1 Centro Universitrio talo Brasileiro Administrao de Empresas Cincias Contbeis ANLISES ESTATSTICAS Profa Liana Maria Ferezim Guimares Profa Emilia Satoshi Miyamaru Seo 2012 2 Apresentao Estecadernodeestudotemcomoobjetivoprincipalmostrar,deformaclara,pormeiode exemplos prticos, os conceitos primordiais da estatstica descritiva e da estatstica inferencial. Utiliza, para isso, uma metodologia objetiva e de fcil compreenso. Onveldeaprofundamentoapresentado,tantonateoriacomonosexerccios,asseguraa necessriapreparaodoalunoparaodesenvolvimentodedisciplinasafinsemsuaformao acadmica.Almdisso,enfatizadaaimportnciadeaplicartcnicasestatsticasparasolucionar problemasusuais domundoreal.Emtodas asoportunidadessermostradocomo aestatsticapode, efetivamente, facilitar a tomada de decises que administradores, contadores, economistas, executivos e empreendedores enfrentam cotidianamente. Profa Liana Maria Ferezim Guimares 3 ESTATSTICA DESCRITIVA CAPTULO 1-DISTRIBUIO DE FREQUNCIAS BIBLIOGRAFIA CONSULTADA: 1.ANDERSON,D.R.;SWEENEY,D.J.;WILLIAMS,T.A.EstatsticaAplicadaAdministraoe Economia. 2.ed. So Paulo: Cengage Learning, 2007. 2.BUSSAB,W.O.;MORETIN,P.MtodosQuantitativos:EstatsticaBsica.5.ed.SoPaulo: Saraiva, 2002. 3. MARTINS, G. A. Estatstica Geral e Aplicada. 2.ed. So Paulo: Atlas, 2002. 4. MARTINS, G. A.; DONAIRE, D. Princpios de Estatstica. 4.ed. So Paulo: Atlas, 1995. 5.MEDEIROS,E.S.etal.EstatsticaparaosCursosdeEconomia,AdministraoeCincias Contbeis. vol. 1 e 2. 3.ed. So Paulo: Atlas, 1999. 6. STEVENSON, W. J. Estatstica Aplicada Administrao. 3.ed. So Paulo: Harbra, 2001. 7. TRIOLA, M. F. Introduo Estatstica. 10.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 1. INTRODUO Estatstica a cincia que fornece mtodos e processos quantitativos para planejamento, coleta, organizao,descrio, anliseeinterpretao dedados.Dadosso fatos ou nmeroscom basenos quais podemos tirar concluses. Aestatsticarealmenteseconstituiemusar omtodocientfico pararesponder questes feitas pelomundocotidiano,cientfico,empresarial.Osmtodosestatsticosestoenvolvidosemtodosos passos deum bomestudo,desde o planejamentoda pesquisa,nacoleta de dados, naorganizao e no resumo da informao para se fazer uma anlise at sua concluso, na discusso das limitaes e, finalmente,noplanejamentodenovosestudospararespondersnovasperguntasquesurgiram.A estatstica muito mais do que nmeros, ela um processo. Particularmenteemadministrao,economiaecinciascontbeis,umagranderazopara entenderestatsticadaraostomadoresdedecisoummelhorentendimento/controledoambiente administrativo,possibilitandodecisesobjetivas,previsesprecisasetransmissodamensagem desejada de forma eficaz. Essencialmente, toda rea de pesquisa cientfica sria pode beneficiar-se da anlise estatstica. Decisesemrelaotaxadejuros,programassociais,gastoscomdefesaesegurana,podemser feitoscomintelignciasomentecom aajudada anliseestatstica. Profissionais darea de negcios, emsuabuscaeternaporlucros,achamaestatsticaessencialemseusprocessosdetomadade decises.Esforosemcontroledequalidade,minimizaodecustos,produoeestoque,eoutros tantos assuntos ligados aos negcios, podem ser administrados eficientemente usando procedimentos estatsticos j comprovados. Para aqueles que atuam em pesquisa de mercado, a estatstica de uma utilidadeinestimvelparadeterminarseumnovoprodutoserumsucesso.AEstatsticatambm muitotilnaavaliaodeoportunidadesdeinvestimentoparaconsultoresfinanceiros.Mesmoa pesquisamdica,paraverificaraeficinciadeumanovadroga,encontranaestatsticaumatima aliada. 4 1.1 PARTE DA NOMENCLATURA UTILIZADA EM ESTATSTICA Todo ramo da pesquisa cientfica tem seu vocabulrio prprio. Estatstica no exceo. Assim, vamos a ele: -Populao o conjunto de todos os elementos sob investigao em determinado estudo. Exemplos: Se a renda de todos os assalariados brasileiros for interessante para o estudo de um economista que est ajudando o Congresso Nacional a formular um plano nacional de impostos, ento, as rendas de todos os assalariados brasileiros constituem a populao. Seoproprietriodeumaindstriafabricantedepastadedenteestiverinteressadona porcentagemexatadetubosquesoenchidosdeacordocomasespecificaes,ento, todos os tubos de pasta de dente constituem a populao. Censoumestudooupesquisaque envolvea populaointeirae,porisso,nocasodo economista,eleestconduzindoumcensodapopulaodeassalariadosbrasileiros;o proprietriodaindstria depastas dedenteestconduzindoumcensodasuapopulao detubosdepastadedente.Outroexemplomuitoconhecidoocensodemogrficoda populao brasileira realizado pelo IBGE a cada 10 anos. -Amostra uma parte da populao que selecionada para estudo. Num dos exemplos acima, o economista quer descobrir a renda mdia dos assalariados brasileiros, mas, no tem tempo nem recursossuficientesparacoletaressesdados.Assim,eleselecionaumpequenonmerode indivduosdapopulao,estudaarendadessesindivduoseutilizaessainformaopara chegaraconclusessobretodaapopulao.Essapequenapartedapopulaomaisfcilde trabalharchamadaamostra.Entretanto,umaamostradeverepresentarefetivamentea populao.

