Prof. NABOR ALVES MONTEIRO2006ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________2REVISO - MATEMTICA1 - SomatrioParaindicarmosasomadosxivaloresdavarivelx,istox1+x2+x3+...+xn usamoso smbolo (sigma), denominado em matemtica, somatrio.Assim, a soma x1+x2+x3+...+xn pode ser representada por:xiExemplo: dados x1=2, x2=7, x3=9 e x4=6, temos:xi = 2+7+9+6 = 242 - ArredondamentoMuitasvezesnecessrio ouconvenientesuprimirunidadesinferiores sde determinada ordem. Esta tcnica denominada de arredondamento de dados.Em nosso curso, adotaremos o seguinte critrio para arredondamento de dados:i) Quandooprimeiroalgarismoaserabandonadofor0,1,2,3ou4,ficainalteradooltimo algarismo a permanecer. Exemplo: 53,24 para a 53,2.ii) Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 5, 6, 7, 8 ou 9, aumenta-se de uma unidade o algarismo a permanecer. Exemplos: 42,87 passa a 42,9; 25,05 passa a 25,1.Outros exemplos:1)Onmerot=3,141592654...,arredondadocomduascasasdecimaisfica3,14.Se arredondado com seis casas decimais fica 3,141593.2)OnmerodeEulere =2,718281828...,arredondadocomtrscasasdecimaisfica2,718.Se arredondado com quatro casas decimais fica 2,7183.OBS.: 1) Arredondarnosignifica,necessariamente,deixaronmerosemascasasdecimais. Arredonda-se com o nmero de casas decimais que for necessrio.2) No devemos fazer arredondamentos sucessivos.EXERCCIOS 1) Sendo: x: 2, 3, 7, 8 e 0, determine:a) xi2b) (xi)2ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________32) Dado:x 1 3 2y 0 9 1calcule:a) xy b) y/x c) (x - y)2d) 3x e) xyf) ( ) 22x y +g) y(x-1) h) yx2 i) 53) Arredondar os nmeros abaixo na 3 casa decimal:a) 0,0042 b) 0,222222 c) 0,0067 d) 0,66666 e) 2,709861 f) 0,333333g) 732,131313 h) 0,000874) Arredondar na 2 casa decimal:a) 0,88888 b) 12,035 c) 6,054 d) 13,194 e) 10,4031 f) 0,005g) 13,14159 h) 2,718ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________41 - ESTATSTICAAEstatstica,oumtodosestatsticos,comodenominadaalgumasvezes,desempenha papel crescente e importante em quase todas as fases da pesquisa humana. Lidando anteriormente apenas com negcios de Estado, donde o seu nome, a influncia da Estatstica estendeu-se agora Agricultura,Biologia,Comrcio,Qumica,Comunicaes,Economia,Educao,Eletrnica, Medicina,Fsica,CinciasPolticas,Psicologia,Sociologiaeoutrosnumerososcamposda cincia e da Engenharia. Ela est interessada nos mtodos cientficos para coleta, organizao, resumo, apresentao eanlisededados,bemcomonaobtenodeconclusesvlidasenatomadadedecises razoveis baseadas em tais anlises.DefinioExistemvrias definies para Estatstica. Apresentaremos aqui uma delas, encontrada na bibliografia anexa."Estatsticaum conjuntodemtodos e processos quantitativosqueserve paraestudare medir fenmenos coletivos".OobjetivogeraldaEstatstica,comoumcampo deinvestigao, o desenvolvimento de procedimentosquepermitamanalisareinterpretarumfenmenoobservado,demodoaavaliar objetivamente a situao em observao.Conceitos Usados Em EstatsticaPopulao e AmostraAo coletar os dados referentes s caractersticas de um grupo de objetos ou indivduos, tais comoestaturasepesosdosestudantesdeumauniversidade,onmerodecasosdeclera atendidosemummunicpiopormsouonmerodepeasdefeituosasproduzidasemuma fbricaemumcertodia,muitasvezesimpossvelouimpraticvelobservartodoogrupo, especialmenteseformuitogrande,ouseaobservaoimplicanadestruiodoobjetoem questo. Em vez de examinar todo o grupo, denominado populao ou universo, examina-se uma pequena parte chamada amostra.Populao:qualquerconjuntodeinformaesquetenham,entresi,umacaracterstica comum. Em Estatstica, populao no significa, necessariamente "pessoas".Amostra: um subconjunto da populao, de dimenses menores que ela, sem perda das caractersticas essenciais.Umapopulaopodeserfinitaouinfinita.Porexemplo,apopulaoconstitudade laranjasdeumpomarfinita,enquantoapopulaoconstitudadetodosresultados(caraou coroa) em sucessivos lances de uma moeda infinita.ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________5Estatstica Indutiva E Estatstica DescritivaSeumaamostrarepresentativadeumapopulao,conclusesimportantespodemser inferidasdesuaanlise.ApartedaEstatsticaquetratadascondiessobasquaisessas infernciassovlidaschama-seEstatstica Indutiva ou Inferncia Estatstica.Comoessa inferncia no pode ser absolutamente certa, a linguagem da probabilidade muitas vezes usada no estabelecimento de concluses.Fig.1 - Coleta de amostra.Aparte daEstatsticaqueprocura somentedescrever e analisar um certo grupo, sem tirar quaisquer concluses ou inferncias sobre um grupo maior, chamada Descritiva ou Dedutiva.VariveisChamamos de varivel ao conjunto de resultados possveis de um fenmeno aleatrio. As variveispodemserqualitativas,quandorepresentamumconjuntodecategoriasou modalidades, ou quantitativas, quando representam um conjunto de nmeros.As variveis ainda podem ser:i) Contnuas:soaquelasque,teoricamente,podemassumirqualquervaloremumintervalo. Em geral, as medies do origem a dados contnuos. Exemplo: a altura H de indivduos que pode ser 1,65m, 1,662m ou 1,6772, conforme a preciso da medida, uma varivel contnua.ii) Discretas:soaquelasque,deumvalorparaoutro,noexistecontinuidade.Geralmente originam-sedecontagens.Exemplo:onmeroNdecrianas,emumafamlia,quepode assumir qualquer um dos valores 0, 1, 2, 3, ... mas no pode ser 2,5 ou 3,842, uma varivel discreta.ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________6MensuraoDesdeostemposremotos,ohomemtemapreocupaodemedircoisas.Emnossavida diria,freqentementeestamosmedindoalgo:otempogastoemumatarefa,adistnciaaser percorridaemumcompromisso,onmerodeconvidadosparaumafesta,outros.Mensurar significa associar a alguma coisa um nmero. As coisas que medimos diferem entre si quanto a classeaquepertencem.Exemplo:estatura,velocidade,inteligncia,beleza.Aformademensuraodependedaclasseounvelqueelapertence,poiscadanvelpossuicaractersticas prprias, de acordo com a sua complexidade.Nveis de Mensuraoi) 1nvel-Nominal:omaisbaixonveldaescalade medidas.usadopara classificar um objeto, pessoa ou caracterstica. Nele vale apenas a relao de igualdade (=). Exemplo: sexo, masculino e feminino; podemos atribuir valores a esta varivel: masculino = 0 e feminino = 1. No entanto no possvel realizar operaes aritmticas com estes nmeros.ii) 2nvel-Ordinal:usadoparaatribuirordem.Aqui,almdarelaodeigualdade(=), valemasrelaes"maiorque/menorque"().Exemplo:nahierarquiamilitar,sargento mandamaisquecaboqueporsuavezmandamaisquesoldado.Dapodemosrepresentar: sargento>cabo>soldado,oucabo=cabo.Estenveltambmnopermiteoperaes aritmticas.iii)3nvel-Intervalar:aquiaparecepelaprimeiravezumaescalaverdadeiramente quantitativa. Caracteriza-se pela existncia de uma unidade de medida arbitrria, porm fixa, e de um zero convencionado. Exemplo: nas escalas de temperatura o zero convencionado e a distnciaentregrausdeumamesmaescalatambm.Nestenvelasnicasoperaes aritmticassoaadioeasubtrao,multiplicaoedivisonosopermitidas. Justificativa:seumlquidoAesta30oCeolquidoBa10oC,nopodemosdizerquea temperaturadeAtrsvezesmaiorqueB,poisnaescalaFahrenheitteramosocorpoAa 86oF e B a 50oF (na escala Fahrenheit a gua vira gelo a 32F e vapor a 212F). iv)4nvel-Racional:semelhanteaonvelintervalar,comadiferenadeexistirumzero verdadeiro,ouseja,ozeronoconvencionado.Nestenveltodasasoperaes aritmticas so possveis. Exemplo: distncia (km); volume (m3), outros.Asmensuraesemnvelordinalenominalsoasmaiscomunsnascinciasdo comportamento.Contagem: das contagens originam nmeros inteiros, portanto, todas operaes aritmticas so possveis.Para que usamos Estatstica?A Estatstica serve para:1) ResumireOrganizarInformaes:freqentementequandocoletamosdadosdeuma populao, obtemosumagama muitogrande de informaes que precisam ser organizadas e ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________7resumidas.Nesteresumosocolocadosresultadosquecaracterizamumapopulaoem relao a certa varivel.2) Representar Dados: aps apurao e resumo, as informaes devem ser transmitidas de modo simples e claro. Uma forma de representar os dados so os grficos. 3) Conhecercomodeterminadavarivelapresenta-sedistribudanapopulao:muitasvezeso pesquisador precisa saber sea populao tem determinada caracterstica, como por exemplo, seaspessoas que acompemsodesnutridas. AEstatsticaajuda umgerentede CPDsaber como o processamento est distribudo.4) Testar Hipteses: quando uma hiptese levantada, ela precisa de comprovao, o que pode ser conseguido usando um recurso estatstico chamado "Teste de Hiptese".5) Fazer Inferncias: ao estudar uma populao, em geral no se consegue dados dela toda, seja devidoao custoelevado, aotempodespendido ouotamanho da mesma.AssimaEstatstica fornece meios para que, estudando apenas uma parte, se possa tirar concluses do todo.6) TomarDeciso:muitasvezesparasetomardecisosobreumdeterminadoassunto, necessrio saber como tem sido o seu comportamento, como tem evoludo. A onde entra a Estatstica fornecendo subsdios para a tomada de deciso. Por exemplo: o poltico, candidato a um cargo eletivo muda o rumo de sua campanha conforme esta est surtindo efeito ou no; e quem vai dar esta informao a Estatstica.7) Correlacionar variveis. Usado para verificar o grau de associao entre variveis e para fazer previsesbaseadasemamostras(Regresso).Porexemplo:aocorrnciadeosteoporoseem mulheres aps a menopausa tem correlao com o consumo de caf. Outro exemplo: consumo de lcool versus fumo.Fases Do Trabalho Estatstico: O trabalho estatstico consiste de 6 etapas:1. Definio2. Planejamento3. Coleta de dados4. Elaborao5. Anlise e interpretao dos dados6. Relatrio1) Definio:i) Definir os objetivos: toda pesquisa deve ter um objetivo determinado para saber o que se vai procurareoquesepretendealcanar.Devepartirdeumobjetivolimitadoeclaramente definido.Anodefiniodeobjetivoscomoseconstruirumedifciosemafundao. comumaalgunsestudantes,apsumexaustivoedispendiosotrabalhodecoletade informaes fazer uma pergunta tpica: "o que eu fao com isto?" Isto decorrente da falta de objetivo. ii) Formular hipteses: hiptese uma proposio que se faz na tentativa de verificar a validade derespostaexistenteparaumproblema.umasuposioqueantecedeaconstataodos fatosetemcomocaractersticaumaformulao provisria;deve ser testada para determinar ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________8suavalidade.Aclarezadadefiniodostermosdahiptesecondiodeimportncia fundamental para o desenvolvimento da pesquisa. iii)Definirapopulao:apesquisaemfocodeveserdelimitada,aindaqueestelimiteseja extenso. Isto feito em funo de se saber para qual populao os resultados sero vlidos.2) PlanejamentoFormularumplanoparacoletadedados:oprximopassofazerumplanejamentode como os dados sero colhidos. uma das fases mais importantes, pois se osdados coletados no foremconfiveisourepresentativos,opesquisadornoficarsabendoeoresultadoser prejudicado.Oresultadofinaldapesquisadependemuitodoplanejamentonosentidodequevrios cuidadosdevemsertomados.Porexemplo:umapesquisaqueenvolveconhecimentode particularidadesdaspessoasdeveserbemcuidadosa,poisospesquisadospoderoesconder ou mascarar tais dados.Conformemencionadoanteriormente,nemsemprepossvelcoletardadosdetoda populao,assimaoposetrabalharcomamostras.Paraqueoresultadodapesquisaseja vlido para toda populao necessrio que a amostra tomada seja representativa. Por exemplo: na impossibilidade de consultar todos os habitantes de um municpio sobre a atuao do prefeito, umpesquisador resolve, porconvenincia, obter opinies em apenas um bairro; pode acontecer queobairroescolhidoacabouderecebermelhorias;daoresultadodapesquisanoser representativo.Fig.2 - Erro amostral.Para que estas situaes no ocorram, necessrio que se use uma tcnica de amostragem. Existem vrias tcnicas, sendo que as mais comuns so:i) Amostragem Aleatria Simples (AAS)Nestatcnica,todoselementosdapopulaotmigualprobabilidadedeserem selecionadosparaconstituiraamostra.Porexemplo:paraformarmosumaamostrade funcionriosdeumaempresa,pegamosumalistagemcomonomedetodos,numeramoseem seguida sorteamos alguns usando papis dobrados ou uma "tabela de nmeros aleatrios".ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________9ii) Amostragem Sistemtica (AS)Aquioselementosdaamostrasoselecionadosporumsistemapreestabelecido.Por exemplo: uma clnica psicolgica deseja saber o perfil de seus pacientes; possui um arquivo com 1400 pronturios numerados de 1 a 1400; decide-se por tomar uma amostra de 10 pacientes; da divide-se1400por10encontrando-se140;emseguidasorteia-seoprimeiropronturio.Seo sorteadoforonmero15,aamostrasercompostapelospronturios15,15+140=155, 155+140=295 e assim por diante at completar os 10. Outro exemplo: selecionar um cliente que entra na loja e pular 10.iii) Amostragem Estratificada (AE)usadaquandoapopulaoapresenta-sedivididaemestratos,ouseja,gruposdistintos. Por exemplo: uma empresa de distribuio de energia eltrica tem seus clientes divididos em trs estratos:oindustrial,ocomercialeoresidencial.Parasefazerumapesquisaporamostragem neste caso, tomamos uma AAS de cada um dos estratos citados.O tamanho da amostra a ser tomada assunto que ser visto mais adiante.Planejamento de ExperimentosDependendo do tipo ou objetivo da pesquisa, ser necessrio, ao invs de colher amostras, fazerexperincias.Nestecasosernecessriofazerumplanejamentodeexperimento.Devido sua complexidade, o pesquisador precisar de um conhecimento bem amplo de Estatstica. 3) Coleta de DadosEtapa da pesquisa em que se inicia a aplicao dos instrumentos elaborados e das tcnicas selecionadas, a fim de se efetuar a coleta dos dados previstos.umatarefacansativaquetomamuitotempoeexigedopesquisadorpacincia, perseveranaeesforopessoal,almdocuidadosoregistrodosdadosedeumbompreparo anterior.Origorosocontrolenaaplicaodosinstrumentosdepesquisafatorfundamentalpara evitarerrosedefeitosresultantesdeentrevistadoresinexperientesoudeinformantes tendenciosos.A seguir citaremos algumas tcnicas e instrumentos de pesquisa.- Coleta Documental: a fonte de coleta restrita a documentos (livros, revistas, jornais, etc.).- Observao:umatcnicadecoletadedadosondesoutilizadosossentidosparacaptar determinadosaspectosdarealidade.Noconsisteapenasemvereouvir,mastambmem examinar fatos ou fenmenos que se desejam estudar.- Entrevista:umencontrodeduaspessoas,afimdequeumadelasobtenhainformaesa respeito de determinado assunto.- Questionrio: um instrumento constitudo por uma srie ordenada de perguntas, que devem ser preenchidas sem a presena do entrevistador. - Formulrio: o instrumento utilizado na entrevista. ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________10- Testes:soinstrumentosutilizadoscomafinalidadedeobterdadosquepermitammediro rendimento, a competncia, a capacidade ou a conduta dos indivduos, em forma quantitativa.- Inquritoportelefone:contatoverbalentreoentrevistadoreoentrevistadoatravsdo telefone.- PesquisaatravsdaInternet:osinternautassoconvidadosaacessardeterminadapgina para responder pesquisa. Pode ainda ser feita atravs de e-mail ou salas de bate-papo.- Sociometria:umatcnicaquantitativaqueprocuraexplicarasrelaespessoaisentre indivduos de um grupo.Existemoutras tcnicas e instrumentospara coleta de dados, sendo que para aplicao de qualquerqueseja,necessrioconhec-losbem.Valelembraranecessidadedeumpr-teste, antes da coleta definitiva dos dados.4) Elaborao dos DadosApsacoleta,osdadossoelaboradoseclassificadosdeformasistemtica,conformea seguir:i) Seleo: o exame minucioso dos dados para verificar possveis falhas e erros.ii) Codificao: uma tcnica operacional utilizada para categorizar os dados que se relacionam. Medianteacodificao,osdadossotransformadosemsmbolos,podendosertabeladose contados.iii)Tabulao:adisposiodosdadosemtabelas,possibilitandomaiorfacilidadena verificao das inter-relaes entre eles. Permite a sintetizao dos dados, de modo que estes sejam mais bem compreendidos e interpretados rapidamente.5) Anlise e Interpretao dos DadosUmavezorganizadososdadoseobtidososresultados,opassoseguinteaanliseea interpretao dos mesmos, constituindo-se ambos no ncleo central da pesquisa. Nesta fase sero obtidas medidas como mdia, mediana, moda, propores, percents, desvio padro, etc. Ao final apresenta-se a concluso que a anlise e interpretao levaram.ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________116) RelatrioExposiogeraldapesquisa,desdeoplanejamentoatasconcluses,incluindoos processos metodolgicos empregados. Deve ser expresso em linguagem simples, clara, objetiva, concisa e coerente.Temafinalidadededarinformaessobreosresultadosdapesquisa,sepossvel,com detalhes, para que eles possam alcanar a sua relevncia.So importantes a objetividade e o estilo, mantendo-se a expresso impessoal e evitando-se frases qualificativas ou valorativas, pois a informao deve apenas descrever e explicar.O relatrio deve abranger os seguintes aspectos:i) Apresentao do problema ao qual se destina o estudo;ii) Processos de pesquisa;iii)Os resultados;iv)Conseqncias deduzidas dos resultados.O Estado de So Paulo 05/02/95ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________12Exerccios1 - Quais so as fases do trabalho estatstico? Descreva de forma sucinta cada uma delas.2 - Quais as caractersticas que devem apresentar o relatrio final de pesquisa?3 - Qual a diferena entre populao e amostra?4 - Qual a diferena entre amostra e amostragem?5 - Para que serve a Estatstica?6 Pesquise sobre outras tcnicas de amostragem. Explique como ela funciona.7 - Cite 3 tcnicas ou instrumentos de pesquisa.8 - Classifique as variveis abaixo quanto ao nvel de mensurao.a) peso (kg) b) estatura (cm) c) sexo d) profisso e) dia da semanaf) idade g) tipo de sangue h) resultado de um concurso de beleza femininai) religio j) rea (m2) l) renda familiar ($) m) classe socialn) altitude o) estado civil p) n camisa jogador q) n do CPFr) n placa automvel s) pressoESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________13

