apostila completa
TRANSCRIPT
ESCOLA POLITÉCNICA DA USP DEPTO. DE ENGENHARIA MECÂNICA
SISEA – LAB. DE SISTEMAS ENERGÉTICOS ALTERNATIVOS www.pme.poli.usp.br/sisea
PPMMEE –– 22336611 PPrroocceessssooss ddee TTrraannssffeerrêênncciiaa ddee CCaalloorr
Prof. Dr. José R Simões Moreira
2o semestre/2008 versão 1.1
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2008
2
APRESENTAÇÃO
Este trabalho são Notas de Aula da disciplina de Processos de Transferência de Calor que faz parte da grade curricular dos alunos do 3º ano do curso de Engenharia Mecânica da Escola Politécnica da USP. O conteúdo aqui apresentado trata de um resumo dos assuntos mais relevantes do livro texto “Fundamentos de Transferência de Calor e Massa” de Incropera e Witt. Também foram utilizados outros livros-texto sobre o assunto para um ou outro tópico de interesse, como é o caso do “Transferência de Calor” de Holman. O objetivo deste material é servir como um roteiro de estudo, já que tem um estilo quase topical e ilustrativo. De forma nenhuma substitui um livro texto, o qual é mais completo e deve ser consultado e estudado.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2008
3
AULA 1 - APRESENTAÇÃO 1.1. INTRODUÇÃO Diferenças básicas entre as disciplinas de Termodinâmica x e Processos de Transferência de Calor (Tanscal). A Termodinâmica lida com estados de equilíbrio térmico, mecânico e químico, e é baseada em três leis fundamentais:
- Lei Zero (“equilíbrio de temperaturas” – princípio de medida de temperatura e escala de temperatura)
- Primeira Lei (“conservação de energia” – energia se conserva) - Segunda Lei (“direção em que os processos ocorrem e limites de conversão de uma forma de energia em outra”)
Alguns exemplos que permitem distinguir as duas disciplinas: (a) Equilíbrio térmico – frasco na geladeira Considere um frasco fora da geladeira à temperatura ambiente. Depois o mesmo é colocado dentro da geladeira, como ilustrado. Suponha fG TT <
inicial final Que análises podem ser realizadas, de acordo com as duas disciplinas: Termodinâmica: TmcUQT ∆=∆= - fornece o calor total necessário a ser transferido do frasco para resfriá-lo baseado na sua massa, diferença de temperaturas e calor específico – APENAS ISTO! Transferência de calor: responde outras questões importantes no âmbito da engenharia, tais como: quanto tempo ( )t∆ levará para que o novo equilíbrio térmico, ou seja, para que Tf = TG seja alcançado? É possível reduzir (ou aumentar) esse tempo?
frasco
ambientef TT = Gf TT =
t∆
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2008
4
Assim, a Termodinâmica não informa nada a respeito do tempo para que o estado de
equilíbrio da temperatura do frasco ( fT ) com a da geladeira ( GT ) seja atingido ?)( t∆ ,
embora nos informe quanto de calor seja necessário remover do frasco para que o novo equilíbrio térmico ocorra. Por outro lado a transferência de calor vai permitir estimar o tempo t∆ , bem como definir em quais parâmetros podemos interferir para que esse tempo seja aumentado ou diminuído, segundo nosso interesse. De uma forma geral, toda vez que houver gradientes ou diferenças finitas de temperatura ocorrerá também uma transferência de calor. A transferência de calor pode ser interna a um corpo ou na superfície de contato entre uma superfície e outro corpo ou sistema (fluido).
(b) Outro exemplo: operação de um ciclo de compressão a vapor
TERMIDINÂMICA: cec qqw −= : não permite dimensionar os equipamentos
(tamanho e diâmetro das serpentinas do condensador e do evaporador, por exemplo), apenas lida com as formas de energia envolvidas e o desempenho do equipamento, como o COP:
c
e
w
qCOP =
TRANSFERÊNCIA DE CALOR: permite dimensionar os equipamentos térmicos de transferência de calor. Por exemplo, responde às seguintes perguntas: - Qual o tamanho do evaporador / condensador? - Qual o diâmetro e ocomprimento dos tubos? - Como atingir maior / menor troca de calor? - Outras questões semelhantes.
Problema chave da transferência de calor: O conhecimento do fluxo de calor O conhecimento dos mecanismos de transferência de calor permite: - Aumentar o fluxo de calor: projeto de condensadores, evaporadores, caldeiras, etc.;
cw
cq
eq
compressor válvula
condensador
evaporador
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2008
5
- Diminuir o fluxo de calor: Evitar ou diminuir as perdas durante o “transporte” de frio ou calor como, por exemplo, tubulações de vapor, tubulações de água “gelada” de circuitos de refrigeração; - Controle de temperatura: motores de combustão interna, pás de turbinas, aquecedores, etc. 1.2 MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR A transferência de calor ocorre de três formas, quais sejam: condução, convecção e radiação térmica. Abaixo descreve-se cada um dos mecanismos.
(a) Condução de calor - Gases, líquidos – transferência de calor dominante ocorre da região de alta temperatura para a de baixa temperatura pelo choque de partículas mais energéticas para as menos energéticas. - Sólidos – energia é transferência por vibração da rede (menos efetivo) e, também, por elétrons livres (mais efetivo), no caso de materiais bons condutores elétricos. Geralmente, bons condutores elétricos são bons condutores de calor e vice-versa. E isolantes elétricos são também isolantes térmicos (em geral). A condução, de calor é regida pela lei de Fourier (1822)
dx
dTAq
x α
onde: A : área perpendicular ao fluxo de calor xq
T : temperatura A constante de proporcionalidade α é a condutividade ou condutibilidade térmica do material, k, ou seja:
dx
dTkAqx =
As unidades no SI das grandezas envolvidas são:
[x
q ] = W ,
[ A ] = 2m ,
[T ] = K ou Co ,
[ x ] = m .
assim, as unidades de k são: [ k ] = Cm
Wo
⋅ ou
Km
W
⋅
2T1T . .
x
sólido
xq
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2008
6
Necessidade do valor de (-) na expressão Dada a seguinte distribuição de temperatura: Para 12 TT >
T2
T1
T∆
x∆
T
xx1 x2
0<xq (pois o fluxo de calor flui da região de maior para a de menor temperatura. Está,
portanto, fluindo em sentido contrário a orientação de x)
Além disso, do esquema; 00
0>
∆
∆
>∆
>∆
x
T
x
T, daí tem-se que o gradiente também será
positivo, isto é:
0>dx
dT mas como 0>k (sempre), e 0>A (sempre), concluí-se que,
então, é preciso inserir o sinal negativo (-) na expressão da condução de calor (Lei de Fourier) para manter a convenção de que 0>xq
Se as temperaturas forem invertidas, isto é, 21 TT > , conforme próximo esquema, a equação da condução também exige que o sinal de (-) seja usado (verifique!!)
xq
, de forma que a Lei da Condução de Calor é: Lei de Fourier (1822)
dx
dTkAq
x−=
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2008
7
(b) Convecção de Calor A convecção de calor é baseada na Lei de resfriamento de Newton (1701)
)( ∞− TTAq Sα
, onde a proporcionalidade α é dada pelo coeficiente de transferência de calor por
convecção, h, por vezes também chamado de coeficiente de película. De forma que:
onde: A : Área de troca de calor;
ST : Temperatura da superfície;
∞T : Temperatura do fluido ao longe. - O problema central da convecção é a determinação do valor de h que depende de muitos fatores, entre eles: geometria de contato (área, rugosidade, etc), propriedades termodinâmicas e de transportes do fluido, temperaturas envolvidas, velocidades, etc. (c) Radiação Térmica A radiação térmica é a terceira forma de transferência de calor e é regida pela lei de Stefan – Boltzmann. Sendo que Stefan a obteve de forma empírica (1879) – e Boltzmann, de forma teórica (1884). Corpo negro – irradiador perfeito de radiação térmica
(para um corpo negro)
−σ constante de Stefan – Boltzmann (5,669.10-8 W/m2 K4)
Corpos reais (cinzentos) 4ATq εσ= , onde ε é a emissividade que é sempre 1≤
Mecanismo físico: Transporte de energia térmica na forma de ondas eletromagnéticas
ou fótons, dependendo do modelo físico adotado. Não necessita de meio físico para se propagar. Graças a essa forma de transferência de calor é que existe vida na Terra devido ao calor da irradiação solar que atinge nosso planeta.
)( ∞−= TThAq S
4ATq σ=
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2009
8
AULA 2 – CONDUÇÃO DE CALOR
CONDUÇÃO DE CALOR
Condutibilidade ou Condutividade Térmica, k
Da Lei de Fourier da condução de calor, tem-se que o fluxo de calor, q, é diretamente
proporcional ao gradiente de temperaturas, de acordo com a seguinte expressão:
x
Tkq
∂
∂Α−= , onde A é a área perpendicular à direção do fluxo de calor e k é a
condutividade térmica do material.
As unidades no SI da condutividade térmica, k, do material, são:
[ ] [ ]
[ ][ ][ ]x
TA
qk = ⇒ [ ]
m
Cm
Wk
o2
= ⇒ [ ]Cm
Wk
o⋅= ou
Km
W
.
Sendo:
k: propriedade (de transporte) do material que pode ser facilmente determinada de forma
experimental.
Exemplo de experimento laboratorial para obtenção da condutividade k
q
A
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2009
9
No experimento indicado, uma corrente elétrica é fornecida à resistência elétrica
enrolada em torno da base da haste. O calor gerado por efeito joule é conduzido dentro
da haste para fora (lado direito). Mediante a instalação de sensores de temperatura
(termopares), pode-se levantar o perfil da distribuição de temperaturas como aquele
indicado no gráfico acima. Estritamente falando, esse perfil seria linear, como vai se ver
adiante mas, no entanto, a fim de ilustrar o procedimento ilustrou-se um perfil qualquer
de temperaturas. De forma que, o gradiente de temperatura pode ser medido a partir do
gráfico, ou seja αtgx
T=
∂
∂. Por outro lado, o fluxo de calor é a própria potência elétrica
fornecida à resistência elétrica, isto é, IUIRq ×=×= 2 . Sendo a seção transversal A
conhecida, então, da lei de Fourier, determina-se a condutividade térmica do material da
haste, k.
Um aspecto importante da condução de calor é que o mecanismo da condução de calor é
diferente dependendo do estado físico e da natureza do material. Abaixo, indicam-se os
mecanismos físicos de transporte de acordo com o estado físico.
Gases
O choque molecular permite a troca de energia cinética das moléculas mais
energéticas para as menos energéticas. A energia cinética está relacionada com a
temperatura absoluta do gás. Quanto maior a temperatura, maior o movimento
molecular, maior o número de choques e, portanto, mais rapidamente a energia térmica
(fluido) se movimenta. Pode-se mostrar que.
Tk α
Para alguns gases, a pressão moderada, k é só função de T. Assim, os dados
tabelados para uma dada temperatura e pressão podem ser usados para outra pressão,
desde que seja à mesma temperatura. Isso não é valido próximo do ponto critico.
Líquidos
Qualitativamente o mecanismo físico de transporte de calor por condução nos
líquidos é o mesmo que o dos gases. Entretanto, a situação é consideravelmente mais
complexa devido à menor mobilidade das moléculas.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2009
10
Sólidos
Duas maneiras básicas regem a transferência de calor por condução em sólidos:
vibração da rede cristalina e transporte por elétrons livres. O segundo modo é o mais
efetivo e é o preponderante em materiais metálicos. Isto explica porque, em geral, bons
condutores de eletricidade também são bons condutores de calor. A transferência de
calor em isolantes se dá, por meio da vibração da rede cristalina, que é menos eficiente.
O gráfico abaixo ilustra qualitativamente as ordens de grandeza da condutibilidade
térmica dos materiais. Nota-se que, em geral, a condutibilidade aumento de gases, para
líquidos e sólidos e que os metais puros são os de maior condutividade térmica.
Fonte: Incropera e De Witt (2002)
EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO DE CALOR EM COORDENADAS CARTESIANAS
Balanço de energia
em um volume de
controle elementar
interna. energia
de ntoarmazename de Taxa
gerado;calor de taxa
−
−
ar
g
E
E
&
&
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2009
11
BALANÇO DE ENERGIA (1ª LEI)
Fluxo de Taxa de Taxa temporal Fluxo de
calor calor de variação calor que
que entra no + gerada = da energia + deixa o
que V.C. no V.C. interna no V.C. V.C.
(I) (II) (III) (IV)
Sejam os termos:
(I) Fluxo de calor que entra no V.C.
Direção x
x
TdAk
x
Tdzdykq xxx
∂
∂=
∂
∂⋅⋅−= -
Direção y
y
Tdzdxkq yy
∂
∂⋅⋅−=
ykqyy−= Direção zy
kqzz−=
(II) Taxa de calor gerado
dz '''
G ⋅⋅⋅= dydxqEG&
onde: '''
Gq = Taxa de calor gerado na unidade de volume. ( )3m
W
(III) Taxa temporal de variação da energia interna
t
Tcdzdydx
t
um
t
UEar
∂
∂⋅=
∂
∂=
∂
∂=
ρ&
onde: c = calor específico; m = massa elementar do V.C. e ρ a densidade. CkgkJ o/
(IV) Fluxo de calor que deixa o V.C. – expansão em serie de Taylor:
Direção x
xxqqxxdxx =+ )(0 2dxdx
x
qqq x
xdxx +∂
∂+=+
Direção y
⋅⋅⋅+∂
∂+=+ dy
y
qqq
y
ydyy
z
Tdydxkq zz
∂
∂⋅⋅−=
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2009
12
Direção z
⋅⋅⋅+∂
∂+=+ dz
z
qqq z
zdzz
Então, juntando os termos (I) + (II) = (III) + (IV), vem:
dzz
qqdy
y
qqdx
x
t
Tcdxdydzdxdydzqqqq z
z
y
yx
xGzyx∂
∂++
∂
∂++
∂
∂++
∂
∂=+++ ρ '''
+ ordem superior
simplificando os termos zyx qqq e , , vem:
, ''' dzz
qdy
y
qdx
x
q
t
Tcdxdydzdxdydzq zyx
G∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂= ρ
e, substituindo a Lei de Fourier para os termos de fluxo de calor qx, qy e qz, vem:
dxdydzkz
dxdydzky
dxdydzkxt
Tcdxdydzdxdydzq zyxG
z
T
y
T
x
T '''
∂
∂
∂
∂−
∂
∂
∂
∂−
∂
∂
∂
∂−
∂
∂= ρ
Eliminando o volume de controle elementar dxdydz, temos finalmente:
Essa é a equação geral da condução de calor. Não existe uma solução geral analítica
para a mesma. Por isso, ela é geralmente resolvida para diversos casos que dependem da
geometria do problema, do tipo (regime permanente) e das condições iniciais e de
contorno. Evidentemente, procura-se uma solução do tipo: ),,,( tzyxTT = . A seguir
são apresentados alguns casos básicos.
Casos:
A) Condutividade térmica uniforme (material isotrópico) e constante (independe de T)
kkkk zyx ===
t
T
k
q
z
T
y
T
x
T g
T
∂
∂=+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∇
α
1'''
2
2
2
2
2
2
2
444 3444 21
t
T
z
T
y
T
x
T "'
∂
∂=+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂cqk
zk
yk
xGzyx ρ
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2009
13
onde, α = c
k
ρ
α = difusibilidade ou difusividade térmica.
Essa equação ainda pode ser escrita em notação mais sintética da seguinte forma:
onde:
2
2
2
2
2
22
zyx ∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇ é o operador matemático chamado de Laplaciano no
sistema cartesiano de coordenadas.
Esta última forma de escrever a equação da condução de calor é preferível, pois,
embora ela tenha sido deduzida para o sistema cartesiano de coordenadas, ela é
independe do sistema de coordenadas adotado. Caso haja interesse em usar outros
sistemas de coordenadas, basta substituir o Laplaciano do sistema de interesse, como
exemplificado abaixo,
- Cilíndrico: 2
2
2
2
2
2 11
zrrr
rr ∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=∇
φ
- Esférico: 2
2
222
2
2
2 sen
1 sen
sen
11
φθθθ
θθ ∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=∇
rrrr
rr
B) Sem geração de calor e k uniforme e constante, 0''' =Gq
(Eq. de Fourier)
C) Regime permanente (ou estacionário) e k uniforme e constante, 0=∂
∂
t
T
(Eq. de Poisson)
D) Regime permanente (ou estacionário) e k constante e uniforme
(Eq. de Laplace)
t
T
k
qT G
∂
∂=+∇
α
1'''
2
12
t
TT
∂
∂=∇
α
0'''
2 =+∇k
qT G
02 =∇ T
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2009
14
AULA 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE SER GERAÇÃO – PLACA OU PAREDE PLANA
O caso mais simples que se pode imaginar de transferência de calor por condução é o
caso da parede ou placa plana, em regime permanente, sem geração interna de calor e
propriedades de transporte (condutividade térmica) constantes. Este é o caso ilustrado
na figura abaixo onde uma parede de espessura L, cuja face esquerda é mantida a uma
temperatura T1 enquanto que a face à direita é mantida à temperatura T2. Poderia se
imaginar que se trata, por exemplo, de uma parede que separa dois ambientes de
temperaturas distintas. Como se verá, a distribuição de temperaturas T(x) dentro da
parede é linear.
Para resolver esse caso, vamos partir da equação geral da condução de calor, deduzida
na aula anterior, isto é:
t
T
k
qT G
∂∂
=+∇α1
'''2
Introduzindo as simplificações do problema, vem:
i. Não há geração interna de calor: 0=′′′⇒ Gq
ii. Regime permanente: 0=∂
∂⇒
t
T
iii. Unidimensional: ( )D−1 2
22
x∂
∂=∇
Assim, com essas condições, vem que 02
2
=∂x
Td, e a solução procurada é do tipo T(x).
Para resolver essa equação considere o seguinte mudança de variável dx
dT=θ
Logo, substituindo na equação, vem que 0=dx
dθ
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2009
15
Integrando por separação de variáveis vem:
∫ = 1Cdθ , ou seja: 1C=θ
Mas, como foi definido dx
dT=θ ⇒ 1C
dx
dT=
Integrando a equação mais uma vez, vem:
21)( CxCxT += que é a equação de uma reta, como já antecipado.
Para se obter as constantes, deve-se aplicar as condições de contorno que, nesse
exemplo, são dadas pelas temperaturas superficiais das duas faces. Em termos
matemáticos isso quer dizer que
(A) em x = 0 ⇒ 1TT =
(B) e em x = L ⇒ 2TT =
De (A): 12 TC =
e de (B): 112 TLCT += ⇒ L
TTC 12
1
−=
Assim,
Para efeito de ilustração, suponha que 21 TT > , como mostrado na figura ao lado.
Cálculo do fluxo de calor transmitido através da
parede
.
Para isso, deve-se usar a Lei de Fourier, dada por:
dx
dTkq Α−=
e, substituindo a distribuição de temperaturas,
vem:
( ) ( )L
TTkT
L
xTT
dx
dkq 12
112
−Α−=
+−Α−= , ou,
em termos de fluxo de calor por unidade de área,
temos: ( ) [ ] mW 212''
L
TTk
−−=
Α=
Esquecendo o sinal de (-), vem
112 )()( TL
xTTxT +−=
L
Tkq
∆=''
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2009
16
Conhecida a equação do fluxo de calor, podemos: aumentar o fluxo de calor q”
. com o uso de material bom condutor de calor, isto é com ↑k
. ou, pela diminuição da espessura da parede, isto é ↓L
ou diminuir o fluxo de calor q”
. com o uso de material isolante térmico ↓k
. ou, pelo umento da espessura da parede, isto é ↑L
CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE SEM GERAÇÃO INTERNA DE CALOR – TUBO CILÍNDRICO.
Este é o caso equivalente, em coordenadas cilíndricas, ao da condução de calor
unidimensional, em regime permanente, sem geração de calor e condutividade térmica
constante estudado acima para uma parede ou placa plana. A diferença é que sua
aplicação é para tubos cilíndricos.
A equação geral é da forma t
T
k
qT G
∂∂
=+∇α1
'''
2
Neste caso, a geometria do problema indica que se deve resolver o problema em
coordenadas cilíndricas. Para isso, basta usar o Laplaciano correspondente, isto é:
t
T
k
q
z
TT
rr
Tr
rr
G
∂∂
=+∂∂
+∂∂
+
∂∂
∂∂
αφ111 '''
2
2
2
2
2
Introduzindo as simplificações:
i. Não há geração interna de calor: 0=′′′⇒ Gq
ii. Regime permanente: 0=∂
∂⇒
t
T
iii. Unidimensional: ( )D−1 , que é válido para um tubo muito longo, ou
seja, T não depende de z, logo 02
2
=∂
∂
z
T
iv. Há uma simetria radial, T não depende de φ, isto é: 02
2
=∂
∂
φ
T
As simplificações iii e iv implicam que se trata de um problema unidimensional na
direção radial, r. A aplicação dessas condições resulta em:
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2009
17
0=
dr
dTr
dr
d, onde a solução procurada é do tipo )(rTT =
As condições de contorno para a ilustração indicada acima são:
A superfície interna é mantida a uma temperatura constante, isto é: ii TTrr =⇒=
A superfície externa é também mantida a uma outra temperatura constante, isto é:
ee TTrr =⇒=
Solução:
1a Integração – separe as variáreis e integra uma vez, para resultar em:
∫∫ +=
10 Cdrdr
dr
dTrd ⇒ 1C
dr
dTr =
Integrando pela 2a vez, após separação de variáveis, vem:
∫∫ += 21 Cr
drCdT
Portanto, a distribuição de temperaturas no caso do tubo cilíndrico é logarítmica e não
linear como no caso da parede plana.
Determinação de 1C e 2C por meio da aplicação da condições de contorno:
(A) ii TTrr =⇒= ⇒ 21 )ln( CrCT ii +=
(B) ee TTrr =⇒= ⇒ 21 ) ln( CrCT ee +=
Fazendo-se (A) – (B), temos que e
i1
r
rln CTT ei =− , ou
e
i1
r
rln
ei TTC
−=
Finalmente, na eq. da distribuição de temperaturas:
( ) 21 )ln( CrCrT +=
( ) e
ei TTT
rT +−
=e
e
i r
rln
r
rln
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2009
18
Te
Ti
re ri raio
Lei logarítmica T
Distribuição de temperatura, supondo ei TT > .
O fluxo de calor é obtido através da Lei de Fourier, isto é, dr
dTkq Α−=
Atenção a esse ponto, a área A é a área perpendicular ao fluxo de calor e não a área
transversal da seção transversal. Portanto, trata-se da área da “casquinha” cilíndrica
ilustrada abaixo.
rLA π2= (casca cilíndrica), L é o comprimento do tubo
Substituindo a distribuição logarítmica de temperatura na equação de Fourier,
21 )ln()( CrCrT += , vem:
])ln([2 21 CrCdr
drLkq +−= π
ou, efetuando a derivação, temos:
r
kLrCq1
2 1π−=
ou, ainda: 12 kLCq π−=
Substituindo, 1C : ( )
−=
e
i
r
rln
2 ie TTkLq π
(W)
O fluxo de calor total q é constante através das superfícies cilíndricas!
Entretanto, o fluxo de calor por unidade de área ''q depende da posição radial
−==
e
i
ie
r
r
TT
rL
kL
A
ln
)(
2
2''
ππ
−=
e
i
ie
r
r
TT
r
kq
ln
)('' ( )2mW
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2010
19
AULA 4 – PAREDES PLANAS COMPOSTAS Condução unidimensional, regime permanente, sem geração de calor – paredes compostas.
Para resolver de forma rápida e simples este problema, note que o fluxo de calor q é o mesmo que atravessa todas as paredes. Assim, para cada parede pode-se escrever as seguintes equações:
- parede 1: 1
211
)(
L
TTAkq
−= ⇒
Ak
qLTT
1
121 =−
- parede 2: 2
322
)(
L
TTAkq
−= ⇒
Ak
qLTT
2
232 =−
- parede 3: 3
433
)(
L
TTAkq
−= ⇒
Ak
qLTT
3
343 =−
Assim, somando os termos _____________
de todas as paredes: Ak
LqTT
i
i∑=− 41
ou, simplesmente,
R
Tq
∆=
onde o T∆ refere-se à diferença total de temperaturas da duas faces externas e R é a
resistência térmica da parede composta, dada por Ak
LR
i
i∑=
ANALOGIA ELÉTRICA Nota-se que existe uma analogia elétrica perfeita entre fenômenos elétricos e térmicos de condução de calor, fazendo a seguinte correspondência:
qi → TU ∆→
TÉRMICOÔHMICO RR →
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2010
20
Por meio de analogia elétrica, configurações mais complexas (em série e paralelo) de paredes podem ser resolvidas.
Circuito elétrico equivalente
Fluxo de calor que é:
T
total
R
Tq
∆=
5//1 RRRRT ++=
com
432//
1111
RRRR++=
CONDUÇÃO EM PLACA PLANA COM GERAÇÃO INTERNA DE CALOR Geração interna de calor pode resultar da conversão de uma forma de energia em calor. Exemplos de formas de energia convertidas em calor: 1. Geração de calor devido à conversão de energia elétrica em calor
2RIP = (W) Onde: P : potência elétrica transformada em calor por efeito joule(W)
R : resistência ôhmica ( Ω ) I : corrente elétrica (A)
Ainda, U : diferença de potencial elétrico (V)
UIP = ou R
UP
2
=
q
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2010
21
Em termos volumétricos, '''Gq )/( 3mW ,
V
PqG =
''' (W/m3), onde V : volume onde o
calor é gerado. 2. Geração de calor devido a uma reação química exotérmica )0( '''
>Gq como, por
exemplo, o calor liberado durante a cura de resinas e concreto. Já, no caso de uma reação endotérmica, 0'''
<Gq .
3. Outras formas tais de geração de calor devido à absorção de radiação, nêutrons, etc... Parede (placa) plana com geração de calor uniforme (resistência elétrica plana). Lb >>
2L
2b
Equação geral
t
T
k
qT G
∂
∂=+∇
α
1'''2 sendo que 0=
∂
∂
t
T (regime permanente.)
0'''
2=+∇
k
qT G )(xTT =
Condições de contorno: (1) Lx −= 1TT = (2) Lx = 2TT =
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2010
22
Solução
Seja a seguinte mudança de variável (apenas por conveniência): dx
dT=θ ,
Então k
q
dx
d G'''
−=
θ
Integrando essa equação por partes, vem:
∫∫ +−
= 1
'''
Cdxk
qd Gθ , mas como
1
'''
então , Cxk
q
dx
dT G+−==θ
Integrando novamente:
Obs.: Trata-se de uma distribuição parabólica de temperaturas.
• Como no caso da resistência elétrica '''Gq (geração de calor) é positivo e,
claro, k também é positiva, a constante que multiplica o termo 2x é negativa ⇒ parábola com a concavidade voltada para baixo. Por outro lado, se '''
Gq
for negativo, o que pode ocorrer com processos de curas de algumas resinas (processos endotérmicos), então a concavidade será voltada para cima.
