Cálculo Diferencial e Integral II

Professores

Ana Clara da Mota

Áureo Pereira de Melo

Maria de Fátima dos Santos Monteiro Lemke

São José dos Campos

Abril – 2010

- 1 -

Aula 1

2 - Funções de várias variáveis.

Em muitas situações práticas, o valor de uma certa quantidade, depende dos valores de duas outras ou de três

outras. Então é usual representar estas relações como funções de várias variáveis.

Por exemplo, numa fábrica, uma quantidade chamada de produção (P), depende do número de homens-hora

(L) e do número de máquinas (K), usadas para produzir algum produto. A representação funcional dessa relação

e . );( KLfP =

O mesmo conceito se estende para qualquer número de variáveis.

Exemplos:

1) Volume de um cilindro

hrVc2π= , onde

r é raio

(2 variáveis)

h é altura

2) Equação de estado de um gás ideal

VnRTp = , onde p é pressão,

V é volume,

R é constante molar do gás e (3 variáveis)

T é temperatura

3) Circuito com 5 resistores em série

A corrente é função das resistências RI

54321 RRRRREI

++++= (5 variáveis)

I é corrente

E é a tensão da fonte

- 2 -

2.1 - Definição

Seja D um subconjunto (região) do espaço lR2 (plano). Chama-se função f de D toda relação que associa, a cada

par (x; y) ∈ D, um único número real, representado por f(x; y). O conjunto D é o domínio da função. Assim,

a) D é o domínio da função em lR2,

b) f é a função,

c) f(x,y) é o valor da função calculado em (x,y)

Ou seja, considere A um conjunto do espaço n-

dimensional, se a cada ponto P do conjunto A associarmos

um único elemento z, onde )(),...,,( 21 Pfxxxfz n ==

então A é domínio da função z.

2.2 – Domínio de uma Função

O domínio dessas funções segue as mesmas regras do domínio de funções de uma variável, ou seja, o domínio é

a região , tal que os valores calculados da função, para todo 2lRD ∈ Dyx ∈),( resultem em valores finitos e

reais para . ),( yxf

Se 224 yxz −−= , então ou 04 22 ≥−− yx ( ){ }4/,)( 222 ≤+∈= yxlRyxzD

Temos que representa a região limitada pela circunferência de raio 2 e centro C(0,0) 422 ≤+ yx

Sendo assim a imagem da função 224 yxz −−= é dada por { }2/)Im( ≤≤∈= zolRzz .

y

x 2

- 3 -

Aula 2

Curvas de Nível

Objetivo: Compreender o significado e a aplicação das curvas de nível.

2.1 - Gráfico de uma função de 2 variáveis

xy e )(xfy = . Já vimos que para as funções de uma variável, o gráfico é no plano

Para funções de 2 variáveis o gráfico é em e z3lR ),( yxf= . Uma função de 2 variáveis sempre gera uma

superfície no espaço lR 3

Exercícios

Esboce o gráfico das funções de duas variáveis:

a) b) f5),( =yxf yxyx 326),( +−= c) z = d) 22 yx + 221 yxz −−=

2.2 - Curvas de Nível

Seja f uma função real de duas variáveis reais. Designamos por curva de nível de valor k o

conjunto:{ }kyxflRyx =∈ ),(;),( 2

Seja k um número real. Uma curva de nível ( ) de uma função kC ),( yxfz = é o conjunto de todos os pontos

tais que ou seja, kyxf =),(

{ }kyxffDyxCk =∈= ),(/)(),(

Exemplo:

229 yxz −−=

9222 =++ yxz

909 22220 =+⇒=−−= yxyxC

819 2222

1 =+⇒=−−= yxyxC

Cada curva de nível é a projeção,sobre o plano da interseção do gráfico de f com o plano

horizontal .

kyxf =),( yx0

kz =

- 4 -

Aula 3

1) Dê o valor funcional de:

a) para yxyxf 2),( 2 += )3,2(),( =yx

b) ( )21

33),( yxyxf += para )2,1(),( =yx

2) Uma empresa que aluga carros cobra R$ 40,00 por dia e R$ 0,15 por quilômetro rodado.

a) Obtenha uma fórmula para o Custo (C) do aluguel de um carro como uma função do número de dias (d) e o

número de quilômetros (q).

b) Se , calcule e interprete o resultado. ),( qdFC = )300,5(f

3) Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê:

a) O comprimento de uma escada apoiada como na figura abaixo:

b) O volume de água necessário para encher uma piscina redonda de x metros de raio e y metros de altura.

c) A quantidade de rodapé, em metros, necessária para se colocar numa sala retangular de largura a e

comprimento b.

d) A quantidade, em metros quadrados, de papel de parede necessária para revestir as paredes laterais de um

quarto retangular de x metros de largura, y metros de comprimento, se a altura do quarto é z metros.

e) O volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões x, y e z.

f) A distância entre dois pontos P(x,y,z) e Q(u,v,w).

g) A temperatura nos pontos de uma esfera, se ela, em qualquer ponto, é numericamente igual a distância do

ponto ao centro da esfera.

4. Determinar o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:

a) b) yxz −−= 3 221),( yxyxf ++=

c) )(9 22 yxz +−= d) 222 zyxew ++=

e) 222),,( zyxzyxf ++= f) 452),( −+= yxyxf

5. Determinar o domínio das seguintes funções e representar graficamente num papel sulfite erepresentar

graficamente com o auxílio do software winplot:

a) xyz = b) 22

1yx

z−

= c) 12 +

=y

xz

- 5 -

d) )4(ln 22 yxz +− = e) yx

ez =

6. Dada a função yx

yxyxf+

+=

2),( :

a) Dê o domínio.

b) Calcule . ),( yxxf Δ+

c) Calcule )0,1( −f .

d) Faça um esboço gráfico do domínio num papel sulfite e faça o esboço do gráfico com o auxílio do

software winplot.

7. Desenhar as curvas de nível kC para valores de k dados:

a) 3,2,1,0;22 = −= kyxz

b) 3,2,1,0;22 = −= kxyz

c) 5,4,3,2,1,0;21 22 = += knml

d) 2,3,4,5;),( = += kyxyxf

Aula 4

Derivadas Parciais

Objetivo: Compreender o significado e interpretação geométrica das derivadas parciais.

4.1 – Derivadas parciais de 2 variáveis

A definição de derivada parcial de uma função de duas variáveis é a mesma que a de funções de uma variável.

A única diferença, aqui é que, como se tem duas variáveis, uma delas deve ser mantida fixa enquanto se dá

acréscimo para a outra. Assim, seja a função , sua derivada em relação a x é: ),( yxf

),(),( yxfyxxff −Δ+=Δ incremento da função

xyxfyxxf

xf

Δ−Δ+

=ΔΔ ),(),(

- taxa de variação da função

),( lim

0yxf

xf

xf

xx=

∂∂

=ΔΔ

→Δ Derivada Parcial em x

Analogamente, se mantivermos agora o valor de x constante a derivada parcial em relação a y é:

),( lim

0yxf

yf

xf

yy=

∂∂

=ΔΔ

→Δ Derivada Parcial em y

Regra para determinar a Derivada Parcial de ),( yxfz =

1 – Para achar , olhe y como uma constante e diferencie com relação a x. xf ),( yxf

2 – Para achar , olhe x como uma constante e diferencie com relação a y. yf ),( yxf

- 6 -

Exemplo:

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função: 423),( yxyxf −=

Respostas:

3=∂∂

xf

38 yyf

−=∂∂

4.2. Interpretação geométrica da derivada parcial

Nas funções de uma variável, a derivada mede a inclinação da reta tangente á curva no ponto dado. Nas

funções do tipo de duas variáveis, a derivada em relação a x, mede a inclinação da reta tangente à

superfície, no ponto dado (x0, y0, z0) e numa seção paralela a y e com x constante.

