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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 1

APOSTILA 2015

MATEMÁTICA

PROFESSOR: DENYS YOSHIDA


Sumário

1.Conjuntos...................................................................................................................................5

1.1 Representação de conjuntos...................................................................................................5

1.2 Operações com conjuntos.......................................................................................................6

1.2 Propriedades da intersecção...................................................................................................7

2. Conjuntos numéricos...............................................................................................................10

2.1 Conjunto dos números naturais.............................................................................................10

2.2 Conjunto dos números inteiros..............................................................................................11

2.3 Conjunto dos números racionais..........................................................................................13

2.4 Conjunto dos números irracionais........................................................................................15

2.5 Conjunto dos números reais.................................................................................................17

3.Intervalos numéricos................................................................................................................21

3.1 Notações de um intervalo......................................................................................................21

3.2 Tipos de intervalos................................................................................................................21

3.3 União e intersecção de intervalos.........................................................................................22

4. Relações Binárias entre conjuntos..........................................................................................26

4.1 Representação em um diagrama..........................................................................................26

4.2 Representação no plano cartesiano......................................................................................27

5. Funções...................................................................................................................................27

5.1 Definição................................................................................................................................27

5.2 Domínio, imagem e contra domínio.......................................................................................27

6. Funções do 1º grau.................................................................................................................30

6.1 Definição................................................................................................................................30


6.2 Representação gráfica..........................................................................................................30

6.3 Raiz de uma função...............................................................................................................31

6.4 Estudo do sinal......................................................................................................................32

6.5 Inequações do 1º grau..........................................................................................................33

6.6 Sistemas de inequações do 1º grau......................................................................................34

6.7 Inequação produto.................................................................................................................35

6.8 Inequação quociente.............................................................................................................36

7. Função do 2º grau...................................................................................................................41

7.1 Gráfico...................................................................................................................................41

7.2 O vértice da parábola............................................................................................................42

7.3 Estudo da variação do sinal..................................................................................................43

7.4 Inequação do 2º grau............................................................................................................44

8. Funções exponenciais.............................................................................................................50

8.1 Equações exponenciais.........................................................................................................50

8.2 Inequações exponenciais......................................................................................................50

8.3 Gráfico da função exponencial..............................................................................................54

8.4 Crescimento e decrescimento..............................................................................................55

9. Logaritmos...............................................................................................................................58

9.1 Definição...............................................................................................................................58

9.2 Condições de existência.......................................................................................................58

9.3 Sistemas de logaritmos.........................................................................................................58

9.4 Propriedades dos logaritmos................................................................................................59

9.5 Mudança de base.................................................................................................................61

9.6 Equações logarítmicas..........................................................................................................61


9.7 Funções logarítmicas............................................................................................................66

9.8 Crescimento e decrescimento..............................................................................................66

Exercícios de vestibulares...........................................................................................................69

Referências bibliográficas...........................................................................................................98


1. Conjuntos

Denominamos Conjunto a uma reunião de elementos. É uma definição bem primitiva, e

podemos relacionar essa ideia em diversas situações. O conjunto universo e o conjunto vazio

são tipos especiais de conjuntos. O conjunto vazio não possui elementos e é representado por

ou Ø. Já o conjunto universo possui todos os elementos, de acordo com o que estamos

trabalhando e geralmente é representado pela letra maiúscula U.

1.1 Representação de conjuntos

Sua representação depende basicamente dos dados que se tem e da motivação do uso dos

mesmos, veja abaixo uma demonstração:

Exemplo: O conjunto dos números ímpares maiores que zero e menores que onze. Vejamos a

representação através de seus elementos.

A = {1, 3, 5, 7, 9}

Representação pela propriedade de seus elementos.

A = {x | x é ímpar e 0 < x < 11}, o símbolo da barra ( | ) significa “tal que”.

x tal que x é ímpar e x maior que zero e x menor que 11.

Representação por diagrama

Assim como podemos somar, subtrair, multiplicar, dividir, potenciar entre outras operações

numéricas podemos também operar conjuntos.

Essas operações recebem nomes diferentes, como: União de conjuntos, Intersecção de

conjuntos, Diferença de conjunto, Conjunto complementar.

Todas essas operações são representadas por símbolos diferentes. Veja a representação de

cada uma delas:

1 3

5 7 9


1.2 Operações com conjuntos

União de conjuntos

Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {4, 5, 6}, chamamos união um terceiro conjunto com

todos os elementos de A e B (Sem repetir os elementos comuns)

A representação da união de conjuntos é feita pelo símbolo U. Então,

A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Representando a união por meio de diagramas:

Sejam A e B os conjuntos abaixo

A B

Então: AUB

Intersecção de conjuntos

Quando queremos a intersecção de dois conjuntos é o mesmo que dizer que queremos os

elementos que eles têm em comum.

Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6, 7}, a intersecção é representada pelo

símbolo ∩, então A ∩ B = {5, 6}, pois 5 e 6 são os elementos que pertencem aos dois

conjuntos.

Representando a intersecção por meio de diagramas:

Sejam A e B os conjuntos abaixo

A B

1 3

2 4

4 5

6

1 2 3

4 5 6

1 2 3

4 5 6

5 6

7


Então: A ∩ B

Se dois conjuntos não têm nenhum elemento comum, a intersecção deles será um conjunto

vazio.

1.3 Propriedades da intersecção

1) A intersecção de um conjunto por ele mesmo é o próprio conjunto: A ∩ A = A

2) A propriedade comutatividade na intersecção de dois conjuntos é:

A ∩ B = B ∩ A.

3) A propriedade associativa na intersecção de conjuntos é:

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Exercícios sobre conjuntos

1- Analise os conjuntos abaixo e diga quais são vazios:

a) 0/ xxM

b) 0.0/ xxN

c) 4.0/ yyO

d) 02/ ddP

e) 02/ eeQ

2- Escreva os conjuntos indicados a seguir nomeando seus elementos:

a) A é o conjunto dos números inteiros maiores que 2 e menores que 7.

b) B é o conjunto dos números inteiros positivos menores que 6.

c) C é o conjunto dos números inteiros maiores que 5 e menores que 7.

d) D é o conjunto dos números inteiros maiores que 8 e menores que 2.

3- Representar, usando um diagrama de Venn, o conjunto A dos números naturais primos

menores do que 30.

1 2

3 4 6

5

7


4- Sendo A = {0,1,2,3,4}, escreva todos os subconjuntos de A que têm 2 elementos.

5- Dados os conjuntos 3,2,1A , 5,4,3B e 6,5,1C , efetue as operações:

a) BA

b) CB

c) CA

d) CBA

e) BA

f) CA

g) CB

h) CBA

i) CBA

6- Considere os conjuntos: A={divisores naturais de 30}, B={múltiplos de 6} e C={múltiplos de

3}, calcule:

a) BA

b) CB

c) CA

d) CBA

e) BA

f) CA

g) CB

h) CBA

i) CBA

7- Numa cidade, foi feito um levantamento para saber quantas crianças haviam recebido as

vacinas Sabin e Tríplice. Os resultados obtidos estão na tabela a seguir. Determine o

número de crianças:

a) Abrangidas pela pesquisa

b) Que receberam apenas a Sabin

c) Que receberam apenas uma vacina


Vacina Número de crianças

Sabin 5428

Tríplice 4346

Sabin e Tríplice 812

Nenhuma 1644

8- (FATEC-SP) O conjunto A tem 20 elementos, BA tem 12 elementos e BA tem 60

elementos. O número de elementos do conjunto B é:

a) 28

b) 36

c) 40

d) 48

e) 52

9- Em uma pesquisa realizada com 112 moradores de uma cidade, obteve-se que 57 pessoas

usavam o sabonete Perfumado, 38 usavam o creme dental Dentinho e 22 usavam o

sabonete Perfumado e o creme dental Dentinho. Quantas pessoas não usavam qualquer

desses dois produtos?


2. Conjuntos numéricos

A partir da notação de conjunto, chamamos Conjuntos Numéricos, os conjuntos cujos

elementos são números que possuem algumas características em comum. Estudaremos nesse

volume os conjuntos de números: naturais, inteiros, racionais, irracionais e finalmente os

números reais.

2.1 Conjunto dos Números Naturais

A partir da necessidade de contagem de objetos surgiu o conjunto de números naturais, que é

basicamente o conjunto numérico mais intuitivo, assim como qualquer criança sente a

necessidade de contar objetos, as civilizações antigas sentiram a mesma necessidade, e

surgiu a noção intuitiva de números naturais.

São elementos do conjunto dos naturais todos os números inteiros positivos incluindo o zero.

Representado pela letra maiúscula e seus elementos entre chaves, separados por vírgulas:

N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, …}

O primeiro elemento desse conjunto é o zero, e o conjunto é ilimitado superiormente, ou seja,

não existe um último número, o conjunto é infinito.

A partir da reta numerada podemos representar geometricamente os conjuntos numéricos,

para representação dos números naturais na reta numérica, escolhemos um ponto de origem

(equivalente ao número zero), fixamos medida unitária e a orientação, geralmente da esquerda

para a direita, e marcamos os números sobre a reta:

1 2 3 4 5 6 7

Alguns subconjuntos importantes são pertencentes aos números reais:

Conjunto dos números naturais não nulos:

N*= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, …}

Utilizamos o * (asterisco) à direita do nome do conjunto para excluir de determinado

conjunto o número zero

Conjunto dos números primos:

P= {2, 3,5, 7, 11, 13, ...}

Conjunto dos números pares:

Np= {2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}

Conjunto dos números ímpares:


Ni= {2, 3,5, 7, 11, 13, ...}

Propriedades:

Os números naturais apresentam a propriedade do fechamento apenas para a adição e a

multiplicação, ou seja se adicionarmos ou multiplicarmos dois ou mais, quaisquer números

naturais entre si, o resultado será um número natural, por exemplo:

, que é número natural;

que é número natural;



Podemos descrever simbolicamente essa propriedade:

e

Com a subtração o caso é diferente, a subtração entre números naturais pode ou não ser um

número natural, por exemplo:

, que é número natural;

Não existe no conjunto dos números naturais, tal número

Então podemos dizer que N não é fechado para a subtração, por esse motivo houve a

necessidade da ampliação desse conjunto, surgindo assim o conjunto dos números inteiros.