Determinação das constantes 1C e 2C : Condições de contorno
(1) 21
2'''
1 2CLC
k
LqT G
+−−= - temperatura da face esquerda conhecida
(2) 21
2'''
2 2CLC
k
LqT G
++−= - temperatura da face direita conhecida
Somando (1)+(2), vem:
2
2'''
21 2Ck
LqTT G
+−
=+ ⇒ k
LqTTC G
22
2'''21
2 ++
= .
Substituindo em (1) ou (2), tem-se L
TTC
212
1
−=
Então, a distribuição final de temperaturas é:
21
2'''
2)( CxC
k
xqxT G
++−
=
22)(
2
)()( 21
12
22''' TT
L
xTT
k
xLqxT G +
+−+−
=
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2010
23
• CASOS:
(A) Suponha que as duas faces estejam à mesma
temperatura: STTT == 21 . Daí, resulta que:
É uma distribuição simétrica de temperaturas. A máxima temperatura, nesse caso, ocorre no plano central, onde 0=x (note a simetria do problema). Se for o caso pouco comum de uma reação endotérmica, ou '''
Gq < 0, a concavidade seria voltada para abaixo
e, no plano central, haveria a mínima temperatura.
Também poderia se chegar a essa expressão usando 0=dx
dT
S
GCMÁX
Tk
LqTT +==
2
2'''
O fluxo de calor (lei de Fourier)
dx
dTkAq −= ou
dx
dTk
A
qq −==
'' , substituindo a distribuição de temperaturas, vem:
+
−−= S
G Tk
xLq
dx
dkq
2
)( 22''''' ,
ou, simplesmente: No plano central (x = 0) o fluxo de calor é nulo devido à simetria do problema e das condições de contorno. Dessa forma, o plano central age como o caso de uma parede adiabática, 0''
=q
SG T
k
xLqxT +
−=
2
)()(
22'''
'''''Gxqq =
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2010
24
(B) Nesse caso, suponha que a temperatura de uma das faces seja maior: 21 TT >
Plano em que ocorre a máxima temperatura, máxT ( máxx ) Sabemos que o fluxo de calor é nulo em máxx :
0=−
máxxdx
dTk ou
022
)()(2
2112
22'''
=
++−+−
TT
L
xTTxL
k
q
dx
d G , que resulta em:
02
)( 12'''
=−
+L
TTx
k
qmáx
G
cuja solução é: Substituindo-se o valor de xmáx na expressão da distribuição da temperatura, encontra-se o valor da máxima temperatura máxT . Tente fazer isso!
PENSE: Suponha que você é um engenheiro perito e é chamado para dar um parecer sobre um incêndio com suspeita de ter origem no sobreaquecimento do sistema elétrico. Como você poderia, a partir de uma análise na fiação elétrica, inferir se houve ou não sobreaquecimento à luz da matéria exposta acima?
'''12
2
)(
G
máxLq
kTTx
−=
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2010
25
AULA 5 - CONDUÇÃO DE CALOR EM CILINDROS MACIÇOS EM REGIME PERMANENTE COM GERAÇÃO
INTERNA DE CALOR Nesta aula, vai se estudar o caso da geração interna de calor em cilindros maciços. Como exemplo de aplicação tem-se o calor gerado por efeito joule devido à passagem de corrente elétrica em fios elétricos, como indicado na figura ao lado. Partindo da equação geral da condução de calor:
01
'''2 =
∂
∂=+∇
t
T
k
qT G
α(regime permanente)
onde, é conveniente usar o Laplaciano em coordenadas cilíndricas, isto é:
( ) ( ) ( ) ( )2
2
2
2
22 11
zrrr
rr ∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=∇
φ
Hipóteses adicionais
- simetria radial: 02
2
=∂
∂
φ (não há influência da posição angular numa seção
transversal)
- o tubo é muito longo: 02
2
=∂
∂
z (não há efeitos de borda na direção axial)
Logo, trata-se de uma distribuição de temperaturas unidimensional na direção radial, ou seja, )(rTT = Assim, introduzindo essas simplificações na equação geral da condução, vem:
01
'''
=+
k
q
dr
dTr
dr
d
r
G
Ou, integrando por partes:
1
'''
Crdrk
q
dr
dTrd G +−=
∫ ∫ , ou, ainda: 1
2'''
2C
k
rq
dr
dTr G +−=
Integrando novamente por separação de variáveis:
2
1'''
2Cdr
r
Cr
k
qdT G +
+−=∫ ∫
21
2'''
ln4
)( CrCk
rqrT G ++−=
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2010
26
* condições de contorno para obtenção das constantes C1 e C2: (1) STrrT →= )( 0 a temperatura da superfície TS é conhecida
(2) 00
==rdr
dT simetria radial na linha central
Isso implica dizer que o fluxo de calor é nulo na linha central e, como decorrência,
também pode-se afirmar que a máxima temperatura máxT ocorre nessa linha.
Da segunda condição de contorno, vem que:
02
lim 1'''
0=
+−
→ r
C
k
rqG
r
Do que resulta em 01 =C , para que a expressão permaneça sempre nula.
Da primeira condição de contorno.
2
2'''
4C
k
rqT G
S +−= ou, k
rqTC G
S 4
20
'''
2 +=
Finalmente, a equação da condução de calor fica:
É uma distribuição parabólica de temperatura (2º. grau) !
Sendo, SG
máx Tk
rqT +=
4
20
'''
( ) S
G Trrk
qT +−= 22
0
'''
4
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2010
27
EXEMPLO DE APLICAÇÃO Considere um tubo cilíndrico longo revestido de isolamento térmico perfeito do lado externo. Sua superfície interna é mantida a uma temperatura constante igual a iT .
Considere, ainda, que ocorre geração de calor '''
Gq uniforme.
a) calcule a distribuição de temperaturas; b) determine o fluxo de calor total removido (internamente); c) determine a temperatura da superfície externa.
Solução: Hipóteses: as mesmas que as anteriores.
Eq. 01 '''
=+
k
q
dr
dTr
dr
d
r
G
Condições de contorno: (1) ii TrrT == )( (temperatura interna constante)
(2) 0=erdr
dT (fluxo de calor nulo na superfície)
A solução geral, como já visto, é:
21
2'''
ln4
)( CrCk
rqrT G ++−=
Onde 1C e 2C saem das condições de contorno do problema específico:
k
rqC eG
2
2'''
1 = ;
−
+= )ln(2
4
22'''
2 i
e
ieGi r
r
r
k
rqTC
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2010
28
i
ie
ieG Tr
r
r
rr
k
rqrT +
+
−= ln2
4)(
2
222'''
Assim,
O fluxo de calor é:
dr
dTkAq −=
)()2( rTdr
drLkq π−=
Após substituir a distribuição de temperaturas e efetuar da derivada, vem:
[ ]22'''ieG rrq
L
q−= π (W/m)
A temperatura máxima é:
emáx TT =
+
+
−== i
i
e
e
eieG
emáx Tr
r
r
rr
k
rqTT ln2
4 2
222'''
OUTRO EXEMPLO DE APLICAÇÃO Num fio de aço inoxidável de 3,2mm de diâmetro e 30cm de comprimento é aplicada uma tensão de 10V. O fio está mantido em um meio que está a C
o95 e o coeficiente de transferência de calor vale CmkW o2/10 . Calcule a temperatura no centro do fio. A resistividade do fio e de cmΩµ70 e sua
condutibilidade térmica vale CmW o/5,22
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2010
29
CTo
c 267=
Solução:
Calor gerado por unidade de volume, isto é, a potência elétrica dissipada no volume.
R
URiP
22 == ;
A
LR ρ=
m⋅Ω⋅= −81070ρ
mL 3,0= , 26232
100425,84
)102,3(
4m
DA
−−
⋅=⋅
== ππ
Ω⋅=⋅
×⋅= −
−
−2
6
8
106111,2100425,8
3,01070R
kWP 830,3106111,2
1002
=⋅
=−
3,0100425,8
1083,31083,36
33
⋅⋅
⋅=
⋅
⋅==′′′
−LAV
PqG
3910587,1
m
WqG ⋅=′′′
hA
PTTTThAP PP +=∴−= ∞∞ )(
3,0)102,3(1010
1083,395
33
3
⋅⋅⋅⋅
⋅+=
−πPT
CT o
P 222≅
k
rqTT oG
Pc 4
2⋅′′′+=
5,224
)106,1(10587,1222
239
⋅
⋅⋅⋅+=
−
cT
RESISTÊNCIA TÉRMICA – Várias Situações
- paredes planas
R
TTq 21 −
= kA
LR =
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2010
30
- circuito térmico
- paredes compostas
- Circuito elétrico
Ainda,
onde
432//
1111
RRRR++=
5//1 RRRREQ ++=
EQR
TTq 21 −
=
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2010
31
- Tubo cilíndrico
R
TTq ei −
= ; kL
rr
Ri
e
π2
ln
=
- Tubo cilíndrico composto
- Circuito elétrico
ieq RR Σ=
Para dois tubos:
Lk
r
r
R1
1
2
1 2
ln
π
= Lk
r
r
R2
2
3
2 2
ln
π
=
Lk
r
r
Ri
i
i
eqπ2
ln 1
Σ=
+
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2010
32
Por indução, como deve ser a resistência térmica devido à convecção de calor?
Lei de convecção (Newton)
)( ∞−= TThAq p e
hA
TTq
p
1∞−
=
onde, hA
1 é a resistência térmica de convecção
- Circuito térmico
Para o caso onde houver convecção em ambas as paredes:
- Convecção em tubo cilíndrico
kA
L
kA
L
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2010
33
COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR U
O coeficiente global de transferência de calor é definido por:
totalTUAq ∆=
Claramente, U está associado com a resistência térmica,
- parede plana
AhkAAhR
21
111++=
TUAR
Tq ∆=
∆=
RUA
1= ∴
RAU
1=
Logo,
21
111
hk
L
h
U
++
=
- tubo cilíndrico
Há um problema associado com a área de referência. É preciso dizer se U se refere à área interna do tubo, iU , ou à área externa, eU . No entanto, os dois valores são
intercambiáveis mediante a seguinte expressão:
totaliitotalee TAUTAU ∆=∆
Logo, iiee AUAU =
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2010
34
U referido à área externa
( )e
rr
e
e
hkL
AU
i
e 1
2
ln1
+
=
π
U referido à área interna
( )ee
irr
i
i
hA
A
kL
AU
i
e
+
=
π2
ln
1
RAIO CRÍTICO DE ISOLAMENTO As tubulações que transportam fluidos aquecidos (ou frios) devem ser isolados do meio
ambiente a fim de restringir a perda de calor do fluido (ou frio), cuja geração implica
em custos. Aparentemente, alguém poderia supor que a colocação pura e simples de
camadas de isolamentos térmicos seria suficiente. Entretanto, um estudo mais
pormenorizado mostrará a necessidade de se estabelecer um critério para realizar esta
operação.
( )hLrkL
TTq
e
rr
i
i
e
ππ 2
1
2
ln+
−= ∞
ou, ( )hrk
TTLq
e
rr
i
i
e 1ln)(2
+
−= ∞π
Note que no denominador dessa expressão que o raio externo tem duas contribuições:
um no termo de condução e a outra no termo de convecção. De forma que, se o raio
externo do isolamento aumentar por um lado ele diminui uma das resistências térmicas
(a de condução), enquanto que por outro lado a resistência térmica de convecção
aumenta. Isto está ilustrado no gráfico abaixo e dá origem a um ponto de maximização.
O máximo da transferência de calor ocorre em:
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2010
35
h
krcrit =
( )
( ) 2
11
1ln
)(20
2
+
−−−==
∞
hrk
TTL
dr
dq
e
rr
hrkri
ei
e
eeπ
Assim,
2
11
ee hrkr= ⇒
critr é o chamado raio crítico de isolamento.
Se o raio crítico de isolamento for originalmente menor que h
k a transferência de calor
será aumentada pelo acréscimo de camadas de isolamento até a espessura dada pelo raio
crítico – conforme tendência do gráfico. Neste caso, ter-se-ia o efeito oposto ao
desejado de diminuir o fluxo de calor. Por outro lado, se originalmente a espessura de
isolamento for maior que a do raio crítico, adições sucessivas de camadas isolantes vão
de fato diminuir a perda de calor.
Para exemplificar, considere um valor do coeficiente de transferência de calor por
convecção de h = Cm
Wo27 (convecção natural), teste de alguns valores da
condutividade de materiais isolantes.
material ( )
CmW
ok er (cm)
Lã de vidro 0,038 0,54 Silicato de cálcio 0,055 0,79
Como se vê, o raio crítico é relevante para pequenos diâmetros, tais como, fios elétricos. Exercícios sugeridos do Incropera: 3.4; 3.5; 3.11; 3.32; 3.34; 3.38
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
36
AULA 6 - ALETAS OU SUPERFÍCIES ESTENDIDAS
Considere uma superfície aquecida (resfriada) que se deseja trocar calor com um fluido.
Da lei de resfriamento de Newton, vem que o fluxo de calor trocado é dado por,
( )∞−= TThAq s ,onde h é o coeficiente de transferência de calor por convecção, A é a
área de troca de calor e Ts e T∞ são as temperaturas da superfície do fluido (ao longe).
Por uma simples análise, sabe-se que a transferência de calor pode ser melhorada, por
exemplo, aumentando-se a velocidade do fluido em relação à superfície. Com isso,
aumenta-se o valor do coeficiente de transferência de calor h e, por conseguinte, o
fluxo de calor trocado, como dado pela expressão anterior. Porém, há um preço a pagar
e este preço é o fato que vai se exigir a utilização de equipamentos de maior porte de
movimentação do fluido, ou seja, maiores ventiladores (ar) ou bombas (líquidos).
Uma forma muito empregada de se aumentar a taxa de transferência de calor consiste
em aumentar a superfície de troca de calor com o emprego de aletas, como a ilustrada
abaixo.
Assim, o emprego das aletas permite uma melhora da transferência de calor pelo
aumento da área exposta.
Exemplos de aplicação de aletas:
(1) camisa do cilindro de motores de combustão interna resfriados a ar (velho fusca);
(2) motores elétricos;
(3) condensadores;
(4) dissipadores de componentes eletrônicos.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
37
TIPOS DE ALETAS
A figura abaixo indica uma série de exemplos de aletas. Evidentemente, existem
centenas ou milhares de formas construtivas que estão, muitas das vezes, associadas ao
processo construtivo das mesmas (extrusão, soldagem, etc).
Figura 1– Diferentes tipos de superfícies aletadas, de acordo com Kern e Kraus. (a)
aleta longitudinal de perfil retangular; (b) tubo cilíndrico com aletas de perfil
retangular; (c) aleta longitudinal de perfil trapezoidal; (d) aleta longitudinal de perfil
parabólico; (e) tubo cilíndrico equipado com aleta radial; (f) pino cilíndrico; (g) pino
cônico truncado; (g) pino parabólico.
EQUAÇÃO GERAL DA ALETA
Volume de controle
elementar, C∀
Hipóteses:
- regime permanente;
- temperatura uniforme na seção transversal;
- propriedades constantes.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
38
Balanço de energia
+
=
convecçãopCVdo
saiquequecalordefluxo
III
conduçãopCVo
deixaquequecalordefluxo
II
conduçãopCVno
entraquecalordefluxo
I
/../../..
(I) dx
dTkAq xx −=
(II) )( 2dxodx
dx
dqqq x
xdxx ++=+
expansão em serie de Taylor
(III) )(∞
−= TThAqc
)(∞
−= TThPdxqc
P : perímetro “molhado”, isto é, a superfície externa da aleta que se encontra em
contato com o fluido.
Substituindo-se as equações acima no balanço global de energia, vem:
( )dxTThPdxdxdx
dqqq x
xdxx ÷−++=∞+
)(
0)( =−+∞
TThPdx
dqx
Ou, substituindo a lei de Fourier da condução:
0)( =−+
− ∞TThP
dx
dTA
dx
dk x
Sendo dTdTT =⇒−= ∞ θθ
0=−
θ
θ
k
hP
dx
dA
dx
dx Equação Geral da Aleta
)(xθθ =
ALETA DE SEÇÃO TRANSVERSAL CONSTANTE: RETANGULAR
Do ponto de vista matemático, a equação de aleta mais simples de ser resolvida é a de
seção transversal constante como, por exemplo, uma aleta de seção retangular ou
circular. Assim, da equação geral para esse caso, com A = cte, vem:
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
39
mxmx ececx −+= 21)(θ
02
2
2
=− θθ
θm
d
d,
kA
hPm =
2
A solução é do tipo: ,
conforme solução indicada abaixo no “ lembrete de cálculo” , já que o polinômio
característico possui duas raízes reais e distintas (m e –m).
LEMBRETE DE CÁLCULO
Solução geral de equação diferencial homogênea de a2 ordem e coeficientes constates
02
2
=++ cydx
dyb
dx
yd
Assume mxey =
Substituindo, vem
mxmxmx
cebmeem ++2 ( )mxe÷
Obtém-se o polinômio característico
02=++ cbmm
Caso 1: 1m e 2m reais e distintos
xmxm
ececy 11
21 +=
Caso 2: 1m e 2m reais iguais
xmxm
xececy 1121 +=
Caso 3: conjugados complexos
qipm +=1 ; qipm −=2
)]()cos([ 21 qxsencqxcey px+=
Onde, 2
bp −= ;
2
4 2bcq
−=
Determinação das constantes 1c e 2c vêm das condições de contorno:
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
40
−
−=∴=
xkA
hP
b
mx
b ex
exθ
θθθ
)()(
a1 Condição de Contorno
−=
==
∞TT
TTxpara
bb
b
θ0
0
2
0
1
−+= ececbθ
A outra relação entre as condições de contorno, depende do tipo de aleta, conforme
os casos (a), (b) e (c), abaixo estudados:
(a) aleta muito longa Nesse caso, admite-se que a aleta é muito longa que, do
ponto de vista matemático, tem-se
0==∴∞→∞
θouTTx
Assim,
[ ] b
mxmx
xccecec θ2121 0lim0 ⇒=∴+=
−
∞→
De forma que, a distribuição de temperaturas nesse caso é:
Ou, substituindo a definição de θ , vem:
bcc θ=+ 21
−
∞
∞ =−
− xkA
hP
b
eTT
TxT )(
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
41
O fluxo de calor total transferido pela aleta
O fluxo de calor total transferido pela aleta
pode ser calculado por dois métodos:
(1) aletabasecondaleta qq .= (o fluxo de calor total
transferido é igual ao fluxo de calor por condução na base da aleta)
(2) dxTThPqaleta )(0
∞
∞
−= ∫ (o fluxo de calor total transferido é a integral do
fluxo de calor convectivo ao longo de toda a superfície da aleta)
Usando o método (1), vem:
00 ==
−=−=
x
b
x
baletadx
dkA
dx
dTkAq
θ
Mas, cteAAb ==
[ ]0
)(=
−−−−=−=
x
mx
b
mx
baleta emkAedx
dkAq θθ
kA
hPkAq baleta θ=
hPkAq baleta θ= ou )( ∞−= TThPkAq baleta
Pelo outro método (2):
dxhPqaleta ∫∞
=0
θ ; cteP =
dxehPq mx
baleta ∫∞
−=
0θ
( ) bbmb
mx
bmx
baleta hPkAm
hPe
m
hP
m
ehPdxehPq θ
θθθθ
ε
ε
ε
ε
ε
ε 1limlimlim
00
==−−=
−==
−
∞→
−
∞→
−
∞→ ∫
ou, )( ∞−= TThPkAq baleta o mesmo resultado anterior!
(b) caso em que a extremidade da aleta é adiabática
(finito) Nesse caso, admite-se que a transferência de calor na
extremidade da aleta é muito pequeno. Portanto,
admite-se que é adiabático:
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
42
+=
−
−
mLmL
mL
bee
ec θ1
LxLx dx
d
dx
dT
==
⇒=θ
0 (extremidade adiabática), ou [ ] 021 =+−mxmx
ececdx
d
De onde, se obtém, mLmL
mL
b
ee
ec
−+
=θ
2
Mas como bcc θ=+ 21 , então:
Logo, substituindo na equação, vem:
mx
c
mLmL
mLmx
c
mLmL
mL
b
eee
ee
ee
e −
−−
−
++
+=
434214342121
θ
θ
Ou
( )( ) 2/
2/)()(
mLmL
xLmxLm
b ee
ee−
−−−
+
+=
θ
θ ou
[ ][ ]mL
xLmx
b cosh
)(cosh)( −=
θ
θ
lembrete de funções hiperpólicas:
FUNÇÃO DEFINIÇÃO DERIVADA senhx
2
xxee
−−
xcosh
xcosh
2
xxee
−+
senhx
tghx
x
senhx
cosh
xh2sec
O fluxo de calor total transferido pela aleta
O mesmo resultado do caso anterior
[ ]=
−−=−=
== 00 cosh
)(cosh
x
b
x
aletamL
mxL
dx
dkA
dx
dkAq
θθ
)()cosh(
)(m
mL
mLsenhkA b −⋅−
=θ
)(mLtghmkA bθ=
)(mLtghhPkAq bθ=
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
43
[ ] ( ) [ ]
( ) )(cosh
)()(cosh)(
mLsenhmk
hmL
xLmsenhmk
hxLmx
b +
−+−=
θ
θ
( )( ) )()cosh(
)()(
mLsenhmk
hmL
mLconhmk
hmLsenhhPkAq b
+
+= θ
(c) aleta finita com perda de calor por convecção na extremidade
Caso realista.
Condição de contorno na extremidade:
em
−=−⇒= ∞
=
)( TThdx
dTkLx L
Lx
condução na extremidade = convecção
Distribuição de temperaturas
Fluxo de calor
Comprimento Corrigido de Aleta
Em muitas situações, costuma-se usar a solução do caso (b) – extremidade adiabática –
mesmo para os casos reais. Para isso, usa-se o artifício de “rebater” a metade da
espessura t para cada lado da aleta e definir o chamado comprimento corrigido de aleta,
LC. Com isso, usa-se o caso (b) de solução mais simples.
2/tLLc +=
O erro introduzido por
essa aproximação será
menor que 8% desde que
5,0<k
ht
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
44
AULA 7 – EFICIÊNCIA E EFETIVIDADE Eficiência de Aleta A teoria desenvolvida na aula anterior é bastante útil para uma análise em detalhes para o projeto de novas configurações e geometrias de aletas. Para alguns casos simples, existem soluções analíticas, como foi o do caso estudado da aleta de seção transversal constante. Situações geométricas ou que envolvem condições de contorno mais complexas podem ser resolvidas mediante solução numérica da equação diferencial geral que governa o processo de transferência de calor na aleta. Na prática, a selação de aletas para um caso específico, no entanto, geralmente usa o método da eficiência da
aleta. Sendo que a eficiência de aleta, Aη , é definida por
idealcasobasetempàestivessealetaacasootransmitidseriaquecalorfluxo
realcasoaletapotransmitidcalordefluxoA
−
−=
.
/η
Para o caso estudado na aula anterior da aleta retangular de extremidade adiabática, a
aplicação da definição de eficiência de aleta resulta em:
c
c
bc
cbA
mL
mLtgh
hPL
mLtghhPkA )()(==
θ
θη , com
kA
hPm =
Por outro lado, o perímetro molhado é dado por
btbP 2)(2 ≈+= , sendo btA = , de onde se obtém:
cc Lkt
hmL
2=
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
45
Cálculo do Fluxo de Calor Através da Aleta Da definição de eficiência de aleta, o fluxo de calor real transferido pela aleta, qA, pode ser obtido por meio de maxqq AA η= , onde o máximo fluxo de calor transferido, qmax, é
aquele que ocorreria se a aleta estivesse toda à temperatura da base, isto é:
bahAq θ=max ,
onde Aa é a área total exposta da aleta e ∞−= TTbbθ
Assim, o fluxo de calor real transferido pela aleta é:
baaA hAq θη=
Note que a eficiência da aleta, aη , selecionada sai de uma tabela, gráfico ou equação.
Na página seguinte há uma série de gráficos para alguns tipos de aletas. Deve-se usar aleta quando:
(1) h é baixo (geralmente em convecção natural em gases, como o ar atmosférico) (2) Deve-se usar um material de condutividade térmica elevado, tais como cobre e
alumínio, por razões que veremos adiante. O alumínio é superior devido ao seu baixo custo e baixa densidade. Exemplo de Aplicação Em um tubo de diâmetro externo de 2,5 cm são instaladas aletas circulares de alumínio por um processo de soldagem na superfície. A espessura das aletas é de 0,1 cm e o diâmetro externo das mesmas é de 5,5 cm, como ilustrado. Se a temperatura do tubo for de 100 oC e o coeficiente de transferência de calor for de 65 W/m2 K, calcule o fluxo de calor transferido pela aleta.
Solução Trata-se de aleta circular de alumínio. O valor da condutividade térmica é de aproximadamente 240 W/mK (obtido por consulta a uma tabela de propriedades termofísicas do sólidos). Vamos calcular os parâmetros do gráfico correspondente dado na página 47 à frente.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
46
mt
LLmL
mt
c 0155,02
015,001,02
)5,25,5(
001,0
=+=⇒=×−
=
=
( ) ( ) 255,01055,1240650155,0 1055,1001,00155,05,055,12123
c25 =××=⇒×=×== −−
PcP kAhLmtLA
Para o uso do gráfico, precisamos ainda da razão entre o raio externo corrido e o raio interno da aleta.
24,225,1
2/1,075,22/
1
2
1
2=
+=
+=
r
tr
r
r c Com esses dois parâmetros no gráfico, obtemos
%91≈Aη . Assim, o fluxo de calor trocado pela aleta é: , 5,177500394,06591,0 WhAq baaA =×××== θη já que a área exposta da aleta,
vale, ( ) . 00394,02 221
22 mrrA ca =−×= π
Exemplo de Aplicação (cont...) Admitindo que o passo das instalações da aleta é de 1 cm, qual deve ser o fluxo de calor
total transferido pelo tubo, se o mesmo tiver 1 m de comprimento.
Solução O tubo terá 100 aletas. O fluxo de calor trocado por aleta já é conhecido do cálculo anterior. O fluxo de calor da porção de tubos sem aletas será:
aletas. há não que em tubodo área a é onde ),( sassasa ATThAq ∞−=
( ) 221 07068,0 8,7061,010010025,12)(2 mcmtNLrA aTsa ==×−×=×−××= ππ
Assim, Wqsa 6,344)25100(07068,065 =−×= O fluxo de calor trocado pelas 100 aletas será Wqca 17505,17100 =×= Finalmente, o fluxo total de calor trocado pelo tubo será
Wqqq casaT 5,209417506,344 =+=+= Como se vê, a instalação das aletas aumenta consideravelmente a transferência de calor.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
47
Ap – área de seção transversal de aleta
Tipo Aa área total exposta da aleta Retangular cbL2
Triangular [ ] 2/122 )2/(2 LLb +
Parabólica [ ] 2/122 )2/(05,2 LLb +
Anular [ ] 2/121
222 rrb c −π
b – largura da aleta Lc = L-corrigido t = espessura
Fluxo de calor transmitido pela aleta:
baahAq θη=
∞−= TTbbθ
Aa é a área total exposta da
aleta Para obter a eficiência da aleta, use os dados geométricos disponíveis e os indicados nos gráficos. Uma vez obtida a eficiência da aleta, calcule o fluxo real de calor através da simples expressão acima. Comentários: Aleta triangular (y ~ x) requer menos material (volume) para uma mesma dissipação de calor do que a aleta retangular. Contudo, a aleta de perfil parabólico é a que tem melhor índice de dissipação de calor por unidade de volume (q/V), mais é apenas um pouco superior ao perfil triangular e seu uso é raramente justificado em função de maior custo de produção. A aleta anular é usada em tubos.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
48
Efetividade da Aleta
Como visto, a eficiência de aleta é somente um procedimento de cálculo, mas não
indica se a transferência de calor realmente aumenta ou não com a instalação de aletas.