2 - TABULAO DOS DADOS o arranjo tabular dos dados.ConceitosDadosBrutos:apsacoleta,temosdadosaindanoorganizadosquechamamosdados brutos.Rol: um arranjo de dados numricos em ordem crescente ou decrescente de grandeza.Amplitude Total: a diferena entre o maior e o menor nmero do rol.DistribuiodeFreqncia:oarranjotabulardosdadosporclasses,juntamentecomas freqnciascorrespondentes;tambmdenominadodadosagrupados.Emboraoprocessode agrupamento geralmente inutilize muitos detalhes originais dos dados, consegue-se vantagem importantequeconsistenoaspectoglobalobtido,quesetornamaisclaroevidenciandoas relaes essenciais.Intervalo de Classe: a diferena entre o maior e o menor nmero da classe.Limites de Classe: o menor e o maior nmero da classe chamam-se limite inferior e superior respectivamente.FreqnciaAcumulada(Fac):asomadefreqnciasdedeterminadaclassecomasanteriores.Freqncia Relativa (FR): o quociente entre a freqncia absoluta da classe e o total.Exemplo: estatura de estudantes (cm)158154153160157171170166165169155161162164163Estatura (cm) N alunos (fi) FacFR%150|155 2 2 0,13 13155|160 3 5 0,20 20160|165 5 10 0,33 33165|170 3 13 0,20 20170|175 2 15 0,13 13ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________14Exerccios1) Tabular os dados abaixo e calcular as freqncias acumuladas e relativas:a) Estatura (cm) de indivduos adultos (iniciar em 150 e usar intervalo de classe igual a 5 cm).182154163151180171189176159151 160170161153171160158169157173153174170165174167164156162157166173159157158173167168168169b) Notas finais de 50 alunos (iniciar em zero e suar intervalo de classe igual a 1).2,24,60,94,05,72,22,21,35,04,23,50,21,54,13,45,23,27,56,94,42,64,26,05,53,00,31,77,94,53,70,01,26,25,04,54,15,91,16,53,94,33,37,05,04,72,03,64,06,72,9c) Idade dos funcionrios da empresa (iniciar em 20 e usar intervalo de classe igual a 5).334649405359424834304936512738244125482050394133314127404239314746545635484658484057254340374349354633455552433941442337 4137424550543538 324153415732484540554537574956542926544936503943384432d)Paraseavaliaronveldeestressedeumindivduoexisteumcritrioqueatribuipontosa Acontecimentos Pessoais. Somando-se esses pontos num perodo de 12 meses, sabe-seque a pessoa est estressada se o resultado for superior a 300. Os nmeros abaixo so a pontuao de alguns funcionrios da empresa L&P S.A. (iniciar em 140 e usar intervalo de classe igual a 40).230 168 300 265 159 274 198 217 310 155 264 277225 255 288 301 215 206 240 350 220 337 186 171308 140 189 243 144 193 219 154 379 249 251 217231 278 346 231 292 208 280 324 304 270 166 176e) Peso (kg) de estudantes do colgio ACD (iniciar em 45 e usar intervalo de classe igual a 5).69577254836872586462657660497459668370456081716763645373815067685375655880606353f) Tempo gasto (em minutos por dia) por executivos em reunies (iniciar em 50 e usar intervalo de classe igual a 20).55 123 100 62 101 135 78 95 87 118 91 84 98125 80 95 82 99 111 103 120 115 77 96 90 11452 148 57 88 106 104 87 116 82 112 93 130 149113 56 61 144 96 139 114 91 118 70 87 106 87ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________153 - MEDIDAS DE TENDNCIA CENTRALAs medidas de tendncia central so usadas para indicar um valor que tende a representar melhor um conjunto de dados. Geralmente localizam-se em torno do meio ou centro de uma distribuio, onde maior parte dos dados tende a se concentrar.1 - Mdia Aritmtica dada por:ondexi so os dados apurados en a quantidade destes dados.2 - MedianaColocadososvaloresemordemcrescente,medianaoelementoqueocupaaposio central.Neste grupo, o terceiro indivduo tem estatura mediana.A mediana encontrada da seguinte forma:a)Nmerompardedados: Senformpar,amedianaseroelementocentral,de ordem 0,5(n+1). Exemplo: 27, 37, 31, 43, 42Primeiramente colocamos em ordem: 27 31 37 42 43. A seguir verificamos qual elemento ocupa a posio central, ou fazemos 0,5(n+1) = 0,5(5+1) = 3. Portanto o 3 elemento. Da Md = 37b)Nmeropardedados:Casonsejapar,amedianaseramdiaentreoselementos centrais, de ordem 0,5n e 0,5n+1.Exemplo: 134, 120, 136, 133, 123, 127Colocamos em ordem: 120 123 127 133 134 136 e fazemos 0,5n = 0,5.6 = 3 e 0,5n+1 = 3+1 = 4, logo a mediana est entre o 3 e 4 elemento, ou seja:nxxi =ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________16Md =+ 127 1332 = 1303 - Moda o valor que ocorre com maior freqncia num conjunto.Exemplo: notas de Matemtica: 2, 8, 6, 5, 4, 6, 1, 0, 6, 7, 9, 3Mo = 6ProporoAsmedidasvistasanteriormenteaplicam-seprincipalmenteadadosquantitativos,com exceodamoda,quetambmtilparadadosnominais.Outramedidausadaparadados nominaisaproporo,queafraoouporcentagemdeitensdedeterminadogrupoou classe. calculada por:pnN=onde n o nmero de itens queapresentam determinada caracterstica e N o nmero total de observaes.Porexemplo:acada40peasproduzidasumadefeituosa.Portantoaproporode peas defeituosas de:401= =NnpParaqueacaracterizaodosdadossejamaisadequada,podemosusaroseguinte critrio:- mdia: quando os valores forem razoavelmente homogneos;- mediana: quando os valores forem heterogneos;- moda: quando ocorrem muitas repeties.Exerccios1) O nmero de pacientes atendidos num servio mdico por dia, em um perodo de 10 dias foi: 14, 21, 9, 11, 8, 19, 25, 22, 21 e 15. Determine a mdia, mediana e moda.2)Tomar umaamostra aleatria simplesde n= 5(5pessoas) da sala de aula. Verificar a idade dos alunos da amostra. A seguir, determine:a) a idade mdia dos alunos;b) a idade mediana;c) idade que ocorre com maior freqncia.ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________173)Colherumaamostrade6alunosdaturma,deixandoquecada umsemanifeste (voluntrio), com o objetivo de pesquisar sobre o peso. A seguir calcule o peso mdio o mediano e o modal.4) A amostra do exerccio 3 pode ser considerada representativa? Comente.5) Numa amostra de 8 alunos da turma, 3 usam culos. Calcule a proporo das pessoas que no usam culos.6)Umaempresa,possuindoapenas5funcionrios,pagaosseguintessalrios:$50,00;$27,00; $26,00;$25,00e$24,00.Qualdasmedidasdetendnciacentralcaracterizamelhorossalrios desta empresa? (dica: calcule as 3)7) A porcentagem de desempregados entre 1965 e 1971 nos EUA foi: 4,53,83,83,63,54,9e 5,9. Qual foi a mdia, mediana e a moda do perodo?8) Registrou-se as seguintes temperaturas (oC) em um dia frio no municpio de Tuiuiu do Sul: -2, 0, -3, 4, -3, 5 e 1. Quais as temperaturas mdia, mediana e modal?9)Umaamostraaleatriade56alunosdoGrupoEscolarSantaLciarevelouque32so meninos e 24 meninas. Calcule a proporo de meninos e meninas.10)Napesquisaanterior,constatou-sequeosalunosestodistribudosdaseguinteforma,em relao a classe social:Classe n alunosA 4B 15C 23D 14a) Calcule as propores de cada classe.b) Qual a classe modal?11) Determine a moda e as propores:Tipo de produto Quantidade vendida (mil)Televiso 117Microsistem 92DVD 180Microcomputador 2312) Calcule mdia, mediana e moda para o tempo de permanncia (em dias) de uma amostra de hspedes no Hotel Vista Azul.3 4 4 5 2 5 4 3 613)Determineamodaparaasidadesdemulheresnapocaemquedivorciaram(captulo2 exerccio c).14) A tabela abaixo mostra o trfego de pessoas (em milhes) nos shoppings no Brasil:Ano 1994 1995 1996 1997 1998 1999Pessoas (milhes) 42 45 50 55 62 100Determine a mdia e a moda do perodo.ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________18 4 - MEDIDAS DE POSIO - SEPARATRIZESSeumconjuntodedadosorganizadoemordemcrescentedegrandeza,ovalorque divideoconjuntoemduaspartesiguaisamediana.Porextensodesseconceito,pode-se pensarnosvaloresquedividemoconjuntoemquatropartesiguais.Estesvaloresso denominados quartis. Semelhantemente, os valores que dividem os dados em dez e cem partes iguais so denominados decs e percents respectivamente.i) Quartil25% 25% 25% 25%Q1Q2Q3ii) Decil10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10%D1D2D3D4D5D6D7D8D9iii) Percentil 1% 1% 1%- - -1%P1P2P3- - -P99Os percents so encontrados da seguinte forma:a)Nmero mpar de dados:Senformpar,opercentilprocuradoserodeordem (n+1)p, onde n o tamanho da amostra e p a porcentagem representada pela separatriz.b)Nmero par de dados:Senforpar,opercentilprocuradoseramdiaentreos elementos de ordem np e np + 1.Exemplo: Em um teste voc obteve o resultado 236. Alm de voc, onze pessoas fizeram o teste e obtiveram 210, 245, 220, 225, 233, 216, 252, 228, 215, 230 e 241.a) Qual o percentil do seu resultado entre os 12?Primeiramente ordenamos: 210, 215, 216, 220, 225, 228, 230, 233, 236, 241, 245, 252. O resultado 236ocupa a9posio, numtotalde12posies;assim: 9:12=0,75 = 75%; ou seja 75% dos resultados so menores ou iguais ao seu.b) Qual o 25 percentil?n = 12, logo n par; assim:np = 12.0,25 = 3 3 elementoenp + 1 = 3 + 1 = 4 4 elementoDa o 25 percentil ser a mdia entre o 3 e o 4 elemento, ou seja, a mdia entre 216 e 220 que o 218.ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________19Ogrficoabaixo,conhecidocomogrficodeMarcondes,mostraospercentsdas variveis altura e peso, relativas s idades de crianas. Ele serve para acompanhar o crescimento.Exerccios1) Tomar uma AAS de 11 alunos e apurar a estatura dos mesmos:a) Quem tem estatura _______m ocupa qual percentil?b) Determine o 75 percentil.ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________202)Pesquisarealizadajuntoa14famliasdafaveladaCarrocinha,constatouosseguintes nmeros de pessoas por famlia: 25876435519410e 11.a) Nesta amostra, a famlia que tem 6 pessoas ocupa qual percentil?b) Encontrar P70 e P50.3) Considere os salrios abaixo:7082877210711979102941259611578849872878094.a) Abaixo de que salrio se situam os 30% com menor remunerao?b) Acima de que salrio ficam os 30% com maior remunerao?4) O mdico informou que seu peso est no percentil 85. O que isto significa?5) Utilizando os dados dos exerccios a, b, c e e, do captulo 2 calcule respectivamente:a) o percentil 90;b) o P75;c) o 25 percentil;d) o nonagsimo quinto percentil.6) O que significa a frase a seguir: somente os gerentes e executivos recebem salrios acima do 3 quartil1.