2.2 Conjunto dos Números Inteiros

Com a limitação do conjunto dos números naturais para a subtração, como vimos essa não é

fechada no conjunto, houve a necessidade de ampliar esse conjunto, surgindo assim o

conjunto dos números inteiros.

São elementos do conjunto dos números, todos os números naturais e seus respectivos

opostos (números negativos), representado pela letra Z, o conjunto dos números inteiros é:

Z= {...,-5, -4, -3, -2, -1, 0 ,1,2 ,3 ,4 ,5 , …}

O conjunto é ilimitado inferiormente e ilimitado superiormente, ou seja, não existe um primeiro

ou um último número inteiro.

Podemos representar também esse conjunto a partir de uma reta numérica:


-3

Alguns subconjuntos importantes são pertencentes aos números inteiros:

Conjunto dos números inteiros não nulos:

Z*= {...,-5, -4, -3, -2, -1,1,2 ,3 ,4 ,5 , …}

Conjunto dos números inteiros não negativos:

= {0, 1,2 ,3 ,4 ,5 , …}

Conjunto dos inteiros positivos:

= {1,2 ,3 ,4 ,5 , …}

Conjunto dos números inteiros não positivos:

= {...,-5, -4, -3, -2, -1,0}

Conjunto dos inteiros Negativos:

= {...,-5, -4, -3, -2, -1}

Propriedades:

Os números inteiros tem como subconjunto os números naturais, note por exemplo, que

o subconjunto = {0, 1,2 ,3 ,4 ,5 , …} é idêntico ao conjunto N, então podemos

escrever que N Z, ou o conjunto N está contido no conjunto Z

Da mesma maneira que os números naturais, o conjunto dos números inteiros são fechados

para a adição e para a multiplicação, porém, podemos incluir também o fechamento para a

subtração

, que é número inteiro;

que é número inteiro.

Podemos sintetizar esse conjunto simbolicamente:

e finalmente

No tocante à divisão, podemos definir que a divisão entre dois números naturais, pode ou não

ser um número natural, por exemplo:

, que é número inteiro;

que é número inteiro;


, de forma que não existe no conjunto de números inteiros um valor que

satisfaça a equação;

Então, podemos concluir que Z não é fechado para a divisão, mas como podemos classificar o

resultado dessas divisões, senão números inteiros?

Assim, foram classificados os números racionais.

2.3 Conjunto dos Números Racionais

Representado pela letra Q, os elementos do conjunto dos números racionais são todos aqueles

números que podem ser expressos na forma de uma fração na qual o numerador e o

denominador são números inteiros, simbolicamente temos:

Ou de maneira genérica:

Q =

A partir da definição de números racionais, podemos definir que um número pertencente ao

conjunto dos números inteiros é racional, observe a demonstração:

Seja qualquer número , e temos por definição que Q, então,

substituindo temos Q, como , podemos afirmar que qualquer

elemento de Z, é também elemento de Q, essa propriedade é válida, pois Z é subconjunto de

Q.

Existem também alguns números de Q, que são representados em maneira de um número

decimal exato ou também de uma dízima periódica, nas próximas linhas verificaremos que em

ambos os casos podemos escrever esses números como uma fração :

Transformando números decimais finitos em frações

Uma das representações dos elementos do conjunto dos números Racionais, são os números

decimais sendo finitos ou periódicos, temos como, por exemplo, de um número decimal finito

1,32, esse número possui seu equivalente fracionário, ou seja, pode ser escrito como fração.

Para transformar os números decimais em frações, podemos mover a vírgula e dividir por uma

potencia de 10 satisfatória, por exemplo, ainda utilizando o número , observe que após da

vírgula temos duas casas decimais.


Então vamos mover a vírgula de forma que não fique nenhuma casa decimal, , nesse caso

devemos movê-la por duas casas decimais e dividir por 102:

, ou ainda simplificando: .

Observação: o valor da potência de 10 deverá ser igual ao número de casas decimais após a

vírgula.

Transformando dízimas periódicas em frações

Nem sempre uma fração entre dois números inteiros tem como resultado um número decimal

exato, um exemplo é a fração a essa maneira de escrever chamamos dízima

periódica, sendo essa uma representação numérica, tanto decimal quanto fracionária, onde

existe uma sequência finita de algarismos que se repetem indefinidamente, como por exemplo

0,111111111…, assim como nos números racionais finitos, as dízimas periódicas também

podem ser dadas por meio de fração, por exemplo a dízima que utilizamos acima é dada pela

fração 1/9.

Podemos classificar as dizimas periódicas em simples e compostas, conforme abaixo:

Dízimas periódicas simples: Quando o período aparece logo após à virgula.

Exemplos:

0,1111111… Período: 1

0,1212121212…. Período: 12

Dízimas periódicas compostas: Quando existe uma parte não repetitiva entre a vírgula e a

parte periódica.

Exemplos:

0,833333…. Período: 3 , Parte não periódica: 8



Geratriz de uma dízima periódica

É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica.

Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica.

Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima:

Dízima simples


A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para

denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Exemplos:

1. Determine a fração geratriz das dízimas periódicas abaixo

a)

No exemplo dado a parte periódica é composta pelo número 2, que deverá estar no

numerador da dízima periódica, sendo que o seu denominador será dado pelo número 9,

aparecendo apenas uma vez, pois o período é 1, então:

b)

No exemplo acima a parte periódica é composta pelo número 32, que deverá estar no

numerador da dízima periódica, sendo que o seu denominador será dado pelo número 99,

ou seja, o algarismo 9 duas vezes, pois o período é 2, então:

Dízima Composta:

A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , sendo a parte não periódica

seguida da parte periódica uma vez, menos a parte não periódica e b é a mesma quantidade

de noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os

algarismos da parte não periódica.

2.4 Conjunto dos números irracionais

Para definirmos números irracionais, vamos relembrar dos números racionais, temos que um

número racional é todo número escrito da forma a/b, com a e b Z, assim podemos definir um

número irracional como sendo justamente o contrário, ou seja, não é possível escrever um


número irracional da forma a/b, com a e b Z a esse conjunto representamos pela letra I. um

exemplo de números irracionais são as dízimas não periódicas, Como por exemplo:

1,456846154674...

1,4142135623730950488016887242097

3,1415926535897932384626433832795... entre outros

Podemos separar os números irracionais em dois grupos os algébricos e os transcendentes, os

números irracionais algébricos são as raízes não exatas de um número, como por exemplo 2,

5, 11, 113 e qualquer outra raiz inexata. Já os números irracionais transcendentes

complementam aqueles irracionais algébricos, sendo os exemplos mais famosos de números

irracionais transcendentes, o número (pi), o número de Euler e, cujos valores aproximados

com duas decimais são respectivamente 3,14 e 2,72.

O número representa a razão do comprimento de qualquer circunferência dividido pelo

diâmetro da mesma circunferência e o número e é a base do sistema de logaritmos

neperianos.

Para identificar os números irracionais, podemos adotar alguns critérios, vamos começar

definindo o que são números irracionais, são números racionais:

Todas as dízimas não periódicas são números irracionais.

Todas as raízes inexatas são números irracionais.

A soma de um número racional com um número irracional é sempre um número

irracional.

Não são números irracionais:

Todas as dízimas periódicas são números racionais.

Todos os números inteiros são racionais.

Todas as frações ordinárias são números racionais.

Casos especiais

Nesses casos devemos sempre nos atentar a cada caso, pois o resultado entre essas

operações pode ou não ser um número racional:

A diferença de dois números irracionais:

Exemplo: - = 0 e 0 é um número racional. Porém, também temos que diferença

entre dois irracionais pode ser irracional, como: - .

O quociente de dois números irracionais:

http://www.paulomarques.com.br/arq14-1.htm


Exemplo: : = = 2 e 2 é um número racional. Porém temos também:

: = que é irracional.

O produto de dois números irracionais pode ser um número racional.

Exemplo: . = =4 e 4 é um número racional, porém podemos ter também

π que é um número irracional.

2.5 Conjunto dos números reais

A união do conjunto dos números irracionais com o conjunto dos números racionais resulta

num conjunto denominado conjunto R dos números reais.

Sendo assim, todo número Natural, Inteiro, Racional ou Irracional é considerado um número

real.

Propriedades da adição em R

Associativa: (x + y) + z = x + (y + z)

Comutativa: x + y = y + x

Elemento neutro: x + 0 = 0 + x = x

Simétrico Aditivo ou aposto: x + (-x) = (-x) + x = 0

Propriedades de multiplicação em R

Associativa: (x. y). z = x. (y. z) Comutativa: x. y = y. x

Elemento neutro: x. 1 = 1. x = x

Simétrico multiplicativo ou inverso: x. x-1 = x-1. x = 1.

Propriedade distributiva da multiplicação em relação á adição

x. (y + z) = xy + xz.

Os números reais são importantes, pois a partir dele estudamos funções, que são um dos

assuntos mais importantes da matemática elementar.

OBS: Nem todo número é um número real. Alguns números que não são considerados

números reais: 4 , 4 1 , 8 ,

6 10 , entre outros.


Exercícios sobre conjuntos numéricos

10- Preencha a tabela substituindo os espaços em branco por SIM ou Não:

Número 8 7 -2,05 1,212212221... 6,325325... -2,333... 2

Natural?

Inteiro?

Racional?

Irracional?

Real?

11- Sendo 2a e 1b , determine o valor numérico das expressões:

a) 22 ..2 bbaay

b) 333)( babay

12- Assinale as afirmações verdadeiras:

a) 74

b) N0

c) Q56789,0

d) R7

e) Q...14141414,3

f) R8

13- (Fuvest-SP) Calcule:

a) 6

1

10

1


b) 0,22,3

3,0.2,0

14- Dados 3n e 3 2m efetue as operações e classifique cada afirmação em verdadeira

ou falsa:

a) mn é racional.

b) mn. é irracional.

c) 2m é irracional.

d) 3m é irracional.

15- Escreva dois números racionais que estejam entre 0 e 1.

16- Escreva dois números racionais que estão entre:

a) 0 e 5

3

b) 1 e 4

9

c) 4

3 e

5

1

17- Transforme os seguintes números decimais em frações:

a) 0,8

b) 1,5

c) 0,65

d) 5,36

e) 0,047

f) 0,5825

18- Determine a fração geratriz das seguintes dizimas periódicas:

a) 0,777....

b) 0,2323...

c) 0,444...


d) 0,545454...

e) 0,12525...

f) 0,04777...

