apostila d. falcão - fuzzy2002

COE 765

TÉCNICAS INTELIGENTES APLICADASA SISTEMAS DE POTÊNCIA

CONJUNTOS, LÓGICA E SISTEMAS FUZZY

Djalma M. FalcãoCOPPE/UFRJ

Agosto de 2002

D.M. Falcão – COPPE/UFRJ Conjuntos, Lógica e Sistemas Fuzzy

2

1 INTRODUÇÃO

Modelos matemáticos convencionais são:

• Crisp, isto é, ambivalentes (sim ou não, falso ou verdadeiro, maior ou menor, etc.);

• Determinísticos;

• Precisos por hipótese;

• Não-ambíguos.

Algumas situações no mundo real apresentam:

• Incertezas (Ex.: carga, afluências, falhas em equipamentos, etc.);

• Informações vagas (Ex.: tensão alta ou baixa, fluxo próximo ao limite, etc.);

• Ambigüidade (Ex.: reservatório cheio).

As características acima podem ser tratadas por vários métodos, alguns dos quais sãoresumidos a seguir:

• Modelos Probabilísticos ou Estocásticos: quando existem informações passadas quepodem ser modeladas por métodos freqüenciais;

• Análise de Intervalos: avaliação de como dados representados por intervalos sepropagam em operações aritméticas, cálculo diferencial e integral, etc;

• Teoria dos Erros: avaliação de como erros são propagados ao longo de um processoexperimental;

• Modelos Fuzzy (ou modelos baseados em Lógica Fuzzy): quando a incerteza derivada imprecisão ou ambigüidade da informação ou conhecimento existente sobre oproblema.

Os modelos fuzzy são utilizados em:

• Métodos de representação de conhecimento em linguagem natural;

• Modelagem de incertezas para as quais não são disponíveis dados estatísticos;

• Modelagem de conhecimento subjetivo;

• Medida da qualidade de conhecimento subjetivo;

• Integração de métodos lógicos e numéricos;

• Modelagem de restrições e objetivos não-rígidos (soft constraints).

A teoria dos conjuntos fuzzy foi introduzida em 1965 por Lotfi Zadeh1.

2 APLICAÇÕES

As áreas de aplicação mais importantes em sistemas elétricos de potência são:

• Sistemas de Inferência Fuzzy;

• Controladores Fuzzy;

1 L.A. Zadeh, “Fuzzy Sets”, Information and Control, vol. 8, pp. 338-353, 1965.


3

• Otimização e Sistemas de Tomada de Decisões.

2.1 Sistemas de Inferência Fuzzy

• Incertezas associadas às regras de uma base de conhecimento;

• Exemplo: “Um elevado nível de hidrogênio no óleo do transformador freqüentementeindica a ocorrência de descarga no interior do mesmo”;

• A regra acima apresenta duas variáveis fuzzy2: elevado e freqüentemente;

• Mecanismo de inferência: métodos matemáticos para manipular os valores numéricosassociados às regras.

2.2 Controladores Fuzzy

• Regras de controle baseadas na experiência;

• Exemplo:

SE o erro é pequeno e positivoE a variação no erro é grande e negativaENTÃO a saída do controlador é pequena e negativa

• Pequeno e grande são variáveis fuzzy;

• Projeto de controladores fuzzy: desenvolvimento de um conjunto de regras de controlebaseadas em entradas disponíveis e estabelecimento de um método para combinaressas regras.

2.3 Otimização

• Incerteza nos dados e/ou objetivos

• Representação de restrições não-rígidas (soft constraints);

• Problemas multiobjetivos.