Claro que está informação é crucial se o engenheiro pretende decidir pela instalação de
aletas para incrementar a transferência de calor.Tal análise só pode ser feita através da
análise da efetividade. Para que se possa efetivamente tomar uma decisão sobre o uso
ou não de aletas, deve-se lançar mão do método da efetividade de aleta, ε.
Nesse método, compara-se o fluxo de calor devido à presença da aleta com o fluxo
de calor caso ela não tivesse sido instalada, ou seja:
bb
aleta
aletas
aleta
hA
q
q
q
θε ==
/
Note que o fluxo de calor sem a aleta, q s/aleta, é o que ocorreria na base da aleta,
conforme ilustração acima. Como regra geral, justifica-se o caso de aletas para ε > 2.
Para aleta retangular da extremidade adiabática
bb
cb
hA
mLtghhPkA
θ
θε
)(=
Nesse caso: A = Ab e, portanto, kPhA
mLtgh c
/
)(=ε
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
49
Exemplos de Aplicação Exemplo de aplicação 1 – Uma aleta de aço inoxidável, seção circular de dimensões L
= 5 cm e r = 1 cm é submetida a três condições de resfriamento, quais sejam:
A – Água em ebulição; h = 5000 W/m2K B – Ar – convecção forçada; h = 100 W/m2K C – Ar – Convecção natural; h = 10 W/m2K Calcule a efetividade da aleta, para os seguintes dados - k aço inox = 19 W/m K - Comprimento corrigido: Formula
Solução:
kPhA
mLtgh c
/
)(=ε , com
hh
kr
h
rk
rh
kA
hPm 24,3
01,0.19
2222
=====π
π e ( )2/01,005,024,3 += hmLc , ou
seja: hmLc 178,0= .
No denominador tem-se: hh
k
hr
rk
rh
kP
hA0162,0
19.2
01,0.
22
2
====π
π.
Substituindo estes dois resultados na expressão da efetividade, vem:
h
htgh
0162,0
)178,0(=ε
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
50
Agora, analisando os três casos (valores diferentes de h)
Caso A : h = 5000 W/m2 K 873,0145,1
1
50000162,0
)5000178,0(===
tghε
Caso B : h = 100 W/m2 K 833,5162,0
945,0
1000162,0
)100178,0(===
tghε
Caso C : h = 10 W/m2K 0,10051,0
510,0
100162,0
)10178,0(===
tghε
Comentário - Como visto, a colocação da aleta nem sempre melhora a transferência de calor. No
caso A, por exemplo, a instalação de aletas pioraria a transferência de calor. Um critério
básico é que a razão hA/Pk deve ser muito menor que 1 para justificar o uso de aletas.
Caso (A) 31,1=kP
hA
Caso (B) 026,0=kP
hA
Caso (C) 00262,0=kP
hA
- Informação importante: A aleta deve ser colocada do lado do tubo de menor coeficiente de transferência de calor que é também o de maior resistência térmica. Exemplo de aplicação 2 – Considerando o problema anterior, suponha que a aleta seja
constituída de dois materiais distintos e que o coeficiente de transferência de calor seja h
= 100 W/m2 oC. Calcule a efetividade.
Das tabelas de propriedades de transporte dos materiais, obtém-se: A – Cobre → k = 368 W/m K B – Aço inox → k = 19 W/m K C – Alumínio → k = 240 W/m K Solução:
kkkr
hm
4,141
01,0.
100.22=== e, portanto, ( )
kkmLc
76,72/01,005,0
4,141=+=
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
51
No denominador, agora temos: kkk
hr
kP
hA
2
1
2
01,0.100
2===
Substituindo ambos resultados, obtém-se:
)/76,7(2 ktghk ⋅=ε Caso (A): k = 368 W/m K (cobre) ε = 10,7 Caso (B): k = 19 W/m K (aço inox) ε = 5,8 Caso (C): k = 240 W/m K (alumíno) ε = 10,1 Comentário: O material da aleta é bastante importante no que toca sua efetividade. Deve-se procurar
usar material de elevada condutividade térmica (cobre ou alumínio). Geralmente, se usa
alumínio por apresentar várias vantagens, tais como:
(1) é fácil de ser trabalhado e, portanto, pode ser extrudado;
(2) tem custo relativamente baixo;
(3) possui uma densidade baixa, o que implica em menor peso final do
equipamento;
(4) tem excelente condutividade térmica.
Claro, que cada caso é um caso. Em algumas situações as aletas podem ser parte do
projeto original do equipamento e ser fundida juntamente com a peça, como ocorre com
as carcaças de motores elétricos, por exemplo.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
52
AULA 8 – CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSITÓRIO – SISTEMA CONCENTRADO
Introdução
Quando um corpo ou sistema a uma dada temperatura é bruscamente submetido a novas
condições de temperatura no seu contorno como, por exemplo, pela sua exposição a um
novo ambiente, certo tempo será necessário até que seja restabelecido o equilíbrio térmico.
Exemplos práticos são aquecimento/resfriamento de processos industriais, tratamento
térmico, entre outros.
No esquema ilustrativo abaixo, suponha que um corpo esteja inicialmente a uma
temperatura uniforme T0. Subitamente, ele é exposto a um ambiente que está a uma
temperatura maior T∞2. Uma tentativa de ilustrar o processo de aquecimento do corpo está
indicada no gráfico temporal do esquema. A forma da curva de aquecimento esperada é, de
certa forma, até intuitiva para a maioria das pessoas, baseado na própria experiência
pessoal.
1∞T
10 ∞= TT
2∞T
2∞T
t∆
Uma análise mais detalhada e precisa do problema do aquecimento do exemplo
ilustrativo acima vai, entretanto, indicar que o aquecimento do corpo não ocorre de forma
uniforme no seu interior. Na ilustração que segue, indica-se de forma indicativa a
temperatura na no centro Tc, e numa posição qualquer na superfície Ts. Note que as curvas
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
53
de aquecimento não são iguais. Isto indica que a variação da temperatura no corpo não é
uniforme dentro do corpo, de uma forma geral. Esta análise que envolve o problema da
difusão interna do calor, é um pouco complexa do ponto de vista matemático, mas pode ser
resolvida para alguns casos de geometrias e condições de contorno simplificadas. Casos
mais complexos podem ser resolvidas de forma numérica. Entretanto, o interesse da aula de
hoje é numa hipótese simplificadora que funciona para um grande número de casos
práticos. A idéia consiste em assumir que todo o corpo tenha uma única temperatura
uniforme a cada instante, como foi ilustrado anteriormente, de forma que se despreze a não
uniformidade da temperatura interna. Esta hipótese é chamada de sistema concentrado,
como discutido na seqüência.
2∞T2∞T
Sistema Concentrado A hipótese é que a cada instante de tempo t, o sistema tenha uma só temperatura
uniforme T(t). Isto ocorre em situações nas quais os sistemas (corpos) tenham sua
resistência interna à condução desprezível face à resistência externa à troca de calor
(geralmente convecção).
Para conduzir essa análise, será lançado mão do esquema abaixo para o qual se realiza
um balanço de energia, indicado a seguir.
∞T
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
54
Balança de energia
= Termo (I):
dt
dTc
dt
du
dt
dum
dt
dU∀=∀== ρρ
m = massa do corpo; U = energia interna do corpo; u = energia interna específica do corpo; ρ = densidade do corpo; ∀ = volume do corpo; c = calor específico do corpo. Termo (II):
)( ∞−−= TThAqconv h = coeficiente transferência de calor por convecção para o fluido circunvizinho; A = área da superfície do corpo em contato com o fluido; T = temperatura instantânea do corpo T = T (t); T∞ = temperatura ao longe do fluido. Assim, pelo esquema do balanço de energia, vem:
)( ∞−−=∀ TThAdt
dTcρ
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, cuja condição inicial é T(t=0) = T0
Separando as variáveis para se realizar um integração por partes, vem:
dtc
hA
TT
dT
∀
−=
− ∞ ρ
Por simplicidade, seja dTdTT =⇒−= ∞ θθ , então:
Taxa temporal de variação de energia
interna do corpo (I)
Fluxo de calor Trocado por convecção
(II)
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
55
dtc
hAd
∀−=
ρθ
θ , ou ∫∫
=∀
−=
t
t
dtc
hAd
00ρθ
θθ
θ
, do que resulta em:
tc
hA
∀−=
ρθ
θ
0
ln .
Finalmente,
tc
hA
e ∀−
= ρ
θ
θ
0
ou t
c
hA
eTT
TT ∀−
∞
∞ =−
− ρ
0
Analogia Elétrica
Essa equação resulta da solução de um sistema de primeira ordem. Soluções desse tipo
ocorrem em diversas situações, inclusive na área de eletricidade. Existe uma analogia
perfeita entre o problema térmico apresentado e o caso da carga e descarga de um capacitor,
como ilustrado no esquema abaixo.
Inicialmente o capacitor C é carregado at uma tenção elétrica V0 (chave ligada). Depois,
a chave é aberta e o capacitor começa a se descarregar através da resistência R.
A solução desse circuito RC paralelo é
RC
t
eV
V −
=0
Note a Analogia
Elétrica Térmica Tensão, V
∞−TT Capacitância, C ∀cρ Resistência, R hA/1
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
56
Circuito térmico equivalente
∀cρ hA/1
τ
∞T Constante de tempo do circuito elétrico, τ
RC=τ
A constante de tempo é uma grandeza muita prática para indicar o quão rápido o capacitor se carrega ou se descarrega. O valor de τ=t é o instante em que a tensão do sistema atingiu o valor de e-1 ~ 0,368
368,011
0
==== −−
eee
V
Vτ
τ
Com isso, pode-se fazer uma análise muito interessante, como ilustrado no gráfico
abaixo que indica a influência da tensão no capacitor para diferentes constantes de tempo. Quanto maior a constante de tempo, mais o sistema demora para atingir o valor de 0,368V0.
τ
1τ 2τ 3τ 4τ
Por analogia, a constante de tempo térmica é tudo o que “sobrar” no denominador do valor
da exponencial, isto é:
t
tt
c
hA
eeTT
TT τρ−
∀−
∞
∞ ==−
−
0
→ hA
ct
∀=
ρτ
Veja o gráfico ilustrativo abaixo para ver a influência da constante de tempo térmica.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
57
tτ
∞− TT
∞− TT0
)(368,0 0 ∞− TT
Um exemplo interessante da aplicação dos conceitos de transitório térmico é o caso da
medida de temperaturas com sensores do tipo termopar e outros. Esses sensores consistem
de dois fios fundidos em uma extremidade que formam uma pequena “bolinha” a qual é
exposta a um ambiente em que se deseja mediar sua temperatura. Suponha de forma
ilustrativa, um ambiente que idealmente sua temperatura tem o comportamento ilustrado
pela linha cheia no esquema abaixo, isto é, sua temperatura oscila entre T∞1 e T∞2, de
período em período (onda quadrada). Agora deseja-se selecionar um sensor que acompanhe
o mais próximo possível o seu comportamento. Três sensores de constantes térmicas
diferentes são mostrados. Note que o sensor de maior constante térmica, 3τ , praticamente
não “sente” as variações de temperatura, enquanto que o sensor de menor constante térmica
acompanha melhor as variações de temperatura. Esse exemplo poderia ser o caso de um
motor de combustão interna em que as temperaturas da câmara variam com a admissão e
combustão dos gases. Com esse simples exemplo, mostra-se a importância da constante
térmica.
10 ∞− TT
∞− TT
20 ∞− TT
12 ττ <1τ
13 ττ >
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
58
A equação que rege o regime transitório concentrado pode ainda ser reescrita para se obter
a seguinte forma
,
0
FoBieTT
TT −
∞
∞ =−
− onde
Onde, Bi é o número de Biot, definido por k
hLBi = ,
e Fo é o número de Fourier, definido por 2
L
tFo
α= (trata-se de um “tempo” adimensional)
h = coeficiente transferência de calor por convecção;
α = difusividade térmica;
k = condutividade térmica;
L = comprimento característico do corpo;
O número de Biot é uma razão entre a resistência interna à condução de calor e a resistência
externa à convecção.
Pode-se tomar L como sendo a razão entre o volume do corpo pela sua área exposta à troca
de calor.
expostaárea
corpodoolume
→
→=
v
A
VL
Para concluir esta aula, deve-se informar o limite da aplicabilidade da hipótese de sistema
concentrado. Mostra-se que a hipótese de sistema concentrado admite solução razoável
desde que
1,0<Bi
EXEMPLO DE APLICAÇÃO (adaptado de Incropera, ex. 5.1)
Termopares são sensores muito precisos para medir temperatura. Basicamente, eles são
formados pela junção de dois fios de materiais distintos que são soldados em suas
extremidades, como ilustrado na figura abaixo. A junção soldada pode, em primeira análise,
ser aproximada por uma pequena esfera de diâmetro D. Considere um termopar usado para
medir uma corrente de gás quente, cujas propriedades de transporte são: k = 20 W/m K,
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
59
c = 400 J/kg K e ρ = 8500 kg/m3. Inicialmente, o termopar de D = 0,7 mm está a 25 oC e é
inserido na corrente de gás quente a 200 oC. Quanto tempo vai ser necessário deixar o
sensor em contato com o gás quente para que a temperatura de 199,9 oC seja indicada pelo
instrumento? O coeficiente de transferência de calor vale 400 W/m2K.
SOLUÇÃO
Comprimento característico: mD
A
VL
43
10167,16
107,0
6−
−
×=×
===
Número de Biot: 34
10333,220
10167,1400 −−
×=××
==k
hLBi
Da expressão da temperatura, vem 76,320020025
2009,199ln
10333,2
1ln
13
0
=
−
−
×−=
−
−−=
−∞
∞
TT
TT
BiFo
Dado que 610883,54008500
20
−×=
×==
c
k
ρα e
2L
tFo
α= , vem:
( )s
LFot 4,7
10883,5
10167,176,32006
242
=×
××=
×=
−
−
α
Comentário: note que o número de Biot satisfaz a condição de sistema concentrado 1,0<Bi . Um tempo relativamente longo é necessário para obter uma leitura precisa de
temperatura. O que aconteceria com o tempo se o diâmetro do termopar fosse reduzido à metade?
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
60
AULA 9 – CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSITÓRIO – SÓLIDO SEMI-INFINITO
Fluxo de Calor num Sólido Semi-Infinito
Na aula anterior foi estudado o caso da condução de calor transitória para sistemas
concentrados. Aquela formulação simplificada começa a falhar quando o corpo possui
dimensões maiores de forma que a resistência interna à condução não pode ser
desprezada (Bi > 0,1). Soluções analíticas existem para casos em que uma das
dimensões é predominante e muito grande que, em termos matemáticos, é dito infinito.
Considere o esquema abaixo de um sólido com uma superfície exposta à troca de calor
(à esquerda) e sua dimensão se estende à direita para o infinito (daí o nome de semi-
infinito). A face exposta sobre bruscas mudanças de condição de contorno, como se
verá.
Condições de contorno
(A) Temperatura constante na face exposta:
Solução: T(x, t)
Equação geral condução de calor
t
T
k
qT
∂
∂=+∇
α
1'''2
por não haver geração interna de calor, vem que t
T
x
T
∂
∂=
∂
∂
α
12
2
, a qual é submetida as
seguintes condições:
- Condição inicial: iTxT =)0,(
- Condição de contorno: 0),0( TtT =
Sem apresentar detalhes da solução do problema, prova-se que a distribuição de
temperaturas é dada por:
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
61
=
−
−
t
xerf
TT
TT
i α20
0 , onde
erf é a chamada função erro de Gauss, cuja definição é dada por:
∫−=
t
x
det
xerf
αη η
πα
2
0
22
2
Vista em forma gráfica, esta função tem o seguinte comportamento.
Para valores numéricos de T = T (x,t), veja a Tabela B – 2 do livro do Incropera
e Witt. Note que o seu comportamento se parece com uma exponencial “disfarçada”.
Fluxo de calor numa posição x e tempo t
Para se obter o fluxo de calor instantâneo numa dada posição qualquer, basta aplicar a
lei de Fourier da condução. Isto é feito substituindo a distribuição de temperaturas
acima, na equação de Fourier, isto é:
∂
∂−−=
−+
∂
∂−=
∂
∂−= ∫
−t
x
iix dex
TTkAt
xerfTTT
xkA
x
TkAq
αη η
πα
2
0
000
22)()
2()(
∂
∂−−=
−
t
x
xe
TTkAt
x
i
απα
2
)(240
2
, do que, finalmente, resulta em:
t
x
i
x et
TTkAq α
πα40
2
)( −−−=
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
62
(B) Fluxo de calor constante na face exposta:
Neste outro caso, estuda-se que a face exposta está submetida a um fluxo de calor
constante,
Partindo da equação da condução de calor t
T
x
T
∂
∂=
∂
∂
α
12
2
, submetida as seguintes
condições:
- Condição inicial: iTxT =)0,(
- Condição de contorno: 0
0
qx
TkA
x
=∂
∂−
=
A solução é:
−−=−
−
t
xerf
kA
xq
kA
et
q
TT
t
x
iα
π
αα
21
20
40
2
NOTA: Obtenha o fluxo de calor!!
(C) Convecção de calor na face exposta
Nesse terceiro caso, analisa-se o caso em que ocorre convecção de calor na face
exposta à esquerda.
∞T
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
63
Novamente, partindo da equação da condução de calor sem geração interna, vem:
t
T
x
T
∂
∂=
∂
∂
α
12
2
, a qual é submetida às seguintes condições:
- Condição inicial: T (x,o) = Ti
- Condição de contorno: [ ]∞
=
−=∂
∂− TtThA
x
TkA
x
),0(0
(condução interna =
convecção)
A solução é:
+−
−
−=
−
− +
∞ k
th
t
xerfe
t
xerf
TiT
TTk
th
k
hx
i α
αα
α
21
21
2
2
(
NOTA: Obtenha o fluxo de calor ! – use a Lei de Fourier!
Outros casos de condução transitória de intersse
Placas, chapas, cilindros e esferas são geometrias muito comuns de peças
mecânicas. Quando o número de Biot é pequeno, basta que se use a abordagem de
sistema concentrado. Entretanto, quando isso não ocorre, há de se resolver a equação
geral da condução de calor. No entanto, para essas geometrias básicas, Heisler
desenvolveu soluções gráficas, como mostrado abaixo.
(1) Placas cuja espessura é pequena em relação as outras dimensões
∞T
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
64
(2) Cilindros cujos diâmetros são pequenos quando comparados com o
comprimento
∞T
(3) Esferas
∞T
Convenção usada nos diagramas de Heisler
∞∞ −=−= TtrTouTtxT ),(),( θθ
∞−= TTiiθ
∞−= TT00θ
∞−= TTeeθ
Numero de Biot: k
hLBi =
L – dimensão características (dada no gráfico)
Numero de Fourier, Fo (tempo adimensional), definido por
220cs
kt
L
tF
ρ
α==
Calor total trocado pelo corpo Qi
iii cTTcQ θρρ ∀=−∀= ∞ )(
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
65
Gráficos de Heisler para uma placa de espessura 2L. Para outras geometrias(esfera e
cilindro): ver Apêndice D do Incropera e Witt
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
66
Exemplo:
Uma placa de espessura de 5 cm está inicialmente a uma temperatura uniforme de
425 ºC. Repentinamente, ambos os lados da placa são expostos à temperatura ambiente,
T∞ = 65 ºC com hmédio = 285 W/m2 ºC. Determinar a temperatura do plano médio da
placa e a temperatura a 1,25 cm no interior da mesma, após 3 min.
Dados:
k = 43,2 W/mk
α = 1,19 x 10-5
m2/s h
Solução:
2L = 5 cm = 0,05 m → L = 0,025 m
1,0165,02,43
025,0285>=
×==
k
hLBi
Não se aplica a solução de sistema concentrado. Portanto, use a solução de Heisler. Para
isso, deve-se calcular os parâmetros para os gráficos da página anterior, que são:
1,6165,0
11==
Bi e 43,3
025,0
1801019,12
5
20 =××
==−
L
tF
α
Do diagrama de Heisler (página anterior), vem:
e 2816,0).65425(65 =−+ . Assim,
CTo2810 = Na linha de centro após 3 mim
Do gráfico para uma posição qualquer x:
1,6/1 =iB
5,005,0
0125,0/ ==Lx
97,00
≅θ
θ
97,0)65281(6597,0)( 0 ×−+=×−+= ∞∞ TTTT
CTo
5,274= p/ min3,5,0 == tL
x
1,6165,0
11==
iB
43,30 =F
6,00 ≅iθ
θ
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização set/2010
67
AULA 10 – CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME PERMANENTE BIDIMENSIONAL
Condução Bidimensional
Até a presente aula, todos os casos estudados referiam-se à condução de calor
unidimensional em regime permanente, ou seja, não se considerava a distribuição
espacial da temperatura para além de uma dimensão. Evidentemente, muitos problemas
reais são bi ou tridimensionais. Soluções analíticas existem para um número limitado de
problemas. Os casos mais realistas devem ser resolvidos de forma numérica. Entretanto,
neste curso introdutório é importante que o estudante tenha uma visão das soluções
analíticas existentes e, para isso, é resolvido um problema clássico que é o método da
separação das variáveis para uma placa retangular bidimensional.
O Método da Separação de Variáveis Seja uma placa retangular, submetida às condições de contorno ilustrados, isto é, todos os lados estão à mesma temperatura T1, exceto o lado superior que está à T2.
Placa retangular com as condições de contorno indicadas, procura-se T (x,y) Equação da condução de calor
t
T
k
qT
∂
∂=+∇
α
1'''2
Hipóteses:
(1) regime permanente (2) sem geração interna (3) bidimensional
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização set/2010
68
As hipóteses resultam em: 02 =∇ T ou 02
2
2
2
=∂
∂+
∂
∂
y
T
x
T
Condição de contorno – temperaturas dos quatro lados
(1) T(0,y) = T1 (2) T(L,y) = T1 (3) T(x,0) = T1 (4) T(x,b) = T2
É conveniente realizar uma mudança de variáveis
12
1
TT
TT
−
−=θ
Condições de contorno na nova variável θ são:
(1) θ(0,y) = 0 (2) θ(L,y) = 0 (3) θ(x,0) = 0 (4) θ(x,b) = 1
De onde se tem também que a variação elementar de temp. é θdTT
dT=
− 12
Então, 02
2
2
2
=∂
∂+
∂
∂
yx
θθ Esta é a equação da condução na nova variável.
A técnica de separação das variáveis supõe que a distribuição de temperaturas
θ(x,y), é o produto de duas outras funções X e Y as quais, por sua vez, são funções
exclusivas apenas das variáveis do problema x e y, respectivamente, isto é:
( ) ( )yYxXyx ×=),(θ
Assim, a derivada parcial em relação à x dessa nova função são:
Primeira derivada: dx
dXY
x=
∂
∂θ
Segunda derivada: 2
2
2
2
dx
XdY
x=
∂
∂ θ
Analogamente em relação à y:
Segunda derivada: 2
2
2
2
dy
YdX
y=
∂
∂ θ
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização set/2010
69
Logo, substituindo essas derivadas segundas parciais na equação diferencial da condução, vem:
02
2
2
2
=+dy
YdX
dx
XdY
ou, dividindo pelo produto XY, vem:
2
2
2
2 11
dx
Xd
Xdy
Yd
Y−=
É digna de nota que na equação acima o lado esquerdo é uma função exclusiva de y
e o lado direito, uma função exclusiva de x. No entanto, os dois lados da igualdade são
sempre iguais. Isto implica dizer que a igualdade não pode ser nem função de x, nem de
y, já que de outra forma não seria possível manter a igualdade sempre válida. De forma
que a igualdade deve ser uma constante que, por conveniência matemática, se usa o
símbolo 2λ . Dessa forma, tem se:
22
21λ=−
dx
Xd
X e
22
21λ=
dy
Yd
Y
Note que a equação diferencial parcial original deu origem à duas outras equações
diferenciais comuns ou ordinárias, mostradas acima. As soluções dessas duas novas
equações são bem conhecidas (lembre-se do polinômio característico) e são:
( ) xsenCxCxX λλ 21 cos += , e
( ) yyeCeCyY
λλ43 += −
De forma que, voltando à variável original, ( ) ( )yYxXyx ×=),(θ , a solução global é:
( ) [ ][ ]yyeCeCxsenCxCyx
λλλλθ 4321 .cos, ++= −
Nesse ponto, a análise se volta para cada caso especifico dado pelas condições de
contorno. É preciso fazer isso com critério. Da 1a Condição de contorno: θ(0,y) = 0
( ) [ ][ ]yyeCeCsenCCy
λλλλθ 4321 .0.0.cos,0 ++= −
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização set/2010
70
De onde se conclui que a única possibilidade é que 01 =C Agora, da 3ª condição de contorno: θ(x,0) = 0
[ ][ ]432 .0 CCxsenC += λ
de onde se obtém que ⇒=+ 043 CC 43 CC −=
Da 2ª condição de contorno: θ(L,y) = 0
[ ][ ])(.0 42yy eeCLsenC λλλ −−=
mas, como simultaneamente as duas constantes não podem ser nulas, isto é:
042 ≠CeC , logo, deduz-se que 0)( =Lsen λ
Os possíveis λ que satisfazem essa condição são: πλ nL =
ou, seja L
nπλ = n = 1,2,3, .....
nota: λ = 0, resulta na solução trivial e não foi considerada.
Portanto, a distribuição de temperaturas até o presente é:
( )
44 344 21
321
)(
42 22,
L
ynsenh
L
yn
L
yn
C
ee
L
xnsenCCyx
n
π
ππ
πθ
−
=
−
ou, seja ( ) )()(,L
ynsenh
L
xnsenCyx n ππθ =
Para cada n = 1,2,3,... Existe uma solução particular θn. Daí também ter juntado as constantes 42 CeC num nova única constante Cn que dependem do valor de n. Então a solução geral deve ser a combinação linear de todas as possíveis soluções.
( )
=∑
∞
= L
ynsenh
L
xnsenCyx
n
n
ππθ
1
,
Cn deve ser obtido da última condição de contorno: θ(x,b) = 1, isto é:
=∑
∞
= L
bnsenh
L
xnsenC
n
n
ππ
1
1
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização set/2010
71
A última e mais difícil tarefa é de encontrar os coeficientes Cn da série acima para
obter a distribuição final de temperaturas. Essa tarefa é realizada usando a teoria das
funções ortogonais, revista abaixo.
