apostila construindo planilhas no excel - conteúdos matemáticos

Xarlleslb Blog www.xarlles.blogspot.com.br

APOSTILA:

APRENDENDO MATEMTICA COM PLANILHAS

ELETRNICAS

Volume 1

Charles Loureno de Bastos


O contedo que segue, est estruturado a partir de postagens realizadas no

Xarlleslb Blog. Nesta apostila, so apresentados contedos matemticos e

codificaes para a construo de planilhas eletrnicas no Excel.

Todo este contedo e ainda, links para as planilhas j construdas esto

disponibilizadas para uso livre no link:

http://xarlles.blogspot.com.br/p/planilhas-no-excel.html

Este primeiro volume apresenta planilhas com os seguintes contedos

matemticos:

[1] reas de Figuras Geomtricas.

[2] Clculos em P.A. e P.G.

[3] Determinantes.

[4] Estudo da Equao do 2 Grau.

[5] Funo Polinomial do Primeiro Grau.

[6] Funes e Transformaes Trigonomtricas.

[7] Relaes Mtricas no Tringulo Retngulo.

[8] Sistemas de Equaes do Primeiro Grau com Duas Incgnitas.


reas de Algumas Figuras Geomtricas

Esta planilha menos funcional, pois demanda bastante frmulas e pouca relao

com o entendimento do contedo.

Nela, so retornados resultados de alguns clculos de reas de figuras geomtricas a

partir dos valores (medidas) de alguns de seus elementos.

Esto presentes 13 resultados de clculos de reas de figuras como tringulo,

quadrado, retngulo, paralelogramo, losango, trapzio, crculo, setor circular, coroa

circular e hexgono.

rea

Quando medimos superfcies tais como um terreno, ou o piso de uma sala, ou ainda

uma parede, obtemos um nmero, que a sua rea.

rea um nmero real, maior ou igual a zero, que representa a medida de uma

superfcie.

Cdigos na Planilha e Frmulas das reas


Quadrado

Cdigo na planilha:

=SEERRO(SE(F5="";"";SE(F5


Cdigo na planilha:

=SEERRO(SE(AA6="";"";SE(AA5="";"";SE(AA5


Frmula:

Tringulo (lados adjacentes e ngulo entre eles)

Cdigo na planilha:

=SEERRO(SE(AA18="";"";SE(AA17="";"";SE(AA16="";"";SE(AA16


Cdigo na planilha:

=SEERRO(SE(M6="";"";SE(M5="";"";SE(M5


Clculos em PA e PG

Aps algumas atualizaes e ter criado uma planilha para tratar de Equaes do

Segundo Grau com Uma Incgnita, resolvi continuar o padro de posts relacionados

planilhas eletrnicas. Ento segue mais este post, agora tratando de Progresso

Aritmtica (P.A.) e Progresso Geomtrica (P.G.)

P.A. e P.G. so contedos comumente estudados no ensino mdio e que lidam com

sequncias numricas. A P.A. uma sequncia numrica em que cada termo, a

partir do segundo, igual ao anterior somado com o nmero fixo, dito razo desta

progresso. A P.G. A P.G. uma sequncia de nmeros no nulos em que cada

termo posterior, a partir do segundo, igual ao anterior multiplicado por um nmero

fixo dito razo desta progresso.

Os grficos gerados dos nmeros da sequncia de uma P.A. ou de uma P.G. tm

aparncia com a logo deste post. Existem inmeras questes a respeito destes

contedos que demandam interpretao das situaes propostas, para alm dos

clculos em frmulas como apresenta a planilha.

Estes contedos tm aplicaes em diversas reas, por exemplo, na Biologia com a

reproduo das bactrias; ou em Qumica, no balanceamento e na proporo de

fuso de elementos, na Economia, com crescimentos ou decrescimentos constantes

ou variveis ou com juros simples e juros compostos; ou seja, situaes que

envolvem sequncias numricas.

A planilha aborda alguns clculos relacionados P.A. e P.G., o mais importante

est na leitura, no entendimento e na aplicao destes contedos. Os clculos so

bsicos e at repetitivos quando estudados na escola. Est planilha ento serve para

verificar os clculos realizados. Trabalhar a implementao desta planilha at

interessante, mas demandaria outras implementaes para explorar mais o contedo.


Mesmo assim, apresento as funcionalidades da planilha, bem como o modo em que a

implementei.

Funcionalidades da Planilha

As funcionalidades da planilha j so aparentes nas imagens. So realizados 6

diferentes resultados para a P.A. e para a P.G.:

# ensimo termo;

# primeiro termo;

# razo (r, q);

# nmero de termos (n);

# soma dos n termos (S);

# 10 primeiros termos.

Apesar das legendas indicarem "Clculo" os valores obtidos na verdade so apenas

resultados, j que os clculos esto ocultos nas frmulas. Estas frmulas so

apresentadas detalhadamente mais abaixo, tanto no formato algbrico, quanto no

formato lgico-matemtico (codificao Excel).

