 2,18 3,52 5,50 8,59 14,07 21,99 26,61 34,36 8 1,57 2,49 4,02 6,28 9,82 16,08 25,13 30,41 39,27 9 1,77 2,81 4,52 7,07 11,04 18,10 28,27 34,21 44,18 10 1,96 3,12 5,03 7,85 12,27 20,11 31,42 38,01 49,09 11 2,16 3,43 5,53 8,64 13,50 22,12 34,56 41,81 54,00 12 2,36 3,74 6,03 9,42 14,73 24,13 37,70 45,62 58,90 13 2,55 4,05 6,53 10,21 15,95 26,14 40,84 49,42 63,81 14 2,75 4,36 7,04 11,00 17,18 28,15 43,98 53,22 68,72 15 2,95 4,68 7,54 11,78 18,41 30,16 47,12 57,02 73,63 16 3,14 4,99 8,04 12,57 19,63 32,17 50,27 60,82 78,54 17 3,34 5,30 8,55 13,35 20,86 34,18 53,41 64,62 83,45 18 3,53 5,61 9,05 14,14 22,09 36,19 56,55 68,42 88,36 19 3,73 5,92 9,55 14,92 23,32 38,20 59,69 72,23 93,27 20 3,93 6,23 10,05 15,71 24,54 40,21 62,83 76,03 98,17 21 4,12 6,55 10,56 16,49 25,77 42,22 65,97 79,83 103,08 22 4,32 6,86 11,06 17,28 27,00 44,23 69,12 83,63 107,99 23 4,52 7,17 11,56 18,06 28,23 46,24 72,26 87,43 112,90 24 4,71 7,48 12,06 18,85 29,45 48,25 75,40 91,23 117,81

T2 - Número máximo de barras por camada (estribo de 2 ramos) nb,máx = INT[1+(b-2ct-2φt-φ)/(ah+φ)] ah = MÁXIMO(2 cm; φ; 1,2dag) ct cm 2,5 dag mm 19

Largura da seção (cm) φ mm φt mm 10 12 15 20 25 30 35 40 45 50 ah cm

5 2 2 3 5 6 8 10 11 13 15 6,3 1 2 3 5 6 8 10 11 13 14 8 1 2 3 5 6 8 9 11 13 14 8

10 1 2 3 4 6 8 9 11 13 14

2,28

5 1 2 3 4 6 8 9 11 12 14 6,3 1 2 3 4 6 7 9 10 12 14 8 1 2 3 4 6 7 9 10 12 13 10

10 1 2 3 4 6 7 9 10 12 13

2,28

5 1 2 3 4 6 7 8 10 11 13 6,3 1 2 3 4 5 7 8 10 11 13 8 1 2 3 4 5 7 8 10 11 12 12,5

10 1 2 2 4 5 7 8 9 11 12

2,28

5 1 2 2 4 5 6 8 9 10 11 6,3 1 2 2 4 5 6 7 9 10 11 8 1 1 2 4 5 6 7 9 10 11 16

10 1 1 2 3 5 6 7 9 10 11

2,28

5 1 1 2 3 4 6 7 8 9 10 6,3 1 1 2 3 4 6 7 8 9 10 8 1 1 2 3 4 6 7 8 9 10 20

10 1 1 2 3 4 5 7 8 9 10

2,28

5 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6,3 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 25

10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2,50

obs.: φt é o diâmetro da armadura transversal (estribos) ct é o cobrimento de concreto da armadura transversal T3 - Número máximo de camadas

nc,máx = INT[1+(2x10%h)/(av+φ)] av = MÁXIMO(2 cm; φ; 0,5dag) dag mm 19 Altura da seção (cm) φ mm 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90 100 av cm

8 3 3 3 4 4 4 5 6 6 7 8 2,0 10 3 3 3 4 4 4 5 5 6 7 7 2,0

12,5 2 3 3 3 4 4 4 5 5 6 7 2,0 16 2 2 3 3 3 4 4 4 5 6 6 2,0 20 2 2 3 3 3 3 4 4 5 5 6 2,0 25 2 2 2 3 3 3 3 4 4 5 5 2,5

[MUSSO]


VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA LONGITUDINAL A NÍVEL DE ELEMENTO Zona de boa e má aderência para as armaduras

Resistência de aderência de cálculo - fbd (fyk = 500 MPa; φ < 32 mm e γc = 1,4) )MPa()2(f2363,0f7,0f);1(f3375,0]4,1/)f3,0(7,0[25,2]f[25,2f 3/2

ckboa,bdmá,bd3/2

ck3/2

ckctdboa,bd ===== concreto C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 zona boa 2,487 2,886 3,259 3,611 3,947 4,270 4,581 zona má 1,741 2,020 2,281 2,528 2,763 2,989 3,206

Comprimento de ancoragem básico - lb,bás (fyk = 500 MPa, φ < 32 mm, γs = 1,15 e γc = 1,4)

concreto C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 zona boa 43,7φ 37,7φ 33,4φ 30,1φ 27,5φ 25,5φ 23,7φ zona má 62,4φ 53,8φ 47,7φ 43,0φ 39,3φ 36,4φ 33,9φ

Deslocamento lateral do diagrama de momentos fletores - al

Comprimento das barras da armadura longitudinal e ancoragem da armadura inferior nos apoios

[MUSSO]

h h 30

h 30

armaduras

h < 30 cm 30 < h < 60 cm h > 60 cm

zona má

zona boa

)3(f4f

lolog4

Amas

fAl

bd

ydbás,b

2

s

ydsbás,b

φ=

πφ=

=πφfbd φ

lb,bás yds fA

(a) em (b): T1z = M1 + 0,5Vzcotθ ou T1z = M1 + V.al = M1 + ΔM onde: al = 0,5zcotθ e ΔM = V.al Conclusão: o momento fletor na seção 1 (T1z) é igual a M1 acrescido de V.al o que é equivalente a uma translação lateral al do diagrama de momentos fletores (ver fig. abaixo)

C

z T1 θ

z

zcotθ

M2

V

M2 = T1z + 0,5Vzcotθ (b)

o V V

θ

zcotθ

M2

V

M2 = M1 + Vzcotθ (a)

o

M1 1 2 1

lb,nec > lb,mín

apoio externo

B B 10φ 10φ

ΔM al

A A lb,bás lb,bás

ΔM al

B B

A A lb,bás lb,bás

10φ 10φ

Md

Md deslocado de al

deslocamento lateral do diagrama de momentos

al = 0,5zcotθ; z = 0,9d (4) θ = 30º θ = 45º al 0,78d 0,45d

θ = inclinação da biela

>10φ

apoio interno

As,int > As,vão/3 se lMintl<Mvão/2 As,int > As,vão/4 se lMintl>Mvão/2

Mvã

o

Min

t

As,vão

As,ext > As,vão/3

lb,nec= α1lb,básext,syd

d

Af2cotV θ

1,0(ancoragem reta) 0,7(ancor. com gancho) lb,mín = máx(0,3lb,bás; 10φ; 10cm)

5φ se φ < 20mm 8φ se φ > 20mm

armadura de montagem

φ

> 8φ φp

gancho

aço CA-50

β

β

tanβ = V

= ΔM/al

M1

M1

α1

armadura positiva

armadura negativa

φp


VIGA - TIPOS DE ANCORAGEM DA ARMADURA LONGITUDINAL

[NBR 6118]


VIGA - EMENDAS DA ARMADURA LONGITUDINAL POR TRASPASSE

[NBR 6118]


6.2.3 - VIGA - DIMENSIONAMENTO À FORÇA CORTANTE (ELU-V)


VIGA - FORMULÁRIO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÂO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE (ELU-V)

Asw área da seção da armadura transversal h altura da seção transversal Asw,mín área mínima da seção da armadura transversal Md momento fletor de cálculo

b largura da seção transversal s espaçamento longitudinal entre estribos C força de compressão nas bielas de concreto 100 cm (para obter Asw em cm2/m) d altura útil da seção transversal cV força cortante resistida por outros mecanismos distância do centróide da armadura tracionada Vd 1,4(VG + VQ) força cortante de cálculo à borda comprimida da seção transversal VRd,máx força cortante de cálculo máxima resistida por

fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à compressão diagonal das bielas de concreto compressão VG força cortante da ação permanente G

fck resistência característica do concreto à VQ força cortante da ação variável Q compressão aos 28 dias Vsw força cortante de cálculo resistida pela

fctd fctk/1,4 resistência de cálculo do concreto à armadura transversal tração z braço de alavanca

fctk 0,7fctm resistência característica do concreto à β ângulo da tensão principal de tração tração ν 0,6(1 – fck/250) (fck em MPa) coeficiente de

fctm 0,3fck2/3 (fck em MPa) resistência média do redução da resistência do concreto fissurado

concreto à tração por força cortante fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento σc tensão principal de compressão do aço σt tensão principal de tração

fyk resistência característica de escoamento do aço τ tensão tangencial da força cortante Fc força de compressão no concreto θ ângulo das bielas de concreto comprimidas Fs força de tração na armadura longitudinal

Analogia de treliça A – Verificação da compressão diagonal do concreto (dados b, d e fck, obter VRd,máx; Vd < VRd,máx)

Modelo resistente à força cortante no estado limite último Compressão diagonal das bielas de concreto (corte a-a) cálculo simplificado

θ (45o) refinado

θ (30o a 45o)

VRd,máx cdfbd45,0 ν θν 2senfbd45,0 cd A1 fck MPa 20 25 30 35

ν 0,552 0,540 0,528 0,516 θ (45o) 0,355 0,434 0,509 0,581 )bd/(V máx,Rd θ (30o) 0,307 0,376 0,441 0,503

obs.: VRd,máx/(bd) em kN/cm2 B – Dimensionamento da armadura transversal (dados Vd, b, d, fck e fyk, obter Asw)

(a) θν=θθν=θ= 2senfbd45,0sencosfbzCsenV cdcdmáx,Rd

cálculo simplificado θ (45o)

refinado θ (30o a 45o) Tração transversal dos estribos (corte b-b)

Asw yd

cd

df9,0s)VV( −

θ−

cotdf9,0s)VV(

yd

cd B1

od VV ≤ od VV >

cV oV oV o

omáx,Rd

dmáx,Rd VVVVV

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−− B2

oV ctdbdf6,0 B3 Asw,mín ykctm f/bsf2,0 B4

fck MPa 20 25 30 35 fctm MPa 2,210 2,565 2,896 3,210 fctd MPa 1,105 1,282 1,448 1,605

)bd/(Vo 0,0663 0,0769 0,0869 0,0963 )bs/(A mín,sw 0,088% 0,103% 0,116% 0,128%

obs.: Vo/(bd) em kN/cm2 e Asw,mín/(bs) para fyk = 500 MPa

(b) cdswcswd VVVouVVV −=+=

(c) θ=θ= cotfs

Ad9,0cotfs

AzV ydsw

ydsw

sw

(b) em (c): θ

−=

cotdf9,0s)VV(A

yd

cdsw

[MUSSO]

τ

τ

τ

τ

τ

σ σt σc 2β

σtσc

σt σc

β

tração compressão

ab

b a

Vsw = (zcotθ/s)Aswfyd

estribos

fissuras

s

θ

zcotθ

Vd

Vc z = 0,9d

Md

número de estribos em zcotθ

b

h Aswd

Fs

Fc

fissuras

C = b(zcosθ)νfcd

θ

zcosθ

Fs

bielas

θ

θ Md

VRd,máx

b

h Aswd z = 0,9d

Fc


VIGA - GRÁFICO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE

[MUSSO]


VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE - SIMPLIFICADO

[MUSSO]


VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE - REFINADO

[MUSSO]


6.2.4 - VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA PARA FORÇA CORTANTE


VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA TRANSVERSAL A NÍVEL DE SEÇÃO T1 - Área da seção transversal de estribos de 2 ramos (cm2/m)

Diâmetro da barra (mm) Diâmetro da barra (mm) s cm 5 6,3 8 10 12,5

s cm 5 6,3 8 10 12,5

7 5,61 8,91 14,36 22,44 35,06 19 2,07 3,28 5,29 8,27 12,92 8 4,91 7,79 12,57 19,63 30,68 20 1,96 3,12 5,03 7,85 12,27 9 4,36 6,93 11,17 17,45 27,27 21 1,87 2,97 4,79 7,48 11,69

10 3,93 6,23 10,05 15,71 24,54 22 1,78 2,83 4,57 7,14 11,16 11 3,57 5,67 9,14 14,28 22,31 23 1,71 2,71 4,37 6,83 10,67 12 3,27 5,20 8,38 13,09 20,45 24 1,64 2,60 4,19 6,54 10,23 13 3,02 4,80 7,73 12,08 18,88 25 1,57 2,49 4,02 6,28 9,82 14 2,80 4,45 7,18 11,22 17,53 26 1,51 2,40 3,87 6,04 9,44 15 2,62 4,16 6,70 10,47 16,36 27 1,45 2,31 3,72 5,82 9,09 16 2,45 3,90 6,28 9,82 15,34 28 1,40 2,23 3,59 5,61 8,77 17 2,31 3,67 5,91 9,24 14,44 29 1,35 2,15 3,47 5,42 8,46 18 2,18 3,46 5,59 8,73 13,64 30 1,31 2,08 3,35 5,24 8,18

T2 - Área da seção transversal de estribos de 3 ramos (cm2/m) Diâmetro da barra (mm) Diâmetro da barra (mm) s cm

5 6,3 8 10 12,5 s cm

5 6,3 8 10 12,5 7 8,41 13,36 21,54 33,66 52,59 19 3,10 4,92 7,94 12,40 19,38 8 7,36 11,69 18,85 29,45 46,02 20 2,95 4,68 7,54 11,78 18,41 9 6,54 10,39 16,76 26,18 40,91 21 2,80 4,45 7,18 11,22 17,53

10 5,89 9,35 15,08 23,56 36,82 22 2,68 4,25 6,85 10,71 16,73 11 5,35 8,50 13,71 21,42 33,47 23 2,56 4,07 6,56 10,24 16,01 12 4,91 7,79 12,57 19,63 30,68 24 2,45 3,90 6,28 9,82 15,34 13 4,53 7,19 11,60 18,12 28,32 25 2,36 3,74 6,03 9,42 14,73 14 4,21 6,68 10,77 16,83 26,30 26 2,27 3,60 5,80 9,06 14,16 15 3,93 6,23 10,05 15,71 24,54 27 2,18 3,46 5,59 8,73 13,64 16 3,68 5,84 9,42 14,73 23,01 28 2,10 3,34 5,39 8,41 13,15 17 3,46 5,50 8,87 13,86 21,66 29 2,03 3,22 5,20 8,12 12,70 18 3,27 5,20 8,38 13,09 20,45 30 1,96 3,12 5,03 7,85 12,27


5 6,3 8 10 12,5 s cm

5 6,3 8 10 12,5 7 11,22 17,81 28,72 44,88 70,12 19 4,13 6,56 10,58 16,53 25,84 8 9,82 15,59 25,13 39,27 61,36 20 3,93 6,23 10,05 15,71 24,54 9 8,73 13,85 22,34 34,91 54,54 21 3,74 5,94 9,57 14,96 23,37

10 7,85 12,47 20,11 31,42 49,09 22 3,57 5,67 9,14 14,28 22,31 11 7,14 11,34 18,28 28,56 44,62 23 3,41 5,42 8,74 13,66 21,34 12 6,54 10,39 16,76 26,18 40,91 24 3,27 5,20 8,38 13,09 20,45 13 6,04 9,59 15,47 24,17 37,76 25 3,14 4,99 8,04 12,57 19,63 14 5,61 8,91 14,36 22,44 35,06 26 3,02 4,80 7,73 12,08 18,88 15 5,24 8,31 13,40 20,94 32,72 27 2,91 4,62 7,45 11,64 18,18 16 4,91 7,79 12,57 19,63 30,68 28 2,80 4,45 7,18 11,22 17,53 17 4,62 7,33 11,83 18,48 28,87 29 2,71 4,30 6,93 10,83 16,93 18 4,36 6,93 11,17 17,45 27,27 30 2,62 4,16 6,70 10,47 16,36

VIGA - ESPAÇAMENTO LONGITUDINAL E TRANSVERSAL MÁXIMOS Espaçamento longitudinal máximo entre estribos Espaçamento transversal máximo entre ramos

