Apostila de Calculo de Rede

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  • ASSOCIAO DE ENSINO E CULTURA PIO DCIMO S/C LTDA FACULDADE PIO DCIMO

    CURSO DE ENGENHARIA ELTRICA DISCIPLINA: SISTEMAS ELTRICOS II

    ARACAJU SERGIPE

    CLCULO DE REDE

    Aracaju, Janeiro de 2009

  • Clculo de Rede

    Prof. Jos Valter Alves Santos 2

    1. INTRODUO

    O desenvolvimento contnuo dos computadores digitais de grande capacidade e alta velocidade

    acarretou uma mudana na relativa importncia das vrias tcnicas de soluo de redes de grande porte. A

    soluo por computao digital dependente das equaes das redes. Conseqentemente, importante

    para o engenheiro da rea de sistema de potncia entender a formulao das equaes das quais, com o

    objetivo de obter uma soluo, desenvolvido um programa a ser utilizado por computador.

    2. EQUIVALNCIA DE FONTES

    Um procedimento de grande utilidade em alguns problemas de anlise de rede o da substituio

    de uma fonte de corrente constante em paralelo com uma impedncia por uma fem em srie com uma

    impedncia. As duas partes da Figura 1 ilustram os circuitos. Ambas as fontes com suas impedncias

    associadas estao conectadas a uma rede de dois terminais tendo uma impedncia de entrada ZL. A carga

    pode ser considertada como uma rede passiva, ou seja, quaisquer fem na rede de carga so consideradas

    curto-circuito e qualquer fonte de corrente como circuito aberto.

    Para o circuito possuindo fem Eg constante e impedncia em srie Zg, Figura 1(a), a tensao na carga

    :

    ZggL VEV = (1)

    Figura 1 (a)

    Onde IL a corrente de carga.

    Para um circuito possuindo uma fonte de corrente constante IS com uma impedncia paralela ZP,

    Figura 1(b), a tenso na carga : ( ) PLPSPLSL ZIZIZIIV == (2) As duas fontes e suas impedncias associadas sero equivalentes se a tenso VL for a mesma em

    ambos os circuitos. Naturalmente, iguais valores de VL significaro iguais valores de corrente de carga IL

    para cargas idnticas.

    Figura 1 (b)

    IS

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    A comparao das equaes (1) e (2) mostra que VL ser idntica em ambos os circuitos e,

    consequentemente, a fem e sua impedncia em srie podero ser intercambiveis com a fonte de corrente

    e sua impednica paralela desde que

    PSg ZIE = (3) e

    pg ZZ = (4) Para o clculo de rede estas condies de equivalncia so importantes para usarmos o principio da

    superposio, aplicando a uma rede ativa como vimos anteriormente. Quando fonte de teno

    curtocircuitamos a fonte e quando fonte de corrente abrir o circuito substituindo a mesma.

    3. EQUAES DE NS

    As junes formadas quando dois ou mais elementos puros (R, L C, fonte ideal de tenso ou de

    corrente) so ligados um ao outro nos seus terminais so chamadas n. A formulao sistemtica das equaes baseada nos ns de um circuito pela aplicao da Lei de Kirchhoff sobre corrente a base de

    algumas excelentes equaes computacionais de problemas em sistema de potncia. Geralmente

    conveniente considerar s aqueles ns que esto conectados a mais de dois elementos, denominando-se

    este ponto juno de ns maiores.

    Figura 2 Representao do sistema de 4 ns

    Com o objetivo de examinar algumas caractersticas das equaes de ns, comearemos com o

    diagrama unifilar de um sistema simples indicado na Figura 3. Os geradores esto ligados atravs de

    transformadores s barras de alta tenso 1 e 3, e esto alimentando um motor sncrono na barra 2. Para

    propsitos de anlise, todas as mquinas ligadas a uma barra so tratadas como uma s mquina e

    representadas por uma nica fem e uma reatncia em srie. O diagrama de reatncia, com as reatncias

    especificadas por-unidade, est indicado na Figura 4. Os ns esto indicados por pontos, mas somente aos

    ns maiores sero indicados nmeros. Se o circuito redesenhado com as fems e as impedncias em srie

    conectando-as aos ns maiores substitudos por fontes equivalentes de corrente e admitncias paralelas, o

    resultado :

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    Figura 3 Diagrama de Reatncias para o sistema da Figura 2

    OBS:Valores em por-unidade para as admitncias so usados em vez dos valores das impedncias.

