Apostila 1 - Pesquisa Operacional I

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<ul><li><p>Captulo 1 Programao Linear </p><p>Pesquisa Operacional I Jhoab Negreiros </p><p>1</p><p>CAPTULO 1 Programao Linear </p><p>1.1 Introduo </p><p>Este captulo visa estudar alguns problemas de otimizao que envolve maximizar ou </p><p>minimizar uma funo restrita a certas condies. Estamos sempre interessados em minimizar </p><p>custos, maximizar lucros, rendimentos etc. A programao linear uma tcnica que permite a </p><p>resoluo destes problemas no caso especfico em que as funes a serem analisadas so </p><p>lineares. </p><p>1.2 Conjuntos Convexos </p><p>Definio 1 Um subconjunto S de chamado convexo se para quaisquer dois pontos A e B </p><p>de S o segmento AB est inteiramente contido em S. </p><p>Exemplo 1. Observe as seguintes regies de . </p></li><li><p>Captulo 1 Programao Linear </p><p>Pesquisa Operacional I Jhoab Negreiros </p><p>2</p><p>1.3 Regio Poliedral Convexa Fechada </p><p>Definio 2 Um conjunto que divide um espao vetorial em dois semi-espaos chamado de </p><p>hiperplano. </p><p>Exemplo 2. Considere os seguintes espaos vetoriais: </p><p> No espao tridimensional o hiperplano um plano; </p><p> No espao bidimensional o hiperplano uma reta; </p><p> No espao unidimensional o hiperplano um ponto. </p><p>Observe que o hiperplano divide o espao vetorial em 2 semi-espaos. </p><p> Para hiperplanos definidos por uma equao de mais do que trs variveis no teremos </p><p>uma viso geomtrica dos semi-espaos vetoriais como nos exemplos anteriores, mas estes </p><p>conceitos so abordados da mesma maneira: </p><p>Definio 3 Uma regio poliedral convexa fechada em uma interseo de uma quantidade </p><p>finita de semi-espaos fechados do . </p><p>1.4 Desigualdades Lineares </p><p>Os semi-espaos so dados por desigualdades lineares, uma desigualdade linear </p><p>simplesmente uma equao linear, onde o sinal de igual substitudo por ou . </p><p>Exemplo 3. Seja a desigualdade linear 2 8x y+ . </p></li><li><p>Captulo 1 Programao Linear </p><p>Pesquisa Operacional I Jhoab Negreiros </p><p>3</p><p>Soluo: Primeiramente substitumos o sinal por =, assim tornamos a desigualdade uma </p><p>equao linear, representamos essa equao no plano e em seguida, observamos qual semiplano </p><p>satisfaz a desigualdade (pela simplicidade dos clculos, geralmente utilizamos a origem do plano </p><p>para verificar a regio satisfeita pela desigualdade). </p><p>1.5 Programao Linear (PL) </p><p>A programao linear trata do problema especfico de: maximizar ou minimizar uma funo </p><p>do tipo: </p><p>1 1 1( , , ) , , ,n n nf x x a x a x b= +K K restrita a um subconjunto A poliedral convexo de . Na linguagem de programao linear (PL), f chamada funo objetivo (f.o.) e A denominada regio factvel, ou seja, regio onde obtida a </p><p>soluo do problema. </p><p>Definio 4 Dada uma regio poliedral convexa fechada do , os vrtices dessa regio so os </p><p>pontos da regio que satisfazem um dos possveis sistemas de equaes lineares independentes, </p><p>obtidas substituindo-se as desigualdades por igualdades. </p><p>Exemplo 4. Observe a situao a seguir, onde h uma empresa que pretende otimizar a produo </p><p>mensal de dois produtos