),( yxf

Assim

z

x

y

α

P

z

x

y

αα

PP

( )x f , 00 ∂

∂== yxftg xα ( )

y f , 00 ∂

∂== yxftg yβ

Exemplo Aplicado:

1) Considere uma barra metálica desigualmente aquecida ao longo do eixo Ox, com extremidade esquerda na

origem e x medido em metros

x (m) 0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5

u (x) (°C) 125 128 135 160 175 160

Seja u(x) a temperatura em °C no ponto x. Observamos que a temperatura cresce quando nos movemos ao

longo da barra atingindo seu máximo em x = 4, depois começa a decrescer.

Vamos calcular ( )2' u

( )x

uxuux Δ

−Δ+=

→Δ

)2()2(lim2' 0

Se fizermos 1=Δx

( )1

)2()12(2' uuu −+=

- 7 -

( ) )2()3(2' uuu −=

( ) 251351692' =−=u

Isto significa que a temperatura cresce a uma taxa de aproximadamente

25 °C por metro quando partimos de x = 2 da esquerda para direita.

2) Considere um parabolóide C , um plano 2216: yxz −−= 2=y e um ponto ) 11 ,2 ,1 (P

Vamos calcular a inclinação da reta tangente à curva C no ponto P.

2=y ) 11 ,2 ,1 (P 2216: yxzC −−=

20

216)2,()( yxxfxg −−==

12)2,()( 2 −−== xxfxg

( )0

00000

),(),(lim,

x f

0 xxyxfyxf

yxxx −

−=

∂∂

→

( )1

1112lim2,1x f 2

1 −−+−

=∂∂

→ xx

x

( ) ( )1

1lim1

1lim2,1x f 2

1

2

1 −−−

⇒−

+−=

∂∂

→→ xx

xx

xx

z

x

y

α

P

z

x

y

αα

PP

( ) ( )( ) ( )1lim1

11lim2,1x f

11+−⇒

−−+−

=∂∂

→→x

xxx

xx

( ) 22,1x f

−=∂∂

Ou simplesmente:

2=y ) 11 ,2 ,1 (P 2216: yxzC −−=

12)2,()( 2 −−== xxfxg x2x f

−=∂∂

( ) 2)1.(22,1x f

−=−=∂∂

3) Se . Ache e e interprete esses números como inclinações. 2224),( yxyxf −−= )1,1(xf )1,1(yf

( ) xyxf x 2, −= 2)1,1( −=xf

( ) xyxf y 4, −= 4)1,1( −=yf

Exercício:

1) Calcule a inclinação da reta tangente à intersecção da superfície , com o plano 324 xyyxz −= 2=y no

ponto )48,2,3(

4.3 - Derivadas Parciais de segunda ordem

Se f é uma função de duas variáveis x e y, suas derivadas são x f

∂∂

=xf e y f

∂∂

=yf . Se derivarmos essas

derivadas mais uma vez, obteremos as derivadas parciais de segunda ordem, que são representadas por:

- 8 -

( ) 2

2

2

2

x z

x f

x f

x ∂∂

=∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

== xxxx ff

( ) 2

2

2

2

y z

y f

y f

y ∂∂

=∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

== yyyy ff

( )x y

z x y

f x f

y

22

∂∂∂

=∂∂

∂=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

== xyyx ff

( )y x

z y x

f y f

x

22

∂∂∂

=∂∂

∂=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

== xyxy ff

Exemplo:

Determine as derivadas parciais de segunda ordem de . 2323 2),( yyxxyxf −+=

Resposta: 32 23),( xyxyxf x += yyxyxf y 43),( 22 −= 326),( yxyxf xx +=

46),( 2 −= yxyxf yy 26),(),( xyyxfyxf yxxy ==

Aula 5

Plano Tangente

Objetivo: Encontrar o plano tangente à uma curva num determinado ponto

Plano Tangente

O plano tangente ao gráfico da função ),( yxfz = no ponto ),, cb(a

De acordo com a figura, é natural esperar que o plano tangente contenha as retas cujos declives são as

derivadas parciais da função em relação a x e em relação a y ,

no ponto .Sendo as equações cartesianas dessas retas: ),( ba

⎩⎨⎧

−=−=

))(,(),( axbafbafzby

x

⎩⎨⎧

−=−=

))(,(),( aybafbafzay

y

A equação do plano que as contém é:

[ ] 0),())(,())(,( =−−−∂∂

+−∂∂ bafzbyba

yfaxba

xf

Exemplo:

Determine o plano tangente ao parabolóide elíptico no ponto ( . 222 yxz += )3,1,1

- 9 -

xyxf x 4),( = 4)1,1( =xf

- 10 -

yyxf y 2),( = 2)1,1( =yf

Temos a equação do plano tangente em ( : )3,1,1

)1(2)1(43 −+−=− yxz

324 −+= yxz

Aula 6

Exercícios

1. Calcular as derivadas parciais de 1a ordem:

a) b) c)25 xxyz −= 10),( 22 −+= yxyxf 352 −+= yxz

d) xyz = e) 22 3),( yyxyxf +=

2. Calcular as derivadas parciais de 1a ordem:

a) yxeyxf2

),( =

b) )cos(),( xyxyxf −=

c) yxxy xyyxf 22),( ++=

d) ( )222 ln),( yxyyxf +=

e) 222 yxaz −−=

f) 22 yxz +=

g) 22

22

yxyxz

+−

=

h) xyarctgyxg =),(

i) yxeyxz 2)( ++=

j) 22

2

2yxyxz

+=

k) 422 −+= yxez

l) xy senxyz 22 +=

m) ( ) xyxz 5ln 22 −+=

n) 122 −+= yxz

o) xyxyz −=

p) t

twtwf 1),( 2 −=

q) )ln(),( uvuvvuf −=

r) xyy xz −= 22

s) ( )2222 yxyxz +−+=

t) )( 222

yxez x +=

3. Verificar se )( yx satisfaz a equação senz + = 0=∂∂

−∂∂

yz

xz

.

