PROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSO

Apostila 3J aprendemos que as relaes apresentam certas caractersticas para seremfunes. Agora vamos estudar as caractersticas de algumas funes.1Funo injetora, bijetora e sobrejetoraVamosiniciar oestudodestacandoalgumasqualidadesdasfunes, dentre essas qualidades citamos:1) Funo InjetoraVamos analisar alguns diagramas destacados em que aparecem diferentes funes definidas de A em B, ou seja,B A f : , identificando as que so injetoras:a) b) c) d) Matematicamente uma funo injetora se atende a seguinte condio: ) ( ) (2 1x f x f Graficamentetambmpode-sedeterminar seumafunoouno injetora a partir da anlise do grfico.Analiseosgrficosaseguir eidentifiqueosquerepresentamfuno injetora, sendo todos definidos dentro dos reaisR R f : e identifique se so injetoras.2No entanto, por exemplo, podemos fazer restries no domnio da funo do segundo grau e deix-la injetora.3R R f +:2) Funo Sobrejetora Vamos analisar os mesmos diagramas destacados em que aparecem diferentes funes definidas de A em B, ou seja,B A f :identificando as se so sobrejetoras.Para tanto vamos precisar determinar o domnio e o contradomnio de cada funo. a) b) c) d) 4Matematicamente uma funo sobrejetora se atende a seguinte condio: CD = Im Graficamentetambmpode-sedeterminar seumafunoouno sobrejetora a partir da anlise do grfico.Analiseosgrficosaseguir eidentifiqueosquerepresentamfuno sobrejetora observando em cada caso o seu campo de definio. No entanto, porexemplo, podemos fazerrestries nodomniodafunodosegundograuedeix-la Sobrejetora.5*:+R R fR R f +*:R R f :R R f :[ , 1 [ : + +R f3) Funo Bijetora Vamos analisar os mesmos diagramas destacados em que aparecem diferentes funes definidas de A em B, ou seja,B A f :e verifique se so bijetoras.Para tanto vamos precisar determinar o domnio, o contradomnio e a imagem de cada funo. a) b) c) d) 6Matematicamente uma funo bijetora se atende as seguintes condies: CD = Ime) ( ) (2 1x f x f Injetora e Sobrejetora ao mesmo tempoGraficamentetambmpode-sedeterminar seumafunoouno bijetora a partir da anlise do grfico.Analiseosgrficosaseguir eidentifiqueosquerepresentamfuno bijetora observando em cada caso o seu campo de definio. Paratanto vamosprecisar determinar o domnio,o contradomnio e a imagem de cada funo *:+R R f [ , 1 [ : + +R f7R R f :R R f +*:R R f :R R f :No entanto, por exemplo, podemos fazer restries no domnio da funo e deix-la Bijetora. Atividades1) Dentreosgrficosabaixoqual seadaptamelhor comafunobijetora sendo R R f :2) Classifiqueasfunesabaixoeminjetora, sobrejetoraebijetora, sendo definidasB A f :4) Sendo A = { -3,-2,0,1} B = { 2,3,5,6} e a funo f(x) = x + 5, definida comoB A f : mostre que sobrejetora.8 Funo inversaVamos pensar na seguinte situao o permetro do quadrado em funo do lado p = 4 l observando seu campo de definio.eja na tabela de valores como isso ocorrel p = 4 l p l = p/41 4 4 12 8 8 23 12 12 34 16 16 4Veja no Grfico como isso ocorre:9Mas se desejamos escrever o permetro em funo do lado temos que4pl Assim em algumas situaes podemos realizar a inverso das grandezas variveis, esse processo denominado de funo inversa.Uma funo admite inversa se ela for bijetora. Se f :A B considerada bijetora ento ela admite inversa f :B A . Por exemplo, a funo y = 3x - 5 possui inversa351+xy , observe o diagrama desta situao

