apostila - clculo i - derivada - 2011-1

ENGENHARIA CÁLCULO I – DERIVADA Prof. Luiz Elpídio M. Machado

1

3 – DIFERENCIAÇÃO

3.1 – Taxa Média de Variação

3.2. – Introdução

Definição – 1

A derivada de uma função f é a função denotada por /f , tal que seu valor em qualquer número x do domínio de

f seja dado por ( )( ) ( )

x

fff xxx

xx D

-= D+

®Dlim

0

/, se esse limite existir.

A fórmula ( )( ) ( )

1

/ 1

1

1 lim xx

fff xx

xxx -

-=

®

é outra forma de se calcular a derivada.

Exercícios

Ache a derivada da função:

E-1. ( ) 52 -= xf x

E-2. ( ) 62 += xf x

E-3. ( ) 53 -= xf x

E-4. ( ) 83 += xf x

E-5. ( ) 14 --= xf x

E-6. ( ) xf x 2-=

E-7. ( ) 573 2 --= xxf x

E-8. ( ) 32 ++= xxf x

E-9. ( ) xxf x 52 2 +-=

E-10. ( ) 223 +-= xxf x

E-11. ( )23 64 xxf x -=

E-12. ( ) xf x

2=

E-13. ( ) 23

--

=xx

f x

E-14. ( ) 1+= xf x

E-15. ( ) 73 += xf x

Resposta

R - 1 ( ) 2/ =xf

R - 2 ( ) 2/ =xf

R - 3 ( ) 3/ =xf

R - 4 ( ) 3/ =xf

R - 5 ( ) 4/ -=xf

R - 6 ( ) 2/ -=xf

R - 7 ( ) 76/ -= xf x

R - 8 ( ) 12/ += xf x

R - 9 ( ) 54/ +-= xf x

R - 10 ( ) xxf x 23 2/ -=

R - 11 ( ) xxf x 1212 2/ -=

R - 12 ( ) 2/ 2

xf x -=

R - 13 ( ) ( )2/

2

1

-=

xf x

R - 14 ( )12

1/

+=

xf x

R - 15 ( )732

3/

+=

xf x

3.3 – TEOREMAS

Teorema – 1

Se c for uma constante e se ( ) cf x = para todo x , então ( ) 0/ =xf .

1

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3

Exemplo

Determine a derivada de primeira ordem da função:

Ex.-1 ( )

3=x

f

( ) 0/ =xf

Ex.-2 ( )

5-=x

f

( ) 0/ =xf

Ex.-3 ( ) 11

6=

xf

( ) 0/ =xf

Ex.-4 ( ) 5

23-=

xf

( ) 0/ =xf

Teorema – 2

Se r for um número e se ( )r

x xf = , então ( )1/ -= r

x rxf .

Para 1<r temos que 0¹x .

Exemplo

Determine a derivada de primeira ordem da função:

Ex.-5 ( )

6xf

x=

( )

516/66 xxf

x=´=

-

Ex.-6 ( )

7xf

x=

( )

617/77 xxf

x=´=

-

Ex.-7 ( )

15xf

x=

( )

14115/1515 xxf

x=´=

-

Ex.-8 ( )

7-= xf

x

( )

817/77

----=´-= xxf

x

Ex.-9 ( )

3-= xf

x

( )

413/33

----=´-= xxf

x

Ex.-10 ( )

30-= xf

x

( )

31130/3030

----=´-= xxf

x

Ex.-11 ( )

25xf

x=

( )

2

31

2

5/

25

25

xxfx

=´=-

Ex.-12 ( )

43xf

x=

( )4

1

4

11

4

3/

4

343

43

x

ouxxfx

--

=´=

Ex.-13 ( )

32-= xf

x

( )3

5

3

51

3

2/

3

232

32

x

ouxxfx

---

-=´-=

2



2

Teorema – 3

Se f for uma função, c uma constante e 1f a função definida por

( ) ( )xxfcf1

= então, se ( )

/

1 xf existir,

( ) ( )

/

1

/

xxfcf = .

Teorema – 8

Se f for uma função ( )x

x ef = então a derivada de f é ( )x

x ef =/.

Teorema – 9

Se f for uma função ( ) xf x ln= então a derivada de f é ( ) xf x

1/ = .

Teorema – 4

Se 1f , 2f e nf forem funções e se f for a função definida por

( ) ( ) ( ) ( )xnxxxffff ±±±= ...

21 então, se

( )/

1 xf , ( )/

2 xf e ( )

/

xnf existirem,

( ) ( ) ( ) ( )

//

2

/

1

/...

xnxxxffff ±±±= .

A derivada da soma de um número finito de funções é igual à soma de suas derivadas, se estas existirem.

Teorema – 7

Se 1f e 2f forem funções e f for a função definida por ( ) ( ) ( )xxx

fff21

.= então, se ( )/

1 xf e ( )/

2 xf existirem,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

/

212

/

1

/..

xxxxxfffff += .

Teorema – 6

Se a função f for derivável em x e a função F for derivável em ( )xf , então a função composta ( )( )xfFfF =o

será derivável em x , e ( )( ) ( )( ) ( )/// . xfx fFfF

x=o ou

( )( ) ( )( ) ( )/// . xff fFF

xx= .

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Se a função 1f for derivável em x e a função

2f for derivável em

1f , então a função composta

( ) ÷øö

çèæ

=x

f

Ff será

derivável em x , e ( )( ) ( )( ) ( )/// . xfx fFfF

x=o ou

( )( ) ( )( ) ( )/// . xff fFF

xx= .

Se f for uma função e F a função definida por ( )( )xf

x eF = então a derivada de F é. ( )( )

( )\\ . x

fx feF x= .

3



3

Se f for uma função e F a função definida por ( ) ( )xx fF ln= então a derivada de F é. ( )( )

( )\/ .

1x

xx f

fF = .

Teorema – 10

Se 1f e 2f forem funções e F for a função definida por ( )( )

( )x

xx f

fF

2

1= onde ( ) 02 ¹xf , então se ( )/

1 xf e

( )/

2 xf existirem, ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ]22

1/

22/

1/..

x

xxxxx

f

ffffF

-= .

Teorema – 11

Se f for uma função ( ) ( )xf x sen= então a derivada de f é ( ) ( )xf x cos/ = .

Se f for uma função e F a função definida por ( ) ( )( )xx fF sen= então a derivada de F é

( ) ( )( ) ( )// cos xxx ffF ´= .

Teorema – 12

Se f for uma função ( ) ( )xf x cos= então a derivada de f é ( ) ( )xf x sen/ -= .