[MUSSO]

st,máx

máx,Rdd V20,0Vse);cm80;d(mín ≤

máx,Rdd V20,0Vse);cm35;d6,0(mín >

φt > 5 mm < b/10

máx,Rdd V67,0Vse);cm30;d6,0(mín ≤

máx,RdSd V67,0Vse);cm20;d3,0(mín >sl,máx


VIGA - TIPOS DE ANCORAGEM DA ARMADURA TRANSVERSAL

[NBR 6118]


6.2.5 - VIGA - DIMENSIONAMENTO À MOMENTO TORÇOR (ELU-T)


VIGA - FORMULÁRIO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO TORÇOR (ELU-T)

A bh área da seção transversal Fs força de tração na armadura longitudinal Ae xeye área limitada pela linha média da seção h altura da seção transversal vazada s espaçamento longitudinal entre estribos

As área da seção da armadura longitudinal 100 cm (para obter Asw em cm2/m) tracionada te máximo(A/u; 2c1); < b/2; < h/2 espessura da

As,mín área mínima da seção da armadura longitudinal parede da seção vazada no perímetro ue Td 1,4(TG + TQ) momento torçor de cálculo

Asw área da seção da armadura transversal TRd,máx momento torçor de cálculo máximo resistido por Asw,mín área mínima da seção da armadura transversal compressão diagonal das bielas de concreto

b largura da seção transversal TG momento torçor da ação permanente G c1 cm52/c tt ≈φ+φ+ TQ momento torçor da ação variável Q ct cobrimento do estribo u 2(b + h) perímetro da seção transversal d altura útil da seção transversal ue 2(xe + ye) perímetro da área Ae fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à xe b – te largura da área Ae compressão ye h – te altura da área Ae

fck resistência característica do concreto à φ diâmetro da armadura longitudinal compressão aos 28 dias φt diâmetro da armadura transversal

fctm 0,3fck2/3 (fck em MPa) resistência média do κ 0,5(1 – fck/250) (fck em MPa) coeficiente de

concreto à tração redução da resistência do concreto fissurado fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento por momento torçor do aço τ tensão tangencial do momento torçor

fyk resistência característica de escoamento do aço θ ângulo das bielas comprimidas de concreto Seção vazada de cálculo com espessura te Modelo resistente à momento torçor no estado limite

último Compressão diagonal e tração longitudinal (1 parede)

A – Verificação da compressão diagonal do concreto (dados b, h e fck, obter TRd,máx; Td < TRd,máx)

simplificado refinado cálculo θ (45o) θ (30o a 45o)

TRd,máx cdee ftA κ θκ 2senftA cdee A1 fck MPa 20 25 30 35

κ 0,460 0,450 0,440 0,430θ (45o) 0,657 0,804 0,943 1,075)tA/(T eemáx,Rd θ (30o) 0,569 0,696 0,817 0,931

obs.: TRd,máx/(Aete) em kN/cm2 B – Dimensionamento da armadura transversal (dados Td, b, h e fyk, obter Asw por parede)

(a) θθκ=θ= sencosfytCsenA2

yTcdee

e

emáx,Rd

ou θκ= 2senftAT cdeemáx,Rd (b) ydeess fy)u/A()2/F(2cosC ==θ

(c) θ=θθ=θ= tanfyuAtan)cosC(Csen

A2yT

ydee

s

e

ed

ou θ

=tanfA2

uTAyde

eds

simplificado refinado Tração transversal (1 parede) cálculo θ (45o) θ (30o a 45o)

Asw yde

d

fA2sT

θcotfA2sT

yde

d B1

Asw,mín ykctme f/sft2,0 B2 C – Dimensionamento da armadura longitudinal (dados Td, b, h e fyk, obter As total no perímetro ue)

simplificado refinado cálculo θ (45o) θ (30o a 45o)

As yde

ed

fA2uT

θtanfA2uT

yde

ed C1

As,mín ykctmee f/fut2,0 C2

(d) ydswe

e

ed fAscoty

A2yT θ

= ou θ

=cotfA2sTA

yde

dsw

[MUSSO]

torçãodefluxo)t( e =τ

ee2ee1 x)t(V;y)t(V τ=τ= 2/yV22/xV2T e2e1d += eeeeee yx)t(xy)t( τ+τ=

∴τ= ee A)t(2e

de A2

T)t( =τ

e

ed1 A2

yTV = ; e

ed2 A2

xTV =

Td

V2

Td ye

xe

V1

V2

V1

te Ae

(xeye)

seção real

seção de cálculo

e

emáx,Rd

A2yT

e

ed

A2yT

fissura

C = te(yecosθ)κfcd

θ

yecosθ

Fs/2 = (As/ue)yefyd/2

biela

θ

θ

Fs/2

ye

armadura longitudinal na parede ye

b

h

As

d

Ae, ue

te

A, u

Td

(yecotθ/s)Aswfyd

estribos

fissuras

s

θ

yecotθ

ye

número de estribos em yecotθ

b

h

Asw

d

Ae, ue

te

A, u

Td e

ed

A2yT


VIGA - DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À M. TORÇOR, M. FLETOR E FORÇA CORTANTE A – Verificação da compressão diagonal do concreto A bh área da seção transversal (dados Vd, Td, b, h e fck: Vd/ VRd,máx + Td/ TRd,máx < 1) Ae xeye área limitada pela linha média da seção

simplificado refinado vazada cálculo θ (45o) θ (30o a 45o) As,M área da seção da armadura longitudinal

VRd,máx cdfbd45,0 ν θν 2senfbd45,0 cd A1 tracionada para Md fck MPa 20 25 30 35 As,T área da seção da armadura longitudinal

ν 0,552 0,540 0,528 0,516 tracionada para Td simplificado refinado Asw,T área da seção da armadura transversal para Td cálculo

θ (45o) θ (30o a 45o) Asw,V área da seção da armadura transversal para Vd TRd,máx cdee ftA κ θκ 2senftA cdee A2 b largura da seção transversal

fck MPa 20 25 30 35 c1 cm52/c tt ≈φ+φ+ κ 0,460 0,450 0,440 0,430 ct cobrimento do estribo

Superposição de força cortante e momento torçor d altura útil da seção transversal fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à 1

TT

VV

máx,Rd

d

máx,Rd

d ≤+ A3 compressão

B – Dimensionamento da armadura transversal fck resistência característica do concreto à (dados Vd, Td, b, d, h, fck e fyk, obter Asw,total) compressão aos 28 dias

simplificado refinado fctd fctk/1,4 resist. de cálculo do concreto à tração cálculo θ (45o) θ (30o a 45o) fctk 0,7fctm resist. característica do concreto à tração

fctm 0,3fck2/3 (fck em MPa) resistência média do

Asw,V yd

cd

df9,0s)VV( −

θ−

cotdf9,0s)VV(

yd

cd B1 concreto à tração

od VV ≤ od VV > fyd fyk/1,15 resist. de cálculo de escoamento do aço

B2 fyk resistência característica de escoamento do aço cV oV oV o

omáx,Rd

dmáx,Rd VVVVV

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−


oV ctdbdf6,0 B3 Md 1,4(MG + MQ) momento fletor de cálculo fck MPa 20 25 30 40 Md,lim momento fletor de cálculo máximo com fctd MPa 1,105 1,282 1,448 1,605 armadura simples

)bd/(Vo kN/cm2 0,0663 0,0769 0,0869 0,0963 s espaçamento longitudinal entre estribos simplificado refinado 100 cm (para obter Asw em cm2/m) cálculo

θ (45o) θ (30o a 45o) te máximo(A/u; 2c1); < b/2; < h/2 espessura da parede da seção vazada Asw,T

por parede yde

d

fA2sT

θcotfA2sT

yde

d B4Td 1,4(TG + TQ) momento torçor de cálculo

Superposição de armaduras transversais TRd,máx momento torçor de cálculo máximo resistido por T,swV,swtotal,sw A2AA += B5 compressão diagonal das bielas de concreto

C – Dimensionamento da armadura longitudinal ue 2(xe + ye) perímetro da área Ae (dados Md, Td, b, d, h, fck e fyk, obter As por face) u 2(b + h) perímetro da seção transversal

fck < 35 MPa > 35 MPa cV força cortante resistida por outros mecanismos xlim 0,5d 0,4d C1 Vd 1,4(VG + VQ) força cortante de cálculo


2fbd22848,0 C2 VRd,máx força cortante de cálculo máxima resistida por Armadura simples (seção com As; Md < Md,lim; x < xlim) compressão diagonal das bielas de concreto

xe b – te largura da área Ae C3 ye h – te altura da área Ae

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=

cd2

d

fbd425,0M

11d25,1x x profundidade da linha neutra no estádio 3 (ELU)

ydcdM,s f/bxf68,0A = (face tracionada) C4 xlim profundidade máxima da linha neutra para simplificado refinado ruptura dúctil da seção (ruptura com aviso) cálculo

θ (45o) θ (30o a 45o) φ diâmetro da armadura longitudinal φt diâmetro da armadura transversal As,T

em ue yde

ed

fA2uT

θtanfA2uT

yde

ed C5κ 0,5(1 – fck/250) (fck em MPa) coeficiente de

Superposição de armaduras longitudinais redução da resist. do concreto fissurado por Td eeT,sMporcomprimidaface,s u/xAA = C6 ν 0,6(1 – fck/250) (fck em MPa) coeficiente de

eeT,slateralfacecada,s u/yAA = C7 redução da resist. do concreto fissurado por Vd

eeT,sM,sMportracionadaface,s u/xAAA += C8 θ ângulo das bielas comprimidas de concreto [MUSSO]


VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO TORÇOR - SIMPLIFICADO

[MUSSO]


VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO TORÇOR - REFINADO

[MUSSO]


6.2.6 - VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA PARA MOMENTO TORÇOR


VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA LONGITUDINAL E TRANSVERSAL A NÍVEL DE SEÇÃO T1 - Área da seção transversal de Q barras longitudinais (cm2)

Q Diâmetro da barra (mm) 5 6,3 8 10 12,5 16 20 22 25 1 0,20 0,31 0,50 0,79 1,23 2,01 3,14 3,80 4,91 2 0,39 0,62 1,01 1,57 2,45 4,02 6,28 7,60 9,82 3 0,59 0,94 1,51 2,36 3,68 6,03 9,42 11,40 14,73 4 0,79 1,25 2,01 3,14 4,91 8,04 12,57 15,21 19,63 5 0,98 1,56 2,51 3,93 6,14 10,05 15,71 19,01 24,54 6 1,18 1,87 3,02 4,71 7,36 12,06 18,85 22,81 29,45 7 1,37 2,18 3,52 5,50 8,59 14,07 21,99 26,61 34,36 8 1,57 2,49 4,02 6,28 9,82 16,08 25,13 30,41 39,27 9 1,77 2,81 4,52 7,07 11,04 18,10 28,27 34,21 44,18

10 1,96 3,12 5,03 7,85 12,27 20,11 31,42 38,01 49,09 11 2,16 3,43 5,53 8,64 13,50 22,12 34,56 41,81 54,00 12 2,36 3,74 6,03 9,42 14,73 24,13 37,70 45,62 58,90 13 2,55 4,05 6,53 10,21 15,95 26,14 40,84 49,42 63,81 14 2,75 4,36 7,04 11,00 17,18 28,15 43,98 53,22 68,72 15 2,95 4,68 7,54 11,78 18,41 30,16 47,12 57,02 73,63 16 3,14 4,99 8,04 12,57 19,63 32,17 50,27 60,82 78,54 17 3,34 5,30 8,55 13,35 20,86 34,18 53,41 64,62 83,45 18 3,53 5,61 9,05 14,14 22,09 36,19 56,55 68,42 88,36 19 3,73 5,92 9,55 14,92 23,32 38,20 59,69 72,23 93,27 20 3,93 6,23 10,05 15,71 24,54 40,21 62,83 76,03 98,17 21 4,12 6,55 10,56 16,49 25,77 42,22 65,97 79,83 103,08 22 4,32 6,86 11,06 17,28 27,00 44,23 69,12 83,63 107,99 23 4,52 7,17 11,56 18,06 28,23 46,24 72,26 87,43 112,90

T2 - Área da seção transversal de estribos de 1 ramo (cm2/m) Diâmetro da barra (mm) Diâmetro da barra (mm) s cm

5 6,3 8 10 12,5 s cm

5 6,3 8 10 12,5 7 2,80 4,45 7,18 11,22 17,53 19 1,03 1,64 2,65 4,13 6,46 8 2,45 3,90 6,28 9,82 15,34 20 0,98 1,56 2,51 3,93 6,14 9 2,18 3,46 5,59 8,73 13,64 21 0,93 1,48 2,39 3,74 5,84

10 1,96 3,12 5,03 7,85 12,27 22 0,89 1,42 2,28 3,57 5,58 11 1,78 2,83 4,57 7,14 11,16 23 0,85 1,36 2,19 3,41 5,34 12 1,64 2,60 4,19 6,54 10,23 24 0,82 1,30 2,09 3,27 5,11 13 1,51 2,40 3,87 6,04 9,44 25 0,79 1,25 2,01 3,14 4,91 14 1,40 2,23 3,59 5,61 8,77 26 0,76 1,20 1,93 3,02 4,72 15 1,31 2,08 3,35 5,24 8,18 27 0,73 1,15 1,86 2,91 4,55 16 1,23 1,95 3,14 4,91 7,67 28 0,70 1,11 1,80 2,80 4,38 17 1,15 1,83 2,96 4,62 7,22 29 0,68 1,07 1,73 2,71 4,23 18 1,09 1,73 2,79 4,36 6,82 30 0,65 1,04 1,68 2,62 4,09


5 6,3 8 10 12,5 s cm

5 6,3 8 10 12,5 7 5,61 8,91 14,36 22,44 35,06 19 2,07 3,28 5,29 8,27 12,92 8 4,91 7,79 12,57 19,63 30,68 20 1,96 3,12 5,03 7,85 12,27 9 4,36 6,93 11,17 17,45 27,27 21 1,87 2,97 4,79 7,48 11,69

10 3,93 6,23 10,05 15,71 24,54 22 1,78 2,83 4,57 7,14 11,16 11 3,57 5,67 9,14 14,28 22,31 23 1,71 2,71 4,37 6,83 10,67 12 3,27 5,20 8,38 13,09 20,45 24 1,64 2,60 4,19 6,54 10,23 13 3,02 4,80 7,73 12,08 18,88 25 1,57 2,49 4,02 6,28 9,82 14 2,80 4,45 7,18 11,22 17,53 26 1,51 2,40 3,87 6,04 9,44 15 2,62 4,16 6,70 10,47 16,36 27 1,45 2,31 3,72 5,82 9,09 16 2,45 3,90 6,28 9,82 15,34 28 1,40 2,23 3,59 5,61 8,77 17 2,31 3,67 5,91 9,24 14,44 29 1,35 2,15 3,47 5,42 8,46 18 2,18 3,46 5,59 8,73 13,64 30 1,31 2,08 3,35 5,24 8,18

VIGA - ESPAÇAMENTO LONGITUDINAL E DISTRIBUIÇÃO DA ARMADURA LONGITUDINAL Espaçamento longitudinal máximo entre estribos Distribuição da armadura longitudinal

[MUSSO]

< 35 cm

φt > 5 mm < b/10

45o

φ > φt (b < h)

sl,máx 67,0

VV

TTse);cm30;d6,0(mín

2Rd

Sd

2Rd

Sd ≤+

67,0VV

TTse);cm20;d3,0(mín

2Rd

Sd

2Rd

Sd >+


6.3 - VIGA - VERIFICAÇÃO NO ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS)


6.3.1 - VIGA - VERIFICAÇÃO DE FLECHA (ELS-DEF)


VIGA - VERIFICAÇÃO DE FLECHA EM VIGA DE SEÇÃO RETANGULAR (ELS-DEF)

As área da seção da armadura longitudinal Lbal comprimento do balanço tracionada MG momento fletor da ação permanente G sA′ área da seção da armadura longitudinal MQ momento fletor da ação variável Q comprimida MQP MG + ψ2MQ momento fletor da ação quase

b largura da seção transversal permanente pQP (momento positivo no vão; d altura útil da seção transversal momento no engaste, no caso de balanço) distância do centróide da armadura tracionada Mr Wcfctf momento fletor de fissuração à borda comprimida da seção transversal n Es/Ecs razão entre os módulos de elasticidade

d′ distância do centróide da armadura comprimida do aço e do concreto à borda comprimida da seção transversal pQP G + ψ2Q ação quase permanente

d ′′ h - d Q ação variável Ecs 4760fck

1/2 MPa módulo de elasticidade secante x2 profundidade da linha neutra no estádio 2 do concreto xc profundidade da linha neutra da seção bruta