Respostas

1. a) xyzxy

xz 5,25 =

∂∂

−=∂∂

b) yyfx

xf 2,2 =

∂∂

=∂∂

c) 5,2 =∂∂

=∂∂

yz

xz

d) xy

xyz

xyy

xz

2,

2=

∂∂

=∂∂

e) yxyfxy

xf 6,2 2 +=

∂∂

=∂∂

2. a) yx b) )yx exexy22 2,2 (),cos()( xyxsenxyyxxsen −−−+−

c) d)22 2,2 xxxyxyyy ++ ++ )ln(22,2 2222

3

22

2

yxyyx

yyx

xy++

+

+

e)222222

,yxa

yyxa

x−−

−

−−

− f)

2222,

yxy

yxx

+

+

g) ( ) ( )222

2

222

2 4,4yx

yxyx

xy+

−

+ h) 2222 ,

yxx

yxy

+

+−

i) j) ( ) ( ) yxyx eyxeyx 22 122,1 ++ ++ ++( ) ( )222

224

222

3

22,

24

yxyxx

yxxy

+

−

+

k) l)44 2222

2,2 −+−+ yxyx yexe xysenxyxxxysenxyyy cos22,cos22 + +

m)yxyx +

−+

1,51 n)

1,

1 2222 −+

−+ yxy

yxx

o) xxy

xyxy

y− −

2,

2 p) 2

2 1,2t

wwt +

q)v

uu

v 1,1− − r) xyxyxy − − 22 2,2

s) yyx

yxyx

x 2,22222

−+

−+

t) [ ] 22

2,12 22 xx yeyxxe ++

3. Satisfaz.

Aula 7

Objetivo: Resolver exercícios aplicados com o auxílio de diferencial

7.1 - Diferencial de uma função

- 23 -

Para uma função de uma variável , definimos o diferencial dx na variável independente, ou

seja, dx pode valer qualquer número real. O diferencial de y é definido como

)(xfy =

dxfdy (x) ' =

a)-(a)(x ' )( fafy +=

A figura mostra as relações entre o incremento xΔ

e o diferencial : dy yΔ representa a variação da altura da

curva (x) fy = e representa a variação da altura da

reta tangente quando x varia da quantidade

dy

xdx Δ= .

Utilizou-se o diferencial dy ou como uma

aproximação do incremento ou variação efetiva

df

)()( xfxxff −Δ+=Δ do valor de uma função de

uma variável, resultante de uma variação xΔ na variável independente. Assim

dfxxfxfxxff =Δ≈−Δ+=Δ )( ' )()( .

Agora será estudada a aplicação das derivadas parciais xf

∂∂ e

yf

∂∂ para aproximar o

incremento ),(),( yxfyyxxff −Δ+Δ+=Δ

dfxxfxfx =Δ

no valor de uma função de duas variáveis, que resulta

quando suas variáveis independentes variam simultaneamente. Se apenas x variasse e y permanecesse

constante poder-se-ia temporariamente considerar como uma função de x apenas. Então, como

desempenhando o papel de , a aproximação linear da equação:

),( yxf

(x) ' f),( yxf x

xff ≈−Δ+ )( ' )()=Δ ( daria xyxfyxfyxxff Δ≈−Δ+=Δ ),( ),(), x( ( I ) para a

variação de correspondente à variação f xΔ em . Analogamente, se apenas y variasse e x

permanecesse constante, então considerando temporariamente como função de y apenas obter-

se-ia

x

), y(f x

yyxfyxfyyxff Δ≈−Δ+= ),( ),(),( y

yΔ

Δ ( II ) para a variação de correspondente à

variação em

f

y .

Mas se x e y variam simultaneamente, é de se esperar que a soma das aproximações em ( I ) e ( II )

seja uma boa estimativa do incremento resultante no valor de . Nessas condições, define-se a

diferencial:

f

dyyzdx

xzyyxfxyxfdf yx ∂

∂+

∂∂

=Δ+Δ= ),(),( de uma função de duas variáveis. ),( yxf

7.2 - Interpretação Geométrica do diferencial

Essa figura mostra a interpretação geométrica do

diferencial e do incremento , representa a

variação na altura do plano tangente, ao passo que

dz zΔ dz

zΔ

representa a variação da altura da superfície )yz ,(xf=

- 24 -

quando varia de para ),( yx ),( ba ),( ybxa Δ+Δ+ .

Exemplo:

xyx + no ponto (1,1). Calcular a diferencial de f(x,y) =

xyy

2+

xf 1=

∂∂ e

yf

∂∂

xyx

2=

dydxdf21

23)1,1( +=

2) Sendo z = x2 + y2 – xy a) determinar uma boa aproximação para o acréscimo da variável dependente quando (x,y) passa de (1,1) para (1,001; 1,02) Solução:

dyyfdx

xfz )1,1()1,1(

∂∂

+∂∂

≅Δ

021,002,0).11.2(001,0).11.2( ≅−+−≅Δz b) Calcular quando as variáveis independentes sofrem a variação dada no item a. zΔSolução:

021381,0)1,1()02,1;001,1( =−=Δ ffz Podemos verificar que o erro decorrente do uso de diferenciais neste exemplo é de 0,000381. Calcule a diferencial total das funções:

a) 123 323 −+−= xyxyyxz

b) zyxyxz 232 −+=

Exercícios – Aplicações

1) O raio e a altura de um cilindro são 8 cm e 20 cm, respectivamente, com erro possível de

medida de 01,0± cm. Use diferenciais para aproximar o erro máximo no cálculo do volume do

cilindro.

- 25 -

2) Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 10 cm

e 25 cm, respectivamente, com possível erro nessas medidas de no máximo 0,1 cm . Utilize o diferencial

para estimar o erro máximo cometido no cálculo do volume do cone.

Aula 8

Regra da Cadeia

Objetivo: Resolver derivadas de funções compostas.

8.1 - Derivadas de funções compostas

Suponha que seja uma função diferencial de ),( yxfz = x e y , onde e são funções

diferenciáveis de

)(tgx = )(thy =

t . Então z é uma função diferenciável de t e dtdy

yf

dtdx

xf

∂∂

+∂∂

=dtdz

Generalizando:

Suponha que u seja uma função diferenciável de variáveis onde cada é uma

diferenciável de variáveis . Então é uma função de e

n nxxx ,.....,, 21 ix

,.....,m mttt ,.....,, 21 u mttt , 21

i

n

n dtdx

xu

ii xdtdx

xu

dtdu

∂∂

++∂∂

= ......21

1 dtdxu

2∂∂

+ para mi ,.....,1 2,=

Exemplos:

Se , onde e 42 3xyyxz += )2()( tsentx = )cos()( tty = , determine dtdz quando . 0=t

Solução: Da regra da cadeia vem

dtdy

yf

dtdx

xf

dtdz

∂∂

+∂∂

=

( )( ) ( )( ))(12)2cos(232 324 tsenxyxtyxydtdz

−+++=

Observe que quando temos que 0=t 0)0( == senx e 1)0cos( ==y . Portanto,

( )( ))0 + ( )(00cos(2300

−++==

sendtdz

t

) 6)0( =

2) A altura de um cone é de 14 cm e aumenta na razão de 0,03 cm/s. O raio é de 8cm e aumenta na razão de 0,04 cm/s. Determine a taxa de variação do volume em relação ao tempo. Dados:

3

.. 2 hrvconeπ

=

, cm 8 r = , cm 14 h = , 0,04.t 8 r(t) += 0,03.t 14 h(t) += e

dtdr

rv

dtdh

hv

dtdv

∂∂

+∂∂

=

3224

314.8.2

3..2)14,8( πππ

===∂

∂ hrr

v 04,0)(

=dt

tdr

- 26 -

364

364.

3.)14,8( 2 πππ

===∂

∂ rh

v 03,0)(

=dt

tdh

04,0.3

22403,0.3

64 ππ+=

dtdv

scmdtdv /.62,3 3 = π

Exercício:

Calcule a derivada das funções:

1) onde e 53),( 2 −+= yxyxf tetx =)( 3)( tty =

2) zyxzyxf 232),,( −+= onde )()( tsentx = , e tety =)( 2)( ttz =

Aula 9

Derivadas direcionais e vetor Gradiente

Objetivo: Conhecer e aplicar o vetor gradiente

9.1.Derivadas Direcionais

Definição:

A derivada direcional de em f ( )00 , yx na direção do vetor unitário é:

hhb y ), 0xfyhaxf

yxfDhu

(),(lim),( 000

000−++

=→

se esse limite existir.

