apostila de calculo numérico

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APOSTILA Clculo Numrico UniversidadeT ecnolgicaF ederal doParan UTFPR Lauro Csar Galvo, Dr. eLuiz Fernando Nunes, Dr. ii ndices 1 NOES BSICAS SOBRE ERROS ...................................................................................1-1 1.1 ERROS...............................................................................................................................................1-1 1.2 ERROS ABSOLUTOS E RELATIVOS................................................................................................1-1 1.2.1 Erro Absoluto..................................................................................................................................1-1 1.2.2 Erro Relativo ou Taxa de Erro ....................................................................................................1-2 1.3 ERROS DE ARREDONDAMENTO E TRUNCAMENTO.....................................................................1-2 1.3.1 Erro de Arredondamento..............................................................................................................1-2 1.3.2 Erro de Truncamento ....................................................................................................................1-2 1.4 ARITMTICA DE PONTO FLUTUANTE...........................................................................................1-3 1.5 CONVERSO DE BASES..................................................................................................................1-3 1.5.1 Converso da Base para a Decimal (10) ........................................................................1-3 1.5.2 Converso da Base Decimal para a (10) ........................................................................1-4 1.5.3 Exerccios: Converso de Bases..................................................................................................1-5 1.6 OPERAES DE PONTOS FLUTUANTES........................................................................................1-7 1.6.1 Representaes...............................................................................................................................1-7 1.6.2 Exerccios........................................................................................................................................1-7 1.6.3 Exerccios complementares..........................................................................................................1-8 2 ZEROS REAIS DE FUNES REAIS .............................................................................. 2-11 2.1 INTRODUO.................................................................................................................................2-11 2.2 FASE I: ISOLAMENTO DAS RAZES...............................................................................................2-11 2.3 FASE II: REFINAMENTO - CRITRIOS DE PARADA....................................................................2-15 2.3.1 Mtodo da Bisseco (ou Mtodo da Dicotomia) ................................................................. 2-15 2.3.2 Mtodo do Ponto Fixo (ou Mtodo da Iterao Linear ou Mtodo das Aproximaes sucessivas).................................................................................................................................... 2-19 2.3.3 Mtodo de Newton, Newton-Raphson (ou Mtodo das Tangentes).................................... 2-27 2.3.4 Comparao entre os mtodos.................................................................................................. 2-30 3 RESOLUO DE SISTEMAS DE EQUAES LINEARES .................................... 3-32 3.1 INTRODUO.................................................................................................................................3-32 3.1.1 Forma Algbrica de Sn............................................................................................................... 3-32 3.1.2 Forma Matricial de Sn............................................................................................................... 3-32 3.1.3 Matriz Aumentada ou Matriz Completa do Sistema ............................................................. 3-32 3.1.4 Soluo do Sistema ..................................................................................................................... 3-32 3.1.5 Classificao de um Sistema Linear........................................................................................ 3-33 3.1.6 Classificao quanto ao Determinante de A.......................................................................... 3-33 3.2 MTODOS DIRETOS.......................................................................................................................3-33 3.2.1 Mtodo de Eliminao de Gauss.............................................................................................. 3-33 3.2.2 Estratgia de Pivoteamento Completo .................................................................................... 3-36 3.2.3 Refinamento de Solues........................................................................................................... 3-37 3.3 MTODOS ITERATIVOS.................................................................................................................3-39 3.3.1 Testes de parada.......................................................................................................................... 3-39 3.3.2 Mtodo de Gauss-Jacobi. .......................................................................................................... 3-39 3.3.3 Mtodo de Gauss-Seidel. ........................................................................................................... 3-42 3.3.4 Comparao entre os mtodos.................................................................................................. 3-43 3.3.5 Critrio de Sassenfeld................................................................................................................ 3-44 4 INTERPOLAO.................................................................................................................... 4-47 4.1 INTERPOLAO POLINOMIAL......................................................................................................4-47 4.1.1 Existncia e Unicidade do Polinmio Interpolador Pn(x).................................................... 4-47 4.1.2 Forma de Lagrange.................................................................................................................... 4-48 4.1.3 Forma de Newton........................................................................................................................ 4-50 4.2 ESTUDO DE ERRO NA INTERPOLAO........................................................................................4-52 4.2.1 Estimativa para o Erro............................................................................................................... 4-52 4.3 INTERPOLAO INVERSA: CASOS EXISTENTES..........................................................................4-54 4.3.1 Encontrar x tal que nP ) ( x .................................................................................................. 4-54 4.3.2 Interpolao inversa................................................................................................................... 4-54 4.4 FUNES SPLINE EM INTERPOLAO.........................................................................................4-56 iii 4.4.1 Funo Spline .............................................................................................................................. 4-56 4.4.2 Spline linear interpolante.......................................................................................................... 4-57 4.4.3 Spline cbica interpolante......................................................................................................... 4-58 5 AJUSTE DE CURVAS PELO MTODO DOS MNIMOS QUADRADOS ........... 5-64 5.1 INTRODUO.................................................................................................................................5-64 5.2 CASO DISCRETO............................................................................................................................5-65 5.3 CASO CONTNUO...........................................................................................................................5-70 5.4 FAMLIA DE FUNES NO LINEARES NOS PARMETROS.....................................................5-72 6 INTEGRAO NUMRICA............................................................................................... 6-74 6.1 FRMULAS DE NEWTON-COTES.................................................................................................6-74 6.1.1 Regra dos Trapzios................................................................................................................... 6-74 6.1.2 Regra dos Trapzios repetida ................................................................................................... 6-76 6.1.3 Regra 1/3 de Simpson................................................................................................................. 6-77 6.1.4 Regra 1/3 de Simpson repetida................................................................................................. 6-80 7 SOLUO NUMRICA DE EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS ....... 7-83 7.1 INTRODUO.................................................................................................................................7-83 7.2 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI) .........................................................................................7-84 7.2.1 Soluo numrica de um PVI de primeira ordem................................................................. 7-84 7.2.2 Mtodo de Euler.......................................................................................................................... 7-84 7.2.3 Mtodos de