A e B: </p></li><li><p>Captulo 1 Programao Linear </p><p>Pesquisa Operacional I Jhoab Negreiros </p><p>4</p><p>Nesta situao necessria entender que: </p><p> O objetivo maximizar o lucro total da venda da produo; </p><p> A produo est superiormente limitada pelos 300 metros de madeira e 110 horas de </p><p>trabalho disponveis; </p><p> So possveis vrios nveis de produo; </p><p> Dos possveis nveis de produo necessrio conhecer qual ou quais podem classificar-se </p><p>de timos. </p><p>Como programar matematicamente esta situao (modelo matemtico linear) para obter </p><p>informaes para a tomada de deciso? </p><p>Primeira pergunta: Quantas unidades de A e B podemos produzir? </p><p>Definir as duas variveis de deciso: </p><p>x1 como o nmero de unidades do produto A; </p><p>x2 como o nmero de unidades do produto B. </p><p>Segunda pergunta: Que valores podemos admitir para as variveis de deciso? </p><p>Em x1 unidades de A consomem-se 30x1 metros de madeira; </p><p>Em x2 unidades de B consomem-se 20x2 metros de madeira. </p><p>No podemos ultrapassar os 300 metros de madeira disponveis ento 1 230 20 300x x+ . </p></li><li><p>Captulo 1 Programao Linear </p><p>Pesquisa Operacional I Jhoab Negreiros </p><p>5</p><p>Em x1 unidades de A consomem-se 5x1 horas de trabalho; </p><p>Em x2 unidades de B consomem-se 10x2 horas de trabalho. </p><p>No podemos ultrapassar as 110 horas de trabalho disponveis ento 1 25 10 110x x+ . </p><p>E a restrio de no negatividade do problema 1 0x e 2 0x . </p><p>Terceira pergunta: Qual o objetivo a ser alcanado com a produo de A e B? </p><p>O lucro da venda de 1 unidade de A de $ 6; </p><p>O lucro da venda de 1 unidade de B de $ 8. </p><p>O lucro total da venda de x1 unidades de A e de x2 unidades de B de 1 26 8x x+ . </p><p>O objetivo conhecer o maior valor que possvel ao atingir o lucro total 1 26 8x x+ , ou seja, </p><p>necessrio calcular o mximo da funo linear 1 2 1 2( , ) 6 8f x x x x= + , condicionado s restries. </p><p>Resumindo: </p><p> Maximizar o lucro total das vendas 1 2 1 2( , ) 6 8f x x x x= + (funo objetivo); </p><p> Restries do problema 1 2: 30 20 300Madeira x x+ e :Horas de trabalho </p><p>1 25 10 110x x+ ; </p><p> Restries de no negatividades 1 2, 0x x . </p><p>Geometria do modelo de Programao Linear </p><p>Considere um sistema de eixos cartesianos com o eixo das abscissas associado a x1 (produo de </p><p>A) e o eixo das ordenadas associado a x2 (produo de B). Relaxando a condio de desigualdade </p><p>das restries tcnicas, estas passam a ser equaes que definem retas. Cada uma destas retas </p><p>divide o espao em dois semi-espaos. </p><p>A figura a seguir apresenta o sistema de eixos e as duas retas: </p></li><li><p>Captulo 1 Programao Linear </p><p>Pesquisa Operacional I Jhoab Negreiros </p><p>6</p><p>Pela condio de no negatividade temos que, somente os pontos do 1 quadrante so solues </p><p>admissveis. Pela outras restries tcnicas dos problemas obtemos a regio das possveis </p><p>solues do problema. </p><p>Pelas intersees de todos os semi-espaos definidos pelas desigualdades temos a regio poliedral </p><p>convexa fechada (regio factvel). </p><p>A figura a seguir apresenta o espao de solues possveis (regio factvel) </p></li><li><p>Captulo 