Es 210000 MPa módulo de elasticidade do aço distância do centróide da seção bruta à fibra fck resistência característica do concreto à extrema comprimida compressão aos 28 dias t tempo que se deseja calcular a flecha (meses)

fctf αfctm resistência do concreto à tração na flexão to idade do concreto ao entrar em carga (meses) fctm 0,3fck

2/3 (fck em MPa) resistência média do yt h - xc distância do centróide da seção bruta à concreto à tração fibra extrema tracionada

fdiferida flecha do efeito da fluência do concreto Wc Ic/yt (bh2/6 para seção retangular) felástica flecha obtida com p = pQP, E = Ecs e I = Ic módulo resistente da seção bruta fimediata flecha da viga ao entrar em carga α 1,0 (EC2); 1,5 seção retangular (NBR 6118) flimite flecha máxima para limitar efeito visual αf coeficiente para levar em conta a fluência do

desagradável concreto no cálculo da flecha diferida ftotal fimediata + fdiferida flecha total ψ2 0,3 para edifícios residenciais G ação permanente 0,4 para edifícios comerciais, de escritórios, h altura da seção transversal estações e edifícios públicos I2 momento de inércia da seção no estádio 2 0,6 para bibliotecas, oficinas e garagens Ic bh3/12 para seção retangular fator de redução da ação variável para momento de inércia da seção bruta combinação de ação quase permanente

Ie momento de inércia efetivo da seção ρ’ As’/(bd) taxa geométrica de armadura L vão entre apoios longitudinal comprimida

A – Flecha elástica F - Parâmetros auxiliares elásticaf fck MPa 20 25 30 35

(ver flechas em diversos sistemas) A1

fctm MPa 2,210 2,565 2,896 3,210 B – Flecha imediata fctf MPa 3,316 3,847 4,345 4,815

Ecs MPa 21287 23800 26072 28161 n = Es/Ecs 9,865 8,824 8,055 7,457

e

celásticaimediata I

Iff = B1

G – Seção equivalente (seção fissurada – estádio 2) seção fissurada (MQP > Mr)

2

3

QP

rc

3

QP

re I

MM

1IMM

I⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (BRANSON) B2

seção não fissurada (MQP < Mr) ce II = B3

C – Flecha diferida imediatafdiferida ff α= C1

seção real seção equivalente de concreto

'501)t()t( o

f ρ+ξ−ξ

=α C2 )a2/(]aa4aa[x 1312

222 −+−= G1

)meses70t( ≤ξ 32,0t t)996,0(68,0 2/ba1 = G2 )meses70t( >ξ 2

C3 ss2 A)1n(nAa ′−+= G3

t meses 1 3 6 12 > 70 dA)1n(dnAa ss3 ′′−−−= G4 ξ(t) 0,68 0,95 1,18 1,44 2,00

D – Flecha total itelimdiferidaimediatatotal ffff ≤+= D1

22s

22s

32

2 )dx(A)1n()xd(nA3

bxI ′−′−+−+= G5

E – Flecha limite

250Lf itelim = (L = 2Lbal, no caso de balanço) E1

profundidade da l. neutra

∑∑= iii AAxx momento de inércia

∑ Δ+= )AI(I 2iii

[MUSSO]

d

b

As

LN sA′

d′

x2

d

b

nAs

LN (n-1) sA′

d′

x2

d-x2


VIGA - GRÁFICO DE PROFUNDIDADE DA LINHA NEUTRA DE SEÇÃO RETANGULAR NO ESTÁDIO 2

[MUSSO]


VIGA - GRÁFICO DE MOMENTO DE INÉRCIA DE SEÇÃO RETANGULAR NO ESTÁDIO 2

[MUSSO]


VIGA - GRÁFICO DE MOMENTO DE INÉRCIA EFETIVO DE SEÇÃO RETANGULAR - BRANSON

[MUSSO]


6.3.2 - VIGA - VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA (ELS-W)


VIGA - VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA EM VIGA DE SEÇÃO RETANGULAR (ELS-W)

Seção não Fissurada (Estádio 1) wk = 0

Módulo de Elasticidade do Aço Es e Módulo de Elasticidade Secante do Concreto Ecs aço Es = 210.000 MPa (11) concreto 2/1

ck2/1

ckcics f4760f)5600(85,0E85,0E === MPa (12)

Verificação da Segurança ELS-W

wk < wlim (15)

[MUSSO]

Momento Fletor de Cálculo MF

MF = MGk + ψ1MQ1k + nψ2jMQjk (1)

(combinação freqüente) MGk parcela permanente ψ1MQ1k parcela variável principal

nψ2jMQjk demais parcelas variáveis

Tabela 1 – Coeficientes Ψ1 e Ψ2 Finalidade da Estrutura ψ1 ψ2 edifício residencial 0,4 0,3 edifício comercial 0,6 0,4 biblioteca; oficina; garagem 0,7 0,6

Momento de Fissuração Mr,w É o valor do momento fletor que produz na seção bruta (secão de concreto desprezando armadura) uma tensão igual a fct,f na fibra extrema tracionada

W,ctcW,r fWM = (2) Wc módulo resistente da seção bruta em relação a fibra extrema tracionada tc y/I= (3) Ic momento de inércia da seção bruta yt distância do centróide à fibra ext. tracionada fct,W resistência do concreto à tração na flexão

(módulo de ruptura) (MPa) )gulartanreseção(f05,1 ctm= (NBR 6118) (4a)

)Tseção(f84,0 ctm= (NBR 6118) (4b) )2EC(fctm= (4c)

MF < Mr,w ? Sim Não

Seção Fissurada (Estádio 2)

)6(454E5,12

w);5(f3

E5,12w

rs

s

12

ctm

s

s

s

11 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ρσ

ηφ

=σσ

ηφ

=

)w;w(mínimow 21k = (7) wk abertura de fissura característica φ diâmetro da barra da armadura longitudinal η1 coeficiente de conformação superficial da barra σs tensão no aço tracionado no estádio 2 Es módulo de elasticidade do aço fctm resistência média do concreto à tração = 0,3fck

2/3 (MPa) (8) ρr taxa de armadura As na região de envolvimento Acr

= As/Acr (9) As área de aço da armadura longitudinal tracionada Acr área da região de envolvimento

Área de Envolvimento Acr

Acr = mín[(y+7,5φ); h/2].b (10)

d h Acr

b

< h/2

7,5φ

y

φ

Tensão no Aço Tracionado na Seção Fissurada σs (Estádio 2 puro)

)xd(IM

nn 22

Fcs −=σ=σ (14)

n razão Es/Ecs (13) MF momento fletor para combinação frequente I2 momento de inércia da seção no estádio 2 d altura útil da seção x2 profundidade da linha neutra no estádio 2

x2; I2 (ver ELS-DEF)

Tabela 2 - Coeficiente de Conformação Superficial η1 Tipo de Barra η1

lisa (CA-25) 1,00

entalhada (CA-60) 1,40

alta aderência (CA-50) 2,25

Tabela 3 - Abertura de Fissura Limite wlim Classe de

Agressividade Ambiental

Agressividade Tipo de Ambiente wlim (mm)

I fraca rural ou submerso 0,4 II moderada urbano III forte marinho ou industrial 0,3

IV muito forte indústrias químicas ou respingos de maré 0,2


6.4 - VIGA - EXEMPLOS


VIGA BIAPOIADA - (b = 20 cm; C25)

[MUSSO]


VIGA MONOENGASTADA - (b = 20 cm; C25)

[MUSSO]


VIGA BIENGASTADA - (b = 20 cm; C25)

[MUSSO]


VIGA EM BALANÇO - (b = 20 cm; C25)

[MUSSO]

7 - LAJE


7.1 - LAJE - DEFINIÇÕES


LAJE - SISTEMAS ESTRUTURAIS DE LAJES MACIÇAS E LAJES NERVURADAS

Lajes Maciças Lajes Nervuradas

Laje maciça com vigas Laje nervurada com vigas

Laje maciça lisa Laje nervurada com capitel Laje cogumelo nervurada

Laje maciça com capitel Laje cogumelo maciça Laje nervurada com vigas integradas

[MUSSO]


7.2 - LAJE - ANÁLISE


LAJE - VÃO EFETIVO DE LAJES

[NBR 6118]


LAJE - CRITÉRIO SIMPLIFICADO DE ENGASTAMENTO DE LAJES CONTÍNUAS COM APOIOS LINEARES Esquema 1

Engastar L1 em L2 Engastar L2 em L1 se 0,8a2 < a1

Esquema 2

a1 < a2

L1 L2

a2

Engastar L1 em L2 Engastar L2 em L1 se 0,8a2 < a1 e x > 2y/3

Engastar L3 em L2

a1 < a2

L1 L2

a2

x y

vazio

L3

a3

laje

em

ba

lanç

o

Exemplo [MUSSO]

4 m

L1 L3

5 m

5m

vazio

L4

1 m

laje

em

ba

lanç

o

7m

6 m

L2



LAJE - ÁREAS PARA FORÇA CORTANTE EM LAJES COM CARGA UNIFORME E APOIOS LINEARES

[MUSSO]

a b

45o 45o

45o 45oa/

2 a/

2

[ab-

a2 /2]/2

a2/4

a2/4

[ab-

a2 /2]/2

a/2 a/2

a

b

30o 45o

30o 45o

[(3-3

1/2 )a

b-(2

.31/

2 -3)a

2 ]/2

(31/

2 -1)a

/2

(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2

(31/2-1)a2/4

(31/

2 -1)a

/2

(31/2-1)a2/4 [(31/

2 -1)a

b-(2

-31/

2 )a2 ]/2

b/a > 31/2-1 4

a

b

30o 30o

30o 30o

[ab-

31/2 a2 /6

]/2

[ab-

31/2 a2 /6

]/2

31/2a2/12

31/2a2/12

31/2 a/

631/

2 a/6

a/2 a/2

b/a > 31/2/3 7

a

b

30o 45o

45o 60o

(3-3

1/2 )[a

b/2-

a2 /4]

(3-3

1/2 )a

/2

(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2

(31/2-1)a2/4

(31/

2 -1)a

/2

(3-31/2)a2/4

(31/

2 -1)[a

b/2-

a2 /4]

a

b

45o 60o

45o 60o

[(3-3

1/2 )a

b-3(

2-31/

2 )a2 ]/2

(3-3

1/2 )a

/2

(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2

(3-31/2)a2/4

(3-3

1/2 )a

/2

(3-31/2)a2/4

[(31/

2 -1)a

b-(2

.31/

2 -3)a

2 ]/2

b/a > 1 b/a > 3-31/2

5 6a

b

a

45o 30o

45o 30ob/

2 b/

2

b2 /4

b/2

31/2 b2 /1

2

[ab-(31/2+3)b2/12]/2

31/2b/6

[ab-(31/2+3)b2/12]/2

b/a < 3-31/2

6b

a

b

30o 30o

45o

[ab-

(31/

2 +3)a

2 /12]

/2 31/2a2/12

31/2 a/

6a/

2[ab-

(31/

2 +3)a

2 /12]

/2

a2/4

45o

a/2 a/2

a

b

45o 45o

45o 45o

a/2

a/2

[ab-

a2 /2]/2

a2/4

a2/4

[ab-

a2 /2]/2

a/2 a/2

b/a > (31/2+3)/6 b/a > 1 8 9

b

a

30o 30o

30o 30ob/

2 b/

2

31/2 b2 /1

2

31/2b/6

31/2 b2 /1

2

[ab-31/2b2/6]/2

31/2b/6

[ab-31/2b2/6]/2

b/a > 31/2 b/a < 31/2

3a 3b a

b

60o 60o

60o 60o

31/2 a/

2 [ab-

31/2 a2 /2

]/2

31/2a2/4

31/2a2/4

31/2 a/

2

[ab-

31/2 a2 /2

]/2

a/2 a/2

a

b

45o 45o

60o 60o

a/2

31/2 a/

2

[ab-

(31/

2 +1)a

2 /4]/2

a2/4

31/2a2/4

a/2 a/2

[ab-

(31/

2 +1)a

2 /4]/2

b

a

45o 45o

30o 30o

(31/

2 -1)b

/2

(3-3

1/2 )b

/2

(31/

2 -1)b

2 /4

(31/2-1)b/2

(31/

2 -1)b

2 /4

[(3-31/2)ab-(2.31/2-3)b2]/2

[(31/2-1)ab-(2-31/2)b2]/2

(31/2-1)b/2

b/a > 1 b/a > (31/2+1)/2 b/a < (31/2+1)/2 1 2a 2b


LAJE - FORÇA CORTANTE EM LAJES COM CARGA UNIFORME E APOIOS LINEARES (β = b/a)

[MUSSO]

a b

45o 45o

45o 45oa/

2 a/

2 pa[1

-1/(2

β)]/2

pa/4

pa/4

a/2 a/2 β > 31/2-1 a

b

30o 45o

30o 45o

pa[(3

-31/

2 )-(2

.31/

2 -3)/β

]/2

(31/

2 -1)a

/2

(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2

pa(31/2-1)/4

(31/

2 -1)a

/2

pa(31/2-1)/4

pa[(3

1/2 -1

)-(2-

31/2 )/β

]/2

4

a

b

30o 30o

30o 30o

pa[1

-31/

2 /(6β)

]/2

pa[1

-31/

2 /(6β)

]/2

pa31/2/12

pa31/2/12

31/2 a/

631/

2 a/6

a/2 a/2

β > 31/2/3 7

β > 3-31/2a

b

30o 45o

45o 60o

pa(3

-31/

2 )[1/2

-1/(4

β)]

(3-3

1/2 )a

/2

(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2

pa(31/2-1)/4

(31/

2 -1)a

/2

pa(3-31/2)/4

pa(3

1/2 -1

)[1/2

-1/(4

β)]

a

b

45o 60o

45o 60o

pa[(3

-31/

2 )-3(

2-31/

2 )/β]/2

(3-3

1/2 )a

/2

(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2

pa(3-31/2)/4

(3-3

1/2 )a

/2

pa(3-31/2)/4 pa[(3

1/2 -1

)-(2.