3 CONJUNTOS FUZZY

3.1 Conjuntos Convencionais (Crisp)

Definidos pela enumeração de seus elementos ou por uma condição que defina se o elementopertence ou não ao conjunto. Seja A um conjunto definido no universo I dos números inteirospositivos, isto é, A ⊂ I. Neste caso podemos definir o conjunto A como a seguir:

A = { 1, 2, 3, ..., 9 } ou A = { x | x ∈ I ∧ x < 10}

Uma forma alternativa de definir o conjunto acima seria através de uma Função dePertinência µA (x) como a seguir

1 Se x ∈ I ∧ x < 10µA(x) =

0 Se x ∉ I ∨ x ≥ 10

2 A denominação mais utilizada é Variável Lingüística o qual será definido em seções seguintes.


a qual tem a seguinte representação gráfica

3.2 Conjuntos Fuzzy

Podem ser vistos como uma generalização da noção de conjunto na qual a função depertinência pode assumir valores no intervalo [0,1]3. Neste caso não podemos dizersimplesmente que um elemento pertence ao conjunto e sim que o elemento pertence aoconjunto com um certo grau de pertinência.

Como exemplo, considere o conjunto dos números inteiros próximos ao número 7. Esteconjunto pode ser definido por uma função de pertinência assumindo os valores dados natabela abaixo.

x 4 5 6 7 8 9 10

µA (x) 0.1 0.4 0.8 1.0 0.8 0.4 0.1

Os elementos do conjunto cujos valores da função de pertinência são iguais a zero não foramincluídos na tabela acima. Essa função de pertinência discreta tem a representação gráficamostrada a seguir.

Um outro exemplo de conpróximas à tensão nominal (de pertinência

3 Em geral, podem assumir valores

1.0

9

µA(x)

x

vV )(µ

µA(x)

4

junto fuzzy, neste caso infinito, s1 pu). Este conjunto pode ser repre

em qualquer intervalo.

1.0

7

cv

vb

va

av

se

se

se

se

bcvcabav

>≤≤≤≤

<

=−−−−

0

0

x

eria o conjunto das tensõessentado pela seguinte função

c

b


5

onde a=0.95, b= 1.00, e c = 1.05, a qual tem a seguinte representação gráfica

De uma maneira geral, um conjunto fuzzy F, definido no universo de discurso U, érepresentado por

F = { ( x, µF ( x ) ) | x ∈U }

ou seja, os elementos do conjunto são definidos por pares constituídos pelos elementos x ∈Ue os respectivos valores da função de pertinência.

3.3 Variáveis Lingüísticas

São variáveis cujos valores não são números, e sim, palavras ou sentenças de uma linguagemnatural ou artificial. Por exemplo, consideremos a variável Tensão. Suponhamos que essavariável possa assumir os valores lingüísticos Muito_Baixa, Baixa, Normal, Alta eMuito_Alta. O conjunto de valores assumidos pela variável lingüística é denominadoConjunto de Termos e representado por T(x), onde x é a variável. Os valores assumidos pelavariável lingüística são representados por conjuntos fuzzy definidos pelas correspondentesfunções de pertinência. No exemplo, teríamos

Variável lingüística: Tensão (V)

Conjunto de Termos: T(V) = { Muito_Baixa, Baixa, Normal, Alta e Muito_Alta }

Funções de Pertinência dadas no gráfico abaixo.

3.4 Funções de Pertinência

A definição das funções de pertinência utilizadas em uma aplicação de sistemas fuzzy é umaetapa fundamental e difícil no desenvolvimento dessa aplicação. Não existem regrasdefinitivas para a escolha dessas funções as quais representam o conhecimento de um

µV(v)

1.0

0.95 v1.00 1.05

1.0Muito-AltaAltaNormalMuito-Baixa Baixa

1 1.1 1.2 1.30.90.80.7 V

µ


6

especialista no assunto em questão ou informações extraídas de um banco de dados.Aplicações muito sensíveis à escolha das funções de pertinência são, em geral, não adequadaspara modelagem fuzzy.

Algumas características das funções de pertinência são:

• Formato: Triangular, trapezoidal, Gaussiana, sigmoidal, etc;

• Obtenção: escolhidas pelo usuários baseado em sua experiência ou através de umprocesso de otimização a partir de dados experimentais e/ou obtidos por simulação;

• Overlapping: Não é necessário porém é importante para dar robustez ao sistema fuzzy.Em geral o overlapping é de duas funções apenas;

• Normalização: Geralmente as funções de pertinência são definidas no intervalo [0,1].Isto não é obrigatório mas facilita a implementação de sistemas fuzzy.

