apostila de 54 exercicios resolvidos de analise combinatória

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“Toda honra seja dada ao Eterno, Poderoso D-us”

Professor Tiago MachadoEducação Matemática

Formado pelas Faculdades Integradas Campo-grandense – FIC RJ.Especializado em Ensino da Matemática fundamental e Médio– FIC RJ.

Especializado em Ensino da Matemática – UERJ.

Blog-professortiagomachado.blogspot.comCurrículo - http://lattes.cnpq.br/0317131329053631

Exercícios de Análise combinatória – Resolvidos:

1) homem vai a um restaurante disposto a comer um só prato de carne e uma só de sobremesa. O cardápio oferece oito pratos distintos de carne e cinco pratos diferentes de sobremesa. De quantas formas pode o homem fazer sua refeição?

Resolução:

8! => Pratos diferentes que podem ser permutarmos de carne;

5! => Pratos diferentes que podem ser permutarmos de sobremesas.

Então:

Usaremos combinação para calcular:

a) Pratos de carne.

8! = 8. 7! = 8 pratos de carne combinados.1! (8-1)! 1! 7!

b) Pratos de sobremesa:

5!4!1!4.5

)!15(!1!5 =

//=

−

pratos de sobremesa combinados.

Logo:

Carne x sobremesa : 8 x 5 = 40 formas diferentes de combinações.

2) Uma moça possui 5 blusas e 6 saias. De quantas formas ela pode vestir uma blusa e uma saia:

Observação: Usamos o mesmo cálculo usado na questão de n° 1.

5! => Formas diferentes de permutarmos as blusas.

6! => Formas diferentes de permutarmos as saias.

Então:


a) Combinação das blusas:

5!4!1!4.5

)!15(!1!5 =

//=

− formas diferente de

combinarmos as blusas.

b) Formas de combinarmos as saias.

6!5!1!5.6

)!16(!1!6 =

//=

− Formas diferentes

de combinarmos as saias.Logo:

Blusas x saias = 5.6 = 30 formas diferente de combinarmos.

Observação: sempre que estivermos usando o sinal de vezes como demonstrado acima, estamos misturando todos os elementos.

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Comunidade: http://www.orkut.com.br/Main#Community?cmm=105836066Todos os direitos reservados ao professor Tiago Machado, referentes aos cálculos.

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3) Numa festa existem 80 homens e 90 mulheres. Quantos casais diferentes podem ser formados?

80! => Permutação entre os homens.

90! => Permutação entre as mulheres.

Então:


a) homens.

!79!.1!79.80

)!180(!1!80 =−

= 80 modos de

combinarmos cada homem tomado 1 a 1.

b) mulheres.

90!89!1!89.90

)!190(!1!90 ==−

Modos de

combinarmos todas as mulheres tomado 1 a 1.

Obs: como cada casal forma uma dupla, então:

Mulheres x homem = 80. 90 = 7200 casais combinados entre si.

4) Um edifício tem 8 portas. De quantas formas uma pessoa poderá entrar e sair do edifício por uma porta diferente da que usou para entrar?

8! => Permutação entre as portas diferentes.

2! => Permutação como só se pode entrar e sair de uma porta.

Obs: usaremos a forma de arranjo, então.

567.8!6

!6.7.8)!28(

!8 ===−

=> Formas

diferente de entrar e sair das portas.

Ou 8 . 7 = 56 => Formas diferente de entrar e sair das portas. Entrar sair

5) Um homem possui 10 ternos, 12 camisas e 5 pares de sapatos. De quantas formas poderá ele vestir um terno, uma camisa e um par de sapatos?

10! => Formas diferentes de permutarmos os ternos.

12!=> Formas diferentes de permutarmos as camisas.

5! => Formas diferentes de permutarmos os pares de sapatos.

=> Ele deseja vestir um terno, uma camisa e um par de sapatos..

Então vamos combinar:

a) Os ternos.

10!9!.1!9.10

)!110!.(1!10 ==−

Modos de combinarmos cada terno tomado 1 a 1.

b) As camisas

12!11!.1!11.12

)!112(!1!12 ==−

Modos de combinarmos cada camisa tomado 1 a 1.

c) Os pares de sapatos.

5!4.1!4.5

)!15(!1!5 ==−

Modos de combinarmos cada par de sapatos tomado 1 a 1.

Logo:

Terno x camisa x pares de sapatos = 10 . 12 . 5 = 600 modos diferentes.






