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Fundação Universidade Federal do Rio Grande Colégio Técnico Industrial - Professor Mário Alquati Curso de Projetos e Instalações Elétricas Prof. Osvaldo Casares Pinto Rio Grande, 2005.

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Page 1: Apostila CA 230505

Fundação Universidade Federal do Rio Grande Colégio Técnico Industrial - Professor Mário Alquati

Curso de Projetos e Instalações Elétricas Prof. Osvaldo Casares Pinto

Rio Grande, 2005.

Page 2: Apostila CA 230505

1

COLÉGIO TÉCNICO INDUSTRIAL – FURG Curso de Projetos Elétricos – Prof. Osvaldo Casares Pinto

INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

Com a descoberta de Oersted em 1820 (Hans Christian Oersted, Dinamarquês, 1777-1851) dos efeitos magnéticos da corrente elétrica, e a lei de Ampère (André Marie Ampère, Francês, 1775-1836) aprendeu-se que uma corrente elétrica origina um campo magnético. Em 1831, Faraday (Michael Faraday, Inglês, 1791–1867) descobriu o inverso. Isto é, um campo magnético pode criar uma corrente elétrica. Isso é possível através do surgimento de uma força eletromotriz (fem) induzida.

Experiência de Faraday:

Em seu trabalho, Faraday realizou duas experiências simples:

1a) Colocando-se um ímã fixo nas proximidades de uma espira nenhuma corrente foi detectada pelo galvanômetro acoplado a mesma. Observou-se ainda que movimentando o ímã em relação à espira houve deflexão no galvanômetro indicando presença de corrente, cujo sentido inverte-se com a inversão do sentido do movimento.

2a) Estando duas espiras independentes próximas, uma delas acoplada a uma pilha e com um interruptor no circuito, e a outra acoplada a um galvanômetro, só houve deflexão no mesmo durante os instantes de abertura e fechamento do interruptor.

Conclusão: Somente quando há variação de fluxo no interior da espira é induzida uma força eletromotriz (fem) responsável pelo aparecimento de corrente. Lei de Faraday (da indução)

“A fem induzida em um circuito é diretamente proporcional à taxa de variação do fluxo magnético concatenado a este (que o atravessa) com o tempo”.

dtdφε = ε - módulo da fem induzida instantânea em volts [V]

dtdφ - taxa de variação do fluxo magnético com o tempo (Wb/s)

t∆φ∆

=ε −ε módulo da fem induzida média em volts

t∆

∆φ - variação média do fluxo magnético com o tempo (Wb/s)

Lei de Lenz

A relação entre o sentido da corrente elétrica induzida em um circuito fechado e o campo magnético variável que a induz foi estabelecida pelo físico russo Heinrich Lenz (1804-1865) em 1834. Ele observou que "a corrente elétrica induzida sempre produz efeitos opostos a causa da indução”. Mais especificamente, Lenz estabeleceu que o sentido da corrente elétrica induzida é tal que o campo magnético criado por ela opõe-se à variação do campo magnético que a produziu. Em outras palavras, para gerar uma corrente induzida, é necessário gastar energia. Uma forma simples e geral de enunciar a Lei de Lenz é: “A fem induzida tem sempre um sentido tal que provoque uma corrente que se oponha a ao fenômeno que a produziu.” A lei de Lenz pode ser acoplada a de Faraday por meio de um sinal negativo:

dtdφε −= ou

t∆∆

−=φε

±

S

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2

Observação: A lei de Lenz é conseqüência do princípio da conservação de energia. Caso ocorresse o contrário, um fluxo reforçaria o outro, aumentando a corrente indefinidamente.

A figura seguinte ilustra uma aplicação da lei de Lenz.

Fem de Movimento:

Um condutor em movimento cortando as linhas de força de um campo magnético também terá uma fem induzida, conhecida como “fem de movimento”.

Vamos examinar essa questão a partir do problema esquematizado na figura ao lado. Nesta região do espaço existe um campo magnético, B, com o sentido indicado (para dentro da folha). Uma placa metálica é deslocada, por um agente externo qualquer (não importa qual), com velocidade uniforme, v, perpendicularmente a B. Os elétrons livres da placa estarão submetidos a uma força magnética com intensidade dada por

F = qvB

cujo sentido aponta para baixo (regra da palma da mão direita). Logo haverá um excesso de carga negativa na parte inferior da placa e uma quantidade igual de carga positiva na parte superior (diferença de potencial), produzindo uma fem. Diz-se que essa fem foi induzida pelo movimento das cargas. Vejamos quanto vale essa fem.

W = Fh é o trabalho necessário para transportar uma carga de uma extremidade à outra da placa. Como a fem é dada por

ε = W/q segue-se que ε = vBh. Conclui-se que um condutor de comprimento deslocando-se perpendicularmente a um campo uniforme B terá induzida uma fem dada por ε = B v

Analisemos o mesmo problema de outra forma. Vamos imaginar que a placa metálica desliza sobre um trilho metálico, conforme ilustra a figura ao lado. Quando a placa é deslocada, a área hachuriada varia, variando o fluxo de B, φB = BS, S = hx, através dela. A variação do fluxo em relação ao tempo t resulta em

Logo, a variação temporal do fluxo magnético é numericamente igual à força eletromotriz

induzida pelo movimento, isto é,

Como a carga positiva acumula-se na parte superior, a corrente resultante da fem induzida tem

o sentido indicado na figura, o que também pode ser concluído aplicando-se a Lei de Lenz, isto é, como o fluxo magnético está crescendo, a corrente induzida terá o sentido anti-horário para criar um campo magnético contrário ao campo B e opor-se à variação do fluxo magnético.

S N S

I

S N S

I

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3

Caso a placa fosse deslocada para a esquerda, o sentido da corrente seria o oposto do representado, pois o fluxo magnético estaria decrescendo, de modo que a corrente no sentido horário produziria um campo magnético no mesmo sentido do campo aplicado, de modo a opor-se à diminuição do seu fluxo.

Espira Sofrendo Translação

Considere agora uma espira retangular deslocando-se na horizontal com velocidade constante v (em MRU) para fora de uma região onde há um campo magnético uniforme vertical B entrando no plano (figura ao lado).

Quando a espira é deslocada, a área cortada pelo fluxo magnético varia, variando o fluxo, φ = BS, S = x, através dela. Da mesma forma que no caso analisado anteriormente, a variação do fluxo em relação ao tempo resulta na indução de uma fem dada por: ε = B v.

Observe que a expressão é idêntica a obtida para um condutor de comprimento deslocando-se perpendicularmente a um campo uniforme B, isto é, somente é induzida fem no lado da espira que se move cortando as linhas de B.

Como conseqüência desta fem, surgirá uma corrente na espira com intensidade dada pela Lei de Ohm, i = ε/R, no sentido anti-horário (Lei de Lenz), e uma força que se opõe ao movimento da mesma, com intensidade F = i B.

Logo, a potência dissipada pelo agente externo, P = Fv, será dada por: RvlBP 222= , igual a potência elétrica dissipada por efeito Joule, 2iRP = , evidenciando o processo de transformação de energia mecânica em elétrica e, finalmente, em térmica. Correntes de Foucault

As correntes fechadas induzida em condutores sólidos (ou extensos, de grandes áreas) submetidos a uma variação de fluxo magnético são chamadas de corrente de Foucault ou correntes parasitas. Em geral, estas correntes são indesejáveis, pois causam aquecimento e aumento de perdas (conhecidas como perdas no núcleo ou no ferro, da mesma forma que as perdas por histerese), diminuindo o rendimento dos equipamentos.

Os núcleos de motores, geradores e transformadores quase sempre são compostos de laminas isoladas eletricamente entre si, dispostas paralelamente ao sentido do fluxo magnético, no lugar de blocos maciços. Deste modo, há uma redução na área que as correntes de Foucault tem para se desenvolver, minimizando seus efeitos.