    Notao com um nico subscrito ser usada para designar a tenso de cada barra com respeito

    ao neutro tomado como n de referncia 0. Aplicando a Lei de Kirchhoff sobre corrente ao n 1 com

    corrente para o n vindo da fonte e igualadas as correntes para fora do n temos: (Ver Figura 4)

    I1 = V1Ya +(V1 V3)Yf + (V1 V4)Y4 (5)

    E para o n 4

    0 = (V4 V1)Yd + (V4 V2)Yh + (v4 V3)Ye (6) Rearranjando estas equaes resulta

    I1 = V1(Ya + Yf + Yd) V3Yf V4Yd (7)

    0 = - V1 Yd V2 Yh V3 Ye + V4(Yd + Ye + Yh) (8)

    Equaes semelhantes podem ser formadas para os ns 2 e 3, e as quatro equaes podem ser

    resolvidas simultaneamente para as tenses V1, V2, V3 e V4. Todas as correntes dos ramos podem ser

    encontradas quando estas tenses so conhecidas e ainda o nmero necessrio de equaes de ns igual

    ao nmero de ns da rede menos um. Uma equao de n, lanada para o n de referncia no

    acrescentar nenhuma informao. Em outras palavras, o nmero de equaes de ns igual ao nmero de

    ns menos um.

    No escrevemos as outras duas equaes, porque j podemos ver como formular as equaes de

    ns numa notao padro. Nas Equaes (7) e (8) claro que a corrente fluindo para a rede e vindo das

    fontes de corrente conectadas a um n igualada soma de vrios produtos.

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    Figura 4: Circuito da Figura 3 com as fontes de tenso substituidas por fontes equivalentes de corrente. Os valores indicados

    esto em p.u.

    Para qualquer n, um dos produtos a tenso daquele n vezes a soma de todas as admitncias

    que terminam nele. Este produto leva em conta a corrente que flui do n se a tenso zero nos outros ns.

    Os outros produtos so iguais ao negativo da tenso nos outros ns, vezes a admitncia ligada diretamente

    ao outro n e o n para o qual a equao est sendo formulada. Conseqentemente, no n 1, um dos

    produtos V3Vf, que leva em conta a corrente para fora do n 1, quando todas as outras tenses so zero,

    a no ser a do n 3.

    A forma-padro para as quatro equaes independentes na forma matricial :

    =

    4

    3

    2

    1

    44434241

    34333231

    24232221

    14131211

    4

    3

    2

    1

    VVVV

    YYYYYYYYYYYYYYYY

    IIII

    Y (9)

    A simetria das equaes nesta forma torna-se fcil de memorizar e sua extenso para qualquer

    nmero de ns evidente. A ordem dos subscritos Y segue o conceito de efeito-causa; isto , o primeiro subscrito o do n para o qual as correntes esto sendo expressas e o segundo refere-se ao n da tenso

    causadora desta componente da corrente. A matriz Y designada por Ybarra e chama-se matriz admitncia de barramento. Esta matriz simtrica com relao diagonal. As admitncias Y11, Y22, Y33 e Y44 so chamadas admitncias prprias de cada n e cada uma igual soma de todas as admitncias concorrendo ao n identificadas pela repetio de subscritos. As outras admitncias so as admitncias mtuas dos ns e cada uma igual ao negativo da soma de todas as admitncias ligadas diretamente entre os ns e

    identificadas pelos duplos subscritos. Para a rede da Figura 4, a admitncia mtua Y13 igual a Yf. Alguns autores chamam as admitncias prprias e mtuas de ns de auto admitncia e admitncia de transferncia

    de ns.

    Concluimos ento que o sistema de equaes para o circutio da Figura 4 :

    -j 8,0

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    +++++++++

    =

    4

    3

    2

    1

    3

    2

    1

    00

    0 VVVV

    YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY

    III

    hedehd

    egfecgf

    hghgb

    dffda

    (10)

    A expresso geral para a fonte de corrente alimentando o n k de uma rede com N ns independentes, isto , N barras sem contar o neutro, :

    =

    =N

    nnknK VYI

    1 (11)

    Tal equao deve ser escrita para cada uma das N barras para as quais a tenso da rede desconhecida. Se a tenso conhecida em algum n, a equao no escrita para aquele n. Por

    conseguinte, se tanto o mdulo como o ngulo da tenso so conhecidos em duas das barras de alta tenso

    de nosso exemplo, ento somente duas equaes sero necessrias. Equaes de ns podem ser escritas

    para as outras duas barras e somente uma delas ter tenso desconhecida. A fem conhecida e a

    impedncia em srie no precisam ser substitudas pela fonte equivalente de corrente se um dos terminais

    do elemento fem est ligado ao n de referncia, neste caso o n que separa a fem da impedncia em srie

    aquele onde a tenso conhecida.

    A formao da matriz admitncia d-se da seguinte forma: = ijii yY , j assumindo o valor de todas as barras ligadas diretamente a barra i. ijij yY = , se existe uma linha ligando diretamente a barra i barra j.

    0=ijY , se no existe uma linha ligando diretamente a barra i barra j.

    Exemplo 1: Escreva na forma matricial, as equaes de ns necessrias para calcular as tenses dos ns,

    numerados da Figura 4 . A rede equivalente quela da Figura 3 . As fems indicadas na Figura 14 so 87,365,1,05,1 == ba EE e 05,1 =cE , todos em por-unidade.

    Soluo: As fontes de corrente .

