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Estatstica Descritiva

Eng. Prof. M.Sc. Julio Cezar Ribeiro 1

Estatstica aplicada EngenhariaProf.M.Sc.

Julio Cezar RibeiroLINS 2012

Estatstica Descritiva

Eng. Prof. M.Sc. Julio Cezar Ribeiro 2

AtenoA avaliao da disciplina feita da seguinte maneira: 1) A cada bimestre ser dada uma prova com questes referentes as aulas dadas. A nota desta prova ter peso 8. 2) No fim de cada mdulo o aluno ter que entregar o trabalho correspondente que est no fim do mdulo na apostila e ter uma nota. A mdia destas notas ter peso 2. 3) A nota de cada bimestre ser a mdia ponderada daquelas notas. Se a mdia final no for no mnimo 6, o aluno poder fazer uma prova substitutiva onde a matria cobrada ser do semestre todo. Essa nota substituir a menor nota das duas provas feitas.

BOM CURSO

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Mdulo 1A Estatstica a sofisticada tcnica matemtica de torturar os nmeros, at que eles confessem. Sir George Bernard Shaw

IntroduoA noo de Estatstica foi originalmente derivada da mesma raiz da palavra Estado, j que uma funo tradicional dos governos armazenarem registros da populao, tais como nascimentos e mortes, produo das lavouras, taxas e muitas outras espcies de informao e atividades. A contagem e mensurao dessas quantidades geram todos os tipos de dados numricos que so teis para o desenvolvimento de muitos tipos de funes governamentais e formulao de polticas pblicas. Os mtodos estatsticos so usados hoje em quase todos os campos de investigao cientfica, j que eles capacitam-nos a responder a um vasto nmero de questes. Como os cientistas avaliam a validade de novas teorias? Como os pesquisadores mdicos testam a eficincia de novas drogas? Como os demgrafos prevem o tamanho da populao do mundo em qualquer tempo futuro? Como pode um economista verificar se a mudana atual no ndice de Preos ao Consumidor a continuao de uma tendncia secular, ou simplesmente um desvio aleatrio? Como possvel para algum predizer o resultado de uma eleio entrevistando apenas algumas centenas de eleitores? Estes so poucos exemplos nos quais a aplicao da estatstica necessria. Podemos presumir que a matemtica uma das rainhas das cincias porque ela fornece a estrutura terica para quase todas as outras cincias. As teorias matemticas esto sendo desenvolvidas todos os dias em muitas reas por estatsticos tericos treinados em teoria estatstica e probabilidade. Vamos citar alguns casos ilustrativos onde elas so desenvolvidas: teoria dos vos espaciais em fsica; teorias do conhecimento do comportamento animal e humano em psicologia; teorias da migrao e dos diferenciais de raa em sociologia; teorias de epidemias em sade pblica, etc. A maioria das pessoas possui o entendimento de que a palavra fenmeno significa alguma coisa que foge do senso comum, ou seja, uma coisa extraordinria diferente daquelas observadas no dia-a-dia. Ou ento que seja uma pessoa que se distingue por algum talento extraordinrio, ou ento, animal ou objeto excepcional por alguma particularidade ou prodgio. Porm nos estudos cientficos o entendimento de fenmeno qualquer aspecto ou ocorrncia passvel de observao, que seja de interesse cientfico, suscetvel de descrio ou explicao. Em cincias consideramos dois tipos de fenmenos; o determinstico, que aquele que sabemos antes de executarmos um experimento, qual resultado que iremos obter. Estes fenmenos so estudados, por exemplo, em disciplinas como a biologia a fsica e a qumica. Via de regra, so os mais fceis de entender. O outro o fenmeno aleatrio que aquele cujo resultado de um experimento imprevisvel. A palavra aleatria vem do latim alea que significa por acaso, por sorte. Essa palavra ficou famosa no tempo por ter sido usada pelo general Julio Csar quando disse alea jacta est, que significa a sorte est lanada, quando atravessou o rio Rubico para ir guerrear contra os Helvcios. Os engenheiros, por exemplo, trabalham mais frequentemente com fenmenos determinsticos enquanto que os economistas com fenmenos aleatrios. Essas profisses que usam a estatstica para tirar duvidas de uma serie de fenmenos por eles estudados. Muitos fatos cujos resultados para ns seriam lgicos e evidentes, apresentam resultados que s vezes contradizem daqueles esperados. Da a razo de se estudar estatstica para testar hipteses a respeito de fatos que achamos lgicos e desnecessrios de sofrerem pesquisa para saber o resultado. Por exemplo, na segunda guerra mundial acreditava-se que a capacidade dos soldados procedentes do sul suportarem o clima quente na guerra seria mais fcil que a dos soldados vindos do norte acostumados com o clima frio. Tambm se acreditava que os homens de nvel educacional mais alto apresentariam maior quantidade de sintomas psquicos neurticos do que aqueles que eram broncos e menos educados. Aps a pesquisa realizada por mtodos estatsticos a respeito desses dois fatos que pareciam conter verdades bvias, se mostraram que na realidade o que aconteceu foi exatamente o contrrio. A coleo de dados numricos a parte inicial da Estatstica, sendo apenas a matria-prima, que precisa ser transformada pelos mtodos estatsticos para posterior anlise. A Estatstica um mtodo cientfico, e se refere a projeto de experimentos, descrio e interpretao das observaes feitas a respeito de qualquer fenmeno aleatrio. Do ponto de vista moderno, a Estatstica freqentemente definida como um mtodo de tomada de deciso em face da aleatoriedade dos fenmenos. Em uma vasta perspectiva, o escopo da estatstica pode ser pensado em termos de trs reas diferentes de estudos: a) Estatstica Descritiva b) Estatstica Indutiva c) Teoria da Deciso Estatstica. A Estatstica Descritiva refere-se ao corpo de mtodos desenvolvidos para coletar, organizar, apresentar e descrever dados numricos. Essa rea da Estatstica refere-se s seguintes tarefas: a) Encontrar um mtodo apropriado de coletar dados numricos eficientemente e acuradamente para um dado problema. b) Determinar um formato eficiente, tal como uma apresentao tabular, para a organizao dos dados de uma forma sistemtica e ordenada, de maneira que a informao fornecida pelos dados possa ser observada com grande facilidade e preciso.

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c) Apresentar dados numricos que sejam organizados ou no, de forma que as caractersticas e o comportamento deles sejam clara e facilmente revelados. Tais apresentaes so feitas por meio de mtodos grficos. d) Sumarizar ou descrever cada caracterstica ou propriedade dos dados por um simples nmero, tal como a mdia, a porcentagem ou alguma outra medida apropriada, a qual calculada a partir dos dados por meio de frmula derivada a partir de algum princpio vlido.

Tipos de Variveis na EstatsticaAs variveis que iremos estudar neste curso, sero unidimensionais, ou seja, para cada elemento da populao iremos associar apenas uma caracterstica que estamos interessados em estudar. Exemplos: peso, altura, consumo de carne, resistncia de vigas, etc. A estatstica requer o desenvolvimento de formas particulares de pensamento e raciocnio, que sero utilizados em experimentos que envolvem fenmenos aleatrios, que serviro para interpretar resultados amostrais, fazendo inferncias, comunicando resultados obtidos nas pesquisas, atravs de linguagem matemtica apropriada. Muitos so os conhecimentos exigidos para esse aprendizado considerando que a estatstica necessita da base de outras disciplinas que nos ajudam a interpretar resultados de pesquisas amostrais. Ao estudante cabe aprender quais so os procedimentos adequados que deve adquirir para coletar, organizar, comunicar e interpretar dados, atravs de tabelas, grficos e outras representaes matemticas, descrevendo e interpretando a realidade dos fenmenos aleatrios estudados. Mtodo o caminho pelo qual se atinge um objetivo. Ou seja, o meio mais eficaz para atingir determinada meta desejada onde destacamos o mtodo experimental e o estatstico. O mtodo experimental consiste em manter constante todas as causas, menos uma, que sofre variao para se observar seus efeitos, caso existam. Ex: Estudos da Qumica, Fsica, etc. Pode-se dizer que a Estatstica um mtodo matemtico criado para organizar dados obtidos numa pesquisa a respeito de um conjunto de coisas que possuem as mesmas caractersticas sobre as quais pretendemos estudar. Estes elementos pertencem a um conjunto universo denominado de Populao, que podem ser medidos, contados, pesados ou classificados, A varivel de interesse a ser estudada denominada de varivel aleatria, e podem ser de dois tipos: "Qualitativas ou Quantitativas". O mtodo estatstico, portanto aquele que diante da impossibilidade de manter as causas constantes (como nas cincias sociais), admitem todas essas causas presentes variando-as, registrando essas variaes e procurando determinar, no resultado final, que influncias cabem a cada uma delas. Ex: Quais as causas que definem o preo de uma mercadoria quando a sua oferta diminui? Seria impossvel, no momento da pesquisa, manter constantes a uniformidade dos salrios, o gosto dos consumidores, nvel geral de preos de outros produtos, etc. A coleta, a organizao, a descrio dos dados, o clculo e a interpretao de coeficientes pertencem estatstica descritiva, enquanto a anlise e a interpretao dos dados, associado a uma margem de incerteza, ficam a cargo da estatstica indutiva ou inferencial, tambm chamada como a medida da incerteza ou mtodos que se fundamentam na teoria da probabilidade. Saber exatamente aquilo que se pretende pesquisar o mesmo que definir corretamente o problema. Na fase do planejamento como levantar as informaes? Que dados devero ser obtidos? Qual levantamento a ser utilizado? Censitrio? Por amostragem? E o cronograma de atividades? Os custos envolvidos? etc. A coleta de dados a fase operacional. o registro sistemtico de dados, com um objetivo determinado. mais seguro trabalhar com fontes primrias. O uso da fonte secundria traz o grande risco de erros de transcrio. A coleta direta feita quando obtida diretamente da fonte. Ex: Empresa que realiza uma pesquisa para saber a preferncia dos consumidores pela sua marca. A coleta indireta feita por dedues a partir dos elementos conseguidos pela coleta direta, por analogia, avaliao, indcios ou proporcionalizao. A apurao dos dados o resumo dos dados atravs de sua contagem e agrupamento. a condensao e tabulao de dados. Para a apresentao dos dados h duas formas de apresentao, que no se excluem mutuamente. A apresentao tabular, ou seja, uma apresentao numrica dos dados em linhas e colunas distribudas de modo ordenado, segundo regras prticas fixadas pelo Conselho Nacional de Estatstica. A apresentao grfica dos dados numricos constitui uma apresentao geomtrica permitindo uma viso rpida e clara do fenmeno. A anlise e interpretao dos dados a ultima fase do trabalho estatstico a mais importante e delicada. Est ligada essencialmente ao clculo de medidas e coeficientes, cuja finalidade principal descrever o fenmeno (estatstica descritiva). O dado estatstico um dado numrico e considerada a matriaprima sobre a qual iremos aplicar os mtodos estatsticos. A populao o conjunto total de elementos portadores de, pelo menos, uma caracterstica comum. Amostra uma parcela representativa da populao que examinada com o propsito de tirarmos concluses sobre a essa populao. Parmetros so valores singulares que existem na populao e que servem para caracteriz-la. Estatsticas so os valores extrados da amostra. Para definirmos um parmetro devemos examinar toda a populao. Ex: Os alunos de uma escola tm em mdia 1,70m de estatura. Estimativa um valor aproximado do parmetro e calculado pelas estatsticas que so o resultado das medidas na amostra. Atributo quando os dados estatsticos apresentam um carter qualitativo, o levantamento e os estudos necessrios para o tratamento desses dados so designados genericamente de estatstica de atributo. Varivel o conjunto de resultados possveis de um fenmeno. Existem diversos tipos de variveis que sero utilizadas em um estudo estatstico. importante compreender o conceito matemtico de varivel. Varivel uma abstrao que se refere a um determinado aspecto do fenmeno que est sendo estudado. Podemos afirmar que a quantidade colhida da safra anual de soja uma varivel. Essa varivel pode assumir diversos valores especficos, dependendo dos anos de safra.