19- Classifique as afirmações abaixo em verdadeira ou falsa:

a) Todo número racional tem uma representação decimal finita.

b) Se a representação decimal infinita de um número é periódica, então esse número é

racional.

c) Os números que possuem representação decimal periódica são irracionais.

d) O produto de dois números irracionais é sempre um número irracional.

20- Dê cinco exemplos de números que não são reais.


3. Intervalos numéricos

Chamamos intervalo a um conjunto que contém cada número real entre dois extremos

indicados, e possivelmente os próprios extremos.

3.1 Notações de um intervalo

Geralmente se simboliza um intervalo numérico por meio de colchetes – “[" e "]” – para indicar

que um dos extremos do intervalo é parte deste intervalo e os parênteses – “(” e “)” – ou,

também, os colchetes invertidos – “]” e “[" para indicar o contrário.

Então, considere que a e b são números reais, com a ≤ b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa

o conjunto dos x ε R, tal que a < x ≤ b. Note que a não faz parte do intervalo.

Representação de um intervalo na reta real

Também podemos representar intervalo na reta real utilizando-se de uma pequena “bolinha

vazia” para indicar que um dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de uma “bolinha

cheia” para indicar que o ponto extremo pertence.

3.2 Tipos de Intervalos

Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento,

podemos definir seu intervalo como a diferença entre o extremo superior e o extremo inferior,

assim c = b – a. Podemos classificar os intervalos como:

a) Intervalo Fechado de comprimento finito:

[a,b] = {x ε R | a ≤ x ≤ b}

b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de comprimento finito:

[a,b[ = [a,b) = {x ε R | a ≤ x < b}

c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento finito

(a,b] = ]a,b] = {x ε R | a < x ≤ b}

d) Intervalo aberto de comprimento finito:

]a,b[ = (a,b) = {x ε R | a < x < b}

e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito:

]-∞,b[ = (-∞,b) = {x ε R | x < b}


f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito:

]-∞,b] = (-∞,b] = {x ε R | x ≤ b}

g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infinito:

[a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R | a ≤ x}

h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento infinito:

]a,+∞[ = (a,+∞) = {x ε R | x > a}

i) Intervalo aberto de comprimento infinito:

]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R

j) Intervalo fechado de comprimento nulo:

Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado, então a = b e esse intervalo corresponde ao

conjunto unitário {a}, isto é, a um ponto da reta real.

3.3 União e Intersecção de Intervalos

Como intervalos são conjuntos também podemos realizar as operações de união e intersecção.

Podemos representá-los através de sua representação gráfica, acredita-se que e a maneira

mais fácil de visualizar essas operações. Para tanto utilizaremos um exemplo numérico:

Sejam A = [-1,6] = e B = [3, 9) dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B.

A U B

Lembrando das definições de união de conjuntos, incluir em um terceiro diagrama todos os

números de ambos os intervalos, excluindo – se as repetições, para tanto, iremos comparar

duas retas em um sistema único:

Para realizar essa operação, basta fazer paralelamente as retas reais com os dados dos

intervalos, respeitando sua posição de cada valor, e uma terceira reta, também paralela a

essas duas, sobre a terceira reta iremos sobrepor o resultado das duas demais, assim, toda a

área em negrito faz parte da união das retas.

A

1 6

B

3 9

A U B


1 3 6 9

Assim sendo: A U B = [1,9)

A ∩ B

Para a intersecção entre intervalos, o procedimento é parecido, porém ao invés de replicarmos

na terceira reta todos os valores, iremos apenas marcar os valores que são comuns às duas

retas:

A

1 6

B

3 9

A ∩ B

1 3 6 9

Assim sendo: A ∩ B = [3, 6]

Exercícios sobre intervalos numéricos

21- Represente na reta real os seguintes intervalos:

a) 0,4

b) 5,0

c) 7,3

d) 2,1

e) 5,0

f) ,8

g) 6,

h) ,10

22- Escreva os intervalos na forma de subconjuntos de R:

a) 5,0M

b) 2,3N


c) 4,1P

d) 6,1Q

e) ,7K

f) 4,O

g) ,2R

h) 5,S

23- Escreva os subconjuntos de R na notação de intervalos:

a) }1/{ xRx

b) }62/{ xRx

c) }3/{ xRx

d) }41/{ xRx

e) }42/{ xRx

f) }50/{ xRx

g) }1/{ xRx

h) }5/{ xRx

24- Escreva, usando as duas formas, os intervalos:

a) aberto de extremos -3 e 7.

b) fechado de extremos 1 e 4.

c) aberto à esquerda de extremos 1 e 3.

d) aberto à direita de extremos -4 e 1.

25- Sendo A o conjunto dos números reais maiores que ou igual a 3 e menores que 8, escreva

esse conjunto nas duas formas possíveis e represente-o na reta real.

26- Dados os intervalos 4,2A , 5,3B e 3,1C , efetue as operações indicadas:

a) BA

b) CB

c) CA


d) CA

e) CB

f) CBA

g) CBA

h) CBA

27- Considerando os intervalos: 11,0M , 8,3N e 7,2K , efetue as seguintes

operações:

a) NM

b) NM

c) KM

d) KM

e) KN

f) KNM

g) KNM

h) KNM

28- Dados 3,4A , 5,5B e 1,E , determine:

a) BA

b) EA

c) EB

d) EA

e) EBA

f) EBA


4. Relações Binárias entre conjuntos

Denominamos relação ou relação binária entre dois conjuntos A e B é qualquer subconjunto

de A B, ao qual chamamos produto cartesiano A por B.

Exemplo:

Sejam os conjuntos A e B:

Obtemos o produto cartesiano de A por B

A = {1,2,3}

B = {4,5,6}

Podemos obter A B tomando alguns subconjuntos deste conjunto de pares ordenados,

teremos algumas relações de A em B:

R1 = {(1,4)}

R2 = {(1,4),(2,6)}

R3 = {(1,5),(2,6),(3,4)}

R1, R2 e R3 são relações de A em B, pois seus elementos são pares ordenados (x, y),

com x pertencente a A e y pertencente a B.

4.1 Representação em um Diagrama

Outra maneira de representarmos uma relação binária é através de um diagrama de flechas,

por exemplo, a relação R3 vista acima é representada abaixo pelo diagrama de flechas:

A B

Em R3 = {(1,5),(2,6),(3,4)}, há três setas partindo do conjunto A, chamado de conjunto de

partida e chegando no conjunto B, chamado de conjunto de chegada.

1

2

3

4

5

6


4.2 Representação no Plano Cartesiano

Outra maneira de representarmos uma relação binária é por

meio do plano cartesiano, para isso basta localizarmos o ponto

referente ao par ordenado dado no plano cartesiano xOy.

Ainda utilizando como exemplo o R3 iremos identificar seus

pontos e marca-los no plano cartesiano, aqui a primeira

coordenada deverá ser identificada no eixo horizontal, também

chamado de abcissas ou eixo x, e o segundo elemento do par

ordenado deverá ser identificado e marcado no eixo vertical,

também chamado de eixo das ordenadas ou eixo y, uma vez

identificados todos os pontos, temos a representação do R3,

conforme imagem ao lado.

5. Funções

5.1 Definição

Sejam A e B dois conjuntos não vazios, é denominada função de A em B, representada por f:

A B; y = f(x), a toda e qualquer relação binária que associa a cada elemento de A, um

único elemento de B.

De acordo com a relação entre os conjuntos podemos obter inúmeras leis de formação, e

classificar as funções quanto a seu tipo de estudos. Dentre os estudos das funções temos:

função do 1º grau, função do 2º grau, função exponencial, função modular, função

trigonométrica, função logarítmica, função polinomial.

Podemos representar as funções geometricamente, através do plano cartesiano, associando

às funções pares ordenados (x,y), que determinam conjuntos de valores pertencentes à

função.

5.2 Domínio, imagem e contra domínio

Considere um conjunto A, ao qual chamamos de conjunto de saída e um conjunto B,

denominado conjunto de chegada. Ao conjunto A (conjunto de chegada) denominamos de

Domínio. O domínio de uma função também é chamado de campo de definição ou campo de

existência da função, e é representado pela letra D.

Ao conjunto B (conjunto de chegada) denominamos contradomínio. Nem todos os elementos

do contradomínio são necessariamente relacionados com algum elemento do domínio, então,

aos elementos do contradomínio que são associados com os elementos do domínio,

denominamos imagem.


Exemplo.

Considerando o Domínio A ={1, 2, 3, 4} e Contradomínio B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},

identifique o conjunto imagem para a função relacionada pela lei de formação f(x) = y = 2x (ou

seja, cada elemento do conjunto A deve se associar ao dobro de seu valor em B ).

Podemos resolver essa questão a partir da lei de formação da função, demonstrando a partir

do diagrama, mas antes utilizaremos a lei de formação da função para identificar os elementos

do conjunto imagem:

f(1) = 2 (1) = 2

f(1) = 2 (2) = 4

f(1) = 2 (3) = 6

f(1) = 2 (4) = 8

Assim sendo, o conjunto imagem dessa função será Im = {2, 4, 6, 8}

Representando o sistema acima por meio do diagrama, teremos:

Exercícios sobre função

29- Sendo },0,1{A e }4,3,1{B , obtenha AXB e BXA .

30- Dados os conjuntos }6,5,3{A e }4,1{B , determine o produto cartesiano nos

seguintes casos:

1

2

3

4

1

2 3

4 5

6 7

8 9

10

2

4

6

8


a) AXB

b) BXA

31- Represente no plano cartesiano os produtos cartesianos obtidos no exercício anterior.

32- Considere a função 13)( xxf . Calcule:

a) )0(f

b) )2(f

c) )2(f

d) )5,0(f

e) n tal que 21)( nf


6. Funções do 1º grau

Considere a situação abaixo:

Felipe vai a um rodízio de pizzas, no qual paga o valor fixo de R$15,00 para consumação,

sendo que a cada refrigerante que ele toma paga R$ 4,00. Ao final do dia Felipe tomou 5

refrigerantes, qual será o valor da conta do restaurante?