Como criei a planilha


A insero dos dados conhecidos

Os nicos espaos disponveis para insero de dados so as clulas em amarelo.

informado que se deve inserir os valores conhecidos. Comumente, havero trs dos

4 valores conhecidos e o quarto valor, assim como os j inseridos iro aparecer como

resultados dos clculos. Na planilha construda, as clulas que referenciam cada item

so:

r = C6 (razo)

a1 = D6 (primeiro termo da sequncia)

n = E6 (nmero de termos)

an = F6 (ltimo termo determinado, ensimo termo)

Clculo do termo an (ensimo termo, termo geral)

A codificao no Excel:

=SE(E6="";"";SE(D6="";"";SE(C6="";"";D6+(E6-1)*C6)))


A frmula matemtica:

Clculo do termo a1


=SE(C6="";"";SE(E6="";"";SE(F6="";"";F6-(E6-1)*C6)))

A frmula matemtica a mesma do termo geral, mas evidenciando o primeiro

termo:

Clculo da razo (r)


=SE(E6="";"";SE(E6=1;"";SE(D6="";"";SE(F6="";"";(F6-D6)/(E6-1)))))

A frmula matemtica:

Observe que temos uma observao, no pode ocorrer n = 1, como n - 1

denominador, teramos 0 (zero), e isso no pode ocorrer. Para que no tenhamos

uma mensagem de erro, na codificao foi implementado retorno vazio quando n = 1.

Clculo do nmero de termos (n)


=SE(C6="";"";SE(C6=0;"";SE(D6="";"";SE(F6="";"";1+(F6-D6)/C6))))

A frmula matemtica:


Apesar de poder existir sequncias constantes na P.A., ou seja, r = 0, na

implementao da frmula para a codificao, observe que r no pode ser 0 (zero),

pois est no denominador; para no haver mensagem de erro, implementamos

retorno vazio quando r = 0.

Clculo da soma dos n termos


=SE(E6="";"";SE(F6="";"";SE(D6="";"";((D6+F6)*E6)/2)))

A frmula matemtica:

Os 10 primeiros termos


=SE(C11="";"";C11), primeiro termo.

=SE(C11="";"";SE(C6="";"";C23+C6)), segundo termo.

(...)

As demais so semelhantes a esta ltima codificao e alterando a clula C23, pela

clula do termo anterior.

A frmula matemtica:


A insero dos dados conhecidos

Na planilha construda, as clulas que referenciam cada item so:

q = L6 (razo)

a1 = M6 (primeiro termo da sequncia)

n = N6 (nmero de termos)

an = O6 (ltimo termo determinado, ensimo termo)

Clculo do termo an (ensimo termo)


=SE(N6="";"";SE(L6="";"";SE(M6="";"";M6*(L6^(N6-1)))))

A frmula matemtica:

Clculo do termo a1



=SE(N6="";"";SE(L6="";"";SE(O6="";"";O6/(L6^(N6-1)))))

A frmula matemtica:

Clculo da razo (q)


=SE(M6=0;"";SE(N6="";"";SE(N6=1;"";SE(M6="";"";SE(O6="";"";(O6/M6)^(1/(N6-

1)))))))

A frmula matemtica:

A codificao foi realizada baseando-se na frmula escrita no segundo formato, por

desconhecer a implementao de razes com radicais superiores a 2. Observe que

poderamos ter algum problema por haver diviso e a1 no poderia assumir 0 (zero)

pela frmula, mas isso garantido pela definio de P.G., j que ela no pode ser

nula.

Teremos um problema se n = 1, ou seja, se quisermos apenas um elemento, observe

na frmula que usamos n - 1 no denominador, ou , se n = 1 teramos zero no

denominador, o que impossvel de resolver; mas veja que no faz muito sentido

procurar q para 1 elemento, j que este elemento o prprio a1. Para no termos

esse erro, observe que foi implementado na codificao um retorno vazio para n = 1.

Clculo do nmero de termos (n)


=SE(M6=0;"";SE(L6="";"";SE(M6="";"";SE(O6="";"";LOG(IMABS(O6/M6*L6);IMABS(L6

))))))

A frmula matemtica:


Um destaque especial para esta frmula, a presena dos dois mdulos se deve ao

no clculo de logaritmo para nmeros negativos, j que a razo aqui no nula (q

diferente de zero pela definio de P.G.), mas pode ser negativa.

Clculo da soma dos n termos


=SE(N6="";"";SE(M6="";"";SE(L6="";"";(M6*((L6^N6)-1))/(L6-1))))

A frmula matemtica:

Os 10 primeiros termos


=SE(L11="";"";M6)

=SE(L11="";"";SE(L6="";"";M6*L6))

A frmula matemtica:

Referncia e recomendao

GIOVANNI, Jos Ruy. Matemtica Fundamental. Editora FTD. So Paulo, 1994.

Aps terminar este post, resolvi procurar planilhas sobre P.A. e P.G., encontrei uma

que realiza mais funes que a que disponibilizo, mas apenas para P.A.. Vale a pena

conferir no Blog Matemtica na Veia.


Determinantes

Determinante um nmero real que se associa a uma matriz quadrada.

A teoria dos determinantes surgiu quase simultaneamente na Alemanha e no Japo.

Foi desenvolvida por dois matemticos, Leibniz (1646-1716) e Seki Shinsuke Kowa

(1642-1708), ao solucionarem um problema de eliminaes necessrias resoluo

de um sistema de m equaes lineares com m incgnitas.

Este outro post que relaciona contedo da matemtica com planilhas eletrnicas

confeccionadas no Excel. Abaixo seguem alguns procedimentos sobre como foi

confeccionada a planilha e sugestes de leitura a respeito de determinantes.