Se f for uma função e F a função definida por ( ) ( )( )xx fF cos= então a derivada de F é

( ) ( )( ) ( )// sen xxx ffF ´-= .

Teorema – 13

Se f for uma função ( ) ( )xtgf x = então a derivada de f é ( ) ( )xf x2/ sec= .

Se f for uma função e F a função definida por ( ) ( )( )xx ftgF = então a derivada de F é

( ) ( )( ) ( )/2/ sec xxx ffF ´= .

Teorema – 14

Se f for uma função ( ) ( )xf x sec= então a derivada de f é ( ) ( ) ( )xtgxf x sec/ = .

Se f for uma função e F a função definida por ( ) ( )( )xx fF sec= então a derivada de F é

( ) ( )( ) ( ) ( )// sec xxx fxtgfF ´= .

Teorema – 15

4



4

Se f for uma função ( ) ( )xgf x cot= então a derivada de f é ( ) ( )xecf x2/ cos-= .

Se f for uma função e F a função definida por ( ) ( )( )xx fgF cot= então a derivada de F é

( ) ( )( ) ( )/2/ cos xxx ffecF ´-= .

Teorema – 16

Se f for uma função ( ) ( )xecf x cos= então a derivada de f é ( ) ( ) ( )xgxecf x cotcos/ -= .

Se f for uma função e F a função definida por ( ) ( )( )xx fecF cos= então a derivada de F é

( ) ( )( ) ( ) ( )// cotcos xxx fxgfecF ´-= .

Exercícios

Nos exercícios a baixo determine a derivada usando os teoremas anteriores.

E-16. ( ) 83 -= xf x

E-17. ( ) 52 +-= xf x

E-18. ( ) 134 -= xf x

E-19. ( ) 154 2 ++= xxf x

E-20. ( ) 172 2 +-= xxf x

E-21. ( ) 283 2 -+-= xxf x

E-22. ( ) 635 2 +-= xxf x

E-23. ( ) xxf x 72 3 -=

E-24. ( ) 156 23 ++-= xxf x

E-25. ( ) 1473

-+

=xx

f x

E-26. ( ) 564 2 ++= xxf x

E-27. ( ) 976 2 -+-= xxf x

E-28. ( ) 145 3 --= xxf x

E-29. ( ) 1282 23 ---= xxf x

E-30. ( ) 7225

+-

=xx

f x

E-31. ( ) 52 += xf x

E-32. ( ) 32 -= xf x

E-33. ( ) 32 += xf x

E-34. ( ) 16 23 -+= xxf x

E-35. ( ) 16 23 --= xxf x

E-36. ( ) 54 23 ++-= xxf x

E-37. ( ) 324 3 +--= xxf x

E-38. ( ) 43

-+

=xx

f x

E-39. ( ) 43

+-

=xx

f x

E-40. ( ) 8372

--

=xx

f x

E-41. ( ) 2

42

2

++

=x

xf x

E-42. ( ) 24

2 ++

=xx

f x

E-43. ( ) xxf x 72 3 -=

E-44. ( )245 367 xxxf x +-=

E-45. ( ) xxxxf x 4793 358 +-+-=

E-46. ( ) 84 += xf x

E-47. ( ) 53 +-= xf x

5



5

E-48. ( ) 928 2 -+= xxf x

E-49. ( ) 4257 23 -+-= xxxf x

E-50. ( ) xxxf x 976 34 +-=

E-51. ( ) xf x

1=

E-52. ( ) 5

1x

f x =

E-53. ( ) 4

1x

f x =

E-54. ( ) 243-

=xx

f x

E-55. ( ) 212

-+

=xx

f x

E-56. ( ) 212

2

2

-+

=xx

f x

E-57. ( ) 7213

3

4

-+

=xx

f x

E-58. ( ) 373623 4567 -++-+= xxxxxf x

E-59. ( ) 987254 246810 -+-++-= xxxxxf x

E-60. ( )x

x ef 7=

E-61. ( )6x

x ef =

E-62. ( )92x

x ef =

E-63. ( )x

x exf 73 +=

E-64. ( )x

x exf 73=

E-65. ( )

x

xexf

84+=

E-66. ( )

x

xexf

84=

E-67. ( )