1 Revista Exame: As melhores empresas para voc trabalhar. Editora Abril, edio 669.ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________215 - MEDIDAS DE DISPERSO OU VARIABILIDADEComovimos anteriormente, um conjunto de dados pode ser sintetizado atravs de valores representativoscomoamdia,medianaeamoda.Noentanto,estasmedidasnotma capacidade de caracterizar completamente um conjunto de dados. Por exemplo: se a mdia final dedoisalunosAeB6,nopodemosconcluirqueoaproveitamentodosmesmosfoi homogneo. O aluno A pode ter obtido notas 6, 5 e 7 e o aluno B 10, 8 e 0 (zero). Portanto, para qualificar os valores de uma certa varivel, ressaltando a homogeneidade ou heterogeneidade de sua distribuio, recorremos s medidas de disperso.1) Varincia: por definio :1.1 - Populacional( )SX XN22=1.2 - Amostral( )sx xn221=2) Desvio Padro: a raiz quadrada positiva da varincia, ou seja:( )SX XN=2e ( )sx xn=12Para populao e amostra respectivamente3)CoeficienteDeVariao:umamedidadedispersorelativaqueestabeleceumarelao entre desvio padro e mdia. Atravs dele, podemos ter uma idia se o valor do desvio padro alto ou no. dado por:CVsx=100ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________22Exemplo: tempo gasto (em minutos) para realizao de certa tarefa, observado em uma amostra de 5 funcionrios:2 5 4 3 6Como se trata de uma mostra, usamos a frmula correspondente. Assim:x( )x x 22 (2 - 4)2= 45 (5 - 4)2= 14 (4 - 4)2= 03 (3 - 4)2= 16 (6 - 4)2= 420E( )x x 2 = 10