Bem, podemos perceber que o valor de R$15,00 deverá ser pago independente da quantidade

de refrigerantes tomados, ou seja, é um valor fixo, agora, a cada refrigerante tomado, Felipe

paga R$ 4,00, como ele tomou 5 refrigerantes, ele deverá pagar R$ 4,00 5= R$ 20,00 mais o

valor de R$15,00, ou seja, R$ 15,00 + 20,00 = R$ 35,00

Agora, caso Felipe tomasse apenas 3 refrigerantes, pagaria quanto?

Os R$ 20,00 continuariam fixos, o que mudaria era o valor pago nos refrigerantes, ou seja, R$

4,00 5= R$ 12,00, então o valor total da conta seria R$ 15,00 + R$ 12,00 = R$ 27,00.

Enfim, para cada número x de refrigerantes tomados, temos um valor diferente ao final da

conta, por isso dizemos que o preço é uma função de x, e podemos expressar essa

função através da lei matemática:

Que é um caso particular de função polinomial de 1º grau.

6.1 Definição

Definimos função do 1º grau ou função Afim, qualquer função f de IR em IR definida por uma lei

matemática da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a ≠0.

Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente angular da variável x e o

número b é chamado termo constante ou coeficiente linear.

Exemplos de função do primeiro grau:

, com

, com

, com

, com

6.2 Representação Gráfica:


A representação gráfica de uma função do 1º grau é uma reta oblíqua em relação aos eixos

coordenados.

A reta poderá ser crescente, decrescente ou paralela ao eixo , de acordo com a lei de

formação de cada função.

Reta crescente: na reta crescente, o valor da função é diretamente proporcional ao valor da

variável ou seja, a medida que os valores de aumentam, o valor da função também

aumenta, uma função de 1º grau tem seu gráfico crescente, tem sempre o coeficiente .

Reta decrescente: na reta decrescente, o valor da função é inversamente proporcional ao valor

da variável ou seja, a medida que os valores de aumentam, o valor da função diminui, uma

função de 1º grau tem seu gráfico crescente, tem sempre o coeficiente .

Intersecção com os eixos coordenados:

A intersecção de com o eixo acontece quando então genericamente, teremos:

Então, temos que, o gráfico de intercepta o eixo no exato valor do coeficiente linear, ou

seja, no valor de b.

6.3 Raiz de uma função

As raízes de uma função são os valores para os quais o gráfico dessa função intercepta com o

eixo das abcissas, para que isso ocorra, o valor do eixo das ordenadas deve ser zero, ou seja,

para identificar as raízes da função, temos que ter .

Uma função do primeiro grau admite uma única raiz e determiná-la é simplesmente resolver

uma equação do primeiro grau, considerando que ou seja:


e

Exemplo: Achar a raiz da função 12 xy

2

112012 xxx

6.4 Estudo do sinal

Estudar o sinal de qualquer função é determinar para que valores de a função tem sinal

positivo ou negativo.

No caso da equação de primeiro grau, devemos levar em consideração o valor da raiz (como

vimos anteriormente)

Função Crescente

y > 0 ax + b > 0 x >

y < 0 ax + b < 0 x <

Ou seja, o valor de é positivo se x for maior que a raiz, e o valor de y é negativo se x for

mentor que a raiz.

Função decrescente

y > 0 ax + b > 0 x <


y < 0 ax + b < 0 x >

Ou seja, y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x

maiores que a raiz.

Exemplos:

Determine os sinais da função .

Primeiro passo é determinar a raiz da função, ou seja, ,

Então, temos uma função crescente (termo >0) e com raiz = -3, logo:

Solução:

6.5 Inequações do 1º grau

São chamadas inequações quaisquer sentenças matemáticas descritas por meio de

desigualdades, as inequações do 1º grau são muito utilizadas para resolução de problemas


sobre estudo de sinais das equações do 1º grau, abaixo iremos resolver algumas atividades

que podemos aplicar ao nosso estudo.

Exemplos:

Resolva as inequações:

O mordo de resolução é bem semelhante à uma equação do primeiro grau, aqui também

começaremos nosso procedimento pelos parênteses:

Então isolamos os termos que tem a incógnita , mantendo-o no 1º membro e

desenvolvemos:

6.6 Sistemas de inequações do 1º grau

A resolução de um sistema de inequações pode ser feita a partir do estudo dos sinais de

uma função para cada inequação, separadamente, seguido da determinação da

intersecção dos conjuntos verdade dessas inequações.

Exemplo: Resolva o seguinte sistema:

01

044

x

x

144044 xxx

101 xx

Calculando agora o conjunto solução temos:

Logo 1,S


6.7 Inequação Produto

Considerando f(x) e g(x) funções de variável x, do 1º grau, chamamos de inequação

produto uma desigualdade do tipo:

0)().( xgxf

0)().( xgxf

0)().( xgxf

0)().( xgxf

A resolução de uma inequação produto pode ser feita com o estudo do sinal das funções,

separadamente, seguido da determinação dos sinais do produto de f(x) por g(x) e

posteriormente identificando os valores de x que satisfazem a inequação produto.

Exemplo: Resolva a inequação: 0)75).(63( xx

Primeiro fazemos o estudo do sinal de cada função:

263063 xxx

5

775075 xxx

Fazemos o jogo de sinal com o estudo de sinal em cada coluna formada por uma função:


Logo 5

7/{ xRxS ou }2x

6.8 Inequação Quociente

Considerando f(x) e g(x) funções de variável x, do 1º grau, chamamos de inequação

produto uma desigualdade do tipo:

0)(

)(

xg

xf

0)(

)(

xg

xf

0)(

)(

xg

xf

0)(

)(

xg

xf

Na resolução de uma inequação quociente o denominador deve ser diferente de zero e a

regra de sinais é a mesma tanto para produto como para divisão no conjunto dos números

reais.

Exemplo: Resolva a seguinte inequação: 012

1

x

x.

Primeiro fazemos o estudo do sinal de cada função:

101 xx


2

112012 xxx

Fazemos o jogo de sinal com o estudo de sinal em cada coluna formada por uma função:

Logo }5,01/ xRxS

Exercícios sobre função do 1º grau

33- O perímetro P de um quadrado é função linear da medida l de seu lado. Qual a sentença

que define essa função?

34- Para produzir certo produto, uma empresa tem um custo fixo de R$ 1200,00. Além disso,

cada unidade produzida desse produto custa R$ 5,00.

a) Represente o custo C, de x unidades desse produto, como uma função de x.

b) Quantas unidades do produto serão fabricadas em determinado mês, se o custo for de R$

18900,00?

35- Em certa cidade se paga pelo serviço de táxi, em dia útil das 6h às 20h, o valor de R$ 3,20

pela bandeirada mais R$ 1,02 por quilômetro rodado.


a) Escreva a lei da função que expressa o preço P a pagar em função do quilômetro rodado x.

b) Calcule quantos quilômetros o táxi percorreu se foram pagos R$ 13,20 pelo serviço.

36- Represente no plano cartesiano as seguintes funções do 1º grau:

a) 32 xy

b) xy 3

c) 22 xy

d) 2

xy

37- Classifique as funções do exercício anterior em crescente, decrescente ou constante.

Justifique suas respostas.

38- Determine o zero das seguintes funções:

a) 62 xy

b) 123)( xxf

c) xy 2

d) 4

1

2)(

xxf

e) 5

8

2

3

xy

39- Sendo 25)( xxf , determine:

a) )4(f

b) o zero da função

40- Estude o sinal das seguintes funções:

a) 204)( xxf


b) 32 xy

c) 92

)( x

xf

d) xy 104

e) 4

1

2

3

xy

41- Seja kxkxf 3)1()( . Determine k, de modo que a função seja crescente.

42- Estude os sinais da função em cada caso:

a) xxxf 75)2.(3)(

b) xxxxxf 4)2).(1()( 2

43- Dê o conjunto solução das inequações:

a) 862 x

b) 0182 x

c) 206010 x

d) 055 x

e) 27

4

2

x

f) 16

7

3

x

44- Resolva a inequação 2)2()1.(23 xxxx .

45- Resolva os seguintes sistemas de inequações do 1º grau:

a)

03

512

x

x

b)

05,0

712

x

x


c)

042

134

x

xx

d)

01

124

x

xx

46- Resolva: 451 xx .

47- Calcule a soma dos números inteiros x que satisfazem xxx 4312 .

48- Resolva as inequações produto:

a) 0)2).(1( xx

b) 0)1).(24( xx

c) 0)5).(33( xx

d) 0)105).(12( xx

e) 0)3( 2 x

49- Resolva a inequação 0)2).(3).(2( xxx .

50- Resolva as seguintes inequações quociente:

a) 01

x

x

b) 02

3

x

x

c) 02

12

x

x

d) 05

4

x

x


7. Função do 2º Grau

Definimos função do 2º grau ou função quadrática, qualquer função f de IR em IR definida por

uma lei matemática da forma f(x) = ax² + bx+c, onde a, b e c são números reais dados e a ≠0.

Exemplos de funções quadráticas:

;

;

;

7.1 Gráfico

A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola,

que tem sua concavidade voltada para cima ou para baixo.

Construção da Par

Raízes de uma função do 2º grau

Uma função do 2º grau pode interceptar o eixo x em até dois pontos, então assim como a

unção de 1º grau, devemos ter e desenvolver os valores das raízes reais a partir do

cálculo do discriminante, representado pela letra grega

.

Cálculo das raízes de uma função do segundo grau:

O número de raízes de uma função do 2º grau depende diretamente do valor do discriminante

> 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em dois

pontos distintos.


= 0, a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um único

ponto.

< 0, a equação não possui raízes reais. A parábola não intercepta o eixo x.

7.2 O vértice da parábola

Chamamos vértice V de uma parábola os pontos de maior valor em uma parábola com

concavidade voltada para baixo, ou o ponto de menor valor de uma parábola com concavidade

voltada para cima. O ponto V pode tem as coordenadas .

Construção da Parábola:

Para construirmos uma parábola, utilizaremos as informações obtidas nos passos anteriores,

como suas raízes, concavidade e o ponto do vértice, essa forma de construir gráficos é

denominada “construção através dos pontos notáveis”. Veja o exemplo abaixo:

Construa o gráfico da função

Concavidade: a=1>0, concavidade voltada para cima.

Raízes:

As raízes da função são: x = -1 e x = 2


Agora vamos calcular o valor do vértice:

Agora, tendo todos esses pontos notáveis, basta marcá-los no gráfico e a partir deles desenhar

a parábola.