x

xexf +=

E-68. ( )x

x xef =

E-69. ( ) 3

2

x

ef

x

x =

E-70. ( ) xe

fx

x

5

=

E-71. ( ) xf x ln5=

E-72. ( ) ( )xf x 6ln=

E-73. ( ) ( )16ln -= xf x

E-74. ( ) ( )1ln 2 += xf x

E-75. ( ) ( )xxf x 2ln7 -=

E-76. ( ) ( )xxf x 2ln7=

E-77. ( ) xxf x ln=

E-78. ( ) xx

f x

ln=

E-79. ( ) ( ) ( )117 8352 +-= xxf x

E-80. ( ) ( ) ( )2010 8352 +-= xxf x

E-81. ( ) ( ) ( )8645 8352 +-= xxf x

E-82. ( ) ( ) ( )106205 8352 +-= xxf x

E-83. ( )( )( )73

52

2

4

+

+=

x

xf x

E-84. ( )( )( )7

5

29

48

++

=x

xf x

E-85. ( )( )( )96

84

73

52

-

-=

x

xf x

E-86. ( )( )( )43

76

62

45

-

+=

x

xf x

E-87. ( ) ( )xf x sen2=

E-88. ( ) ( )xf x cos4=

E-89. ( ) ( )xtgf x 7=

E-90. ( ) ( )xf x sec5=

E-91. ( ) ( )xecf x cos3=

6



7

E-92. ( ) ( )xgf x cot8=

E-93. ( ) ( )xf x 2sen=

E-94. ( ) ( )xf x 4cos=

E-95. ( ) ( )xtgf x 7=

E-96. ( ) ( )xf x 5sec=

E-97. ( ) ( )xecf x 3cos=

E-98. ( ) ( )xgf x 8cot=

E-99. ( ) ( )xf x 5sen2=

E-100. ( ) ( )xf x 8cos4=

E-101. ( ) ( )xtgf x 27=

E-102. ( ) ( )xf x 9sec5=

E-103. ( ) ( )xecf x 4cos3=

E-104. ( ) ( )xgf x 3cot8=

E-105. ( ) ( ) ( )xtgxf x 9sen2 +=

E-106. ( ) ( ) ( )xxf x sec3cos4 -=

E-107. ( ) ( ) ( )xecxtgf x cos27 -=

E-108. ( ) ( ) ( )xxf x sen6sec5 -=

E-109. ( ) ( ) ( )xxecf x cos8cos3 -=

E-110. ( ) ( ) ( )xxgf x sen4cot8 +=

E-111. ( ) ( )xxf x sen3=

E-112. ( ) ( )xxf x cos2=

E-113. ( ) ( )xtgxf x4=

E-114. ( ) ( )xxf x sec5=

E-115. ( ) ( )xecxf x cos7=

E-116. ( ) ( )xgxf x cot6=

E-117. ( ) ( ) ( ) xxxxxf x sensensen2 +-=

E-118. ( ) ( ) ( ) xxxxxf x coscoscos2 +-=

E-119. ( ) ( ) ( ) tgxxxtgxtgxf x +-= 2

E-120. ( ) ( ) ( ) xxxxxf x secsecsec2 +-=

E-121. ( ) ( ) ( ) ecxxecxxecxf x coscoscos2 +-=

E-122. ( ) ( ) ( ) gxxgxxgxf x cotcotcot2 +-=

E-123. ( )( )( ) 2sen

3sen-+

=xx

f x

E-124. ( )( )( ) 2sen

3cos-+

=xx

f x

E-125. ( )

( )( ) 2cos

3-+

=xxsen

fx

E-126. ( )( )( ) 2cos

3cos-+

=xx

f x

E-127. ( )( )( ) 2sen

3sen--

=xx

f x

E-128. ( )( )( ) 2sen

3sen++

=xx

f x

Respostas

R - 16 ( ) 3/ =xf

R - 17 ( ) 2/ -=xf

R - 18 ( ) 4/ =xf

R - 19 ( ) 58/ += xf x

R - 20 ( ) 74/ -= xf x

R - 21 ( ) 86/ +-= xf x

R - 22 ( ) 310/ -= xf x

R - 23 ( ) 76 2/ -= xf x

R - 24 ( ) xxf x 1018 2/ +-=

R - 25 ( )( )2

/

14

31

--=

xf x

R - 26 ( ) 68/ += xf x

R - 27 ( ) 712/ +-= xf x

R - 28 ( ) 415 2/ -= xf x

R - 29 ( ) xxf x 166 2/ --=

7



2

R - 30 ( )( )2

/

72

39

+=

xf x

R - 31 ( ) 2/ =xf

R - 32 ( ) xf x 2/ =

R - 33 ( ) xf x 2/ =

R - 34 ( ) xxf x 123 2/ +=

R - 35 ( ) xxf x 123 2/ -=

R - 36 ( ) xxf x 212 2/ +-=

R - 37 ( ) 212 2/ --= xf x

R - 38 ( )( )2

/

4

7

--=

xf x

R - 39 ( ) ( )2/

4

7

+=

xf x

R - 40 ( )( )2

/

83

5

-=

xf x

R - 41 ( ) ( )22

/

2

4

+-=

x

xf x

R - 42 ( ) ( )22

2\

2

28

+

+--=

x

xxf x

R - 43 ( ) 76 2\ -= xf x

R - 44 ( ) xxxf x 62435 34\ +-=

R - 45 ( ) 4214524 247\ +-+-= xxxf x

R - 46 ( ) 4\ =xf

R - 47 ( ) 3\ -=xf

R - 48 ( ) 216\

+= xf x

R - 49 ( ) 21021 22\ +-= xxf x

R - 50 ( ) 92124 23\ +-= xxf x

R - 51 ( ) 2\ 1

xf x -=

R - 52 ( ) 6\ 5

xf x -=

R - 53 ( ) 5\ 4

xf x -=

R - 54 ( ) ( )2\

24

6

--=

xf x

R - 55 ( ) ( )2\

2

5

--=

xf x

R - 56 ( ) ( )22

\

2

10

--=

x

xf x

R - 57 ( ) ( )23

236\

72

6846

-

--=

x

xxxf x

R - 58 ( ) 712301221 3456\ ++-+= xxxxf x

R - 59 ( ) xxxxxf x 1628124040 3579\ +-++-=

R - 60 ( )x

x ef 7\ 7=

R - 61 ( )65\ 6 x

x exf =

R - 62 ( )928\ 18 x

x exf =

R - 63 ( )x

x exf 72\ 73 +=

R - 64 ( )xx

x exexf 7372\ 73 +=

R - 65 ( )

x

xexf

83\84 +=

R - 66 ( )

xx

xexexf

8483\84 +=

R - 67 ( )

x

xef += 1

\

R - 68 ( )xx

x xeef +=\

R - 69 ( ) 6

2223\ 32

x

exexf

xx

x

-= simplificando

( ) 4

22\ 32

x

exef

xx

x

-= .

R - 70 ( ) 2

55\ 5

x

exef

xx

x

-=

8



9

R - 71 ( ) xf x

5\ =

R - 72 ( ) xf x

1\ =

R - 73 ( ) 166\

-=

xf x

R - 74 ( ) 122\

+=

xx

f x

R - 75 ( ) xxf x

17 6\ -=

R - 76 ( ) ( ) 66\ 2ln7 xxxf x +=

R - 77 ( ) 1ln\ += xf x

R - 78 ( ) 2

\ ln1

x

xf

x

-=

R - 79 ( ) ( ) ( ) ( )531088352 106\ -+-= xxxf x

R - 80 ( ) ( ) ( ) ( )79835220 199\ -+-= xxxf x

R - 81 ( ) ( ) ( ) ( )40905183528 676354\ +-+-= xxxxxf x

R - 82 ( ) ( ) ( ) ( )804548835220 6961954\ +-+-= xxxxxf x

R - 83 ( )( ) ( )

( )83

342\

2

2084114

+

+--+=

x

xxxxf x

R - 84 ( )( ) ( )

( )84

\

29

17214448

+--+

=x

xxf x ou ( )

( ) ( )( )8

4\

29

4336484

+++

-=x

xxf x

R - 85 ( )( ) ( )

( )106

26743\

73

22440566522

-

-+--=

x

xxxxf x

R - 86 ( )( ) ( )

( )53

36662\

62

1621050456

-

--+=

x

xxxxf x ou ( )