( )222min 5 , 24101= ==nx xsComo min2 no tem sentido prtico, calculamos o desvio padro.( )min 58 , 1 5 , 212= ==nx xsE para conhecermos a variao, em percentual, calculamos o CV:% 5 , 394100 58 , 1 100===xsCVPortanto, os tempos variaram em 39,5%.Exerccios1)Usandoosdadosdaamostracolhida,referenteaidadedosalunosdaturma,calculara varincia, desvio padro e o coeficiente de variao. Comente o resultado encontrado.2) Dados os conjuntos numricos: A = {5, 5, 5, 5, 5} e B = {8, 7, 2, 10, 1};Semcalcular,respondaqualdosdoisconjuntosapresentamaiorvariabilidade;aindasem calcular, qual a variabilidade do conjunto A. Justifique o resultado.ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________233) Calcule o coeficiente de variao do conjunto B.4)Calculeocoeficiente devariao paraasidadesdaspessoasdosgruposAeB.Comenteos resultados encontrados.A = {1, 3, 5} e B = {53, 55, 57}5)Calcularavarincia,desviopadroecoeficientedevariaoparaoconsumo(emkWh)de energia eltrica de uma residncia:Ms abril maio junho julho agosto setembro outubrokWh 278 283 296 233 334 313 2516) Calcule a variabilidade dos custos com embalagem em uma linha de produtos da empresa OG:Custos ($):0,48 0,23 0,44 0,26 0,37 0,327) Calcule o coeficiente de variao das temperaturas do municpio de Tuiuiu do Sul (cap. 3).8) Numa pesquisa sobre clima organizacional os funcionrios de um banco atriburam notas de 0 a 10 para a satisfao no trabalho. A notas foram:7 2 1 6 2 45 2 6Com os resultados da experincia acima, o que podemos dizer a respeito da variabilidade?5) Calcule o desvio padro para o prmio a ser pago do seguro de alguns veculos:Prmio: 412 524 643 498 550 4799) Calcule o coeficiente de variao para o tempo de permanncia (em dias) de uma amostra de hspedes no Hotel Vista Azul.3 4 4 5 2 5 4 3 610)Atabelaabaixorepresenta onmero de usuriosda Internet na Amrica Latinaem1999em milhes:Pas Brasil Mxico Argentina Colmbia OutrosN (milhes) 4,8 1,3 0,8 0,5 2,2Calcule a variabilidade e analise se a distribuio homognea.11) Produo de carne de frango em milhes de toneladas:Ano 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000ton (milhes) 3,49 4,05 5,06 4,46 4,85 5,53 5,9Determine a variabilidade do perodo.12) Os dados a seguir representam a distncia (em km) percorrida diariamente pelos caminhes de uma transportadora: 490 530 640 380 450 610 560.Determinea variabilidade.ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________246 - REPRESENTAO GRFICAOsdadosestatsticospodemserrepresentadosatravsdeelementosgeomtricos, chamados grficos. Os grficos tm o objetivo de dar uma viso rpida e global do fenmeno em estudo. No entanto apresentam algumas limitaes:- no so precisos na medida em que omitem detalhes;- podem ser distorcidos de acordo com interesses particulares;- no permitem a representao de um grande nmero de dados.Os grficos devem ser elaborados de forma simples e clara, retratar a realidade e respeitar sua escala.Umapreocupaocomosgrficosreferenteaesttica.Umgrficocomumeixo horizontal ou vertical muito grande fica ruim do ponto de vista esttico. Assim, os eixos devem ter o mesmo comprimento, ou ento o eixo vertical ter, no mnimo, 75% do comprimento do eixo horizontal.Construo De GrficosOsgrficosdevemserconstrudoscombasenosistemadeeixoscartesianos,ouseja, dois eixos perpendiculares entre si, sendo quea origem (zero) na interseco dos mesmos.Noeixodasabscissas(horizontal),osvalores crescem da esquerda para a direita. Neste eixo,geralmenterepresentamoscronologia(tempo),regiogeogrfica(estado,municpio, outros) ou categorias.Noeixodasordenadas(vertical),osvalorescrescemdebaixoparacima.Nele representamos as quantidades (valores, %).Osgrficosdevemterttuloenasextremidadesdoseixosdevemserindicadasas variveis que esto sendo representadas, com as respectivas unidades.Quando um eixo tem seus valores iniciais muito altos, deve haver uma interrupo, com a indicao da posio do zero.Todogrficodeveindicar,noseurodap,afonte,ouseja,ainstituioou pesquisador(es) que levantaram os dados.ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________25I - Grfico De Colunasusadopararepresentarsriescronolgicas,geogrficasecategricas.Soretngulos com larguras de mesma medida e alturas proporcionais s quantidades representadas. construdo da seguinte forma:1 - traar um sistema de eixos cartesianos;2 -marcarosvaloresoucategoriasdasvariveisnoseixos,evitandoousodenmeros "quebrados"; escrever o nome das variveis;3 - construir retngulos representativos das variveis, mantendo entre um e outro distncias iguais;4 - colocar o ttulo e a fonte.Obs.: as distncias entre colunas devem ter medida inferior largura das mesmas.Exemplo: Potencial de consumo urbano, por classes sociais em 2001 em bilhes de dlares:Classe(US$ bilhes)A1 25A2 60,1B1 58,6B2 66,1C 94,5D+E 56,5Fonte: Simonsen AssociadosFonte: Simonsen AssociadosPotencial de Consumo Urbano por Classes Sociais - 20012560,158,666,194,556,5020406080100A1 A2 B1 B2 C D+EClasseUS$ (bilhes)ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________26II - Grfico De LinhasUsado apenas para sries cronolgicas, onde podemos perceber a evoluo do fenmeno no decorrer do tempo.Para sua construo:1 e 2 - estes passos so idnticos ao grfico de colunas;3 - marcar os pontos correspondentes aos pares de valores das duas variveis;4 - unir os pontos marcados por segmentos de reta;5 - colocar ttulo e fonte.Exemplo: evoluo da expectativa de vida no BrasilAno Expectativa de vida (anos)1940 441950 461960 521970 531980 611990 662000 69Fonte: IBGEEvoluo da Expectativa de Vida no Brasil0102030405060701940 1950 1960 1970 1980 1990 2000Fonte: IBGEESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________27III - Grficos ComparativosComo o prprio nome diz, servem para comparar dois ou mais fenmenos. No entanto, se muitosfenmenosforemrepresentadosnummesmogrfico,esteperdesuaclarezae simplicidade.Cada fenmeno dever ter uma cor ou motivo de modo que possam ser diferenciados uns dos outros. Estes grficos necessitam legenda.Exemplo 1: Previdncia Social: comparao entre arrecadao lquida e benefcios pagos (bilhes de R$).Ano Arrecadao Benefcios1988 33 181989 33.5 211990 36 221991 34 241992 33.5 25.51993 36 321994 33.5 341995 38 401996 43 44.5Fonte: Ministrio da Previdncia e Assistncia SocialPagamento de Benefcios Versus Arrecadao da Previdncia Social01020304050198819891990199119921993199419951996ArrecadaoBenefciosFonte: Ministrio da Previdncia e Assistncia SocialESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________28Exemplo 2: comparativo de gastos entre Brasil e EUA (em %).Item EUA BrasilAlimentos 15,8 27,4Habitao 28,3 23,5Eletrodomsticos 5,0 3,5Veculos 5,0 2,1Educao 2,7 6,3Servios Mdicos 6,1 8,2Lazer 4,4 2,1Fonte: JP Morgan/DIEESEPercentual no gasto do oramento familiar051015202530EUABrasilLegendaAlimentos Habit. Eletrodom. Vec. Mdico Educ. LazerFonte: JP Morgan/DIEESEIV - Grfico De Setoresusadoquandoqueremoscompararosvaloresdeumacategoriacomototaldetodas categorias.Seuaspectodeumcrculoondeestotraadosalgunsraios,porissoconhecido como grfico de pizza ou torta.Antesdeiniciarsuaconstruoprecisamosconverterosvaloresencontradosemgraus. Esta converso feita atravs de regra de trs simples.Construo:1 -usandoumcompassoougabarito,traarumacircunfernciacomraioqualquer(no muito pequeno) e marcar o seu centro;2 - traar um raio qualquer;3 -usandoumtransferidor,marcarosnguloscorrespondentesaosvaloresdatabela, comeando pelo primeiro raio traado;4 - pintar ou diferenciar com motivos cada categoria representada;ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________295 - colocar legenda, ttulo e fonte.Exemplo: classificao socioeconmica da populao brasileira em 1997.Classe %A 10B 23C 40D 25E 2Fonte: IBOPEClassificao socioeconmica da populao brasileira em 1997%10%23%40%25%2%ABCDEFonte: IBOPEV - Representao Grfica De Distribuies De FreqnciaPodemosrepresentarosdadosagrupadosdeduasmaneiras:histogramaepolgonode freqncia.a) Histogramas: so parecidos com os grficos de colunas, porm sem os espaos entre elas. So construdos da seguinte forma:1 - traar o sistema de eixos cartesianos;2 - marcar no eixo horizontal apenas os limites de classe;3 - marcar as freqncias no eixo vertical;4 -traarumretnguloparacadaclasse,comlarguraigualaointervalodeclasseealtura igual a respectiva freqncia;5 - colocar ttulo e fonte.Obs.: as linhas que dividem as colunas so dispensveis.ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________30Exemplo: peso de recm-nascidos no ms de novembro na Maternidade Me Santa.Peso (g) f2000 | 2500 22500 | 3000 53000 | 3500 123500 | 4000 84000 | 4500 3Fonte: Secretaria (fictcia)Peso de recm-nascidos no ms de novembro na maternidade Me Santa.Fonte: Secretariab) Polgonos de freqncia: so semelhantes aos grficos de linha. So construdos da seguinte forma:1, 2 e 3 - igual ao histograma;4 - marcar os pontos mdios das classes;5 - marcar os pontos correspondentes aos pares de valores "ponto mdio da classe" e "freqncia da classe";6 - marcar um ponto onde seria o ponto mdio da classe anterior primeira e outro onde seria o ponto mdio da classe seguinte ltima;7 - unir os pontos por segmentos de reta;8 - colocar ttulo e fonte.ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________31Exemplo: Peso de uma amostra de Adolescentes da Regio XYZPeso (kg) Freq.50 | 55 255 | 60 560 | 65 665 | 70 970 | 75 4Fonte: Fonte: Instituto RTSPeso de uma Amostra de Adolescentes da Regio XYZFonte: Instituto RTSParafinalizarestecaptulo,ressaltamosaimportnciadopapelmilimetradona construo degrficos,poisestes facilitam muito. Mais modernamente podemos contar com os grficos feitos por computador, que so bastante precisos e tm uma apresentao muito boa. O recurso mais comum atualmente o Microsoft Excel.ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________32Exerccios1) Usando uma conta de luz, construir um grfico do consumo de energia eltrica.2) Represente graficamente os dados abaixo. Entre colchetes est indicado o tipo de grfico.a) Valor estimado das vendas do comrcio eletrnico brasileiro em milhes de dlares. [linhas]Ano US$ milhes97 4,398 32,799 71,200 155,401 328,0Fonte: IDC/E-Marketerb)SegmentaodasvendasrealizadaspelosistemaB2Cem%dovalordasvendas. [setores]Tipo%Alimentos e remdios 8Eletrnicos e telefone 17Informtica19Servios financeiros 31Outros25Fonte: IBOPE/IDC/Simonsen Associadosc) Comparativo de alunos matriculados em escolas de ensino fundamental em milhes de alunos. [colunas ou linhas]Ano Rede pblicaRede particular94 27,6 3,695 28,8 3,896 29,4 3,797 30,5 3,798 39,0 3,499 32,8 3,300 32,5 3,2Fonte: MEC/Inep/Simonsen AssociadosESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________33d)Distribuioestimadadofaturamentodosetordeinformticaem2001em%. [setores]Tipo %Hardware 68Software13Servios 19Fonte: Fenasoft/Simonsen Associadose) Domiclios com telefone em 1999 em %. [colunas]Regio rea urbanarea ruralNorte33,5 N.D.Nordeste 30,0 3,7Sudeste 49,3 10,7Sul 48,8 15,1Centro-oeste 48,8 10,6Fonte: IBGE/Simonsen Associados.f) Nmero de acidentes ambientais no Estado de So Paulo. [linha]Ano N1986 1081987 1161988 1131989 1681990 1271991 1491992 2081993 1751994 1891995 2151996 398Fonte: CetesbESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________34g) Quanto as empresas gastam por ano para dar assistncia mdica a seus funcionrios -em US$ por empregado.Pas US$Canad 562Inglaterra 900Hong Kong 1000Frana 1050Brasil 1250EUA 1500Itlia 1550Espanha 1890Japo 1920Argentina 2400Fonte: Hewitt Associadosh) Anos de estudo dos habitantes da cidade de Peri-Au. Tempo (anos) freqncia0 | 4 5.3004 | 8 4.6708 | 12 3.85012 | 16 2.70016 | 20 1.20020 | 24 580Fonte: Secretaria Educaoi)Nmerodealcolatrascrnicossegundoaidadequeiniciaramohbitodeingerir bebidas alcolicas.Idade (anos) freqncia10 | 15 815 | 20 4120 | 25 3025 | 30 1430 | 35 735 | 40 2Fonte: Secretaria SadeESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________35j) Q.I. de uma amostra de alunos do Colgio Clara de Assis.QI freqncia70 | 80 780 | 90 1190 | 100 42100 | 110 27110 | 120 20120 | 130 3Fonte: Clnica Psicolgicak) Renda familiar, em salrios mnimos no Brasil em 1997.Renda (n de SM) %0 | 0,5 10,5 | 2 62 | 5 245 | 10 3010 | 17 1617 | 20 620 | 50 13Fonte: IBOPE3) Represente graficamente as freqncias acumuladas das tabelas de h a k.Obs. Os grficos de 3 so chamados de OGIVA.ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________36Curva De Freqncia - Curva PolidaNamedidaemqueasamostrastornam-semuitograndese a amplitudedasclasses muito pequenas, a linha poligonal (contorno do polgono de freqncia), tende a transformar-senuma curva. A curva de freqncia.Enquanto o polgono de freqncia ou o histograma nos d uma imagem real do fenmeno estudado, a curva de freqncia nos d uma imagem tendencial.Formas das Curvas de FreqnciaSimtricasAssimtricas (viesadas)OutrasExponenciais ParablicaESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________377 - ASSIMETRIA E CURTOSEFreqentementeopesquisadordesejasabercomoavarivelemquestosedistribui.As medidas de assimetria e curtose nos do uma idia desta distribuio.AssimetriaAssimetria o grau de desvio ou afastamento da simetria de uma distribuio. Se a curva defreqnciadeumadistribuiotemuma"cauda"maislongadireitadaordenadamxima, diz-sequeadistribuiotemassimetriapositiva.Seocorreroinverso,diz-sequeelatem assimetria negativa. O coeficiente de assimetria determinado por:( )Asx Mds= 3se:0 s |As| s 0,15 simtrica0,15 < |As| < 1 assimtrica moderada|As| > 1 assimtrica forteCurtoseograudeachatamentodeumadistribuio,consideradousualmenteemrelao auma distribuio normal. dado por:( )KQ QP P=3 190 102Se K = 0,263 MesocrticaSe K < 0,263 LeptocrticaSe K > 0,263 PlaticrticaESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________38Exemplos:1)Umlevantamentoantropomtricorealizadoemcertapopulaorevelouqueocomprimento mdiodoantebraode32,8cm,odesviopadro9,1cmeamediana35,7cm.Calcularo coeficiente de assimetria e classificar a distribuio:( )Asx Mds= 3 = ( )As = 3 32 8 35 79 1, ,,= -0,96Como0,15 0,263, a distribuio platicrtica, ou seja as medidas esto dispersas.Exerccios1)Umestudosobreaqualidadedevidaemcertacomunidade,revelouqueareamdiadas moradias de 96,4m2 com desvio padro de 18,5m2. A rea mediana de 98,2m2. Classifique a distribuio das reas quanto ao grau de assimetria.ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________392) O mesmo estudo revelou ainda o seguinte:- 25% dos habitantes consomem at 27Kg de alimentos por ms;- 10% dos habitantes consomem at 22Kg de alimentos por ms;- 75% dos habitantes consomem at 31Kg de alimentos por ms;- 90% dos habitantes consomem at 36Kg de alimentos por ms;Classifique a distribuio quanto a curtose.3)Determineeclassifiqueograudeassimetriaparaasdistribuiesabaixo.Esboceacurva correspondente.Distribuio mdia mediana Desvio padroHoras mensais de uso da internet por alunos da escola RGH48,1 47,9 2,12Distncia diria percorrida por carteiros 33,18 31,67 12,454)Determineograudecurtoseeclassifiqueasdistribuiesabaixo.Esboceacurva correspondente.Distribuio Q1Q3P10P90Salrios pagos pela empresa KWA 814 935 772 1012Estatsticas de idosos da cidade de Apu 63,7 80,3 55,0 86,6Gastos mensais com higiene 28,8 45,6 20,5 49,86) Supondo-sequenoexemplo1amedianafosse32,8,comoclassificaramosadistribuio quanto a simetria?7) Comosdadosobtidosnoexerccio1docaptulo5,classificaradistribuioquantoa simetria.8) Aempresa PQRfezumlevantamento sobre opreo de certo alimentoenlatado e descobriu que o descobriu que a mdia $1,28, a mediana$1,31e o desvio padro $0,80. Classifique a distribuio dos preos no que se refere a assimetria.9) Omesmolevantamento anterior descobriu queoP10= 0,75, o P25 = 1,02,o P75 = 1,48 e o P90 = 1,76. Classifique a distribuio quanto a curtose.ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________408 - NOES DE PROBABILIDADESConceitos BsicosExperimentosAleatrios:soaquelesque,repetidoemcondiesconsideradas idnticas, pode apresentar resultados diferentes, como por exemplo o lanamento de um dado.EspaoAmostral(S):oconjuntodospossveisresultadosdeumexperimento aleatrio. Onmero deelementos deste conjuntoindicadopor n(S). Exemplo:no lanamento do dado,temos:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}n(S) = 6Evento:umsubconjuntodoespaoamostral.Exemplo:nodadopodemostercomo evento a ocorrncia de um nmero par: A = {n par};A = {2, 4, 6},n(A) = 3.Tipo de Eventos Eventosimples:formadoporumnicoelementodoespaoamostral.Exemplo:se lanarmos 3 moedas consecutivamente, o evento K, K, K (trs caras) simples. Eventocomposto:formadopormaisdeumelementodoespaoamostral.Exemplo:se lanarmos2dadosedesejamosasomaiguala11,umeventocomposto,poisexistem2 elementos do espao amostral nestas condies (6,5) e (5, 6). Evento complementar: dizemos que um evento complementar na seguinte condio:Exemplo: ao lanarmos duas moedas, temos S = {(KK);(KC);(CK);(CC)}; se considerarmos A = {(KK)}, o complementar de A ser Eventosmutuamenteexclusivos:SeAeBsodoiseventos,dizemosqueAeBso mutuamente exclusivos se A B = C, ou seja, se ocorre A no pode ocorrer B. Exemplo, se lanarmos uma moeda, se ocorre cara, no ocorre coroa. Eventos independentes: dois ou mais eventos se dizem independentes se a ocorrncia de um no influencia a ocorrncia do outro. Por exemplo: o fato de sair um determinado nmero no dado no influi na sada de outro. Evento impossvel: o conjunto vazio. Exemplo: sair um sete no dado. Eventocerto:oprprioespaoamostralS.Exemplo:aocorrnciadecaraoucoroano lanamento de uma moeda.Experimentos equiprovveis:soaqueles que, realizadossobas mesmas condies, tm a mesma chance de ocorrncia de seus eventos.A S A =( ) ( ) ( ) { } CC CK ; ; KC A =ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________41Probabilidades definio. As probabilidades so utilizadas para exprimir a chance de ocorrncia de determinado evento. Num experimento aleatrio equiprovvel, a probabilidade de ocorrer o evento X, dentro do espao amostral S dada por:Propriedades: P(A) + P(B) = 1(sendo B o complemento de A) 0 s P(A) s 1 (qualquer que seja A) P(C) = 0 P(S) = 1Unio de Probabilidades1) Se A e B so eventos mutuamente exclusivos, temos:P(AB) = P(A) + P(B)Em outras palavras, a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B igual a soma daprobabilidadedeocorrnciadoeventoAcomaprobabilidadedeocorrnciadoeventoB. Podemos ter outros casos como P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C).2)QuandoAeBtmelementoscomuns,aoassociarmosaABumaprobabilidade P(A)+P(B),estaremosatribuindoumvalormaiorqueaverdadeira,umavezqueas probabilidades dos elementos comuns a A e B, tero sido computadas duas vezes. Assim, se os eventos no so mutuamente exclusivos, temos:P(AB) = P(A) + P(B) - P(A B) Exemplo: Uma urna tem 15 bolas de mesmo raio, numeradas de 1 a 15:a) Qual a probabilidade de se tirar uma bola cujo nmero seja mltiplo de 5 ou 4?S = {1, 2, 3, ... , 15}n(S) = 15A: mltiplo de 5A = {5, 10, 15} n(A) = 3B: mltiplo de 4 A = {4, 8, 12} n(B) = 3 A B = CDan(S)n(X)P(X) =possveis casos de nfavorveis casos de nP(X) =4 , 052156153153B) P(A = = = + = ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________42b) Qual a probabilidade de se tirar uma bola cujo nmero seja mltiplo de 3 ou 4?S = {1, 2, 3, ... , 15}n(S) = 15A: mltiplo de 3A = {3, 6, 9, 12, 15} n(A) = 5B: mltiplo de 4 A = {4, 8, 12} n(B) = 3 A B = {12}; n(A B) = 1Probabilidade CondicionalSejamAeBdoiseventos,comP(A)>0.DenotemosporP(B/A)aprobabilidadede ocorrncia deB, nahiptesedeAter ocorrido.Como A ocorreu, A passa a ser o novo espao amostral, que vem substituir o espao original S. Da:Exemplo:Sorteando-seumnmeroaoacasoentreosinteiros1,2,...,15,quala probabilidade do nmero ser 6, sabendo-se que saiu par.S = { 1, 2, 3, ... , 15}n(S) = 15B = {o nmero 6} = {6}n(B) = 1A = {o nmero par} = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} n(A) = 7A B = {6} n(A B) = 1Da temos:Interseco de Probabilidades1)Sedoiseventossoindependentes,entoaprobabilidadedaocorrnciadeambos igual ao produto de suas probabilidades individuais.P(A B) = P(A)P(B)Exemplo:Retiram-se,comreposio,duascartasdeumbaralhocom52cartas.Quala probabilidade de que ambas sejam de espada?A = {1 carta de espada}B = {2 carta de espada}467 , 0157151153155B) (A P(B) P(A) B) P(A = = + = + =P16152135213B) P(A = = ) () (P(A)B) P(AP(B/A)A nB A n ==1428 , 07115 715 1P(A)B) P(AP(B/A) = = ==ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________432) Se um evento depende do outro, a probabilidade da ocorrncia simultnea dos dois dada pelo produto da probabilidade de um dos eventos, pela probabilidade condicional do outro evento.P(A B) = P(A) P(B/A) com P(A) = CExemplo:Qualaprobabilidadedeseretirar(semreposio)5cartasdecopasdeum baralho de 52 cartas?Exerccios1) Qual a probabilidade de:(a) sair uma face mpar no lanamento de um dado?(b) sair um rei de um baralho comum de 52 cartas?2) Dois dados so lanados. Pede-se(a) espao amostral;(b) enumere o evento B = {a soma dos pontos 7};(c) enumere o evento A = {a soma dos pontos 9};(d) calcule a probabilidade do evento A;(e) calcule a probabilidade do evento B;(f) qual a probabilidade da soma no dar 9?(g) calcule a probabilidade da soma ser 9 ou 7;(h) sabendo-sequeasduasfacesmostramnmerosdiferentes,calculeaprobabilidadedea soma ser 4;(i) determineaprobabilidadedasomaser5,vistoqueoprimeirodadomostraumnmero maior que o segundo.3) Em duas urnas existem bolas de mesmo raio, conforme abaixo:Se uma bola retirada de cada urna, qual a probabilidade de ambas serem da mesma cor?4) Emumlotede10peas,6sodefeituosas.Retirando-se2delassemreposio,quala probabilidade de ambas serem defeituosas?0,0495%4894910501151125213P(5copas) = =Urna 15 azuis3 pretas4 brancasUrna 26 azuis4 pretas10 brancasKKKKESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________445) De um baralho comum de 52 cartas retirou-se uma carta, verificando-se que vermelha. Qual a probabilidade de essa carta ser uma figura?6) Lanando-se, simultaneamente, um dado e uma moeda, determine a probabilidade de se obter 3 ou 5 no dado e cara na moeda.7) Tendoainformaodequeretirou-seumacartadecopasdeumbaralhocomum,quala probabilidade de que ela seja menor que 3?8) Dos 50 alunos de uma sala, 10 foram reprovados em Fsica, 12 em Matemtica e 6 em ambas matrias. Um aluno escolhido ao acaso.aSabendo-se que foireprovado emMatemtica, qualaprobabilidade detambmter sido reprovado em Fsica?bSabendo-sequefoireprovadoemFsica,qualaprobabilidadedetambmtersido reprovado em Matemtica?9) Umnmerointeiroescolhidoaoacasodentreosnmeros1,2,3,...,30.Quala probabilidade de:a o nmero ser divisvel por 5 ou 3?b o nmero ser divisvel por 5 e 3?10) Duas bolas so retiradas ao acaso de uma caixa contendo 20 amarelas, 10 pretas, 7 verdes e 2 brancas. Qual a probabilidade dela serem:a amarelas?b pretas?c verdes?d brancas?11) Uma carta retirada de um baralho comum. Qual a probabilidade dela ser:a dama ou carta de paus?b s ou valete?c rei e copas?12) UmaCaixacontm20canetasiguais,dasquais7sodefeituosas,eoutracontm12,das quais4sodefeituosas.Umacanetaretiradaaleatoriamentedecadacaixa.Determinea probabilidade de:a ambas serem defeituosas;b ambas no serem defeituosas;c de uma ser perfeita e a outra no.ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________459 - TEOREMA DE BAYESOTeoremadeBayes(ouRegradeBayes)ummtododerevisodeprobabilidades existentes(a priori)combase em informao amostral. Basicamente ele dizque se um evento pode ocorrer de mais de uma maneira, ento a probabilidade de ocorrncia de uma determinada maneiraseriaarazodaprobabilidadedeocorrnciadaquelamaneiraparaaprobabilidadede ocorrncia de qualquer modo.Enunciado:SejamA1,A2,...,Aneventosmutuamenteexcludentes,cujaunioo prprioespaoamostral,isto,umdoseventosdeveforosamenteocorrer.Ento,seBum evento deste espao amostral, temos o seguinte teorema:OuEsteteoremarelaciona probabilidadesapriori:P(Ai),comaprobabilidadeaposteriori: P(Ai/B), probabilidade de Ai depois que ocorrer B. Ele nos permite determinar as probabilidades dos vrios eventos A1, A2, . . . An que podem ser a causa da ocorrncia de B. Por isso o Teorema de Bayes mencionado freqentemente como o Teorema da Probabilidade das Causas.Exemplo: A empresa ABC S/A apresentou uma proposta para um projeto de construo. Se seu concorrente apresentou uma proposta, h apenas 25% de chance da ABC ganhar a concorrncia. Seseuconcorrentenoapresentoupropostah2/3dechancedaABCganhar.Achancedo concorrenteterapresentadopropostade50%.Qualaprobabilidadedeseuconcorrenteter apresentado proposta, dado que sua empresa ganhou a concorrncia?Do enunciado, podemos listar o seguinte:- P(C) = Probabilidade de o concorrente participar = 0,50;- P(~C) = Probabilidade do concorrente no participar = 0,50;- P(G/C)=ProbabilidadedaABCganharsabendoqueoconcorrenteapresentouproposta= 0,25;- P(G/~C) = Probabilidade da ABC ganhar sabendo que o concorrente no apresentou proposta = 0,6667;O que o problema est querendo saber :P(C/G) = Probabilidade de o concorrente ter apresentado proposta, sabendo que a ABC ganhou a concorrncia = ?