Neste caso pode-se estabelecer a seguinte diagramao: 10Note que a funo possui relao deA B e deB A , ento podemos dizer que ela admite a inversa. Pode-setambmobservar queentreafunoesuainversahuma troca entre o domnio e a imagem das mesmas. Isto possibilita que algebricamenteainversasejadeterminadapelatrocadexpor yconforme segue:No caso anterior temos o seguinte:y = 3x 5 efetuando-se a troca de x por y temos:x = 3y 5 agora realizando o processo de isolar o y temosx + 5 = 3y3y = x + 5351+xyou seja, a funo inversa de y = 3x 5Graficamente acontece uma representao interessantede ser observada. Vejaas duasrepresentaes grficas no mesmo grficoVejamos outros exemplos:11f(x)=(x+5)/3-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789xy f ( x ) =3 x - 5-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789xya) A inversa de335+ x exxyefetuando-se a troca de x por y e de y por x temos: 35+yyxrealizando o processo de isolar o y temos o seguinte:113 53 5 ) 1 (3 55 35 ) 3 (1++ + + + x exxyx x yx y xyy x xyy y xb) Ainversa de x y2log definida de R R f +*: realizando o processo de troca de xpor y temos o seguinte:y x2log aplicando-se a definio de log temos o seguinte:xy 21 ou seja, a inversa da funo log a funo exponencial e vice-versa respeitando-se o campo de definio para que isso ocorra.A situao acima pode ser visualizada no grfico. Podemos traa uma assntota que passa pela origem em relao ao primeiro e terceiro quadrantes.c) A inversa dex x y 22 definida como[ , 1 [ [ , 1 [ : + + fAssim vamos realizar a toca de x por y e d y por x,x = y - 2 y, agora vamos isolar o y:y - 2y x = 012Para efetuar aoperao vamos aplicar a frmula deresoluo da equao do segundo grau e tratar o x como valor de c, conforme segue:a = 2 b = -2 e c = -x, ento resolvendo a equao tem-se:Efetuando-se as simplificaes tem-se:Esta a funo inversa de y = x - 2xGraficamente essas podem ser assim representadasAtividades:1) Determine as inversas de cada funo abaixo considerando que todas so bijetoras respeitando seus campos de definio a) y = 2x 1R R f : b)x y3log R R f +*:c)[ 1 [ [ , 1 [ : 2 2 ) (2 + + + f x x x f132) .( . 4 ) 2 ( ) 2 (2422x ayaac b by t t x yxyxy+ + + t+ t1 12) ) 1 ( 1 ( 221 1 2 212) 1 1 ( 4 224 4 2xyxy+ t+ tFUNO COMPOSTAVamos analisar a seguinte situao problema:Umafestade aniversriogeralmenteso consumidos 10salgadinhos porpessoa,cada salgadinhocustaR$0,25. Qual arepresentaoalgbricadovalorgastonafestaem funo do nmero de pessoas e do valor do salgadinho (considere y = n de salgadinho, p (n de pessoas) e v (valor gasto) ou V(y(p)). De o domnio da composta. 14Definio:Dados as funes B A f :e gC B :, denominamos a funo composta de g e f a funo C A f o g : que definida por g(f(x)) = f(g(x))e x.Veja a imagem:Exemplos:1) Dado a funo f(x) = x - 2x + 1 e g(x) = 2x + 1 determine:a) f(g(x))b) g(f(2))c) f(f(19))2) Se f e g so funes tal qu f(x) = 3x 1 e f(g(x)) = x determine g(x)3) Dado f(x) = 3x - 1 e g(f(x)) = x, determine g(x) 15Atividades1) Dado f(x) = 2x -3 e g(x) = x - 1, obtenha:a) f(g(2)) b) g(g(3)) c) f(f(x))d) f(f(x)) = 3e) f(g(x)) f) f(g(x))2)Sejamkumaconstantereal ef egfunesdefinidasemRtaisque f(x) = kx + 1d g(x) = 13x + k, determinar k sabendo que f(g(x)) = g(f(x))Conformedestacadoanteriormentevamos ressaltar nesteestudoas principais caractersticas de cada funo.Vamos iniciar nossos estudos pela funo exponencial e logartmica.O que caracteriza uma funo exponencial?Qual a relao com a funo logartmica?O que caracteriza cada uma das funes?FUNO EXPONENCIAL Os Babilnios foram os primeiros a utilizar potncias, quando calculavam juros compostos, utilizavam uma expresso que corresponde hoje a funo exponencialni P M ) 1 .