REVISÃO DO CONCEITO DE FUNÇÕES ORTOGONAIS
Um conjunto infinito de funções g1(x), g2(x), é dito ortogonal no domínio bxa ≤≤ , se
∫ ≠=b
a
nm nmpdxxgxg /0)()(
(dica: note que se parece com produto escalar de vetores: dois vetores ortogonais tem o produto escalar nulo)
Muitas funções exibem a propriedade de ortogonalidade, incluindo )(L
xnsen π e )cos(
L
xnπ em
Lx ≤≤0 Verifica-se também, que qualquer função f(x) pode ser expressa numa série infinita de funções ortogonais, ou seja:
∑∞
=
=1
)()(m
mm xgAxf
Para se obter os coeficientes Am; procede-se da seguinte forma:
(1) Multiplica-se por )(xgn , ambos os lados da igualdade:
∑∞
=
=1
)()()()(m
mmnn xgAxgxfxg
(2) Integra-se no intervalo de interesse:
dxxgAxgdxxfxgb
am
mmn
b
an ∫ ∑∫
=
∞
=1
)()()()(
Usando a propriedade de ortogonalidade, ou seja
nmsedxxgxgb
anm ≠=∫ 0)()(
Pode-se eliminar a somatória, então:
dxxgAdxxfxgb
amm
b
am ∫∫ = )()()( 2
Finalmente, as constantes da série Am podem ser obtidas:
dxxg
dxxfxgA
b
am
b
am
m
∫
∫=
)(
)()(
2
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização set/2010
72
Voltando ao problema, tem-se:
∑∞
=
=
1
1n
nL
bnsenh
L
xnsenC
ππ (A)
Comparando com o caso acima, vemos que f(x) = 1 e que
,....2,1;)( =
= n
L
xnsenxg
ortogonalfuncão
n
43421
π
Logo, expandindo a função f(x) = 1, vem
∑∞
=
=
1
1n
nL
xnsenA
π
Assim, pode-se obter os coeficientes da série do já visto na revisão aciam:
ndx
L
xnsen
dxL
xnsen
An
L
L
n
1)1(2 1
0
2
0 +−=
=+
∫
∫ππ
π
Então,
∑∞
=
+
+−=
1
1 1)1(21
n
n
L
xnsen
n
π
π (B)
Comparando (A) com (B), vem:
∑∑∞
=
+∞
=
+−=
1
1
1
1)1(2
n
n
n
nL
xnsen
nL
bnsenh
L
xnsenC
π
π
ππ
Então, da igualdade das séries:
[ ],....3,2,1;
1)1(2 1
=
+−=
+
n
L
bnsenhn
Cn
nπ
π
De forma que a solução final do problema é:
∑∞
=
+
+−=
1
1 1)1(2),(
n
n
L
bnsenh
L
ynsenh
L
xnsen
nyx
π
π
π
πθ
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização set/2010
73
É interessante ver o gráfico desta função
1=θ
75.0=θ
50.0
25.0
10.0
0=θ
0=θ0=θ
Calcule o fluxo de calor. Nesse caso, você precisa calcular qx e qx. Note que o fluxo de calor, nesse caso, será dado de forma vetorial, isto é:
ix
Tkqx
rr
∂
∂−=′′ e j
y
Tkq y
rr
∂
∂−=′′ . Sendo que o fluxo total de calor será yx qqq
rrr′′+′′=′′ e o
módulo do fluxo de calor será ( ) ( )22yx qqq ′′+′′=′′ em W/m2
Faça os Exercícios 4.2 e 4.3 do Incropera e Witt Método Gráfico O método gráfico é empregado para problemas bidimensionais envolvendo condições de contorno adiabáticas ou isotérmicas. Exige paciência, sendo que o objetivo é construir uma malha formada por isotérmicas e linhas de fluxo de calor constante. Com a finalidade de ilustrar o método, considere uma seção quadrada, cuja superfície interna é mantida a T1 e a externa T2.
(1) O primeiro passo é identificar todas as possíveis linhas de simetria do problema tais linhas são determinadas pela geometria e condição simétricas.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização set/2010
74
(2) As linha de simetria são adiabáticas, ou seja, não há fluxo de calor na direção perpendicular a elas. Portanto, podem ser tratados como linhas de fluxo de calor constante.
(3) Traças algumas linha de temperatura constante. Lembre-se que elas são perpendiculares às linhas de fluxo constante.
(4) As linhas de fluxo constante devem ser desenhadas criando quadrados curvilíneos. Isto é feito fazendo como que as linhas de fluxo cruzem as linhas de temperatura constantes em ângulo reto e impondo que todos os quadrados tenham aproximadamente, o mesmo comprimento.
(5) Quando houver um “canto” isotérmico”, a linha de fluxo cte. Deve bissectar o ângulo formado pelas duas superfícies
αα
O fluxo de calor, por unidade de espessura de material, que atravessa o quadro curvilíneo ilustrado é:
∆
∆∆−≅
l
Tlkqi (1)
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização set/2010
75
O fluxo de calor acima é o mesmo que atravessa qualquer região que esteja limitada pelas mesmas linhas de fluxo constantes desde T1 até T2. Então, pode-se escrever que.
N
TTT 12 −
=∆ (2)
Onde N é o numero de incrementos de temperatura entre T1 e T2. (no exemplo N = 5). Assim, de (1)
N
TTkqi
)( 12 −−= (3)
O fluxo de calor total, q, é a soma de todos os M “Faixas” formadas por duas linhas adjacentes de fluxo de calor (no exercício M = 5)
)( 121
TTkN
Mqq
M
i
i −==∑=
Define-se a razão M/N como o fator de forma do sistema, assim:
)(5 12 TTkq −=
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização set/2010
76
AULA 11 – SOLUÇÃO NUMÉRICA DEFERENÇAS FINITAS
Como se viu, a solução da equação da condução de calor em muitas situações é bastante
complexa e, verdadeiramente, na maioria dos casos práticos não existe nem solução
analítica. Nesse caso, lança-se mão de métodos numéricos. Há uma grande variedade de
métodos disponíveis na literatura, mas vamos nos ater a apenas um dos métodos: o das
diferenças finitas.
A idéia consiste em dividir a região que está sendo examinadas em pontos discretos ou
pontos nodais, e aplicar um balanço de energia para cada ponto nodal, conforme ilustrado
abaixo. Assim, transforma-se o meio contínuo em que se dá a transferência de calor em um
meio discreto formado por uma matriz de pontos com propriedades que “concentram” as
informações do meio contínuo original. Veja a figura abaixo. Após a discretização do meio
contínuo, considere o ponto nodal (m,n) indicado na figura abaixo, tendo como vizinhos os
pontos nodais (m-1,n) à esquerda, (m+1,n) à direita, (m,n-1) abaixo e (m,n+1) acima. A
distância entre os pontos nodais é ∆x e ∆y, nas duas direções principais.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização set/2010
77
A equação da condução de calor 02
2
2
2
=∂
∂+
∂
∂
y
T
x
T pode assim ser discretizada:
x
TT
x
T nmnm
nm ∆
−≈
∂
∂ −
−
)( ,1,
,2
1 (primeira derivada na direção x – face esquerda)
x
TT
x
T nmnm
nm ∆
−≈
∂
∂ +
+
)( ,,1
,2
1 (primeira derivada na direção x – face direita)
Assim,
x
x
T
x
T
x
T nmnm
∆
∂
∂−
∂
∂
≈∂
∂ −+ ,2
1,
2
1
2
2
(segunda derivada na direção x – centro)
Ou, ainda, após substituição das primeiras derivadas: 2
,,1,1
,
2
2
)(
2
x
TTT
x
T nmnmnm
nm∆
−+=
∂
∂ +−
Analogamente, na direção y: 2
,1,1,
,
2
2
)(
2
y
TTT
y
T nmnmnm
nm∆
−+=
∂
∂ +−
Assim, a equação da condução de calor diferencial pode ser aproximada por uma equação
algébrica,
≈∂
∂+
∂
∂2
2
2
2
y
T
x
T04 ,1,1,,1,1 =−+++ +−+− nmnmnmnmnm TTTTT se ∆x = ∆y
A equação acima é a forma da equação do calor em diferenças finitas. Note que a
temperatura nodal Tm,n representa a média aritmética das quatro temperaturas da sua
redondeza.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização set/2010
78
O que acontece nas regiões de contorno do problema?
Suponhamos que haja convecção, conforme ilustrado. Um nó (à direita) se situa sobre a
superfície ou contorno do meio.
T∞
Procede-se a um balanço de energia para o ponto (m,n) em questão
)()(
2
)(
2
)(,
1,,1,,,1,
∞
+−−−∆=
∆
−∆−
∆
−∆−
∆
−∆− TTyh
y
TTxk
y
TTxk
x
TTyk nm
nmnmnmnmnmnm
se ∆x = ∆y
0)2(2
12 1,1,,1, =++−
∆−
+
∆−+−∞ nmnmnmnm TTTT
k
xh
k
xhT
Para outras condições de contorno, equações semelhantes podem ser escritas.
Por exemplo, um canto superior à direita:
T∞
0)(212 1,,1, =+−∆
−
+
∆−−∞ nmnmnm TTT
k
xh
k
xhT
Ver tabela 4.2 (Incropera) ou Tabela 3.2 Holman para outras condições e geometrias.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização set/2010
79
Uma vez que as equações de todos os pontos nodais foram estabelecidas, obtém-se um
sistema de N equações por N incógnitas do tipo:
NNNNNN
NN
NN
cTaTaTa
cTaTaTa
cTaTaTa
=++
=++
=++
...
....
....
....
...
...
2211
22222121
11212111
Ou em notação simplificada:
][]].[[ CTA =
Estudar exemplo resolvido 4.3 (Incropera)
Uma técnica antiga de solução manual de sistemas lineares de equações é o chamado
método da relação. Nesta técnica, a equação nodal é, primeiramente, igualada a zero:
0...2211 =−+++ nnmnmm cTaTaTa
Em seguida é igualada a um resíduo e depois segue-se o procedimento de solução:
1 – Admite-se uma distribuição inicial de temperatura;
2 – O valor do resíduo em cada ponto nodal é calculado;
3 – “Relaxar”o maior resíduo encontrado para zero (ou próximo) mudando a temperatura
do ponto nodal correspondente;
4 – Recalcular os resíduos para esta nova temperatura;
5 – Continuar o processo 3 – 4 até que todos os resíduos sejam nulos ou próximos de zero.
Hoje em dia, há muitos programas de computador e até de calculadoras que resolvem um
sistema linear de equações por diversas técnicas. Basta selecionar um deles. Por exemplo, o
método de eliminação gaussiana.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização set/2010
80
Exemplo Resolvido
Uma placa retangular é submetida às condições de contorno ilustradas na figura. Pede-se
calcular a distribuição de temperatura nos pontos nodais mostrados, dados que:
h = 200 W/m2 ºC
T∞ = 20 ºC
k = 10 W/m ºC
∆ x = ∆ y = 10 cm
20T C∞ = °
OBS: Observar a simetria do problema (nós com o mesmo número)
Solução:
Pontos nodais interiores (1-4) - vale a seguinte equação:
04 ,1,1,,1,1 =−+++ +−+− NMNMNMNMNM TTTTT
Portanto,
042:4
01004:3
010042:2
0)100(24:1
7432
6431
421
321
=+−+
=+++−
=++−
=+++−
TTTTnó
TTTTnó
TTTnó
TTTnó
Ponto nodal 5 (canto) – vale a seguinte equação
0)(2 ,1, =+−∆
−
+
∆+∞ fixonmnm TTT
k
xh
k
xhT
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização set/2010
81
nó 5: 0)100(2010
1,02002
10
1,020065 =+−
×−
+
×TT , ou
01404 65 =−− TT
Pontos nodais com convecção (6 – 7) – vale a seguinte equação:
[ ] 022
12 ,1,11,, =++−
∆−
+
∆+−−∞ nmnmnmnm TTTT
k
xh
k
xhT
nó 6: [ ] 022
120
10
1,02002
10
1,02007536 =++−
×−
+
×TTTT , ou
[ ] 022
120
10
1,02002
10
1,02007536 =++−
×−
+
×TTTT , ou ainda,
0402
14
2
17653 =−−+−− TTTT
nó 7: 0)22(2
1404 647 =+−− TTT , ou
0404 764 =−+−− TTT
Solução do sistema pelo método de eliminação gaussiana
CT
CT
CT
CT
CT
CT
CT
o
o
o
o
o
o
o
7,36
8,38
7,44
2,68
3,74
2,87
4,90
7
6
5
4
3
2
1
=
=
=
=
=
=
=
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização set/2010
82
AULA 12 – INTRODUÇÃO À TRANSFERÊNCIA DE CALOR CONVECTIVA
Lei de Resfriamento de Newton Já vimos que a transferência de calor por convecção é regida pela simples de lei de
resfriamento de Newton, dada por:
)( ∞−= TTAhq S onde, Ts, T∞ – temperatura da superfície aquecida e do fluido ao longe; A – área de troca de calor; h = coeficiente de transferência de calor por convecção. O problema fundamental da transferência de calor por convecção é a determinação do
valor d h para o problema em análise. Nota-se que a expressão da transferência de calor
é consideravelmente mais simples que a da condução, num sentido amplo. No presente
caso, basta resolver uma equação algébrica simples para se obter o fluxo de calor desde
que, claro, se conheça o valor de h, enquanto que no segundo caso, exige-se a solução
de uma equação diferencial. Essa aparente simplicidade é, no entanto, enganosa, pois na
verdade, em geral, h é função de um grande número de variáveis, tais como as
propriedades de transporte do fluido (viscosidade, densidade, condutividade térmica),
velocidade do fluido, geometria de contato, entre outras. Nessa e nas demais aulas, vão
se apresentar expressões e métodos de obtenção daquela grandeza para diversas
condições de interesse prático. Mas antes, vamos apresentar os números adimensionais
que controlam a transferência de calor convectiva.
Análise Dimensional
A análise dimensional é um método de reduzir o número de variáveis de um problema
para um conjunto menor de variáveis, as quais não possuem dimensão física, isto,
tratam-se de números adimensionais. Alguns adimensionais que o aluno já deve estar
familiarizado a essa altura são o número de Reynolds na Mecânica dos Fluidos, os
números de Biot e de Fourier.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização set/2010
83
A maior limitação da análise dimensional é que ela não fornece qualquer informação
sobre a natureza do fenômeno. Todas as variações que influenciam devem ser
conhecidas de antemão. Por isso deve se ter uma compreensão física preliminar correta
do problema em análise.
O primeiro passo da aplicação do método consiste na determinação das dimensões
primárias. Todas as grandezas que influenciam no problema devem ser escritas em
função destas grandezas. Por exemplo, considere o sistema primário de grandezas
MLtT, onde:
Comprimento L Tempo t Massa M Temperatura T
Nesse sistema de grandezas primárias, por exemplo, a grandeza força tem as seguintes
dimensões:
Força ML/t2 O mesmo pode ser feito para outras grandezas de interesse:
Condutividade térmica ML/t3T Calor ML2/t2 Velocidade L/t Densidade M/L3 Velocidade M/Lt Calor específico a pressão constante L2/t2T Coeficiente De transmissão de calor M/t3T
Teorema dos Π ou de Buckingham Esse teorema permite obter o número de adimensionais independentes de um problema.
É dado por:
M = N – P
Onde,
M – número de grupos adimensionais independentes;
N – número de variáveis físicas dos problemas;
P – número de dimensões primárias;
Sendo ππππ um adimensional genérico, pode-se escrever, então:
0),...,( 21 =mF πππ
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização set/2010
84
Para exemplificar, considere um fenômeno físico de 5 variáveis e três dimensões
primarias. Logo,
M = 5-3 = 2, de onde se obtém:
0),( 21 =ππF ou
pode-se escrever um adimensional como função do outro da seguinte forma.
)( 21 ππ f=
Essa relação funcional pode ser teórica ou experimental, obtida em laboratório, como
indicado no gráfico abaixo. Note que seria necessário se realizar experimentos com
apenas uma variável (grupo adimensional π2) e observar a dependência de π1. Com
isso, reduz-se drasticamente o número de experimentos. Caso contrário, seria necessário
fazer experimentos envolvendo as 5 variáveis originais do problema.
1π
2π
erimentalcurvaf exp)( 2π
Outro exemplo, seria o caso de um fenômeno descrito por 3 grupos adimensionais. Nesse caso, tem-se:
0),,( 321 =πππF , ou ),( 321 πππ f=
Pode-se, assim, planejar experimentos laboratoriais mantendo π3 constante, e variando π2, observando como π1 varia, como ilustrado no gráfico abaixo.
2π
tesconsdecurvas tan3π1π
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização set/2010
85
Adimensionais da transferência de calor por convecção forçada Considere o escoamento cruzado em um tubo aquecido, como ilustrado na figura abaixo.
D
Sabe-se de antemão que as grandezas que interferem na transferência de calor são: Variáveis Eq. Dimensional D Diâmetro do Tubo L k Condutividade térmica do fluido ML/t3T V Velocidade do fluido L/t ρ Densidade do fluido M/L3 µ Viscosidade do fluido M/Lt CP Calor especifico a pressão constante L2/t2T h Coef. de transferência de calor M/t3T Portanto, há N = 7 grandezas e P = 4 dimensões primárias, do que resulta em:
M = 7 – 4 = 3 (3 grupos adimensionais) Seja um grupo adimensional genérico do tipo:
g
c
f
p
edcba hcVKD µρπ =
Substituindo as equações dimensionais de cada grandeza, vem:
gfedcb
a
Tt
M
Tt
L
Lt
M
L
M
t
L
Tt
MLL
=
32
2
33π
ou, após rearranjo, vem:
( )( )( )( )gfbgfecbfedcbagedb TtLM −−−−−−−−+−−+++++= 32323π Por se tratar de um adimensional, todos os expoentes devem ser nulos, isto é:
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização set/2010
86
=−−−
=−−−−−
=+−−++
=+++
0
0323
023
0
gfb
gfecba
fedcba
gedb
Há um sistema de 7 incógnitas e 4 equações. Portanto, o sistema está indefinido. O
método pressupõe que se assumam alguns valores para os expoentes. Aqui é um ponto
crítico do método, pois há de se fornecer valores com critérios. Por exemplo,
(A) – Como h é uma grandeza que nos interessa, vamos assumir o seguinte conjunto de
valores
==
=
0
1
dc
g
Assim, pode-se resolver a equação do grupo adimensional, resultando em: a = 1 b = -1 e = f = 0 Esse primeiro grupo adimensional recebe o nome de número de Nusselt, definido por:
Nuk
Dh==1π
(B) – Agora vamos eliminar h e assumir outros valores
=
=
=
0
1
0
f
a
g
(para não aparecer h)
A solução do sistema fornece: b = 0 c = d = 1 e = -1 De onde resulta o outro grupo adimensional relevante ao problema que é o número de
Reynolds, dado por:
D
VDRe2 ==
µ
ρπ
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização set/2010
87
(C) - Finalmente, vamos assumir os seguintes valores f =1 e = g = 0 Daí resulta, o terceiro e último número adimensional que recebe o nome de número de
Prandtl,
Pr3 ==k
cpµπ
Então, há uma função do tipo
0),,( 321 =πππF ou 0),,( =PrRe DNuF .
Isolando o número de Nusselt, vem:
),( PrReDfNu = Assim, os dados experimentais podem ser correlacionados com as 3 variáveis (os
grupos adimensionais) ao invés de sete (as grandezas que interferem no fenômeno).
Vimos, então, que:
),( PrReDfNu =
Diversos experimentos realizados com ar, óleo e água mostraram que existe uma ótima
correlação envolvendo estes três adimensionais, conforme ilustrado no gráfico abaixo.
Note que, ar, água e óleo apresentam propriedades de transporte bastante distintas e, no
entanto, são bem correlacionados. Isto também indica que, uma vez obtida a expressão
que rege a transferência de calor, nos sentimos à vontade para usar com outros fluidos e
geometrias de tubos.
3,0Pr
Nu
4,03,0 RePr82,0=Nu
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
88
AULA 13 – CAMADA LIMITE LAMINAR SOBRE UMA
PLACA OU SUPERFICIE PLANA
Na aula passada vimos que a transferência de calor no escoamento externo sobre uma
superfície resulta na existência de 3 números adimensionais que controlam o fenômeno.
Essas grandezas são o número de Nusselt, Nu, o de Reynolds, Re, e o de Prandtl, Pr. De
forma que existe uma relação do tipo Nu = f(Re, Pr), a qual pode ser obtida de forma
experimental ou analítica em algumas poucas situações.
Na aula de hoje apresentar-se-á uma situação particular em que esta relação pode ser
obtida de forma analítica e exata. Para isso, serão apresentadas as equações diferenciais
que regem a transferência de calor em escoamento sobre uma superfície plana em
regime laminar. Depois será indicada a solução dessas equações. Para começar o estudo,
considere o escoamento de um fluido sobre uma superfície ou placa plana, conforme
ilustrado. Admita que o fluido tenha um perfil uniforme de velocidades (retangular)
antes de atingir a placa. Quando o mesmo atinge a borda de ataque, o atrito viscoso vai
desacelerar as porções de fluido adjacentes à placa, dando início a uma camada limite
laminar que cresce em espessura à medida que o fluido escoa ao longo da superfície.
Note que esta camada limite laminar vai crescer continuamente até que instabilidades
vão induzir a uma transição de regime para dar início ao regime turbulento, se a
extremidade da placa (borda de fuga) não for antes atingida. Admite que a transição
ocorra para a seguinte condição 5105Re ×>= ∞
µ
ρxuxtransição (às vezes também se usa
3 ×105), onde x é a distância a partir do início da placa (borda de ataque).
∞u
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
89
No regime laminar, o fluido escoa como se fossem “lâminas” deslizantes, sendo que a
tensão de cisalhamento (originária do atrito entre essas camadas) é dada por dy
duµτ =
para um fluido newtoniano (como o ar, água e óleo). Essa condição e geometria de
escoamento permite uma solução exata, como se verá a seguir.
Equações da continuidade e quantidade de movimento na camada limite laminar
Hipóteses principais:
- Fluido incompressível
- Regime permanente
- Pressão constante na direção perpendicular à placa
- Propriedades constantes
- Força de cisalhamento na direção y constante
Considere um elemento diferencial de fluido dentro da camada limite laminar (CLL),
como indicado.
Equação da continuidade ou da conservação de massa.
dydxx
uu )(
∂
∂+ρ
dxdyy
vv )(
∂
∂+ρ
vdxρ
udyρ
Como entrasai mm && = , então substituindo os termos, vem:
dydxx
uudxdy
y
vvvdxudy )()(
∂
∂++
∂
∂+=+ ρρρρ . Simplificando, tem-se
0=∂
∂+
∂
∂
y
v
x
u
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
90
Equação da conservação da quantidade de movimento
Da 2ª lei de Newton, tem-se que
=∑ extF variação do fluxo da quantidade de movimento
Balanço de forças na direção x.
Forças externas (pressão e atrito – gravidade desprezível)
dxdyy
)(∂
∂+
ττ
dxτ
pdydydx
x
pp )(
∂
∂+
dydxx
ppdxdxdy
ypdyFx )()(
∂
∂+−−
∂
∂++=∑ τ
ττ
ou, simplificando, dxdyx
pdxdy
yFx
∂
∂−
∂
∂=∑
τ
Mas, por ser um fluido newtoniano, tem-se dy
duµτ = que, substituindo, em.
dxdyx
pdxdy
y
uFx
∂
∂−
∂
∂=∑ 2
2
µ
Agora, vamos calcular o fluxo de quantidade de movimento (direção x)
dxdyy
uudy
y
vv ))((
∂
∂+
∂
∂+ρ
vudxρ
dydxx
uu
2)(∂
∂+ρdyu2ρ
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
91
Juntando todos os termos, tem-se a seguinte expressão:
superior ordem de termos2
)(
)(2
))(()(
2
222
22
+∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
=−∂
∂
∂
∂+
+∂
∂+
∂
∂++−
∂
∂+
∂
∂+=
=−∂
∂+
∂
∂++−
∂
∂+
dxdyy
vudxdy
y
uvdxdy
x
uu
uvdxdxdyy
u
y
v
dxdyy
vudxdy
y
uvvudxdyudydx
x
udxdy
x
uudyu
uvdxdxdyy
uudy
y
vvdyudydx
x
uu
ρρρ
ρρ
ρρρρρρρ
ρρρρ
Ainda é possível simplificar esta equação para obter
dxdyy
v
x
uudxdy
y
uv
x
uu
decontinuida
434210
)()(
=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂= ρρ
dxdyx
uv
x
uu )(
∂
∂+
∂
∂= ρ
Portanto, agora podemos juntar os termos de resultante das forças externas com a
variação do fluxo da quantidade de movimento, resultando na seguinte equação:
x
p
y
u
y
uv
x
uu
∂
∂−
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂2
2
)( µρ
Equação da conservação da energia, ou primeira lei da termodinâmica
- Condução na direção x desprezível
- Energia cinética desprezível face à entalpia
dxdyy
uudy
y
vv ))((
∂
∂+
∂
∂+ρ
dydxx
uu 2)(
∂
∂+ρ
dxdyy
uu )
)((
∂
∂+
ττ )(
2
2
dyy
T
y
Tkdx
∂
∂+
∂
∂−
dx
dy
y
Tkdx
∂
∂−dxuτvhdxρ
uhdyρ
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
92
Poteência (térmica) líquida das forças viscosas
dydxy
uuu
ydydx
y
udxudxdy
y
uu
∂
∂
∂
∂=
∂
∂=−
∂
∂+
)()( ττ
ττ
Conservação de energia:
=
+
tempode unidade na
ldiferencia controle
de volumeo deixa
que energia de fluxo
tempode unidade
na realizado
líquido trabalho
tempode unidade na
ldiferencia controle
de volumeno entra
que energia de fluxo
Agora, vamos tratar cada termo em particular
Fluxo de energia que entra
Entalpia + Condução de calor (note que a condução na direção x é desprezível)
y
Tkdxuhdyvhdx
∂
∂−+ ρρ
Trabalho na unidade de tempo (potência térmica gerada pelas forças viscosas)
dxdyy
uu
y
∂
∂
∂
∂µ
Fluxo de energia que entra
)())(())((2
2
dyy
T
y
Tkdxdydx
x
hhdx
x
uudxdy
y
hhdy
y
vv
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂+
∂
∂++
∂
∂+
∂
∂+ ρρ
Desprezado os termos de ordem superior
dxdyx
ukdxdy
y
vhdxdy
y
hvdxdy
x
uhdxdy
x
hudydx
y
uu
y 2
2
00∂
∂−
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂
∂
∂+− ρρρρµ
2
2
0
)(x
uk
y
v
x
uh
x
hv
x
hu
y
uu
y
decontinuida
∂
∂−
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂
∂
∂
=
43421
ρρρµ
Com Tch p∂=∂ e substituindo todos os termos na equação de balanço, resulta na forma
diferencial da equação da energia para a camada limite laminar, dada abaixo:
∂
∂
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂
y
uu
yy
Tk
y
Tvc
x
Tuc pp µρρ
2
2
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
93
Em geral a potência térmica gerada pelas forças viscosas (último termo) é desprezível
face ao termo da condução de calor e de transporte convectivo de energia (entalpia).