Teorema: Se f é uma função diferenciável em x e y , então f te

derivada direcional na direção de qualquer versor

m

( )ba,u = e

byxfayxyxfD yh

xu ),(),(),( 0000000 f +=

→

Prova: Se definirmos uma função de uma única variável por g h

),()( 00 hbyhaxfhg ++=

Então, pela definição de derivada direcional, temos:

),(),(),(

lim)0()(lim(0) ' 000000

00hyxfD

hyxfhbyhaxf

hghgg uh

=+++

=−

=→→

( 1 )

Por outro lado, podemos escrever ),()( yxfhg = onde haxx += 0 , e pela regra da hbyy += 0

- 27 -

cadeia byxfayxfdhdy

yf

dhdx

xfhg yx ),(),()( ' +=

∂∂

+∂∂

= .

Se tomarmos , então , 0=h 0xx = 0yy = e

byxfayxfg yx ),(),()0( ' 0000 += ( 2 ).

Comparando as equações ( 1 ) e ( 2 ) vemos que:

byxfayxfyxf yx ),(),(),(D 000000u +=

Se ),(cos θθ senu = : θθ senyxfyxfyxf yx ),(cos),(),(D 000000u +=

Exercícios

1) Determine a derivada direcional , sendo f(x,y) = x3 – 3xy + 4y2 se ),(u yxfD u é o versor dado pelo

ângulo 6π . Qual será ? RESP: )2,1(u fD

213 − 33

2) Suponha que numa certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por:

. Determine a taxa de variação do potencial em na direção do

vetor

xyzxyxzyxV +−= 35),,( 2

kjiv

)5,4,3(P

rrrr−+= .

3332)5,4,3(Duf =

9.2. Vetor Gradiente

A derivada direcional pode ser escrita como o produto

escalar de dois vetores:

byxfayxfyxf yx ),(),(),(Du +=

( ) ),.(),(),,(),(Du bayxfyxfyxf yx=

( ) uyxfyxfyxf yx .),(),,(),(Du =

Definição: Se é uma função de duas variáveis f x e y é função vetorial definida por: f∇

( ) jyfi

xfyxfyxff yx

rr∂∂

+∂∂

==∇ ),(),,(

Usando a notação de vetor gradiente temos:

uyxfyxfDur).,(),( ∇=

Teorema: Suponha que seja uma função diferenciável de duas ou três variáveis. O valor máximo da f

- 28 -

derivada direcional é ),( yxfDu )(xf∇ e ocorre quando ur tem a mesma direção que o vetor

gradiente . )(xf∇

Exemplo:

Calcular o gradiente de em 222 yx +),( yxf = )1,2( −P .

jifrr

28)1,2( −=−∇ Temos que o jyxr

, yixr

24) +=f (∇

Aula 10

Exercícios Propostos

Objetivo: Fixar conteúdo através de resolução de exercícios

1) Determine a derivada direcional da função yy no ponto )1,2( − na direção do

vetor ji

xyxf 4),( 2 −= 3

rr52 +v = .

2) Numa certa região do espaço o potencial elétrico V é dado por xyzxy . Em

que direção V varia mais rapidamente em )5,4,3(P ? Qual a taxa máxima de variação em )5,4,3(P ?

xzyxV +−= 35),,( 2

3) Suponha que a temperatura num ponto ),,( zyx do espaço seja dada por

22 3280

y2,,( zyxT+1

)x+

=z+

, onde T é medida em graus Celsius e x, y e z em metros. Em que

direção no ponto )2,1,1( − a temperatura aumenta mais rapidamente?

292932 2) a) b) ( )12,6,38f∇ 30,404062 ≅ Respostas: 1)

- 29 -

3) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−∇

415,

45,

85f variação 4ºC

CURSO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

TABELA DE DEVIVADAS E INTEGRAIS – FÓRMULAS ELEMENTARES “u”, “v”, “z” e “x” são funções e “a”, “m”, e “k” são constantes

DERIVADAS INTEGRAIS )(xf )(' xf ∫ dxxf )( I

k 0 ∫ dxxfa )(. ∫ dxxfa )(.

x 1 ( ) ( )[ ]∫ + dxxvxu ( ) ( )∫ ∫+ dxxvdxxu z v u −+ ' ' ' zvu −+ ∫ duuf )(' ∫ duuf )( vu. vuvu '.'. +

mxa. 1.. −mxma ∫ duum kmum

++

+

1

1

vu

2

'.'.v

vuuv − ∫du ku +

( ){ }xuv )(''. uvu ∫ > 0u ; u

du ku +ln mu 1.'. −mumu

ua a ln.'. uau 0a ; >∫ duau ka

au

+ln

ualog euu

alog'

0a ; . >∫ dxa xm kam

a xm

+ln.

.

u sen u cos'.u ∫ duu ln kuuu +−ln.

u cos u '.senu− ∫ duuu

ln

ku +2ln.21

u tg u sec'. 2u ∫ duuu

ln.1

ku +ln ln

u cot g u cos'. 2ecu ∫ udv ∫− duvvu .

u sec u .sec'. tguu ∫ du senu ku +− cos

u cosec u cot. cos'. guecu− ∫ du cosu ksenu +

21'u

u−

∫ du u tg ku +secln usenarc

usarc co 21'u

u−

− ∫ du u cotg kusen + ln

utgarc 21

'u

u+

∫ du usec2 kutg +

uarc cotg 21

'uu

+−

∫ du ucosec2 kug +− cot

uarc sec 1.

'2 −uu

u ∫ du u tg . u sec ku + sec

1.

'2 −

−

uuu

∫uarc secco

- 30 -

du u cotg . u cosec kuec +− cos

Aula 11

Pontos críticos de uma função de várias variáveis

Objetivo: Resolver problemas de otimização

Pontos de Máximos, de Mínimos e de Sela

Uma importante aplicação do estudo de

derivadas parciais, é a otimização de funções.

Otimizar uma função significa encontrar seu

desempenho máximo ou mínimo. Como para as

funções de uma variável, quando as derivadas

primeiras forem nulas, teremos pontos extremos

que podem ser máximos ou mínimos. Para saber

de que tipo são esses pontos, teremos de utilizar

o determinante Hessiano calculado no ponto que é definido a seguir. ),( 00 yxyyyx

xyxx

ffff

yxH =),( 00

Assim, se as derivadas e forem nulas, o ponto ( é um extremo, e: xf yf ), 00 yx

1) - e então é um máximo. 0),( 00 >yxH 0),( 00 <yxf xx ),( 00 yx

2) - e então é um mínimo. 0),( 00 >yxH 0),( 00 >yxf xx ),( 00 yx

3) - então é um ponto de sela. 0),( 00 <yxH ),( 00 yx

4) - o teste é inconclusivo 0),( 00 =yxH

Os ponto P e Q são pontos de máximo, porque qualquer

deslocamento em sua vizinhança irá descer.

O ponto S é uma sela porque nos sentidos e sobe ,

mas no sentido ou desce

SP SQ

SL ST

Exemplo:

1) Encontre os pontos críticos da função xxxyyxf 33),( 32 −+=

- 31 -

Resolução:

333 22 −+=∂∂ xyxz xy

yz 6=

∂∂

⎩⎨⎧

==−+

060333 22

xyxy

Resolvendo o sistema temos que os pontos críticos dessa função são

)1,0( , , e )1,0( − )0,1( )0,1(−

2) Classifique os Ponto críticos da função do exercício anterior em máximo, mínimo e sela.