( + , sendo M o montante, P o valor inicial i a taxa e n o perodo.A funo exponencial pode ser aplicada a resoluo de outros problemas, como prever crescimento populacional, analisar epidemias, prever produesemempresas, determinar aidadedosfsseis, decomposiode sustncias, rvore genealgica, etc.A funo f: R em R dada por f(x) = ax ( com a 1 e a > 0) denominada funo exponencial de base a e definida para todo x real.Ex.: Representegraficamenteasfunesabaixoedetermineodomnioea imagem e verifique se as funes so crescentes ou decrescentes:16a) f(x) = 2x b) f(x) = (1/2)x

a>1( crescente)0< a < 1 ( decrescente)Caracterstica da funo exponencial no grfico Outros exemplos:1) Dado as funes abaixo represente-as graficamente, verifique se so crescentes ou decrescentes, determine o domnio e a imagem, o ponto onde f(x) corta o eixo y.a) f(x) = 5x b) f(x) = (1/5)x

Atividades:1) Represente no mesmo plano das funes f(x) = (1/3)x e g(x) = 3x

2) Represente no plano cartesiano as funes considerando que so definidas em R determine a imagem.a) f(x) = 12+ xb) g(x) = 14x _ , c) y =( ) 4x d) g(x) =-x317Conforme j estudamos o logaritmo pode ser representado como uma equaoexponencial, tambmafunologartmicaainversadafuno exponencialFUNO LOGARITMICA Definio:Sejaumnmeroreal aRtal quea>0ea 1. Denomina-sefuno logartmica a funo f:,*R R + dada por: f(x) = loga xEx.: Construa o grfico das funes abaixo e determine o domnio e a imagem.a) f(x) = x3logb) f(x) = x31logc) g(x) = ) 1 ( log3 xObservando os grficos construdos anteriormente identifique qual funo crescente e qual funo decrescente. O que diferencia uma funo daoutra?Oquesepodeconcluir emrelaoaocrescimentodasfunes logartmicas?Caractersticas da funo logartmicaa > 1 ( crescente) 0 < a 0) de uma funo do segundo grau. O vrtice pode ser calculado com a frmula :,_

a abV4,2Ex.: Encontre as coordenadas do vrtice das funes abaixo:a)f(x) = x2 + 2x +1 b) g(x) = - x2 + 4x 6 c) h(x) =x2 + 2x 3Atividades:1)Determine o vrtice das funes abaixo e o identifique como mximo ou mnimo:a) f(x) = x2 4 b) f(x) = - 3x2 5x c) f(x) = -x2 ESTUDO DO SINAL DA FUNO DO 2 GRAUEstudar o sinal de uma funo determinar os valores de x para os quais a funo positiva , negativa ou igual a zeroEx.: Faa o estudo do sinal das funes abaixo:25a)f(x) = x2 4 b) f(x) = - x2 5xExerccio resolvido:1) Observe o grfico da funo f(x) =x -2x -3 ou pode ser representada na forma fatorada f(x) = (x+1)(x-3) agora vamos observar seus pontos notveis:f(x)=x^2-2x-3-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789xya) A concavidade voltada para cima pois a = 1 ou seja a > 0;b) as razes: representam os pontos que passam pelo eixo x, no caso x = -1 e x = 3c) O ponto de interseco com o eixo das ordenadas corresponde ao valor de c, ou seja no caso -3.d) O domnio corresponde os valores que podem ser substitudos no x, no caso todos os reais, as parbolas em geral quando no representam situaes problemas so R, ou ento quando determinamos a inversa precisamos fazer a restrio no domnio.e) Para determinar a imagem, deve-se levar em considerao o ponto mais baixo uma vez que a concavidade voltada para cima, ento a imagem } 4 / { Im y R y26Considera-se que a referencia para o conjunto