==nii ii iiA B P A PA B P A PB A P1) / ( ) () / ( ) () / () / ( ) ( ... ) / ( ) ( ) / ( ) () / ( ) () / (2 2 1 1 n ni iiA B P A P A B P A P A B P A PA B P A PB A P+ + +=ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________46Pelo Teorema de Bayes, podemos determinar a probabilidade requerida:Exemplo 2: Considere a seguinte situao:Urna CoresU1U2U3Pretas 3 4 2Brancas 1 3 3Vermelhas 5 2 3Escolheu-se uma urna ao acaso e dela extraiu-se uma bola tambm ao acaso, verificando-se que a bola branca. Qual a probabilidade de a bola ter vindo da urna 2?Probabilidade a priori:Probabilidades condicionais:Queremos calcular P(U2/br):Portanto,aprobabilidadeaposteriori,isto,aprobabilidadedetersidoescolhidaaurna2 dada a informao de que a bola retirada foi branca de 40,678%.2727 , 06667 , 0 5 , 0 25 , 0 5 , 025 , 0 5 , 0) ~ / ( ) (~ ) / ( ) () / ( ) () / ( = + = + =C G P C P C G P C PC G P C PG C P31) (1 = U P31) (2 = U P31) (3 = U P91) / (1 = U br P31) / (2 = U br P83) / (3 = U br P40678 , 059248331313191313131) / (2= = + + = br U P) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( ) () / ( ) () / (3 3 2 2 1 12 22U br P U P U br P U P U br P U PU br P U Pbr U P+ +=ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________47Exerccios1) Trs mquinas, A, B e C fabricam um mesmo produto nas seguintes propores. A produo damquina Aduasvezesaproduo da mquina B e asmquinasB e C tm propores iguais.Sabe-seaindaque5%doprodutofabricadoemA,7%fabricadoemBe10% fabricadoemCsodefeituosos.Esteprodutoarmazenadoemdeterminadodepsito,na proporo da produo de cada mquina. Retirou-se um produto deste depsito e verificou-se que era defeituoso. Qual a probabilidade de este produto ter sido produzido pela mquina A? Pela mquina B? Mquina C?2) Certaempresadenibusverificouqueseusveculospodempararpordefeitoeltricoou mecnico. Se o defeito for eltrico, a proporo de 1 para 8, e, se mecnico, de 1 para 13. Em15%dasviagenshdefeitoeltricoe,em26%mecnico,noocorrendomaisdeum defeito em cada viagem, igual ou do tipo diferente. Se o nibus no completar a viagem, qual a probabilidade de ocorrer defeito mecnico?3) Umindivduopodechegaraoempregoutilizandobicicleta,motocicletaoucarro.A proporodeusodecadaumoseguinte:carro0,6,bicicleta0,1emotocicleta0,3.A probabilidadedechegaratrasado,nocasodeutilizarcarro de0,05,debicicleta0,02ede motocicleta 0,08. Certo dia ele chegou atrasado. Qual o meio de locomoo mais provvel de ter escolhido?4) Suponhamosque5%daspessoascomsanguetipoOsejamcanhotas,10%daspessoasde outro tipo de sangue sejam canhotas, e 40% das pessoas tenham sangue tipo O. Selecionando um canhoto aleatoriamente, qual a probabilidade de ele ter sangue tipo O?5) Suponha que 70% das pessoas com olhos castanhos, 20% das pessoas com olhos verdes e 5% daspessoascomolhosazuistenhamtodascabeloscastanhos.Suponhaaindaque75%das pessoas tenham olhos castanhos, 20% tenham olhos azuis e 5% tenham olhos verdes. Qual a probabilidade de uma pessoa de cabelos castanhos, escolhida ao acaso, ter olhos verdes?ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________4810 VARIVEIS ALEATRIASDefiniesVariveisAleatrias:Quandoumavariveltemresultadosouvaloresquetendemavariarde umaobservaoparaoutraemrazodefatosrelacionadoscomachance,chama-sevarivel aleatria ou varivel estocstica. Elas so obtidas atravs de experimentos aleatrios e aos quais podemosassociarprobabilidades.Soindicadasporletrasmaisculaseosvaloresassumidos pelas variveis aleatrias so indicados por letras minscula.VarivelAleatriaBinria.Definimosvarivelaleatriabinriacomoaquelaquesassume valorzeroeum,ondezeroeumrepresentam doiseventosmutuamenteexcludentes.Exemplo. cara e coroa, Rh+ e Rh . Outro exemplo: quando inspecionamos peas produzidas para verificar se esto perfeitas, podemos atribuir o valor 1 para aquelas boas e 0 para as defeituosas.Variveis aleatrias discretas. So aquelas que podem assumir um nmero limitado de valores emqualquer escala demedidae so obtidas mediante alguma forma de contagem. Exemplos:a renda que pode ser medida somente at centavos; o nmero de empregados de uma empresa, que pode ser apenas nmeros inteiros.Variveisaleatriascontnuas.Soaquelasqueteoricamentepodemassumirqualquervalor numaescalademedidaeresultafreqentementedeumamedio,sendogeralmentedadaem alguma unidade de medida. Exemplos: medidas de comprimento, peso, tempo, etc.ESPERANA DE UMA VARIVEL ALEATRIAMuitasvezesconvenienteresumirasinformaesquetemossobreumavarivel aleatria. J vimos que uma das formas de resumir informaes atravs da mdia, por exemplo. Aesperanadeumavarivelaleatrianosdamdiadetodososvaloresqueesperaramos obter se medssemos a varivel aleatria um nmero muito grande de vezes. simbolizado por: E(X), ou seja, esperana de X.Definio:Sex1,x2,...,xNsoospossveisvaloresdav.a.Xep1,p2,...,pNsoas respectivas probabilidades, ento o valor esperado (ou esperana ou mdia) de X definido comoiNii p x X E==1) (ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________49Exemplo:consideremos umaurna com2bolas brancas e 3 vermelhas. Definamos a varivel X igual ao nmero de bolas vermelhas obtidas em duas extraes (sem reposio).Resultado BB BV VB VVX 0 1 1 2Probabilidades 1/10 3/10 3/10 3/10Neste caso temos:Exemplo2: consideremos o lanamento de uma moeda duas vezes e definamos a varivel Y igual ao nmero de caras (K) obtidas.Resultado KK KC CK CCY 2 1 1 0Probabilidades 1/4 1/4 1/4 1/4Neste caso temos:VARINCIASe X uma v.a. com mdia E(X), ento a varincia de X definida por:ouLembrandoqueavarinciadeumav.a.umamedidadedispersoaoredordesua mdia.Exemplo: considere a v.a. W, com a seguinte distribuio:W 4 5 6 7 8p 1/5 1/5 1/5 1/5 1/52 , 11012103210611010 ) ( = = + + = X E1412211410 ) ( = + + = Y EiNiip X E x X Var ==21)) ( ( ) (2 2)] ( [ ) ( ) ( X E X E X Var =ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________50Da temos:PortantoVar(W) = 38 62 =2PropriedadesSendo c uma constante, temos: E(c) = c E(X + c) = E(X) + c E(cX) = cE(X) E(X+Y) = E(X) + E(Y) E(XY) = E(X)E(Y) Var(X + c) = Var(X) Var(c) = 0 Var(cX) = c2Var(X) Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) para X e Y independentesExerccios1 - Consideremos o lanamento de um dado e seja X a v.a. que representa o nmero obtido na face voltada para cima. Calcule E(X) e E(X2).2 - Dada a distribuio da v.a. V abaixo, Calcule E(V), E(2V) e E(V2).V -2 -1 0 1 2p 1/5 1/5 1/5 1/5 1/53-Considereumaurnacontendo3bolasvermelhase5pretas.Soretiradas3bolassem reposio.Definindo-seav.a.Zcomosendoigualaonmerodebolaspretas,obtenhaa distribuio de Z, 3Z e Z2. 4 - No problema 3, calcule E(Z), E(3Z), E(Z2),Var(Z), Var(3Z), Var(Z2).5 - Dada as distribuies abaixo, determine as variabilidades.651) 8 7 6 5 4 ( ) ( = + + + + = W E3851) 64 49 36 25 16 ( ) (2= + + + + = W EESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________51a)X 0 1 2p 2/5 1/5 2/5b)X 0 1 2 3p 1/8 1/4 1/2 1/8c)X -4 -2 2 4 6p 0,1 0,2 0,4 0,2 0,16 - Uma urna contm 5 bolas amarelas e 4 verdes. Definindo-se a v.a. X como sendo o nmero de bolas amarelas ao se retirar 3 delas sem reposio, pede-se:a) A distribuio de Xb) E(X)c) Var(X)7-Considereolanamentodeumamoeda3vezes.Definindo-seavarivelaleatriaXcomo sendo o nmero de caras, encontre a distribuio de X, calcule E(X) e E(X + 3).8-Verificou-sequeachegadadeclientesaumalojaduranteintervalosaleatoriamente escolhidosde10minutos,segueumadistribuiodeprobabilidadeconformeatabelaabaixo. Calcule o nmero esperado de chegadas por intervalos de 10 minutos e sua varincia.Nmero de chegadasX 0 1 2 3 4 5ProbabilidadeP(X) 0,15 0,25 0,25 0,20 0,10 0,05ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________5211 DISTRIBUIES DE PROBABILIDADESUma distribuio de probabilidades uma distribuio de freqncias para os resultados de um espao amostral, isto , para os resultados de uma varivel aleatria. As freqncias so relativasouprobabilidades.Exemplo:consideremosavarivelaleatrianmerodecoroasem duas jogadas de uma moedaResultado CC CK KC KKValordav.a. 0 1 1 2P (X) 0,25 0,25 0,25 0,25 =1,000,50GraficamenteProbabilidade acumuladaDopontodevistaprtico,emgeralnonecessriocalcularasprobabilidades individuais para obter uma distribuio de probabilidades. Existem tabelas e frmulas para isso.H uma variedade de tipos de distribuio de probabilidades na estatstica. Cada qual tem seuprprioconjuntodehiptesesque definem ascondies sobasquaisotipodedistribuio pode ser utilizado validamente. A essncia da anlise estatstica confrontar as hipteses de uma distribuio de probabilidades com as especificaes de determinado problema.Probabilidade0,250,500,751,00Nmero de coroas 0 1 20,250,500,751,00Nmero de coroas01 oumenos2 oumenosESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________53DISTRIBUIES DISCRETASDenominamosdistribuiodiscretaoconjuntodetodososvaloresquepodemser assumidosporumavarivelaleatriadiscreta,comasrespectivasprobabilidades,ouseja, envolvemvariveisaleatriasrelativasadadosquepodemsercontados,comoonmerode ocorrnciasporamostra.Soexemplosdedistribuiodiscreta:aBernoulli/binomial,ade Poisson, etc.DISTRIBUIO DE BERNOULLI (Lei dos Grandes Nmeros)Existemexperimentoscujosresultadosspodemsersucessooufracasso,comona jogadarepetidadeumamoeda,aobtenodecoroa.Cadajogadachamadaumaprova.Para cadaprovaexisteumaprobabilidadeassociadaaumdeterminadoevento(coroa).Emcertos experimentosaprobabilidadenovariadeprovaparaprova,comonocasodamoeda.Estas provasdizem-seentoindependentesecostumamdesignar-seporprovasdeBernoulli(James Bernoulli sculo XVII). A distribuio de Bernoulli tambm conhecida como Binomial.DISTRIBUIO BINOMIALUsa-seotermobinomialparadesignar situaesemqueosresultados de umavarivel aleatria podemser agrupados em duas classes ou categorias. Os dados so, pois, nominais. As categoriasdevemsermutuamenteexcludentes,demodoadeixarperfeitamenteclaroaqual categoriapertencedeterminadaobservao.Variveiscomresultadosmltiplospodem freqentementesertratadoscomobinomiais,quandoapenasumdosresultadosteminteresse. Assim que as respostas de um teste de mltipla escolha podem ser do tipo correta ou errada; 5 bolas, uma de cada cor, em uma urna na extrao de uma bola verde, o resultado pode ser verde ou no verde.A utilizao da distribuio binomial exige certos pressupostos: H n observaes ou provas idnticas; Cada prova tem dois resultados possveis, um chamado sucesso e outro falha; Asprobabilidadespdesucessose1pdefalhapermanecemconstantesemtodasas provas; Os resultados das provas so independentes uns dos outros.ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________54Frmula BinomialVamosexaminaroseguinteproblema;quaisosresultadospossveisquandosejoga2 moedas honestas 1 vez ou 1 moeda 2 vezes.Moeda 2 Moeda 1C KC CC CKK KC KKOs resultados podem ser dispostos em coluna.CKCC KC KKX = 2 X = 1 X = 0 X (N de caras)Vamos examinar agora os resultados possveis quando se joga uma moeda honesta 3 vezes.Moedas 1 e 2 Moeda 3CC CK KC KKC CCC CCK CKC CKKK KCC KCK KKC KKKGraficamenteKCCCKCKKCKCKCCC CCK CKK KKKX = 3 X = 2 X = 1 X = 0 X (N de caras)ouA funo de probabilidade para 3 jogadas de uma moeda :ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________55Funo f(0) f(1) f(2) f(3)Probabilidade 1/8 3/8 3/8 1/8GraficamenteColocando graficamente osresultados possveis produzidospelo lanamento de 1 moedahonesta 4 vezes, temos:KCCCCKCCCCKCKKCCKCKCKCCKCKKCCKCKKKKCKKCKKCKKCCCC CCCK CCKK CKKK KKKKX = 4 X = 3 X = 2 X = 1 X = 0 X (N de caras)Observe que:1-medida queonmero deobservaes cresce, a disposiogrfica vaiseaproximandoda curva normal.Quando n>30,isto,quandoonmero de repeties igual ou superior a 30, praticamente se confunde a binomial com a normal.2-Aordemdoselementosnoinfluinoresultadofinal,CK=KC,CCK=KCC=CKC,etc. Introduzindo-se a notao de potencial, os resultados anteriores podem ser escritos assim:n=2 C2+2CK+K2 (C + K)2n=3 C3+3C2K+3CK2+K3 (C + K)3n=4 C4+4C3K+6C2K2+4CK3+K4 (C + K)4f(x)3/1/1/1 2 3 xESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________56que so o desenvolvimento do binmio de Newton.Sugere-sequefiqueemprimeirolugar oeventocujaocorrncia estejaassociadaidia de fracasso e em segundo o evento cuja ocorrncia esteja associada idia de sucesso.Portanto temos:[P(F) + P(S)]n = (q+p) nonde:P(F) = probabilidade do evento fracassoP(S) = probabilidade do evento sucesson = tamanho da amostraBinmio de NewtonLembrando que o nmero binomial dado por:No caso do fatorial, temos:n! = n (n 1) (n 2) ... 10! = 1Exemplo 1: Qual a probabilidade de sarem 2 caras, em qualquer ordem, no lanamento de uma moeda honesta 5 vezes.Temos; (q + p)5 (n = 5)(q + p)5 = q5 + 5q4p + 10q3p2 + 10q2p3 + 5qp4 + p5 P(X = 0) P(X = 1) P(X = 2) P(X = 3) P(X = 4) P(X = 5)( )n n n n np qnnp qnp qnp qnp q0 2 2 1 1 0...2 1 0||.|