Isso ocorre a baixas velocidades. Assim, a equação da energia pode ser simplificada
para:
2
2
y
T
y
Tv
x
Tu
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂α
Retornando agora à equação da conservação da quantidade de movimento. Se o
escoamento se der à pressão constante, aquela equação pode ainda ser reescrita como:
2
2
y
u
y
uv
x
uu
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂υ
onde, ρ
µυ = é a viscosidade cinemática
Comparando as duas equações acima, nota-se que quando αυ = , ou seja, 1Pr ==α
υ
corresponde ao caso em que a distribuição da temperatura é idêntica à distribuição de
velocidades, o que ocorre com as maiorias dos gases, já que 1Pr65,0 << .
Em resumo, as três equações diferenciais que regem a transferência de calor na camada
limite laminar são:
Conservação de massa 0=
∂
∂+
∂
∂
y
v
x
u
Conservação da quantidade de movimento
direção x
x
p
y
u
x
uv
x
uu
∂
∂−
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂2
2
)( µρ
2
2
y
u
x
uv
x
uu
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂υ pressão constante
Conservação de energia 2
2
y
T
y
Tv
x
Tu
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂α
Ver solução das camadas limites laminares hidrodinâmicas e térmicos no apêndice B do
Holman e item 7.2 do Incropera. Solução de Blasius.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
94
Os principais resultados da solução dessas equações diferenciais são os seguintes:
Crescimento da camada limite hidrodinâmica (CLH):
x
x
Re
5=δ ;
Coeficiente local de atrito local : 2/1
, Re664,0−
= xxfc ;
Coeficiente local de atrito médio desde a borda de ataque: 2/1
, Re328,1−
= LLfc ;
Razão entre camadas limites hidrodinâmica (CLH) e térmica (CLT): 3/1Pr=tδ
δ;
Número de Nusselt local: ≤≤= Pr6,0PrRe332,0 3/12/1
xxNu 50
Número de Nusselt médio: 3/12/1PrRe664,0 LLuN = .
Definição do coeficiente de atrito: 2/
2
∞
=u
c s
fρ
τ, sτ tensão de cisalhamento na parede
Os gráficos abaixo indicam o comportamento das camadas limites. Note que o número
de Prandtl desempenha um papel importante no crescimento relativo das CLT e CLH.
∞∞ Tu ,
)1(Pr <Tδ
)1(Pr == Tδδ
)1(Pr >Tδ
TS
T∞ u∞
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
95
AULA 14 – CAMADA LIMITE LAMINAR – SOLUÇÃO INTEGRAL OU APROXIMADA DE VON KARMAN
Na aula passada, vimos as equações diferenciais da camada limite laminar. Os
resultados da solução clássica de Blasius foram apresentados. A solução per si não foi
discutida, uma vez que o livro-texto apresenta em detalhes o procedimento de solução
para o aluno mais interessado. Nesta aula, vamos ver uma solução aproximada baseada
no método integral, também conhecida como solução de von Karman.
Neste caso, define-se um volume de controle diferencial apenas na direção x do
escoamento, enquanto que a altura H do mesmo se estende para além da camada limite,
isto é, δ>H , conforme ilustrado na figura abaixo.
Leis de conservação na camada limite laminar no elemento diferencial acima:
Balanço de massa
Fluxo mássico na face 1 – A: ∫H
udy0
ρ
Fluxo mássico na face 2 – A: dxudydx
dudy
HH
+ ∫∫
00
ρρ
Balanço de fluxo de quantidade de movimento
Fluxo de Q. M. na Face 1 – A: ∫H
dyu0
2ρ
Fluxo de Q. M. na Face 2 – A: dxdyudx
ddyu
HH
+ ∫∫
0
2
0
2 ρρ
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
96
Fluxo de Q. M. na Face A – A: dxudydx
du
H
∫∞
0
ρ
Fluxo líquido de quantidade de movimento para fora do volume de controle
(face 2-A) – (face A – A) – (face 1 – A) =
Fluxo liquido de Q. M. = dxudydx
dudxdyu
dx
dHH
−
∫∫ ∞
00
2 ρρ
Lembrando da regra do produto de diferenciação que:
)()()( αββααβ ddd += ou
)()()( αβαββα ddd −=
Fazendo ∞= uα
∫=H
udy0
ρβ , vem
dxdx
duudydxudyu
dx
ddxudy
dx
du
HHH
∞∞∞
−
=
∫∫∫000
ρρρ
dxudydx
dudxudyu
dx
dHH
−
= ∫∫ ∞
∞
00
ρρ
Agora, substituindo na expressão do fluxo líquido de Q. M, vem:
dxudydx
dudxudyu
dx
ddxdyu
dx
dMQfluxo
HHH
+
−
= ∫∫∫ ∞
∞
000
2.. ρρρ
Os dois primeiros termos da integral podem ser reunidos para obter a seguinte forma
mais compacta:
dxudydx
dudxudyuu
dx
dMQfluxo
HH
+
−= ∫∫ ∞
∞
00
)(.. ρρ
Agora, vamos obter a resultante das forças externas. No presente caso, só vamos
considerar as forças de pressão e de atrito.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
97
- força resultante da pressão: dxdx
dPH−
- força de cisalhamento na parede: -dx
0=∂
∂−=
y
py
udxµτ
pτ
dxdx
dPP +
P
Finalmente, a equação integral da camada limite laminar hidrodinâmica pode agora ser
escrita (2ª lei de Newton):
dxudydx
dudxudyuudx
dx
dPH
y
udx
HH
y
+
−=−
∂
∂− ∫∫ ∞
∞
= 000
)( ρρµ
Se a pressão for constante ao longo do escoamento, como ocorre com o escoamento
sobre uma superfície plana (no caso do escoamento dentro de um canal ou tubo, essa
hipótese não vale): 0=dx
dP
Essa hipótese de P = cte. também implica em que a velocidade ao longe também seja
constante, já que, fora da camada limite, é valida a eq. de Bernoulli, ou
cteuP
=+ ∞
2ρ
De forma que, na forma diferencial: 002
2=⇒=+ ∞
∞∞ duduudP
ρ
Assim, a equação da conservação da Q. M. se resume a:
−=
∂
∂− ∫ ∞
=
H
y
udyuudx
dp
y
u
00
)(ρµ
Mas como H > δ a velocidade é constante u = u∞, então:
00
)(=
∞∂
∂=
−∫
yy
uudyuu
dx
dµρ
δ
Esta é a forma final da equação da conservação da Q.M., válida para o escoamento
sobre uma superfície ou placa plana. Até o presente momento, o equacionamento é
exato, pois nenhuma aproximação foi empregada. A questão é: se conhecermos o perfil
de velocidades u(y), então, a equação acima pode ser integrada para obter a lei de
crescimento da camada limite laminar hidrodinâmica, isto é, δ(x).
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
98
A aproximação começa aqui quando se admite um perfil de velocidades u(y). Claro que
a adoção desse perfil deve seguir certos critérios. Pense: Se você tivesse que admitir um
perfil de velocidades, provavelmente faria o mesmo que o apresentado aqui. Isto é, você
imporia um polinômio de um certo grau tal que as condições de contorno do perfil de
velocidades fossem satisfeitas. Certo? Pois é exatamente isso é que é feito. Então,
primeiro passemos a analisar as condições de contorno do problema , que são:
0/0
/0
/
0/0
2
2
==∂
∂
==∂
∂
==
==
∞
ypy
u
ypy
u
ypuu
ypu
δ
δ
As três primeiras cc são simples e de dedução direta. A primeira informa que a
velocidade na superfície da placa é nula; a segundo diz que fora da CL a velocidade é a
da corrente fluida e a terceira diz que a transição entre a CL e a corrente livre é “suave”,
daí a derivada ser nula. A última c.c. é um pouco mais difícil de perceber. Há de se
analisar a equação diferencial da camada limite laminar (aula anterior que requer que
essa condição seja nula sobre a superfície da placa. Como são 4 c.c., uma distribuição
que satisfaz estas condições de contorno é um polinômio do 3º grau, dado por:
3
4
2
321)( yCyCyCCyu +++=
Daí, aplicando as c.c. para se obterem as constantes C1 a C4, tem-se o perfil aproximado
de velocidades: 3
2
1
2
3)(
−=
∞ δδ
yy
u
yu
Introduzindo-o na eq. da Q. M., vem:
00
33
2
2
1
2
3
2
1
2
31
=
∞∂
∂=
−
+−∫
yy
udy
yyyy
dx
du µ
δδδδρ
δ
Do que resulta, após algum trabalho:
δ
µδρ ∞
∞ =
uu
dx
d
2
3
280
39 2
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
99
Integrado essa equação, lembrando que para x = 0 δ = 0 (a CL começa na borda de
ataque):
∞
=u
vxx 64,4)(δ , ou
xx
x
Re
64,4)(=
δ
Lembrando da aula anterior que solução exata (Blasius) fornecia: x
x
x
Re
5)(=
δ
Ver Holman Apêndice B ou Incropera
Considerando as aproximações realizadas, o resultado aproximado é bastante razoável.
Camada Limite Térmica Laminar
Uma vez resolvido o problema hidrodinâmico acima, agora pode-se resolver o problema
térmico. O objetivo é o cálculo do coeficiente de transferência de calor, h. Note que
junto à superfície todo calor transferido da mesma para o fluido se dá por condução de
calor e depois este fluxo de calor vai para o fluido. De forma, que pode-se igualar os
dois termos da seguinte maneira:
0
)(=
∞∂
∂−=−
y
py
TkTTh , ou
∞
=
−
∂
∂−
=TT
y
Tk
hp
y 0
Assim, para se obter o coeficiente de transferência de calor é preciso conhecer a
distribuição de temperaturas T(y). De forma semelhante ao que foi feito para o caso
hidrodinâmico, pode-se aplicar as seguintes c.c. para a distribuição de temperaturas:
Condições de contorno
0/0
/
/0
0/
2
2
==∂
∂
==
==∂
∂
==
∞
ypy
T
ypTT
ypy
T
ypTT
t
t
p
δ
δ
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
100
Método integral (aproximado)
tδ δ∞u
∞T
cteTp =
Considere a figura acima, em que o aquecimento da superfície começa a partir de um
ponto x0, a partir da borda de ataque. De forma análoga ao caso hidrodinâmico,
desenvolvendo um balanço de energia num V.C. de espessura maior que δ, vem:
(ver Holmam)
00
2
0
)(=
∞∂
∂=
+
− ∫∫
y
H
p
H
y
Tdy
dy
du
cudyTT
dx
dα
ρ
µ
Admitindo uma distribuição polinomial de grau 3 para a distribuição de temperaturas e
aplicando as c.c., vai se obter a seguinte curva aproximada: 3
2
1
2
3)()(
−=
−
−=
∞∞ ttp
p yy
TT
TyTy
δδθ
θ
(o mesmo que o de velocidades, pois as c.c. são as mesmas)
Desprezando o termo de dissipação viscosa, obtém-se a seguinte relação entre as
espessuras de camadas limites:
3/1
4/3
03/1 1Pr026,1
1
−= −
x
xt
δ
δ
Se a placa for aquecida desde a borda, x0 = 0, temos
3/1Pr026,1
1 −=δ
δ t
No desenvolvimento admitiu-se δt < δ o que é razoável para gases e líquidos
11
11
/Pr
<>
≈≈
δδ t
Finalmente, agora, podemos calcular o h, por substituição da distribuição de
velocidades, calculada junto à parede
==
−
−−=
−
∂
∂−
=∞
∞
∞
=
tttp
p
p
y
x
kk
TT
TTk
TT
y
Tk
hδ
δ
δδδ 2
3
2
3
2
3
)(
)(0, ou
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
101
3/14/3
03/1
1Pr026,1
2
3−
−=
x
xkhx
δ, ou ainda
3/14/3
0
2/1
3/1 1Pr332,0
−
∞
−
=
x
x
x
ukhx
ν
Lembrando da definição do número de Nusselt, k
xhNu x
x = , vem:
3/14/3
02/13/1 1RePr332,0
−
−=
x
xNu xx
As equações anteriores são para valores locais.
O coeficiente médio de transferência de calor será, se x0 = 0:
L
x
dxu
L
dxh
h
LL
x
L
∫∫
==
∞
0
2/1
2/1
3/1
0
Pr332,0ν
, ou
2/
Pr332,0 2/1
2/1
3/1
L
Lu
hL
=
∞
ν, ou finamente:
LxL hL
uh =
∞ =
×= 2Pr332,02
2/1
3/1
ν
Analogamente, para esse caso:
LxL Nuk
LhuN === 2
Quando a diferença de temperatura do fluido e da placa for substancial, as
propriedades de transporte do fluido devem ser avaliadas á temperatura de película, Tf
2
∞+=
TTT
p
f
E se o fluxo de calor for uniforme ao longo da placa, tem-se:
3/12/1PrRe453,0 LL
k
hLNu ==
Ver exercícios resolvidos do Holmam 5.4 e 5.5
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
102
Exemplo resolvido (extraído do livro de Pitts e Sissom)
Num processo farmacêutico, óleo de rícino (mamona) a 40ºC escoa sobre uma placa
aquecida muito larga de 6 m de comprimento, com velocidade de 0,06 m/s. Para uma
temperatura de 90ºC. Determine:
(a) a espessura da camada limite hidrodinâmica δ ao final da placa
(b) a espessura da camada limite térmica δt no final da placa
(c) o coeficiente de transferência de calor local e médio ao final da placa
(d) o fluxo de calor total transferido da superfície aquecida.
São dados:
Propriedades calculadas a CT f
0652
9040=
+=
α = 7,38×10-8
ms/s
fk = 0,213 W/moC
ν = 6,5×10-5
m2/s
ρ = 9,57×102 kg/m
3
µ = 6,22×10-2
N.s/m2
pC = 3016 Ck
J
g
o
CTp °= 90
∞u
∞T
Solução
Verificação se o escoamento é laminar ai final da placa
)105(Re5538105,6
606,0Re 5
5×<=
×
×==
−
∞transiçãoL
Lu
ν
(a) x
x Re
5=
δ; x = L = 6m
m40,05538
65=
×=δ
(b) 3/1
8
53/1
3/1
8811038,7
105,6)/(
026,1
Pr −
−
−−
−
=
×
×=≈= αν
δ
δ t
mt 042,0881
4,03/1
==−
δ
(c)
2/1
3/1Pr332,0
= ∞
L
ukhx
ν
Cm
Whx
°=
××××=
− 2
2/1
5
3/1 4,86105,6
06,0)881(213,0332,0
Cm
Whh LxL
°=×== = 2
8,164,822
(d) )( ∞−= TThAq s ⇒ m
WTTLh
L
qs
p
5040)4090(68,16)( =−××=−= ∞
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
103
AULA 15 – ANALOGIA DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR E DE ATRITO – REYNOLDS-COLBURN E
CAMADA LIMITE TURBULENTA E TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM ESCOAMENTO EXTERNO
2.5 – Analogia de Reynolds – Colburn
Como visto nas aulas anteriores, a transferência de calor e de quantidade de movimento
(atrito superficial) são regidas por equações diferenciais análogas. Na verdade, esta
analogia entre os dois fenômenos é muito útil e será explorada nesta aula. Essa é a
chamada analogia de Reynolds-Colburn que, portanto, relaciona o atrito superficial com
a transferência de calor. Qual a sua utilidade? Bem, em geral dados de medição
laboratorial de atrito superficial podem ser empregados para estimativas do coeficiente
de transferência de calor. Isto é uma grande vantagem, pois, pelo menos no passado, os
dados de atrito eram bem mais abundantes que os de transferência de calor.
Por definição, o coeficiente de atrito é dado por:
2
2
∞
=u
Cp
fρ
τ
Mas, por outro lado, para um fluido newtoniano (todos os que vamos lidar neste curso),
a tensão de cisalhamento na parede é:
0=∂
∂=
y
py
uµτ
Usando o perfil de velocidades desenvolvido na aula 14, ou seja:
3
2
1
2
3
−=
∞ δδ
yy
u
u,
temos que a derivada junto à parede resulta em:
δ∞
=
=∂
∂ u
y
u
y2
3
0
Por outro lado, usando o resultado da solução integral ou aproximada da espessura da
camada limite, isto é, x
x Re
64,4=
δ que, mediante substituição na definição da tensão de
cisalhamento na parede, resulta em:
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
104
x
uu x
p
Re323,0
2
3 ∞∞ ==µ
δµτ
Substituindo este resultado na equação da definição do coeficiente de atrito, vem:
x
xfx
xu
uC
Re
323,0Re323,0
2 2==
∞
∞
ρ
µ
Por outro lado, da aula anterior, chegou-se à seguinte expressão para o número de
Nusselt,2/13/1 RePr332,0 xxNu = que, mediante algum rearranjo pode ser escrito como:
2/13/2 RePr332,0PrRe
−−= x
St
x
x
x
Nu
321
, onde Stx ∞
=uc
h
p
x
ρ é o número de Stanton. Então,
reescrevendo de forma compacta:
x
xStRe
332,0Pr 3/2 =
Comparando as duas equações anteriores em destaque, notamos que eles são iguais a
menos de uma diferença de cerca de 3% no valor da constante, então, esquecendo desta
pequena diferença podemos igualar as duas expressões para obter:
2Pr 3/2 fx
x
cSt =
Esta é a chamada analogia de Reynolds-Colburn. Ela relaciona o coeficiente de atrito
com a transferência de calor em escoamento laminar sobre uma placa plana. Dessa
forma, a transferência de calor pode ser determinada a partir das medidas da força de
arrasto sobre a placa. Ela também pode ser aplicada para regime turbulento (que será
visto adiante) sobre uma placa plana e modificada para escoamento turbulento no
interior de tubos. Ela é válida tanto para valores locais, como para valores médios.
______________________________________________________________________
Exemplo resolvido – continuação do anterior Calcule a força de arrasto sobre a placa do exemplo anterior (aula 14).
Sabe-se que 3/2Pr2
tSC f
=
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
105
Por outro lado, 5
21070,9
06,030161057,9
8,16 −
∞
×=×××
==uc
htS
p
L
ρ
Assim da analogia, podemos obter 23/25 1078,1881107,92 −− ×=×××=fC , de forma
que a tensão de cisalhamento na superfície é:
2
2222
1007,32
)06,0(9571078,1
2 m
NuC fp
−−
∞ ×=×××
==ρ
τ
Finalmente, a força de atrito por unidade de comprimento é:
m
NL
L
Fp
p
184,061007,3 2 =××=×= −τ
______________________________________________________________________
Camada Limite Turbulenta
A transferência de calor covectiva na camada limite turbulenta é fenomenologicamente
diferente da que ocorre na camada limite laminar. Para entender o mecanismo da
transferência de calor na camada limite turbulenta, considere que a mesma possui três
subcamadas, como ilustrado no esquema abaixo:
A CLT é subdividida em:
- subcamada laminar – semelhante ao escoamento laminar – ação molecular
- camada amortecedora – efeitos moleculares ainda são sentidas
- turbulento – misturas macroscópicas de fluido
Para entender os mecanismos turbulentos, considere o exercício de observar o
comportamento da velocidade local, o que é ilustrado no gráfico temporal abaixo.
u
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
106
Do gráfico ilustrado, depreende -se que a velocidade instantânea, u, flutua
consideravelmente em torno de um valor médio, u . Este fato de flutuação da
velocidade local em conjunção com a flutuação de outras grandezas, embora possa
parecer irrelevante, é o que introduz as maiores dificuldades do perfeito
equacionamento do problema turbulento. Para analisar o problema, costuma-se dividir a
velocidade instantânea em dois componentes: um valor médio e outro de flutuação,
como indicado:
velocidade na direção paralela: 'uuu +=
velocidade na direção transversal: 'vvv +=
pressão: fluctuacàomedio
táneoinsvalor
PPP '
tan
+=
Em todos os casos, uma barra sobre a grandeza indica um valor médio e um apóstrofe,
valor de flutuação. Os termos de flutuação são responsáveis pelo surgimento de forças
aparentes que são chamadas de tensões aparentes de Reynolds, as quais devem ser
consideradas na análise.
Para se ter uma visão fenomenológica das tensões aparentes, considere a ilustração da
camada limite turbulenta abaixo. Diferentemente do caso laminar em que o fluido se
“desliza” sobre a superfície, no caso turbulento há misturas macroscópicas de “porções”
de fluido. No exemplo ilustrado, uma “porção” de fluido (1) está se movimentando para
cima levando consigo sua velocidade (quantidade de movimento) e energia interna
(transferência de calor). Evidentemente, uma “porção”correspondente (2) desce para
ocupar o lugar da outra. Isso é o que dá origem às flutuações. Do ponto de vista de
modelagem matemática, essas “simples” movimentações do fluido dentro da camada
limite dão origem às maiores dificuldades de modelagem.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
107
Uma análise mais detalhada do problema da transferência de calor turbulenta foge do
escopo deste curso. Assim, referira-se a uma literatura mais específica para uma análise
mais profunda. No entanto, abaixo se mostra os passos principais da modelagem.
O primeiro passo é escrever as equações de conservação (massa e quantidade de
movimento) – aula 13. Em seguida, substituem-se os valores instantâneos pelos termos
correspondentes de média e flutuação, isto é, 'uuu += , '
vvv += e 'PPP += . Em
seguida, realiza-se uma integral sobre um período de tempo longo o suficiente, isto é,
realiza-se uma média temporal. Ao final, vai se obter a seguinte equação diferencial:
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂
y
uv
x
uu
x
P
y
u
y
uv
x
uu
''''12
2
ρυ
No processo de obtenção desta equação, admitiu-se que a média temporal das flutuações
e suas derivadas são nulas. Com isso surgiram termos que envolvem a média temporal
do produto das flutuações (últimos dois termos à direita). Aqui reside grande parte do
problema da turbulência que é justamente se estabelecer modelos para estimar estes
valores não desprezíveis. Estes termos dão origem às chamadas tensões aparentes de
Reynolds que têm um tratamento à parte e não vamos nos preocupar aqui.
O importante é saber que existem dois regimes de transferência de calor: laminar e
turbulento. Também existe uma região de transição entre os dois regimes. Expressões
apropriadas para cada regime em separado e em combinação estão indicadas na tabela
7.9 do Incropera e Witt.
Local : 318,0 PrRe0296,0 xxNu = 60Pr6,010Re 8 ≤≤≤x
Médio : ( ) 318,0 Pr871Re037,0 −= LLNu 810Re ≤L
2,0Re37,0 −= xx
δ 810Re ≤L
Nota: outras expressões ver livro-texto – ou tabela ao final desta aula.
As propriedades de transporte são avaliadas à temperatura de mistura (média
entre superfície e ao longe). Reynolds crítico = 5 ×105
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
108
______________________________________________________________________ Exemplo resolvido (Holman 5-7)
Ar a 20oC e 1 atm escoa sobre uma placa plana a 35 m/s. A placa tem 75 cm de
comprimento e é mantida a 60ºC. Calcule o calor transferido da placa.
Propriedades avaliadas à CT °=+
= 402
6020
Ckg
kJc p
°= 007,1
3128,1
m
kg=ρ 7,0Pr =
Cm
Wk
°= 02723,0
ms
kgx
510007,2 −=µ
610475,1Re xVL
L ==µ
ρ
2055)871Re037,0(Pr8,03/1 =−== LL
k
LhNu
CmWNuL
kh L °== 2/6,74
WTTAhq s 2238)2060.(1.75,0.6,74)( =−=−= ∞
______________________________________________________________________
Escoamento Cruzado sobre Cilindros e Tubos
No caso do escoamento externo cruzado sobre cilindros e tubos, análise se torna mais
complexa. O número de Nusselt local, dado em função do ângulo de incidência θ, isto é,
Nu(θ), é fortemente influenciado pelo efeito do descolamento da camada limite.
A figura ao lado indica o que acontece com o
número local de Nusselt. Para ReD ≤ 105, o
número de Nusselt decresce como conseqüência
do crescimento da camada limite laminar (CLL)
até cerca de 80o. Após este ponto, o escoamento
se descola da superfície destruindo a CLL e
gerando um sistema de vórtices e mistura que
melhora a transferência de calor (aumento de
Nu(θ). Para ReD > 105, ocorre a transição e
formação da camada limite turbulenta (CLT). Na
fase de transição (80o a 100
o) ocorre a melhora
da transferência de calor. Uma vez iniciada a
CLT, novamente se verifica a diminuição do
coeficiente local de transferência de calor devido
ao crescimento da CLT para, em torno de 140o,
descolar o escoamento da superfície que destrói
a CLT para, então, gerar o sistema de vórtices e
mistura que volta a melhorar a transferência de
calor. No caso turbulento há, portanto, dois
mínimos.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
109
Embora do ponto de vista de melhoria da transferência de calor possa ser importante
analisar os efeitos locais do número de Nusselt, do ponto de vista do engenheiro e de
outros usuários é mais proveitoso que se tenha uma expressão para a transferência de
calor média. Assim, uma expressão bastante antiga tem ainda sido usada, trata-se da
correlação empírica de Hilpert, dada por:
3
1
PrRem
DD Ck
DhNu ==
onde, D é o diâmetro do tubo. As constantes C e m são dadas na tabela abaixo como
função do número de Reynolds.
ReD C m
0,4 – 4 0,989 0,330
4 – 40 0,911 0,385
40 – 4.000 0,683 0,466
4.000 – 40000 0,193 0,618
40.000 – 400.000 0,027 0,805
No caso de escoamento cruzado de um gás sobre outras seções transversais, a mesma
expresssão de Hipert pode ser usada, tendo outras constantes C e m como indicado na
próxima tabela (Jakob, 1949).
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
110
Para o escoamento cruzado de outros fluidos sobre cilindros circulares, uma expressão
mais atual bastante usada é devida a Zhukauskas, dada por
4/1
Pr
PrPrRe
=
s
nm
DD CNu válida para
<<
<<610Re1
500Pr7,0
D
,
onde as constantes C e m são obtidas da tabela abaixo. Todas às propriedades são
avaliadas à T∞, exceto Prs que é avaliado na temperatura de superfície (parede). Se Pr ≤
10, use n = 0,37 e, se Pr > 10, use n = 0,36.
ReD C m 1 – 40 0,75 0,4
40 – 1.000 0,51 0,5
1.000 – 2×105 0,26 0,6
2×105 – 10
6 0,076 0,7
____________________________________________________________
Escoamento sobre Banco de Tubos
Escoamento cruzado sobre um banco de tubos é muito comum em trocadores de calor.
Um dos fluidos escoa perpendicularmente aos tubos, enquanto que o outro circula
internamente. No arranjo abaixo, apresentam-se dois arranjos típicos. O primeiro é
chamado de arranjo em linha e o outro de arranjo desalinhado ou em quicôncio.
Arranjos em linha ou quicôncio
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
111
Existem várias expressões práticas para a transferência de calor sobre banco de tubos.
Para o ar, pode se usar a expressão de Grimison, que também pode ser modificada para
outros fluidos, como discutido em Incropera (Seção 7.6). Mais recentemente,
Zhukauskas apresentou a seguinte expressão:
4/1
36,0
max,Pr
PrPrRe
=
s
m
DD CNu
válida para
<<
<<
≥
6
max, 10.2Re1000
500Pr7,0
20
D
LN
onde, NL é o número de fileiras de tubos e todas as propriedades, exceto Prs (que é
avaliada à temperatura da superfície dos tubos) são avaliadas à temperatura média entre
a entrada e a saída do fluido e as constantes C e m estão listadas na tabela abaixo.