333 22 −+=∂∂ xy

xf e xy

yf 6=

∂∂

22

2

22

2

2

2

36366666

),(),(

),(),(

),( yxxyyx

yyxf

yxyxf

xyyxf

xyxf

yxH −==

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

=

Temos:

1. Análise do ponto )1,0(

360660

)1,0( −===H

Assim, e, então, é ponto de sela. 0)1,0( <H )1,0(

2. Análise do ponto )1,0( −

360660

)1,0( −=−

−==H

Assim, e, então, é ponto de sela. 0)1,0( <H )1,0(

Portanto (0,-1) é ponto de sela.

3. Análise do ponto )0,1(

366006

)0,1( ===H

Assim, ,devemos analisar o sinal de 0)0,1( >H 2

2 )0,1(x

f∂

∂ .

Temos 6)0,1(2

2

=∂

∂x

f

- 32 -

Como e 0)0,1( >H 0)0,1(2

2

>∂

∂x

f , concluímos que é ponto de mínimo local de )0,1( f

Portanto (0,-1) é ponto de sela.

4. Análise do ponto . )0,1(−

Temos

3660

06)0,1( =

−−

==−H

06)0,1(2

2

<−=∂

−∂x

f

Assim e 0)0,1( >−H 0)0,1(2

2

<∂

∂x

f , portanto, estamos diante de um ponto de máximo local da

função.

Concluímos, então, que os pontos críticos da função são classificados como: xxxyyxf 33),( 32 −+=

• )1,0( e )1,0( − são pontos de sela;

• )0,1( é um ponto mínimo local;

• )0,1(− é um ponto de máximo local

Aula 12

Exercícios propostos

1) Encontre os valores de máximo ou mínimo das funções:

a) b) 432 326),( yxxyyxf −−= xyyxf =),(

c) d) xyxyxf 2),( 22 −+= yxyxyxf 9831

41),( 34 −−+=

2) A temperatura em cada ponto de um painel plano é dada pela equação

. Encontre a temperatura nos pontos mais quentes e/ou mais frios da

região.

( CT °

24x +

)22 4016),( yxyxT +=

3) Encontre e classifique os pontos de máximos, mínimos ou ponto de sela das superfícies abaixo:

a) z = x2 + xy + y2+ 3x – 3y + 4

b) z = x2 + 3xy + 3y2 – 6x + 3y – 6

c) z = 5xy – 7x2 – y2 + 3x – 6y + 2

d) z = 2xy – 5x2 – 2y2 + 4x + 4y – 4

- 33 -

e) z = x2 + xy + 3x + 2y + 5

f) z = y2 + xy – 2x - 2y + 2

Resp: a) Min.(-3, 3, -5) b) Min.(15, - 8, -63) c) Máx..(-8, - 23, 59)

d) Máx..(2/3, 4/3, 0) e) Pto. Sela (-2, 1, 3) f) Pto. Sela (-2, 2)

4) Determine quais dimensões deverá ter uma caixa retangular aberta (sem tampa), de volume V dado,

a fim de que se tenha área mínima. Resp: 33 22 vyevx = =

5)Uma empresa fabrica dois itens que são vendidos em mercados separados. As quantidades q1 e q2

pedidas pelos consumidores e os preços p1 e p2 de cada item são relacionados por: P1 = 600 – 0,3 q1 e

P2 = 500 – 0,2 q 2 . Assim se o preço de qualquer item aumenta, a demanda para ele decresce. O custo

total de produção da empresa é dada por C = 16 + 1,2 q1 + 1,5 q2 + 0.2 q1 q2. Se a empresa que

maximizar seu lucro total, quanto deve produzir de cada produto? Qual será o lucro máximo?

Resp: Lucro Máx. aproximadamente R$ 433.000,00

7) Entre todos os paralelepípedos retangulares de volume V dado, calcular aquele cuja superfície total

seja menor. Resp: cubo

Aula 13

Integral Dupla

Objetivo: Resolver Integrais Duplas e aplicações dessas integrais

Definição

Considere a função z = f(x,y), numa região limitada R do plano xy.

Traçando-se retas paralelas aos eixos das abscissas e das ordenadas, temos, a soma (soma de Riemann)

dos retângulos contidos na região R é representada por , onde Δ é a área do

retângulo .

∑=

Δn

kkkk Ayxf

1),( kA

kR

Se o número de paralelas traçadas tenderem a infinito, temos:

∑=

→Δ

n

kkkkn

Ayxf10

),(lim

- 34 -

Se este limite existir ele é chamado de integral dupla de f(x,y) sobre a região R e é denotado por:

∫∫R

dAyxf ),( ou ∫∫R

dxdyyxf ),(

Interpretação geométrica da integral dupla

O produto f(xk,yk).ΔAk representa o volume de um prisma reto, cuja base é o retângulo Rk e a altura é

f(xk,yk).

A nos dá o volume do sólido delimitado superiormente por e inferiormente

pela região R e lateralmente pelo “cilindro” vertical cuja base é o contorno de R.

∫∫R

dxdyyxf ),( ),( yxfz =

Propriedades das Integrais Duplas:

a) , para todo real ∫∫∫∫ =RR

dAyxfkdAyxkf ),(),( k

b) [ ] ∫∫∫∫∫∫ +=+RRR

dAyxgdAyxfdAyxgyxf ),(),(),(),(

c) Se , para todo ),(),( yxgyxf ≥ lRyx ∈),( , então ∫∫∫∫ ≥RR

dAyxgdAyxf ),(),(

d) Se para todo pertencente à região0),( ≥yxf ),( yx R , então 0),( ≥∫∫R

dAyxf

e) Se a região R é composta de duas sub-regiões e que não têm pontos em comum, exceto

possivelmente os pontos de suas fronteiras (ver figura),

então

1R

dA

2R

∫∫∫∫∫∫ +=21

),(),((RRR

yxfdAyxfdAf ), yx

- 35 -

Aula 14

Integral Dupla – Cálculo de Volume

Objetivo: Cálculo de volume de algumas regiões

Exemplos:

1) Calcular o volume de um sólido delimitado superiormente pelo gráfico z = 4 – x - y, inferiormente

pela região R delimitada por x = 0, x = 2, y = 0 e y = x/4 + ½ e lateralmente pelo cilindro vertical cuja

base é o contorno de R

Resolução:

∫∫ −−=R

dxdyyxfV )4( ⎪⎩

⎪⎨⎧

+≤≤

≤≤=

21

410

20

xy

xR

Os valores de y variam de 1/2 até 1.