3.5 Operações com Conjuntos

3.5.1 Conjuntos Convencionais (Crisp)

Sejam os conjuntos A ⊂ X e B ⊂ X. Definimos:

• União: A∪B ={x | x ∈ A ∨ x ∈ B}. Supondo os conjuntos A e B definidos por suasfunções de pertinência, temos: µ A∪B (x) = max{ µA (x), µB (x) }. Essa definição éilustrada na figura abaixo.

• Interseção: A∩B ={x | x ∈ A ∧ x ∈ B}. Supondo os conjuntos A e B definidos por suasfunções de pertinência, temos: A∩B = min{ µA (x), µB (x) }. Essa definição é ilustradana figura abaixo.

• Complemento: Ac = {x | x ∈ X ∧ x ∉ A }. Supondo o conjunto A definido por sua

função de pertinência, temos: µAc (x) = 1 - µA (x) . Essa definição é ilustrada na figura

abaixo.

1

µA(x)

x

1

µB (x)

x

1

µ A∪B (x)

x

1

µA(x)

x

1

µB (x)

x

1

µ A∩B (x)

x


7

• Propriedades:

Comutatividade: A ∪ B = B ∪ A ; A ∩ B = B ∩ A

Associatividade: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ); (A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )

Idempotência: A ∪ A = A ; A ∩ A = A

Distributividade: A ∩ ( B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )

Lei da Contradição: A ∪ Ac = U (universo)

Lei da Exclusão: A ∩ Ac = φ (conjunto vazio)

• Produto Cartesiano:

A x B = {(x , y) | x ∈ A ∧ y ∈ B}

3.5.2 Conjuntos Fuzzy

As operações podem ser definidas de várias formas. A mais comum é similar ao caso dosconjuntos crisp:

• União

A ∪ B = { (x, µA∪B(x)), x ∈ U }

µA∪B(x) = max [ µA(x), µB(x) ]

• Interseção

A ∩ B = { (x, µA∩B(x)), x ∈ U }

µA∩B(x) = min [ µA(x), µB(x) ]

• Complemento

Ac ={ (x, µA(x)), x ∈ U }

µAc (x) = 1 - µA(x)

1

µA(x)

x

1

µAc(x)

x

1

µA∪B(x)

x

1

µA∩B(x)

x

1

µAc (x)

x


8

• Propriedades:

Comutatividade, associatividade, distributividade e idempotência: idênticas ao casocrisp.

Lei da Contradição: A ∪ Ac ≠ U (não se aplica)

Lei da Exclusão: A ∩ Ac ≠ φ (não se aplica)

• Produto Cartesiano:

A x B = { (x , y) , min ( µA (x), µB (x) ) | x ∈ A ∧ y ∈ B }

Exemplo: A = {(3,0.5), (5,1), (7,0.6)}, B = {(3,1), (5,0.6)}

A x B = {[(3,3),0.5], [(3,5),0.5], [(5,3),1], [(5,5),0.6], [(7,3),0.6], [(7,5),0.6]}

3.5.2 Definições Básicas

Dado um conjunto fuzzy A = { (x, µA (x)), x ∈ X }

• Conjunto suporte: S (A) = { x ∈ X | µA (x) > 0 }

• Altura: H (A) = o maior grau de pertinência dos elementos de A

• Conjunto fuzzy normalizado: se H (A) = 1

• Cardinalidade: | A | = Σ µA(x) (discreto) ou | A | = ∫ µA(x) dx (contínuo)

• Corte de nível-α ou corte-α: Aα = { x ∈ X | µA (x) ≥ α}

• Conjunto fuzzy convexo: se ∀ x1,x2 ∈ X e ∀ λ ∈ [0,1] então

µA [ λ x1 + (1-λ) x2 ] ≥ min [ µA(x1), µA(x2) ]

3.5.4 Números Fuzzy

Um número fuzzy M é um conjunto fuzzy convexo normalizado definido em ℜ tal que

i) Existe pelo menos um x0 tal que µM (x0)= 1;

ii) µM (x) é continua por partes.