    I1 = I3 = ..20,10902,125,105,1 000 upj

    j==

    I2= ..96,072,087,1262,125,1

    87,365,1 00 upjj

    ==

    As admitncias prprias em por-unidade so:

    0,180,80,50,53,158,00,85,20,4

    3,88,05,20,58,98,00,40,5

    44

    33

    22

    11

    jjjjYjjjjjY

    jjjjYjjjjY

    ====

    ====

    e as admitncias mtuas em por unidade so:

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    Y12=Y21=0 Y23=Y32=+j2,5

    Y13=Y31=+j4,0 Y24=Y42=+j5,0

    Y14=Y41=+j5,0 Y34=Y43=+j8,0

    As equaes de ns na forma matricial so:

    =

    4

    3

    2

    1

    0,180,80,50,50,83,155,20,40,55,23,80,00,50,40,08,9

    0020,1096,072,020,10

    VVVV

    jjjjjjjjjjjjjjjj

    jjj

    A matriz quadrada acima identificada como a matriz admitncia Ybarra.

    Exemplo 2: Resolva as equaes de ns do exemplo precedente com o objetivo de encontrar as tenses

    de barra pela inverso da matriz admitncia.

    Soluo: Multiplicando ambos os lados da equao matricial do exemplo 1 pela inversa da matriz admitncia de barra ( determinada atravs do uso de programa-padro para computao digital) resulta:

    =

    4

    3

    2

    1

    1000010000100001

    0020,1096,072,020,10

    4733,04232,04126,04142,04232,04558,03922,04020,04126,03922,04872,03706,04142,04020,03706,04774,0

    VVVV

    jjj

    jjjjjjjjjjjjjjjj

    A matriz quadrada acima, obtida pela inverso da matriz admitncia de barra, chamada matriz

    impedncia de barra Zbarra. Executando a multiplicao de matrizes indicada, resulta:

    =

    4

    3

    2

    1

    2971,04009,12824,04059,13508,03830,12668,04111,1

    VVVV

    jjjj

    e da retiramos as tenses de ns que so:

    ..97,11432,12971,04009,1

    ..36,11434,12824,04059,1..24,14427,13508,03830,1..71,10436,12668,04111,1

    4

    3

    2

    1

    upjVupjVupjVupjV

    ========

    4. PARTIO DE MATRIZ

    Um mtodo muito til de manipulao de matriz, chamado partio, consiste em identificar vrias partes de uma matriz como submatrizes que sero tratadas como simples elementos quando da aplicao

    das regras usuais de multiplicao e adio. Por exemplo, assuma a matriz 3 x 3 onde:

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    =

    333231

    232221

    131211

    aaaaaaaaa

    A

    A matriz particionada em quatro submatrizes pelas linhas tracejadas horizontal e verticalmente. A

    matriz pode ser escrita como:

    =G F

    EDA (13)

    onde as submatrizes so:

    =2221

    1211

    a aa a

    D

    =23

    13

    aa

    E

    [ ]3231 a aF = G = [a33] Para indicar os passos para a multiplicao em termos de submatrizes consideramos que A deve ser

    multiplicada por uma outra matriz B para formar o produto C, onde:

    =

    31

    21

    11

    bbb

    B (14)

    De acordo com a partio acima:

    =JH

    B (15)

    Onde as submatrizes so:

    =21

    11

    bb

    H e J = [b31]

    Ento o produto :

    ==

    JH

    GFED

    BAC . (16)

    As submatrizes so consideradas como simples elementos para obter:

    ++=GJFHEJD

    C (17)

    O produto finalmente determinado, executando-se as multiplicaes e adies indicadas para as

    submatrizes.

    Se C Composta das submatrizes M e N tal que:

    =NM

    C (18)

    e comparando com equao ( * ) resulta:

    GJFHNEJDHM

    +=+=

    (19)

    Se desejarmos determinar somente a submatriz N, teremos :

    (12)

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    [ ]313321321131

    313321

    1132 31 a a

    bababa

    babb

    N

    ++=+

    =

    (20)

    As matrizes a serem multiplicadas devem ser compatveis originalmente. Cada linha de partio

    vertical entre as colunas r e (r + 1) do primeiro fator requer uma linha de partio horizontal entre as linhas r e (r + 1) do segundo fator para que se efetue a multiplicao de modo conveniente. Linhas de partio horizontal podem ser traadas entre quaisquer linhas da matriz do primeiro fator e linhas vertical da

    partio entre quaisquer colunas do segundo fator ou ainda omitidas em uma delas ou em ambas.

    5. ELIMINAO DE NS POR LGEBRA MATRICIAL

    Em sistemas de potncia podemos eliminar os ns, nas barras de potncia, por manipulao de

    matrizes da lgebra vetorial, desde que, neste no entre ou saia corrente para a rede.

    Consideremos a equao seguinte, onde I e V so matrizes colunas e Ybarra uma matriz quadrada

    e simtrica.

