Apostila de Calculo de Rede

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  • ASSOCIAO DE ENSINO E CULTURA PIO DCIMO S/C LTDA FACULDADE PIO DCIMO

    CURSO DE ENGENHARIA ELTRICA DISCIPLINA: SISTEMAS ELTRICOS II

    ARACAJU SERGIPE

    CLCULO DE REDE

    Aracaju, Janeiro de 2009

  • Clculo de Rede

    Prof. Jos Valter Alves Santos 2

    1. INTRODUO

    O desenvolvimento contnuo dos computadores digitais de grande capacidade e alta velocidade

    acarretou uma mudana na relativa importncia das vrias tcnicas de soluo de redes de grande porte. A

    soluo por computao digital dependente das equaes das redes. Conseqentemente, importante

    para o engenheiro da rea de sistema de potncia entender a formulao das equaes das quais, com o

    objetivo de obter uma soluo, desenvolvido um programa a ser utilizado por computador.

    2. EQUIVALNCIA DE FONTES

    Um procedimento de grande utilidade em alguns problemas de anlise de rede o da substituio

    de uma fonte de corrente constante em paralelo com uma impedncia por uma fem em srie com uma

    impedncia. As duas partes da Figura 1 ilustram os circuitos. Ambas as fontes com suas impedncias

    associadas estao conectadas a uma rede de dois terminais tendo uma impedncia de entrada ZL. A carga

    pode ser considertada como uma rede passiva, ou seja, quaisquer fem na rede de carga so consideradas

    curto-circuito e qualquer fonte de corrente como circuito aberto.

    Para o circuito possuindo fem Eg constante e impedncia em srie Zg, Figura 1(a), a tensao na carga

    :

    ZggL VEV = (1)

    Figura 1 (a)

    Onde IL a corrente de carga.

    Para um circuito possuindo uma fonte de corrente constante IS com uma impedncia paralela ZP,

    Figura 1(b), a tenso na carga : ( ) PLPSPLSL ZIZIZIIV == (2) As duas fontes e suas impedncias associadas sero equivalentes se a tenso VL for a mesma em

    ambos os circuitos. Naturalmente, iguais valores de VL significaro iguais valores de corrente de carga IL

    para cargas idnticas.

    Figura 1 (b)

    IS

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    A comparao das equaes (1) e (2) mostra que VL ser idntica em ambos os circuitos e,

    consequentemente, a fem e sua impedncia em srie podero ser intercambiveis com a fonte de corrente

    e sua impednica paralela desde que

    PSg ZIE = (3) e

    pg ZZ = (4) Para o clculo de rede estas condies de equivalncia so importantes para usarmos o principio da

    superposio, aplicando a uma rede ativa como vimos anteriormente. Quando fonte de teno

    curtocircuitamos a fonte e quando fonte de corrente abrir o circuito substituindo a mesma.

    3. EQUAES DE NS

    As junes formadas quando dois ou mais elementos puros (R, L C, fonte ideal de tenso ou de

    corrente) so ligados um ao outro nos seus terminais so chamadas n. A formulao sistemtica das equaes baseada nos ns de um circuito pela aplicao da Lei de Kirchhoff sobre corrente a base de

    algumas excelentes equaes computacionais de problemas em sistema de potncia. Geralmente

    conveniente considerar s aqueles ns que esto conectados a mais de dois elementos, denominando-se

    este ponto juno de ns maiores.

    Figura 2 Representao do sistema de 4 ns

    Com o objetivo de examinar algumas caractersticas das equaes de ns, comearemos com o

    diagrama unifilar de um sistema simples indicado na Figura 3. Os geradores esto ligados atravs de

    transformadores s barras de alta tenso 1 e 3, e esto alimentando um motor sncrono na barra 2. Para

    propsitos de anlise, todas as mquinas ligadas a uma barra so tratadas como uma s mquina e

    representadas por uma nica fem e uma reatncia em srie. O diagrama de reatncia, com as reatncias

    especificadas por-unidade, est indicado na Figura 4. Os ns esto indicados por pontos, mas somente aos

    ns maiores sero indicados nmeros. Se o circuito redesenhado com as fems e as impedncias em srie

    conectando-as aos ns maiores substitudos por fontes equivalentes de corrente e admitncias paralelas, o

    resultado :

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    Figura 3 Diagrama de Reatncias para o sistema da Figura 2

    OBS:Valores em por-unidade para as admitncias so usados em vez dos valores das impedncias.