Configuração ReD,max C m
Alinhada 10-102 0,80 0,40
Em quicôncio 10-102 0,90 0,40
Alinhada
Em quicôncio
102-10
3 Aproximado como um único
102-10
3 cilíndro (isolado)
Alinhada
(ST/SL>0,7)a
103-2×10
5 0,27 0,63
Em quicôncio
(ST/SL<2) 10
3-2×10
5 0,35(ST/SL)
1/5 0,60
Em quicôncio
(ST/SL>2) 10
3-2×10
5 0,40 0,60
Alinhada 2x105-2×10
6 0,021 0,84
Em quicôncio 2x105-2×10
6 0,022 0,84
a Para ST/SL>0,7 a transferência de calor é ineficiente, e tubos alinhados não deveriam ser utilizados.
Se o número de fileiras de tubos for inferior a 20, isto é, NL < 20, então deve-se corrigir
a expressão acima, multiplicando o resultado obtido por uma constante C2, conforme
expressão abaixo e valores dados na segunda tabela abaixo.
202
20 ≥<=
LL ND
ND NuCNu
Tabela com o fator de correção C2 para NL<20 (ReD>103)
NL 1 2 3 4 5 7 10 13 16
Alinhada 0,70 0,80 0,86 0,90 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99
Em quicôncio 0,64 0,76 0,84 0,89 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
112
O número de Reynolds ReD,max é calculado para a velocidade máxima do fluido que
percorre o banco de tubos. No arranjo em linha, a velocidade máxima ocorre em
VDS
SV
T
T
−=max , onde as grandezas podem ser vistas na figura anterior. No arranjo em
quicôncio ou desalinhado, a velocidade máxima pode ocorrer em duas regiões,
conforme ilustrado na figura anterior. Vmax ocorrerá na seção A2 se a seguinte condição
for satisfeita )()(2 DSDS TD −<− que, após uma análise trigonométrica simples, se
obtém a seguinte condição equivalente 22
212
2 DSSSS TT
LD
+<
+= . Se isso
acontecer, então: VDS
SV
D
T
)(2max
−= . Caso essa condição não seja satisfeita, então, a
velocidade máxima ocorre em A1 e, portanto, usa-se novamente VDS
SV
T
T
−=max .
Tabelas- resumo com as equações (Incropera & Witt)
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
113
______________________________________________________________________
Exercício de Aplicação
Verifica-se um escoamento de ar a uma velocidade de 4 m/s e temperatura de 30°C.
Neste escoamento de ar é colocada uma fina placa plana, paralelamente ao mesmo, de
25 cm de comprimento e 1 m de largura. A temperatura da placa é de 60°C.
Posteriormente, a placa é enrolada (no sentido do comprimento) formando um cilindro
sobre o qual o escoamento de ar vai se dar de forma cruzada. Todas as demais
condições são mantidas. Pede-se:
(a) Em qual caso a troca de calor é maior.
(b) Qual o fluxo de calor trocado em ambos os casos.
(c) Analisar se sempre há maior troca de calor numa dada configuração do que na
outra, independentemente do comprimento e velocidade do ar. Justifique sua
resposta através de um memorial de cálculo.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
114
Solução
Propriedades do ar à CTT
Tp
°=+
=∞
452
ν = 1,68 x 10-5
m2/s
k = 2,69 x 10-2
W/mK
Pr = 0,706
Placa
CTp °= 60
smu /4=∞
CT °=∞ 30
critL xLu
Re1095,51068,1
25,04Re 4
5<≅
×
×==
−
∞
ν 5105×=
2,144)706,0()1095,5(664,0PrRe664,0 3/12/143/12/1=××== xNu LL
Assim CmWL
kNuh L °=
×== 2/56,15
25,0
02697,02,144
Cilindro
CTs °= 60
∞∞ Tu ,
πD = L D = 0,25/π = 0,0796 m
Assim, 4
510895,1
1068,1
0796,04Re ×=
×
×=
−D
Usando a expressão de Hilpert (a mais simples) (Eq. 7.55b)
3/1PrRem
DD CNu = p/ReD=1,895×104
C = 0,193
m = 0,618
Assim, 63,75)706,0()10895,1(193,0 3/1618,04 =×××=DNu
de forma que: KmWD
kNuh
DD
2/63,250796,0
02697,063,75=
×==
a) A transferência de calor é maior no caso do cilindro pois LD hh > e a área de troca de
calor é a mesma.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
115
]b)
Placa
WQ
TTAhQ
placa
ppplaca
7,116
3025,056,15
)(
=
××
−= ∞
Cilindro
WQ
TTAhQ
cil
pccil
2,192
3025,063,25
)(
=
××
−= ∞
c) Porção laminar 5
, 105Re ×=Lcrit
Note que 51059,1Re/ReRe ×=⇒= DLD π sendo equivalente ao crítico.
3/12/1PrRe
664,0LL
L
kh
×= (A)
m
D
m
DD CL
kC
D
kh Re
PrRePr
3/13/1 π== (B)
Portanto de (A), 2/1
3/1
Re664,0
Pr
L
Lh
L
k= , que, pode ser subst. em (B), para obter
Lm
D
D
Lm
DD hC
hCh
5,0
2/1Re669,2
Re664,0
Re −==π
π
Ou 5,0Re669,2 −= m
D
L
DC
h
h para o caso laminar na placa
Porção laminar-turbulenta ReL> Recrit =5×105
3/18,0 Pr)871Re037,0( −×= LLNu (Eq. 7.41 p/camada limite mista)
De donde 3/18,0 Pr)871Re037,0( −×= L
L
k
Lh e
871Re037,0
Pr8,0
3/1
−=
L
Lh
L
k (C)
sub. em (B), vem 871Re037,0
Re8,0 −
=L
Lm
DD
hCh
π
Subs. ReL = πReD, vem: 871Re037,0
Re8,0 −
=L
m
D
L
D C
h
h π
Finalmente para o caso laminar e turbulento na placa
871Re037,0
Re8,0 −
=L
m
D
L
D C
h
h π
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2009
116
Os diversos valores de C e m da expressão de Hilpert foram substituídos nas expressões
das razões entre os coeficientes de transferência de calor e aparecem na tabela abaixo e,
em forma gráfica. Evidentemente, a transferência de calor será sempre maior no caso do
cilindro (na faixa de validade das expressões)
ReD C m hD/hL regime
4 0,898 0,33 2,09 laminar
40 0,911 0,385 1,59 “
4000 0,683 0,466 1,38 “
40000 0,193 0,618 1,8 “
159000 0,027 0,805 2,78 “
200000 0,027 0,805 2,15 lam-turb
400000 0,027 0,805 1,43 “
L
D
h
h
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
1 10 100 1000 10000 100000 1000000
ReD
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 117
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2010
AULA 16 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR NO INTERIOR DE TUBOS E DUTOS - LAMINAR
Considerações hidrodinâmicas do Escoamento
Desenvolvimento da camada limite laminar
xe – comprimento de entrada
x > xe – escoamento plenamente desenvolvido
O número de Reynolds agora deve ser baseado no diâmetro do tubo (ou duto), isto é:
µ
ρ DuD =Re
Onde, u – velocidade média
O caso laminar vai ocorrer para 2300Re <D e, nesse caso, o comprimento de entrada
se estende até Dx De Re05,0≈
No caso turbulento, dá-se início ao desenvolvimento da camada limite laminar, porém,
essa camada limite sofre uma transição para camada limite turbulenta, como indicado na
figura abaixo.
Nesse caso, Dxe 10≈ . O número de Reynolds vai indicar se o escoamento é turbulento.
Isto vai ocorrer para 4000Re >D . Entre 2300 e 4000 ocorre transição laminar-
turbulento. Para efeitos práticos, porém, pode-se assumir escoamento turbulento a partir
de 2300.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 118
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2010
TEMPERATURA MEDIA DE MISTURA No caso do escoamento interno, existe um problema de referenciar a transferência de
calor. Para exemplificar essa dificuldade, considere os escoamentos externos e internos
ilustrados abaixo. No primeiro caso, o cálculo da transferência de calor se dá levando
em consideração a temperatura da superfície, Ts, de do fluido ao longe, T∞, a qual é
constante. Isso já não ocorre no caso do escoamento no interior. Não existe uma
temperatura ao longe, T∞, para efetuar o cálculo da troca térmica. O que se usa é uma
temperatura média Tm. Só que não pode ser uma temperatura média aritmética simples,
pelos motivos expostos abaixo. Há de ser uma temperatura efetiva que represente a
temperatura do fluido na seção. Esta é a chamada temperatura média de mistura ou de
copo.
)(
cte
s TThAq ∞−=
∞T
sT
)( ms TThAq −=
sT
Para entender como se obter a temperatura média de mistura, considere os seguinte
perfis de temperatura e velocidade em um fluido sendo aquecido:
sT
cT
Note que as maiores temperaturas ocorrem junto à parede porém, nessa região é onde
ocorrem as menores velocidades. Assim, a média aritmética simples ∫= TdAA
Tm
1 não
representa a temperatura efetiva da seção. Para obter a temperatura efetiva da seção,
considere um exercício mental em que uma porção do fluido é colocado dentro de um
copo. Há de se concordar que a temperatura efetiva é a temperatura de equilíbrio
daquela porção de fluido. Certo? Sim, isto está correto e daí o nome alternativo de
temperatura de copo (“cup” que significa literalmente “caneca” no vernáculo original).
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 119
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2010
mequilibrio TT =
Para determinar essa temperatura, considere o fluxo entálpico, hE& , na seção transversal
dado por: ∫∫ ==A
h uhdAmhdE0
ρ&& .
Assim, pode-se definir a entalpia média, hm, na seção transversal por:
mh
A
m hmEuhdAm
h &&&
=⇒= ∫0
1ρ
Mas, sabendo que mpm Tch = , então: ∫=A
P
P
m TdAuCmC
T0
1ρ
&
Se CP= cte., vem que ∫=A
m uTdAm
T0
1ρ
&
Mas, por definição a vazão mássica na seção transversal é dada por ∫=A
udAm0
ρ&
Assim, chega-se na expressão da definição da temperatura média de mistura ou
temperatura de copo, qual seja:
∫
∫=
A
A
m
udA
uTdA
T
0
0
ρ
ρ
Para o caso do duto circular a área da seção transversal é dada por
rdrdArA ππ 22 =⇒= que, substituindo na expressão acima, resulta em:
∫
∫=
r
r
m
urdr
uTrdr
T
0
0
ρ
ρ
(válida para tubo circular)
Além do mais, se ρ= cte, vem
∫
∫=
R
R
m
urdr
uTrdr
T
0
0 (válida para tubo circular)
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 120
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2010
Transferência de Calor no Escoamento Laminar no Interior de Duto
Conhecida a expressão para o cálculo da temperatura média de mistura, pode-se
determinar a transferência de calor, caso sejam conhecidas as distribuições de
velocidade e temperatura na seção transversal, isto é, u(r) e T(r). O caso laminar fornece
tais expressões, como veremos a seguir. Considere o perfil laminar de velocidades
ilustrado abaixo. No diagrama à direita, tem-se uma balanço de forças para o elemento
de fluido.
)2( rdxπτ
2)( rdpp π+)( 2rp π
Um balanço de força, resulta em: )2(2 rdxdpr πτπ −= , ou dxdr
durdp µ2−= ou, ainda:
drdx
dprdu
µ2−=
Integrando na direção radial. Note que a pressão estática é a mesma na seção
transversal, isto é, p≠ p(r), vem que Cdx
dpru +−=
µ4
2
A constante C é determinada da condição de parede, isto é,
u = 0
r = r0 dx
dprC
µ4
.2
0=
Assim, )(4
1)( 22
0 rrdx
dpru −=
µ
Velocidade no centro do tubo, u0: dx
dpru
µ4
2
00 −=
Finalmente, dividindo uma expressão pela outra, tem-se:
2
0
2
0
1)(
r
r
u
ru−= O perfil de velocidade é parabólico (2º grau)!!
Admitindo-se fluxo de calor constante na parede do tubo: 0=dx
dq p
Um balanço de energia para o elemento de fluido anterior resulta em:
r0
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 121
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2010
x
T
r
Tr
rr ∂
∂=
∂
∂
∂
∂
αµ
11
Como o fluxo de calor e constante ao longo do tubo, então: ctex
T=
∂
∂
Por outro lado, por simetria no centro do tubo, sabe-se que 00
=∂
∂
=rr
T e, na parede do
tubo cteqr
Tk p
rr
==∂
∂
= 0
Entrando com estas c.c na equação acima e integrando, resulta no seguinte perfil
laminar de temperaturas:
−
∂
∂+=
4
0
2
0
2
00
04
1
4
1)(
r
r
r
rru
x
TTrT
α
Finalmente, pode-se agora introduzir os perfis de velocidade, u(r) e temperatura, T(r),
na equação da definição da temperatura média de mistura ∫∫=00
00
rr
m urdruTrdrT
Após algum esforço, se obtém x
TruTTm
∂
∂+=
α
2
00
096
7 (para fluxo de calor constante na
parede).
Para se poder calcular a transferência de calor, ainda é preciso obter a temperatura de
parede (r = r0). Isto é prontamente obtido da expressão de T(r), que resulta em:
x
TruTTp
∂
∂+=
2
00016
31
α (fluxo de calor constante)
Agora, finalmente, o coeficiente de transferência de calor laminar em tubo circular com
propriedades constantes e escoamentolenamente desenvolvido pode ser calculado, a
partir da sua própria definição:
0
)(rr
mpr
TkATThAq
=∂
∂=−= , ou ( )
mp
rr
TT
r
Tk
h−
∂
∂
== 0
Substituindo as expressões, vem:
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 122
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2010
∂
∂−−
∂
∂+
−
∂
∂+
∂
∂
==
44 344 21444 3444 21mP TT
rr
x
TruT
x
TruT
r
r
r
rru
x
TT
rk
h
αα
α
2
00
0
2
000
4
0
2
0
2
000
96
7
16
31
4
1
4
1
0
Após se efetuar os cálculos, vai-se chegar a D
kh 364,4= ou, 364,4=DNu . Este é um
resultado notável, pois o número de Nusselt para escoamento laminar plenamente
desenvolvido, props. constantes, submetido a um fluxo de calor constante não depende
do número de Reynolds ou de qualquer outro parâmetro! Se os cálculos forem efetuados
para temperatura de parede constante, vai-se obter 66,3=DNu .
Trabalhos teóricos também foram realizados para outras geometrias e seus valores são
apresentados na tabela abaixo. O fator de atrito também é apresentado.
Nos problemas práticos, as propriedades devem ser calculadas à média entre as
temperaturas médias de saída e entrada, isto é: 2
msmem
TTT
−= .
Quando os tubos são curtos, deve-se considerar que o escoamento ainda não está
plenamente desenvolvido. O gráfico abaixo ilustra como o número de Nusselt varia,
começando da entrada, até que o escoamento se torne plenamente desenvolvido.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 123
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2010
Veja livro para correlações que consideram o comprimento de entrada.
DETERMINAÇÃO DE Tm AO LONGO DO COMPRIMENTO DO TUBO
Em muitas situações, estamos mais interessados em determinar como a temperatura
média de mistura varia não na seção transversal, mas sim ao longo do tubo. Isto é
obtido, mediante um balanço de energia, conforme ilustrado na figura abaixo.
dxxhm +&xhm&
pdAq"
Expansão em serie de Taylor da entalpia, vem ...++=+ dxdx
dhhh x
xdxx
Mas, pela 1ª lei, temos: pxdxx dAqhmhm "+=+&& , que substituindo a expansão, já
desprezando os termos de ordem superior, tem-se
px
x
dxx dAqhmdxdx
dhhm "+=
++
&&
ou, simplesmente p
x dAqdx
dhm "=& : Ap = área em contato com o fluido.
Mas, por outro lado PdxdA = ;onde P é o chamado perímetro molhado.
De forma que Pdxqdxdx
dhm x "=&
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 124
____________________________
www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização out/2010
Ou, ainda, Pqdx
dhm x "=& . Assumindo cteCpdTCdhouTch PPmp === / , , tem-se
dx
dTCm
dx
dTAuCPq m
P
m
P&== ρ"
Dois casos podem ser analisados para ser determinar Tm que dependem da condição de
contorno na parede.
(I) Fluxo de calor constante na parede.
cteq ="
Integrando a equação, vem ctexAuC
PqxT
P
m +=ρ
")(
Para x = 0, Tm = Te, de forma que e
P
m TxAuC
PqxT +=
ρ
")(
(II) Temperatura de parede constante Tp = cte
Nesse caso, )(" mpxx TThq −= que, substituindo na expressão Tm, vem
dx
dTCmTTPh m
Pmpx&=− )(
Ou, dxcm
Ph
TT
dT
p
x
mp
m
&=
−, cuja integração resulta em ctex
Cm
PhTT
P
mp +=−&
)ln(
Para x = 0, Tm = Te, de forma que
−=
−
−
Pep
mp
Cm
Pxh
TT
xTT
&exp
)(
T Tp
Te
Tmh
h
fluxo de calor constante na superfície
T
x
Tp
Te
temperatura de parede constante
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2009
125
AULA 17 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR NO INTERIOR DE DUTOS - TURBULENTO
Transferência de Calor no Escoamento Turbulento em Dutos – Analogia de Reynolds-Colburn
No caso laminar, a condução de calor é dada por dr
dTk
A
q−= , ou
dr
dT
cA
q
p
αρ
−=
No caso de escoamento turbulento, define-se uma expressão semelhante do tipo
( )dr
dT
cA
qH
p
εαρ
+−=
εH - é a chamada difusividade térmica turbilhonar Analogamente à tensão de cisalhamento, pode-se escrever
dr
du
dr
dum )( εν
ρ
τµτ +=⇒=
onde, εm - viscosidade turbilhonar Hipótese: Admitindo que o calor e quantidade de movimento sejam transportado numa
mesma taxa, ou εH = εm e ν = α, o que significa que Pr = 1. Então, dividindo as
equações anteriores, vem:
du
dT
Ac
q
p
−=τ
ou dTduAc
q
p
−=τ
Outra hipótese a ser adotada é que a razão entre o fluxo de calor por unidade de área e o
cisalhamento seja constante na seção transversal, o que permite escrever que o que
ocorre na parede, também ocorre dentro do escoamento, isto é:
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2009
126
ppP
p
P AC
q
AC
q
ττ= ou dTdu
AC
q
ppP
p−=
τ
As condições de contorno do problema são: u = 0 , T = Tp u = um , T = Tm
De forma, que é possível integrar a equação: ∫∫ −=m
p
m T
T
u
pPp
pdTdu
CA
q
0τ
que resulta em mpm
pPp
pTTu
CA
q−=
τ
mas, por outro lado, o fluxo de calor convectivo é dado por )( mppp TThAq −= . Agora
igualando as duas expressões, tem-se:
mpm
ppp
mppTTu
cA
TThA−=
−
τ
)( que resulta em p
p
m
c
huτ= (A)
Por outro lado, o equilíbrio de forças no elemento de fluido, resulta em:
LrrP p 02
0 2πτπ =∆ , ou PL
rp ∆=
20τ
Lrp 02πτ
pτ
20)( rPP π∆+
20rPπ
Mas da mecânica dos fluidos, 2
2
0
mu
d
LfP ρ=∆ , onde f = fator de atrito (sai do
diagrama de Moody ou expressão de ajuste – Colebrook, Churchil, entre outras)
Assim, comparando as duas expressões, vem 2
8 mp uf
ρτ = (B)
Finalmente, pode-se concluir a analogia igualando as equações (A) e (B). Assim:
2
8 m
p
m uf
C
huρ=
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2009
127
Agora é de interesse que se façam aparecer os adimensionais que controlam o
fenômeno. Para isso, algumas manipulações serão necessárias, começando por
rearranjar a equação acima, para obter:
ρρ 8
f
uC
h
mp
=
Agora, conveniente, esta expressão é multiplicada e dividida por algumas grandezas,
conforme indicado abaixo:
8
1
0
0 f
udC
k
k
hd
mp
=
ν
νρ
que, pode ainda ser manipulada para obter: 8/
1
/
1
0
0 f
udk
hd
m
=
ναν
Finalmente, os grupos adimensionais são substituídos:
8RePr
fNu
D
D = , ou 8
fSt =
Esta é a analogia de Reynolds para escoamento turbulento em tubos. Ela está de acordo
com dados experimentais para gases ( Pr ~ 1). Com base em dados experimentais
Colburn recomenda que a relação acima seja multiplicada por Pr2/3 para Pr > 0,5 (até
100)
8RePr 31
fNu
D
D = , ou 8
Pr 32 fSt =
Na faixa de Reynolds entre 2 ×104, para tubos lisos, f pode ser relacionado da seguinte
forma 2,0Re184,0 −
= Df
Então, obtém-se a famosa expressão de Dittus-Bolter (ligeiramente modificada)
3/18,0 PrRe023,0 DDNu =
Na prática, sugere-se que o expoente do número de Prandtl seja do tipo
n
DDNu PrRe023,0 8,0=
onde, n = 0,3 se o fluido estiver sendo resfriado n = 0,4 se o fluido estiver sendo aquecido
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2009
128
Por tubos rugosos, usar o diagrama de Moody para obter , f ou uma expressão de correlação, como por exemplo a expressão de Churchill
( )
121
5,1
121
Re
88
++
=
BAf
D
onde
( ) ( )
16
9,0 27,0Re7
1ln457,2
+=
DA
D ε
e 16
Re
530.37
=
D
B
Esta expressão tem a vantagem de ajustar de forma suave a transição laminar-turbulento Outras correlações (tubo liso),válidas para a região de entrada 0,5 < Pr < 1,5
+−=
3/25/25/4 1Pr)100(Re0214,0
L
DNu DD
0,5 < Pr < 1,5
+−=
3/25/287,0 1Pr)280(Re012,0
L
DNu DD
CORREÇÃO DEVIDO A PROPRIEDADES VARIAVEIS (A) Laminar As propriedades são calculadas a temperatura de mistura. Acontece que algumas propriedades dependem fortemente da temperatura como, por exemplo, a viscosidade da água: µ (T = 25°C) ~ 8,90 x 10
-4 kg/ms
µ (T = 30°C) ~ 7,98 x 10-4
kg/ms
Em 5ºC ocorre uma variação em torno de 10%. Assim, segue-se que a seguinte expressão seja utilizada para levar este efeito em consideração.
Ver tabela de correlações para outras configurações
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2009
129
n
p
mcor NuNu
=
µ
µ
µm = viscosidade à temperatura da mistura.
µp = viscosidade à temperatura da parede Se o fluido for em gás n = 0 (sem correções) Para 0,5 < Tm / Tp < 2,0 (B) Turbulento
n
p
mcor
T
TNuNu
=
T – temperatura absoluta n = 0 (resfriamento de gases) n = 0,45 para fases sendo aquecidos (n = 0,15 p/ Co2) se 0,5 < Tm / Tp < 2,0
liquidos
11,0
Pr
Pr
=
p
mcor NuNu
______________________________________________________________________ Exemplos resolvidos (1) Ar escoa pelo interior de um duto de 5cm de diâmetro. A velocidade do ar é 30m/s e sua temperatura é 15ºC. O comprimento aquecido do tubo é 0,6m com temperatura de parede, Tp = 38ºC. Suponha que o escoamento seja plenamente desenvolvido. Obtenha a transferência de calor e a temperatura de saída do ar.
CTp °= 38
Calcule as propriedades à temperatura média 2
sem
TTT
+=
Dittus Boelter: 4,08,0 PrRe023,0 DDNu = (1)
Balanço de energia: )()( espmp TTCmTTAh −=− & (2)
Note que há duas equações e duas incógnitas (Ts e h) Esses tipos de problema devem normalmente serem resolvidos de forma iterativa, conforme esquema abaixo. Primeiro admite-se uma temperatura de saída, calculam-se
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2009
130
todas as grandezas envolvidas e depois faz-se a verificação se corresponde ao resultado da segunda equação. Caso contrário, admite-se uma nova temp. de saída.
h
Ts = 21ºC ⇒ Tm = 18ºC Tabela A.5 (Holman) A.4 (Incropera) – Interpolação ρ = 1,2191 kg/m
3 γ = 14,58 x 10
-6 m
2/s Pr = 0,72
cp = 1,0056 kJ/kg°C k = 0,02554 W/m°C
56
10029,11058,14
05,030Re x
x
xVDD ===
−ν turbulento !!!!
De (2) ( ) ( ) Cx
TTmc
hATT mp
p
es °=−+=−+= 7,171838100056,1*072,0
6,0*05,0**4,10515 3
π
Não confere!! Portanto, nova iteração é necessária Assumindo agora Ts = 18ºC Logo, Tm = 16,5ºC, assim: ρ = 1,2262 kg/m3
µ = 14,40 x 10-6 m2/s Pr = 0,711
cp = 1,0056 kJ/kg°C k = 0,02542 W/m°C
51004,1Re xD = skgm /072,0=& CmWh °= 2/27,105
CTs °≅ 95,17 OK! Agora, confere
Realizando os cálculos pedidos. Pela lei de resfriamento
WTTAhq mps 3,213)5,1638(*6,0*05,0**27,105)( =−=−= π
Pela 1ª. Lei
WTTcmq esp 2,217)1518(*6,1005*072,0)( =−=−= &
As diferenças se justificam em função das aproximações usadas e no cálculo das propriedades.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2009
131
(2) Água passa em tubo de 2cm de diâmetro dotado de uma velocidade média de 1 m/s. A água entra no tubo a 20ºC e o deixa a 60ºC. A superfície interna do tubo é mantida a 90ºC. Determine o coeficiente médio de convecção de calor, sabendo que o tubo é longo. Calcule, também, o fluxo de calor transferido por unidade de área de tubo. Solução
As propriedades termofísicas da água serão calculadas à média das temperaturas de misturas da entrada e saída, isto é, a 40ºC. ρ = 992,3 kg/m
3 k = 0,6286 W/m°C cp = 4,174 kJ/kg°C
µ = 6,531 x 10-4
kg/ms Pr = 4,34
O número de Reynolds do escoamento é
44
10039,310531,6
3,99202,01Re ×=
×
××==
−µ
ρVDD
O escoamento é turbulento e o número médio de Nusselt é obtido usando a equação de Dittus-Bolter, vem.
4,08,0 PrRe023,0D
DNu =
Assim, ( ) 5,15934,410039,3023,0 4,08,04 =×=DNu As propriedades termofísicas da água são dependentes da temperatura, e uma correção deveria ser realizada para o número de Nusselt obtido com a hipótese de propriedades constantes. O número de Prandtl da água a 90oC vale 1,97.
