apostila cálculo 1

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1SERVIOPBLICOFEDERALINSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO TCNICA, TECNOLGICASUL-RIO-GRANDENSECOORDENADORIADE CINCIAS DA NATUREZA, MATEMTICAE SUAS TECNOLOGIASCLCULOIENGENHARIA ELTRICAPROF.: JAIR VIGNOLLE DA SILVAPROF.: ODAIRA.NOSKOSKI2 SERVIOPBLICOFEDERALINSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO TCNICA, TECNOLGICAUNIDADE I: CONJUNTOSO estudo do clculo baseia-se em propriedades estruturais do conjunto dos nmerosreais(IR). Existe uma correspondncia biunvoca do conjunto dos nmeros reais e os pontosde uma reta real. Com isto, comeamos assim a visualizao do processo algbrico,consequentemente, vislumbrando o entendimento e a aplicabilidade do clculo. A reta construda de tal maneira que podemos localizar os pontos nela, portanto comeamoslocalizando sua origem(denotado pelo nmero zero) e definindo uma unidade. Da podemoslocalizar qualquer nmero real, como por exemplo:Uma unidade -3-2-10 12 34eixo real OrigemDo lado esquerdo se encontram os negativos e do lado direito os positivos.Dados a,b e IR, chamamos de tricotomia ao fato de que apenas uma das alternativaspode ocorrer: ou a=b, ou a>b, ou ab,entoa+c>b+ciii) sea>bec>0 (positivo),entoa.c > b.civ) sea>bec a } a + ] , b [{ xeIR /x < b }b ] , b ]{ xeIR /x s b }b ] , + [IR+INEQUAESResoluo de inequaes simples.Exemplo 1:Sendo U=IR, determine o conjunto verdade da inequao0 4 x 2 > .Exemplo 2:D o conjunto verdade em IR da inequao composta4 x 10 6 x 3 x 3 < s .Exemplo 3:Reso1va em IR a inequao( )( ) 0 x 2 3 2 x s .Exerccios:Sendo U=IR, determine o conjunto verdade da inequao:1)0 6 x 3 > R.:{ } 2 x / IR x V > e =2)0 4 x 2 > + R.:{ } 2 x / IR x V s e =3)4 x 10 6 x 3 x 3 < s R.: )`> e =49x / IR x V4)( )( ) 0 1 x 2 x < + R.:{ } 2 x 1 / IR x V < < e =5)2x 3x 5 >R.:{ } 0 x ou 1 x / IR x V > s e =6) ( )( )04 x 1 x5>+ +R.:{ } 1 x ou 4 x / IR x V > < e =7)3x 31 x 20 s< R.: )`s < e = 2 x21/ IR x V4MDULO OU VALOR ABSOLUTOO valor absolutoade um nmero reala definido por:< >=0 a se , a0 a se , aaEm outras palavras, se a a coordenada de um ponto A de uma reta, entoa aquantidade de unidades que esse ponto se encontra afastado da origem O.Exemplos:3 a =3 3 a = =5 a =( ) 5 5 5 a = = =Propriedades:i)IR a , a a e =ii)IR a , a a a e s s iii)IR a , , a , a , a a a a a an 2 1 n 2 1 n 2 1e + + + s + + + iv)IR b , a , b a b a b a e + s s v)IR a , , a , a , a a a a a an 2 1 n 2 1 n 2 1e = vi). 0 b com , IR b , a ,baba= e =Resoluo de equaes e inequaes com mdulo.Exemplo 1:Resolver a equao2 1 x x 2 x = + .Exemplo 2:Resolver a inequao7 3 x < .Exerccios:1)Resolver, em IR, as seguintes equaes:a)10 5 x = b)27 x 7 x x = c)0 1 x x = + d)0 10 x 3 x2= 2) Resolva as seguintes inequaes, sendoIR U = :a)0x1x < + b)6 x 2 x > + c)1 1 x 0 < e = c){ } { } 1 x e 2 x 0 / IR x 2 x 1 ou 1 x 0 / IR x V = < < e = < < < < e =5UNIDADE II: FUNESDefinio:Dados dois conjuntos A e B, dizemos que existe uma funo de A em B se para todoelemento xeA corresponda um nico yeB.Notao;f: A B A f Bxy = f(x)x y = f(x) xeAVarivel independente yeBVarivel dependenteDf = A (domnio) formado pelos possveis valores de x( Conjunto de partida).CDf = B ( Contra-domnio) (Conj.dechegada)Imf c B formado pelos valores de y eB.Classificao:1-Funo polinomial:Funo do 1o grau toda