Esta planilha devolve resultados de determinantes de matrizes de 2, 3 e 4 ordem.

Nas frmulas possvel perceber o uso de menor complementar, cofator, Regra de

Sarrus e teorema de Laplace.

A planilha


Det A

=SEERRO(SE(J5="";"";SE(I5="";"";SE(J4="";"";SE(I4="";"";I4*J5-J4*I5))));"")

O determinante de uma matriz de 2 ordem um nmero real obtido pela diferena

entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da

diagonal secundria.

Det B

=SEERRO(SE(L11="";"";SE(K11="";"";SE(J11="";"";SE(L10="";"";SE(K10="";"";SE(J10

="";"";SE(L9="";"";SE(K9="";"";SE(J9="";"";(J9*K10*L11+K9*L10*J11+L9*J10*K11-

(L9*K10*J11+L10*K11*J9+L11*K9*J10)))))))))));"")

O mtodo aplicado ao calcular o determinante de 3 ordem conhecido

com teorema de Laplace. Tal teorema pode ser enunciado por: "O determinante de

uma matriz quadrada B, de 3 ordem, igual soma dos produtos dos elementos de

uma linha ou coluna qualquer pelos respectivos cofatores.". Mas na frmula aplicada

na planilha foi utilizada a regra de Sarrus.


Det C

=SEERRO(SE(N18="";"";SE(M18="";"";SE(L18="";"";SE(K18="";"";SE(N17="";"";SE(M

17="";"";SE(L17="";"";SE(K17="";"";SE(N16="";"";SE(M16="";"";SE(L16="";"";SE(K16="

";"";SE(N15="";"";SE(M15="";"";SE(L15="";"";SE(K15="";"";(K15*(-

1)^2*((L16*M17*N18+M16*N17*L18+N16*L17*M18) -

(N16*M17*L18+N17*M18*L16+N18*M16*L17))) + (L15*(-

1)^3*((K16*M17*N18+M16*N17*K18+N16*K17*M18) -

(N16*M17*K18+N17*M18*K16+N18*M16*K17))) + (M15*(-

1)^4*((K16*L17*N18+L16*N17*K18+N16*K17*L18) -

(N16*L17*K18+N17*L18*K16+N18*L16*K17))) + (N15*(-

1)^5*((K16*L17*M18+L16*M17*K18+M16*K17*L18) -

(M16*L17*K18+M17*L18*K16+M18*L16*K17)))))))))))))))))));"")

No clculo do determinante de matriz de 4 ordem, foi aplicado o teorema de Laplace,

at chegar em determinantes de 3 ordem, e depois empregou-se a regra de Sarrus.

Sugestes de Leitura

[1] GIOVANNI, Jos Ruy. Matemtica Fundamental. 2 Grau. Volume nico. FTD.

So Paulo, 1994.

[2] Uma Breve Histria das Matrizes e Determinantes - [Blog Fatos Matemticos]

[3] O Mtodo de Dodgson Para Calcular Determinantes 3x3 - [Blog Fatos

Matemticos]


Estudo da Equao do 2 Grau

Esta semana atualizava um post que criei quando divulguei uma planilha que havia

implementado sobre Movimento Uniformemente Variado (Fsica), quando pensei em

criar uma planilha para estudar alguns clculos e caractersticas presentes em

equaes do 2 grau com uma incgnita.

Ao pesquisar a respeito, encontrei vrias planilhas, algumas apresentando

procedimentos de clculos, outras com tabela para inserir valores e produzir grficos

(funo) e diferentes funcionalidades.

Acredito que seja importante o processo de criao da planilha, pois para

implementar clculos e funcionalidades preciso ter conhecimento do contedo em

questo; este seria um bom exerccio de ensino e aprendizado. Neste post, relato um

pouco sobre o tema, descrevo as funcionalidades da planilha, indico um passo a

passo com as frmulas que foram implementadas, mostro um exemplo e disponibilizo

o arquivo da planilha para download.

No h neste post uma descrio sobre o contedo de estudo de equaes do 2

grau. Este contedo bastante extenso, e demandaria maior espao para

discusso. Confira as sugestes de leitura no final do post. O interessante aqui seria

associar o contedo presente em livros didticos e ir testando os exemplos e

exerccios destes livros e assimilando cada um dos tpicos abordados na planilha.

"Com um computador para desenhar grficos (...), o professor e o aluno podem testar

hipteses e investigar raciocnios com defeito" Revista Clculo, edio 15, p. 29.

H na edio 15 da Revista Clculo, alguns exemplos do uso do Excel, vale conferir

(p. 30 a p. 39).

A planilha e suas funcionalidades


A planilha foi criada para apresentar resultados e algumas caractersticas prprias da

equao que for analisada. Para utilizar destes clculos basta o usurio adicionar os

coeficientes da equao do 2 grau. Como a equao do 2 grau pode ser escrita da

seguinte forma ax + bx + c = 0, e portanto, os coeficientes sendo a, b e c.

As funcionalidades da planilha so:

# Retorna sobre a concavidade do grfico da equao do 2 grau em estudo;

# Apresenta o resultado do clculo do discriminante e retorna uma das trs

possibilidades de sua ocorrncia: discriminante maior, igual ou menor que zero

(nmero de razes reais da equao);

# Apresenta o resultado do clculo do vrtice da parbola da equao em estudo (Xv,

Yv), alm de indicar se a curva possui ponto de mnimo ou ponto de mximo;

# Apresenta o resultado do clculo das razes reais da equao e os pontos P e Q

em que a parbola corta o eixo X (claro que dependendo do discriminante, podendo

ter nenhuma, uma ou duas razes reais);

# E ainda apresenta o grfico da equao no intervalo de nmeros inteiros [-10, 10]

para x.