    Notao com um nico subscrito ser usada para designar a tenso de cada barra com respeito

    ao neutro tomado como n de referncia 0. Aplicando a Lei de Kirchhoff sobre corrente ao n 1 com

    corrente para o n vindo da fonte e igualadas as correntes para fora do n temos: (Ver Figura 4)

    I1 = V1Ya +(V1 V3)Yf + (V1 V4)Y4 (5)

    E para o n 4

    0 = (V4 V1)Yd + (V4 V2)Yh + (v4 V3)Ye (6) Rearranjando estas equaes resulta

    I1 = V1(Ya + Yf + Yd) V3Yf V4Yd (7)

    0 = - V1 Yd V2 Yh V3 Ye + V4(Yd + Ye + Yh) (8)

    Equaes semelhantes podem ser formadas para os ns 2 e 3, e as quatro equaes podem ser

    resolvidas simultaneamente para as tenses V1, V2, V3 e V4. Todas as correntes dos ramos podem ser

    encontradas quando estas tenses so conhecidas e ainda o nmero necessrio de equaes de ns igual

    ao nmero de ns da rede menos um. Uma equao de n, lanada para o n de referncia no

    acrescentar nenhuma informao. Em outras palavras, o nmero de equaes de ns igual ao nmero de

    ns menos um.

    No escrevemos as outras duas equaes, porque j podemos ver como formular as equaes de

    ns numa notao padro. Nas Equaes (7) e (8) claro que a corrente fluindo para a rede e vindo das

    fontes de corrente conectadas a um n igualada soma de vrios produtos.

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    Figura 4: Circuito da Figura 3 com as fontes de tenso substituidas por fontes equivalentes de corrente. Os valores indicados

    esto em p.u.

    Para qualquer n, um dos produtos a tenso daquele n vezes a soma de todas as admitncias

    que terminam nele. Este produto leva em conta a corrente que flui do n se a tenso zero nos outros ns.

    Os outros produtos so iguais ao negativo da tenso nos outros ns, vezes a admitncia ligada diretamente

    ao outro n e o n para o qual a equao est sendo formulada. Conseqentemente, no n 1, um dos

    produtos V3Vf, que leva em conta a corrente para fora do n 1, quando todas as outras tenses so zero,

    a no ser a do n 3.

    A forma-padro para as quatro equaes independentes na forma matricial :

    =

    4

    3

    2

    1

    44434241

    34333231

    24232221

    14131211

    4

    3

    2

    1

    VVVV

    YYYYYYYYYYYYYYYY

    IIII

    Y (9)

    A simetria das equaes nesta forma torna-se fcil de memorizar e sua extenso para qualquer

    nmero de ns evidente. A ordem dos subscritos Y segue o conceito de efeito-causa; isto , o primeiro subscrito o do n para o qual as correntes esto sendo expressas e o segundo refere-se ao n da tenso

    causadora desta componente da corrente. A matriz Y designada por Ybarra e chama-se matriz admitncia de barramento. Esta matriz simtrica com relao diagonal. As admitncias Y11, Y22, Y33 e Y44 so chamadas admitncias prprias de cada n e cada uma igual soma de todas as admitncias concorrendo ao n identificadas pela repetio de subscritos. As outras admitncias so as admitncias mtuas dos ns e cada uma igual ao negativo da soma de todas as admitncias ligadas diretamente entre os ns e

    identificadas pelos duplos subscritos. Para a rede da Figura 4, a admitncia mtua Y13 igual a Yf. Alguns autores chamam as admitncias prprias e mtuas de ns de auto admitncia e admitncia de transferncia

    de ns.

    Concluimos ento que o sistema de equaes para o circutio da Figura 4 :

    -j 8,0

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    +++++++++

    =

    4

    3

    2

    1

    3

    2

    1

    00

    0 VVVV

    YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY

    III

    hedehd

    egfecgf

    hghgb

    dffda

    (10)

    A expresso geral para a fonte de corrente alimentando o n k de uma rede com N ns independentes, isto , N barras sem contar o neutro, :

    =

    =N

    nnknK VYI

    1 (11)

    Tal equao deve ser escrita para cada uma das N barras para as quais a tenso da rede desconhecida. Se a tenso conhecida em algum n, a equao no escrita para aquele n. Por

    conseguinte, se tanto o mdulo como o ngulo da tenso so conhecidos em duas das barras de alta tenso

    de nosso exemplo, ento somente duas equaes sero necessrias. Equaes de ns podem ser escritas

    para as outras duas barras e somente uma delas ter tenso desconhecida. A fem conhecida e a

    impedncia em srie no precisam ser substitudas pela fonte equivalente de corrente se um dos terminais

    do elemento fem est ligado ao n de referncia, neste caso o n que separa a fem da impedncia em srie

    aquele onde a tenso conhecida.