31/2 -3

)/β]/2

β > 1 5 6a

b

a

45o 30o

45o 30ob/

2 b/

2

paβ/

4

b/2

pa31/

2 β/12

pa[β-(31/2+3)β2/12]/2

31/2b/6

pa[β-(31/2+3)β2/12]/2

β < 3-31/2

6b

a

b

30o 30o

45o

pa[1

-(31/

2 +3)/(

12β)

]/2 pa31/2/12

31/2 a/

6a/

2pa[1

-(31/

2 +3)/(

12β)

]/2

pa/4 45o

a/2 a/2

a

b

45o 45o

45o 45o

a/2

a/2

pa[1

-1/(2

β)]/2

pa/4

pa/4

pa[1

-1/(2

β)]/2

a/2 a/2

β > (31/2+3)/6 β > 1 8 9

β < 31/2b

a

30o 30o

30o 30ob/

2 b/

2 pa31/

2 β/12

31/2b/6

pa31/

2 β/12

pa[β-31/2β2/6]/2

31/2b/6

pa[β-31/2β2/6]/2

β > 31/2

3a 3b a

b

60o 60o

60o 60o

31/2 a/

2

pa[1

-31/

2 /(2β)

]/2

pa31/2/4

pa31/2/4

31/2 a/

2

pa[1

-31/

2 /(2β)

]/2

a/2 a/2

a

b

45o 45o

60o 60o

a/2

31/2 a/

2

pa[1

-(31/

2 +1)/(

4β)]/

2

pa/4

pa31/2/4

a/2 a/2

β < (31/2+1)/2

b

a

45o 45o

30o 30o

(31/

2 -1)b

/2

(3-3

1/2 )b

/2

pa(3

1/2 -1

)β/4

(31/2-1)b/2

pa(3

1/2 -1

)β/4

pa[(3-31/2)β-(2.31/2-3)β2]/2

pa[(31/2-1)β-(2-31/2)β2]/2

(31/2-1)b/2

β > 1 β > (31/2+1)/2 1 2a 2b

pa[1

-1/(2

β)]/2

pa[1

-(31/

2 +1)/(

4β)]/

2

LAJE - ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES (ν = 0,2) multiplicar

[MUSSO]


LAJE - ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES (ν = 0,2) dividir

[MUSSO]


LAJE - ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES - (ν = 0,0)

[CZERNY]


LAJE - ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES - (ν = 0,15)

[BARES]


LAJE - INFLUENCIA DO MÓDULO DE POISSON

[BARES]



[BARES]


LAJE - MOMENTOS E FLECHAS EM LAJE COM APOIOS INTERNOS PONTUAIS - PAINEL DE CANTO

[EISENBIEGLER]


7.3 - LAJE - DIMENSIONAMENTO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU)


LAJE - DIMENSÕES LIMITES DE LAJES

[NBR 6118]


7.3.1 - LAJE - DIMENSIONAMENTO À MOMENTO FLETOR (ELU-M)


LAJE - FORMULÁRIO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÂO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR (ELU-M)

As área da seção da armadura longitudinal fyk resistência característica de escoamento do aço tracionada h altura da seção transversal sA′ área da seção da armadura longitudinal Md 1,4(MG + MQ) momento fletor de cálculo comprimida Md,lim momento fletor de cálculo máximo com

As,mín área mínima da seção da armadura longitudinal armadura simples tracionada MG momento fletor da ação permanente G

As,lim área da seção da armadura tracionada MQ momento fletor da ação variável Q correspondente a Md,lim T força de tração na armadura longitudinal b largura da seção transversal x profundidade da linha neutra no estádio 3 (ELU) C força de compressão no concreto xlim profundidade máxima da linha neutra para d altura útil da seção transversal ruptura dúctil da seção (ruptura com aviso) distância do centróide da armadura tracionada à z braço de alavanca (braço do binário) borda comprimida da seção transversal encurtamento da fibra extrema de concreto εc

d′ fyd/Es deformação de escoamento do aço distância do centróide da armadura comprimida εyd à borda comprimida da seção transversal εs alongamento da armadura tracionada

d ′′ h - d sε′ encurtamento da armadura comprimida dlim altura útil mínima com armadura simples ξ x/d profundidade da linha neutra adimensional Es 210000 MPa módulo de elasticidade do aço λ 0,8 coeficiente de redução da altura comprimida fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à da seção (diagrama retangular x parabólico) compressão η 0,85 coeficiente de redução da resistência de

fck resistência característica do concreto à cálculo do concreto à compressão compressão aos 28 dias μ Md/(bd2ηfcd) momento fletor adimensional

fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento sdσ′ tensão de compressão na armadura longitudinal do aço

A – Momento fletor de cálculo máximo com armadura simples (dados b, d e fck, obter Md,lim)

Modelo resistente à momento fletor no estado limite último

fck < 35 MPa > 35 MPa Armadura simples (seção com As; Md < Md,lim; x < xlim) xlim 0,5d 0,4d A1


2fbd22848,0 A2

As,lim ydcd f/bdf34,0 ydcd f/bdf272,0 A3B – Altura útil mínima da seção com armadura simples (dados Md e b, obter dlim)


dlimcd

d

bf272,0M

cd

d

bf22848,0M B1

C - Dimensionamento da armadura longitudinal (dados Md, b, d, fck e fyk, obter As e As’) Armadura simples (seção com As; Md < Md,lim; x < xlim)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=

cd2

d

fbd425,0M11d25,1x C1

ydcds f/bxf68,0A = C2( )bhf/f035,0%;15,0máximoA ydcdmín,s = C3

fck MPa 20 25 30 35

b η

(a) )2/xd(fxb)x(fCzM cdd λ−ηλ=== (b) ydcdscdyds f/fxbAoufxbCfAT ηλ=ηλ===

:fbd)a( cd2η÷ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ λ−

λ=

η d2x1

dx

fbdM

cd2

d ou

( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

η−−

λ==μ−−=λξ

=μ+λξ−λξ∴λξ−λξ=λξ−λξ=μ

cd2

dd

22

fbdM211d)M(fxou211)c(

0)(2/)(2/)()(2/1

As,mín/(bh) 0,150% 0,150% 0,173% 0,201% Armadura dupla (seção com As e ; MsA′ d > Md,lim; x = xlim)

Armadura dupla (seção com As e ; MsA′ d > Md,lim; x = xlim)

)dd(fMM

AAyd

lim,ddlim,ss ′−

−+= C4

)dd(MM

Asd

lim,dds ′−σ′

−=′ C5

ydsydsd sef ε≥ε′=σ′ ; σ ydssssd seE ε<ε′ε′=′ C6fck < 35 MPa > 35 MPa

sε′ )d/d5,0(007,0 ′− )d/d4,0(00875,0 ′− C7fyk 250 MPa 500 MPa 600 MPa εyd 1,035‰ 2,070‰ 2,484‰ C8

(d) lim,ddlim,dd MMMouMMM −=ΔΔ+= (e) )]dd(/[MAou)dd(AM sdssds ′−σ′Δ=′′−σ′′=Δ (f) ydsdslim,sssdsydlim,syds f/AAAouAfAfA σ′′+=σ′′+=

[MUSSO]

x

Md

λx

T = Asfyd

C = bλxηfcd

2/xdz λ−=

fcd

h d As

ηfcd

LN

′d′

xlim

Md

Asfyd

sdsA σ′′

=

sdsA σ′′

sdsA σ′′

ΔMd-d´

As,limfyd

Md,lim

λxlim

+

ηfcdηfcd

d

b

As

LN

d′

sA′xlim

εc = 3,5‰

d ′′

εs

d sε′

d′

lim

lim

s

x‰5,3dx

=

′−ε′


LAJE - PARÂMETROS ADIMENSIONAIS DE DIMENSIONAMENTO A MOMENTO FLETOR

[MUSSO]


LAJE - GRÁFICO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR

[MUSSO]


LAJE - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR

[MUSSO]



LAJE - DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO T À MOMENTO FLETOR (ELU-M) (hf < λxlim ; λ = 0,8 ; η = 0,85) A - Momento fletor resistido pela mesa comprimida (MRf) B - Momento fletor máximo com armadura simples (Md,lim)

)2/hd(fhbCzM fcdffRf −η== A1 )2/xd(fxb)2/hd(fh)bb(

zCzCMMM

limcdlimwfcdfwf

wwaalim,walim,d

λ−ηλ+−η−=

=+=+= B1

C - Profundidade limite da linha neutra (xlim) xlim = 0,5d se fck < 35 MPa xlim = 0,4d se fck > 35 MPa C1 D - CASO 1 – Seção T com Md < MRf (parte da mesa comprimida) G - Armadura mínima para seção T (As,mín) armadura simples seção retangular com Md e b = bf A)f/f024,0%;15,0(máximoA ydcdmín,s = G1

fck MPa 20 25 30 35 As,mín/A 0,15% 0,15% 0,15% 0,15%

hbh)bb(A wfwf +−= (área da seção T) G2H - Tensão na armadura comprimida )( sdσ′

)(f ydsydsd ε≥ε′=σ′ ; )(E ydssssd ε<ε′ε′=σ′ H1


sε′ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

−dd5,0007,0 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

−dd4,000875,0 H2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=

cd2

f

d

fdb425,0M11d25,1x D1

fyk 250 MPa 500 MPa 600 MPa

sA

mín,sydcdfs Af/xfb68,0A ≥= D2 εyd 1,035‰ 2,070‰ 2,484‰ H3 E - CASO 2 - Seção T com MRf < Md < Md,lim (toda mesa e parte da alma comprimidas)

Superposição de efeitos (abas comprimidas + parte da alma comprimida) abas (seção retangular com Ma e b = bf - bw) alma (seção retangular com Mw e b = bw) armadura simples

)2/hd(fh)bb(zCM fcdfwfaaa −η−== E1 adw MMM −= E4

ff h25,1hx =

λ= E2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=

cd2

w

w

fdb425,0M11d25,1x E5

was AAA +=

ydcdwfa f/xf)bb(68,0A −= E3 ydcdww f/xfb68,0A = E6 F - CASO 3 - Seção T com Md > Md,lim (toda mesa e parte da alma comprimidas)

Superposição de efeitos (abas comprimidas + parte da alma comprimida) abas (seção retangular com Ma e b = bf - bw) alma (seção retangular com Mw e b = bw)

armadura dupla

)2/hd(fh)bb(zCM fcdfwfaaa −η−== F1 adw MMM −= F4

)2/xd(fxbM limcdlimwlim,w λ−ηλ= F5

ydcdlimwlim,w f/fxb68,0A = F6 f

f h25,1hx =λ

= F2

)dd(MA

sds ′−σ′

Δ=′ ; lim,ww MMM −=Δ F7

was AAA +=

sA′

ydcdwfa f/xf)bb(68,0A −= F3 ydsdslim,ww f/AAA σ′′+= F8 [MUSSO]

x

MRf

λx = hf

T = Asfyd

C = bf hfηfcd

z = d - hf /2

ηfcd

h d

bf

As

LN

bw

hf xlim

Md,lim

λxlim

T = As,limfyd

Ca = (bf - bw)hf ηfcd

za = d - hf /2

ηfcd

h d

bf

AsLN

bw

hfa w a

zw = d - λxlim /2

Cw = bwλxlimηfcd

h d

bf

As

bw

hf

Md Ma

bf - bw

Aa

hf

d

bw

Aw

λx

Mw

d

Ma

bf - bw

Aa

hf

d

h d

bf

As

bw

hf

Mdd

bf

As

λx

Md

h d

bf

As

bw

hf

Md

d′ sA′

bw

Aw

λxlim

Mw

sA′

d

d′

sdsA σ′′

sdsA σ′′

ΔMd-d´+

Aw,limfydMw,lim

bwλxlimηfcd

=

LAJE - LARGURA COLABORANTE DA MESA DE SEÇÃO T

[NBR 6118]


LAJE - TABELA DE MOMENTO DE INÉRCIA E POSIÇÃO DO CENTRO DE GRAVIDADE DE SEÇÃO T

[MUSSO]


LAJE - TAXA MÍNIMA DE ARMADURA LONGITUDINAL DE TRAÇÂO

Ac área da seção transversal de concreto fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento do aço à tração

As área da seção da armadura longitudinal de tração


As,mín área da seção mínima da armadura longitudinal de tração


b largura da seção transversal ρ As/Actaxa geométrica de armadura longitudinal de tração

fcd fck/1,4 ω Asfyd/(Acfcd) taxa mecânica de armadura longitudinal de tração

resistência de cálculo do concreto à compressão


[NBR 6118]


LAJE - DISTRIBUIÇÂO DA ARMADURA LONGITUDINAL T1 - Área da seção transversal de barras longitudinais por metro de laje (cm2/m)

Diâmetro da barra (mm) - φ < h/8 Espaça- mento 5 6,3 8 10 12,5 16 20 22 25

7 2,80 4,45 7,18 11,22 17,53 28,72 44,88 54,30 70,12 8 2,45 3,90 6,28 9,82 15,34 25,13 39,27 47,52 61,36 9 2,18 3,46 5,59 8,73 13,64 22,34 34,91 42,24 54,54 10 1,96 3,12 5,03 7,85 12,27 20,11 31,42 38,01 49,09 11 1,78 2,83 4,57 7,14 11,16 18,28 28,56 34,56 44,62 12 1,64 2,60 4,19 6,54 10,23 16,76 26,18 31,68 40,91 13 1,51 2,40 3,87 6,04 9,44 15,47 24,17 29,24 37,76 14 1,40 2,23 3,59 5,61 8,77 14,36 22,44 27,15 35,06 15 1,31 2,08 3,35 5,24 8,18 13,40 20,94 25,34 32,72 16 1,23 1,95 3,14 4,91 7,67 12,57 19,63 23,76 30,68 17 1,15 1,83 2,96 4,62 7,22 11,83 18,48 22,36 28,87 18 1,09 1,73 2,79 4,36 6,82 11,17 17,45 21,12 27,27 19 1,03 1,64 2,65 4,13 6,46 10,58 16,53 20,01 25,84 20 0,98 1,56 2,51 3,93 6,14 10,05 15,71 19,01 24,54 21 0,93 1,48 2,39 3,74 5,84 9,57 14,96 18,10 23,37 22 0,89 1,42 2,28 3,57 5,58 9,14 14,28 17,28 22,31 23 0,85 1,36 2,19 3,41 5,34 8,74 13,66 16,53 21,34 24 0,82 1,30 2,09 3,27 5,11 8,38 13,09 15,84 20,45 25 0,79 1,25 2,01 3,14 4,91 8,04 12,57 15,21 19,63 26 0,76 1,20 1,93 3,02 4,72 7,73 12,08 14,62 18,88 27 0,73 1,15 1,86 2,91 4,55 7,45 11,64 14,08 18,18 28 0,70 1,11 1,80 2,80 4,38 7,18 11,22 13,58 17,53 29 0,68 1,07 1,73 2,71 4,23 6,93 10,83 13,11 16,93 30 0,65 1,04 1,68 2,62 4,09 6,70 10,47 12,67 16,36 31 0,63 1,01 1,62 2,53 3,96 6,49 10,13 12,26 15,83 32 0,61 0,97 1,57 2,45 3,83 6,28 9,82 11,88 15,34 33 0,59 0,94 1,52 2,38 3,72 6,09 9,52 11,52 14,87

T2 – Taxa mínima de armadura longitudinal ρmín = As,mín/(bh) e espaçamento máximo das barras fck MPa 20 25 30 35 40 45 50

armadura negativa de laje armada em

duas direções

0,150% emáx = 2h < 20 cm

0,150% emáx = 2h < 20 cm

0,150% emáx = 2h < 20 cm

0,173% emáx = 2h < 20 cm

0,201% emáx = 2h < 20 cm

0,230% emáx = 2h < 20 cm

0,259% emáx = 2h < 20 cm

armaduras positivas de laje armada em duas

direções

0,101% emáx = 2h < 20 cm

0,101% emáx = 2h < 20 cm

0,101% emáx = 2h < 20 cm

0,116% emáx = 2h < 20 cm

0,135% emáx = 2h < 20 cm

0,154% emáx = 2h < 20 cm

0,173% emáx = 2h < 20 cm

armadura negativa de laje armada em

uma direção

0,150% emáx = 2h < 20 cm

0,150% emáx = 2h < 20 cm

0,150% emáx = 2h < 20 cm

0,173% emáx = 2h < 20 cm

0,201% emáx = 2h < 20 cm

0,230% emáx = 2h < 20 cm

0,259% emáx = 2h < 20 cm

armadura positiva principal de laje armada em uma

direção

0,150% emáx = 2h < 20 cm

0,150% emáx = 2h < 20 cm

0,150% emáx = 2h < 20 cm

0,173% emáx = 2h < 20 cm

0,201% emáx = 2h < 20 cm

0,230% emáx = 2h < 20 cm

0,259% emáx = 2h < 20 cm

armadura positiva secundária de laje armada em uma

direção

0,075% >0,2As,princ emáx=33cm







obs.: 1 – valores acima válidos para fyk = 500 MPa (aço CA-50) 2 – laje armada em uma direção é a laje cuja razão entre o comprimento do lado maior e o comprimento do lado menor > 2 3 – laje armada em duas direções é a laje cuja razão entre o comprimento do lado maior e o comprimento do lado menor < 2 4 – independente da laje ser definida como armada em uma ou duas direções, toda laje possui armadura longitudinal disposta nas duas direções 5 – armadura negativa é aquela colocada próxima a face superior da laje (resiste a tração superior causada por momento fletor negativo) 6 – armadura positiva é aquela colocada próxima a face inferior da laje (resiste a tração inferior causada por momento fletor positivo) [MUSSO]


LAJE - TELA SOLDADA NERVURADA GERDAU

[www.nortefer.com.br]


7.3.2 - LAJE - DIMENSIONAMENTO À FORÇA CORTANTE (ELU-V)


LAJE - VERIFICAÇÃO DA RESISTÊNCIA À FORÇA CORTANTE SEM ARMADURA TRANSVERSAL (ELU-V)

As área da seção da armadura longitudinal tracionada k1 1,6 – d > 1 d em m parâmetro k1

b largura da seção transversal 100 cm no caso de laje maciça

Vd 1,4(VG + VQ) força cortante solicitante de cálculo

100bn/en no caso de laje nervurada bn largura da nervura, no caso de laje nervurada VRd1 força cortante resistente de cálculo por

tração diagonal do concreto d altura útil da seção transversal

distância do centróide da armadura tracionada à borda comprimida da seção transversal