    [ ] [ ] [ ]VYI barra = (21)

    As matrizes coluna da equao acima pode ser arranjada de tal maneira que os elementos

    associados com os ns a serem eliminados estejam nas linhas inferiores das matrizes. Os elementos das

    matrizes quadradas de admitncia so colocados em concordncia. As matrizes colunas so particionadas de

    tal maneira que os elementos associados com os ns a serem eliminados so separados dos outros

    elementos. A matriz admitncia particionada de tal maneira que os elementos identificados somente com

    os ns a serem eliminados estejam separados dos outros elementos por linhas horizontais e verticais.

    Quando particionadas de acordo com estas regras, a equao 21 torna-se:

    =

    X

    AT

    X

    A

    VV

    MLLK

    II

    (22)

    onde Ix a submatriz composta das correntes entrando no n a ser eliminado e Vx a submatriz composta

    das tenses destes ns. Obviamente, cada elemento de Ix zero, seno os ns no poderiam ser

    eliminados. As admitncias prprias e mtuas compondo K so aquelas identificadas somente com os ns

    retidos. M composta de admitncias prprias e mtuas identificadas somente com os ns a serem

    eliminados. Esta matriz uma matriz quadrada de ordem igual ao numero de ns a serem eliminados. L e

    sua transposta Lt so compostas somente das admitncias mtuas comuns a algum n a ser retido e a

    outro que ser eliminado.

    Executando a multiplicao indicada na equao 22, temos as equaes: [ ] [ ] [ ]XAA LVKVI += (23) [ ] [ ] [ ]XATX MVVLI += (24) Como todos os elementos de Ix so zeros, subtraindo LtVA nos dois lados da equao 24, e pr-

    multiplicando ambos os lados pela inversa de M, representada por M-1, resulta em:

    (Ix - LTVA).M-1 = (LTVA + MVX LTVA).M-1

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    - LTVA . M-1 = MVX . M-1

    - LTVA . M-1 = M0 . VX

    VX = - M-1LTVA (25)

    Esta expresso para Vx substituda na equao 23, resulta:

    ( )ATAAXAA

    VLMLKVILVKVI

    +=+=

    ( ) AT1A VLLMKI = (26)

    que uma equao de ns tendo como matriz admitncia:

    T1

    barra LLMKY= (27)

    Estas matrizes admitncias permitem-nos construir o circuito com os ns indesejveis j eliminados.

    O mtodo de partio de matrizes um mtodo geral, para a eliminao de um grande nmero de

    ns, e mais adequada a solues por computador, devido a que, quanto maior for a quantidade de ns a

    serem retirados, maior ser a matriz inversa de M, e mais difcil ser sua resoluo manual.

    A inverso da matriz pode ser evitada fazendo a eliminao de um n por vez, e o processo

    bastante simples. O n a ser eliminado deve ser o de numerao mais alta e provavelmente uma

    renumerao deva ser necessria. A matriz M torna-se de um s elemento e M-1 a recproca deste

    elemento. A matriz admitncia original particionada nas submatrizes K, L, Lt e M :

    K L

    =

    nnnjn

    knkjk

    nj

    barra

    YYY

    YYY

    YYY

    Y

    KKMKMKM

    KKMKMKM

    LK

    1

    1

    1111

    (28)

    LT M

    A matriz reduzida ( n - 1 ) x ( n - 1 ) ser, de acordo com a equao 27:

    [ ]KKM

    M

    KMKMKKKMKMKK

    nj1nnnkn

    n1

    kj1k

    j111

    barra YYY1

    Y

    Y

    YY

    YY

    Y

    = (29)

    E quando a manipulao indicada das matrizes for executada, o elemento na linha k e coluna j da

    matriz resultante (n-1) x (n-1) ser:

    nn

    njknkjkj Y

    YYYY

    originalnova

    =)()(

    (30)

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    Cada elemento na matriz original K deve ser modificado. Quando a equao 5.8 comparada

    equao 30 pode-se ver como proceder.

    Multiplicamos o elemento da ltima linha e da mesma coluna com o elemento sendo modificado.

    Dividimos, ento, este produto por Ynn e subtramos o resultado ao elemento sendo modificado.

    Exemplo 3: Observe o circuito abaixo. Se o gerador e o transformador da barra 3 so removidos,

    eliminando os ns 3 e 4 pelo procedimento algbrico-matricial descrito, encontre o circuito equivalente com

    aqueles ns eliminados.

    Dados: puEpuE ba 87,365,1, 05,1 == e puEc 05,1 =

    FIGURA 5

    Para eliminar um n por vez:

    A matriz admitncia deste circuito est representada abaixo, e particionando para eliminar as barra

    4 e 3, temos:

    Eliminando o n 4:

    =

    =1885583,155,2455,23,805408,9

    Kj

    MLL

    Y Tbarra

    T1

    barra LLMKY=

    [ ]855.181.