\|+ +||.|

\|+||.|

\|+||.|

\|= + ( )! !!k n knkn=||.|

\|ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________57O problema pede P(X = 2), ento:O problema pede P(X = 2), ento:10q3p2 = 10(0,5)3 (0,5)2 = 10 (0,5)5 = 10 (0,03125) = 0,3125Exemplo 2: Qual a probabilidade de sarem duas, uma ou nenhuma cara, no lanamento de uma moeda 5 vezes ? P(X < 3).P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) == q5 + 5q4p + 10q3p2 = (0,5)5 + 5(0,5)4 (0,5) + 10 (0,5)3 (0,5)2= = 0,03125+ 0,15625 + 0,3125 =0,5Exemplo 3: Qual a probabilidade de X ser no mximo igual a 1?P (X = 1, no mximo) = P(X = 0) + P(X = 1) = q5 + 5q4p = (0,5)5 + 5(0,5)4 (0,5) == 0,03125 + 0,15625 = 0,1875Observe que nos casos em que p = q , o desenvolvimento binomial simtrico.Termo GeralPara descobrirmos certo termo do desenvolvimento do binmio, fazemos:Exemplo: No desenvolvimento de (q + p)10, calcular P(X = 8), com p = 0,2k k np qknk X P||.|

\|= = ) (ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________58= 45 (0,64) (0,0000025) = 0,000072 ou 0+TabelasConformencresce,aumentaadificuldadedosclculos.Porisso,existemtabelasque fornecem diretamente as probabilidades, bastando localizar n, X e p.Exemplo: Nolanamentodeumamoedahonesta18vezes,qualaprobabilidadedesarem12 caras ?X = 12 caras;n = 18; p = 0,5Na tabela P ( x = 12 ) = 0,071Exemplo 2: No lanamento de 1 moeda honesta 4 vezes, qual a probabilidade de (X s 3)?(X s 3) = (X = 3), ou (X = 2) ou (X = 1) ou (X = 0)p = 0,5 n = 4Ento: P(X s 3) = P(X = 3) + P(X = 2) + P(X = 1) + P(X = 0) == 0,250 + 0,375 + 0,250 + 0,062 = 0,937Exerccios1 - No lanamento de uma moeda honesta 15 vezes, qual a probabilidade de sair 10 caras?2-Umcasaldeseja8crianas.Considerando-sequeaschancesdeocorrermeninooumenina so iguais, qual a probabilidade de ocorrer:a) Exatamente 2 meninosb) Exatamente 5 meninasc) S nascimento de meninasd) No mnimo 4 meninos3-Dosestudantesdeumcolgio,41%fumamcigarro.Escolhem-se6aoacaso.Determinea probabilidade de:( ) ( ) =||.|