VRd2 força cortante resistente de cálculo máxima por compressão diagonal das bielas de concreto

en espaçamento entre nervuras, no caso de laje nervurada

VG força cortante da ação permanente G


VQ força cortante da ação variável Q


ν 0,6(1 – fck/250); fck em MPa coeficiente de redução da resistência do concreto fissurado por força cortante

fctd fctk/1,4 resistência de cálculo do concreto à tração

ρ1 As/(bd) < 0,02 taxa geométrica de armadura longitudinal tracionada

fctk 0,7fctmresistência característica do concreto à tração

τRd 0,25fctdtensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento

fctm 0,3fck2/3 (fck em MPa)

resistência média do concreto à tração θ ângulo das bielas comprimidas de concreto

h altura da seção transversal A – Força cortante resistente de cálculo por tração do concreto (dados b e d, obter VRd1; Vd < VRd1)

bd)402,1(kV 11Rd1Rd ρ+τ= A1 VRd1

3/2ckctd f0375,0f25,0 = (fck em MPa) A2 τRd

1d6,1 ≥− d em m A3 k1

ρ1 02,0bdA s ≤ A4

fck MPa 20 25 30 35 40 fctm MPa 2,210 2,565 2,896 3,210 3,509 fctk MPa 1,547 1,795 2,028 2,247 2,456 fctd MPa 1,105 1,282 1,448 1,605 1,754 τRd MPa 0,2763 0,3206 0,3621 0,4012 0,4386 B – Força cortante resistente de cálculo por compressão do concreto (dados b e d, obter VRd2; Vd < VRd2) mod simplificado (θ = 45o) refinado (θ = 30o-45o) VRd2 cdfbd45,0 ν θν 2senfbd45,0 cd B1 fck MPa 20 25 30 35 40

ν 0,552 0,540 0,528 0,516 0,504

bdV 2Rd 45o 0,355 0,434 0,509 0,581 0,648

bdV 2Rd 30o 0,307 0,376 0,441 0,503 0,561

obs.: VRd2/(bd) em kN/cm2

[MUSSO]


7.3.3 - LAJE - DIMENSIONAMENTO À PUNÇÃO


LAJE - ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA À PUNÇÃO (ELU-PUNÇÃO) O que é punção? Punção é a ruptura local por cisalhamento, resultante de uma força concentrada (carga ou reação) atuando em uma área relativamente pequena, chamada de “área carregada” Ruptura por punção de laje em concreto armado

Sistemas estruturais de lajes onde se deve verificar a resistência à punção

Laje maciça lisa Laje nervurada com capitel Laje maciça com capitel

Ensaio de resistência à punção

1908 2006

Modelo para verificação da resistência à punção

Corte Planta Perímetros básicos u1 típicos em torno de áreas carregadas

O perímetro básico u1 geralmente é definido a uma distância 2d da área carregada e deve ser construído de modo a minimizar seu comprimento [MUSSO]


LAJE - ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA À PUNÇÃO - COMPARAÇÂO ENTRE NORMAS

[MUSSO]


7.4 - LAJE - VERIFICAÇÃO NO ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS)


7.4.1 - LAJE - VERIFICAÇÃO DE FLECHA (ELS-DEF)


LAJE - VERIFICAÇÃO DE FLECHA EM LAJE DE SEÇÃO RETANGULAR (ELS-DEF)

As área da seção da armadura longitudinal Lbal comprimento do balanço tracionada MG momento fletor da ação permanente G sA′ área da seção da armadura longitudinal MQ momento fletor da ação variável Q comprimida MQP MG + ψ2MQ momento fletor da ação quase

b largura da seção transversal permanente pQP (momento positivo no vão; d altura útil da seção transversal momento no engaste, no caso de balanço) distância do centróide da armadura tracionada Mr Wcfctf momento fletor de fissuração à borda comprimida da seção transversal n Es/Ecs razão entre os módulos de elasticidade

d′ distância do centróide da armadura comprimida do aço e do concreto à borda comprimida da seção transversal pQP G + ψ2Q ação quase permanente

d ′′ h - d Q ação variável 4760fck

1/2 MPa módulo de elasticidade secante x2 profundidade da linha neutra no estádio 2 Ecs do concreto xc profundidade da linha neutra da seção bruta

Es 210000 MPa módulo de elasticidade do aço distância do centróide da seção bruta à fibra fck resistência característica do concreto à extrema comprimida compressão aos 28 dias t tempo que se deseja calcular a flecha (meses)

fctf αfctm resistência do concreto à tração na flexão to idade do concreto ao entrar em carga (meses) 0,3fck

2/3 (fck em MPa) resistência média do yt h - xc distância do centróide da seção bruta à fctm concreto à tração fibra extrema tracionada

flecha do efeito da fluência do concreto Wc Ic/yt (bh2/6 para seção retangular) fdiferidafelástica flecha obtida com p = pQP, E = Ecs e I = Ic módulo resistente da seção bruta fimediata flecha da viga ao entrar em carga α 1,0 (EC2); 1,5 seção retangular (NBR 6118) flimite flecha máxima para limitar efeito visual αf coeficiente para levar em conta a fluência do

desagradável concreto no cálculo da flecha diferida ftotal fimediata + fdiferida flecha total ψ2 0,3 para edifícios residenciais G ação permanente 0,4 para edifícios comerciais, de escritórios, h altura da seção transversal estações e edifícios públicos I2 momento de inércia da seção no estádio 2 0,6 para bibliotecas, oficinas e garagens

bh3/12 para seção retangular fator de redução da ação variável para Ic momento de inércia da seção bruta combinação de ação quase permanente

Ie momento de inércia efetivo da seção ρ’ As’/(bd) taxa geométrica de armadura L vão entre apoios longitudinal comprimida

A – Flecha elástica F - Parâmetros auxiliares elásticaf fck MPa 20 25 30 35

(ver flechas em diversos sistemas) A1

fctm MPa 2,210 2,565 2,896 3,210 B – Flecha imediata fctf MPa 3,316 3,847 4,345 4,815

Ecs MPa 21287 23800 26072 28161 n = Es/Ecs 9,865 8,824 8,055 7,457

e

celásticaimediata I

Iff = B1

G – Seção equivalente (seção fissurada – estádio 2) seção fissurada (MQP > Mr)

2

3

I⎥⎥

⎦

⎤

⎟⎟⎠

⎞

QP

rc

3

QP

re M

M1I

MM

I⎢⎢

⎣

⎡

⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= B2 (BRANSON)

seção não fissurada (MQP < Mr) ce II = B3

C – Flecha diferida C1

seção real seção equivalente de concreto

b

imediatafdiferida ff α=

'501)t()t( o

f ρ+ξ−ξ

=α C2 )a2/(]aa4aa[x 1312

222 −+−= G1

)meses70t( ≤ξ 32,0t t)996,0(68,0 2/ba1 = G2 )meses70t( >ξ 2

C3 ss2 A)1n(nAa ′−+= G3

t meses 1 3 6 12 > 70 dA)1n(dnAa ss3 ′′−−−= G4 ξ(t) 0,68 0,95 1,18 1,44 2,00

D – Flecha total itelimdiferidaimediatatotal ffff ≤+= D1

22s

22s

32

2 )dx(A)1n()xd(nA3

bxI ′−′−+−+= G5

E – Flecha limite

250Lf itelim = (L = 2Lbal, no caso de balanço) E1

profundidade da l. neutra

∑∑= iii AAxx momento de inércia

∑ Δ+= )AI(I 2iii

[MUSSO]

d

As

LN

d′ b

sA′ x2

d

nAs

LN

d′

x2(n-1) sA′

d-x2


LAJE - GRÁFICO DE PROFUNDIDADE DA LINHA NEUTRA DE SEÇÃO RETANGULAR NO ESTÁDIO 2

[MUSSO]


LAJE - GRÁFICO DE MOMENTO DE INÉRCIA DE SEÇÃO RETANGULAR NO ESTÁDIO 2

[MUSSO]


LAJE - GRÁFICO DE MOMENTO DE INÉRCIA EFETIVO DE SEÇÃO RETANGULAR - BRANSON

[MUSSO]


7.4.2 - LAJE - VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA (ELS-W)


LAJE - VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA (ELS-W)

Momento de Fissuração Mr,wMomento Fletor de Cálculo MFÉ o valor do momento fletor que produz na seção bruta (secão de concreto desprezando armadura) uma tensão igual a fct,f na fibra extrema tracionada

MF = MGk + ψ1MQ1k + nψ2jMQjk (1)

(combinação freqüente) W,ctcW,r fWM = (2)

MGk parcela permanente Wc módulo resistente da seção bruta em relação a ψ1MQ1k parcela variável principal fibra extrema tracionada = (3) tc y/I

nψ2jMQjk demais parcelas variáveis Ic momento de inércia da seção bruta yt distância do centróide à fibra ext. tracionada fct,W resistência do concreto à tração na flexão Tabela 1 – Coeficientes Ψ1 e Ψ2

Finalidade da Estrutura

Seção não Fissurada (Estádio 1) wk = 0

Módulo de Elasticidade do Aço Es e Módulo de Elasticidade Secante do Concreto Ecs aço Es = 210.000 MPa (11) concreto MPa (12) 2/1

ck2/1

ckcics f4760f)5600(85,0E85,0E ===

Verificação da Segurança ELS-W

wk < wlim (15)

[MUSSO]

ψ1 ψ2 (módulo de ruptura) (MPa) )gulartanreseção(f05,1 ctm= (NBR 6118) (4a)

)Tseção(f84,0 ctm= (NBR 6118) (4b) edifício residencial 0,4 0,3 edifício comercial 0,6 0,4 biblioteca; oficina; garagem 0,7 0,6 )2EC(fctm= (4c)

Não Sim MF < Mr,w ?

Seção Fissurada (Estádio 2)

)6(454E5,12

w);5(f3

E5,12w

rs

s

12

ctm

s

s

s

11 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ρσ

ηφ

=σσ

ηφ

=

Área de Envolvimento Acr

Acr = mín[(y+7,5φ); h/2].b (10)

d h Acr

b

< h/2

7,5φ

y

φ

)w;w(mínimow 21k = (7) wk abertura de fissura característica φ diâmetro da barra da armadura longitudinal η1 coeficiente de conformação superficial da barra σs tensão no aço tracionado no estádio 2 Es módulo de elasticidade do aço fctm resistência média do concreto à tração = 0,3fck

2/3 (MPa) (8) ρr taxa de armadura As na região de envolvimento Acr

= As/Acr (9) As área de aço da armadura longitudinal tracionada Acr área da região de envolvimento

Tabela 2 - Coeficiente de Conformação Superficial η1

Tipo de Barra η1

lisa (CA-25) 1,00

entalhada (CA-60) 1,40

alta aderência (CA-50) 2,25

Tensão no Aço Tracionado na Seção Fissurada σs (Estádio 2 puro)

)xd(IM

nn 22

Fcs −=σ=σ (14)

n razão Es/Ecs (13) MF momento fletor para combinação frequente I2 momento de inércia da seção no estádio 2 d altura útil da seção x2 profundidade da linha neutra no estádio 2

x2; I2 (ver ELS-DEF)

Tabela 3 - Abertura de Fissura Limite wlimClasse de

Agressividade Ambiental

Agressividade Tipo de Ambiente wlim (mm)

I fraca rural ou submerso 0,4 II moderada urbano III forte marinho ou industrial 0,3

IV muito forte indústrias químicas ou respingos de maré 0,2


7.5 - LAJE - EXEMPLOS


7.5.1 - LAJE MACIÇA - EXEMPLOS


LAJE MACIÇA COM APOIOS SIMPLES

[MUSSO]


LAJE MACIÇA COM DOIS APOIOS ADJACENTES ENGASTADOS E DOIS APOIOS SIMPLES

[MUSSO]


LAJE MACIÇA COM APOIOS ENGASTADOS

[MUSSO]


7.5.2 - LAJE NERVURADA - EXEMPLOS


LAJE NERVURADA COM APOIOS SIMPLES

[MUSSO]


LAJE NERVURADA COM DOIS APOIOS ADJACENTES ENGASTADOS E DOIS APOIOS SIMPLES

[MUSSO]


LAJE NERVURADA COM APOIOS ENGASTADOS

[MUSSO]


8 - PILAR


8.1 - PILAR - DEFINIÇÕES


PILAR - DEFINIÇÕES

[EUROCÓDIGO 2]


8.2 - PILAR - ANÁLISE


Pilar - Comprimento Equivalente de Pilares

[NBR 6118]


PILAR - SOLICITAÇÕES DE CÁLCULO EM PILARES CONTRAVENTADOS DE SEÇÃO RETANGULAR

Ac cxcy área da seção transversal do pilar M1dx,cen M1dy,cen

momento fletor de 1ª ordem de cálculo na seção central do pilar nas direções x e y

cx, cy dimensão da seção transversal do pilar nas direções x e y

M2dx,cen M2dy,cen


e1x/cx e1y/cy

excentricidade relativa de 1ª ordem na seção central do pilar nas direções x e y

M1kx,inf M1ky,inf

momento fletor de 1ª ordem característico na seção inferior do pilar nas direções x e y


M1kx,sup M1ky,sup

momento fletor de 1ª ordem característico na seção superior do pilar nas direções x e y

fck resist. caract. do concreto à compressão aos 28 d Nd força normal de cálculo do pilar Lx, Ly comprimento de flambagem do pilar nas dir. x e y Nk força normal característica do pilar Jx, Jy momento de inércia da seção transversal do pilar

nas direções x e y (1/r)x(1/r)y

curvatura aproximada da seção central do pilar nas direções x e y

M1dx,A M1dy,A

maior valor absoluto do momento fletor de 1ª ordem de cálculo ao longo do pilar nas direções x e y

αbx, αby coeficiente para cálculo do momento fletor de 1ª ordem na seção central e para obtenção do índice de esbelte limite nas direções x e y

M1dx,B M1dy,B

menor valor do momento fletor de 1ª ordem de cálculo ao longo do pilar (negativo se tracionar face oposta do pilar) nas direções x e y

γf coeficiente de majoração das solicitações

M1dx,mín M1dy,mín

momento fletor mínimo de 1ª ordem de cálculo do pilar nas direções x e y

λ1x, λ1y índice de esbeltez limite do pilar nas direções x e y

M1dx,inf M1dy,inf

momento fletor de 1ª ordem de cálculo na seção inferior do pilar nas direções x e y

λx, λy índice de esbeltez do pilar nas direções x e y

M2dx,sup M2dy,sup

momento fletor de 2ª ordem de cálculo na seção superior do pilar nas direções x e y

ν força normal de cálculo adimensional

direção x y O – Solicitações de 1ª ordem características nas seções superior e inferior do pilar nas direções x e y

Nk Nk O1 M1k,sup M1kx,sup M1ky,sup O2 M1k,inf M1kx,inf M1ky,inf O3

A – Índice de esbeltez λ do pilar nas direções x e y c cx cy A1 L Lx Ly A2 J 12/cc 3

xy 12/cc 3yx A3

λ xxcxx c/12LA/J/L = yycyy c/12LA/J/L = A4

B – Coeficiente de majoração das solicitações γf, momentos fletores M1d,A , M1d,B e M1d,mín e parâmetro αb

γf SE[MÍNIMO(cx; cy) > 19 cm; 1,4; 1,4(1,95 – 0,05.MÍNIMO(cx; cy))] (cx e cy em cm) B1 M1d,A γf.MÁXIMO(ABS(M1kx,sup); ABS(M1kx,inf)) γf.MÁXIMO(ABS(M1ky,sup); ABS(M1ky,inf)) B2

M1d,B

γf.MÍNIMO(ABS(M1kx,sup); ABS(M1kx,inf)) (-) negativo SE(M1kx,sup.M1kx,inf < 0) (+) positivo SE(M1kx,sup.M1kx,inf > 0)

γf. MÍNIMO (ABS(M1ky,sup); ABS(M1ky,inf)) (-) negativo SE(M1ky,sup.M1ky,inf < 0) (+) positivo SE(M1ky,sup.M1ky,inf > 0)

B3

M1d,mín γf.Nk(0,015 + 0,03cx) cx em m γf.Nk(0,015 + 0,03cy) cy em m B4

αbSE[M1dx,A < M1dx,mín; 1;

