apostila controle - 12 - modelagem de distúrbio

Controle de Sistemas Mecânicos

Projeto do controlador de nívelProjeto do controlador de nível

Modelagem do DistúrbioDistúrbio em Malha Fechada


DistúrbioDistúrbio

Exemplos:Vazamentos em sistemas de tanquesVariação da vazão devido a fatores externosOscilações da rede elétricaEtc...

O sinal de distúrbio é uma entrada indesejada

O sinal de distúrbio é considerado de origem externa e desconhecido

O efeito do distúrbio é corrigido através do sinal de controle gerado


Modelo do tanque sem distúrbio Modelo do tanque sem distúrbio

Considerando o problema do tanque

qs

qe

p

u(t)

d(t)

)()()(0 tqKth

dttdh

e=+τ

0( ) ( )1 e

Kh t q tpτ

=+


Modelo do distúrbioModelo do distúrbio

Seja uma variação de vazão qv na válvula de entrada (distúrbio)

Pode escrever que a vazão de entrada qe

onde

)()( tdtqv =

)()()( tdtutqe +=

distúrbio ao associado todeslocamen válvulada abertura a regula que posição

==du


Resposta do sistema com distúrbioResposta do sistema com distúrbio

Considerando o modelo do distúrbio e o modelo do controle de nível como

Pode escrever que a resposta do sistema será

)()()( tdtutqe += 0( ) ( )1 e

Kh t q tpτ

=+

))()((1

)( 0 tdtupKth ++

=τ h(t)

)(sP

d(t)

u(t)

P


Resposta do sistema com distúrbioResposta do sistema com distúrbio

Assumindo a vazão de entrada como sendo

A resposta do sistema pode ser escrita como

)(1

)(1

)( 00 tdpKtu

pKth

++

+=

τβ

τα

)()()( tdPtuPth du +=

uP dP)(ty

Gu)(tr

Gd)(td

)(th

)(td

)(tuuP

dP

)()()( tdtutqe βα +=


Distúrbio e Controlador em MFDistúrbio e Controlador em MF

)(sK

-

y(t)+r(t) )(sP

d(t)

u(t)

Há dois sinais de entrada na planta: o de controle u(t) e o de distúrbio d(t)

O sinal de distúrbio é considerado de origem externa e desconhecido

O efeito do distúrbio é corrigido através do sinal de controle gerado


Resposta y(t) do sistema em MFResposta y(t) do sistema em MF

d(t)=0 r(t)=0

)(sK

-

yr(t)+r(t))(sP

u(t))(sK

-

yd(t))(sP

d(t)

u(t)

yd(t))(sP

d(t)

u(t))(sK

)(sTdy(t)

r(t))(sTr

d(t)

yr(t)

yd(t) dTrTy dr +=


Exemplo com distúrbioExemplo com distúrbio

)(sK

-

y(t)+r(t) )(sP

d(t)

u(t)

Adotando um controlador proporcional Kp para o sistema abaixo encontrar as funções de transferência de malha fechada em relação a referência e em relação ao distúrbio, as constantes de tempo e ganhos estáticos, e as respostas paraKp= 2 e 10

34

0 ==Kτ

)()()(0 tuKty

dttdy

=+τ


Solução: TSolução: Trr

-Kp

)(ty)(trPu

)(te )(tu P

A resposta é a soma das respostas

Considerando o distúrbio nulo, encontra-se a resposta de malha fechada em relação à referência

dTrTy dr +=

ryTr =

P

Pr

PP

P

PKPK

ryT

rPKyyPKyrPKy

+==

=+−=

1

)(


Solução: Solução: TTdd

Considerando agora a referência nula encontra-se a resposta de malha fechada em relação ao distúrbio

dyTd =

)(sK-

yd(t))(sP

d(t)

u(t)

PK P

yd(t))(sP

d(t)

u(t))(sKPK

P

Pd PK

PdyT

+==

1


Solução: Resposta completaSolução: Resposta completa

O sistema de malha fechada resulta

)(sTdy(t)

r(t))(sTr

d(t)

yr(t)

yd(t)P

Pr PK

PKryT

+==

1

Pd PK

PdyT

+==

1dTrTy dr +=


Solução: Solução: ττ TrTr e Ke K0 Tr 0 Tr

Obtendo a constante de tempo e ganho estático da FT de malha fechada em relação à referência

