Apostila 1 - Pesquisa Operacional I

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  • Captulo 1 Programao Linear

    Pesquisa Operacional I Jhoab Negreiros

    1

    CAPTULO 1 Programao Linear

    1.1 Introduo

    Este captulo visa estudar alguns problemas de otimizao que envolve maximizar ou

    minimizar uma funo restrita a certas condies. Estamos sempre interessados em minimizar

    custos, maximizar lucros, rendimentos etc. A programao linear uma tcnica que permite a

    resoluo destes problemas no caso especfico em que as funes a serem analisadas so

    lineares.

    1.2 Conjuntos Convexos

    Definio 1 Um subconjunto S de chamado convexo se para quaisquer dois pontos A e B

    de S o segmento AB est inteiramente contido em S.

    Exemplo 1. Observe as seguintes regies de .

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    Pesquisa Operacional I Jhoab Negreiros

    2

    1.3 Regio Poliedral Convexa Fechada

    Definio 2 Um conjunto que divide um espao vetorial em dois semi-espaos chamado de

    hiperplano.

    Exemplo 2. Considere os seguintes espaos vetoriais:

    No espao tridimensional o hiperplano um plano;

    No espao bidimensional o hiperplano uma reta;

    No espao unidimensional o hiperplano um ponto.

    Observe que o hiperplano divide o espao vetorial em 2 semi-espaos.

    Para hiperplanos definidos por uma equao de mais do que trs variveis no teremos

    uma viso geomtrica dos semi-espaos vetoriais como nos exemplos anteriores, mas estes

    conceitos so abordados da mesma maneira:

    Definio 3 Uma regio poliedral convexa fechada em uma interseo de uma quantidade

    finita de semi-espaos fechados do .

    1.4 Desigualdades Lineares

    Os semi-espaos so dados por desigualdades lineares, uma desigualdade linear

    simplesmente uma equao linear, onde o sinal de igual substitudo por ou .

    Exemplo 3. Seja a desigualdade linear 2 8x y+ .

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    Soluo: Primeiramente substitumos o sinal por =, assim tornamos a desigualdade uma

    equao linear, representamos essa equao no plano e em seguida, observamos qual semiplano

    satisfaz a desigualdade (pela simplicidade dos clculos, geralmente utilizamos a origem do plano

    para verificar a regio satisfeita pela desigualdade).

    1.5 Programao Linear (PL)

    A programao linear trata do problema especfico de: maximizar ou minimizar uma funo

    do tipo:

    1 1 1( , , ) , , ,n n nf x x a x a x b= +K K restrita a um subconjunto A poliedral convexo de . Na linguagem de programao linear (PL), f chamada funo objetivo (f.o.) e A denominada regio factvel, ou seja, regio onde obtida a

    soluo do problema.

    Definio 4 Dada uma regio poliedral convexa fechada do , os vrtices dessa regio so os

    pontos da regio que satisfazem um dos possveis sistemas de equaes lineares independentes,

    obtidas substituindo-se as desigualdades por igualdades.

    Exemplo 4. Observe a situao a seguir, onde h uma empresa que pretende otimizar a produo

    mensal de dois produtos A e B:

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    Nesta situao necessria entender que:

    O objetivo maximizar o lucro total da venda da produo;

    A produo est superiormente limitada pelos 300 metros de madeira e 110 horas de

    trabalho disponveis;

    So possveis vrios nveis de produo;

    Dos possveis nveis de produo necessrio conhecer qual ou quais podem classificar-se

    de timos.

    Como programar matematicamente esta situao (modelo matemtico linear) para obter

    informaes para a tomada de deciso?

    Primeira pergunta: Quantas unidades de A e B podemos produzir?

    Definir as duas variveis de deciso:

    x1 como o nmero de unidades do produto A;

    x2 como o nmero de unidades do produto B.

    Segunda pergunta: Que valores podemos admitir para as variveis de deciso?