-Umaestatsticaqualquermedidaquedescreveaamostra.Arendamdiadosassalariados brasileiros,porexemplo,umaestatstica.Aporcentagemdetubosdepastadedenteda indstria , tambm, uma estatstica. -Varivel a caracterstica da populao que est sendo analisada no estudo estatstico. -Dadosestatsticossofatosounmerosquesocoletados,organizadosemtabelase/ou grficos, analisados e interpretados tornando-se informaes. Aquicabeumparntesis:Dadossereferemafatosenmerospurosqueforam coletados,oquediferentedeinformao.Informaessodadosquepossuem algumtipodesignificadoadicional.Comoexemplo,tomeosnmeros5,6e7. Sozinhos,elessosimplesmentenmeros.Nosesabeoquesignificamou representam.Elessodados.Seassociarmosaessesnmerosaidadedetrs crianas, passamos a terinformao, pois os nmeros5, 6 e 7 anos passam a ter um significado. -Dados brutossoumasequncia de dadosestatsticos noorganizados, obtidosdiretamente da observao de um fenmeno. -Rol a sequncia ordenada de dados brutos. 5 1.2 A IMPORTNCIA DA AMOSTRA Comomencionadoanteriormente,muitodotrabalhodoestatsticofeitocomamostras. Amostrassonecessrias,poisfrequentementeapopulaodemasiadamentegrandeparaser estudada. Isso levaria muito tempo e tambm seria muito caro, ento, devemos escolher uma amostra dapopulao,calcularaestatsticadaamostraeus-laparaestimarovalorcorrespondenteparaa populao. Essa anlise da amostra determina dois ramos distintos da Estatstica: a estatstica descritiva e a estatsticainferencial.AEstatsticaDescritivaoprocessodecoletar,organizareapresentaros dadosdemaneiraquesejarpidoefcilinterpret-los.AEstatsticaInferencialutiliza-sedeuma amostra para tirar alguma concluso sobre a populao da qual a amostra foi selecionada. A exatido de qualquer estimativa de extrema importncia. Ela depende, em grande parte, da maneira com que a amostra foi escolhida e quo cuidadosa foi essa escolha para se certificar que essa amostra um retrato fiel da populao. Contudo,noraroqueaamostranorepresenteexatamenteapopulaoequeocorraum erroamostral.Existepelomenosduaspossveiscausasparaesseerro.Aprimeirafontedeerro amostral nasce do processo de escolha da amostra. Devido ao fator aleatrio na seleo dos elementos daamostrapossvel,semconhecimento,escolherelementosquesoatpicoseque,portanto,no representam a populao. Para estimar a caracterstica da populao, possvel, por exemplo, escolher umelementonaamostraqueestextremamenteanormal,oqueproduzirumaestimativaqueno representaa populao.Poroutrolado, aaleatoriedadenaescolhapodeproduzirum grande nmero de elementos da amostra que so valores extremamente baixos causando subestimao do parmetro desejado.Nosdoiscasoshouve umerroamostral.Umaamostraviciada outroerroamostralporm maisgrave.Aamostraconsideradaviciadaquandoparaescolh-laexistiuumatendnciamaiorde selecionarcertostiposdeelementosdoqueoutros.Porexemplo,seoprocessodeamostragem favoreceraseleodehomensemdetrimentodasmulheresoufavoreceraescolhadepessoas casadas excluindo os solteiros. 1.3 AS TAREFAS DA ESTATSTICA Emboraoprimeiropassoemumestudoestatsticosejaacoletadosdados,prticacomum comear um curso de estatstica supondo que os dados j foram coletados e esto disposio. Assim, nossotrabalhocomeaorganizandoeapresentandoessesdadosdeumamaneirasignificativae descritiva.Osdadosdevemserorganizadosdetalformaquecomumarpidaolhadarevelemareal informaocontidaneles.Esteprocedimentoconsistedaanlisedescritivaeserestudadonos prximoscaptulos.Depoisdosdadosseremorganizadoseapresentadosparaseremexaminados,o estatstico deve analis-los e interpret-los. Esses procedimentos fazem parte da inferncia estatstica e constituem grande vantagem da anlise estatstica na tomada de decises e no processo da resoluo de problemas. Pelaaplicaoprecisadeumprocedimentoestatsticoatpossvelrealizarprevisescom algumgraudeexatido.Qualquerempreendimentoqueencareapressodacompetiopodetirar vantagemdahabilidadede antecipar futurassituaesantes queessasaconteam.Seumaempresa sabe qual o valor de suas vendas num futuro prximo, administradores podem direcionar precisamente ecommaioreficinciaosplanosoperacionais.Seasvendasfuturassoestimadascomexatidoe confiabilidade, administradores podem, facilmente,tomarimportantesdecisesrelativasaosestoques, materiais para a produo, atender requisies dos funcionrios ou resolver qualquer outro aspecto do gerenciamento operacional. 6 1.4 VARIVEIS Aanliseestatsticaapropriadadeumadeterminadavariveldependedesuanatureza. importanteconheceranaturezadavarivel,poisparacadatipodevarivel,humatcnicamais apropriadaparaseresumirasinformaeseotimizaraanlise.Asvariveissoclassificadascomo Variveis Qualitativas e Variveis Quantitativas. -VariveisQualitativas:apresentamcaractersticasdeumelemento,podendoserno-numricos ou numricos sem significado especfico. Exemplos:sexo(masculino,feminino),estadocivil(solteiro,casado,divorciado,separado judicialmente,vivo),graudeescolaridade(fundamental,mdio,superior,ps-graduao, etc). Essas caractersticas podem ser, tambm, representadas por nmerosque no tem significado numrico("1"indicasexofemininoe"2"indicasexomasculino).Asvariveisqualitativasso sub-divididasem:nominaisvariveissemordenao(estadocivil:solteiro,casado, divorciado, separado judicialmente, vivo) e ordinaisvariveis que devem respeitar ordem estabelecida (grau de escolaridade: fundamental, mdio, superior, ps-graduao, etc). -Variveis Quantitativas: apresentam nmeros resultantes de contagem ou de medida. Exemplos:nmerodefilhos,salriodetrabalhadores,idade,etc.Asvariveisquantitativas podem ser: discretasquando os valores so provenientes de uma contagem, portanto, seus valores soexpressos por nmerosinteiros(nmerode filhos,nmero defuncionriosde uma empresa, nmero de defeitos em um veculo produzido, nmero de livros em uma biblioteca, etc) econtnuasquandoosvaloressoprovenientesdeumamedida,portanto,essavarivel podeassumirqualquervaloremdeterminadointervalo,ouseja,nmerosinteirosedecimais (peso, altura, temperatura, idade, custos, lucros, etc). Referindo-seaoconjuntodedadosnaTabela1,abaixo,comomaisumexemplo,osdados relativos varivel Bolsa de Valores (NYSE, AMEX e OTC) so rtulos usados para identificar onde as aessocomercializadas.Assim,osdadossoqualitativoseaBolsadeValoresumavarivel qualitativa.OSmbolonoPainelEletrnicotambmumavarivelqualitativaeosvalores dedados AWRD,CHK,CRG,etc.soosrtulosusadosparaidentificaraempresacorrespondente.Avarivel Nmero de Negcios Realizados Anualmente uma varivel quantitativa discreta, pois essa varivel s pode assumir valores inteiros. As variveis Vendas Anuais, Preo da Ao e Relao Preo/Ganhos sovariveisquantitativascontnuasjquepodemassumirqualquervalornumdeterminado intervalo de valores. Parapropsitosdeanliseestatstica,adiferenaimportanteerelevanteentredados qualitativosequantitativosqueasoperaesaritmticascomunsstemsignificadocomdados quantitativos.Porexemplo,comdadosquantitativos,osvaloresdedadospodemseradicionadose divididos pelo nmero total de dados para calcular seu valor mdio. Essa mdia tem significado e, em geral,facilmenteinterpretada.Noentanto,quandodadosqualitativossoregistradoscomovalores numricos, tais operaes aritmticas fornecem resultados sem nenhum significado. 7 Tabela 1 Conjunto de dados contendo informaes financeiras referentes a 25 empresas. Empresa Bolsa de Valores Smbolo do Painel Eletrnico No de Negcios Realizados Anualmente Vendas Anuais (US$ milhes) Preo da Ao (US$) Relao Preo/Ganhos Award SoftwareOTCAWRD63.33415,711,50022,5 Chesapeak EnergyNYSECHK1.123.401255,37,88012,7 Craig CorporationNYSECRG121.23729,417,0007,5 Edisto ResourcesAMEXEDT1.115.678254,69,6886,0 Franklin Elect. PblsNYSEFEP378.99088,712,88015,7 Gentia SoftwareOTCGNTIY118.36527,75,75027,4 Giant GroupNYSEGPO30.0027,26,5632,1 Hot TopicOTCHOTT200.45848,315,75027,2 Hudson GeneralAMEXHGC123.87730,239,75011,2 ICU MedicalOTCICUI115.43226,58,50015,7 Jackpot EnterprisesNYSEJ499.45690,610,87517,0 Kentek InformationOTCKNTK246.36760,59,50011,4 Larscom, Inc.OTCLARS310.99871,110,31324,6 Lumisys, Inc.OTCLUMI109.21123,77,37514,2 Maynard OilOTCMOIL147.95438,210,7504,8 Mechanical DynamicsOTCMDII114.98126,06,68817,1 Metrika SystemsAMEXMKA261.93467,215,25015,7 National Home HealthOTCNHHC130.87034,95,1307,7 National Tech TeamOTCTEAM345.69878,110,87532,0 OrCadOTCOCAD85.38421,911,37518,3 OroAmericaOTCOROA689.004164,85,12516,0 Overland DataOTCOVRL256.15666,57,00013,5 PIA MerchandisingOTCPIAM545.890123,17,50028,8 Plenum PublishingOTCPLEN229.78652,544,00010,7 Premier ResearchOTCPRWW64.48916,58,25028,4 Fonte: Stock Investor Pro, American Association of Individual Investors. 8 2. TABELA DE DISTRIBUIO DE FREQUNCIAS Umadistribuiodefrequnciaumsumriotabulardedadosquemostraafrequncia(ouo nmero) de observaes em cada uma das diversas classes no sobrepostas. O objetivo da distribuio de frequncias reduzir a quantidade de dados. 2.1. A DISTRIBUIO DE FREQUNCIAS -Frequncia Absoluta (fi) nmero de vezes em que cada resultado aparece no conjunto de dados. -Total de observaes (n) a soma das frequncias absolutas. =iif n -Frequncia Relativa (ou proporo)(fri) proporo de cada realizao em relao ao total. nffiri = mais usual exprimir a frequncia relativa em porcentagem (frequncia relativa percentual): 100nffiri = Afrequnciaabsolutanocomparativa,poisummesmovalorpodeapresentardiferentes significados dependendo do nmero total de observaes. Exemploparaavarivelqualitativagraudeescolaridade:NaempresaALFA,metadedos funcionrios, ou seja 20, possui o 1o grau. Na empresa BETA, a totalidade de seus 20 funcionrios temo1ograu.Apesardeafrequnciaabsolutaseramesmanasduasempresas,osignificado desse nmero bem diferente. Para tornar os dados comparativos utiliza-se a proporo (frequncia relativa) ou a frequncia relativa percentual. Exemplos: Tabela 2 Frequncia absoluta e frequncia relativa percentual de 36 funcionrios do departamento de recursos humanos da empresa GAMA, segundo o grau de escolaridade. Grau de escolaridade Frequncia Absolutafi Frequncia relativa percentualfri (%) 1o grau 2o grau 3o grau 12 18 6 33,33 50,00 16,67 Total36100,00 9 Tabela 3 Frequncia absoluta e frequncia relativa percentual dos 2000 funcionrios da empresa GAMA, segundo o grau de escolaridade. Grau de escolaridade Frequncia Absolutafi Frequncia relativa percentualfri (%) 1o grau 2o grau 3o grau 650 1020 330 32,50 51,00 16,50 Total2000100,00 No podemos comparar diretamente as colunas das frequncias absolutas das tabelas 2 e 3, pois os totais de empregados so diferentes nos dois casos. Mas, as colunas de porcentagens so comparveis, pois reduzimos as frequncias a um mesmo total (no caso 100). Alm das frequncias absoluta e relativa pode-se tabular a frequncia acumulada. -Frequnciaacumulada(Fac)somadafrequnciaabsolutadeumelementocomas frequncias absolutas dos elementos que o antecedem. i 2 1 acf ... f f F + + + = -Frequnciaacumuladarelativa(FRi)somada frequnciarelativapercentualde umelemento com as frequncias relativas percentuais dos elementos que o antecedem. ri 2 r 1 r Rif ... f f F + + + = Com esses dados a Tabela 2 se torna: Tabela 4 Frequncia absoluta, frequncia relativa percentual, frequncia acumulada e frequncia acumuladapercentualdos36funcionriosdodepartamentoderecursoshumanosdaempresa GAMA, segundo a varivel qualitativa Grau de Escolaridade. Grau de escolaridade Frequncia Absolutafi Frequncia relativa percentualfri (%) Frequncia Acumulada Fac Frequncia AcumuladaRelativaFRi (%) 1o grau 2o grau 3o grau 12 18 6 33,33 50,00 16,67 12 30 36 33,33 83,33 100,00 Total36100,00---------- Anlise de alguns valores da distribuio de frequncias apresentados na Tabela 4: 12 funcionrios no possuem 2o e 3o graus; 50,00% dos funcionrios possuem 2o grau; 16,67% dos funcionrios possuem 3o grau; 30 funcionrios possuem at 2o grau; 33,33% dos funcionrios possuem somente o 1o grau; 83,33% dos funcionrios no possuem 3o grau. 2.2. DISTRIBUIO DE FREQUNCIAS VARIVEL QUANTITATIVA DISCRETA Umconjuntodedados,frequentemente,difcildeinterpretardiretamentenaformaemque reunido.Parasintetizardados,utiliza-seadistribuiodefrequncias.Nocasodasvariveis quantitativasdiscretas,arepresentaoemtabelasmuitotil,poisfornecemeiosdeorganizare resumirosdadosdemodoquepadressejamreveladoseosdadossejammaisfacilmente interpretados. 