1

µA (x)

x

1

µA (x)

xConjunto Convexo Conjunto Não-Convexo


Exemplos de números fuzzy:

As sechamtriang

•

•

•

3.5.5

•

µ (x µ ( µ (x

1

)

(a1,a2,a3,a4)

Trapezoidal

guintes operações ado Princípio da Eulares e retangulare

A1 =

Adição: A1 ⊕ A2

Produto: A1 ⊗ A2

Produto por núme

Relações

Relação Crisp: Reentre elementos dpode ser definida

onde µR (x,y) assumà relação.

Exemplo: A = {1, 2

R(A,B) = elemento

A x B = {(1,2), (1,3

R(A,B) = {(1,2), (1

Para relações binárde pertinência na fvalores 0 e 1. Nest

a1 a2 a3 a4 a1 a2 = a3 a4 a1 a4
x
aritméticasxtensão [1]s são casos

( a11 , a12 , a

= { a11+ a2

= { a11× a2

ro real: λ .

presenta a pe dois ou mpor

R(A,B) = {

e os valor

, 3, 4}, B =

s de A x B t

), (1,4), (1,

,3), (1,4), (1

ias definidaorma de ume exemplo t

1

x)

9

(a1,a2,a2,a4)

Triangular

com números fuz: sejam dois númer particulares) defini

13 , a14 ) e A2 = (

1 , a12+a22 , a13+a23 ,

1 , a12×a22 , a13×a23 ,

A1 = (λa11 , λa12 , λa

resença ou não de ais conjuntos. Para

( (x,y), µR (x,y) ) | (x

es 0 ou 1 dependen

{2, 3, 4, 5}

ais que x < y

5), (2,2), (2,3), (2,4

,5), (2,3), (2,4), (2,

s em universos disa Matriz Relacion

eríamos

x

zy podem seos fuzzy trapdos por:

a21 , a22 , a23

a14+a24 }

a14×a24 }

13 , λa14 )

associação, idois conjunto

,y) ∈ A x B }

do do elemen

), (2,5), (3,2)

5), (3,4), (3,5

cretos, é conval cujos elem

1

)

(a1,a1,a4,a4)

Retangular

r definidas baseadezoidais (números

, a24)

nteração ou intercos A e B (crisp), a re

to (x,y) satisfazer o

, ...}

), (4,5)}

eniente colocar a fentos podem assum

x

as nofuzzy

nexãolação

u não

unçãoir os


10

AB 2 3 4 5

1 1 1 1 12 0 1 1 13 0 0 1 14 0 0 0 0

• Relação Fuzzy entre Conjuntos Crisp: Representa o grau de presença ou não deassociação, interação ou interconexão entre elementos de dois ou mais conjuntos crisp.Definida de forma similar à relação crisp com a diferença que a função de pertinênciapode assumir valores no intervalo [0,1].

Exemplo 1: Seja x ∈ A e y ∈ B, A = B ⊂ ℜ; a relação é “x é muito maior que y”; a funçãode pertinência pode ser definida como

0 Se x ≤ yµR (x, y) =

( 1 + ( y – x )-2 )-1 Se x > y

Observe que a função de pertinência acima é definida para a diferença entre duas variáveis (xe y).

Exemplo 2: A mesma relação do exemplo anterior porém com variáveis assumindo apenasvalores discretos. Neste caso, a relação pode ser definida por uma matriz relacional comomostrado abaixo.

y1 y2 y3

A = {x1,x2,x3} x1 0.8 0.6 0.4x2 0.6 0.4 0.2

B = {y1,y2,y3} x3 0.4 1.0 0.8

4 LÓGICA FUZZY

4.1 Lógica Clássica

• Proposição: declaração envolvendo termos previamente definidos.

• Toda proposição assume os valores Falso (F) ou Verdadeiro (V);

• Exemplos: A tensão é baixa; a injeção de reativos é alta, etc.