    Em x1 unidades de A consomem-se 30x1 metros de madeira;

    Em x2 unidades de B consomem-se 20x2 metros de madeira.

    No podemos ultrapassar os 300 metros de madeira disponveis ento 1 230 20 300x x+ .

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    Em x1 unidades de A consomem-se 5x1 horas de trabalho;

    Em x2 unidades de B consomem-se 10x2 horas de trabalho.

    No podemos ultrapassar as 110 horas de trabalho disponveis ento 1 25 10 110x x+ .

    E a restrio de no negatividade do problema 1 0x e 2 0x .

    Terceira pergunta: Qual o objetivo a ser alcanado com a produo de A e B?

    O lucro da venda de 1 unidade de A de $ 6;

    O lucro da venda de 1 unidade de B de $ 8.

    O lucro total da venda de x1 unidades de A e de x2 unidades de B de 1 26 8x x+ .

    O objetivo conhecer o maior valor que possvel ao atingir o lucro total 1 26 8x x+ , ou seja,

    necessrio calcular o mximo da funo linear 1 2 1 2( , ) 6 8f x x x x= + , condicionado s restries.

    Resumindo:

    Maximizar o lucro total das vendas 1 2 1 2( , ) 6 8f x x x x= + (funo objetivo);

    Restries do problema 1 2: 30 20 300Madeira x x+ e :Horas de trabalho

    1 25 10 110x x+ ;

    Restries de no negatividades 1 2, 0x x .

    Geometria do modelo de Programao Linear

    Considere um sistema de eixos cartesianos com o eixo das abscissas associado a x1 (produo de

    A) e o eixo das ordenadas associado a x2 (produo de B). Relaxando a condio de desigualdade

    das restries tcnicas, estas passam a ser equaes que definem retas. Cada uma destas retas

    divide o espao em dois semi-espaos.

    A figura a seguir apresenta o sistema de eixos e as duas retas:

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    Pela condio de no negatividade temos que, somente os pontos do 1 quadrante so solues

    admissveis. Pela outras restries tcnicas dos problemas obtemos a regio das possveis

    solues do problema.

    Pelas intersees de todos os semi-espaos definidos pelas desigualdades temos a regio poliedral

    convexa fechada (regio factvel).

    A figura a seguir apresenta o espao de solues possveis (regio factvel)

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    Qualquer ponto da regio factvel uma possvel soluo, ento agora resta saber qual deste ponto

    torna o valor mximo para a funo objetivo.

    Considere:

    A funo tem valor 0, a equao desta curva de nvel 1 26 8 0x x+ = ;

    A funo tem valor 24, a equao desta curva de nvel 1 26 8 24x x+ = ;

    A funo tem valor 48, a equao desta curva de nvel 1 26 8 48x x+ = .

    Da anlise da figura acima, verificamos que o valor da funo aumenta medida que nos afastamos

    da origem, ento a ltima curva de nvel que podemos traar contendo um ponto da regio factvel

    a correspondente ao mximo da funo objetivo.

    Obs: Se a ltima curva de nvel pertencer a mais do que um ponto da regio factvel, haver vrias

    solues timas alternativas, dizemos que a soluo tima indeterminada ou mltipla.

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    A figura a seguir mostra que o ponto de interseo das retas 1 230 20 300x x+ = e

    1 25 10 110x x+ = o ponto timo com coordenada (4, 9) sendo o mximo da funo objetivo:

    (4,9) 6 4 8 9 24 72 96f = + = + =

    A produo tima , portanto de 4 unidades de A e 9 unidades de B a que est associada o lucro

    mximo de 96 dlares.

    Vetor gradiente:

    O gradiente da funo perpendicular s curvas de nvel da funo e indica a direo e o sentido

    em que a funo aumenta mais rapidamente, portanto podemos utiliz-lo para identificar o ponto

    timo na regio factvel.

    O vetor gradiente o conjunto das derivadas parciais de uma funo e representaremos por:

    , , , , , ,

    Retornando ao exemplo, calculemos o gradiente da funo objetivo.