10 ObservenaTabela5,abaixo,naqualalmdeoutrasinformaes,apresentadaavarivel quantitativadiscretaNmerodeFilhosde36funcionriosdodepartamentoderecursoshumanosda empresa GAMA. Tabela5Informaessobreestadocivil,graudeescolaridade,nodefilhos,salrio,idadee procednciade36funcionriosdodepartamentoderecursoshumanosdaempresaGAMA, localizada na cidade de So Paulo. NoEstado Civil Grau de escolaridade No de filhos Salrio (x Sal. Min.) Idade (anos) Regio de Procedncia 1Solteiro1 Grau04,0026Interior 2Casado1 Grau14,5632Capital 3Casado1 Grau25,2536Capital 4Solteiro2 Grau05,7320Outro Estado 5Solteiro1 Grau06,2640Outro Estado 6Casado1 Grau06,6628Interior 7Solteiro1 Grau06,8641Interior 8Solteiro1 Grau07,3943Capital 9Casado2 Grau17,5934Capital 10Solteiro2 Grau07,4423Outro Estado 11Casado2 Grau28,1233Interior 12Solteiro1 Grau08,4627Capital 13Solteiro2 Grau08,7437Outro Estado 14Casado1 Grau38,9544Outro Estado 15Casado2 Grau09,1330Interior 16Solteiro2 Grau09,3538Outro Estado 17Casado2 Grau19,7731Capital 18Casado1 Grau29,8039Outro Estado 19SolteiroSuperior010,5325Interior 20Solteiro2 Grau010,7637Interior 21Casado2 Grau011,0630Outro Estado 22Solteiro2 Grau211,5934Capital 23Solteiro1 Grau212,0041Outro Estado 24CasadoSuperior012,7926Outro Estado 25Casado2 Grau213,2332Interior 26Casado2 Grau213,6035Outro Estado 27Solteiro1 Grau013,8546Outro Estado 28Casado2 Grau014,6929Interior 29Casado2 Grau514,7140Interior 30Casado2 Grau215,9935Capital 31SolteiroSuperior016,2231Outro Estado 32Casado2 Grau116,6136Interior 33CasadoSuperior317,2643Capital 34SolteiroSuperior018,7533Capital 35Casado2 Grau219,4048Capital 36CasadoSuperior321,9042Interior ParaagruparosdadosdavarivelquantitativadiscretaNmerodeFilhosbastaproceder contagemparacadaumdosvaloresdiferentesdavarivelemestudoeconstruiratabelade distribuio de frequncias. 11 Tabela 6 Frequncia absoluta, frequncia relativa percentual, frequncia acumulada e frequncia acumuladapercentualdos36funcionriosdodepartamentoderecursoshumanosdaempresa GAMA, segundo a varivel quantitativa discreta Nmero de Filhos. No de filhos Frequncia Absolutafi Frequncia relativa percentualfri (%) Frequncia Acumulada Fac Frequncia AcumuladaRelativaFRi (%) 0 1 2 3 5 19 4 9 3 1 52,78 11,11 25,00 8,33 2,78 19 23 32 35 36 52,78 63,89 88,89 97,22 100,00 Total36100,00---------- 2.3.DISTRIBUIODEFREQUNCIASVARIVELCONTNUA(COMINTERVALOSDE CLASSE) Um dos objetivos de se construir a distribuio de frequncias resumir o conjunto de dados. No caso de variveis contnuas, no se pode construir a distribuio de frequncias listando os resultados umaum,poisnohavendoobservaesiguais,nohreduodosdadosemumatabela.Desta forma,interessanteagruparosresultadosemclassesnosobrepostas,calculadasdeformamais elaborada. Paraagruparosdadosdeumavarivelcontnuaemclasses,necessrioadotarclassesde mesma amplitude, sempre que possvel, e: 1.Determinar a extenso (amplitude) total dos dados a tabelar; 2.Determinar o nmero de classes no sobrepostas; 3.Determinar a extenso (amplitude) de cada classe; 4.Determinar os limites de classe. -Amplitudetotaldeumasequncia(At)diferenaentreomaioreomenorelemento deuma sequncia. Representa o comprimento total da sequncia. min max tx x A = -NmerodeClasses(k)existemvrioscritriosparasecalcularonmerodeclassesk.O mais utilizado a frmula emprica: n k = , onde n o nmero de elementos observados. -Amplitude de classe (h) determinada por: kAht= Nestepontoimportanteobservarqueonmerodeclassesdeveserdeterminado adequadamente. Quando se adota um grande nmero de classes no h reduo dos dados, enquanto que para um nmero pequeno de classes as informaes podem ser perdidas. Sugere-se o uso de 5 a 15 classes com a mesma amplitude. 12 Exemplo:ApartirdaTabela5,computandoasfrequnciasabsolutasdecadaclasseparaavarivel quantitativa contnua salrios, possvel construir a tabela de frequncias. Pode-se observar que esto tabelados 36 salrios que vo de 4,00 at 21,90 salrios mnimos. Portanto, calcula-se: Nmero de classes:n k = =36= 6 Amplitude total: min max tx x A = = 21,90 4,00 = 17,90 Amplitude de cada classe: kAht== 690 , 17 = 2,98 ~ 3 Tabela 7 Frequncia absoluta, frequncia relativa percentual, frequncia acumulada e frequncia acumuladapercentualdos36funcionriosdodepartamentoderecursoshumanosdaempresa GAMA, segundo a varivel quantitativa contnua Salrio. Classes de salrio (em salrios mnimos) Frequncia Absolutafi Frequncia relativa percentualfri (%) Frequncia Acumulada Fac Frequncia AcumuladaRelativa FRi (%) 4,00 7,00 7,0010,00 10,00 13,00 13,00 16,00 16,00 19,00 19,00 22,00 7 11 6 6 4 2 19,44 30,56 16,67 16,67 11,11 5,55 7 18 24 30 34 36 19,44 50,00 66,67 83,34 94,45 100,00 Total36100,00---------------- Anlise de alguns valores da distribuio de frequncias apresentados na Tabela 7: 11 funcionrios recebem salrios entre 7,00 e 10,00 s.m.16,67% dos funcionrios, o que equivale a 6 funcionrios, recebem salrios entre 10,00 e 13,00 s.m. 5,55%dosfuncionrios,oqueequivalea2funcionriosapenas,recebemosmaioressalrios,que situam-se entre 19,00 e 22,00 s.m. 11,11% dos funcionrios recebem salrios entre 16,00 e 19,00 s.m. 30 funcionrios recebem menos que 16,00 s.m. ou salrios entre 4,00 e 16,00 s.m. 6 funcionrios recebem pelo menos 16,00 s.m. 66,67% dos funcionrios recebem menos que 13,00 s.m. 33,33% dos funcionrios recebem pelo menos 13,00 s.m. 13 LISTA 1 - Exerccios para fixao 1.Declaresecadaumadasseguintesvariveisqualitativa(nominalouordinal)ouquantitativa (discreta ou contnua): a)Idade b)Gnero c)Marca de Automveis d)Nmero de pessoas favorveis pena de morte e)Vendas anuais (em milhes de reais) de uma empresa brasileira f)Tamanho de camisetas (PP, P, M, G, GG) g)Lucro por ao de uma empresa h)Mtodo de pagamento ( vista, com cheque, com carto de crdito, etc) i)Vida til de lmpadas j)Sexo dos filhos de um casal k)Produo anual de automveis marca FORD em uma capital l)Nmero de aes negociadas na BOVESPA m)Salrio dos funcionrios de uma empresa pblica n)ndice de liquidez das indstrias da cidade de Bauru o)Classe social dos habitantes de um municpio p)Produo anual de caf do Estado de So Paulo q)Grau de escolaridade dos funcionrios de uma empresa privada r)Peso de lutadores de boxe na categoria Peso Pena s)Nmero de livros existentes na biblioteca de uma universidade t)Altura de jovens selecionados para se tornarem jogadores de vlei u)Consumo mensal de energia eltrica (em kWh) em um condomnio v)Patente militar w)Ocupao profissional x)Cargos hierrquicos em uma empresa y)Espessura de folhas de papel z)Nmero de acidentes de trnsito 2.ArevistaFortune fornecedadossobreaclassificaodas500maiorescorporaesindustriaisdos EstadosUnidosemtermosdevendasedelucros.Osdadosparaumaamostradeempresasda Fortune 500 esto na tabela abaixo. EmpresaVendas (US$ milhes) Lucros (US$ milhes) Cdigo do Setor Banc One10.2721.427,08 CPC Intl.9.844580,019 Tyson Foods6.45487,019 Hewlett-Packard38.4202.586,012 Intel20.8475.157,015 Northrup8.071234,02 Seagate Tech.8.588213,311 Unisys6.37149,710 Westvaco3.075212,222 Woolworth8.092168,748 a)Quantos elementos existem nesse conjunto de dados? b)Qual a populao? c)Quantas variveis existem no conjunto de dados? d)Quais variveis so qualitativas e quais so quantitativas? e)Que porcentagem de empresas teve um lucro acima de US$ 100 milhes? f)Que porcentagem de empresas tem cdigo de setor 8? 14 3. Suponha que um psiclogo queira fazer uma pesquisa sobre o comportamento do jovem de 11 a 14 anos em quatro escolas: A, B, C e D. A escola A tem 1500 alunos; a escola B, 4000 alunos; a escola C, 2000 alunos e a escola D, 2500 alunos; todos nessa faixa etria. A pesquisa foi aplicada a 200 jovens, escolhidos ao acaso. a)Construa uma distribuio de frequncia proporcional ao nmero total de alunos, adotando essa amostra aleatria de 200 alunos de todas as escolas. b)Qualaescolacommenorfrequnciaabsoluta?Quantosalunosforampesquisadosnessa escola? c)Qualaescolacommaiorfrequnciarelativa?Qualaporcentagemdealunospesquisados nessa escola? d)Qual o nmero de alunos pesquisados na escola D? 4. Complete as tabelas: a) b) xifi fri (%)xifi fri (%) 01205 1152545 2430 3253530 43154060 524530 65010 71Total300 Total 5. Contou-se o nmero de erros de impresso de um jornal durante 40 dias, obtendo-se os seguintes resultados: 810105121114121210126877514121615 71012181561289111615512671410128 a)Classifique o tipo de varivel que se quer analisar estatisticamente. b)Elabore o rol. c)Resuma os dados em uma tabela de frequncias. d)Qual a porcentagem de dias em que ocorreram menos que 10 erros? e)Qual a porcentagem de dias em que ocorreram pelo menos 15 erros? f)Qual a porcentagem de dias em que ocorreram mais que 12 erros? g)Qual o nmero de dias em que ocorreram 11 erros? h)Qual o nmero de dias em que ocorreram menos que 7 erros? i)Qual o nmero de dias em que ocorreram pelo menos 7 erros? 6.Umapesquisasobreaidadecompleta(cheia)dosalunosdeumaclassedecalourosdeuma faculdade, revelou os seguintes valores: 18171820211920181719 20181918192118191818 19192120171919181819 18211819192019181920 18191918202018191818 a)Agrupeporfrequnciaestesdadosparavarivelquantitativadiscretaidadecompletados calouros. b)Qual a porcentagem de calouros com pelo menos 20 anos? c)Quantos calouros tm menos que 20 anos? d)Quantos calouros tm mais que 18 anos? 15 7.Umaindstriaembalapeasemcaixascom100unidades.Ocontroledequalidadeselecionou50 caixasnalinhadeproduoeanotouemcadacaixaonmerodepeasdefeituosas.Obteveos seguintes dados: 2004300100 1121111110 0030002001 1202000000 0000001412 Agrupe estesdados porfrequncia,construaa distribuiodefrequncias para variveldiscreta e responda: a)Qual a porcentagem de caixas com 2 peas defeituosas? b)Qual a porcentagem de caixas com menos que 2 peas defeituosas? c)Qual a porcentagem de caixas com pelo menos 2 peas defeituosas? d)Qual a porcentagem de caixas com mais que 2 peas defeituosas? e)Qual o nmero de caixas com 3 peas defeituosas? f)Qual o nmero de caixas com pelo menos 3 peas defeituosas? g)Qual o nmero de caixas com menos que 3 peas defeituosas? h)Qual o nmero de caixas em que no h peas defeituosas? 8. A tabela abaixo apresenta as vendas dirias de um determinado aparelho eltrico, durante um ms, por uma empresa comercial: 141211131413 121413141112 121410131511 151316171414 a)Construa a distribuio de frequncias para a varivel discreta. b)Em quantos dias as vendas foram superiores a 13 unidades? c)Qual a porcentagem de dias com vendas inferiores a 12 unidades? d)Em quantos dias as vendas foram inferiores a 15 unidades? e)Qual a porcentagem de dias com vendas de no mnimo 10 unidades? 