Porém, em algumas situações pode-se tirar proveito deste fenômeno, pois estas correntes produzem forças que se opõem ao movimento (Lei de Lenz), tendendo a amortecê-lo. Seguem alguns exemplos: 1. Em alguns instrumentos de medição o sistema de amortecimento utiliza este processo para evitar choques do ponteiro com o final da escala. 2. Os medidores de energia utilizam este princípio para frear a rotação do disco (freio eletromagnético). 3. Máquinas para separar materiais metálicos não-ferrosos de materiais não-metálicos, por indução magnética de correntes parasitas (de Foucault) sobre os materiais metálicos. 4. Em diversas aplicações, são necessárias velocidades intermediárias nos acionamentos industriais, seja para ajuste de posições, seja para aceleração/desaceleração suaves. Os freios eletromagnéticos (dinâmicos), acoplados diretamente a motores com rotor bobinado, reduzem a velocidade quase que independentemente da carga por ação de correntes de Foucault. Levam vantagem sobre de freios mecânicos por não envolver atrito entre componentes.

v →

x

B

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4

Auto-Indução

Chama-se de auto-indução ao fenômeno relacionado a indução de fem em um circuito devido a uma variação de fluxo magnético produzida pelo próprio circuito.

Uma corrente elétrica percorrendo uma bobina origina um fluxo magnético. Quando varia a corrente nas espiras, de acordo com a lei de Faraday, induz-se o surgimento de uma fem na bobina, com intensidade diretamente proporcional a variação da corrente com o tempo. Como se trata de uma fem induzida por uma corrente na própria bobina, diz-se que esta fem é auto-induzida. Portanto, tem-se uma auto-indução, que deve satisfazer às seguintes relações

dtdiL−=Lε e

dtdN φ

−=Lε

onde εL é a fem de auto-indução, e L é definido como o Coeficiente de Auto-Indução ou Indutância, cuja unidade no S.I. é chamada de Henry e representado pela letra H. Igualando-se as duas últimas expressões, obtém-se

iddNL φ

=

Caso as espiras encontrem-se fortemente acopladas e na ausência de material magnético nas vizinhanças, pode-se calcular L por:

iNL φ

=

O coeficiente de auto-indução depende das características da bobina e é constante para uma dada bobina. No caso de um solenóide ideal, pode-se mostrar que:

lSN

L2

0µ= ou ainda, SlnL 2

0µ=

Nos circuitos de C.A., todo elemento que possui bobinas tem características indutivas, além da resistiva, correspondente a resistência do fio. Assim, uma bobina é representada por um circuito R-L. Observação: já foi visto que o capacitor é um dispositivo apropriado para gerar um campo elétrico e que uma corrente elétrica circulando numa bobina cria um campo magnético. Este dispositivo está para o magnetismo assim como o capacitor está para a eletricidade. Há uma completa analogia entre os dois dispositivos. Indução Mútua

Chama-se de indução mútua ao fenômeno relacionado a indução de fem em um circuito devido a uma variação do fluxo concatenado a ele porém produzido por outro circuito, e vice-versa.

Considere duas bobinas próximas. A bobina 1 será chamada de indutora (primária) enquanto que a bobina 2 será chamada de induzida (secundária). Se houver variação da corrente elétrica na bobina 1, i1, haverá a variação do fluxo magnético produzido por ela no interior da bobina 2, φ21, com o conseqüente aparecimento de uma fem induzida nesta, diretamente proporcional a variação da corrente, dada por

dtdi

M 1212ε −=

onde M21 é o coeficiente de indução mútua da bobina 2 em relação a bobina 1, cuja unidade no S.I. é a mesma da indutância, isto é, Henry. Esta fem também pode ser calculada pela Lei de Faraday,

dtd

N 2122ε

φ−=

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5

Igualando-se estas duas últimas expressões, obtém-se 1

21221 id

dNM φ=

De maneira análoga, uma variação da corrente na bobina 2 causará o aparecimento de uma fem

induzida na bobina 1, dtdiM 2

121ε −= , onde M12 é o coeficiente de indução mútua da bobina 1 em

relação a bobina 2, dado por2

12112 id

dNM φ= .

O cálculo de M depende da geometria do sistema. Quando todo o fluxo de uma das bobinas atravessa a outra, as espiras encontrem-se fortemente acopladas e, na ausência de material magnético, pode-se calcular M por:

p

sps i

NMφ

=

onde utilizou-se os sub-índices s e p para indicar as bobinas secundária e primária, respectivamente. Considerando-se o caso de solenóides ideais, pode-se mostrar que:

p

spssp l

SNNM 0µ

= ou sspssp lSnnM 0µ=

Observe que o coeficiente de indução mútua, da mesma forma que o de auto indução, depende da geometria do sistema. Princípio de Funcionamento de um Transformador

O transformador é um equipamento que, basicamente, se constitui de duas bobinas montadas sobre um mesmo núcleo ferromagnético. Numa bobina, chamada primário, circula uma corrente elétrica variável i, capaz de provocar, no seu interior, uma indução magnética B, também variável e, a partir desta (ampliada e canalizada em grande parte pela substância ferromagnética, também denominada armadura), induzir numa segunda bobina, chamada secundário, uma fem.

Sejam φ1 e φ2, respectivamente, os fluxos no interior das bobinas 1 e 2. Cada um terá componentes produzidas pela própria bobina e pela outra, isto é, 12111 φφφ += e 22212 φφφ += . A fem induzida em cada bobina será, segundo a Lei de Faraday,

tN

∆∆

−= 222ε

φ e t

N∆

∆−= 1

11εφ

Desenvolvendo, obtém-se:

tiM

tiL

ti

iN

ti

iN

tN

tN

∆∆

−∆∆

−=∆∆

∆∆

−∆∆

∆∆

−=∆

∆−

∆∆

−= 212

11

2

2

121

1

1

111

121

1111ε

φφφφ

ti

Lti

Mti

iN

ti

iN

tN

tN

∆∆

−∆∆

−=∆∆

∆∆

−∆∆

∆∆

−=∆

∆−

∆∆

−= 22

121

2

2

222

1

1

212

222

2122ε

φφφφ

Observe que parte da fem induzida em cada bobina é por auto-indução e parte por indução mútua. Para um núcleo toroidal, com as bobinas fortemente acopladas, sem dispersão, o fluxo no interior de cada uma é igual. Admitindo ainda comprimentos e áreas iguais, resulta em:

SlnL 211 µ= , SlnL 2

22 µ= e SlnnMM 212112 µ==

Observe que 212112 LLMM == , que substituída nas expressões que dão a fem induzida em

cada bobina resulta em: 2

1

2

1

NN

εε

=

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6

que é chamada de relação de transformação do transformador. Desprezando-se as perdas, a potência no primário e secundário é igual (transformador ideal), isto é, 2211 IεIε = e, finalmente,

1

2

2

1

2

1

II

NN

εε

==

Observe que na prática sempre há perdas, e a relação acima não é exata. Mas o transformador é uma das máquinas elétricas que tem melhor rendimento, de modo que a relação, mesmo desenvolvida para um transformador ideal, fornece resultados muito próximos do real. Princípio de Funcionamento de um Alternador - Espira Sofrendo Rotação

O gerador de corrente alternada, geralmente chamado de alternador, é uma aplicação da indução eletromagnética. Por meio desse dispositivo, consegue-se converter energia mecânica em energia elétrica. Para entender como funciona um gerador de corrente alternada, vamos supor que ele seja constituído de uma espira (na verdade tem-se um conjunto de bobinas) girando numa região onde existe um campo magnético produzido por um par de pólos (na realidade podem ser vários pares). Enquanto a espira gira, podemos perceber que há uma variação do fluxo magnético através dela. Isto ocorre porque a inclinação da espira, em relação ao campo magnético, está variando continuamente. Então uma força eletromotriz é induzida na espira, gerando uma corrente. Durante uma meia-volta da espira, o fluxo magnético através dela está aumentando e, ao efetuar a meia-volta seguinte, o fluxo está diminuindo. Por esse motivo, a corrente induzida aparecerá, no circuito, ora em um sentido, ora em sentido contrário. Em outras palavras, a espira girando dentro de um campo magnético gera uma fem alternada, que pode produzir corrente alternada. Os grandes geradores de corrente alternada, encontrados nas usinas hidrelétricas, funcionam de maneira semelhante à que acabamos de descrever. A energia de uma queda d'água é usada para colocar em rotação estes geradores, transformando, então, grandes quantidades de energia mecânica em energia elétrica. Nos dínamos de bicicletas, as pernas do ciclista fazem girar um imã permanente dentro de uma bobina. A variação do campo magnético à volta do imã giratório induz na bobina uma corrente elétrica, suficiente para acender as lâmpadas dos faróis. O processo de geração de corrente alternada é explicado abaixo. Considere a hipótese de uma bobina de N espiras de área S (m2), girando a uma velocidade angular constante ω (rad/s), imersa num campo magnético uniforme cuja indução vale B (T). Observe que girar o campo mantendo a bobina fixa produz o mesmo efeito.