\|=+8 21 82 , 0 8 , 0810TESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________59a) Nenhum dos 6 ser fumanteb) Todos 6 fumaremc) Ao menos 3 ser fumante4 - Um teste de mltipla escolha apresenta 10 questes, 5 opes por questo e apenas uma certa. Seaaprovao dependede7oumaisrespostascorretas, qualaprobabilidadedeumestudante ser aprovado apenas por palpite?5-Namanufaturadecertoartigo,sabidoque1entre10artigosdefeituoso.Quala probabilidade de que uma amostra casual de tamanho 4 contenha:a) Nenhum defeituoso?b) Exatamente 2 defeituosos?c) No mais do que dois defeituosos?6 - Se 30% dos habitantes de uma cidade so empregados do governo, determine a probabilidade denohaverempregadodogovernonumaamostraaleatriade15habitantes.Quala probabilidade de encontrar mais de 13 empregados do governo na amostra?7 - Sabe-se que de cada 100 laranjas colhidas, 23 chegam danificadas no mercado atacadista. Um certo comerciante pegou uma amostra aleatria de 10 laranjas de um lote que acaba de receber. Qual a probabilidade de:a) encontrar 5 laranjas danificadas;b) encontrar acima de 8 laranjas danificadas;c) no encontrar laranjas danificadas;d) que todas estejam danificadas.Esperana de uma Distribuio BinomialA mdia aritmtica de uma distribuio binomial dada por:u = np ouE(X) = nponde, u: mdia procurada (populacional) n: nmero de repeties do experimento p: probabilidade associada ao evento sucessoExemplo: Calcule a mdia aritmtica de B(6; 0,5)u = np u = 6 0,5 = 3,0ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________60Varincia de uma Distribuio BinomialA varincia de uma distribuio binomial dada por:o2 = npq ouVar(X) = npqonde, o2: varincia procurada (populacional) n: nmero de repeties do experimento p: probabilidade associada ao evento sucesso q: probabilidade associada ao evento fracassoExemplo: Calcule a varincia de B(6; 0,5)o2 = npq = 6 0,5 0,5 = 1,5Exerccios1) Sabe-se que em uma linha de produo, 5% do que produzido tem defeito. Numa amostra de 80 peas, qual o nmero esperado de defeituosas? Qual a varincia?2)Jogando-seumdado30vezes,quantasvezesespera-sequeocorraoresultado2?Quala varincia?3) AvarivelXtemdistribuioBinomialcomparmetrosB(30;0,2).Qualaesperana? Calcule a varincia.ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________61DISTRIBUIO DE POISSONConsidere uma varivel aleatria binria que assume valor 1 com probabilidade p, mas p um valor muito pequeno. Dizemos ento que ao valor 1 da varivel aleatria est associado um evento raro.Paraestudareventosrarosnecessrio observarumconjuntodeneventos,masndeve ser suficientemente grande.Desta forma, sendo p muito pequeno e n tendendo para o infinito, a distribuio binomial se aproxima de uma distribuio de Poisson.A distribuio de Poisson empregada quando se deseja contar o nmero de eventos de certo tipo, que ocorre em um intervalo de tempo, ou superfcie, ou volume, como por exemplo: Nmero dechamadas recebidas emum servio de telemarketing num intervalo pequeno de tempo; Acidentes por dia; Falhas dirias em um computador; A queda de raio em certa rea.Notequeaunidadedemedidacontnua,masavarivelaleatria(nmerode ocorrncias)discreta.Almdisso,asfalhasnosocontveis.Nopossvelcontaros acidentes que no ocorreram, nem o nmero de chamadas que no foram feitas.A utilizao da distribuio de Poisson baseia-se nas seguintes hipteses:a) A probabilidade de uma ocorrncia a mesma em todo o campo de observao;b) A probabilidade de mais de uma ocorrncia num ponto aproximadamente zero;c) Onmerodeocorrnciasemqualquerintervaloindependentedonmerode ocorrncias em outros intervalos.A distribuio de Poisson caracterizada por um nico parmetro a mdia (que igual avarincia).Assimconhecendo-seonmeromdiodeocorrnciasporunidade,podemos determinar a probabilidade de qualquer dos resultados possveis.Como no caso da binomial, h dois mtodos para determinar as probabilidades: frmula e tabela.Frmula de PoissonSeumavarivelaleatriadescritaporumadistribuiodePoisson,entoa probabilidadederealizarqualquernmerodadodeocorrnciasporunidadedemedidadado por:Onde: = np(E(x))ee ~ 2,718... (base dos logaritmos naturais)-!x) P(X exx= =ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________62Exemplo 1.Umacentral de atendimento de carto de crdito recebe em mdia 5 chamadas por minuto. Supondo que as chamadas tenham uma distribuio de Poisson, obter a probabilidade de que no receba chamadas durante um intervalo de um minuto. = 5 chamadas por minutoExemplo2.Considerando-seoexemplo1,qualaprobabilidadedeseobternomximo2 chamadas em 4 minutos = 20 chamadas em 4 minutosP(X s 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) =Tabelas de PoissonAstabelasdePoissonproporcionamummtodoconvenienteparaobtenode probabilidade com um mnimo de esforo. Como a distribuio de Poisson s depende da mdia do processo, as tabelas so construdas de forma a dar as probabilidades com base nessa mdia.Tabela AcumuladaA tabela acumulada d somas de probabilidade, tal como no caso da tabela binomial.Ela d as probabilidades de x ou menos ocorrncias, conhecida a mdia do processo.A Distribuio de Poisson como Aproximao da BinomialSobcertascircunstncias,adistribuiodePoissonpodeserutilizadaparaaproximar probabilidadesbinomiais.Aaproximaomaisadequadaquandoonmerodeobservaes grande e a probabilidade de sucesso p est prxima de zero ou de um.A vantagem da aproximao reside no fato de que a preciso sofre muitopouco e que o trabalhonecessrioconsideravelmentemenor.Parausaraaproximao,bastadeterminaro valor (mdia) da distribuio binomial.Exemplo:Determinaraprobabilidadedehaver4peasdefeituosasnumaamostrade300, extrada de um grande lote onde h 2% de defeituosas.E(X) = 3000,02 = 60067 , 0050) P(X55 0= = = =--e!e= + + =!e!e!e- - -22012002020 2 20 1 20 000000046 , 0 221 ) 200 20 1 ( 200 2020 20 20 20 20~ = + + = + + = e e e e eESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________63Exerccios1-Suponhamosque osdefeitos emfiospara tear possam ser aproximados por um processo de Poissoncommdia0,2defeitospormetro.Inspecionando-sepedaosdefiode6metrosde comprimento, determine a probabilidade de encontrarmos menos de 2 defeitos.2 - As chamadas de emergncia chegam a uma central de polcia razo de 4 por hora no perodo de1s6damanhemdiasteisepodemseraproximadasporumadistribuiodePoisson. Responda:a) Quantas chamadas de emergncia so esperadas num perodo de 30 minutos?b) Qual a probabilidade de nenhuma chamada num perodo de 30 minutos?3-Aentregademercadoriasemumdepsitofeitarazode2,8caminhesporhora. Determine a probabilidade de chegarem 3 ou mais caminhes:a) Num perodo de 30 minutos;b) Num perodo de 1 horac) Num perodo de 2 horas.4-Onmerodepetroleirosquechegamaumarefinariaemcadadiaocorresegundouma distribuiodePoisson,com=2.Asatuaisinstalaespodematender,nomximo,a3 petroleiros por dia. Se mais de 3 aportarem num dia, o excesso enviado a outro porto. Em um dia qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto?5 - A chegada de nibus em um terminal acontece razo de 3 por minuto. Supondo que tenha distribuio de Poisson, determine a probabilidade de:a) chegarem 8 nibus em 2 minutos;b) chegarem 4 nibus em 5 minutos.6-Suponhamosqueaosnavioscheguemaumportorazode=2navios/horaequeessa razosejabemaproximadaporumprocessodePoisson.Observandooprocessoduranteum perodo de meia hora (t = 0,5), determine a probabilidade de:a) no chegar navio algum;b) chegarem 3 navios;c) chegarem mais de 3 navios em 2 horas.135 , 0! 46!) 4 (6 4= = = = exeX Px ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________64DISTRIBUIES CONTNUASNo caso das distribuies contnuas de probabilidades, X deve estar compreendido entre dois valores diferentes (X como varivel aleatria contnua), sendo que em geral a probabilidade de x assumir um determinado valor zero.Funodensidadedeprobabilidade.SendoXumavarivelaleatriacontnua, chamamos de funo densidade de probabilidade aquela que satisfaz s seguintes propriedades:a) b) A probabilidade de uma varivel aleatria X estar compreendida entre a e b, ou seja P(a < X < b) :DISTRIBUIO NORMALVamos considerar a distribuio binomial para p = e n varivel, por exemplo, n = 5 e 10. Construindo os histogramas, obteremos as figuras abaixo:Como p = , as distribuies sero simtricas ao redor das mdias, nos exemplos 5/2 e 5.Sabemosque,tendoumngrande,difcilcalcularasprobabilidades.Nestecaso, precisamos obter aproximaes para estas probabilidades. Observando os histogramas anteriores, notamosquepodemosaproximarareadelespelareadeumacurvacontnua.Essacurva 0 ) ( > x f+ = 1 ) ( dx x f= < 1,73)c) P(0,47 s Z s 1,73)a) P(0 s Z s 1,73) = 0,4582 (valor encontrado na tabela)b) P(Z > 1,73) = 0,5 P(0 s Z s 1,73) = 0,5 0,4582 = 0,0418P(Z s 1,73) = P(Z s 1,73) , pois a curva simtricac) P(0,47 s Z s 1,73) = P(0 s Z s 1,73) P(0 s Z s 0,47) = 0,4582 0,1808 = 0,2774Suponha, agora, que X seja uma v.a. com distribuio normal, de mdia u e varinciao2, indicado por N(u, o2). Da definimos a v.a. Z, tal que ter distribuio normal com mdia 0 e varincia 1. = XZESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________67Exemplo: Calcular P(2 s X s 5), se X N(3, 16), ou seja, u = 3 e o2 = 16.Para determinar aprobabilidade de que X esteja entre 3 e 5, que igual probabilidade que Z esteja entre 0,25 e 0,5, consultamos a tabela em encontramosP(-0,25 s Z s 0,5) = 0,0987 + 0,1915 = 0,2902 = P(2 s Z s 5)Aproximao da Binomial Atravs da NormalVamossuporqueav.a.Ytemdistribuiobinomialcomn=10ep=equeremos calcularP(Ys7).PelafiguraabaixotemosqueP(Y=7)igualareadoretngulodebase unitria e altura igual a P(Y = 7). O mesmo ocorre com P(Y = 8), etc. Da, P(Y > 7) a soma das reasdosretnguloshachurados.Aidiaaproximartalreapelareasobacurvanormal, direita de 6,5. Especificamente a curva normal de mdia , u = np = 10 = 5 e varincia o2 = npq = 10 = 2,5.Chamando de X tal v.a. normal, temos:Averdadeiraprobabilidade0,172.Ajustificativaparaestaaproximaodadapelo Teorema de De Moivre-Laplace, que um caso particular do Teorema Central do Limite.|.|

\|s s==|.|

\|s s=|.|

\|ss= s s214143 543 2 5 2) 5 2 (Z PZ PXP X P ( ) 1736 , 0 94 , 058 , 15 , 15 , 25 5 , 65 , 25 5 , 6) 5 , 6 ( ) 7 (= > = |.|

\|> ==||.|

\|>= |.|

\| >= > ~ >Z P Z PXPXP X P Y P ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________68A funo densidade normal dada por:Com: < X < + < u < +o > 0Exerccios1 - As vendas de um determinado produto tm distribuio aproximadamente normal com mdia 500edesviopadro50.Seaempresareceberpedidosdemaisde600unidadesnomsem estudo, qual a probabilidade que no possa atender a todos, por estar com a produo esgotada?2-Odimetrodeumapeaumav.a.comdistribuionormal,commdia10cmedesvio padro 0,2 cm. Calcule a probabilidade de se encontrar peas com dimetro:a) acima de 9,7 cm;b) abaixo de 9,5 cm.3 - As estaturas de 1000 alunos de uma universidade tm distribuio aproximadamente normal N(1,7 m, (0,05m)2).a) Determine o nmero esperado de estudantes com alturas superiores a 1,65 m;b) Determinarosintervalossimtricosaoredordamdiaquecontero,aproximadamente, 90% e 95% dos alunos.4 O enchimento de pacotes de acar tem distribuio normal com mdia 1kg e desvio padro de 20g. Qual a porcentagem de pacotes que contero:a) mais de 1,010kg?b) entre 0,985kg e 1,015kg?5 A renda dos habitantes de certa cidade tem distribuio aproximadamente normal com mdia $480 e desvio padro $90. Calcule a probabilidade de se encontrar pessoas que tenham renda:a) menor que $500b)entre $600 e $700c) acima de $4006-Umapesquisarealizadacom10000habitantesdeumacomunidadeapresentouosseguintes resultados:pesomdio50,6kg edesviopadro 5,8kg. Supondo quea distribuio seja normal, determine a quantidade de pessoas que pesam abaixo de 45kg e acima de 68kg.22121) (|.|

\| = xe x fESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________697 - Um concurso pblico foi prestado por 5000 pessoas. A nota mdia foi 5,4 e o desvio padro 1,2. Sabendo que as notas apresentaram uma distribuio normal e que existem 50 vagas, qual a nota mnima para aprovao? 8 - Na prova da disciplina de Fsica, o grupo de alunos obteve uma mdia de 24 pontos e desvio padro igual a 5. Supondo uma distribuio normal dos dados, qual a porcentagem de alunos:a) com graus entre a mdia e o resultado 27?b) com graus entre a mdia e o resultado 20?c) acima da mdia?9 - Suponhamos que a distribuio dos resultados de um teste feito por 8000 estudantes normal com mdia igual a 60 e desvio padro igual a 10.a) qual o resultado superior dos 30% de alunos inferiores do grupo?b) qual a porcentagem de alunos com grau entre 70 e 75?c) qual a porcentagem de alunos com grau abaixo de 70?d) quantos alunos obtiveram escore acima de 60?Jornal da Tarde 21/12/94ESTATSTICA MATEMTICA_________________________________________________________________________________________70Intervalo De Confiana Para A MdiaUmintervalodeconfianaumintervalodevaloresnoqualjulgamos,comumrisco conhecido de erro, estar o parmetro populacional (a mdia, por exemplo). dado por:| |x e x e + ;onde:e =zsnTamanho Da AmostraQuando vamos iniciar um trabalho estatstico, freqentemente surge a questo do tamanho daamostraquedevesertomada.Parasaberqualotamanhodaamostraasertomada, precisamos:i)conhecerodesviopadrodavarivelemquesto;istopodeserobtidoatravsde pesquisas anteriores ou amostras piloto;ii) determinar o grau de confiana que desejamos;iii) estipular o erro que pode ser aceito. dado por:nzs= |\

|.|e2onde:s o desvio padroe o erro estipuladoz = tabelado (normal reduzida)Obs.:paraamostrasdetamanhon>30,asfrmulasacimapodemserusadasparaqualquer varivel,pormsen