6) Uma prova consta de 20 testes do tipo verdadeiro ou falso. De quantas formas uma pessoa poderá responder os 20 testes?

2 => tipos de respostas: falso e verdadeiro.

20 => testes.

Vamos ver:

2 . 2 . 2 . 2 ....... 2 . 2 . 1ªteste 2° teste 3° teste 4° teste 19°teste 20° teste

20 teste no total com 2 respostas.Então:

202 = 10448576 formas de responder.

7) Quantos anagramas podemos formar, batendo ao acaso em 6 teclas num teclado de computador? Consta o anagrama TECTEC?26 => no total do alfabeto brasileiro.

6 => teclas para escolher no teclado.

Vejamos:

26 . 26 . 26 . 26 . 26 . 26 . 1ª possib. 2ª possib. 3ª possib. 4ª possib. 5ª possib. 6ª possib.

No total 6 possibilidades de escolha de 26 letras.

Então:

626 = 308915776 teclas.

A palavra TECTEC aparece? Com certeza, por causa da repetição que é possível.

8) Em um concurso para preenchimento de uma cátedra, apresentam-se 3 candidatos. A comissão julgadora é constituída de 5 membros, devendo cada examinador escolher exatamente um candidato. De quantos modos os votos desses examinadores podem ser dados?

3 => candidatos para serem escolhidos.

5 => Membros da comissão julgadora.

3 . 3 . 3 . 3 . 3 .1°membro 2°membro 3°membro 4°membro 5°membro

5 membros que podem cada um escolher entre os três 1 candidato.






Então:

53 = 243 possibilidades.

9) Quantos números de 3 algarismos (iguais ou distintos) podemos formar com os digitos 1,2,3,7 e 8.

Iguais ou distintos => quer dizer tudo.

3 => algarismos dos números ou seja de 100 a 999.

5 => elementos no total, pois n(5) ={1,2,3,7,8}

Então:

5 . 5 . 5 .1° algarismo 2°algarismo 3° algarismo

3 algarismo, 5 elementos.

Então:

35 = 125 números.

10) Temos um conjunto de 10 nomes e outro 20 sobrenomes. Quanta pessoas podem receber um nome e um sobrenome, com esses elementos?

10 => nomes.

20 => sobrenomes.

Só podem receber 1 nome e 1 sobrenome.

Então:

10 . 20 = 200 pessoas. Nome sobrenome

11) Cinco moedas são lançadas. Quantas seqüências possíveis de cara e coroa existem?

2 => possibilidades: cara e coroa.

5 => número de moedas.Vejamos:

2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 1ªmoeda 2ªmoeda 3ªmoeda 4ªmoeda 5ªmoeda






5 moedas, duas possibilidades somente.

Então:

52 = 32 possíveis seqüências.

12) Seis dados são lançados simultaneamente. Quantas seqüências de resultados são possíveis, se considerarmos a cada elemento da seqüência como o número obtido em cada dado?

6 => números de dados.

6 => possíveis da números obtidos na face do dado.

Vejamos: 6 . 6 . 6 . 6 . 6 . 6 .1ª possib. 2ª possib. 3ª possib 4ª possib. 5ª possib. 6ª possib.

6 dados, 6 possíveis face que pode resultar.

13) As letras em código MORSE são formadas por seqüências de traços (-) e pontos (.) sendo permitidos repetições.Por exemplo: [(-);(.);(-);(-);(.);(.)].Quantas letras podem ser representadas:

a) Usando exatamente 3 símbolos?

2 => seqüências.

3 => símbolos.

Vejamos:

2 . 2 . 2 = 1°simb. 2simb. 3°simb.

Então:

32 = 8 possibilidades possíveis.

b) Usando no máximo 8 símbolos?

8 => possibilidades máximas possíveis.

2 => seqüências.

Vejamos:

Máximo 8 símbolos: 1 símbolo ou 2 símbolos ou 3 símbolos ou... ou 8 símbolos.

1 símbolo: ___ = 2 = 12 maneiras2 símbolos: ___ , ___ = 22 = 4 maneiras

3 símbolos: ___, ___, ___ = 32 = 8 maneiras..8 símbolos: ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___ = 82 maneiras.

Então:

12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 = 510






14) Quantos divisores positivos têm o número N= dcba 7.5.3.2 ?

Pelo principio da contagem temos:

(a+1).(b+1).(c+1).(d+1).