    , 6, 8

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    A ltima reta que se pode traar indica o ponto ou pontos em que a funo atinge o seu mximo.

    Na figura a seguir podemos ver o espao das solues admissveis, o gradiente da funo e as

    curvas de nvel na origem dos eixos (funo com valor nulo) e no ponto timo (funo com valor 96).

    Obs: Se o objetivo for minimizar a funo objetivo, o sentido em que a funo decresce o oposto

    ao indicado pelo vetor gradiente.

    Exemplo 5. Considere que um agricultor queira adubar a sua plantao e disponha de dois tipos de

    adubo. O primeiro contm 3 g de fsforo, 1 g de nitrognio e 8 g de potssio, e custa $ 10 por

    quilograma. O segundo tipo contm 2 g de fsforo, 3 g de nitrognio e 2 g de potssio, e custa $ 8

    por quilograma. Sabemos que um quilograma de adubo d para 10 m de terra, e que o solo em que

    esto suas plantaes necessita de pelo menos 3 g de fsforo, 1,5 g de nitrognio e 4 g de potssio

    a cada 10m. Quanto o agricultor deve comprar de cada adubo, para cada 10 de terra, de modo a

    conseguir ter o mnimo custo?

    Soluo:

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    x primeiro adubo y segundo adubo Necessidades mnimas de adubo

    Fsforo 3 2 3

    Nitrognio 1 3 1,5

    Potssio 8 2 4

    Custo $ 10 Custo $ 8

    Chamemos de x a quantidade em kg do primeiro tipo de adubo e y a do segundo tipo;

    Primeira restrio 0x e 0y ;

    Segunda restrio 3 2 3x y+ ;

    Terceira restrio 3 1,5x y+ ;

    Quarta restrio 8 2 4x y+ .

    Colocando num grfico as quantidades x (como abscissa) e y (como ordenada) temos:

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    1.6 Atividades

    Exerccio 1. Faa o grfico dos seguintes sistemas de desigualdades simultneas:

    (a)

    2 41

    4

    x yx yy

    +

    (b)

    00

    22 3

    x

    yx y

    x y

    + +

    (c)

    00

    3 2

    x

    yx y

    +

    (d)

    4 3 122 23 3

    x yx yy x

    +

    Exerccio 2. Determine o valor mximo e o valor mnimo da funo lucro 15 25L x y= + , sujeita

    s seguintes condies:

    (a)

    00

    3 4 15

    x

    yx y

    +

    (b)

    0053

    x

    yx

    y

    (c)

    00

    252 2 10

    x

    yx y

    x y

    + +

    Exerccio 3. Determine o mximo da funo expressa por 2 ,x y+ sujeita s restries 0x ,

    0y , 3x y+ e 4 0x y+ :

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    Exerccio 4. (Problema de economia) Um comerciante vende dois tipos de artigos, A e B. Na venda

    do artigo A tem um lucro de 20 por unidade e na venda do artigo B, um lucro de 30. Em seu

    depsito s cabem 100 artigos e sabe-se que por compromissos j assumidos, ele vender pelo

    menos 15 artigos do tipo A e 25 do tipo B. O distribuidor pode entregar ao comerciante, no mximo,

    60 artigos A e 50 artigos B. Quantos artigos de cada tipo devero o comerciante encomendar ao

    distribuidor para que, supondo que os venda todos, obtenha o lucro mximo?

    Exerccio 5. (Problema de transporte) Uma firma comercial tem 40 unidades de mercadoria no

    depsito D1 e 50 unidades no depsito D2. Deve enviar 30 unidades ao cliente A e 40 ao cliente B.

    Os gastos de transporte por unidade de mercadoria esto indicados no esquema abaixo. De que

    maneira deve enviar essas mercadorias para que o gasto com transporte seja mnimo?