9. Complete os dados que faltam na distribuio de frequncias: a)b) Classes fi fri (%)Classesfi fri (%) 08100 224 816102 48 1624144 69 2432913 324081016 Total40101212 14163 Total 10.ASPTransportesAreosaceitareservasdevoportelefone.Osseguintesdadosmostrama durao das chamadas (em minutos) para uma amostra de 30 reservas feitas por telefone. 2,1 4,8 5,510,4 7,58,93,3 3,5 5,84,8 9,5 4,6 5,35,52,8 3,6 2,410,95,9 6,6 7,810,5 11,0 4,77,56,0 4,54,811,2 4,3 Determinar: a)A amplitude total At, o nmero de classes k e a amplitude de cada classe h; b)A distribuio de frequncias para a varivel contnua; 16 c)A porcentagem de ligaes com durao menor que 8,0 minutos. d)O nmero de ligaes com pelo menos 4,0 minutos de durao. e)A porcentagem de ligaes com durao entre 4,0 (inclusive) e 8,0 (exclusive) minutos. f)O nmero de ligaes com durao maior ou igual a 8,0 minutos. 11. As notas de 32 estudantes de uma classe so dadas abaixo: 6,00,02,06,55,03,54,07,0 8,07,08,56,04,50,06,56,0 2,05,05,55,07,01,55,05,0 4,04,54,01,05,53,52,54,5 Determinar: a) A amplitude total At, o nmero de classes k e a amplitude de cada classe h; b) A distribuio de frequncias para a varivel contnua; c) A porcentagem de alunos que tiraram nota menor que 4,5; d) O nmero de alunos que tiraram nota menor que 7,5; e) O nmero de alunos que tiraram nota maior ou igual a 6,0; f) A porcentagem de alunos que tiraram nota entre 4,5 (inclusive) e 7,5 (exclusive); g) O limite superior da 2a classe; h) O limite inferior da 4a classe; i) O ponto mdio da 3a classe. 12. O departamento de pessoal de certa empresa fez um levantamento dos salrios dos 80 funcionri os do setor administrativo, obtendo os resultados da tabela de distribuio de frequncias dada abaixo: Faixa salarial (em no de salrios mnimos)Frequncia absoluta - fi 0 225 2 430 4 613 6 812 TOTAL80 Determinar: a)A porcentagem de funcionrios que ganham menos que 4 salrios mnimos. b)A porcentagem de funcionrios que ganham pelo menos 4 salrios mnimos. c)A porcentagem de funcionrios que ganham 2 ou mais salrios mnimos. d)A porcentagem de funcionrios que ganham entre 2 (inclusive) e 6 (exclusive) salrios mnimos. e)A amplitude da 4 classe. f)O limite superior da 2 classe. g)O limite inferior da 4 classe. 13.Osdadosabaixoreferem-seaoconsumomensaldeenergiaeltrica(kWh)emumcondomnio residencial: 9520872077608720784085608480936012480 74407920720088808880792010320936011200 6880752072007760848083208560960011360 76807680744077608480944085601296012960 88808240824078408880848088001328014560 66406960848088808880832085601320013200 67207760688077608320856085601280012480 71207120736093608240848013840896014000 17 Construa a distribuio de frequncias para esses dados, adotando 9 classes com amplitudes idnticas e responda: a)Qual a porcentagem de meses em que o consumo foi pelo menos 10.000 kWh? b)Qual a porcentagem de meses em que o consumo ficou entre 9.000 e 11.000 kWh (exclusive)? c)Qual a porcentagem de meses em que o consumo foi inferior a 13.000 kWh? d)Qual o nmero de meses em que o consumo foi igual ou superior a 8.000 kWh? e)Qual o nmero de meses em que o consumo foi inferior a 10.000 kWh? 14.Construaadistribuiodefrequnciasparaasrieabaixo,querepresentaumaamostrados salrios (em R$) de 25 funcionrios selecionados em uma empresa. Salrios R$ (xi) No de funcionrios (fi) fr i (%)FacFR i (%) 1.000,00 1.200,00 1.200,00 1.400,00 1.400,00 1.600,00 1.600,00 1.800,00 1.800,00 2.000,00 2 6 10 5 2 a)Determine o salrio mdio de cada uma das 5 classes. b)Calcule a porcentagem de funcionrios que ganham salrios pelo menos de R$1.600,00. c)Determine o nmero de funcionrios que recebem salrios inferiores a R$ 1.400,00. d)Determine o nmero de funcionrios que recebem salrios iguais ou superiores a R$ 1.800,00. e)Calcule a porcentagem de funcionrios que recebem salrio no mnimo de R$ 1.200,00. 15. A tabela abaixo representa a distribuio das espessuras (em mm) de 100 folhas de tabaco: 2,012,081,963,042,013,181,942,192,242,18 2,591,962,293,182,091,962,062,182,052,04 2,431,561,943,152,352,082,562,171,961,59 2,222,342,241,952,013,123,033,122,041,66 1,872,493,122,241,763,202,381,581,891,98 1,891,712,421,621,972,181,693,142,183,06 2,401,963,012,192,251,451,932,061,831,84 1,912,111,782,362,333,172,031,873,112,17 1,721,621,991,641,542,261,862,091,741,92 2,361,822,022,251,753,153,181,991,762,51 Pede-se:Aamplitude total, o nmerorecomendado declasses,a amplitude dasclasses,a frequncia absoluta das classes, a frequncia relativa das classes e a frequncia acumulada das classes. Depois, calcule: a) Qual a porcentagem de folhas com espessuras iguais ou superiores a 2,00 mm? b) Qual o nmero de folhas com espessuras inferiores a 2,00 mm? c) Qual o nmero de folhas com espessuras entre 1,80 mm (inclusive) e 2,20 mm (exclusive)? d) Qual a porcentagem de folhas com espessuras inferiores a 2,60 mm? 16. Julgue os seguintes itens: I. Em Estatstica entende-se por populao um conjunto de pessoas. II.Avarivelquantitativacontnuaquandopodeassumirqualquervalordentrodedeterminado intervalo. III. Frequncia relativa de uma varivel aleatria o nmero de repeties dessa varivel. IV. Amplitude total a diferena entre dois valores quaisquer do atributo. 18 Est correto, apenas, o que se afirma em: A) I e II B) II C) III D) II e IV E) I e III 17. Ouvindo-se 300 pessoas sobre o tema "Reforma da Previdncia, contra ou a favor?", foram obtidas 123respostasafavor,72contra,51pessoasnoquiseramopinare,orestante,notinhaopinio formada sobre o assunto. Distribuindo-se esses dados em uma tabela, obtm-se: OPINIOFREQUNCIAFREQUNCIA RELATIVA Favorvel123X Contra72Y Omissos510,17 Sem opinio540,18 TOTAL3001,00 Na coluna frequncia relativa, os valores de X e Y so, respectivamente: A) 0,41 e 0,24 B) 0,38 e 0,27 C) 0,37 e 0,28 D) 0,35 e 0,30 E) 0,30 e 0,35 18. A tabela abaixo apresenta a distribuio de frequncias relativas da varivel tempo, em segundos, requerido para completar uma operao de montagem. Tempo (segundos)fri (%) ab25 bc25 c d25 d36,025 Total100 Sabendo-se que nessa tabela todas as classes tm a mesma amplitude e que 24,0 segundos o tempo que excedido por 75% das montagens, o valor de a : A) 20,0 B) 22,5 C) 21,8 D) 21,2 E) 16,0 19. A tabela abaixo mostra o resultado de uma pesquisa sobre o tipo de alojamento utilizado por alguns turistas que estiveram na cidade de So Paulo, em determinado ano: NacionalidadeHotisCasa de parentes/amigosTotal Portugueses2.43521.35223.787 Alemes4.13413.83517.969 Italianos30.2489.55139.799 Total36.81744.73881.555 19 Julgue os itens a seguir e depois assinale a alternativa correta: I. A porcentagem da populao que ficou em hotis de aproximadamente 45%. II. A porcentagem de alemes que ficaram na casa de parentes e amigos de aproximadamente 17%. III. A porcentagem de portugueses que ficaram em hotis de aproximadamente 2%. A) Somente I falsa. B) Somente II verdadeira. C) Somente III verdadeira. D) Somente I e II so verdadeiras E) Somente I e III so verdadeiras. Respondasquestes20e21combasenaseguintesituao:adistribuioaseguirindicao nmero de acidentes ocorridos com 80 motoristas de uma empresa de nibus interestadual. No de acidentes0123456 No de motoristas2614198751 20. O nmero de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes : A) 6 B) 13 C) 74 D) 67 E) 7 21. A porcentagem de motoristas que sofreram no mximo 2 acidentes : A) 72,25% B) 57,50% C) 50,00% D) 26,25% E) 73,75% 22. O Aedes aegypti vetor transmissor da dengue. Uma pesquisa feita em So Lus MA, de 2000 a 2002,mapeouostiposdereservatrioondeessemosquitoeraencontrado.Atabelaabaixomostra parte dos dados coletados nessa pesquisa. SemantidoopercentualdereduodapopulaototaldeAedesaegyptiobservadade2001para 2002, teria sido encontrado, em 2003, um nmero total de mosquitos: a) menor que 5.000. b) maior que 5.000 e menor que 10.000. c) maior que 10.000 e menor que 15.000. d) maior que 15.000 e menor que 20.000. e) maior que 20.000. 20 23.Osbrasileirostiveram,emjunho,omaiortempodenavegaoresidencialnainternetentreonze pases monitorados pelo Ibope/NetRatings: mdia mensal de 16 horas e 54 minutos porpessoa. O pas ficoufrentedenaescomoaFrana,Japo,EstadosUnidoseEspanha.(Adaptado:FolhadeSoPaulo, 2005). 0 5 - Com base na tabela e no texto acima, analise os possveis motivos para a liderana do Brasil no tempo de uso da internet. I - O pas tem uma estrutura populacional com maior percentual de jovens do que os pases da Europa e os EUA. II-OusodeinternetemcasasedistribuiigualmenteentreasclassesA,BeC,oquedemonstra iniciativas de incluso digital. III-Aadesoaosistemadeinternetporbandalargaocorre,porqueessatecnologiapromovea mudana de comportamento dos usurios. Est correto, apenas, o que se afirma em: a) Ib) IIc) IIId) I e II e) II e III 24. "O estudo "Morte no Trnsito: Tragdia Rodoviria", realizado pelo SOS Estradas, programa de reduodeacidentesdowww.estradas.com.br,maiorportalderodoviasdoBrasil,trazrevelaes surpreendentes.Todososdiasocorrem,emmdia,723acidentesnasrodoviaspavimentadas brasileiras,provocandoamortede35pessoaspordia,edeixando417feridos,dosquaismais30 morrem, por dia, em decorrncia do acidente. A maior parte das mortes no trnsito ocorre nas rodovias enonasviasurbanas.Embora,emnmeromenor,osacidentesnasestradassomuitoviolentos, provocandomaismorteseferimentosgraves.Naavaliaodoestudo,amelhoriadascondiesdas rodoviasnosignificaqueteremosumareduodosacidentes,pois90%soprovocadosporfalha humana.NaavaliaodoCoordenadordoSOSEstradas,RodolfoAlbertoRizzotto,precisoaplicar rigorosamente a lei. "No temos uma indstria de multas, mas uma fbrica de motoristas infratores, cuja produoestaumentando,estimuladapelaimpunidade.Milharesdepessoasmorremsemnenhuma justificativa. No podemos esperar que os infratores contumazes sejam conscientizados, pois estamos vivendo uma epidemia", afirma Rizzotto". Fonte: Baseadonotextoacima,afrequnciarelativademortospordiaemacidentesnasrodovias pavimentadas brasileiras , aproximadamente, igual a: A) 4% B) 58% C) 67% D) 10% E) 9% 25. A tabela abaixo apresenta a distribuio de frequncias relativas da varivel tempo, em segundos, requerido para completar uma operao de montagem. Tempo (segundos)fri (%) ab25 bc25 c d25 d36,025 Total100 21 Sabendo-se que nessa tabela todas as classes tm a mesma amplitude e que 24,0 segundos o tempo que excedido por 75% das montagens, o valor de a : A) 20,0 B) 22,5 C) 21,8 D) 21,2 E) 16,0 26. Um dos ndices de qualidade do ar diz respeito concentrao de monxido de carbono (CO), pois esse gs pode causar vrios danos sade. A tabela abaixo mostra a relao entre a qualidade do ar e a concentrao de CO. Qualidade do arConcentrao de CO (ppm)* em 8 horas Inadequada15 a 30 Pssima30 a 40 CrticaAcima de 40 *ppm = parte por milho Para analisar os efeitos do CO nos seres humanos, dispe-se dos seguintes dados: Concentrao de CO (ppm)Sintomas em seres humanos 10Nenhum 15Diminuio da capacidade visual 60Dores de cabea 100Tonturas, fraqueza muscular 270Inconscincia 800Morte Fonte: Suponha que voc tenha lido em um jornal que na cidade de So Paulo o nvel de qualidade do ar est pssimo. Uma pessoa que estivesse nessa rea poderia: A) no apresentar nenhum sintoma. B) ter sua capacidade visual diminuda. C) ter dores de cabea. D) apresentar fraqueza muscular e tontura. E) ficar inconsciente. 22 CAPTULO 2-REPRESENTAO GRFICA DE DADOS ESTATSTICOS BIBLIOGRAFIA CONSULTADA: 1.ANDERSON,D.R.;SWEENEY,D.J.;WILLIAMS,T.A.EstatsticaAplicadaAdministraoe Economia. 