    855

    .3,155,24

    5,23,80408,9

    . jjjjYbarra

    =

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    =

    78,1170,420,670,495,635,120,635,145,8

    .jYbarra

    Poderamos ter encontrado a nova matriz utilizando a equao 30

    nn

    njknoriginalkjnovakj Y

    YYYY

    =)()(

    , o que resultaria em:

    45,818

    558,9 )(11)(1144

    4114)(11)(

    11 jYjjjjY

    YYYYY novanovaoriginalnova =

    == 35,1

    18550 )(12)(12

    44

    4124)(12)(21)(12 jYj

    jjYY

    YYYYY novanovaoriginalnovanova ====

    20,618

    554 )(13)(1344

    4134)(13)(31)(13 jYj

    jjjYY

    YYYYY novanovaoriginalnovanova ====

    e assim sucessivamente, resultando na matriz Ybarra mostrada acima.

    Eliminando o n 3:

    =

    =

    78,1170,420,670,495,635,120,635,145,8

    Kj

    MLL

    Y Tbarra

    [ ]70,420,678,11

    170,420,6

    95,635,135,145,8

    jjjjYbarra

    =

    =12,577,3

    77,323,5jYbarra

    Se utilizarmos a equao 30, teremos:

    23,578,11

    20,620,645,8 )(11)(1133

    3113)(11)(11 jYj

    jjjYY

    YYYY novanovaoriginalnova ===

    77,378,11

    20,670,435,1 )(12)(1233

    3123)(12)(21)(12 jYj

    jjjYY

    YYYYY novanovaoriginalnovanova ====

    12,578,11

    70,470,495,6 )(22)(2233

    3223)(22)(22 jYj

    jjjYY

    YYYY novanovaoriginalnova ===

    Que resulta na matriz

    =12,577,3

    77,323,5jYbarra

    Podemos tambm eliminar os ns 3 e 4 ao mesmo tempo, procedendo da seguinte maneira:

    Particionando a matriz admitncia como est representada abaixo, temos:

    =

    =1885583,155,2455,23,805408,9

    Kj

    MLL

    Y Tbarra

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    =555,24

    18883,15

    155,254

    3,8008,9

    jj

    jjYbarra

    =

    555,24

    0722,00378,00378,00852,0

    55,254

    3,8008,9

    jjjjYbarra

    finalmente:

    =12,577,3

    77,323,5jYbarra

    Obs: Este mtodo torna-se mais difcil de ser resolvido manualmente medida que o se aumenta

    quantidade de ns a serem eliminados, devido ao aumento da complexidade da resoluo da matriz inversa

    de M.

    Um exame da matriz indica-nos a admitncia entre as duas barras restantes, 1 e 2: j3,77 e sua

    recproca a impedncia em por unidade entre estas barras. A admitncia entre cada uma destas barras e a

    referncia : ..46,1)77,3(23,5 upjjj =

    O circuito resultante est indicado na Figura 6. Quando as fontes de correntes so convertidas nas

    suas equivalentes fontes de f.e.m. ento o circuito, com impedncias em por unidade, aquele da Figura 7.

    Assim, a corrente :

    Y1

    ZZV

    I == ( ) ( )( ) ( ) ..44,185798,0685,0265,0685,0

    87,365,105,1 upj

    I =++=

    Figura 6

    Figura 7

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    6.MODIFICAO DE UMA MATRIZ DE IMPEDNCIA DE BARRA

    Como Zbarra uma importante ferramenta na anlise de sistema de potncia, ser estudada uma

    forma de alter-la para adicionar novos barramentos ou conectar novas linhas s barras atuais. Pode ser

    criada uma nova Ybarra e invert-la, mas mtodos diretos de modificao de Zbarra so possveis e so muito

    mais simples do que uma inverso de matriz. Aprendendo-se como modificar Zbarra , podemos cria-la

    diretamente.

    H vrias formas de alterao relacionadas a adio de um ramo de impedncia Zb e a uma rede

    com Zbarra inicial conhecida e representada por Zorig , n x n.

    As barras sero identificadas por nmeros ou pelas letras h, i, j e k. A letra p indicar uma nova

    barra a ser includa rede, transformando Zorig em uma matriz (n+1) x (n+1). Quatro casos sero

    considerados.

    1 CASO: Adio de Zb a partir da barra p at a de referncia; observando que o acrscimo desta

    barra sem nenhuma ligao com as outras barras da rede no modifica as tenses de barra iniciais, mesmo

    com uma corrente Ip sendo injetada na nova barra. A tenso Vp da nova barra igual a IpZb.

    =

    P

    n

    novaZbarra

    bP

    N

    II

    II

    Z

    Zorig

    VV

    VV

    M

    4444 34444 21 L

    MM2

    1

    )(

    2

    1

    0000

    00

    Observa-se que a matriz coluna das correntes multiplicada pela nova matriz Zbarra no modificar as tenses

    da rede inicial.