1 Programao Linear </p><p>Pesquisa Operacional I Jhoab Negreiros </p><p>7</p><p>Qualquer ponto da regio factvel uma possvel soluo, ento agora resta saber qual deste ponto </p><p>torna o valor mximo para a funo objetivo. </p><p>Considere: </p><p> A funo tem valor 0, a equao desta curva de nvel 1 26 8 0x x+ = ; </p><p> A funo tem valor 24, a equao desta curva de nvel 1 26 8 24x x+ = ; </p><p> A funo tem valor 48, a equao desta curva de nvel 1 26 8 48x x+ = . </p><p>Da anlise da figura acima, verificamos que o valor da funo aumenta medida que nos afastamos </p><p>da origem, ento a ltima curva de nvel que podemos traar contendo um ponto da regio factvel </p><p>a correspondente ao mximo da funo objetivo. </p><p>Obs: Se a ltima curva de nvel pertencer a mais do que um ponto da regio factvel, haver vrias </p><p>solues timas alternativas, dizemos que a soluo tima indeterminada ou mltipla. </p></li><li><p>Captulo 1 Programao Linear </p><p>Pesquisa Operacional I Jhoab Negreiros </p><p>8</p><p>A figura a seguir mostra que o ponto de interseo das retas 1 230 20 300x x+ = e </p><p>1 25 10 110x x+ = o ponto timo com coordenada (4, 9) sendo o mximo da funo objetivo: </p><p>(4,9) 6 4 8 9 24 72 96f = + = + = </p><p>A produo tima , portanto de 4 unidades de A e 9 unidades de B a que est associada o lucro </p><p>mximo de 96 dlares. </p><p>Vetor gradiente: </p><p>O gradiente da funo perpendicular s curvas de nvel da funo e indica a direo e o sentido </p><p>em que a funo aumenta mais rapidamente, portanto podemos utiliz-lo para identificar o ponto </p><p>timo na regio factvel. </p><p>O vetor gradiente o conjunto das derivadas parciais de uma funo e representaremos por: </p><p>, , , , , , </p><p>Retornando ao exemplo, calculemos o gradiente da funo objetivo. </p><p>, 6, 8 </p></li><li><p>Captulo 1 Programao Linear </p><p>Pesquisa Operacional I Jhoab Negreiros </p><p>9</p><p>A ltima reta que se pode traar indica o ponto ou pontos em que a funo atinge o seu mximo. </p><p>Na figura a seguir podemos ver o espao das solues admissveis, o gradiente da funo e as </p><p>curvas de nvel na origem dos eixos (funo com valor nulo) e no ponto timo (funo com valor 96). </p><p>Obs: Se o objetivo for minimizar a funo objetivo, o sentido em que a funo decresce o oposto </p><p>ao indicado pelo vetor gradiente. </p><p>Exemplo 5. Considere que um agricultor queira adubar a sua plantao e disponha de dois tipos de </p><p>adubo. O primeiro contm 3 g de fsforo, 1 g de nitrognio e 8 g de potssio, e custa $ 10 por </p><p>quilograma. O segundo tipo contm 2 g de fsforo, 3 g de nitrognio e 2 g de potssio, e custa $ 8 </p><p>por quilograma. Sabemos que um quilograma de adubo d para 10 m de terra, e que o solo em que </p><p>esto suas plantaes necessita de pelo menos 3 g de fsforo, 1,5 g de nitrognio e 4 g de potssio </p><p>a cada 10m. Quanto o agricultor deve comprar de cada adubo, para cada 10 de terra, de modo a </p><p>conseguir ter o mnimo custo? </p><p>Soluo: </p></li><li><p>Captulo 1 Programao Linear </p><p>Pesquisa Operacional I Jhoab Negreiros </p><p>10</p><p> x primeiro adubo y segundo adubo Necessidades mnimas de adubo </p><p>Fsforo 3 2 3 </p><p>Nitrognio 1 3 1,5 </p><p>Potssio 8 2 4 </p><p> Custo $ 10 Custo $ 8 </p><p> Chamemos de x a quantidade em kg do primeiro tipo de adubo e y a do segundo tipo; </p><p> Primeira restrio 0x e 0y ; </p><p> Segunda restrio 3 2 3x y+ ; </p><p> Terceira restrio 3 1,5x y+ ; </p><p> Quarta restrio 8 2 4x y+ . </p><p>Colocando num grfico as quantidades x (como abscissa) e y (como ordenada) temos: </p></li><li><p>Captulo 1 Programao Linear </p><p>Pesquisa Operacional I Jhoab Negreiros </p><p>11</p><p>1.6 Atividades </p><p>Exerccio 1. Faa o grfico dos seguintes sistemas de desigualdades simultneas: </p><p>(a) </p><p>2 41</p><p>4</p><p>x yx yy</p><p>+ </p><p>(b) </p><p>00</p><p>22 3</p><p>x</p><p>yx y</p><p>x y</p><p>+ + </p><p>(c) </p><p>00</p><p>3 2</p><p>x</p><p>yx y</p><p> + </p><p>(d) </p><p>4 3 122 23 3</p><p>x yx yy x</p><p>+ </p><p>Exerccio 2. Determine o valor mximo e o valor mnimo da funo lucro 15 25L x y= + , sujeita </p><p>s seguintes condies: </p><p>(a) </p><p>00</p><p>3 4 15</p><p>x</p><p>yx y</p><p> + </p><p>(b) </p><p>0053</p><p>x</p><p>yx</p><p>y</p><p>(c) </p><p>00</p><p>252 2 10</p><p>x</p><p>yx y</p><p>x y</p><p>+ + </p><p>Exerccio 3. Determine o mximo da funo expressa por 2 ,x y+ sujeita s restries 0x , </p><p>0y , 3x y+ e 4 0x y+ : </p></li><li><p>Captulo 1 Programao Linear </p><p>Pesquisa Operacional I Jhoab Negreiros </p><p>12</p><p>Exerccio 4. (Problema de economia) Um comerciante vende dois tipos de artigos, A e B. Na venda </p><p>do artigo A tem um lucro de 20 por unidade e na venda do artigo B, um lucro de 30. Em seu </p><p>depsito s cabem 100 artigos e sabe-se que por compromissos j assumidos, ele vender pelo </p><p>menos 15 artigos do tipo A e 25 do tipo B. O distribuidor pode entregar ao comerciante, no mximo, </p><p>60 artigos A e 50 artigos B. Quantos artigos de cada tipo devero o comerciante encomendar ao </p><p>distribuidor para que, supondo que os venda todos, obtenha o lucro mximo? </p><p>Exerccio 5. (Problema de transporte) Uma firma comercial tem 40 unidades de mercadoria no </p><p>depsito D1 e 50 unidades no depsito D2. Deve enviar 30 unidades ao cliente A e 40 ao cliente B. </p><p>Os gastos de transporte por unidade de mercadoria esto indicados no esquema abaixo. De que </p><p>maneira deve enviar essas mercadorias para que o gasto com transporte seja mnimo? </p><p>Exerccio 6. (Problema de dieta) Dois produtos P e Q contm as vitaminas A, B e C nas </p><p>quantidades indicadas na tabela a seguir. A ltima coluna indica a quantidade mnima necessria de </p><p>cada vitamina para uma alimentao sadia, e a ltima linha indica o preo de cada produto por </p><p>unidade. Que quantidade de cada produto uma dieta deve conter para que proporcione uma </p><p>alimentao sadia com o mnimo custo? </p><p> P Q </p><p>A 3 1 12 </p><p>B 3 4 30 </p><p>C 2 7 28 </p><p> 3 2 </p><p>Exerccio 7. Uma empresa fabrica dois produtos, A e B. O volume de vendas de A de no mnimo </p><p>80% do total de vendas de ambos. Contudo, a empresa no pode vender mais do que 100 unidades </p><p>de A por dia. Ambos os produtos usam uma matria-prima cuja disponibilidade mxima diria 240 </p></li><li><p>Captulo 1 Programao Linear </p><p>Pesquisa Operacional I Jhoab Negreiros </p><p>13</p><p>lb. As taxas de utilizao da mat...</p></li></ul>