Apostila 1 - Pesquisa Operacional I

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Captulo 1 Programao Linear Pesquisa Operacional I Jhoab Negreiros 1 CAPTULO 1 Programao Linear 1.1 Introduo Este captulo visa estudar alguns problemas de otimizao que envolve maximizar ou minimizar uma funo restrita a certas condies. Estamos sempre interessados em minimizar custos, maximizar lucros, rendimentos etc. A programao linear uma tcnica que permite a resoluo destes problemas no caso especfico em que as funes a serem analisadas so lineares. 1.2 Conjuntos Convexos Definio 1 Um subconjunto S de chamado convexo se para quaisquer dois pontos A e B de S o segmento AB est inteiramente contido em S. Exemplo 1. Observe as seguintes regies de . Captulo 1 Programao Linear Pesquisa Operacional I Jhoab Negreiros 2 1.3 Regio Poliedral Convexa Fechada Definio 2 Um conjunto que divide um espao vetorial em dois semi-espaos chamado de hiperplano. Exemplo 2. Considere os seguintes espaos vetoriais: No espao tridimensional o hiperplano um plano; No espao bidimensional o hiperplano uma reta; No espao unidimensional o hiperplano um ponto. Observe que o hiperplano divide o espao vetorial em 2 semi-espaos. Para hiperplanos definidos por uma equao de mais do que trs variveis no teremos uma viso geomtrica dos semi-espaos vetoriais como nos exemplos anteriores, mas estes conceitos so abordados da mesma maneira: Definio 3 Uma regio poliedral convexa fechada em uma interseo de uma quantidade finita de semi-espaos fechados do . 1.4 Desigualdades Lineares Os semi-espaos so dados por desigualdades lineares, uma desigualdade linear simplesmente uma equao linear, onde o sinal de igual substitudo por ou . Exemplo 3. Seja a desigualdade linear 2 8x y+ . Captulo 1 Programao Linear Pesquisa Operacional I Jhoab Negreiros 3Soluo: Primeiramente substitumos o sinal por =, assim tornamos a desigualdade uma equao linear, representamos essa equao no plano e em seguida, observamos qual semiplano satisfaz a desigualdade (pela simplicidade dos clculos, geralmente utilizamos a origem do plano para verificar a regio satisfeita pela desigualdade). 1.5 Programao Linear (PL) A programao linear trata do problema especfico de: maximizar ou minimizar uma funo do tipo: 1 1 1( , , ) , , ,n n nf x x a x a x b= +K K restrita a um subconjunto A poliedral convexo de . Na linguagem de programao linear (PL), f chamada funo objetivo (f.o.) e A denominada regio factvel, ou seja, regio onde obtida a soluo do problema. Definio 4 Dada uma regio poliedral convexa fechada do , os vrtices dessa regio so os pontos da regio que satisfazem um dos possveis sistemas de equaes lineares independentes, obtidas substituindo-se as desigualdades por igualdades. Exemplo 4. Observe a situao a seguir, onde h uma empresa que pretende otimizar a produo mensal de dois produtos A e B: Captulo 1 Programao Linear Pesquisa Operacional I Jhoab Negreiros 4 Nesta situao necessria entender que: O objetivo maximizar o lucro total da venda da produo; A produo est superiormente limitada pelos 300 metros de madeira e 110 horas de trabalho disponveis; So possveis vrios nveis de produo; Dos possveis nveis de produo necessrio conhecer qual ou quais podem classificar-se de timos. Como programar matematicamente esta situao (modelo matemtico linear) para obter informaes para a tomada de deciso? Primeira pergunta: Quantas unidades de A e B podemos produzir? Definir as duas variveis de deciso: x1 como