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Variveis quantitativas: referem-se a quantidades e podem ser medidas em uma escala numrica. Exemplos: idade de pessoas, preo de produtos, peso de recm nascidos, etc. Essas variveis podem ser medidas, contadas, pesadas e comparadas na sua avaliao. Estas variveis so denominadas "intervalares ou cardinais". As variveis quantitativas subdividem-se em dois grupos: discretas e contnuas. Variveis discretas so aquelas definidas no campo dos nmeros naturais que assumem apenas determinados valores, no negativos, tais como 0,1,2,3,4,.... que do saltos de descontinuidade entre seus valores. Normalmente referem-se a contagens. As variveis quantitativas contnuas so aquelas definidas no campo dos reais cujos valores assumem uma faixa contnua e no apresentam saltos de descontinuidade. As variveis quantitativas contnuas referem-se ao conjunto dos nmeros reais ou a um de seus subconjuntos contnuos. Normalmente referem-se a medidas. Exemplos dessas variveis so: o peso de pessoas, a renda familiar, o consumo mensal de energia eltrica, o preo de um produto agrcola, etc. Variveis Qualitativas: referem-se a dados no numricos que possuem atributos, tais como: o sexo das pessoas, a cor, o grau de instruo. As variveis qualitativas subdividem-se tambm em dois grupos: as variveis qualitativas ordinais e as variveis qualitativas nominais. As ordinais so aquelas que definem um ordenamento ou uma hierarquia. Exemplos: grau de instruo, classificao de um estudante no curso de estatstica, as posies das 100 empresas mais lucrativas, etc. As variveis qualitativas nominais por sua vez no definem qualquer ordenamento ou hierarquia. So exemplos destas a cor, o sexo, o local de nascimento, etc. Exemplos: Cor dos olhos das alunas: qualitativa Religio qualitativa ndice de liquidez nas indstrias capixabas: quantitativa contnua Produo de caf no Brasil: quantitativa contnua Nmero de defeitos em aparelhos de TV: quantitativa discreta Comprimento dos pregos produzidos por uma empresa: quantitativa contnua O ponto obtido em cada jogada de um dado: quantitativa discreta No podemos dizer que para qualquer uma destas categorias qualquer mtodo estatstico pode ser adequadamente aplicado. As variveis quantitativas contnuas so aquelas que permitem a utilizao de um conjunto maior e superior de mtodos estatsticos e so, sem dvida, as variveis mais passveis de um rico tratamento estatstico. Em seguida vm, nessa ordem, as variveis quantitativas discretas, as variveis qualitativas ordinais e por ltimo, as variveis qualitativas nominais. Essas ltimas so as que permitem a utilizao de um menor e menos poderoso arsenal de instrumentos estatsticos de anlise. muito comum considerar-se que a estatstica abrange apenas a estudos que utilizam as variveis quantitativas. Nada mais equivocado. Existe um vasto campo de aplicaes estatsticas em que so empregadas as variveis qualitativas, tanto isoladamente como em conjunto com variveis quantitativas. No podemos dizer que a cor X superior a cor Y, mas podemos afirmar que o terceiro ano do segundo grau superior hierarquicamente ao primeiro ano do primeiro grau. Por isso, essencial o aprendizado de clculo das probabilidades, pois assim teremos compreenso dos acontecimentos no cotidiano de natureza aleatria, possibilitando a correta interpretao desses resultados observando o acaso e a incerteza com que ocorrem dentro do contexto aonde se manifestam. Na estatstica to importante saber o que cada grandeza significa quanto saber como calcul-la. A anlise estatstica se inicia quando um conjunto de dados torna-se disponvel de acordo com a definio do problema da pesquisa. Um conjunto de dados seja de uma populao ou de uma amostra contem muitas vezes um nmero muito grande de valores. Alm disso, esses valores, na sua forma bruta, encontram-se muito desorganizados. Eles variam de um valor para outro sem qualquer ordem ou padro. Os dados precisam ento ser organizados e apresentados em uma forma sistemtica e seqencial por meio de uma tabela ou grfico. Quando fazemos isso, as propriedades dos dados tornam-se mais aparentes e tornamo-nos capazes de determinar os mtodos estatsticos mais apropriados para serem aplicados no seu estudo.

Medidas de posio ou de tendncia centralEstas medidas so as mais conhecidas na estatstica, embora a exata compreenso do que significam desconhecida pela maioria das pessoas que normalmente as usam ou interpretam erroneamente. A medida de posio mais caracterstica de uma distribuio estatstica a mdia aritmtica, seguida da moda e mediana. Cada uma dessas medidas possui caractersticas prprias e devem ser usadas corretamente para representar cada tipo de problema estudado. Elas so chamadas de medidas de tendncia central pelo fato dos seus valores ficarem invariavelmente prximas do valor central da distribuio. Portanto fcil reconhecer se o valor obtido para estas medidas est certo, pois basta fazermos o "rol" dos elementos que estamos estudando e verificar se os resultados esto prximos do meio. Rol a ordenao crescente ou decrescente de todos os valores estudados.

Mdia aritmticaEsta a medida mais conhecida na estatstica numa distribuio de variveis aleatrias, e como todas as outras, tem a tendncia de ficar no centro da distribuio. A mdia, portanto significa o meio da distribuio em

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termos dos seus valores. importante observar que para o clculo da mdia levamos em considerao todos os elementos da distribuio e, portanto, ela fica muito influenciada pelos valores extremos. Os parmetros estatsticos so calculados para uma populao enquanto que as estatsticas so calculadas para uma amostra. Populao o conjunto total dos elementos que possuem a caracterstica que estamos interessados em estudar, e amostra uma parte bem menor da populao que retiramos para estudar o que est acontecendo na populao. Assim chamamos grupo de dados, amostras feitas com 30 elementos ou menos, cujo tratamento matemtico diferente de quando temos bem mais de 30 elementos, quando ento passamos a usar um tratamento chamado de dados agrupados. Para um grupo qualquer de n elementos de valores " x i ", definimos como mdia aritmtica desses valores a expresso: x Ma = i n onde os valores xi representam cada valor dos elementos estudados. Na estatstica no existe diferena entre o clculo da mdia amostral e a populacional, porm para diferenciarmos uma da outra usamos smbolos diferentes para o seu clculo. Assim que para a amostra usamos a expresso: x= E para a populao: x1 + x2 + x3 ..... + xn nx1 + x2 + x3 ..... + xn N

=

Se, porventura, tivermos valores x i repetidos vezes, cada um deles, a expresso acima se torna:

=

fi xi N

A mdia calculada desta forma fica parecida com a mdia ponderada, onde os valores " " so os pesos atribudos queles elementos que estamos estudando e, que possuem pesos diferentes dos outros, da mesma forma como os pesos adotados nas notas das provas e trabalhos que os professores usam para compor a nota final da disciplina. Os alunos na sua grande maioria no entendem o que um peso na composio da nota. Todas as provas que o professor aplica valem 10 pontos. O peso que ele usa para elas que varia. A maioria dos professores nesta faculdade utiliza peso 8 para a prova regimental e peso 2 para o trabalho. O que isso quer dizer? Significa que para obter a nota final do bimestre o professor multiplica a nota da prova (que vale de 0 a 10) por 8 e a nota do trabalho (que vale de 0 a 10) por 2. A nota final do bimestre ser, portanto a soma daquelas operaes dividida por 10.

Mdia harmnicaOutra medida de tendncia central a mdia harmnica, definida como sendo o inverso da mdia aritmtica dos inversos dos valores, ou seja:Mh = n 1 1 1 1 + + + ....+ x1 x 2 x3 xn

onde os valores xi representam cada valor dos elementos que estamos calculando a mdia e n a quantidade deles. Esta mdia usada em fsica para clculos de velocidades mdias.

Mdia geomtricaOutra medida de tendncia central muito usada em economia para clculos de inflao, a mdia geomtrica definida como sendo a raiz ensima do produto dos "n valores em estudo, ou seja: Mg = n x1x2 x3 .....xn A mdia harmnica sempre a menor e, a aritmtica a maior.

MedianaPara calcular a mediana de uma populao a primeira coisa a ser feita o rol. A mediana o valor do elemento pertencente distribuio, que fica exatamente no meio dela, ou seja, o nmero de elementos que fica para frente igual ao dos elementos que ficaram para traz. A diferena fundamental entre a mdia e a mediana

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que, para o clculo da mdia, levamos em considerao todos os elementos da distribuio, e a mediana o valor de um s. Se o nmero de elementos a ser considerado for par, a mediana ser o valor da mdia aritmtica dos dois valores que estiverem no meio da distribuio. Esta medida deve ser usada para representar distribuies que possuem valores muito diferentes em suas extremidades, pois este fato muda consideravelmente o valor da mdia que conseqentemente no ir representar corretamente essa distribuio.

ModaPor definio, a moda o mesmo valor da distribuio que aparece mais vezes, ou seja, com maior freqncia. Em alguns casos, a distribuio pode apresentar mais de uma moda. Se forem duas, bimodal, se forem mais de duas, plurimodal.

Exerccios de aplicaoa) Calcule a mdia aritmtica, geomtrica, harmnica, a moda e a mediana dos seguintes dados: 2,3 2,1 3,0 2,7 2,0 2,3 1,8 2,0 2,7 2,0 (O valor de todas as mdias calculada diretamente com a calculadora, aprenda como fazer) Rol(ordem crescente) Mdia aritmtica f x Ma = i i n Mdia geomtrica Mg = n x1x2 x3 .....xn

Mdia harmnican Mh = 1 1 1 1 + + + + .... x1 x 2 x3 xn

Moda o valor que mais aparece

Mediana o valor que fica no meio

b) Idem para os valores: 37 Rol

38

36

37

36

39

36

37 Mdia geomtrica

Mdia aritmtica

Mdia harmnica

Moda

Mediana

Tarefa mnimaPara cada uma das questes abaixo, assinale uma alternativa correta. 1. A varivel nominal aquela cuja mensurao envolve simplesmente o ato de nomear ou rotular, colocando os elementos em categorias e contando a freqncia com que eles ocorrem. Certo ( ) Errado ( ) 2. Quando um pesquisador consegue, de alguma maneira, ordenar as variveis que possuem um atributo qualquer, ele est trabalhando com variveis do tipo intervalar. Certo ( ) Errado ( ) 3. A mdia aritmtica a razo entre: a) o nmero de valores e o somatrio deles; b) o somatrio dos valores e o nmero deles: c) os valores extremos; d) os dois valores centrais.

Estatstica Descritiva4. Na srie 60, 90, 80, 60, 50 a moda ser: a) 50; b) 60; c) 66;

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d) 90.

5. A medida que tem o mesmo nmero de valores abaixo e acima dela : a) a moda; b) a mdia c) a mediana; d) o lugar mediano. 6. Na srie de valores 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 a mediana ser: a) 7 c) 7,5 b) 8 d) no tem 7. Na srie 60, 50, 70, 80, 90 o valor 70 ser: a) a mdia e a moda; b) a mdia e a mediana; c) a mediana e a moda; d) a mdia, a mediana e a moda. 8. Quando queremos saber qual questo de uma prova apresentou maior nmero de erros, utilizamos a: a) moda; b) mdia; c) mediana; d) qualquer das anteriores. 9. Mdia, mediana e moda so medidas de: a) disperso; b) posio; c) assimetria; d) curtose.