Temos, então, ( ) dxdyyxVx

∫ ∫⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

+2

0

21

41

0

4

Vamos, primeiro, calcular a integral interna. Temos

[ ]dxAV ∫=2

0

( )∫+

−−=21

41

0

4x

dyyxA

21

41

0

2

24

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

xyxyyA

- 36 -

221

41

21

41

21

414

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

xxxxA

815

83

329 2 ++−= xxA

Assim o volume V é dado por

uvdxxxV4

158

1583

3292

0

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−= ∫

Aula 15

Exercícios

Objetivo: fixação de conteúdo através de exercícios

1) Calcular:

a) b)dxdyxyx

x∫ ∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

1

0 2)1( dxydy

x

∫ ∫−

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3

3

9

0

2

c) , onde R é o retângulo ∫∫ +R

dxdyx )4( 60,20 ≤≤ ≤≤ yx

d) , onde R é a região delimitada y = x2 e y = 4. ∫∫ −−R

dxdyyx )8(

Resp: a) 5/24 b) 18 c) 60 d) 896/15

2) Calcular , onde: ∫∫R

dxdyyxf ),(

a) f(x,y) = x.exy R é o retângulo 10,31 ≤≤ ≤≤ yx

b) f(x,y) = x.cos(xy) R é o retângulo 2

0,20 π≤≤ ≤≤ yx

c) f(x,y) = x – 3y2 R = ( ){ } ≤≤ ≤≤ 21,20, yxyx

d) f(x,y) =y.sen(xy) R = ( ){ } ≤≤ ≤≤ πyxyx 0,21,

Resp: a) e3 – e – 2 b) π4

c) -12 d) 0

3) Determine o volume do sólido delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os planos x = 2

e y =2 e os três planos coordenados, ou seja, 20 ≤≤ x e 20 ≤≤ y .

Resp: 48

- 37 -

4) Determine o volume do sólido que é limitado acima pelo plano z = 2x + 5y + 1 e abaixo pelo

retângulo R = ( ){ } ≤≤ ≤≤− 41,01, yxyx .

Resp: 37,5

EXERCÍCIOS: INTEGRAIS DUPLAS

1) Se ( ){ }22,11/, 2 ≤≤−≤≤−ℜ∈= yxyxD calcular o volume correspondente à função

( ) 21 xxf −= por integral dupla. Resp: ..2 vuπ 2) Calcular as integrais e ∫ ∫=

2

1

3

0

21 ydydxxI ∫ ∫=

3

0

2

1

22 ydxdyxI

Resp: I1 =221 I2 =

221

( ){ }dycbxayxD ≤≤≤≤ℜ∈= ,/, 2 Se for contínua no domínio( yxf , ) , então

( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫∫∫ ==

d

c

b

a

b

a

d

cD

dydxyxfdxdyyxfdAyxf ,,, .

3) Se ( ){ }21,20/, 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yxyxD calcular a integral dupla ( )∫∫ −=D

dAyxI 23

Resp: ( ) 123 2 −=−∫∫D

dAyx

4) Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide e os planos

e , e os três planos coordenados, ou seja 16zy2x 22 =++

2=x 2=y { }20,20 ≤≤≤≤ yx

Resp: ..48 vuV =

- 38 -

5) Calcular a integral dupla ( )∫∫ −+D

dAyx4 , sabendo que o domínio é

( ){ }1,20/, 2 +≤≤≤≤ℜ∈= xyxxyxD . Resp: 7 6) Calcular a integral dupla ∫∫ −

D

dAx 24 , sabendo que o domínio é um círculo de raio igual a dois,

isto é, 2=r mas

donde

42 22222222 =+⇒+=⇒+= yxyxyxr ,222 44 xy =xy −±⇒−=

Então domínio será ( ){ }222 x4yx4,2x2/y,xD −+≤≤−−≤≤−ℜ∈=

Resp: ..3

64 vu

APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DUPLAS

DENSIDADE E MASSA Seja uma lâmina colocada numa região R do plano xy e cuja densidade (em unidades de massa por unidade de área) no ponto (x, y) em R é dada por , onde é uma função contínua sobre R. ),( yxf f

A massa total da lâmina é dada por: m dAyxfmR∫∫= ),(

1) Uma lâmina tem a forma de um retângulo com dois lados consecutivos de comprimento igual a 2 cm e a 4 cm. Determine a massa da lâmina, medida em gramas, sabendo que a densidade de massa por área num ponto P é . xyyxf 3),( =Resp.: gm 48= 2) Uma lâmina tem a forma de um triângulo retângulo com dois lados de comprimento igual a 2 cm. Determine a massa da lâmina, medida em gramas, sabendo que a densidade de massa por área num ponto P é . 22 33),( yxyxf +=Resp.: gm 16= CARGA Se uma carga elétrica está distribuída sobre uma região R e a densidade de carga (em unidades de carga por unidade de área) é dada por num ponto (x, y) em R, então a carga total é dada

por:

),( yxf q

( )∫∫=R

dAyxfq ,

3) A carga é distribuída sobre uma região R delimitada pelo triângulo retângulo de vértices (2,2), (0,2) e (2,0) de modo que a densidade de carga num ponto (x, y) seja , medida em coulombs por metro quadrado (C/m2). Determine a carga total.

xyyxf 3),( =

Resp.: coulombs 10 =q

- 39 -

4) A carga é distribuída sobre uma região R delimitada pelo retângulo de vértices (3,2), (0,2), (3,0) e (0,0) de modo que a densidade de carga num ponto (x, y) seja , medida em coulombs por metro quadrado (C/m2). Determine a carga total.

yxyxf 2),( =

Resp.: coulombs 18=q MOMENTO Seja uma lâmina com a forma de uma região R do plano XY e cuja densidade de massa por área num ponto (x,y) é . Define-se momento de uma lâmina em torno do eixo como o produto de sua massa pela distância (na perpendicular) ao eixo.

),( yxf

Assim: ( )dAyxfyM x ,∫∫ ⋅= ( )dAyxfxM y ,∫∫ ⋅=

5) U ma lâmina tem a forma de um triângulo retângulo de vértices (2,4), (2,0) e (0,0). Determine a massa da lâmina, medida em gramas por centímetros quadrado (g/cm2) e o momento, sabendo que a densidade de massa por área num ponto P é . 29),( xyyxf =

Resp.: 256 e 384 == yx MM CENTRO DE MASSA Definimos o centro de massa ( yx, ) de modo que yMxm = e xMym = . O significado físico disso é que a lâmina se comporta como se toda sua massa estivesse concentrada em seu centro de massa. Assim, a lâmina permanece horizontal quando equilibrada em seu centro de massa. As coordenadas ( yx, ) do centro de massa de uma lâmina ocupando a região R e tendo função densidade são: ),( yxf

( )∫∫ ⋅==R

y dAyxfxmm

Mx ,1

( )∫∫ ⋅==R

x dAyxfymm

My ,1

ou

( )

( )∫∫∫∫ ⋅

==

R

Ry

dAyxf

dAyxfx

mM

x,

,

( )

( )∫∫∫∫ ⋅

==

R

Rx

dAyxf

dAyxfy

mMy

,

,

6) Uma lâmina tem a forma de um triângulo retângulo de vértices (2,4), (2,0) e (0,0). Determine o centro de massa, sabendo que a densidade de massa por área num ponto P é . 29),( xyyxf =

Resp.: ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

25,

35, ponto o é massa de centro

5768 m yx

7) Uma lâmina tem a forma de um triângulo retângulo com dois lados de comprimento igual a 2 cm. Determine o centro de massa da lâmina, sabendo que a densidade de massa por área num ponto P é

. Resp.: o centro de massa é )(3),( 22 yxyxf += ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

109,

58

- 40 -

Exercícios complementares

Série - I

a) Domínio da função em 2lR

1) Achar o domínio das funções abaixo:

a) xyyxf −=),( b) yx

xyxf

−=

2),(

2

c) yx

xyxf

−=

3),(

2

b) Gráfico de uma função de duas variáveis

2) Represente graficamente as funções abaixo:

a) b) 5),( =yxf yxyxf 326),( +−=

c) d) 22 yxz += 221 yxz −−=

c) Derivadas Parciais

3) Derivar as funções abaixo:

a) b) c) 233),( yxyxf = 22),( yxyxf += 22),(yx

xyxf

+=

4) Calcular a inclinação da reta tangente à intersecção da superfície 32 com o plano

2=y no ponto

4 xyyxz −=

( )48,2,3 .