    A formao da matriz admitncia d-se da seguinte forma: = ijii yY , j assumindo o valor de todas as barras ligadas diretamente a barra i. ijij yY = , se existe uma linha ligando diretamente a barra i barra j.

    0=ijY , se no existe uma linha ligando diretamente a barra i barra j.

    Exemplo 1: Escreva na forma matricial, as equaes de ns necessrias para calcular as tenses dos ns,

    numerados da Figura 4 . A rede equivalente quela da Figura 3 . As fems indicadas na Figura 14 so 87,365,1,05,1 == ba EE e 05,1 =cE , todos em por-unidade.

    Soluo: As fontes de corrente .

    I1 = I3 = ..20,10902,125,105,1 000 upj

    j==

    I2= ..96,072,087,1262,125,1

    87,365,1 00 upjj

    ==

    As admitncias prprias em por-unidade so:

    0,180,80,50,53,158,00,85,20,4

    3,88,05,20,58,98,00,40,5

    44

    33

    22

    11

    jjjjYjjjjjY

    jjjjYjjjjY

    ====

    ====

    e as admitncias mtuas em por unidade so:

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    Y12=Y21=0 Y23=Y32=+j2,5

    Y13=Y31=+j4,0 Y24=Y42=+j5,0

    Y14=Y41=+j5,0 Y34=Y43=+j8,0

    As equaes de ns na forma matricial so:

    =

    4

    3

    2

    1

    0,180,80,50,50,83,155,20,40,55,23,80,00,50,40,08,9

    0020,1096,072,020,10

    VVVV

    jjjjjjjjjjjjjjjj

    jjj

    A matriz quadrada acima identificada como a matriz admitncia Ybarra.

    Exemplo 2: Resolva as equaes de ns do exemplo precedente com o objetivo de encontrar as tenses

    de barra pela inverso da matriz admitncia.

    Soluo: Multiplicando ambos os lados da equao matricial do exemplo 1 pela inversa da matriz admitncia de barra ( determinada atravs do uso de programa-padro para computao digital) resulta:

    =

    4

    3

    2

    1

    1000010000100001

    0020,1096,072,020,10

    4733,04232,04126,04142,04232,04558,03922,04020,04126,03922,04872,03706,04142,04020,03706,04774,0

    VVVV

    jjj

    jjjjjjjjjjjjjjjj

    A matriz quadrada acima, obtida pela inverso da matriz admitncia de barra, chamada matriz

    impedncia de barra Zbarra. Executando a multiplicao de matrizes indicada, resulta:

    =

    4

    3

    2

    1

    2971,04009,12824,04059,13508,03830,12668,04111,1

    VVVV

    jjjj

    e da retiramos as tenses de ns que so:

    ..97,11432,12971,04009,1

    ..36,11434,12824,04059,1..24,14427,13508,03830,1..71,10436,12668,04111,1

    4

    3

    2

    1

    upjVupjVupjVupjV

    ========

    4. PARTIO DE MATRIZ

    Um mtodo muito til de manipulao de matriz, chamado partio, consiste em identificar vrias partes de uma matriz como submatrizes que sero tratadas como simples elementos quando da aplicao

    das regras usuais de multiplicao e adio. Por exemplo, assuma a matriz 3 x 3 onde:

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    =

    333231

    232221

    131211

    aaaaaaaaa

    A

    A matriz particionada em quatro submatrizes pelas linhas tracejadas horizontal e verticalmente. A

    matriz pode ser escrita como:

    =G F

    EDA (13)

    onde as submatrizes so:

    =2221

    1211

    a aa a

    D

    =23

    13

    aa

    E

    [ ]3231 a aF = G = [a33] Para indicar os passos para a multiplicao em termos de submatrizes consideramos que A deve ser

    multiplicada por uma outra matriz B para formar o produto C, onde:

    =

    31

    21

    11

    bbb

    B (14)

    De acordo com a partio acima:

    =JH

    B (15)

    Onde as submatrizes so:

    =21

    11

    bb

    H e J = [b31]

    Ento o produto :

    ==

    JH

    GFED

    BAC . (16)

    As submatrizes so consideradas como simples elementos para obter:

    ++=GJFHEJD

    C (17)

    O produto finalmente determinado, executando-se as multiplicaes e adies indicadas para as

    submatrizes.