7.3 Estudo da Variação do Sinal

Assim como na função do 1º grau, para realizarmos o estudo da variação do sinal de uma

função quadrática precisamos conhecer as suas raízes e também se a parábola tem a sua

concavidade voltada para cima ou para baixo.

Como vimos no início de nossos estudos sobre funções do 2º grau, a concavidade da parábola

ser voltada para cima ou para baixo está associada ao coeficiente a. Para realizar o estudo do

sinal dessa função temos seis possibilidades:

Função com Duas Raízes Reais e Concavidade Voltada para Cima

Funções com duas raízes reais: como vimos acima, se

então vamos estudar o sinal se a > 0 e a < 0:

Funções com uma raiz real: sabemos também que, se

real, então vamos estudar o sinal se a > 0 e a < 0:

Para a > 0:

y > 0 (x < x1 ou x > x2)

y < 0 x1 < x < x2

Para a < 0:

y > 0 x1 < x < x2

y < 0 (x < x1 ou x > x2)


Funções com nenhuma raiz real: sabemos também que, se não possui raízes

reais, então vamos estudar o sinal se a > 0 e a < 0:

7.4 Inequação do segundo grau

As inequações do 2º grau são resolvidas de forma similar à equação do 2º grau. Porém aqui o

resultado não são valores, mas sim intervalos para os quais a função assume valores maiores,

menores ou iguais a zero, assim sendo, vejamos um exemplo para fixação.

Exemplo

1. Resolva a inequação

Para a > 0:

Para a < 0:

Para a > 0:

Para a < 0:


Resolução:

Podemos resolver uma inequação do segundo grau, semelhantemente à uma equação

do mesmo tipo, então, vamos resolver inicialmente a equação:

, pelo método resolutivo:

e

Para visualizarmos o sinal da inequação, podemos esboçar parcialmente o gráfico,

anotando suas raízes e verificando, conforme seu comportamento, para que intervalo a

função assume valores maiores ou menores que zero.

Fica fácil observar que, os valores de x subentendidos entre as raízes tem sua imagem menor

que zero, então:

, assim sendo:

Solução:

Exercícios sobre função do 2º grau

51- Sendo 373)( 2 xxxf , calcule:

a) )0(f


b) )1(f

c) )4(f

d) )2(f

52- Dadas as funções reais 16)( 2 xxf e 142)( 2 xxxg , calcule:

a) )0(f

b) )0(g

c) )1(f

d) )1(g

e)

2

1)1( gf

53- Um atleta arremessa um dardo em um campo plano de tal forma que a altura h que o dardo

alcança em cada instante é expressa pela função ttth 8)( 2 , em que h é a medida

em metros e t em segundos. Após quanto tempo o dardo atingirá o solo?

54- Determine k de modo que o gráfico da função dada por 15)( 2 kxxxf passe pelo

ponto (-1,2).

55- Determine o máximo ou o mínimo das seguintes funções quadráticas:

a) xxy 2

b) xxy 126 2

c) 30020 2 xy

d) 342 xxy

e) 10122 xxy


f) 2)5( xy

56- Construa o gráfico das funções:

a) 2)( xxf

b) 2)( xxf

c) 4)( 2 xxf

d) 2xy

e) 1)( 2 xxf

57- Dada a função 1272 xxy , determine:

a) O vértice V.

b) As raízes.

c) O “corte” no eixo y.

d) O esboço do gráfico.

58- Determine para quais valores de p as funções têm como gráfico uma parábola com

concavidade voltada para cima:

a) 65)3()( 2 xxpxf

b) 6)34()( 2 xpxf

c) 4)26()( 2 xpxf

59- Um corpo é lançado do solo e a lei que expressa esse movimento é dada por:

2880)( sssh (h e s em cm). Determine a altura máxima atingida e o alcance

horizontal.

60- (VUNESP) Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita

em função do tempo (em segundos) pela expressão: 233)( ttth , onde h é a altura

atingida em metros.


a) Em que instante t o grilo retorna ao solo?

b) Qual a altura máxima em metros atingida pelo grilo?

61- Em um experimento com certo tipo de moscas verificou-se que, em determinadas

condições, o crescimento do número de moscas é uma função do tempo dada por

80168)( 2 tttn . Qual era a população inicial de moscas? Até que instante a

população de moscas cresceu?

62- Um empresário determinou que o custo de certo produto de sua empresa é função do

número de unidades produzidas desse produto. Essa função é definida por

21002510 nnC , em que n é o número de unidades produzidas e C é o custo. Qual

deve ser o número de unidades produzidas para que o custo seja mínimo?

63- Determine os zeros das funções:

a) 363)( 2 xxxf

b) xxxf 126)( 2

c) 205)( 2 xxf

d) 523)( 2 xxxf

e) 16)( 2 xxf

64- Considere a função real 65)( 2 xpxxf . Determine p para que 3 seja zero da

função.

65- Faça o estudo do sinal das funções:

a) 352)( 2 xxxf

b) xxxf 2)( 2

c) 9103 2 xxy

d) 2)( 2 xxxf

e) 96)( 2 xxxf

f) 735 2 xxy

g) 332 xxy


66- Para que valores de x têm-se y > 0?

a) 962 xxy

b) 134 2 xxy

c) 102 xxy

67- Resolva as inequações do 2º grau:

a) 0452 xx

b) 0542 2 xx

c) 06148 2 xx

d) 062 xx

e) 01582 xx

68- Para quais valores reais de x têm-se:

a) 025102 xx

b) 0132 2 xx

c) 0)3).(2( xx

d) 0)4).(4( xx

e) 0)7.( xx

69- (PUCCAMP-SP) No Conjunto R, qual o conjunto verdade de 01522 xx ?

70- Sendo 64)( 2 xxxf , é correto afirmar que:

a) A função admite dois zeros reais e distintos.

b) A função é positiva para x maior que 1000.

c) A função é positiva somente para x no intervalo 6,1 .

d) A função é negativa para qualquer valor real.

e) A função é negativa somente para x no intervalo 6,1 .


8. Funções Exponenciais

Para entendermos os conceitos de funções exponenciais, vamos falar primeiramente de

equações exponenciais, seu entendimento é primordial para entender o conceito de funções

aplicados a esse campo.

8.1 Equações exponenciais

Equações exponenciais são aquelas cujas incógnitas são potencias de um determinado

número a , ou seja:

xa b

Para resolvermos uma equação exponencial podemos fatorar o termo independente da

equação para igualar as bases, assim podemos dizer que os expoentes são iguais.

Assim sendo, teremos que nb a , como xa b , então, consequentemente:

( 1 e 0)x na a m n a a

Observe a resolução da equação exponencial a seguir.

Exemplo

1. Resolva as equações exponenciais abaixo:

a) 2 256x

Resolução:

Fatorando 256, temos que: 256 = 28, logo:

82 256 2 2 8x x x

b) 13 27x

Resolução:

Fatorando 27, temos que: 27 = 33, logo:

1 1 33 27 3 3 1 3 2x x x x

Para se resolver a inequação exponencial procedemos da mesma forma que a

equação: igualar as bases, e resolver a inequação com os expoentes, porém é

necessário se atentar com o valor da base.

8.2 Inequações exponenciais


Inequação para 0 < a < 1

Observe que quando a base está entre 0 e 1, conforme aumentam-se os expoentes,

aumentam-se os valores, conforme abaixo:

1 2 3 4 2 , 2 , 2 , 2 ... é respectivamente igual a 2, 4, 8, 16...

Então, ou seja, x na a x n , mantém-se o sinal da desigualdade.

Inequação para a < 1

Observe que quando a base é maior que 1, conforme aumentam-se os expoentes,

diminuem-se os valores, conforme abaixo:

1 2 3 41 1 1 1

, , , ... 2 2 2 2

é respectivamente igual a

0,5 , 0,25 , 0,125, 0,0625...

Então:

Se a <1, x na a x n , ou seja inverte-se o sinal da desigualdade.

Exemplo

1. Resolva as inequações abaixo

a) 3 81x

Resolução:

Como sabemos 481 3 ,então 43 3x.

Como a base é maior que 1, devemos manter o sinal da desigualdade, assim

sendo:

43 3 4x x

b)

21 1 1 1

3 9 3 3

x x

Resolução:

21 1 1 1

3 9 3 3

x x

Como a base é menor que 1, devemos inverter o

sinal da desigualdade, assim sendo:

21 1

23 3

x

x

Exercícios sobre equações e inequações exponenciais


71- Resolva as seguintes equações exponenciais:

a) 25625 x

b) 644 x

c) 3

19 x

d) 33 232 x

e) 55 x

f) 125 2 x

g) 33 232 x

h)

32

1

2

1x

i) 2

145 x

j) 2733 5 x

72- Resolva 01,010 34 x.

73- Determine o conjunto verdade das seguintes equações exponenciais:

a) 0224 xx

b) 082.622 xx

c) 015.252 xx

d) 033.49 xx

e) 1255.3025 xx

f) 01010.11100 xx

74- Para que valores de x têm-se a igualdade: 273.1232 xx?

75- Determine os valores reais de x de tal forma que:

52

44

x

x


76- Resolva as inequações em R:

a) 273 x

b) 162 x

c) 9

1

3

1

x

d) 12

42

2

12

x

x

e)

101

5

2

5

2

x

f) 13

213

x

g)

412

3

1

3

1

xx

h) xx 10)001,0( 24

i) 2

81

127

xx

77- Para que valores reais de x são válidas as desigualdades?

a) 648 x

b) 34349 1 x

c) 25

1

5

13

x

d) 16

1

4

1

x

e)

13

2

1

4

1

xx

78- Resolva 16

48.2

xx .


8.3 Gráfico da função exponencial

Definimos função exponencial, qualquer função f de em definida por uma lei matemática

da forma ( ) xf x a com

* e 1a .

Supondo que não existissem essas restrições, teríamos:

Para a = 1, a função ( ) 1xf x seria equivalente a ( ) 1f x , que não é uma função

exponencial, mas sim uma função constante.

Para a = 0, teríamos ( ) 0xf x que admite 0(0) 0f que é uma indeterminação matemática.

Para a < 0, teríamos que a = -b (ou seja, a é um número negativo) e. ( ) ( )xf x b , a função

admite

1

21

( )2

f b b . E como sabemos não existe raiz quadrada (ou par) de

números negativos.