P

PT KK

KKKr

0

00 1+

=

PT KKr

01+=

ττ11

1

0

0

0

++

+=

sKK

KKKK

T

P

P

P

r τ

)()()(0 tuKty

dttdy

=+τP

Pr PK

PKryT

+==

1


Solução: Solução: ττTdTd e Ke K0 0 TdTd

Os parâmetros em relação ao distúrbio são

)()()(0 tuKty

dttdy

=+τ

11

1

0

0

0

++

+=

sKK

KKK

T

P

Pd τ

PT KK

KKd

0

00 1+

=

PTT KKrd

01+==

τττ

P

d

KsKsK

T

11

10

0

++

+=

τ

τ

Pd PK

PdyT

+==

1


Solução: Solução: MatLabMatLab

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Tempo

Sai

da

Res pos ta do dis turbio e referencia

Yd Kp=2

Yr Kp=2

Yd Kp=10

Yr Kp=10

Malha abertaRes p ReferênciaRes p Dis túrbio

Observar a diminuição na resposta ao

distúrbio


Solução:Solução: MatlabMatlab

clear all, close all, clctau=4K0=3Gama0=1;t=0:0.1:20;% Resposta de malha aberta ao degrau de distúrbioyd=K0*Gama0*(1-exp(-t/tau));figure(1), plot(t,yd,'b'), hold on



KP=10;K0Tr=(K0*KP)/(1+K0*KP)tauTr=tau/(1+K0*KP)yTr=K0Tr*Gama0*(1-exp(-t/tauTr));plot(t,yTr,'r')K0Td=K0/(1+K0*KP)tauTd=tauTryTd=K0Td*Gama0*(1-exp(-t/tauTd));plot(t,yTd,'k')%legend('Malha aberta','Resp referencia','Malha

fechada')title('Resposta do distúrbio e referencia')xlabel('Tempo'), ylabel('Saida')text(7,0.48,'Yd Kp=2'),text(7,0.9,'Yr Kp=2')text(12,0.16,'Yd Kp=10'),text(12,1.01,'Yr Kp=10')hold off

% Resposta ao degrau do disturbio de malha fechada

KP=2;K0Tr=(K0*KP)/(1+K0*KP)tauTr=tau/(1+K0*KP)yTr=K0Tr*Gama0*(1-exp(-t/tauTr));plot(t,yTr,'r')K0Td=K0/(1+K0*KP)tauTd=tauTryTd=K0Td*Gama0*(1-exp(-t/tauTd));plot(t,yTd,'k')legend('Malha aberta','Resp

Referência','Resp Distúrbio')title('Resposta do disturbio e referencia')xlabel('Tempo'), ylabel('Saida')


Exemplo erro estacionário com distúrbioExemplo erro estacionário com distúrbio

)(sK

-

y(t)+r(t) )(sP

d(t)

u(t))(te

Considere o exemplo anterior. Obtenha o sinal de erro E(s) quando tanto a entrada de referência R(s) como o distúrbio de entrada D(s) estão presentes. Determine o erro estacionário quando o sistema for submetido a uma entrada de referência na forma de degrau unitário e a um distúrbio de entrada na forma de degrau de valor d0

201.3

4

0

0

===

=

pKdKτ

)()()(0 tuKty

dttdy

=+τ


Solução:Solução:

)()()( sYsRsE −=

)()()()()( sRsTsDsTsY rd +=

)(1

)()(1

)()( sRPKKsPsD

PKsPsY

P

P

P ++

+=

( ))()(1

)()( sRKsDPKsPsY P

P

++

=

( ))()(1

)(0

0 sRKsDKKs

KsY PP

+++

=τ



)()()( sYsRsE −=

( ))()(1

)()(0

0 sRKsDKKs

KsRsE PP

+++

−=τ

( ) ( )P

PP

KKssRKsDKsRKKssE

0

00

1)()()(1)(

+++−++

=τ

τ

( )PKKssDKsRssE

0

0

1)()(1)(

++−+

=τ

τ



( ))()(lim0

sYsRsesest −=→

( ) ( )P

sP

sest KKsdKs

KKssdK

ss

se0

00

00

00

0 11lim

1

11lim

++−+

=++

−+=

→→ ττ

τ

τ

ssR 1)( =

sdsD 0)( =

Pest KK

dKe0

00

11+−

=


Exercício: Modelagem do distúrbioExercício: Modelagem do distúrbio

-Kp

)(ty)(trPu

)(te )(tu

Pd)(td

Para a planta abaixo encontrar as funções de transferência de malha fechada e a resposta para Kp=1, 2 e 10