O ângulo formado entre a normal ao plano da espira e o campo será dado por α = ω.t, de modo que o fluxo magnético através da mesma será φ = B.S.cosα = B.S.cos(ω.t). Aplicando-se a Lei de

Faraday, dtdN φ

−=ε , como tdt

td ωωω sen)(cos−= (cálculo de derivadas, encontrado em tabelas

matemáticas), vem que a fem induzida na bobina será dada por )sen(ε tNBS ωω= .

O valor máximo da fem induzida ocorre quando cos(ω.t) = 1, isto é, εmax = NBSω, e

)sen(maxεε tω= . A curva ao lado mostra um exemplo de representação gráfica da fem induzida ao longo do tempo, uma onda senoidal.

N S

ω

B

N

B

S

α ω

b

S = a.b

a

Page 8: Apostila CA 230505

7

Na realidade a forma da onda depende da distribuição do fluxo magnético, que por sua vez depende da forma da sapata polar. Em geral a forma de uma onda não é absolutamente senoidal, mas como a fem resultante na saída de um alternador é obtida a partir da soma das contribuições de várias bobinas, o resultado é uma onda praticamente senoidal. Este é o tipo de onda utilizado usualmente em corrente alternada.

Outras formas de onda podem ser utilizadas com finalidades específicas, principalmente em aplicações eletrônicas, como os exemplos mostrados abaixo. Características importantes de uma onda (função) periódica Freqüência (f) – corresponde ao número de ciclos que a onda completa na unidade de tempo (Hz =

Hertz = ciclo/s = s-1). π

ω2

=f

Observe que a freqüência elétrica pode ser diferente da freqüência mecânica (número de voltas completadas na unidade de tempo, rotações por segundo, rps), pois aquela depende do número de pólos do alternador (° elétrico = p/2.° mecânico, onde p é o número de pólos). A freqüência elétrica é igual ao número de vezes que cada condutor passa sob um pólo de mesmo nome na unidade de tempo.

Período (T) – corresponde ao tempo (s) que a onda leva para executar um ciclo completo. É igual ao inverso da

freqüência. ωπ21

==f

T

Valor de pico ou máximo (Vmáx ou simplesmente Vm)– corresponde ao máximo valor atingido pela onda ao longo do período, como mostra a figura ao lado. Valor instantâneo (v)– corresponde ao valor atingido pela onda em um determinado instante, isto é, em um tempo dado.

Uma onda pode ser representada matematicamente como uma função do tempo por uma expressão do tipo:

v(t) = Vm.sen(ωt) Valor Eficaz (V) - matematicamente, o valor eficaz ou valor médio quadrático (do termo em inglês rms, root mean square) de uma grandeza periódica é igual a raiz quadrada da média dos valores elevados ao quadrado em um período. Fisicamente, o valor eficaz de uma grandeza alternada corresponde ao valor constante da grandeza que produz o mesmo efeito. O valor eficaz de uma corrente alternada, por exemplo, corresponde ao valor de uma corrente constante que, percorrendo uma dada resistência, faria com que esta dissipasse a mesma quantidade de potência que esta corrente alternada. As indicações de tensões e correntes através de instrumentos de medição, bem como aquelas indicadas em placas e na especificação de máquinas e equipamentos, correspondem aos seus valores eficazes.

Onda Triangular Onda

Retangular

v [V]

t [s]

Vmáx

– Vmáx T

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Para a onda senoidal v(t) = Vm.sen(ωt), o valor eficaz corresponde a:

( )

2V

T/2

(t)t.V m

2/

0t =∆

=∑

=

ωπ

v≅ 0,707.Vm

Valor Médio - O valor médio de uma grandeza periódica corresponde a média dos valores em um período. O valor médio de uma tensão ou corrente senoidal é calculado apenas para um semiciclo pois tomando-se o ciclo inteiro este seria nulo (parcela positiva é igual à negativa). O cálculo é feito dividindo a área do semiciclo positivo pelo semi-período.

T/2

t .(t)V

/

0tméd

∆=

∑=

ωπ

v=

π2 Vm ≅ 0,637. Vm

Fator de Forma (k)– É definido como a razão entre os valores eficaz e

médio. Para uma onda senoidal: 1,11122

≅=πk .

Exemplo: Determine a freqüência e o período do sinal de corrente alternada apresentado graficamente na figura ao lado, bem como sua representação matemática. Calcule também o valor instantâneo da corrente nos instantes t = 0 s; 5ms; 10ms, 12ms, 15ms, bem como os valores médio, eficaz e o fator de forma. Fase Inicial ou ângulo de fase (θo) – ocorre quando uma onda senoidal não inicia no instante t = 0 s. Sinal Adiantado – Inicia antes do instante t = 0s, θ0 é positivo. Atinge o valor máximo antes. v(t) = Vmáx.sen(ωt + θ0) Sinal Atrasado – Inicia depois do instante t = 0s, θ0 é negativo. Atinge o valor máximo depois. v(t) = Vmáx.sen(ωt – θ0) Exercícios: 1) Represente graficamente a tensão cuja representação matemática é v(t) = 28,28.sen(377t – 30o) V. Calcule seus valores médio e eficaz. (18V; 20V)

2) Determine a representação matemática de um sinal senoidal de corrente cujo valor eficaz é de 120mA, a freqüência é de 50Hz e tem ângulo de fase de 20o

. Represente-a graficamente. (i(t) = 169,71.sen(314,16t + 20o)mA)

3) Calcule os valores eficaz e médio para uma tensão representada por v(t) = 353,5.cos(157t). Qual o ângulo de fase desta tensão? (250V; 225V; 90o)

v [V]

ωt [rad]

θo

(+)

θo

( )

Sinal Atrasado

Sinal Adiantado

t [s]

3

–3

0,04

i [mA]

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9

Resistor

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 1 2 3 4 5 6

v(t)i(t)p(t)

Circuito Puramente Resistivo Em um circuito puramente resistivo, alimentado com uma tensão alternada, a tensão e a corrente estão em fase, isto é, tem o mesmo ângulo de fase. Admitindo-se que a tensão e corrente sobre o resistor são, respectivamente, )sen()( tVtv m ω= e )sen()( tIti m ω= , sendo a relação entre elas dada pela lei de Ohm, temos R = v(t)/i(t), logo R =Vm/Im ou R =V/I. Observe que preferencialmente usamos valores eficazes para I e V, mas poderiam ser valores máximos.

A potência instantânea é dada pelo produto da corrente pela tensão, isto é,

))2cos(1(21)(sen)sen().sen()().()( 2 tIVtIVtItVtitvtp mmmmmm ωωωω −==== .

Observe que o período da potência p(t) é igual a metade do período da tensão e da corrente. A potência máxima é mmm IVP .= e a média, como o valor médio de )(sen 2 tω é 1/2, vale

RVRIIVIVP mm /.2. 22 ==== . Esta potência também é chamada de útil, real, eficaz ou efetiva, e é característica dos circuitos resistivos e representa a parcela da energia que será transformada em calor (efeito Joule), luz ou trabalho mecânico.