A planilha - como criei

Aqui indicarei as frmulas implementadas em cada um dos clculos, relacionando as

clulas ao valor real de clculo. Observe que as clulas poderiam variar dependendo

da posio em que fossem realizadas as formataes.


Acredito que esta uma parte importante, pois organizar uma planilha deste modo

simples, mas demanda compreenso sobre lgica e entendimento do contedo

(equao do 2 grau).

1) Coeficientes (equao do 2 grau)

As trs clulas em amarelo so os nicos espaos em que o usurio poder inserir

dados. No momento em que insere um dos trs valores todos os demais espaos

configurados vo se alterando e apresentando resultados.

Nestas clulas no h formulaes, mas a partir delas que so realizadas

praticamente todas as frmulas. Elas correspondem a: E7 = coeficiente a, G7 =

coeficiente b, I7 = coeficiente c.


2) Concavidade

As clulas mescladas para a concavidade esto com a seguinte codificao:

=SE(E7="";"";SE(E7=0;"Ateno!!! Esta no uma equao do 2

grau";SE(E7>0;"Como a > 0, o grfico da equao tem concavidade voltada para

cima.";"Como a < 0, o grfico da equao tem concavidade voltada para baixo.")))

A clula E7 que se repete por trs vezes na codificao refere-se ao coeficiente a da

equao em estudo pelo usurio.

Esta codificao permite um dos possveis retornos na condicional SE:

# se E7 estiver vazia, o retorno vazio;

# se E7 for preenchida com 0 (zero), o retorno a mensagem: "Ateno!!! Esta no

uma equao do 2 grau";

# Se E7 for preenchida com um valor maior que 0 (zero), o retorno a

mensagem: Como a > 0, o grfico da equao tem concavidade voltada para cima.

# Se E7 for preenchida com um valor menor que 0 (zero), o retorno a

mensagem: Como a < 0, o grfico da equao tem concavidade voltada para baixo.

3) Discriminante

Para o discriminante existem dois espaos de clulas mescladas. Um espao

reservado para o clculo e outro para retornos a respeito deste clculo.

A codificao para o clculo do discriminante :

=SE(E7="";"";SE(E7=0;"";G7*G7-4*E7*I7))

Observe que a condicional SE:

# Verifica se o coeficiente a (E7) est vazio, se estiver, no realizado clculo e no

espao retornado vazio;

# Verifica se o coeficiente a (E7) zero, se for zero, faz o mesmo retorno de vazio;

# No sendo zero ou vazio (sem preenchimento), realiza o clculo do discriminante

que est escrito por b*b - 4*a*c.

A codificao para retorno sobre o resultado do discriminante:


=SE(D12="";"";SE(D12=0;"A equao possui duas razes reais e

iguais";SE(D12>;0;"A equao possui duas razes reais e diferentes.";"A equao no

possui razes reais.")))

Observe que a codificao est em torno da clula D12, esta clula representa o

valor do clculo do discriminante, para ele so feitas as verificaes:

# Se o discriminante (D12) no tiver preenchimento o retorno vazio (nada

preenchido);

# Se o discriminante for 0 (zero), o retorno : A equao possui duas razes reais e

iguais;

# Se o discriminante for maior que 0 (zero), o retorno : A equao possui duas

razes reais e diferentes.

# Se o discriminante for menor que 0 (zero), o retorno : A equao no possui razes

reais.

4) Vrtice

Para o vrtice existem duas codificaes, uma para cada coordenada:

=SE(E7="";"";SE(E7=0;"#";-G7/(2*E7)))

=SE(E7="";"";SE(E7=0;"#";-D12/(4*E7)))

A primeira linha de codificao calcula a coordenada x do vrtice e a segunda linha

calcula a coordenada y do vrtice. As duas linhas verificam se:

# Se o coeficiente a no foi inserido, no havendo insero no realizado clculo e

o retorno vazio;

# Se o coeficiente a for 0 (zero), o retorno # (indicando que isso no pode ocorrer,

por se tratar de uma equao do 2 grau;

# Se o coeficiente a for inserido e no for zero, o clculo realizado Xv = - b/2*a e Yv

= - /4*a;

H ainda a codificao com retornos sobre o vrtice:

=SE(E7="";"";SE(E7=0;"Impossvel calcular o vrtice";SE(E7>0;"A parbola possui

ponto de mnimo em Yv.";"A parbola possui ponto de mximo em Yv.")))

Esta codificao realiza as verificaes:

# Se o coeficiente a (E7) no for preenchido, retorna vazio (nenhuma informao);


# Se o coeficiente a for preenchido com 0 (zero), retorna: Impossvel calcular o

vrtice;

# Se o coeficiente a maior que 0 (zero), retorna: A parbola possui ponto de mnimo

em Yv;

# Se o coeficiente a maior que 0 (zero), retorna: A parbola possui ponto de

mximo em Yv.