    Exerccio 6. (Problema de dieta) Dois produtos P e Q contm as vitaminas A, B e C nas

    quantidades indicadas na tabela a seguir. A ltima coluna indica a quantidade mnima necessria de

    cada vitamina para uma alimentao sadia, e a ltima linha indica o preo de cada produto por

    unidade. Que quantidade de cada produto uma dieta deve conter para que proporcione uma

    alimentao sadia com o mnimo custo?

    P Q

    A 3 1 12

    B 3 4 30

    C 2 7 28

    3 2

    Exerccio 7. Uma empresa fabrica dois produtos, A e B. O volume de vendas de A de no mnimo

    80% do total de vendas de ambos. Contudo, a empresa no pode vender mais do que 100 unidades

    de A por dia. Ambos os produtos usam uma matria-prima cuja disponibilidade mxima diria 240

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    lb. As taxas de utilizao da matria-prima so 2 lb por unidade de A e 4 lb por unidade de B. Os

    lucros unitrios para A e B so $ 20 e $ 50, respectivamente. Determine a quantidade de cada

    produto para que o lucro seja mximo.

    Exerccio 8. Uma empresa fabrica chapas e barras de alumnio. A capacidade mxima de

    produo estimada so 800 chapas ou 600 barras por dia. A demanda mxima diria so 550

    chapas e 580 barras. O lucro por tonelada $ 40 por chapa e $ 35 por barra. Determine a

    quantidade tima de produo diria.

    Exerccio 9. Um indivduo quer investir $ 5.000 no prximo ano em dois tipos de investimento: o

    investimento A rende 5% e o investimento B rende 8%. Pesquisas de mercado recomendam uma

    alocao de no mnimo 25% em A e no mximo 50% em B. Alm do mais, o investimento em A

    deve ser no mnimo metade do investimento em B. Como o fundo deveria ser alocado aos dois

    investimentos?

    Exerccio 10. Uma mquina produz dois tipos A e B de frascos de vidro, mas no

    simultaneamente. Ao produzir um frasco do tipo A, ela gasta 0,2 horas, e ao produzir um tipo B,

    gasta 0,4 horas. Sabendo que a mquina pode trabalhar no mximo 16 horas por dia e que o

    fabricante tem um lucro de $ 2 com um frasco tipo A e $ 3 com um frasco tipo B, quantos frascos de

    cada tipo devem ser produzidos para que o lucro seja mximo?

    Exerccio 11. Uma companhia de transporte dispe de 4 caminhes com capacidade para

    transportar 5.000 kg, 4 caminhes de 10.000 kg de capacidade e 2 caminhes de 20.000 kg de

    capacidade. O custo por hora dos caminhes do primeiro tipo $ 200, do segundo $ 300 e do

    terceiro $ 400. Como devem ser usados os caminhes para transportar uma carga de 80.000 kg,

    para que o custo seja mnimo?

    Exerccio 12. Uma indstria produz porcas, parafusos e pregos, podendo usar dois mtodos

    distintos (mas no simultaneamente) para produzi-los. O primeiro mtodo produz 3.000 porcas,

    2.000 parafusos e 2.500 pregos por hora, enquanto o segundo produz 4.000 parafusos e 4.000

    pregos por hora, mas nenhuma porca. A indstria trabalha 18 horas por dia e tem uma encomenda

    de 5.000 porcas, 5.000 parafusos e 5.000 pregos. Durante quantas horas ela deve empregar cada

    mtodo para fazer a entrega o mais rapidamente possvel?

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    14

    Exerccio 13. Numa indstria qumica h uma caldeira cuja margem de segurana tal que a

    presso P medida em atmosferas, e a temperatura T, medida em graus Celsius, devem ser

    reguladas de maneira que 10 400P T+ . Quer-se usar a caldeira para que seja processada uma determinada reao. Para que isto ocorra da forma desejada, a temperatura deve estar entre 80C

    e 300C, e a presso entre 1 e 20 atmosferas. A que temperatura e presso deve trabalhar a

    caldeira para que a reao se processe no menor tempo possvel, se sabemos que a velocidade da

    reao dada por 2 30 20v T P= + + ?