funo do tipob ax y xIR IR : f+ =, sendo a,b e IR.Se a=0, ento y=bFuno constanteSe b=0, ento y=axFuno linearSe a=1 e b=0, ento y=xFuno identidadeO grfico representado por uma reta. Y Se y=0a.x+b=0 a.x= bx= b/ab ( ) 0 , a / b Se x=0y=b ( ) b , 0 b/aXOBSERVAES:i)Coeficiente angular:Da equao y=ax+b que define a funo do 1o grau, isolando a temos:xb ya= ou de outra forma 1 21 2x xy ya= quando se conhece dois pontos da reta- a denominado coeficiente angular.Tambm podemos definir a como sendo a tangente do ngulo o que o grfico dareta da funo y=f(x) faz com o eixo xx. Ou seja: a=tan(o).ii)Coeficiente linear:De outro modo, daequao y=ax+b, isolando b temos:b=y-ax b denominado coeficiente linear.6Funo quadrtica ou do 2o grau toda funo do tipo c bx ax yIRxIR f+ + =2:, coma, b, c e IRea = 0.Observaes:O grfico representado por uma parbola com eixo de simetria paralelo ao eixo y.A parbola ser voltada para baixo se a < 0. A parbola ser voltada para cima se a > 0.Funes polinomiais de grau n:Chama-se funo polinomial de grau n toda funo de IR em IR definida porf(x)=an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 , onde an e IR* e an-1 , ..., a1 , a0 e IR.2-Funo racional:Uma funo racional o quociente de duas funes polinomiais, ou seja:) () () (21x px px f = , onde) (1x pe) (2x pso funes polinomiais e) (2x p =0.Como) (2x p =0, da temos uma restrio para o domnio dessa funo.Exemplo:Determine o domnio e faa o grfico da funo 12=xy .3-Funo algbrica ou irracional:Funo algbrica toda funo que expressa em termos de somas, diferenas,produtos, quocientes ou potncias racionais de polinmios.Exemplo:2x 411 x x f + = ) (4-Funo e transcendental:As funes que no so algbricas, so transcendentais.Por exemplo: As que envolvam as funes trigonomtricas, as exponenciais oulogartmicas.5-Funo exponencial: toda funo do tipo xa yIRxIR f=+*:, com a>0 e a=1.Observaes:-achama-se base-xexpoente76-Funo logartmica: toda funo do tipo ax yIRxIRflog:*=+ ,com a>0 e a=1.Observaes:- a a base do logaritmo- xchama-se logaritmando-y o logaritmo de x na base a-Se a=10o logaritmo chama-se decimal. notao: y = log (x)-Sea = e ~ 2,718281o logaritmo chama-se neperiano ou logaritmo naturalnotao:y=ln (x)Condies de existncia:1o ) O logaritmando tem que ser positivo ( x > 0 )2o ) A base tem que ser positiva e diferente de 1 ( a > 0ea = 1 )Funes especiais:7-Funo definida por vrias sentenas:Uma funo f pode ser definida por uma lei formado por mais de uma sentena: numsubconjunto D1 do domnio, ela dada por uma certa lei; noutro subconjunto D2, ela dadapor outra lei, e assim por diante.Exemplo:A funo f : IR IR definida por:> + =s + =1 x se , 5 x ) x ( f1 x se , 2 x ) x ( f definida por duas sentenas. Indicamos tambm: > + s +=1 x se , 5 x1 x se , 2 x) x ( fConsiderando a funo acima, faa o grfico e determine o conjunto imagem.Funo modular toda funo do tipo x yIRxIR : f=+yDe outra forma > >= =0 x se , x0 x se , xx yGrfico:xFuno maior inteiro:Dado xeIR, definimos a operao [[x]]=n, onde n o maior inteiro tal que nsx.Exemplos:a)[[2,3]]=2b)[[0,6]]=0c)[[-7/2]]=-4 d) [[ 7 ]]=28Definio:Deste modo a funo maior inteiro f definido como f(x)=[[x]].Grfico da funo maior inteiro.Funo composta:Seja as funes f, de A em B, e g, de B em C. Funo composta de g e f ( notao:gof) a funo da A em C definida por :(gof)(x)=g(f(x))Exemplo:Dadas