5) Razes reais da equao

As clulas mescladas para o clculo das razes da equao, possuem a codificao:

=SE(D12="";"";SE(D12=SE(D12="";"";SE(D12

As duas codificaes verificam:

# se o discriminante (D12) est vazio e retorna vazio;

# se o discriminante menor que zero e retorna # (indicando que no existe raiz real

para a equao e, portanto, a parbola no corta o eixo x);

# se o discriminante no est vazio e no menor que zero, as codificaes

realizam, respectivamente, o clculo para x' e x'', as duas coordenadas x (razes) dos

pontos P e Q que so interseco da parbola com o eixo x.

H ainda uma pequena codificao que copia as coordenadas x, mostrando os

pontos P e Q:

=SE(D19="";"";D19)

=SE(G19="";"";G19)


6) Grfico

Construir o grfico com os valores dos clculos realizados anteriormente (vrtice e

razes) demanda um pouco mais de codificao e algumas outras implementaes.

Nesta planilha foi preferido organizar uma tabela, com duas colunas e o tipo de

grfico escolhido foi o de disperso XY. A primeira com valores para x no intervalo de

nmeros inteiros [-10, 10] e a segunda com o clculo dos valores y, neste caso,

interpretou-se a equao na forma de funo (f(x)= y = ax + bx + c). Assim, quando

so inseridos os valores para a, b e c (coeficientes) o grfico gerado.

A codificao para a segunda coluna baseada na codificao de uma clula e que

copiada para todas as demais da coluna y na tabela:

=$E$7*AA4*AA4+$G$7*AA4+$I$7

Observe o uso de $, esse sinal fixa a linha e a coluna da clula, ou seja, permite que

se copie a frmula desta primeira clula para as demais sem alterar a clula em

quem o smbolo $ aparece. Veja que apenas a clula AA4 no possui este smbolo,

ela que ser alterada ao copiar o cdigo nesta clula para as demais linhas de

clulas na coluna.


O clculo presente nesta codificao justamente a*x*x + b*x + c.

Um exemplo

Confira como fica a planilha aps a insero dos coeficientes da equao -4x

+ 4x + 5 = 0.

Sugestes de Leitura

[1] Equaes do Segundo Grau Com Uma Incgnita (Blog Fatos Matemticos)

[2] Funo Quadrtica - Aplicaes (Blog Prof. Edigley Alexandre)

[3] O mtodo de completar quadrados: processo prtico (Blog Vivendo Entre

Smbolos)

[4] Resolvendo Equaes Quadrticas pelo Mtodo Geomtrico de Descartes (Blog O

Baricentro da Mente)

[5] Exemplo de simulador. [Professor Cardy]


Funo Polinomial do 1 Grau

Em mais um exemplo de planilha eletrnica, trato da Funo Polinomial do Primeiro

Grau, desta vez expondo o contedo juntamente com as frmulas lgicas utilizadas

para criar os retornos na planilha. Uma planilha bem simples de confeccionar e que

est disponvel para download.

A imagem por si, j traz basicamente o que propomos mais abaixo, com contedo,

planilha, sugestes de leituras e simuladores.

Funcionalidades da planilha

Est planilha bem simples, apresentando as funcionalidades:

# Apresenta o zero da funo (abscissa);

# Retorna se a funo dita afim, linear ou constante;

# Retorna os intervalos em que a funo positiva, negativa e nula;

# Informa se a funo crescente, decrescente ou constante;

# Representa o grfico da funo no intervalo [-10; 10].


A planilha e o contedo matemtico

1) Coeficientes da funo do 1 grau

Os espaos em amareo representam os dois coeficientes - a e b - da funo

polinomial. Estas so as duas nicas clulas (em amarelo) que permitem insero de

dados. Estes dados devem ser exclusivamente numricos. Inserindo letras ou

smbolos haver erro nos retornos.

Toda funo polinomial representada pela frmula matemtica

com a e b pertencentes ao conjunto dos nmeros reais e a diferente de zero, definida

para todo x real, denominada funo do 1 grau.

2) Zero da funo

Codificao:

=SE(G8=0;"";SE(I8="";"";SE(G8="";"";-I8/G8)))

Denomina-se zero ou raiz da funo f(x) = ax + b o valor de x que anula a funo, isto

, torna f(x) = 0.


Veja que x = -b/a o zero da funo.

3) Caractersticas da funo

Codificao:

=SE(I8="";"";SE(G8="";"";SE(G80;SE(I80;"A funo dita funo afim, pois a e b

so diferentes de zero.";"A funo dita funo linear, pois b nulo.");"Est uma

funo constante, pois a nulo.")))

Observando os coeficientes determina-se a funo como afim, linear ou constante.

# Uma funo polinomial do 1 grau dita funo afim quando a e b so diferentes

de zero.

# Uma funo polinomial do 1 grau dita funo linear quando a diferente de

zero e b nulo (zero).

# Uma funo polinomial do 1 grua dita funo constante quando a nulo (zero)

e b diferente de zero.

Codificao:

=SE(G8=0;"";SE(G8>0;"A funo positiva (f(x)> 0)para x > ";"A funo positiva

(f(x)> 0)para x


Se a = 0, com b diferente de zero, a reta no corta o eixo x e ento a funo

constante. Tendo que se b > 0, a reta est acima do eixo da abscissa; se b < 0, a reta

est abaixo do eixo da abscissa.