Resposta:(a+1).(b+1).(c+1).(d+1).

15) Cada pedra de dominó é constituída de 2 números. As peças são simétricas, de sorte que o par de números não é ordenado exemplo:

é o mesmo que

Quantas peças diferentes podem ser formadas, se usarmos os números 0,1,2,3,4,5 e 6?

N(5) = {0,1,2,3,4,5,6} => sete elementos.

4 => seqüências

Então:

2847 11 =• peças diferentes.

16) Em um campeonato de futebol, participaram 20 times. Quantos resultados são possíveis para os três primeiros lugares.

20! => permutação vintes dos times;

3! => permutação dos três primeiros lugares.

Usaremos a forma de Arranjo para calcular este problema.

Então:

684018.19.20!17

!17.18.19.20)!320(

!20 ===−

Possibilidades.

Ou podemos assim:

20 . 19 . 18 =6840 possibilidades 1°lugar 2° lugar 3° lugar






17) Em um torneio de dois turnos do qual participaram seis times, quantos jogos são disputados?

6! => Permutação entre os times.

2!=> permutação entre os turnos.

Então:

Usaremos a forma de arranjo para calcular esse problema.

305.6!4

!4.5.6)!26(

!6 ===−

Possibilidades.

Ou podemos assim:

6 . 5 =30 possibilidades.1° turno 2° Turno

18) Dispomos de 8 cores e queremos pintar uma bandeira de 5 listras, cada listra com uma cor. De quantas formas isto pode ser feito?

8! => permutação entre as cores.

5! => permutação entre as listras.

Usaremos a forma de arranjo para calcular esse problema.

Então:

67204.5.6.7.8!3

!3.4.5.6.7.8)!58(

!8 ===−

possibilidades.

Ou podemos assim:

8 . 7 . 6 . 5 . 4 = 6720 possibilidades1ª listra 2ª listra 3ª listra 4ª listra 5ª listra

19) Uma linha ferroviária tem 16 estações. Quantos tipos de bilhetes devem ser impressos, se cada tipo deve assinar a estação de partida e de chegada respectivamente?

16! => permutação entre as estações;

2! => permutação entre a chegada e a saída.

Então:

24015.16!14

!14.15.16)!216(

!16 ===−

possibilidades

Ou podemos assim:

16 . 15 =240 possibilidades Chegada saída

20) As 5 finalistas do concurso para miss. Universo são: Miss. Japão, Miss. Brasil, Miss. Finlândia, Miss. Argentina e Miss. Noruega. De quantas formas os juizes poderão escolher o primeiro, segundo e terceiro lugar neste concurso?

5! => Permutação entre as finalistas.






3! => permutação entre os lugares.

Então:

603.4.5!2

!2.3.4.5)!35(

!5 ===−

possibilidades

Ou podemos assim:

5 . 4 . 3 =60 possibilidades. 1° lugar 2° lugar 3° lugar

21) Um cofre possui um disco marcado, com os 0,1,2...,9. O segredo do cofre é formado por uma seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverão fazer, no máximo, para conseguir abri-lo. (suponha que a pessoa sabe que o segredo é formado por dígitos distintos).

Sendo N(d) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} logo 10 elementos:

10! => permutação entre todos os números de 0 a 9.

3! => permutação entre os números de dígitos.

Pelo método de arranjo, então:

7208.9.10!7

!7.8.9.10)!310(

!10 ===−

tentativas.

Ou podemos assim:

10 . 9 . 8 = 720 tentativas.

22) Uma urna A contém 5 bolas numeradas de 1 a 5. Outra urna B contém 7 bolas numeradas de 1 a 3. qual o número, de seqüências numérica que podemos obter se extrairmos, sem reposição 3 bolas da urna A, e em seguida, 2 bolas da urna B.

Sendo N(A) = {1,2,3,4,5} e N(B) ={1,2,3} logo:

5! => Permutação entre os elementos de A.

3! => Permutação entre os elementos de B.

3! de A => Permutação de tiragem da urna A.

2! de B => Permutação de tiragem da urna B.

Então:

a) Urna A.

603.4.5!2

!2.3.4.5)!35(

!5 ===−

Possibilidades da urna A






b) Urna B.

62.3!1

!1.2.3)!23(

!3 ===−

Possibilidades da urna B.

Misturando tudo temos:

Urna A x Urna B = 60.6=360 possibilidades.