MÁXIMO(0,6 + 0,4M1dx,B/M1dx,A; 0,4)] SE[M1dy,A < M1dy,mín; 1;

MÁXIMO(0,6 + 0,4M1dy,B/M1dy,A; 0,4)] B5

C – Solicitações de 1ª ordem de cálculo nas seções superior, central e inferior do pilar nas direções x e y Nd γf.Nk C1

M1d,sup γfABS(M1kx,sup) γfABS(M1ky,sup) C2 M1d,cen αbxM1dx,A αbyM1dy,A C3 M1d,inf γfABS(M1kx,inf) γfABS(M1ky,inf) C4

D – Índice de esbeltez limite λ1 do pilar nas direções x e y (se λ < λ1; pilar curto; pilar moderadamente esbelto) e1/c MÁXIMO[(M1dx,cen/Nd)/cx; (M1dx,mín/Nd)/cx)] MÁXIMO[(M1dy,cen/Nd)/cy; (M1dy,mín/Nd)/cy)] D1 λ1 MÁXIMO[(25 + 12,5e1x/cx)/αbx; 35] MÁXIMO[(25 + 12,5e1y/cy)/αby; 35] D2

E – Solicitações de 2ª ordem de cálculo na seção central pelo método da curvatura aproximada (λ1 < λ < 90) ν Nd/(Acfcd) E1

1/r MÍNIMO[(0,005/(cx(ν + 0,5)); 0,005/cx] (cx em m) MÍNIMO[(0,005/(cy(ν + 0,5)); 0,005/cy] (cy em m) E2 M2d,cen SE[λx < λ1; 0; Nd(1/r)xLx

2/10] SE[λy < λ1; 0; Nd(1/r)yLy2/10] E3

F – Hipóteses de cálculo nas seções superior, central e inferior do pilar nas direções x e y 1 sup Nd γf.Nk Mdx MÁXIMO(M1dx,sup; M1dx,mín) Mdy M1dy,sup F1 2 sup Nd γf.Nk Mdx M1dx,sup Mdy MÁXIMO(M1dy,sup; M1dy,mín) F2 3 cen Nd γf.Nk Mdx MÁXIMO(M1dx,cen; M1dx,mín )+M2dx,cen Mdy M1dy,cen F3 4 cen Nd γf.Nk Mdx M1dx,cen Mdy MÁXIMO(M1dy,cen; M1dy,mín )+M2dy,cen F4 5 inf Nd γf.Nk Mdx MÁXIMO(M1dx,inf; M1dx,mín) Mdy M1dy,inf F5 6 inf Nd γf.Nk Mdx M1dx,inf Mdy MÁXIMO(M1dy,inf; M1dy,mín) F6


PILAR - SOLICITAÇÕES DE CÁLCULO EM PILARES CONTRAVENTADOS DE SEÇÃO RETANGULAR

Ac cxcyárea da seção transversal do pilar

M1dx,cen M1dy,cen


cx, cy dimensão da seção transversal do pilar nas direções x e y

M2dx,cen M2dy,cen


e1x/cx e1y/cy

excentricidade relativa de 1ª ordem na seção central do pilar nas direções x e y

M1kx,inf M1ky,inf

momento fletor de 1ª ordem característico na seção inferior do pilar nas direções x e y


M1kx,sup M1ky,sup

momento fletor de 1ª ordem característico na seção superior do pilar nas direções x e y


Nd força normal de cálculo do pilar

Lx, Ly comprimento de flambagem do pilar nas direções x e y

Nk força normal característica do pilar

Jx, Jy momento de inércia da seção transversal do pilar nas direções x e y

(1/r)x(1/r)y

curvatura aproximada da seção central do pilar nas direções x e y

M1dx,A M1dy,A

maior valor absoluto do momento fletor de 1ª ordem de cálculo ao longo do pilar nas direções x e y

αbx, αby coeficiente para cálculo do momento fletor de 1ª ordem na seção central e para obtenção do índice de esbelte limite nas direções x e y

M1dx,B M1dy,B

menor valor do momento fletor de 1ª ordem de cálculo ao longo do pilar (negativo se tracionar face oposta do pilar) nas direções x e y

γf coeficiente de majoração das solicitações

M1dx,mín M1dy,mín

momento fletor mínimo de 1ª ordem de cálculo do pilar nas direções x e y

λ1x, λ1y índice de esbeltez limite do pilar nas direções x e y

M1dx,inf M1dy,inf

momento fletor de 1ª ordem de cálculo na seção inferior do pilar nas direções x e y

λx, λy índice de esbeltez do pilar nas direções x e y

M2dx,sup M2dy,sup

momento fletor de 2ª ordem de cálculo na seção superior do pilar nas direções x e y

ν força normal de cálculo adimensional

direção x y O – Solicitações de 1ª ordem características nas seções superior e inferior do pilar nas direções x e y

Nk O1 M1k,sup O2 M1k,inf O3

A – Índice de esbeltez λ do pilar nas direções x e y c A1 L A2 J A3 λ A4

B – Coeficiente de majoração das solicitações γf, momentos fletores M1d,A , M1d,B e M1d,mín e parâmetro αb

γf B1 M1d,A B2 M1d,B B3

M1d,mín B4 αb B5

C – Solicitações de 1ª ordem de cálculo nas seções superior, central e inferior do pilar nas direções x e y Nd C1

M1d,sup C2 M1d,cen C3 M1d,inf C4

D – Índice de esbeltez limite λ1 do pilar nas direções x e y (se λ < λ1; pilar curto; pilar moderadamente esbelto) e1/c D1 λ1 D2

E – Solicitações de 2ª ordem de cálculo na seção central pelo método da curvatura aproximada (λ1 < λ < 90) ν E1

1/r E2 M2d,cen E3

F – Hipóteses de cálculo nas seções superior, central e inferior do pilar nas direções x e y 1 sup Nd Mdx Mdy F1 2 sup Nd Mdx Mdy F2 3 cen Nd Mdx Mdy F3 4 cen Nd Mdx Mdy F4 5 inf Nd Mdx Mdy F5 6 inf Nd Mdx Mdy F6


8.3 - PILAR - DIMENSIONAMENTO


PILAR - DIMENSÕES LIMITES DE PILARES

[NBR 6118]


PILAR - DIAGRAMA DE INTERAÇÃO FORÇA NORMAL x MOMENTO FLETOR Hipóteses básicas

Força normal e momento fletor resistentes

εs

tanα = Es

10‰

σs

εyd = fyd/Es

fyd = fyk/γs

α -3,5‰ -εyd

-fyd

σ-ε aço

linha neutra

retangular η=0,85; λ=0,8

λx −ηfcd

x

parábola retângulo

σ-ε concreto

dh As

Exemplo de aplicação

[MUSSO]

b

Seção εsup

εinf

Es = 210 GPa 10‰

εs-3,5‰ εyd0

4 3

2 3h/7

A

BDomínios de Deformações

-2‰

M N

Deformações

C

5

1a

b4a

ψ yys

ε

(+)

fcd = fck/γc

Distribuição de Deformações

Ψ+ε=ε

ε−ε=Ψ

ε−ε=

ε−ε

y

)seçãodacurvatura(d

Fazendo

dy:figuraDa

sup

supinf

supinfsup

Ordenada da Linha Neutra Ψε−==∴=ε /yy0 supn

Esforços resistidos pelo Concreto Altura comprimida da seção

)]h;y(mínimo;0;0y[sex nn λ<λ=λ Tensão

cckc /f γη−=σ Força Normal e Momento Fletor (eixo S)

xbN cc λσ= ; 2/xNM cc λ=

Deformação da armadura na ordenada ysΨ

Esforços resistidos pelo Aço

ε = ε + ssups y Tensão na armadura na ordenada ys

]/f);E(abs[mínimo*)(alsin sykssss γεε=σ Força Normal e Momento Fletor (eixo S)

∑σ= sss AN ; sss yNM ∑=

Aplicados na parte superior da seção

sc

sc

MMMNNN

+=

+=

Aplicados no centróide da seção

)2/h(NMMNN

o

o

−=

=

Pilar de 30x30 cm com 4 barras de 16 mm submetido a NSd= -750 kN, MSdx = 60 kNm e MSdy = 30 kNm. fck = 25 MPa, fyk = 500 MPa, Es = 210 GPa, ys1 = 3,8 cm, As1 = 4,02 cm2, ys2 = 26,2 cm e As2 = 4,02 cm2

εsup εinf ψ cm-1 εs1 ‰ σs1 kN/cm2 Ns1 kN Ms1 kNm εs2 ‰ σs2 kN/cm2 Ns2 kN Ms2 kNm

Esforços Resistentes Totais

reta a 9,99‰ 10‰ 3,82E-15 10,00 43,48 174,8 6,6 10,00 43,48 174,8 45,8 1-2 0 10‰ 3,82E-04 1,45 30,46 122,5 4,7 10,00 43,48 174,8 45,8 2-3 -3,5‰ 10‰ 5,15E-04 -1,54 -32,38 -130,2 -4,9 10,00 43,48 174,8 45,8 3-4 -3,5‰ fyd/Es 2,13E-04 -2,69 -43,48 -174,8 -6,6 2,07 43,48 174,8 45,8

4-4a -3,5‰ 0 1,34E-04 -2,99 -43,48 -174,8 -6,6 0,00 0,00 0,0 0,0 4a-5 -3,5‰ -3,5‰(h-d)/h 1,17E-04 -3,06 -43,48 -174,8 -6,6 -0,44 -9,31 -37,4 -9,8

reta b -2‰ -1,99‰ 3,82E-15 -2,00 -42,00 -168,9 -6,4 -2,00 -42,00 -168,9 -44,2

Ns kN Ms kNm λx cm Nc kN Mc kNm No kN Mo kNm reta a 0,00 0,0 0,0 349,7 0,0 349,7 52,5 Verificação da Segurança

1-2 0,00 0,0 0,0 297,3 5,9 297,3 50,5 2-3 -247,4 -6,7 -202,8 64,6 44,6 40,9 5,43 3-4 -599,7 -39,5 -599,7 89,6 0,0 39,2 13,17

4-4a 20,96 -954,4 -100,0 -1129,3 62,7 -174,8 -6,6 1MM

MM

2,1

Rdyy

Sdy2,1

Rdxx

Sdx ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

4a-5 24,00 -1092,9 -131,1 -1305,1 48,2 -212,3 -16,5 reta b 30,00 -1366,1 -204,9 -1703,9 0,0 -337,8 -50,7

Diagrama de Interação NRd x MRdx

M Sdx; 60,0

M Rdxx; 82,0

0102030405060708090

100

-2000 -1000 0 1000Força Normal (kN) + tração

Diagrama de Interação NRd x MRdy

M Sdy; 30,0

M Rdyy; 82,0

0102030405060708090

100

-2000 -1000 0 1000Força Normal (kN) + tração

Diagrama de Interação MRdx x MRdy

60,0; 30,0

M Rdxx

M Rdyy

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 50 100Momento Fletor x (kNm)


PILAR - DIAGRAMA DE INTERAÇÃO FORÇA NORMAL E MOMENTO FLETOR - FLEXÃO RETA

[MONTOYA]



[MONTOYA]


PILAR - DIAGRAMA DE INTERAÇÃO FORÇA NORMAL E MOMENTO FLETOR - FLEXÃO OBLÍQUA

[MONTOYA]




[MONTOYA]


8.4 - PILAR - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA


PILARES - DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DAS ARMADURAS

a espaçamento livre mínimo entre barras da armadura longitudinal

dag diâmetro do agregado graúdo

As área total da seção da armadura longitudinal fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à compressão

As,mín área da seção mínima da armadura longitudinal fck resistência característica do concreto à compressão aos 28 dias

As,máx área da seção máxima da armadura longitudinal fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento do aço à tração

Asw Área da seção da armadura transversal fyk resistência característica de escoamento do aço à tração

ct cobrimento de concreto da armadura transversal

Nd força normal solicitante de cálculo

cmín menor dimensão do pilar sl,máx espaçamento longitudinal máximo da armadura transversal

cx dimensão do pilar na direção x φ diâmetro da barra da armadura longitudinal cy dimensão do pilar na direção y φt diâmetro da barra da armadura transversal

Disposição das armaduras longitudinal e transversal na seção [MUSSO]

a > máx(20 mm; φ; 1,2dag) a > máx(20 mm; φ; 1,2dag)

φ > 10 mm φ < cmín/8

ct5 mm φ/4

cy

cx

< 2cmín< 40 cm

As > As,mín

yx

yd

dmín,s

cc%4,0

fN15,0A

≥

=

As < As,máxAs,máx = 8%cxcy(na emenda)

dag

9,5 mm (brita 0) 19 mm (brita 1) 25 mm (brita 2)

cmín = mín(cx; cy)

φt

5φt > 5 cm

3,5φt

cx – 2ct

5φt > 5 cm

φt

3,5φt

cx – 2ct

Aço CA-50

20φ t

gram

pos

envo

lvem

só

A s

gram

po e

nvol

ve A

s e A

sw

uso

de 2

est

ribos

gram

pos

envo

lvem

As e

Asw

sl,máx <20 cm mín(cx; cy) 12φ (aço CA-50)

φt >


PILAR - DISTRIBUIÇÂO DA ARMADURA LONGITUDINAL NA SEÇÃO Área da seção transversal de Q barras longitudinais (cm2)

Diâmetro da barra (mm) Q 10 12,5 16 20 22 25 1 0,785 1,227 2,011 3,142 3,801 4,909 2 1,57 2,45 4,02 6,28 7,60 9,82 3 2,36 3,68 6,03 9,42 11,40 14,73 4 3,14 4,91 8,04 12,57 15,21 19,63 5 3,93 6,14 10,05 15,71 19,01 24,54 6 4,71 7,36 12,06 18,85 22,81 29,45 7 5,50 8,59 14,07 21,99 26,61 34,36 8 6,28 9,82 16,08 25,13 30,41 39,27 9 7,07 11,04 18,10 28,27 34,21 44,18 10 7,85 12,27 20,11 31,42 38,01 49,09 11 8,64 13,50 22,12 34,56 41,81 54,00 12 9,42 14,73 24,13 37,70 45,62 58,90 13 10,21 15,95 26,14 40,84 49,42 63,81 14 11,00 17,18 28,15 43,98 53,22 68,72 15 11,78 18,41 30,16 47,12 57,02 73,63 16 12,57 19,63 32,17 50,27 60,82 78,54 17 13,35 20,86 34,18 53,41 64,62 83,45 18 14,14 22,09 36,19 56,55 68,42 88,36 19 14,92 23,32 38,20 59,69 72,23 93,27 20 15,71 24,54 40,21 62,83 76,03 98,17 21 16,49 25,77 42,22 65,97 79,83 103,08 22 17,28 27,00 44,23 69,12 83,63 107,99 23 18,06 28,23 46,24 72,26 87,43 112,90 24 18,85 29,45 48,25 75,40 91,23 117,81 25 19,63 30,68 50,27 78,54 95,03 122,72 26 20,42 31,91 52,28 81,68 98,83 127,63 27 21,21 33,13 54,29 84,82 102,64 132,54 28 21,99 34,36 56,30 87,96 106,44 137,44 29 22,78 35,59 58,31 91,11 110,24 142,35 30 23,56 36,82 60,32 94,25 114,04 147,26 31 24,35 38,04 62,33 97,39 117,84 152,17 32 25,13 39,27 64,34 100,53 121,64 157,08 33 25,92 40,50 66,35 103,67 125,44 161,99 34 26,70 41,72 68,36 106,81 129,25 166,90 35 27,49 42,95 70,37 109,96 133,05 171,81 36 28,27 44,18 72,38 113,10 136,85 176,71 37 29,06 45,41 74,39 116,24 140,65 181,62 38 29,85 46,63 76,40 119,38 144,45 186,53 39 30,63 47,86 78,41 122,52 148,25 191,44 40 31,42 49,09 80,42 125,66 152,05 196,35 41 32,20 50,31 82,44 128,81 155,85 201,26 42 32,99 51,54 84,45 131,95 159,66 206,17 43 33,77 52,77 86,46 135,09 163,46 211,08 44 34,56 54,00 88,47 138,23 167,26 215,98 45 35,34 55,22 90,48 141,37 171,06 220,89 46 36,13 56,45 92,49 144,51 174,86 225,80 47 36,91 57,68 94,50 147,65 178,66 230,71 48 37,70 58,90 96,51 150,80 182,46 235,62 49 38,48 60,13 98,52 153,94 186,27 240,53 50 39,27 61,36 100,53 157,08 190,07 245,44 51 40,06 62,59 102,54 160,22 193,87 250,35 52 40,84 63,81 104,55 163,36 197,67 255,25 53 41,63 65,04 106,56 166,50 201,47 260,16 54 42,41 66,27 108,57 169,65 205,27 265,07 55 43,20 67,50 110,58 172,79 209,07 269,98 56 43,98 68,72 112,59 175,93 212,87 274,89 57 44,77 69,95 114,61 179,07 216,68 279,80 58 45,55 71,18 116,62 182,21 220,48 284,71 59 46,34 72,40 118,63 185,35 224,28 289,62 60 47,12 73,63 120,64 188,50 228,08 294,52 61 47,91 74,86 122,65 191,64 231,88 299,43 62 48,69 76,09 124,66 194,78 235,68 304,34 63 49,48 77,31 126,67 197,92 239,48 309,25 64 50,27 78,54 128,68 201,06 243,28 314,16