Circuito Puramente Capacitivo O capacitor é um dispositivo usado para armazenar energia elétrica na forma de campo elétrico. Basicamente, é constituído de duas placas metálicas planas e paralelas. Ao ser ligado a uma tensão, o capacitor ficará carregado com a mesma tensão da fonte, armazenando uma carga Q cujo valor é função da tensão aplicada e de uma característica do capacitor chamada de capacitância (C = dQ/dv). Quando ligamos um capacitor em um circuito CC, inicialmente a corrente é máxima com tensão nula no capacitor, isto é, existe uma defasagem entre a corrente e a tensão. Se um capacitor ideal (sem resistência interna) for ligado à uma tensão alternada senoidal, a corrente estará 90º adiantada em relação à tensão. Portanto, num circuito puramente capacitivo a tensão está atrasada de 90° em relação a corrente. Sendo a corrente em um determinado momento i(t) igual a variação instantânea da carga elétrica com o tempo, dtdQi = , vem dtdvCi .= . Portanto a corrente no capacitor é proporcional a inclinação da curva da tensão com o tempo, isto é, igual a taxa de variação da tensão com o tempo (em CC, com a tensão constante, 0=dtdv , logo após as placas se carregarem, a corrente é nula ). O capacitor não permite que a tensão varie bruscamente, fornecendo corrente para impedir que isto ocorra. Admitindo-se uma tensão senoidal sobre o capacitor )sen()( tVtv m ω= , a corrente será

)cos()( tIti m ω= , onde mm CVI ω= , ou IVIVC mm ==ω1 . Observe que Cω1 tem a mesma dimensão de R em um circuito resistivo (Ohm), representando a medida da oposição oferecida pelo capacitor à passagem da corrente alternada, chamada reatância capacitiva, Xc, e calculada por:

E

I R

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10

Capacitor

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 1 2 3 4 5 6

v(t)i(t)p(t)

CCfX C .

1...2

1ωπ

==

A potência instantânea no capacitor, dada pelo produto entre corrente e tensão, é

)2sen(21)cos().sen()().()( tIVtItVtitvtp mmmm ωωω === .

Observe que, como no resistor, o período da potência p(t) é igual a metade do período da tensão e da corrente. Porém, diferentemente, a potência máxima é 2. mmm IVP = e a potência média, como o valor médio de 0)2sen( =tω , é nula. Portanto um capacitor não dissipa potência útil (W), mas alternadamente armazena e devolve potência (cargas e descargas). A potência do capacitor é chamada reativa capacitiva, e tem como unidade VAr (Volt-Ampère reativo), servindo para manter o campo elétrico entre as placas.

CCCCCCmCmC XVIXIVIVQ /.2. 22 ==== Circuito Puramente Indutivo Basicamente, um indutor é formado por um fio enrolado em forma de hélice em cima de um núcleo que pode ser de ar ou de outro material, magnético ou não.

Quando uma tensão é aplicada a um indutor a corrente leva um certo tempo para crescer. A explicação é o fenômeno chamado auto indução, já estudado ( dtdiLv .−= ). Ao cessar a tensão, novamente esse fenômeno vai atuar na bobina, não deixando a corrente se anular instantaneamente. Concluímos que um indutor se opõe à passagem de uma corrente alternada (se opõe à variação de uma corrente). Caso o núcleo seja ferromagnético a corrente demorará mais para aumentar (ou diminuir). A indutância (L) de um indutor é um parâmetro que dá a medida da capacidade que tem o indutor de armazenar energia no campo magnético, e a sua unidade se chama Henry (H). O valor da indutância depende principalmente do número de espiras e do material usado no núcleo.

Um indutor ideal não tem resistência ôhmica, o que não é verdade na prática. Quando uma tensão alternada senoidal é aplicada a um indutor ideal a corrente estará atrasada de 90º em relação à tensão.

Seja agora um circuito puramente indutivo, alimentado com uma tensão alternada. Admitindo-se uma tensão senoidal sobre o indutor )sen()( tVtv m ω= , a corrente será )cos()( tIti m ω−= ,

onde LVI m

m ω= , ou IVIVL mm ==ω . De modo análogo ao visto no caso do capacitor, Lω tem a

mesma dimensão de R em um circuito resistivo (Ohm), representando a medida da oposição oferecida pelo indutor à passagem da corrente alternada, chamada reatância indutiva, XL, e calculada por:

E

I C

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11

LLfX L ....2 ωπ ==

A potência instantânea no indutor, dada pelo produto entre corrente e tensão, é,

)2sen(21)cos().sen()().()( tIVtItVtitvtp mmmm ωωω −=−== .

Observe que, como no capacitor, o período da potência p(t) é igual a metade do período da

tensão e da corrente, a potência máxima é 2. mm

mIVP = e a média é nula. Portanto o indutor também

não dissipa potência útil (W), mas alternadamente armazena e devolve potência, agora no campo magnético. A potência do indutor é chamada reativa indutiva, e tem como unidade VAr (Volt-Ampère reativo), servindo para manter o campo magnético.

LLLLLLmLmLL XVIXIVIVQ /.2. 22 ====

Circuito RLC Série:

Em um circuito RLC série, um indutor, um resistor e um capacitor estão ligados em série, alimentados por uma fonte de tensão alternada. Como característica de todo circuito série, a corrente será comum a todos os elementos, )()()()( titititi CLR === e a tensão aplicada igual a soma das tensões individuais, )()()()( tvtvtvtv CLR ++= .

Admitindo-se uma corrente senoidal )sen()( tIti m ω= , as tensões serão, respectivamente, )sen()( tVtv mRR ω= , )cos()90sen()( 0 tVtVtv mLmLL ωω =+= e

)cos()90sen()( 0 tVtVtv mCmCC ωω −=−= .

A tensão total será dada pela soma das tensões nos três elementos: tVVtVtv mCmLmR ωω cos)(sen)( −+= . Como qualquer soma de termos senoidais (e co-senoidais) de

mesma freqüência pode ser combinado em um único termo senoidal, a tensão total também pode ser expressa por )sen()( φω += tVtv m , onde φ é o ângulo de defasagem entre corrente e tensão total.

Transformando-se a soma em produto na última expressão, obtém-se )sencoscos(sen)( φωφω ttVtv m += . Igualando-se os coeficientes correspondentes de tωsen e

tωcos obtém-se, respectivamente, as expressões φcosmmR VV = e φsenmmCmL VVV =− , que divididas

fornecem a relação mR

mCmL

VVV

tg−

=φ .

Observe que estas relações correspondem a um triângulo retângulo de hipotenusa mV e catetos ( mCmL VV − ) e mRV . A diferença entre as tensões no indutor e no capacitor é chamada tensão reativa, com valor de

E

I L

E

I L

C

R

mV mCmL VV −

mRVφ

Indutor

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 1 2 3 4 5 6

v(t)i(t)p(t)

Page 13: Apostila CA 230505

12

pico mCmLmX VVV −= . Dividindo-se todos os lados do triângulo por 2 obtém-se um triângulo semelhante correspondente aos valores eficazes de tensão, V, VR e VX e aplicando-se o teorema de Pitágoras a este triângulo obtém-se a relação de tensões: 222 )( CLR VVVV −+= .

Um triângulo semelhante, relacionando os termos de oposição a passagem de corrente, pode ser obtido dividindo-se os lados do triângulo pela corrente Im (ou I, no caso de valores eficazes). Seus catetos serão a resistência, R, e a reatância, CL XXX −= . A hipotenusa deste triângulo representa a oposição do circuito RLC a passagem de corrente, chamada de impedância e representada pela letra Z, dada por 22 XRZ += ou IVZ = .