( ) ( )( )53

36662\

62

8105254512

-

--+=

x

xxxxf x

R - 87 ( ) ( )xf x cos2\ =

R - 88 ( ) ( )xf x sen4\ -=

R - 89 ( ) ( )xf x2\ sec7=

R - 90 ( ) ( ) ( )xtgxf x sec5\ =

R - 91 ( ) ( ) ( )xgxecf x cotcos3\ -=

R - 92 ( ) ( )xecf x2\ cos8-=

R - 93 ( ) ( )xf x 2cos2\ =

R - 94 ( ) ( )xf x 4sen4\ -=

R - 95 ( ) ( )xf x 7sec7 2\ =

R - 96 ( ) ( ) ( )xtgxf x 55sec5\ =

R - 97 ( ) ( ) ( )xgxecf x 3cot3cos3\ -=

R - 98 ( ) ( )xecf x 8cos8 2\ -=

R - 99 ( ) ( )xf x 5cos10\ =

R - 100 ( ) ( )xf x 8sen32\ -=

R - 101 ( ) ( )xf x 2sec14 2\ =

R - 102 ( ) ( ) ( )xtgxf x 99sec45\ =

R - 103 ( ) ( ) ( )xgxecf x 4cot4cos12\ -=

R - 104 ( ) ( )xecf x 3cos24 2\ -=

R - 105 ( ) ( ) ( )xxf x2\ sec9cos2 +=

9



10

R - 106 ( ) ( ) ( ) ( )xtgxxf x sec3sen4\ --=

R - 107 ( ) ( ) ( ) ( )xgxecxf x cotcos2sec7 2\ +=

R - 108 ( ) ( ) ( ) ( )xxtgxf x cos6sec5\ -=

R - 109 ( ) ( ) ( ) ( )xxgxecf x sen8cotcos3\ +-=

R - 110 ( ) ( ) ( )xxecf x cos4cos8 2\ +-=

R - 111 ( ) ( ) ( )xxxxf x cossen3 32\ +=

R - 112 ( ) ( ) ( )xxxxf x sencos2 2\ -=

R - 113 ( ) ( ) ( )xxxtgxf x243\ sec4 +=

R - 114 ( ) ( ) ( ) ( )xtgxxxxf x secsec5 54\ +=

R - 115 ( ) ( ) ( ) ( )xgxecxxecxf x cotcoscos7 76\ -=

R - 116 ( ) ( ) ( )xecxxgxf x265\ coscot6 -=

R - 117 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xxxxxxxxf x coscossencossen2 2\ +--+=

R - 118 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xsenxxsenxxsenxxxf x -+--= coscos2 2\

R - 119 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxtgxxxxtgf x2222\ secsecsec2 +--+=

R - 120 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xtgxxtgxxxxtgxxxxf x secsecsecsecsec2 2\ +--+=

R - 121 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xgxecxgxecxxecxgxecxxecxf x cotcoscotcoscoscotcoscos2 2\ -+--=

R - 122 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xecxecxxgxecxxgxf x2222\ coscoscotcoscot2 -+--=

R - 123 ( )( )

( )[ ] 2\

2sen

cos5

--=

x

xf x

R - 124 ( )( ) ( )

( )[ ]2\

2

1cos32

---

=xsen

xxsenf x

R - 125 ( )( ) ( )( )[ ] 2

\

2cos

sen3cos21

-+-

=x

xxf x

R - 126 ( )( )

( )[ ] 2\

2cos

sen5

-=

x

xf x

R - 127 ( )( )

( )[ ] 2

\

2

cos

-=

xsen

xf x

R - 128 ( )( )

( )[ ] 2\

2sen

cos

+-=

x

xf x

3.4 – Derivada de Ordem Superior

Derivada de Primeira Ordem

Notação: ( )( )

( )( )

( )( )ixx

xx ff

dx

dff === 1/

ou ( )( )

( )( )

( )( )ixx

xx yy

dx

dyy === 1/

.

Derivada de Segunda Ordem

Notação: ( )( )

( )( )

( )( )iixx

xx ff

dx

fdf === 2

2

2//

ou ( )( )

( )( )

( )( )iixx

xx yy

dx

ydy === 2

2

2//

.

Derivada de Terceira Ordem

Notação: ( )( )

( )( )

( )( )iiixx

xx ff

dx

fdf === 3

2

3///

ou ( )( )

( )( )

( )( )iiixx

xx yy

dx

ydy === 3

2

3///

.

10



2

Derivada de Enésima Ordem (n>1)

Notação: ( )

( )( )nxn

xn

fdx

fd= ou

( )( )( )nxn

xn

ydx

yd= .

Exemplo

Determine a derivada de quarta ordem da função:

Ex.-14 ( ) 257 2 -+= xxf x

( ) ( ) 5140527 +=Þ-+´= xdx

dfx

dx

dfxx

( ) ( ) 14014 2

2

2

2

=Þ+=dx

fd

dx

fdxx

( ) 03

3

=dx

fdx

( ) 04

4

=dx

fdx

Ex.-15 ( ) 782 23 +-= xxf x

( ) ( ) xxdx

dfxx

dx

dfxx 16602832

22-=Þ+´-´=

( ) ( ) 16121626 2

2

2

2

-=Þ-´= xdx

fdx

dx

fdxx

( ) 00123

3

=-=dx

fdx

( ) 04

4

=dx

fdx

Ex.-16 ( )x

x exf 3=

( )} }

( ) xxx

ede

derivada

xx

xde

derivada

x exexdx

dfxeex

dx

dfx

323233

3

+=Þ´+´=

( )} } } }

( ) xxxx

xxxx

ede

derivada

xx

xde

derivada

ede

derivada

xxxde

derivada

x

exexxedx

fd

exexexxexeexxeexdx

fdxx

32

2

2

3223223

2

2

66

336336

32

++=

+++=´+´+´+´=

11



3

( )} } } } } }

( )

( ) xxxxx

xxxxxxx

ede

derivada

xx

xde

derivada

ede

derivada

xxxde

derivadaede

derivada

xxxde

derivada

x

exexxeedx

fd

exexexxexeedx

fd

xeexxeexxeedx

fdxxx

32

3

3

322

3

3

3

3

2266

3

3

9186

361266

361266

32

+++=

+++++=

´+´+´+´+´+´=

( )} } } } } } }

( )

( ) xxxxx

xxxxxxxx

ede

derivada

xx

xde

derivada

ede

derivada

xxxde

derivadaede

derivada

xxxde

derivadaede

derivada

xx

exexxeedx

fd

exexexxexeeedx

fd

xeexxeexxeeedx

fdxxxx

32

4

4

322

4

4

3

3

22918

4

4

123624

391818186

391818186

32

+++=

++++++=

´+´+´+´+´+´+´=

Ex.-17 ( )

( )xxfx

cos2

=

( )}

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )xsenxxxdx

df

xxsenxxdx

df

x

xdederivada

xde

derivada

x

2

2

cos

cos2

cos2

2

-=

´-+´=48476

( )}

( ) ( )( )( )

( )