[MUSSO]


8.5 - PILAR - EXEMPLOS


PILAR - PLANILHA DE DIMENSIONAMENTO DE PILAR - SEÇÃO RETANGULAR - PILAR INTERNO

[MUSSO]


PILAR - PLANILHA DE DIMENSIONAMENTO DE PILAR - SEÇÃO RETANGULAR - PILAR DE BORDA

[MUSSO]


PILAR - PLANILHA DE DIMENSIONAMENTO DE PILAR - SEÇÃO RETANGULAR - PILAR DE CANTO

[MUSSO]



9 - FUNDAÇÃO


9.1 - FUNDAÇÃO - DEFINIÇÕES

FUNDAÇÃO - DEFINIÇÕES

[NBR 6122:2010]


FUNDAÇÃO - ÍNDICE DE RESISTÊNCIA À PENETRAÇÃO DO SPT (N)

[NBR 6484] FUNDAÇÃO - PRESSÃO ADMISSÍVEL – PRESCRIÇÃO DE BOLSO OU 1º GRAU DE APROXIMAÇÃO Podemos dizer que são empregados como valores de pressão admissível (kg/cm2) na prática profissional inconfessada, essencialmente sem distinção de solo, algo como as duas prescrições abaixo, praticamente coincidindo na gama de variação dos dados disponíveis, 4 < N < 16:

5N

adm ≈σ

ou

1Nadm −≈σ

[MELLO] MELLO, V. F. B. Deformações como Base Fundamental de Escolha de Fundação. Geotecnia. n. 5(12), p. 55-75, 1975.


FUNDAÇÃO - PRESSÃO ADMISSÍVEL

[NBR 6122:1996] Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 183

FUNDAÇÃO - PRESSÃO ADMISSÍVEL

[NBR 6122:1996]



9.2 - FUNDAÇÃO - ANÁLISE E DIMENSIONAMENTO

FUNDAÇÃO - SAPATAS - CONCEITO, COMPORTAMENTO E MODELO DE CÁLCULO

[NBR 6118]


FUNDAÇÃO - BLOCOS - CONCEITO, COMPORTAMENTO E MODELO DE CÁLCULO

[NBR 6118]


FUNDAÇÃO RÍGIDA - FUNDAÇÂO FLEXÍVEL (SEGUNDO EHE-2008] cx; cy dimensão da seção do pilar nas dir. x e y Lx; Ly dimensão da base da fundação nas dir. x e y

H altura total da fundação junto à face do pilar Sx; Sy espaçamento entre estacas nas dir. x e y SAPATA Altura Variável Altura Constante


sapata rígida: 4

)cL;cL(máximo2AHH2A yyxx −−

=≥∴≤ (1)

sapata flexível: 4

)cL;cL(máximo2AHH2A yyxx −−

=<∴> (2)

BLOCO SOBRE ESTACAS

bloco rígido: 4

)cS;cS(máximo2AHH2A yyxx −−

=≥∴≤ (3)

bloco flexível: 4

)cS;cS(máximo2AHH2A yyxx −−

=<∴> (4)

MÉTODO DE BIELAS E TIRANTES Nas fundações rígidas, a distribuição de deformações a nível de seção não é linear, e, portanto, a teoria geral de flexão não se aplica. Neste caso, o método geral de análise mais adequado é o de bielas e tirantes. Este método consiste em substituir a estrutura, ou parte da estrutura, por uma estrutura de barras articuladas, geralmente plana ou em alguns casos espacial, que representa seu comportamento. As barras comprimidas são denominadas bielas e representam a compressão do concreto. As barras tracionadas são denominadas tirantes e representam as forças de tração das armaduras. [EHE-2008 - Instrucción de Hormigón Estructural - Espanha]

H

A c

L

H

A c

L

H

A c

S

FUNDAÇÃO - DIMENSIONAMENTO DE SAPATA RETANGULAR - MÉTODO DE BIELAS E TIRANTES Asx; Asy área da armadura longitudinal nas direções x e y VRd,máx força cortante de cálculo máxima resistida por

dimensão da seção do pilar nas direções x e y compressão diagonal das bielas de concreto cx; cyd altura útil da sapata Tx; Ty tração característica nas direções x e y fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à Txd; Tyd tração de cálculo nas direções x e y compressão V volume da sapata

fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento xx; xy profundidade da linha neutra nas dir. x e y do aço à tração βx; βy inclinação da face superior da sapata nas

ho altura da sapata na extremidade direções x e y H altura total da sapata junto à face do pilar ν 0,6(1 – fck/250) (fck em MPa) coeficiente de

dimensão da base da sapata nas direções x e y redução da resistência do concreto fissurado Lx; LyN força normal característica do pilar por força cortante

PP peso próprio da sapata σlim tensão limite (admissível) do solo uo 2(cx + cy) no caso de pilar retangular perímetro da seção transversal do pilar

A - Definição da geometria da sapata Planta da sapata Elevação da sapata


limyxLL

PPNσ=

+ (limitação da tensão no solo) A1 3

)cL;cL(máximoH yyxx −−

≥ (sapata rígida) A5

yyxx cLcL −=− (sapata com balanços iguais) A2 cm253/Hho ≥≥ A6

(A1) em (A2): 0PPNL)cc(lim

xxy2

x =σ+

−−+L o

xx

ox 30

2/)cL()hH(

ATAN ≤−−

=β A7

1

312

22x a2

aa4aaL

−+−= ;

x

3y L

aL −= A3 o

yy

oy 30

2/)cL()hH(

ATAN ≤−−

=β A8

lim3xy21

PPNa;cca;1aσ+

−=−== A4 ]c)Lc2(L)cL2[(6

)hH(hLLV yxxyxxo

oyx +++−

+= A9

B - Dimensionamento da armadura longitudinal - Método das bielas e tirantes Tração Tx na armadura longitudinal (direção x) Tração Ty na armadura longitudinal (direção. y)

d8)cL(N

T xxx

−= B1

d8)cL(N

T yyy

−= B3

mín,sxyd

xx

yd

x

yd

xdsx A

df8)cL(N4,1

fT4,1

fT

A ≥−

=== B2 mín,syyd

yy

yd

y

yd

ydsy A

df8)cL(N4,1

fT4,1

fT

A ≥−

=== B4

C - Verificação da ruptura do concreto por compressão diagonal (Vd < VRd,máx) cdo fdu45,0N4,1 ν≤ C1

[MUSSO]

Lx

cx

cy Ly H β

N

PP

σlim

ho

C 2N

Tx

4cL xx −

dθ

N/2

cx/4

Lx/4

N/2

C

Tx

N/2

d

d4

cL

2NT

xxx

−

=

C2N

Ty

4cL yy −

dθ

N/2

cy/4

Ly/4

N/2

C

Ty

N/2

d

d4

cL

2NT

yyy

−

=

FUNDAÇÂO - DIMENSIONAMENTO DE BLOCO SOBRE ESTACAS - MÉTODO DE BIELAS E TIRANTES

2φ 3φ 4φ 5φ


d2e

2N

TAG =

d3

3e

3N

TAG =

d2

2e

4N

TAG =

de

5N

TAG =

d4NeTAG =

d93NeTTT CGBGAG ===

d82NeTTTT DGCGBGAG ==== d5

NeTTTT DGCGBGAG ====

AGAB TT =

oAG

oACAB

120senT

30senTT

==

33TTT AGACAB ==

oAG

oADAB

90senT

45senTT

==

22TTT AGADAB ==

oAG

oADAB

90senT

45senTT

==

22TTT AGADAB ==

d4NeTAB =

d9NeTTT ACBCAB ===

d8NeTTTT ADCDBCAB ====

d102NeTTTT ADCDBCAB ====

Considerações práticas N = 2E N = 3E N = 4E N = 5E

φφ= 3a5,2e φφ= 3a5,2e φφ= 3a5,2e φφ= 3a5,2e

θ= tg)2/e(d ; se: θ= tg)2/3e(d ; se: θ= tg)2/2e(d ; se: θ= tg)e(d ; se: o7,54;2tg =θ=θ

o8,50;2/6tg =θ=θ o45;1tg =θ=θ o3,35;2/2tg =θ=θ

e71,02/2ed ==

e71,02/2ed == e71,02/2ed == e71,02/2ed ==

Armadura de tração entre estacas

ydAB

AB,s

f/T4,1A=

ydAB

AC,sBC,sAB,s

f/T4,1AAA

=

==

ydAB

AD,sCD,sBC,sAB,s

f/T4,1AAAA

=

===

ydAB

AD,sCD,sBC,sAB,s

f/T4,1AAAA

=

===

Verificação da ruptura do concreto por compressão diagonal (Vd < VRd,máx) cdfbd45,0)E(4,1 ν≤ cdo fdu45,0)E3(4,1 ν≤ cdo fdu45,0)E4(4,1 ν≤ cdo fdu45,0)E4(4,1 ν≤

E - capacidade de carga da estaca; φ - diâmetro da estaca; e -espaçamento entre estacas; d - altura útil do bloco N - compressão no pilar; T - tração no tirante; C - compressão na biela; As - armadura de tração entre estacas b - largura do bloco sobre 2 estacas; uo - perímetro da seção transversal do pilar; ν = 0,6[1 – fck/250] (fck em MPa)

TAB

TAG

TAG

TAB

TAC

30o

120o

30o

TAG

TAB

TAD

45o

o

90o

45

TAG

TAB

TAD

45o

45o

90o

e

e

e

e

e

2e

e b

2e

d TAG

C

N/3

d TAG

C

N/4

G e C B

A e

33e

63e

eD C

22e

e A B

2e A B

G e

A B

G

e

D C

2e G

2e

d TAG

C

N/5

d

T

N

N/2 AG

C C

N/2

C 2N

TAG

2/e

d θ

C3N

TAG

3/)3e(

d θ

C4

TAG

N

2

C

/)2e(

dθ 5

N

TAG

e

dθ


[MUSSO]


9.3 - FUNDAÇÃO - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA

FUNDAÇÃO - SAPATA - DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DAS ARMADURAS

FUNDAÇÃO - BLOCO SOBRE ESTACAS - DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DAS ARMADURAS

[NBR 6118]



FUNDAÇÃO - BLOCO SOBRE ESTACAS - ARMAÇÃO

1φ 2φ

3φ 4φ 5φ

As,AB - armação de tração entre estacas para cada bloco (ver Dimensionamento de Blocos sobre Estacas) [MUSSO]

N2-Q2φD2-C2 (0,2%Ac2/face)

L2a L2

a

N1-2xQ1φD1-C1 (0,2%Ac1/face)

L1a

L1b

N3-Q3φD3-C3 (25%As,AB)

L3a

L3b

N3 N2

Q4N

4cE

4

Q4N

4cE

4

N1

N1

N4 Q3N3cE3

N3

Q1N

1

N2

N4

Q2N

2cE

2

L1b L2

b

L1a

L2a

N2-Q2φD2-C2 (12,5%As,AB)

N1-Q1φD1-C1 (As,AB)

L4a

L4b N4-2xQ4φD4-C4

(2x12,5%As,AB)

N3 N3

Q4N

4cE

4

Q4N

4cE

4

N1 N2 N1

N2

L2b L3

b

L2a

L3a

N3-2xQ3φD3-C3 (2x25%As,AB)


L1a

L1b

N1-4xQ1φD1-C1 (4x87,5%As,AB)

N3 N3

Q4N

4cE

4

Q4N

4cE

4

N1 N2 N1

N2

L4a

L4b N4-3xQ4φD4-C4

(3x25%As,AB)

L2b L3

b

L2a

L3a



L1a

L1b

N1-3xQ1φD1-C1 (3x87,5%As,AB)

N3 N3

Q4N

4cE

4

Q4N

4cE

4

N1 N2 N1

N2

N2

Q1N1 N1

Q2N

2cE

2

N3

N4

N3

Q3N3cE3

N2

N1

N2

N1

Q1N

1

N4

Q1N1

Q2N2cE2

N3

Q2N2cE2

N4

Q3N3cE3

Q3N

3cE

3

L4a

L4b N4-4xQ4φD4-C4

(4x25%As,AB)

L4a

L4b N4-4xQ4φD4-C4

(4x25%As,AB)

N2

N4 Q1N1

N3 Q1N

1

N3

N4

Q3N

3cE

3

N1

Q3N3cE3

N1

N2

N1

N1

Q1N

1

N4

Q1N1 Q2N2

Q2N

2 N

4

cE2

cE2 N2

N4 Q1N1

N3 Q1N

1 N3

N4

Q3N

3cE

3

N1

Q3N3cE3

N1

N2

N1

N1 Q

1N1

N4

Q1N1 Q2N2

Q2N

2 N

4

cE2

cE2

L2b L3

b

L2a

L3a



1a L

L1b

N1-4xQ1φD1-C1 (4x87,5%As,AB)

N1

N2 Q1N1cE1

N1

Q1N

1cE

1

Ac1

N1 N1

Q2N

2cE

2

Ac2

L2b

L1c

L3c

10 - PROJETO ESTRUTURAL DO EDIFÍCIO DA ENGENHARIA CIVIL


10.1 - ARQUITETURA DO EDIFÍCIO


EDIFÍCIO DA ENGENHARIA CIVIL - ARQUITETURA O Edifício da Engenharia Civil tem pé direito igual a 315 cm (escada com 18 espelhos de 17,5 cm) e é composto de 2 pavimentos com salas de aula, laboratório de informática, biblioteca setorial, auditório, salas administrativas, banheiros, escada, plataforma elevatória para acessibilidade e reservatório de água superior.