As relações trigonométricas neste triângulo fornecem RXtg =φ ,

ZX

=φsen e ZR

=φcos . O co-

seno do ângulo de defasagem entre tensão e corrente, dado pela última expressão, é chamado de fator de potência, tendo grande importância no estudo dos circuitos de CA. Este assunto será estudado com mais profundidade posteriormente.

Sendo a reatância dada por CL XXX −= , podem ocorrer três situações distintas: 1. XL > XC: o circuito é dito indutivo, pois predomina esta característica. O ângulo φ é positivo,

estando a tensão adiantada em relação a corrente de um ângulo φ (0<φ<90°). 2. XL < XC: o circuito é dito capacitivo. A reatância é menor do que zero e, conseqüentemente, o

ângulo φ é negativo, estando a tensão atrasada em relação a corrente de um ângulo entre 0° e 90°. 3. XL = XC: neste caso X = 0 e o circuito tem característica resistiva, com tensão e corrente em

fase. Esta condição é chamada ressonância e faz com que a corrente atinja seu valor máximo para uma dada tensão, pois a impedância será mínima.

A freqüência que leva a condição de ressonância pode ser obtida igualando-se as reatâncias

indutiva ( fLπ= 2X L ) e capacitiva ( fCX C π21= ), resultando em

LC21f 0

π= .

Observe que: • Na freqüência de ressonância, f0, o circuito é puramente resistivo, sendo a corrente eficaz a

máxima possível para o circuito, com valor I=V/R, estando em fase com a tensão. • Abaixo da freqüência de ressonância a impedância será capacitiva (XC > XL), estando a corrente

adiantada em relação à tensão. • Acima da freqüência de ressonância a impedância será indutiva (XC < XL), estando a corrente

atrasada em relação à tensão.

Circuito RL Série

Um caso particular interessante do circuito RLC série, que ocorre quando não há capacitores no circuito, é o RL. Na prática um indutor apresenta também uma característica resistiva, e, além disso, podemos ter resistores em série com indutores Neste caso, como em um circuito puramente indutivo, a corrente estará atrasada em relação à tensão, mas de um ângulo menor do que 90º (0<φ<90°).

22

LXRZ += , R

Xtg L=φ ,

LXR

=φcos , 22LR VVV +=

Circuito RC Série

Outro caso particular do circuito RLC série é o RC. Este ocorre quando não há indutores no circuito, isto é, o circuito é formado por resistores em série com capacitores. Num circuito assim constituído, como em um circuito puramente capacitivo, a corrente estará adiantada em relação à

Z

φ R

X

Z

φ R

XL

Page 14: Apostila CA 230505

13

tensão, porém de um ângulo menor do que 90º. Como a reatância é negativa, o triângulo de impedâncias (e também o de tensões) é representado invertido com relação ao do circuito RL.

22

CXRZ += , R

Xtg C=φ ,

CXR

=φcos , 22CR VVV +=

Circuito RLC Paralelo:

Quando um indutor, um resistor e um capacitor são ligados em paralelo e alimentados por uma fonte de tensão alternada, temos um circuito RLC paralelo, cujas características são tensão comum a todos os elementos,

)()()()( tvtvtvtv CLR === e corrente total igual a soma das individuais, )()()()( titititi CLR ++= . Supondo-se uma tensão senoidal dada por )sen()( tVtv m ω= , e observando-se as características particulares dos elementos associados, as correntes no circuito serão, respectivamente,

)sen()( tIti mRR ω= , )cos()90sen()( 0 tItIti mLmLL ωω −=−= e )cos()90sen()( 0 tItIti mCmCC ωω =+= .

A corrente total será dada pela soma das correntes nos três elementos: tIItIti mLmCmR ωω cos)(sen)( −+= . De modo análogo ao feito no circuito RLC série para a tensão, a

corrente total também pode ser expressa por )sen()( φω += tIti m , onde φ é o ângulo de defasagem entre esta e a tensão total.

Transformando-se a soma em produto na última expressão, obtém-se para a corrente )sencoscos(sen)( φωφω ttIti m += . Igualando-se os coeficientes correspondentes de tωsen e tωcos

nas duas últimas expressões obtém-se, respectivamente, φcosmmR VI = e φsenmmLmC III =− , que

divididas fornecem a relação mR

mLmC

III

tg−

=φ .

Estas relações correspondem a um triângulo retângulo de hipotenusa mI e catetos ( mLmC II − ) e mRI . A diferença entre as correntes no

capacitor e no indutor é chamada corrente reativa, com valor de pico

mLmCmX III −= . Dividindo-se todos os lados deste triângulo por 2 obtém-se um triângulo semelhante, correspondente aos valores eficazes de

tensão, I, IR e IX (representado ao lado), onde LCX III −= . Aplicando-se o teorema de Pitágoras a este

triângulo obtém-se a relação entre as correntes 222 )( LCR IIII −+= . Um triângulo semelhante, relacionando os termos inversos da oposição a

passagem de corrente, pode ser obtido dividindo-se os lados do último triângulo pela tensão V. Seus catetos serão iguais ao inverso da resistência, chamado condutância e dada por G = 1/R, e da reatância, chamada susceptância (ou suscetância) e dada por B = 1/X. Observe que B = BC– BL, sendo BC = 1/XC = ωC e BL = 1/XL = 1/(ωL). A hipotenusa deste triângulo representa o inverso da oposição do circuito RLC a passagem de corrente, isto é, a recíproca da impedância, chamada de admitância e representada pela letra Y, dada por 22 BGY += ou VIY = . Todas estas grandezas tem unidade inversa a Ohms (1/Ω), chamada Siemens e representada pela letra S.

As relações trigonométricas neste triângulo fornecem GBtg =φ ,

YB

=φsen e YG

=φcos .

Sendo a suscetância dada por B = BC– BL, podem ocorrer três situações distintas:

Z

φ R

XC

Y

φ G

B

E I

C R L

IR IL IC

I XI

RI φ

Page 15: Apostila CA 230505

14

Y

φ G

BC

1. BC > BL: o circuito é capacitivo. A suscetância é positiva e, conseqüentemente, o ângulo φ também o é, estando a corrente adiantada em relação a tensão de um ângulo entre 0° e 90°.

2. BC < BL: o circuito é indutivo, pois predomina esta característica, como pode-se observar pelo fato de a suscetância ser negativa. O ângulo φ é negativo, estando a corrente atrasada em relação a tensão de um ângulo φ (0<φ<90°).

3. BL = BC: neste caso B = 0 e o circuito tem característica resistiva, com tensão e corrente em fase. Esta condição, como no circuito RLC série, é chamada ressonância.

A freqüência de ressonância pode ser obtida igualando-se as suscetâncias capacitiva ( fCBC π2= )

e indutiva ( fLBL π21= ), resultando, como no circuito RLC série, em

LC21f 0

π= .

Observe que: • Na freqüência de ressonância, f0, o circuito é puramente resistivo, sendo a corrente eficaz a

míxima possível para o circuito, com valor I=V/R, estando em fase com a tensão. • Abaixo da freqüência de ressonância o circuito será indutivo (BC < BL), estando a corrente

atrasada em relação à tensão. • Acima da freqüência de ressonância o circuito será capacitivo (BC > BL), estando a corrente

adiantada em relação à tensão.

Circuito RC Paralelo

Um caso particular do circuito RLC paralelo é o RC. Este ocorre quando não há indutores no circuito, isto é, o circuito é formado por resistores em paralelo com capacitores. Neste caso, como em um circuito puramente capacitivo, a corrente estará adiantada em relação à tensão, mas de um ângulo menor do que 90º (0<φ<90°).

22

CBGY += , GB

tg C=φ , CB

G=φcos , 22

CR III +=

Circuito RL Paralelo

Outro caso particular interessante do circuito RLC paralelo, que ocorre quando não há capacitores no circuito, é o RL. Num circuito assim constituído, como em um circuito puramente indutivo, a corrente estará atrasada em relação à tensão, porém de um ângulo menor do que 90º. Como a suscetância é negativa, o triângulo de admitâncias (e também o de correntes) é representado invertido com relação ao do circuito RC.