Ou podemos:

5 . 4 . 3 . 3 . 2 = 360 possibilidades Urna A1 Urna A2 Urna A3 Urna B1 Urna B2Obs: A1,A2,A3,B1 e B2 bolas das urnas subseqüentes e suas respectivas tiragem.

23) Existem duas urnas. A 1ª com quatro bolas numeradas de 1 a 4. A 2ª urna com três bolas numeradas de 7 a 9. Duas bolas são extraídas da 1ª urna, sucessivamente e sem reposição e em seguida duas bolas são extraídas da 2ª urna, sucessivamente e sem repetição.Quantos números de quatro algarismos são possíveis de serem formados nestas condições?

Sendo N(U1)={1,2,3,4} com a 1ª urna 4 elementos e N(U2)={7,8,9} com a 2ª urna com 3 elementos então temos:4! => Permutação da 1ª urna.

3! => Permutação da2ª Urna.

2! => permutação de tiragem da 1ª urna.

2! => Permutação de tiragem da 2ª urna.

Então:

a) 1ª urna.

123.4!2

!2.3.4)!24(

!4 ===−

b) 2ª urna.

62.3!1

!1.2.3)!23(

!3 ===−

Logo temos:

1ª urna x 2ª urna = 12.6=72 possibilidades.

Ou podemos:

4 . 3 . 3 . 2 = 72 possibilidades.






U1-1 U1-2 U2-1 U2-2

Obs: U1-1,U1-2,U2-1 e U2-2 Tiragens da 1ª Urna (U1) e da 2ª Urna (U2).

24) com os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9 quantos números de três algarismos distintos podemos formar?

Sendo N(A) = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} total de 9 elementos então:

9! => permutação entre todos os números de 1 a 9.

3! => permutação entre os algarismos.

Então:

5047.8.9!6

!6.7.8.9)!39(

!9 ===−

Possibilidades.

Ou podemos:

9 . 8 . 7 = 504 possibilidades.1ªdigito 2ªdigito 3ªdigito

25) com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 e 9 quantos números com algarismos distintos existem entre 500 e 1000?

Sendo N(A) = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} total de 9 elementos então:

9! => permutação que podemos fazer entre os números.

3! => permutação entre o numero de algarismos.Vemos que temos números igual ou maiores que 500 se não então vejamos:

5..,6..,7... e etc.

Então o conjunto que podemos utilizar são:

N(A1)={5,6,7,8,9} total de 5 algarismos. Não temos mais 9! Mais sim 8! Pois a primeira casa dos três algarismos tem que ser ocupada pelos números do conjunto N(A1) e logo nos resta para ser habitado pelos números de 8! Duas casas.Logo temos:

2807.8.5!5

!5.6.7.8)!28(

!8.5 ===−

possibilidades.

Ou podemos assim:

5 . 8 . 7 = 280 possibilidades. N°do conj.N(A1) N° do conj. N(A)-1 N° do conj. N(A)-1






26) com os algarismos 1,2,3,4,5 quantos números de 3 algarismos (iguais ou distintos).

Solução:

5 . 5 . 5 = 125

26) com os algarismos 1,2,3,..., 9 quantos números de quatro algarismos existem, onde pelo menos dois algarismos são iguais?

Solução:

9 . 8 . 7 . 6 = 3024 <= n° distintos.

9 . 9 . 9 . 9 = 6561 <= n° repetidos.

6561-3024 = 3537

27) quantos números formados por três algarismos distintos escolhidos entre 2,3,4,6,8,9 contém o 2 e não contém o 6? (lembre-se que o 2 pode ocupar a 1ª,2ª ou 3ª posição).

Solução:

Neste problema o algarismo 6 não pode aparecer:

3 . 3 . 2 = 18.

28) com os dígitos 1,2,3,4,5,6 quantos arranjos desses tomados 4 a 4 tem o digito 1 antes do 4?

Solução:

12!2!4

)!24(!4 ==

−

6x12=72

29) Com os algarismos 1,2,3,4,5,6 quantos números pares de 3 algarismos distintos podemos formar?

Solução:

3 . 5 . 4 = 60. N°de pares

30) Com os dígitos 2,5,6,7 quantos números formados por três dígitos distintos ou não, são divisíveis por 5?

Solução:

4 . 4 . 1 = 16.

30) formados e dispostos em ordem crescente os números que obtém permutando-se os algarismos 2,3,4,8,9, que lugar ocupa o numero 43892?