[MUSSO]


PLATAFORMA ELEVATÓRIA PARA ACESSIBILIDADE - MONTELE

[www.montele.com.br]


TELHA DE FIBROCIMENTO CANALETE 49 - ETERNIT

[www.eternit.com.br]


10.2 - CONSIDERAÇÕES BÁSICAS DO PROJETO ESTRUTURAL


CONSIDERAÇÕES BÁSICAS DO PROJETO ESTRUTURAL Descrição da Estrutura A estrutura da edificação é convencional composta de lajes maciças, vigas, pilares e blocos de fundação. As fundações da estrutura são compostas de blocos sobre estacas pré-moldadas de concreto. Classe de Agressividade Ambiental CAA II - Agressividade moderada - Ambiente urbano Cobrimento da Armadura Laje: 2,0 cm; Viga: 2,5 cm; Pilar: 2,5 cm; Bloco: 5,0 cm Resistência de Materiais da Estrutura Concreto fck = 25 MPa Aço CA-50 fyk = 500 MPa Estacas pré-moldadas de concreto com diâmetro de 23 cm e capacidade de carga à compressão de 550 kN Peso Específico de Materiais de Construção Concreto armado = 25 kN/m3

Tijolo furado para alvenaria = 13 kN/m3

Argamassa de cimento e areia para revestimento de piso = 21 kN/m3

Ações nas Lajes da Estrutura Lajes do Térreo e Piso Superior: Ação permanente constituída pelo seu peso próprio, revestimento (0,75 kN/m2) e alvenaria (0,75 kN/m2) Ação variável constituída pela carga acidental em sala de aula de escola (3 kN/m2) Lajes da Cobertura: Ação permanente constituída pelo seu peso próprio, revestimento (0,75 kN/m2) e telhado (0,75 kN/m2) Ação variável constituída pela carga acidental em forro sem acesso a pessoas (0,5 kN/m2) Tampa do Reservatório Superior: Ação permanente constituída pelo seu peso próprio e revestimento (0,75 kN/m2) Ação variável constituída pela carga acidental em forro sem acesso a pessoas (0,5 kN/m2) Fundo do Reservatório Superior: Ação permanente constituída pelo seu peso próprio e revestimento (0,75 kN/m2) Ação variável constituída pela ação de 1 m de água (10,0 kN/m2) Escada: Ação permanente constituída pelo seu peso próprio e revestimento (0,75 kN/m2) Ação variável constituída pela carga acidental em escada com acesso ao público (3 kN/m2) Características das Barras das Armaduras

[NBR 6118; NBR 6120; NBR 7480]


Classes de Agressividade Ambiental

Correspondência entre Classe de Agressividade e Qualidade do Concreto

Correspondência entre Classe de Agressividade e Cobrimento Nominal dos Elementos Estruturais

[NBR 6118]


Valores Mínimos de Cargas Verticais Acidentais em Lajes (kN/m2)

[NBR 6120]


10.3 - VISTA 3D DA ESTRUTURA E PROJETO DE FORMA DO EDIFÍCIO


EDIFÍCIO DA ENGENHARIA CIVIL - VISTA 3D DA ESTRUTURA

[CYPECAD]


EDIFÍCIO DA ENGENHARIA CIVIL - FUNDAÇÃO - FORMA

[MUSSO]


EDIFÍCIO DA ENGENHARIA CIVIL - TÉRREO - FORMA

[MUSSO]


EDIFÍCIO DA ENGENHARIA CIVIL - PISO SUPERIOR - FORMA

[MUSSO]


EDIFÍCIO DA ENGENHARIA CIVIL - COBERTURA - FORMA

[MUSSO]


EDIFÍCIO DA ENGENHARIA CIVIL - RESERVATÓRIO SUPERIOR - FORMA E CORTE TRANSVERSAL

[MUSSO]


10.4 - ANÁLISE, DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO DE LAJES


TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR (b = 100 cm)

[LAJE]


TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR (b = 21,67 cm)

[LAJE]


PISO SUPERIOR - LAJE L1 - SOLUÇÃO EM LAJE MACIÇA - DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO

[LAJE]


PISO SUPERIOR - LAJE L1 - SOLUÇÃO EM LAJE NERVURADA - DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO

[LAJE]


FORMAS PARA LAJE NERVURADA - ROMANIO - DADOS TÉCNICOS

[www.romanio.com.br]


PISO SUPERIOR - LAJE L8 - DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO

[LAJE]


COBERTURA - LAJE L1 - DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO

[LAJE]


10.5 - ANÁLISE, DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO DE VIGAS


PISO SUPERIOR - VIGA INTERNA V11 (viga: 30x60 cm; pilar: 30x30 cm) - ANÁLISE Carga Permanente (G = 2xGL + PP + PA = 2x12,48 + 0,30x0,60x25 + 0,14x2,55x13 = 34,10 kN/m) e Reações

Diagrama de Momentos Fletores da Carga Permanente (kNm)

Diagrama de Forças Cortantes da Carga Permanente (kN)

Carga Variável (Q = 2xQL = 2x7,13 = 14,26 kN/m) e Reações

Diagrama de Momentos Fletores da Carga Variável (kNm)

Diagrama de Forças Cortantes da Carga Variável (kN)

GL – reação permanente da laje; PP – peso próprio da viga; PA - peso de alvenaria; QL - reação variável da laje

[FTOOL]


PISO SUPERIOR - VIGA INTERNA V11 (viga: 30x60 cm; pilar: 30x30 cm) - ANÁLISE NO ELU E ELS Carga no Estado Limite Último (Pd = 1,4G + 1,4Q = 1,4 x 34,10 + 1,4 x 14,26 = 67,70 kN/m)

Diagrama de Momentos Fletores no Estado Limite Último - Md (kNm)

Diagrama de Forças Cortantes no Estado Limite Último - Vd (kNm)

Carga no Estado Limite de Serviço (PQP = G + 0,4Q = 34,10 + 0,4 x 14,26 = 39,80 kN/m)

Diagrama de Momentos Fletores no Estado Limite de Serviço - MQP (kNm)

Flecha Elástica (felástica = 4,014 mm a 3,35 m dos apoios externos)

G - carga permanente; Q - carga variável [FTOOL]


PISO SUPERIOR - VIGA DE BORDA V1 (viga: 15x60 cm; pilar: 30x30 cm) - ANÁLISE Carga Permanente (G = GL + PP + PA = 7,21 + 0,15x0,60x25 + 0,14x2,55x13 = 14,10 kN/m) e Reações



Carga Variável (Q = QL = 4,12 kN/m) e Reações



GL - reação permanente da laje; PP - peso próprio da viga; PA - peso de alvenaria; QL - reação variável da laje [FTOOL]


PISO SUPERIOR - VIGA V12 (viga: 20x60 cm; pilar: 30x30 cm) - ANÁLISE C. Permanente (G = GL1 + GL2 + PP + PA = 7,21 + 5,62 + 0,2x0,6x25 + 0,14x2,55x13 = 20,47 kN/m) e Reações



C. Variável (Q = QL1 + QL2 = 4,12 + 4,81 = 8,93 kN/m) e Reações





COBERTURA - VIGA INTERNA V11 (viga: 30x60 cm; pilar: 30x30 cm) - ANÁLISE Carga Permanente (G = 2xGL + PP = 2x11,29 + 0,30x0,60x25 = 27,08 kN/m) e Reações



Carga Variável (Q = 2xQL = 2x1,19 = 2,38 kN/m) e Reações





COBERTURA - VIGA DE BORDA V1 (viga: 15x60 cm; pilar: 30x30 cm) - ANÁLISE Carga Permanente (G = GL + PP + PA = 6,52 + 0,15x0,60x25 + 0,14x1,00x13 = 10,59 kN/m) e Reações



Carga Variável (Q = QL = 0,69 kN/m) e Reações






[VIGA]


TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE (b = 15 cm)

[VIGA]



[VIGA]


PISO SUPERIOR - VIGA INTERNA V11 - DIMENSIONAMENTO

[VIGA]


PISO SUPERIOR - VIGA DE BORDA V1 - DIMENSIONAMENTO

[VIGA]


PISO SUPERIOR - VIGA V12 - DIMENSIONAMENTO

[VIGA]


PISO SUPERIOR - VIGA INTERNA V11 - COMPRIMENTO DAS BARRAS LONGITUDINAIS

[MUSSO]


PISO SUPERIOR - VIGA INTERNA V11 - ARMAÇÃO

[MUSSO]


10.6 - ANÁLISE, DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO DE PILARES


PILAR P8 - 30x30 cm - PILAR INTERNO - ESFORÇOS POR PISO Nk (kN) Mkx (kNm) Mky (kNm) COBERTURA (CO) G 2 x 238,7 477,4 0 0 Q 2 x 21,0 42,0 0 0 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 526,5 0 0 PISO SUPERIOR (PS) G 2 x 289,9 579,8 0 0 Q 2 x 121,2 242,4 0 0 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 829,3 0 0 TÉRREO (TE) G 2 x 289,9 579,8 0 0 Q 2 x 121,2 242,4 0 0 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 829,3 0 0 PILAR P2 - 30x30 cm - PILAR DE BORDA - ESFORÇOS POR PISO Nk (kN) Mkx (kNm) Mky (kNm) COBERTURA (CO) G 90,2 + 83,8 174,0 38,3 0 Q 5,9 + 7,4 13,3 3,4 0 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 194,4 41,7 0 PISO SUPERIOR (PS) G 115,3 + 110,8 226,1 37,4 0 Q 33,7 + 46,3 80,0 15,7 0 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 313,2 53,1 0 TÉRREO (TE) G 115,3 + 110,8 226,1 37,4 0 Q 33,7 + 46,3 80,0 15,7 0 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 313,2 53,1 0 PILAR P1 - 30x30 cm - PILAR DE CANTO - ESFORÇOS POR PISO Nk (kN) Mkx (kNm) Mky (kNm) COBERTURA (CO) G 2 x 34,3 68,6 22,8 22,8 Q 2 x 2,2 4,4 1,5 1,5 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 80,1 24,3 24,3 PISO SUPERIOR (PS) G 2 x 48,1 96,2 21,1 21,1 Q 2 x 14,0 28,0 6,2 6,2 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 131,3 27,3 27,3 TÉRREO (TE) G 2 x 48,1 96,2 21,1 21,1 Q 2 x 14,0 28,0 6,2 6,2 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 131,3 27,3 27,3


PILAR P8 - 30x30 cm - PILAR INTERNO DO 1º PAVIMENTO - ANÁLISE E DIMENSIONAMENTO

[PILAR]


PILAR P8 - 30x30 cm - PILAR INTERNO DO 2º PAVIMENTO - ANÁLISE E DIMENSIONAMENTO

[PILAR]


PILAR P2 - 30x30 cm - PILAR DE BORDA DO 1º PAVIMENTO - ANÁLISE E DIMENSIONAMENTO

[PILAR]


PILAR P1 - 30x30 cm - PILAR DE CANTO DO 1º PAVIMENTO - ANÁLISE E DIMENSIONAMENTO

[PILAR]


PILAR P8 - PILAR INTERNO - ARMAÇÃO

[MUSSO]


10.7 - ANÁLISE, DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO DE BLOCOS SOBRE ESTACAS


PILAR P8 - 30x30 cm - PILAR INTERNO - ESFORÇOS POR PISO Nk (kN) Mkx (kNm) Mky (kNm) COBERTURA (CO) G 2 x 238,7 477,4 0 0 Q 2 x 21,0 42,0 0 0 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 526,5 0 0 PISO SUPERIOR (PS) G 2 x 289,9 579,8 0 0 Q 2 x 121,2 242,4 0 0 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 829,3 0 0 TÉRREO (TE) G 2 x 289,9 579,8 0 0 Q 2 x 121,2 242,4 0 0 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 829,3 0 0 BLOCO B8 - 120x120x60 cm - BLOCO INTERNO - ESFORÇOS TOTAIS Nk (kN) 4 ESTACAS φ = 23 cm FUNDAÇÃO CO+PS+TE 526,5 + 829,3 + 829,3 2185,1 PP 1,2 x 1,2 x 0,6 x 25 21,6 TOTAL 2206,7 4 x 550 kN = 2200 kN PILAR P2 - 30x30 cm - PILAR DE BORDA - ESFORÇOS POR PISO Nk (kN) Mkx (kNm) Mky (kNm) COBERTURA (CO) G 90,2 + 83,8 174,0 38,3 0 Q 5,9 + 7,4 13,3 3,4 0 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 194,4 41,7 0 PISO SUPERIOR (PS) G 115,3 + 110,8 226,1 37,4 0 Q 33,7 + 46,3 80,0 15,7 0 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 313,2 53,1 0 TÉRREO (TE) G 115,3 + 110,8 226,1 37,4 0 Q 33,7 + 46,3 80,0 15,7 0 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 313,2 53,1 0 BLOCO B2 - 120x50x60 cm - BLOCO DE BORDA - ESFORÇOS TOTAIS Nk (kN) 2 ESTACAS φ = 23 cm FUNDAÇÃO CO+PS+TE 194,4 + 313,2 +313,2 820,8 PP 1,2 x 0,5 x 0,6 x 25 9,0 TOTAL 829,8 2 x 550 kN = 1100 kN PILAR P1 - 30x30 cm - PILAR DE CANTO - ESFORÇOS POR PISO Nk (kN) Mkx (kNm) Mky (kNm) COBERTURA (CO) G 2 x 34,3 68,6 22,8 22,8 Q 2 x 2,2 4,4 1,5 1,5 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 80,1 24,3 24,3 PISO SUPERIOR (PS) G 2 x 48,1 96,2 21,1 21,1 Q 2 x 14,0 28,0 6,2 6,2 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 131,3 27,3 27,3 TÉRREO (TE) G 2 x 48,1 96,2 21,1 21,1 Q 2 x 14,0 28,0 6,2 6,2 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 131,3 27,3 27,3 BLOCO B1 - 50x50x60 cm - BLOCO DE CANTO - ESFORÇOS TOTAIS Nk (kN) 1 ESTACA φ = 23 cm FUNDAÇÃO CO+PS+TE 80,1 + 131,3 +131,3 342,7 PP 0,5 x 0,5 x 0,6 x 25 3,8 TOTAL 346,5 1 x 550 kN = 550 kN


PERFIL DE SONDAGEM GEOTÉCNICA

[AREIA BRANCA ENGENHARIA]


ESTACAS - ESPECIFICAÇÕES TÉCNICAS

[www.incopre.com.br]


BLOCOS SOBRE ESTACAS - ANÁLISE E DIMENSIONAMENTO

[FUNDAÇÃO]


BLOCO SOBRE ESTACAS - ARMAÇÃO

1φ23 - 50 x 50 x 60 cm 2φ23 - 120 x 50 x 60 cm

N1

N2 5N1c.10

N1

5N1c

.10

Ac1

3φ23 - VAR x VAR x 60 cm 4φ23 - 120 x 120 x 60 cm

NOTAS: 1 – concreto fck = 25 MPa 2 – aço fyk = 500 MPa 3 – medidas em cm 4 – cobrimento das barras = 5 cm

As,AB – armação de tração entre estacas para cada tipo de bloco (blocos sobre estacas - método das bielas e tirantes) [MUSSO]

N2-5φ10-180 (0,2%Ac2/face)

40 40

N1-2x5φ10-180 (0,2%Ac1/face)

38

40

N3-7φ8-190 (25%As,AB)

38

45

N3 N2

4N4c

.15

4N4c

.15

N1

N1

N4 7N3c.18

10

N3

7N1

N2

N4

4N2c

.13

45 25

108

108

N2-4φ8-160 (12,5%As,AB)

N1-7φ16-200 (As,AB)

110

30 N4-2x4φ8-170

(2x12,5%As,AB)

N1 N1

5N2c

.10

Ac2

10

10

4N1

N2

4N1 N1

5N2c

.12

N3

N4

N3

7N3c.16

N2

N1

N2

N1

4N1

N4

5N2c.12

N3

5N2c.12

N4

7N3c.16

7N3c

.16

N2

N4 6N1

N3 6N

1

N3

N4

7N3c

.18

N1

7N3c.18

N1

N2

N1

N1

6N1

2N2

2N2

6N1

N4

N4

c.10

c.10

N3 N3

4N4c

.15

4N4c

.15

N1 N2 N1

N2

45 25

108

108

N3-2x7φ8-160 (2x25%As,AB)

N2-2x2φ16-200 (2x25%As,AB)

108

45

N1-4x6φ16-200 (4x87,5%As,AB)

L4a

L4b N4-3x5φ8-C4

(3x25%As,AB) 30 N4-4x4φ10-170

(4x25%As,AB)

110

N3 N3

5N4c

.11

5N4c

.11

N1 N2 N1

N2

45 25

var

var

N3-3x7φ6,3-var (3x25%As,AB)

N2-3x5φ8-var (3x25%As,AB)

L1a

45

N1-3x4φ16-C1 (3x87,5%As,AB)


10.8 - ANÁLISE, DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO DA ESCADA


ESCADA - ANÁLISE Geometria e Espessura Média dos Degraus

Espessura Média = [(17,5 + 11,9) + 11,9]/2 = 20,6 cm

10

10/cosθ = 11,9

27,5

17,5 θ

32,6

cosθ = (27,5)/(32,6)

θ

Carga Permanente (PP + PR), Diagrama de Momentos Fletores e Reações G1 = 25 x 0,206 + 0,75 = 5,90 kN/m (5,90 x 2,20 = 4,79 x 2,71); G2 = 25 x 0,10 + 0,75 = 3,25 kN/m

Carga Variável, Diagrama de Momentos Fletores e Reações Q1 = 3,0 kN/m (3,0 x 2,2 = 2,44 x 2,71); Q2 = 3,0 kN/m

Momento Fletor de Cálculo Md = 1,4(MG + MQ) = 1,4(9,7 + 6,0) = 21,98 kNm/m PP - peso próprio da escada; PR - peso de revestimento [FTOOL]


TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR

[LAJE]


ESCADA - ARMAÇÃO

[MUSSO]


apostila de concreto armado - ufes 2011

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