2.ed. So Paulo: Cengage Learning, 2007. 2. LAPPONI, J. C. Estatstica usando o Excel. 4.ed. So Paulo: Campus, 2005. 3. MARTINS, G. A. Estatstica Geral e Aplicada. 2.ed. So Paulo: Atlas, 2002. 4. MARTINS, G. A.; DONAIRE, D. Princpios de Estatstica. 4.ed. So Paulo: Atlas, 1995. 5.MEDEIROS,E.S.etal.EstatsticaparaosCursosdeEconomia,AdministraoeCincias Contbeis. vol. 1 e 2. 3.ed. So Paulo: Atlas, 1999. 6. TRIOLA, M. F. Introduo Estatstica. 10.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. INTRODUO Nocaptuloanteriormostrou-seautilidadedastabelascomoinstrumentodeapresentaoe anlise de dados estatsticos. Aapresentaogrficaumcomplementoimportantedaapresentaotabular.Umadas maneiras mais concisas de se apresentar os dados estatsticos de uma tabela atravs de grficos. A principalvantagemdeumgrficosobreumatabelaqueelepermiteconseguirumavisualizao imediatadadistribuiodosvaloresobservados.Osgrficospropiciamumaidiapreliminarmais satisfatria da concentrao e disperso de valores, uma vez que atravs deles, os dados estatsticos seapresentamemtermos de grandezasvisualmenteinterpretveis.Alm disso, os fatos essenciaise asrelaesquepoderiamserdifceisdereconheceremmassasdedadosestatsticospodemser observados mais claramente atravs dos grficos. Entretanto,precisotercuidado,poisatmesmoosgrficosmaissimplespodemserusados para sutilmente enganar e confundir. Comoexemplo,vejamososlucrosobtidosporumaempresanoltimosemestredoano passado. MSJulhoAgostoSetembroOutubroNovembroDezembro LUCRO (milhes de reais)2,02,12,22,12,32,4 Agora, vamos construir dois grficos para essa situao. 23 Essesgrficossobaseadosnasmesmasinformaes,masporqueparecemdiferentes?No grficodaesquerda,parecequeolucrodaempresafoipraticamenteomesmoacadams.Jno grficodadireitaolucrodaempresaparecequecresceumuitodejulhoparadezembro.Oqueest acontecendo? Eles apresentam verses drasticamente diferentes das mesmas informaes. Observemos com ateno como os eixos verticais so diferentes em cada grfico. Nogrficodaesquerdaobserva-sequeolucroquaseconstante.Issoobtidocomoeixo verticalcomeandoemzero, escolhendo-seumaescala de0,5em 0,5 e, emseguida,marcando-se o lucro para cada ms em funo disso. No grfico da direita, o eixo vertical comea em 2,0 e foi escolhida uma escala de 0,1 em 0,1. primeira vista, os lucros parecem estar aumentando drasticamente a cada ms. S quando se observa mais de perto que se consegue ver o que est realmente acontecendo. Portanto, a est o papel importantssimo da ESCALA. DIFERENTES TIPOS DE REPRESENTAES GRFICAS DE DADOS ESTATSTICOS A distribuio de frequncias, tanto de variveis discretas como de variveis contnuas, pode ser interpretadamaisfacilmentequandoosvaloresdessasvariveissoapresentadosemformade grficos. A estatstica utiliza vrios tipos de grficos: de barras, de colunas, de linhas, de setores ou pizza, histogramas e polgonos de frequncia. Mas,porquenospreocuparmoscomosgrficos?Ossoftwaresgrficosresolvemtudo rapidamenteegeramgrficoseficientes...Naverdade,ossoftwaresgrficosnopodempensarpor ns! Softwares podem traduzir dados em grficos mas no podem garantir que o grfico esteja correto e nem que esteja transmitindo a mensagem desejada (basta lembrarmos do exemplo acima sobre o lucro da empresa!). 24 A)GRFICO DE COLUNAS SIMPLES Umgrficodecolunasumarepresentaoqueservepararetratarosdadosqualitativosou quantitativosdiscretosqueforamsintetizadosemumadistribuiodefrequnciasabsolutas, frequnciasrelativasoufrequnciasrelativaspercentuais.Noeixohorizontaldogrficoso especificadas as categorias. A escala de frequncias colocada no eixo vertical. Exemplo:Natabelaabaixo,soapresentadosonmerodepacotesdefriasvendidosporuma operadora de turismo para alguns dos principais destinos em julho desse ano. DestinoNo de pacotes de frias vendidos (frequncia absoluta fi) FRANA12 ITLIA8 PORTUGAL6 EUA13 EGITO5 GRCIA8 CARIBE15 Importante:Osdadosaquiapresentadossofictcios,noexistindonenhumaconexocoma realidade.Ogrficoemquestofoicriadocomoobjetivopedaggicodeoferecerummelhor entendimento de como um grfico pode ser utilizado. Representando-se, graficamente, com colunas simples a situao descrita acima, tm-se: 25 B)GRFICO DE BARRAS SIMPLES Umgrficodebarrassimplesservepararetrataromesmotipodevarivelqueogrficode colunas simples, ou seja, variveis qualitativas ou quantitativas discretas. A diferena entre o grfico de colunasedebarrasquenoeixoverticaldogrficodebarrassoespecificadasascategoriasea escala de frequncias colocada no eixo horizontal. Exemplo:Natabelaabaixoapresentadaaclassificao(emporcentagem)dasentidadessemfins lucrativos (ONGs) por setor de atividade existentes no Brasil. Setor de AtividadePercentual de ONGs (frequncia relativa fri) Religio24,8 Desenvolvimento e defesa de direitos17,8 Associaes patronais e profissionais17,4 Cultura e recreao13,9 Assistncia social, sade, meio ambiente e proteo animal13,7 Educao e pesquisa5,9 Outras6,5 Importante:Osdadosaquiapresentadossofictcios,noexistindonenhumaconexocoma realidade.Ogrficoemquestofoicriadocomoobjetivopedaggicodeoferecerummelhor entendimento de como um grfico pode ser utilizado. Representando-se, graficamente, com barras simples, a situao descrita acima, tm-se: 26 C) GRFICO DE COLUNAS OU BARRAS MLTIPLAS arepresentaogrficaemqueosretngulosreferentesadeterminadodadosodispostos um ao lado do outro, evidenciando suas diferenas, para facilitar a comparao entre eles. Serve para retratar os dados qualitativos ou quantitativos discretos. Exemplo: Na tabela abaixo est indicada a formao em cursos superiores por rea de conhecimento no Brasil e na Coria do Sul em 2010 (em porcentagem). Formao em Cursos Superiores (%) (frequncia relativa fri) rea do ConhecimentoCoria do SulBrasil Sade e bem-estar, cincias fsicas e biolgicas224 Matemtica, cincia da computao e engenharias3123 Artes, humanidades e educao224 Cincias sociais e direito2569 Importante:Osdadosaquiapresentadossofictcios,noexistindonenhumaconexocoma realidade.Ogrficoemquestofoicriadocomoobjetivopedaggicodeoferecerummelhor entendimento de como um grfico pode ser utilizado. Representando-se, graficamente, com colunas duplas, a situao descrita acima, tm-se: 27 D) GRFICO DE SETORES Ogrficodesetoresoupizzaumdispositivogrficocomumenteusadoparaapresentaras distribuies de frequncia relativa. Sua construo feita com base em um crculo que dividido em setorescomreasproporcionaissfrequnciasdasdiversascategorias.Estegrficoservepara retratar, principalmente, dados qualitativos. Exemplo: Um informativo financeiro relatou que, no ltimo ano, pessoas investiram em fundos coletivos no Brasil, segundo a distribuio de frequncias relativas abaixo: Tipo de fundo coletivoPercentual de pessoas (frequncia relativa fri) ngulo (graus) Fundos de desenvolvimento1968,40 Fundos de renda fixa1450,40 Fundos de renda varivel33118,80 Fundos internacionais1864,80 Outros1657,60 Total100%360,00 Importante:Osdadosaquiapresentadossofictcios,noexistindonenhumaconexocoma realidade.Ogrficoemquestofoicriadocomoobjetivopedaggicodeoferecerummelhor entendimento de como um grfico pode ser utilizado. Para que o ngulo correspondente a cada setor seja determinado, utiliza-se regra de trs simples: 100% --------3600 19% --------x = = 4 , 68100840 . 6x Determina-se, analogamente, os ngulos dos outros setores. Representando-se, graficamente, com um grfico de setores, a situao descrita acima, tm-se: FUNDOS DE DESENVOLVIMENTO19%FUNDOS DE RENDA FIXA14%FUNDOS DE RENDA VARIVEL33%FUNDOS INTERNACIONAIS18%OUTROS16%Investimentos de pessoa fsicaem fundos coletivos no ltimoano 28 E) GRFICO DE LINHA umaaplicaodoprocessoderepresentaodasfunesnumsistemadecoordenadas cartesianas.Nestetipodegrficose utilizauma linhapoligonalpararepresentarasrieestatstica. til para se visualizar a variao de uma grandeza em relao outra. Este grfico serve para retratar dados quantitativos. Exemplo: Na tabela abaixo, est indicada a Produo Brasileira de Petrleo de 1997 a 2005. AnosProduo Brasileira de Petrleo (milhes de litros) (frequncia absoluta fi) 199765920 199866845 199969738 200071844 200175014 200284434 200387024 200486197 200589587 Importante:Osdadosaquiapresentadossofictcios,noexistindonenhumaconexocoma realidade.Ogrficoemquestofoicriadocomoobjetivopedaggicodeoferecerummelhor entendimento de como um grfico pode ser utilizado. Determinados,graficamente,todosospontosdasrieusandoosparesordenados,oanono eixo horizontal e as quantidades no eixo vertical, ligam-se esses pontos, dois a dois, por segmentos de reta, o que gera uma linha poligonal, que o grfico em linha correspondente srie em estudo. 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 20066468727680848892 PRODUO DE PETRLEO NO BRASIL(bilhes de litros)ANO 29 F) GRFICO DE LINHAS MLTIPLAS umaaplicaodoprocessoderepresentaodasfunesnumsistemadecoordenadas cartesianas.Nestetipode grficose utilizalinhaspoligonais pararepresentar assries estatsticas. tilparacompararavariaodeumagrandezaemrelaooutra.Estegrficoservepararetratar dados quantitativos. Exemplo:Natabelaabaixo,estoindicadasas variveisOfertaeDemandadeEtanolnoBrasilde 1997 a 2005. AnosOferta e Demanda de Etanol no Brasil (bilhes de litros) (frequncia absoluta fi) OfertaDemanda 199715,497,51 199814,123,38 199912,983,02 200010,612,81 200111,505,56 200212,628,75 200314,7312,23 200415,1013,53 200516,0515,02 Importante:Osdadosaquiapresentadossofictcios,noexistindonenhumaconexocoma realidade.Ogrficoemquestofoicriadocomoobjetivopedaggicodeoferecerummelhor entendimento de como um grfico pode ser utilizado. Determinados, graficamente, todos os pontos das sries usando os pares ordenados, o ano no eixo horizontal e as quantidades no eixo vertical, ligam-se esses pontos, dois a dois, por segmentos de reta, para cada uma das variveis, gerando, nesse caso, duaslinhas poligonais (podem ser mltiplas), que o grfico em linhas correspondente s sries em estudo. 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 20060246810121416 OFERTA DEMANDAOFERTA e DEMANDA DE ETANOL NO BRASIL(bilhes de litros)ANO 30 G) HISTOGRAMAS Representao grfica da distribuio de frequncias somente de varivel contnua. Osdadosagrupadosemintervalosdeclassepodemserrepresentadosgraficamentepormeio deumhistograma.Ohistogramaumarepresentaogrficaformadaporretngulosjustapostos, cujas bases se apiam no eixo horizontal. A altura de cada retngulo deve ser proporcional frequncia correspondente a cada classe e o ponto mdio da base de cada retngulo deve coincidir com o ponto mdio do respectivo intervalo de classe. Exemplo: Na tabela abaixo est indicado o nmero de famlias brasileiras de acordo com o nmero de salrios mnimos que cada uma delas tem como renda familiar mensal. Renda Familiar Mensal (Salrios Mnimos) Nmero de Famlias (milhes) (frequncia absoluta fi) 1 0 13200 2 1 15000 3 2 6900 4 3 3800 5 4 4000 6 5 3250 7 6 1560 8 7 1300 9 8 900 10 9 500 Importante:Osdadosaquiapresentadossofictcios,noexistindonenhumaconexocoma realidade.Ogrficoemquestofoicriadocomoobjetivopedaggicodeoferecerummelhor entendimento de como um grfico pode ser utilizado. Representando-se,graficamente,pormeiodeumhistograma,avarivelquantitativacontnua Renda Familiar Mensal no pas, tm-se: 020004000600080001000012000140001600012 34 5 67 8910RENDA FAMILIAR MENSAL (SALRIOS MNIMOS)NMERO DE FAMLIAS (MILHES) 31 LISTA 2 - Exerccios para fixao 1. Estes quatro grficos, na ordem em que so apresentados (1, 2, 3, 4), denominam-se:

GRFICO 1GRFICO 2 020004000600080001000012000140001600012 34 5 67 8910RENDA FAMILIAR MENSAL (SALRIOS MNIMOS)NMERO DE FAMLIAS (MILHES)

Servios BurocrticosGerencialTrabalho No QualificadoArtesanato01020304050607080FREQNCIA ABSOLUTAOCUPAO GRFICO 3 GRFICO 4 0200004000060000800001000002000 2001 20022003 2004ANOPRODUO DE PETRLEO (mil m3) 0 10 20 30 40 50 60 70 80SUDESTECENTRO-OESTENORTESULPRODUO DE MADEIRAFreqncia Relativa (%)REGIO BRASILEIRA A) Colunas simples, colunas simples, polgono de frequncia, barras simples. B) Colunas mltiplas, histograma, linha, barras mltiplas. C) Histograma, colunas simples, linha, barras simples. D) Histograma, colunas simples, polgono de frequncia, barras simples. E) Colunas mltiplas, colunas simples, diagrama de disperso, barras simples. 2.RepresentargraficamenteadistribuiodefrequnciasdaempresaDelta,segundoonmerode faltas mensais, como um grfico de colunas simples para varivel discreta.

No de faltas do ms0123456 No de operrios (frequncia absoluta) 160 120 90 70 40 20 10 3. Construir um grfico de colunas simples segundo os dados abaixo: Nmero aproximado de alunos matriculados de 5a a 8a sries em 2010 por regio brasileira RegioNo de Alunos Norte1.300.000 Nordeste5.400.000 Centro-Oeste1.500.000 Sudeste6.200.000 Sul2.250.000 32 4. Construir um grfico de barras simples segundo os dados abaixo: Turistas estrangeiros no Brasil - Cidades mais visitadas em 2010 CidadePorcentagem (frequncia relativa) Rio de Janeiro24 So Paulo4 Salvador18 Fortaleza44 Recife8 Outras2 5. Construir um grfico de setores para os dados tabelados em cada um dos itens abaixo. A)Estimativa da safra de gros em 2011 por regio brasileira RegioPorcentagem (frequncia relativa) Norte3 Nordeste8 Sudeste15 Centro-Oeste33 Sul41 B)Nmero de veculos motorizados registrados em Santa Vitria/MG Tipo de VeculoNmero de veculos (frequncia absoluta) Carro de passageiro585 Minivan75 Caminho de 2 eixos60 Caminho de Multieixo30 Moto315 Barco a motor15 6.Construirumgrficodebarrasmltiplaspararepresentaraevoluoaolongodasdcadasda populao urbana e rural brasileira. Populao (%) Anos Urbana Rural 195036,1663,84 196045,0854,92 197055,9444,06 198067,5932,41 199075,5924,41 200081,2518,75 200583,0116,99 Fonte: www.ibge.gov.br 33 7. Construir um grfico de linha segundo os dados abaixo: AnosProduo de Feijo (milhes de toneladas) 20004,3 20013,9 20024,3 20034,4 20044,3 20053,9 Fonte: www.conab.gov.br 8. Construir um grfico de linhas duplas segundo os dados abaixo: Participao de homens e mulheres no mercado de trabalho (%) AnosHomensMulheres 197571,228,8 198566,533,5 199559,640,4 200557,642,4 Fonte: www.fcc.org.br 9. Os dados abaixo representam a massa, em quilogramas, deuma amostra de 50 bebs nascidos na MaternidadeSoBentonoperodode30dias.Construaohistogramaquerepresenteosvaloresda frequncia relativa. Massa (kg)No de bebs% de bebs 1,0 1,5 24 1,5 2,0 24 2,0 2,5 48 2,5 3,0 1428 3,0 3,5 2346 3,5 4,0 510 Total50100 10. Os dados abaixo representam a vida til, em horas, de 260 lmpadas de certa indstria na cidade de Jacare. Construir o histograma correspondente a essa distribuio. Durao (horas)No de lmpadas 300 400 12 400 500 28 500 600 36 600 700 48 700 800 60 800 900 50 900 1000 26 Total260 34 11.DolixoproduzidonoBrasil,diariamente,60.000toneladassodepapel,7.200toneladasde plstico, 19.200 toneladas de metais, 4.800 toneladas de vidro e 148.800 toneladas so provenientes de outros materiais, totalizando 240.000 toneladas de lixo por dia(www.cempre.org.br). Observe os grficos de setores abaixo e indique qual o mais adequado para representar essas informaes. A B C D 12. Um grupo de estudantes de enfermagem fez uma pesquisa sobre o tipo de sangue contido nos 540 frascosdeumbancodesanguedecertohospital.Pararesumiremosdadosencontrados,os estudantesconstruramumgrficodesetorese,nolugardasporcentagens,indicaramosngulosde alguns desses setores circulares, como mostrado na figura abaixo). Calcule o nmero de frascos que contm sangue tipo B. Tipo O162oTipo AB36oTipo BXoTipo A108o 13. O grfico abaixo representa, em milhares de toneladas, a produo de soja do estado de So Paulo entre os anos de 1997 e 2005 (Brasil Pesquisas, 2006). Calcule o decrscimo percentual entre os anos de 2000 e 2001 e o acrscimo percentual entre os anos de 2001 e 2002. 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006203040506070 Produo de Soja no Estado de So Paulo(mil toneladas)ANO 35 14.Aescolaridadedosjogadoresdefutebolnosgrandescentrosmaiordoqueseimagina,como mostraapesquisaabaixo,realizadacomosjogadoresprofissionaisdosquatroprincipaisclubesde futebol do Rio de Janeiro. Deacordocomessesdados,opercentualdosjogadoresdosquatroclubesqueconcluramoEnsino Mdio de aproximadamente: A) 14%B) 48%C) 54%D) 60%E) 68% 15. Um estudo caracterizoucinco ambientes aquticos, nomeados de A a E, em uma regio, medindo parmetros fsico-qumicos de cada um deles, incluindo o pH nos ambientes. O Grfico I representa os valores de pH dos cinco ambientes. Grfico I Grfico II Utilizando o Grfico II, que representa a distribuio estatstica de espcies em diferentes faixas de pH, pode-se esperar um maior nmero de espcies no ambiente: A) AB) BC) CD) DE) E 16.Nogrficoabaixopode-seobservarcomosodivididosos188bilhesdereaisdooramentoda Unio entre os setores de sade, educao, previdncia e outros. 36 Se os 46 bilhes gastos com a previdncia fossem totalmente repassados aos demais setores de modo que 50% fossem destinados sade, 40% educao e 10% aos outros setores, o aumento percentual para o setor de sade seria igual, aproximadamente, a: A) 121%B) 69%C) 65%D) 61%E) 50% 17. No grfico de colunas abaixo, est representado o nmero de rdio emissoras por regio brasileira no ano 2000. Analisando-o, classifique em V ou F cada sentena seguinte: A) Se esse conjunto de dados fosse representado em um grfico de setores, o ngulo correspondente regio Sul seria menor que 90. () B) Na regio Centro-Oeste h 2,27% das rdios emissoras brasileiras. () C) O nmero de rdio emissoras na regio Sudeste 60,24% maior que na regio Nordeste. () D) Na regio Norte h, apenas, 5,73% das rdio emissoras de todo o pas. () E) Nas regies Sul e Sudeste esto mais de 60% das rdio emissoras de todo o pas. () 18.Moradoresdetrscidades,aquichamadasdeX,YeZ,foramindagadosquantoaostiposde poluio que mais afligiam as suas reas urbanas. Nos grficos de setores abaixo esto representadas as porcentagens de reclamaes sobre cada tipo de poluio ambiental. X Y Z Considerandoaqueixaprincipaldoscidadosdecadacidade,aprimeiramedidadecombate poluio em cada uma delas seria, respectivamente: XYZ A)Manejamento de lixoEsgotamento sanitrioControle de emisso de gases B)Controle de despejo industrialManejamento de lixoControle de emisso de gases C)Manejamento de lixoEsgotamento sanitrioControle de despejo industrial D)Controlede emisso de gasesControle de despejo industrialEsgotamento sanitrio E)Controle de despejo industrialManejamento de lixoEsgotamento sanitrio 37 19. O grfico abaixo mostra uma triste realidade brasileira: a desigualdade racial associada renda do trabalhador. De acordo com o grfico, julgue as sentenas abaixo como verdadeiras (V) ou falsas (F): A) Alm da desigualdade racial, h uma desigualdade salarial entre os sexos. ( ) B) A desigualdade salarial entre os sexos maior entre os negros. ( ) C)Emmdia,osalriodosnegrosmetadedosalriodosno-negros,independentementedosexo. () D)Paraqueumhomemnegrorecebesse,porhora,omesmovalorqueumamulherno-negra,seu rendimento por hora deveria aumentar 50%. () E)Paraqueumamulhernegrarecebesse,porhora,omesmovalorqueumamulherno-negra,seu rendimento por hora deveria aumentar aproximadamente 100%. () 20. Com base no grfico abaixo, assinale a alternativa correta: No total de pousos e decolagens em alguns aeroportos do pas entre 2003 e setembro de 2006 A) Em 2006 (at setembro), houve mais de 300 mil pousos e decolagens em aeroportos de So Paulo. B)OaeroportodoGaleoregistrouacrscimodemaisde38%nospousosedecolagensde2004a setembro de 2006. C) Houve, no aeroporto de Braslia, aumento de mais de 2 mil pousos e decolagens de 2004 a 2005. 38 D)SeamdiamensaldepousosedecolagensregistradaemCongonhasatsetembrode2006se mantivesse at o final do ano, o total anual de pousos e decolagens em 2006 ultrapassaria 230 mil. E)O aeroporto deCongonhasregistrouumataxadevariao percentualmaiorque3%nos pousos e decolagens no perodo de 2003 a 2005. 21.EmumestudofeitopeloInstitutoFlorestal,foipossvelacompanharaevoluodeecossistemas paulistasdesde1962.Desseestudopublicou-seoInventrioFlorestaldeSoPaulo,quemostrou resultados de dcadas de transformaes da Mata Atlntica. Examinando o grfico da rea de vegetao natural remanescente (em mil km2) pode-se inferir que: A) a Mata Atlntica teve sua rea devastada em 50% entre 1963 e 1973. B) a vegetao natural da Mata Atlntica aumentou antes da dcada de 60, mas reduziu nas dcadas posteriores. C) a devastao da Mata Atlntica remanescente vem sendo contida desde a dcada de 60. D) nos anos 2000-2001, a rea de Mata Atlntica preservada em relao ao perodo de 1990-1992 foi de 34,6%. E) nos anos 2000-2001, a rea preservada da Mata Atlntica maior do que a registrada no perodo de 1990-1992. 22.Paraoclculodainflao,utiliza-se,entreoutros,ondiceNacionaldePreosaoConsumidor Amplo(IPCA),quetomacomobaseosgastosdasfamliasresidentesnasreasurbanas,com rendimentos mensais compreendidos entre um e quarenta salrios mnimos. O grfico a seguir mostra as variaes do IPCA de quatro capitais brasileiras no ms de maio de 2008. 39 Com base no grfico qual foi o item determinante para a inflao de maio de 2008? A) Alimentao e bebidas. B) Artigos de residncia. C) Transportes. D) Vesturio. E) Habitao. 23. O analfabetismo um problema social que atinge parte da populao brasileira. Observe o grfico de colunas abaixo, obtido pelo IBGE em 2003, que mostra o nmero de pessoas com 5 anos ou mais de idade no-alfabetizadas nas cinco regies do Brasil. Considerando que, segundo o ltimocenso,apopulao brasileira era de, aproximadamente, 180.762.400 habitantes, a porcentagem de pessoas no-alfabetizadas no Brasil igual a: A) 88%B) 78 %C) 68%D) 12%E) 10% 40 CAPTULO 3-MEDIDAS QUANTITATIVAS BIBLIOGRAFIA CONSULTADA: 1.ANDERSON,D.R.;SWEENEY,D.J.;WILLIAMS,T.A.EstatsticaAplicadaAdministraoe Economia. 2.ed. So Paulo: Cengage Learning, 2007. 2.BUSSAB,W.O.;MORETIN,P.MtodosQuantitativos:EstatsticaBsica.5.ed.SoPaulo: Saraiva, 2002. 3. DOWNING, D.; CLARK, J. Estatstica Aplicada. 3.ed. So Paulo: Saraiva, 2011. 4. MARTINS, G. A. Estatstica Geral e Aplicada. 2.ed. So Paulo: Atlas, 2002. 5.MEDEIROS,E.S.etal.EstatsticaparaosCursosdeEconomia,AdministraoeCincias Contbeis. vol. 1 e 2. 3.ed. So Paulo: Atlas, 1999. 6. STEVENSON, W. J. Estatstica Aplicada Administrao. 3.ed. So Paulo: Harbra, 2001. 7. TRIOLA, M. F. Introduo Estatstica. 10.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 8. WEBSTER, A. L. Estatstica Aplicada Administrao e Economia. 3.ed. So Paulo: McGraw Hill, 2006. INTRODUO Osmtodosestatsticosenvolvemaanliseeainterpretaodedadosnumricos.Para interpretar os dados corretamente necessrio, primeiramente, organizar e sumarizar os nmeros. Um conjuntodenmerospodereduzir-seaumaouaalgumasmedidasnumricasqueresumemtodoo conjunto. Usualmente, empregam-se as seguintes medidas: 1.1 Medidas de posio (ou tendncia central) = mdia, mediana e moda. 1.2 Medidas de disperso = amplitude total, varincia e desvio padro. 1.3 Medidas separatrizes = quartis, decis e percentis. 1.1 MEDIDAS DE POSIO (TENDNCIA CENTRAL) A) DADOS BRUTOS OU ROL A.1Mdia Aritmtica Notao:x Calcula-se a mdia aritmtica efetuando-se a soma das observaes dividida pelo nmero total de observaes.nxxn1 ii= = Exemplo1:Duranteumdeterminadomsdevero,osquinzevendedoresdeumaempresade calefao central e ar condicionado venderam os seguintes nmeros de ar condicionado central: 8, 11, 12, 5, 14, 12, 8, 11, 16, 12, 12, 17, 7, 9, 11. Considerando este ms como uma populao estatstica de interesse, o nmero mdio de unidades vendidas : 111511 9 7 17 12 12 16 11 8 12 14 5 12 11 8x =+ + + + + + + + + + + + + += 41 A.2Mdia Aritmtica Ponderada Notao:x O clculo da mdia ponderada deve levar em conta os pesos desiguais dos bimestres. A frmula para o clculo : ===n1 iin1 ii iff . xxonde xi a observao de ordem i e fi o peso da observao de ordem i. Exemplo2:Considereasituaoemqueumprofessorinformequeospesosdasnotasbimestrais, so:1o bimestre-peso2;2o bimestre-peso2;3o bimestre-peso3;4o bimestre-peso3.Oaluno obteveasseguintesnotasemEstatstica:6,0;8,0;9,0e5,0,emcadabimestre,respectivamente. Portanto: 0 , 710703 3 2 20 , 5 3 0 , 9 3 0 , 8 2 0 , 6 2x = =+ + + + + + = A.3Mediana Notao:x~ Colocados os dados brutos em ordem crescente ou decrescente (ROL), a mediana o elemento queocupa a posiocentral. Suacaracterstica principal dividir umconjuntoordenado dedadosem dois grupos iguais; a metade ter valores inferiores mediana e a outra metade ter valores superiores mediana. Para se calcular a mediana, determina-se o nmero n de elementos do rol, utilizando o seguinte critrio: Se n mpar O rol admite um termo central que ocupa a posio 21 n +. Exemplo3:OsquinzevendedorescitadosnoExemplo1venderamasseguintesquantidadesde aparelhos de ar condicionado, colocadas em ordem crescente (rol): 5, 7, 8, 8, 9, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 14, 16, 17.O elemento central desse conjunto de dadosocupa a posio821 1521 n=+=+, ou seja, a 8a posio. Portanto, a mediana desse conjunto de dados igual a 11. 11 x~= SenparUtiliza-secomomediana,amdiaaritmticadasduasobservaescentrais,ouseja,a mdia dos elementos que ocupam no rol as posies 2ne 12n+ . Exemplo4:Ogerentedeumapizzariamantmocontroledasvendasdosdiversostiposdepizza. Suponha que ele tenha observado os seguintes valores de vendas dirias em ordem crescente (rol) do tipo calabresa durante o perodo de quatorze dias: 37, 38, 38, 39, 40, 43, 44, 46, 48, 51, 56, 59, 61, 64. Asposiescentraisdesseconjuntodedadosso:72142n= = (7aposio)44e8 121412n= + = +(8a posio) 46.A mediana , portanto, a mdia aritmtica desses 2 elementos: 42 45246 44x~=+= Portanto, o procedimento para se determinar a mediana o seguinte: 1. Ordenar os valores (Rol); 2. Verificar se h um nmero mpar ou par de observaes; 3. a) Para um nmero mpar n de observaes, a mediana o valor central. b) Paraumnmeroparndeobservaes,amedianaamdiaaritmticadasduasobservaes centrais. A.4Moda Notao: x*. o valor (observao) que ocorre com maior frequncia num conjunto de dados. Exemplo5:OsquinzevendedorescitadosnoExemplo1venderamasseguintesquantidadesde aparelhosdearcondicionado:8,11,12,5,14,12,8,11,16,12,12,17,7,9,11.Amodaparaesse conjunto de dados o valor que ocorre com maior frequncia, ou seja,x* = 12. OBSERVAES: -Se mais de um valor ocorre com maior, mas igual, frequncia, todos eles so chamados de moda. -Muitas distribuies que surgem na prtica so razoavelmente simtricas com a maioria dos valores concentradaprximoaocentro.Emtalcaso,mdia,modaemediana estomuitoprximas umas das outras ou so at coincidentes. -Uma distribuio com duas modas chamada de distribuio bimodal. COMPARANDO A MDIA, A MEDIANA E A MODA Amdiaamedidadetendnciacentralmaisusada.Elafcildecalculareinterpretar. Infelizmente,amdiaafetadaporvaloresextremosouatpicose,diferentedamediana,podeser drasticamentedesviadaporobservaesqueficamextremamenteacimaouabaixodamaioriadas observaes. Porexemplo,paraosdados4,5,6,6,7,8,amdiaeamedianaso6erepresentamuma medida excelente do ponto central do conjunto de dados. Se a ltima observao fosse 80e no 8, a mdia noseria6,seria 18,masamedianaaindaseria6.Como amediana no afetadapelo valor extremo, ela representa melhor as seis observaes. A moda tambm pouco afetada por algumas observaes atpicas e, continua sendo 6, mesmo seoltimovalorfosse80.Dequalquermaneira,senohmodaouseoconjuntodedadosfor bimodal, seu uso pode ser confuso. Issonosignificaqueumamedidamelhorqueaoutra.Amedidaescolhidadependeda natureza dos dados ou da maneira como os dados so usados. Por exemplo, uma loja de equipamentos paracamping,farpoucousodainformaodequeotamanhomdiodasbotasparaescaladas vendidas 41,8. Muito mais til, para decises nos negcios, seria conhecer a moda do tamanho das botas, pois saberia que o tamanho mais vendido o 40. Entretanto, suponha que essa loja deseja colocar no mercado uma nova barraca. As dimenses da barraca dependem, dentre outras coisas, da estatura mdia dos adultos. Aexperinciatemmostradoqueamdiaservemuitobemcomoumamedidadetendncia centralquandosetratadeprodutosconfeccionadosparausodepessoas.Otamanhodasportas,a alturadop-direitoemcasas,osbalcesemlojasemuitasmobliasproduzidastmcomobasea estatura mdia dos adultos. 43 B) VARIVEIS DISCRETAS B.1Mdiax de uma distribuio de frequncias Seosdadossoprovenientesdeumavariveldiscreta,deve-seutilizaramdiaaritmtica ponderada,considerandoasfrequnciasabsolutasficomosendoasponderaesdoselementosxi correspondentes. Deve-se,portanto,utilizarafrmuladamdiaponderadaparadeterminaramdiadeuma distribuio de frequncias: nf . xff . xxn1 ii in1 iin1 ii i===== com fi sendo a frequncia da i-sima classe en fn1 ii ==, onde n o nmero total de observaes. Exemplo6:Semperdadeinformao.Odepartamentodetrnsito da cidadede SoPaulocoletou o nmero de acidentes ocorridos em certo cruzamento de ruas na zona oeste, por 25 dias teis do ms demaro,comoobjetivodeestudarapossibilidadedecolocaodeumsemforonocitado cruzamento.Aseguir,foideterminadoonmeromdiodeacidentes,comosdadosapresentadosna tabela abaixo: No de acidentes xi No de dias fi xi. fi 020 5420 10550 1510150 20240 25125 30130 Totaln = 25315 Soluo: 13 6 , 1225315nf . xxn1 ii i~ = == =acidentes/dia B.2Medianax~ de uma distribuio de frequncias Seosdados,provenientesdeumavariveldiscreta,estoapresentadosemtabelas,elesj esto naturalmente ordenados. Como a mediana o elemento que ocupa a posio central do conjunto ordenado de dados, basta verificar se o nmero de elementos da srie mpar ou par. 44 -n = mpar a mediana ser o elemento central, ordem = 21 n + -n = par a mediana ser a mdia aritmtica entre os elementos centrais, ordem = 2ne 12n+ Exemplo 7: Determinando a mediana do conjunto de dados do Exemplo 6. No de acidentes xi No de dias fi Frequncia Acumulada Fac 022 546 10511 151021 (13o elemento) 20223 25124 30125 Totaln = 25-------------------------------- Soluo: Como n = 25 (mpar), o elemento central 1321 2521 n=+=+ (13o elemento). Apscalcularaposiodamediana,abre-seacolunadeFace,pelasfrequnciasacumuladas, encontra-se a posio da mediana. O valor xi que o elemento central corresponde mediana. Neste exemplo, portanto: 15 x~=acidentes/dia Exemplo8:Umaindstriametalrgicaembalapeasemcaixascom100unidades.Ocontrolede qualidadeselecionou50caixasnalinhadeproduoeanotouemcadacaixaonmerodepeas defeituosas. A seguir, obteve a seguinte distribuio de frequncias: No de peas defeituosas xi No de caixasfi Frequncia Acumulada Fac 01515 11025 (25o elemento) 21237 (26o elemento) 3845 4550 Totaln = 50-------------------------------- Soluo: Observando a coluna das frequncias acumuladas, sendo n = 50 (par), os elementos centrais so: 252502n= = (25o elemento) 1 pea defeituosa/caixa 26 125012n= + = +(26o elemento) 2 peas defeituosas/caixa A mediana , nesse caso, a mdia aritmtica desses dois elementos: 5 , 122 1x~=+=peas defeituosas/caixa 45 B.3Moda x* de uma distribuio de frequncias o valor que ocorre com maior frequncia na distribuio. Para distribuies sem agrupamento de classes, a identificao da moda facilitada pela simples observao do elemento que se apresenta com maior frequncia. Exemplo 9: Determinando a moda do conjunto de dados do Exemplo 6. No de acidentes xi No de dias fi 02 54 105 1510 202 251 301 Totaln = 25 Soluo: Porobservao,amoda15,ouseja,x*=15,poisessevaloraparececommaiorfrequncianesta distribuio (10 vezes). C) VARIVEL CONTNUA C.1Mdiax de uma distribuio de frequncias Seosdadosapresentadossoclassificadoscomovarivelcontnua,deve-seutilizarparao clculo da mdia, a mdia aritmtica ponderada. Nesse caso, consideram-se as frequncias absolutas das classes como sendo as ponderaes dos pontos mdios destas classes. Exemplo 10: Com perda de informao. Os salrios (em R$) de 25 funcionrios selecionados em uma empresaestorepresentadosnatabelaabaixo.Determinandoosalriomdiodessadistribuio, obtem-se: ClasseSalrios (em R$) Ponto mdio da classe xi No de funcionrios f i xi.fi 11.000,00 1.200,001.100,0022.200,00 21.200,00 1.400,001.300,0067.800,00 31.400,00 1.600,001.500,001015.000,00 41.600,00 1.800,001.700,0058.500,00 51.800,00 2.000,001.900,0023.800,00 Totaln = 2537.300,00 Obs.:Ospontosmdiosdasclasses(xi)sodeterminadostomando-seamdiaaritmticaentreo extremo inferior e superior de cada classe. Soluo: 00 , 492 . 125300 . 37nf . xxn1 ii i= == =reais/funcionrio 46 C.2Medianax~ de uma distribuio de frequncias Seosdadosapresentadossoclassificadoscomovarivelcontnua,deve-seutilizarparao clculo da mediana, o procedimento a seguir. 1.Calcula-se a ordem 2n (como a varivel contnua, no se preocupe se n par ou mpar); 2.Pela frequncia acumulada Fac, identifica-se a classe que contm a mediana (classe dax~); 3.Ento, utiliza-se a frmula: x~Mdant , acMdfh . F2nI|.|