34

0 ==

uKuτ

14

0 ==

dKdτ

)()()(0 tuKty

dttdy

uu =+τ )()()(0 tdKty

dttdy

dd =+τ


SoluçãoSolução

-Kp

)(ty)(trPu

)(te )(tu

A resposta é a soma das respostas

Considerando o distúrbio nulo, encontra-se a resposta de malha fechada em relação à referência

dTrTy dr +=

ryTr =

pu

pur

pupu

pu

KPKP

ryT

rKPyyKP

yrKPy

+==

=+

−=

1

)(


ContinuandoContinuando

-C

)(tyPu

)(te )(tu

Pd)(td

Considerando agora a referência nula encontra-se a resposta de malha fechada em relação ao distúrbio

dyTd =

pu

dd

dpu

pud

KPP

dyT

dPyyKP

yKPdPy

+==

=+

−+=

1

)(

-C

)(ty

Pu

Pd)(td


ContinuandoContinuando

O sistema de malha fechada resulta

)(tyGu

)(tr

Gd)(td

pu

pur KP

KPryT

+==

1

pu

dd KP

PdyT

+==

1dTrTy dr +=


AindaAinda

Encontrando a FTO de malha fechada em relação à referência (mesma anterior)

pu

pur KP

KPryT

+==

1)()()(

0 tuKtydttdy

uu =+τ

pu

puT KK

KKK

r0

00 1+

=

11

1

0

0

0

++

+=

pKK

KKKK

T

pu

u

pu

pu

r τpu

uT KKr

01+=

ττ


Para o distúrbioPara o distúrbio

A FTO de malha fechada em relação ao distúrbio

)()()(0 tuKty

dttdy


dttdy

dd =+τ

pu

u

d

d

d

KpKpK

T

11

10

0

++

+=

τ

τpu

dd KP

PdyT

+==

1


FinalmenteFinalmente

du ττ =

Os parâmetros em relação ao distúrbio são

pu

u

d

d

d

KpKpK

T

11

10

0

++

+=

τ

τ)()()(

0 tuKtydttdy


dttdy

dd =+τ

pu

dT KK

KKd

0

00 1+

=

11

111

0

0

0

++

+

++

=p

KK

KK

Kpp

T

pu

u

pu

dd

u

d τ

ττ

pu

uTT KKrd

01+==

τττ


Solução parcialSolução parcial

Para realimentação negativa unitária

Observar a diminuição na resposta ao distúrbio



clear all, close all, clctauu=4K0u=3taud=tauu;K0d=1Gama0=1;t=0:0.1:20;

% Resposta de malha aberta ao degrau de disturbio

yd=K0d*Gama0*(1-exp(-t/taud));figure(1), plot(t,yd,'b'), hold on



Kp=10;K0fr=(K0u*Kp)/(1+K0u*Kp)taufr=tauu/(1+K0u*Kp)yfr=K0fr*Gama0*(1-exp(-t/taufr));plot(t,yfr,'r')K0fd=K0d/(1+K0u*Kp)taufd=taufryfd=K0fd*Gama0*(1-exp(-t/taufd));plot(t,yfd,'k')%legend('Malha aberta','Resp

referencia','Malha fechada')title('Resposta do disturbio e referencia')xlabel('Tempo'), ylabel('Saida')text(12,0.3,'Kp=1'),text(12,0.8,'Kp=1')hold off

% Resposta ao degrau dodisturbio de malha fechada

Kp=1;K0fr=(K0u*Kp)/(1+K0u*Kp)taufr=tauu/(1+K0u*Kp)yfr=K0fr*Gama0*(1-exp(-t/taufr));plot(t,yfr,'r')K0fd=K0d/(1+K0u*Kp)taufd=taufryfd=K0fd*Gama0*(1-exp(-t/taufd));plot(t,yfd,'k')legend('Malha aberta','Resp

referencia','Malha fechada')title('Resposta do disturbio e

referencia')xlabel('Tempo'), ylabel('Saida')


ReferênciaReferência

Malha aberta, Distúrbios e Malha fechadaOgata pg 53-56

apostila controle - 12 - modelagem de distúrbio

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