Para construção do gráfico de uma função exponencial vamos atribuir alguns valores a x, e a

partir desse valor, encontrar f(x), identificar esses pontos no plano cartesiano e traçar a curva.

Exemplo:

Para a representação gráfica da função ( ) 2xf x vamos atribuir os seguintes valores a x: -4, -

2, -1, 0, 1, e 2.

Montando a tabela temos:

x y = 2x

-6 y = 2-4

= 0,625

-3 y = 2-2

= 0,25

-1 y = 2-1

= 0,5

0 y = 20 = 1

1 y = 21 = 2

2 y = 22 = 4

Preenchemos esses valores no plano cartesiano e traçamos o gráfico, assim teremos:


8.4 Crescimento e Decrescimento

Podemos classificar a função exponencial quanto ao crescimento e decrescimento, uma função

exponencial é crescente ou decrescente, diferente da função quadrática que assume ambos

comportamentos em uma mesma função, nas funções exponenciais, o comportamento

depende diretamente do valor de sua base.

Função Exponencial Crescente

Se a função exponencial é crescente, ou seja, conforme x aumenta o valor de f(x)

também aumenta.

Exemplo: Gráfico de f(x) = 2x

Função Exponencial Decrescente


Se a função exponencial é decrescente, ou seja, conforme x aumenta, o valor de

f(x) diminui.

Exemplo: Gráfico de f(x) = 0,5x

Exercícios sobre função exponencial

79- Esboce o gráfico e identifique como crescente ou decrescente as funções exponenciais:

a)

x

y

3

1

b) xy 3

c) xy 23

d) 12 xy

e) xy 22

f)

3

2

1

x

y

g) xy 5

80- (Fuvest-SP) Sejam

x

xf

3

2)( e

x

xg

5

1)( , usando o mesmo par de eixos, esboce

os gráficos de f(x) e g(x).


81- Resolva graficamente o sistema de equações:

xy

yx

2

6

82- Esboce num mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções xxf 2)( e 3)( xxf

e verifique quantas soluções tem a equação 32 xx.

83- Uma função f dada por xaxf )( é tal que seu gráfico passa pelo ponto (1,3). Determine

o valor de a.

84- Para fazer uma experiência, um biólogo colocou 200 bactérias em um meio propício ao seu

desenvolvimento, e observou que a cada hora o número de bactérias dobrava. Escreva a

sentença que define o número de bactérias N em função do tempo t em horas.

85- Asclépio deposita R$ 500,00 na caderneta de poupança e, mensalmente, são creditados

juros de 2% sobre o saldo. Sabendo que a fórmula do montante (capital + rendimento),

após x meses, é xxM )02,1.(500)( , calcule:

a) o montante após um ano.

b) o rendimento no primeiro ano.


9. Logaritmos

9.1 Definição

Logaritmo é um tópico da matemática que depende diretamente do conhecimento sobre

potenciação e suas propriedades, afinal o logaritmo, é basicamente um expoente.

a x = b ↔ x = loga b

Onde:

a é a base, a *

, a ≥ 1

b é logaritmando, b *

, b ≥ 0

x é o valor do logaritmo

Obs: Sempre que o logaritmo não estiver indicando base, utilizamos a base 10, ou seja: log a =

log10 a.

Exemplos:

1. Resolva os seguintes logaritmos.

a) log28

Solução:

log28 = 3, pois 23 = 8

b) log327

Solução:

log327 = 3, pois 3³ = 27

c) log10100

Solução:

log10100 = 2, pois 10² = 100

9.2 Condições de existência

A base a de um logaritmo não pode ser negativa, não pode ser igual a zero nem igual a um.

O logaritmando b não pode ser negativo e nem igual a zero.

9.3 Sistemas de logaritmos


Chama-se sistema de logaritmos de base a ( )01 a , o conjunto dos logaritmos de todos os

números reais positivos na base a.

Dois sistemas de logaritmos destacam-se pelo seu importante papel no campo das Ciências,

são eles: sistema de logaritmos decimais e sistema de logaritmos neperianos. No nosso estudo

veremos o sistema de logaritmos decimais.

Sistema de logaritmos decimais

É um sistema de logaritmos no qual se adota a base 10, o que vem simplificar cálculos no

campo da Matemática. Para esse sistema de logaritmos, na notação, iremos omitir a base.

Exemplo: 2loglog 2

10

9.4 Propriedades dos logaritmos

Assim como as demais operações matemáticas os logaritmos possuem propriedades que

facilitam sua utilização, bem como a realização de operações.

1ª propriedade - Logaritmo de 1 em qualquer base a é 0.

loga1 = 0

loga1 = x

ax = 1 (a

0 = 1)

x = 0

Exemplo:

Log21 = 0, pois 20 = 1

2ª propriedade - O logaritmo da base, qualquer que seja a base, será 1.

logaa = 1

logaa = x

ax = a

x = 1

Exemplo:

Log22 = 1, pois 21 = 2

3ª propriedade - O logaritmo de uma potência de base a é igual ao expoente m.

logaam = m

logaam = x

ax = a

m

x = m


Exemplo:

Log2(22) = 2, pois 2

2 = 4

4ª propriedade - Se dois logaritmos em uma mesma base são iguais, então os logaritmandos

também são iguais.

logab = logac

logab = x → ax = b

logac = x → ax = c

b = c

Exemplo:

Log22 = log2c → c = 4

5ª propriedade - A potência de base a e expoente logab é igual a b.

alog

ab= b

logab = x

ax = b

Exemplo:

2log

24= 4, pois log24=2 e 2

2=4.

6ª Propriedade - Logaritmo do produto é a soma dos logaritmos.

logc (a . b) = logc a + logc b, sendo a > 0 e b > 0.

Exemplo:

log2 (2 . 3) = log2 2 + log2 3

7ª Propriedade - Logaritmo da divisão é a subtração dos logaritmos

logc (a/ b) = logc a - logc b, sendo a > 0 e b > 0.

Exemplo:

log2 (2 / 3) = log2 2 - log2 3

8ª Propriedade - Inversão de logaritmos

Exemplo:

9ª Propriedade - Mudança de bases de um logaritmo


Podemos representar um logaritmo de base b como um logaritmo de base a, para isso,

utilizamos o procedimento de mudança de base:

Exemplo:

Sabemos que log216 = 4, resolva, utilizando o algoritmo de mudança de base log416

Solução:

Utilizando o procedimento de mudança de bases, temos que:

=

9.5 Mudança de Base

Nos casos em que o logaritmo apresentar uma base que não convém, esta poderá ser

substituída por outra.

Considerando-se o logaritmo de um número real e positivo a, numa base b real, positiva e

diferente de 1, faremos a mudança para uma base c, real, positiva e diferente de 1:

Exemplos:

Mudar para base 2 o logaritmo 5

4log :

2

log

log

loglog

5

2

4

2

5

25

4

9.6 Equações logarítmicas

São aquelas que apresentam a incógnita no logaritmando ou na base do logaritmo.

Exemplos: 12log)3log()2log( xx

1loglog 2

28 xx

Em geral, para resolvermos uma equação logarítmica aplicamos a definição, a propriedade ou

a mudança de base de logaritmos.


Exemplo: Resolva a equação 2log 6 x

x .

C.E: 06 x 01 x

}3{

3

2

25

06

6

2

1

2

2

S

x

x

xx

xx

Exercícios sobre logaritmos

86- Determine, pela definição, o valor de:

a) 1

5log

b) 625

5log

c) 25

5

1log

d) 27

3log

e) 008,0

2,0log

f) 2

512log

g) 04,0

2,0log

h) 1000

1,0log

87- Determine o valor de x em cada um dos casos:

a) 3log8 x

b) 5log2x

c) 4log 00016,0 x

d) 2log 5,0 x

88- Se x1,0log , calcule o valor de 2x .


89- Calcule o valor da soma 1

8

33

3

001,0

10 logloglog S .

90- Obtenha o valor de cada expressão a seguir:

a) 9

9

9

3 loglog

b) 2,0

5

2

2

1 log.2loglog

91- O logaritmo de um número na base 8 é 3

5. Qual é esse número?

92- Determine x para que exista:

a) 12

3log x

b) 72

2log

x

x

93- Dados os valores 30,02log , 47,03log , 69,05log e 84,07log , determine o

valor de:

a) 12log

b) 49log

c) 108log

d) 120log

e) 200log

f) 75log

g) 23log

h) 03,0log

i) 8,4log

j) 5,7log

k) 5,10log

94- Sabendo que 4log a

b , 1log c

b , encontre o valor de:


a) ca

b

.log

b)

c

a

blog

c) 2.log ca

b

95- Sendo 5

3loga e 2

3logb , calcule os logaritmos a seguir em função de a e b:

a) 10

3log

b) 53

3log

96- Resolva as equações:

a) 3log 3

2 x

b) 1log52log xx

c) 12loglog2

44 xx

d) xxx 6log)4log()4log(

e) 1loglog 11

2 x

a

x

97- Resolva a equação 3log1 )21(

2 x.

98- Sendo 30,02log ; 47,03log e 69,05log , calcule:

a) 50

2log

b) 4

6log

c) 45

3log

d) 2

9log

e) 6

2log

f) 600

8log

99- Considerando 69,05log e 47,03log , qual é o logaritmo de 5 na base 3?


100- Calcule 4

8log .

101- Dados 3010,0log 2

10 e 4306,1log10

5 calcule o valor de 2

5log .

102- Se xa 3log , então 2

9log a é igual a:

a) 22x

b) 2x

c) 2x

d) x2

e) x


9.7 Funções Logarítmicas

Denominamos função logarítmica de base a toda função definida pela lei de formação f(x) =

logax, com a > 0 e a ≠ 1. De maneira que seu domínio é representado pelo conjunto dos

números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais.

Para construção do gráfico de uma função exponencial vamos atribuir alguns valores a x, e a

partir desse valor, encontrar f(x), identificar esses pontos no plano cartesiano e traçar a curva.

Exemplo:

Para a representação gráfica da função ( ) 2xf x vamos atribuir os seguintes valores a x: -4, -

2, -1, 0, 1, e 2.