\|+ = onde:IMd = limite inferior da classe da mediana; n = nmero total de elementos; Fac,ant= soma das frequncias absolutas anteriores classe da mediana; h = amplitude da classe da mediana; fMd = frequncia absoluta da classe da mediana. Exemplo 11: Determinando a mediana da situao apresentada no Exemplo 10. ClasseSalrios (em R$) No de funcionrios f i Fac 11.000,00 1.200,0022 21.200,00 1.400,0068 31.400,00 1.600,0010 18 (classe dax~) 41.600,00 1.800,00523 51.800,00 2.000,00225 Total25-------------------------- Soluo: 1o passo: Calcula-se 2n. Como n = 25, tm-se13 5 , 12225~ =(13a posio); 2o passo: Identifica-se a classe da mediana pela Fac. Neste caso, a classe da mediana a 3a classe, ou seja, 1.400,00 1.600,00; 3o passo: Aplica-se a frmula: x~Mdant , acMdfh . F2nI|.|

\|+ = Neste caso:IMd = limite inferior da classe da mediana = 1.400,00 n = nmero total de elementos = 25 Fac,ant= soma das frequncias absolutas anteriores classe da mediana = 8 h = amplitude da classe da mediana = 200,00 fMd = frequncia absoluta da classe da mediana = 10 47 Ou seja:x~00 , 490 . 11000 , 200 . 822500 , 1400 =|.|

\|+ =reais/funcionrio C.3Moda x* de uma distribuio de frequncias Seosdadosapresentadossoclassificadoscomovarivelcontnua,pode-seoptarporvrios procedimentos,comomodadePearson,modadeKing,modadeCzuber,entreoutros,parase determinar a moda. Ser dado destaque moda de Czuber. MODA DE CZUBER CZUBERlevouemconsiderao,emsuafrmula,afrequnciaabsolutadaclasseanterior,a frequncia absoluta da classe posterior, alm da frequncia absoluta da classe modal, o que leva a um valor mais preciso para a moda de uma varivel contnua. A frmula de Czuber a seguinte: x*( )) f f ( f 2h . f fIpost ant Moant MoMo+ + = onde:IMo = limite inferior da classe modal; fMo = frequncia absoluta da classe modal; fant = frequncia absoluta da classe anterior classe modal; fpost = frequncia absoluta da classe posterior classe modal; h = amplitude do intervalo de classe. Exemplo 12: Determinando a moda de Czuber para a situao apresentada no Exemplo 10. ClasseSalrios (em R$) No de funcionrios fi 11.000,00 1.200,002 21.200,00 1.400,006 31.400,00 1.600,0010 41.600,00 1.800,005 51.800,00 2.000,002 Total25 Soluo: Por observao, a classe modal a terceira classe, j que esta a classe de maior frequncia. Neste caso, IMo = limite inferior da classe modal = 1.400,00 fMo = frequncia absoluta da classe modal = 10 fant = frequncia absoluta da classe anterior classe modal = 6 fpost = frequncia absoluta da classe posterior classe modal = 5 h = amplitude do intervalo de classe = 200,00 Ou seja: x*( )89 , 488 . 1) 5 6 ( 10 . 200 , 200 . 6 1000 , 400 . 1 =+ + =reais/funcionrio Observao Importante: Ocorrem, algumas vezes, dois ou mais picos distintos de igual frequncia nos dados. Nesses casos, a distribuio bimodal (duas modas) ou de modas mltiplas, respectivamente. 48 1.2MEDIDAS DE DISPERSO Em nosso esforo para descrever um conjunto de nmeros, vimos que til localizar o centro do conjunto de dados. Mas identificar a medida de tendncia central raramente suficiente. Uma descrio completa de dados pode ser obtida se medirmos o quanto os dados esto dispersos ao redor do ponto central. exatamente oque asmedidasde disperso fazem.Elasmostramoquanto as observaes desviam-se de sua mdia. Considere, por exemplo, os trs pequenos conjuntos de dados: X :10,10,10,10,10,10,10,10, 10,10 Y :7,8,9,9,10,10,11,11,12,13 Z :3,4,5,6,10,10,14,15,16,17 Os trs conjuntos tm uma caracterstica comum, que o valor da mdia. Essa mdia 10 para as trs sries. Entretanto, elas diferem entre si com relao ao agrupamento dos dados em torno dessa mdia.NasrieXtodososdadossoiguaisa10e,portanto,amdiarepresentamuitobemessa srie.NasequnciaYv-sequevriosdadosdiferemdamdia,masestoprximosdela,ouseja, apresentam grandeconcentraoem tornode 10:amdia 10representarazoavelmentebema srie. NasequnciaZexistemmuitosvaloresmuitoafastadosdovalor10e,portanto,amdia10no representa muito bem a srie.Chamandodedispersoouvariabilidadeamaioroumenordiversificaodosvaloresdeuma varivel em torno de um valor de tendncia central tomado como ponto de comparao, pode-se dizer que o conjuntoX apresenta umadisperso ou variabilidade nula e que o conjuntoY apresenta uma disperso ou variabilidade menor que o conjunto Z. Em resumo, em X os dados esto totalmente concentrados na mdia 10 e, portanto, no h disperso de dados. Em Y existe forte concentrao de dados em torno da mdia e fraca disperso. Em Z h fraca concentrao de valores em torno da mdia e grande disperso de dados. Portanto,paraqualificarosvaloresdeumadadavarivel,ressaltandoamaioroumenor disperso entre esses valores e sua medida de posio, a Estatstica recorre s medidas de disperso. Dessas medidas, sero estudadas a amplitude total, a varincia, o desvio padro e o coeficiente de variao. D.1 AMPLITUDE TOTAL A amplitude total a diferena entre o maior e o menor valor observado: mn mx Tx x A = Aamplitudetotaltemoinconvenientedeslevaremcontaosdoisvaloresextremosdasrie, descuidandodoconjuntodevaloresintermedirios,oquequasesempreinvalidaaidoneidadedo resultado. Ela apenas uma indicao aproximada da disperso. Exemplo13:Determinandoaamplitudetotalparaavariveldiscreta(nodeacidentes)descritano Exemplo 6. Soluo: 30 0 30 AT= =acidentes Exemplo 14: Determinando a amplitude total para a varivel contnua (salrios) descrita no Exemplo 10. Soluo: 1000 1000 2000 AT= =reais 49 D.2 VARINCIA E DESVIO PADRO Comocomentado,aamplitudetotalinstvelporserinfluenciadaporvaloresextremos,que so, na sua maioria, devidos ao acaso. Avarinciaeodesviopadrosomedidasquenopossuemessafalha,poislevamem consideraoatotalidadedosvaloresdavarivelemestudo,oquefazdessasmedidas,ndicesde disperso bastante estveis, e por isso mesmo, os mais empregados. Avarinciabaseia-senosdesviosemtornodamdia,determinando,porm,amdiados quadrados dos desvios das observaes em relao mdia. Assim, para o clculo da varincia mais interessante o uso das frmulas: nf . ) x () x (i2i 2 = oVarincia populacional onde =if n1 nf . ) x x () x ( si2i 2= Varincia amostral Sendoavarinciacalculadaapartirdos quadrados dosdesvios,ela umnmero emunidade quadrada em relao varivel em questo, o que, sob o ponto de vista prtico um inconveniente. Porissomesmo,imaginou-seumamedidaquetemutilidadeeinterpretaoprticas, denominada desvio padro, definido como a raiz quadrada do valor da varincia, ou seja: o= o2) x ( Desvio padro populacional s2) x ( s = Desvio padro amostral Exemplo15:OSr.Bonaniogerentedaempresa"InvestimentosNinhoSeguro".Recentemente, Bonaniestavainteressadonastaxasderetornodedoisfundosdeinvestimentosduranteosltimos cincoanos.MegainvestInc.apresentoutaxasderendimentosde12%,10%,13%,9%e11%nesse perodo, enquanto as taxas da Dinmica Empresarial foram de 13%, 12%, 14%, 10% e 6%. Um cliente procurouBonaniemostrou-seinteressadoeminvestiremfundos.QualdelesBonanideveescolher para seu cliente? Soluo: Os dois fundos oferecem taxa mdia de retorno de 11% (calcule!). O investimento mais seguro aquele que tem o menor grau de risco, ou seja, o menor desvio padro. Para a Megainvest, Bonani encontra varincia e desvio padro, respectivamente, iguais a: 25) 11 11 ( ) 11 9 ( ) 11 13 ( ) 11 10 ( ) 11 12 (nf . ) x () x (2 2 2 2 2i2i 2= + + + + = = o 41 , 1 2 ) x (2= = = oo% Para Dinmica Empresarial: 85) 11 6 ( ) 11 10 ( ) 11 14 ( ) 11 12 ( ) 11 13 (nf . ) x () x (2 2 2 2 2i2i 2= + + + + = = o 83 , 2 8 ) x (2= = = oo% Portanto,comoMegainvesteDinmicatmasmesmastaxasmdiasderetornodeinvestimentos, observamos,pelodesviopadro,queaprimeiraapresentamenorriscoedeveseraapli cao escolhida. 50 Exemplo 16: Determinando a varincia amostral e o respectivo desvio padro para a varivel discreta descrita no Exemplo 6. Soluo: Parafacilitaroclculodavarinciaedodesviopadro,monta-seatabelaabaixo,usando 60 , 12 x = acidentes/dia: No de acidentes xi No de dias fi if .2) xix ( 02317,52 54231,04 10533,80 151057,60 202109,52 251153,76 301302,76 Total251206,00 1 nf . ) x x () x ( si2i 2= = 25 , 501 25206 . 1= s2s = , logo09 , 7 25 , 50 s = = Portanto,odesviopadroamostral,aproximadamente,7acidentes/dia.Assim,odepartamentode trnsito pode decidir se necessria a colocao de um semforo nesse cruzamento, baseando-se no desvio padro, ou seja, na flutuao do nmero de acidentes dirios que varia de 5 a 19 acidentes. Exemplo17:OdiretordevosdaTALrequerinformaesrelativasdispersodonmerode passageiros. Decises relativas escala de horrios, ao tamanho mais eficiente dos avi es para serem usados,dependemdavariaodonmerodepassageiros.Seessavariaoemnmerode passageirosforgrande,aviesmaioresseronecessriosparaqueseevitesuperlotaoemdias determinados.necessrio,portanto,calcularavarinciaeorespectivodesviopadro.Atabelade frequncias para a TAL a seguinte (foi considerado aqui dados agrupados em classes): Classe (passageiros) Ponto mdio da classe xi No de dias f i xi.fi if .2) xix ( 50 60 5531651756,92 60 70 6574551411,48 70 80 75181350317,52 80 90 85121020403,68 90 100 9587601997,12 100 110 10522101331,28 Total-----5039607218,00 Soluo:Para facilitar o clculo da varincia e do desvio padro, montou-se a tabela acima. Calcula-se a mdia como: 20 , 79503960nf . xxn1 ii i= = = = passageiros 51 A varincia e do desvio padro, so, portanto: 1 nf . ) x x () x ( si2i 2= = 31 , 1471 507218= s2s = , logo14 , 12 31 , 147 s = =passageiros Portanto,odiretordevospodedecidirseosatuaisaviesacomodamasflutuaesdonmerode passageirosbaseando-senodesviopadrode12,14.Casonoacomodem,talvezaviesmaiores sejam usados nos dias com maior nmero de passageiros. D.3 FORMAS USUAIS DE UTILIZAO DO DESVIO PADRO D.3.1 O TEOREMA DE CHEBYSHEV O Teorema de Chebyshev foi formulado pelo matemtico russo Pafnuty Chebyshev (1821-1894). Eleenunciaque,emqualquerconjuntodedados,pelomenos 2K11 porcentodasobservaes encontra-se a uma distncia de K desvios padro da mdia, onde K qualquer nmero maior que 1. O Teorema de Chebyshev expresso como: ((