}( ) ( )( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )xxxxsenxdx

fd

xxxxsenxxsenxdx

fd

xxxsenxxxsenxdx

fd

x

x

xxdederivada

xsendederivada

xde

derivada

xxdederivada

xdederivada

xdederivada

x

cos4cos2

cos22cos2

cos22cos2

2

2

2

2

2

2

cos

2

cos2

cos2

2

2

2

2

--=

---=

÷÷÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççççç

è

æ

´+´-´-+´=

44444 844444 76

48476

44444 844444 76

48476

12



4

( ) ( )( )( ) }

( ) ( )( )

( )

}( ) ( )( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )xsenxxxxsendx

fd

xsenxxxxxxsenxsendx

fd

xxsenxxxxxsenxsendx

fd

x

x

xxdederivada

xdederivada

xde

derivada

xxsendederivada

xsendederivada

xdederivada

xdederivada

x

2

3

3

2

3

3

cos

2

cos

4

4cos

3

3

cos66

cos2cos442

cos24cos42

2

2

+--=

+----=

÷÷÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççççç

è

æ

´-+´-

÷÷÷÷÷÷

ø

ö

çççççç

è

æ

´+´--´=

44444 844444 76

48476

4444 84444 76

87648476

( ) ( )( ) }

( ) ( )( )( )

( )

}( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )xxxxsenxdx

fd

xxxxsenxxsenxxdx

fd

xxxsenxxxsenxxdx

fd

x

x

xsenxdederivada

xsendederivada

xde

derivada

xxdederivada

xdederivada

xdederivada

xsendederivada

x

cos8cos12

cos26cos6cos6

cos26cos6cos6

2

4

4

2

4

4

2

cos6

cos6

4

4

2

2

++-=

+++--=

÷÷÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççççç

è

æ

´+´+

÷÷÷÷÷÷

ø

ö

çççççç

è

æ

´-+´-´-=

4444 84444 76

876

44444 844444 76

48476876

Exercícios

Ache a derivada de quarta ordem da função:

E-129. ( ) 52 -= xf x

E-130. ( ) 14 --= xf x

E-131. ( ) 573 2 --= xxf x

E-132. ( ) 32 ++= xxf x

E-133. ( ) xxf x 52 3 +-=

E-134. ( ) 223 +-= xxf x

E-135. ( ) xf x

2=

E-136. ( ) xxf x

32 +=

E-137. ( )x

x ef 3=

E-138. ( )x

x ef 2-=

E-139. ( ) ( )xxf x ln=

E-140. ( ) ( )xxf x ln2=

E-141. ( ) ( )xsenxf x2=

E-142. ( ) ( )xxf x cos=

E-143. Determine a derivada de centésima ordem da função ( ) 32 46 -+= xxf x

Resposta

R - 129 ( ) 2/ =xf ; ( ) 0// =xf ; ( ) 0/// =xf e ( )

( ) 04 =xf .

R - 130 ( ) 4/ -=xf ; ( ) 0// =xf ; ( ) 0/// =xf e ( )

( ) 04 =xf .

R - 131 ( ) 76/ -= xf x ; ( ) 6// =xf ; ( ) 0/// =xf e ( )

( ) 04 =xf .

13



2

R - 132 ( ) 12/ += xf x ; ( ) 2// =xf ; ( ) 0/// =xf e ( )

( ) 04 =xf .

R - 133 ( ) 56 2/ +-= xf x ; ( ) xf x 12// -= ; ( ) 12// -=xf e ( )

( ) 04 =xf .

R - 134 ( ) xxf x 23 2/ += ; ( ) 26// += xf x ; ( ) 6// =xf e ( )

( ) 04 =xf .

R - 135 ( ) 2/ 2

xf x -= ; ( ) 3

// 4x

f x = ; ( ) 4// 12

xf x -= e

( )( ) 5

4 48x

f x = .

R - 136 ( ) 2/ 3

2x

xf x -= ; ( ) 3// 6

2x

f x += ; ( ) 4// 18

xf x -= e

( )( ) 5

4 72x

f x = .

R - 137 ( )x

x ef 3/ 3= ; ( )x

x ef 3// 9= ; ( )x

x ef 3// 27= e ( )

( )x

x ef 34 81= .

R - 138 ( )x

x ef 2/ 2 --= ; ( )x

x ef 2// 4 -= ; ( )x

x ef 2// 8 --= e ( )

( )x

x ef 24 16 -= .

R - 139 ( ) ( ) 1ln/ += xf x ; ( )x

f x1// = ; ( ) 2

// 1x

f x -= e ( )

( ) 34 2

xf x = .

R - 140 ( ) ( ) xxxf x += ln2/; ( ) ( ) 3ln2// += xf x ; ( )

xf x

2// = e ( )

( ) 24 2

xf x -= .

R - 141 ( ) ( ) ( )xxsenxxf x 2cos2/ += ; ( ) ( ) ( ) ( )xsenxxxsenxf x 2cos42// ++-= ;

( ) ( ) ( ) ( )xxxsenxxf x cos66cos2// +--= e ( )

( ) ( ) ( ) ( )xsenxxxsenxf x 12cos824 --= .

R - 142 ( ) ( ) ( )xxxsenf x cos/ +-= ; ( ) ( ) ( )xsenxxf x 2cos// --= ; ( ) ( ) ( )xxxsenf x cos3// -= e

( )( ) ( ) ( )xsenxxf x 4cos4 += .

R - 143 ( )35/ 86 xxf x += ; ( )

24// 2430 xxf x += ; ( ) xxf x 48120 3// += ; ( )

( ) 48360 24 += xf x ;

( )( ) xf x 7205 = ;

( )( ) 7206 =xf e

( )( )

( )( )

( )( ) 0... 10087 ==== xxx fff .

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Definição – 4

A função f terá um valor máximo relativo em c se existir um intervalo aberto contendo c , no qual f esteja

definida, tal que ( ) ( )xc ff ³ para todo x nesse intervalo.

Definição – 5

A função f terá um valor mínimo relativo em c se existir um intervalo aberto contendo c , no qual f esteja

definida, tal que ( ) ( )xc ff £ para todo x nesse intervalo.

Definição – 6

A função f definida para todos os valores de x no intervalo aberto ] [ba , , tem extremo relativo em c , onde

bca << , e existir ( )\cf e se ( ) 0\ =cf .

Definição – 7

Definição – 8

Definição – 9

14



3

3.5 – APLICAÇÃO

Movimento Retilíneo

Definição – 2

Se P for uma função dada pela equação ( )tPP = e se uma partícula se mover ao longo de uma reta de tal forma

que P seja o número de unidades da distância orientada da partícula a um ponto fixo na reta em t unidades de

tempo, então a velocidade instantânea da partícula em t unidades de tempo será v unidades de velocidade, onde

( ) dtdP

vfv t =Û= /, se a derivada existir.