0,17497,1
34,45,159
Pr
Pr11,011,0
=
=
=
P
mcor NuNu
O coeficiente médio de transferência de calor é
Cm
W
D
kNuh
cor
°=
×==
21,5468
02,0
6286,00,174
( ) 2/4,27340901,5468)(" mkWTThq p =−=−=
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2009
132
DIFERENÇA MÉDIA LOGARÍTMICA DE TEMPERATURA – DMLT
No exemplo anterior de parede de tubo constante, a temperatura de mistura do fluido
varia de forma exponencial entre a entrada e saída. Assim, os cálculos realizados acima
foram aproximados apenas, pois usamos uma temperatura média representativa do
fluido que foi simplesmente a média aritmética entre a temp. de mistura de entrada e
saída. No entanto, prova-se (veja Incropera 8.3.3) que nestes casos deve-se usar a
diferença média logarítmica de temperatura, DMLT, definida por:
( )es
es
TT
TTDMLT
∆∆
∆−∆=
ln
onde, sps TTT −=∆ e epe TTT −=∆
T
x
Tp
Te
Assim, a lei de resfriamento de Newton adequadamente aplicada é DMLTAhq ××=
Refazendo o exercício, vem: ( )
CDMLTo2,47
7030ln
7030=
−= - compare com CT
o40=
Assim, 2/1,2582,471,5468)(" mkWDMLThq =×==
Como última informação, perceba que se as diferenças de temperatura entre a entrada e
saída não forem muito grandes, a DMLT vai tender a diferença entre a temperatura de
parede e a média entre as temperaturas de mistura de entrada e saída.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2009
133
Outro exemplo de Aplicação Um tubo de um aquecedor solar é exposto a uma radiação térmica uniforme e constante de 1000 W/m por meio de um concentrador. O diâmetro do tubo é de 60mm.
1) se a água entra no tubo a skgm /01,0=& e Tm,1 = 20°C. Qual o
comprimento do tubo necessário para a temperatura de saída alcançar Tm,2
= 80°C? 2) Qual a temperatura superficial do tubo na saída?
Solução
skgm /01,0=
CTm °= 201
CTm °= 802
1) 1º Lei TCmQ p∆= && , com DLqQ π"&& = e, portanto, TCmDLq p∆= && π"
De forma que: Dq
TCmL
p
π"&
& ∆= , ou m
x
xxL 31,13
06,0100
60418101,0==
π
2) )(" 2,2, mps TThq −=& ou 2,2,
"m
sp T
h
qT +=
&
Precisamos, agora, fazer uma estimativa de h Regime de escoamento – cálculo do número de Reynolds:
µπρνπν D
m
D
DmDumD
&& 44Re
2===
da tabela 2680 /10352 mNsC
−
° ×=µ , então
23006031035206,0
01,04Re
6<=
×××
×=
−πD - Laminar !!
Como se trata de fluxo de calor constante na parede, tem-se 364,4==k
DhNuD
Assim, D
kh
364,4= mas CmWk C °=° /670,080
Logo, CmWx
h °== 2/73,4806,0
67,0364,4
Finalmente, CTp °=+= 5,1008073,48
10002,
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2009
134
AULA 18 – CONVECÇÃO NATURAL OU LIVRE Nos dois casos anteriormente estudados, convecção interna e externa, havia o movimento forçado do fluido em relação à superfície de troca de calor. Esse movimento forçado poderia ser causado por um agente externo como uma bomba, um ventilador, ou outra máquina de fluxo. A gravidade desempenhava pouco ou nenhum efeito sobre a transferência de calor nesses casos. No entanto, quando o fluido se encontra em repouso e em contato com uma superfície aquecida é fato conhecido que haverá transferência de calor da superfície para o fluido. O raciocínio recíproco também é verdadeiro no resfriamento da superfície. Nesse caso o número de Reynolds é nulo e a maioria das correlações desenvolvidas não se aplicariam. Assim, o movimento do fluido vai ocorrer como resultado de outro fenômeno, originário da diferença de densidade resultante de gradientes de temperatura. Para se entender melhor esse aspecto, considere uma superfície vertical em contato com um fluido em repouso. As camadas em contato com a superfície aquecida também vão se aquecer e, como conseqüência, haverá uma diferença de empuxo gravitacional entre as porções aquecidas e as adjacentes menos aquecidas. Assim, as porções aquecidas sobem, enquanto que as menos aquecidas tomam seu lugar dando origem às correntes de convecção. Camadas limites térmicas e hidrodinâmicas também são estabelecidas, como ilustrado abaixo. No caso da C L H, as condições de contorno do problema exigem que a velocidade seja nula junto à superfície e na camada limite, como ilustrado.
Equações diferenciais Quantidade de movimento
2
2
y
ug
x
p
y
uv
x
uu
∂
∂+−
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂µρρ
Mas, gx
p∞−=
∂
∂ρ , de forma que substituindo na equação da QM, vem
2
2
)(y
ug
y
uv
x
uu
∂
∂+−=
∂
∂+
∂
∂∞ µρρρ
Mas o coeficiente de expansão voluntária, β , pode ser escrito como:
−
−≅
∂
∂−=
∞
∞
TTT p
ρρ
ρ
ρ
ρβ
11, ou )( ∞∞ −≅− TTβρρρ (aproximação de
Boussinesq), logo,
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2009
135
2
2
)(y
uTTg
y
uv
x
uu
∂
∂+−=
∂
∂+
∂
∂∞ υβ
Note que para gás perfeito, ][K 11 1-
TRT
P
TP
RT
T pp
GP =
∂
∂−=
∂
∂−=
ρ
ρβ
A equação da Energia: 2
2
y
T
y
Tv
x
Tu
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂α
Contrariamente à solução das camadas limites hidrodinâmicas e térmicas laminares da
convecção forçada, as equações da conservação da quantidade de movimento e da
energia não podem ser resolvidas separadamente, pois o termo de empuxo
( )∞− TTgβ acopla estas duas equações. Não se pretende avançar na discussão da
solução dessas camadas limites e sugere-se a leitura da Seção 9,4 do livro do Incropera,
como ponto de partida para aquele aluno mais interessado. A partir desse ponto, lança-
se mão de correlações empíricas, obtidas em experimentos de laboratório.
O primeiro passo para a análise empírica é a definição de um novo grupo adimensional
chamado número de Grashof, Gr, por
2
3)(
νβ
xTTgGrx
∞−=
Este adimensional representa a relação entre as forças de empuxo e as forças viscosas na
convecção natural. Ele desempenha papel semelhante ao do número de Reynolds na
convecção forçada. Assim, a solução das equações da quantidade de movimento e
energia podem ser escritas da forma
Pr),(GrfNu =
A solução aproximada para a placa vertical isotérmica em convecção natural laminar,
resulta em:
4/14/12/1 Pr)952,0(Pr508,0 xx GrNu −+=
e o valor médio de Nusselt
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2009
136
Lxx
L
xL NuGrdxNuL
uN =− =+== ∫ 3
4Pr)952,0(Pr677,0
1 4/14/12/1
0
Assim, como ocorre com a convecção forçada, também existe a transição de camadas
limites de laminar para turbulenta na placa vertical, o valor normalmente aceito é
910Pr ≅critGr
Relações Empíricas Diversas condições de transferência de calor por convecção natural podem ser
relacionada da seguinte forma.
,Pr)( mm CRaGrCuN =×=
sendo as propriedades calculadas a temperatura de película, Tf, que é a média entre a
temperatura da superfície e do fluido. O produto Gr.Pr é chamada de número de
Rayleigh ( )
α
β
v
LTTgGrRa s
3
Pr. ∞−==
a) Superfícies Isotérmicas - Convecção natural em cilindros e placas
Geometria Ra C m obs 104 – 109 0,59 ¼ Laminar
4/1
35
LGrL
D> Cilindros e placas verticais
109 – 1013 0,10 1/3 Turbulento
104 – 109 0,53 ¼ Laminar Cilindros horizontais 109 – 1012 0,13 1/3 Turbulento
b) Fluxo de calor constante
Grashof modificado: Gr* 2
4* .
ν
β
k
xqgNuGrGr B
xx ==
Laminar, placa vertical: ( ) 5/1* Pr.60,0 xx GrNu = 11*5 1010 << xGr
Turbulento, placa vertical: ( ) 4/1* Pr.17,0 xx GrNu = 16*13 10Pr10.2 << xGr
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2009
137
Sumário de correlações (Incropera)
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2009
138
_____________________________________________________________________ Exemplo sugerido Com base em muitos dados experimentais indicados no gráfico abaixo (extraído de
Kreith & Bohn), estabeleça sua própria correlação experimental de )(RafNuD = para
cilindros horizontais.
Espaços Confinados Um caso comum de convecção natural é o de duas paredes
verticais isotérmicas, conforme ilustrado ao lado, separadas
por uma distância δ. A figura seguinte mostra os perfis de
velocidade e temperatura que podem ocorrer, de acordo com
MacGregor e Emery. Na figura, o número de Grashof é baseado
na distância δ entre as placas:
2
3)(
ν
δβ ∞−
=TT
gGrx
L
δ
T1 T2
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2009
139
Os regimes de escoamento estão indicados no gráfico acima. As correntes de convecção
dimimuen com o número de Grashof e, para números de Grashof muito baixos, o calor é
transferido sobretudo por condução de calor. Outros regimes de convecção também
existem, dependendo do número de Grashof, como ilustrado. O número de Nusselt é
expresso em função da distância das placas, isto é: k
hNu
δδ = . Conforme indicado por
Kreith, algumas correlações empíricas podem ser empregadas:
Grδ - número de Grashof baseado na distância δ entre as placas.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2009
140
No caso de espaço confinado horizontal há duas situações a serem consideradas. Não
haverá convecção se a temperatura da placa superior for maior que a da placa inferior e
a transferência de calor se dará por condução. Já no caso recíproco, isto é, temperatura
da placa inferior maior que a da placa superior, haverá convecção. Para número de
Grashof baseado na distância δ entre as placas, Grδ, inferior a 1700 haverá a formação
de células hexagonais de convecção conhecidas como células de Bernard, como
ilustrado. O padrão das células é destruído pela turbulência para Grδ ∼ 50000.
Segundo Holman há uma certa discordância entre autores, mas a convecção em espaços
confinados podem ser expressas através de uma expressão geral do tipo:
( )m
n LGrC
k
hNu
==
δ
δδδ Pr
C, m e n são dadas na tabela a seguir. L é a dimensão característica da placa. Holman
adverte que deve-se usar essa expressão na ausência de uma expressão mais específica.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2009
141
CONVECÇÃO MISTA
Até o presente os casos de convecção natural e forçada foram tratados separadamente.
Claro que a natureza não está preocupada com nossas classificações. De forma que
existem determinadas situações em que os dois efeitos são significativos que é chamada
de convecção mista. Considera-se que a convecção mista ocorra quando 1Re/ 2 ≈LLGr .
As duas formas de convecção podem ser agrupadas em três categorias gerais: (a)
escoamento paralelo se dá quando os movimentos induzidos pelas duas formas de
convecção estão na mesma direção (exemplo de uma placa aquecida com movimento
forçado ascendente de ar); : (a) escoamento oposto se dá quando os movimentos
induzidos pelas duas formas de convecção estão em direções opostas (exemplo de uma
placa aquecida com movimento forçado descendente de ar); : (c) escoamento
transversal é exemplificado pelo movimento forçado cruzado sobre um cilindro
aquecido, por exemplo. É padrão considerar que o número de Nusselt misto seja
resultante da combinação dos números de Nusselt da convecção forçada, NuF, e natural,
NuN, segundo a seguinte expressão:
n
N
n
F
nNuNuNu ±=
onde o expoente n é adotado como 3, embora 3,5 e 4 também sejam adotados para
escoamentos transversais sobre placas horizontais e cilindros (e esferas),
respectivamente. O sinal de (+) se aplica para escoamentos paralelos e transversais,
enquanto que o sinal de (-), para escoamentos opostos.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010
142
AULA 19 – INTRODUÇÃO À RADIAÇÃO TÉRMICA
A radiação térmica é a terceira e última forma de transferência de calor existente. Das
três formas, é a mais interessante e intrigante, pois é por causa da radiação térmica que o
planeta Terra é aquecido pelo Sol e, como conseqüência, vida existe em nosso planeta.
Mais intrigante ainda, é que todos os corpos emitem radiação térmica, pois a ocorrência
da mesma depende tão somente da temperatura absoluta do corpo, mais precisamente de
sua temperatura absoluta elevada à quarta potência. Assim, tudo que nos cerca nesse
exato momento está emitindo radiação térmica. Finalmente, diferentemente dos outros
dois modos de transferência de calor, a radiação térmica não precisa de um meio
material para ocorrer. Assim, é como o calor chega do Sol ao planeta Terra em meio ao
vácuo.
Não se conhece completamente o mecanismo físico do transporte de energia pela
radiação térmica (e por radiação, de uma forma mais ampla). Em determinadas
experiências de laboratório, a energia radiante é considerada como transportada por
ondas eletromagnéticas e, em outros experimentos, como sendo transportada por fótons.
É a chamada dualidade onda-partícula. No entanto, sabe-se que ela viaja a velocidade
constante da luz independente do modelo físico considerado. A energia associada a cada
fóton é hν, onde h é a constante de Planck, que vale h = 6,625.10-34
Js. E a freqüência,
ν, está relacionado com o comprimento de onda, λ, por:
c = λ ν,
onde c é a velocidade da luz que vale c = 3×108 m/s. Uma unidade corrente do
comprimento de onda é o Angstron que vale mA10
o
10 1 −= . Um submúltiplo de λ é o
micrômetro, ou µm que vale 1 µm = 10-6 m.
Classificam-se os fenômenos de radiação pelo seu comprimento de onda (ou
freqüência). Claro que a radiação e seu comprimento de onda característico, ou
comprimentos de onda, dependem de como a radiação foi produzida. Como nos informa
Kreith, por exemplo, elétrons de alta freqüência quando bombardeiam uma superfície
metálica produzem raios X, enquanto que certos cristais podem ser excitados para
produzirem ondas de rádio em grandes comprimentos de onda. Entretanto, a radiação
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010
143
térmica é aquela que é produzida por um corpo em virtude tão somente da sua
temperatura absoluta. O esquema a seguir ilustra os diversos tipos de radiação.
(a) espectro de radiação eletromagnética e as diversas denominações de
acordo com sua faixa; (b) detalhe da radiação térmica na faixa de
comprimento de ondas mais relevante, com detalhe para a região visível.
(Kreith e Bohn, 2003).
Radiação gama – é uma forma de radiação de alta freqüência (baixos comprimentos
de onda) que é emitida por materiais radioativos e pelo Sol. Encontra aplicações na
medicina (tratamento de radioterapia) e na conservação de alimentos.
Raios X – sua origem se dá no movimento dos elétrons e seus arranjos eletrônicos.
Essa forma de radiação é empregada para obtenção de radiografia e análise de estrutura
cristalina dos materiais. Gases da alta atmosfera absorvem os raios produzidos pelo Sol.
Radiação ultravioleta – faixa de radiação compreendida entre 0,01 e 0,4 µm e que é
produzida pelas reações nucleares do sol. A camada de ozônio da atmosfera terrestre
absorve esse tipo de radiação nociva aos seres vivos (câncer de pele).
Radiação visível (luz): é a faixa da radiação que somos capazes de “enxergar” e está
compreendida entre os comprimentos de onda 0,4 e 0,70 µm.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010
144
A luz “branca” do sol é a combinação de várias “cores” (ilustração do Wikipedia).
Radiação infravermelha - faixa de radiação compreendida entre 0,7 e 1000 µm.
Também pode ser chamada de radiação térmica. Entretanto, como será visto, a radiação
térmica é contínua para todos os comprimentos e de e não se situa em uma faixa
específica apenas.
Microondas – faixa de radiação de se estende para além dos 1000 µm.
Ondas de rádio – faixa de freqüência usada para radio e telecomunicações de
comprimento de onda superiores a 1 m.
Corpo Negro
Já foi informado que a radiação térmica é a radiação emitida por um corpo em virtude
tão somente da sua temperatura. A pergunta natural seguinte é: dois corpos à mesma
temperatura (digamos 300 K) emitem a mesma quantidade de radiação? A resposta é:
não! Então, a outra pergunta que deveria vir a seguir é: Existe, então, algum corpo que
naquela temperatura (suponhamos ainda os 300 K) emita a maior quantidade possível
de radiação térmica? A resposta é: sim! Esse corpo idealizado é chamado de corpo
negro. O adjetivo negro não tem nada a ver com a cor que percebemos do corpo (ou a
ausência de cor). O brilhante sol, por exemplo, é um corpo com características próximas
de um corpo negro. Assim, um corpo negro, ou irradiador ideal, é um corpo que emite
e também absorve, a uma dada temperatura, a máxima quantidade possível de radiação
térmica em qualquer comprimento de onda. Assim, o corpo negro se torna uma
idealização para efeito de cálculos, pois que, dada uma temperatura, sabe-se que ele vai
emitir (e também absorver) a maior quantidade de radiação térmica. De forma que os
corpos reais podem ser comparados com o corpo negro para saber o quanto eles emitem
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010
145
(e absorvem) radiação térmica. Isso pelo fato de que é possível calcular a radiação
térmica emitida pelo corpo negro, como se verá a seguir.
É possível calcular o quanto um corpo negro emite de radiação térmica para uma dada
temperatura e comprimento de onda por unidade de área de superfície do corpo. Essa
quantidade é definida como poder emissivo espectral ou monocromático, Enλ, onde o
índice “n” se refere ao corpo negro e, “λ”, ao fato de ser espectral (para um
comprimento de onda do espectro). As unidades de Enλ são W/m2µm. Planck mostrou
que o poder emissivo espectral do corpo negro se distribui seguindo a seguinte
expressão:
,)1( /5
1
2 −=
TCne
CE
λλλ
onde: C1 = 3,7415×108 W(µm)4/m2 = 3,7415×10-16
W.m2
C2 = 1,4388×104 µm.K = 1,4388×10-2
m.K
A expressão da lei de Planck permite extrair algumas informações bastante relevantes
sobre a radiação térmica, destacando-se:
(1) – A radiação térmica de corpo negro (poder emissivo espectral, Enλ) é
contínua no comprimento de onda. Isto é, trata-se de uma grandeza que se
distribui desde λ = 0 até o maior comprimento de onda possível (∞);
(2) – A um dado comprimento de onda, λ, Enλ aumenta com a temperatura;
(3) – A região espectral na qual a radiação se concentra depende da
temperatura, sendo que comparativamente a radiação se concentra em
menores comprimentos de onda;
(4) – Uma fração significativa da radiação emitida pelo sol, do qual pode ser
aproximado por um corpo negro a 5800 K, se encontra na região visível
(0,35 a 0,75 µm).
As observações acima podem ser melhor compreendidas observando a expressão de
Planck no gráfico di-log a seguir que tem o poder emissivo espectral no eixo das
coordenadas e o comprimento de onda no eixo das abscissas. Os pontos de máximo
poder emissivo espectral estão unidos por uma linha pontilhada, chamada de lei de
deslocamento de Wien, dada por:
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010
146
⇒=
−∂
∂=
∂
∂0
)1( /51
2
T
TC
T
n
e
CEλ
λ
λλλ
KmT .10898,2 3max
−×=λ lei de deslocamento de Wien
Uma vez que se conhece a distribuição espectral da radiação de corpo negro (poder
emissivo espectral), é possível calcular o poder emissivo total de corpo negro, En, isto é,
a radiação térmica total emitida em todos os comprimentos de onda para uma dada
temperatura. Para isso, basta integrar o poder emissivo espectral. Assim:
⇒−
== ∫∫∞∞
λλ
λλλ d
e
CdEE
TCnn
0/51
0 )1( 2
4TEn σ=
Esta é a chamada lei de Stefan-Boltzmann da radiação e σ = 5,669×10-8 W/m2K4 é a
constante de Stefan-Boltzamann.
Supondo que o Sol seja um corpo negro a 5800 K, qual é o seu poder emissivo total? De
acordo com a lei de S-B, o seu poder emissivo é:
pode
r em
issi
vo e
spec
tral
, E
nλ W
/m2 µ
m
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010
147
./64/104,6580010669,55800 227484mMWmWEsol =×=××=×= −σ Então, o Sol
lança no espaço a inimaginável quantia de 64 MW por metro quadrado da sua
superfície! Isto significa que em cerca de 15 m2 de superfície solar há uma emissão
energética equivalente a uma usina termelétrica de 1 GW. A pergunta seguinte é: quanto
de radiação térmica solar atinge o planeta Terra? Nesse caso, a emissão total do sol é
solsolsol AEQ ×= . Esta quantia é irradiada para todo o espaço e deverá atingir a
superfície que contém a órbita da Terra, Aterra. Nota: não se trata da área da superfície da
Terra, mas da superfície esférica (aproximada) que engloba a órbita do movimento da
Terra. Assim,
onde ,.2
×=⇒××==
terra
solsolterraterraterrasolsolsol
R
REqAqAEconstQ
Rsol é o raio do sol (7×105 km); Rsol é o raio da esfera aproximada que contém a órbita
da Terra (150×106 km) e qterra é o fluxo de calor que chega por unidade de área na esfera
que contém a órbita da terra. Assim,
./ 1400150
7,0000.000.64 2
22
mWR
REq
terra
solsolterra ≈
×=
×=
Então, chega-se cerca de 1400 W/m2 de fluxo de calor solar irradiante na região do
espaço onde se encontra a Terra. Claro que a parte que chega na superfície da Terra é
menor que essa quantia, pois depende da latitude da região e da época do ano, além
desse valor também ser atenuado devido às absorções de radiação da atmosfera.
A fração de radiação térmica emitida por um corpo negro no intervalo de comprimento
de onda [0-λ1], isto é,F[0-λ1], vale
)()1()(0
/51
10
]0[ 2
,1
1Td
e
c
E
EF
TC
n
n λλσ λ
λ
λ ∫∞
−
−−
==
Os valores de F[0-λ1], são mostrados na tabela seguinte. Se for preciso calcular a fração
de radiação emitida no intervalo λ1 - λ2, ou seja, dentro de uma janela espectral, então:
-
F[λ1-λ2] = F[0-λ2] - F[0-λ1]
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010
148
Exemplo:
A radiação solar tem aproximadamente a mesma distribuição espectral que um corpo
negro irradiante ideal a uma temperatura de 5800 K. Determine a quantidade de
radiação solar que está na região visível (use 0,4 a 0,7 µm)
Usando a tabela acima, vem
4919,0406058007,07,00
1245,0232058004,04,00
]7,00[2
]4,00[1
=⇒=×=→≤≤
=⇒=×=→≤≤
−
−
FT
FT
λλ
λλ
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010
149
A fração de radiação no faixa visível é F[0,4-0,7] = 0,4919 – 0,1245 = 0,3674
En = 0,3674×64,16×10-6
= 23,57×106 W/m
2
36,74 % da radiação térmica solar é emitida na faixa do visível!
Outro exemplo (extraído de Kreith e Bohn, 2003):
Vidro de sílica transmite 92% da radiação solar incidente na faixa de comprimentos de
onda compreendida entre 0,35 e 2,7 µm (portanto, engloba todo o espectro visível) e é
opaco para comprimentos de onda fora dessa faixa. Calcule a porcentagem de radiação
solar que o vidro vai transmitir.
Pra a faixa de comprimentos de onda indicada, tem-se
( )
( )
97,01566058007,270,20
067,02320580035,035,00
]7,20[2
]35,00[1
=⇒=×=→≤≤
=⇒=×=→≤≤
−
−
FmKT
FmKT
tabela
tabela
µλλ
µλλ
Assim, F[0,35-2,7] = 0,97 – 0,067 = 0,903. Isto significa que 90,3% da radiação solar
incidente atinge o vidro e 0,903×0,92=0,83, ou 83% dessa radiação incidente será
transmitida pelo vidro.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 150
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010
AULA 20 – PROPRIEDADES DA RADIAÇÃO TÉRMICA
Propriedades da Radiação
Quando energia radiante incide a superfície de um material, parte da radiação térmica
vai ser refletida, parte absorvida e parte será transmitida, conforme diagrama ilustrativo
abaixo.
Sendo,
ρ – refletividade ou fração de energia radiante que é refletida da superfície;
α – absortividade ou fração de energia radiante que é absorvida pela superfície;
τ – transmissividade ou fração de energia radiante que é transmitida através da superfície;
De forma que: ρ + α + τ = 1
Muitos corpos sólidos não transmitem radiação térmica, ou seja τ = 0. Para estes casos
de corpos opacos à radiação térmica, tem-se:
ρ + α = 1
A radiação térmica emitida por uma superfície varia em função da natureza da
superfície e da direção. Entretanto, é uma boa hipótese assumir que radiação térmica é
difusa, ou seja, a emissão da radiação se dá uniformemente em todas as direções.
Relação entre Emissividade e Absortividade
Considere uma cavidade perfeitamente negra, ou seja, uma cavidade que absorva toda a
radiação incidente. Agora, coloca-se um corpo no seu interior que está em equilíbrio
térmico com a cavidade. No equilíbrio, tem-se que a radiação térmica total emitida pelo
corpo, isto é, o produto do seu poder emissivo total pela sua área, EA, deve ser igual ao
fluxo de calor por radiação incidente, qi, absorvido pelo corpo, isto é:
EA = qiAα
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 151
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010
iq AαEA
Se substituirmos o corpo na cavidade por um corpo negro da mesma forma e mesmas
dimensões em equilíbrio com a cavidade, tem-se:
EnA = qiA(1).
onde, o índice “n” foi acrescentado ao poder emissivo para indicar que é de corpo
negro. Agora dividindo uma expressão pela outra, obtém-se:
E/En = α
O que significa dizer que a relação entre o poder emissivo do corpo, E, e o poder de um
corpo negro idêntico, En, é igual à absortividade do corpo, α. Mas, por outro lado esta é
a própria definição da emissividade do corpo, ε:
ε = E/En
então α = ε
A igualdade acima é a chamada lei de Kirchoff.
As emissividades e absortividades são propriamente medidas dos materiais. Na
realidade, a emissividade de um corpo varia com a temperatura e o comprimento de
onda. Pode-se definir a emissividade monocromática como sendo a razão entre os
poderes emissivos monocromáticos do corpo e do corpo negro, à mesma temperatura.
ελ = Eλ/Enλ
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 152
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010
De forma que pode-se definir a emissividade total, da seguinte forma:
4
0
0
0
..
T
dE
dE
dE
E
En
n
n
n σ
λε
λ
λε
ελλ
λ
λλ ∫
∫
∫∞
∞
∞
===
A emissividade é uma propriedade do material e do seu acabamento superficial, além da
temperatura. Como exemplo, veja a emissividade do alumínio. A emissividade de
superfícies de alumínio altamente polido varia de 0,04 a 300K a 0,06 para 0,06 a 600K.
No entanto, é mais sentida a variação da emissividade para o caso do acabamento
superficial. A título de exemplo, a 300K, a emissividade vale 0,04 para alumínio
altamente polido, vale 0,07 para folhas brilhantes e 0,82 para superfície anodizada.
Dados mais completos de emissividade encontram-se na seção de apêndices do livro-
texto.