2K11 Porexemplo,seconstruirmosumintervalocujolimitesuperioramdiamaistrs(K=3) desviospadroeoinferioramdiamenostrsdesviospadro,ento,pelomenos % 89 , 88 8889 , 03112 =((

de todas as observaes esto dentro desse intervalo. Exemplo18:Nonossoexemploanterior,osdadosagrupadosdaviaoareaTALrevelaramuma mdiade79,20passageirospordia,comdesviopadrode12,14.Paramontaraescaladehorrios para uma nova rota, o gestor quer saber quo frequente o nmero de passageiros est no intervalo de K = 2 desvios padro em relao mdia e qual esse intervalo. Soluo:Se movermos dois desvios padro (2 x 12,14 =) 24,28 acima ou abaixo da mdia de 79,20, obtemos o intervalode(79,20-24,28 =)54,92a(79,20+24,28=)103,48passageiros.Termos, ento,que pelo menos: % 75 75 , 02112 =((

dos dias, o nmero de passageiros foi entre 55 e 103 passageiros. Portanto,empelomenos,75%dosdias,isto,37dias(75%de50dias),onmerodepassageiros esteve entre 55 e 103. Isso fornece gesto da TAL uma valiosa informao em relao ao nmero de passageiros podendo preparar-se melhor para as operaes de vo. D.3.2 COEFICIENTE DE VARIAO O desvio padro por si s no representa muita coisa. Assim, um desvio padro de 2 unidades pode ser considerado pequeno para uma srie de valores cuja mdia 200, mas, se a mdia for 20, o mesmo no pode ser dito. 52 Para contornar essa limitao, deve-se calcular o coeficiente de variao, que serve como uma medidarelativadedisperso.Ocoeficientedevariaoindicaograudedispersodoconjuntode dados emrelaoasuamdia.Ele calculado dividindo-se odesvio padro pelarespectivamdiae multiplicando o resultado por 100. 100 .xCVo=ou100 .xsCV = Exemplo 19: Os dados agrupados da TAL (exemplo 20) registram uma mdia de 79,20 passageiros por dia, com um desvio padro de 12,14 passageiros. Suponha que a TAL tambm coletou dados, durante omesmoperodo,paraonmerodemilhasvoadaspelacompanhiaequeamdiadiriaeodesvio padro so, respectivamente, 1267,5 e 152,7 milhas. O alto desvio padro para as milhas voadas pode sugerir que esses dados exibem uma variao maior que para o nmero de passageiros. Contudo, se calcularmos o coeficiente de variao para o nmero de passageiros, encontraremos: % 33 , 15 100 .20 , 7914 , 12CV = =enquanto que para milhas, encontraremos: % 05 , 12 100 .5 , 12677 , 152CV = = Estclaro,portanto,quecomparando-seavariaonosdoisconjuntosdedados,percebemosque melhor usar, tambm, o coeficiente de variao e no apenas o desvio padro. D.3.3 A DISTRIBUIO NORMAL Odesviopadropodeserusadoparaconcluirseosdadosemquestoestonormalmente distribudos. O conceito de distribuio normal de considervel importncia. Um estudo detalhado da distribuionormalserrealizadoemcaptulosposteriores.Entretanto,umaintroduodesse importante conceito permitir demonstrarmos um uso prtico do desvio padro. A distribuio normal uma distribuio para dados contnuos que produzem uma curva simtrica na forma de sino, conforme a figura abaixo. 0 1 2 3 4 6 7 8 9 10510152025 X Suponhaquetemosumgrandenmerodeobservaes,emminutos,dostemposqueatletas levam para completar determinada corrida. Se os dados so distribudos normalmente, um grfico das frequnciascomquecada observao ocorre ficarcom a formada figuraacima.As observaesde cada extremo no ocorrem frequentemente, mas as observaes prximas ao centro vo aumentando, produzindo assimacurvaem formadesino.A observaomodal,5 nessecaso,a queocorre com maiorfrequnciae,assim,opontodemximodessacurva.Numadistribuionormal,amdia,a mediana e a moda so iguais. 53 A metade das observaes est acima da mdia e a outra metade est abaixo. Isso significa que metade da rea sob a curva est esquerda da mdia e a outra metade est direita. Parailustrarcomo odesvio padro aplica-sena distribuio normal,suponha que1000atletas completaramdeterminadacorrida.Ostemposdetodososcorredoressodistribudosnormalmente, com uma mdia de = 5 minutos e um desvio padro de 1 minuto. A distribuio emprica diz que, se considerarmos as observaes localizadas no intervalo formado pela mdia menos um desvio padro e pela mdia mais um desvio padro, teremos 68,3% de todas as observaes. Isto , no importa qual a mdia, nem o desvio padro, 68,3% das observaes caem no intervalo de amplitude de dois desvios padro e com ponto mdio dado pela mdia das observaes. Comoosatletaslevaramemmdia5minutosparacompletaracorrida,tomandoumdesvio padro de 1 minuto acima e abaixo da mdia, produzimos o intervalo 4 a 6 minutos. Assim, de acordo comadistribuioemprica683(68,3%de1000)atletaslevaramde4a6minutosparacompletara corrida. Claroque,setomarmosmaisdeumdesviopadroacimaouabaixodamdia,vamosincluir uma maior porcentagem das observaes. A distribuio emprica especifica que:

Dadosostemposdosatletascomumdesviopadrode1minutoacimaeabaixodamdiade5 minutos, construmos o intervalo de 4 a 6 minutos. Com dois desvios padro acima e abaixo da mdia de5minutos,construmosointervalode3a7minutos.Comtrsdesviospadroacimaeabaixoda mdiade 5minutos,construmos ointervalo de 2a8minutos. Portanto,de acordocom a distribuio emprica, 997 dos 1000 atletas gastaram de 2 a 8 minutos para completar a corrida. Apenas 3 dos 1000 atletas so muito bons e levaram menos de 2 minutos ou so pssimos corredores levando mais de 8 minutosparacompletaracorrida.Umaobservaoafastadadamdiamaisdetrsdesviospadro uma raridade e acontece em 0,3% dos casos se os dados obedecem a distribuio normal. IntervaloPorcentagem de observaes o 168,3% o 295,5% o 399,7% 54 1.3MEDIDAS SEPARATRIZES Sonmerosreaisquedividemasequnciaordenadadedadosempartesquecontma mesma quantidade de elementos da srie. Amediana,porexemplo,quedivideasequnciaordenadaemdoisgrupos,cadaumdeles contendo 50% dos valores da sequncia, tambm uma medida separatriz. Almdamediana,nestecaptulo,serodestacadasoutrasmedidasseparatrizes,ouseja, quartis, decis e percentis. E.1Quartis Osquartisdividemumconjuntodedadosemquatropartesiguais,comopodeservisto esquematicamente: 0%25% 50%75% 100% Q1 Q2 =x~ Q3 Q1 = 1o quartil, composto por 25% dos elementos. Q2 = 2o quartil, coincide com a mediana, composto por 50% dos elementos. Q3 = 3o quartil, composto por 75% dos elementos. Osquartisseroutilizados,apenas,paradadosagrupadosemclasses.Asfrmulasparaa determinao dos quartis Q1 e Q3 so semelhantes quelas usadas para o clculo da mediana. Determinao de Q1:Determinao de Q3: 1o Passo: Calcula-se a posio 4n 1o Passo: Calcula-se a posio 4n 3 2o Passo: Identifica-se a classe de Q1 pela Fac2o Passo: Identifica-se a classe de Q3 pela Fac 3o Passo: Aplica-se a frmula:3o Passo: Aplica-se a frmula: 1Qant , ac1Q 1fh . F4nI Q|.|

\|+ = 3Qant , ac3Q 3fh . F4n 3I Q|.|

\|+ = onde:lQi = limite inferior da classe Qi

n = nmero total de elementos h = amplitude de classe fQi = frequncia absoluta da classe Qi Fac,ant= soma das frequncias absolutas anteriores classe Qi. 55 Exemplo20:Emconjuntocomumaauditoriaanual,umaempresadecontabilidadepblicaanotao temponecessriopararealizaraauditoriade52balanoscontbeis,talcomoindicadonatabela abaixo. Determinando os valores do 1o e 3o quartis (Q1 e Q3): ClasseTempo de auditoria (em minutos) No de balanos fi Fac 1 9 19 33 2 19 29 58 3 29 39 1018 (classe de Q1) 4 39 49 1432 5 49 59 2052 (classe de Q3) Total52---------- Soluo: Q1 = ? Q3 = ? 1o Passo:134524n= =(13a posio) 39452 . 34n 3= =(39a posio) 2o Passo: Pela Fac, identifica-se as classes de Q1 e Q3 3o Passo: Uso das frmulas: 1Qant , ac1Q 1fh . F4nI Q|.|

\|+ =341010 . 845229 Q1=|.|

\|+ = minutos/balano 3Qant , ac3Q 3fh . F4n 3I Q|.|

\|+ = 5 , 522010 . 32452 . 349 Q3=|.|

\|+ = minutos/balano 0% 25% 50%75%100% 1034 x~ 52,5 59 Interpretao: 25% dos balanos so realizados em at 34 minutos e 75% dos balanos so realizados em at 52,5 minutos. 56 E.2DECIS Os decis dividem um conjunto de dados em dez partes iguais. Os decis sero utilizados, apenas, paradadosagrupadosemclasses.Oprocedimentoparaadeterminaodosdecissemelhante quele usados para o clculo dos quartis. 1o Passo: Calcula-se a posio 10n . i, onde i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 2o Passo: Identifica-se a classe de Di pela Fac 3o Passo: Aplica-se a frmula: fh . F10n . iI DDiant , aciD i|.|

\|+ = onde:lDi = limite inferior da classe Di

n = nmero total de elementos h = amplitude de classe fDi = frequncia absol