Exercícios

Nos exercícios de 126 a 133, uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada,

P é a posição da partícula e P m é a distância horizontal orientada da partícula a partir do ponto O em t s. Ache a função

velocidade instantânea ( )tv e determine o valor de ( )1tv para o valor de 1t dado.

E-144. ( ) 13 2 += tP t e st 31 = .

E-145. ( )28 tP t -= e st 51 = .

E-146. ( ) tP t 4

1= e st

21

1 = .

E-147. ( ) 2

3

tP t = e st 21 = .

E-148. ( ) 52 23 +-= ttP t e st 11 = .

E-149. ( ) 124 3 -+= ttP t e st23

1 = .

E-150. ( ) tt

P t +=

4 e st 01 = .

E-151. ( ) 2

31

ttP t += e st 21 = .

Respostas

R - 144 ( ) tv t 6= e ( ) smv 183 =

R - 145 ( ) tv t 2-= e ( ) smv 105 -=

R - 146 ( ) 241t

v t -= e smv 12

1 -=÷øö

çèæ

R - 147 ( ) 3

6t

v t -= e ( )

smv43

2-=

R - 148 ( ) ttv t 26 2 -= e ( ) smv 41 =

R - 149 ( ) 212 2 += tv t e smv 292

3 =÷øö

çèæ

R - 150 ( ) ( )24

4

tv t +

= e ( ) smv41

0 =

R - 151 ( ) 32

61tt

v t --= e ( ) smv 12 -=

Exemplos

Ex.-18 Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação ( )

124223

-+-= tttPt

.

Determine os intervalos de tempo nos quais a partícula se move para a direita e para a esquerda. Determine o

instante no qual ela inverte o seu sentido e a posição em que

Exercícios

15



2

Nos exercícios de 134a 139, o movimento de uma partícula é ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a

equação dada, onde P cm é a distância orientada da partícula a partir do ponto O , em t s. A direção positiva e á direita.

Determine os intervalos te tempo em que a partícula move-se para a direita e para a esquerda. Determine também quando a

partícula reverte o sentido do movimento. Mostre o comportamento do movimento através de uma figura (diagrama) utilize os

valores de t em que a partícula muda o sentido do movimento.

E-152. ( ) 493 23 +-+= tttP t

E-153. ( ) 81232 23 +--= tttP t

E-154. ( ) 4223

32 23 +-+= tttP t

E-155. ( ) 21 t

tP t +

=

E-156. ( ) 29 t

tP t +

=

E-157. ( ) 4

12 ++

=t

tP t

Respostas

R - 152

t ( ) 493 23 +-+= tttP t

( )963

2-+= ttv

t ( )

66 += tat

Descrição do movimento

0 m4 sm9- 26 sm

Movimento para a esquerda

10 << t -------- _ -------------- Movimento para a esquerda

1 m1- 0 212 sm

Inversão no sentido do

movimento

1>t --------- + ----------------- Movimento para a direita

R - 153

t ( ) 81232 23 +--= tttP t

( )1266

2--= ttv

t ( )

66 += tat

Descrição do movimento

R - 154

t ( )tP ( )tv

( )66 += ta

t Descrição do movimento

R - 155

t ( )tP ( )tv

( )66 += ta


16


Prof. Luiz Elpídio M. Machado

R - 156

t ( )tP ( )tv

( )66 += ta


R - 157

t ( )tP ( )tv

( )66 += ta


Exemplo

Ex.-19 Uma bola é atirada verticalmente para cima a partir do chão, com uma velocidade inicial de 64m/s. Se o sentido da

distância do ponto de partida for para cima, a equação do movimento será ( ) ttD t 6416 2 +-= . Seja t o número

de segundos decorridos desde que a bola foi atirada e D o número de metros da distância percorrida pela bola a

partir do ponto inicial em st

a) Ache a velocidade instantânea da bola ao final de 1s.

b) A bola está subindo ou descendo após 1s?

c) Ache a velocidade instantânea da bola depois de 3s.

d) A bola está subindo ou descendo após 3s?

e) Quantos segundos a bola leva para atingir o seu ponto mais alto?

f) Qual a altura máxima atingida pela bola?

g) Ache as velocidades escalares após 1 e 3 segundos.

h) Decorridos quantos segundos a bola atinge o solo?

i) Ache a velocidade instantânea da bola quando ela chega ao chão.

E-158. Se uma pedra for atirada verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 32cm/s, então ( ) ttD t 3216 2 +-= ,

onde D cm é a distância da pedra ao ponto inicial, em t s e o sentido positivo é para cima. Ache:

a) a velocidade instantânea da pedra em st43

= e em st45

= ;

b) a velocidade escalar da pedra em st43

= e em st45

= ;

17



c) a velocidade média da pedra no intervalo de tempo 45

43

££ t ;

d) a velocidade média da pedra no intervalo de tempo 43

21

££ t ;

e) quanto tempo a pedra gasta para atingir o ponto mais alto;

f) quanto tempo a pedra gasta para retornar ao solo;

g) a velocidade instantânea da pedra quando ela atinge o solo.

Faça um desenho que represente o comportamento deste movimento.

E-159. Um foguete é lançado verticalmente para cima e após t s ele está a D m do solo, onde ( )216560 ttD t - e o sentido

positivo é para cima. Ache:

a) a velocidade do foguete 2s após o lançamento;

b) quanto tempo levará para o foguete atingir sua altura máxima.

E-160. Se uma bola for impulsionada de tal forma que ela adquira uma velocidade inicial de 24 cm/s ao descer um certo plano

inclinado, então ( )21024 ttD t += , onde D cm é a distância da bola ao ponto inicial em t s e o sentido positivo é o

de descida do plano inclinado. Pede-se:

a) a função velocidade;

b) o tempo para que a velocidade atinja o valor de 48 cm/s.

E-161. Uma pedra cai de uma altura de 64m. Se D m for a altura da pedra t s após ter iniciado a queda, então

( ) 6416 2 +-= tD t .

a) Quanto tempo leva para a pedra atingir o solo?

b) Ache a velocidade da pedra quando ela atingir o solo?

E-162. Um objeto cai do repouso de acordo com a equação ( ) 6,2516 2 +-= tD t , onde D cm é a distância do objeto ao

solo em t s e o sentido positivo é para cima. Se o objeto caí de um edifício com 25,60 m de altura, ache:

a) a velocidade instantânea do objeto após 1s de queda;

b) o tempo que o objeto leva para atingir o solo;

c) a velocidade do objeto quando ele atinge o solo.