22

LBGY += , GBtg L=φ ,

LBG

=φcos , 22LR III +=

Potência em C.A.

Em corrente alternada há três tipos de potência: P – ativa (Watt, W), Q - reativa (Volt-Ampére reativo, VAr) e S – aparente (Volt-Ampére, VA).

Potência Ativa (útil, real, efetiva, eficaz, etc.) – É característica dos circuitos resistivos, representa a parcela da energia que será transformada em calor (efeito Joule), luz ou trabalho mecânico. Corresponde ao produto entre tensão, corrente e o cosseno do ângulo de defasagem entre elas (cosϕ ou fator de potência).

Y

φ G

BL

Page 16: Apostila CA 230505

15

Potência Reativa – Pode ser de dois tipos. A indutiva representa a parcela da energia que é utilizada para magnetizar equipamentos indutivos como motores, transformadores, reatores, etc. enquanto a capacitiva é usada para alimentar o campo elétrico de capacitores. Corresponde ao produto entre tensão, corrente e o seno do ângulo ϕ.

Potência aparente – Representa a potência total utilizada num equipamento (levando em conta a parcela ativa e a reativa). Corresponde ao produto entre a tensão e a corrente.

Triângulo das Potências – As potências em C.A. podem ser relacionadas através de um triângulo retângulo onde as parcelas ativa e reativa são os catetos e a aparente é a hipotenusa.

ϕ= cosEIP ]W[ ϕ= senEIQ ]VAR[ EIS ]VA[ =

ϕ

=senQ

cosP

S ]VAr[]W[]VA[

PQtg =ϕ 222 QPS +=

Observe que no caso de predominância capacitiva, Q é negativo. Neste caso, representa-se o triângulo invertido.

Q > 0 - predominância indutiva Q < 0 - predominância capacitiva

Potência Complexa – A potência em C.A. também pode ser representada por números complexos. Neste caso, a parte real é a potência ativa e a parte imaginária é a potência reativa, o módulo é a potência aparente e o argumento é o ângulo de defasagem entre tensão e corrente.

Na forma retangular, QP j+=S , e na forma polar =S S φ , onde φ é o ângulo de defasagem entre tensão e corrente. Observe que *.IE=S , onde *I representa o conjugado da corrente (na forma retangular, troca-se o sinal da parte imaginária, e, conseqüentemente, na forma polar, troca-se o sinal do ângulo). Fator de Potência

Corresponde à razão entre a potência ativa e a potência aparente consumida por uma carga (cosseno do ângulo de fase, FP = cosϕ).

SPFP =ϕ= cos

Quanto maior o FP, isto é, mais próximo de 1,0, melhor é o aproveitamento da energia consumida.

Equipamentos que transformam energia elétrica diretamente em outras formas de energia (luminosa, calor), sem utilizar uma forma intermediária, são consumidores de energia ativa (FP = 1, equipamentos resistivos, tais como iluminação incandescente, equipamentos de aquecimento, etc.).

Equipamentos que utilizam energia magnetizante como intermediária são consumidores de energia reativa (FP<1, equipamentos indutivos: motores, reatores, transformadores). Os capacitores são fornecedores de energia reativa.

Q [VAR] S [VA]

P [W]

ϕ

Q [VAR] S [VA]

P [W]

ϕ Q [VAR]S [VA]

P [W]

ϕ

Page 17: Apostila CA 230505

16

CAUSAS DO BAIXO FATOR DE POTÊNCIA A presença de equipamentos que solicitem grandes quantidades de energia reativa:

Motores ou transformadores trabalhando a vazio ou com pouca carga (super dimensionados); Fornos de indução; Grande quantidade de motores de pequeno porte no lugar de um grande porte; Equipamentos eletrônicos.

CONSEQUÊNCIAS DO BAIXO FATOR DE POTÊNCIA

O baixo fator de potência causa um aumento na potência aparente consumida e, portanto, aumento da corrente solicitada da rede causando:

Aumento de perdas por aquecimento; Quedas de tensão nos condutores; Subutilização da capacidade instalada da rede.

OBJETIVOS DA MELHORIA DO FATOR DE POTÊNCIA

A elevação do fator de potência minimiza os problemas citados anteriormente proporcionando:

Redução dos custos com energia (as concessionárias de energia sobretaxam o excesso de energia reativa consumida);

Melhor aproveitamento da capacidade do sistema; Aumento dos níveis de tensão da rede.

MÉTODOS DE CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA

O aumento do fator de potência em geral é feito pela diminuição da potência reativa que a carga solicita da rede ou pelo aumento da potência ativa consumida.

22 QP

PSPFP

+==ϕ= cos

1. Diminuição da Potência Reativa Consumida

Isto pode ser conseguindo instalando capacitores (fornecedores de energia reativa) em paralelo com a carga. Como Q2 < Q1, S2 < S1 e, portanto, a corrente solicitada com o FP corrigido será menor mantendo o mesmo valor de potência ativa (cosϕ1 < cosϕ2).

Qc = Q1 – Q2

2

22

1

11 P

QgPQg =ϕ=ϕ tt

( )21 gg ϕ−ϕ= ttPQc - potência reativa

capacitiva necessária para corrigir o fator de potência de uma carga com potência P de FP = cosϕ1 para FP = cosϕ2.

Como Q = E2 / Xc e Xc = 1/2πfC

( )2

21

E f2gg

πϕ−ϕ

=ttP

C - capacitor necessário para corrigir o FP.

Q1 S1

P1 = P2

ϕ1 ϕ2

S2

Q2

Qc

Page 18: Apostila CA 230505

17

2. Aumento da Potência Ativa Consumida O mesmo efeito pode ser conseguindo instalando equipamentos resistivos (FP = 1). Porém, haverá

um aumento das potências ativa e aparente consumidas, o que torna o método pouco interessante.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ

−ϕ

=12 g

1g1Q'

tt P

Q1 = Q2 S1

P1

ϕ1 ϕ2

S2

P2

P’

Page 19: Apostila CA 230505

18

SISTEMAS TRIFÁSICOS

Um gerador de C.A. trifásico, também chamado alternador, apresenta três bobinas iguais independentes, defasadas mecanicamente de 120o entre si o, que resulta em tensões induzidas de igual amplitude defasadas eletricamente de 120o. O gráfico e o diagrama fasorial dados mostram as tensões induzidas em cada bobina (fase).

e1(t) = Em.sen(ωt) oEE 01 ∠= e2(t) = Em.sen(ωt–120o) oEE 1202 −∠= e3(t) = Em.sen(ωt+120o) oEE 1203 +∠=

As bobinas do alternador podem ser ligadas de diferentes maneiras, dando origem aos sistemas

conhecidos como estrela (Y ) e triângulo (∆). Ligação Estrela (Y) –As bobinas do gerador são interligados num ponto comum chamado neutro, sendo as cargas monofásicas ligadas entre cada fase e o neutro.

111 ZEI = , 222 ZEI = , 333 ZEI =

11 ZEI = , 22 ZEI = , 33 ZEI =

111 φ−∠= II , 3

033 120 φ−∠= II ,

20

220

22 240120 φφ −∠=−−∠= III

321 IIII N ++=

O sistema Y a quatro fios geralmente é utilizado quando predominam cargas monofásicas e esta não é igualmente distribuída entre as fases.

Quando as cargas forem iguais nas três fases, ou seja, Z1 = Z2 = Z3, o sistema é dito equilibrado (ou balanceado). Neste caso, as correntes nas fases serão de mesma amplitude (I1 = I2 = I3) defasadas de 120o entre si, e a corrente no neutro será nula (três fasores de mesmo módulo defasados de 120° somam zero, como pode-se ver com as tensões abaixo). Nesta situação torna-se dispensável a presença do condutor neutro, e o sistema pode funcionar com apenas três fios. Na ligação estrela a tensão de linha ou terminal (entre duas fases do sistema) corresponde a

3 vezes a tensão de bobina ou de fase (entre fase e neutro) enquanto que a corrente de linha é igual a corrente de fase (carga). Exemplos típicos são 127/220 V (Rio Grande) e 220/380 V (Pelotas). As tensões de linha podem ser obtidas, analiticamente ou graficamente, como mostra-se a seguir:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )EjEEjEjEEEEEE oo 2/32/32/32/1012002112 +=−−−+=−∠−∠=−= , oEE 30312 ∠=

e [V]

Em

– Em

e1 e3 e2

t [s]

E1

E3

E2

.

