Curso Superior de Tecnologia em Gestão da Produção Industrial Disciplina: Matemática para Negócios Professor: O. J. Macedo ojmacedo@sc.sena.br

SÉRIES DE PAGAMENTOS (ANUIDADES ou RENDAS)

CAPITALIZAÇÃO

Rendas Postecipadas

São aquelas cujas prestações são pagas no final de cada período, como por exemplo, uma compra feita para pagamento em 6 vezes de $100.

FV=PMT . sn¬i

onde sn¬i=

(1+ i )n−1i , sendo PMT = valor dos depósitos periódicos

Ex. 1: Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao mês. (Resp.: R$ 520,40)

Ex. 2: Qual a importância a ser depositada em um banco, ao final de cada ano, à taxa de 6% ao ano, de tal modo que, ao fazer o décimo depósito, tenha R$ 400.000,00? (Resp.: R$ 30.347,18)

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Ex. 3: A que taxa mensal, uma pessoa, realizando depósitos mensais imediatos no valor de R$ 8.093,00, forma um montante de R$ 135.000,00 ao fazer o décimo quinto depósito? (Resp.: 1,5% a.m.)

Ex. 4: Quantas prestações imediatas de R$500,00 devem ser colocadas, à taxa de 2% ao mês, a fim de se constituir o montante de R$ 6.706,00? (Resp.: 12 prestações)

EXERCÍCIOS

1) Uma pessoa deposita R$ 680,00 no final de cada mês. Sabendo que o seu ganho é de

1,5% ao mês, quanto possuirá em 2

12 anos? (Resp.: R$ 25.526,50)

2) Desejamos fazer aplicações mensais imediatas de R$ 12.000,00, de modo que na data do décimo depósito constituamos o montante de R$ 125.547,00. Qual a taxa que devemos aplicar? (Resp.: 1% ao mês)

3) Quantas mensalidades de R$ 2.000,00 serão necessárias para, a 0,5% ao mês, constituirmos um capital de R$ 16.283,00? (Resp.: 8)

4) Um cliente deposita R$ 570,00 ao final de cada mês, durante 8 meses, a uma taxa de 3,5% ao mês. Quanto o cliente terá na data do último depósito? (Resp.: R$ 5.159,46)

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5) Uma pessoa irá necessitar de R$ 8.000,00 daqui a 10 meses. Quanto deverá depositar mensalmente em uma instituição financeira que oferece rendimentos de 3% de juros? (Resp.: R$ 697,84)

6) Um investidor aplica mensalmente R$ 514,54 em uma instituição financeira, gerando um montante de R$ 9.500,00 na data do último depósito. Sabendo-se que a taxa contratada é de 3% a.m. e que o primeiro depósito é feito um mês após a data da operação, calcular o número de depósitos mensais. (Resp.: 15 meses)

Rendas Antecipadas:

São aquelas cujas prestações são pagas no início de cada período, como por exemplo, uma compra feita para pagamento em 1 + 5 vezes de $100. Essa condição de pagamento com uma entrada mais 5 prestações, equivale a um parcelamento de 6 prestações pagas antecipadamente. Pois a primeira delas (entrada) será paga no ato da compra.

FV=PMT .( sn+1¬i−1 )

Ex. 5: Uma pessoa deposita em uma instituição, no início de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juro de 2% ao mês. (Resp.: R$ 530,81)

Ex. 6: Quanto se deve depositar no início de cada semestre, numa instituição financeira que paga 18% ao ano, para constituir o montante de R$ 50.000,00 no fim de 3 anos, sendo os juros capitalizados semestralmente? (Resp.: R$ 6.097,23)

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Ex. 7: Uma pessoa realizou 10 depósitos bimestrais antecipados de R$ 10.000,00 e obteve o montante de R$ 128.412,00. Qual foi a taxa de juro? (Resp.: 4,5% a.b.)

Ex. 8: Quantos depósitos mensais antecipados de R$ 15.614,00 serão necessários para constituir o montante de R$ 200.000,00, à taxa de 12% ao ano, capitalizados mensalmente? (Resp.: 12 depósitos)

EXERCÍCIOS

7) Uma pessoa deseja depositar bimestralmente uma mesma quantia numa instituição

financeira, à taxa de 1

12 % ao bimestre, capitalizados bimestralmente, de modo que com

8 depósitos antecipados constitua o capital de R$ 150.000,00. Calcule a quantia. (Resp.: R$ 17.524,73)

8) Calcule o número de termos de uma renda anual antecipada de R$ 20.000,00 de termo, cujo montante, à taxa de 10% ao ano, é de R$ 169.743,00. (Resp.: 6 termos)

9) A que taxa se deve depositar em uma instituição financeira, no início de cada trimestre, a importância de R$ 16.756,00, para no fim de 4 anos possuir o montante de R$ 500.000,00? (Resp.: 6,99%¿ 7% a.t.)