5) Calcular a inclinação da tangente à intersecção da superfície xy , com o plano

1=y no ponto

yxz 223 ++=

( )4,1,1 .

6) Achar as derivadas parciais da função ( ) x .),( 32 senyxyxf += .

7) Achar as derivadas xz

∂∂

e yz

∂∂

das funções.

a) b) c) 032 =−+ zyx 0642 23 =−− zyx 03322 =−++ xyzxyx

h) Derivadas parciais de Segunda ordem

8) Calcular as derivadas de primeira ordem das funções.

a) b) xyyxyxf 634),( 22 −+= yxeyxf 52),( +=

c) d) )n(x),( 22 ylyxf += zyxzyxf 653),,( −+=

e) f) yzxzxyzyxf 322),,( ++=zxyx

zyxf−+

=),,(

i) Derivadas de segunda ordem

9) Encontre as derivadas de segunda ordem das funções.

- 41 -

a) b)3222 34),,( zyxyxzyxf −+= ( )32 n ),,( zxylzyxf = c) yzxzxyzyxf 432),,( ++=

d)zyyx

zyxf−+

=),,( e) ( )332),,( zyxzyxf ++= f) xyzzyxf =),,(

Série - II

1. Dê o conjunto domínio e calcule as derivadas parciais:

a) x

xyyyxf 24712),( 2 ++= b) 325 158),( yxxyyxf −++=

c) y

yxyxf 1234),( 3 +++= d) 22

3),( xxt

ttxf ++=

e) 125),( 25 +++= srsrsrf f) yyxyxf 5)cos()sen(3),( 2 ++=

2. Usando a Regra da Cadeia, resolva os seguintes problemas:

a) A altura de um cone é de 14 cm e aumenta na razão de 0,03 cm/s. O raio é de 8 cm e aumenta na

razão de 0,04 cm/s. Determine a taxa de variação do volume em relação ao tempo.

b) A voltagem V de um circuito elétrico está decrescendo à medida que a bateria se descarrega. A

resistência R está aumentando devagar com o aumento de calor do resistor. Use a lei de Ohm,

RI , para achar como a corrente I está variando no momento em que R = 30 ohms e estiver

aumentando 0,15 ohms/s e V = 26 volts e estiver diminuindo 0,25 volts/s.

V ⋅=

c) A lei do gás ideal é dada pela fórmula kTPV = , onde P = pressão, V = volume,T = temperatura

e k = constante de proporcionalidade. Encontre a taxa de variação da pressão em relação ao tempo, no

instante em que o volume do gás for 400 cm3 e estiver com temperatura de 40 graus e em que o volume

aumenta à razão de 0,1 cm3/s e a temperatura diminui à razão de 0,018 graus/s.

Supor k = 10.

d) O comprimento c, a largura l e a altura h de uma caixa variam com o tempo. A certo instante as

dimensões da caixa são c = 5 m, l = 3 m e h = 10 m, onde c e l estão aumentando a uma taxa de 0,25

m/s, ao passo que h está diminuindo à taxa de 0,5 m/s. Nesse instante, determine as taxas nas quais o

volume e a área da superfície estão variando. Resp: dv = 12,5 m3/s e dA = 6 m2/s

3. Usando diferencial, resolva os seguintes problemas:

a) Determine a quantidade de estanho numa lata cilíndrica fechada com 7,5 cm de diâmetro e 15 cm

de altura se a espessura da folha de estanho for de 0,03 cm. DADO : hrv 2π=

- 42 -

b) Determine o máximo erro no cálculo da área da superfície e no cálculo de volume de uma caixa

aberta retangular com altura = 25 cm, largura = 30 cm e comprimento = 70 cm , com erro máximo de

0,3 cm em cada dimensão.

c) A potência consumida numa resistência elétrica é dada por R

VP2

= watts. Se V = 12 volts e

R = 6 ohms, determine o valor da variação da potência se V é aumentada de 0,015 volts e R é

aumentada de 0,002 ohms. Interprete o sinal do resultado: a potência é reduzida ou aumentada?

d) O período T em segundos para oscilações de um pêndulo simples que tem ρ cm de largura é dado

pela fórmula g

T ρπ2= onde g é a constante de aceleração da gravidade. Sabendo que ρ = 13 cm e

g = 9,8 cm/s2 e que foi a leitura incorreta com ρ = 12,95 cm e g = 9,85 cm/s2, encontre a variação do

período T.

e) Seja um retângulo com lados 3=x cm e 4=y cm. Determine a variação aproximada da diagonal

deste retângulo, sabendo que o lado x foi aumentado 005,0 cm e o lado y diminuído 0,004 cm.

f) A resistência de um circuito elétrico é dada por CER = ohms. Sabendo que E = 18 volts e C = 6

ampères, porém foi feita a leitura de E = 17,985 volts e C = 6,125 ampères, determinar a variação da

resistência.

4. Dadas as funções abaixo, determine o seu ponto crítico (máximo, mínimo ou sela) e classifique-o:

a) b) xyyxxyyxF 2442),( 22 +−−= yxxyxyyxF 22 379),( −+=

c) 2736183),( 22 +−+−+= xyyxyxyxF

6.a) Deseja-se construir uma caixa, retangular com tampa, cujo volume é de 2744 cm3, sendo que a

quantidade de material para a sua fabricação deve ser mínima.

b) Deseja-se construir uma caixa, retangular com tampa, de 64 cm3 de volume. O custo do material a

ser usado é de 1 u.m. por cm2 para o fundo e tampa, 4 u.m. por cm2 para um par de lados opostos e 2

u.m. por cm2 para o outro par de lados opostos. Determine as dimensões da caixa de tal maneira que o

custo seja mínimo.

c) Determine três números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja mínima.

d) Deseja-se construir um tanque com a forma de um paralelepípedo para estocar 270 m3 de

combustível, gastando a menor quantidade de material em sua construção. Supondo que todas as

paredes serão feitas com o mesmo material e terão a mesma espessura, determinar as dimensões do

tanque.

e) Determine a temperatura mínima num disco de raio igual a 1 centrado na origem, sabendo que a

temperatura T em qualquer ponto (x, y) do plano é dada por 7 3),( 22 −−+= xxyyxT .

- 43 -

f) Determine a temperatura máxima num disco de raio igual a 2 centrado na origem, sabendo que a

temperatura T em qualquer ponto (x, y) do plano é dada por 82 . 2),( 22 ++−−−= yxxyyxT

g) Uma indústria produz dois produtos denotados por A e B. O lucro da indústria pela venda de x

unidades do produto A e y unidades do produto B é dado pela função

xyyxyxyxL −−−+= 22

23

2310060),( . Supondo que toda a produção da indústria seja vendida,

determinar a produção de tal modo que o lucro seja máximo.

Respostas:

Série de Exercícios - I

1) a) b)( ){ }0/, 2 ≥−∈= xylRyxD ( ){ }xylRyxD 2/, 2 ≠∈=

c) ( ){ }03/, 2 >−∈= yxlRyxD

2) a) b) c) d)

3) a)( ) 22

23

93

yxx

yxf x =

∂∂

= ( )

yxy

yxf y

323

63

=∂

∂=

b)( )

xx

yxf x 2

22

=∂+∂

= ( )

yy

yxf y 2

22

=∂+∂

=

c)( )

( )222

2222

yxxy

xyx

x

f x+

−=

∂

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

+∂

= ( )222

22 2yxxy

xyx

x

f y+

−=

∂

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

+∂

=

4) °57, 88

5) °69, 78

6) ( ) ( ) x s.xx .2..