.

.

E31 E12

E23

E3 E2

E1 Z1

Z3Z2

I1

I2

I3

I1 + I2 + I3

a

b c

n

Page 20: Apostila CA 230505

19

( ) ( ) ( ) ( )[ ] EjEjEEjEEEEEE oo 32/32/12/32/11201203223 =+−−−−=∠−−∠=−= , oEE 90323 −∠=

( ) ( ) EjEjEEjEEEEEE oo )2/3(2/3)0()2/3(2/101201331 +−=+−+−=∠−∠=−= , oEE 150323 ∠=

2112 EEE −= oEE 30312 ∠=

3223 EEE −=

oEE 90323 −∠=

1331 EEE −= oEE 150323 ∠=

Ligação Triângulo ou Delta (∆) – Neste caso as bobinas do gerador são interligadas duas a duas (final de uma com início da outra) de maneira a formar um triângulo. Observe que

0312312 =++ EEE , não resultando circulação de corrente interna no enrolamento quando sem carga. Na ligação triângulo a tensão de linha é igual à tensão de fase enquanto que a corrente de linha é diferente da corrente de fase sendo a relação entre estas função das cargas. No caso de um sistema equilibrado a corrente de linha corresponde a 3 vezes a corrente de fase.

1221 III −=

3113 III −=

2332 III −=

E3 .

E1 .

E2 .

–E2

.

–E3

. E31 .

E23 .

E12

. –E1 .

E3 .

E1 .

E2 .

I13 .

I21 .

I32 .

I1 . I2

.

I3 .

–I1 .

–I2 .

ϕ3

ϕ1

ϕ2

E2 E3

E1

I32

I13

I21

a

b c

Z2

Z1

Z3

I3

I2 I1

Page 21: Apostila CA 230505

20

Potência em Circuitos Trifásico: Em circuitos trifásicos, a potência útil pode ser calculada pela soma das potências das três fases. Na ligação estrela, portanto, tem-se:

)coscoscos(coscoscos 3321133322111 φφφφφφ IIIEIEIEIEP ++=++= 22

No caso de carga equilibrada, φφφφ coscoscoscos 33211 IIII === 2 e φcos3EIP = . Como

3lEE = e lII = , resulta:

ϕcosIEP ll ...3= , ϕsenIEQ ll ...3= ll IES ..3=

Na ligação triângulo a tensão de linha é igual à tensão de fase enquanto que a corrente de linha, para carga equilibrada, é 3 vezes a corrente de fase, resultando nas mesmas expressões obtidas para a ligação estrela. Portanto, no caso de carga equilibrada as expressões são as mesmas, independentemente da ligação.

Correção do Fator de Potência:

O procedimento adotado é o mesmo dos circuitos monofásicos, com a potência reativa e a

capacitância do capacitor necessário dados, respectivamente, por: )( if tgtgPQ φφ −=∆ , 2EQC

ω∆

= .

No caso de cargas desequilibradas, calcula-se um capacitor para cada fase. Já para cargas equilibradas, os capacitores são iguais, podendo ser ligados em Y ou ∆, e a potência útil total é dada por ϕcosIEP ll ...3= . Trabalhando-se com estas três últimas expressões, obtém-se as capacitâncias dos três capacitores necessários para a correção, em Y ou ∆, cujas valores são dados, respectivamente, por:

l

fiilY E

tgtgIC

ωφφφ )(cos3 −

= e l

fiil

E

tgtgIC

ω

φφφ

3

)(cos −=∆ .

Observe que a tensão no capacitor em Y é El / 3 e no capacitor em ∆ é El. Os capacitores são especificados pela capacitância e tensão.

Exemplo: Uma linha trifásica de 380 V alimenta um motor de indução trifásico de 15 kW com FP 0,75 e um forno elétrico resistivo de 10 kW. Determine: a) a corrente de linha, b) o FP total, c) os capacitores necessários para corrigir o FP para 0,95 indutivo e d) a redução da corrente de linha após a correção. (42,5 A, 0,893 ind, 42,5 A, 6%)

Transformações Y → ∆ e ∆ → Y:

Em problemas de análise de circuitos, muitas vezes a resolução fica simplificada quando transforma-se uma carga ligada em Y numa equivalente em ∆ ou vice-versa (figura ao lado). Para que as características dos circuitos não se alterem, ambos devem ter as mesmas impedâncias, vistas de qualquer par de terminais, isto é, ∆= ababY ZZ , ∆= bcbcY ZZ e ∆= acacY ZZ .

ZA ZC

ZB a c

b

Z1 Z3

Z2

a

b

c

Page 22: Apostila CA 230505

21

As impedâncias vistas de cada par de terminais são,

Y: 21 ZZZ abY += , 23 ZZZbcY += , 31 ZZZ acY +=

∆: CBA

CBAab ZZZ

ZZZZ

+++

=∆

)(,

CBA

ABCbc ZZZ

ZZZZ

+++

=∆

)(,

CBA

CABac ZZZ

ZZZZ

+++

=∆

)(

Igualando-se duas a duas, obtém-se as três equações:

1: CBA

CBA

ZZZZZZ

ZZ++

+=+

)(21 , 2:

CBA

ABC

ZZZZZZ

ZZ++

+=+

)(23 e 3:

CBA

CAB

ZZZZZZ

ZZ++

+=+

)(31

Resolvendo-se o sistema de três equações e três incógnitas (sugestão: Eq.1- Eq.2+ Eq.3, Eq.1+

Eq.2- Eq.3 e Eq.2- Eq.1+ Eq.3), obtém-se as impedâncias em Y a partir de um ∆:

CBA

BA

ZZZZZ

Z++

=1 , CBA

AC

ZZZZZ

Z++

=2 e CBA

CB

ZZZZZ

Z++

=3

Observe que a impedância da estrela é igual ao produto das duas impedâncias adjacentes do

triângulo dividido pela soma das três impedâncias deste. Finalmente, estas três últimas equações (4, 5 e 6, respectivamente) podem ser usadas para

determinar o oposto, isto é, as impedâncias em ∆ a partir de uma Y (Eq.4xEq.5 + Eq.4xEq.6 + Eq.6xEq.5):

3

313221

ZZZZZZZ

Z A++

= , 2

313221

ZZZZZZZ

Z B++

= e 1

313221

ZZZZZZZ

ZC++

=

Neste caso, a impedância do triângulo é igual a soma dos produtos duas a duas das impedâncias

adjacentes da estrela dividido pela impedância oposta desta.

No caso particular de cargas equilibradas, 3

∆=Z

ZY e YZZ 3=∆ .

Exemplo: Determine as correntes circulantes nos três condutores de uma linha trifásica de 380 V cujas impedâncias 1 +j2, 2+j e 3 Ω estão ligadas em estrela sem neutro. Calcule também a potência consumida total. (Resp. 87,94 –38,19° A, 11,95 184,2° A, 67,74 –42,26° A, 50045 W)

Page 23: Apostila CA 230505

22

APÊNDICE - ÁLGEBRA COMPLEXA - FASORES

A álgebra complexa é uma extensão da álgebra de números reais com grande aplicação na análise de circuitos de corrente alternada, onde tensões e correntes senoidais são analisadas como números complexos denominados fasores e resistências, reatâncias e seus recíprocos, representados por números complexos, são denominadas impedâncias e admitâncias complexas.