Montando a tabela temos:

x y = logx

1 y = log (1) = 0

2 y = log (2) =0,30103

3 y = log (3) =0,477121

4 y = log (4) =0,60206

5 y = log (5) =0,69897

Preenchemos esses valores no plano cartesiano e traçamos o gráfico, assim teremos:

9.8 Crescimento e Decrescimento de uma função logarítmica


Assim como fizemos com as funções exponenciais, podemos classificar a função logaritmica

quanto ao crescimento e decrescimento, em uma função decrescente o comportamento

depende diretamente do valor de sua base.

Se a função exponencial é crescente, ou seja, conforme x aumenta o valor de f(x)

também aumenta.

Exemplo: Gráfico de f(x) = log2 x

Função Logarítmica Decrescente

Se a função logarítmica é decrescente, ou seja, conforme x aumenta, o valor de

f(x) diminui.

Exemplo: Gráfico de f(x) = log0,5 x

Exercícios sobre função logarítmica

103- Esboce o gráfico das seguintes funções:


a) xy 3log

b) xy 4log

c) xy 1,0log

d) 1

5,0log xy

104- Esboce o gráfico cartesiano das seguintes funções:

a) 1

3log xy

b) 1

2log xy

105- Construa num mesmo sistema de eixos os gráficos de xxf 2)( e

xxg 2log)( .

106- Dê o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:

a) xy 3log

b) 63log x

xy

c) 1

2log xy

d) 4log xy

e) 164

3

2

log

x

xy


Exercícios de vestibulares

Questão 1

(Enem-MEC) Nas últimas eleições presidenciais de um determinado país, onde 9% dos

eleitores votaram em branco e 11% anularam o voto, o vencedor obteve 51% dos votos

válidos. Não são considerados válidos os votos em branco e nulos.

Pode-se afirmar que o vencedor, de fato, obteve de todos os eleitores um percentual de votos

da ordem de:

a) 38%

b) 41%

c) 44%

d) 47%

e) 50%

Questão 2

(Enem-MEC) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus

produtos, visando a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de

um catálogo e ocupam uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os

gastos com originais de impressão. Os catálogos C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e

40 páginas.

Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em

comum; C1 e C3 terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em comum, das quais 4

também estarão em C1.

Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a montagem dos três

catálogos, necessitará de um total de originais de impressão igual a:

a) 135

b) 126

c) 118

d) 114

e) 110


Questão 3

(ITA-SP) Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}:

Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s):

a) Apenas I e III.

b) Apenas II e IV.

c) Apenas II e III.

d) Apenas IV.

e) Todas as afirmações.

Questão 4

(PUC-PR) Uma Universidade está oferecendo três cursos de extensão para a comunidade

externa com a finalidade de melhorar o condicionamento físico de pessoas adultas, sendo eles:

Curso A: Natação.

Curso B: Alongamento.

Curso C: Voleibol.

As inscrições nos cursos se deram de acordo com a tabela seguinte:


Analise as afirmativas seguintes com base nos dados apresentados na tabela.

I. 33 pessoas se inscreveram em pelo menos dois cursos.

II. 52 pessoas não se inscreveram no curso A.

III. 48 pessoas se inscreveram no curso B.

IV. O total de inscritos nos cursos foi de 88 pessoas.

A alternativa que contém todas as afirmativas corretas é:

a) I e II.

b) I e III.

c) III e IV.

d) I, II e III.

e) II, III e IV.

Questão 5

Questão 6


(UFF-RJ) Observe a imagem:

O histórico desempenho dos atletas brasileiros no PAN-2007 (54 de ouro, 40 de prata e 67 de

bronze, total de 161 medalhas) superou os objetivos traçados pelo Comitê Olímpico Brasileiro

(COB). Embora tenha superado Cuba (59 de ouro, 35 de prata e 41 de bronze, total de 135

medalhas) no total de medalhas, o Brasil terminou os Jogos em terceiro lugar no quadro, atrás

de Cuba (segundo) e Estados Unidos (primeiro lugar, com 237 medalhas).

Adaptado de:

<http://torcida2007.globo.com/torcida2007/noticias/noticias_interna.asp?id=6166>.

Não satisfeita com o terceiro lugar do Brasil na competição, uma professora de matemática

sugeriu que a classificação geral deveria ser feita pelo total de pontos obtido por cada equipe

segundo o seguinte critério: cada medalha de bronze valeria 1 ponto, a medalha de prata q

pontos e a medalha de ouro q2 pontos, sendo q, obviamente, maior que 1. Considere então B o

conjunto que contém todos valores reais possíveis de q tal que, segundo o critério da

professora, o Brasil ficaria na frente de Cuba no PAN-2007. Assim sendo, pode-se afirmar que:


Questão 7

(UFU-MG) Sejam A, B e C conjuntos de números inteiros, tais que A tem 8 elementos, B tem 4

elementos, C tem 7 elementos e A B C tem 16 elementos. Então, o número máximo de

elementos que o conjunto D = (A B) (B C) pode ter é igual a:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

Questão 8

Então:

a) apenas I é verdadeira.

b) apenas III é verdadeira.

c) apenas I e III são verdadeiras.

d) apenas IV é verdadeira.

e) todas as afirmações são falsas.

Obs.: denota o conjunto dos números irracionais.

Questão 9


Entre os conjuntos de números naturais a seguir, encontre os pares de conjuntos iguais:

A = conjunto dos pares múltiplos de 3

B = conjunto dos pares múltiplos de 5

C = conjunto dos múltiplos de 6

D = conjunto dos ímpares múltiplos de 3

E = conjunto dos múltiplos de 10

F = conjunto dos que são múltiplos de 3, mas não de 6

Questão 10

Escreva a fração geratriz do decimal 4,3252525...

Questão 11

Numa pesquisa realizada por técnicos da ONG ÁGUALIMPA, foram coletadas amostras do

lago XORORÓ.

Das 340 amostras coletadas, verificou-se que:

• 100 apresentaram a bactéria A;

• 150 apresentaram a bactéria B;

• 120 apresentaram a bactéria C;

• 40 apresentaram as bactérias A e B;

• 25 apresentaram as bactérias A e C;

• 30 apresentaram as bactérias B e C;

• 55 não apresentaram nenhuma das três bactérias.

Determine:

a) Quantas amostras apresentaram as 3 bactérias.


b) Quantas amostras apresentaram pelo menos 2 bactérias.

Questão 12

Represente os seguintes intervalos:

a) [–1,1]

b) [0, 1)

c) (– , 2]

Questão 13

Se um conjunto A tem 3 elementos e B tem 4 elementos, quantos elementos pode ter a união

entre A e B?

Questão 14

a) 12

b) 17

c) 20

d) 22

e) 24


Questão 15

(PUC-PR) Observe a charge abaixo:

João Xavier/Arquivo da editora

Observando a charge e considerando N = {0, 1, 2, 3, ...} o conjunto dos números naturais,

analise as seguintes afirmações:

I) Para qualquer número natural escolhido, a resposta da moça sempre estará correta.

II) Existe um único número natural que não satisfaz a resposta da moça.

III) Existem dois números naturais que não satisfazem a resposta da moça.

Então, pode-se concluir que:

a) Somente uma afirmação é verdadeira.

b) As afirmações I e III são verdadeiras.

c) As afirmações II e III são verdadeiras.

d) As afirmações I e II são verdadeiras.

e) As afirmações I, II e III são FALSAS.

Questão 16

A planta de uma casa foi desenhada numa escala em que cada 5cm representam 1m.


a) Qual foi a escala utilizada?

b) Se a planta mede 50 cm × 40 cm, quais as medidas do terreno ocupado pela casa?

Questão 17

Ana é uma vendedora que recebe um salário fixo de R$ 500,00 e mais comissões de 10%

sobre o que vende.

a) Complete a tabela para calcular o pagamento dela em função das vendas.

b) Escreva a função afim que representa o ganho dela em função da venda e responda: quanto

ela ganhará se vender R$ 17.000,00? Quanto ela deve vender se quiser ganhar no mínimo R$

3.000,00?

Questão 18

Dada a função f(x) = –2x + 5, calcule os valores de x para os quais:

a) f(x) = 1

b) f(x) = 0

c) f(x) = 5

d) f(x) = –5

Questão 19


Dado os gráficos, escreva a equação da função afim.

Questão 20

Desenhe o gráfico e estude o sinal da função f(x) = –3x + 6.

Questão 21

(ESPM-SP) Considere as funções reais f(x) = (1/2)x ; g(x) = x

2 – 2x e h(x) = f[g(x)]. O conjunto

imagem da função h(x) é dado pelo intervalo:

a) ]0; 2]

b) ]–∞ ; –2]

c) ]–∞; 2]

d) [2; +∞[

e) [–2; 2]


Questão 22

(FGV-SP) O valor da expressão para x = –1,3 é:

a) 2

b) –2

c) 2,6

d) 1,3

e) –1,3

Questão 23

(FGV-SP) Seja a função f(x) = x2. O valor de f(m + n) – f(m – n) é:

a) 2m2 + 2n

2

b) 2n2

c) 4mn

d) 2m2

e) 0

Questão 24

(PUC-Camp-SP) O gráfico abaixo mostra o comportamento das exportações de algodão em

pluma no Brasil, no período de 1990 a 2001. A partir desse gráfico conclui-se corretamente que


a exportação de algodão em pluma no Brasil:

a) foi crescente no período de 1994 a 2001.

b) foi decrescente na década de 1990 a 2000.

c) teve seu máximo no período de 1996 a 1998.

d) ultrapassou o total de 60 000 toneladas no período de 1994 a 1996.

e) não ultrapassou a marca anual de 100 000 toneladas no período de 1992 a 2000.

Questão 25

(PUC-MG) O domínio da função real f (x) = é o intervalo [a,b]. O valor de a + b

é igual a:

a) 1

b) 2

c) 4

d) 5

Questão 26

(Unesp-SP) Seja TC a temperatura em graus Celsius e TF a mesma temperatura em graus


Fahrenheit. Essas duas escalas de temperatura estão relacionadas pela equação:

9TC = 5TF – 160

Considere agora TK a mesma temperatura na escala Kelvin. As escalas Kelvin e Celsius estão

relacionadas pela equação:

TK = TC + 273

A equação que relaciona as escalas Fahrenheit e Kelvin é:

Questão 27

A regra a seguir fornece a altura h percorrida por um objeto que cai ao ser abandonado do alto

de um prédio.

h(t) = 5 · t2 (h em metros, t em segundos)

Responda:

a) Qual é a variável dependente?

b) Qual é a variável independente?

c) Construa uma tabela que mostre a altura percorrida nos primeiros 5s.

d) Se a altura do prédio é 80m, para que valores de t essa regra pode ser usada?

e) O que acontece para valores de t fora dos limites que você calculou?