10. Uma empresa possui dois serventes recebendo salrios de R$2.500,00 cada um, quatro escriturrios recebendo R$6.000,00 cada um, um chefe de escritrio com salrio de R$10.000,00 e trs tcnicos recebendo R$22.000,00 cada um. A mdia destes salrios : a) R$10.500,00; b) R$5.050,00; c) R$26.250,00; d) n. r. a.. 11. O valor dominante de uma distribuio de freqncia chama-se: a) mediana; b) mdia; c) moda; 12. Na srie 10, 20 40, 50, 70, 80, a mediana ser: a) 30; b) 35; c) 40; d) 45. d) 1 quartil

13. Na srie 15, 20, 30, 40, 50, h abaixo da mediana: a) 3 valores; b) 2 valores; c) 3,5 valores; d) 4 valores. 14. Sabemos que 50% dos dados da distribuio situam-se: a) abaixo da mdia; b) acima da mediana; c) abaixo da moda; 15. Assinale a alternativa correta: a) A medida de posio menos utilizada a moda. b) A medida de posio mais importante a mediana. c) A medida de posio mais importante a mdia. d) A medida de posio mais utilizada a mdia. e) As alternativas c e d esto corretas.

d) acima da mdia.

Respostas: 1-C 2-E 3-b 4-b 5-c 6-c 7-b 8-a 9-b 10-a 11-c 12-d 13-b 14-b 15-e

Medidas de dispersoAs medidas de disperso na estatstica mostram como os valores da distribuio esto dispersos em torno da mdia, ou seja, medem o grau de homogeneidade da distribuio. Quanto maior for este valor, significa que os valores estudados esto mais dispersos em torno da media e, significando que a distribuio mais espalhada e, portanto no muito homognea. Um valor relativamente grande em funo dos valores estudados para qualquer medida de disperso indica que a distribuio estudada muito dispersa em relao a mdia e, portanto a sua homogeneidade fica comprometida.

Desvio mdioA primeira medida que os estatsticos pensaram fazer, para determinar a disperso dos elementos em torno da mdia foi achar a mdia dos desvios ou discrepncias, que so quantidades definidas como: di = x i x O desvio mdio ficou ento definido na forma: dm =

( xi x )n

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Porm a soma das discrepncias numa distribuio d sempre zero, por esta razo, esta medida no pode ser usada para determinar a disperso dos elementos de uma distribuio.

Desvio mdio absolutoComo a medida anterior no tinha significado pelo fato de dar sempre zero, foi necessrio construir outro modelo matemtico para calcular a disperso dos elementos em torno da mdia: ( x x) definiu-se ento o valor mdio do mdulo das discrepncias na forma: dm = i n Porm esta medida no se mostrou de grande valia nas aplicaes prticas.

Variana ou desvio mdio quadrticoO modelo matemtico que deu certo foi definido como sendo o valor mdio da soma das discrepncias ao quadrado, e que se tornou um dos principais parmetros da Estatstica. Esta medida calculada diferentemente para uma populao e para uma amostra. Para uma amostra quando houver elementos repetidos, por definio, a varincia vale:

S2 =

2 fi (xi x)

n 1

onde: x i = so os valores de cada uma das variveis na amostra x = a mdia daqueles valores. n = nmero total dos elementos na amostra fi = quantidade dos valores repetidos Para uma populao quando houver elementos repetidos, por definio, a varincia vale:

f (x ) 2 = i i N

2

onde: x i = so os valores de cada uma das variveis na populao m = a mdia daqueles valores. N = tamanho da populao fi = quantidade dos valores repetidos

Desvio padroComo a varincia uma grandeza elevada ao quadrado, conseqentemente a unidade da grandeza estudada tambm ficar ao quadrado. Assim, se estivermos estudando uma grandeza do tipo comprimento (m), a varincia dessa grandeza ser dada numa unidade de rea (m2). Para se evitar este problema, podemos voltar a unidade original, bastando extrair a raiz quadrada da variana que d origem ao desvio padro.

Coeficiente de variaoEssa medida faz a comparao entre o desvio padro e a mdia da distribuio, estabelecendo um valor de disperso em termos relativos, que expresso em porcentagem, portanto o resultado obtido da expresso deve ser multiplicado por 100. Esta disperso relativa serve para se comparar o valor da homogeneidade de uma distribuio em relao a outra. 100s Por definio, o coeficiente de variao para a populao vale: CV = m % E o coeficiente de variao para a amostra vale: CV =100S

x

%

Trabalho 1 para entregar1) O que se pode afirmar sobre uma distribuio com desvio padro nulo? 2) Se as notas de uma prova de Estatstica forem acrescidas de 1 ponto: a) o que aconteceria com a nota mdia da classe; b) e com o desvio padro?

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3) Uma distribuio de valores aproximadamente normal com mdia 100 e variana 100. Se tomarmos 100 valores desta distribuio, ao acaso, quantos valores esperaramos serem superiores a 130? 4) Num certo concurso, os candidatos so analisados atravs de seu desempenho nas provas de Matemtica e Portugus. Das notas obtidas, a mdia em Matemtica foi de 4,5 e desvio padro de 1,0, enquanto que nas de Portugus, a mdia foi 3,5 e desvio padro 0,5. a) Em qual prova o grupo foi melhor? b) Um grupo em relao ao outro, qual o melhor? c) Se um candidato teve nota 5 em Matemtica e 5 em Portugus, em qual das provas foi melhor? 5) Um grupo de 100 pessoas, tem peso mdio 72Kg com desvio padro 8Kg e estatura mdia 1,70m com desvio padro 0,1m. a) Qual caracterstica mais dispersa? b) Se tomarmos um rapaz do conjunto que tenha estatura 1,79m e peso 82Kg, interprete estes valores em relao ao grupo. 6) Para analisar os dados de uma folha de pagamentos, quais medidas voc utilizaria para: a) descobrir o salrio mais freqente; b) descobrir o salrio que divide os pagamentos em partes iguais; c) descobrir a disperso absoluta em torno da mdia; d) descobrir o grau de disperso relativo?

Programao da calculadora fx-82 MS1) Limpar toda a programao da maquina Shift Clr 3 = =

2) Programar para calcular a mdia e o desvio padro Mode 2 colocar os dados um por um apertando M+ Shift 2 1 = ( valor da mdia ) Na sequncia apertando Shift 2 2 = (valor do desvio padro da populao) Na sequncia apertando Shift 2 3 = (valor do desvio padro da amostra)

3) Limpar a programao da funo estatstica (deve ser feita antes de comear um calculo novo) Mode 4) Para a maquina dar o resultado em decimal Mode 5) Para trocar o ponto por virgula Mode Mode Mode Mode 1 apertar o replay do lado direito 2 Mode Mode 3 2 1

Exerccios de aplicaoDados os valores abaixo, calcule a mdia, variana, desvio-padro e o coeficiente de variao deles. a) 5 7 9 8 6 8 9 Mdia R: 7,43 Desvio padro R: 1,51 b) 15 16 18 16 18 Mdia R: 16,6 Desvio padro Varincia R: 1,8 Coeficiente de variao Varincia R: 2,29 Coeficiente de variao R: 20,32%

Estatstica DescritivaR: 1,34 R: 8,07%

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Distribuio de freqnciasO conjunto de valores obtidos numa populao, a respeito da qual vamos efetuar um estudo estatstico, so denominados de dados brutos. O tratamento estatstico sobre esses dados feito atravs de processos utilizados para descrever, organizar, analisar e interpretar-los. Para tanto, existem procedimentos a serem seguidos, sempre feitos da mesma forma, iniciando-se com a determinao de quantas classes devemos usar e, qual deve ser o valor do tamanho destas classes de forma que contenha todos os elementos da distribuio. Para organizar o mtodo de como isso deve ser feito comeamos fazendo o rol que a ordenao crescente dos valores da populao. A determinao do nmero de classes, bem como dos valores inferiores e superiores de cada classe, depende do bom senso do analista que estiver manipulando os dados. O nmero de classes numa distribuio de freqncias no pode ser maior do que 20 nem menor do que 5. Deve-se utilizar sempre o mesmo valor (h) para todos os intervalos de classe. Vamos dar um exemplo de como feito este tratamento estatstico. Vamos admitir que no exame final de Estatstica, aplicado em 54 alunos de uma faculdade, resultaram nas notas mostradas abaixo. A partir destes valores, vamos mostrar como proceder para coloc-los de forma organizada, numa tabela. 4,2 4,9 7,1 5,8 7,5 7,0 6,1 6,7 7,6 7,2 4,6 5,1 8,4 5,3 7,9 6,2 6,6 6,5 7,9 5,2 9,5 6,9 8,5 5,7 6,1 8,7 7,1 4,5 7,6 6,6 7,8 5,6 6,8 8,1 8,6 7,7 6,3 8,7 7,3 5,4 6,7 5,9 6,9 5,5 7,0 9,2 7,4 8,2 5,1 7,1 8,3 6,0 8,9 4,7

Roteiro para a construo da tabela de freqncias1) Inicialmente, procuramos o maior e o menor valor entre os dados brutos e efetuamos a diferena entre eles, achando a amplitude da distribuio; 2) em seguida, definimos quantas classes vamos adotar. Este nmero no tem regra a ser seguida, dependendo apenas do bom senso do pesquisador, sendo que alguns autores recomendam usar n , onde "n" o nmero total de elementos que est sendo estudado; 3) no nosso exemplo, 54 = 7,35 , vamos ento adotar 7 classes;

4) calculamos o valor que vamos adotar para o intervalo de classe (h), que a amplitude dividida pelo nmero de classes que iremos adotar que poder ser arredondado (sempre para cima, nunca para baixo) de acordo com as nossas convenincias; 5) decidimos, ento, qual ser o valor inicial da primeira classe, que ser o limite inferior da primeira classe, pelo qual iremos comear a construo de todas as classes at a ltima, de forma a conter todos os dados brutos; 6) contamos entre os dados brutos, quantos elementos existem pertencentes a cada uma das classes e anotamos este valor, na coluna das freqncias de classe (fi); 7) comum nesta tabela se calcular a freqncia relativa da classe (fr), que nada mais do que o valor da probabilidade que os elementos da distribuio tm de pertencerem a ela, e obtida dividindo-se o valor da freqncia da classe pela freqncia total de distribuio. Vamos construir a tabela de freqncia de acordo com as regras mostradas:

Classes

fi

xi

fac

fr

Observe que na tabela no aparecem mais os verdadeiros valores dos elementos da

Soma

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populao. Sabemos apenas, quantos so em cada classe. Por essa razo, que usamos o valor mdio de cada classe (xi) para representar todos os valores que esto em cada uma delas.

Medidas de posioAs medidas de posio calculadas para caracterizar uma distribuio de freqncia em relao aos valores estudados, so calculadas bem diferentes das que foram mostradas para um grupo de dados.

Mdia aritmticaJ vimos que a medida mais representativa da distribuio que est sendo estudada. A mdia aritmtica numa distribuio de freqncia calculada, usando-se a expresso da mdia ponderada com elementos repetidos, portanto para cada xi o valor dever ser multiplicado pela freqncia fi das vezes com que se repete. O clculo da fi xi mdia numa distribuio de freqncias feita pela expresso: = onde a soma de todas as freqncias vale fi n = fi e

fi xi facilmente obtida na calculadora encadeando as operaes.