NÚMEROS IMAGINÁRIOS Os números imaginários foram concebidos para possibilitar a representação da raiz quadrada de um número real negativo. Convencionalmente a unidade imaginária é representada pela letra i, porém, para não haver confusão com o símbolo da corrente, em análise de circuitos utiliza-se j. Define-se: 1−=j . Logo

Exemplos: Representação de Números Complexos:

1. Forma Retangular – Os números complexos são caracterizados por uma parte real, a, e outra imaginária, b. Escreve-se Z = a + jb, onde Z é um número complexo qualquer. Observe que o par (a, b) define as coordenadas de um ponto em um plano onde o eixo das abscissas corresponde à parte real e o das ordenadas à parte imaginária (conhecido como plano de Argand-Gauss). Operações com Complexos na Forma Retangular: 1) Soma e Subtração: realiza-se a operação, separadamente, com as parcelas reais e imaginárias de cada número. Dados os complexos Z1 = a + jb e Z2 = c + jd, então Z1 + Z2 = (a + c) + j(b + d) e Z1 - Z2 = (a - c) + j(b - d). Ex.: (1 + j2) + (3 + j5) = (1 + 3) + j(2 + 5) = 4 + j7, (4 + j8) – (2 + j6) = (4 – 2) + j(8 – 6) = 2 + j2 2) Multiplicação – é realizada de maneira análoga à multiplicação com números reais. a) Multiplicação entre um número real e um complexo: multiplica-se cada parte do complexo pelo real. Dados o complexo Z1 = a + jb e o real c, então cZ1 = ac+ jbc. Ex.: 5. j2 = j(5.2) = j10 3.(2 + j3) = (2.3 + j3.3) = 6 + j9 b) Multiplicação de dois números complexos – multiplica-se termo a termo, observando-se que j2 = -1. Dados os complexos Z1 = a + jb e Z2 = c + jd, então Z1Z2 = (ac + jbc + jad +j2bd) = (ac-bd) + j(bc + ad). Ex.: (j2).(j5) = j2.(2.5) = (–1).10 = –10 (4 + j2).(2 + j6) = 4.(2 + j6) + j2.(2 + j6) = (8 + j24) + (j4 + j2 12) = (8 + j24) + (j4 – 12)= –4 + j28 3) Divisão a) Na divisão de um número complexo por um real procede-se de maneira análoga à multiplicação.

Ex.: 236

36 jjj

==

b) Já na divisão de dois números complexos, para eliminar a unidade imaginária, j, do denominador, torna-se necessário multiplicar numerador e denominador pelo conjugado deste (como na racionalização, para eliminar uma raiz do denominador). Chama-se conjugado de um número complexo z, e representa-se por z , ao número complexo que tem parte real igual e parte imaginária com sinal trocado com relação a ele. Se z = a + jb então z = a - jb. Ex.: 3,3 11 jzjz −== 52,52 22 jzjz +=−= 21,21 23 jzjz −=+=

Portanto, dados Z1 = a + jb e Z2 = c + jd, então 22222

1

ZZ

dcadbcj

dcbdac

jdcjdc

jdcjba

+−

+++

=−−

⋅++

= .

41616399244 222 jjjjjj ==−==−==−

12 −=j

Page 24: Apostila CA 230505

23

Ex.: 63927

954

92754

)3()3(.

3918

3918 jjj

jj

jj

jj

−=+−

=+−

=−−+

=+

5,35,027

21

271

)1()1(.

134

134 jjj

jj

jj

jj

+=+=+

=++

−+

=−+

2. Forma Polar – Nesta forma, os números complexos são caracterizados pelo módulo ρ e o ângulo que este forma com o sentido positivo do eixo dos números reais θ, chamado conjugado: Z = ρ θ Esta forma de representar os números complexos é muito útil, em especial nas operações de multiplicação e divisão.

Equivalência entre as Representações - Conversão

Polar para retangular: Parte real: A = ρ.COS(θ)

Parte imaginária: b = ρ.sen(θ) Retangular para polar: Módulo: 22 ba +=ρ

Argumento: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

abtgarcθ

Exemplos:

a) Polar-Retangular

5 -45o = 5.cos(-45o) + j5.sen(-45o) = 5.0,707 + j5.(-0,707) = 3,54 – j3,54

3 30o = 3cos(30o) + j.3sen(30o) = 3.0,866 + j3.0,50 = 2,60 + j1,50 b) Retangular-Polar

Operações com Complexos na Forma Polar: a) Multiplicação: realiza-se o produto dos módulos e somam-se os argumentos, como será provado a seguir. A partir do resultado do produto na forma retangular, ad) j(bc bd)-(ac ZZ 21 ++= , pode-se determinar o módulo e o argumento do resultado: Módulo:

21212222222222

21 ZZd c)ba)d (c )b(aad) (bc bd)-(ac ZZ ρρ==++=++=++= ;

Argumento: bdacadbctg

−+

=θ . Como ( )1221

122121 sensencoscos

cossencossenθθθθθθθθ

θθ−+

=+tg , sendo abtg =1θ ,

cdtg =2θ ,

11sen

ρθ b

= , 1

1cosρ

θ a= ,

22sen

ρθ d

= e 2

2cosρ

θ c= , vem

( ) θ

ρρρρ

ρρρρθθ tg

bdacadbc

bdac

dabc

tg =−+

=−

+=+

2121

212121 , como queríamos demonstrar.

4 + j3 = 5 36,87o 22 34 +=ρ tgθ = 3/4 = 0,75 θ = 36,87o

1,5 – j2 = 2,5 -53,13o 22 25,1 +=ρ tgθ = -2/1,5 = -1,33 θ = -53,13o

b

a

ρ

θ

Eixo Real

Eixo

Imag

.

Z(a,b)

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Ex.: b) Divisão – Realiza-se a divisão dos módulos e subtraem-se os argumentos. Um procedimento análogo ao adotado para a multiplicação pode demonstrar este resultado. Deixamos a demonstração como exercício.

FASORES A representação fasorial de grandezas alternadas é uma técnica que visa facilitar a análise de circuitos com excitação senoidal (na verdade qualquer onda periódica pode ser representada como uma série de termos senoidais e/ou co-senoidais). Uma grandeza senoidal é caracterizada no domínio do tempo pela amplitude (valor máximo), ângulo de fase e freqüência (ou velocidade angular, ω), por exemplo )sen()( θω += tVtv m . Uma vez estabelecida a freqüência, apenas a magnitude e o ângulo de fase podem caracterizar a grandeza. Na representação fasorial, também chamada domínio da freqüência, esta grandeza é identificada pelo seu valor eficaz e o ângulo de fase, como um número complexo na forma polar. Utiliza-se um ponto sobre a letra que simboliza a grandeza para caracterizar o fasor, ficando a notação com a forma V = V θ .

Exemplo: se )30377sen(180)( 0+= ttv V, então V = 127,3 30° V. )18377sen(5,2)( 0−= tti A, então I = 1,77 -18° A. )18377cos(84,282)( 0−= tti mA, então I = 2,0 72° mA.

Na análise fasorial, impedâncias e admitâncias também são representadas por números complexos, com resistências e condutâncias, correspondendo a parte real, e reatâncias e suscetâncias correspondendo a parte imaginária, isto é, Z = R + j X, sendo X = XL – XC, e Y = G + j B, com B = BC – BL. Observe que ambos dependem da freqüência de excitação. A Lei de Ohm, representada fasorialmente, fica com a forma: I

VZ = ou VIY = .

A conversão de impedância para admitância, e vice-versa é bastante útil, em especial na resolução de circuitos mistos. Sendo Z = R + j X, então

2222

1XR

XjXR

RjXRjXR

jXR +−

+=

−−

⋅+

=Y . Como Y = G + j B, então 22GXR

R+

= e

22BXR

X+

−= .

Do modo análogo, a conversão de admitância para impedância fornece 22RBG

G+

= e

22XBG

B+

−= .

3 45o . 4 10o = 3.4 10 o + 45o = 12 55o

Ex.: 6 65o ÷ 4 15o = 6 ÷ 4 65o - 15o = 1,5 50o