E-163. Uma bola de bilhar é atingida e movimenta-se em linha reta. Se D cm for a distância da bola de sua posição inicial

após t s, então ( ) ttD t 100100 2 += . Com qual velocidade a bola atingirá a tabela se ela está a 39 cm?

Resposta

R - 158 a) smv 84

3 =÷øö

çèæ ; b) smv 8

4

5 -=÷øö

çèæ ; c) 0=mv ;

d) smvm 12= ; e) st 1= ; f) st 2= ;

g) ( ) smv 322 -=

R - 159 a) ( )

smv 4962= ; b) st 5,17=

R - 160 a) ( )

2420 += tvt

; b) st 2,1=

R - 161 a) st 2= ; b) ( ) smv 642 -=

R - 162 a) ( )

smv 321

-= ; b) st 26,1= ;

c)( )

smv 32,4026,1

-=

R - 163 ( )

scmv 1603,0=

18



Definição – 3

Seja ( )xfy = ; a taxa de variação instantânea de y por unidade de variação de x em 1x é ( )/xf ou,

equivalentemente, a derivada de y com respeito a x em 1x , se ela existir no ponto ( )( )1

,1 xfx

Exemplo

Ex.-20 Seja V o volume, em cm3, de um cubo com x cm de lado, use a calculadora para calcular a taxa média de variação

de V em relação x , quando x varia de:

a) 3,000 a 3,200

b) 3,000 a 3,100

c) 3,000 a 3,010

d) 3,000 a 3,001

e) qual será a taxa de variação instantânea de V em relação a x , quando x é 3?

Ex.-21 Em um circuito elétrico, se E volts for a força eletromotriz, R ohms for a resistência e I ampères for a corrente,

segue da lei de Ohm que ERI =. . Supondo que E seja uma constante positiva, mostre que R diminui a uma

taxa proporcional ao inverso do quadrado de I .

Ex.-22 Suponha que C seja o custo total da fabricação de x brinquedos e ( )202,04110 xxC x ++= . Pede-se:

a) a função custo marginal.

b) o custo marginal quando x é 50.

c) o custo real da fabricação do qüinquagésimo primeiro brinquedo.

Ex.-23 Suponha que R seja o rendimento total recebido pela venda de x mesas e ( ) 2300

2xxR x -= . Ache:

a) a função rendimento marginal.

b) o rendimento marginal quando x é 40.

c) o rendimento real da venda da quadragésima primeira mesa.

d) determine o intervalo onde o rendimento total é crescente.

e) determine o intervalo onde o rendimento total é decrescente.

f) determine onde o rendimento total é máximo.

Exercícios

E-164. A função lucro da Companhia SomZão é dada por ( ) 000.20030002,0 2 -+-= qqL q reais, onde q é o número

de sistemas de som modelo SZ1 produzidos. Encontre:

a) o intervalo onde o lucro é crescente.

b) o intervalo onde o lucro é decrescente.

c) o valor do lucro máximo.

E-165. A subsidiária mexicana da Companhia Thermo-Master produz um termômetro de uso interno e externo. A gerência

estima que o lucro realizável (em reais) pela companhia pela produção e venda de q unidades de termômetros por

semana é ( ) 000.58001,0 2 -+-= qqL q

Encontre:

19



a) o intervalo onde o lucro é crescente.

b) o intervalo onde o lucro é decrescente.

c) o valor do lucro máximo.

E-166. A altura (em metros) atingida por um foguete após t segundos de vôo é dada pela função

( )103316

3

23

+++-= ttt

At

. Determine:

a) o intervalo de tempo em que o foguete está subindo.

b) o intervalo de tempo em que o foguete está caindo.

c) a altura máxima atingida.

E-167. Seguindo o exemplo da Federação Nacional de Vida Selvagem, o Departamento do Interior de um país sul-americano

começou a registrar um índice de qualidade ambiental que mede o progresso e o declínio da qualidade ambiental de

suas florestas. O índice para os anos de 1984 a 1994 é aproximado pela função ( ) 802

53

23

+-=tt

I t , para

100 ££ t onde 0=t corresponde ao ano de 1984. Encontre:

a) o intervalo onde I é decrescente.

b) o intervalo onde I é crescente.

c) determine, se existir, I mínimo.

d) Interprete estes resultados.

E-168. O custo médio (em reais) obtido pela Gravadora Lincoln por semana na fabricação de q CDs é dado por

( )q

qC q000.2

20001,0 ++-= , para 000.60 £< q . Interprete a variação de C neste intervalo.

E-169. Baseado nos dados do Fundo Central de Previdência de um determinado país, o saldo estimado do fundo em 2015 é

dado por ( ) 2509,6606,4036,96 234 +++-= tttS t , para 50 ££ t , onde S é medido em bilhões de reais e t

é medido em décadas, com 0=t correspondendo ao ano de 1995. Encontre:

a) o intervalo onde S é decrescente.

b) o intervalo onde S é crescente.

c) determine, se existir, S máximo.

d) interprete estes resultados.

Respostas

R - 164 ( ) 000.20030002,0 2 -+-= qqL q

( )

( )30004,0

0300202,0

\

\

+-=

-+´-=

qL

qL

q

q

Estudo do sinal

20



( )

( )

( )ïïï

î

ïïï

í

ì

><

==

<£>

500.7,0

500.7,0

500.70,0

\

\

\

qseL

qseL

qseL

q

q

q

Significado do sinal de ( )

\

qL

( )500.70,0

\<£> qseL

q significa que

( )qL é crescente neste intervalo.

( )500.7,0

\>< qseL

q significa que

( )qL é decrescente neste intervalo.

( )500.7,0

\== qseL

q significa que

( )qL é máximo.

a) 500.70 <£ q

b) 500.7>q

c) 500.7=q

( )( ) ( )

( )

( )$00,00.925000.050.2000.125.1

000.200000.250.2000.250.5602,0

000.200500.7300500.702,0

500.7

500.7

2

500.7

RL

L

L

=+-=

-+´-=

-´+´-=

R - 165 ( ) 000.58001,0 2 -+-= qqL q

( )

( )8002,0

082001,0

\

\

+-=

-+´-=

qL

qL

q

q

Estudo do sinal

( )

( )

( )ïïï

î

ïïï

í

ì

><

==

<£>

000.4,0

000.4,0

000.40,0

\

\

\

qseL

qseL

qseL

q

q

q

Significado do sinal de ( )

\

qL

( )000.40,0

\<£> qseL

q significa que

( )qL é crescente neste intervalo.

( )000.4,0

\>< qseL

q significa que

( )qL é decrescente neste intervalo.