1) Clculo da mdia fi xi = = fi xi fi

MedianaA mediana o valor do elemento que fica numericamente no meio da distribuio, ou seja, (n/2). O elemento mediano na tabela localizado na coluna das freqncias acumuladas, na classe onde estiver o valor (n/2). Ao valor do limite inferior dessa classe vamos somar o valor obtido da diviso do intervalo da classe (h), pelo nmero de elementos que esto na classe da mediana (fi). Este valor ento multiplicado pela diferena entre o elemento mediano (n/2) e a freqncia relativa acumulada ( fac ) da classe anterior onde est o elemento mediano.

n 2 fac h Assim, a mediana, calculada pela frmula: Md = l inf + fionde:

l inf

= limite inferior da classe onde se encontra o elemento mediano.

f ac = freqncia acumulada da classe anterior ao da que contm a mediana.h = intervalo de classe. fi = freqncia da classe onde est a mediana. n = nmero total de elementos da distribuio.

Ateno: a construo da frmula deve sempre comear pelo valor de n/2 2) Calculo da medianaMd = l n 2 fac h inf + fi

Moda de CzuberModa o valor da distribuio que mais aparece. No caso de uma distribuio de freqncias o clculo da moda feito de forma diferente. Existem vrias formas de se calcular a moda, sendo a mais utilizada a proposta por

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Czuber, cuja formula est abaixo. Para us-la a primeira coisa a fazer achar a classe modal, que aquela que tem a maior freqncia. A partir da classe modal montamos a formula:

Mo = l inf +

l inf = limite inferior da classe modal, que aquela que possui a maior freqncia. d1 = diferena entre a freqncia da classe modal e a classe anterior.d 2 = diferena entre a freqncia da classe modal e a classe posterior.h = intervalo de classe. 3) Calculo da moda de Czuber

d1h d1 + d2

Mo = l inf +

d1h d1 + d2

Propriedades das medidas de posio1) A moda o valor que mais aparece, portanto, num grfico que relaciona a freqncia dos elementos da distribuio com os seus respectivos valores (chamado de histograma), a moda corresponde ao valor da abscissa do ponto mais alto no grfico. 2) A mediana o valor de um nico elemento da distribuio que a divide em duas partes numericamente iguais, portanto, isto equivale a dizer que o valor da mediana divide a rea do histograma em duas partes iguais. O seu valor est sempre compreendido entre a mdia e a moda. 3) A mdia o valor que fica no meio da distribuio em termos dos seus valores. Portanto o seu valor aquele que equilibra o histograma naquele ponto, ou seja, se fizermos um histograma numa placa de espessura constante num material homogneo, a mdia o valor que equilibraria o histograma com o eixo dos "x" na horizontal. 4) Quando a mdia, moda e mediana numa distribuio de freqncia qualquer apresentam os mesmos valores (ou muito prximos), ela chamada de simtrica. Caso contrario, a distribuio assimtrica. Os grficos em Estatstica ocorrem das seguintes maneiras: a) enviesada esquerda onde temos a relao: moda > mediana > mdia b) enviesada direita onde temos a relao: mdia > mediana > moda c) simtrica onde: mdia = mediana = moda

Os grficos correspondentes so:

Enviesada esquerda

Simtrica

Enviesada direita

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Exerccio de aplicaoDada a distribuio de freqncia abaixo, calcule: a) mdia b) moda c) mediana

Classes 0,125 0,135 0,135 0,145 0,145 0,155 0,155 0,165 0,165 0,175 0,175 0,185 Soma

fi 12 31 23 18 9 4 97

Xi

fac

Mdia f x = i i fi R: 0,1493 Moda Mo = l inf + Medianan 2 fac h Md = l inf + fi

d1h d1 + d2 R: 0,1420

R: 0,1474

Tarefa mnima1) Na distribuio abaixo, a moda de Czuber vale: a) 50,6; b) 55; c) 50; d) 56. 2) E a mediana : a) 55,7 b) 55 c) 56,7 d) 54,5 Freqncia 10 20 35 25 10

Classes 3040 4050 5060 6070 7080

3) Dada a distribuio abaixo Classes fi 150200 5 A mdia ser: 200250 16 a) 350 250300 21 b) 313 300350 28 c) 324,76 350400 19 400450 8 450500 3

d) 323,80.

4) Coloque nos parnteses o nmero do conceito estatstico correspondente ao seu significado: 1. Freqncia relativa: o valor que se obtm para uma classe, somando na sua freqncia, as freqncias das classes que a antecedem. 2. Mdia: a diviso da freqncia da classe onde est este elemento pelo numero total dos elementos da distribuio. 3. Moda: o valor do elemento da distribuio que a divide, numericamente, ao meio. 4. Mediana: o valor do elemento de maior freqncia em um conjunto de dados.

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5. Freqncia acumulada: a medida de tendncia central mais conhecida. a) 1,4,5,3,2 b) 5,4,3,2,1 c) 3,2,1,4,5 d) 5,1,4,3,2 e) 5,4,1,2,3 Respostas: 1-d 2-a 3-b 4-d

Medidas de dispersoComo vimos s medidas de disperso mostram o grau de homogeneidade de uma distribuio, ou seja, se ela muita ou pouco dispersa, em relao mdia. Na distribuio de freqncias onde os dados so agrupados as medidas de disperso so calculadas na forma:

VarinciaA varincia da populao definida como:

2 =

fi (xi )2 N

Porm para o seu clculo nas distribuies de freqncia mais conveniente e mais fcil de ser calculada que ela fique expressa na forma: 2 2 = fi xi 2

N

Desvio padroO desvio padro a raiz quadrada da varincia. = 2

Coeficiente de variaoO coeficiente de variao a razo entre o desvio padro e a mdia da distribuio. CV =

100 %

Propriedades das medidas de disperso1) Provaremos mais tarde que qualquer que seja a distribuio estatstica estudada, os intervalos mostrados abaixo compreendem aquelas porcentagens da distribuio: x este intervalo compreende aproximadamente 68% da distribuio; x 2 este compreende aproximadamente 95%, e x 3 este compreende praticamente tudo ou seja 99,76%. Uma distribuio estatstica nunca tem valores que ultrapassam o valor da mdia acrescida ou subtrada de trs vezes o desvio padro, ou seja, o intervalo definido entre o menor valor e o maior, nunca ultrapassa 6 vezes o valor do desvio padro. Propriedade prtica: Existe uma forma de se chegar rapidamente ao valor aproximado do desvio padro de uma distribuio, basta tirar do maior valor da distribuio o menor e, dividir o resultado por 5. O valor obtido ser prximo do desvio padro que for calculado. 2) As distribuies estatsticas se apresentam de trs maneiras, em funo do grau de disperso que possuem em relao a mdia e so classificadas em: platicrticas, mesocrticas e leptocrticas. As figuras correspondentes so:

Platicrtica

Mesocrtica

Leptocrtica

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Exerccio de aplicaoNo exerccio dado abaixo, de uma distribuio de freqncia de uma populao qualquer, calcule todas as medidas de disperso. (tente estimar mentalmente a mdia e o desvio padro)

Classes 0,15 fi xi = 1) clculo da varincia 2 fi x2 2 = fi xii = 2

N

2) clculo do desvio padro

0,31 soma

fi 7 11 29 18 13 10 8 5

Xi

= 2

3) clculo do coeficiente de variao (expresso em porcentagem) CV =

Trabalho 2 a ser entregueOs dados da estatura dos alunos de uma determinada turma (em metro) so: 1,74 1,66 1,68 1,73 1,73 1,52 1,60 1,70 1,56 1,67 1,63 1,63 1,51 1,50 1,56 1,69 1,70 1,70 1,72 1,72 1,63 1,68 1,68 1,53 1,75 1,67 1,73 1,74 1,76 1,62 1,71 1,75 1,70 1,70 1,61 1,78 1,60 1,66 1,76 1,79 1,74 1,67 1,62 1,63 1,68 1,76 1,79 1,74 1,67 1,81 1,68 1,56 1,81 1,70 1,67 1,79 1,72 1,62 1,60 1,58 1,50 1,58 1,58 1,68 1,72 1,72 1,61 1,75 1,74 1,50

Pede-se: a) agrupar os dados em 8 classes b) a mediana; c) o coeficiente de variao; d) a porcentagem de alunos entre 1,52 e 1,65 m; e) o terceiro quartil; f) o sexto decil; g) calcule o 85 percentil; h) o 3 pentil; i) a moda.

Tarefa mnima1. Examinando a figura abaixo, podemos dizer que: a) o desvio padro da distribuio A maior que o da distribuio B, e as mdias so iguais; b) o desvio padro A menor que o de B e as mdias so diferentes; c) o desvio padro de A igual ao de B, independente do valor da mdia; d) as distribuies possuem o mesmo coeficiente de variao.

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B

A

x

2. O clculo da variana supe o conhecimento da: a) mdia; b) mediana; c) ponto mdio;

d) moda.

3. Numa distribuio de valores iguais, o desvio padro : a) negativo; b) positivo; c) a unidade; d) zero. 4, O desvio padro de um conjunto de dados 9. A variana ser: a) 3; b) 18; c) 36; d) 81. 5. A soma dos desvios entre cada valor e a mdia : a) positiva; b) negativa; c) diferente de zero d) zero. 6. O coeficiente de variao uma medida que expressa a razo entre: a) o desvio padro e a mdia; b) mdia e desvio padro; c) amplitude semi-interquartilica e a mediana; d) desvio padro e moda. 7. Realizou-se uma prova de matemtica para duas turmas. Os resultados foram os seguintes: Turma A : x = 5 e = 2,5 Turma B : x=4 e =2 Com esses resultados, podemos afirmar: a) a turma B apresentou maior disperso absoluta; b) a disperso relativa igual disperso absoluta; c) tanto a disperso absoluta quanto a relativa so maiores para a turma B; d) a disperso absoluta de A maior que a de B, mas em termos relativos, as duas turmas no diferem quanto ao grau de disperso das notas. Respostas: 1-a 2-a 3-d 4-d 5-d 6-a 7-d

Medidas separatrizesEntre o primeiro e o ltimo valor de uma distribuio de freqncias, temos 100% dos valores. As medidas de separao so usadas para determinarmos qual o elemento da distribuio cujo valor a divide em duas porcentagens conhecidas. As divises mais comuns e usadas com freqncia so os quartis, decis e percentis. Os quartis dividem a distribuio em quatro partes iguais (conseqentemente, cada quartil representa 25% da distribuio), os decis em dez partes iguais (cada um com 10% da distribuio) e os percentis em cem partes iguais (cada um com 1% da distribuio). Evidentemente podemos definir qualquer outra medida que desejarmos, como pentis (cinco partes), tercis (3), hexil (6), heptil (7) octil (8), nonil (9), decil (10), percentil (100), etc. A diferena na obteno destes valores est apenas no valor da diviso do fator (kn) que dever ser dividido pelo nmero correspondente quantidade de divises desejadas. Estas medidas calculam o valor do elemento da distribuio que a reparte numa porcentagem desejada. Por exemplo, o primeiro quartil determina o valor do elemento da distribuio que deixa para trs 25% dos valores da distribuio e, suplantado por 75% deles. Esta interpretao a mesma para qualquer outra medida. Portanto qualquer medida separatriz calculada aplicando-se a frmula da mediana, onde apenas mudamos o nmero de vezes que iremos dividir o valor Kn conforme a medida que desejamos calcular. Observe as equaes que mostramos a seguir.