    2 CASO: Adio de Zb partir de uma nova barra at uma barra existente k. A passagem da

    corrente Ip pela barra p provocar a corrente que entra na rede inicial, na barra k, que ser a soma da

    corrente injetada na barra k com a corrente IP que flui pela impedncia Zb.

    A corrente Ip que vai para a barra k incrementar a tenso original Vk com uma tenso Ip Zkk, ou

    seja:

    Vk(nova) = Vk(orig) + Ip Zkk

    Vp ser maior do que Vk por um valor de tenso Ip Zb:

    Vp = Vk(orig) + Ip Zkk +Ip Zb

    Vp = I1 Zk1 + I2 Zk2 + ... + In Zkn + Ip(Zkk+Zb )

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    Figura 10: Acrscimo de uma nova barra p ligada atravs de uma impedncia Zb barra k existente.

    Como Zbarra deve ser uma matriz quadrada simtrica em torno da diagonal principal, devemos

    adicionar uma nova coluna, que transposta da nova linha. A nova coluna considera os acrscimos de

    todas as tenses de barra em decorrncia da corrente Ip.

    +

    =

    P

    n

    novaZbarra

    bkkknKK

    nk

    k

    k

    P

    N

    II

    II

    ZZZZZZ

    ZorigZZ

    VV

    VV

    M

    444444 3444444 21 L

    MM2

    1

    )(

    21

    2

    1

    2

    1

    (44)

    Observa-se que os primeiros n elementos da nova linha so os elementos da linha k de Zorig e os

    primeiros n elementos da nova coluna so os elementos da coluna k de Zorig.

    3 CASO: Acrscimo de Zb a partir de uma barra existente k at a barra de referncia. Para tanto,

    deve-se adicionar uma nova barra p conectada barra k atravs de Zb. Depois disso, faz-se um curto-

    circuito entre a barra k e a de referncia, tornando Vp igual a zero, com a finalidade de obter a mesma

    equao matricial dada por (44), com a diferena de que Vp passa a ser nula.

    So criadas, ento, uma nova linha e uma nova coluna da mesma forma como no item b,

    eliminando em seguida a linha (n + 1) e a coluna (n + 1), fato que possvel pela existncia do zero na

    coluna das tenses. Ser usado o mtodo desenvolvido nas Equaes (28) a (30), para encontrar cada

    elemento Zki da nova matriz:

    bkk

    innhorighinovahi ZZ

    ZZZZ +=

    ++ )1()1()()( (45)

    4 CASO: Acrscimo de Zb entre duas barras existentes, j e k. Analisando a Figura 11, percebe-se

    que a corrente Ib est partindo da barra k at a j, atravs de Zb. As tenses de ns podem ser obtidas:

    V1 = Z11 I1 + ...+ Z1j (Ij + Ib) + Z1k(Ik - Ib) + ... (46)

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    Esta equao pode ser reorganizada da forma:

    V1 = Z11 I1 + ...+ Z1j Ij + Z1kIk + Ib(Z1j - Z1k) (47)

    Vj = Zj1 I1 + ...+ ZjjIj + ZjkIk + Ib(Zjj Zjk) (48)

    Vk = Zk1 I1 + ...+ ZkjIj + ZkkIk + Ib(Zkj Zkk) (49)

    necessria uma equao adicional, pois ainda se precisa determinar Ib:

    Vk - Vj = Ib Zb (50)

    0 = Ib Zb + Vj - Vk (51)

    Usando as equaes (48) e (49) na equao (51):

    0 = Ib Zb + (Zj1 -Zk1) I1+ ...+ (Zjj -Zkj)Ij +...+ (Zjk Zkk)Ik +....+ (Zjj + Zkk -2Zjk) Ib (52)

    Juntando os coeficientes de Ib e designando a sua soma de Zbb:

    Zbb =Zb + Zjj + Zkk -2Zjk (53)

    Figura 11:Acrscimo a impedncia zb entre as barras j e k.

    Usando as equaes (47) a (49), pode-se escrever a equao matricial:

    ( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )

    =

    b

    n

    k

    j

    bbknjnkkjkkjjjkj

    nknj

    kkkj

    jkjjorig

    kj

    n

    k

    j

    II

    II

    I

    ZZZZZZZZZZZ

    ZZZZZ

    ZZ

    V

    VV

    V

    M

    M

    M

    M

    M

    M1

    11

    .

    1111

    ......0

    (54)

    A nova coluna a coluna j menos a coluna k de Zorig com Zbb na linha (n+1). A nova linha a

    transposta da coluna.

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    Eliminando a linha (n+1) e a coluna (n+1) da matriz quadrada Equao (54) da mesma forma como se

    explicou anteriormente, cada elemento Zbj na nova matriz ser:

    jkkkjjb

    innhiorighinovahi ZZZZ

    ZZZZ

    2)1()1(

    )()( ++=++

    (55)

    No precisamos considerar o caso de introduzir duas novas barras ligadas por Zb porque podemos

    sempre ligar uma delas, atravs de uma, uma barra existente ou a uma de referncia, antes de

    adicionarmos a segunda nova barra.