Solução:

1 . 4 . 3 . 2 . 1 = 24 1 . 4 . 3 . 2 . 1 = 24 1 . 1 . 3 . 2 . 1 = 5 1 . 1 . 1 . 2 . 1 = 2 1 . 1 . 1 . 2 . 1 = 2

24+24+5+2+2 = 58°

31) Uma peça para ser fabricada deve passar por sete máquinas sendo que a operação de cada máquina independente das outras. De quantas formas, as máquinas podem ser dispostas para montar a peça?

Solução:

7!=7x6x5x4x3x2x1=5040

32) Com relação a palavra TEORIA:

a) quantos anagramas existem?

Solução:

6!=6x5x4x3x2x1=720.

b) quantos anagramas começam por T?

solução:

T . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 =120 Fixo

Ou

1.!1!5=120

c) Quantos anagramas começam e terminar por T e terminam com A?

Solução:






T . 4 . 3 . 2 . 1 . A = 24 Fixo fixo

1. 24!1!4 =

d) Quantos anagramas começam por vogal?

Solução:

4 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 480Vogais

4. 480!1!5 =

e) Quantos anagramas têm vogais juntas?

Solução:

E . O . I . 3 . 2 . 1 = 12

3 . E . O . I . 2 . 1 = 12

3 . 2 . E . I . O . 1 = 12

3 . 2 . 1 . E . O . I = 12

Temos:

12x4=48 ao trocar as letras temos: 48x3=144.

Ou

3! . 144!1!4 =

33) Quantos anagramas da palavra FILTRO começam por consoantes?

Solução:

4 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 480

Ou

4. 480!1!5 =






34) Quantas palavras distintas podem formar com a palavra PERNAMBUCO? Quantas começam com a silaba PER?

Solução 1:

10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 10!

Solução 2:

P . E . R . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 7!

35) Quantos anagramas da palavra PASTEL começam e terminam por cosoantes?

Solução:

4 . 4 . 3 . 2 . 1 . 3 = 288

Ou

4.3. 288!1!4 =

36) De Quantas formas podemos colocar 8 torres num tabuleiro de xadrez de modo que nenhuma torre possa “comer” outras?

Solução:

8!=40320.

37) Em um “horário especial” um diretor de televisão dispõe de 7 intervalos para anúncios, de quantas formas o diretor poderá colocar os 7 intervalos destinados a eles?

Solução:

7!=5040.

38) De quantas formas 4 homens e 5 mulheres podem ficar em fila se:

a) Os homens devem ficar juntos.

Solução:

4! = 24 homem permutados entre si.

6! = 720 As mulheres e os homens com um só logo.

24x720 = 7280.

b) Os homens devem ficar juntos e as mulheres também?






Solução:

2! x 5! x 4! = 5760.||->mulheres como um só e homens como um só.

39) Temos 5 meninos e 5 meninas. De quantas formas eles podem ficar em fila se meninos e meninas ficam em posições alternadas?

Solução:

2.5!.5!=28800

40) De quantas formas 6 pessoas podem sentar-se numa fila de 6 cadeiras se duas delas (Geraldo e Francisco) se recusam sentar um ao lado do outro?

Solução:

1ª situação:

G . 4 . F . 3 . 2 . 1 =24 G . 4 . 3 . F . 2 . 1 =24 G . 4 . 3 . 2 . F . 1 =24 G . 4 . 3 . 2 . 1 . F =24

24.4.2 = 192 (2 por causa do inverso)

2ª situação;

4 . G . 3 . F . 2 . 1 =24 4 . G . 3 . 2 . F . 1 =24 G . G . 3 . 2 . 1 . F =24

24.3.2=144

3ª situação:

4 . 3 . G . 2 . F . 1 =24

24.2=48

Logo: 92+44+96+48=480 possibilidades.

41) temos numa estante 5 livros, dos quais 4 são de matemática. De quantas formas podemos coloca-los em ordem na estante, de modo que os livros de matemática fiquem sempre juntos?

Solução;

4!.12!

42) De quantas formas 12 crianças podem formar uma roda?

Solução:

!11!12

!11.12!12!12 ==

43) Quantos colares podem formar usando quatro contas, todas diferentes?Não deixe de divulgar nosso blog e comunidade do orkut:

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Solução:

61.2.3!4!3.4 ==

44) Obter m sabendo-se que :42,

3, =m

m

AA

Solução:

( ) ( )( ) 4

12.1. =

−−−

mmmmm

m-2=4m=6.