QuartilEsta medida divide uma distribuio em 4 partes iguais, correspondendo cada uma delas a 25% do total. Para o clculo de um quartil qualquer, basta substituir na expresso o valor do k correspondente ao quartil desejado, assim, para o clculo do 3 quartil o valor do k 3. O resultado obtido significa que 75% dos valores da distribuio so menores que ele.

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A expresso para o clculo do quartil :

QK = l

inf

kn - fac h 4 + fi

onde K = 1, 2, 3

Ateno: a aplicao da frmula deve sempre comear pelo valor de kn/4

DecilEsta medida divide a distribuio em 10 partes iguais, correspondendo cada uma delas a 10% do total. Para o clculo de um decil qualquer, basta substituir na expresso o valor do k correspondente ao decil desejado, assim, para o clculo do 7 decil o valor do k 7. O valor encontrado significa que 30% dos valores da distribuio so maiores que ele.

A expresso para o clculo do decil :

DK = l

inf

kn - fac h 10 + fi

onde K = 1, 2, ......, 9

Ateno: a aplicao da frmula deve sempre comear pelo valor de kn/10

PercentilEsta medida divide uma distribuio em 100 partes iguais, correspondendo cada uma delas a 1% do total. Para o clculo de um percentil qualquer, basta substituir na expresso o valor do k correspondente ao percentil desejado, assim, para o clculo do 37 percentil o valor do k 37. A interpretao deste valor anloga s anteriores. Esta expresso tambm serve para se calcular a porcentagem correspondente a certo valor dado, bastando resolv-la ao contrrio, ou seja, calculando o valor de k, dado Pk.

A expresso para o clculo do percentil :

PK = l

kn - fac h 100 inf + fi

onde

K = 1, 2, ....., 99

Ateno: a aplicao da frmula deve sempre ser comeada pelo valor de kn/100

Exerccio de aplicao1) Dada a tabela abaixo de uma distribuio de freqncia, calcule: a) o terceiro quartil; b) o quarto decil; c) o sexagsimo stimo percentil; d) o segundo heptil. e) o primeiro tercil f) a porcentagem dos valores da distribuio que ficam acima do valor 107. Classes Freqncia 90 93 7 93 96 23 96 99 18 99 102 14 102 105 12 105 108 10 108 111 8 111114 4

fac kn fac h fi

a) Q = l + 4 3 inf

R: 104,5

b) D = l K

inf

kn - fac h 10 + fi

R: 97,4

Estatstica Descritivac) P = l K kn - fac h 100 inf + fi

Eng. Prof. M.Sc. Julio Cezar Ribeiro 19R: 102,6

d) H = l K

kn - fac h 7 inf + fi

R: 95,7

e) T = l K

inf

kn - fac h 3 + fi

R: 96,4

f) P = l K

kn - fac h 100 + inf fi

R: 16%

2) Dada a distribuio de freqncia abaixo: a) calcule a mdia b) calcule a moda; c) calcule a mediana; d) calcule o coeficiente de variao; e) calcule a porcentagem de valores que fica acima de 6,2; f) calcule o terceiro pentil; g) calcule o stimo decil; h) calcule o 85 percentil. a) fi xi = Classes fi Xi fac 4,5 5,8 7 21 13 10 8 5 32 fi xi =

R: 8,09 b)

R: 6,63 c) f)

R: 7,65 d)

R: 8,32 g)

R: 26,70% e)

R: 9,16 h)

R: 80%

R: 10,66

Representaes grficas

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So representaes visuais dos dados estatsticos que sevem para dar informaes rpidas que correspondam aos dados, mas nunca substituir as tabelas estatsticas. Os mais comuns so: Grficos de informao: so grficos destinados principalmente ao pblico em geral, objetivando proporcionar uma visualizao rpida e clara. So grficos tipicamente expositivos, dispensando comentrios explicativos adicionais. As legendas podem ser omitidas, desde que as informaes desejadas estejam presentes. Grficos de anlise: so grficos que se prestam melhor ao trabalho estatstico, fornecendo elementos teis fase de anlise dos dados, sem deixar de ser tambm informativos. Os grficos de anlise freqentemente vm acompanhados de uma tabela estatstica. Inclui-se, muitas vezes um texto explicativo, chamando a ateno do leitor para os pontos principais revelados pelo grfico. Tm grficos que podem trazer uma idia falsa dos dados que esto sendo analisados, chegando mesmo a confundir o leitor. Trata-se, na realidade, de um problema de construo de escalas. Diagramas: so grficos geomtricos dispostos em duas dimenses. So os mais usados na representao de sries estatsticas. Eles podem ser feitos grficos de barras horizontais ou verticais (colunas) as vezes chamados de grficos de hastes ou histogramas. Quando as legendas no so breves usam-se de preferncia os grficos em barras horizontais. Nesses grficos os retngulos tm a mesma base e as alturas so proporcionais aos respectivos dados. A ordem de apresentao a ser observada nos eixos a crescente cronolgica, se a srie for histrica, e a decrescente, se for geogrfica ou categrica. Grficos de setores: so aqueles construdos com base em um crculo, e empregado sempre que desejamos ressaltar a participao dos dados em funo do total. O total representado pelo crculo, que fica dividido em tantos setores quantas so as partes. Os setores so tais que suas reas so respectivamente proporcionais aos dados da srie. O grfico em setores s deve ser empregado quando h, no mximo, sete dados. As sries temporais geralmente no so representadas por este tipo de grfico. Estereogramas: so grficos geomtricos dispostos em trs dimenses, pois representam volume. So usados nas representaes grficas das tabelas de dupla entrada. Em alguns casos este tipo de grfico fica difcil de ser interpretado dada a pequena preciso que oferecem. Pictogramas: so construdos a partir de figuras representativas do tipo de varivel estudada no fenmeno. Este tipo de grfico tem a vantagem de despertar a ateno do pblico leigo, pois sua forma atraente e sugestiva. Os smbolos devem ser auto-explicativos. A desvantagem dos pictogramas que apenas mostram uma viso geral do fenmeno, e no de detalhes minuciosos. Cartogramas so ilustraes relativas a cartas geogrficas (mapas). O objetivo desse grfico o de figurar os dados estatsticos diretamente relacionados com reas geogrficas ou polticas. Uma distribuio de freqncias pode ser representada por vrios tipos de grficos, cuja finalidade mostrar o comportamento da distribuio bem como possibilitar o calculo rpido das medidas estatsticas mais importantes.

Histograma

O histograma um grfico construdo para a representao dos dados de uma distribuio de freqncias, feito atravs de retngulos, cuja base igual ao intervalo de cada classe e altura igual a respectiva freqncia. Este grfico possibilita calcular o valor aproximado das medidas de posio.

Polgono de freqnciasEste grfico possui uma propriedade mais visual, sem utilidade de clculos aproximados. Ele feito ligando-se, por meio de segmentos de retas, os pontos correspondentes aos pontos mdios das classes com suas respectivas freqncias. No inicio e no fim do grfico ligamos os pontos nas extremidades dos retngulos para o grfico no ficar voando.

Ogiva de Galton (de freqncias acumuladas)A ogiva de Galton um grfico construdo com a finalidade de obtermos os valores aproximados de qualquer medida separatriz que quisermos. Ele feito com as freqncias acumuladas ascendentes ou descendentes. O mais comum a representao ascendente. A ogiva de Galton construda, tomando-se nas abscissas os intervalos de classe e nas ordenadas as freqncias acumuladas de cada classe. O grfico feito unindo-se por segmentos de retas os pontos obtidos pela coordenada das freqncias acumuladas com o limite superior de cada classe, a partir de zero do limite inferior da primeira classe. Aps o grfico feito, se fizermos um segmento de reta vertical, desde o ltimo ponto do grfico at o eixo das abscissas, basta dividirmos esse segmento nas partes correspondentes a medida de separao que desejamos calcular. Para obtermos o valor de a medida

Estatstica Descritiva

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separatriz desejada basta traarmos uma reta horizontal a partir do ponto correspondente a parte que desejamos at encontrar a curva do grfico e, deste ponto traamos uma vertical at o ponto correspondente no eixo das abscissas. O valor encontrado no eixo ser o valor da medida separatriz que estamos querendo. Por exemplo, se dividirmos o eixo em quatro partes, cada uma das partes, de baixo para cima, indicar um dos quartis.

Exerccios de aplicao

1) Fazer o Histograma, Polgono de Freqncia e a Ogiva de Galton, com os valores do exerccio n1 .

Tarefa mnima1. Dado o histograma abaixo, no interior de cujos retngulos foram anotadas as freqncias absolutas, a mediana : a) 6,5 b) 8,0 c) 7,5 d) 7,0

3 0 2 5 1 0 2 0 1 5

2

4

6

8

1 0

1 2

2. Dada a figura abaixo, podemos afirmar que: a) a moda maior que a mediana e menor que a mdia; b) a moda menor que a mediana e maior que a mdia; c) a moda menor que a mediana e esta menor que a mdia; d) a mediana maior que a mdia e menor que a moda.

Estatstica DescritivaF

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x

3. Dado o polgono de freqncia abaixo, o primeiro quartil da distribuio ser: a) 5,0; b) 5,5 c) 4,8; d) 3,0.7 6 5 4 3 2 1 2 4 6 8 10 12 Classes

fi

Respostas: 1-d 2-d 3-a

Exerccio de aplicaoUma populao de oitenta parafusos, forneceu a seguinte distribuio de comprimentos em mm. Construa a tabela com os valores que voc vai precisar para os clculos.

Classes 0,15 0,23

fi 6 19 33 24 17 11 7 3

Xi

fac fi xi =2 fi xi =

somaCalcule os seguintes parmetros estatsticos dessa distribuio a) Mdia.

Estatstica Descritiva= fi xi fi

Eng. Prof. M.Sc. Julio Cezar Ribeiro 23R: 0,184mm

b) Mediana.n 2 fac h Md = l inf + fi

R: 0,181mm

c) Moda de Czuber. Mo = l inf + d) Variana 2 = fi xi2 n 2 R: 0,000124mm2 d1h d1 + d2 R: 0,176mm

e) Desvio padro

= vf) 3 Quartil.QK = l kn - fac h 4 + fi

R: 0,011mm

inf

R: 0,195mm

g) 4 Decil.DK = l kn - fac h 10 + fi

inf

R: 0,177mm

h) 87 Percentil.PK = l kn - fac h 100 + fi

inf

R: 0,205mm

i) 3 HeptilHK = l kn - fac h 7 + fi

inf

R: 0,178mm

j) Coeficiente de variao cv =

100%

R: 5,98%

k) Qual a porcentagem dos valores que ficam acima de 0,183?

Estatstica DescritivaPK = l kn - fac h 100 + fi

Eng. Prof. M.Sc. Julio Cezar Ribeiro 24R: 45,7%

inf

l) A especificao para esse tipo de material exige que; 1) o comprimento mdio das peas esteja compreendido entre 0.20 e 0.22 mm. 2) que o coeficiente de variao seja inferior a 5%. 3) que a distribuio dos comprimentos seja simtrica. Quais dessas exigncias no esto satisfeitas no problema? R: todas

Tarefa mnima1) Na tabela abaixo, so dados alguns valores de uma distribuio de freqncia e, com base neles, complete a tabela com os valores que esto faltando. Sabe-se que: Xi = pto mdio da classe; fi = freqncia da classe; fac = freqncia acumulada da classe; fr = freqncia relativa da classe.