o nmero de unidades do produto A; x2 como o nmero de unidades do produto B. Segunda pergunta: Que valores podemos admitir para as variveis de deciso? Em x1 unidades de A consomem-se 30x1 metros de madeira; Em x2 unidades de B consomem-se 20x2 metros de madeira. No podemos ultrapassar os 300 metros de madeira disponveis ento 1 230 20 300x x+ . Captulo 1 Programao Linear Pesquisa Operacional I Jhoab Negreiros 5Em x1 unidades de A consomem-se 5x1 horas de trabalho; Em x2 unidades de B consomem-se 10x2 horas de trabalho. No podemos ultrapassar as 110 horas de trabalho disponveis ento 1 25 10 110x x+ . E a restrio de no negatividade do problema 1 0x e 2 0x . Terceira pergunta: Qual o objetivo a ser alcanado com a produo de A e B? O lucro da venda de 1 unidade de A de $ 6; O lucro da venda de 1 unidade de B de $ 8. O lucro total da venda de x1 unidades de A e de x2 unidades de B de 1 26 8x x+ . O objetivo conhecer o maior valor que possvel ao atingir o lucro total 1 26 8x x+ , ou seja, necessrio calcular o mximo da funo linear 1 2 1 2( , ) 6 8f x x x x= + , condicionado s restries. Resumindo: Maximizar o lucro total das vendas 1 2 1 2( , ) 6 8f x x x x= + (funo objetivo); Restries do problema 1 2: 30 20 300Madeira x x+ e :Horas de trabalho 1 25 10 110x x+ ; Restries de no negatividades 1 2, 0x x . Geometria do modelo de Programao Linear Considere um sistema de eixos cartesianos com o eixo das abscissas associado a x1 (produo de A) e o eixo das ordenadas associado a x2 (produo de B). Relaxando a condio de desigualdade das restries tcnicas, estas passam a ser equaes que definem retas. Cada uma destas retas divide o espao em dois semi-espaos. A figura a seguir apresenta o sistema de eixos e as duas retas: Captulo 1 Programao Linear Pesquisa Operacional I Jhoab Negreiros 6 Pela condio de no negatividade temos que, somente os pontos do 1 quadrante so solues admissveis. Pela outras restries tcnicas dos problemas obtemos a regio das possveis solues do problema. Pelas intersees de todos os semi-espaos definidos pelas desigualdades temos a regio poliedral convexa fechada (regio factvel). A figura a seguir apresenta o espao de solues possveis (regio factvel) Captulo 1 Programao Linear Pesquisa Operacional I Jhoab Negreiros 7Qualquer ponto da regio factvel uma possvel soluo, ento agora resta saber qual deste ponto torna o valor mximo para a funo objetivo. Considere: A funo tem valor 0, a equao desta curva de nvel 1 26 8 0x x+ = ; A funo tem valor 24, a equao desta curva de nvel 1 26 8 24x x+ = ; A funo tem valor 48, a equao desta curva de nvel 1 26 8 48x x+ = . Da anlise da figura acima, verificamos que o valor da funo aumenta medida que nos afastamos da origem, ento a ltima curva de nvel que podemos traar contendo um ponto da regio factvel a correspondente ao mximo da funo objetivo. Obs: Se a ltima curva de nvel pertencer a mais do que um ponto da regio factvel, haver vrias solues timas alternativas, dizemos que a soluo tima indeterminada ou mltipla. Captulo 1 Programao Linear Pesquisa Operacional I Jhoab Negreiros 8A figura a seguir mostra que o ponto de interseo das retas 1 230 20 300x x+ = e 1 25 10 110x x+ = o ponto timo com coordenada (4, 9) sendo o mximo da funo objetivo: (4,9) 6 4 8 9 24 72 96f = + = + = A produo tima , portanto de 4 unidades de A e 9 unidades de B a que est associada o lucro mximo de 96 dlares. Vetor gradiente: O gradiente da funo perpendicular s curvas de nvel da funo e indica