• Combinação de proposições: proposições (p, q, r, ...) podem ser combinadas nas formasseguintes produzindo resultados falsos ou verdadeiros. Algumas dessas combinações são:

− Conjunção (p ∧ q): onde se afirma a verdade simultânea de duas proposiçõesdistintas;


11

− Disjunção (p ∨ q): onde se afirma a verdade de uma ou ambas as proposições;

− Condicional (p ⇒ q): a verdade de uma proposição (p) implica na verdade da outra(q); esta é a forma usual de modelar as regras do tipo SE < >, ENTÃO < >;

− Eqüivalência (p ⇔ q): onde se afirma que ambas as proposições são verdadeiras oufalsas;

− Negação ( ¬ p ): onde se afixa uma proposição à frase “é falso que...”.

• Dependendo dos valores lógicos assumidos pelas proposições, as combinações podemproduzir resultados falsos ou verdadeiros de acordo com a Tabela Verdade abaixo:

p q p ∧ q p ∨ q p ⇒ q p ⇔ q ¬ p

V V V V V V F

V F F V F F F

F V F V V F V

F F F F V V V

• Tautologia: é uma proposição formada pela combinação de outras proposições (p, q, r, ...)a qual é verdadeira independentemente das proposições p, q, r, ..., serem verdadeiras oufalsas. Uma tautologia importante no estudo da lógica fuzzy é

( p ⇒ q ) ⇔ ¬ [ p ∧ (¬ q ) ]

ou , equivalentemente,

( p ⇒ q ) ⇔ (¬ p ) ∨ q

Uma prova da validade dessa tautologia, usando tabelas verdades, pode ser encontradana referência [2].

• Representação por funções de pertinência

1 Se p é verdadeira (V)µp (x) =

0 Se p é falsa (F)

• As operações da lógica clássica tem relação direta com as operações de conjuntos e daÁlgebra Booleana . Algumas dessas relações são mostradas nas tabelas a seguir

Lógica Teoria dosconjuntos

Lógica ÁlgebraBooleana

∧ ∩ V 1

∨ ∪ F 0

¬ c ∧ ×∨ +¬ ′


12

• Usando as tautologias ( p ⇒ q ) ⇔ ¬ [ p ∧ (¬ q ) ] ou ( p ⇒ q ) ⇔ (¬ p ) ∨ q, e aseqüivalências entre os operadores lógicos e a teoria dos conjuntos, é possível [2] mostrarque

µp→q (x,y) = 1 - min [µp (x), 1 - µq (y)]

ou , equivalentemente,

µp→q (x,y) = max [1 - µp (x), µq (y)]

= 1 - µp (x) [ 1 - µq (y)]

4.2 Lógica Fuzzy

• Como no caso dos conjuntos, a extensão da lógica crisp para a lógica fuzzy é realizadapela substituição funções de pertinência ambivalentes (0 ou 1) por funções de pertinênciafuzzy , ou seja , definidas no intervalo [ 0 , 1 ].

• Sejam os conjuntos fuzzy A e B, com elementos x ∈ A e y ∈ B. A proposição

Se x é A, Então y é B

tem uma função de pertinência µA→B (x,y) ∈ [0, 1].

• A função de pertinência µA→B (x,y) mede o grau de verdade da proposição.

• De maneira similar ao caso crisp, as relações abaixo são válidas

µA→B (x,y) = 1 – min [µA (x), 1 - µB (y)]

µA→B (x,y) = max [1 - µA (x), µB (y)]

= 1 - µA (x) [ 1 - µB (y)]

5 SISTEMAS DE INFERÊNCIA FUZZY

5.1 A Regra SE < >, ENTÃO < > Fuzzy

Sejam x e y variáveis lingüísticas definidas nos universos de discurso X e Y, respectivamente,e sejam A e B valores assumidos por essas variáveis.