45) Resolva a equação: :303, mAm =Solução:M(m-1).(m-2) = 30m

46) Obter m na equação (m+2)!=72m!

Solução:

(m+2).(m+2-1).(m+2-2)(m+2-3)...(m+2)(m+1)m(m-1)...=72m(m-1).(m-2)...

(m+2)(m+1)=72

17

2892809

07037233

2

2

±=∆

=∆+=∆

=−+

=++

mmmm

47) Obter todas as combinações do elemento de M={7,8,9,0} tomados de dois a dois:

Solução:

6!2!22.3.4

!2!.2!4

)!24(!2!4

2,4 ===−

=C

48) Sabendo-se que 21,8

2,8 =+

+

p

p

CC

determine o valor de P.

Solução:



11121

11290283

30232

2

±=∆=∆

+=∆=−−

=+−

mmmm

102

173

72

1732

173

2

1

−=−−=

=+−=

±−=

m

m

m

valenaomm

m

< =−==

±=

47

2113

2

1

2

133

742427

)2(27

227

2)!6).(2()!6).(7(

2)!6).(2(

)!7(

)!6)!.(1.().1).(2()!7)!.(1.().1( =

=−=−

−=−−+=+−

+=+−

=+

+−

=+−++−+−

=+−+

+−

+−−+++−−+

pp

pppppp

pp

pppp

ppp

ppppppppp2

1,8

2,8 =+

+

p

p

CC

2)!6)(2()!7)(2(

2!8

)!7)(2()!6)(2(

!8

2)!7)(1(

!8)!6)(2(

!8

)!7)(1(!8

)!6()!2(!8

)!6()!2(!8

)]!2(8)[2(!8

1,8

2,8

=+−++−+

=+−+⋅+−+

=

+−+

÷

+−+

+−+=

+−+=

+−+=

+−+=

+

+

pppp

pppp

pppp

ppppC

ppppC

p

p




48) Calcule p, sabendo-se que pmpm CA ,, = m∀ e .0 mp ≤≤

Solução:

)!(!!

)!(!

pmpm

pmm

−=

−

!1

11

p=

P!=1; P=1 ou P=0

49) Calcule 3,mA sabendo-se que .843, =mC

Solução:

)2).(1(3, −−= mmmAm

84)!3(!3

!3, =

−=

mmCm

504

504)2)(1(

84)!4)(3(6

)!4)(3)(2)(1(

3, =

=−−

=−−

−−−−

mA

mmm

mmmmmmm




( ) 270725!48!4

!52!452!4

!52 ==−



50) Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?

Solução:

15! => permutação entre as questões;

10! =. Permutação entre as questões escolhidas.

Então devemos combinar;

3003!5!15

)!1015(!10!15 ==−

51) De um baralho de 52 cartas, são extraídas 4 cartas sucessivamente e sem reposição. Qual o numero de resultados possíveis, se não levarmos em conta a ordem das cartas extraídas?

Solução:

52! => permutação entre as cartas.

4! => permutação entre as quatro cartas extraídas.

52) Em uma reunião social, cada pessoa cumprimentou todas as outras, havendo ao todo 45 apertos de mão. Quantas pessoas havia na reunião.

Solução:

foraestán

nnn

nn

nnnn

nn

< =−=

==−−

=−

=−

−−

=−

9

10090

90)1(

45)!2.(1.2

)!2)(1(

45)!2(!2

!

2

1

2

53) Quantos produtos podemos obter se tomarmos 3 fatores distintos escolhidos 2,3,5,7 e 11?Solução:






5! => Permutação dos 5 elementos do conjunto.

3! => Permutação entre os 3 fatores. 10

!2!3!5

)!35(!3!5 ==−

54) Um grupo tem 10 pessoas. Quantas comissões de no mínimo 4 pessoas podem ser formada com as disponíveis? R: 848

Solução:

O mínimo de pessoas por comissão são 4 pessoas, não tendo máximo, logo temos:

210!4!6!10

)!610(!6!10

252!5!5!10

)!510(!5!10

210!6!4!10

)!410(!4!10

==−

==−

==−



1!0!10

!10)!1010(!10

!10

10!1!9!10

)!110(!9!10

45!2!8!10

)!810(!8!10

120!3!7!10

)!710(!7!10

==−

==−

==−

==− 11045120210252210

:,++++++

entaotemos


apostila de 54 exercicios resolvidos de analise combinatória

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