as funes f(x)=x+1 e g(x)=x21, de IR em IR. Determinar as sentenas que definemas funes fog e gof.EXERCCIOS1)Determine o conjunto domnio, o conjunto imagem e faa o grfico das seguintes funesno mesmo sistema cartesiano:a)f(x)=3x+2eg(x)=x+2b)f(x)=-2x+3eg(x)=-2x-12)Considere f(x)=-2x+5.a)Determine Df.b)Existe xeIR, tal que f(x)=0?c)Existe xeIR, tal que f(x)=21 ?d)Determine Imf.e)Faa o grfico.3)Considere a funo f(x)=-2x+2, f:AIR, sendo A={xeIR/0sxs2}.a)Determine Df e Imf. b)Calcule f(0).c)Determine xeIR tal que f(x)=0.d)Faa o grfico.e)A funo tem um valor mnimo absoluto? Qual esse valor?f)A funo tem um valor mximo absoluto? Qual esse ponto?4)Considere a funo f(x)=-x2+2x-3.a)Determine Df.b)Existe xeIR, tal que f(x)=0?c)Resolva:i)f(x)=-2 ii)f(x)=-1 d)Existe xeDf, tal que sua imagem 1?e)Determine Imf.5)Esboce o grfico e determine Imf das funes:a)f(x)=2x2-3x-5 b)f(x)=2x2+x-6c)f(x)=x2-20x+102d)f(x)=-x2+25e)f(x)=x2+4x96)Das seguintes funes, determine:a) os zeros; b) estudo do sinal;c) esboo do grficoi)y=x4-4x2-5 ii)y=x3-8 iii)y=x3-x2+3x iv)y=x5-x v)y=x4-x2-27)Determine o domnio e faa o grfico das seguintes funes:a)xx f1) ( = b)23) (=xx f8)Encontre o conjunto domnio de y=f(x) de modo que exista a funo:a) y = log (x+1) b) ) 2 () 2 ( log =xx yc) ) 1 (2) 9 ( log =xx y d)( ) 2 log22 = x x y9) Encontre o conjunto domnio e o conjunto imagem da f(x)=y de modo que exista afuno e esboce o grfico:a) y = log (x+1) b)( ) 2 log22 = x x y c)( ) x y 2 2 ln =d) 3 2 =xy e) xy|.|

\|=31 f)12 +=xy g)1 =xe y10)Faa o grfico e determine o domnio das funes:a)>s =1 x se , x1 x se , 1 x 2) x ( f2b) > s =1 x se , x1 x se , 1 x) x ( f2c) > < < s +=4 x se , 2 x4 x 0 se 20 x se , 2 x) x ( fd)> < s < =1 x se ,x11 x 0 se , x 30 x se , 2) x ( f11)Encontre as razes e esboce o grfico das seguintes funes:a) 4 2 = x yb) 42 =x y c) 3 22+ = x x yd) 4 42 + = x x y e) 22+ = x x y12)Obter as sentenas das funes fog, gof, gog e fof e o domnio de cada sentena, nosseguintes casos:a)f(x)=2xeg(x)=4 xb)f(x)=x2eg(x)=x-1 c)f(x)=x-1eg(x)=1 x1+1013)Esboce o grfico das seguintes funes e encontre o domnio e a imagem de cada uma.a) 1 ) (2+ = x x f b)> < < =1 , 21 0 , 1) (x se xx se xx f c) | | | | 2 ) ( + = x x fd)24) (2=xxx f e) x x f 4 ) ( =f) 5 ) (2 =x x fg)xxx f = ) (h) x x x f = ) (14)Resolva os problemas:a)Do dcimo sexto andar de um edifcio, a 50 metros do cho, caiu um vaso. Em cadamomento da queda, a distncia do vaso em relao ao solo dada pela frmula d=50-5t2, dem metros e t em segundos.Quantos segundos o vaso demora para atingir o solo?b)Um restaurante aumenta seus preos em 10% para cobrir despesas de servios. Chame dep os preos do cardpio e de y os preos com acrscimos.i)D a lei que permite calcular y em funo de p.ii)Represente graficamente essa funo para 5sps500.iii)Um cliente pagou R$ 120,00 de conta. Qual era o preo sem acrscimo?c)Uma grfica cobra R$ 0,10 para copiar cada pgina, caso o nmero de cpias seja inferiorou igual a 50. Se o nmero de pginas for superior a 50, o custo de cpias por pginaadicional passa a ser R$ 0,08. Esboce o grfico do custo total ( C ) para copiar x pginas.d)Mostre que f funo do 1o grau, mostre o grfico das duas funes( esta e asimplificada) e saliente a diferena, se houver.:i)( ) ( )( ) 12 3 6 ) (2 = x x x x fii) 3 32 2) (23++=xx xx fe)Seja a funo f, de