imagemcorresponde ao valor do vrtice y, ou seja, }4/ { Imay R y se a> 0}4/ { Imay R y se a < 0f) O ponto de vrtice corresponde ao ponto mnimo ou ponto mximo conforme o caso: )4,2(a abV o ponto mximo se a < oe mnimo se a > o.No caso o vrtice ser ) 4 , 1 ( V como a = 1 , b=-2e16 ento 1222abxv e 44164 ayv2) Observe o grfico e responda:a) Qual o domnio e a imagem da funo representada no grfico?3) O custo para produzir x unidades de certo produto dado por C (x) = 2x - 100x + 5000, encontre:a) O valor do custo mnimob) O valor de x para o qual o custo mnimo. 274)Dado o grfico abaixo responda as questes que se pedef(x)=x^2 -2x-3-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789xya) O domnio da funob) O conjunto imagem c) Intervalos crescentes e decrescentes. d) As coordenadas do vrtice 5) Dado a funo y = - x + 2x + 8determine:a) o valor mximob) a imagemc) a concavidaded) a funo crescente entre x = 1 e x = 3e) o domniof) as razesg) o valor de y quando x = 5resposta da questo 5:a) O valor mximo obtido com o Yv, para isso precisamos do valor do ac b 42 Ento Yv =94364 a este o valor mximo.b) Im = ] ] 9 , imagem da funo do segunda grau sempre o Yv quando definida em Reaisc) Como a < 0 ento concavidade voltada para baixod) Quando x = 1 trem se y = 9 e quando x = 3 tem-se y = 5 ento decrescente diminuiu o valor.e) Domnio todos os reaisf) as razes so x = 4 e x = -2 pontos onde a parbola corta o eixo xg) quando x = 5 tem-se y = -(5) + 2.5 + 8 ento y = -25 + 10 + 8 ento y = -728Visualize todos os clculos que voc realizou no grficof(x)=- x^2 + 2x + 8-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789xy Seguimos nossos estudos nas funes agoradestacando a funo do primeiro grau.ESTUDO DA FUNO POLINOMIAL DO 1 GRAU uma funo polinomial do primeiro grau quando a sua representao matemtica um polinmio de grau 1 do tipo y = ax +bModelando funes a partir de situaes problemas.1) Na produo de peas, uma indstria tem custo fixo de R$ 5,00 mais um custo varivel de R$ 1,50 por unidade produzida. Sendo x o nmero de unidades produzidas. Represente algebricamente o custo em funo do nmero de peas e graficamente o custo referente a6 peasRepresentaes intermedirias Variveis unidades Representao adotada no problemaDEFINIO:Uma funo f: R em R chama-se funo afim ou funo do 1 grau quando existem dois nmeros reais a e b tais quef(x) = ax + b,sendo a e b nmeros reais, para todo x R e x avarivel independente.29Ex.: f(x) = 2x 1 g(x) = x 4 h(x) = xGraficamente a funo do 1 grau representada por uma reta.Ex.: Represente graficamente as funes abaixo:a) f(x) = x 3b) g(x) = -x + 4 c) f(x) = 2.OBS.:Oa tambm chamado de coeficiente angular da reta, representa o ngulo que a reta faz com o eixo das abscissas (x). O b tambm chamado de coeficiente linear, representa o ponto que a reta passa pelo eixo das ordenadas (y).Determinao de uma funo do primeiro grau a partir do grfico.Uma funo do primeiro grau f(x) = ax + b fica inteiramente determinada quando conhecemos dois dos seus pontos.Ex.:Exemplos:1) Obtenha, em cada caso, afuno f( x) = ax + b, cuja reta, que seu grfico passa pelos pontos:a) (-1,1)e( 2, 0) b) ( -2, 4) e( 4 , 2 ) 2) Sabendo que a funo f(x) = ax + b tal que f(1) = 5 e f(-2) = - 4, determine:a) os valores de aeb e escreva a funo;b) o grfico de f;304) O custoC de produo de x litrosde uma certa substncia dado por uma funo linear de x, com x 0, cujo grfica est