    Exemplo 6 - Modificar a matriz impedncia de barra do Exemplo 2 de maneira a ter em conta uma

    conexo de um capacitor tendo uma reatncia de 5,0 por unidade entre a barra 4 e a barra de referncia do

    circuito da Figura 4. Determinar V4 usando a impedncia da nova matriz e a fonte de corrente do Exemplo 2.

    Compare este valor de V4 com o encontrado no Exemplo 5.

    Utilizando a Equao (44) e identificando que Zorig a matriz 4 x 4 do Exemplo 2 e que o subscrito k

    = 4, alm de que Zb = - j5,0 por unidade:

    =

    b

    novaZbarra

    orig

    IIIII

    jjjjjjjZjj

    VVVV

    4

    3

    2

    1

    )(

    4

    3

    2

    1

    5267,44733,04232,04126,04142,04733,04232,04126,04142,0

    0 4444444444 34444444444 21

    Os elementos da quinta linha e da quinta coluna foram encontrados repetindo a quarta linha e a

    quarta coluna de Zorig e lembrando que

    Z55 =Z44 + Zb = j0,4733 j5,0 = -j4,5276

    Eliminando a quinta linha e a quinta coluna, encontra-se, de acordo com a equao (45), Zbarra (novo):

    5153,05267,4

    4142,04142,04774,011 jjjjjZ =

    =

    4557,05267,4

    4126,04733,04126,024 jjjjjZ =

    =

    Os demais elementos so encontrados de forma igual e compem a matriz:

    =

    j0,5153 j0,4084 j0,4407 j0,4575 j0,4084 j0,5248 j0,4308 j0,4557 j0,4407 j0,4308 j0,4954 j0,4674 j0,4575 j0,4557 j0,4674 j0,5228

    Zbarra (nova)

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    A matriz coluna de correntes pela qual a nova Zbarra multiplicada para se definirem as tenses de

    barra a mesma do Exemplo 2. Ento:

    V4= j0,4575(-j1,20) + j0,4557(-0,72 j0,96) + j0,4674(-j1,20)=1,5474 j0,3281

    8. DETERMINAO DIRETA DA MATRIZ IMPEDNCIA DE BARRA

    Aprendeu-se a determinar Zbarra primeiramente encontrando Ybarra e invertendo-a. No entanto, o

    procedimento par obter Zbarra diretamente mais adequado para implementao por computador e mais

    simples que inverter Ybarra quando o nmero de componentes do sistema grande.

    O primeiro aspecto a ser considerado a lista de impedncias disponvel que define as barras que se

    encontram interligadas. De incio, escreve-se a equao de uma barra conectada atravs de uma

    impedncia Zd a uma barra de referncia:

    V1 = I1Zd

    que uma equao matricial em que cada uma das trs matrizes possui uma linha e uma coluna.

    Em seguida, acrescenta-se uma outra barra ligada primeira ou barra de referncia. Se a segunda barra

    conectada barra de referncia atravs de Zb, a equao matricial ser:

    =

    2

    1

    2

    1

    00

    II

    ZZ

    VV

    b

    a (56)

    Desta forma, continua o acrscimo de novas barras, de acordo com o mtodo da seo 6.

    Normalmente, as barras de uma rede devem ser renumeradas, para concordar com a ordem em que elas

    so adicionadas a Zbarra.

    Exemplo 7 - Determine Zbarra para a rede mostrada na Figura 23, em que as impedncias esto com

    valores em p.u. Todos os 3 ns devem ser mantidos.

    Figura 23: Rede para o exemplo 7

    Soluo:

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    Ser definida a tenso da barra 1, com sua impedncia de ligao barra de referncia:

    V1 = j1,2I1

    Existe, agora, uma Zbarra 1 x 1:

    Zbarra = j 1,2

    Equaciona-se a barra 2, com sua impedncia para a barra 1 e utiliza-se a equao (44):

    =

    j1,4 2,1j1,2 2,1

    )( jj

    Z novabarra

    O termo j1,4 a soma de j1,2 e j0,2. Os componentes j1,2 na nova linha e na nova coluna so a

    repetio dos da linha 1 e da coluna 1 da matriz modificada.

    A barra 3, com a impedncia conectando-a a barra 1, definida por:

    5,1 21 2,12,1 41 2,1 2,1 2,1 2,1

    j,jjj,jjjjj

    Como o n 1 o conectado ao n 3, o componente j1,5 da matriz anterior o resultado da soma

    de Z11 da matriz sendo modificada e a impedncia Zb do ramo que conecta a barra 3 barra 1. Os outros

    componentes da nova linha e da nova coluna so repeties da linha 1 e da coluna 1 da matriz que est

    sendo modificada, pois o novo n est sendo conectado barra 1.