4) Crescimento ou decrescimento

Codificao:

=SE(G8="";"";SE(G8=0;"f(x) uma funo CONSTANTE";SE(G8>0;"A funo

CRESCENTE";"A funo DECRESCENTE")))

Uma funo f(x) crescente quando a > 0 e decrescente quando a < 0. Se o

coeficiente a nulo, a funo constante.

5) Grfico

O grfico construdo com a organizao de uma tabela que fica mais a frente na

planilha, em que x varia de - 10 a 10.

Referncias e sugestes de leitura e uso

[1] GIOVANNI, Jos Ruy. Matemtica Fundamental. Editora FTD. So Paulo, 1994.

[2] Simulador. Este simulador permite movimentar (alterar o valor) os coeficientes e

verificar o que ocorre com o grfico da funo do primeiro grau.

[3] Calculadora Grfica. Simulador que gera diversos tipos de grficos.


Funes e Transformaes Trigonomtricas

Esta planilha uma complementao da planilha sobre Relaes Trigonomtricas no

Tringulo Retngulo. Nela tratamos de algumas funes trigonomtricas e

transformaes trigonomtricas.

O trabalho ao organizar esta planilha foi um pouco maior, algumas das codificaes

utilizaram relaes diferentes das frmulas estudadas.

No se trata de uma planilha muito usual para testes e estudo, como algumas outras

j construdas. mais para a verificao de clculos; o que uma calculadora

cientfica faz facilmente.

Foram realizados vrios testes para ngulos variando de 0 a 360, mas pelo grande

nmero de codificao, pode haver alguma falha. Percebido algo erro de codificao,

por favor, retorne aqui mesmo no post.

As funcionalidades

Nesta planilha o usurio ir indicar o ngulo desejado e sero apresentados:

# os resultados das funes trigonomtricas: seno, cosseno, tangente, cossecante,

secante e cotangente.

# os resultados de algumas transformaes trigonomtricas:

sen(a + b)

sen(a - b)

cos(a + b)

cos(a - b)

tg(a + b)

tg(a - b)

sen2a

cos2a


tg2a

sen a + sen b

sen a - sen b

cos a + cos b

cos a - cos b

E ainda mostra os grficos para as funes trigonomtricas: seno, cosseno, tangente,

cossecante, secante e cotangente.

Apesar destas funcionalidades, ela no permite muita manipulao e por isso no

uma boa planilha para testes de possibilidades e de estudos.

A codificao

Optei por no adicionar as codificaes da planilha neste post por duas questes: #1

parte da codificao est sendo interpretada como html e tem alterado a configurao

do post, no mostrando a codificao correta e #2 o post ficaria mais pesado se, por

exemplo, transformasse os cdigos em imagem. Mas as codificaes podem ser

vistas facilmente nas clulas de retornos (resultados), destacadas em rosa na

planilha.

Os grficos foram construdos a partir dos clculos de cada uma destas funes para

ngulos no intervalo de 0 a 360 em uma tabela oculta na planilha.


O Curioso que algumas das funes no esto definidas para alguns ngulos;

nestas situaes os grficos no Excel, acabam por unir a curva com um segmento de

reta, pra que esse segmento de reta no aparea, foi necessrio retirar um valor

antes e um valor depois do que no est definido na funo; por exemplo, a tangente

no est definida para o ngulo 90, j que tangente = seno/cosseno, e cosseno de

90 Zero (no h diviso por zero), ento foram retirados os resultados para os

ngulos 89 e 91 e assim a curva perde parte de sua extenso em y, mas no

apresenta continuidade neste ponto.

As codificaes para estas frmulas no seguiu a escrita matemtica convencional,

pois isso demandaria maior codificao para contemplar as frmulas como elas esto

apresentadas a seguir, devido s particularidades de cada funo. Procure perceber

a diferena entre a codificao e a frmula matemtica em cada uma destas funes

conferindo as frmulas aqui no post e a codificao na planilha.

Estas frmulas da adio so vlidas para arcos a e b positivos, do primeiro

quadrante (0 a 90), cuja soma ainda pertence ao primeiro quadrante.


Estas frmulas so vlidas para a soma de dois arcos quando eles tm a mesma

medida; so ditas frmulas do arco duplo.

As frmulas a seguir so de transformao em produto, ou seja, a forma fatorada das

expresses.

Referncia



Relaes Mtricas no Tringulo Retngulo

Apresentamos neste post mais uma planilha relacionada matemtica. Desta vez,

tratando das relaes mtricas no tringulo retngulo. A planilha tratar de clculos

dos trs contedos descritos a seguir:

O Teorema de Pitgoras

Em todo tringulo retngulo, o quadrado da medida da hipotenusa igual soma dos

quadrados das medidas dos catetos.

As relaes mtricas no tringulo retngulo

# Em qualquer tringulo retngulo, a altura relativa hipotenusa divide o tringulo em

dois outros tringulos retngulos, semelhantes ao tringulo dado e semelhantes entre

si.

# 1 relao mtrica: Em qualquer tringulo retngulo, o quadrado da medida de um

cateto igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeo desse

cateto sobre a hipotenusa.

# 2 relao mtrica: Em qualquer tringulo retngulo, o quadrado da medida da

altura relativa hipotenusa igual ao produto das medidas dos segmentos que essa

altura determina sobre a hipotenusa (que so as projees dos dois catetos sobre a

hipotenusa).