Xi 5 6 7 8 9 10 11

fi 4 20

fac 24

fr 0,1 0,25

60 12

2) A distribuio de freqncias da durao de vlvulas de rdio est representada na tabela abaixo. Construir o histograma, o polgono de freqncia e o polgono de freqncias relativas acumuladas. Calcule a mdia e o desvio padro desta distribuio. Durao (h) n de cabos 30 40 14 40 50 46 50 60 58 60 70 76 70 80 68 80 90 62 90 100 48

3) Cronometrando o tempo para vrias provas de uma gincana automobilstica, encontramos: Equipe 1: Equipe 2: n de provas 40 tempo mdio das provas: 45 segundos variana delas: 400 segundos ao quadrado tempo das provas: 20 40 50 80 n de provas: 10 15 30 5

Pergunta-se: a) Qual o coeficiente de variao relativo equipe 1? b) Qual a mdia da equipe 2? c) Qual o desvio padro relativo equipe 2? d) Qual a mdia aritmtica referente s duas equipes consideradas em conjunto? e) Qual a equipe que apresentou resultados mais homogneos? Justifique. Respostas: a) 44% b) 45 c) 15 d) 45 e) A equipe 2, pois os valores da disperso so menores. 4) Dada a distribuio de freqncia abaixo se sabe que a mdia destes valores vale 11,5. Calcule o valor da freqncia "x", R: 7,0 Xi fi 5 4 8 5 13 x 18 3 25 1

Estatstica Descritiva

Eng. Prof. M.Sc. Julio Cezar Ribeiro 25Assinale a alternativa correta dos testes abaixo:

1) Os coeficientes de variao dos resultados de uma prova, cujas notas esto mostradas abaixo: Estatstica : x = 80 =16 x = 20 = 5 Histria : so: a) 16% e 40% b) 20% e 25% c) 50% e 40% c) 80% e 40%

2) Na distribuio abaixo, o valor da medida que deixa 45% do valor do consumo para trs vale: a) 46; b) 50; c) 49,6; d) 63. Renda consumo 10 20 50 20 30 100 30 40 150 40 50 250 c) 6,60; 4 6 7 c) 10,83; 06 1 50 60 150 60 70 100 70 80 80 80 90 50 90 100 70

3) O 5 decil da distribuio abaixo : a) 7,20; b) 5,50; Classes fi 2 4 5

d) 7,20. 6 8 10 8 10 3 d) 11,4. 6 12 2 d) 18. 110 130 1 130 150 2 12 18 5 10 12 5

4) A mdia da distribuio abaixo : a) 12,0; b) 8,5; Classes fac

5) O desvio mdio absoluto da distribuio abaixo : a) 12; b) 8; c) 16; Classes fi 6) A varincia da distribuio abaixo : a) 2,24; b) 2,8; Classes fi 90 110 2

c) 2,5; 1 3 1/5

d) 1,44. 35 2/2 5 7 2/5

Respostas: 1-b 2-a 3-c 4-d 5-c 6-d

8) Em cinco testes realizados, um consumidor interessado em trs modelos de motocicleta obteve a seguinte relao de consumo em quilmetros por litro de combustvel: Moto A Moto B Moto C Teste 1 28 31 29 Teste 2 32 29 32 Teste 3 28 31 28 Teste 4 30 29 32 Teste 5 34 31 30

a) Se o fabricante da motocicleta A quiser anunciar a melhor performance de sua moto nesse teste, qual ser a medida de tendncia central usada para justificar a propaganda a mdia, mediana ou moda? b) Se o fabricante da motocicleta B quiser anunciar a melhor performance de sua moto nesse teste, qual ser a medida de tendncia central usada para justificar a propaganda a mdia, mediana ou moda? c) Se o fabricante da motocicleta C quiser anunciar a melhor performance de sua moto nesse teste, qual ser a medida de tendncia central usada para justificar a propaganda a mdia, mediana ou moda? Justifique as respostas. 9) Duas empresas (A e B) contrataram dez pessoas com curso superior. O salrio inicial nessas companhias mostrado a seguir. Salrio A 41 38 39 45 47 41 44 41 37 42

Estatstica DescritivaSalrio B 40 23 41 50 49 32

Eng. Prof. M.Sc. Julio Cezar Ribeiro 2641 29 52 58

a) Determine a varincia e o desvio padro amostral do salrio inicial para cada uma das duas empresas; b) Determine a moda e mediana para cada uma das duas empresas. 10) Foi coletada uma amostra aleatria do nmero de crianas por famlia em uma regio. Os resultados esto dispostos na tabela abaixo. a) Determine a mdia e o desvio padro amostral do conjunto desses dados, classificando-os em uma distribuio de freqncias do nmero de filhos por famlia, com classes de 0 at 6. b) Determine a moda e a mediana.

11) Dada a distribuio de freqncias abaixo, responda os testes a seguir:

CLASSES 0,136 0,148

fi 7 19 29 22 20 14 11 8

Xi

fac

SOMAI) A mdia dessa distribuio : a) 0,1803 b) 0,1664 c) 0,1774 II) A moda vale: a) 0,1803 b) 0,1664 III) A mediana vale: a) 0,1803 b) 0,1664 IV) O desvio padro vale: a) 0,0232 b) 0,0225 V) O terceiro pentil vale: a) 0,1835 b) 0,1854 c) 0,1774 d) 0,1671 d) 0,1671 e) 0,1713 e) 0,1713

c) 0,1774 c) 0,0217 c) 0,1863

d) 0,1671 d) 0,0228 d) 0,1817 d) 12,75%

e) 0,1713 e) 0,0225 e) 0,1846 e) 12,65%

VI) O coeficiente de variao vale: a) 13,25% b) 12,85% c) 12,97%

VII) A porcentagem de valores que fica abaixo de 0,192 vale: a) 69,49% b) 69,57% c) 69,23% d) 69,68% e) 69,87% VIII) O sexto octil vale: a) 0,1987 b) 0,1956 c) 0,1964 d) 0,1954 e) 0,1971

12) Considere o grupo de valores dados abaixo:

Estatstica Descritiva3,1 3,8 3,2 3,8 3,4 3,1 3,5

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Responda abaixo: I) a mdia geomtrica desses valores : a) 3,39 b) 3,40 c) 3,38 d) 3,41 II) a mdia harmnica vale: a) 3,39 b) 3,40 c) 3,38 d) 3,41

e) 3,37 e) 3,37

13) Dado a distribuio de freqncia abaixo:

CLASSES 1,38 1,49

fi 7 29 18 20 17 9

Xi

fac

somaa) calcule a mdia b) a moda c) a mediana; d) a variana e) o desvio padro f) o coeficiente de variao g) o terceiro quartil h) a porcentagem de valores abaixo de 1,71 14) Dado um grupo de dados mostrados abaixo 3,3 2,2 3,1 1,8 2,1 3,3 1,4 2,9

Calcular: a) a mdia aritmtica b) geomtrica c) harmnica d) a moda e) a mediana f) desvio padro

Se no puder se destacar pelo talento, vena pelo esforo

Mdulo 2Introduo a probabilidadesPara aprendermos cincias exatas, certamente temos que criar algumas habilidades necessrias para isso. Conforme disse um dos maiores gnios da humanidade, Galileo Galilei, o professor no ensina, o que ele deve fazer auxiliar o aluno a aprender. Cabe, portanto a voc adquirir as habilidades necessrias que devero auxili-lo na aprendizagem como, por exemplo, desenvolver a compreenso e preciso no uso da linguagem tcnica, habilidade esta imprescindvel no entendimento e organizao das idias, propiciando um aumento na sua capacidade de raciocnio lgico. Portanto, quando receber informaes tcnicas, estas devero ser devidamente interpretadas, pois importante voc aprender a desenvolver esse senso crtico, analisando o contedo e essncia da informao, no aceitando de imediato, idias ou conceitos ali existentes sem a devida compreenso dos mesmos. A probabilidade a parte da matemtica aplicada que estuda fenmenos de carter essencialmente aleatrios e no determinstico, Alea, significa sorte em latim e, aleatrio quer dizer por acaso. Fenmeno qualquer fato ou acontecimento que se pode observar. Fenmenos aleatrios significam acontecimentos de qualquer natureza que geram resultados completamente imprevisveis e fora de controle de qualquer espcie. O clculo de probabilidades estabelece as

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regras que nos permitem mensurar, a priori, o valor da chance de ocorrer um dado acontecimento num fenmeno aleatrio. A estatstica possibilita o desenvolvimento de formas particulares de pensamento e raciocnio, em experimentos que envolvem fenmenos aleatrios, interpretando amostras, fazendo inferncias e, possibilitando a comunicao de resultados obtidos nas pesquisas por meio de linguagem matemtica apropriada. Muitos so os conhecimentos exigidos para esse aprendizado, considerando que tais assuntos possibilitam o desenvolvimento de formas particulares de pensamento e raciocnio, envolvendo fenmenos aleatrios, ajudando a interpretar resultados amostrais, possibilitando que o estudante aprenda a construir procedimentos adequados para coletar, organizar e comunicar dados, utilizando tabelas, grficos e representaes, capacitando-o a descrever e interpretar fenmenos aleatrios, usando conhecimentos matemticos. essencial o aprendizado da probabilidade antes de estudar estatstica, pois obteremos melhor compreenso dos acontecimentos no cotidiano de fenmenos de natureza aleatria, possibilitando a identificao dos possveis resultados desses acontecimentos observando o acaso e a incerteza com que ocorrem no contexto aonde se manifestam. O aluno deve se empenhar na investigao de soluo de problemas, criando estratgias apoiadas em argumentos e justificativas convincentes, lembrando-se que nos clculos estatsticos o mais importante interpretar o que cada grandeza significa e no simplesmente saber efetuar seus clculos. Por outro lado, bom lembrar que voc, como futuro profissional, deve adquirir conhecimentos bsicos no uso de computadores bem como uma viso sistmica dos problemas que lhe so apresentados, alem de ter uma boa formao cientifica para saber procurar em livros e jornais aonde existam textos que possam atender s suas necessidades de informao. Tambm importante aprender a fazer relatrios e resumos com informaes cientificas pertinentes sobre qualquer assunto que lhe for exigido.