    Caso se opte por acrescentar a impedncia Zb = j1,5 a partir do n 3 barra de referncia, segundo

    a equao (7.48), ser criada uma nova barra 4, atravs de Zb , e produzida a matriz de impedncias:

    0,3 5,1 21 2,15,1 5,1 21 2,12,1 2,1 41 2,12,1 2,1 2,1 2,1

    jj,jjjj,jjjj,jjjjjj

    A impedncia j3,0 desta ltima matriz corresponde soma de Z33 e Zb. Os outros componentes da

    nova linha e da nova coluna so repeties da linha 3 e da coluna 3 da matriz sendo modificada, posto que

    a barra 3 a que est sendo conectada barra de referncia atravs de Zb.

    Sero, ento, eliminadas a linha 4 e a coluna 4. Alguns dos componentes da nova matriz, de acordo

    com a equao (45), sero:

    72,00,3

    2,12,12,111 jjjjZ ==

    92,00,3

    2,12,14,122 jjjjZ ==

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    60,00,3

    5,12,12,13333 jjjjZZ ===

    Quando todos os elementos esto determinados temos,

    =

    75,060,060,060,092,072,060,072,072,0

    )( jZ novobarra

    Finalmente, adicionamos a impedncia 15,0jZb = entre as barras 2 e 3. Se fizermos j e k na equao 54 igual a 2 e 3, respectivamente, obteremos os elementos para a linha 4 e coluna 4.

    15,032,0

    12,0

    333234

    232224

    131214

    jZZZjZZZjZZZ

    ======

    da equao 53

    62,02

    44

    23332244

    jZZZZZZ b

    =++=

    Ento escreveremos

    62,015,032,012,015,075,060,060,0

    32,060,092,072,012,060,072,072,0

    j

    e da equao 55 encontramos

    7137,06774,06290,06774,07548,06581,06290,06581,06968,0

    j que a matriz impedncia determinada.

    9. BIBLIOGRAFIA

    1 ALMEIDA, Wilson Gonalves de, Circuitos Polifsicos, 1 ed. Fundao de Empreendimentos

    Cientficos e Tecnolgicos,1995, 254p.

    2 GRAINGER, John J. & STEVENSON, William D.. Power System Analysis. 1. ed. MCGRAW HILL

    BOOK CO, 1993. 787p.

    Referncias adicionais: ISBN: 0070612935

    3 OLIVEIRA, Carlos Csar Barioni. Introduo a Sistemas Eltricos de Potncia. 2. ed.. Edgard

    Blucher, 1996. 467p.

    Referncias adicionais: ISBN: 8521200781

    4 MONTICELLI, Alcir & GARCIA, Ariovaldo. Introduo a Sistemas de Energia Eltrica. Ed.

    UNICAMP, 1999, 251p.

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    EXERCCIOS PROPOSTOS

    1) Escrever as equaes para os dois ns do circuito abaixo na forma padro mudando as fontes de tenso

    por fontes de corrente em paralelo com impedncias.

    Circuito 1 2) Encontrar as tenses dos ns 1 e 2 do circuito acima resolvendo as equaes encontradas na questo

    anterior. 3) Encontre a matriz admitncia de barra do circuito abaixo.

    Circuito 2 4) Encontre as tenses em cada n do circuito 2 atravs da equao matricial VYI barra = . 5) Elimine os ns 3 e 4 do circuito 2 simultaneamente pelo mtodo da partio de matriz, para encontrar a

    matriz admitncia resultante 2x2. 6) Encontre as tenses V1 e V2 do circuito resultante da questo anterior. 7) Elimine os ns 3 e 4 do circuito 2 para encontrar a matriz admitncia resultante 2x2 pela eliminao do

    n 4 primeiro e ento o n 3. Encontre as tenses V1 e V2 do circuito resultante.

    8) No circuito abaixo, os geradores Ea e Eb esto alimentando um motor sncrono Ec. Os valores das

    tenses e impedncias so dados abaixo. Obtenha a matriz admitncia de barra do sistema representado abaixo.

    Dados:

    pujZpujZ

    pujZZZpupuEE

    d

    e

    fba

    c

    ba

    2,025,0

    25,122,585,1E

    05,1

    ==

    ====

    ==

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    9) Supondo que o motor Ec foi desligado do sistema, encontre a nova matriz admitncia de barra e encontre as tenses nos barramentos dos dois geradores, VEa e VEb.

    10) Encontre a matriz admitncia de barra do sistema de potncia mostrado abaixo:

    Os dados do sistema so:

    11) Encontrar a matriz impedncia do sistema da questo anterior. 12) Modificar a matriz impedncia da questo 11 de maneira a ter em conta a conexo de um capacitor

    tendo uma reatncia de 5pu entre a barra 4 e a referncia.

    13) Para a rede de reatncia da Figura abaixo, encontre: a) Zbarra pela formulao direta e pela inverso de Ybarra. Compare os resultados; b) A tenso em cada barra; c)Corrente absorvida pelo capacitor tendo

    uma reatncia de 5 pu e ligadoda barra 3 ao neutro; d) a mudana na tenso em cada barra quando o

    capacitor est ligado na barra 3.