a direo e o sentido em que a funo aumenta mais rapidamente, portanto podemos utiliz-lo para identificar o ponto timo na regio factvel. O vetor gradiente o conjunto das derivadas parciais de uma funo e representaremos por: , , , , , , Retornando ao exemplo, calculemos o gradiente da funo objetivo. , 6, 8 Captulo 1 Programao Linear Pesquisa Operacional I Jhoab Negreiros 9A ltima reta que se pode traar indica o ponto ou pontos em que a funo atinge o seu mximo. Na figura a seguir podemos ver o espao das solues admissveis, o gradiente da funo e as curvas de nvel na origem dos eixos (funo com valor nulo) e no ponto timo (funo com valor 96). Obs: Se o objetivo for minimizar a funo objetivo, o sentido em que a funo decresce o oposto ao indicado pelo vetor gradiente. Exemplo 5. Considere que um agricultor queira adubar a sua plantao e disponha de dois tipos de adubo. O primeiro contm 3 g de fsforo, 1 g de nitrognio e 8 g de potssio, e custa $ 10 por quilograma. O segundo tipo contm 2 g de fsforo, 3 g de nitrognio e 2 g de potssio, e custa $ 8 por quilograma. Sabemos que um quilograma de adubo d para 10 m de terra, e que o solo em que esto suas plantaes necessita de pelo menos 3 g de fsforo, 1,5 g de nitrognio e 4 g de potssio a cada 10m. Quanto o agricultor deve comprar de cada adubo, para cada 10 de terra, de modo a conseguir ter o mnimo custo? Soluo: Captulo 1 Programao Linear Pesquisa Operacional I Jhoab Negreiros 10 x primeiro adubo y segundo adubo Necessidades mnimas de adubo Fsforo 3 2 3 Nitrognio 1 3 1,5 Potssio 8 2 4 Custo $ 10 Custo $ 8 Chamemos de x a quantidade em kg do primeiro tipo de adubo e y a do segundo tipo; Primeira restrio 0x e 0y ; Segunda restrio 3 2 3x y+ ; Terceira restrio 3 1,5x y+ ; Quarta restrio 8 2 4x y+ . Colocando num grfico as quantidades x (como abscissa) e y (como ordenada) temos: Captulo 1 Programao Linear Pesquisa Operacional I Jhoab Negreiros 111.6 Atividades Exerccio 1. Faa o grfico dos seguintes sistemas de desigualdades simultneas: (a) 2 414x yx yy + (b) 0022 3xyx yx y + + (c) 003 2xyx y + (d) 4 3 122 23 3x yx yy x+ Exerccio 2. Determine o valor mximo e o valor mnimo da funo lucro 15 25L x y= + , sujeita s seguintes condies: (a) 003 4 15xyx y + (b) 0053xyxy (c) 00252 2 10xyx yx y + + Exerccio 3. Determine o mximo da funo expressa por 2 ,x y+ sujeita s restries 0x , 0y , 3x y+ e 4 0x y+ : Captulo 1 Programao Linear Pesquisa Operacional I Jhoab Negreiros 12Exerccio 4. (Problema de economia) Um comerciante vende dois tipos de artigos, A e B. Na venda do artigo A tem um lucro de 20 por unidade e na venda do artigo B, um lucro de 30. Em seu depsito s cabem 100 artigos e sabe-se que por compromissos j assumidos, ele vender pelo menos 15 artigos do tipo A e 25 do tipo B. O distribuidor pode entregar ao comerciante, no mximo, 60 artigos A e 50 artigos B. Quantos artigos de cada tipo devero o comerciante encomendar ao distribuidor para que, supondo que os venda todos, obtenha o lucro mximo? Exerccio 5. (Problema de transporte) Uma firma comercial tem 40 unidades de mercadoria no depsito D1 e 50 unidades no depsito D2. Deve enviar 30 unidades ao cliente A e 40 ao cliente B. Os gastos de transporte por unidade de mercadoria esto indicados no esquema abaixo. De que maneira deve enviar essas mercadorias para que o gasto com transporte seja mnimo? Exerccio 6. (Problema de dieta) Dois produtos P e Q contm as vitaminas A, B e C nas quantidades indicadas na tabela a seguir. A