. 32 coysenxxv

uvxu

xvu

xf

++=∂∂

+∂∂

=∂

∂=

∂∂

7) a) xxz

2=∂∂

e 23 yyz

=∂∂

b) c)

- 44 -

8) a) yxxf

f x 68 −=∂∂

= , xyyf

f y 66 −=∂∂

= , 82

2

=∂∂

=x

ff xx , 62

2

−=∂∂

=y

ff yy e

622

−=∂∂

∂=

∂∂∂

==xyf

yxf

ff yxxy

b) yxx e

xf

f 522 +=∂∂

= , yxy e

yf

f 525 +=∂∂

= , yxxx e

xf

f 522

2

4 +=∂∂

= , yxyy e

yf

f 522

2

25 +=∂∂

= e

yxyxxy e

xyf

yxf

ff 5222

10 +=∂∂

∂=

∂∂∂

==

c) 22

2yx

xxf

f x +=

∂∂

= , 22

2yx

yxf

f y +=

∂∂

= , ( )222

22

2

2 )(2yxxy

xf

f xx+

−=

∂∂

= , 222

22

2

2

)()(2

yxyx

yf

f yy +−

=∂∂

= e

( )222

22 4yxxy

xyf

yxf

ff yxxy+

−=

∂∂∂

=∂∂

∂==

9) a) 0 ; 8 ; 2 ; 42 2 ===+= xzxyxxx fyffyxf

233 8 ; 8 ; 68 ; 68 yzfyfzxfyzxyf yzyxyyy −==−=−=

22322 18 ; 0 ; 18 ; 69 yzffzyfyzzyf zyzxzzz −==−=−−=

b) 0 ; 0 ; 1

; 1

2 ==−== xzxyxxx ffx

fx

f

0 ; 0 ; 2

; 2

2 ==−== yzyxyyy ffy

fy

f

0 ; 0 ; 3

; 3

2 ==−== zyzxzzz ffz

fz

f

c) 3 ; 2 ; 0 ; 32 ===+= xzxyxxx fffzxf

4 ; 2 ; 0 ; 42 ===+= yzyxyyy fffzxf

4 ; 3 ; 0 ; 43 ===+= zyzxzzz fffyxf

d) ( ) ( )22

1 ;

1 ; 0 ;

1zy

fzy

ffzy

f xzxyxxx −=

−−==

−=

( )( )

( ) ( )( )

( )3232

2 ; 8

1 ;

2 ;

zyzyx

fyzy

fzyxz

fzyxz

f yzyxyyy −

−+=

−−=

−

+=

−

+−=

( )( )

( ) ( )( )

( )3232

2 ;

1 ;

2 ;

zyzyx

fzy

fzy

yxf

zyyx

f zyzxzzz −

−+=

−=

−

+=

−

+=

e) ( ) ( ) ( ) ( zyxfzyxfzyxfzyxf xzxyxxx 3218 ; 3212 ; 326 ; 323 2 ++=++=++=++= )

( ) ( ) ( ) ( zyxfzyxfzyxfzyxf yzyxyyy 3236 ; 3212 ; 3224 ; 326 2 ++=++=++=++=

- 45 -

)

( ) ( ) ( ) ( zyxfzyxfzyxfzyxf zyzxzzz 3212 ; 326 ; 3218 ; 323 2 ++=++=++=++= )

f) ( ) ( ) ( )

xyzyzy

fxyzyzz

fxyz

yzf

xyzyz

f xzxyxxx 42

; 4

2 ;

4 ;

2

222 −=

−=−==

( ) ( ) ( )xyzxzx

fxyzxzz

fxyz

xzf

xyzxz

f yzyxyyy 42

; 4

2 ;

4 ;

2

222 −=

−=−==

( ) ( ) ( )xyzxyx

fxyzxyy

fxyz

xyf

xyzxy

f zyzxzzz 42

; 4

2 ;

4 ;

2

222 −=

−=−==

Série de Exercícios - II

1. a) 23

127−

−=∂∂ xy

xf 2

5

2

2

18)(

−=

∂∂ x

xf

xyyf 724 +=

∂∂ 24

)( 2

2

=∂∂

yf

722

=∂∂

∂=

∂∂∂

xyf

yxf { }0/),( 2

)( >∈= xIRyxD f

.b) 354

2)15(51 xyx

xf

−+=∂∂ −

359

2

2

2)15(25

4)(

yxx

f−+

−=

∂∂ −

2238 yxyf

−=∂∂ yx

yf 2

2

2

6)(

−=∂∂

222

6xyxyf

yxf

−=∂∂

∂=

∂∂∂ { }2

)( ),( IRyxD f ∈=

c) 21

)34(2−

+=∂∂ x

xf 2

3

2

2

)34(4)(

−+−=

∂∂ x

xf

232

1231 −−

−=∂∂ yyyf 33

5

2

2

2492

)(−−

+−

=∂∂ yy

yf

022

=∂∂

∂=

∂∂∂

xyf

yxf

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≠−≥∈= 0,

43/),( 2

)( yxIRyxD f

22)(

32

2

+=∂∂ −tx

xf d) tx

xf 2−=

∂∂ − x2+

136 −− +−=tf

∂∂ xt 4

2

2 f

- 46 -

18)(

−=∂∂ t

t

- 47 -

2−x 22

−=∂∂

∂=

∂∂∂

xtf

txf { }0 e 0/)( 2

)( ≠≠∈= txIRyxD f ,

e) 2425 srrf

+=∂∂ 3

2

2

100)

( r∂

rf=

∂

23

2

2

)12(2)(

−+−=

∂∂ sr

sf 2

1)

−

∂∂

sf 12(2 ++= srs

srsf

srf 2

22

=∂∂

∂=

∂∂∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −≥∈=

21/),( 2

) (D sIRsrf

f) )cos(3 xxf

=∂∂ )sen(3

)( x∂ 2

2

xf−=

∂

)sen(2)cos(4)(

2222

2

yyyy

f−−=

∂∂ 5)2 +

∂∂yf sen(2−= yy

022

=∂∂

∂=

∂∂∂

xyf

yxf { }2),( IRyxD ∈= )( f

2.a) π62,3=dtdv cm3/s b) 01266,0−=

dtdI ampères/s c) 0007,0−=

dtdP dinas/cm2/s

3. a) π219,4=dv cm3 b) cm3 e 1380=dv 120=dA cm2

c) watts d) dP 052,0= =dT π0102,0 segundos

4. a) b)

e) dD cm f) ohms0002,0−= 063,0=dR

⎟⎠7⎞

⎜⎝⎛ −−

9,73,1P mínimo c) mínimo

5. a) cm b)

)9,6 ,6( −P

14=== zyx 2z 4y 8 ===x cm

c) 3 100=x 3 100=y 3 100=z d) 3 103 ⋅=x m 3 103 ⋅=y m 3 103 ⋅=z m

e) 21

=x 0=y 4291 ⎞0,

2−=⎟⎜

⎝⎛T graus f) 1−=x 1=y ( ) 101 ,1 =−T

⎠ graus

g) u.m. 10=x 30=y ( ) 180030 ,10 =L