Corpo Cinzento
Um corpo cuja emissividade e absortividade da sua superfície são independentes do
comprimento de onda e direção é chamado de corpo cinzento. Na prática, os corpos
reais são aproximados por corpos cinzentos. Exceto em caso de estudos mais
detalhados. De forma que, para o corpo cinzento, é válida a seguinte relação:
ε = ελ = constante e α = αλ = constante
O gráfico abaixo ilustra os poderes emissivos de três corpos. Lembrando que a
emissividade é a razão entre o poder emissivo do corpo e a do corpo negro à mesma
temperatura, pode ver que o corpo real tem um espectro de emissividade
monocromática que depende de vários fatores como natureza da superfície, incluindo o
material e acabamento e tem um padrão geral como ilustrado (em azul). O corpo negro é
aquele que possui emissividade unitária (total e monocromática) e seu poder emissivo
espectral segue a lei de Stefan-Boltzmann. O corpo cinzento nada mais que é o corpo
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 153
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010
que possui emissividade constante para todos os comprimentos de onda (ilustrado em
vermelho), sendo menor que a unidade.
)( mµλ
Corpo negro
Corpo real f
Corpo cinzento cte
Irradiação
A taxa de radiação que atinge uma dada superfície, G. Ela pode ser monocromática Gλ,
ou total, G. De forma que:
∫∞
=0
dxGG λ
Radiosidade – Quantidade de radiação que deixa um corpo
[J] = W/m2
A radiosidade consiste nas parcelas de reflexão da radiação Gρ e da radiação própria
emitida nEε . Trata-se, portanto, do fluxo total de radiação que deixa a superfície de um
corpo, ou seja:
GEJ n ρε +=
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 154
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010
Exemplo 9-3
Uma rodovia asfaltada recebe 600 W/m2 de irradiação solar num certo dia de verão. A
temperatura efetiva do céu vale 270 K. Umas brisa leve do ar a 30ºC passa pela rodovia
com um coeficiente de transferência de calor h = 5 W/m2 ºC. Assuma que nenhum calor
seja transmitido para o solo. A absortividade do asfalto para a radiação solar vale 0,93,
enquanto que a emissividade média da superfície asfáltica vale 0,13. Determine a
temperatura de equilíbrio do asfalto.
Solução
"convq
"soloq
1º Lei:
=
aasoloconvceúsolceúsol EqqGGGG ερρ ++++=+ "" &&
aa
nulo
soloconvceúceúsolsol EqqGG
ceúsol
ερρ
αα
++=−+− "")1()1( &&4342143421
( ) 044 =−−−+ ∞ aaacéuceúsolsol TTThTG σεσαα
( ) 01067,513,015,30352701067,513,060093,0 4848 =×××−−−×××+× −−
aa TT
após solução dessa equação polinomial do quarto grau, obtém-se a temperatura do
asfalto igual a 389 K ou 115,8 oC.
taxa de energia
que entra no V.C.
taxa de energia
que deixa o V.C
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 155
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010
Troca de Calor por Radiação Térmica entre duas Superfícies Paralelas Infinitas
Fluxo líquido de calor trocado entre as duas superfícies:
A
JJAJAJQ
/1
21221121
−=−=− já que A1 = A2 = A
No caso de superfícies negras, tem-se que: ε1 = ε2 = 1 e α1 = α2 = 1 (corpo negro),
já que τ1 = ρ1 = 0. De forma que
)( 4
2
4
121 TT
A
Q−=− σ
Se o corpo for cinzento e opaco, G sendo a irradiação, pode-se obter a radiosidade J da
superfície de acordo com:
J = εEn + ρG = εEn + (1-ε)G
onde foi usado o fato de que ρ = 1-ε = 1- α
De forma que isolando a irradiação, a mesma pode ser escrita como ε
ε
−
−=
1
nEJG
Olhando somente para uma superfície, pode-se estabelecer que a taxa líquida de calor
transferido da superfície é dada pela diferença entre a radiosidade, J e a irradiação, G da
mesma, isto é:
A
JEJE
AEJJAGJAQ n
nn
εεε
ε
ε
ε
/)1()(
11)(
−
−=−
−=
−
−−=−= (a)
Mas, a taxa de calor cedida por uma superfície deve ser igual à recebida pela outra que,
no caso de placas paralelas e infinitas, é:
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 156
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010
A
JE
A
JEQ nn
22
22
11
11
/)1(/)1( εεεε −
−−=
−
−= (b)
As equações (a) e (b) apresentam duas incógnitas, quais sejam J1 e J2, uma vez que as
temperaturas das superfícies e, portanto, seus poderes emissivos de corpo negro,
juntamente com as emissividades e área são dados conhecidos. As duas radiosidades
podem ser obtidas por meio das soluções simultâneas destas equações. Entretanto, antes
de prosseguir nessa linha, note a analogia elétrica:
1
1
1
A
ε
ε
− 1
A
2
2
1
A
ε
ε
−
De forma que o fluxo de calor total, Q, que “circula” pelo circuito é dado por:
( )2211
4
2
4
1
2
2
1
1
21
111 RRR
TT
AAA
EEQ nn
++
−=
−++
−
−=
−
σ
ε
ε
ε
ε
Onde existem “resistências” entre os potenciais J e En. Têm-se as resistências
“superficiais”, ou seja, aquelas que contêm apenas propriedades das superfícies
(emissividade e área) que, no exemplo, são R1 e R2, dadas por:
1
geral forma deou 1
1
2
21
1
11
ii
ii
AR
ARe
AR
ε
ε
ε
ε
ε
ε −=
−=
−=
Note que essas resistências superficiais são localizadas entre o poder emissivo de corpo
negro, En, e a radiosidade da superfície de interesse, J. A outra resistência é a
resistência “espacial” que indica a posição relativa das superfícies. Mais será dito sobre
essa resistência quando for incluído o conceito de fator de forma a frente. Para esse
caso, trata-se apenas do inverso da área das superfícies. (Nota: claro que a área infinita é só
uma aproximação, caso contrário não há sentido.)
1
21A
R =−
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010 - Esse verão ainda carece de uma revisão mais detalhada
157
AULA 21 – FATORES DE FORMA DE RADIAÇÃO TÉRMICA
Considere o caso de duas superfícies negras quaisquer que trocam calor por radiação
térmica entre si. Suponha que as mesmas possuam orientação espacial qualquer como
indicado na figura abaixo
1 1cosdA φ
1,2 1 1F J A
1φ
r
2φ
Primeiramente considere a troca térmica de calor por radiação entre os dois elementos
de área indicados, dA1 e dA2. Os elementos são unidos por um raio vetor r que formam
ângulos φ1 e φ2 com as respectivas normais.
Define-se a Intensidade de radiação do corpo negro, In, como sendo a energia de
radiação térmica emitida por unidade de área, na unidade de tempo, para um ângulo
sólido unitário numa dada direção especificada, como indicado na figura abaixo.
ndA
2r
dAdw n=
1φ
1dA
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010 - Esse verão ainda carece de uma revisão mais detalhada
158
Assim, a energia que deixa dA1 na direção φ1, é dwdAIdAE nn ⋅⋅⋅= 111 cosφ que
representa a radiação térmica que chega em algum elemento de área dAn a uma distancia
r de A1. Mas, 2
r
dAdw n= , onde, dAn é o elemento de área projetada sobre o raio vetor.
Então: 211111 coscos
r
dAdAIdwdAIdAE n
nnn ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= φφ
ndAφrd
φrsenψ
1φφd
1dA
Por outro lado, tendo a figura acima em mente pode se escrever a seguinte
relação trigonométrica: φψφ rddsenrdAn ⋅⋅⋅= . De forma que, substituindo-a na
expressão anterior, vem:
ψφφ
φ ddr
senrdAIdAE nn 2
2
11 cos ⋅⋅⋅=
Integrando em todas as direções, vem
ψφφφπ π
ddsendAIdAE nn ∫ ∫ ⋅⋅⋅=2
0
2/
0
11 cos , ou nn IE π=
Voltando ao problema, projetando dA2 na direção radial, vem:
22 cosφ⋅= dAdAn
Assim o fluxo de energia radiante que deixa A1, atinge A2 é dado por:
22
12
1
1
2
121
coscos
rdAdA
EdQ
A A
n φφ
π⋅⋅⋅= ∫ ∫∫ −
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010 - Esse verão ainda carece de uma revisão mais detalhada
159
E o fluxo de energia radiante que deixa A2 e atinge A1, é:
22
12
2
1
1
212
coscos
rdAdA
EdQ
A A
b φφ
π⋅⋅⋅= ∫ ∫∫ −
e o fluxo liquido de energia radiante trocado entre as duas superfícies é:
4444 34444 21212121
2
2
1
12
2121)(21
coscos)(
FAFA
A A
nnliq dAdAr
EEQ
=
− ∫ ∫ ⋅⋅
−=π
φφ
Note que a integral dupla se refere à tão somente um problema trigonométrico que
considera a posição relativa entre as duas superfícies, bem como as suas dimensões.
Trata-se, portanto, de um problema de “forma geométrica”. O cálculo dessas integrais
foi realizado para uma série de condições e são os chamados “fatores de forma de
radiação”. Os fatores de forma estão tabelados ou dispostos em forma gráfica para
diversas situações. O fator de forma Fij deve ser entendido como a fração de energia
radiante que deixa a superfície i e atinge a superfície j. Claro que o fator de forma é
sempre menor ou igual à unidade.
Também como a ordem de integração não importa, pode-se estabelecer a chamada “lei
da reciprocidade” entre os fatores de forma, ou seja:
212121FAFA =
A transferência liquida de calor por radiação entre as duas superfícies é
)()( 212122112112 nnnn EEFAEEFAq −=−=
A lei da reciprocidade, portanto, pode ser escrita para duas superfícies m e n quaisquer
como
nmnmnm FAFA =
Quando as superfícies formam um invólucro fechado, então:
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010 - Esse verão ainda carece de uma revisão mais detalhada
160
0≠−iiF 11
=∑=
−
N
j
jiF
1... ,13,12,11,1 =++++ nFFFF
Essa é a chamada “Lei de Fechamento”. Se a superfície de interesse i for plana ou
convexa, então Fii =0.
Fatores de Forma para alguma situações (outras situações – ver livro-texto)
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010 - Esse verão ainda carece de uma revisão mais detalhada
161
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010 - Esse verão ainda carece de uma revisão mais detalhada
162
EXEMPLO: Determine o fator de forma F1,2 para a configuração mostrada na figura
abaixo.
Também se pode usar a relação de reciprocidade, para o caso em particular
32132132132231132,12,1
2331332,133
−−−
−−− +=
FAFAFA
FAFAFA
32231132,12,1 −−− += FAFAFA
)0(0332211 ==== −−−− iiFFFF
1... 1131211 =++++ nFFFF
1A
2A
3A
31213,21 −−− += FFF 43421
gráfico
FFF 213,2131 −−− −=
continuar....
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010 - Esse verão ainda carece de uma revisão mais detalhada
163
Taxa liquida de calor trocada entre duas superfícies
1 1J A
2 2J A
1,2 1 1F J A
2,1 2 2F J A
221,2112,1 AEFAEFQ nn −=& (9,24)
Se as duas superfícies estiverem à mesma T, En1 = En2
Então 1,222,11 FAFA = (9,25)
De uma forma geral
ijjjii FAFA ,, = Relação de reciprocidade
Estudar exercícios 9.6 e 9.7
Troca de Calor Entre duas Superfícies Cinzentas
221,2112,1 JAFJAFQ −=&
Pela lei de reciprocidade 1,222,11 FAFA =
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010 - Esse verão ainda carece de uma revisão mais detalhada
164
122
21
211
21
/1/1 −−
−=
−=
FA
JJ
FA
JJQ&
O termo jii FA ,/1 forma uma resistência espacial ou geográfica entre as superfícies.
Outra resistência esta associada com as características da superfície
ii
i
AR
ε
εε
−=
1 (9,31)
De forma que
22
2
21111
1
42
4121
111)(
AFAA
TT
R
EEQ nn
ε
ε
ε
ε
σ
−++
−
−=
−=
−
∑&
1
1
1
A
ε
ε
− 1
A
2
2
1
A
ε
ε
−
41Tσ 4
2Tσ
EXEMPLO
Uma pequena lata é formado por dois discos paralelos que são conectados por uma
superfície cilíndrica como mostra na figura abaixo. Determine fração de energia
radiante que deixa a superfície cilíndrica atinge a sua própria.
Áreas
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010 - Esse verão ainda carece de uma revisão mais detalhada
165
2322
21 10854.74
1,0
4m
DAA
−⋅==== ππ
23
3 1071,1505,01,0 mDLA−⋅=⋅⋅== ππ
?3,3 =F
mas
13,32,31,3 =++ FFF
e
3,111,33 FAFA = , também 12,13,1 =+ FF
mas da figura 15
5
1
==r
L
12 =L
r
38,02,1 ≅F
logo 62,038,013,1 =−=F 62,01071,15
1085,73
3
3,13
11,3 −
−
⋅
⋅== F
A
AF
11,23,2 =+ FF 1,22,1 FF =
logo 62,038,013,2 =−=F 31,03,2 =F
então 38,031,031,013,3 =−−=F
38,03,3 =F
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010 - Esse verão ainda carece de uma revisão mais detalhada
166
EXEMPLO - cont
A tampa do invólucro descrito no exemplo anterior é mantida a uma temperatura
uniforme de 250°C (523,2 K), enquanto que a superfície inferior é mantida a uma
temperatura de 60°C (332,2 K). A superfície que junta os dois discos é não condutora –
reirradiante. A emissividade das três superfícies vale 0,6. Determine a taxa de calor
transferido por radiação entre a tampa e o fundo e estime a temperatura da superfície
não condutora – reirradiante.
Solução.
O circuito de radiação para a determinação do calor transferido por radiação entre as
superfícies do invólucro esta mostrado na Fig. E9-9a. Os valores dos fatores de forma
podem ser obtidos do cálculo já realizado acima. Os valores da resistência para o
circuito são
23
11
1 /188,84)10854,7(6,0
6,011m
A=
⋅
−=
−−ε
ε
2
322
2 /188,84)10854,7(6,0
6,011m
A=
⋅
−=
−−ε
ε
2
33,223,11
/14,205)62,0)(10854,7(
111m
FAFA=
⋅==
−
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010 - Esse verão ainda carece de uma revisão mais detalhada
167
411 TEn σ=
1J
2J
11
11
Aε
ε−
211
1
−⋅ FA
22
21
Aε
ε−
422 TEn σ=
322
1
−⋅ FA
311
1
−⋅ FA 1J
2J
88,84
4)2,333(σ
4)2,523(σ
4,205
1,335
4,205
88,84
1J
2J
88,84
4)2,333(σ
4)2,523(σ
6,184
88,84
Os valores das resistências estão mostrados na figura E9-9b. o circuito obtido usando
uma resistência equivalente para as resistências conectadas em paralelo esta mostrado
na Fig. E9-9c. A resistência equivalente é
2/16,1841,3358,410
)1,335(8,410mRe =
+=
A taxa de calor transferido entre as superfícies da tampa e o fundo é determinado
usando
∑−
=R
EEQ nn 21
A soma das resistências entre as duas superfícies é
2/14,35488,846,18488,84 mR =++=∑
A taxa de calor transferido é
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010 - Esse verão ainda carece de uma revisão mais detalhada
168
[ ]WQ 02,10
4,354
2,3332,52310567 448
=−⋅
=−
As radiosidades, J1 e J2, podem ser determinadas por
[ ]111
11
/)1( A
JEQ n
εε−
−=
ou
4,84
)2,523(1067,52,10 1
48J−⋅
=−
2
1 /3398 mWJ = e
[ ]222
22
/)1( A
EJQ n
εε−
−=
O que dá J2 = 1.549 W/m2. O valor de J3, que é igual a 4
3Tσ , é obtido usando
)/1()/1()/1( 3,11
431
3,223,11
21
FA
TJ
FAFA
JJ σ−=
+
−
O que resulta em
T3 = 457,0 K (183,8°C)
COMENTÁRIO
Uma parte da taxa total de calor transferido entre a tampa e o fundo acontece
direitamente entre as duas superfícies, enquanto que o restante do calor é trocado com a
superfície não condutora – reirradiante antes de alcançar a tampa ou o fundo.
A taxa de transferência direta é
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010 - Esse verão ainda carece de uma revisão mais detalhada
169
WFA
JJQD 518,5
1,335
14593398
)/1( 2,11
21 =−
=−
=
E a indireta é
WFAFA
JJQID 4501
4,2054,205
15493398
)/1()/1( 3,223,11
21 =+
−=
+
−=
Troca de calor por radiação entre corpos não negros – Analogia elétrica
O calculo da transferência de calor por radiação entre superfícies negras é bastante
simples porque toda a energia que atinge uma superfície é absorvida. O problema
principal reside na determinação do fator de forma de radiação.
A determinação da transferência de calor por radiação entre superfícies não negras já é
bem mais complexa, uma vez que neste calculo nem toda a energia que atinge a
superfície é absorvida; parte dela é refletida para outra superfície de transferência de
calor e parte dela é refletida para fora do sistema considerado.
Na solução deste problema lança-se mão de algumas hipóteses. Considere-se que todas
as superfícies sejam difusas, tenham temperatura uniforme e que a refletividade e a
emissividade sejam constantes em toda a superfície. Para facilitar a analise, dois novos
termos são definidos:
G = irradiação (radiação total incidente sobre uma superfície por unidade de tempo
e área)
J = radiosidade (radiação total que deixa uma superfície por unidade de tempo e
área)
GEJ n ρε +=
Uma vez que a transmissividade foi admitida igual a zero, a refletividade pode ser
expressa por
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010 - Esse verão ainda carece de uma revisão mais detalhada
170
αρ −=1 1=++ τρα αρ −=1
Mas
εα =
Por tanto
ερ −=1
Logo
GEJ n )1( εε −+= (15)
A energia liquida que deixa a superfície é a diferencia entre a radiosidade e a irradiação
GGEGJA
qn −−+=−= )1( εε
Substituído o valor de G, obtido da Eq. (15) em função de J, sendo: ε
ε
−
−=
1nEJ
G
)(1
JEA
q n −−
=ε
ε
Ou
A
JEq n
εε /)1( −
−= (16)
Onde o denominador do lado direito pode ser considerado como uma resistência à
transferência de calor por radiação, o numerador com uma diferença de potencial ao
fluxo de calor devido às características da superfície.
Assim
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010 - Esse verão ainda carece de uma revisão mais detalhada
171
erficialRA
sup
1=
−
ε
ε (17)
nE J
Aε
ε−1q
Figura 6. Elemento que representa uma “resistência superficial” no método de circuito
elétrico analógico por radiação
Considere-se agora a troca de energia radiante entre duas superfícies A1 e A2. Da
radiação total que deixa a superfície 1, a quantidade que atinge 2 é
1211 FAJ
e da radiação total que deixa a superfície 2, a quantidade que atinge a superfície 1 é
2122 FAJ
A troca liquida de energia entre as duas superfícies é
2122121112 FAJFAJq −=
mas
212121 FAFA =
)()( 212122112112 JJFAJJFAq −=−=
ou
121
2112 /1 FA
JJq
−= (18)
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010 - Esse verão ainda carece de uma revisão mais detalhada
172
onde o numerador do lado direito pode ser considerado como uma resistência “espacial”
à transferência de calor por radiação
espacialRFA =121/1 (19)
desta forma pode-se construir um elemento de circuito que represente a Eq. (18),
conforme na Fig. 7.
1J
211
1
−⋅ FA
21−q
2J
Fig. 7. Elemento que representa uma resistência “espacial” no método de circuito
elétrico analógico por radiação.
Finalmente, a Fig. 8 mostra o circuito elétrico analógico da radiação para duas
superfícies que somente enxergam uma à outra.
1nEliqq
1J2J 2nE
11
11
Aε
ε−
211
1
−⋅ FA 22
21
Aε
ε−
Fig. 8. Circuito elétrico analógico de radiação para duas superfícies que enxergam
somente uma à outra.
222121111
21
/)1(/1/)1( AFAA
EEq nn
liquidoεεεε −++−
−=
222121111
42
41
/)1(/1/)1(
)(
AFAA
TTqliquido
εεεε
σ
−++−
−= (20)
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010 - Esse verão ainda carece de uma revisão mais detalhada
173
EXEMPLO
Determine a taxa de transferência de calor de uma esfera pequena aquecida instalada em
um cilindro fechado em vácuo, Fig. E9-8. A esfera tem 10cm de diâmetro com uma
emissividade de 0,8 e é mantida a uma temperatura uniforme de 300°C (572,2 K). A
superfície interna do cilindro, cuja área é de 0,5m2, tem uma emissividade de 0,2 e é
mantida a uma temperatura uniforme de 20°C (293,2 K).
1nE 1J2J
11
11
Aε
ε−
211
1
−⋅ FA 22
21
Aε
ε−
2,05,0
8,0031,0
22
2
12
1
==
==
ε
ε
mA
mA
2nE
Figura E9-8 Esfera inserida em uma cavidade cilíndrica fechada.
Solução
O circuito de radiação equivalente esta mostrada na fig. E9-8. A área da esfera pode ser
rapidamente calculada e vale 0,031m2. O fator de forma de radiação é F1,2 = 1, já que
toda a radiação emitida pela esfera vai atingir a superfície interna do cilindro. A taxa de
transferência de calor é obtida através de
[ ]
[ ]W
AFAA
TT
R
EEQ nn
0,11832,48
2,2932,5731067,5
)5,0(2,0/)2,01()1(031,0/1)031,0(8,0/)8,01(
2,2932,5731067,5
/)1(/1/)1(
)(
448
448
222121111
42
4121
=−⋅
=
−++−
−⋅=
−++−
−=
−=
−
−
∑ εεεε
σ
para
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010 - Esse verão ainda carece de uma revisão mais detalhada
174
σζζ )()( 42
411122111212 TTAEEAq nn −=−=
ou
221212112112 /)1(//)1(
1
εεεεζ
−++−=
FAAAA (24)
para
)()( 42
412122121212 TTAEEAq nn −=−= σζζ
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010 - Esse verão ainda carece de uma revisão mais detalhada
175
10. Coeficiente combinado de transferência de calor
Em muitos problemas de engenharia, os fenômenos de transferência de calor por
radiação e convecção ocorrem simultaneamente, razão pela qual torna-se interessante
determinar um coeficiente de transferência de calor por radiação baseado na
condutância térmica, ou seja no coeficiente global de transferência de calor por
radiação ζ. Assim definindo-se uma equação equivalente à transferência de calor por
convecção, tem-se:
TAhq rr ∆⋅⋅=
onde
T
TT
T
EEh nn
r∆
−=
∆
−=
)()( 42
4121 ζσζ
(25)
TAhq rr ∆⋅⋅=
TAhR
TT
R
EEq r
totaltotal
nnr ∆⋅⋅=
−=
−=
)( 42
4121 σ
total
rRA
TTh
⋅
−=
)( 42
41σ
fluxos de calor
TAhhqqq crcr ∆⋅+=+= )(
ou
TAhq ∆⋅⋅=
onde cr hhh += é o coeficiente combinado de transferência de calor.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010 - Esse verão ainda carece de uma revisão mais detalhada
176
11. Blindagem de radiação
Uma maneira de reduzir a transferência de calor por radiação entre duas superfícies é
atravez do emprego de materiais altamente refletivos. Um método alternativo é a
utilização de blindagens de radiação entre as superfícies de transferência de calor. Estas
blindagens não fornecem ou removem calor do sistema, mas apenas introduzem uma
resistência no circuito térmico.
Considere-se os dois planos paralelos infinitos para ε1= ε2= ε, temos:
1)1(
2
)( 42
41
+−
−=
ε
ε
σ TT
A
q (27)
Aq / Aq /
Fig. 9 – radiação entre planos paralelos infinitos com e sem blindagem de radiação
O calor transferido neste caso será calculado a comparação com o calor transferido sem
a blindagem
1nE 1J 3J
1
11
ε
ε−
31
1
−F 3
31
ε
ε−
2nE'3J
2J
32
1
−F 2
21
ε
ε−
3nE
3
31
ε
ε−
Fig. 10 – Circuito elétrico analógico da radiação para dois planos paralelos separados
por uma blindagem de radiação.
Como a blindagem não fornece ou retira calor do sistema. O calor transferido entre a
placa 1, a blindagem e a placa 2 será:
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010 - Esse verão ainda carece de uma revisão mais detalhada
177
A
q
A
q
A
q==
−− 2331
1)1(
2
)(
1)1(
2
)( 42
43
43
41
+−
−=
+−
−=
ε
ε
σ
ε
ε
σ TTTT
A
q (28)
Obtendo-se
2/)( 42
41
43 TTT += (29)
( )1
)1(2
)(2/1 43
41
+−
−=
ε
ε
σ TT
A
q (30)
Portanto
blindagemsblindagemc A
q
A
q
// 2
1= (31)
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010 - Esse verão ainda carece de uma revisão mais detalhada
178
""/""/ 1
1
nblindagnsnblindaenc A
q
nA
q
+= (32)
12. Efeito da radiação na medida da temperatura
Quando um termômetro é colocado em uma corrente da gás para medir a temperatura de
em escoamento, a temperatura indicada pelo sensor é determinada pelo balanço global
de energia neste elemento.
Considere o sensor mostrado na Fig. 11. A temperatura do gás é ..., a temperatura de
radiação da superfície envolvente é Ts e a temperatura indicada pelo termômetro é Tt.
∞Th, ATsT
Fig. 11 – Elemento sensor da temperatura de um escoamento
Admitindo que Tt seja maior que Ts, a energia será transferida por convecção para o
termômetro e então dissipada por radiação para a superfície envolvente. Portanto, o
balanço de energia pode ser escrito como:
)()( 44stt TTATThA −=−∞ σε (33)
onde A é a área superficial do sensor e ε a sua emissividade. A eq. (33) foi obtida a
partir da eq. (20), considerando-se que a superfície envolvente seja negra ou muito
grande.
a) circuito analógico
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010 - Esse verão ainda carece de uma revisão mais detalhada
179
1bE1J 3J
11
11
Aε
ε−
311
1
−FA33
31
ε
ε
A
−
2bE'3J
2J
323
1
−FA 22
21
ε
ε
A
−
3bE
33
31
ε
ε
A
−
131 =−F
123 =−F
eq
bb
R
EEq 21 −
=
L
L
D
D
D
D
LD
D
D
D
D
D
D
AReq
9,1848
50
20
04,0
04,01
35
20
02,0
)02,02(
02,0
1
02,0
1
1)2(11
11
)1(2
1
111
2
1
2
2
3
1
3
3
11
2
1
2
2
3
1
3
1
3
3
1
1
1
=
−+
−+
⋅⋅=
−+
−+
⋅⋅=
−++
−++
−=
π
ε
ε
ε
ε
επ
ε
ε
ε
ε
ε
ε
[ ]
mWL
q/247,0
9,1848
773001067,5 448
=−⋅
=−
o ganho diminui em torno de 482,0
2,0482,0 −
48,8%
paredes estão a 200°C a temperatura indicada pelo elemento sensor é de 450°C. sendo o
coeficiente de transmissão de calor por convecção entre o gás e o termopar igual a
150W/m2°C, calcular a temperatura real do gás.
)()( 44parTTTTc TTATTAhq −⋅⋅=−⋅⋅= ∞ σε
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010 - Esse verão ainda carece de uma revisão mais detalhada
180
)( 44parT
c
T TTh
TT −⋅
+=∞
σε
)473723(1067,58,0
540 448
−⋅⋅
+=−
∞
chT
CT °=∞ 5,517
Problemas sugeridos
Holman: 8.1; 8.2; 8.5; 8.15; 8.17; 8.18; 8,29; 8.30.