    Se C Composta das submatrizes M e N tal que:

    =NM

    C (18)

    e comparando com equao ( * ) resulta:

    GJFHNEJDHM

    +=+=

    (19)

    Se desejarmos determinar somente a submatriz N, teremos :

    (12)

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    [ ]313321321131

    313321

    1132 31 a a

    bababa

    babb

    N

    ++=+

    =

    (20)

    As matrizes a serem multiplicadas devem ser compatveis originalmente. Cada linha de partio

    vertical entre as colunas r e (r + 1) do primeiro fator requer uma linha de partio horizontal entre as linhas r e (r + 1) do segundo fator para que se efetue a multiplicao de modo conveniente. Linhas de partio horizontal podem ser traadas entre quaisquer linhas da matriz do primeiro fator e linhas vertical da

    partio entre quaisquer colunas do segundo fator ou ainda omitidas em uma delas ou em ambas.

    5. ELIMINAO DE NS POR LGEBRA MATRICIAL

    Em sistemas de potncia podemos eliminar os ns, nas barras de potncia, por manipulao de

    matrizes da lgebra vetorial, desde que, neste no entre ou saia corrente para a rede.

    Consideremos a equao seguinte, onde I e V so matrizes colunas e Ybarra uma matriz quadrada

    e simtrica.

    [ ] [ ] [ ]VYI barra = (21)

    As matrizes coluna da equao acima pode ser arranjada de tal maneira que os elementos

    associados com os ns a serem eliminados estejam nas linhas inferiores das matrizes. Os elementos das

    matrizes quadradas de admitncia so colocados em concordncia. As matrizes colunas so particionadas de

    tal maneira que os elementos associados com os ns a serem eliminados so separados dos outros

    elementos. A matriz admitncia particionada de tal maneira que os elementos identificados somente com

    os ns a serem eliminados estejam separados dos outros elementos por linhas horizontais e verticais.

    Quando particionadas de acordo com estas regras, a equao 21 torna-se:

    =

    X

    AT

    X

    A

    VV

    MLLK

    II

    (22)

    onde Ix a submatriz composta das correntes entrando no n a ser eliminado e Vx a submatriz composta

    das tenses destes ns. Obviamente, cada elemento de Ix zero, seno os ns no poderiam ser

    eliminados. As admitncias prprias e mtuas compondo K so aquelas identificadas somente com os ns

    retidos. M composta de admitncias prprias e mtuas identificadas somente com os ns a serem

    eliminados. Esta matriz uma matriz quadrada de ordem igual ao numero de ns a serem eliminados. L e

    sua transposta Lt so compostas somente das admitncias mtuas comuns a algum n a ser retido e a

    outro que ser eliminado.

    Executando a multiplicao indicada na equao 22, temos as equaes: [ ] [ ] [ ]XAA LVKVI += (23) [ ] [ ] [ ]XATX MVVLI += (24) Como todos os elementos de Ix so zeros, subtraindo LtVA nos dois lados da equao 24, e pr-

    multiplicando ambos os lados pela inversa de M, representada por M-1, resulta em:

    (Ix - LTVA).M-1 = (LTVA + MVX LTVA).M-1

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    - LTVA . M-1 = MVX . M-1

    - LTVA . M-1 = M0 . VX

    VX = - M-1LTVA (25)

    Esta expresso para Vx substituda na equao 23, resulta:

    ( )ATAAXAA

    VLMLKVILVKVI

    +=+=

    ( ) AT1A VLLMKI = (26)

    que uma equao de ns tendo como matriz admitncia:

    T1

    barra LLMKY= (27)

    Estas matrizes admitncias permitem-nos construir o circuito com os ns indesejveis j eliminados.

    O mtodo de partio de matrizes um mtodo geral, para a eliminao de um grande nmero de

    ns, e mais adequada a solues por computad...