Questão 28


Qual é o valor inicial da função f(x) = –3x + 1?

Questão 29

Resolva a seguinte inequação produto (x–1) · (3–x) · (2x+4) > 0.

Questão 30

Sem fazer o gráfico, estude o sinal das seguintes funções:

a) f(x) = 5x

b) f(x) = –2x + 3

Questão 31

Um comerciante tem um lucro de R$ 500,00 quando vende 30 aparelhos e de R$ 300,00

quando vende 20. Sabendo que o lucro em função do número de aparelhos vendidos é uma

função afim, qual o menor número de aparelhos que ele deve vender para não ter prejuízo?

Questão 32


(ESPM-SP) O gráfico abaixo representa a função real f(x) = x² + kx + p, com k e p reais.

O valor de p – k é:

a) –12

b) 15

c) 18

d) –18

e) 3

Questão 33

(FGV-RJ) No retângulo ABCD da figura abaixo, AD = 6 m e AB = 4 m, e os pontos M, N, P e Q

dos lados AD, AB, CB e CD, respectivamente, são tais que AM = AN = CP = CQ.

Determine o valor máximo da área do quadrilátero MNPQ.


Questão 34

(FGV-SP) A soma das raízes da equação = 0 vale:

Questão 35

(Fuvest-SP) A equação 2x = –3x + 2, com x real:

a) Não tem solução.

b) Tem uma única solução entre 0 e .

c) Tem uma única solução entre – e 0.

d) Tem duas soluções, sendo uma positiva e outra negativa.

e) Tem mais de duas soluções.

Questão 36

(Fuvest-SP) Os pontos (0, 0) e (2, 1) estão no gráfico de uma função quadrática f. O mínimo de


f é assumido no ponto de abscissa x = – . Logo, o valor de f(1) é:

Questão 37

(Ibmec-SP) O gráfico da função dada pela lei y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, é a parábola

esboçada abaixo, que tem vértice no ponto V. A partir do esboço, pode-se concluir que:

a) a > 0, b > 0 e c > 0

b) a > 0, b > 0 e c < 0

c) a > 0, b < 0 e c > 0

d) a > 0, b < 0 e c < 0


e) a < 0, b < 0 e c < 0

Questão 38

(PUC-MG) A função que relaciona o risco R de morte de um indivíduo com a dose D de

radiação a que ele é submetido é dada por R = 1,5D2 + D. Com relação a um indivíduo que

tenha sido submetido a uma contaminação radioativa, o aumento de R, em porcentagem,

devido a uma variação de D de 1 para 2, é igual a:

a) 80%

b) 130%

c) 179%

d) 220%

Questão 39

Um granjeiro dispõe de 40 m de cerca para fazer um galinheiro. Este deve ser retangular e um

de seus lados deve ser um muro já existente de 25m, como indica o desenho. Quais devem ser

as dimensões do galinheiro para que o granjeiro consiga a maior área possível com a cerca

disponível? Quanto será essa área? Ele utilizará toda a extensão do muro? Calcule quanto

seria a área do galinheiro se o granjeiro utilizasse todo o muro.


Questão 40

Usando fatoração, encontre os zeros das funções quadráticas a seguir:

Questão 41

Para quais valores de a temos f(x) = x2 – 2ax +2 sempre positiva?

Questão 42

Quais devem ser os valores de m para que a função f(x) = x2 – mx + 1 tenha pelo menos um

zero real?

Questão 43

Quantos pontos em comum tem a parábola y= x2 – x – 6 e a reta y=2x-2? Quais são esses

pontos?


Questão 44

A área de um triângulo equilátero de lado L é dada pela função

Responda:

a) De que tipo é a função S?

b) Qual a área de um triângulo cujo lado mede 5 cm?

Questão 45

A função L(x) = (–x2+500x) / 40 mostra o lucro de uma empresa em função do número de

peças vendidas. Qual a quantidade mínima e máxima que a empresa deve vender para ter um

lucro maior que R$ 1.000,00?

Sugestão: preencha a tabela abaixo e desenhe o gráfico da função que mostra o lucro e trace a

função constante g(x) = 1000. Veja onde o gráfico da função L(x) fica acima de g(x).

Questão 46


Resolva a equação exponencial:

4x - 2

x = –4

–1

Questão 47

Um imóvel teve o seu valor de mercado modelado pela função onde é o

valor do imóvel, em reais, t anos após o início da valorização

Determine a variação percentual do valor do imóvel entre 4 e 6 anos.

Questão 48

Existe um tempo para eliminação de remédios do organismo. Muitas vezes esse tempo é

determinado pelo conceito de meia-vida. Nesse caso, a meia-vida de um remédio é o tempo

que o organismo leva para eliminar metade da dose ingerida.

Se um remédio tem meia-vida de 6h, após quanto tempo pode-se esperar que o organismo

esteja com menos de 12,5% da concentração inicial?

Questão 49

O gráfico abaixo representa qual função?


Questão 50

Resolva a equação exponencial 4x+1

- 3 · 4x = 16.

Questão 51

(UEL-PR) A população do Brasil, em 1900, era de 17 438 434. Em cinquenta anos a população

passou a ser 51 944 397. Em 1970, quando o Brasil ganhou o tricampeonato, e toda a torcida

brasileira cantava “90 milhões em ação”, isto correspondia a 93 139 037 habitantes. Em 2000,

a população já contava com

169 590 693 pessoas.


A previsão para 2050 é que a população será de 259 800 000 brasileiros.

Fonte: <www.ibge.gov.br/ibgeteen/pesquisas/ demograficas.html>. Acessada em: 20 ago.

2006.

No gráfico seguinte, são apresentados os pontos que representam a população em cada um

destes anos e esses pontos são aproximados por uma função.

Com base na figura, considere as afirmações sobre a função que aproxima esses pontos.

I. A função pode ser a exponencial: y = aebx

, com a > 0 e b > 0.

II. A função pode ser a polinomial de grau 3: y = ax3 + bx

2 + cx + d, com a > 0.

III. A função pode ser a polinomial de grau 2: y = ax2 + bx + c, com a < 0.

IV. A função pode ser a logarítmica: y = a log(bx), com a < 0 e b > 0.

Estão corretas apenas as afirmativas:

a) I e III.

b) II e IV.

c) I e II.

d) III e IV.

e) I e IV.

Questão 52

(Unesp-SP) Num período de seca, a variação da quantidade de água de certo reservatório é

dada pela função q(t)

= q0 · 2(–0,1)t

.

Sendo q0 a quantidade inicial de água no reservatório e q(t)

a quantidade de água no

reservatório após t meses, em quantos meses a quantidade de água no reservatório se

reduzirá à metade do que era no início?


a) 5

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

Questão 53

(UPM-SP) Um aparelho celular tem seu preço y desvalorizado exponencialmente em função do

tempo (em meses) t, representado pela equação y = p · qt, com p e q constantes positivas. Se,

na compra, o celular custou R$ 500,00 e, após 4 meses, o seu valor 1/5 do preço pago, 8

meses após a compra, o seu valor será:

a) R$ 25,00

b) R$ 24,00

c) R$ 22,00

d) R$ 28,00

e) R$ 20,00

Questão 54

A soma das raízes da equação é:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5


Questão 55

Certo remédio, ao ser tomado, leva 1h para atingir sua concentração máxima no sangue. A

seguir, a cada duas horas, sua concentração cai a 2/3 da concentração inicial. Escreva a

função exponencial que dá a concentração de remédio no sangue a partir da primeira hora

após a ingestão. Após quantas horas da ingestão do remédio, a concentração no sangue cai a

aproximadamente 20% da concentração máxima? (sugestão: aproxime 20%=16/81).

Questão 56

Sabendo que log 2 = a e log 3 = b, calcule:

Questão 57

Usando a definição, calcule os logaritmos a seguir:


Questão 58

(ITA-SP) Considere a equação em x

ax+1 = b

1/x,

onde a e b são números reais positivos, tais que lnb = 2 lna > 0. A soma das soluções da

equação é:

a) 0

b) –1

c) 1

d) ln 2

e) 2

Questão 59

Resolva a equação log 2 – log x > log (4 – x)

Questão 60

Sabendo que log 2 = 0,30, log 3=0,48 e log 5 = 0,70, calcule:

a) log 6

b) log 300

c) log 3072


Questão 61

(FGV-SP) Adotando log 2 = 0,301, a melhor aproximação de log510 representada por uma

fração irredutível de denominador 7 é:

Questão 62

(FGV-SP) Adotando-se os valores log2 = 0,30 e log3 = 0,48, a raiz da equação 5x – 60 vale

aproximadamente:

a) 2,15

b) 2,28

c) 41

d) 2,54

e) 2,67

Questão 63

(FGV-SP) Daqui a t anos, o número de habitantes de uma cidade será N = 40 000 (1,02)t. O

valor de t para que a população dobre em relação à de hoje é:


Questão 64

(FGV-SP) O valor de x que satisfaz a equação: log (2x + 7) = log2x + log7 é um número:

a) menor que 1/2

b) entre 1/2 e 1

c) entre 1 e 3/2

d) entre 3/2 e 2

e) maior que 2

Questão 65

(Ibmec-SP) Após o lançamento de um novo modelo de carro, uma montadora percebeu que o

comportamento das vendas desse produto pode ser descrita pela função x(t) = ,

em que t é o tempo em anos e x(t) representa a quantidade vendida desde o momento do

lançamento (t = 0), em milhões de unidades. A função que descreve o momento do tempo em

que já foram vendidas x milhões de unidades pode ser representada por:


REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

NICOLAU, Antonio. Matemática de olho no mundo do trabalho. São Paulo: Scipione,

2004.

RUY, José. Matemática Fundamental: Uma nova abordagem. São Paulo: FTD, 2002.

BARRETO, Benigno. Matemática: Aula por aula. São Paulo FTD, 2000.

apostila 2015 - webnodefiles.deogracio-e-raquinha.webnode.pt/200000167-9de1a9edc9/1 ano... ·...

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