21



( )000.4,0

\== qseL

q significa que

( )qL é máximo.

a) 000.40 <£ q

b) 000.4>q

c) 000.4=q

( )( ) ( )

( )

( )$000.11000.27000.16

000.5000.32000.000.16001,0

000.5000.48000.4001,0

000.4

000.4

2

000.4

RL

L

L

=+-=

-+´-=

-´+´-=

R - 166

R - 167

R - 168

R - 169

Aplicação

Em Resistências dos Materiais há um estudo sobre o deslocamento sofrido por uma figa sujeita a ação de uma força

e/ou uma carga distribuída. O quadro abaixo apresenta uma viga sujeita a diversas aplicações de carga, força e momento, em

cada caso há uma equação da linha elástica.

Usando os conceito de derivada determine a fecha máxima em cada uma das situações apresentadas.

EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA REPRESENTAÇÃO

( ) ( )22 4348

xLEI

Pxv x --=

20

Lx ££

Flecha máxima

( ) ( ) ( )

( ) ( )222\

22\

84348

848

4348

xxLEIP

v

xEI

PxxL

EIP

v

x

x

+--=

----=

( ) ( )222

6xbL

EILPbx

v x ---=

ax ££0

22



( ) ( )220 236

LLxxEIL

xMv x +--=

( ) ( )323 224

LLxxEI

wxv x +--=

Flecha máxima

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

064

06424

0

6424

43224

4324

224

323

323\

323\

23323\

2323\

Lx

LLxx

LLxxEIw

v

LLxxEIw

v

LxxLLxxEIw

v

LxxEI

wxLLxx

EIw

v

x

x

x

x

=

=+-

=+--Þ=

+--=

-++--=

--+--=

( ) ( )323 92416348

LLxxEI

wxv x +--=

20

Lx ££

( ) ( )3223 17248348

LxLLxxEI

wLv x -+--=

LxL

££2

( ) ( )42240 7103360

LxLxEIL

xwv x +--=

23



( ) ( )xLEI

Pxv x --= 3

6

2

( ) ÷øö

çèæ --= xL

EIPx

v x 23

6

2

2

0L

x ££

( ) ÷øö

çèæ --= Lx

EIPx

v x 21

324

2

LxL

££2

( ) ( )222

6424

LLxxEI

wxv x +--=

( ) EI

xMv x 2

20=

( ) ÷øö

çèæ +--= 22

2

23

224

LLxxEI

wxv x

20

Lx ££

( ) ÷øö

çèæ --=

24

192

3 Lx

EIwL

v x LxL

££2

24



( ) ( )32232

0 51010120

xLxxLLEIL

xwv x -+--=

ESBOÇO DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

Exercícios

Faça o esboço do gráfico das funções abaixo, usando derivada de primeira e segunda ordem.

E-170. ( ) 762 -+= xxf x

E-171. ( ) 762 --= xxf x

E-172. ( ) 182 2 -+= xxf x

E-173. ( ) 342 +-= xxf x

E-174. ( ) 762 -+-= xxf x

E-175. ( ) 762 ---= xxf x

E-176. ( ) 542 2 ++-= xxf x

E-177. ( ) 1122 -+-= xxf x

E-178. ( ) xxf x 33 -=

E-179. ( ) xxf x 123 +-=

E-180. ( ) xxf x 273 -=

E-181. ( ) xxf x 33 +-=

E-182. ( ) xxf x 63 -=

E-183. ( ) xxf x 93 +-=

E-184. ( )23 3xxf x -=

E-185. ( )23 6xxf x +=

E-186. ( )23 9xxf x --=

E-187. ( )23 12xxf x +-=

E-188. ( )23 32 xxf x -=

E-189. ( )23 122 xxf x --=

E-190. ( )23 124 xxf x +=

E-191. ( ) 12 24 +-= xxf x

E-192. ( ) 44 24 +-= xxf x

E-193. ( ) 168 24 +-= xxf x

E-194. ( ) 96 24 +-= xxf x

Movimento Retilíneo

Faça a descrição do movimento modelado pela função:

E-195. ( ) 92 -= tPt

E-196. ( ) ttPt 22 -=

E-197. ( ) 83 -= tPt

E-198. ( ) tPt

1=

E-199. ( ) 2

1t

Pt =

25



E-200. ( ) 2

1tt

Pt

-=

E-201. ( ) ttPt 62 3 -=

Exercícios

Os exercícios do E-184 ao E-190 devem ser resolvidos tendo segundo o enunciadoabaixo.

Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada, onde P centímetro é a

distância orientada da partícula a partir do ponto O (Origem) no tempo t segundos. Para cada função ache:

(a) a função velocidade instantânea.

(b) a velocidade instantânea no tempo dado.

(c) a função velocidade instantânea.

(d) a aceleração instantânea no tempo dado.

E-202. ( ) 13 2 += tPt em 3=t .

E-203. ( ) tPt 2

1= em 1=t .

E-204. ( ) 18 2 +-= tPt em 2=t .

E-205. ( ) 2

1t

Pt = em 1=t .

E-206. ( ) ttPt 42 3 -= em 3=t .

E-207. ( ) tt

Pt +-

=2

1 em 0=t .

E-208. ( ) tt

Pt +=

2

2

em 2=t .

Geometria Analítica – Reta Tangente e Reta Normal

Dada a função e um valor de x do domínio, determine uma equação da reta tangente e da reta normal.

E-209. ( ) 232 +-= xxf x em 4-=x

E-210. ( ) 232 +-= xxf x em 0=x

E-211. ( ) 232 +-= xxf x em 3=x

E-212. ( ) xxf x 72 2 +-= em 1-=x

E-213. ( ) xxf x 72 2 +-= em 1=x

E-214. ( ) xxf x 23 += em 2=x

E-215. ( ) xxf x 23 += em 0=x

E-216. ( ) 12

-+

=xx

f x em 2=x

E-217. ( ) 12

-+

=xx

f x em 3-=x

E-218. ( ) xxf x 42 -= em 2=x

Bibliografia

HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. Tradução Joaquim Pinheiro Nunes. Revisão técnica Wilson

Carlos da Silva. São Paulo: Prentice Hall, 2004. 670p.

LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica. Tradução Cyro de Carvalho Patarra. Revisão técnica

Wilson Castro Ferreira Junior e Silvio Pregnolatto. 3. ed. São Paulo: Ed. Harbra, 1994. v.1. 685p.

TAN, S.T. Matemática aplicada á administração e economia. 5.ed. americana Trad. Edson de Faria. São

Paulo: Pioneira Thompon Learning, 2003. 638p.

26


apostila - clculo i - derivada - 2011-1

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