A regra pode ser então, enunciada, como

Se x é A, Então y é BAntecedente

ouPremissa

Conseqüenteou

Conclusão

Exemplo: Se <tensão é baixa>, Então <inj._reativos_ind. é alta>. Para um valor de tensão de0.95 0.5 , as funções de pertinência da variável tensão mostrada abaixo produz o valor


13

tensão_baixa; isto implica, de acordo com a regra, em um conseqüente definido peloconjunto fuzzy inj.-reativos_alta, como mostrado nos gráficos abaixo. O valor da função depertinência do conjunto tensão_baixa, correspondente ao valor de 0.95 pu, é 0.5 comomostrado na figura abaixo Para efeito de inferência fuzzy, a função de pertinência é cortadana altura 0.5 como será indicado na seção seguinte.

5.2 Estrutura do Sistema de Inferência

• A estrutura geral de um sistema de inferência fuzzy é mostrada na figura abaixo.

• Os elementos dessa estrutura são:

− Base de Regras: coleção de regras do tipo Se_Então, as quais podem ser expressascomo

Regra (r): SE u1 é F1r e u2 é F2

r e …un é Fnr ENTÃO v é G r, r = 1,…,N

onde Fir , r = 1,…,N, e Gr são conjuntos fuzzy definidos em Ui ⊂ ℜ, r = 1,…,N, e

V ⊂ ℜ, respectivamente.

− Fuzzificador: determina o grau de pertinência de cada entrada no antecedente daregra. Se o antecedente tem mais de um componente (proposição), os operadoresfuzzy E (min) e OU (max) são utilizados para combinar os efeitos como a seguir

αr = min i=1,…,n { µi (ui) }

ou

1.0AltaNormalMuito-Baixa Baixa

1 1.1 1.2 1.30.90.80.7 V

µV

Q

1.0

0 0.4 0.60.2

µQAltaMédiaBaixa

Base de Regras

Fuzzificador Defuzzificador

Inferência

EntradaCrisp

SaídaCrisp


14

αr = max i=1,…,n { µi (ui) }

onde

αr : combinação do grau de pertinência dos antecedentes da regra;

µi (ui) : grau de pertinência do i-ésimo antecedente para o valor da i-ésima entrada

(ui);

− Inferência: determina o grau de validade dos conseqüentes das regras e combina osresultado no conjunto fuzzy da saída. O principio utilizado assume que “regras combaixo grau de pertinência no antecedente (αr) devem ter pouca validade noconseqüente”. Esse processo é implementado pelo operador Max-Min

µG = max { min {αr , µi (ui) ,}, {µr (ui)} }

A operação acima eqüivale a redefinir os conjuntos fuzzy associados ao conseqüentedas regras (modificação da forma das funções de pertinência) e a combinação dosmesmos em um conjunto fuzzy da saída. Essa operação é realizada em dois passos:

i. Min: “cortando” a função de pertinência do conseqüente no ponto indicado pelovalor αr do antecedente;

ii. Max: combinando (união) os conjuntos fuzzy representando o conseqüente dasregras.

− Defuzzificador: produz uma saída crisp a partir do conjunto fuzzy definido pelo blocode inferência. Alguns métodos de defuzzificação utilizados são:

i. Valor máximo: ;

ii. Valor médio dos máximos;

iii. Bisetor:

iv. Centróide ou centro de massa.


15

5.3 Exemplo4

• Objetivo: Determinação da gorjeta em um restaurante a partir de dados sobre aqualidade_da_comida e o atendimento.

• Regras:

R1: SE atendimento é ruim ou qualidade_da_comida é ruim, ENTÃO gorjeta é baixa

R2: SE atendimento é bom, ENTÃO gorjeta é média

R3: SE atendimento é excelente ou qualidade_da_comida é excelente, ENTÃOgorjeta é alta

• Funções de pertinência:

4 Este exemplo foi retirado do manual do Fuzzy Logic Toolbox do Matlab.

Atendimento Qualidade_da_Comida

1

10

Ruim Bom Excelente 1

10

Ruim Excelente

Gorjeta

1

30

Baixa AltaMédia

10 20


16

• Fuzzificação: grau de pertinência das entradas

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

Atendimento Qualidade_da_Comida

Ruim

Bom

Excelente

0

0.3

0.4

Ruim

Excelente

0

0.7

7.5 8.0


17

• Fuzzificação: combinação dos antecedentes

R1: atendimento ruim ou qualidade_da_comida é ruim: max [0 , 0] = 0 R2: atendimento bom: 0.3 R1: atendimento excelente ou qualidade_da_comida é excelente: max [0.4 , 0.7] = 0.7

• Inferência: corte das funções de pertinência e combinação dos conjuntos fuzzy doconseqüente

• Defuzzificação: centróide

1

30

Baixa

10 20

1

30

Alta

10 20

1

30

Média

10 20

0.3

0.7

1

3010 20

3010 20


18

6 CONTROLE FUZZY

• Aplicações em sistemas de modelagem difícil e para os quais não se exige um controlemuito preciso;

• Procedimento de projeto:

– Identificação das variáveis de entrada e saída;

– Construção das regras de controle;

– Estabelecer método para representar o estado do sistema em termos de conjuntosfuzzy (funções de pertinência e método de fuzzificação)

– Seleção da regra de inferência;

– Estabelecer método de defuzzificação.

• Exemplo Genérico: Controlador com duas entradas (erro e variação do erro) e uma saída.

• Regra de Inferência: SE < ε > é Ai e < ε > é Bi NTÃO u é Ci

• Normalização: -1 ≤ ε , ε , u ≤ 1

d/dt Kε

Kε

Sistema deInferência

Fuzzy

K PlantaRef_

+

ε

ε.

u y

E.

.


• Regras de Controle

εGN MN PN ZE PP MP GP

GN

MN

PN

ZE

PP

MP

GP

• Funções

-1.0

GN

ε.

19

GP GP GP MP MP PP ZE

GP MP MP MP PP ZE PN

GP MP PP PP ZE PN MN

MP MP PP ZE PN MN MN

MP PP ZE PN PN MN GN

PP ZE PN MN MN MN GN

ZE PN MN MN GN GN GN

de Pertinência Normalizadas

-0.65 -0.3 0 0.3 0.65 1.0

MN PN ZE PP MP GP


20

7 OTIMIZAÇÃO FUZZY

• Os modelos convencionais de otimização (programação linear e não linear, etc.) nãocontemplam certas características encontradas em problemas práticos:

– Incertezas nos dados;

– Restrições flexíveis (soft constraints);

– Múltiplos objetivos;

– Meios de evitar soluções não-realísticas (não implementáveis na prática).

• A introdução de conceitos da teoria dos conjuntos fuzzy oferece uma opção para melhoraro desempenho dos modelos de otimização em relação aos aspectos acima referidos. Essesconceitos serão introduzidos através do exemplo abaixo retirado de [1].

• Exemplo: encontrar um valor de x tal que

– Objetivo: x deve ser substancialmente maior que 10;

– Restrição: x deve estar na vizinhança de 10;

– Formulação clássica: usando um modelo de programação linear, o problema acimapode ser formulado como

Maximizar z = x x

Sujeito a x ≥ 10

x ≤ 12

– Na formulação acima, o analista precisa utilizar sua experiência para definir os limitesda variável x assim como escolher uma função objetivo adequada (não seria melhorusar x2 ? ).


21

REFERÊNCIAS

[1] H.J. Zimmermann, Fuzzy Set Theory and Its Applications, Third Edition, Kluwer, 1996.

[2] T.J. Ross, Fuzzy Logic with Engineering Applications, McGraw-Hill InternationalEditions, 1997.

[3] J.M. Mendel, “Fuzzy Logic Systems for Engineering: A Tutorial”, Proceedings of theIEEE, vol. 83, no. 3, pp. 345-377, March 1995.

[4] K. Tomsovic and M.Y. Chow, Eds., Tutorial on Fuzzy Logic Applications in PowerSystems, IEEE PES Winter Meeting, Singapore, January 2000.

apostila d. falcão - fuzzy2002

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