ltima coluna indica a quantidade mnima necessria de cada vitamina para uma alimentao sadia, e a ltima linha indica o preo de cada produto por unidade. Que quantidade de cada produto uma dieta deve conter para que proporcione uma alimentao sadia com o mnimo custo? P Q A 3 1 12 B 3 4 30 C 2 7 28 3 2 Exerccio 7. Uma empresa fabrica dois produtos, A e B. O volume de vendas de A de no mnimo 80% do total de vendas de ambos. Contudo, a empresa no pode vender mais do que 100 unidades de A por dia. Ambos os produtos usam uma matria-prima cuja disponibilidade mxima diria 240 Captulo 1 Programao Linear Pesquisa Operacional I Jhoab Negreiros 13lb. As taxas de utilizao da matria-prima so 2 lb por unidade de A e 4 lb por unidade de B. Os lucros unitrios para A e B so $ 20 e $ 50, respectivamente. Determine a quantidade de cada produto para que o lucro seja mximo. Exerccio 8. Uma empresa fabrica chapas e barras de alumnio. A capacidade mxima de produo estimada so 800 chapas ou 600 barras por dia. A demanda mxima diria so 550 chapas e 580 barras. O lucro por tonelada $ 40 por chapa e $ 35 por barra. Determine a quantidade tima de produo diria. Exerccio 9. Um indivduo quer investir $ 5.000 no prximo ano em dois tipos de investimento: o investimento A rende 5% e o investimento B rende 8%. Pesquisas de mercado recomendam uma alocao de no mnimo 25% em A e no mximo 50% em B. Alm do mais, o investimento em A deve ser no mnimo metade do investimento em B. Como o fundo deveria ser alocado aos dois investimentos? Exerccio 10. Uma mquina produz dois tipos A e B de frascos de vidro, mas no simultaneamente. Ao produzir um frasco do tipo A, ela gasta 0,2 horas, e ao produzir um tipo B, gasta 0,4 horas. Sabendo que a mquina pode trabalhar no mximo 16 horas por dia e que o fabricante tem um lucro de $ 2 com um frasco tipo A e $ 3 com um frasco tipo B, quantos frascos de cada tipo devem ser produzidos para que o lucro seja mximo? Exerccio 11. Uma companhia de transporte dispe de 4 caminhes com capacidade para transportar 5.000 kg, 4 caminhes de 10.000 kg de capacidade e 2 caminhes de 20.000 kg de capacidade. O custo por hora dos caminhes do primeiro tipo $ 200, do segundo $ 300 e do terceiro $ 400. Como devem ser usados os caminhes para transportar uma carga de 80.000 kg, para que o custo seja mnimo? Exerccio 12. Uma indstria produz porcas, parafusos e pregos, podendo usar dois mtodos distintos (mas no simultaneamente) para produzi-los. O primeiro mtodo produz 3.000 porcas, 2.000 parafusos e 2.500 pregos por hora, enquanto o segundo produz 4.000 parafusos e 4.000 pregos por hora, mas nenhuma porca. A indstria trabalha 18 horas por dia e tem uma encomenda de 5.000 porcas, 5.000 parafusos e 5.000 pregos. Durante quantas horas ela deve empregar cada mtodo para fazer a entrega o mais rapidamente possvel? Captulo 1 Programao Linear Pesquisa Operacional I Jhoab Negreiros 14Exerccio 13. Numa indstria qumica h uma caldeira cuja margem de segurana tal que a presso P medida em atmosferas, e a temperatura T, medida em graus Celsius, devem ser reguladas de maneira que 10 400P T+ . Quer-se usar a caldeira para que seja processada uma determinada reao. Para que isto ocorra da forma desejada, a temperatura deve estar entre 80C e 300C, e a presso entre 1 e 20 atmosferas. A que temperatura e presso deve trabalhar a caldeira para que a reao se processe no menor tempo possvel, se sabemos que a velocidade da reao dada por 2 30 20v T P= + + ?