Operaes com conjuntosIntercessoO resultado dessa operao o conjunto que pertence simultaneamente a todos os conjuntos que esto na operao. No caso de dois conjuntos, a parte comum a mostrada pela regio hachurada na figura. Este conceito pode ser estendido para tantos conjuntos quanto quisermos. Esta operao representada por: A B = a inter b

A

B

UnioO resultado dessa operao o conjunto que rene todos os conjuntos participantes da operao. A figura abaixo mostra o resultado da unio de dois conjuntos. Para mais do que dois conjuntos o resultado a soma de todos. Esta operao representada por: A B = a unio b

A

B

ComplementarO resultado dessa operao o conjunto de elementos que faltam no conjunto dado para completar o universo. Esta operao representada por: A = a complement ar

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A A

ProbabilidadesVamos definir Espao Amostral como sendo o conjunto de todos os possveis resultados de um fenmeno aleatrio qualquer. Evento qualquer elemento pertinente quele espao amostral. O evento pode ser simples, quando for constitudo por apenas um conjunto, ou composto, quando for constitudo por mais de um. Pode-se dizer que probabilidade um nmero que mensura a possibilidade. Por definio, o clculo da probabilidade para um dado evento (A) em um espao amostral (E) definido na forma: numero dos casos favoraveis que se quer P( A ) = numero dos casos possiveis de existir

Eventos simplesOs eventos sero representados por conjuntos num diagrama de Venn, que o modelo matemtico ideal para isto. No clculo de probabilidades as formas como os conjuntos se relacionam no diagrama de Venn muito importante, pois, para cada tipo de disposio existe uma interpretao e soluo diferente. Vamos representar por P(A) a probabilidade de um evento A, por P(B) a de um evento B e assim por diante. Por definio, eventos simples so aqueles que possuem apenas um conjunto no espao amostral, portanto, em termos numricos o clculo da probabilidade de um evento simples A qualquer fica definido na forma: P( A ) = n( A ) n(E)

Por essa definio, para um evento A qualquer definido num espao amostral temos os seguintes axiomas: 1) Num espao amostral, sempre vlida a relao numrica n( ) n( A ) n(E) . Se a dividirmos por n(E), teremos: 0 P( A ) 1 Esta expresso define que para um evento qualquer A, a probabilidade no pode ter valor maior que um, nem menor que zero, O resultado "1" a certeza, e o "0", a impossibilidade do acontecimento do evento. 2) Num espao amostral, vlida a relao numrica n( A ) + n( A ) = n(E) . Se a dividirmos por n(E), teremos: P( A ) + P( A ) = 1 Essa propriedade fundamental, pois mostra que a probabilidade de um evento em qualquer espao amostral, somada com a probabilidade do seu no acontecimento, sempre igual a um. Vale dizer, num mesmo espao amostral sempre podemos calcular a probabilidade de um evento pelo seu contrrio cuja relao indispensvel na soluo de muitos problemas: P( do que se quer ) = 1 P( do que no se quer)

Eventos compostosEventos compostos so aqueles que ocorrem simultaneamente com mais de um evento no mesmo espao amostral. Para o clculo das probabilidades desses eventos, aplicaremos as propriedades definidas na teoria dos conjuntos, em funo das situaes que podem ocorrer. Mostraremos as mais comuns, com as respectivas expresses matemticas que definem o resultado das probabilidades com aqueles conjuntos. Alguns modelos de eventos compostos so mostrados nos diagramas de Venn abaixo:

Estatstica Descritiva

Eng. Prof. M.Sc. Julio Cezar Ribeiro 30P( A B) = P( A ) + P(B) Eventos mutuamente exclusivos

A

B

A

B

P( A B) = P( A ) + P(B) P( A B) Eventos independentes

A B C

P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A I B) P(A I C) P(B I C) +P(A I B I C)

Estas situaes podem ser estendidas para 4 ou mais eventos. As expresses matemticas respectivas podem ser obtidas bastando que continuemos aplicando os mesmos raciocnios da teoria dos conjuntos.

Probabilidade condicionalEsta probabilidade, como o prprio nome diz, est condicionada a um acontecimento que ocorreu anteriormente. Simbolicamente esta probabilidade escrita na forma P(A/B) que representa; probabilidade de ocorrer o evento A depois que eu j sei que ocorreu o evento B. Vamos lanar mo de um diagrama de Venn para melhor entender como pode ser calculada a probabilidade de um evento nestas condies.

A

B

No clculo dessa probabilidade observamos que o nmero de casos favorveis est na interseco dos dois conjuntos e, o nmero de casos possveis, so aqueles que eu j sei que aconteceu, portanto eles tm que estar no conjunto B. De acordo com a definio de probabilidades a expresso para o clculo dessa probabilidade : n( A B) P( A / B) = n(B) Dividindo o numerador e o denominador pelo nmero de elementos do universo n() , teremos: P( A / B) = P( A B) P(B)

Probabilidade de eventos simultneosA expresso da probabilidade condicional nos sugere que tambm podemos escrever a dependncia daqueles dois eventos A e B ao contrario, ou seja, na forma: P(B / A) = P(A I B) P(A)

Portanto analisando as expresses dadas elas nos levam concluso de que podemos escrever a ocorrncia simultnea de dois eventos A e B na forma: P(A I B) = P(B) P(A / B) = P(A) P(B / A)

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Observe que no importa a ordem como os eventos ocorrem que o resultado obtido sempre o mesmo, por esta razo podemos calcular a probabilidade de qualquer grupo, em qualquer ordem que o resultado obtido sempre o mesmo. Estas expresses podem ser generalizadas para 3 ou mais eventos, ou seja, P(A I B I C) = P(A) P(B / A) P(C / A I B)

Probabilidades de eventos independentesSuponhamos que num espao amostral tenhamos dois eventos independentes. Ento partindo desse pressuposto, matematicamente teremos a expresses:

P(A/B) = P(A)

ou P(B/A) = P(B)

pois o evento B no tem influncia nenhuma sobre o A e vice-versa. Portanto o clculo da probabilidade condicional de dois eventos independentes nessas condies fica:P(A I B) = P(A) P(B) importante observar que quando dois eventos so independentes, eles no podem ser mutuamente exclusivos. Portanto, se sabemos que dois ou mais eventos so independentes, necessariamente os conjuntos que os representam tem interseo, caso contrrio os eventos no poderiam ser considerados independentes.

O que fazer para resolver exerccios de probabilidadesPara resolver um problema de probabilidade devemos sempre pensar em montar um modelo que represente TODAS as possibilidades que podem ocorrer para satisfazer a pergunta do problema e nele montarmos o nosso raciocnio.

1) Comece lendo atentamente o enunciado, prestando muita ateno na pergunta do problema, pois ela que nos ir impor a condio na forma de raciocinar na construo de um modelo que melhor se ajuste para descrever qualquer uma das possibilidades que o problema est pedindo. Verifique se podem existir outras possibilidades que sejam diferentes daquela e monte todas elas. 2) Os modelos que normalmente vamos usar so: a) montagem de grupos que descrevem a pergunta do problema. b) rvore das probabilidades, que um modelo que nos mostra todas as possibilidades condicionadas que podem existir no problema e nos mostra o caminho para a sua soluo. o modelo ideal para problemas que possuem perguntas condicionais. 3) Verificar se os elementos que pertencem ao grupo montado em funo da pergunta do problema para que ocorram de acordo com a pergunta devem ser ligados pelo conectivo "e" ou "ou". Se na formao do grupo usamos o conectivo E para ligar seus elementos, as probabilidades de cada um deles multiplicada e, se eles forem ligados pelo conectivo OU, as probabilidades so somadas. 4) Calcular a probabilidade de cada possibilidade que foi montada. Para cada uma delas calcule o nmero total de todas as outras possibilidades que possam existir, multiplicando este nmero pelo resultado da probabilidade obtida em cada uma delas. 5) Nunca desista de tentar resolver o problema na primeira dificuldade, pois com treino que se adquire o raciocnio lgico exigido para resolver problemas de probabilidades. Eis alguns exemplos para que voc no desista fcil das coisas! O famoso General Douglas MacArthur foi recusado duas vezes na academia militar de West Point. Somente quando tentou pela terceira vez que ele entrou e, passou para a histria. O incrvel jogador de basquete Michael Jordan, quando jovem foi recusado pelo treinador do time de basquete da sua escola. Albert Einstein s falou aos 4 anos de idade e comeou a aprender a ler aos 7 anos. Sua professora o qualificou de lerdo, no socivel e sempre perdido em devaneios tolos. Foi expulso da escola e no foi admitido na escola politcnica de Zurique. Em 1944 um diretor de uma agncia de modelos de Nova York disse a Marilyn Monroe, quando a recusou como artista, melhor voc fazer um curso de secretariado ou arrume um marido. Um alto executivo da Decca Records, maior gravadora de discos da Inglaterra recusou um grupo de rock chamado Beatles dizendo: No gostamos desse som, esses grupos de guitarra j eram.

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Quando Alexandre Graham Bell inventou o telefone em 1876 ningum queria financiar a sua inveno. O presidente dos USA da poca Rutherford Hayes disse: uma inveno extraordinria, mas quem vai querer isso? Thomas Alva Edison fez 2.000 experimentos antes de inventar a lmpada eltrica. Um jovem reprter lhe perguntou o que ele achava de tanto fracasso. Ele respondeu. No foram fracassos, foi um processo que demorou 2.000 passos.

Exerccios de aplicao1) Um casal tem dois filhos, um dos quais menino. a) Qual a probabilidade do outro ser menino? b) Sem se conhecer o sexo das duas crianas, qual a probabilidade de uma delas ser menino? 2) Numa prateleira existem 6 pares diferentes de sapatos, retirando-se dois sapatos ao acaso, qual a probabilidade de se formar um par? 3) Uma letra escolhida da palavra SOCO e a outra escolhida da palavra TOCO. Qual a probabilidade de que elas sejam iguais?

4) Certo tratamento, quando aplicado a doentes com certa enfermidade, cura 60% dos casos. Tendo dois doentes sob esse tratamento, qual a probabilidade: a) de que os dois morram; b) de que os dois sejam curados; c) de que um seja curado e o outro no?

5) Uma urna contm 3 bolas azuis e 5 amarelas, retirando-se todas, qual a probabilidade de que apaream no final, as amarelas?

6) Um comprador aceita um lote de rdios, se numa amostra de dois tirados ao acaso desse lote, nenhum apresentar defeito. Qual a probabilidade de que ele aceite um lote de 10 rdios que contm 4 defeituosos?

7) Duas lmpadas queimadas so misturadas com dez lmpadas boas. Se vamos testando uma por uma at encontrar as duas defeituosas, qual a probabilidade de que a ltima defeituosa seja encontrada no stimo teste?

8) Temos 4 nmeros positivos e 6 negativos. Escolhemos 4 nmeros ao acaso e efetuamos o produto deles. Qual a probabilidade do produto ser positivo?

9) Lanado um dado 3 vezes, calcule a probabilidade de sair o mesmo nmero, pelo menos 2 vezes. 10) Um artilheiro naval dispara 5 torpedos para tentar acertar um navio. Sendo 1/3 a probabilidade de cada torpedo acertar o navio: a) qual a probabilidade de ele ser atingido? b) Se os 2 primeiros torpedos foram perdidos, qual a probabilidade de que o navio ainda seja atingido?

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11) Se a voltagem baixa, a probabilidade de uma mquina produzir pea defeituosa 0,6 e se a voltagem boa, a probabilidade 0,1. Em 20% da produo a voltagem baixa. Qual a probabilidade de uma pea boa ter sido produzida com baixa voltagem?

12) A probabilidade de um homem casado assistir certo programa na televiso 0,40 e da sua mulher 0,50. Se a mulher est assistindo o programa na televiso, a probabilidade de que o homem tambm veja o programa 0,70. Pede-se: a) Qual a probabilidade de que ambos estejam assistindo o programa? b) Se o marido est assistindo o programa, qual a probabilidade de que a mulher tambm assista ao programa? c) Qual a probabilidade de que pelo menos uma pessoa do casal esteja assistindo o programa?

13) So dadas duas urnas, X e Y. A urna X contm duas bolas pretas e uma vermelha. A urna Y contm duas bolas pretas e trs vermelhas. Uma bola escolhida ao acaso na urna X e colocada na Y. Uma bola extrada da urna Y: a) qual a probabilidade de que ambas as bolas retiradas sejam da mesma cor? b) qual a probabilidade de que a primeira seja vermelha, sabendo-se que a segunda era preta?