# 3 relao mtrica: Em qualquer tringulo retngulo, o produto das medidas dos

catetos igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa

hipotenusa.

# 4 relao mtrica (Teorema de Pitgoras): Em qualquer tringulo retngulo, o

quadrado da medida da hipotenusa igual soma dos quadrados das medidas dos

catetos.


Um pouco de Trigonometria - Relaes trigonomtricas

# O seno de um ngulo a razo entre a medida do cateto oposto ao ngulo e a

medida da hipotenusa, em qualquer tringulo retngulo.

# O cosseno de um ngulo a razo entre a medida do cateto adjacente ao ngulo e

a medida da hipotenusa, em qualquer tringulo retngulo.

# A tangente de um ngulo a razo entre a medida do cateto oposto e a medida do

cateto adjacente a este ngulo, em qualquer tringulo retngulo.

Funcionalidades da Planilha

Est planilha apresenta as funcionalidades:

# Resultado do terceiro lado de um tringulo retngulo, baseando-se no Teorema de

Pitgoras;

# Resultado para valores a, b, c, m, n e h, a partir das relaes mtricas no tringulo

retngulo;

# Resultado do seno, do cosseno e da tangente de dois ngulos internos em um

tringulo, a partir da medida dos lados.

Codificao da Planilha

1 Parte


Nesta primeira parte preciso apenas inserir dois dos trs lados do tringulo

retngulo e o valor numrico do terceiro lado surge na rea reservada para clculo.

preciso se atentar para a descrio do lado, pois a codificao na planilha foi

organizada para retornar apenas o terceiro lado alm dos outros dois informados pelo

usurio; alm de algumas outras funcionalidades.

Clculo da hipotenusa:

=SEERRO(SE(G7"";"";SE(E12="";"";SE(C8="";"";RAIZ(C8^2+E12^2))));"")

Clculo do cateto 1:

=SEERRO(SE(C8"";"";SE(E12="";"";SE(G7="";"";RAIZ(G7^2-E12^2))));"")

Clculo do cateto 2:

=SEERRO(SE(E12"";"";SE(C8="";"";SE(G7="";"";RAIZ(G7^2-C8^2))));"")

A condio seerro elimina a possibilidade de apresentar erro para o caso do usurio

inserir a < b ou a < c, o que impossvel em um tringulo retngulo, j que a a

hipotenusa (maior dos trs lados).

A condio que est verificando uma clula diferente de vazio ""; faz com que o

clculo no seja realizado caso a clula seja preenchida. Isso feito, procurando

evitar erro, se o usurio tentar inserir trs valores aleatrios em a, b e c,

simultaneamente, ou se inserir um valor na varivel que deseja calcular.


2 Parte

Nesta parte, o usurio deve perceber que h mais de um modo para encontras as

medidas indicadas nas figuras (tringulos retngulos) presentes na planilha e que

para cada uma das medidas, ele deve utilizar a linha que tiver os valores das

medidas que se relacionam a ela e o clculo ser apresentado.

Sugere-se um teste com os valores: a = 5, b = 4, c = 3, m = 3,2, n = 1,8 e h = 2,4;

ser possvel verificar que para quaisquer linhas de uma mesma medida, o resultado

se repete e exatamente um dos valores indicados como sugesto.

Clculo de a:

=SEERRO(SE(W12>0;SE(V12>0;SE(W12="";"";SE(V12="";"";RAIZ(V12^2+W12^2)));"

");"");"")

=SEERRO(SE(Y13>0;SE(W13>0;SE(Y13="";"";SE(W13="";"";W13^2/Y13));"");"");"")


=SEERRO(SE(X14>0;SE(V14>0;SE(X14="";"";SE(V14="";"";V14^2/X14));"");"");"")

=SEERRO(SE(Y15>0;SE(X15>0;SE(Y15="";"";SE(X15="";"";X15+Y15));"");"");"")

Clculo de b:

=SEERRO(SE(X16>0;SE(U16>0;SE(X16="";"";SE(U16="";"";RAIZ(U16*X16)));"");"");"

")

=SEERRO(SE(Z17>0;SE(W17>0;SE(U17>0;SE(Z17="";"";SE(W17="";"";SE(U17="";""

;U17*Z17/W17)));"");"");"");"")

=SEERRO(SE(W18>0;SE(U18>0;SE(W18="";"";SE(U18="";"";RAIZ(U18^2-

W18^2)));"");"");"")

Clculo de c:

=SEERRO(SE(Y19>0;SE(U19>0;SE(Y19="";"";SE(U19="";"";RAIZ(U19*Y19)));"");"");"


")

=SEERRO(SE(Z20>0;SE(V20>0;SE(U20>0;SE(Z20="";"";SE(V20="";"";SE(U20="";"";

U20*Z20/V20)));"");"");"");"")

=SEERRO(SE(V21>0;SE(U21>0;SE(V21="";"";SE(U21="";"";RAIZ(U21^2-

V21^2)));"");"");"")

Clculo de m:

=SEERRO(SE(V22>0;SE(U22>0;SE(V22="";"";SE(U22="";"";V22^2/U22));"");"");"")

Clculo de n:

=SEERRO(SE(W23>0;SE(U23>0;SE(W23="";"";SE(U23="";"";W23^2/U23));"");"");"")


Clculo de h:

=SEERRO(SE(W24>0;SE(V24>0;SE(U24>0;SE(W24="";"";SE(V24="";"";SE(U24="";""