representado abaixo. Nessas condieso custo de R$ 700,00 corresponde `a produo de quantos litros? ZERO OU RAIZ DA FUNO DO 1 GRAUSituao problema:Uma indstria implantou em programa de prevenode acidentes de trabalho. Essa programa prev que o nmero y de acidentes varie em funo do tempo t ( em anos) de acordo com a lei y = 28,8 3,6 t. nessas condies, quantos anos levar para essa indstria erradicar os acidentes de trabalho?Definio: Zero ou raiz de uma funo o valor de x parao quala funo f(x) = ax + b se anula, ou seja, o valor para o qual f(x)= 0. Graficamente o zero ou raiz representa o ponto que a reta passa pelo eixo x ( abscissas). Para determinar o zero ou raiz basta resolver a equao ax + b = 0.Exemplos: determine o zero ou raiz das funes abaixo:a) f(x) = x + 2b) f(x) = 3x 1c) f(x) = -2x + 5CRESCIMENTO DA FUNO DO 1 GRAU31O que determina se a funo f(x) = ax +b, com a 0, e crescente ou decrescente o sinal de a .Assim:Se a > 0 uma funo crescenteSe a < 0 uma funo decrescente.Ex.: determine se as funes abaixo so crescentes ou decrescentes.a) f(x) = x 4 b) f(x) = -x/3 +1 c) f(x) = 2xd) f(x) = -x +2Estudo do sinal da funo do 1 grauEstudar o sinal da funo significa determinar os valores de x para os quais a funo f(x) positiva, negativaou igual a zero.Situao problema:Aps o pagamento de todos os custos na importao de um produto, uma empresa calcula o faturamento que tercom o mesmo usando a lei f(x) = 8x 640, onde f(x) o faturamento lquido e x unidades vendidas. Qual a quantidade mnima que essa empresa ter de vender para obter lucro?Outros exemplos: Faa o estudo do sinal das funes abaixo definidas em R.a) f(x) =3x + 1b) f(x) =2 6xc) f(x) = x -5 EXERCCIOS1)Dada a funo afim f(x) = 5x - 1, determine:a) f(1)b) f(0) c) f(1/5)2)Na produo de peas uma indstria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo varivel de R$ 50,00 por unidade produzida . Sendo x o nmero de unidades produzidas:a) escreva a lei da funo que fornece o custo total de x peas;b) calcule o custo de 100 peas.323)Construa, num sistema cartesiano ortogonal, o grfico das seguintes funes:a) f(x) = 2x +3 b) f(x) = -2x +54) Sem construir grficos , descubra os pontos em que as retas, cortam os eixos x e y:a)f(x) = x 5b) f(x) = -2xc) f(x) = 2 x d) f(x) = 1 + 4x5) ( Unificado RJ) Uma barra de ferro com temperatura inicial de 10 C foi aquecida at 30 C. o grfico abaixo representa a variao da temperatura da barraem funo do tempo gasto nessa experincia. Calcule em quanto tempo, aps o incioda experincia, a temperatura da barra atingiu 0 C.Finalizando o estudo das funes e suas representaes vamos estudar a funo definida por vrias sentenas.FUNO DEFINIDA POR VRIAS SENTENASAs funes definidas por vrias sentenas aparecem em diferentes situaes em nosso contexto, por exemplo na conta de energia d nossa casa, na conta de gua, no ingresso do cinema entre outras situaes.Exemplo:1) Uma papelaria cobra R$ 0,10 por pgina xerocada, caso o nmero de pginas seja inferior ou igual a 50.se o nmero de pginasfor superior a 50, o custo por pginaadicional passa a ser R$ 0,08. escreva a lei que representa o valor gasto em funo do nmero de pginas xerocadas.332) Construa o grfico das funes abaixo definidas em R e determine o conjunto imagem.a) f(x) = '0b) 3(x+1) 6 < o c) 012>xxd) 03) 4 (2xx x35e) 8 2 >xf) 8 )21( >xg)3 log2< xh) 3 log21< xi) ) 4 ( 4 ) 4 ( + > + x x xj) '< > + 0 20 3 422x xx x36Boas Frias!!!!!!!!!37