14) Um colgio tem 850 estudantes e sabe-se que 260 estudam francs, 220 estudam alemo e 170 estudam ingls. Sabe-se ainda que 77 estudam francs e ingls; 88 alemo e ingls; 95 alemo e francs e 50, as trs lnguas. Se um estudante escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que seja: a) estudante de duas e somente duas lnguas? b) estudante de, no mnimo, uma lngua? c) estudante de alemo, sabendo-se que ele estuda francs? R: 11/65 65/85 19/52

Tarefa mnima1) Uma empresa recebeu duas propostas para a compre de um artigo de sua produo. Proposta A: a empresa compradora seleciona ao acaso 18 peas, examina-as e paga R$120,00 por pea do lote, se existir no mximo uma pea defeituosa na amostra e R$100,00 por pea caso contrrio. Proposta B: ou ento seleciona ao acaso 12 peas, examina-as e paga R$180,00 por pea se no existir nenhuma defeituosa e R$60,00 caso tenha uma ou mais defeituosas. Sabendo que a proporo de peas defeituosas de 7% determine o preo mdio por pea de cada proposta. 2) Uma fabrica recebe, sem identificao, peas provenientes de trs fornecedores. A, B e C. Sabe-se que 50% das peas vieram do fornecedor A, 30% do B e 20% do C. Das peas do fornecedor A, 40% so grandes e 60%pequenas. Do fornecedor B, 30% so grandes e 70% so mdias. Do fornecedor C, 60% so pequenas, 30%

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so grandes e 10% mdias. a) Escolhendo-se aleatoriamente uma pea, qual a probabilidade dela ser grande? b) Aps pegar uma pea e verificar que grande qual a probabilidade dela ter vindo do fornecedor B? 3) Numa exposio de orqudeas esto expostas, sem identificao, orqudeas provenientes de trs orquidrios: A, B e C. Sabe-se que 50% das plantas vieram do orquidrio A, 30% do orquidrio B e 20% do orquidrio C. Das orqudeas do orquidrio A, 40% produzem flores vermelhas e 60% produzem flores brancas. Das orqudeas do orquidrio B, 30% produzem flores brancas e 70% produzem flores amarelas. Do orquidrio C, 60% produzem flores vermelhas, 30% produzem flores brancas e 10% produzem flores amarelas. Escolhida aleatoriamente uma orqudea e verificado que produz flores brancas: a) qual a probabilidade de que seja proveniente do orquidrio A? b) Escolhida aleatoriamente uma orqudea e verificado que produz flores vermelhas, qual a probabilidade de que seja do orquidrio B? c) Escolhida aleatoriamente uma orqudea e verificado que produz flores vermelhas, qual a probabilidade de que seja proveniente do orquidrio A? 4) Uma empresa recebeu duas propostas para a compre de um artigo de sua produo. Proposta A: a empresa compradora seleciona ao acaso 18 peas, examina-as e paga R$120,00 por pea do lote, se existir no mximo uma pea defeituosa na amostra e R$100,00 por pea caso contrrio. Proposta B: ou ento seleciona ao acaso 12 peas, examina-as e paga R$180,00 por pea se no existir nenhuma defeituosa e R$60,00 caso tenha uma ou mais defeituosas. Sabendo que a proporo de peas defeituosas de 7% determine o preo mdio por pea de cada proposta. 5) Um empreiteiro apresentou oramentos separados para a execuo da parte eltrica e da parte de hidrulica de um edifcio. Ele acha que a probabilidade de ganhar a concorrncia da parte eltrica 1/2. Caso ele ganhe a parte eltrica, a chance de ganhar a parte hidrulica 3/4, caso contrrio, essa probabilidade de 1/3. Determine a probabilidade dele: a) ganhar os dois contratos. b) ganhar apenas um. c) no ganhar nenhum. R: 3/8 7/24 1/3 6) Duas mquinas A e B produzem diariamente 600 e 900 peas respectivamente. As mquinas A e B apresentam respectivamente 4% e 6% de peas defeituosas por dia. Da produo de um dia selecionou-se uma pea ao acaso e constatou-se que era defeituosa. Qual a probabilidade de que tenha sido fabricada pela mquina A? R: 0,4051 7) Um arrombador de casas tem em seu poder um grande nmero de chaves falsas. A probabilidade de uma chave falsa abrir uma porta 0,05. Para cada tentativa leva exatamente 3 minutos para se certificar que a chave no serve. Uma ronda noturna passar 9 minutos aps o ladro comear sua primeira tentativa e o prender com certeza, se estiver fora da casa, e com probabilidade 0,40 se estiver dentro da casa. Qual a probabilidade do ladro ser preso? R: 0,916 8) Numa avenida existem 3 sinaleiros de trnsito, suficientemente espaados para poderem ser considerados independentes. O primeiro d luz verde durante 30 segundos em cada minuto; o segundo 40 segundos por minuto e o terceiro 50 segundos por minuto. Um motorista percorre toda a avenida em sua total extenso. Qual a probabilidade de que encontre: a) todos os sinais abertos? b) apenas um deles fechado? c) os trs sinais fechados? R: 0,28; 0,47; 0,028 9) Lanando uma moeda 4 vezes, qual a probabilidade de que ocorra cara exatamente 2 vezes? R: 3/8

10) Estima-se que a probabilidade de Mrio ser culpado 0,2. So chamadas duas testemunhas. Se Mrio for realmente culpado, Alberto dir que culpado, e Carlos com 0,6 de probabilidade dir que culpado. Se Mrio for inocente, Alberto dir com probabilidade de 0,3 que inocente, e Carlos dir certamente que inocente: a) qual a probabilidade de Alberto dizer que Mrio inocente; b) qual a probabilidade de Mrio ser inocente se Carlos disse que inocente; c) qual a probabilidade das duas testemunhas afirmarem a mesma coisa; d) qual a probabilidade de Alberto mentir? R: 0,24 ; 0,9091 ; 0,36 e 0,56 11) Qual a probabilidade de que um ms, escolhido ao acaso, de um ano no bissexto, tenha 5 domingos? R: 29/84 12) Duas mquinas produzem peas idnticas que so misturadas. A produo da mquina A o dobro da de B. A mquina A produz 60% das peas sem defeito, enquanto a segunda produz 84%. Uma pea retirada ao acaso e resulta ter defeito. Qual a probabilidade de ela ter sido fabricada na mquina A? 13) De um total de 90 alunos que se destinam os cursos de matemtica, fsica e qumica, sabe-se que: a) 30 destinam-se a matemtica e destes, vinte so do sexo masculino; b) o total de alunos do sexo masculino 40 dos quais 10, destinam-se a qumica; c) existem dez moas que se destinam ao curso de qumica. Nessas condies: a) sorteando-se um aluno ao acaso, do grupo total e sabendo-se que do sexo feminino, qual a probabilidade de que ele se destine ao curso de matemtica? b) sabendo-se que do sexo masculino, qual a probabilidade de que ele se destine ao curso de qumica? c) qual a probabilidade de estudar fsica?

Estatstica Descritiva

Eng. Prof. M.Sc. Julio Cezar Ribeiro 35R: 1/5 1/4 4/9

14) Duas mquinas produzem peas idnticas que so misturadas. A produo da mquina A o dobro da de B. A mquina A produz 60% das peas sem defeito, enquanto a segunda produz 84%. Uma pea retirada ao acaso e resulta ter defeito. Qual a probabilidade de ela ter sido fabricada na mquina A? R: 5/6 15) Uma mensagem codificada num cdigo binrio. A probabilidade das transmisses dos dois smbolos so 0,45 para o 0 e 0,55 para o 1. No canal, os smbolos 0 so distorcidos para 1 com probabilidade 0,2 e os smbolos 11, so distorcidos para 0 com probabilidade 0,1. Ache a probabilidade de que tendo recebido: a) um 0 ele no seja distorcido; b) um 1 ele seja distorcido. R: 0,8674 0,1538 16) Uma urna contm 3 bolas brancas e 7 vermelhas. Uma bola retirada da urna e uma da outra cor colocada nela. a) Depois disso uma segunda bola retirada da urna, qual a probabilidade de que ela seja vermelha? b) se as duas bolas retiradas da urna so da mesma cor, qual a probabilidade que elas sejam brancas? R: 66/100 e 1/8 17) A probabilidade de um atirador A acertar um alvo 0,6. A probabilidade de um atirador B acertar o mesmo alvo 0,5. Se cada atirador dispara 3 tiros, qual a probabilidade de que o alvo seja atingido? R: 0,992 18) Um meteorologista acerta 80% dos dias em que vai chover e, 90% dos dias em que faz bom tempo. Chove em 10% dos dias. Tendo havido previso de chuva, qual a probabilidade de chover? R: 0,4705 19) Uma urna contm 4 bolas brancas, 2 pretas e 5 amarelas. Outra urna contm 3 brancas, 5 pretas e 2 amarelas. a) extrai-se uma bola de cada urna. Qual a probabilidade das 2 bolas serem da mesma cor; b) se da primeira urna retirarmos uma bola e passarmos para a segunda, sem ver-se a cor, e retirarmos uma bola amarela da segunda, qual a probabilidade de ter ido uma branca para a segunda? R: 16/55 25/121 20) Um estudante est participando de um exame de mltipla escolha onde cada questo tem cinco alternativas, sendo apenas uma correta. Se o estudante conhece a questo ele sabe escolher a alternativa correta. Caso contrrio ele escolhe aleatoriamente uma alternativa entre as cinco possveis. Supondo que o estudante sabe a resposta de 70% das questes, determine: a) A probabilidade de que para uma dada questo o estudante assinale a alternativa certa. b) Se para uma dada questo ele assinala a resposta certa, qual a probabilidade de que ele conhecesse a pergunta? 21) Uma senhora compra determinado produto s vezes da marca A e s vezes da marca B. Se ficou satisfeita com sua aquisio ela compra novamente a mesma marca, caso contrrio ela muda. Se a marca A tem probabilidade 0,70 de ser satisfatria enquanto que a marca B tem probabilidade 0,80, qual a probabilidade de que na terceira aquisio o produto seja da marca A, sabendo que para decidir que marca deve comprar na primeira vez ela joga uma moeda honesta. 22) Numa escola 5% dos homens e 2% das mulheres tm mais de 1,80m de altura. Por outro lado, 60% dos estudantes dessa escola so homens. Se um estudante selecionado aleatoriamente, tem mais que 1,80m de altura, qual a probabilidade dele ser mulher? R: 8/38 23) Para um determinado telefone a probabilidade de se conseguir linha de 3/4 em dias normais e 1/4 em dias de chuva. A probabilidade de chover em um dia de 1/10, alm disso, tendo conseguido linha, a probabilidade de que o nmero chamado esteja ocupado de 11/21: a) qual a probabilidade de que um telefonema tenha sua ligao completada; b) qual a probabilidade de que em dois telefonemas apenas um seja completado? R: 1/3 e 4/9 24) Num grupo de 500 estudantes, 80 estudam engenharia, 150 estudam informtica e 10 estudam engenharia e informtica. Se um aluno escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que: a) ele estude informtica e engenharia; b) ele estude somente engenharia; c) ele estude somente informtica; d) ele no estude nem engenharia nem informtica; R: 0,02 ; 0,14 ; 0,28 ; 0,56 25) Um colgio tem 400 estudantes e sabe-se que 140 estudam francs, 170 estudam alemo e 200 estudam ingls. Sabe-se ainda que 70 estudam francs e ingls; 90 alemo e ingls; 60 alemo e francs e, 40 as trs lnguas. Se um estudante escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que seja: a) estudante de 2 e somente duas lnguas? b) estudante de, no mnimo, duas lnguas? c) estudante de alemo, sabendo-se que ele estuda francs? d) estudante de nenhum delas? e) estudante s de ingls? f) estude s ingls ou francs? g) estudante de s uma lngua? h) S francs e ingls?

Estatstica Descritiva

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26) Uma cidade tem 30.000 habitantes e trs jornais A, B e C. Uma pesquisa de opinio revela que 12.000 lem A, 8.000 B; 6.000 C, 7.000 A e B, 4.500 A e C, 1.000 B e C, e 500 A, B e C. Qual a probabilidade de que um habitante leia: a) pelo men