;V24*W24/U24)));"");"");"");"")

3 Parte

=SEERRO(SE(AG11>0;SE(AE11>0;SE(AG11="";"";SE(AE11="";"";

AG11/AE11));"");"");"")

=SEERRO(SE(AF11>0;SE(AE11>0;SE(AF11="";"";SE(AE11="";"";

AF11/AE11));"");"");"")

=SEERRO(SE(AG11>0;SE(AF11>0;SE(AG11="";"";SE(AF11="";"";

AG11/AF11));"");"");"")

=SEERRO(SE(AF11>0;SE(AE11>0;SE(AF11="";"";SE(AE11="";"";

AF11/AE11));"");"");"")


=SEERRO(SE(AG11>0;SE(AE11>0;SE(AG11="";"";SE(AE11="";"";

AG11/AE11));"");"");"")

=SEERRO(SE(AG11>0;SE(AF11>0;SE(AG11="";"";SE(AF11="";"";

AF11/AG11));"");"");"")

Pra finalizar, organizei uma pequena introduo sobre relaes trigonomtricas,

apresentado o resultado para o seno, o cosseno e a tangente (funes) de dois

ngulos, a partir dos lados de um tringulo qualquer.

Posts Relacionados

Tringulo Retngulo

O Teorema do Pitgoras?

Referencias

[1] CASTRUCCI, Benedicto. A conquista da Matemtica. 9 ano. Editora FTD. So

Paulo, 2009.



Sistemas de Equaes do 1 grau com duas incgnitas

Neste post construmos uma planilha que encontra a soluo de sistemas de

equaes do primeiro grau com duas incgnitas e para isso, resolvemos por

expressar x e y (soluo do sistema) por meio dos coeficientes das equaes.

Acredito que seja interessante visualizar o processo; ento, alm de dispor algum

contedo e a planilha a respeito do tema, indicamos os passos para encontrar x e y

em funo dos coeficientes das equaes.

O procedimento para encontrar x e y

Partindo do sistema

com as equaes ax + by = c e dx + ey = f, em que a, b, c, d, e e f so nmeros reais

quaisquer, evidenciamos x nas duas equaes, obtendo:

Das igualdades temos:


Agora, evidenciando y nas duas equaes temos, analogamente:

Das igualdades:


Funcionalidades na Planilha

A planilha realiza as funcionalidades:

# Especifica local para os nmeros a, b, c, d, e e f nas equaes;

# Encontra, caso exista, a soluo do sistema;

# Indica se o sistema possui infinitas solues ou nenhuma;

# Classifica o sistema em SPD (sistema possvel e determinado), SPI (sistema

possvel e indeterminado) ou SI (sistema impossvel);

# Apresenta o plano cartesiano com as duas retas geradas das equaes.

Os cdigos Excel na planilha

Equaes

Os espaos em amarelo indicam os locais em que se devem ser colocados os

nmeros a, b, c, d, e e f, de acordo com o sistema esquerda (na figura). As nicas

clulas que permitem a insero de dados so as em amarelo.

Soluo

A soluo S = {x, y} dada a partir do procedimento indicado anteriormente. A

codificao de x e de y na planilha dada por:

x:

=SE(R6="";"";SE(O6="";"";SE(L6="";"";SE(R5="";"";SE(O5="";"";SE(L5="";"";SE(O5*L6

-L5*O6=0;"#";(O5*R6-R5*O6)/(O5*L6-L5*O6))))))))

y:


=SE(R6="";"";SE(O6="";"";SE(L6="";"";SE(R5="";"";SE(O5="";"";SE(L5="";"";SE(L5*O6

-O5*L6=0;"#";(L5*R6-R5*L6)/(L5*O6-O5*L6))))))))

H ainda espao reservado para indicar retorno sobre a soluo do sistema:

=SE(O10="";"";SE(O13="Sistema Possvel e Determinado";"Admite uma nica

soluo!";SE(O13="Sistema Possvel e Indeterminado"; "Admite infinitas solues!";

"No admite solues!")))

Foram organizadas algumas condies para os casos em que o sistema admita

infinitas solues ou no admita soluo real. Ocorrendo um destes dois casos, a

soluo x e y ir apresentar o smbolo #, que interpretado na classificao do

sistema e na informao sobre o nmero de solues.

Classificao do Sistema

A classificao dada por:

=SE(O10="";"";SE(O10="#";SE(L5/L6=R5/R6;"Sistema Possvel e

Indeterminado";"Sistema Impossvel");"Sistema Possvel e Determinado"))

Grfico

So geradas duas retas para as equaes num mesmo plano cartesiano. Elas

servem, entre outros, para evidenciar as classificaes do sistema.

Caso as duas retas se cruzem em um nico ponto, significa que o sistema

POSSVEL e DETERMINADO, contendo uma nica soluo.

Caso as duas retas estejam sobrepostas, significa que o sistema POSSVEL e

INDETERMINADO, contendo infinitas solues.

Caso as duas retas sejam paralelas, significa que o sistema IMPOSSVEL, ou ,

no existe soluo real para o sistema.

Para a construo das retas, foi estipulado um intervalo em x [-10, 10], com tabela

em trs colunas: coluna x, coluna equao 1 (y1) e coluna equao 2 (y2).

Referncia


apostila construindo planilhas no excel - conteúdos matemáticos

Documents