10) Calcular o montante de 15 depósitos mensais, iguais e sucessivos, à taxa de 3 % a.m no valor de R$ 250,00, sendo o primeiro depósito, realizado hoje. (Resp.: R$ 4.789,22)

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11) A aplicação de 18 parcelas mensais iguais e sucessivas gerou um montante no valor de R$ 5.850,00. Sabendo-se que a taxa de juros da operação foi de 4,5% a.m. e que a primeira parcela é aplicada hoje, calcular o valor de cada aplicação. (Resp.: R$ 208,46)

12) Um cliente deposita numa instituição financeira R$ 570,00 no início de cada mês,

durante 8 meses, a uma taxa de 3

12 % ao mês. Quanto o cliente terá na data do último

depósito? (Resp.: R$ 5.340,04)

AMORTIZAÇÃO

Rendas Postecipadas

Vamos, agora, aprender a calcular o valor de uma dívida (ou de um empréstimo, ou o valor à vista de uma mercadoria) que será paga em prestações periódicas de quantias constantes, sobre as quais incide a mesma taxa.

PV=PMT .an¬i onde an¬i=

(1+i )n−1

i .(1+ i)n , sendo PMT = valor dos pagamentos

Ex. 9: Qual o valor atual de uma renda anual postecipada de 12 termos iguais,com uma prestação de R$ 15.000,00 cada um, à taxa de 6% ao ano? (Resp.: R$ 125.757,65)

Ex. 10: Determine o valor da prestação mensal para amortizar, com 10 prestações, um empréstimo de R$ 15.000,00 a juros de 2,5% ao mês. (Resp.: R$ 1.713,88)

Ex. 11: O valor atual de uma renda anual e postecipada de termo de R$ 9.000,00, à taxa de 6% ao ano, é de R$ 66.241,00. Calcule seu número de termos. ao mês. (Resp.: 10 anos)

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Ex. 12: Um televisor custa, à vista, R$ 3.422,00. Compro-o a prazo dando 20% de entrada e pagando o restante em 12 prestações mensais de R$ 275,00. Calcule a taxa de financiamento. (Resp.: 2,99% ¿ 3%a.m.)

EXERCÍCIOS

13) Calcule o valor de um computador comprado a prazo, sendo R$ 1.200,00 de entrada e o restante à taxa de 4% ao mês. O prazo do financiamento é de 12 meses e o valor da prestação é de R$ 192,00. (Resp.: R$ 3.001,93)

14) O preço de um carro è de R$ 17.700,00. Um comprador dá 40% de entrada e o restante é financiado à taxa de 5% ao mês em 10 meses. Calcule o valor da prestação mensal. (Resp.: R$ 1.375,33)

15) A que taxa foi contraída a dívida de R$ 67.952,00, se ela deve ser paga em 20 prestações mensais de R$ 5.000,00? (Resp.: 3,99% ¿ 4% a.m.)

16) Quantas prestações mensais de R$ 900,00 serão necessárias para, a 3,5% ao mês, se pagar uma dívida de R$ 12.791,00? (Resp.: 20 prestações)17) Uma financeira, operando com a taxa de 8,5% a.m., concedeu um empréstimo de R$ 10.000,00, a ser amortizado em 6 prestações mensais iguais, a primeira vencendo daqui a 30 dias. Calcular o valor da prestação mensal. (Resp.: R$ 2.196,07)

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18) Certa loja está anunciando uma mercadoria por R$ 450,00 à vista ou em 9 prestações mensais, iguais e consecutivas no valor de R$ 67,61, sendo a primeira paga 30 dias após a operação. Calcular o custo mensal deste empréstimo. (Resp.: 6,5 %)

Rendas Antecipadas:

PV=PMT .( an−1¬i+1 )

Ex. 13: Calcule o valor atual de uma anuidade antecipada de 12 termos mensais com a quantia de R$ 250,00, à taxa de 3% ao mês. (Resp.: R$ 2.563,15)

Ex. 14: Qual o valor de uma prestação mensal antecipada para amortizar, com 6 pagamentos, uma compra de R$ 6.500,00 com juro de 2,5% a mês? (Resp.: R$ 1.151,29)

Ex. 15: Quantas prestações bimestrais antecipadas de R$ 23.000,00 são necessárias para pagar uma dívida de R$ 202.080,00, à taxa de 3% ao bimestre? (Resp.: 10 prestações)

Ex. 16: Uma pessoa contraiu uma dívida de R$ 95.660,00, que deverá ser paga em 10 prestações mensais antecipadas de R$ 10.000,00. Qual é a taxa de juro? (Resp.: 1% a.m.)

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EXERCÍCIOS

19) Calcule o valor atual de uma renda mensal antecipada, à taxa de 2

12 % ao mês, de

15 termos iguais a R$ 200,00 cada um. (Resp.: R$ 2.538,18)

20) Que dívida pode ser amortizada por 12 prestações bimestrais antecipadas de R$ 1.000,00 cada uma, sendo de 5% ao bimestre a taxa de juro? (Resp.: R$ 9.306,41)

21) Determine o valor da prestação mensal para amortizar, com 6 prestações antecipadas, um empréstimo de R$ 8.000,00 a juros de 3% ao mês. (Resp.: R$ 1.433,76)

22) Quantas prestações anuais antecipadas de R$48.831,00 serão necessárias para pagar uma dívida de R$ 165.000,00 com uma taxa de juro de 40% ao ano? (Resp.: 10)

23) Um comerciante põe em oferta um eletrodoméstico com preço à vista de R$ 478,52, ou em 16 prestações mensais iguais e antecipadas de R$ 46,00. Qual a taxa cobrada pelo comerciante? (Resp.: 6,5%)

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